mate_3013__razon-de-cambio-instantaneo-y-la-derivada

El Límite de la cociente de diferenciasDEFINICION:La razón de cambio instantánea def(x) en x es un límite.m limh0 f x h f xh.La razón de cambio instantáneade f(x) es la pendiente de larectatangente en (x, f(x)).

Rectas tangentesDEFINICION:Una línea que toca un círculo en exactamente un punto que se llama unalínea tangente. Esta noción se puede extender a cualquier curvasuave: una línea tangente toca una curva en un solo punto.L es una recta tangente a la curva. M no es una recta tangente a la curva.

Rectas tangentesIdentifique las rectas tangentes en la figura..Si una curva es suave (no tiene esquinas), entonces cada punto de lacurva tendrá una línea tangente única, es decir, exactamente una líneatangente es posible en cualquier punto dado.

Rectas tangentesm=0En los puntos demáximo o mínimo, larecta tangente eshorizontal ( es decir,la pendiente es 0)m>0m

Calcular razón de cambio instantáneaUna piedra cae desde una altura de 50 metros. si la caída estagobernada por la ecuación , f t = 5.1t 2 , donde f(t) se mide en m.Hallar la velocidad de la piedra en t =2.La velocidad esLa velocidad promedio en el intervalo esLa velocidad instantánea en t = 2 esComo no se puederesolver el limite porsustitución por que nopodemos dividir entre0, hacemos una tablacon h = 0.05, 0.1, 0.01,0.001 y 0.0001 paraexplorar el límite.cambio en distanciacambio en tiempof t + h − f(t)hlim2t h 5.1t5.1h2 5.1 t2t h Los valores tienden 20.4, por lo tanto la velocidad instantánea en t = 2 es 20.4 msegh05.1h2

Calcular razón de cambio instantáneaUna piedra cae desde una altura de 50 metros. si la caída estagobernada por la ecuación , f t = 5.1t 2 , donde f(t) se mide en m.Hallar la velocidad instantánea de la piedra en t =2.La velocidad promedio en el intervalo esLa velocidad instantánea en t = 2 esPodemos tambiéninvestigar el límitecon métodosalgebraicos:h0h0hlimlimlim05.15.1tf t + h − f(t)hlimh02t h 5.1t5.1h2t h 5.1t10.2(2) = 20.4 , por lo tanto la velocidad instantánea en t = 2 es 20.4 mseg5.122t 2th h 5.1t2h 10.2th 5.1hhh 10.2t 5.1hh2hlim02 5.1t2h10.2t 5.1h2 10.2t2

El Límite de la cociente de diferenciasEjemplo 1: Para f x = 3x 2 + 1 hallar . Luego, hallar f 3 y f 4 .fxf ′ xf ′ x3 x + h 2 + 1 − (3x 2 + 1)= limh→0 h3(x 2 + 2xh + h 2 + 1 − (3x 2 + 1)= limh→0 hf ′ xf ′ x3x 2 + 6xh + 3h 2 + 1 − 3x 2 − 1= limh→0 h3x 2 + 6xh + 3h 2 + 1 − 3x 2 − 1= limh→0 h

El Límite de la cociente de diferenciasEjemplo 1: Para f x = 3x 2 + 1 hallar . Luego, hallar f 3 y f 4 .fxf ′ xf ′ xf ′ x= limh→0h(6x + 3h )h= limh→06x + h= 6xf ′ −3 = 6 −3 = −18f ′ 4 = 6 4 = 24

El Límite de la cociente de diferenciasDEFINICION:Para una función y = f (x),la pendiente de la rectatangente en un valor de x=a seconoce como la derivada def(x) en x=a.Se denota f’(x) (f prima de x).f x limh0 f x h f xhsiempre y cuando el límiteexista.Si f’(x) existe, entonces se diceque f es diferenciable enx=a.

Llamamos derivada de la función f en x=a a la pendiente de la rectatangente a la gráfica de f en el punto con coordenada en x = a.La derivada de la función f en a se denota con el símbolof´ a que se lee “f prima de a”y=-3/2x-24y=1.2x+1.5y=-4y=3f´ 4.5 = − 3 porque la2tangente en x = 4.5 tienependiente − 3 . 2y=-1.3x+13f´ −2 = 0f´ 2 = 1.2f´ 4 = 0f´ 6 = −1.3

Determinar la pendiente de la recta tangente af x = 4 − x en x = 3.Derivada -aplicacionesNecesitamos la razón decambio instantánea en x = 3.Necesitamos el4( xh)4xlim0 hhSimplificar este límite algebraicamente envuelve álgebra pesada.¿De qué otra forma podemos investigar el límite?

Determinar la pendiente de la recta tangente af x = 4 − x en x = 3.Derivada -aplicacioneshhUtilicemos una tabla con h,la distancia de x = 3 aproximando a 0:h 0.5 0.1 0.01 0.001 0.0001f(x)lim04 ( x h)4 -0.5859 -0.5132 -0.5013 -0.5001 -0.50001x4 (3 0.5) 4 0.534 (3 0.1) 4 0.134 (3 0.1) 4 0.13lim0 h4 ( xh)h4 x 0.5

Derivada -aplicaciones¿Es diferenciable la función f x = x en x = 0?Solución:Según la definición de derivada una función es diferenciable en unpunto si la derivada existe en el punto.f x h f xf x limh0 hlim0 hh -0.5 -0.1 -0.01 -0.001 -0.0001f(x)xhhxh 0.5 0.1 0.01 0.001 0.0001f(x)-1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 1limh0x hhx 1limh0x hhx 1

Derivada -aplicaciones¿Es diferenciable la función f x = x en x = 0?limh0x hhx 1limh0x hhx 1Solución: (continuación)Según la definición de derivada una función es diferenciable en unpunto si la derivada existe en el punto.x h xlim0 hhNo existe ya que los límitesy porla derecha son diferentes.por la izquierdaPor lo tanto, la función no es diferenciable en x = 0.