Mecánica teórica – febrero 2006

Mecánica TeóricaFebrero 20061. [3p] Considere el sistema constituido por unabarra rígida homogénea de masa m y longitud 2L que sedesliza por una pared lisa. Esta barra se encuentra unida aleje de un disco de masa M y radio R que rueda sin deslizarpor el suelo. En t=0 el sistema se encuentra en reposo y labarra forma un ángulo con la pared.a) Obtenga las(s) ecuación(es) de movimiento.b) Demuestre que la fuerza de reacción que ejerce lapared sobre el extremo de la barra, , viene dada por: 4 cos sin 2. [3p] El centro de una varilla homogénea se encuentra unido a un punto O por unmuelle de constante elástica k y longitud natural nula. La varilla puede girar en torno a sucentro. Considerando que el muelle también está obligado a girar respecto al origen O conuna velocidad angular constante ω, , y que en el instante inicial la velocidad angular de lavarilla es :a) Obtenga y discuta la función Hamiltoniana del sistema.b) ¿Es posible definir la función característica de Hamilton,W? En caso afirmativo, escriba la ec. de Hamilton-Jacobi entérminos de W.c) Usando exclusivamente las variables acción-ángulo,calcule las frecuencias cias de oscilación/libración de la varilla y delmuelle.Considere que el momento de inercia de la varilla respecto aleje que pasa por su centro es simplemente I.

3. [3p] Sobre el paralelepípedo ortogonal infinitesimal de la figura se aplica unadeformación tal y como se indica en la figura:La longitud de las aristas OA, OB y OC, y los ángulos entre ellas pasan a ser:| | 1 2∆ !|" | 1 ∆ #|$ | 1 ∆ % ) 1 ∆ * )+ 1 ∆ * + 1 ∆ * a) Obtenga las distintas componentes del tensor de deformación Lagrangiano.b) Calcule, en el límite de pequeñas deformaciones, el coeficiente de dilatación cúbica.4. [1p] Demuestre que para un fluido ideal se verifica, -. / -. 0 11 2Donde los distintos símbolos indican, respectivamente, el tensor velocidad dedeformación, el tensor de esfuerzos, el escalar presión, la densidad y el tiempo.Datos de interés:• Momento de inercia de una varilla de longitud a y masa m respecto a un ejeperpendicular que pasa por su centro: ! /12• Momento de inercia de un disco de radio R y masa M respecto a un ejeperpendicular que pasa por su centro: 4 /2• & √! ( ( √√5 6 7 6 56 !8%9,: 5