Volumen de un Sólido en el Espacio - Facultad de Ingeniería

Geraldine Cisneros84Integrales Múltiples y Sus AplicacionesValor de y ala salida de D 1.Ay= 16 − x2Para calcular el área de laregión D 1 , se puededividirla en dos regionestipo 1:D = D ∪ D1 1.A 1.BD 1.Ax = 2Valor de y ala salida de D 1.By= 16 − x2D 1.BValor de y ala entrada de D 1.Ay= 4 − x2Figura 3.9Valor de y ala entrada de D 1.By = 0Región D1del ejemplo 3.3Luego:A = dydx + dydx11.A∫∫ ∫∫ , donde:D1. AD1.B2 2{( ) 0 2 4 16 }2.B= {( ) 2≤ ≤4 ∧ 0≤ ≤ 16−}D = x,y ≤ x ≤ ∧ −x ≤ y ≤ −xD x,y x y x1112 22 16−x4 16−x∫∫ ∫∫A = dydx + dydx20 4−x2 0( )2 42 2 2∫ ∫A = 16 −x − 4 − x dx+ 16 −x dx0 2⎛ π ⎞ ⎛ 8π⎞A1= ⎜2 3+ ⎟+ ⎜− 2 3+ ⎟=3π⎝ 3⎠ ⎝ 3 ⎠∫∫A= dydx=12πDUC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.

Geraldine Cisneros86Integrales Múltiples y Sus AplicacionesValor de z ala salida de Sz = 20 −x − y2 2La superficie definida porla ecuación:2 2z = 20 −x − yEs una semiesfera (partesuperior).La superficie definida porla ecuación:2 2z = 2 x + yEs un cono .SValor de z ala entrada de Sz = 2 x + y2 2Figura 3.10Sólido S del ejemplo 3.4El volumen del sólido S, mostrado en la figura anterior, se obtienemediante la integral doble:∫∫⎡⎣2 2 2 2V = 20 −x − y − 2 x + y dADdonde D es la proyección del sólido S en el plano xy. Estaproyección, para este ejemplo, resulta ser un círculo con centro enel origen, al que se obtiene en la intersección de las dossuperficies:⎤⎦⎧ 2 2⎪ z = 2 x + y⎨⎪ ⎩z = 20 − x − y2 2⇒ 2 x + y = 20−x − y2 2 2 2( )4 x 2 + y 2 = 20−x 2 − y 2 ⇒ x 2 + y2 = 4Entonces:{( , 2 2) 4 }D= x y x + y ≤UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.

Geraldine Cisneros87Integrales Múltiples y Sus AplicacionesValor de y ala salida de Dy= 4 − x2Donde D es una regióntipo 1 y también tipo 2,pero en este ejemplo setrabaja como una regióntipo 1.DEs decir, ( )Figura 3.11Valor de y ala entrada de Dy= − 4 −xRegión D del ejemplo 3.4{ , 2 2 4 2 4 2}D= x y − ≤ x≤ − −x ≤ y ≤ − x2En el siguiente capítulo,se mostrará comoresolver una integral deeste tipo, empleando uncambio de variableapropiado.Volviendo a la integral de volumen, se tiene que:2V 2 4−x2 2 2 2= ⎡ 20 x y 2 x y ⎤∫ dydx2−2∫− − − +− 4−x⎣⎦Ahora, para resolver esta integral se requiere un procedimientomuy riguroso y largo, por lo cual a continuación sólo se presenta elresultado de esta integral, el cual fue obtenido con softwarematemático:V = ⎡ x y x y ⎤∫∫ − − − + dA=D ⎣⎦2 2 2 220 2 19,77678464UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.

Geraldine CisnerosEJEMPLO 3.588Integrales Múltiples y Sus AplicacionesDibuje el sólido S acotado por las superficies: z = 4 + xy y z = 1 ydentro del cilindro x2 + y2 ≤ 1, calcule su volumen empleandointegrales dobles.Solución:En la figura siguiente se aprecia el sólido S, acotado por lassuperficies z = 4 + xy y z = 1 y dentro del cilindrox+ y ≤ 1.2 2Valor de z ala salida de Sz= 4 + xyS2 2x + y = 1Valor de z ala entrada de Sz =1Figura 3.12Sólido S del ejemplo 3.5El volumen del sólido S, se obtiene mediante la integral doble:∫∫ [ 4 1] ∫∫ [ 3 ]V = + xy − dA = + xy dADdonde D es la proyección del sólido S en el plano xy. Estaproyección, se observa en la figura 3.13DUC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.

Geraldine Cisneros89Integrales Múltiples y Sus AplicacionesEn este ejemplo, laregión D es de tipo 1 ytambién tipo 2, pero setrabaja como una regióntipo 2.Valor de x ala entrada de Dx =− 1−y2DValor de x ala salida de Dx = 1−y2Figura 3.13Región D del ejemplo 3.5En este caso, la región D se define como:{( , 2 2) 1 1 1 1 }D = x y − − y ≤ x≤ − y − ≤ y≤Por lo tanto la integral de volumen queda como:2− y∫∫ 2[ ] ∫1 1 123 6 1 3−1 − 1−y−1V = + xy dxdy = − y dy = π∫∫[ ]V = 3+ xy dA=3πDEJEMPLO 3.6Dibuje el sólido S acotado porz x y xy3 3= 1+ + , 0z = ,3y = x − x y2y = x + x y calcule su volumen empleando integrales dobles.Solución:En la figura 3.14 se observa el sólido S, acotado superiormente porz x y xy3 3= 1+ + e inferiormente por z = 0; mientras que lassuperficies3y = x − x y2y = x + xdefinen las paredes de dichocuerpo tridimensional.UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.

Geraldine Cisneros90Integrales Múltiples y Sus AplicacionesValor de z ala salida de S3 3z = 1+ xy+xySValor de z ala entrada de Sz = 0Figura 3.14Sólido S del ejemplo 3.6Donde, el volumen del sólido S, se obtiene como:∫∫ ∫∫= ⎡ + + − ⎤ = ⎡ + + ⎤V 3 3 3 31 0 1D⎣ x y xy ⎦ dA x y xy dAD⎣ ⎦Al proyectar el sólido anterior en el plano xy, se obtiene la regiónbidimensional D, la cual se aprecia en la figura 3.15En la figura 3.15, seobserva que la región Ddel ejemplo 3.6 es unaregión de tipo 1.Valor de y ala salida de D3y= x − xDUC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.Figura 3.15Valor de y ala entrada de D2y= x + xRegión D del ejemplo 3.6

Geraldine Cisneros91Integrales Múltiples y Sus AplicacionesPor lo tanto, la región D se define como:2 3{( , ) 1 0}D = x y − ≤ x≤ x + x≤ y≤ x − xLa integral de volumen queda como:3V 0 x −x3 3= ∫∫⎡1+ x y + xy ⎤ dydx2−1x + x ⎣ ⎦13 90 ⎡x11 7x8 7 6 3 2 ⎤ 517V = ∫ x x 4x 2x x x 2x dx−1⎢ − + − − − + − − =4 4⎥⎣⎦ 12603 3 517V = ∫∫⎡1+ x y+ xy ⎤dA=D ⎣ ⎦ 12603.1.3. MASA DE UNA FIGURA PLANAEn la figura 3.16 laregión D es nohomogénea, por lo cualsu sombreado no esuniforme.A continuación, se explica como determinar la masa de una figuraplana no homogénea, de área D , como la región mostrada en lafigura 3.16; es decir para regiones donde la densidad varía encada punto ( x,y)∈ D.Adicionalmente:ρ x,y = 0 ∀ x,y ∉D( ) ( )La densidad tieneunidades de masa porárea unitaria.Para esta aplicación,considere que la funcióndensidad ρ es continuaen la región D .Figura 3.16Región D no homogéneaUC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.

Geraldine Cisneros92Integrales Múltiples y Sus AplicacionesSi se escoge un punto arbitrario ( x * ,y*)de este subrectángulo, denotada como* *( , )ij i j iji j ij∈ D , entonces la masamij, se obtiene como:m = ρ x y ∆ A(III.6)Por lo tanto la masa de la placa plana de área A , se puedeestimar mediante la doble suma de Riemann:( * ,*)n m∑∑ ρi j∆ij(III.7)i= 1 j=1m≈x y ASi se aumenta el número de subintervalos, de manera que lanorma de la partición P tienda a cero, se tiene:( * ,*)n m∑∑ ρi j ij(III.8)P → 0i = 1 j = 1m= Lim x y ∆An m∑∑ρ( * , *i j ) ij ∫∫ ρ( , ) (III.9)m= Lim x y ∆ A = x y dAP → 0i = 1 j = 1DEntonces, el cálculo de la masa de una figura plana se obtienemediante:El cálculo de masa deuna región D , tambiénpuede emplearse paracalcular la cargaeléctrica, Q, distribuidasobre una región D .Q σ x,y dA= ∫∫D( )Donde σ es la funcióndensidad de carga.MASA DE UNA FIGURA PLANAConsidere una lámina plana de densidad variable ρ ( x,y),que ocupa una región D en el plano xy, entonces su masa,denotada m , se obtiene como:D( , )m= ∫∫ ρ x y dA(III.10)UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.

Geraldine CisnerosEJEMPLO 3.793Integrales Múltiples y Sus AplicacionesDetermine la masa de la placa plana limitada por las curvasx2= y − 1 yx2= 2y− 2 , cuya densidad es igual a la unidad.Solución:Recuerde que la densidad se calcula como m ρ ( , )lo tanto para esta placa se tiene:m= ∫∫DdA= ∫∫ x y dA, porAhora, se debe identificar la región D para definir los límites deintegración.DValor de x ala entrada de D2x= 2y−2DValor de x ala salida de D2x= y −1Figura 3.17Región D del ejemplo 3.7Entonces la región D está definida como:Por lo tanto:UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.{( ) 2 2 2 21 1 1 }D = x,y y − ≤ x≤ y − ∧ − ≤ y≤2m 1 y −1 12 4= ∫∫ dxdy =2 ( 1 y ) dy−1 2y−2 ∫ − =−1321 y −1∫∫m = dxdy =2−1 2y−243

Geraldine CisnerosEJEMPLO 3.8Según la definición delvalor absoluto⎧x−2 si x−2≥0⎪x − 2 =⎨⎪⎩2 − x si x − 2 < 0entonces⎧2x−4 si x≥2⎪y = ⎨⎪⎩4 − 2x si x < 294Integrales Múltiples y Sus AplicacionesDetermine la masa de la placa plana limitada por las curvas3= − 6 + 4 y y = 2 x− 2 , cuya densidad varía de acuerdo a la22y x xfunción ( x,y) 1 2ρ = + x.Solución:El cálculo de la masa se obtiene de la integral dobleD( , )m= ∫∫ ρ x y dA, por lo tanto:∫∫D( 1 2 )m= +A continuación se muestra la región D.x dAy= 2x−4y= − 2x+4La región D debedividirse en dos regionestipo 1, tal que:D= D ∪ D1 2D3= − 6 + 422y x xFigura 3.18Región D del ejemplo 3.8Entonces:( 1 2 ) ( 1 2 ) ( 1 2 )∫∫ ∫∫ ∫∫m= + x dA= + x dA+ + x dAD D1 D2Donde⎧3 2⎫D1= ⎨( x,y)0≤ x≤2 ∧ x − 6x+ 4≤ y≤− 2x+4⎬⎩2⎭⎧3 2⎫D2= ⎨( x,y)2≤ x≤4 ∧ x − 6x+ 4≤ y≤2x−4⎬⎩2⎭UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.

Geraldine Cisneros95Integrales Múltiples y Sus AplicacionesEn la figura 3.19 se muestra el orden de integración para obtenerla masa de la placa con la forma de la región D.Valor de y ala salida de D 1y= 4−2xValor de y ala salida de D 2y= 2x−4x = 2D 2D 1Valor de y ala entrada de D 2Valor de y a3 2la entrada de D 1y = x − 6x+423 2y= x − 6x+42Figura 3.19Región D del ejemplo 3.8 como dos regiones tipo 1Entonces:x−( 1 2 ) ( 1 2 )2 4−2x4 2 4∫∫ ∫∫m= + x dydx + + x dydx3 2 3 20 x − 6x+ 4 2 x − 6x+42 22⎛ 43 13 2 ⎞ ⎛ 3 29 2 ⎞m= ∫ 3x x 4x dx 8 3x x 8x dx0⎜− + + ⎟ + − − + −2∫ 2⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ 2 ⎠40 80m = + = 403 3∫∫( )m= 1+ 2x dA=40DUC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.

Geraldine Cisneros96Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones3.1.4. MOMENTOS ESTÁTICOS DE FIGURAS PLANASEl momento estático de una partícula alrededor de un eje sedefine como el producto de su masa y la distancia que la separade ese eje. A continuación, se trata específicamente, losmomentos estáticos de una figura plana D alrededor de los ejescoordenados.Considere una lámina o placa plana D , dividida ensubrectángulosDij, tal como se muestra en la siguiente figura:Los momentos estáticosson momentos de“equilibrio”.M es una medida de laxtendencia a girar en tornoal eje x, análogamente,M es una medida de laytendencia a giraralrededor del eje y.Figura 3.20Región general D no homogéneaEntonces, el momento estático alrededor del eje x, para cadasubrectánguloDij, denotado comoMx ij( , )* * *xijj i j ij, viene dado por:M = y ρ x y ∆ A(III.11)Sumando el momento estático alrededor del eje x para cadasubrectángulo, se tiene que:( , )n m* * *x≈jρi j∆iji= 1 j=1M ∑∑ y x y A(III.13)UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.

Geraldine Cisneros97Integrales Múltiples y Sus AplicacionesTomando el límite cuando el número de subrectángulos aumentaen la expresión anterior:( , )n m* * *x=jρi j∆ijP → 0i = 1 j = 1M Lim∑∑ y x y A(III.14)n m∑∑ * ρ( * , *) ∫∫ ρ( , ) (III.15)M = Lim y x y ∆ A = y x y dAx j i j ijP → 0i = 1 j = 1DAnálogamente, el momento estático alrededor del eje y, que sedenotaMy, se obtiene como:n m∑∑ * ρ( * , *) ∫∫ ρ( , ) (III.16)M = Lim x x y ∆ A = x x y dAy i i j ijP → 0i = 1 j = 1DMOMENTOS ESTÁTICOS DE FIGURAS PLANASSea D una región del plano xy, tal que su densidad vienedada por la función( x,y)ρ :2→ , la cual es continua∀ ∈ D, entonces el momento estático alrededor del eje x,denotadoMx, se obtiene como:xD( , )M = ∫∫ yρx y dA(III.17)Mientras que el momento estático alrededor del eje y,denotadoMy, se calcula como:yD( , )M = ∫∫ xρx y dA(III.18)UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.

Geraldine CisnerosEJEMPLO 3.9La región del ejemplo 3.7se muestra a continuaciónY se encuentra acotada2por las curvas x = y − 12y x = 2y− 2.La densidad es :ρ x,y =( ) 12 2( x,y) y x y⎧⎪2 −2≤ ≤ −1∧⎫⎪D = ⎨ ⎬⎪⎩−1≤y ≤1⎪⎭98Integrales Múltiples y Sus AplicacionesDetermine los momentos estáticos de la placa plana descrita en elejemplo 3.7.Solución:Los momentos estáticos se calculan de la siguiente manera:x= ∫∫ ρ ( , ) y ρ ( , )M y x y dADEntonces:M x x y dAy= ∫∫ .D21 y −1 12−1 2y−2 −12( )M = ydxdy = y 1− y dy = 0x∫∫ ∫⎛ 3 3 ⎞ 8= = − − + =−⎝ 2 2 ⎠ 521 y −1 14 2My ∫∫ xdxdy y 3y dy2−1 2y−2 ∫ −1⎜⎟Por lo tanto, los momentos estáticos para una lámina con la formade la región D del ejemplo 3.7 son:MMyx∫∫= ydA=0D8= ∫∫ xdA=−D5EJEMPLO 3.10La región del ejemplo 3.8se muestra a continuaciónDetermine los momentos estáticos de la placa plana descrita en elejemplo 3.8.Solución:La densidad:ρ x,y = + xDonde( x,y)( ) 1 2D= D1∪D2⎧ 0≤ x ≤2∧ ⎫⎪⎪D1= ⎨ 3⎬2⎪ x − 6x+ 4≤ y≤− 2x+4⎪⎩ 2⎭⎧( x,y)2≤ x ≤4∧ ⎫⎪⎪D2= ⎨ 3⎬2⎪ x − 6x+ 4≤ y≤2x−4⎪⎩ 2⎭Los momentos estáticos se calculan como: ρ ( , )y( , )M xρx y dA= ∫∫ .UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.DxM y x y dAx−( 1 2 ) ( 1 2 )2 4−2x4 2 4∫∫ ∫∫3 2 3 20 x − 6x+ 4 2 x − 6x+42 2x= ∫∫ yM = y + x dydx + y + x dydx⎛ 9 135⎞= − + − + + +⎝ 4 8⎠4⎛9 5 135 4 3 2 ⎞+ ∫ x x 35x 10x 16x dx2⎜− + − + + ⎟⎝ 4 8⎠25 4 3 2Mx ∫ x x 35x 10x 16x dx0⎜⎟D

Geraldine Cisneros99Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones8 56 64Mx= + =3 3 3Calculando el momento estático respecto al eje y se tiene:yx−( 1 2 ) ( 1 2 )2 4−2x4 2 4∫∫ ∫∫M = x + x dydx + x + x dydx3 2 3 20 x − 6x+ 4 2 x − 6x+42 2262 1162 1424My= + =15 15 15Finalmente, para la región del ejemplo 3.8 se tiene que:64Mx= ∫∫ y( 1+ 2x)dA=D31424My= ∫∫ x( 1+ 2x)dA=D153.1.5. CENTRO DE MASAEl centro de gravedadtambién es llamadocentro de masa.El significado físico delcentro de gravedad, esque la lámina secomporta como si sumasa estuvieraconcentrada en ese punto.El centro de gravedad de una figura plana D, es un punto P decoordenadas ( x , y )∈ D , en el cual la región se equilibrahorizontalmente. Las coordenadas de este punto se obtienen delas ecuaciones:M yx = (III.19)mM xy = (III.20)mEl centro de gravedadrecibe el nombre decentroide cuando ladensidad es constante.Donde tanto la masa de la placa plana como los momentosestáticos se calculan por medio de integrales dobles.UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.

Geraldine Cisneros100Integrales Múltiples y Sus AplicacionesCENTRO DE MASASea D una región del plano xy, tal que su densidad vienedada por la función( x,y)ρ :2→ , la cual es continua∀ ∈ D, entonces el centro de gravedad viene dado por:1x = xρ( x,y)dAm∫∫ (III.21)D1y = yρ( x,y)dAm∫∫ (III.22)DDonde m es la masa de la placa D , que se obtiene comoD( , )∫∫ ρ x y dA.EJEMPLO 3.11La región del ejemplo 3.7está acotada por las2curvas x = y − 1 y2x = 2y− 2.Su densidad es :ρ x,y =( ) 1Y adicionalmente seobtuvo:21 y 1 4m = −∫∫ dxdy =2−1 2y−23MMyx∫∫= ydA=0D8= ∫∫ xdA=−D5Determine el centro de masa de la placa plana descrita en elejemplo 3.7.Solución:El centro de masa es un punto P( x,y)∈ D, tal que suscoordenadas se obtienen empleando las ecuaciones III.21 yIII.22. Como ya se calculó la masa y los momentos estáticos paraesta región, entonces sólo queda sustituir en las ecuaciones III.19y III.208M 5 6x =y=− =−m 4 53M x0y = = = 0m 43UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.

Geraldine Cisneros101Integrales Múltiples y Sus AplicacionesEntonces:⎛ 6 ⎞P( x, y)= ⎜ − ,0 ⎟⎝ 5 ⎠En la siguiente figura se observa el centro de masa o de gravedadde la placa D descrita en el ejemplo 3.7⎛ 6 05 , ⎞⎜−⎟⎝ ⎠DFigura 3.21Centro de masa de la región D del ejemplo 3.7EJEMPLO 3.12La región D del ejemplo3.8, tiene una densidadque varía según:ρ x,y = + x( ) 1 2En los ejemplos 3.8 y3.10, se obtuvo:∫∫( )m= 1+ 2x dA=40D64Mx= ∫∫ y( 1+ 2x)dA=D31424My= ∫∫ x( 1+ 2x)dA=D15Determine el centro de masa de la placa plana descrita en elejemplo 3.8.Solución:Sustituyendo el valor de la masa y los momentos estáticos en lasecuaciones que permiten calcular las coordenadas del centro demasa, se tiene:1424M 15 178x =y= =m 40 75UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.

Geraldine Cisneros102Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones64M 3 8y = x= =m 40 15Luego:⎛178 8 ⎞P( x, y)= ⎜ , ⎟⎝ 75 15 ⎠En la figura 3.22 se aprecia la región D y su centro de masa:⎛178 8 ⎞⎜ , ⎟⎝ 75 15 ⎠DFigura 3.22Centro de masa de la región D del ejemplo 3.83.1.6. MOMENTO DE INERCIALos momentos de inerciatambién son llamadossegundos momentos.Los momentos de inerciason momentos de “giro”.El momento de inercia de una partícula alrededor de un eje sedefine como el producto de su masa y el cuadrado de la distanciaque la separa de ese eje y se considera como una medida de laoposición a girar del cuerpo cuando actúa sobre él una fuerza derotación. Los segundos momentos más importantes son losmomentos de inercia alrededor de los ejes coordenados y delorigen.UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.

Geraldine Cisneros103Integrales Múltiples y Sus AplicacionesEl procedimiento para obtener estos momentos como integralesdobles es similar al que se ilustró para los momentos estáticos,por lo tanto, el momento de inercia de una placa D, respecto al ejex, denotado Ix, se calcula como:En las ecuaciones III.23y III.24, el cuadrado de xo de y recibe el nombrede brazo de palanca.n m2∑∑( * ) ρ( * , * ) ∫∫ 2 ρ( , ) (III.23)I = Lim y x y ∆ A = y x y dAx j i j ijP → 0i = 1 j = 1Análogamente, el momento de inercia alrededor del eje y sedenota como Iyy se obtiene como:Dn m2∑∑( * ) ρ( * , * ) ∫∫ 2 ρ( , ) (III.24)I = Lim x x y ∆ A = x x y dAy i i j ijP → 0i = 1 j = 1DEl momento de inerciaalrededor del origentambién es conocidocomo momento polar deinercia.I0 = Ix + IyLa suma de estos dos momentos se conoce como momento deinercia alrededor del origen, I0, donde:nm∑∑0i 1 j 1( * 2) ( * 2) ( * * ) ( 2 2i jρi,j ij ∫∫ ) ρ( , )I = 0Lim ⎡ x + y ⎤ x y ∆ A = x + y x y dAP → D= =⎢⎣⎥⎦(III.25)UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.MOMENTOS DE INERCIA DE FIGURAS PLANASSea D una región del plano xy, tal que su densidad vienedada por la función( x,y)ρ :2→ , la cual es continua∀ ∈ D, entonces los momentos de inercia alrededor delos ejes x y y, denotados Ixe Iy, se obtienen como:( , )= ∫∫ ρ(III.26)2Ixy x y dAD( , )= ∫∫ ρ(III.27)2Iyx x y dADEl momento polar de inercia, I0, es:2 2( ) ρ ( )I ∫∫ x y x y dA (III.28)0= + ,D

Geraldine CisnerosEJEMPLO 3.13La gráfica de la región Ddel ejemplo 3.7 semuestra a continuación:Cuya densidad es :ρ x,y =( ) 12 2( x,y) y x y⎧⎪2 −2≤ ≤ −1∧⎫⎪D = ⎨ ⎬⎪⎩−1≤y ≤1⎪⎭104Integrales Múltiples y Sus AplicacionesDetermine los momentos de inercia de la placa plana descrita enel ejemplo 3.7.Solución:Los momentos de inercia alrededor de los ejes coordenados se2calculan de la siguiente manera: ρ ( , )y22 2= ∫∫ ρ ( , ) y = ( + ) ρ ( )I x x y dAD∫∫ .I x y x y dA0,DI y x y dAx= ∫∫ ,2I 1 y −1 12 2 2 4x= ∫∫ y dxdy = y 2( 1 y ) dy−1 2y−2 ∫ − =−1152I 1 y −1 x 12 dxdy ⎛7 7 6 4 2 32y7 221 2y2 13 3 y y y ⎞= ∫∫ = dy− − ∫ − + − =−⎜⎟⎝⎠ 15D21 y −1 12 2 ⎛7 7 6 4 2⎞12I0= ∫∫ 2 ( x + y ) dxdy = y 6y 6y dy−1 2y−2 ∫ −1⎜− + − ⎟ =⎝3 3 ⎠ 5Nótese que el momento polar de inercia puede calcularse como seacaba de ilustrar, sin embargo, también puede obtenerse a partirde:4 32 36 12I0= Ix+ Iy= + = =15 15 15 5Entonces los momentos de inercia para la placa plana descrita enel ejemplo3.7 son:0IIx2 4= ∫∫ y dA=D1532= =152y ∫∫ x dAD2 2∫∫ ( )I = x + y dA=D125UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.

Geraldine CisnerosEJEMPLO 3.14105Integrales Múltiples y Sus AplicacionesDetermine los momentos de inercia de la placa plana descrita enel ejemplo 3.8.Solución:La gráfica de la región Ddel ejemplo 3.8 seobserva a continuación:Cuya densidad vienendada por:ρ x,y = + xDonde( ) 1 2D= D1∪D2⎧( x,y)0≤ x ≤2∧ ⎫⎪⎪D1= ⎨ 3⎬2⎪ x − 6x+ 4≤ y≤− 2x+4⎪⎩ 2⎭⎧( x,y)2≤ x ≤4∧ ⎫⎪⎪D2= ⎨ 3⎬2⎪ x − 6x+ 4≤ y≤2x−4⎪⎩ 2⎭Calculando el momento de inercia respecto al eje x, se tiene:xx−( 1 2 ) ( 1 2 )2 4−2x4 2 42 23 2 3 20 x − 6x+ 4 2 x − 6x+42 2∫∫ ∫∫I = y + x dydx + y + x dydx3( 1+ 2x) ⎡( )⎛3⎞⎢ 4 2 ⎜ 6 4⎟3 ⎢⎣⎝2⎠3( 1 2x) ⎡3( )2 3 ⎤2Ix= ∫− x − x − x+ ⎥dx+0⎥⎦4 + 3 ⎛ 2 ⎞ ⎤+ ∫ ⎢ 2x −4 − x − 6x+4 dx2⎜⎟ ⎥3 ⎢⎣⎝2⎠ ⎥⎦712 2168 576Ix= + =35 35 7Calculando el momento inercia respecto al eje y se tiene:yx−( 1 2 ) ( 1 2 )2 4−2x4 2 42 23 2 3 20 x − 6x+ 4 2 x − 6x+42 2∫∫ ∫∫I = x + x dydx+ x + x dydxUC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.2⎛ 45 13 4 3⎞ ⎛ 5 29 4 3 2⎞Iy= ∫ 3x x 4x dx 3x x 8x 8x dx0⎜− + + ⎟ + − + − −2∫ 2⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ 2⎠128 3472 3856Iy= + =5 15 15El momento polar de inercia puede obtenerse como:02 4−2x4 2x−42 2 2 2∫∫3 ( )( 1 2 ) ( )( )2 ∫∫ 31 22I = x + y + x dydx+ x + y + x dydx0 x − 6x+ 4 2 x − 6x+42 2576 3856 35632O también como: I0= Ix+ Iy= + =7 15 1052576Ix= ∫∫ y ( 1+ 2x)dA=D723856Iy= ∫∫ x ( 1+ 2x)dA=D152 235632I0= ∫∫ ( x + y )( 1+ 2x)dA=D105

Geraldine Cisneros106Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones3.2 APLICACIONES DE LAS INTEGRALES TRIPLESLas aplicaciones de las integrales triples, son similares a lasaplicaciones de las dobles. Sus definiciones se obtienen a partirde la triple suma de Riemann; sin embargo a continuación sepresentan de una vez con la integral triple correspondiente paracada una de ellas. Las aplicaciones que se mencionan acontinuación son: volúmenes de sólidos en el espacio, masa,momentos estáticos, centros de masa y momentos de inercia decuerpos en el espacio.3.2.1. VOLUMEN DE UN SÓLIDO EN EL ESPACIOEn el capítulo 2 se definió la integral triple de una función f sobre∫∫∫una región tridimensional B , ( )B fx,y,z dV , como el límite den m l* * *una triple suma de Riemann , ∑∑∑ ( )Lim f x , y ,z Vi j k∆ijkP → 0i = 1 j = 1 k = 1. Si lafunción f es igual a la unidad; es decir, f ( x,y,z ) = 1, entonces, laintegral triple representa el volumen V del sólido B , resultando lasiguiente integral:V= ∫∫∫ dV(III.29)BVOLUMEN DE UN SÓLIDO EN EL ESPACIOSea B una región tridimensional, entonces su volumen,denotado como V , se obtiene comoV = ∫∫∫ dV(III.30)BUC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.

Geraldine CisnerosEJEMPLO 3.15107Integrales Múltiples y Sus AplicacionesDetermine el volumen del sólido B acotado por las superficies:x = 0 , y = x, y = 2 − x , z = 1 y2 2= 5 − − .z x ySolución:Para calcular el volumen del sólido B, se emplea la integral triple∫∫∫ dVB. En la siguiente gráfica se ilustra el sólido B acotado porlas superficies mencionadas en el ejemplo 3.15 y adicionalmentese señalan los valores que toma la variable z a la entrada y lasalida del recinto B.y=xValor de z ala salida de Bz= 5−x −y2 2By= 2 − xValor de z ala entrada de Bz =1Figura 3.23Sólido B del ejemplo 3.15Por lo tanto el volumen se obtiene como:V2 25−x−y= ∫∫D∫ 1dzdADonde D es la proyección del sólido B sobre el plano xy. Dichaproyección se muestra en la figura 3.24.UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.

Geraldine Cisneros108Integrales Múltiples y Sus AplicacionesLa región D del ejemplo3.15 es una región tipo 1 DValor de y ala salida de Dy= 2 − xValor de y ala entrada de Dy=xFigura 3.24Proyección del sólido B del ejemplo 3.15 en el plano xyEntonces la región D, está definida como:{( ) 0 1 2 }D = x,y ≤ x≤ ∧ x≤ y≤ − xLuego:2 21 2−x 5−x −y 1 2−x∫∫ ∫ ∫∫0 x 1 0x2 2( 4 )V = dzdydx = − x − y dydx⎛16 8 ⎞ 8= ∫ + − − =⎝ 3 3 ⎠ 313 2V x 4x 4x dx0⎜⎟V∫∫∫= dV =B83EJEMPLO 3.16Determine el volumen del sólido B acotado por las superficies:y = 4 ,y2= x , 0z = y z = 4 − y .Solución:El cálculo de volumen del sólido B, se realiza por medio de laintegral triple∫∫∫ dVBUC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.. En la figura 3.25 se ilustra el sólido B deeste ejemplo. Adicionalmente se muestran los valores de lavariable z a la entrada y la salida del recinto B.

Geraldine Cisneros109Integrales Múltiples y Sus AplicacionesValor de z ala salida de Bz= 4 − yBValor de z ala entrada de Bz = 0Figura 3.25Sólido B del ejemplo 3.16Por lo tanto el volumen se obtiene como:V= ∫∫ ∫D4−y0dzdADonde D es la proyección del sólido B sobre el plano xy. Estaproyección se observa en la figura 3.26.Valor de y ala salida de Dy = 4La región D del ejemplo3.16 es una región tipo 1DUC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.Valor de y ala entrada de D2y=xFigura 3.26Proyección del sólido B del ejemplo 3.16 en el plano xy

Geraldine Cisneros110Integrales Múltiples y Sus AplicacionesLa región D, del ejemplo 3.16 está definida como:Luego:{( ) 2 2 24 }D = x,y − ≤ x≤ ∧ x ≤ y≤⎛ x ⎞ 256= = − = − + =⎝ 2 ⎠ 1542 4 4−y2 4 22V ∫ dzdydx ( 4 y)dydx 8 4x dx2 2−2∫x∫0 ∫ ⎜ ⎟−2∫x∫ −2V∫∫∫= dV =B25615EJEMPLO 3.17Plantear mediante integrales triples el volumen comprendido entredos esferas concéntricas de radios 1 y 4.Solución:Sea B el sólido mencionado en el ejemplo 3.17. En la figura 3.27se ilustran las dos esferas concéntricas de radios 1 y 4.2 2 2x + y + z = 16La región tridimensionalcomprendida entre lasdos esferas concéntricases simétrica respecto alorigen, razón por la cual,dicha región se divide en8 partes correspondientesa cada cuadrante.B2 2 2x + y + z = 1Figura 3.27Sólido B del ejemplo 3.17UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.

Geraldine Cisneros111Integrales Múltiples y Sus AplicacionesA continuación se muestra la porción del sólido B que seencuentra en el primer octante, el cual se denomina como B 1 .También se muestran los valores de la variable z a la entrada y lasalida del recinto B 1 .Valor de z ala salida de B 1z= 16 −x −y2 2Valor de z ala salida de B 1z = 16 −x −y2 2B 1Valor de z ala entrada de B 1z = 0Valor de z ala entrada de B 1z = 1−x −y2 2Figura 3.28Sólido B1del ejemplo 3.17Entonces:∫∫∫B∫∫∫ B1V = dV = 8 dVD 1Como el valor de la variable z cambia a la entrada del sólido B 1 ,entonces se debe emplear la propiedad aditiva respecto a laregión de integración, por lo cual:D 2Figura 3.29Proyección del sólido B 1sobre el plano xy2 2 2 2⎡ 16−x −y 16−x −y⎤V = 8∫∫∫ dV = 8dzdA dzdA2 2B ⎢∫∫ 1 D ∫ +1 0 ∫∫D ∫2 1−x −y⎥⎣⎦Donde D 1 y D 2 son las regiones bidimensionales que se obtienenal proyectar el sólido B 1 sobre el plano xy. En la figura 3.29 seaprecia dicha proyección.UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.

Geraldine CisnerosLa región bidimensionalD 1 se divide en dosregiones tipo 1; es decir:D1 = D1.1∪D1.2Valor de y ala salida de D 1.1y= 16 − x2x =1112Integrales Múltiples y Sus AplicacionesValor de y ala salida de D 1.2y= 16 − x2D 1.1D 1.2Valor de y ala entrada de D 1.1y= 1−x2Figura 3.30Valor de y ala entrada de D 1.2y = 0Región D1del ejemplo 3.17Entonces, la región D 1 viene dada por la unión de las regiones:11 .2 2{( ) 0 1 1 16 }2.= {( ) 1≤ ≤4 ∧ 0≤ ≤ 16−}D = x,y ≤ x ≤ ∧ −x ≤ y ≤ −xD x,y x y x12Valor de y ala salida de D 2y= 1−x2La región bidimensionalD 2 es una región tipo 1.D 2Figura 3.31Valor de y ala entrada de D 2y = 0Región D2del ejemplo 3.17UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.

Geraldine Cisneros113Integrales Múltiples y Sus AplicacionesCon base a la figura 3.31, se tiene que:Resolver estas integraleses un proceso bastantelaborioso; sin embargocon un softwarematemático se puedeobtener que el volumenplanteado en el ejemplo3.17 es:V = 8( 32.98672287){( )}2D2 = x,y 0≤ x ≤1 ∧ 0≤ y ≤ 1−xPor lo tanto, las integrales triples que permiten calcular el volumencomprendido entre dos esferas concéntricas de radios 1 y 4 son:2 2 2 2 2 21 16−x 16−x −y 4 16−x 16−x −yV = 8 dzdydx + 8dzdydx ++ 8∫∫ ∫ ∫∫ ∫20 1−x 0 1 0 02 2 21 1−x 16−x −y∫∫∫2 20 0 1−x−ydzdydx3.2.2. MASA DE UN SÓLIDO EN EL ESPACIOConsidere una región tridimesional B , no homogénea, esto es quesu densidad ρ varía en cada punto ( x,y,z)∈ B, donde la funcióndensidad está expresada en unidades de masa por unidad devolumen, entonces la masa se obtiene como la integral triple de lafunción densidad sobre la región B, tal como se define acontinuación:MASA DE UN SÓLIDO EN EL ESPACIOConsidere un cuerpo tridimensional B de densidad variableρ ( x,y,z), entonces su masa, denotada m , se obtiene como:B( , , )m= ∫∫∫ ρ x y z dV(III.31)UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.

Geraldine CisnerosEJEMPLO 3.18114Integrales Múltiples y Sus AplicacionesCalcular la masa del sólido comprendido entre los planos: z = 0 yz = 1− y y dentro de la superficie definida por la ecuaciónx+ 4y= 4, cuya densidad viene dada por ρ ( x, yz , ) = 2z2 2Solución:El sólido B del ejemplo 3.18 se muestra en la figura 3.32, tambiénse muestran los valores que toma la variable z a la entrada y salidade la región B.Valor de z ala salida de Bz= 1−yBValor de z ala entrada de Bz = 0Figura 3.32Sólido B del ejemplo 3.17Para calcular la masa del sólido mostrado en la figura anterior, seemplea la ecuación III.31, donde al sustituir el primer orden deintegración y la función densidad, se obtiene:m= ∫∫ ∫D1−y02zdzdAdonde D es la proyección del sólido B en el plano xy. Estaproyección, junto con el segundo orden de integración se ilustra enla figura 3.33UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.

Geraldine CisnerosLa gráfica de la ecuación:2 2x + 4y= 4Es una elipse horizontal.La región bidimensionalD del ejemplo 3.18 esuna región tipo 1 ytambién una región tipo2.D115Integrales Múltiples y Sus AplicacionesValor de y ala salida de D24 − xy =2Valor de y ala entrada de D24 − xy =−2Figura 3.33Región D del ejemplo 3.18La región D está definida como:⎧⎪4−x4−xD = ⎨( x,y)−2≤ x ≤2∧ − ≤ y ≤⎩⎪2 2Volviendo al cálculo de la masa:2 22 24−x4−x2 1−y22 2222 2( 1 )−2 4−x0 2 4−x−−−2 2∫ ∫ ∫ ∫ ∫m = zdzdydx = − y dydx⎫⎪⎬⎭⎪3 3⎡2 22 1 ⎛ ⎤4−x ⎞ ⎛ 4−x ⎞ 5πm = ⎢ 1 1⎥∫+ − − dx =−23⎢⎜ 2 ⎟ ⎜ 2 ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎥ 2⎣⎦5πm = ∫∫∫ 2zdV=B 2EJEMPLO 3.19Calcular la masa del sólido comprendido entre los paraboloidesz x y2 2= 4 + 4 y( )ρ x, yz , = x+ y+ z+ 1.z x y2 2= 8−4 − 4 , cuya densidad viene dada porUC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.

Geraldine Cisneros116Integrales Múltiples y Sus AplicacionesSolución:En la figura 3.34, se muestra el sólido B del ejemplo 3.19 y tambiénlos valores que toma la variable z a la entrada y salida de la regiónB, los cuales permiten establecer los límites para la primeraintegración parcial.Valor de z ala salida de Bz = 8−4x −4y2 2BFigura 3.34Valor de z ala entrada de B2 2z = 4x + 4ySólido B del ejemplo 3.19Por lo tanto, la masa se obtiene como:∫∫ ∫2 28−4x−4y2 2D 4x + 4y( 1)m = x+ y+ z+dzdAsiendo D la proyección del sólido B en el plano xy. Para determinarla ecuación de la curva que delimita a esta región D, es necesarioresolver el siguiente sistema:2 2⎧ z = 4x + 4y⎨⎩z = 8 − 4x − 4y2 2Sumando ambas ecuaciones se tiene que z = 4UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.

Geraldine Cisneros117Integrales Múltiples y Sus AplicacionesSustituyendo el valor de z en la primera ecuación del sistema, seRecuerde que la gráficade la ecuación:2 2x + y = 1Es una circunferencia.obtiene la ecuaciónx+ y = 1.2 2Valor de y ala salida de Dy= 1−x2La región D del ejemplo3.19 puede clasificarsecomo una región tipo 1 ytambién como una regióntipo 2.DFigura 3.35Región D del ejemplo 3.19La región D queda definida como:{( ) 1 1 1 2 1 2}D= x,y − ≤ x≤ ∧ − −x ≤ y ≤ − xLuego, la masa se obtiene mediante la integral triple21 1−x∫∫2−1 − 1−x2 2 21 1−x 8−4x −4y∫∫ ∫2 2 2−1 − 1− x 4x + 4yValor de y ala entrada de D2y= − 1−x( 1)m = x + y + z + dzdydx3 2 2 2 2 3( 40 8 40 8 8 8 8 40 8 )m = − x − x + x − xy − x y + y − y − y dydx⎛160 32 160 32⎝ 3 3 3 312 2 2 2 3 2m= ∫ 1− x + x 1−x − x 1−x − x 1− x dx=20π−1⎜⎟⎞⎠∫∫∫( )m= x+ y+ z+ 1 dV = 20πBUC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.

Geraldine Cisneros118Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones3.2.3. MOMENTOS ESTÁTICOSEl momento estático de una región B tridimensional respecto a losplanos coordenados xy, yz y xz, se definen de la siguiente manera:MOMENTOS ESTÁTICOS DE UN SÓLIDO EN EL ESPACIOSea B un recinto del espacio, tal que su densidad viene dadapor la funciónρ :3 → , la cual es continua ( x,y,z)∀ ∈ B,entonces los momentos estáticos alrededor de los planos xy,yz y xz, denotados M xy, Myzy M xz, respectivamente, seobtienen a partir de las siguientes expresiones:xyB( , , )M = ∫∫∫ zρx y z dV (III.32)yzB( , , )M = ∫∫∫ xρx y z dV (III.33)( , , )M = ∫∫∫ yρx y z dV (III.34)xzBEJEMPLO 3.20Calcular los momentos estáticos alrededor de los planoscoordenados para el sólido descrito en el ejemplo 3.18.Solución:El sólido B del ejemplo 3.18 se definió como:⎧2 2⎪4−x4−x⎫⎪B = ⎨( x,y,z)−2≤ x ≤2 ∧ − ≤ y ≤ ∧ 0≤ z ≤1−y⎬⎪⎩2 2⎪⎭Calculando los momentos estáticos por medio de las ecuaciones:III.32, III.33 y III.34, se tiene:UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.

Geraldine Cisneros119Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones2 24−x4−x2 1−y22 22 ( 2 )2−2 4−x0 −24−x−−2 2( − y)21Mxy= ∫ ∫ ∫ z z dzdydx = ∫ ∫dydx3Respecto al plano yz:yz⎡2 1( ) 3 ⎤ 7π= − + − =⎣3 6 ⎦ 322 2 2Mxy∫ 4 x 4 x dx−2⎢⎥2 24−x4−x2 1−y2 22 22 ( 2 ) 2 ( 1 )−2 4−x0 −24−x−−2 2∫ ∫ ∫ ∫ ∫M = x z dzdydx = x − y dydx2 ⎡ 1( ) 3 ⎤Myz= ∫ x − x + x − x dx=−2⎢⎣ 12 ⎥⎦Y finalmente, respecto al plano xz:xz2 2 24 4 02 24−x4−x2 1−y22 222( 2 )2( 1 )−2 4−x0 −24−x−−2 2∫ ∫ ∫ ∫ ∫M = y z dzdydx = y − y dydx⎡1 46( ) 322 2Mxz= ∫ − − x dx=−π−2⎢⎥⎣7πMxy= ∫∫∫ z( 2z)dV =B3( )M = x 2z dV = 0yzxz∫∫∫∫∫∫BB( 2 )M = y z dV =−π⎤⎦3EJEMPLO 3.21Calcular los momentos estáticos alrededor de los planoscoordenados para el sólido descrito en el ejemplo 3.19.Solución:El sólido B del ejemplo 3.19 está definido como:{( ) 1 1 1 2 1 2 4 2 4 2 8 4 2 4 2}B = x,y,z − ≤ x ≤ ∧− −x ≤ y ≤ −x ∧ x + y ≤ z≤ − x − yUC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.

Geraldine Cisneros120Integrales Múltiples y Sus AplicacionesCalculando el momento estático respecto al plano xy:xy2 2 21 1−x 8−4x −4y∫∫∫2 2 2−1 − 1− x 4x + 4y( 1)M = z x + y + z + dzdydx2M 32 1 1−x4 2 2 2 2 4 2 2xy=−2 ( 4 8 8 3 8 3 4 19)( 1)3∫∫ x − x + x y + x − y + y + y + x + y − dx−1 − 1−x12 ⎛8832 128 34688 2 128 3 4096 4 4096 6⎞272πMxy= ∫ 1− x x x x x x−1⎜ + − − + − ⎟=⎝ 35 3 105 3 35 105 ⎠ 3Respecto al plano yz:yz2 2 21 1−x 8−4x −4y∫∫∫2 2 2−1 − 1− x 4x + 4y( 1)M = x x + y + z + dzdydx21 1−x2−1 − 1−x2 2( )( )M =− 8 x x + 5 + y x + y − 1 dxyz∫∫12 ⎛160 32 2 160 3 32 4⎞2πMyz= ∫ 1− x x x x x−1⎜ + − − ⎟=⎝ 3 3 3 3 ⎠ 3Respecto al plano xz:xz2 2 21 1−x 8−4x −4y∫∫∫2 2 2−1 − 1− x 4x + 4y( 1)M = y x + y + z + dzdydx21 1−x2−1 − 1−x2 2( )( )M =− 8 y x + 5 + y x + y − 1 dxxz∫∫21 32 1−x2 4 2πMxz= ∫ ( 1− 2x + x ) =−115 3Entonces, para el sólido del ejemplo 3.19 se tiene:272πMxy= ∫∫∫ z( x+ y+ z+ 1)dV =B32πMyz= ∫∫∫ x( x+ y+ z+ 1)dV =B32πMxz= ∫∫∫ y( x+ y+ z+ 1)dV =B3UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.

Geraldine Cisneros121Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones3.2.4. CENTRO DE MASAA continuación se define el centro de masa para un sólidotridimensional como un punto P( x,y,z ) , donde las coordenadasde este punto se obtienen de las ecuaciones:M yzx = (III.35)mM xzy = (III.36)mzM xy= (III.37)mEntonces:CENTRO DE MASA DE UN SÓLIDO DEL ESPACIOSea B un recinto del espacio, tal que su densidad viene dadapor la funciónρ :3 → , la cual es continua ( x,y,z)∀ ∈ B,entonces el centro de masa es un punto P( x,y,z ), donde suscoordenadas son:1x = xρ( x, y,z)dVm∫∫∫ (III.38)B1y = yρ( x, y,z)dVm∫∫∫ B(III.39)1z = zρ( x, y,z)dVm∫∫∫ B(III.40)Donde m es la masa del sólido B , que se obtiene comoB( , , )m= ∫∫∫ ρ x y z dV .UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.

Geraldine CisnerosEJEMPLO 3.22122Integrales Múltiples y Sus AplicacionesDetermine las coordenadas del centro de masa del sólido Bdescrito en el ejemplo 3.18.Solución:Para el ejemplo 3.18 seobtuvo:5πm = ∫∫∫ 2zdV=B 27πMxy= ∫∫∫ z z dV =B3M = x 2z dV = 0yzxz∫∫∫B∫∫∫B( 2 )( )( 2 )M = y z dV =−πLas coordenadas del centro de masa del sólido B se obtienenempleando las ecuaciones III.38, III.39 y III.40; sin embargo,como en el ejemplo 3.20 se calcularon los momentos estáticosalrededor de los planos coordenados, a continuación se utilizan lasecuaciones III.35, III.36 y III.37:M yz0x = = = 0m 5π2M xz−π2y = = =−m 5π52z7πM 3 14=xy= =m 5π152Entonces:214P( x,y,z )⎛ ⎞= ⎜0, − , ⎟⎝ 515⎠⎛ 214⎞⎜0, − , ⎟⎝ 515⎠BFigura 3.36Centro de gravedad del sólido B del ejemplo 3.18UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.

Geraldine CisnerosEJEMPLO 3.23Para el ejemplo 3.19 seobtuvo:∫∫∫ ( )Bm= x+ y+ z+ 1 dV = 20π272πMxy=32πMyz=32πMxz=3123Integrales Múltiples y Sus AplicacionesDetermine las coordenadas del centro de gravedad del sólidodescrito en el ejemplo 3.19.Solución:Las coordenadas del centro de masa del sólido B, igual que en elejemplo anterior, se obtienen a partir de las ecuaciones III.35,III.36 y III.37:M2πyz 3 1x = = =m 20π302πM 3 1y = xz= =m 20π30zM272π3 68=xy= =m 20π15Entonces:⎛ 1 1 68⎞P( x,y,z ) = ⎜ , , ⎟⎝30 30 15 ⎠En la siguiente figura, se aprecia el centro de masa del sólido B.⎛ 1 1 68⎞⎜ , , ⎟⎝30 30 15 ⎠BFigura 3.37Centro de gravedad del sólido B del ejemplo 3.19UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.

Geraldine Cisneros124Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones3.2.5. MOMENTOS DE INERCIALos momentos de inercia del sólido B respecto a los planoscoordenados, se obtienen como sigue:MOMENTOS DE INERCIA DE FIGURAS PLANASSea B un recinto del espacio, tal que su densidad viene dadapor la funciónρ :3 → , la cual es continua ( x,y,z)∀ ∈ B,entonces los momentos de inercia alrededor de los ejescoordenados, denotados Ix, Iye Izse obtienen a partir de:B2 2( ) ρ ( , , )Ix= ∫∫∫ y + z x y z dV (III.41)B2 2( ) ρ ( , , )Iy= ∫∫∫ x + z x y z dV (III.42)B2 2( ) ρ ( , , )Iz= ∫∫∫ x + y x y z dV (III.43)El momento polar de inercia, I0, es:2 2 2( ) ρ ( )I0 = ∫∫∫ x + y + z x, y,z dV (III.44)BEJEMPLO 3.24Calcular los momentos de inercia alrededor de los ejescoordenados y respecto al origen para el sólido descrito en elejemplo 3.18.Solución:El sólido B mencionado está definido como:⎧2 2⎪4−x4−x⎫⎪B = ⎨( x,y,z)−2≤ x ≤2 ∧ − ≤ y ≤ ∧ 0≤ z ≤1−y⎬⎪⎩2 2⎪⎭Calculando los momentos estáticos por medio de las ecuaciones:III.41, III.42 y III.43, se tiene:UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.

Geraldine Cisneros125Integrales Múltiples y Sus Aplicacionesx24−x2 1−y22−2 4−x0−2∫ ∫ ∫2 2( )( 2 )I = y + z z dzdydx24−x22⎡1 4 2 22( ) ( )2 4 x1 1− − ⎢− ⎣22⎤Ix= ∫ ∫ − y + y − y⎥dydx⎦25 3⎡1 2 3 2 2 1 2 2⎤27πIx= ∫ 4 x ( 4 x ) ( 4 x ) dx−2⎢− + − + − =⎣2 160 3 ⎥⎦ 8Respecto al eje y:y24−x2 1−y22−2 4−x0−2∫ ∫ ∫2 2( )( 2 )I = x + z z dzdydx24−x22⎡1 4 2 22( ) ( )2 4 x1 1− − ⎢− ⎣22⎤Iy= ∫ ∫ − y + x − y⎥dydx⎦5( x2 ) 2( x2) ( )⎡2 4− 3+ ⎤32 22 ⎛1 2⎞119πIy= ⎢4 x 4 x x ⎥∫+ − + − + dx=−2⎢⎜ ⎟160 12 ⎝2 ⎠⎥24⎢⎣⎥⎦Respecto al eje z:z2 24−x4−x2 1 2 2− y2 2 2 2 2 2∫ ∫ 2 ( )( 2 )2 ( )( 1 )4−x∫ ∫ ∫ 4−xI = x + y z dzdydx = y + x − y dydx−2 0 −2−−2 225 3⎡ 1 2 2 1 2 2 2 2 2⎤37πIz= ∫ ( 4 x ) ( 1 x )( 4 x ) x 4 x dx−2⎢− + + − + − =⎣80 12 ⎥⎦ 12Finalmente, el momento polar de inercia:024−x2 1−y22−2 4−x0−2∫ ∫ ∫2 2 2( )( 2 )I = x + y + z z dzdydx24−x22⎡1 4 2 222( ) ( )( )2 4 x1 1− − ⎢− ⎣22I y y x y ⎤dydx0= ∫ ∫ − + + −⎥⎦UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.

Geraldine Cisneros126Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones( 2 5) ( 2) ( )⎡2 34− x 2 4+ x⎤322 2 4−x 2 2 137πI0= ⎢4 x x 4 x ⎥∫+ − + + − dx=−2⎢ 160 12 2 ⎥ 24⎢⎣⎥⎦2 2 27πIx= ∫∫∫ ( y + z )( 2z)dV =B82 2 119πIy= ∫∫∫ ( x + z )( 2z)dV =B242 2 2 37πIz= ∫∫∫ ( x + y + z )( 2z)dV =B122 2 2 137πI0= ∫∫∫ ( x + y + z )( 2z)dV =B24EJEMPLO 3.25Calcular los momentos de inercia alrededor de los ejescoordenados para el sólido descrito en el ejemplo 3.19.Solución:Para resolver las integralesque permiten calcular losmomentos de inerciapedidos en el ejemplo 3.25se ilustra sólo el segundomomento respecto al eje x.Los demás resultadosfueron calculados con unsoftware matemático.El sólido B del ejemplo 3.19 está definido como:{( ) 1 1 1 2 1 2 4 2 4 2 8 4 2 4 2}B = x,y,z − ≤ x ≤ ∧− −x ≤ y ≤ −x ∧ x + y ≤ z ≤ − x − yCalculando los momentos de inercia:x2 2 21 1−x 8−4x −4y∫∫ ∫2 2 2−1 − 1− x 4x + 4y2 2( )( 1)I = y + z x+ y+ z+dzdydx8Ix=− x + y − x + y + x + y +321 1−x2 2 5 5 4∫∫ ( 1) ⎡16( ) 16 ( 13 )2−1 − 1−x⎣3 2 2 2 3 432x ( y 1) 32x ( 13y y y 13) 16x( 3 y )2 3 2y ( 29x 401) y( 64 208y 29y ) 448]dydx+ − + + − − + + ++ − − + + − +UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.

Geraldine Cisneros127Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones1−xI x x x105212 3x= ∫ ( 143968 + 22240 −251584 − 30656 +−1+ 160864 + 12512 −53248 −40964 5 6 7x x x x dx)Ix= 462πLos momentos de inercia respecto a los ejes coordenados y alorigen para el sólido del ejemplo 3.19, se muestran a continuación:(2 2)( )(2 2)( )I = y + z x+ y+ z+ 1 dV = 462πxBI = x + z x+ y+ z+ 1 dV = 462πy∫∫∫∫∫∫B2 2 220πIz= ∫∫∫ ( x + y + z )( x+ y+ z+ 1)dV =B32 2 21396πI0= ∫∫∫ ( x + y + z )( x+ y+ z+ 1)dV =B3UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.