Transformada Z

Escribiendo a z en la forma fasorial z=e jω , como deben suprimirse dos frecuencias angulares,debe haber dos pares complejos conjugados de cerosπ± j3π± j1, 223, 44C = e ; C = eCon estos ceros se puede componer el numerador N(z) de la función de transferencia H(z)π π 3π 3π⎛ j ⎞⎛ −j ⎞⎛ j ⎞⎛ −j⎞2 2 4 4N( z)= k⎜z−e ⎟⎜z−e ⎟⎜z−e ⎟⎜z− e ⎟ =⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠= k z + z + z+ = k z + z + z + z+2( 1 2)( 2 1 4 3 2) ( 2 2 2 1 )Como el numerador es un polinomio de orden 4, para que el sistema sea causal, eldenominador debe ser un polinomio de mayor o igual grado. Para no modificar la respuesta,el denominador puede componerse por un polo de orden 4 situado en z=04( ) = z −D zEscribiendo a H(z) como el cociente de los polinomios mencionados( )( )N z 1+ 2z + 2z + 2z + zH( z)= = kD zz−1 −2 −3 −4−4El fasor z=e jω puede considerarse como un número complejo de módulo unitario. La tercercomponente tiene frecuencia angular digital ω=π. Entonces, imponiendo la condición de quela transferencia sea unitaria para esa componente, H(e jω )⏐ ω=π =1, se puede despejar kFigura 1: Transformada Z, diagrama de polos y ceros, respuesta espectral y respuesta impulsiva deun sistema promediador móvil de orden N=3 (L=4 puntos).3.3. Diseñar un sistema causal que, ante la entrada x[n] siguiente, elimine las dos primerascomponentes (ω=±π/2 y ω=±3π/4) y deje inalterada la magnitud de la tercera (ω=±π)pudiendo sufrir un desplazamiento de fase1 2 2 2 1H e = k = k 4− 2 2 = 1 ∴ k =e4−2 2−jπ −j2π −j3π −j4πjπ+ e + e + e + e( ) − j 4π( )x⎡ πn⎤⎢2⎥⎣ ⎦⎡3πn⎤⎢4⎥⎣ ⎦[] n = cos + cos + cos[ πn]Solución: La función de transferencia del sistema se puede componer partiendo de losceros y polos deseados. Los ceros deben situarse en las frecuencias angulares a suprimir.16