la teoría de las variables regionalizadas y sus aplicaciones

Los Cuadernos del Centro de Morfología Matemáticade FontainebleauFascículo 5LA TEORÍA DE LASVARIABLES REGIONALIZADASY SUS APLICACIONESPorGeorges MATHERON1970Traducido al español porMarco ALFARO2005

Propiedad del Centro de Geoestadística de la Escuela de Minas de París.Prohibida su venta.1

LA TEORIA DE LAS VARIABLES REGIONALIZADAS, Y SUS APLICACIONESTABLA DE MATERIAS:PREFACIO 3Capítulo 0 – INTRODUCCION. 70-1 Notaciones 70-2 Producto de convolución 80-3 Geoestadística y Teoría de las variables regionalizadas 90-4 Métodos transitivos y Teoría intrínseca 10Capítulo 1 – LOS METODOS TRANSITIVOS. 141-1 Ejemplo introductorio 141-2 El covariograma transitivo 161-3 Regularización y subida 191-4 La estimación de las variables regionalizadas 241-5 Ejercicios sobre los métodos transitivos 44Capítulo 2 – LAS FUNCIONES ALEATORIAS INTRINSECAS. 502-1 Definiciones generales 502-2 Propiedades de la covarianza y del variograma 532-3 Regularización de una F.A.I. 592-4 Varianzas de extensión y de estimación 632-5 Métodos de aproximación en R 1 682-6 Métodos de aproximación en R n 722-7 El efecto de pepita 752-8 El esquema esférico 772-9 Inferencia estadística y cuasi-estacionaridad 812-10 Ejercicios sobre las F.A.I. 86Capítulo 3 – EL KRIGEADO. 993-1 Los objetivos del krigeado 993-2 Notaciones 1023-3 F.A. estacionaria de esperanza nula o conocida 1043-4 F.A. estacionaria de esperanza desconocida 1063-5 Caso de una F.A.I. sin covarianza 1113-6 Ejercicios sobre el krigeado 112Capítulo 4 – EL KRIGEADO UNIVERSAL. 1214-1 Introducción 121BIBLIOGRAFIA. 1262

PREFACIOEste texto es la redacción del curso que impartí en 1970 en la Escuela deVerano de Fontainebleau. Es el fruto de varios años de reflexión acercadel carácter ambiguo de la operación que consiste en interpretar entérminos probabilísticos un fenómeno natural único pero parcialmentedesconocido, y, sobre el problema difícil de la investigación de lascondiciones de posibilidad de la inferencia estadística a partir de unarealización única de una función aleatoria no estacionaria. He puestoentonces el acento en los problemas metodológicos más que sobre elaspecto matemático de la teoría. Del punto de vista de las aplicacionesprácticas, los resultados útiles son aquellos proporcionados en elFascículo 2 de estos Cuadernos (“Cours de Géostatistique”, con laexcepción del krigeado universal), pero presentados bajo una nueva luz.La solución del problema metodológico mencionado consiste en introduciruna hipótesis de cuasi-estacionaridad, lo suficientemente débil para sersiempre físicamente plausible. El acercamiento de los capítulos 1(métodos transitivos) y 2 (teoría de las funciones aleatoriasintrínsecas) muestra que el problema de la inferencia estadística tieneentonces solución (y luego la teoría operativa), en lo que respecta laestimación global de una variable regionalizada. El capítulo 4 consagradoal krigeado universal conduce a una conclusión análoga respecto delproblema de la estimación local. No he presentado el krigeado universalen términos de espacios de Hilbert, para evitar cualquier dificultadmatemática y concentrar toda la atención en los problemas metodológicos.Entonces hay que referirse al Fascículo 1 de estos Cuadernos para lademostración de ciertos resultados (principalmente los teoremas deexistencia y de unicidad). He examinado la noción capital de deriva apartir de puntos de vista muy diferentes (deriva funcional, derivaaleatoria, máxima verosimilitud, teoría de interpoladores) que muestranel carácter ambiguo, o al menos ligado estrechamente a consideraciones deescala – y he demostrado que estos puntos de vista aparentementeopuestos conducen a conclusiones convergentes: lo cual nos proporcionaconfianza en el plano metodológico.Una palabra acerca de los ejercicios propuestos al final de cadacapítulo, y de los cuales la mayor parte fueron tratados en la Escuela deVerano de 1970. Algunos de ellos son ejercicios simples destinados afamiliarizar al lector con el manejo real de una teoría un pocoabstracta. Otros son verdaderos complementos al curso mismo, y aportanresultados nuevos en los cuales algunos tienen una importanciametodológica fundamental. Para cada uno de ellos proporciono la solución,el camino a seguir para llegar al resultado, y las conclusionesmetodológicas que conviene sacar. Espero haber dicho bastante paraconvencer al lector la necesidad de hacer efectivamente estos ejercicios.G. MATHERON3

PREFACIO DEL TRADUCTORHe decidido pasar a formato electrónico la traducción “caligráfica” quehabía realizado hace algunos años del Fascículo 5, “La Théorie desVariables Régionalisées, et ses Applications” del Maestro GeorgesMatheron, publicada en 1970, a mi juicio, uno de los mejores libros deGeoestadística. En conversaciones con G. Matheron traté de convencerloacerca de la conveniencia de editar el Fascículo 6, a la luz de losadelantos de los medios de cálculo, y, también como una etapa para llegara su última obra “Estimating and Choosing. An Essay on Probability inPractice”, Springer Verlag, 1989; lamentablemente no fué posible editarel Fascículo 6...Además de rendirle un homenaje de reconocimiento y de afecto al creadorde la Geoestadística, con la satisfacción de haber sido su Secretario enla efímera Asociación Internacional de Geoestadística, el propósito deesta publicación es doble: por una parte servirá de ayuda y complementopara los estudiantes de minas, de geología y los profesionalesinteresados en la estimación de recursos mineros, por otra parte, comouna referencia para mostrar que ciertos conceptos y el uso de algunasherramientas han sido desvirtuados con el correr de los años. La varianzade estimación, noción capital en todo el libro, constituye un excelenteejemplo.La traducción es casi textual pero he omitido – en lo cual G. Matheronestaba de acuerdo - la presentación del modelo de De Wijs y los ábacos delos modelos de variograma. La palabra “semivariograma” es reemplazadasiempre por “variograma”. En vez del anglicismo “kriging” he preferidotraducir “krigeage” por la palabra correcta en español “krigeado” o“krigeaje” (se prefiere krigeado porque krigeaje no suena bien enespañol). El krigeado universal solo se presenta como una introducción.Respecto de los ejercicios, los resolví casi todos en mi publicación(también caligráfica) “Ejercicios sobre las Variables Regionalizadas”,Departamento de Minas de la Universidad de Chile, 1972.El avance de los medios de cálculo ha sido importante, como muestra esteejemplo: se me ocurrió “vectorizar” la figura donde aparece la varianzade estimación de superficies por una malla de reconocimiento cuadrada delado a, con presencia de Zitterbewegung (fenómeno de micro-oscilacionesdescubierto por E. Schrödinger en el marco de la mecánica cuántica,¡también presente en problemas geológicos!) para lo cual tuve queconstruír un programa computacional para realizar nuevamente loscálculos. Comprobé que la figura de G. Matheron (que data de los años 60y aparece por última vez en Estimating and Choosing, en 1989) norepresenta bien este fenómeno pre-aleatorio (ver figura A-1), en efecto,tal como muestra un acercamiento (ver figura A-2), el fenómeno es muchomás complicado que lo que se creía, sobre todo cuando la malla a tiende a0. En el texto incluí entonces una nueva figura.4

Figura A-1: Zitterwebegung en la estimación de la superficie de uncírculo de diámetro unidad por una malla cuadrada a (según G. Matheron).En abscisa la malla a. En ordenada, la varianza de estimacióncorrespondiente.Figura A-2: Acercamiento de la figura A-1 y nuevo cálculo de la varianzade estimación de superficies.5

El nivel matemático de la obra es difícil, recomiendo entonces, comotexto de apoyo el excelente libro en español “Teoría de la Probabilidad”de B. Gnedenko (estoy seguro que G. Matheron estaría de acuerdo),Editorial MIR, Moscú 1979 (difícil de encontrar ahora, quizás unaalternativa es la versión en inglés de la Editorial Chelsea, 1967).Existen otros manuscritos que he realizado, que iré poco a poco pasando aformato electrónico, poniéndolos a disposición de la comunidad minera.M. ALFARO6

0 – INTRODUCCION0-1 NOTACIONESDesignaremos por x, y, ... puntos del espacio de n dimensiones (n = 1, 2o 3), por dx, dy, ... elementos de longitud (n = 1), de superficie (n =2) o de volúmenes (n = 3), centrados en los mismos puntos, por f(x), g(y)etc., ... funciones de estos puntos.La integral (extendida a todo el espacio) de una función f(x) se escribe:∫ f ( xdx )Por ejemplo, para n = 3 dimensiones, y, designando por (x 1 , x 2 , x 3 ) lastres coordenadas del punto x, esta notación se explicita de la manerasiguiente:+∞ +∞ +∞∫ ∫ ∫ ∫f ( xdx ) = dx dx f( x, x, x)dxdxdx1 2 1 2 3 1 2 3−∞ −∞ −∞De la misma manera, escribiremos ∫ f ( xdx ) para la integral de la funciónf(x) sobre un dominio A del espacio de n dimensiones.APara n = 2, si A es el rectángulo de la figura, se tiene, de maneraexplícita:b1 b2∫ ∫ ∫f ( x) dx = dx f ( x , x ) dx dx1 1 2 1 2A a1 a2Estas notaciones son a la vez muy condensadas y muy parlantes: en unaprimera lectura se las puede interpretar en el espacio de una dimensión,donde su significación es, en general, muy clara. La generalización a losespacios de dos o tres dimensiones se hace así más fácil.Ejemplo: Sea V un volumen, y g(h) = g(h 1 , h 2 , h 3 ) una función del vectorh de coordenadas h 1 , h 2 , h 3 . Sean x = (x 1 , x 2 , x 3 ) e y = (y 1 , y 2 , y 3 ) elorigen y la extremidad del vector h, es decir h=y-x. El valor medio de lafunción g(h) cuando los dos puntos x e y recorren (cada uno a su manera)el volumen V, se escribe:7

12v∫ ∫vdx g( y − x)dyEn notación explícita, lo anterior se escribiría como:12v∫∫∫ ∫∫∫vvdx dx dx g( y −x ; y −x ; y −x ) dy dy dy1 2 3 1 1 2 2 3 3 1 2 3vLa primera notación es un símbolo, que describe directamente el concepto de valormedio; la segunda es un algoritmo que indica el camino a seguir para calcularesta cantidad, pero cuya significación no aparece a primera vista.0-2 PRODUCTO DE CONVOLUCION (media móvil)El producto de convolución de dos funciones f 1 (x) y f 2 (x) se define por:∫ ∫Se escribe, en notación simbólica:gx ( ) = f( yf ) ( x− ydy ) = f( yf ) ( x−ydy )1 2 2 1g = f1∗f2Esta operación de convolución juega un papel fundamental enGeoestadística (como también en probabilidades y en toda la físicateórica). La convolución se puede asociar con la noción intuitiva de“media móvil”:Regularizada de una función f (media móvil ponderada de la función)Sea p(y) una función de ponderación. El valor en el punto x 0 de la mediamóvil de la función f ponderada por p es:∫ ∫f x p y f x y dy p y f x y dy( ) p 0= ( ) ( ) ( ) ( )0+ = −0−(se atribuye el peso p(y)dy al valor tomado por f en el punto x 0 + y. Lasegunda expresión se obtiene al cambiar y por –y).Sea p la función transpuesta de la función p (por definición:p (x)=p(-x)). f p (x 0 ) es el valor en x 0 de f* p :8

fp= f ∗ pEsta media móvil f p de la función f (ponderada por p) se llamaregularizada (de f por p).Ejemplo 1 (toma de una muestra v en el punto x)Sea v la muestra implantada en el origen de coordenadas, y sea k(x) sufunción indicatriz (por definición k(x)=1 si x∈v y k(x)=0 si x∉v).Tomemos como función de ponderación p(x)=(1/v)k(x). La media móvilcorrespondiente:1fv= f ∗kvrepresenta la ley media de la muestra v tomada en el punto x. De maneraexplícita, se tiene:Ejemplo 2 (radiactividades)1fv( x) = f( x+y)dyv∫vSi en el origen 0 de coordenadas se pone una masa unitaria de unasustancia radiactiva, se observa a la distancia d una radiactividad iguala Ae -λd /d (A es una constante y λ es el coeficiente de absorción delmedio). Sea ahora f(x) la ley en el punto x de esta sustancia radiactiva.Designemos por d(x-x 0 ) la distancia entre dos puntos x y x 0 . La masaf(x)dx localizada en x genera en x 0 una radiactividad:d( x x0)Ae − λ −/ d( x − x0) f ( x)dxEn total, se observa en x la radiactividad:−λd( x−x0)eA∫f( x)dxd( x−x )0Esto no es otra cosa que el producto de convolución Af* (con una funciónp de ponderación p(x)= e -λd /d, la cual es además simétrica, es decir p = p )0-3 GEOSTADISTICA Y TEORIA DE LAS VARIABLES REGIONALIZADAS.La Geoestadística es la aplicación de la teoría de las variablesregionalizadas a la estimación de los depósitos mineros (con todas lasaproximaciones que esto implica). De manera general, diremos que unfenómeno es regionalizado cuando se desplaza en el espacio, manifestandouna cierta estructura. Las ciencias de la tierra, entre otras, nosproporcionan numerosos ejemplos. Si f(x) designa el valor en el punto xde una característica f de este fenómeno, diremos que f(x) es unavariable regionalizada, abreviado, una V.R. Se trata de un término9

neutro, descriptivo, anterior, en particular a toda interpretaciónprobabilística.Entonces, del punto de vista matemático, una V.R. es simplemente unafunción f(x) del punto x, pero es, en general, una función muy irregular:ejemplo: una ley en un depósito minero. Una variable regionalizada sepresenta bajo dos aspectos contradictorios (o complementarios):• un aspecto aleatorio (alta irregularidad, y variacionesimprevisibles de un punto a otro)• un aspecto estructurado (la V.R. debe sin embargo reflejar a sumanera las características estructurales de un fenómenoregionalizado)La teoría de las V.R. se propone entonces dos objetivos principales:• en el plano teórico, expresar estas características estructuralesen una forma matemática adecuada• en el plano práctico, resolver el problema de la estimación de unaV.R. a partir de un muestreo fragmentario.Estos dos objetivos están relacionados: para un mismo conjunto demuestras, el error de estimación depende de las característicasestructurales; este error, por ejemplo, es más grande cuando la V.R. esmás irregular y más discontinua en su variación espacial.Campo y Soporte de una V.R.El campo V de una V.R. es el dominio donde ésta es diferente de 0. Unpanel es un subconjunto V’ de V.Soporte – A menudo, no se conoce f(x), sino más bien su valor medio f v (x)dentro de la muestra v tomada en el punto x. Esta regularizada f v (x) esefectivamente más regular que la V.R. f(x). El volumen v se llama soportede la V.R. f v , regularizada de f. Otra tarea importante de la teoría delas variables regionalizadas consistirá entonces en determinar lascaracterísticas de f v conociendo las de f. Ejemplo: en un depósito,prever las características de los paneles V’(variable f V’ ), conociendo lascaracterísticas de f o de f v (muestras).Más generalmente, se buscará relacionar las características de f con lasde una regularizada f p dada (ejemplo de las radiactividades).0-4 METODOS TRANSITIVOS Y TEORIA INTRINSECA.Para alcanzar los objetivos disponemos de dos grupos de métodos:• métodos transitivos: absolutamente generales, en particular nonecesitan ninguna hipótesis de naturaleza probabilística, y, afortiori, ninguna hipótesis de estacionaridad.• teoría intrínseca: se trata de una aplicación de la teoría de lasfunciones aleatorias; entonces se introducen interpretacionesprobabilísticas, y además, una cierta hipótesis de estacionaridad(hipótesis intrínseca)10

Desde el punto de vista teórico, estos dos grupos de métodos conducen aresultados equivalentes, lo cual muestra que los resultados de la teoríaintrínseca no están, en realidad, ligados a la hipótesis deestacionaridad (por otra parte, se puede construir una teoríaprobabilística sin utilizar esta hipótesis, la cual permite encontrar losresultados principales de la Geoestadística).Encontramos aquí un problema metodológico que presenta una importanciacapital, tanto para la teoría como para el examen crítico de losresultados a los cuales conduce esta teoría. Es claro que el carácterambiguo, localmente errático, de nuestras V.R. invoca una interpretaciónprobabilística, y, de hecho, nuestro segundo grupo de métodos, invocaráde manera explícita la teoría de las funciones aleatorias. Pero ahora seplantean dos preguntas fundamentales, de las cuales la primera es lasiguiente:a/ ¿Cuál es la significación epistemológica 1 verdadera de la operaciónque consiste en considerar un fenómeno natural único (nuestra V.R.) comouna realización de una función aleatoria (es decir como el resultado deun experimento al azar efectuado en una población infinita de V.R.consideradas como “posibles”)?En verdad, una interpretación probabilística de este tipo es en sí mismauna conceptualización de la realidad (un modelo constitutivo) más que unahipótesis capaz de ser invalidada o confirmada experimentalmente. Estahipótesis se justifica solamente en la medida que ella permite captarmejor la realidad, y, resolver efectivamente problemas prácticosinsolubles de otra manera. Parece prudente entonces procurar, alcomienzo, de ver hasta donde es posible llegar sin recurrir a estainterpretación – veremos que es posible llegar bastante lejos. Asíaparece este primer grupo de métodos que llamaremos transitivos, en loscuales no interviene, en apariencia, ningún concepto probabilístico. Aquíla V.R. está caracterizada por su covariograma transitivo g(h), noprobabilístico, el cual resume las características estructuralesesenciales y permite – si se conoce g(h)– resolver completamente ciertosproblemas prácticos como el problema de la estimación.Si fuera efectivamente posible determinar este g(h) a partir de datosexperimentales fragmentarios, podríamos entonces quedarnos aquí, yeconomizar cualquier interpretación probabilística. Sin embargo, esto noes cierto, y un análisis más fino mostrará que es necesario introducir uncierto tipo de hipótesis relacionadas al comportamiento analítico de g(h)en una vecindad del origen, hipótesis cuya significación epistemológicaes exactamente la de un paso camuflado a la esperanza matemática.Entonces no es posible evitar la interpretación probabilística, y esmejor introducirla de manera explícita. Es aquí donde se plantea lasegunda pregunta fundamental:b/ Una vez admitida esta interpretación probabilística, ¿es posible lainferencia estadística a partir de una realización única? Dicho de otramanera, a partir del material experimental disponible (que es la mismaV.R., o un muestreo fragmentario de esta V.R. única) ¿es realmenteposible reconstituir, al menos en parte, la ley de probabilidad de la1Nota del T.: La epistemología estudia la naturaleza y validez delconocimiento; su propósito es distinguir la ciencia auténtica de laseudociencia, la investigación profunda de la superficial.11

función aleatoria hipotética de la cual nuestra V.R. sería unarealización?Con el propósito de responder afirmativamente a esta segunda pregunta, amenudo se introducen hipótesis, de tipo estacionaridad y ergodicidad,bastante más fuertes de lo que es realmente necesario: en muchasaplicaciones estas hipótesis son groseramente falsas (ejemplos: undepósito en el cual las leyes decrecen más o menos regularmente a partirde un corazón rico; la topografía submarina, en la cual las profundidadesaumentan cuando uno se aleja de las costas, etc. ...: se trata defenómenos manifiestamente no estacionarios. Frecuentemente, estashipótesis aparecen como inverificables. Debido a lo anterior, buscaremosconstantemente debilitar las hipótesis, hasta reducirlas a un mínimo a lavez indispensable y admisible. Más precisamente, reemplazaremos lapregunta b/ anterior por la siguiente:b’/ ¿Cuál es la característica probabilística mínima que necesitamosconocer para resolver un problema práctico dado (por ejemplo, el calculode una varianza de estimación) y cuál es la hipótesis mínima que hay queintroducir con el propósito de hacer posible la estimación de estacaracterística a partir de una realización única?Esta hipótesis mínima, suficientemente débil para ser casi siempre almenos físicamente admisible, consistirá en suponer que la funciónaleatoria es cuasi-intrínseca (es decir, asimilable, localmente, a unafunción aleatoria intrínseca), mientras que la característica mínima queserá a la vez necesaria y posible de estimar estará ligada esencialmenteal comportamiento en una vecindad del origen de un variograma o de unafunción de covarianza cuasi-estacionaria.La reducción del problema a sus características probabilísticas mínimaspermite comprender el éxito de los métodos transitivos (los cuales, unavez explícitamente probabilizados, no necesitan, evidentemente, ningunahipótesis de tipo estacionario) y también la equivalencia de susresultados con los de la teoría intrínseca. Esta reducción subraya ademásel interés capital que va a presentar para nosotros el comportamiento enuna vecindad del origen de un variograma o de un covariogramatransitivo. Del punto de vista práctico, finalmente, esta reducciónmuestra que muy a menudo es lícito aplicar, a fenómenos manifiestamenteno estacionarios, procedimientos de cálculo de los cuales se puede creer,al comienzo, que su legitimidad estaba ligada a alguna hipótesis deestacionaridad.En la práctica la teoría intrínseca es más fácil de construir, y es casisiempre la teoría que se utiliza, salvo el caso particular, muyimportante, de la estimación de una superficie o de un volumen (problemageométrico)Respecto de la bibliografía (ver referencias al término de esteFascículo), se encontrará en [4] la exposición completa de la teoría delas variables regionalizadas, y en [5], una exposición abreviada de estamisma teoría, además de un tratado completo de Geoestadística aplicada,conteniendo, en particular, el estudio de los problemas de optimizacióneconómica (el texto original en francés puede ser consultado en laBiblioteca de la Escuela de Minas de París). La tesis de J. Serraproporciona, por una parte una exposición general muy concreta (sin12

dificultades matemáticas), y por otra parte, un estudio detallado delesquema esférico. El antiguo tratado [3] está obsoleto en gran parte,salvo en lo relacionado con el esquema de De Wijs. La tesis de A. Carlier[1] estudia (solamente para el esquema de De Wijs) los problemasespeciales propuestos por los depósitos de substancias radiactivas. Losproblemas de optimización económica se tratan en dos artículos de losAnnales des Mines [8], lo más esencial figura en [5]. Finalmente, para elkrigeado universal se consultará [6].13

CAPITULO 1LOS METODOS TRANSITIVOS1-1 EJEMPLO INTRODUCTORIOConsideremos el fenómeno de “transición” más simple que se puedaimaginar: presencia o ausencia de una característica. Sea por ejemplo unaformación geológica de extensión limitada. Un sondaje perforado en elpunto x la intersecta o no la intersecta. Designemos por k(x) laindicatriz del conjunto S, es decir la función definida por:⎧1k( x)= ⎨⎩0si x ∈ Ssi x ∉ SSe trata de un fenómeno único, para el cual no es posible realizar unaformulación probabilística: hablar de la probabilidad de que un puntodado x pertenezca a S no tendría gran sentido. Se puede observar tambiénque todo el interés se concentra aquí en la frontera de S. En efecto,k(x) es constante tanto al interior como al exterior de S, solamente alpasar esta frontera k(x) varía, pasando de 1 a 0 o de 0 a 1. Esta es lajustificación del nombre de fenómeno de transición, y del nombre métodostransitivos.El área S de nuestra formación está dada, evidentemente, por:S = ∫ k( x)dxEl valor S constituye una información muy interesante desde el punto devista práctico: a menudo, se busca estimar este valor a partir de una redde sondajes. Sin embargo este parámetro no nos aporta ninguna informaciónde naturaleza realmente estructural. En efecto, se puede definir laestructura de un conjunto como el sistema de relaciones existentes entrelos elementos o las partes de este conjunto. Tendremos información denaturaleza estructural al hacer intervenir simultáneamente, al menos, dospuntos.Sean entonces dos puntos x y x+h (es decir el conjunto estructurante máspequeño que podamos imaginar. Consideremos entonces la expresiónk(x)k(x+h): vale 1 si x y x+h pertenecen los dos a S, y 0 en otro caso.14

Pero decir que x+h pertenece a S equivale a decir que x pertenece altrasladado S -h de S según la traslación –h. Se tiene entonces:⎧1kxkx ( ) ( + h)=⎨⎩0si x ∈S ∩Ssi x ∉S ∩S−h−hIntegremos en x esta expresión: obtenemos una función de h:∫Kh ( ) = kxkx ( ) ( + hdx ) = medidaS ( ∩S −h)que representa la medida (el área) de la intersección de S y de sutrasladado por –h. Esta función es simétrica, porque las dosintersecciones S∩S -h y S∩S h se deducen una de la otra por traslación. Estafunción K(h) es el covariograma geométrico asociado a S. La función K(h)proporciona una cierta imagen de la forma del conjunto S:Propiedades del covariograma geométrico K(h)a/ Simetría: K(h) = K(-h)Desigualdades:Relaciones:0 ≤ K(h) ≤ K(0)S = K(0)S2= ∫ K( h)dhb/ Alcances: el alcance a(α) en la dirección α es la distancia apartir de la cual K(h) se anula en esa dirección. Entonces es ladimensión más grande de S en esta dirección.c/ Pendiente en el origen (derivada a la derecha y a la izquierda)15

Si el módulo δr de h es pequeño, se tiene:Kh ( ) = K(0)− δ rD αδ rD αes la mitad de la superficie pequeña barrida por el vector δr cuyoorigen describe el contorno de S. Dα es la variación diametral de S en ladirección α (si S es convexo, Dα es el diámetro aparente en esadirección).A pesar de que existe una derivada K’ α (0)=-D α en cada dirección α, seobservará, cuidadosamente, que la función K(h), en si misma, no esderivable en h=0. El ejercicio 6 (al final de este capítulo) muestra comola formula de Minkowski permite relacionar las derivadas K’ α (0) en lasdiferentes direcciones α, al perímetro de S ( o a su superficie si nosponemos en el espacio de 3 dimensiones). Estas relaciones son muy útilesen Morfología Matemática.1-2 EL COVARIOGRAMA TRANSITIVOSea f(x) una V.R. nula fuera de un campo V acotado. El covariogramatransitivo de esta V.R. es la función g(h) definida por:(1-1) gh ( ) = f( x) f( x+hdx )Propiedades del covariograma transitivo g(h)a/ Simetría: g(h)=g(-h)desigualdad: ( ) ≤ (0) =∫ [ ( )] 2∫gh g f x dxSea Q= ∫ f( x)dx la cantidad de metal, se tiene:(1-2)Q2= ∫ g( h)dh(para demostrar (2), reemplazar g por su expresión (1), e integrar en h)b/ Alcance: a(α) se define por la condición g(h)=0 cuando h>a(α) para elvector h de dirección α: es una propiedad del campo de la V.R.c/ Comportamiento de g(h) en una vecindad del origen. La regularidad deg(h) en una vecindad del origen refleja las propiedades de continuidad dela V.R. en su variación espacial. Lo anterior resulta de:g(0) − g( h) = 1 [ f( x+ h) − f( x)] 2dx2∫Si f(x) es continua por trozos, g(h) tiene un comportamiento lineal enuna vecindad del origen.16

Si f(x) es derivable, g(h) tiene un comportamiento parabólico.A menudo, g(h) no es continuo en h=0: dicho de otra manera, g(0) es mayorque el límite de g(h) cuando h tiende a 0. Se dice entonces que hay unefecto de pepita. Más que una discontinuidad verdadera, se trata, amenudo, de una zona de transición muy rápida, la cual, experimentalmente,se presenta como una discontinuidad. Volveremos a estudiar más tarde esteefecto de pepita en la versión probabilística de la teoría y suinterpretación en términos de escala (ver también el ejercicio 7 de estecapítulo, y, para una representación del efecto de pepita por una medidade Dirac, los ejercicios 16 a 20).Caso isótropo – En las aplicaciones, se busca (por ejemplo, mediante unatransformación lineal) llegar al caso en que el covariograma g solodepende del módulo2 2 2r = h = ( h1 + h2.... + h n)del vector h, y se expresa entonces como una función g(r) del únicoargumento r. Solamente las potencias pares de g(r), r 2k sonindefinidamente derivables en h=0. Las potencias impares r 2k+1 , laspotencias r λ , λ no entero, y también los términos logarítmicos del tipor 2n log(r) presentan todos una irregularidad en h=0. De esta manera, en elcaso isótropo, se distinguirán dos partes en el desarrollo limitado deg(r) en una vecindad del origen: una parte regular, que solo contienepotencias pares, y una parte irregular la cual agrupa los términos en r λ ,λ diferente de un entero par, eventualmente con términos logarítmicos:gr ( ) = g(0) + ar + ...... + ar + a r log( r)parte regular∑∑2 λ2k2 λ2kλkparte irregularEl término de más bajo grado de la parte irregular proporciona una medidaprecisa del grado de irregularidad de la V.R. en su variación espacial.Por ejemplo, la indicatriz k(x) de un conjunto S está caracterizada desdeeste punto de vista por un termino irregular de orden 1: K(h)=S-D|h|,como lo demostramos antes.17

d/ El covariograma g(h) es una función de tipo positivo.Se dice que una función g(h) es de tipo positivo si para cualquier enterok>0, cualquier conjunto x 1 , x 2 , ..., x k de puntos del espacio R n y cualquiersistema λ 1 , λ 2 , ..., λ k de números reales, se tiene:(1-3)∑i,jλλ gx ( − x) ≥ 0i j i jLas funciones de tipo positivo juegan un papel importante en Física(donde tienen, en general, una significación energética) y en teoría deprobabilidades (las funciones características de las leyes deprobabilidad son de tipo positivo). Veremos en el capítulo 2 que lasfunciones de covarianza de las funciones aleatorias son también de tipopositivo.Probemos que un covariograma transitivo es de tipo positivo. En efecto,según la relación (1-1), se puede escribir:∑ ∑ ∫λλ gx ( − x) = λλ f( yf ) ( y+ x− x)dy=i j i j i j i ji, ji,j⎡⎤= ∑λλi j∫f( y+ xj) f( y+ xi) dy = ∫⎢∑λi f( y+ xi) ⎥ dy≥0i,j⎣ i⎦Luego, para la elección de un modelo de covariograma transitivo, debemoslimitarnos, obligatoriamente, a funciones de tipo positivo (veremos, enel párrafo 1-4 que esta condición expresa que las varianzas de estimaciónson necesariamente positivas).Según el teorema clásico de BOCHNER, una función continua es de tipopositivo si y solo si es la transformada de Fourier de una medidapositiva sumable. Lo anterior nos proporciona una segunda verificación deesta propiedad fundamental del covariograma transitivo. Designemos por Φla transformada de Fourier de la V.R. f(x), y por G la transformada de sucovariograma g = f * f . Se sabe que la transformada de Fourier de unproducto de convolución es el producto multiplicativo ordinario de lastransformadas de los factores. Como la transpuesta f de f tiene portransformada el imaginario conjugado Φ * de Φ, encontramos que:2(1-4)G = Φ2y, por consiguiente, se tiene bien que G ≥ 0.Observación – Desde el punto de vista matemático el covariograma g y sutransformada G son herramientas perfectamente equivalentes. Como larelación (1-4) es particularmente simple, a menudo, es más cómodo, enciertas demostraciones teóricas, utilizar G en vez del covariograma g.Pero, desde el punto de vista experimental, y, en las aplicaciones, elcovariograma g es, en general, una herramienta bastante mejor que G. Enefecto, el comportamiento de g(h) en una vecindad de h=0 tiene por imagen18

las propiedades de G en una vecindad del infinito. No es, en general,fácil apreciar el comportamiento de una curva experimental en elinfinito. Esta es la razón, por la cual, el punto de vista del análisisarmónico, no es muy interesante en las aplicaciones prácticas de lateoría de las V.R.1-3 REGULARIZACION DE UNA V.R. Y SUBIDA1-3-1. Regularización de una V.R.Sea f(x) una V.R., p(x) una función de ponderación, f p =f* p laregularizada de f por p. La relación (1-1) puede escribirse:g = f * flo cual muestra que el covariograma transitivo es la autoregularizada dela V.R. f. El covariogramag = f * p* f * p = f * f * p* p = f * fse puede poner en la forma:p p pg = g*Ppcon P = p * p : entonces el covariograma de la regularizada se obtieneregularizando g con el covariograma transitivo P de la función deponderación p: g p es una función más regular que g, así como f p es másregular que la V.R. inicial f.1-3-2 La SubidaVamos a dedicar el resto de este párrafo a una operación llamada subida,la cual tiene gran importancia en la teoría de las V.R. (debido a quepermite, por ejemplo, reducir el cálculo de una varianza de estimación enun espacio de n dimensiones, a una serie de operaciones mucho mássimples, realizadas en el espacio de una dimensión). En términos mineros,la subida es simplemente la transposición abstracta de la operación queconsiste en implantar un sondaje en un punto (x 1 , x 2 ) de la superficietopográfica.Si f 3 (x)=f 3 (x 1 , x 2 , x 3 ) es una V.R. en el espacio de tres dimensiones (porejemplo), se dice que la V.R.:f ( x , x ) = ∫ f ( x , x , x ) dx2 1 2 3 1 2 3 3definida en el espacio de dos dimensiones se deduce de f 3 por subida (deorden 1, paralela al eje de los x 3 ). Por ejemplo, si f 3 (x) es una leypuntual, f 2 (x 1 , x 2 ) es la acumulación (cantidad de metal al metrocuadrado) del sondaje implantado en el punto (x 1 , x 2 ) de la superficietopográfica.19

No hay dificultad para definir subidas de orden superior. Por ejemplo, lasubida de orden 2 (paralela al plano x 1 , x 2 ) conduce a la V.R.f ( x ) f ( x , x , x ) dxdx= ∫∫1 3 3 1 2 3 1 2definida en el espacio de una sola dimensión (el eje de los x 3 ) y querepresenta, en términos mineros, la cantidad de metal por metro deprofundidad aportada por el nivel de cota x 3 . Se tiene que elcovariograma g 2 (h 1 , h 2 ) de la V.R. f 2 deducida de f 3 por subida de orden 1se obtiene efectuando directamente esta misma operación de subida sobreel covariograma g 3 (h 1 , h 2 , h 3 ) de la V.R. f 3 , dicho de otra manera, enlenguaje breve: el covariograma sube al mismo tiempo que la V.R.asociada.Demos una demostración de este resultado a partir de la relación (1-4).Sea f n (x 1 , x 2 , ..., x n ) una V.R. en R n , Φ n (u 1 , u 2 , ..., u n ) su transformadade Fourier. Por subida de orden 1 a lo largo del eje de las x n , seobtiene la V.R. f n-1 (x 1 , x 2 , ..., x n-1 ) cuya transformada de Fourier es:(1-5) Φ n-1 (u 1 , u 2 , ..., u n-1 )= Φ n (u 1 , u 2 , ..., u n-1 ,0)Dicho de otra manera, según el mecanismo de calculo evidente (el cual seencuentra también en teoría de probabilidades, al pasar a una leymarginal) se obtiene Φ n-1 haciendo u n =0 en la expresión de Φ n . Designemosahora por g n y g n-1 los covariogramas de f n y f n-1 , por G n y G n-1 sustransformadas de Fourier tomadas en los espacios respectivos R n y R n-1 .Según (1-4) se tiene:Según (1-5), se deduce:2 2G =Φ , G −=Φ −n n n 1 n 12n−1 1 2 n−1 =Φn 1 n−1 =n 1 n−1G ( u , u ,..., u ) ( u ,..., u ,0) G ( u ,..., u ,0)Luego, se obtiene G n-1 anulando u n en la expresión de G n . Según lareprocidad de la transformada de Fourier y la expresión (1-5) de lasubida, resulta bien que g n-1 se deduce de g n por subida de orden 1.1-3-3 La subida en el caso isótropoExaminemos ahora el caso isótropo, es decir el caso en que la V.R. f n (x),x∈R n admite un covariograma g n (r) el cual solo depende del vector r=|h|.En este caso no es necesario especificar en qué dirección se efectúa lasubida. Las subidas de orden 1, 2, ... proporcionan variablesregionalizadas f n-1 , f n-2 , ... cuyos covariogramas g n-1 (r), g n-2 (r), ...dependen únicamente del vector r (del espacio de n-1, n-2, ...dimensiones). De acuerdo a lo anterior, estos covariogramas se deducen deg n por subida, y se encuentra, sin dificultad:20

∞⎧2 2gn−1() r = 2 ∫ gn( h + r ) dh⎪0⎨∞⎪2 2gn−2() r = 2 π gn( h + r ) hdh⎪ ∫⎩0El cambio de variables u 2 =h 2 +r 2 , proporciona:∞⎧u⎪gn−1() r = 2 ∫ gn()u du2 2⎪r ( u − r(1-6)⎨∞⎪⎪gn−2() r = 2 π ∫ gn()u udu⎩0Aparece así una diferencia notoria entre las subidas de orden 1 y 2. Lasubida de orden 1 (y, más generalmente la subida de orden impar) es unaoperación elemental. Se inversa fácilmente por derivación:(1-7)1gn()r =− g2π r'n−2Por el contrario, la subida de orden 1 (y, más generalmente de ordenimpar) es una operación más difícil, debido a la presencia de una raízcuadrada bajo el signo de integración, y, no se invierte fácilmente.Es posible demostrar que las subidas, y sus inversas o descensos,consideradas como operadores sobre funciones isótropas de tipo g n (r)constituyen un grupo (ver [4]).Para encontrar la expresión del descenso de orden 1 (g n-1 →g n ), se puedeprimero efectuar un descenso de orden 2, lo cual conduce, según (1-7) a:1 'gn+ 1=− gn−1()r2π rluego una subida de orden 1 que da, según (1-6):∞∞udu 1 ' dun() = 2 ∫ n+ 1() =−2 2n−1()2 2r u r π ∫−r u − rg r g u g uEn otras palabras, hemos establecido las expresiones recíprocas de lasubida y el descenso de orden 1:21

(1-8)∞⎧gn−1() r = 2 ∫ gn()u⎪r⎨⎪g r g u⎪⎩u∞1 'n() =−n−1()π ∫rudu− rdu2 2u− r2 2Se encontrará más tarde (Ejercicio 11 bis) una aplicación interesante deestas fórmulas de reciprocidad al problema que consiste en reconstituirla granulometría de una población de esferas del espacio de 3dimensionas, a partir de la granulometría de círculos o de líneas(cuerdas) inducidas por planos o rectas.Adoptemos ahora el punto de vista de la transformación de Fourier,y seaG=F n g n la transformada del covariograma g n (tomada en el espacio de ndimensiones). Como la función g n es isótropa, su transformada de Fouriersolo depende del radio vector:ρ = ( u + u + ... + u n)2 2 21 2del espacio de n dimensiones en el cual están definidas las transformadasF n . Luego G es también una función isótropa del tipo G(ρ). Según (1-5) seobtiene F n-1 (g n-1 ) al anular u n en la expresión de F n (g n ). Pero anular u n enla expresión del radio vector conduce a la expresión (u 2 1 +...+u 2 n-1 ) 1/2 ,esdecir al radio vector del espacio de n-1 dimensiones, que podemos denuevo designar por ρ. Por consiguiente, la transformada G(ρ) delcovariograma isótropo g n es invariante por subida (y, también pordescenso):(1-9) G(ρ) = F n (g n ) = F n-1 (g n-1 ) = F n+1 (g n+1 ) = ...Se dispone aquí de un medio analítico cómodo para explicitar una subida oun descenso.El principio de correspondencia.Examinemos ahora cómo se comporta en la subida lo que más nos interesa enun covariograma isótropo, es decir, la parte irregular de su desarrollolimitado en una vecindad del origen (párrafo 1-2). El resultado esencial(cuya demostración se encuentra en [4]) es el siguiente: se puedeefectuar la subida término a término sobre la parte irregular de g n ,según la regla de correspondencia:(1-10)( λ )λ λ+1r = Aλr no enteroy este principio de correspondencia proporciona el desarrollo limitado deg n-1 (r) salvo una serie entera par. No existe una regla análoga para laparte regular (pero esto no será problemático porque, tal como veremos,las varianzas de estimación solo dependen de la parte irregular).El orden del término irregular de más bajo grado se aumenta así en 1, yesta circunstancia nos muestra bien el efecto de regularización que tienela subida.22

En lo que respecta a los términos de grado entero par y los términoslogarítmicos de la parte irregular, el principio de correspondenciatérmino a término es también aplicable de la forma siguiente:(1-11)2k2k+1⎧⎪r log()r → A2kr⎨2k+ 1 2k+2⎪⎩ r → A2k+ 1r log()rSe obtiene así, por subidas sucesivas, la serie singular donde sealternan términos impares y términos logarítmicos. Por ejemplo:log()r → π r2r →−r log()rCálculo de los coeficientes A λ – Para una demostración rigurosa, ver [4].Daremos aquí una justificación simbólica, cuyo principio nos servirátambién para el cálculo de varianzas de estimación. Al considerar que r λes una distribución (y no como una función, lo que implica que estajustificación es sólo simbólica), r λ admite, en el espacio de ndimensiones, la transformada de Fourier siguiente:⎛λ+ n ⎞Γ1 ⎜ ⎟2 1F ( r λ ) =⎝ ⎠λ λπ ⎛ λ ⎞ ρΓ ⎜ − ⎟⎝ 2 ⎠n + n/2+ n(λ no entero). Según (1-9), la subida de orden 1 realizada sobre r λconduce a F n-1 (F n (r λ )). Al calcular F n-1 (ρ -λ-n ) y según la fórmula anterior,se tiene:Fn−1⎛ λ + 1⎞Γ ⎜ − ⎟r⎛λ+ n ⎞Γ ⎜ ⎟⎝ 2 ⎠n+1λ +−λ− n2 ⎝ 2 ⎠ λ+1( ρ ) = πy se deduce la expresión del coeficiente A λ de la regla decorrespondencia (1-10), con la ayuda de las función de Euler Γ, es decir:(1-12)Aλ⎛ 1+λ ⎞ ⎛ λ ⎞Γ⎜− ⎟ Γ 12 λπ⎜ + ⎟⎛ ⎞ 2= π⎝ ⎠= πtg⎝ ⎠λ⎜ ⎟⎛ ⎞ 2 ⎛ 1+λ ⎞Γ⎝ ⎠⎜− ⎟ Γ ⎜1+⎟⎝ 2⎠ ⎝ 2 ⎠Esta justificación, repitámoslo, es solamente simbólica, y, enparticular, no muestra que la regla de correspondencia (1-10) proporcionael resultado de la subida salvo una serie entera. Sin embargo, elresultado (1-12) es correcto. En el caso de una serie singular (1-11), seobtiene (por pasos al límite sobre los cuales no insistiremos aquí):23

(1-13)⎧A⎪⎨k2 k! 2 ( k!)= π= π1⋅3 ⋅⋅⋅ (2k+ 1) (2k+1)2k22k2+−2k⎪ 2 (2k1)!A2k+ 1=−⎪ k!( k+1)!⎩1-4 LA ESTIMACION DE LAS VARIABLES REGIONALIZADASEn este párrafo, fundamental, definiremos la varianza de estimación parauna malla regular, proporcionando dos expresiones equivalentes(rigurosas) válidas en el espacio de n dimensiones (párrafo 1-4-1). En elpárrafo (1-4-2), examinaremos el caso de una malla aleatoriaestratificada. A continuación, buscaremos métodos de aproximación,primero en el espacio de 1 dimensión (1-4-3) luego a 2 o más dimensiones(1-4-4) y aplicaremos estos resultados al problema geométrico (1-4-5). Unexamen crítico de las condiciones mediante las cuales es posible aplicarestos resultados permitirá preparar el paso a la versión probabilísticade la teoría.1-4-1 Expresión rigurosa de la varianza de estimación (malla regular)Para abreviar, explicitaremos los cálculos en el espacio de 1 soladimensión. Sin embargo estos resultados se generalizan sin dificultad alespacio de n dimensiones. Sea f(x) una V.R. en la recta y:+∞Q = ∫−∞f( x)dxla cantidad de metal asociada. Para estimar Q, se dispone de una malla demuestreo con una malla regular a. En otras palabras, si designamos por x 0la abscisa de una (cualquiera) de las muestras de la red, conocemos losvalores f(x 0 +pa) de la V.R. f(x) para p entero positivo o negativo. Enrealidad f(x) es diferente de 0 en un conjunto acotado, solamente unnumero finito de estos valores f(x 0 +pa) es diferente de 0, y, enadelante, no nos preocuparemos acerca de la convergencia de las series(que tienen, en realidad, un número finito de términos). En la prácticano será necesario que la red de muestras sea realmente infinita; bastarácon que sobrepase un poco el campo geométrico de la V.R.Para estimar la cantidad de metal Q, se forma entonces el estimador:p=+∞*Q x0 = a∑f x0+ pap=−∞( ) ( )que es una función periódica (de período a) de la abscisa x 0 elegidaarbitrariamente como origen de la red. El error Q-Q * (x 0 ) asociado a estaestimación es igualmente una función periódica de x 0 , vamos acaracterizar su magnitud posible mediante una varianza de estimación queescribiremos σ 2 (a).24

De acuerdo a nuestro hilo conductor metodológico (párrafo 0-4) nointroduciremos todavía ninguna interpretación probabilística relativa ala V.R. f(x) misma: f(x) representa una realidad física única,perfectamente determinada (aún si no la conociéramos efectivamente).Pero, justamente porque al comienzo no conocemos nada, acerca de f(x),implantamos nuestra red de muestras “no importa donde” o “al azar”relativamente a esta realidad física desconocida. No es difícil dar unsentido epistemológico más preciso a este “no importa donde” admitiendoque todo sucede como si el origen x 0 de la red se implantó al azar sobreun segmento de longitud a según una ley de probabilidad de densidaduniforme. Esta hipótesis expresa simplemente la ignorancia en queestamos, al comienzo, respecto de la localización exacta de un fenómenodeterminístico, y no implica entonces un compromiso epistemológico grave.Según esta implantación aleatoria del origen x 0 en el segmento (0,a), laestimación Q * (x 0 ) es una variable aleatoria. Calculemos su esperanzamatemática y su varianza: diremos, por definición que esta varianza es lavarianza de estimación σ 2 (a). Para la esperanza se encuentra:a+∞*⎛⎞dx0EQ ( ) = ∫⎜a∑f( x0+ pa) ⎟ = f( xdx ) = Q0 ⎝ p ⎠ a∫−∞Nuestro estimador Q *estimación es:es entonces un estimador insesgado. La varianza dedxa2 *2 2 *20 2( a) = E( Q ) − Q = ∫ ⎣Q ( x0) ⎦ −Qa0σ ⎡ ⎤Evaluemos la integral de [Q * (x 0 )] 2 . Se tiene:+∞ +∞*22 20 0 0 0 0p=−∞q=−∞k p⎡Q ( x ) ⎤ = a f( x + pa) f( x + qa) = a f( x + pa) f( x + pa+ka)⎣ ⎦ ∑∑ ∑∑Integremos de 0 a a. Se tiene:aa*22∫⎣Q ( x0) ⎦ dx0 a ∑∑ ∫ f( x0 pa) f( x0 pa ka)dx00 k 0 p⎡ ⎤ = + + + =+∞2 2∑∫0 0 0k −∞k∑= a f( x ) f( x + ka) dx = a g( ka)Al tomar en cuenta la relación (1-2), se obtiene entonces la fórmula:(1-14)+∞σ2 ( a) = a g( ka) − g( h)dhk =−∞+∞∑ ∫−∞25

En el espacio de n dimensiones, se tiene un resultado totalmente análogo.Por ejemplo, para n=3, y para una malla en forma de paralelepípedo a 1 a 2 a 3se tiene:∑∑∑ ∫2σ1 2 3=1 2 3 1 1 2 2 3 3−k1 k2 k3( a , a , a ) aa a g( k a , k a , k a ) g( h)dhObservación – La varianza de estimación (1-14) es la diferencia entre unvalor aproximado y el valor exacto de la integral∫ ghdh ( ) . Porconsiguiente σ 2 (a) es más pequeña cuando:• la malla a es más pequeña• la función g, luego también la función f, es más regular.Si la malla es pequeña con respecto al alcance de g(h), la fórmula (1-14)tiene un gran número de términos. Lo anterior nos conduce a buscarfórmulas de aproximación (ver párrafos 1-4-3 y 1-4-4).Daremos una segunda expresión (equivalente para la varianza deestimación, utilizando esta vez la transformada de Fourier G delcovariograma g. El estimador Q * es una función periódica, luego admite undesarrollo en serie de Fourier:x0⎧+∞2iπp*(0)aQ x = ∑ Cpe⎪p=−∞⎨ax1−2iπp⎪*C (0)ap= Q x e dx⎪⎩ a∫0Si reemplazamos Q * (x 0 ) por su expresión explícita, se ve que elcoeficiente de Fourier C p es:a 2 x +∞− iπp −2iπpyaaC = f( x+ ka) e dx=f( y)e dyp∑∫ ∫k0Por consiguiente, si Φ(u) es la transformada de Fourier de f(x), setiene:⎛ p ⎞Cp=Φ ⎜ ⎟⎝ a ⎠En particular C 0 = Φ(0) = Q. Las propiedades de ortogonalidad de las funcionestrigonométricas conducen a:y, considerando (1-4):∑−∞222σ ( a) = Cp− Qp26

(1-15)2 ⎛ p ⎞σ ( a) = ∑ G⎜⎟−G(0)p ⎝ a ⎠Esta fórmula, equivalente a (1-14) muestra que σ 2 (a) es positiva si G esuna función positiva (luego, cuando g es de tipo positivo). Se generalizaal caso pluridimensional. Para R 2 , por ejemplo, con una malla rectangular(a 1 , a 2 ) se encuentra:(1-16)2⎛ p q ⎞σ ( a1, a2) = ∑ G⎜, ⎟−G(0,0)pq , ⎝a1 a2⎠Observación – De lo anterior se debe retener sobretodo este resultadofundamental: la varianza de estimación σ 2 (a) solo depende delcovariograma transitivo g(h) y de la malla a. La fórmula (1-14) muestraademás que esta varianza depende linealmente de g(h). Entonces, siconocemos el verdadero covariograma g de una V.R., estaríamos encondiciones de resolver el problema de la estimación, de una maneratotalmente satisfactoria – y sin probabilizar el fenómeno real. En vistade preparar el paso a la versión probabilística de la teoría, que tendrálugar en el párrafo (1-4-6), mostremos que en lo anterior hay algoilusorio.En efecto, si solo se dispone de los datos experimentales f(x 0 +pa), paraun x 0 fijo, no se conocerá el verdadero covariograma g(h). Solamente sepodrán estimar los valores numéricos de los g(ka) con la ayuda de losestimadores:∑*g ka = a f x0 + pa f x0+ pa+kap( ) ( ) ( )De la misma manera, para estimar el término Q2 = ∫ g( h)dh , se podrá tomarel cuadrado [Q * (x 0 )] 2 del estimador Q * (x 0 ) mismo. Pero, si sustituimosestos estimadores en la fórmula (1-14), obtenemos idénticamente 0, talcomo muestra el cálculo fácil siguiente:∑( ) − ⎡ ( ) ⎤⎦ = 0* *a g ka ⎣Q x0kEste resultado se entiende bastante bien: al reemplazar en (1-14) losvalores verdaderos por sus estimaciones, hemos implícitamente reemplazadola verdadera V.R. f(x), definida en la recta real, por su restricciónf(x 0 +pa) al conjunto discreto constituido por los puntos de muestreox 0 +pa. El resultado obtenido significa simplemente que Q * (x 0 ) es unexcelente estimador de Q * (x 0 ).En términos menos triviales, esto significa que es ilusorio esperar, porprocedimientos puramente empíricos, extraer de un mismo materialexperimental (los f(x 0 +pa)), a la vez una estimación de Q y la precisiónde esta estimación.Para salir de este impasse metodológico, es obligatorio recurrir a unmodelo teórico. Se elegirá una expresión matemática apropiada227

g(h;λ,µ,...) la cual depende de uno o varios parámetros λ, µ, ... queajustan de la mejor manera posible los puntos g * (ka) experimentales (esinútil e ilusorio hacer pasar la curva teórica por los puntosexperimentales), y es, a este g(h;λ,µ,...) al cual se la aplicará lafórmula (1-14). El resultado que se obtendrá tendrá, exactamente, elmismo valor que la elección del modelo de covariograma.Indiquemos ahora que la elección de g(h) no es arbitraria. En primerlugar la función g(h;λ,µ,...) debe ser de tipo positivo (párrafo 1-2). Ensegundo lugar, se deberá asignar una importancia extrema alcomportamiento de esta función en una vecindad del origen, es decir a suparte irregular: el orden del término irregular de más bajo grado,eventualmente la presencia de un efecto de pepita. Estas característicastienen la significación de leyes físicas y constituyen característicasobjetivas del fenómeno real. La experiencia ayuda, rápidamente se sabe(aprovechando ocasiones en las cuales se dispone de redes de muestrasparticularmente densas) que tal tipo de fenómeno se caracteriza por esteu otro comportamiento analítico de su covariograma. Definitivamente(párrafo 1-4-3) es de este comportamiento del cual dependerá la varianzade estimación, lo que implica que el problema se reducirá, en grueso, adeterminar el coeficiente del término irregular de más bajo grado, y estoes posible de hacer, en general, experimentalmente de una manerasatisfactoria.1-4-2 Caso de una malla aleatoria estratificadaSea f(x) una V.R. en R n , g(h) su covariograma, y sea V el paralelepípedode lados a 1 , a 2, ..., a n , centrado en el origen. Designemos por h i losvectores cuyas componentes son múltiplos enteros p 1 a 1 , p 2 a 2 , ..., p n a n delos lados del paralelepípedo V, de manera que los trasladados V hi de V porlos h i cubren todo el espacio. La malla aleatoria estratificada definidapor el paralelepípedo V se construye como sigue:• se elige un origen x 0∈ V• para cada índice i, se elige al azar un punto x i∈ V de manera talque los x i sean independientes admitiendo la misma ley de densidaduniforme en V.• se efectúa un muestreo en cada uno de los puntos x 0 +h i +x i .El estimador Q * (x 0 ) de la cantidad de metal, con x 0∑*Q x0 = vf x0+ hi+ xii( ) ( )∈ V fijo, es entonces:Si x 0 es fijo, los vf(x 0 +h i +x i ) son variables aleatorias independientes.Expresemos sus esperanzas y sus varianzas con la ayuda de laregularizada:1fv( x) = f( x+y)dyv∫v(que representa la media de f en el paralelepípedo v x centrado en x). Seencuentra:28

1E f( x + h + x ) x = f( x + h + y) dy = f ( x + h)( )0 i i 0 0 i v 0 ivv1D f( x + h + x ) x = f ( x + h + y) dy− f ( x + h)( )∫∫2 2 20 i i 0 0 i v 0 ivvEstas variables son independientes cuando x 0 está fijo, se deduce entoncesla esperanza y la varianza condicional de Q * (x 0 ):∑EQ x vf x h Q(*|0) =v( 0+i)=i2 * 2 2 2 20= ∑ ( 0+i+i 0)= − ∑ v 0+iiiD ( Q | x ) v D f( x h x )| x vg(0) v f ( x h)Si x 0 es fijo, Q * (x 0 ) es también un estimador insesgado. Pero – de lamisma manera que en el párrafo anterior – nuestra ignorancia inicialrespecto a la localización del fenómeno real se formaliza asimilando x 0 auna variable aleatoria, independiente de los x i , admitiendo también unadensidad uniforme en v. Como E(Q * |x 0 )=Q no depende de x 0 , la varianza apriori de Q * (x 0 ) – es decir la varianza de estimación de la mallaaleatoria estratificada – se obtiene tomando directamente la esperanzamatemática en x 0 de la varianza condicional D 2 (Q * |x 0 ), es decir:1D ( Q ) = D ( Q | x ) dx = vg(0) − f ( x + h)dx =2 * 2 * 20 0 v 0 i 0vvi v= vg −v f x dx∫∫2(0)v( )∑∫Designemos por g v el covariograma de la regularizada f v . Según el párrafo(1-3-1), este covariograma se deduce del covariograma geométrico K(h) delparalelepípedo por la relación:En particular:1gv= g*K2v12gv(0) = g( h) K( h) dh=f ( )2vx dxv∫ ∫Según el algoritmo de Cauchy (ver ejercicio 2), g v (0) representa el valormedio de g(x-y) cuando x e y describen separadamente el paralelepípedo v,y la varianza de estimación buscada se escribe:(1-17) 2 ( ) = [ (0) − (0) ]D Q v g g vEsta varianza depende solamente del comportamiento de g(h) en unavecindad del origen definido precisamente por el paralelepípedo v mismo.29

1-4-3 Fórmulas de aproximación para el espacio de una dimensión.Sea ahora f(x) una V.R. del espacio de una dimensión, g(h) sucovariograma, y “a” una malla de muestreo. Cuando la malla es pequeña, lafórmula (1-14) contiene un número demasiado grande de términos, luego esútil obtener fórmulas de aproximación que permitan un calculo rápido. Enrealidad, el interés de las fórmulas de aproximación que vamos aestablecer va más lejos de las simples razones de comodidad, y, presentauna significación epistemológica fundamental para el problema que nosinteresa. En efecto, vamos a ver que (salvo un termino fluctuante delcual debemos examinar su significado) la varianza de estimación σ 2 (a),para a pequeño, depende solamente del comportamiento analítico de g(h) enuna vecindad de h=0.La estructura de la fórmula (1-14) muestra que la varianza de estimaciónσ 2 (a) no es otra que el error numérico que se comete si se desea evaluarla integral∫ ghdh ( ) a partir de la suma discreta a∑g( ka). Luego si g(h)fuera una función suficientemente regular (es decir derivable en todaspartes un número suficiente de veces) se podría evaluar directamenteσ 2 (a) por los métodos clásicos basados en la fórmula de Euler-Mac Laurin.Pero g(h) no es, en general, suficientemente regular en todo h. Losmodelos teóricos de covariograma que se utilizan en la práctica localizanlas irregularidades analíticas en dos lugares cruciales:• en una vecindad del origen, como ya hemos visto• pero también en una vecindad de h=b, siendo b el alcance, debido aque la intersección en b de g(h) puede ser más o menos brutal.Sin embargo, los modelos teóricos de g(h) no presentan nuncairregularidades analíticas. Esto no quiere decir que esto sea así paralos covariogramas verdaderos. Pero no conoceremos nunca estoscovariogramas verdaderos, y, como lo vimos al final del párrafo (1-4-1),estamos siempre obligados a reemplazarlos por un modelo teórico. En elpárrafo 1-4-6 se examinará el alcance epistemológico de esta operaciónambigua que consiste en reemplazar el covariograma verdadero(desconocido) por un modelo teórico, analíticamente simple, cuyasirregularidades se encuentran concentradas en el origen y en el alcance:Por el momento, partiremos de la hipótesis que las irregularidades seencuentran localizadas efectivamente en estos dos puntos. Mediantecálculos sobre los cuales no insistiremos aquí (ver [4]), se puede30

demostrar que la varianza de estimación, para a pequeño, es la suma dedos términos:σ 2 ( a) = T( a) + Z( a)El primer término T(a), o término de extensión, depende delcomportamiento de g(h) en h=0. El segundo, Z(a), o término fluctuante oZitterbewegung, depende del comportamiento de g(h) en una vecindad delalcance b.Respecto del término fluctuante Z(a), se puede demostrar que dependeesencialmente de ε=b/a Modulo 1 (más precisamente: se puede encontrar unentero n tal que na≤ b ≤(n+1)a y sea ε=(b-na)/a). Z(a) es una funciónperiódica de ε, de período 1, y admite un desarrollo en serie de Fourier,sin término constante, luego de valor medio nulo cuando ε varía entre 0 y1:1∫0Zε ( a) dε = 0La expresión teórica de este término fluctuante es posible de determinarteóricamente. Su magnitud no es en absoluto despreciable, a menudo tieneun valor considerable (ver figura 1 y el ejercicio 14). Sin embargo, enlas aplicaciones, no se podrá nunca calcular el valor exacto de estetérmino, debido a que precisamente, el valor exacto del alcance b esconocido con un error de ±a, luego, ε = b/a Modulo 1, es una cantidadtotalmente indeterminada. Nos autorizamos a despreciar simplemente estetérmino fluctuante, debido al hecho que su valor medio en ε en elintervalo [0,1] de este término fluctuante es siempre nulo, que es lo queharemos en adelante. Se observará el carácter probabilístico camuflado deesta aproximación, sobre la cual volveremos en el párrafo 1-4-6.Examinemos ahora el término principal T(a), o término de extensión,ligado únicamente al comportamiento analítico de g(h) en h=0. Un estudioanalítico detallado (ver [4]) muestra que este término solo depende de laparte irregular del desarrollo limitado de g(h) en una vecindad delorigen. Más precisamente, se puede establecer la validez de un principiode correspondencia término a término, análogo al que encontramos en elestudio de la subida isótropa: cada término en |h| λ del desarrollolimitado de g(h) aporta a la varianza σ 2 (a) una contribución en T λ a λ+1 , conun coeficiente T λ que solo depende de λ:(1-18)hλ→ T a1+λλPara λ entero par, se encuentra T λ =0, y esto confirma que la parteirregular del covariograma no aporta ninguna contribución al desarrollolimitado de la varianza de estimación. Para λ entero impar, la regla (1-18) subsiste, sin modificación. Para un término logarítmico en h 2n log(h),se encuentra, sin dificultad:h log(h)→ T a +2 n' 1 2n2n31

con un coeficiente T 2n ’ igual a la valor en λ=2n de la derivada d TdλCálculo del coeficiente T λ . – Se encontrará en [4] un cálculo rigurosodel coeficiente T λ que figura en la regla de correspondencia (1-18). Noscontentaremos con una justificación simbólica (análoga a la que dimospara el cálculo del coeficiente A λ de la subida). Si G(u) es latransformada de Fourier del covariograma g, se tiene, según (1-15):∞2 ⎛ p ⎞σ ( a) = 2∑G⎜ ⎟p=1 ⎝ a ⎠Si tuviera un sentido tomar la transformada de Fourier de la función|h| λ , la transformada de Fourier (en el sentido de las distribuciones)sería:Gu ( ) =⎛λ+ 1⎞Γ1 ⎜ ⎟⎝ 2 ⎠ 1⎛ λ ⎞ | u |Γ ⎜ − ⎟⎝ 2 ⎠λ 1/2 1 λπ + +λ.y, si la fórmula (1-15) siguiera válida para esta transformada tomada enel sentido de las distribuciones, se encontraría que:2σ ( a)=π⎛λ+ 1⎞Γ ⎜ ⎟1+ λ∞2a⎝ 2 ⎠ 1λ + 1/2 1 λλ∑ +⎛ ⎞ p=1 pΓ ⎜ − ⎟⎝ 2 ⎠De donde se deduciría la expresión de T λ :⎛λ+ 1⎞Γ2 ⎜ ⎟ ∞2 1(1-19) Tλ=⎝ ⎠1 1+λ+λ∑⎛ ⎞2p=1 pπ Γ ⎜ − ⎟⎝ 2 ⎠Se encuentra que el valor T λ obtenido mediante este razonamientoaproximado corresponde bien con el valor correcto. En particular:¨⎧ 1⎪T1=−⎨ 6⎪⎩T2' = 0.0609...El principio de correspondencia permite un cálculo fácil y rápido de lavarianza de estimación. Sin embargo, no hay que olvidar, que se hadespreciado un Zitterbewegung, cuya amplitud puede ser enorme, y que loλ32

que se obtiene es en realidad el desarrollo limitado de σ 2 (a) en unavecindad de h=0, luego un resultado utilizable solamente para las mallaspequeñas. Por otra parte, para una malla a grande, la fórmula generalcontiene un número modesto de términos y puede ser utilizadadirectamente. Cuando la malla es superior al alcance, solo subsiste, en(1-14), el término correspondiente a k=0, y se obtiene la fórmula simple:(1-20)∫σ 2 ( a) = ag(0) − g( h) dh (a ≥b)El sentido probabilístico de esta ecuación está indicado en el ejercicio15.Observación: Si L=na es la longitud mineralizada, y n el número demuestras positivas, al covariograma en |r| λ le corresponde la varianza deestimación siguiente:λ( )σ ( a)= T a = T L1n2 1 + λ 1 +λ λ 1+λEsta varianza está en razón inversa de n 1+λ (y no en 1/n como lo habríasugerido una aplicación errónea de la estadística clásica).1-4-4 Fórmulas de aproximación en R n .Vamos a estudiar en detalle el caso del espacio de dos dimensiones, lageneralización a R n es simple. Nuestro objetivo es desarrollar un segundoprincipio de aproximación, que permita reducir el cálculo de una varianzade estimación σ 2 (a 1 , a 2 ) a la suma de dos varianzas de estimación de unasola dimensión, como las reglas de correspondencia (1-18) y (1-19),luego, muy fáciles de calcular. Designaremos este principio comoprincipio de composición de términos de línea y de rebanada. Examinemosprimero, el sentido intuitivo de este principio. Sea (a, a 2 ), con a 1 >a 2 ,una malla rectangular, f(x, y) una V.R. definida en el plano, g(h 1 , h 2 ) sucovariograma, y g 1 (h) el covariograma que se deduce de g por subida a lolargo del eje de las y:33

Nuestro principio de correspondencia enuncia que la varianza deestimación σ 2 (a 1 , a 2 ) de la malla rectangular es la suma:(1-20)σ ( a , a ) = σ ( a ) + aσ( a )2 2 21 2 1 1 1 2 2de dos términos: el primero, σ 2 1 (a 1 ) se calcula con la relación (1-14)aplicada al covariograma subido g 1 , y representa el error que se cometeal estimar la cantidad de metal Q a partir de las líneas de mayordensidad de muestreo (en el dibujo, paralelas al eje y); es el término delínea. El segundo término, a 1 σ 2 2 (a 2 ) se llama término de rebanada o derebanada. Este término representa el error que se comete al estimar laacumulación de las líneas a partir de muestreos puntuales. Se calculaσ 2 2 (a 2 ) aplicando la fórmula (1-14) a la malla a 2 y al covariograma de 1dimensión g(0,h). El principio (1-20) expresa entonces que: desde elpunto de vista del cálculo de las varianzas de estimación, los doserrores cometidos: primero al estimar la acumulación de las líneas apartir de las muestras, segundo al estimar la cantidad de metal a partirde estas acumulaciones, que se supone conocidas, pueden ser consideradoscomo no correlacionados.Antes de dar una justificación aproximada, precisemos el enunciado deeste principio. Para abreviar las notaciones, designaremos por ξ a aloperador lineal asociado, según (1-14), a la varianza de estimación parauna malla a:+∞ξ ( ) ( ) ( )ag = a g ka − g h dhk =−∞+∞∑ ∫Sean (x 0 , y 0 ) las coordenadas de una de las muestras. Designemos por:0 0 1−∞L( x ) = f( x + ia ; y)dyla acumulación de la línea i de abscisa x 0 , y por:i∫L ( x , y ) = a f( x + ia ; y + pa )*i+∞∑0 0 2 0 1 0 2p=−∞el estimador que se puede formar. Hemos visto en el párrafo (1-4-1) quex 0 e y 0 deben ser considerados como dos variables aleatoriasindependientes que admiten densidades uniformes en (0,a 1 ) y (0,a 2 )respectivamente. La acumulación L i (x 0 ) de la línea i es entonces unavariable aleatoria, y es claro que si se fija x 0 se tiene:E L x L x*(i|0) =i( )Para estimar Q f ( x, y)dxdy= ∫∫, se forma el estimador:Q ( x , y ) = a∑L ( x , y )* *0 0 1 i 0 0i34

y el error de estimación se puede escribir:(1-21)∑ ∑Q− Q = ( Q− a L) + a ( L −L)* *1 i 1 i iiiEl primer término es el error que se comete al estimar Q a partir de lasacumulaciones. Según la definición misma de la subida, la varianza deeste término (término de rebanada) se obtiene al aplicar (1-14) alvariograma g 1 de una dimensión, deducido de g 2 (h 1 , h 2 ) por subida a lolargo del eje y, es decir, con nuestras notaciones:σ ( a ) = ξ ( g )21 1 a11El segundo término es la suma de los errores L i -L * i cometidos al estimarcada una de las acumulaciones a partir de muestras puntuales. Para cadalínea i, se acaba de ver que la esperanza matemática de este error esnula cuando x 0 está fijo.EL L x*(i−i|0) = 0Si x 0 está fijo, la V.R. f(x 0 +ia 1 ;y) definida en la línea i admite elcovariograma de una dimensión g i definido por(1-22) gi( h) = f( x0 + ia1; y) f( x0 + ia1; y+h)dyy la varianza condicional de L i -L * i es entonces:+∞∫−∞D ( L − L | x ) = ξ ( g )2 *i i 0 a2iAhora establecemos la hipótesis (que justificaremos más tarde) según lacual los L i -L * i pueden ser considerados sin correlación cuando x 0 estáfijo. La varianza condicional del término de línea es entonces:∑ ∑a D ( L − L | x ) = a ξ ( g )2 2 * 21 i i 0 1 a2iiiComo E(L i -L * i)=0, se deduce la varianza a priori del término de línea altomar la esperanza matemática en x 0 , es decir:a1∫a dx ∑ξ ( gi)1 00ia2Pero queda claro que el operador lineal ξa 2se puede permutar con lasumatoria en i y la integral en x 0 . Al utilizar (1-22), se encuentraentonces para el término de línea:35

a1∫∑aξdx f( x + ia ; y) f( x + ia ; y+ h)dy =1 a20 0 1 0 10 i+∞ +∞∫∫= aξdx f( x, y) f( x, y+ h) dy = aξ( g(0, h))1 a2 1 a2−∞ −∞El término de línea es entonces:aξ( g(0, h)) = aσ( a )21 a21 2 2en conformidad con (1-20). Para obtener la relación (1-20) misma, quedapor admitir la ausencia de correlación de los dos errores*Q−a L y a ( L −L)∑ ∑ que figuran en (1-21).1 i 1 i iEste principio de composición de términos de línea y de rebanada presentagran importancia, por razones prácticas, primero, porque permite calcularmuy fácilmente un valor aproximado de la varianza de estimación, segundo,también por razones metodológicas: porque al considerar el principio decorrespondencia, se muestra que, en el espacio de dos dimensiones,también la varianza de estimación depende esencialmente delcomportamiento de g(h) en una vecindad del origen. Encontraremos de nuevoeste principio de correspondencia, en una forma equivalente, en laversión probabilística de la teoría. Luego, no está de más, dar unajustificación, por lo menos simbólica.Para ello aplicaremos el principio de correspondencia. A cada término enr λ de la parte irregular del covariograma g le corresponde, por subida eltérmino A λ r 1+λ en el covariograma subido g 1 (relaciones (1-10) y (1-12)),después el término A λ T 1+λ 2+λa 1 en la expresión del término de rebanada(relaciones (1-18) y (1-19)). Igualmente, r λ 1+λcontribuye con T λ a 1 a 2 altérmino de línea. Nuestro principio de composición se traduce entoncespor la regla de correspondencia:(1-23)r → A T a + T aaλ 2+ λ 1+λλ 1+λ 1 λ 1 2Inversamente, la regla (1-23) permite reconstituir el principio (1-20)(con la única condición que el covariograma g sea isótropo o puedareducirse a la forma isótropa por una transformación lineal). Esta es laregla que vamos a justificar.Justificación de la regla (1-23).Partamos de la fórmula general (1-16), en que G(u,v) es la transformadade Fourier del covariograma g. Esta fórmula se escribe:2⎛ p q ⎞σ ( a1, a2) = ∑ G⎜, ⎟−G(0,0)pq , ⎝a1 a2⎠En la suma doble, los términos correspondientes a q=0 proporcionan eltérmino de rebanada.36

2⎛ p ⎞σ1 ( a1) = ∑ G⎜,0 ⎟−G(0,0)p ⎝a1⎠En efecto G(u,0) es la transformada del covariograma subido g 1 (h), y lafórmula (1-15) muestra que el término anterior es precisamente la2varianza de 1 dimensión σ1 ( a1) = ξa( g1 1), calculada en el variograma subidog 1 . El segundo término o término de línea, tiene entonces la expresiónexacta:+∞ +∞⎛ p q ⎞2 ∑∑ G ⎜ , ⎟q= 1 p=−∞⎝ a1 a2 ⎠Para justificar (1-23), es necesario probar que la contribución deltérmino en r λ a esta expresión en el desarrollo de g es T λ a 1 a 1+λ 2 . En elespacio de dos dimensiones, la transformada de r λ es:F ( r ) =⎛λ+ 1⎞Γ1 ⎜ ⎟⎝ 2 ⎠ 1λ2 1 λλπ + ⎛ λ ⎞1+2 2 2Debemos establecer entonces la relación:Γ⎜− ⎟ ( u + v )⎝ 2 ⎠(1-24)⎛λ+ 1⎞2Γ⎜ ⎟ +∞ +∞⎝ 2 ⎠11+λπ λ∑∑⎛ ⎞Γ⎜− ⎟ ⎛ p q ⎞⎝ 2 ⎠ ⎜ +2 2 ⎟⎝ a1 a2⎠λq= 1 p=−∞1+2 2 2= Taa1+λλ 1 2para un entero q fijo, se tiene:(1-25)λ+2+∞ +∞1 ⎛a2⎞1∑ =λλp1+ ⎜ ⎟ ∑=−∞12 2 q2 p=−∞+2 2⎛ 2p q ⎞ ⎝ ⎠ ⎛ pa ⎞2⎜ + 12 2 ⎟ ⎜ +2 2 ⎟a1 a2 q a1⎝ ⎠ ⎝ ⎠Por otra parte se supone que a 2 es pequeño respecto de a 1 , luego lacantidad:a2b =qaes pequeña. La suma de Riemann:pb1λ1+2 2 2(1 + b p )proporciona una buena aproximación de la integral:∑37

+∞∫dxλ1+2 2(1 x )−∞+Por otra parte se puede demostrar que el error cometido al reemplazar lasuma discreta por una integral es de un orden muy elevado en b. Sededuce, con una aproximación excelente:p⎛1+λ ⎞+∞Γb 1 dx 1 ⎜ ⎟2≈ = π⎝ ⎠λλ1+ 12 2 b+2 2 b λ−∞⎛ ⎞2(1 + b p ) (1 + x ) Γ ⎜1+⎟⎝ 2 ⎠∑ ∫Al reemplazar b por su valor a 2 q/a 1 , e introduciendo este valor en (1-25),se tiene:+∞∑p=−∞⎛1+λ ⎞Γ1 ⎜ ⎟2 1= aa π⎝ ⎠λ1+2 2 ⎛ λ ⎞ q⎛ 2p q ⎞ Γ ⎜1+⎟⎜ +2 2 ⎟⎝ 2 ⎠⎝ a1 a2⎠1+λ1 2 1+λAl llevar este resultado al primer miembro de (1-24) se obtiene:⎛1+λ ⎞Γ2 ⎜ ⎟2 1+∞1+λ ⎝ ⎠1 2 1 1 λλ λ∑ ++ ⎛ ⎞2q=1 qaaπΓ ⎜ − ⎟⎝ 2 ⎠Pero, según (1-19) esta expresión es precisamente igual a T λ a 1 a 1+λ 2 , demanera que la relación (1-24) se verifica, luego también la regla decorrespondencia (1-23) y el principio de composición se encuentrajustificado.1-4-5 Aplicación a la estimación de una superficie.Apliquemos el principio de composición del párrafo anterior al caso de laestimación de una superficie S. La V.R. a estimar es la funciónindicatriz k(x) del conjunto S. Hemos visto que el covariogramageométrico K(h) asociado es lineal en una vecindad del origen (párrafo1), es decir:Kh ( ) = S− | hD | α+ ...En que D α es la variación diametral en la dirección α del vector h.38

a/ Consideremos primero el caso isótropo, es decir en el caso en que lavariación diametral D α =D es aproximadamente independiente de la direcciónα. Con T 1 =-1/6 y a 1 T 2 =-0.0609, la regla (1-23) proporciona la varianza deestimación de S para una malla rectangular (a 1 , a 2 ), en la forma:(1-26)2 1 2 3σ SD ⎛⎞= ⎜ aa1 2+ 0.0609 a1 ⎟ ( a2 ≤a1)⎝6⎠Busquemos más bien la varianza relativa σ S 2 /S 2 . En realidad no conocemosel verdadero valor de S, sino simplemente su estimador na 1 a 2 , siendo n elnúmero de puntos positivos de la red. Al dividir por (na 1 a 2 ) 3/2 √(S), seobtiene la expresión interesante:(1-27)23/2σS1 D ⎛1a ⎛2a ⎞ ⎞22 3/2S n S ⎜⎜ ⎟6 a1 a ⎟1= + 0.0609 ( a2 ≤a1)⎝⎝ ⎠ ⎠Por otra parte, no conocemos la variación diametral D. Para estimarla, sereemplaza el conjunto S desconocido por la unión de las zonas deinfluencia (rectángulos a 1 , a 2 ). Se cuentan los números 2N 1 y 2N 2 deelementos lineales a 1 , a 2 que constituyen el perímetro del contornoobtenido. Las variaciones diametrales correspondientes son D 1 =N 1 a 1 yD 2 =N 2 a 2 . Como estamos, por el momento, en el caso isótropo, se tiene:D = N1a1=N2a2Sustituyendo en (1-26), y dividiendo por S 2 =(na 1 a 2 ) 2 . Queda:(1-28)2 2σ 1 ⎛SN2 N ⎞1= 0.061 (2 2 ⎜ + ⎟ N2 ≤ N1)S n ⎝ 6 N2⎠b/ En general, sin embargo, el contorno no será suficientemente isótropopara que D α pueda ser considerado como una constante D. Por ejemplo,puede presentar una dirección principal de alongamiento. Si uno de loslados de la malla es paralela a esta dirección principal (lo cual será amenudo el caso), la fórmula (1-28) anterior sigue siendo válida: enefecto, tomando esta dirección principal como eje de las x, ymultiplicando las coordenadas por un módulo conveniente, obtenemos unanueva figura, isótropo esta vez (al menos en primera aproximación) parala cual (1-28) es válida. Pero esta transformación no ha modificado ni N 139

ni N 2 , ni la varianza relativa σ S 2 /S 2 , de manera que (1-28) es válidatambién en el caso de una figura inicial anisótropa.Ejemplo: en la figura adjunta, se estima el área mineralizada por 10veces el rectángulo de malla a 1 a 2: La figura tiene un hoyo (una laguna).Al contar N 1 y N 2 deben figurar también los elementos exteriores y loselementos interiores.Se lee en la figura:Por consiguiente:2D 1 = 12 a 1 es decir N 1 = 62D 2 = 8 a 2 es decir N 2 = 42σS1 ⎡4 36⎤1.21= 0.0612S 100 ⎢+ × =⎣6 4 ⎥⎦ 100Es decir una desviación estándar relativa σ S /S = 11/100, y un errorrelativo (con 95% de confianza) de ±22%.No se debe olvidar que este cálculo hace abstracción del términofluctuante o Zitterbewegung, del cual sabemos que puede tener unamagnitud enorme.40

Figura 1: Zitterbewegung en la estimación de la superficie de un círculode diámetro 1, a partir de una malla cuadrada de lado a. En abscisa, lamalla a. En ordenada, la varianza de estimación correspondiente σ 2 (a). Lacurva en morado representa el valor exacto, calculado a partir de lafórmula exacta (1-14), la curva en azul representa la fórmula σ 2 (a) =0.2276 a 3 + 0.0047 a 5 obtenida despreciando el Zitterbewegung y reteniendolos dos primeros términos del desarrollo limitado dado por el principiode correspondencia (Nota del T.: no corresponde a la figura original).41

1-4-6 Paso a la versión probabilística de la teoría.En este primer capítulo hemos adoptado el punto de vista espontáneo y, sise puede decir, ingenuo, que consiste en tomar el fenómeno que se quiereestudiar tal como se presenta, sin hacer sobre éste ninguna hipótesisparticular. Sin embargo, si los métodos transitivos pretendían, alcomienzo, construir la teoría de las V.R. sin introducir interpretacionesprobabilísticas, esta pretensión no ha tardado en revelarse comoinjustificada. En primer lugar, un fenómeno inesperado como elZitterbewegung (párrafo 1-4-3) es muy característico de una situaciónpre-aleatoria la cual los físicos conocen bien: aquella en que una ligeramodificación de las condiciones iniciales, imprevisible experimentalmente(aquí es la razón de la malla módulo 1), provocan al cabo de un ciertotiempo, una modificación radical del fenómeno observable. Másprofundamente aún, el covariograma g(h) – si lo conociéramosperfectamente – presentaría pequeñas ondulaciones, puntos singulares,toda una estructura de detalle la cual proporcionaría tanta información,o casi, que la misma V.R. Pero esta rica estructura de detalle, nunca esaccesible experimentalmente. Partiendo de puntos experimentalesdiscontinuos, ajustamos un modelo teórico de covariograma, que será unacurva regular y continua, salvo en una vecindad del origen y del alcance(observación final del párrafo 1-4-1). Más precisamente, somos llevados ahacer una hipótesis sobre el comportamiento analítico (en h λ por ejemplo)del g(h) en una vecindad del origen. En efecto, no hay nada que nos digaque el verdadero g(h) presenta un comportamiento analítico de un tipo tansimple. Desde el punto de vista matemático, las operaciones dealisamiento o de regularización que implican una hipótesis de este tipo,son difíciles de analizar con precisión. Pero es claro que estashipótesis evitan necesariamente la estructura fina de g(h) y toda lariqueza de información potencial contenida. Si bien el caráctermatemático de estas operaciones es más bien oscuro, su significaciónepistemológica es evidente: Constituyen un equivalente camuflado de unpaso a la esperanza matemática. Así, los métodos transitivos, que semostraban al comienzo como puramente geométricos, se revelan, cuando seanalizan las condiciones de su puesta en práctica efectiva, como de unrico contenido probabilístico implícito.Haremos aparecer entonces, por fin, estas hipótesis probabilísticas quedisimulaban los métodos transitivos, y esto será nuestra teoría de lasfunciones aleatorias intrínsecas. Sin embargo los fenómenos a los cualesnos interesamos deben, en general, ser considerados como únicos, y lainferencia estadística será (en principio) posible mediante una hipótesisespecial, del tipo estacionaria o intrínseca. Esta hipótesis aparecerá aveces plausible, a veces francamente contraria a los datosexperimentales, y, en todos los casos, como una hipótesis arbitraria. Porotra parte puede parecer ilusorio interpretar un fenómeno de lanaturaleza como una función aleatoria si no estamos en condiciones derestituir, sin ambigüedad, la ley de probabilidad de esta funciónaleatoria (F.A.) a partir del fenómeno real. Vemos aparecer así una nuevacontradicción. Recién, los métodos transitivos revelaban un contenidoprobabilístico inconfesable: pero no implicaban ninguna hipótesis deestacionaridad (y es aquí donde reside su interés metodológico). Ahoravamos a poner a plena luz estas hipótesis probabilísticas, anteriormenteescondidas, pero nos va parecer que estas hipótesis solo tienen sentidomediante esta hipótesis de estacionaridad, la cual, justamente, no eranecesaria en el caso de los métodos transitivos.42

La aproximación de estos dos puntos de vista opuestos indica claramentela solución: la interpretación probabilística es inevitable, pero lahipótesis estacionaria no es realmente necesaria. La V.R. deberá serconsiderada, en general, como una realización de una F.A. noestacionaria, y la herramienta de base será una covarianza noestacionaria C(x, y) la cual depende, de manera separada de los dospuntos de apoyo x e y (y no solamente de la diferencia x-y). Lainferencia estadística permanecerá imposible, en el sentido que nopodemos determinar C(x, y) a partir de los datos disponibles. Pero notenemos necesidad de conocer efectivamente esta covarianza. Para verlobastará de transformar en términos probabilísticos los resultados de losmétodos transitivos. Si se trata, por ejemplo, de estimar un dominio V,cuya indicatriz es k(x), los métodos transitivos muestran que esnecesario conocer la función:∫gh ( ) = kx ( ) f( xkx ) ( + h) f( x+hdx )En la versión probabilística, el covariograma geométrico es en sí mismouna F.A. y es su esperanza E(g(h)) lo que es necesario y suficienteconocer para resolver el problema de la estimación. Esta esperanza sededuce de la covarianza no estacionaria por la relación:(1-29) E( g( h)) = k( x) k( x+ h) C( x, x+h)dx∫Es, por otra parte, la relación que se aplicaba implícitamente cuando sesustituía un modelo teórico al verdadero g(h) desconocido. Estaesperanza, salvo un factor, no difiere de la covarianza seudoestacionariaCh ( ), valor medio de C(x, y) en el domino V a estimar, quese atribuiría a la función aleatoria si se la considera como estacionaria(a pesar de que, quizás, no lo es). En efecto, se tiene claramente:1 Egh ( ( ))Ch ( ) = kxkx ( ) ( hCxx ) ( , hdx )Kh ( )∫ + + =Kh ( )Así, es esta esperanza E[g(h)] o esta covarianza media Ch ( ) lo que bastaconocer para resolver el problema de la estimación. Además, los métodosde aproximación que hemos desarrollado, muestran que es suficienteconocer el comportamiento en el origen de esta función E[g(h)] o Ch. ( )Mostraremos más adelante que la inferencia estadística a partir de unarealización única es posible para aquello que nos interesa (estecomportamiento en una vecindad del origen) mediante solamente unahipótesis de cuasi-estacionaridad que precisaremos al hacer camino: peroesta hipótesis será esta vez lo suficientemente débil para serfísicamente admisible en todos los casos que nos interesan. Dicho de otramanera, el problema de la estimación será posible de resolver en un marcoexplícitamente probabilístico y utilizando solamente los datosexperimentalmente disponibles.Se comprueba aquí la importancia metodológica de este primer capítulo, elcual, a primera vista, puede parecer un poco teórico: una vezprobabilizados, los resultados de los métodos transitivos, muestran quees posible evitar la famosa hipótesis de estacionaridad, y esta es la43

azón por la cual dimos una exposición bastante completa. Pasemos ahora ala versión probabilística de la teoría.1-5 EJERCICIOS SOBRE LOS METODOS TRANSITIVOS.1-5-1 Ejercicios sobre los párrafos 1-1 y 1-2.Ejercicio 1 (Función triangular) – En el espacio de una dimensión,encontrar el covariograma geométrico K(h) asociado a un segmento de largob.(Solución: K(h)=b-|h| para |h|≤b, y 0 en otro caso. Observar elcomportamiento lineal en una vecindad de h=0 y el empalme brutal en h=b).La misma pregunta en R 2 para el rectángulo axb (Solución: K(h 1 , h 2 )=(a-|h 1 |)(b-|h 2 |) para |h 1 |≤a y |h 2 |≤b) y en R 3 para el paralelepípedo axbxc.Ejercicio 2 (Algoritmo de Cauchy) – Sea V un conjunto en R n , K(h) sucovariograma geométrico, y g(h) una función cualquiera de un argumentovectorial h. Probar que el valor medio de g(x-y) cuando las dosextremidades x e y del argumento de g describen separadamente V, sededuce de K(h) por la fórmula:1 1dx g( x y) dy g( h) K( h)dhV∫ ∫ − =V∫2 2V V(Solución: explicitar la integral doble con la ayuda de la indicatriz deV, hacer un cambio de variable e invertir el orden de integración. Estealgoritmo es de empleo constante en la teoría de las V.R.)Aplicación – (ver ejercicio 1) si g=g(r) solo depende del módulo r=|h|,el valor medio de g en el rectángulo axb es:4ab2 2a∫ ∫0 0b2 2( − )( − ) ( + )dx a x b y g x y dyEjercicio 3 – Sea en R 1 la función f(x)=e -ax para x≥0 y f(x)=0 para x

gh ( )⎛16 4 h 2 | h | 1 | h|⎝15 3 b 3 b 30 b2 3 55= b⎜− + −2 3 5Observar el término irregular principal en |h| 3 : se trata de una funcióncontinua. Más que hacer un cálculo directo, se mostrará que si f esderivable, su covariograma g = f * f tiene por derivada segunda g " =−f ' ∗( f ') ,y se utilizará el ejercicio 4. Luego hay que integrar dos veces,observando que g’(0)=0 y calculando directamente g(0).Ejercicio 6 (fórmula de Minkowski) – Sea S un conjunto suficientementeregular de R 2 , K(h) su covariograma geométrico y 2L su perímetro.Establecer la relación:⎞⎟⎠π'2 =−∫ α(0)0L K dα(poner –K ’ α(0) en la forma de una integral curvilínea (1/ 2) | cos( θ −α) | dsextendida al contorno de S, e integrar primero en α).Igualmente, si V es un conjunto de R 3 , K(h) su covariograma geométrico, yS su superficie, probar que:1=−π ∫'S Kω(0) d(en que ω es el ángulo sólido elemental en torno a la dirección ω,integración sobre 4π estéreoradianes).(Estas fórmulas son muy útiles en morfología matemática: permitenreconstituir el perímetro o la superficie específica a partir de laderivada de la función de covarianza o del covariograma, es decir deobservaciones exclusivamente lineales).Ejercicio 7 (Efecto de pepita) – En R 1 se divide el intervalo (0,b) en nintervalos iguales de largo l/n, y se consideran n variables aleatoriasX i las cuales admiten la misma esperanza m y la misma varianza σ 2 . Se ponef(x) = X i para cada (i-1)a ≤ x ≤ ia, i = 1, 2, ..., n y f(x) = 0 alexterior de (0, b). Encontrar la esperanza g(h) del covariograma de f(x).(Solución: σ 2 (b - n|h|) + m 2 (b - |h|) para h ≤ a, m 2 (b - |h|) paraa

Deducir que para α fijo y r≥0, g(r; α) es una función convexa de r.b/ Ahora se sortea al azar la dirección α según la ley de densidad:D' αg (0; α)=− d α 0 ≤α ≤ π2L2L(ver ejercicio 6 para verificar que se trata bien de una ley deprobabilidad). Esta ley atribuye a cada dirección α una probabilidadproporcional al contorno aparente de S en esa dirección, correspondiendoexactamente a la ley (condicional) de las intersecciones de S con una redprevia de rectas aleatorias en las cuales las direcciones estándistribuidas uniformemente en (0, π ) . Mostrar que la granulometría de latransversal correspondiente es:con el valor medio:π1 '1 − ( ) =− ( ; α)2L∫0Fh g h dαEh ( )= πEjercicio 9 (covariograma geométrico de la esfera). Encontrar elcovariograma K(h) de una esfera de diámetro D en R 3 .S2L(Solución:3 3π D ⎛ 3| h| 1| h|⎞Kh ( ) = ⎜1 − + para h D.3 ⎟ ≤6 ⎝ 2 D 2 D ⎠Partir de la relación:πK ( h)= D − h4( )' 2 2e integrar, observando queg(0)π63= D ).Ejercicio 10 (subida de orden 2) – Efectuar directamente la subidaisótropa de orden 2 sobre la función g n (r)=r λ (0≤r≤1), g n (r)=0 (r>1).Deducir que los coeficientes A λ de la relación (1-10) verifican:2AA = πλ λ + 1λ + 22π2(Solución: gn2() r (1 r λ +−= − ) para r≤1, y 0 para r>1. La subida de orden 2λ + 2λλ+2verifica la regla r → AλAλ+1r, respecto de la parte irregular; estaregla proporciona el resultado salvo una serie par, en este caso reducidaa una constante)46

2 2Ejercicio 11 – Covariograma de la función f( x) = ( π /4)( D − x ) para -D≤x≤D, 0en otro caso (f(x) es la sección de una esfera de diámetro D por un planode cota x)(Solución:2 3 52⎛1 h | h| 1| h|⎞5g( h) = ( π /6) ⎜ − + − D2 3 5 ⎟⎝5 D D 5 D ⎠Hacer directamente la subida de orden 2 sobre el covariograma geométricodel ejemplo 9. Comparar con el ejemplo 5).Ejercicio 11 bis (Reconstitución de la granulometría de esferas) - Setiene, en R 3 una población de esferas. Sea θ 3 el número de esferas porunidad de volumen, y sea F 3 (D) la granulometría de estas esferas. Dichode otra manera, θ 3 [1-F 3 (D)] es el número de esferas de diámetro ≥Dpresentes por unidad de volumen. Estas esferas inducen círculos ytransversales (cuerdas) sobre planos y rectas respectivamente. Sea θ 2 elnúmero de círculos por unidad de longitud y sea 1-F 2 (D) su granulometría(que es la granulometría inducida por F 3 en los planos); sea θ 1 el númerode transversales por unidad de longitud y sea 1- F 1 (D) la granulometría(inducida sobre las rectas por F 3 y también por F 2 ).a/ Establecer las relaciones:∞Dπθ [1 − F( h)] = θ [1 − F ( D)] dD= θ [1 −F ( D)]2DdD∫1 1 22 22 3 34h D − hh∞Dθ [1 − F ( h)] = θ [1 −F ( D)]dD∫2 2 32 23h D − h∞∫(primero establecer que, por ejemplo,una integración por partes.∞2 21−1= θ2∫−2hθ [1 F ( h)] D h F ( D)dD , y hacerb/ Invertir las relaciones: al utilizar (1-8), probar que se tiene, porejemplo:' πθ1F1( h) = θ3h[1 −F3( h)]2∞2 '2− F2 h = θ1 1π∫hθ [1 ( )] F ( u)udu− h2 2Deducir que 2 2 ∞θ 3= F "(0) θ 11, θ 2= θ 1F 1( du)ππ∫ , y reconstituir las granulometríasuhde los círculos y de las esferas a partir de la granulometría de lastransversales.Ejercicio 12 (Subida sobre la exponencial de Gauss) – La subida de orden1 transforma exp(-ar 2 ) en:47

π −2areaEjercicio 13 (Covariograma exponencial) – Sea, en el espacio de una| h|dimensión, una V.R. con covariograma transitivo g( h)= e −λ. Determinar laexpresión exacta de la varianza de estimación σ 2 (a), encontrar su parteprincipal, y concluir en ausencia de Zitterbewegung.Solución:⎛ 2 2 ⎞ 1σ ( a) = a⎜−1− ⎟≈λa⎝1−e λa⎠62 2−λa(llevando el desarrollo más lejos, se identificarán también los términosT 1 , T 3 , T 5 , ... de las relaciones (1-18). En particular T 1 =-1/6).Ejercicio 14 (Covariograma triangular) Sea en el espacio de una dimensiónla V.R. igual a 1 en el intervalo (0,b).a/ Encontrar el covariograma de f(x)(Solución: g(h)=b-|h| para |h|≤b y 0 para |h|>b; establecer esteresultado por un razonamiento geométrico).b/ Calcular la varianza de estimación para una malla a pequeña, por mediode la fórmula de aproximación. (Solución: (1/6)a 2 ).c/ Se dispone de n+2 sondajes S 0 , S 1 , ..., S n , S n+1 en una malla regular enla cual el primero y el último de los sondajes son negativos y el restotodos positivos. Se admite que cada una de las dos extremidades delintervalo del cual se quiere estimar la longitud b puede caer encualquier parte del segmento (S 0 , S 1 ) y (S n , S n+1 ) respectivamente, demanera independiente una de la otra, con una densidad uniforme. Lalongitud b es entonces una variable aleatoria. Probar que E(b)=na;D 2 (b)=a 2 /6: se encuentra bien la varianza de estimación tal como laproporciona la fórmula de aproximación, pero no se obtiene el términofluctuante.d/ Calcular el valor exacto de la varianza de estimación de b/(Solución: poner b=na+εa con 0≤ε

conteniendo S. Si la muestra cae en un punto x ∈ S , se toma el estimadorQ * (x)=a 1 a 2 f(x), y 0 si x ∉ S . Q * (x) es así una variable aleatoria. Probardirectamente que:EQ∫*( ) = ( )f xdx( )E Q aa f x dx* 2(( ) ) =1 2( )2 *D ( Q ) = aa1 2g(0) − g( h)dh∫∫249

CAPITULO 2LAS FUNCIONES ALEATORIAS INTRINSECAS2-1 DEFINICIONES GENERALES.Noción de Función Aleatoria.En teoría de probabilidades se define la noción de variable aleatoria(V.A.) vectorial (Y 1 , Y 2 , ..., Y k ) de k componentes: es una familia de kV.A. ordinarias Y 1 , Y 2 , ..., Y k (en general no independientes). Cuando elnúmero k de estas componentes se hace infinito, se obtiene una familiainfinita de variables aleatorias: esto es una función aleatoria. Enparticular, si x es un punto del espacio de n dimensiones R n , se puededefinir una familia infinita (Y(x)), xЄR n . A todo punto x 0 del espaciocorresponde así una V.A. ordinaria Y(x 0 ). Y(x) es entonces una funcióndel punto x, cuyo “valor” en x 0 no es un número, sino una V.A (a saberY(x 0 )). Se dice que Y(x) es una función aleatoria (abreviado F.A.). Seobservará que, en general las V.A. correspondientes a dos puntos de apoyox 1 y x 2 no son independientes.Si Y es una V.A. ordinaria, el resultado particular de un experimento alazar según la ley de probabilidad de Y es un valor numérico particulary. Análogamente, si Y es una V.A. vectorial (Y 1 , Y 2 , ..., Y k ), un sorteoal azar según la ley (de k variables) de Y proporciona un vector y=(y 1 ,y 2 , ..., y k ), es decir k valores numéricos particulares. Finalmente, siY(x) es una F.A. – es decir una V.A. vectorial con una infinidad decomponentes – un sorteo al azar, efectuado según la ley (de una infinidadde variables) de Y(x) proporciona una función numérica particular y(x),en general, extraordinariamente irregular. Se dice que y(x) es unarealización de la F.A. Y(x).Siempre se puede considerar una realización de una y(x) de una F.A. Y(x)como una variable regionalizada. Inversamente, se puede interpretar unaV.R. como una realización de una cierta F.A. Y(x): esta interpretaciónpermite aplicar a las V.R. los resultados de la teoría probabilística delas F.A.Observaciones1/ No se puede afirmar que una V.R. y(x) es una F.A. Esto tendría elmismo sentido que decir: el número 98 es una V.A. El enunciado correctode la hipótesis probabilística de base que deseamos introducir es: y(x)es una realización de una F.A. Y(x).2/ Para que esta hipótesis probabilística tenga un sentido real, esnecesario poder reconstituir, al menos en parte, la ley de la F.A. de lacual suponemos que la V.R. y(x) es una realización, lo cual supone que lainferencia estadística es posible. Por otra parte, la inferenciaestadística no es, en general, posible si se dispone de una solarealización y(x) de Y(x) (de la misma manera, no se puede reconstituir laley de una V.A. Y a partir de un resultado numérico y=98 de un únicoexperimento.). Para que la inferencia estadística sea posible, esnecesario introducir hipótesis suplementarias acerca de la F.A. Y(x), demanera de reducir en número de “parámetros” de los cuales depende la leyde Y(x). Este es el objetivo de la hipótesis estacionaria que vamos adefinir: una F.A. estacionaria se repite, de una cierta manera, en el50

espacio, y, esta repetición hace posible la inferencia estadística apartir de una realización única. Precisemos ahora esta hipótesis:F.A. estacionaria. – Se dice que una F.A. Y(x) es estacionaria si su leyes invariante por translación. Dicho de otra manera, si x 1 , x 2 , ..., x kson k puntos de apoyo arbitrarios (k entero cualquiera), las k variablesaleatorias Y(x 1 ), Y(x 2 ), ..., Y(x k ) tienen la misma ley de probabilidad(de k variables) que las k V.A. Y(x 1 +h), Y(x 2 +h), ..., Y(x k +h). Enadelante, Y(x) designará una F.A. estacionaria.Esperanza matemática. – Consideremos un punto de apoyo x 0 . Si la V.A.ordinaria Y(x 0 ) admite una esperanza matemática, ésta es una funciónm(x 0 )=E[Y(x 0 )] del punto de apoyo x 0 . Pero Y(x) es estacionaria, porconsiguiente, se tiene: m(x 0 +h)=m(x 0 ), para todo vector h, luego m(x 0 ) esuna constante m, independiente de x 0 :m=E[ Y( x)]Se puede suponer a menudo que m=0, al reemplazar Y(x) por Y(x)-m(suponiendo siempre que esta esperanza existe).La covarianza K(h). – Consideremos ahora dos puntos de apoyo x 0 y x 0 +h. Silas dos V.A. Y(x 0 ) e Y(x 0 +h) admiten varianzas finitas (luego también unaesperanza m que supondremos nula), Y(x 0 ) e Y(x 0 +h) admiten también unacovarianza K(x 0 ;h), que depende, en principio, del punto de apoyo x 0 y delvector h. Pero como Y(x) es estacionaria, se tiene: K(x 0 +a;h)=K(x 0 ;h) paratodo vector a, luego K(x 0 ;a) no depende de x 0 , y nosotros escribiremossimplemente K(h):(2-1) Kh ( ) = EYxYx [ ( ) ( + h)]Se comparará esta definición a la del covariograma transitivo: K(h) es latranspuesta probabilística de g(h). Para h=0 se tiene K(0)=E([Y(x)] 2 ):que es la varianza de la V.A. Y(x 0 ). Para que una F.A. Y(x) admita unafunción de covarianza K(h), es necesario y suficiente que Y(x) admita unavarianza finita K(0).Hipótesis estacionaria de orden 2. – Diremos que una F.A. Y(x) esestacionaria de orden 2 si la V.A. Y(x 0 ) admite una esperanza mindependiente del punto de apoyo x 0 , y, si para todo vector h lacovarianza:2Kh ( ) = EYxYx [ ( ) ( + h)]− mexiste y no depende de x 0 . Esta hipótesis (la cual no implica laestacionaridad en sentido estricto, tal como la definimos antes) essuficiente para la teoría de las V.R. Sin embargo esta hipótesis suponela existencia de una varianza a priori finita K(0).Varianza a priori infinita. – Por otra parte, existen numerosos fenómenosque presentan una capacidad de dispersión ilimitada y no pueden serdescritos correctamente si se les atribuye una varianza a priori finita:esta afirmación puede sorprender, sin embargo hay que ver que lanaturaleza nos tiende aquí una suerte de trampa. Cuando se toman muestrasv en un campo V, se obtiene un histograma a partir del cual se puedecalcular numéricamente una varianza, la cual toma un valor perfectamente051

definido. Pero esta varianza es, en realidad, una función σ 2 (v|V) delsoporte v y del campo V. Esta varianza aumente, en particular, cuando elcampo V aumenta. Si las muestras de tamaño v poseen una varianza a priorifinita, ésta debe ser igual al límite cuando V tiende a infinito, de lavarianza experimental σ 2 (v|V).Es así como los autores de Africa del Sur (D. G. Krige, etc., ...), apartir de cientos de miles de muestras tomadas en el gran yacimiento deoro de Rand, calcularon la varianza de las muestras en paneles cada vezmás grandes, luego en toda una concesión, luego en el yacimiento de Randen su conjunto: obtuvieron una relación experimental de la forma:2 ⎛V⎞σ ( vV | ) = αlog⎜ ⎟⎝ v ⎠El crecimiento de la varianza se produce siempre según esta leylogarítmica (fórmula de De Wijs) hasta el último punto experimental, enel cual V/v es del orden de la decena de billones: Se puede concluir, conplena seguridad, que, en este caso, no existe una varianza a priorifinita.Entonces estamos conducidos a reemplazar la hipótesis estacionaria deorden 2 por una hipótesis más débil pero de significación análoga:Hipótesis intrínseca. En el caso en que la varianza a priori K(0) noexiste (es infinita), puede ocurrir que los incrementos Y(x 0 +h)-Y(x 0 )tengan una varianza finita. Diremos entonces que la F.A. Y(x) verifica lahipótesis intrínseca si, para todo vector h, el incremento Y(x 0 +h)-Y(x 0 )admite una esperanza y una varianza independientes del punto de apoyo x 0(pero dependiendo de h), es decir:EY [ ( x+ h) − Y( x)] = mh ( )2D [ Y( x+ h) − Y( x)] = 2 γ ( h)La función m(h) es la deriva lineal. Para demostrar que es lineal en h,se parte de la relación evidente:Y( x+ h" + h') − Y( x) = [ Y( x+ h" + h') − Y( x+ h')] + [ Y( x+ h') − Y( x)]y se pasa a las esperanzas, de donde: m(h’+h”)=m(h’)+m(h”). Se puedesuponer siempre que esta deriva lineal m(h) es nula, al reemplazar Y(x)por Y(x)-m(x)La función γ(h):(2-2) γ ( h) = D 2( Y( x+ h) − Y( x))12se llama variograma o función intrínseca. Una F.A. que verifica lahipótesis intrínseca constituye lo que se llama un esquema intrínseco,caracterizado por su variograma.Observación. Si Y(x) verifica la hipótesis estacionaria de orden 2,verifica también la hipótesis intrínseca y se tiene, en este caso:52

(2-3) γ ( h) = K(0) − K( h)Como |K(h|≤K(0), se tiene γ(h)≤2K(0), de manera que el variograma de unaF.A. estacionaria de orden 2 está necesariamente acotado. Existenesquemas intrínsecos de uso muy corriente cuyo variograma γ(h) no estáacotado, y que no pueden, por consiguiente, verificar la hipótesisestacionaria de orden 2 (tienen una varianza a priori infinita). Ejemplo,esquema de De Wijs (γ(h)=3αlog|h|), esquema lineal (γ(h)=A|h|).2-2 PROPIEDADES DE LA COVARIANZA Y DEL VARIOGRAMALa covarianza o el variograma son funciones simétricas:Kh ( ) = K( − h) , γ ( h) = γ ( − h)La covarianza verifica además la desigualdad de Schwarz:Kh ( ) ≤ K(0)Para el variograma, se encuentran solamente las relaciones: γ(h)≥0 yγ(0)=0. Sin embargo, es posible demostrar que el crecimiento en elinfinito de un variograma es necesariamente menos rápido que elcrecimiento de |h| 2 ; es decir:γ ( h)lim = 0h→∞2| h |Estas condiciones son necesarias pero no son suficientes. Sea K o γ unacovarianza o un variograma que verifican estas relaciones, entonces nonecesariamente existe una F.A. estacionaria o intrínseca admitiendo lacovarianza K o el variograma γ. En efecto, la condición necesaria ysuficiente es que K pertenezca a la clase de funciones “de tipo positivo”y –γ a la clase de funciones de “tipo positivo condicional”. Por ejemplo,las funciones log(r) y r λ con λ

es una V.A. (una combinación lineal finita de V.A.). Como por hipótesisexiste una función de covarianza K(h), la variable aleatoria Y admite unavarianza finita, y un cálculo elemental proporciona:(2-5)∑2D Y λλi jK xi xji,j( ) = ( − ) ≥0La condición evidente D 2 (Y)≥0 expresa (párrafo 1-3) que las funciones decovarianza son de tipo positivo. A la inversa, si K(h) es una función detipo positivo, se muestra que es posible construir una F.A. cuyacovarianza es precisamente K(h). Esta fórmula (2-5) aparecerá de nuevo,en formas ligeramente diferentes, en todas las etapas de la teoría.Observamos, por el momento, que, en el caso estacionario de orden 2,todas las combinaciones lineales finitas tienen una varianza finita, yque su utilización es siempre legítima.No ocurre lo mismo cuando existe solamente el variograma, y no haycovarianza. En efecto, en este caso, solamente las combinaciones linealesque verifican la condición:∑(2-6) 0iλ =itienen una varianza finita. Luego, en el caso de una F.A.I. sincovarianza, solo se autoriza el uso de combinaciones lineales en lascuales la suma de los coeficientes es igual a 0. Esta observación juegaun papel fundamental en toda la teoría intrínseca. Probemos que larelación (2-6) es suficiente. Si esta relación es válida, se puedeescribir:∑ ∑iλY( x ) = λ[ Y( x ) −Y(0)]i i i iiPor otra parte la F.A. (no estacionaria) definida por:Z( x) = Y( x) − Y(0)admite una función de covarianza C(x,y)=E(Z(x)Z(y)), porque Z(x),incremento de la F.A.I. Y(x) admite una varianza finita. Calculemos estafunción de covarianza (no estacionaria) C(x,y) cuya expresión nos será deutilidad más tarde. Lo más simple para esto, es partir de la definicióndel variograma:2 γ( x − y) = E Y −Y − Y + Y = 2 γ( x) + 2 γ( y) − 2 C( x, y)(2-7) [ ] 2de donde:x0 x 0Cxy ( , ) = γ ( x) + γ( y) −γ( x−y)∑i∑ admiteiiiCuando (2-6) se verifica, la combinación lineal λiYx = λi( Yx−Y0)la varianza finita:54

2D Y λλi jC xi xji,j( ) = ∑ ( , )Es decir, según (2-7):Al considerar (2-6):∑ ∑ ∑ ∑ ∑2D Y = λi λjγ xj + λj λγixi − λλi jγxi −xji j j i i,j( ) ( ) ( ) ( )(2-8)∑2D Y =− λλγi jxi −xji,j( ) ( )Se obtiene un resultado que será muy útil en lo que sigue: cuando la sumade los coeficientes de una combinación lineal es 0, se puede calcular suvarianza según la fórmula (2-5) como si existiera una covarianza K(h),con la condición de reemplazar esta covarianza por –γ. Se trata de unmecanismo de cálculo muy general, que aporta, a menudo, grandessimplificaciones.Inversamente, si no hay varianza a priori finita, una combinación linealde varianza finita es necesariamente una combinación lineal deincrementos de la F.A. Y(x), debido a que, por hipótesis, estosincrementos tienen varianza finita. Por consiguiente esta combinaciónlineal verifica la condición (2-6) la cual es bien necesaria ysuficiente, como lo habíamos anunciado.Ahora podemos introducir, de manera natural, la condición siguiente segúnla cual –γ debe ser de tipo positivo condicional. Diremos que una funcióng(h) es de tipo positivo condicional si para todo entero N, todo sistemade puntos x 1 , x 2 , ..., x N del espacio R n y todo sistema λ 1 , λ 2 , ...,λ N queverifican la condición Σλ i =0, se tiene:∑i,jλλ gx ( − x) ≥ 0i j i jComo las combinaciones lineales autorizadas tienen una varianza positivao nula, la relación (2-8) significa bien que –γ es de tipo positivocondicional. Inversamente, si –γ es de tipo positivo condicional, sepuede mostrar que es efectivamente posible construir una F.A.I. la cualadmite γ como variograma. Se trata entonces de una condición necesaria ysuficiente.2-2-2 Continuidad en media cuadrática y otras propiedades.Daremos algunas indicaciones complementarias acerca de las propiedades deuna covarianza o de un variograma. Análogamente a los métodostransitivos, el interés se va a concentrar en el comportamiento en unavecindad del origen.a/ Se puede observar que el variograma proporciona un contenido preciso ala noción tradicional de zona de influencia de una muestra: sucrecimiento más o menos rápido refleja, en efecto, la manera más o menos55

ápida de cómo se deteriora la influencia de una muestra sobre zonas másy más lejanas del yacimiento.b/ Las anisotropías se manifiestan por un comportamiento diferente delvariograma en las diferentes direcciones del espacio. En ausencia deanisotropía, γ(h)=γ(r) solo depende del módulo r del vector h, y no de ladirección de este vector. Se dice que existe anisotropía geométricacuando una transformación lineal simple de las coordenadas restablece laisotropía.Existen tipos más complejos de anisotropías. Por ejemplo en el espacio detres dimensiones puede suceder que Y(x) solo dependa de la terceracoordenada y permanezca constante en los planos paralelos a los dosprimeros ejes de coordenadas. El variograma γ(h)=γ(h 3 ) depende solamented la tercera componente de h. El caso más corriente será aquél en queY(x) no será realmente constante en los planos horizontales, pero enellos variará menos rápido o más regularmente que en la direcciónvertical. Se tomará entonces un variograma de la forma siguiente(anisotropía zonal):γ ( h) = γ ( h, h, h ) + γ ( h )0 1 1 3 1 3c/ Alcance. En el caso estacionario de orden 2, el alcance a(α) en unadirección α es el valor de la distancia a partir de la cual, en estadirección, Y(x) e Y(x+h) no tienen correlación (o su correlación esdespreciable): K(h)=0 (o ≈0) para |h|≥ a(α).Según c/, K(h)=0 equivale a γ(h)=K(0)=γ(∞): el alcance es también ladistancia a partir de la cual el variograma llega a su valor límite γ(∞)o meseta. Así, una F.A: intrínseca cuyo variograma no está acotado, nopuede tener un alcance finito.d/ Comportamiento en una vecindad del origen. La continuidad y laregularidad en el espacio de la F.A. Y(x) se manifiestan en elcomportamiento de γ(h) en una vecindad del origen. Por orden deregularidad decreciente, se pueden distinguir cuatro tipos:56

Comportamiento parabólico: γ(h) es dos veces derivable en h=0. Y(x) esentonces derivable (en media cuadrática), luego presenta un alto grado deregularidad en el espacio.Comportamiento lineal (tangente oblicua en el origen): γ(h) es continuoen h=0, pero no es derivable en este punto, Y(x) es continua en mediacuadrática, pero no es derivable, luego es menos regular.Efecto de pepita: γ(h) no tiende a 0 cuando h tiende a 0 (discontinuidaden el origen). Y(x) no es continua en media cuadrática, luego esextraordinariamente irregular.57

Caso límite completamente aleatorio: Y(x) e Y(x’) son independientes parados puntos cualesquiera distintos, por cercanos que sean (ruido blanco delos físicos o efecto de pepita al estado puro)Parte irregular. En el caso isótropo (γ(h)=γ(r)) y en ausencia de efectode pepita, se caracteriza el comportamiento de γ(h) por un desarrollolimitado de la forma:∑ ∑ ∑γ ( r) = a r + c r + c r log( r)2nλ2n2nλ2nExactamente como en el caso de los covariogramas transitivos, sedistinguirá un parte regular (términos de grado entero par), y una parteirregular (términos en r λ , con λ diferente de un entero par y tambiéntérminos logarítmicos del tipo r 2n log(r)). Si no hay parte irregular, laF.A. sería indefinidamente derivable, luego perfectamente regular. Porconsiguiente solamente la parte irregular representa el grado deirregularidad de la F.A., y, en esta parte irregular, el término de másbajo grado es el que juega el papel principal: se puede definir el gradode regularidad de la F.A. como el grado λ del término irregularprincipal. Daremos a continuación algunas indicaciones matemáticascomplementarias (sin entrar en detalles, porque se trata de resultadosclásicos).e/ Continuidad y derivación en media cuadrática. Se dice que la F.A. Y(x)es continua en media cuadrática (continua m.c.) si se tiene:2( )E [ Y( x+ h) −Y( x)] →0 para | h| → 0Esto ocurre (por definición) si y solo si γ(h) es continuo en h=0, esdecir en ausencia de efecto de pepita.En el espacio de una dimensión, se dice que la F.A. Y’(x) es la derivadaen media cuadrática de Y(x) (derivada m.c.) de la F.A. Y(x) si:2⎛⎡Y( x+ h) −Y( x)⎤ ⎞E −Y'( x) →0 para | h| →0⎜⎢⎣ h⎥⎦ ⎟⎝⎠Se tienen definiciones análogas para el espacio de n≠1 dimensiones.Se demuestra que una F.A. intrínseca Y(x) admite una derivada m.c. Y’(x)si y solo si γ(h) es derivable dos veces en h=0. La derivada segundaγ”(h) existe entonces para todo h, Y’(x) es estacionaria de orden 2 (aún58

en el caso en que Y(x) es solamente intrínseca) y admite como covarianzala función γ”(h). Análogamente, Y(x) es derivable m.c. n veces si y solosi la derivada γ (2n) (h) existe en h=0 (existe entonces para todo h).Si λ es el grado del término irregular principal de γ(h), Y(x) admiteentonces una derivada m.c. de orden n si y solo si λ>2n (si el términoprincipal es r 2n log(r), Y(x) es n-1 veces derivable m.c., pero no esderivable n veces).2-3 REGULARIZACION DE UNA F.A. INTRINSECA.Para simplificar la exposición, haremos los razonamientos en el caso deuna F.A. estacionaria de orden 2 con covarianza K(h), sin embargo todoslos resultados que expresaremos con la ayuda de la función intrínsecaγ(h)=K(0)-K(h) seguirán siendo válidos para el caso de una F.A.intrínseca (luego, serán válidos aún en el caso en que γ(h) no estáacotado, y si, por consiguiente, la covarianza K(h) no existe): estoresultará de manera muy simple al aplicar el mecanismo de cálculo quevimos en el párrafo 2-2-1. Aquí también, no entraremos en detalles,porque se trata de un recordatorio simple de resultados clásicos.2-3-1 Integral estocásticaI= ∫ Y( x) p( x)dxvSe define la integral I como el límite en media cuadrática (si existe) delas sumas discretas:n∑I = Y( x ) p( x ) ∆xn i i ii=1(los ∆x i son pequeños elementos de volumen disjuntos cuya unión es elconjunto v, y x i es un punto de ∆x i ). La integral estocástica I esentonces una V.A., como las I n .Se demuestra que esta V.A. existe si y solamente si la integral(2-9)∫ ∫D 2 ( I) = p( x) dx K( x−y) p( y)dyvves finita, y D 2 (I) es entonces la varianza (finita) de esta V.A. Seencuentra fácilmente este resultado (2-9) mediante el cálculo (noriguroso) siguiente:I2= ∫ ∫vY ( x) p( x) dx Y ( y) p( y)dyv59

EI = pxdx EYxY y pydy=2( ) ( ) [ ( ) ( )] ( )vv∫= pxdx ( ) Kx ( − ypydy ) ( )v∫∫v∫(el cálculo no es riguroso porque, al comienzo, no es evidente que sepueden invertir los símbolos E y ∫: en efecto, se demuestra que estainversión es legítima).2-3-2 Convolución estocástica.El producto de convolución Y*f de la F.A. Y(x) por una función ordinariaf(x) es la integral estocástica (si existe):∫Y( x−x') f( x´) dx'Se puede definir así la regularizada Yp= Y∗ p de la F.A. Y(x) por unafunción de ponderación p(x). Es la “media móvil ponderada”:∫Y ( ) ( ') ( px = Y x+x p x´)dxCuidado: la regularizada de Y(x) es también una función aleatoria (másregular que Y(x) pero siempre aleatoria): no basta con alisar oregularizar, por un procedimiento de medias móviles, una F.A. para hacerdesaparecer como por arte de magia el carácter aleatorio de esta función.La varianza de la regularizada Y p está dada por la fórmula (2-9)anterior, e Y p (x) existe en el sentido de la integración m.c. si y solosi D 2 (Y p )

∫ ∫K ( ) ( ) ( )ph = K x+ z dx p y+z dySea P el covariograma transitivo ( P = p∗ p ) de la función de ponderaciónp. Se tiene, por definición:y, por consiguiente:∫Pz ( ) = py ( + zpydy ) ( )∫K ( ) ( ) ( )ph = K h+z P z dzes decir, utilizando productos de convolución (porque P(2-11) Kp= K∗P= P ):Se obtiene la covarianza K p de la regularizada Y p al regularizar lacovarianza K(h) de Y con el covariograma transitivo de la función deponderación. Se comparará este resultado con el obtenido en el caso delos métodos transitivos.El variograma γ p de la regularizada Y p es K p (0)-K p (h). Al reemplazar K(h)por K(0)-γ(h) en (2-9) y (2-10), observamos que K(0) se elimina, y queda:(2-12) γ ( h) = γ ( h + z) P( z) dz − γ ( z) P( z)dzp∫ ∫Se puede también escribir:γp= γ ∗P−ALa constante A se determina con la condición γ p (0)=0. Estas relacionessiguen siendo válidas para cualquier F.A. intrínseca (aún en el caso enque la covarianza no existe) (ver observación anterior).2-3-3 La subida recta a potencia constante.La subida constituye un caso particular de la regularización. En losmétodos transitivos podíamos integrar la V.R. de -∞ a +∞ con respecto auna de las coordenadas, por ejemplo x 3 , debido a que esta V.R. era nulaal exterior de un campo acotado. Ahora, solo podemos integrar en un largofinito . Llamaremos entonces subida bajo potencia constante a laoperación que nos hace pasar de la F.A. Y 3 (x 1 ,x 2 ,x 3 ) definida en el espaciode tres dimensiones a la F.A. Y 2 (x 1 ,x 2 ) definida en el espacio de dosdimensiones por:1Y ( x , x ) = ∫Y( x , x , x ) dxdx dx2 1 2 1 2 3 1 2 30Si Y 3 (x) es la ley puntual en una formación estratiforme de potencia ,Y 2 (x 1 ,x 2 ) es la ley media del sondaje implantado en el punto (x 1 ,x 2 ) de lasuperficie topográfica.61

No es difícil establecer la formula para el variograma γ 2 (h 1 ,h 2 ) de laF.A. Y 2 (x 1 ,x 2 ) – que es intrínseca como Y 3 – en función del variograma γ 3 deY 3 (el lector lo podrá hacer como ejercicio). En el caso particular enque γ 3 = γ 3 (r) es isótropo, se obtiene el algoritmo siguiente (de lasubida recta bajo potencia constante en el caso isótropo):2 2 2 2n− 1=2∫− n+ − −2∫n0 0γ ( r) ( x) γ ( r x ) dx ( x) γ ( x)dxComo en el caso de los métodos transitivos, existe también una regla decorrespondencia término a término entre las partes irregulares de γ n (r) yγ n-1 (r). Estas reglas, un poco menos simples que en el caso transitivo, seescriben:(2-13)1+ λ 2+λ⎧ λ r ' r⎪r → Aλ+ Aλ2⎪ 2n+ 1 2n+2⎪ 2 nr' r⎨r log( r) → A2n+ A2nlog( r)2⎪ 2n+ 2 n+3⎪2n+1 r' r⎪r → A2n+ 1log( r)+ A2n+2 2⎩En que los coeficientes A λ , A 2n , A 2n+1 son los mismos que los que aparecenen los métodos transitivos (fórmulas (1-10) a (1-13)), tenemos aquí unaprimera manifestación de la similitud profunda de los dos aspectos(transitivos y probabilísticos) de la teoría de las V.R. Observamos,además que las reglas (2-13) son menos simples que las reglas (1-10). Enlugar de r 1+λ 1, encontramos r + λ / , el coeficiente 1/ se introduce porrazones dimensionales evidentes (en teoría intrínseca, se razona sobrelas leyes medias y no sobre las acumulaciones como en la teoría1+transitiva). Pero al lado del término principal Ar λλ/ - que es elequivalente exacto del término transitivo – vemos aparecer un término2+λ 2complementario A' λr / , con un coeficiente A’ λ cuya expresión explícitano es útil darla aquí (ver [4]). Este término suplementario proviene delcarácter finito (subida bajo potencia finita ) del campo de integración,2 2o, si se prefiere, de la presencia del término en xγ ( r + x ) bajo el signode integración en el algoritmo de la subida recta. De todas maneras, estetérmino suplementario es en r 2+λ , luego de orden más elevado que eltérmino principal, y la parte principal de γ n-1 (r) en una vecindad de r=0es entonces idéntica a la que proporciona la regla transitiva.Observamos también que el dominio de validez del desarrollo de γ n-1 (r)obtenido por la regla (2-13) es necesariamente dentro de la bola de radio . En las grandes distancias, se deduce fácilmente del algoritmo de lasubida recta que:2n−1 ≈n−2 ∫ −n0γ ( r) γ ( r) ( l x) γ ( x) dx ( r )62

de manera que salvo una constante, el variograma subido es igual alvariograma inicial.2-4 VARIANZAS DE EXTENSION Y DE ESTIMACION2-4-1 Varianza de extensión.Definamos, en primer lugar, la noción fundamental de varianza deextensión. Sea Y(x) una F.A., la cual supondremos, por el momento, comoestacionaria de orden 2, y sea K(h) su covarianza. Designemos por Z(v) yZ(v’) las “leyes medias” de dos dominios v y v’ del espacio de ndimensiones, es decir las integrales estocásticas:1 1Z( v) = Y( x) dx ; Z( v') Y( x)dxv∫ =v'∫vLa fórmula (2-9) muestra que, si v y v’ son acotadas, Z(v) y Z(v’) tienenvarianzas finitas. La primera, por ejemplo, tiene la expresión:v'1() v dx K( x y)dy∫ ∫2σ = −2vv vCalculemos también la covarianza σ(v, v’) de Z(v) y Z(v’). De:1Z() vZv (') = Y() xdx Y( ydy )vv∫ ∫se deduce, al pasar a las esperanzas matemáticas:' vσ 1 1( v, v ') = dx E[ Y ( x) Y ( y)] dy dx K( x y)dyvv '∫ ∫ = vv '∫ ∫ −v 'v v'v v'Llamaremos varianza de extensión de v a v’ (o de v’ a v) a la varianzadel error Z(v’)-Z(v) cometido al atribuir a v’ la ley media Z(v) de v.Esta varianza de extensión σ 2 E es igual a:E= () v + (') v − 2 (, v v')2 2 2σ σ σ σAl considerar los valores calculados antes, se tiene entonces:2 1 1 2σE= dx K( x y) dy dx K( x y) dy dx K( x y)dyv∫ ∫ − + − − −v'∫ ∫vv'∫ ∫2 2v v v' v' v v'Reemplacemos K(h) por K(0)-γ(h): observamos que la constante K(0)desaparece de la expresión de σ 2 E, y queda la fórmula fundamental:63

(2-14)2 2 1 1σE= dx ( x y) dy dx ( x y) dy dx ( x y)dyvv '∫ ∫γ − − γ − − γ −v∫ ∫v '∫ ∫2 2v v v v v'v'Se puede demostrar que (2-14) sigue válida para toda F.A. intrínseca,luego también en el caso en que K(h) no existe (esto resulta delmecanismo de cálculo del párrafo 2-2-1).2-4-2 Varianza de estimación.Supongamos ahora que en vez de conocer la “ley media” Z(v’) de Y(x) en unvolumen v’, conocemos la ley media:N1Z ' = ∑ Y( xi)N i = 1de N muestras tomadas en los puntos x i . Z’ es una variable aleatoria,cuyas características se deducen sin dificultad a partir de K(h) o deγ(h). Llamaremos varianza de estimación σ 2 N (de v por las N muestrastomadas en los N puntos x i ) a la varianza de la diferencia Z(v)-Z(v’).Para obtener la expresión de σ 2 N, se debe, en cada una de las etapas delrazonamiento que nos condujo a (2-14), reemplazar las integrales sobre elconjunto v’ por sumas discretas sobre los N puntos x i . Se encuentra asíla segunda fórmula fundamental:(2-15)2 1 1σ = γ( x −xdx ) − dx γ( x− ydy ) − γ( x−x)∑∫ ∫ ∫∑∑2N i 2 2i jNv i v Nv v vi jEsta fórmula, en la cual se alternan expresiones exactas y aproximadas delas mismas integrales, presenta una estructura sobresaliente; análoga, unpoco más compleja, a la fórmula (1-14) de los métodos transitivos. Enparticular, se observa que la varianza de estimación es más débil:• cuando la red de muestras x i es más densa y más representativa dela geometría del volumen v a estimar• cuando la función γ(h) es más regular, luego cuando la F.A. es máscontinua en su variación espacial.Sin embargo, en la práctica, si N es grande, la fórmula (2-15) conduce acálculos bastante largos. Más adelante proporcionaremos fórmulas deaproximación más simples, las cuales permitirán una comparaciónmetodológica muy instructiva con las fórmulas análogas de los métodostransitivos.Observación: No hay ninguna diferencia conceptual entre las nociones devarianza de extensión y de estimación: la fórmula (2-15) es un casoparticular de (2-14), en que v’ se reemplaza por la unión de los N puntosx i . La práctica ha reservado el término varianza de extensión a laextensión de una muestra única en su “área de influencia”, y el devarianza de estimación a la extensión de un número más grande demuestras, en el depósito entero, o en un gran panel.64

2-4-3 Varianza de v en V.La noción de varianza σ 2 (v|V) de una muestra v en un dominio V parece, aprimera vista, evidente desde el punto de vista experimental. Sinembargo, esta noción, solamente tiene sentido en el caso en que V es launión V =∪ vide volúmenes v i disjuntos, todos iguales entre sí, e igualesa un conjunto v y trasladados unos de otros. Cuando se han tomado nmuestras v i en un campo V’ cualquiera, suponiendo que se conocen susleyes Y i , el cálculo numérico siguiente:1Y = ∑Yin i1s = ( Y −Y)∑2 2in iconstituye una estimación de la varianza de v en V = ∪ vi(unión de nvolúmenes v i que constituyen las muestras reales). Este caminoexperimental va a inspirar las definiciones que siguen.a/ Examinemos primero el caso en que las muestras v i son puntos (en estecaso la relación V =∪ vise verifica evidentemente, porque V es la uniónde puntos), y definamos la varianza σ 2 (0|V) de las muestras puntuales enV. Designemos por:1Z( V) = Y( x)dxV∫la ley media de V. Cuando se fija la realización Y(x), Z(V) es unaintegral ordinaria, y la varianza experimental de las muestras puntualeses:V(2-16)1(0 | ) = [ ( ) − ( )]V∫2 2s V Y x Z V dxVTambién se puede interpretar esta relación (2-16) diciendo que σ 2 (0|V) esla varianza condicional (a realización fija) de la V.A. Y(x) obtenida alimplantar al azar, con una densidad de probabilidad uniforme, un punto xen V. Llamaremos varianza σ 2 (v|V) de v en V a la varianza obtenida aldes-condicionar la variable aleatoria Y(x) respecto de las realizaciones,es decir la varianza de la V.A. Y=Y(x), en que Y(x) es esta vez la F.A.(y no su realización) y x un punto aleatorio en V. Si la realización esfija, la esperanza condicional de Y(x) es evidentemente Z(V). Se obtieneentonces:(2-17)2 2 12σ (0 | V) = E( s (0 | V)) = E[ Y( x) −Z( V)]dxV∫VQue es el valor medio de γ(x-y) cuando x e y describen separadamente V.65

Cuando V es la unión de N volúmenes v i disjuntos, de leyes Z i , lavarianza experimental:1s v V Z Z V dxN2 2( | ) = ∑ [i− ( )]N i = 1es la varianza de la población finita constituida por N leyes Z i (los Z ison números, si la realización es fija), o, si se quiere, es la varianzade la V.A. Z i obtenida al sortear al azar uno de los índices i. Al descondicionarcon respecto a las realizaciones, se obtiene una V.A. Z i enla cual el índice i se sortea como antes, y donde Z i es ahora unaintegral estocástica (y no numérica). La varianza de esta variable descondicionadaes (por definición) la varianza σ 2 (v|V) de v en V. Seconfirma, como antes, que esta varianza es igual al valor medio en i1σ ( vV | ) E([ Z ZV ( )] ) dxN2 2= ∑ i−N i=1de la varianza de extensión de v i en V. Un cálculo fácil a partir de lafórmula (2-14) muestra que se tiene esta vez:(2-18)1 1( v | V ) = dx ( x − y) dy − dx ( x − y)dy∫ ∫ ∫ ∫σ 22 2Vγ vγV V v vEn particular, se tiene:(2-19)2 2 2σ ( vV | ) = σ (0| V) − σ (0| v)c/ En el caso general en que v y V son volúmenes cualesquiera, nonecesariamente compatibles, se define la varianza por la misma fórmula(2-18): esta cantidad representa solamente un artificio de cálculo. Enesta caso la varianza puede tomar valores negativos; en particular, setiene siempre que: σ 2 (v|V)=-σ 2 (V|v).d/ Relación de aditividad. Sean v, V y V’ tres volúmenes, tal que (porejemplo): v⊂V ⊂ V ' . De la relación (2-19) se deduce:y por diferencia:es decir:2 2 2σ ( vV | ) = σ (0| V) −σ(0| v)2 2 2σ ( vV | ') = σ (0| V') −σ(0| v)2 2 2 2 2σ ( vV | ') − σ ( vV | ) = σ (0 | V') − σ (0 | V') = σ ( V| V')(2-20)2 2 2σ ( vV | ') = σ ( vV | ) + σ ( V| V')La varianza de la muestra v en el campo V’ es igual a la suma de lasvarianzas de v en el panel V y del panel V en el campo V’.66

e/ Covarianza de v y v’ en V. De manera análoga, se define la covarianzaσ(v,v´|V) de dos muestras v y v’ (cuya distancia y disposición mutua esfija) en el campo V. Se encuentra:σ 1 1(, v v'| V) = dx ( x y) dy dx ( x y)dyV∫ ∫ γ − −vv'∫ ∫ γ −2V V v v'f/ En particular, a menudo es cómodo expresar la varianza de estimación(2-15) o la varianza de extensión (2-14) en función de las varianzas ycovarianzas de las muestras en un campo V arbitrario. Se encuentra, porejemplo, que:E= ( vV | ) + ( v'| V) − 2 ( vv , '| V)2 2 2σ σ σ σcomo puede verse al sustituir las expresiones de estas varianzas en V: eltérmino:12V∫∫VVdesaparece, y los tres términos que quedan proporcionan el segundomiembro de (2-14). Se obtiene así una expresión, quizás más intuitiva, dela varianza de extensión.2-4-4 Aplicación: mallas aleatorias y aleatoria estratificada.El caso de las mallas regulares, que es el más difícil, lo trataremos másadelante, examinaremos entonces los dos tipos usuales de mallasaleatorias.a/ Malla aleatoria pura. Para estimar la ley Z(V) de un volumen V, sedispone de los valores Y(x i ) de la F.A. en N puntos x i implantados “noimporta donde” en V. Admitiremos que todo ocurre como si cada x iestuviera implantado al azar en V con una densidad uniforme eindependiente de las otras muestras. Se puede obtener la varianza deestimación σ 2 N al integrar (2-15) en V relativamente a cada uno de los x i .Este cálculo es simple, pero es aún más simple observar que los erroresparciales Y(x i )-Z(V) son independientes unos de otros (si la realizaciónes fija) y admiten la misma varianza s 2 (0|V): el error resultante que es:admite entonces la varianza:1N∑[ Y( x ) − Z( V)]i2 1 2σN= s (0 | V)NBasta ahora con des-condicionar respecto de las realizaciones para verque la varianza de estimación, en el caso de una malla aleatoria pura, esigual a la varianza de una muestra en el campo V dividida por el númerode muestras, es decir:267

2 1 2σN= σ (0 | V )Nb/ Malla aleatoria estratificada. En este caso, el volumen V que sequiere estimar está dividido en N zonas de influencia iguales y disjuntasv i , y en cada v i se toma una muestra en un punto x i elegido al azar en lazona de influencia v i con una densidad de probabilidad uniforme, eindependiente de las otras muestras. Se puede calcular σ 2 N al integrar (2-15) en x i dentro de v i para cada uno de los v i , pero es más simple observarque el error total es:1N∑i[ Y( x ) − Z( v )]y que cada uno de los errores parciales Y(x i )-Z(v i ) es independiente delos otros y admite la varianza σ 2 (0|V). Se deduce, razonando como antes,que, primero, con realización fija, luego des-condicionando respecto dela realización:2 1 2σN= σ (0 | v)NEn el caso de la malla aleatoria estratificada, la varianza de estimaciónes entonces igual a la varianza de una muestra en su zona de influenciadividida por el número N de muestras.Observación – Es claro que la malla aleatoria estratificada proporcionasiempre mejores resultados que la malla aleatoria pura. En efecto, según(2-10) se tiene:1 2 2 1 2⎡σ (0 | V) σ (0 | v) σ ( v| V) 0N ⎣ − ⎤⎦ = ≥Nii2-5 METODO DE APROXIMACION EN R 1Cuando el número de muestras es grande, la fórmula (2-15) es un pocopesada de calcular numéricamente, luego es importante desarrollar métodosde aproximación que permitan un cálculo rápido de una varianza deestimación. Veremos reaparecer la similitud profunda con las fórmulasanálogas obtenidas por los métodos transitivos, similitud e importanciametodológica que ya habíamos mencionado a propósito de la subida.Pongámonos, por el momento, en el espacio de una dimensión.2-5-1 El principio de correspondencia.Sea un segmento de longitud L=Na constituido por la unión de N segmentosde igual longitud a. En el centro de cada segmento se ha tomado unamuestra puntual.68

Para estimar la ley:1Z( L) = Y( x)dxL∫Lse forma el estimador:1Z *( L) = ∑ Y( x i)NLa varianza de estimación correspondiente está dada por la fórmulageneral (2-15). Al realizar cálculos análogos a los presentados conocasión de los métodos transitivos, se pone en evidencia un principio decorrespondencia término a término entre la parte irregular del variogramaγ(h) y el desarrollo limitado de la varianza de estimación en unavecindad de a=0. Este principio se resume por las reglas siguientes:i(2-21)λ⎧ λ a| h|→− Tλ+ T⎪ N⎨⎪ 2n| h| log( h)→−T⎪⎩'λ2nλa2NaN2nPara λ entero par, T λ es nulo (pero no T’ λ ) Los T λ tienen los mismosvalores que los que figuran en la regla análoga (1-18) de los métodostransitivos.Tal como vimos en la subida, aparece un término suplementario, de ordenmás elevado (en 1/N 2 ), ligado en este caso, al carácter finito de lasoperaciones que se efectúan en teoría intrínseca (promedio sobre unnúmero N finito de muestras, y no, como en transitivo, en que la suma va,teóricamente desde -∞ a +∞). En la práctica este término es despreciablecuando N no es muy pequeño.Las reglas (2-21) permiten obtener una expresión aproximada de lavarianza de estimación, para mallas a muy pequeñas. Estas expresiones noson validas cuando a es mayor que la distancia r 0 a partir de la cual eldesarrollo limitado de γ(h) ya no es utilizable. Para valores de asuperiores a r 0 , estamos conducidos de introducir un segundo principio deaproximación:2-5-2 Principio de composición de varianzas de extensión elementales.a/ Las funciones intrínsecas auxiliares. Además de γ(h), se utilizan enlas aplicaciones las funciones siguientes:69

h1χ( h) = ( x)dxh∫γ0h h h h1 2 2F( h) = dx γ( x y) dy xχ( x) dx ( h x) γ( x)dxh∫ ∫ − = = −h∫h∫2 2 20 0 0 0F(h) es el valor medio de γ(h’) cuando las dos extremidades de h’describen el segmento (0,h). Así, la varianza del segmento h en elsegmento L es:σ 2 ( h| L) = F( L) − F( h)χ(h) permite el cálculo de covarianzas: la covarianza en L del segmento hcon una de sus extremidades es:σ2 (0, h| L) = F( L) − χ( h)b/ Varianza de extensión elemental. Se llama así a la varianza deextensión de una muestra puntual localizada en el centro del segmento h.Está dada por:2 h(2-22)σE= 2 χ ⎛ ⎜⎞⎟−Fh( )⎝2⎠Se deduce (2-22) de (2-15) y de las relaciones establecidas en a/.c/ Principio de composición de varianzas elementales. Sea el segmentoL=Na a estimar. L está dividido en N zonas de influencia de longitud a,en cuyos centros se ha tomado una muestra puntual.Sea Y ila ley de la muestra i, Z i la ley media de su zona de influencia, y1Z = ∑ Z iNla ley de L. El error total es la media:1Z = ∑ ( Yi−Zi)Nide los errores parciales Y i -Z i . El principio de aproximación consiste enadmitir que estos errores parciales son independientes unos de otros(este principio se verifica con una aproximación muy razonable para los70

γ(h) usuales). Como la varianza de Y i -Z i es justamente la varianza deestimación elemental calculada en (2-21), se encuentra:(2-23)σ 2 1 2 1 aNE 2 Fa ( )Nσ ⎡Nχ ⎛ ⎞ ⎤= = ⎢ ⎜ ⎟−2⎥⎣ ⎝ ⎠ ⎦Se obtiene entonces la varianza de estimación al dividir la varianza deestimación elemental de una muestra en su zona de influencia por elnúmero de sondajes.d/ Caso del dispositivo cerrado. A partir de N+1 muestras a mallaregular, se desea estimar el segmento L=Na comprendido entre la primera yla última muestra:Se demuestra que este dispositivo cerrado es equivalente al dispositivocentrado examinado en c/, y que la varianza de estimación está dadatambién por (2-23) (siempre que n sea superior a 1): el dispositivocerrado con N+1 muestras es equivalente al dispositivo centrado con Nmuestras.Observación: para N=1, el dispositivo cerrado con dos muestrasproporciona la varianza de estimación:21σE '= 2 χ( h) −F( h) − γ( h)2que difiere de la varianza de estimación elemental (2-23). No se puededividir σ 2 E’ por N, porque los errores parciales cometidos no sonnecesariamente independientes (en particular, estos dos segmentos tienenen común la muestra central).e/ Comparación de los dos principios de aproximación. Para a pequeño, sededuce de (2-23) un principio de correspondencia análogo a (2-22), concoeficientes numéricamente cercanos a T λ (para λ no muy grande), demanera que las reglas (2-23) y (2-22) son prácticamente equivalentes. Conun objetivo de simplificación, en la práctica se utiliza siempre la regla(2-23) de composición de varianzas elementales, debido a que esta fórmulaes válida para las mallas grandes y pequeñas.71

2-6 METODO DE APROXIMACION EN R nTrataremos explícitamente el caso del espacio de dos dimensiones. El casogeneral se deduce fácilmente por analogía. EL principio de aproximaciónque utilizaremos es el principio de composición de términos de línea y derebanada, estudiado en detalle en el párrafo 1-4-4. En el caso intrínsecose puede proporcionar una justificación análoga a la que presentamos apropósito de los métodos transitivos, pero los cálculos seríannotoriamente más complicados.Supondremos que el variograma es isótropo (solo depende de r). En caso deanisotropía geométrica es fácil adaptarse a este caso.a/ Las funciones auxiliares.Resulta cómodo introducir las funciones siguientes:γ b (h): media de γ(x-y) cuando x e y recorren los dos lados paralelos delongitud b del rectángulo bxh (salvo una constante γ b (h) se deduce deγ(h) por subida de orden 1).χ b (h): media de γ(x-y), cuando x describe uno de los lados del rectánguloe y recorre el interior del rectángulo. Se tiene:h1χb( h) = γb( x)dxh∫F(b,h): media de γ(x-y) cuando x e y describen el rectángulo. Estafunción es simétrica en b y h, y verifica:0hh2 2Fbh (, ) = xχ() xdx= ( h−x) γb()xdxh∫ ∫2 b2h0 0Q(b,h): media de γ(x-y), cuando x describe el lado b e y describe el ladoh, o también, x describe el rectángulo e y está fijo en uno de losvértices.b/ Extensión de un segmento medio en su rectángulo de influencia.72

(2-24)2 ⎛h⎞σE = 2 χb⎜⎟−Fbh( , ) −γb(0)⎝2⎠c/ Estimación de S por rebanadas paralelas equidistantes.Sean b 1 , b 2 , ..., b n las longitudes de n rebanadas, h su equidistancia. Seasimila la superficie S que se quiere estimar a la unión de losrectángulos de influencia de las n rebanadas. La fórmula (2-24)proporciona la extensión de b i a su rectángulo de influencia, es decir,σ 2 Ei. Si Y i es la ley de b i , Z i la de su zona de influencia, admitiendo quelos (Y i -Z i ) son independientes, el error total:∑bi( Yi − Zi)b∑admite una varianza que se puede calcular ponderando por el cuadrado delos b i de las varianzas de extensión σ 2 Ei. Se obtiene entonces la varianzade estimación:i(2-25)σ2Eb σ2 2i E i2∑ =( ∑bi)73

Observación. Si los b i son iguales, queda simplemente:1σ = σn2 2E E id/ Composición de término de línea y término de rebanada.En el caso c/ anterior, sucede que a menudo no se conocen las leyesreales de las líneas, sino solamente una estimación de estas leyes apartir de muestras puntuales en una malla regular a (a

2 1 2σN= σENcon un σ 2 E dado por (2-27).2-7 EL EFECTO DE PEPITA.2-7-1 Génesis de un efecto de pepita.Un variograma de alcance a finito caracteriza lo que se llama fenómeno detransición: más lejos de la distancia a, se alcanza la independencia, yel alcance a proporciona la escala de las estructuras elementales delfenómeno regionalizado correspondiente. Por otra parte, a menudo existesuperposición de varias estructuras de escalas bien diferentes, anidadasunas en otras. El variograma experimental muestra entonces una sucesiónde alcances y de mesetas, cuyo análisis permite reconstituir la jerarquíade estas estructuras anidadas.La noción de escala juega aquí un papel primordial. A la escala de ladecena o de la centena de metros, un fenómeno de transición cuyo alcancees, por ejemplo, centimétrico, se manifiesta, sobre el γ(h) experimentalcomo una discontinuidad en el origen, es decir como un efecto de pepita.De una manera general, un efecto de pepita es una reminiscencia de unaestructura de transición cuyas dimensiones fueron sobrepasadas a laescala a la cual se trabaja: los detalles y las característicascualitativas de esta estructura anterior han dejado de ser perceptibleshace tiempo, y, la escala superior solo ha conservado un parámetro único– la constante de pepita – que proporciona una suerte de medida global dela “intensidad” de esta estructura sobrepasada.Para analizar la génesis de un efecto de pepita, localicémonos al nivelpuntual, y supongamos que a una estructura primaria de dimensión a, sesuperpone una macro-regionalización, es decir una estructura secundariade dimensiones mucho más grandes. Si solo existiera la estructuraprimaria, se podría describir la V.R. correspondiente como unarealización de una F.A. con covarianza C(h) de alcance a, o con unvariograma:γ ( h) = C−C( h)1de alcance y verificando γ(∞)=C=C(0). Para considerar la macroregionalización,se debe agregar un segundo componente γ 2 (h), querepresenta la estructura secundaria, la cual varía con mucha lentitud ala escala de la primera estructura:75

γ ( h) = C− C( h) + γ ( h)2γ(h) presenta entonces, en la vecindad del origen, una zona decrecimiento muy rápido, con dimensiones del orden de a. A la escala de lamacro-regionalización, este γ(h) presenta entonces un efecto de pepita deamplitud C.2-7-2 Influencia macroscópica de un efecto de pepita.Examinemos las consecuencias de este efecto de pepita. Primero, al nivelmacroscópico, las muestras no serán puntuales, sino volúmenes v yagrandes con respecto a a. Determinemos entonces el variograma γ v (h) deestas muestras v (el único variograma accesible experimentalmente). γ v (h)es la suma de una componente muy continua γ 2 (la cual no ha sidosensiblemente alterada en esta regularización) y de lo que se obtiene alaplicar la fórmula (2-12) a la componente C-C(h): esta componentepepítica es entonces:γ ( ) 1 ( ) 1( )ph = dx C x y dy dx C h x y dyv∫ ∫ − − v∫ ∫ + −2 2v v v vEstudiemos entonces γ p . Se tiene γ p (0)=0, pero cuando h sobrepasa lasdimensiones del volumen v, se tiene |h+x-y|≥a si xЄv, yЄv y C(h+x-y)=0.El primer término subsiste solo si h no es muy pequeño y se observaexperimentalmente una discontinuidad en el origen, cuyo valor σ 2 p(varianza de pepita) es:2 1σp= dx C( x − y)dy2v∫ ∫vPor otra parte, por hipótesis, las dimensiones de v son grandes conrespecto a a y se tiene:∫ ∫vCx ( − ydy ) = Chdh ( )76

(integral extendida a todo el espacio) salvo si x está a una distanciainferior a a de la frontera de v pero estos puntos ocupan un volumendespreciable, se puede entonces despreciar su influencia, que es delorden de a. Queda entonces:2 1 1σp= dx C( h) dh C( h)dh2v∫ ∫ =v∫vvLuego, la constante de pepita σ 2 p que se observa experimentalmente esinversamente proporcional al volumen de las muestras:σ =2py el coeficiente A=∫C(h)dh, que es la covarianza de las microestructuras,es el único recuerdo de éstas el cual subsiste a la escala de losvolúmenes v.El efecto de pepita aumenta de la misma manera la varianza de v en V, lasvarianzas de extensión y las varianzas de estimación. En el caso deσ 2 (v|V), por ejemplo, el aporte del efecto de pepita será:1 1dx C( x y) dy dx C( x y)dyv∫ ∫ − − −V∫ ∫Av2 2v v V Ves decir, según el cálculo anterior:⎛1 1 ⎞A⎜− ⎟⎝ v V ⎠En el caso de la varianza de estimación de V por N muestras de tamaño v,se encuentra una componente pepítica igual a:⎛ 1 1 ⎞A⎜− ⎟⎝ Nv V ⎠En todos los casos, la varianza debida al efecto de pepita esinversamente proporcional al volumen de las muestras. Todo ocurre como sila V.R. admitiera dos componentes independientes, uno muy regularcorrespondiente al variograma γ 2 , el otro completamente aleatorio ydiscontinuo el cual considera el efecto de pepita.2-8 EL ESQUEMA ESFERICO.Para representar un fenómeno de transición, se pueden utilizar esquemasde la forma:77

γ ( h) = A[ K(0) − K( h)]en que K(h) es el covariograma geométrico de un volumen v. Si se toma porv la esfera de diámetro a, se tiene (ver ejercicio 9 de los métodostransitivos, capítulo 1):3π 3 ⎛ 3 h 1 h ⎞⎜3 ⎟Kh ( ) = a 1 − − si (| h| < a)6 ⎝ 2 a 2 a ⎠Kh ( ) = 0 si (| h| ≥a)El esquema esférico estará entonces definido por el variograma:3⎛3 r 1 r ⎞γ ( r) = C⎜−3 ⎟⎝2 a 2 a ⎠si r < aγ ( r) = 0 si r ≥ aEl alcance es a, la meseta es C=γ(∞), la pendiente en el origen es(3/2)(C/a).Se tienen los ábacos siguientes:Varianzas de estimación diversas.Varianza de un punto en el rectángulo lxh:1 ⎛F , h ⎞⎜ ⎟C ⎝a a⎠Observación – A menudo, en las aplicaciones, los fenómenos de transiciónestán acompañados de un efecto de pepita: se les representará entoncespor un esquema esférico con efecto de pepita C 0 :78

Esquema esféricoVarianzas de extensión diversas79

2-9 INFERENCIA ESTADISTICA Y CUASI-ESTACIONARIDAD.2-9-1 F.A. cuasi-estacionaria.Volvamos al problema metodológico evocado en el párrafo 1-4-6. Se tratade mostrar – mediante una hipótesis bastante débil de tipo cuasiestacionaridad– que el problema de la estimación global de un dominioacotado V tiene solución. Esta va a resultar de los dos puntossiguientes:• La varianza de estimación solo depende (por lo menos para mallaspequeñas) del comportamiento en una vecindad del origen de unvariograma o de una covarianza “media”.• Este comportamiento es accesible experimentalmente, dicho de otramanera, la inferencia estadística de lo que es útil conocer esposible a partir de una sola realización, siempre que la F.A. nosea derivable en media cuadrática.Es posible poner como hipótesis mínima la característica cuasiintrínseca,es decir la existencia de un variograma γ localmenteestacionario el cual se deforma lentamente en el espacio. Nos limitaremosaquí a la hipótesis ligeramente más fuerte de cuasi-estacionaridad quevamos a precisar: Una F.A. Z(x) es cuasi-estacionaria si tiene unaesperanza matemática m(x) y una covarianza centrada C(x,y) tales que:a/ m(x) es una función muy regular que varía de manera lenta en elespacio (a la escala de la malla utilizada); más precisamente, m(x) puedeser considerada como una constante en el dominio cuyas dimensiones sonlas de la malla.b/ Existe una función de tres argumentos K(h;x,y) tal que se tieneC(x,y)=K(x-y;x,y) y que, cuando h es fijo, K(h;x,y) es una funciónregular y lentamente variable (en el mismo sentido anterior) de losargumentos x e y. Dicho de otra manera, cuando x e y pertenecen a unmismo dominio cuyas dimensiones son las de la malla, K(h;x,y) solodepende de h, y todo sucede como si la covarianza C fuera localmenteestacionaria.En efecto, haremos aún una hipótesis un poco más restrictiva. Admitiremosque, en el dominio V que se quiere estimar, la función K admite undesarrollo en serie entera de la forma:Khxy ( ; , ) = ∑ ϖn( x) ϖn( yC )n( h)nLos ϖ nson funciones regulares que varían de manera lenta en la escala dela malla, y los C n (h), funciones de covarianza.Es posible entonces encontrar funciones aleatorias Y n (x) estacionarias deorden 2, de esperanza matemática nula, mutuamente independientes entreellas, y tales que se tenga:Z( x) m( x) ϖ ( x) Y ( x)= +∑nnn81

Esta descomposición es suficientemente general para lo que tenemos envista. Las operaciones de tipo cálculo de una varianza de estimación,estimación de un variograma, varianza de esta estimación, etc. se van apresentar de manera lineal respecto de las componentes independientesY n (x). Luego es suficiente tratar separadamente las componentes Y n (x), yadicionar luego los resultados obtenidos. Resulta así una simplificaciónimportante, porque nos reducimos al estudio del caso en que Z(x) es de laforma:(2-33) Z( x) = m( x) + ϖ ( x) Y( x)La cual admite la esperanza m(x) y una covarianza centrada de la forma:(2-34) Cxy ( , ) = ϖ ( x) ϖ ( yC )0( x−y)Examinemos ahora como se presentan nuestros dos problemas cuando estasdos relaciones (2-33) y (2-34) se verifican.2-9-2 Cálculo de la varianza de estimación.Para simplificar, nos limitaremos al caso del espacio R 1 , y supondremosque se desea estimar el intervalo (0,L) a partir de n muestrasimplantadas en una malla regular L=na según el dispositivo centrado. Sedesignarán por x i =(i-1/2)a los puntos de muestreo, y por:Ziia1= ∫a( i − 1) aZ( x)dxla ley real de la zona de influencia número i. Si se toma el estimador:el error de estimación es:1n1∑ Z( x i)n∑ii( Z( x ) − Z )En el término Z(x i )-Z i , la contribución de m(x) es despreciable, porquem(x) se considera constante en una zona de influencia: m(x) no jueganingún papel en el problema. Queda entonces:ii1Z( xi) − Zi = ϖ( xi) Y( xi) − ϖ( x) Y( x)dxa∫ia( i−1)ay, como ϖ ( x)se considera constante en una zona de influencia:⎡ia1 ⎤Z( xi) − Zi = ϖ( x) ⎢Y( xi) − Y( x) dx ϖ( xi)[ Y( xi) Yi]a∫ ⎥ = −⎢⎣( i−1)a ⎥⎦82

La varianza de este error individual es entonces:2[ ϖ ] σ0D [ Z( x ) − Z ] = ( x )2 2i i i E2al designar por σEla varianza de extensión de x i en su zona de0influencia calculada con la covarianza C 0 de Y(x). Por otra parte, losmétodos de aproximación que hemos presentado en el párrafo (2-5) muestranque los errores Y(x i )-Y i pueden ser considerados como sin correlación.Resulta que nuestra varianza de estimación es:1 1 1σ σ ϖ ( ) σ ϖ ( xdx )L2 2 2 2 2Est=E0 2∑ xi ≈2 E0n i n a∫0es decir:L2 1 2 1 2=0n L∫0σ σ ϖEst E( x)dxLuego, esta varianza de estimación es la misma que si se tuviera lacovarianza estacionaria:L1 2( ) = 0( ) ( )L∫ ϖ0Ch C h xdxDesignemos ahora por Ch ( ) la covarianza (seudo-estacionaria) media:L−hL−h1C0( h)Ch ( ) = Cxx ( , + hdx ) = ϖ( x) ϖ( x+hdx )L−h ∫L−h∫0 0Para h≤a, ϖ ( x + h)no difiere mucho de ϖ ( x)y se tiene:−L hL1 1 2ϖ( x) ϖ( x+ h) dx≈ϖ ( x)dxL− h∫L∫0 0Luego, para h≤a, C(h) = Ch, ( ) y la varianza de estimación es la misma quepara una F.A. estacionaria cuya covarianza sería precisamente estacovarianza media Ch. ( )Para a pequeño, resta demostrar que es posible estimar efectivamenteC(0) − C( h).83

2-9-3 Posibilidad de inferencia estadística.Pondremos:γ ( h) = C(0) − C( h), γ ( h) = C (0) − C ( h), etc.0 0 0Buscamos estimar el comportamiento de Ch ( ) en una vecindad del origen, esdecir de γ ( h)para h pequeño. Para ello tomaremos el estimador:L−hL−h* 1 2 12 2∫ ∫γ ( h) = ( ϖ( x+ h) Y( x+ h) −ϖ( x) Y( x)) dx≈ ϖ ( x)( Y( x+ h) −Y( x))dx2( L−h) 2( L−h)0 0Con las aproximaciones que hemos realizado, este estimador es insesgado:( γ )E * ( h) = γ ( h)Queda por evaluar su varianza. Aquí es necesario introducir una hipótesissobre la ley espacial de la F.A., porque van a intervenir,necesariamente, momentos de orden 4. Lo más simple es limitarse al casogaussiano, como en el ejercicio 16. Los cálculos realizados en lospárrafos a/ y b/ siguen siendo válidos y queda:(2-35)L−hL−h2 * 12 2 2( γ ( )) = ϖ ( ) ϖ ( )[ γ20( − + ) + γ0( − − ) −2 γ0( − )]2( L− h)∫ ∫0 0D h x dx y x y h x y h x y dyEvaluemos esta integral cuando h es pequeño. Es claro que esta integrales equivalente a:12L2L−hL−h2 2 2∫ ϖ ( ) ∫ ϖ ( )[ γ0( − + ) + γ0( − − ) −2 γ0( − )]0 0x dx y x y h x y h x y dyPongamos:Fu ( ) = [ γ ( u+ h) + γ ( u−h) − 2 γ ( u)]0 0 0y designemos por R al covariograma transitivo de la función igual a ϖ2 ( x)en el intervalo (0,L) e igual a = en otro caso. El algoritmo de Cauchynos proporciona:L2 * 1D ( γ ( h)) = R( u) F( u)du2L∫0Para u>h, F(u) es una función regular de u, equivalente a h 4 (γ”(u)) 2 .Luego nuestra varianza es de la forma:284

R(0)h2 * 4D ( γ ( h)) = Ah + F( u)du2L∫0Todo va a depender ahora del comportamiento d F(u) en una vecindad de 0.Designemos por bh λ (eventualmente bh 2 log(h)) la parte principal de γ 0 enh=0. La parte principal de F(u) es:bh2 2λλλ⎡⎛ u⎞ ⎛ u⎞⎢⎜1+ ⎟ + ⎜1− ⎟ −2u⎢⎣⎝ h⎠ ⎝ h⎠Por consiguiente, la varianza será de la forma:λ⎤⎥⎥⎦2(2-36)BD ( γ ( h))= Ah + hL2 * 4 1+2λ2Hay que distinguir entonces dos casos:a/ λ

2-10 EJERCICIOS SOBRE LAS FUNCIONES ALEATORIAS INTRINSECAS.2-10-1 Construcción de F.A.I.Ejercicio 1. Se elige al azar un origen x 0 en (0,a), luego se divide larecta en segmentos de longitud a mediante los puntos de subdivisión x 0 +ka(k entero, positivo o negativo). Sea Y(x) la F.A. que toma en cada uno deestos segmentos de longitud a un valor aleatorio constante Y, sorteado alazar de manera independiente de un segmento a otro, según una ley deprobabilidad de media m y de varianza σ 2 . Probar que la probabilidad deque dos puntos x y x+h pertenezcan al mismo segmento es 1-|h|/a para|h|≤a y 0 para |h|>a. Deducir el variograma de Y(x) (Solución: |h|σ 2 /apara |h|≤a y σ 2 para h>a).Ejercicio 2. La misma pregunta que en el ejercicio precedente, pero laslongitudes de los segmentos sucesivos siguen la misma ley exponencialexp(-λl) (dicho de otra manera, los puntos de discontinuidad constituyenun proceso de Poisson)(Solución: la probabilidad para que x y x+h estén en el mismo segmento esexp(-λh). Se deduce: γ(h)=σ 2 (1-exp(-λh))).Ejercicio 3. Sea en la recta real un proceso de Poisson (puntosaleatorios separados por distancias independientes las cuales admiten lamisma ley de probabilidad de densidad aexp(-ax)). Se define (salvo unaconstante) una F.A. Y(x) tomando Y(x)=constante fuera de los puntospoissonianos x i , y, en cada x i , Y + (x i )-Y - (x i )=X i , con V.A. X i independientesque siguen una misma ley de esperanza m y varianza σ 2 .Probar que la F.A. es intrínseca (pero no es estacionaria de orden 2),que admite una deriva mah y el variograma a(m 2 +σ 2 )|h|/2 (lineal). (Esteproceso es un proceso de Poisson compuesto, con incrementosindependientes y estacionarios. Para calcular la deriva y el variograma,se podrán calcular las esperanzas E[Y(x+h)-Y(x)] y E[Y(x+h)-Y(x)] 2condicionando sobre el número n de puntos poissonianos que caen entre x yx+h, luego des-condicionar en n).Ejercicio 4. Sea Y(x) una F.A. estacionaria de orden 2, m su esperanza yC(h) su covarianza. Probar que la F.A.xZ( x) = ∫ Y( y)dy0es intrínseca (pero no estacionaria de orden 2), admite la deriva mh y elvariograma:(Solución: partir de γ”=C).hγ ( h) = ( h−x) C( x)dx∫0b/ Aplicación al proceso de pendientes aleatorias: se consideran puntosde discontinuidad poissonianos, como en el ejercicio 3, la pendiente wpermanece constante en cada un o de los intervalos entre los puntos dediscontinuidad. Estas pendientes w son aleatorias e independientes, deesperanza nula y de varianza σ 2 en cada intervalo. Probar que el proceso86

Y(x) así definido (salvo una constante) es una F.A.I. (Y(x) no esestacionaria de orden 2) sin deriva, con variograma:2 eσ−ah− 1+ah2a(Solución: el proceso derivado es del tipo del ejercicio 2, basta conaplicar a/ a Y’(x)).2-10-2 Ejercicios sobre las varianzas de estimación.Ejercicio 5 – Se considera el variograma h λ (01 e inversamente, con igualdad para λ=1: paraλ>1, alta continuidad y la muestra única pero bien ubicada es superior alas dos muestras mal ubicadas; para λ

Ejercicio 7 – Sea, en el espacio de dos dimensiones, el variograma r λ .Sea un depósito reconocido líneas de longitudes superiores a suequidistancia h.a/ Calcular la varianza de extensión de una línea de largo l en surectángulo lxh de influencia.(Solución: la subida bajo potencia constante l transforma r λ en Ar λ+1 /l (oa log(r) en πr/l); de donde:σ2E2 ⎡ 1 1 ⎤hh= A − = B1+λλ+ 2⎢⎣2 λ+3⎥⎦ 1+ λ 1+λb/ deducir la varianza de estimación (ponderar por los cuadrados de laslongitudes de las líneas, poner L=Σl i y S=Lh, poner entonces la varianzade estimación en la forma:1+λSB L2+λEjercicio 8 – Mismo problema que en 7, pero se supone que además laslíneas están estimadas a partir de muestras (canaletas) a la malla a.Calcular el término de línea.(Solución:C 1 2 1 1a+ λ⎡ ⎤con C = −λLλ+ 1⎢⎣2 λ+2⎥⎦ )Optimización económica: sea w el costo del metro de galería, p 0 el costode una muestra, y l 0 =p 0 /w. Optimizar la precisión si el presupuesto dereconocimiento es fijo, o, lo que es lo mismo, optimizar el costo dereconocimiento si la precisión es fija.(Solución: Todo consiste en minimizar Cha 1+λ +Bh 2+λ con la condición1/(hl 0 )+1/(ha)=C. Se obtiene la relación siguiente:21 1(2 ) (1 ) a + λ+ λ+ λ+ λ = λ + + λ0B h Ca Cque proporciona la equidistancia h de los niveles en función de la mallade canaletas.2-10-3 Ejercicios sobre el efecto de pepita y el esquema esférico.Ejercicio 9: Efecto de pepita al estado puro – Sean pepitas puntualesdistribuidas en el espacio según un esquema de Poisson (definición: elnúmero N(v) de pepitas en un volumen v es una variable de Poisson demedia λv; si v y v’ son disjuntos, N(v) y N(v’) son independientes).a/ Se toman volúmenes v, y se pone Y(x)=N(v x ) en que v x representa eltrasladado de v implantado en el punto x. Probar que la covarianza deY(x) e Y(x+h) es la varianza de N(v x ∩v x+h ), es decir λK(h), siendo K(h) elcovariograma geométrico del volumen v.88

Se supone ahora que las pepitas tienen pesos aleatorios independientes(con media p 0 y varianza σ 2 p, y se toma para Y(x) la suma P 1 +P 2 +...+P N delos pesos de los N=N(v x ) pepitas contenidas en v. Calcular la media y lavarianza de Y(x) (solución: E(Y)=λvp 0 , D 2 (Y)=λv(p 2 0+σ 2 p)). Deducir lacovarianza de Y(x) e Y(x+h) (reemplazar v por K(h)).Ejercicio 10: Esquema de dilución. – Se tienen gérmenes poissonianos comoen el ejercicio 9. Sea f(x) una función. Se pone:∑Y( x) = f( x−x )ien que x i representa las implantaciones de los diferentes gérmenes. Setrata entonces de una dilución de estos gérmenes por la función f.Encontrar la covarianza K(h) de Y(x) e Y(x+h) ( λ g( h), con g = f ∗ f ).(Hay que limitarse al caso en que f es a soporte compacto, considerar dospuntos x 0 y x 0 +h y un domino acotado V que contiene los trasladados por x 0y x 0 +h del soporte de f. Se razonará suponiendo que el número n de puntospoissonianos caídos en V es fijo, luego se des-condicionará en n).Ejercicio 11: Esquema esférico de una dimensión – Calcular las funcionesauxiliares del esquema esférico:33 1 γ ( ) = − para ≤a 1 para ≥a32 a 2 a33 1 3 aχ( ) = − para ≤a 1 − para ≥a34 a 8 a8 3 21 1 3 a 1 aF( ) = − para ≤a 1 − + para ≥a3 22 a 20 a4 5 b/ Varianza de extensión elemental de una muestra en su segmento b deinfluencia, para b≤a y b≥2a . Interpretar.i⎛1 3 3 1⎜b + b y 1− a −a⎝4 a 160 a 4 b 5 b3 23 2⎞⎟⎠2-10-4 Ejercicios sobre las grandes mallas.Los tres ejercicios que siguen constituyen un test. Si usted es capaz decomprender el camino de solución de los dos primeros, y de efectuar loscálculos correspondientes (que son fáciles), quiere decir que usted haasimilado bien los mecanismos mentales que deben ser los mecanismos delgeoestadístico. Si además, usted puede aceptar, sin confusión, lasconclusiones críticas del tercer ejercicio (no validez en las grandesmallas del principio de composición de términos de línea y de rebanada, yvalidez solamente muy aproximada del principio de composición devarianzas de estimación elementales), esto prueba que vuestra comprensiónse extiende en profundidad, permitiéndole juzgar el sentido y los límitesde cada una de las hipótesis de aproximación de la Geoestadísticaoperativa.89

Del punto de vista epistemológico, se notará también que en las grandesmallas (es decir superiores al alcance), la forma exacta de la covarianzao del variograma γ(h) pierde toda importancia: el K(h) solo intervienepor su valor C en el origen y sus primeros momentos (A 0 y A 1 en R 1 ; A 0 , A 1 ,A 2 y A 3 en R 2 ; en R 3 habría que ir hasta A 5 ). Luego, en R 2 , por ejemplo,todos los esquemas se reducen, en las grandes mallas, a un tipo único, elcual depende solamente de los 4 parámetros esenciales A 0 , A 1 , A 2 y A 3 y delparámetro C (que solo interviene como un factor). En las grandes mallasestamos próximos de las condiciones de validez de la estadística clásica:a la varianza de estimación C/n a la cual conduciría la estadística, elcálculo geoestadístico agrega términos correctivos, cuyos coeficientesson precisamente los A i .Ejercicio 12 (1 dimensión) – Se designará por γ(h)=γ(r) un variograma(isótropo) de tipo transitivo, es decir de la forma:γ ( r) = C− Kr ( ) con Kr ( ) = 0 para r>alcance1/ En el espacio de una dimensión, para >alcance, se tiene:Deducir que:Con:2 2C− F( ) = ∫( − x) K( x) dx= ∫( −x) K( x)dx2 20 0A AF() = C− + A0χ() = C −20 12∞A = 2 K( x)dx01∞∫0∞∫A = 2 xK( x)dx2/ Varianza de extensión para una malla a>alcance:0aA Aσ = 2 χ ⎛ ⎜⎞⎟− Fa ( ) = C− −⎝2⎠a a2 0 1E2Para una galería de longitud =na, la varianza de estimación es:1 2 a A0 A1σE= C − −n a90

Ejercicio 13 (2 dimensiones) – 1/ Función F(a,b): El valor medio deγ(h)=γ(r) en el rectángulo (a,b) es:a b42 2( , ) = ( )( ) ( )2 2ab∫∫ − − γ +0 0Fab a x b y x y dxdy2/ Sea γ(h)= C-K(h) un esquema de tipo transitivo (es decir K(h)=0 parar=|h|>ε, siendo ε el alcance). En las grandes mallas (a y b > alcance) 1/proporciona:deducir que:Con:a b42 2( , ) ( )( ) ( )2 2ab∫∫0 0C− F a b = a−x b− y K x + y dxdyπ A 2A⎛1 1⎞= − + + −⎝ ⎠1 23Fab ( , ) C ⎜ ⎟ab ab a b a2 b2A1A1= K( h) dh=2 rK( r)drπ ∫ ∫AA23==2∞22 ( )∫0∞32 ( )∫0r K r drr K r dr∞03/ Deducir χ(a;b), γ(a;b), Q(a,b) (siempre para a,b > alcance).Aplicar:Lo cual debe dar:21 ∂ ⎛aF⎞χ( ab ; ) = ⎜ ⎟a ∂a⎝2 ⎠2 2∂ ⎛aF⎞γ ( ab ; ) = ⎜ ⎟2∂a⎝ 2 ⎠2 2 21 ∂ ⎛abF⎞Qab ( , ) = ⎜ ⎟ab ∂∂ a b ⎝ 4 ⎠91

π A Aχ = C − +2ababγ = C1 22π A1Q= C−4ab4/ Varianza de extensión de una galería en xh. , h/2 > alcance.2 hσE= 2 χ ⎛ ⎜ ; ⎞⎟−Fh( , ) −F( )⎝2 ⎠ 2 A0⎛ π 1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞ 1σE= − A ⎜ + ⎟+ 2A ⎜ − ⎟+A ⎝h ⎠ ⎝h h ⎠h 1 2 2 2 2 3 2 25/ Varianza de extensión S por galerías de longitud i > alcance(equidistancia > alcance). Poner Σ i =L. Sea N el número de galerías.2 2∑iσE i( ∑i )A ⎛ π N ⎞ ⎛ N 1 ⎞ N= − A ⎜ + ⎟+ 2A ⎜ − ⎟+AL ⎝Lh L ⎠ ⎝h h ⎠h 02 1 2 2 2 2 3 2 2⎛ ⎞ ⎛ ⎞= A − A ⎜ + ⎟+ A ⎜ − ⎟+AS ⎝S S ⎠ ⎝ S hS ⎠ S2h π h N hN 1 N0 122 2 2 3 26/ Estimación de S por galerías (equidistancia h>alcance), muestreadascon malla a superior al alcance:σ2Est⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + − ⎜ + ⎟+ ⎜ − ⎟+S S ⎝S S ⎠ ⎝ S hS ⎠ S2ah h π h N hN 1 NC A0 A1 2A 2 2A2 3 27/ Varianza de extensión de un sondaje:⎛a a⎞π A A Aσ = 2 Q⎜, ⎟− F( a, a) = C− − 4 +⎝2 2⎠a a a2 1 2 3E2 3 4De donde obtenemos la varianza de estimación de S:92

21 2 a π A1 A2A3σE= C − − 4 +2n S S aS a SEjercicio 14 (Crítica) – 1/ Dar una mirada crítica: Para h=a la fórmula 6no es compatible con el resultado encontrado en 7/ (salvo el primertérmino C/n, que es la aproximación de la estadística clásica). De losdos principios de aproximación siguientes:• composición de términos de línea y de rebanada (utilizado en 6/)• composición de varianzas de extensión elementales (utilizado en 7/)por lo menos uno de ellos no es aplicable al caso de las grandes mallas.Al reflexionar, aparece que la varianza de estimación asociada a unamalla rectangular (a,b), cuando a y b son superiores al alcance, solodebe depender de la superficie ab del rectángulo de la malla, y no de sualongamiento (a/b). Pero la fórmula 6/ hace intervenir, de maneraexplícita, esta razón a/h. Se puede concluir que el principio decomposición de términos de rebanada y de línea no es aplicable a lasgrandes mallas, y que debe preferirse la fórmula 7/.2/ Para verificarlo, de manera rigurosa, partir de la fórmula general:1 2 1σ = K( x− y) dxdy− K( x − y) dy+ K( x −x)∫∫ ∑∫2Est 2 i 2i jS NS iNS SSi,jCuando las distancias entre sondajes |x i -x j |, así como las distanciasentre los sondajes y la frontera de S son superiores al alcance, lafórmula anterior se traduce en la fórmula (rigurosa) siguiente:C 2πAσ = C− F( S)+ −N S2 1Estfórmula que es independiente de la forma de la malla ( y aplicable, enparticular, también a mallas irregulares).C-F(S) solo depende de la superficie S (y no de la malla) y tiene comoparte principal (para S grande): πA 1 /S, de donde se obtiene la fórmula deaproximación:C π Aσ ≈ −N S2 1Est3/ Examinemos si el principio de composición de varianzas de extensiónelementales proporciona mejores resultados. Se encuentra:1 ⎡ ⎛a b⎞ ⎤ C A1 A2⎛1 1⎞A32 Q , F( a, b) 2N⎢ ⎜ ⎟− π2 2⎥ = − − ⎜ + ⎟+⎣ ⎝ ⎠ ⎦ N S S ⎝a b ⎠ SabLos dos primeros términos son buenos. Los términos de orden superior (enA 2 y A 3 ) no son aceptables, porque aún dependen de a y de b, mientras quela fórmula exacta solo hace intervenir la geometría de S. Sin embargoesta fórmula es mejor que 6/ (en la cual solo el primer término esbueno).∑93

4/ En el mismo espíritu que 2/ anterior, probar que la varianza deestimación de un segmento de longitud L por una malla a>alcance es(rigurosamente):( ) C 2 A 0C− F L + −N LDeducir que la varianza de estimación de una dimensión (Ejercicio 12,párrafo 2) es en realidad:C A Aσ = − −N L L2 0 1Est2Luego, en una dimensión, el principio de composición de varianzas deextensión proporciona el valor exacto en los dos primeros términos, perono en el tercero.5/ Concluir del párrafo anterior que solo los dos primeros términos de lafórmula del párrafo 5/ Ejercicio 13 son válidos (varianza de estimaciónde S por galerías perfectamente muestreadas).Para reconstituir la fórmula exacta, se supondrá que S es el rectángulo xh, y se razonará directamente sobre el variograma γ’ deducido de γ porsubida bajo potencia . Para h superior al alcance, la función F’(h) deeste esquema transitivo de una dimensión es de la forma:A'A'F'( h)= C'− +h h0 12(ver ejercicio 12). Probar, por un razonamiento directo, que la nuevaconstante C’ es:A AC' = C− F( ,0) = −L L0 12Para determinar los nuevos coeficientes A’ 0 y A’ 1 , identificar laexpresión de F( ,h) (Ejercicio 13, párrafo 2/), lo que da:A AA' = π −2 A2A3A' 1= 2 −2 1 20 2Mostrar, al aplicar el resultado 4/ anterior, que la varianza deestimación por galerías de longitud equidistantes de h=H/N es:2 C ' A'0A'1σEst= − −2N H HA ⎛ 1 π ⎞ A ⎛1 1 ⎞ A= − A ⎜ + ⎟+ 2 ⎜ − ⎟+N ⎝ N S ⎠ S ⎝H ⎠ S0 231 2 294

Comparar con el ejercicio 13, párrafo 5.2-10-5 Inferencia estadística para las F.A.Ejercicio 15 (Estimación de un variograma) – Sea Y(x) una F.A.I. sobre larecta real R 1 , γ(h) su variograma. Se supone conocida una realización deY(x) en el intervalo (0,L), y, para estimar γ(h) se forma el estimadorsiguiente:L−h* 1γ ( h) = [ Y( x+ h) −Y( x)] 2dx2( L− h)∫0a/ Probar que γ * es un estimador insesgado, es decir E[γ * (h)]= γ(h).b/ (Lema) Sean X 1 , X 2 , X 3 y X 4 cuatro V.A. gaussianas de esperanzas nulas.Sea σ ij la matriz de covarianzas de los X i . Probar que:E( X X X X ) = σ σ + σ σ + σ σ1 2 3 4 12 34 13 24 14 23(identificar el término en u 1 u 2 u 3 u 4 de la función característica de 4variables. También se puede admitir este lema sin demostración y pasaradelante en el ejercicio).c/ Se supone que los incrementos de la F.A.I. Y(x) tienen leyesgaussianas (Nota: esta hipótesis tiene simplemente el objetivo depermitir el cálculo de los momentos de orden 4). Utilizando el lema b/,establecer la relación:[ ] 2E ⎡⎣ Y x+ h − Y x Y y+ h − Y y ⎤⎦ = h + x− y+ h + x− y−h − x−y2 2 2( ( ) ( )) ( ( ) ( )) 4 γ ( ) 2 γ( ) γ( ) 2 γ( )y deducir la varianza D 2 (γ * (h)) del estimador γ * (h):L−hL−h2 * 1D ( γ ( h) ) = dx [ ( x y h) ( x y h) 2 ( x y)] 2dy22( L h)γ − + + γ − − − γ −−∫ ∫0 0(utilizar la simetría en x e y de la función a integrar)d/ Efectuar los cálculos explícitos para γ(h)=ω|h|. Para esto, mostrarque:distinguir dos casos:Para h≤L/2, queda:2 L−hx2 * 4ωD h dx h x y0 Sup(0, x−h)( γ ( )) =2[ + − ]( L− h)∫ ∫295

D⎛4 h 1 h⎝3 L−h 3( L−h)3 42 * 2( γ ( h)) = ⎜ − ω2 ⎟⎞⎠y para h>L/2,2 ( * ⎛ 1 4( ))2 2 ( ) 2 ⎞D γ h = ⎜ h + l−h − h( L−h)⎟ω2⎝ 3 3 ⎠En particular, para h muy pequeño, la varianza relativa es:( γ )2 *D ( h) 4 h≈2( γ ( h))La cual tiende a 0 con h, y, por consiguiente la inferencia estadísticaes posible en condiciones aceptables respecto del comportamiento de γ(h)en una vecindad del origen, a pesar de que solo se dispone de una solarealización de Y(x).Sin embargo, cuando h no es pequeño respecto de L, la varianza relativaes enorme y la inferencia estadística no es posible: el variogramaexperimental γ * debe “normalmente” ser considerablemente diferente de suesperanza γ(h). Por ejemplo, para h=L/2, la varianza relativa es igual a1 (es decir enorme).Ejercicio 17 (Estimación de la varianza σ 2 (0|L). - En las mismascondiciones que en el ejercicio anterior, se estima la varianza en L delas muestras puntuales por el estimador:3 L= 1( )L∫ ⎡ ⎣ − ⎤ ⎦L22S Y x Y dx0con:a/ Poner S 2 en la forma:YL1= Y( x)dxL∫01LLLL∫∫∫30 0 0y probar que: E(S 2 )=σ 2 (0|L).( Y ( x) −Y ( y))( Y ( x) −Y ( y ')) dxdydy 'b/ Calcular la varianza D 2 (S 2 ) suponiendo que los incrementos de Y(x) songaussianos. Para ello se formará S 4 que es una integral séxtuple, seutilizará el lema b/ del ejercicio 15 para explicitar el argumento de laintegral, y se mostrará que el resultado se expresa, con la ayuda de lasfunciones auxiliares χ y F en la forma siguiente:96

2 2( ) 2LL4 2 8 2 2= +2 3L∫ − γ − χL∫0 0D ( S ) 2 F( L) ( L x) ( x) dx x ( x)dxL8− xL ( −x) χ( x) χ( L−xdx)3L∫0c/ Aplicar b/ al caso en que γ(h)=ω|h|, y probar que la varianza relativaen S 2 es igual a 4/5 (es decir enorme): las fluctuaciones de la varianzaexperimental respecto de su esperanza tienen siempre una amplitud enorme.Ejercicio 17 (Seudo-covarianza) – A menudo es habitual admitir, sin unexamen profundo, que las V.R. que se estudian pueden ser consideradascomo realizaciones de funciones aleatorias estacionarias de orden 2(mientras que a menudo, un estudio más fino muestra que solamente losincrementos de esta F.A. tienen momentos de orden 2 – dicho de otraforma, bien a menudo, no existe la covarianza C(h), sino un variogramaγ(h)). Por otra parte, se encuentra que los procedimientos de inferenciaestadística que se utilizan, tienen, sistemáticamente, por efecto, apartir de los sesgos que implican, de hacer esta hipótesis admisible, aúncuando esta hipótesis es totalmente falsa.Nos contentaremos con mostrar este fenómeno con un ejemplo: el caso delmovimiento browniano, con variograma γ(h)=|h|, del cual se conoce unarealización en el intervalo (0,L). Se supone entonces que:⎧EY [ ( x+ h) − Y( x)] = 0⎪⎨12⎪ D [ Y( x+ h) − Y( x)] = | h|⎩2En la práctica usual, para estimar la hipotética covarianza C(h), que enefecto no existe en este caso, se calculan sucesivamente los valores(experimentales) de las expresiones:1Y =LL∫Y( x)dx0*C ( x, y) Y( x) Y Y( y)Y( )( )= − −y se deduce la “covarianza experimental”:L−h* 1 *C ( h) = C ( x+h, x)dxL− h∫Ahora, si el variograma es γ(h)=|h|, la esperanza de C * (x,y) es:2 2* 2 x + yE ⎡⎣C ( x, y) ⎤⎦ = L + −2 Sup( x, y)3 Lpara h>0 se tiene entonces:097

2 2* 2 x + ( x+h)E⎣ ⎡C ( x, x+ h) ⎦⎤ = L+ −2x−2h3 Ly, al integrar en x, se ve que la “covarianza experimental” admite laesperanza:2* 1 4 2 hE⎣ ⎡C ( h)⎦⎤ = L− h+3 3 3 LQue es una parábola de pendiente -4/3 en el origen. Se encontraráentonces una varianza aparente C(0)=L/3, ligada únicamente a la longitudL del intervalo en el cual se trabaja, y que constituye un artefacto puro(porque la varianza real es infinita). Cuando no existe covarianzaestacionaria, sino solamente un variograma lineal, los sesgos queintroduce este procedimiento de estimación, tienen como efectoproporcionar una confirmación aparente de la existencia de estacovarianza. Se observa que la estructura está profundamente deformada: nosolamente la recta se reemplaza por una parábola, sino además lapendiente en el origen se encuentra afectada (4/3 en lugar de 1). ElC * (h) es un puro artefacto, y no conserva casi nada de la estructura realdel proceso.Se observará que el variograma experimental:tiene como esperanza:L−h* 12γ ( h) = [ Y( x+ h) −Y( x)]dx2( L− h)∫0E ⎡⎣γ* ( h) ⎤⎦ = γ ( h)no está afectado por el sesgo anterior, y constituye, por consiguiente,una herramienta más segura para el experimentador que la covarianza.98

CAPITULO 3EL KRIGEADO3-1 LOS OBJETIVOS DEL KRIGEADOEn términos mineros el krigeado consiste en encontrar la mejor estimaciónlineal posible de la ley de un panel, considerando la informacióndisponible, es decir las leyes de las diferentes muestras que se hantomado, sea al interior, sea al exterior del panel que se quiere estimar.El krigeado consiste en efectuar una ponderación, es decir atribuir unpeso a la ley de cada muestra, estos pesos se calculan de manera de hacermínima la varianza de estimación resultante, considerando lascaracterísticas geométricas del problema (formas, dimensiones eimplantación relativa del panel y de las muestras). En grueso, como esnatural, el krigeado atribuirá pesos débiles a las muestras alejadas, einversamente. Sin embargo esta regla intuitiva puede ser parcialmentepuesta en duda cuando aparecen fenómenos más complejos de efecto depantalla y de transferencia de influencia. No es posible resolver unproblema de krigeado, es decir calcular efectivamente el peso óptimo queconviene atribuir a cada muestra, sin hacer ciertas hipótesis sobre lascaracterísticas Geoestadísticas del depósito que se estudia, es decir,esencialmente, de darse la función de covarianza o el variograma de laF.A. cuyas leyes puntuales se supone que constituyen una realización. Enprincipio no es necesario introducir una hipótesis estacionaria ointrínseca, y las ecuaciones del krigeado tienen un alcance general (enla práctica, naturalmente, es necesario comenzar por estimar lacovarianza o el variograma a partir de los datos experimentales, y esaquí donde la hipótesis en cuestión encuentra su importancia). Noslimitaremos al caso de las F.A. intrínsecas o estacionarias de orden 2.El caso general de las F.A. no estacionarias corresponde al krigeadouniversal.El primer interés del krigeado deriva de su misma definición. Alminimizar la varianza de estimación, estamos seguros de sacar el mejorpartido posible de la información disponible, o, si se prefiere, deobtener la estimación más precisa posible del panel en estudio. Estaventaja es a menudo notable, pero no se justificaría siempre, debido alas complicaciones suplementarias que introduce necesariamente unaponderación. El interés práctico más importante – de lejos – delkrigeado, proviene, no del hecho que asegura la mejor precisión posible,sino más bien porque permite evitar un error sistemático. En la mayoríade los yacimientos metálicos, se deben seleccionar, para la explotación,un cierto número de paneles, considerados como rentables y se debenabandonar otros paneles considerados no-explotables. D. G. Krige hamostrado que, si esta selección fuera realizada considerandoexclusivamente las muestras interiores a cada panel, resultaríanecesariamente – en promedio – una sobre-estimación de los panelesseleccionados. La razón de este problema muy general es que la varianzade las leyes reales de los paneles es siempre más débil que la varianzade los resultados de un muestreo interior. Dicho de otra manera, elhistograma de las leyes reales de los paneles comporta menos leyesextremas (ricas o pobres) luego tiene más leyes intermedias que elhistograma deducido de las muestras interiores, y, si se calcula el99

efecto de una selección sobre este último histograma, los paneleseliminados serán en realidad menos pobres que lo que se había previsto, ylos paneles conservados menos ricos.Nuestra noción de krigeado permite interpretar fácilmente este fenómeno,y corregir sus efectos. Cuando se selecciona un panel rico, la aureola demuestras exteriores tiene, en general, una ley más débil que las muestrasinteriores, sin embargo su influencia sobre el panel a estimar no esdespreciable porque el krigeado le atribuye un peso no nulo. Si no setoma en cuenta esta aureola exterior, se introduce, necesariamente, unacausa de error sistemático por exceso.Para ilustrar esta noción, imaginemos un yacimiento filoniano reconocidopor dos galerías AA’ y BB’Se considera que las leyes de BB’ con explotables, mientras que las leyesde AA’ son explotables en el segmento CC’. Si nos contentamos concalcular la media de las leyes BB’ y CC’, estamos seguros de cometer unerror por exceso: porque los trozos AC y C’A’ – pobres por construcción –tienen una influencia no despreciable sobre el trapecio BB’ CC’. Si fueraposible dibujar una frontera precisa entre mineral explotable einexplotable, en general, la frontera real, no coincidiría con las rectasBC o B’C’, sino que sería una curva cualquiera, a menudo bastante100

irregular, tal como la línea complicada BDEFC. Además en el panel ricosubsistirían enclaves pobres y recíprocamente. En la explotaciónestaremos obligados de abandonar ciertas porciones ricas, y de tomarciertas partes pobres, y este ensuciamiento traduce de manera concreta lainfluencia de los trozos pobres AC y C’A’ sobre el panel rico (como setrata de un yacimiento homogéneo, y que la frontera precisa de la ley esdudosa, nosotros hablaremos de krigeado, y no de ensuciamiento.Emplearemos la palabra ensuciamiento en el caso en el cual los mineralesricos y pobres son geológicamente heterogéneos, y están separados por unafrontera continua, representable por una curva relativamente regular, talcomo B’D’E’C’, que, por otra parte, no tiene ninguna razón para coincidircon la recta B’C’). En este caso el krigeado conduce a ponderar las leyesde BB’, CC’, y de los trozos AC y C’A’ por coeficientes convenientes, queserían - por ejemplo – 60% para BB’, 27% para CC’ y 13% para los dostrozos.El efecto esencial de esta ponderación es eliminar – en promedio – unerror sistemático por exceso, luego un error inquietante. Al considerareste objetivo primordial, la mejora de la precisión propiamente dicha,aparece como secundaria.Proporcionaremos ahora, algunas indicaciones acerca de la manera comoD.G. Krige formuló el problema en el comienzo de los años 50. Desde hacíatiempo, los mineros de Africa del Sur conocían este efecto de sobreestimaciónde los paneles ricos, y aplicaban ciertos factores correctivosempíricos. Para encontrar estos coeficientes, KRIGE parte de la hipótesisque el muestreo está bien hecho, dicho de otra forma, que la esperanzamatemática de la ley de las muestreas que se toman en un panel es igual ala ley media real de este panel. Si estas variables son gaussianas (enlos yacimientos de Africa del Sur, las leyes eran en realidadlognormales, pero esto no cambia esencialmente nada), la recta deregresión que proporciona la esperanza condicional de la muestra enfunción de la ley del panel es entonces igual a la primera bisectriz.101

La otra recta de regresión, la que entrega la esperanza de la ley mediadel panel en función de la ley de la muestra (que es la más interesante)tiene entonces una pendiente inferior a la unidad. Si la ley x de lamuestra es superior a la media general m, la esperanza del panel esentonces inferior a x, e inversamente. KRIGE corrigió este errorutilizando la ecuación:(3-1) y = m+ β ( x−m)de esta segunda recta de regresión, con un coeficiente de regresión β

• Z(x) designa una F.A. (estacionaria o no), en general de esperanzano nula, e Y(x) una F.A. (no necesariamente estacionaria niintrínseca) de esperanza nula: por ejemplo, a menudo se tomará:Y( x) = Z( x) − E[ Z( x)]• Se designará por S al conjunto de R n sobre el cual se conoceexperimentalmente la realización de la F.A. En el caso en que S esun conjunto finito, se designará, por índices griegos, los puntosexperimentales x α , x β , ... de S, es decir:{ , α 1,2,..., }S = x = Nα• Dependiendo del caso, se buscará estimar, sea el valor Z(x 0 ) en unpunto x 0 que no pertenece a S, o bien el promedio (1/ V) ∫ Z( x)dx en unVdominio V diferente de S, es decir, más generalmente (para reunirtodos los casos posibles en una escritura única) un promedio:∫ ∫( )Z0 = p( dx) Z( x) p( dx) = 1ponderado de Z(x) por una medida p de suma unidad y de soportedisjunto de S.• Para ello se formarán estimadores lineales a partir de los datosdisponibles, que serán los Z(x), xЄS. En el caso discreto seescribirá siempre:Z = Z( x ) , ( x ∈ S)α α αanálogamente, para las funciones f(x), C(x,y), etc., ...:f = f( x ) , C(x , x ) = Cα α α β αβEn el caso discreto, se tomará siempre la convención de suma mediante lacual se debe sumar sobre todo índice que aparezca dos veces (en general,una vez en posición inferior, o covariante, y una vez en posiciónsuperior, o contravariante). Así, se escribirá:λ α Z en vez de λα ZαLos estimadores que utilizaremos se escribirán siempre en la forma:*Z= λ α ZαEn el caso en que S es infinito, se utilizarán, para formar losestimadores, medidas con soporte en S, es decir:∑αα103

Z*= ∫ λ( dx) Z( x)Sse escribirá, simplemente:Z*= ∫ λ( dx) Z( x)porque la medida λ, por definición, tiene su soporte en S.Pasemos ahora a las ecuaciones del krigeado, distinguiendo 3 casos (F.A.de esperanza nula o conocida; F.A. estacionaria de esperanza desconocida;F.A. intrínseca sin deriva). En todos los casos supondremos que lacovarianza o el variograma son conocidos.3.3 F.A. ESTACIONARIA DE ESPERANZA NULA O CONOCIDA A PRIORI.Sea Y(x) una F.A. de esperanza nula, σ(x,y) su covarianza S={x α } elconjunto de los puntos experimentales, que en primer lugar supondremosfinito, Y 0 =∫p(dx)Z(x), la variable a estimar.Como estimador se va a utilizar una combinación lineal:YK=λ α KYαy determinar los coeficientes λ α K por la condición de minimizar laesperanza de E(Y 0 -Y K ) 2 , es decir (porque la esperanza de la F.A. es nula)la varianza D 2 (Y 0 -Y K ). Por otra parte esta varianza es:con:2 2( 0 ) (0) 2λ σα0E Y − Y = D Y − + λ λ σα α βK K Y K K∫⎧⎪σαY = pdx ( ) σ( x, )0αx⎨2D ( Y0) = p( dx) σ ( x, y) p( dy)⎪⎩ ∫∫Al derivar las derivadas parciales en λ α K de esta forma cuadrática, seobtiene el sistema:αβ(3-2)λ σ= σβK αβ αY 0Este sistema que tiene N ecuaciones y N incógnitas es regular y admiteuna solución única si y solamente si la matriz de covarianzas σ αβ esestrictamente definida positiva (luego con determinante>0), lo cualsupondremos siempre. La varianza σ 2 K (o varianza de krigeado) de estaestimación óptima es igual al valor de la forma cuadrática E(Y 0 -Y K ) 2cuando se toma como coeficientes λ α K la solución de (3-2). Por otra parte(3-2) implica:104

λ λσ= λσα β αK K αβ K αY 0Existe entonces, en el óptimo, igualdad entre el término rectangular y eltérmino cuadrático, y se encuentra:(3-3)ασ = D ( Y ) − λσ α2 2K 0 K Y0En el caso del krigeado puntual (estimación de Y(x 0 ) para un punto x 0 queno pertenece a S) el sistema se reduce a:(3-4)β⎧ ⎪λσK αβ= σ⎨⎪⎩α, x0ασ = σ −λ σ2K x0, x0 K α , x0La solución λ α K(x 0 ) depende, evidentemente de x 0 , y el estimadorcorrespondiente:αλ ( x ) = λ ( x ) YKα0 K 0es un interpolador exacto, en el sentido de que:Y ( ) Kxα= Yα0 0αsi x 0 viene a coincidir con un punto experimental xα ∈ S : esto se puede0verificar directamente del sistema (3-4), pero es evidente a priori queel estimador Y α0es óptimo, porque es de varianza nula.Cuando el conjunto S es infinito, se busca estimar Y 0 por medio de unestimador de la forma:(3-5) YK= ∫ λK( dx) Y( x)y el sistema (3-2) queda:S(3-6)∫⎧ λK( dx) σ( x, y)= σy,Y∀y ∈S0⎪S⎨2 2⎪σK = D ( Y0 ) −∫λK( dx)σx,Y0⎩SPero aquí se imponen ciertas reservas. Si existe una medida λ K consoporte en S verificando (3-6), esta solución es única, y (3-5) es elestimador óptimo. Sin embargo (a menos que la covarianza sea muy regular,ver ejercicio 8), no siempre existe una medida λ K verificando estesistema. Se puede demostrar (ver [6]) que siempre existe un estimadoróptimo único Y K perteneciente al espacio de Hilbert H(S) engendrado porlos Y(x), xЄS (es decir: límite en media cuadrática de combinacioneslineales finitas de los Y(x), xЄS), pero Y K no admite necesariamente unarepresentación de la forma (3-5) con una medida λ K .105

Se puede aclarar este resultado observando que los sistemas (3-4) y(3-6)pueden escribirse como:(3-7)⎧⎪ Cov( YK− Y0, Y ( y)) = 0 ( ∀y ∈S)⎨ 2 2⎪⎩ σK= D ( Y0) −Cov( YK, Y0)Así Y K es el único elemento del espacio de Hilbert tal que Y K -Y 0 esortogonal a todos los elementos Y Є H(S) (es decir, con covarianza nulacon todo Y Є H). Esta propiedad caracteriza Y K como la proyecciónortogonal de Y 0 en H(S), de donde resulta la existencia y la unicidad,pero esto no implica (salvo el caso finito en que H es un espacioeuclídeo) la existencia de una representación integral de la forma (3-5)Sea ahora Z(x) una F.A. la cual admite una covarianza centrada σ(x,y) yuna esperanza constante m=E[Z(x)], no nula, pero conocida. Llegamosinmediatamente al caso precedente al razonar sobre la F.A. Y(x)=Z(x)-m.El estimador óptimo es entonces:(3-8) Z = m+ λα ( Z − m)o bien:K∫KZ ( )( ( ) )K= m+ λK dx Z x −mSCon coeficientes λ α K o una medida λ K verificando los mismos sistemas (3-2)o (3-6). La varianza σ 2 K mantiene la misma expresión.α3-4 FUNCION ALEATORIA ESTACIONARIA DE ESPERANZA DESCONOCIDA.3-4-1 Las ecuaciones del krigeado.Sea ahora Z(x) una F.A. de esperanza m constante pero desconocida, yσ(x,y) su covarianza centrada. Se desea estimar:Z0 = ∫ pdxZ ( ) ( x)a partir de los Z α , valores de la realización sobre un conjunto finito:{ , α 1,2,..., }S = x = Npor medio de una combinación lineal de la forma:α*Z= λ α ZαDebido a que la esperanza m no se conoce, es necesario imponer a loscoeficientes λ α la condición siguiente, llamada condición deuniversalidad:106

∑(3-9) λ α = 1En efecto, la mejor combinación lineal posible es la que minimiza laesperanza de (Z 0 -Z * ) 2 . Se tiene:αEZ ( − Z) = EZ ( ) − 2 EZZ ( ) + E[( Z) ]= m − + D Z − +* 2 2 * * 20 0 02 2 2α α β(1 ∑λα ) (0) 2λσαZ λλσ0 K K αβαComo m es desconocido, solo se puede minimizar esta expresión cuando ellano depende de m, es decir, si (3-9) se verificaTambién se puede justificar esta condición (3-9) imponiendo al estimadorZ * la condición de ser insesgado cualquiera que sea el valor(desconocido) de m (estimador universal). Se tiene:*EZ (0− Z)= m−m∑λαy, de nuevo, esta esperanza es nula cualquiera que sea m si se verifica(3-9).Cuando esta condición (3-9) se verifica, E(Z 0 -Z * ) es nula, y porconsiguiente:αEZ ( − Z) = D( Z − Z) = D( Z) − 2λ σZ+ λ λ σ* 2 2 * 2α α β0 0 0 α , 0αβExpresando que esta forma cuadrática es mínima considerando la condición(3-9), se obtiene el sistema siguiente donde figura un parámetro µ deLagrange:(3-10)⎧ = +βλ σαβσα , Zµ⎪0⎨ αλ = 1⎪ ∑ ⎩ αAl multiplicar la primera ecuación por λ α y teniendo en cuenta lasegunda, se encuentra:∑λ λσ = λσ + µ λ = λσ + µα β α α ααβ α αα, Z0 , Z0De donde se obtiene la expresión de la varianza del krigeado, la cualhace intervenir el parámetro de Lagrange:(3-10’)2 * 2αD ( Z − Z0) = D ( Z0 ) + µ − λ σ α , Z0En el caso del krigeado puntual de un punto x 0 , este sistema queda:107

(3-11)⎧ β⎪λσαβ= σα , x+ µ0⎪ α⎨∑λ = 1⎪ α⎪⎩( − ) = σ + µ −λ σ2 *αD Z Z0 xx 0 0 α , x0También se verifica directamente que el krigeado puntual es uninterpolador exacto.Se demuestra que el sistema (3-10) es siempre regular. En el casocontinuo, existe siempre un elemento único Z * Є H(S), límite en mediacuadrática de combinaciones lineales finitas, las cuales verifican lacondición (3-9), y tal que se tiene:Cov Z − Z Z y = ∀y ∈ S*(0, ( )) 0Este elemento único es la proyección de Z 0 en la variedad lineal cerradadefinida en H(S) por la condición de universalidad, luego el estimadoróptimo Z * existe y es único. Aquí también Z * no admite necesariamente unarepresentación de la forma λ( dx) Z( x)con una medida λ la cual verifica:∫S(3-12)∫⎧ λ( dx) σ( x, y)= σyZ ,+ µ ∀y ∈S0⎪S⎨⎪∫λ( dx) = 1⎩ SPero, si se puede encontrar una medida λ la cual verifica (3-12),entonces:Z*= ∫ λ( dx) Z( x)es la única solución del problema.3-4-2 La estimación óptima de m.En lugar de estimar una media espacial del tipo pdxZx ( ) ( ), se puedetambién buscar estimar la misma esperanza matemática m=E[Z(x)].Formaremos el estimador óptimo m * de m, y, en el párrafo siguiente, nospreguntaremos acerca de la relación entre m * y Z * . Nos limitaremos al casoen que S es finito, la extensión al caso infinito se puede hacerenseguida sin dificultad, con las reservas de uso respecto de laexistencia de una representación de nuestros estimadores por medio demedidas con soporte en S.Para estimar m, se forma una combinación lineal:m*=λ α 0Zα∫108

Se impone a los coeficientes λ α 0 la condición de universalidad:∑αλ =α01Que expresa que m * es insesgado cualquiera que sea el valor desconocidode m, y se eligen los coeficientes λ α 0 que minimizan D 2 (m * )=E(m-m * )considerando esta condición. De la relación:2 *D ( m− m ) = λ λσ αβα β0 0se deduce que los λ α 0 constituyen la única solución del sistema siguiente,donde figura un parámetro de Lagrange µ 0 :(3-13)⎧ λ σ = µβ0 αβ 0⎪⎨ αλ0 = 1⎪ ∑ ⎩ αEn el óptimo se encuentra que:∑λ λσ = µ λ = µα β α0 0 αβ 0 0 0αde manera que el parámetro de Lagrange µ 0 es igual a la varianza delestimador óptimo:(3-13’)2 *D ( m ) = µ03-4-3 El teorema de aditividad.Al final del párrafo (3-3), hemos indicado cómo formar el estimadoróptimo cuando la esperanza m no es nula pero es conocida: se calculan loscoeficientes λ α K óptimos del caso m=0, y se efectúa la corrección, muysimple, que consiste en reemplazar Y(x) por Z(x)-m, es decir:α(3-8) Z = m+ λ ( Z − m)KProbemos que el estimador óptimo Z * del caso en que m no es conocida(párrafo 3-4-1) y el estimador óptimo m * de m, están relacionados por larelación siguiente (muy similar a (3-8)):Kα(3-14)Z = m + λ ( Z − m )* * α*KK αcon los mismos coeficientes λ α K, solución del sistema (3-2). Este resultadosignifica que se puede krigear como si m fuera conocida, con la condiciónde reemplazar el valor desconocido de m por su estimador óptimo m * .En efecto, consideremos el segundo miembro de (3-14):109

* α *⎡α α β⎤m + λK( Zα− m ) = ⎢λK + λ0(1 −∑λK)⎥ Z⎣β ⎦αLas cantidades:λ ' = λ + λ (1 −∑ λ )α α α βK 0Kβverifican la condición de universalidad, porque:∑⎛ ⎞λ' = λ + λ 1− λ ⎟=1⎝ ⎠∑ ∑ ∑ ∑α α α βK 0 ⎜Kα α α βal considerar λ α0= 1 (sistema (3-13)). Formemos ahora la expresión:Según (3-2) y (3-13), queda:αλ ' σ λ σ ⎛ ⎞= + 1 −∑λ ) λ σ⎝ ⎠β β γ βαβ K αβ ⎜K ⎟ 0 αβγβγλ ' σαβσ ⎛ ⎞=α , Z+ ⎜1 − λ )0∑ K ⎟µ0⎝ γ ⎠Luego, los λ’ β verifican bien la primera relación (3-11), con elparámetro de Lagrangeγ(3-15) µ ⎛ ⎞= ⎜1 −∑λK) ⎟µ0⎝ γ ⎠Según la unicidad de la solución, se tiene bien λ’ αecuación (3-14) es válida.= λ α , luego laEn lo que respectan las varianzas, se tiene igualmente un teorema deaditividad. En efecto, según (3-14) se tiene:Z − Z = ( λ Z − Z ) + (1 −∑ λ ) m* αβ *0 K α 0KβαPor otra parte, el sistema (3-2) expresa precisamente que λ Z ZK α−0está encorrelación nula con todos los Z β , luego también con sus combinacioneslineales, y, en particular, con m * . Se tiene, entonces:es decir:D ( Z − Z ) = D ( λ Z − Z ) + (1 −∑ λ ) D ( m )2 * 2 αβ 2 2 *0 K α 0Kβ110

(3-16)D ( Z − Z ) = σ + (1 −∑ λ ) D ( m )2 * 2 β 2 2 *0 KKβEl primer término es la varianza σ 2 K del krigeado cuando m es desconocido.El segundo proporciona una medida exacta de la pérdida de información quese tiene, relativo a Z 0 , cuando no se conoce el verdadero valor de m.3-5 CASO DE UNA F.A.I. SIN COVARIANZA.Sea ahora Z(x) una F.A.I. sin deriva, con variograma γ pero no existe lacovarianza. Para estimar:buscaremos una combinación linealtal que:Z0 = ∫ pdxZ ( ) ( x)con pdx ( ) = 1*Z= λ α Zα• a/ el error Z * -Z 0 sea una combinación lineal autorizada (párrafo 2-2-1), es decir su varianza es finita.• b/ tal que esta varianza de estimación sea mínima.La condición a/ proporciona:∑α∫αλ − pdx ( ) = 0es decir la misma condición de universalidad que en el párrafo anterior:∑ααλ = 1Cuando esta condición se verifica, según el mecanismo de cálculo delpárrafo (2-2-1) que se puede calcular la varianza de Z * -Z 0 como siexistiera una covarianza igual a –γ. Se puede entonces, transponerdirectamente el sistema (3-11): los coeficientes λ α del estimador óptimoconstituyen la única solución del sistema:∫(3-17)∫β⎧ λ γαβ= pdx ( ) γ ( xx ,α) − µ⎪⎨ α⎪∑λ= 1⎩ αy la varianza σ 2 K correspondiente es:∫∫ ∫2ασ =− γ + µ + λ γKp( dx) ( x, y) p( dy) p( dx) ( x, xα)111

En el caso continuo (con las restricciones de uso respecto de laexistencia de una representación de Z * mediante una medida) se tiene,análogamente:(3-18)∫∫⎧ λ( dx) γ( x, y) = p( dx) γ ( x, y)− µ⎪S⎪⎨∫λ( dx) = 1⎪ S⎪ 2σK=− pγ p+ µ +⎪⎩ ∫ ∫ pγλFinalmente, en el caso puntual, se obtiene también un interpoladorexacto.Observación – Sea λ α (x 0 ) la solución del krigeado en el punto x 0 :(3-19)⎧ βλ ( x0) γαβ= γ ( x0, xα) −µ( x0)⎪ α⎨∑λ ( x0) = 1⎪ α⎪ 2( ) ( ) α⎩σ ( ) ( , )Kx0 = µ x0 + λ x0 γ x0xαsegún el carácter lineal de los segundos miembros de (3-17), la solucióndel krigeado dees:∫ p( dx) Z( x)ααλ = ∫ p( dx) λ ( x)Hay superposición, o combinación lineal de los krigeados puntuales: estarelación se extiende también al parámetro de Lagrange:µ = ∫ p( dx) µ ( x)Sin embargo la varianza (3-17’) no se obtiene por una combinación linealde las varianzas σ 2 K(x 0 ) de los krigeados puntuales.3-6 EJERCICIOS SOBRE EL KRIGEADO.Ejercicio 1 (Krigeado de un segmento de longitud l) a/ Se tiene en larecta una F.A.I sin deriva cuyo variograma es γ(h) y cuatro puntos demuestreo: x 1 , x 2 =x 1 +l, x 3 =x 2 +l, x 4 =x 3 +l. Se desea krigear el segmento(x 2 ,x 3 ) de longitud l a partir de los valores Z 1 , Z 2 , Z 3 , Z 4 de larealización en x 1 , x 2 , x 3 , x 4 . Escribir el sistema (3-17) utilizando lasfunciones auxiliares χ y F del párrafo 2-5-2.(Solución: probar que λ 1 = λ 4 = λ/2, λ 2 = λ 3 = (1-λ)/2, lo cual es evidentepor simetría, con λ solución del sistema:112

λ 1−λ λγ() l + γ() l + γ(2) l = χ () l + µ2 2 21−λ 1−λ λγ () l + γ(2) l + γ(3) l = 2 χ(2) l − χ () l + µ2 2 2y eliminar el parámetro de Lagrange µ, de donde:⎡1 1 ⎤1λ⎢γ(3) l −γ(2) l − γ() l = 2 χ(2) l −2 χ() l − γ(2)l2 2 ⎥⎣⎦2b/ Aplicar al caso γ(h)=|h| α , 0 ≤ α < 2 , e interpretar.(Solución: utilizar el ejercicio 5 del capítulo 2. Se encuentra:α 4 α2 − (2 −1)= α + 1+ −λα+1 α1 2 3Para α=0, λ=1/2 (efecto de pepita puro, el estimador óptimo es la mediaaritmética de las 4 muestras). Cuando α aumenta, λ decrece, se anula paraα=1 (propiedad markoviana del variograma lineal) y es negativo para1

Sean Z M y Z T las leyes medias de las líneas, sea Z la ley media desconocidadel yacimiento y sean σ 2 T = D 2 (Z-Z T ) y σ 2 M = D 2 (Z-Z M ) las varianzas deestimación del yacimiento por las solas líneas horizontales y las solaslíneas verticales respectivamente. Se admite que (lo cual es verdaderocon una buena aproximación) E[(Z-Z M )(Z-Z T )]=0.a/ Probar que el estimador óptimo (krigeado) de Z es Z * =λZ M +(1-λ)Z T con:σλ =σ2T2 2T+ σM(ponderación por el inverso de las varianzas de estimación respectivas) yque la varianza correspondiente es:σ σσ2 2M T2 2T+ σM(Solución: los ponderadores son de la forma λ y 1-λ debido a la condiciónde universalidad. Partir luego de:y minimizar en λ.D ( Z − Z ) = D [ λ( Z − Z ) + (1 −λ)( Z − Z )] = λ σ + (1 − λ)σ2 * 2 2 2 2 2M T M TEjercicio 3 (Propiedad markoviana de la covarianza exponencial y delvariograma lineal).Este ejercicio preparatorio será de utilidad para la comprensión de losejercicios siguientes.a/ Una F.A. Z(x) en la recta real es markoviana si, para todo x 0 , losZ(x), x>x 0 y los Z(x’) son condicionalmente independientes a Z(x 0 ) fijo.Probar que una F.A. estacionaria de orden 2 con ley gaussiana esmarkoviana si y solo si su covarianza centrada es de la forma C(h)=Ce -a|h| .[Dos variable gaussianas son independientes cuando su coeficiente decorrelación es nulo. Si X 1 , X 2 , X 3 son gaussianas, el coeficiente decorrelación de X 1 y X 3 con X 2 fijo es:ρ − ρ ρ13 12 232 2( 1−ρ12 )( 1−ρ23)Deducir que la F.A. es markoviana si y solo si C(h+h’)=C(h)C(h’) (h, h’positivos)]b/ Sea Z(x) una F.A.I. en la recta real. Se dice que Z(x) es aincrementos independientes si los Z(x i )-Z(y i ) son independientes cuandolos intervalos (y i ,x i ) son disjuntos o tienen un punto en común. Probarque una F.A.I. cuyos incrementos son gaussianos es a incrementosindependientes si y solo si su variograma es lineal (la F.A.I. constituyeentonces un proceso de Wiener-Lévy, o proceso del movimiento browniano).[Solución: un cálculo muy simple muestra que los incrementos son sincorrelación si y solo si el variograma es lineal).114

Ejercicio 4 (covarianza exponencial, caso continuo) – a/ Sea, en larecta, una F.A. Y(x) de esperanza nula y sea C(h)=e -a|h| su covarianza. Seconoce la realización de Y(x) en el intervalo (-R,R). Krigear el puntox 0 =R+h (h>0).[Solución: si Y(x) es gaussiana, se deduce de la propiedad markoviana delejercicio 3 que el estimador óptimo es e -a|h| Y(R) con la varianza 1-e -2a|h| .Esta propiedad, ligada exclusivamente a la covarianza permanece válida siY(x) no es gaussiana. Se verificará directamente que la medida λ K =e -a|h| δ R(δ R = Dirac localizada en el punto R)es efectivamente la solución de (3-6) para todo y≤R, y se calculará directamente σ 2 K].b/ Sea en la recta una F.A. de esperanza m desconocida y sea C(h)=e -a|h| sucovarianza centrada. Probar que el estimador óptimo m * de m (cuando larealización es conocida en (-R,R)) verifica:R* ar 1 ZR+ Z−R1m = Z + Z = Z x dx2 * 1D ( m ) =1 + ar(1+ ar 1+ar 2 2R∫−R( ) )[Solución: establecer las relaciones:y:R∫−Rdeducir que la medida:1 ( δ δ )−ax | −y|−arR+−R e = e cosh ( ay )2∫−ax | −y| 2 2 −are dx= − e cosh( ay) - R≤ y≤Ra a1λ0 = ν01 + aRes la solución buscada, con el parámetro de Lagrange:D ( m )11 ar2 *µ0= = ]+c/ En las mismas condiciones que en b/, krigear el punto x 0 =R+h (h>0),aplicando el teorema de aditividad.[Solución:Z = e Z + (1 −e ) m* −ah| | −ah| | *R2 * −2 ah | | (1 − e )D ( Zx− Z ) = 1− e +01+aR−ah| | 2]115

Ejercicio 5 (covarianza exponencial, caso discreto) a/ Sea, en la recta,Y(x) una F.A. de esperanza nula y de covarianza estacionaria C(h)=e -a|h| .Se conoce la realización en los n+1 puntos de abscisa 0, 1, 2, ..., n.Formar el krigeado puntual del punto x 0 =i+ε (0

x −x x −xY ( x ) = Y( x ) + Y( x ) x ≤ x ≤ x* 2 0 0 10 1 2 1 0 2x2 −x1 x2 −x1( x −x )( x −x)σ = 22 2 0 0 1Kx2 − x1[Solución: la propiedad markoviana sugiere que la solución es del tipoλY 1 +(1-λ)Y 2 . Mostrar que con λ=(x 2 -x 0 )/(x 2 -x 1 ) (interpolación lineal entrelos dos puntos más cercanos conocidos) la medida:ν = λδ + (1 − λ)δx1 x2verifica:∫ν ( dx) | x − y | = | x − y | y ≤ x o y ≥ x0 1para y0): para ello:a/ Establecer las relaciones:con:R∫−RR∫−R2R2| x − y| coshaxdx ( ) = senhaR ( ) + coshay ( )2aa2R2| x − y| senhaxdx ( ) =− coshaR ( ) + senhay ( )2aaa =2CDeducir que:R−RR−Rb/ Mostrar que la función:∫∫2R| x − y | dx − C ( dx) cosh( ax) = senh( aR)ya( δ )2R| x − y | dx − C ( dx) senh( ax) =− cosh( aR)ya( δ )117

asenh( ax) acosh( ax)λ ( x)= +2 cosh( aR) 2 senh( aR)verifica el sistema:R∫−RR∫−Rλ( xdx ) = 1Deducir que el estimador óptimo es:(| x − y| dx− Cδ( dx)) λ( x)=− y+RR*Z ( x0) = ∫ λ( x) Z( x)dx−Rcon el parámetro de Lagrange µ=x 0 -R=h y la varianza:σK= 2 h+cosh( aR)a2 1[observar que la presencia de un efecto de pepita ha hecho desaparecer lapropiedad de Markov. La densidad λ(x) atribuye pesos positivos a todaslas muestras. Se dice que el efecto de pepita levanta las pantallas].Ejercicio 8 (exponencial de Gauss) – Cuando la covarianza es muy regular,puede suceder que la solución del krigeado no sea representable por unamedida. Por ejemplo, consideremos sobre la recta una F.A. estacionaria lacual admite la covarianza C(h)=exp(-h 2 /2) y una esperanza nula. Se deseakrigear el punto x 0 =R+h, conociendo la realización en (-R,R). Si elestimador óptimo tiene una representación del tipo:YKR= ∫ λ( dx) Y( x)−Rentonces la medida λ verifica:22R ( x−y)( x0− y)−−2 2∫−Rλ( dx) e = e ∀y ∈( −R, R)Probar que no puede existir una medida λ que verifique esta relación.[Solución: la medida:2x−2ν ( dx) = e λ( dx)debería verificar la ecuación:118

R∫−Rxye ν ( dx)= e2x0− + xy 02Según las propiedades de la transformada de Laplace, la única medida queverifica esta ecuación es:2− x0/2e δ x0pero su soporte no está en (-R,R)].Ejercicio 9 (krigeado en las grandes mallas) (ver ejercicios 12 a 14 delcapítulo 2) – Se desea krigear una superficie S con la ayuda de n+kmuestras, de las cuales k fueron tomadas al interior de S y n alexterior. Se supone que las distancias entre dos muestras distintas y ladistancia entre cada muestra a la frontera de S son todas mayores que elalcance. Las notaciones son las mismas que la de los ejercicios 12 a 14del capítulo 2.a/ Escribir las ecuaciones del krigeado. Probar que estas se reducen a:Cλ = σ + µ∑iSiλ = 1icon σ Si =0 para las muestras exteriores y σ Si =πA 1 /S para las muestrasinteriores.Deducir que las k muestras interiores tienen el mismo peso λ y las nmuestras exteriores el mismo peso λ’, con:1 n A1λ = + πn+ k n+k CS1 k A1λ'= − πn+ k n+k CSb/ Calcular la varianza de este krigeado.[Solución:2 2k π A1 nk A11 CσK= C−F( S)− − ⎛⎜π⎞⎟ +n+ k S n+ k ⎝ S ⎠ C n+ken particular, si S es grande, se tiene la fórmula aproximada:22 C n−k A1σK≈ + πn+ k n+k S]c/ Comparar estos resultados con la fórmula (3-1) del párrafo 3-1, yprobar que, en el caso de las grandes mallas, el estimador óptimo es119

idéntico al que KRIGE obtuvo originalmente por su método de regresiónlineal.[Solución: el coeficiente de regresión es:σ C−F( S)k π A1β = = =σ C/k C S2y2xCuando m es conocido, el estimador óptimo es idéntico al que proporcionala regresión lineal:1ZK= m+ β ⎛⎜ ∑ Xi−m⎞k⎟⎝ i ⎠siendo X i las leyes de las muestras interiores. Según (3-4-3) se debetomar:con:*Z = m + β ⎛⎜ ∑ Xi−m⎞k⎟⎝ i ⎠* * 1* 1 ⎛⎞m = ⎜∑ Xi+ ∑ Yj⎟n+ k ⎝ ij ⎠(Y j son las muestras exteriores). Se encuentra así λ y λ’.d/ Calcular la varianza a partir del teorema de aditividad:[Solución: si m es conocido, la varianza es:Probar que:Se deducirá entonces que:σ (1 − ρ )2 2y2 k A1ρ = β = πC S2 2 2 2 * A12 CσK= σy(1 − β) + (1 − β) D ( m ) = (1 − β) π + (1 −β)S n+ky se verificará que este resultado es idéntico al del párrafo b/].120

CAPITULO 4EL KRIGEADO UNIVERSAL4-1 INTRODUCCION4-1-1 Crítica de los métodos de mínimos cuadrados.Nos proponemos, en lo que sigue, de formular, en términos de funcionesaleatorias no estacionarias el problema de la estimación de las derivas 12(o tendencias), y demostrar que el problema admite una solución óptima,bastante diferente de las soluciones propuestas por los métodos llamados“trend surface analysis”: estos últimos, que consisten, en general, enajustar un polinomio por el método de los mínimos cuadrados, proporcionanuna sensación de incomodidad: en efecto, se tiene la impresión deviolentar la naturaleza, imponiéndole a la fuerza una expresiónpolinómica, la cual no tiene ninguna razón a priori de presentar unamínima relación con la estructura real del fenómeno que se quiererepresentar. De una manera más precisa, haremos tres reprochesprincipales a estos métodos de mínimos cuadrados:En primer lugar, estos métodos implican a menudo una confusión de tipooperativo y conceptual. Pocos autores se dan el trabajo de definir lasignificación de este “trend” que ellos estiman por un método de mínimoscuadrados. Se tiene a menudo la impresión que este famoso trend no es másni menos el resultado numérico al cual conduce un modo operativo – esdecir, quizás, un puro y simple artefacto – Analizando, parece que eltérmino poco claro de “trend” se refiere, uno después de otro, y, a vecessimultáneamente en un mismo contexto, a tres nociones bien distintas, porlo menos: si Z(x) es la variable regionalizada de interés, y P(x) elpolinomio ajustado por mínimos cuadrados a partir de valoresexperimentales en los puntos x 1 , x 2 , ..., se puede atribuir al valor en xde P(x) una de las significaciones incompatibles siguientes:a/ P(x) es (una estimación de) la esperanza a priori E(Z(x)): estesentido a/ es el que siempre daremos al término “deriva”.b/ P(x) es una estimación del verdadero valor (desconocido) Z(x) tomadopor la variable regionalizada en el punto x: este sentido b/ que seasocia a nuestro término “krigeado puntual”. Más precisamente, elkrigeado puntual será el mejor estimador lineal de Z(x) construido apartir de los datos disponibles Z(x 1 ), Z(x 2 ), ...c/ Finalmente, se atribuye a veces a P(x) el sentido de una “mediamóvil”. P(x 0 ) sería entonces (una estimación) del valor medio de Z(x) enuna zona más o menos grande (a precisar) la cual contiene el punto x 0 . Ennuestra terminología, el krigeado designará el mejor estimador lineal deesta media móvil.Estas distinciones tienen una gran importancia teórica y práctica. Esesencial definir con precisión el objetivo que se desea (a/ b/ o c/). Encartografía submarina, son los valores verdaderos Z(x) que hay que2 Para evitar cualquier antropomorfismo, utilizaremos siempre el término“deriva” en lugar de “tendencia”, o “trend”.121

estimar y cartografiar (caso b/). En una explotación minera, el interésestá en la ley media de un panel de tamaño dado (caso c/). Finalmente, enciertos estudios de carácter más fundamental, se busca reconstituir losmecanismos generales que han dado nacimiento al fenómeno que se estudia,es en la deriva misma (caso a/) en la cual se espera encontrar un reflejode la estructura de estos mecanismos. En geofísica, por ejemplo, lanoción de anomalía regional, corresponde a nuestra noción de deriva.Llegamos así al segundo cuestionamiento que se puede formular a losmétodos de mínimos cuadrados. No es posible que el mismo polinomioresuelva a la vez los tres problemas a/ b/ y c/. Veremos que P(x)constituye, en efecto, una solución del problema a/. Pero, en general, noes la mejor solución posible: estos métodos “llave maestra” que utilizansiempre los mismos polinomios, cualesquiera que sean las característicasestructurales del fenómeno que se estudia, tienen poca chance, engeneral, de conducir a un óptimo.Finalmente, en tercer lugar, los métodos de mínimos cuadrados no permitende ninguna manera evaluar el error que se comete al estimar la deriva conla ayuda de un polinomio P(x). La varianza de los residuos,contrariamente a lo que se cree a veces, no es una varianza deestimación: la varianza de las desviaciones Z(x i )-P(x i ) en los puntos x ien los cuales la realidad es conocida, es, por construcción,sistemáticamente más débil (en realidad bastante más débil) que lavarianza de la desviación Z(x)-P(x) en un punto x diferente de los x i .Luego, la varianza de los residuos no es la varianza de estimación deZ(x) (problema b/). Tampoco es la varianza de estimación de la deriva(problema a/), porque esta vez no hay ninguna relación conceptual entrela desviación Z(x i )-P(x i ) y la calidad de P(x i ) considerado como unestimador de la esperanza a priori E[Z(x i )].Si embargo, si los métodos de mínimos cuadrados se revelaban comoinsatisfactorios, el objetivo que perseguían, y que no alcanzaban o loalcanzaban mal, corresponde a un problema muy real y muy importante. Enla realidad existen fenómenos que absolutamente no se pueden asimilar a(realizaciones de) funciones aleatorias estacionarias. Retomando elejemplo de la cartografía submarina, es cierto que la profundidad va enaumento cuando nos alejamos de las costas.Ensayaremos formular y resolver, en el marco de la teoría de lasfunciones aleatorias no estacionarias, los problemas importantes quecrean las derivas.4-1-2 Posición del problema e hipótesis generales.La variable regionalizada que se estudia será interpretada como unarealización de una función aleatoria Z(x) en general no estacionaria. Enun primer grupo de hipótesis, supondremos que Z(x) admite momentos deorden 1 y 2:(I)⎧EZ [ ( x)] = mx ( )⎨⎩EZ [ ( xZ ) ( y)] = mxmy ( ) ( ) + Cxy ( , )Diremos que la función m(x) es deriva de la F.A. Z(x). Nos parece, enefecto, que la única definición conceptualmente clara de la noción dederiva es bien esta: momento de orden 1 de una F.A. no estacionaria. La122

función C(x,y) que depende por separado de los puntos x ecovarianza (no estacionaria) habitual.y es laEn muchos casos (como lo muestra la práctica de la Geoestadística) estashipótesis (I) serán restrictivas, y deberán ser reemplazadas por lashipótesis (I’) siguientes que expresan que los incrementos de la funciónaleatoria Z(x) (y no Z(x) misma) admiten momentos de orden 1 y 2:(I’)⎧EZ [ ( x) − Z( y)] = mx ( ) −my( )⎪⎨12⎪ D [ Z( x) − Z( y)] = γ ( x, y)⎩2En este caso la deriva queda determinada salvo una constante, porque, engeneral, la esperanza E[Z(x)] no existe: el punto de vista de lashipótesis (I’) consiste entonces en estudiar la función aleatoria Z(x)salvo una constante aditiva. La función γ(x,y) es el variograma habitual.(En el espacio de una dimensión, procesos tan usuales como el movimientobrowniano o los procesos de Poisson proporcionan ejemplos simples de F.A.sin esperanza, los cuales verifican las hipótesis (I’) pero no lashipótesis (I).Vamos a resolver los dos problemas siguientes (relacionados, perodiferentes): conociendo los valores numéricos tomados sobre un conjunto S(el conjunto de los puntos donde se dispone de datos experimentales) poruna realización z(x) de la F.A. Z(x), debemos:1/ Estimar la función m(x) (en S y al exterior de S): es el problema a/anterior.2/ estimar z(x) en un punto x ∉ S (problema b/), o, más generalmente,estimar una “media móvil” ∫ µ ( dx) z( x)en que µ es una medida dada cuyosoporte es disjunto de S (problema c/).Además, deberemos ser capaces de representar por varianzas de estimaciónlos errores cometidos en estas operaciones, y esforzarnos de elegirnuestros estimadores de manera de minimizar (si se puede) esta varianzade estimación.Respecto de este último punto, indiquemos que nos limitaremos ainvestigar el mejor estimador lineal de m(x) o de ∫µ(dx)z(x) que se puedaformar a partir de los valores numéricos z(y), yЄS: los estimadores nolineales son mucho más complicados para ser operativos, y, por otraparte, sus propiedades no solo están ligadas a los momentos de orden 1 y2, que figuran en las hipótesis (I) o (I’), sino que hacen intervenirtambién la totalidad de la ley espacial de la F.A. Z(x). (En el caso enque esta ley espacial es gaussiana, se sabe, por otra parte, que el mejorestimador lineal posible coincide con el mejor estimador lineal).Formulado el problema en toda su generalidad (las funciones m(x) y C(x,y)son completamente desconocidas), nuestro problema es manifiestamenteinsoluble, y, por otra parte, desprovisto de sentido. Pero en losproblemas concretos, la noción de deriva solo presenta una significaciónreal en el caso en que la función m(x) varía de una manera continua yregular respecto de la escala de trabajo (y de los datos disponiblesexperimentalmente): si la función m(x) fuera irregular y caótica a estaescala, se debería considerar que m(x) misma como una realización de una123

nueva función aleatoria. Del punto de vista físico (y no matemático) lanoción de deriva está así manifiestamente ligada a la de escala. Si seestudian las cotas topográficas, a la escala de una decena de metros, lanoción de montaña se traduce por una deriva; a la escala de una decena dekilómetros, solo le corresponde una función aleatoria, y la deriva, aesta escala, expresará más bien la noción de cadena de montañas (vertambién la noción de estructuras anidadas, [7]).Pero esta condición de regularidad impuesta a priori a la función m(x),para que la noción de deriva tenga un contenido físico real, implicatambién que una estimación de m(x) debe ser siempre más o menos posiblelocalmente. Esta condición expresa en efecto que – en una cierta vecindadV de un punto x 0 dado – la función m(x) debe ser aproximada con unaexcelente precisión por una función de la forma:(II)k∑ =0mx ( ) ≈ f( x) = af ( x) = af ( x)En que los f ( x)son funciones conocidas, elegidas una vez para siempre(por ejemplo polinomios) y los a coeficientes desconocidos: respecto dela vecindad V de x 0 en la cual la aproximación (II) es aceptable, sin serdemasiado grande, debe – si el problema tiene sentido – contener unnúmero suficiente de puntos experimentales para que sea posible estimarlos k+1 coeficientes a 1 , a 2 , ..., a k .Queda el problema de la función C(x,y) , o γ(x,y) sobre la cual no se sabenada, tampoco a priori. Pero una vez más, y por las mismas razones, sepuede suponer que C o γ son localmente asimilables a funciones de tipoconocido y que se deforman lentamente en el espacio, a la escala a lacual se trabaja.El caso más favorable será aquel de una función γ (o C) de la forma:γ ( x, y) = ϖ r ( r=|x- y| )(variograma lineal): Basta, para esto, que el verdadero variograma o laverdadera covarianza tenga un comportamiento lineal en una vecindad dex=y hasta distancias comparables a las dimensiones de la vecindad V: estacircunstancia es tan común que a veces no se cree.Sin embargo, en general, además del factor ϖ , será convenienteintroducir uno o más parámetros suplementarios. Por ejemplo, se tomará:o también:γ( xy , ) = ϖr α (0 < α < 2)γ( x, y)=arϖe−En el primer caso, el parámetro α está en relación con el grado decontinuidad de la variable regionalizada. En el segundo (covarianzaexponencial), el parámetro a, o más bien su inverso, proporciona unamedida del alcance del fenómeno (distancia a partir de la cual lascorrelaciones se terminan).124

Naturalmente, el control experimental de una hipótesis de este tipo, y dela estimación de los parámetros correspondientes (ϖ y sobretodo α o a)implicará problemas bastante delicados de estadística matemática: a pesarde su importancia crucial para las aplicaciones, no será posible trataraquí completamente estos problemas, y apenas los evocaremos.En resumen, el problema que debemos tratar se encuentra esquematizadocomo sigue: se tiene una F.A. Z(x) la cual verifica las hipótesis (I) o(I’). En una vecindad V de x 0 , la deriva m(x) es de la forma (II) concoeficientes a desconocidos. Se conoce a priori (eventualmente salvo unfactor) la covarianza C(x,y) o el variograma γ(x,y). Finalmente, seconocen los valores numéricos de (la realización de) Z(x) para los puntosque pertenecen a un conjunto S ⊂ V . Se quiere encontrar los mejoresestimadores lineales:1/ de los coeficientes a desconocidos de la deriva.2/ del valor numérico de (la realización de) Z(x) en x 0de ∫ µ ( dx) Z( x)para una medida µ cuyo soporte es disjunto de S.∉ S (pero x 03/ deseamos además, poder controlar la validez de la hipótesis que hemosrealizado al elegir una expresión matemática particular para lacovarianza o el variograma, y estimar los parámetros de esta expresión.Para simplificar la exposición, no formularemos la teoría en términos deespacios de Hilbert. Luego, habrá que referirse a [6] para ciertasdemostraciones (sobre todo para establecer los teoremas de existencia yde unicidad). Utilizaremos las notaciones del párrafo 3-2. No habrándificultades reales, salvo el caso en que el conjunto S de datosexperimentales es infinito: la existencia (en el sentido de los espaciosde Hilbert) de nuestros estimadores óptimos esta siempre asegurada, perono resulta necesariamente que los estimadores admitan representacionesdel tipo ∫ λ( dx) Z( x)con medidas λ con soporte en S. Escribiremos, engeneral, en adelante, las ecuaciones integrales relativas al casocontinuo sin repetir explícitamente esta reserva esencial, que el lectordebe siempre guardar presente en su espíritu.∈ V) o125

BIBLIOGRAFIA.[1] CARLIER, A. Contribution aux méthodes d’estimationdes gisements d’uranium. Tesis.Fontenay aux Roses, 1964[2] FORMERY, Ph. Cours de Géostatistique. Ecole desMines de Nancy, 1965 (no publicado).[3] MATHERON, G. Traité de Géostatistique Appliquée.Tomo 1 (1962), Tomo 2 (1963).Ediciones Technip, París.[4] MATHERON, G. Les Variables Régionalisées et leurestimation (Tesis). Masson, París,1965.[5] MATHERON, G. Osnovy Prikladnoï Geostatistiki.Ediciones MIR, Moscú, 1968.[6] MATHERON, G. Le Krigeage Universel. Les Cahiers duCentre de Morphologie Mathématique,Fascicule 1, Fontainebleau, 1968.[7] SERRA, J. Echantillonage et estimation localedes phénoménes de transition miniéres.Tesis. Nancy, 1967.[8] FORMERY, Ph. y Matheron, G. Recherche d’optima dans lareconnaissance et la mise enexploitation des gisements miniers.Annales des Mines, Mayo y Junio 1963.126