dyads.

Diadas y diádicasA. Zozaya13 de febrero de 2008ÍndiceÍndice 11. Introducción 12. Algunas propiedades intrínsecas de las diadas 23. Aplicaciones 23.1. Caso 1: Ecuación Integral del Campo Eléctrico, 3.—3.2. Caso 2: Ecuación Integral delVector de Polarización, 4.1. IntroducciónUna diada (a dyad) consiste en la yuxtaposición de dos vectores, dígase AB. La diadaAB se lee «vector A veces el vector B» y es, a su vez, una suerte de producto externodenominado producto diádico. El resultado de este producto, que es la misma diada,se puede expresar de dos maneras diferentes:Primera forma: en forma de diádica, o de la suma que resulta de multiplicar directamentelas componentes de los vectores entre si, como si se tratara de polinomios. En esta sumaaparecen otras diadas en las que participa la base vectorial que barre el subespacioal que pertenecen los vectores originales. Ejemplo: sean A = a 1 e 1 + a 2 e 2 + a 3 e 3 yB = b 1 e 1 + b 2 e 2 + b 3 e 3 , la diada o producto diádico AB (que también se escribeA ⊗ B) viene resuelto en forma de diádica comoAB = (a 1 e 1 + a 2 e 2 + a 3 e 3 )(b 1 e 1 + b 2 e 2 + b 3 e 3 )= a 1 b 1 e 1 e 1 + a 1 b 2 e 1 e 2 + a 1 b 3 e 1 e 3 + a 2 b 1 e 2 e 1 + · · · + a 3 b 3 e 3 e 3donde e 1 , e 2 y e 3 son vectores unitarios y las diadas e 1 e 1 , e 1 e 2 , e 1 e 3 , etc., se denominandiadas unitarias. La diádica ∇r = e 1 e 1 + e 2 e 2 + e 3 e 3 se conoce, a su vez, comodiádica unitaria, y se suele designar como I.Segunda forma: en forma matricial (tensorial) en la que las componentes escalares queacompañan a las diadas unitarias de la diádica se ordenan en una matriz 3 × 3. Estamatriz se puede obtener, arreglando en un vector columna las componentes del vector1

y∇(A · B) = (∇A) · B + (∇B) · A (2)en el entendido de que los productos diádicos tiene prioridad sobre los productos escalares.A continuación se muestran dos casos donde el uso de las diadas permite obtener expresionesmenos extensas.3.1. Caso 1: Ecuación Integral del Campo EléctricoLa Ecuación Integral del Campo Eléctrico se obtiene imponiendo que la componentetangencial del campo eléctrico en la superficie de un conductor (perfecto) es nula: a n ×E = 0.Si pensamos en E como hecho de dos partes: E = E i + E s , donde E i es el campo impresoo incidente y E s el campo disperso, y ya que el campo disperso, invocando el Teorema de laUnicidad y el Principio de Equivalencia, se puede expresar como:∫donde A = µ4πJ(r ′ )G(r, r ′ ) dν ′ , resulta:V ′a n × µ ∫jωJ(r ′ )G(r, r ′ ) +4π V ′resolviendo ∇ · [J(r ′ )G(r, r ′ )]:E s = −jωA + 1 ∇(∇ · A)jωµεjωµε ∇{∇ · [J(r′ )G(r, r ′ )]} dν ′ = a n × E i∇ · [J(r ′ )G(r, r ′ )] = G(r, r ′ ) ∇ · J(r ′ ) +J(r ′ ) · ∇G(r, r ′ )} {{ }0= J(r ′ ) · ∇G(r, r ′ )resolviendo ahora ∇[J(r ′ ) · ∇G(r, r ′ )] –usando la Ec. (2)–:y∇[J(r ′ ) · ∇G(r, r ′ )] = ∇J(r ′ ) ·∇G(r, r ′ ) + ∇∇G(r, r ′ ) · J(r ′ )} {{ }0= ∇∇G(r, r ′ ) · J(r ′ )a n × jωµ4π∫J(r ′ )G(r, r ′ ) + 1V κ ∇∇G(r, ′ 2 r′ ) · J(r ′ ) dν ′ = a n × E ia n × jωµ ∫[I + 1 4π V κ ∇∇]G(r, ′ 2 r′ ) · J(r ′ ) dν ′ = a n × E icomo la diada ∇∇ es simétrica, ∇∇G(r, r ′ ) · J(r ′ ) se puede escribir también de la formaJ(r ′ ) · ∇∇G(r, r ′ )a n × jωµ ∫J(r ′ ) · [I + 1 4π V κ ∇∇]G(r, ′ 2 r′ ) dν ′ = a n × E i3