Teoría de Automatas, Lenguajes Formales y Gramáticas

Teoría de Automatas, Lenguajes Formales yGramáticasD. Castro Esteban

T E X & LAT E X

Contenidos1 Autómatas finitosAutómatas finitos deterministasAutómatas finitos no deterministasAutómatas finitos no deterministas1 Gramáticas regularesExpresiones y gramáticas regularesAutómatas finitos y gramáticas regularesAutómatas y expresiones regulares1 Propiedades de los lenguajes regularesLenguajes no regularesPropiedades de clausuraPropiedades de decisiónEquivalencia y minimización1 Autómatas a pilaDefiniciones básicasAutómatas a pila deterministas

Autómatas finitos deterministasDefiniciónUn autómata finito determinista es una tupla D = (K,Σ,δ,s,F)donde:K es un conjunto (finito) de estados,Σ es un alfabeto (finito),δ : K ×Σ −→ K es la función de transición,s ∈ K es el estado inicial, yF ⊆ K es el conjunto de los estados aceptadores.

Autómatas finitos deterministasEjemploConsideramos A = (K,Σ,δ,s,F), donde K := {s,q 1 ,q 2 },Σ := {0,1}, F := {q 2 } y la función de transición δ se describemediante la tabla de transiciones:0 1→ s q 1 sq 1 q 1 q 2∗q 2 q 2 q 2La flecha indica el estado inicial y el asterisco indica el estado final.El autómata acepta las cadenas que contienen la secuencia 01.

Configuración y paso de computaciónDefinición (Configuración, AFD)Dado un autómata finito determinista D = (K,σ,δ,s,F), llamaremosconfiguración a toda tupla (q,w) ∈ K ×Σ ∗ .Definición (Paso de computación, AFD)Sea D = (K,Σ,δ,s,F) un autómata finito determinista y sean (q,w)y (q ′ ,w ′ ) dos configuraciones del mismo. Diremos que laconfiguración (q ′ ,w ′ ) se sigue de (q,w) en un paso de computación,denotado mediante (q,w) ⊢ D (q ′ ,w ′ ), si existe σ ∈ Σ tal queδ(q,σ) = q ′ y w = σw ′ .(q,w) ⊢ ∗ D (q′ ,w ′ ) denota cero o más pasos de computación.

Lenguaje de un AFDDefinición (Lenguaje de un AFD)Dado un autómata finito determinista D = (K,Σ,δ,s,F), se define ellenguaje aceptado por el autómata, denotado L(D), como:L(D) := {ω ∈ Σ ∗ : (s,ω) ⊢ ∗ D (f,ε), con f ∈ F}.Los lenguajes que son aceptado por un autómata finito deterministase llaman regulares.

Representación de AFDLos AFD se representan, normalmente mediante su diagramas detransición. En ella se representa el autómata mediante un grafoorientado sujeto a las siguientes consideraciones:cada nodo del grafo se corresponde con un estado del autómata,dos nodos p y q están unidos mediante un arco dirigido de p a qsi y sólo si existe σ ∈ Σ, tal que δ(p,σ) = q; dicho arco seetiqueta con el símbolo σ; si existen diversos símbolosσ 1 ,...,σ n ∈ Σ, el arco se etiqueta con σ 1 ,...,σ n ,los nodos correspondientes a estados aceptadores serepresentan mediante una doble circunferencia, yal nodo correspondiente al estado inicial llega una flecha sinorigen concreto.

EjemploEjemploEl autómata anterior se representa mediante:100,10s q11 q 2

Paso de computaciónDefiniciónSea N = (K,Σ,δ,s,F) un autómata finito no determinista y sean(q,w) y (q ′ ,w ′ ) dos configuraciones del mismo. Diremos que laconfiguración (q ′ ,w ′ ) se sigue de (q,w) en un paso de computación,denotado mediante (q,w) ⊢ D (q ′ ,w ′ ), si existe σ ∈ Σ tal queq ′ ∈ δ(q,σ) y w = σw ′ .La notación (q,w) ⊢ ∗ N (q′ ,w ′ ) indicará que la configuración (q ′ ,w ′ ) sesigue de (q,w) en cero o más pasos de computación.

EjemploConsiderar el autómata N = (K,Σ,δ,s,F), donde K := {s,q 1 ,q 2 },Σ := {0,1}, F := {q 2 } y la función de transición δ se describemediante:0 1→ s {s,q 1 } {s}q 1 /0 {q 2 }∗q 2 {q 2 } {q 2 }

EjemploEl diagrama de transición es como sigue:0,10,10s q11 q 2

Equivalencia entre AFDs y AFNsTeoremaTodo lenguaje L ⊆ Σ ∗ aceptado por un autómata finito no deterministaes aceptado por un autómata finito determinista.

DemostraciónSea L ⊆ Σ ∗ un lenguaje aceptado por un AFN N = (K,Σ,δ,s,F).Construimos un AFD D = (K ′ ,Σ,δ ′ ,s ′ ,F ′ ) que acepta L como sigue:DefinimosK ′ := P(K),F ′ := {q ∈ K ′ : q ∩ F ≠ /0},δ ′ : K ′ ×Σ → K ′ se define medianteδ ′ (q,σ) := δ(q × {σ}) = ∪ p∈q δ(p,σ), yel estado inicial mediante s ′ := {s}.

DemostraciónVeamos, por inducción en la longitud de la cadena w, que si D aceptaw partiendo de un cierto estado q ′ , existe una estado q ∈ q ′ , tal que Nacepta w partiendo de q.(Base) Supongamos w = ε. Por lo tanto, si D acepta ε partiendode q ′ , se sigue que q ′ ∈ F ′ . Tomando q ∈ q ′ ∩ F tenemos que Nacepte w partiendo de q.(Paso inductivo) Supongamos que la afirmación es cierta paratodas las cadenas de longitud a lo más n − 1 y sea w = w 1 ···w nuna de longitud n aceptada por D partiendo de q ′ . Tenemos queD acepta w 2 ···w n partiendo de δ ′ (q ′ ,w 1 ). Por lo tanto, existe unp ∈ δ ′ (q ′ ,w 1 ) tal que N acepta w 2 ···w n partiendo del estado p.Puesto que p ∈ δ ′ (q ′ ,w 1 ), existe un q ∈ q ′ tal que δ(q,w 1 ) = p ypor ende, N acepta w partiendo de q con q ∈ q ′ .Tomando como q ′ = {s}, si D acepta una cierta cadena w, N tambiénla acepta. Igualmente se demuestra que si N acepta una cadena w, Dtambién.

Algoritmo de conversiónAlgoritmoEl algoritmo toma como entrada la descripción de un autómata finitono determinista cualquiera A = (K,Σ,δ,s,F) y devuelve como salidaun autómata finito determinista A ′ = (K ′ ,Σ,δ ′ ,s ′ ,F ′ ) que acepta elmismo lenguaje. Su evolución es la siguiente.(Inicialización) Inicializa el nuevo conjunto de estadosK ′ := {{s}} y para cada σ ∈ Σ lleva a cabo la siguiente tarea:define δ ′ ({s},σ 1 ) = δ(s,σ) y, si δ(s,σ) ≠ {s} añade δ(s,σ) aK ′ .(Iteración) Si para todo q ∈ K ′ y σ ∈ Σ está definido δ ′ (q,σ), elalgoritmo termina su ejecución devolviendo A ′ = (K ′ ,Σ,δ ′ ,s ′ ,F ′ )donde F ′ = {q ∈ K ′ ;q ∩ F ≠ /0}. En caso contrario, considera unpar (q,σ) ∈ K ′ ×Σ tal que δ ′ (q,σ) no haya sido definido, defineδ ′ (q,σ) = δ(q,σ) y, si δ(q,σ) /∈ K ′ , se añade a K ′ y se itera denuevo.

Ejemplo de conversión de AFN a AFDCosideramos el AFN anterior. Tomamos como estado inicial {s},inicializamos K ′ = {{s}} y definimos las transicionesδ ′ ({s},0) = {s,q 1 } y δ ′ ({s},1) = {s}.Actualizamos K ′ a {{s},{s,q 1 }} y definimosδ ′ ({s,q 1 },0) = {s,q 1 } y δ ′ ({s,q 1 },1) = {s,q 2 }.Actualizamos K ′ a {{s},{s,q 1 },{s,q 2 }} y definimosδ ′ ({s,q 2 },0) = {s,q 1 ,q 2 } y δ ′ ({s,q 2 },1) = {s,q 2 }.Actualizamos K ′ a {{s},{s,q 1 },{s,q 2 },{s,q 1 ,q 2 }} y definimos:δ ′ ({s,q 1 ,q 2 },0) = {s,q 1 ,q 2 } y δ ′ ({s,q 1 ,q 2 },1) = {s,q 2 }.Lo que termina el proceso.

Ejemplo de conversión de AFN a AFD1 010{s} {s,q 1 }1{s,q 2 }10{s,q 1 ,q 2 }0

Autómatas finitos no deterministas con transiciones vacíasDefiniciónUn autómata finito con transiciones ε es una tupla E = (K,Σ,δ,s,F)donde:K es un conjunto (finito) de estados,Σ es una alfabeto (finito),δ : K ×(Σ ∪ {ε}) −→ P(K) es la función de transición,s ∈ K es el estado inicial, yF ⊆ K es el conjunto de los estados aceptadores. aa Nótese que la función de transición también puede definirse como una relaciónδ ⊆ K ×Σ×Σ, al igual que en el caso de los autómatas finitos no deterministas.

Paso de computaciónDefiniciónSea E = (K,Σ,δ,s,F) un autómata finito no determinista contransiciones vacías y sean (q,w) y (q ′ ,w ′ ) dos configuraciones delmismo. Diremos que la configuración (q ′ ,w ′ ) se sigue de (q,w) en unpaso de computación, notado (q,w) ⊢ D (q ′ ,w ′ ), si existe σ ∈ Σ ∪ {ε}tal que δ(q,σ) = q ′ y w = σw ′ .La notación (q,w) ⊢ ∗ D (q′ ,w ′ ) indicará, al igual que en otros casos,que la configuración (q ′ ,w ′ ) se sigue de (q,w) en cero o más pasosde computación.

Clausura respecto de εDefinición (Clausura respecto de ε)Dado un autómata finito no determinista con transiciones vacíasE = (K,Σ,δ,s,F), se define la clausura de un estado q ∈ K , conrespecto de ε, de manera recursivaq ∈ Cl ε (q),para todo p ∈ Cl ε (q) y todo r ∈ Q tales que r ∈ δ(p,ε), severifica r ∈ Cl ε (q).En general, dado un conjunto Q ⊆ K , se define la clausura de Q conrespecto a transiciones vacías de manera análoga.

Un ejemploSea E = (K,Σ,δ,F,s) es autómata finito no determinista contransiciones vacías descrito por el siguiente diagrama de transición:0,10,1ε 0s q12 q 3q 1El autómata anterior acepta el lenguaje de las cadenas que contienenla secuencia 01.En este caso, por ejemplo, Cl ε (s) = {s,q 1 } y Cl ε (q 1 ) = {q 1 }.

Equivalencia con AFDTeoremaTodo lenguaje L ⊆ Σ ∗ aceptado por un autómata finito no deterministacon transiciones vacías es aceptado por un autómata finitodeterminista.

DemostraciónSea dado un AFN–ε E = (K,Σ,δ,s,F). Construimos un AFDD = (K ′ ,Σ,δ ′ ,s ′ ,F), que acepte el mismo lenguaje, como sigueK ′ := {P ⊆ K : Cl ε (P) = P},s ′ := Cl ε (s),F ′ := {P ∈ K ′ : P ∩ F ≠ /0}, ydados P ∈ K ′ y σ ∈ Σ, definimos( )⋃δ ′ (P,σ) := Cl ε δ(p,σ) .p∈P

DemostraciónDemostración.Por inducción en la longitud de la cadena w, veamos que si D aceptaw partiendo de un cierto estado q ′ , existe una estado q ∈ q ′ , tal que Eacepta w partiendo de q.(Base) Si w = ε y D acepta ε partiendo de q ′ , tenemos q ′ ∈ F ′ .Tomando q ∈ q ′ ∩ F se tiene que E acepte w partiendo de q.(Paso inductivo) Supongamos la afirmación es cierta para todaslas cadenas de longitud a lo más n − 1 y sea w = w 1 ···w n . Si wes aceptada por D partiendo de un cierto estado q ′ , tenemos queD acepta w 2 ···w n partiendo de δ ′ (q ′ ,w 1 ). Por lo tanto, existe unp ∈ δ ′ (q ′ ,w 1 ) tal que E acepta w 2 ···w n partiendo del estado p.Puesto que p ∈ δ ′ (q ′ ,w 1 ), existe un q ∈ q ′ tal que δ(q,w 1 ) = q ′′de manera que p ∈ Cl ε (q ′′ ) y por ende, que E acepta wpartiendo de q con q ∈ q ′ .Tomando s ′ = {s}, si D acepta una cierta cadena w, N también.Igualmente se muestra que si N acepta w, D también.

Algoritmo de conversiónAlgoritmoEl algoritmo toma como entrada un AFN–ε A = (K,Σ,δ,s,F) ydevuelve un AFD con igual lenguaje. Su funcionameinto es:(Inicialización) Inicializa K ′ := {CL ε {s}} y para cada σ ∈ Σdefineδ ′ ({s},σ 1 ) = Cl ε (δ(s,σ)).Si Cl ε (δ(s,σ)) ≠ Cl ε ({s}) añade Cl ε (δ(s,σ)) a K ′ .(Iteración) Si todas las transiciones están definidas, el algoritmotermina devolviendo A ′ = (K ′ ,Σ,δ ′ ,s ′ ,F ′ ), conF ′ = {q ∈ K ′ ;q ∩ F ≠ /0}. Si no es así, considera (q,σ) ∈ K ′ ×Σt.q. δ ′ (q,σ) no está definido, y defineδ ′ (q,σ) = Cl ε (δ(q,σ))y, si Cl ε (δ(q,σ)) /∈ K ′ , se añade a K ′ e itera de nuevo.

EjemploEl estado inicial es {s,q 1 } (clausura con respecto al vacío de s),definimos K ′ = {{s,q 1 }}) y las transicionesδ ′ ({s,q 1 },0) = {s,q 1 } y δ ′ ({s},1) = {s}.Actualizamos K ′ a {{s},{s,q 1 }} y definimosδ ′ ({s,q 1 },0) = {s,q 1 } y δ ′ ({s,q 1 },1) = {s,q 2 }.Actualizamos K ′ a {{s},{s,q 1 },{s,q 2 }} y definimos:δ ′ ({s,q 2 },0) = {s,q 1 ,q 2 } y δ ′ ({s,q 2 },1) = {s,q 2 }.Luego K ′ = {{s},{s,q 1 },{s,q 2 },{s,q 1 ,q 2 }} y definimosδ ′ ({s,q 1 ,q 2 },0) = {s,q 1 ,q 2 } y δ ′ ({s,q 1 ,q 2 },1) = {s,q 2 }.Los estados finales son F ′ = {{s,q 2 },{s,q 1 ,q 2 }}.

EjemploEl autómata diagrama de transiciones del autómata construido es elsiguiente:1 01 00{s} {s,q 1 }1{s,q 2 }0{s,q 1 ,q 2 }1

Contenidos1 Autómatas finitosAutómatas finitos deterministasAutómatas finitos no deterministasAutómatas finitos no deterministas1 Gramáticas regularesExpresiones y gramáticas regularesAutómatas finitos y gramáticas regularesAutómatas y expresiones regulares1 Propiedades de los lenguajes regularesLenguajes no regularesPropiedades de clausuraPropiedades de decisiónEquivalencia y minimización1 Autómatas a pilaDefiniciones básicasAutómatas a pila deterministas

Expresiones regularesDefiniciónDado un alfabeto finito Σ, se define un expresión regular, víainducción estructural, de la siguiente manera:(Base) /0,ε y σ (con σ ∈ Σ) son expresiones regulares cuyoslenguajes asociados son /0, {ε} y {σ} respectivamente.(Inducción) Distinguimos los siguientes casos:Dada una e.r. E, (E) es una e.r. cuyo lenguaje es precisamenteL(E) (el lenguaje asociado a E).Dada una e.r. E, E ∗ es una e.r. cuyo lenguaje es L(E) ∗ (lacláusura de L(E) con respecto a la concatenación).Dadas dos e.r. E 1 y E 2 , E 1 + E 2 es una e.r. cuyo lenguaje esL(E 1 ) ∪ L(E 2 ) (la unión de los lenguajes asociados a E 1 y E 2 ).Dadas dos e.r. E 1 y E 2 , E 1 E 2 es una e.r. cuyo lenguaje asociadoes L(E 1 )L(E 2 ) (la concatenación de los lenguajes de E 1 y E 2 ).

EjemploUn ejemplo sencillo de e.r. es (0+1) ∗ 01(0+1) ∗ . Dicha expresióndescribe el conjunto de las cadenas de ceros y unos que continen lasubcadena 01. Para verlo, basta observar que (0+1) ∗ describecualquier cadena de ceros y unos.

Gramática regularDefiniciónUna gramática regular (lineal a derecha) es una tuplaG = (N,T,P,S) dondeN es un conjunto finito de símbolos llamados variables osímbolos no terminales,T es un conjunto finito de símbolos, llamados terminales,satisfaciendo T ∩ N = /0,P ⊆ N ×(T ∗ N ∪ T) es un conjunto finito de elementos, llamadosproducciones, de manera tal que si (p,q) ∈ P sedenotará mediante la expresión p → q; p recibe el nombre decabeza y q el de cuerpo de la producción, yS ∈ N es el símbolo inicial.

EjemploLa gramática que describe el lenguaje asociado a (0+1) ∗ 01(0+1) ∗viene dada por las producciones siguientes:S → 0SS → 1SS → 01S ′S ′ → 0S ′S ′ → 1S ′ , yS ′ → ε.Más compactamente,S → 0S|1S|01S ′S ′ → 0S|1S|ε.

DerivaciónDefiniciónDada una gramática regular G = (N,T,P,S) y una cadena αv, conα ∈ T ∗ y v ∈ N, diremos que αγ ∈ (T ∗ N ∪ T ∗ ) deriva de αv, si existeuna producción v → γ ∈ P. Si es el caso, lo indicaremos mediante lanotación αv ⇒ G αγ; en general, si una cierta cadena β ∈ (T ∗ N ∪ T ∗ )deriva de δ ∈ (T ∗ N ∪ T ∗ ) tras un número finito de derivaciones, lonotaremos mediante δ ⇒ ∗ G γ.EjemploContinuando con el ejemplo anterior, es sencillo ver que se tiene, porejemplo,S ⇒ 0S ⇒ 01S ⇒ 0101S ′ ⇒ 0101.En particular, se tiene que 0101 pertenece al lenguaje de la gramática.

Autómatas finitos y gramáticas regularesTeoremaSea A un autómata finito. Entonces, existe una gramática regular G talque L(G) = L(A).

DemostraciónSupongamos dado un autómata A = (K,Σ,δ,q 0 ,F). Construimos lagramática G tal que L(G) = L(A) como sigue: el conjunto de variablesde G coincide con Q (el conjunto de estados de A), el conjunto decarácteres terminales de G es Σ y su símbolo inicial es q 0 . Lasproducciones de G se definen como sigue: dada una variable q ∈ Q,q → σp (con p ∈ Q y σ ∈ Σ) es una producción si δ(q,σ) = p; dadoun estado aceptador f ∈ F, f → ε es una producción.Queda claro que una cierta cadena w ∈ Σ ∗ se deriva del símboloinicial de G si y sólo si es aceptado por el autómata. Por lo tanto,L(G) = L(A).

EjemploConsideremos el autómata finito determinista visto anteriormente, lagramática del lenguaje por él aceptado es:q 0 → 1q 0q 0 → 0q 1q 1 → 0q 1q 1 → 1q 2q 2 → 0q 2 ,q 2 → 1q 2 , yq 2 → ε.

De gramáticas regulares a autómatasTeoremaSea G una gramática regular. Entonces, existe un autómata finito (nodeterminista) A tal que L(A) = L(G).

DemostraciónSupongamos dada una gramática regular G = (V,T,P,S) (lineal aderecha). Construimos el autómata A = (K,T,δ,q 0 ,F) como sigue:el conjunto de estado viene dado por las expresiones de la forma[v], donde v es una subcadena del cuerpo de alguna producción,el alfabeto del autómata coincide con el conjunto de caracteresterminales de G,la función de transición se define mediante las reglas siguientes:dado un estado [p], con p una variable de G, y un símbolo t ∈ T ,se defineδ([p],t) = {[q] : p → q ∈ P}.Dados t ∈ T y p ∈ T ∗ ∪ T ∗ V definiendo un estado [p], se defineδ([tp],t) = {[p]}Es fácil ver, por inducción en la longitud de las cadenas, queL(A) = L(G).

De expresiones regulares a autómatasTeoremaSea Σ un alfabeto finito y E una expresión regular sobre dichoalfabeto. Entonces, existe un autómata finito (no determinista contransiciones vaciás) A = (K,Σ,δ,q 0 ,F) tal que L(A) = L(E).

DemostraciónLa demostración es por inducción estructural en la expresión regular;como subproducto, se describe un algoritmo que transformaexpresiónes regulares en autómatas finitos (no deterministas contransiciones vaciás)

Demostración(Caso Base) Supongamos que la e.r. es de los tipos: /0, ε o σ (conσ ∈ Σ; consideramos los autómatas:εσLos lenguajes de dichos AFN–ε son /0, ε) y σ (respec).

Demostración(Paso inductivo).- Si E = E 1 + E 2 , donde E 1 y E 2 son dos e.r. con A 1 yA 2 como AF asociados (i.e. se satisface que L(E 1 ) = L(A 1 ) yL(E 2 ) = L(A 2 )), consideramos:εA 1εεεA 2

DemostraciónSi E = E ∗ 1 , donde E 1 es e.r. con A 1 AF asociado, consideramos:εεεε

DemostraciónSi E = E 1 E 2 , donde E 1 y E 2 son dos e.r. con A 1 y A 2 como AFasociados, consideramos:εεA 2A 2Queda claro que los lenguajes se corresponden con los de las e.r..

De autómatas a expresiones regularesTeoremaSea A = (K,Σ,δ,q 0 ,F) un autómata finito sobre un alfabeto Σ.Entonces, existe una expresión regular sobre el mismo alfabeto Σ,digamos E, tal que L(E)=L(A).

DemostraciónSupongamos que A es un AFD. Además, suponemos que el conjuntode estados es {1,...,n}.Construimos una familia de e.r. Rij k , con 1 ≤ k ≤ n y 1 ≤ i,j ≤ k, cuyointerpretación es la siguiente: Rij k es la expresión regular que describelas cadenas que hacen que A pase del estado i al estado jatravesando, únicamente, nodos etiquetados con naturales menores oiguales a k.La construcción de dichas e.r. es inductiva en k.

DemostraciónEn primer lugar, supongamos que k = 0 (caso base). Entonces, R 0 ijdenota el conjunto de las cadenas que hacen transicionar al autómataA del estado i al estado j sin pasar por estado alguno (todos losestados están etiquetados con un natural mayor que cero). Por lotanto, caben dos posibilidades:existe una transición del nodo i al nodo j o, equivalentemente,existe un camino (arco) en el diagrama de transición de A que vade i a j; suponiendo que dicho camino está etiquetado con lossímbolos σ 1 ,...,σ l , definimos R 0 ij= σ 1 +...+σ l ,no existe una tal transición; en este caso, definimos R 0 ij= /0.

DemostraciónSupongamos construidas las expresiones regulares Rij k para1 ≤ k ≤ n. Construyamos la expresiones regulares R n+1ij, con1 ≤ i,j ≤ n+1. Dados i,j, con 1 ≤ i,j ≤ n+1, supongamos queexiste una caden que hace transicionar al autómata del estado i al jatravesando estados etiquetados con naturales menores o igualesque n+1. Distinguimos los siguientes casos:si existe la cadena en cuestión no hace transicionar al autómataA por el estado n+1 (la cadena da un camino del nodo i al nodoj que no atraviesa nodos etiquetados con naturales mayores quen en el diagrama de transiciones), dicha cadenaestá comtemplada en la expresión regular R n ij ,

Demostraciónsi no es el caso, esto es, la cadena hace transicionar al autómatapor el estado n, partimos dicha cadena en fragmentos de lasiguiente manera:el primer fragmento hace transicionar al autómata del estado i aln+1 sin pasar por n+1 como estado intermedio,el último fragmento hace transicionar al autómata del estado n+1al estado j sin pasar por n+1 como estado intermedio, ylos fragmentos intermedios son tales que hacen pasar alautómata del estado n+1 al estado n+1 sin que éste sea uno delos intermedios.El primer fragmento está descrito por R n i(n+1) , el último porR n (n+1)jy los fragmentos intermedios por R n (n+1)(n+1 .

DemostraciónPor lo tanto y en cualquier caso, dicha cadena queda descrita porR n ij + Ri(n+1) n (Rn (n+1)(n+1 )∗ R n (n+1)j .El lenguaje de A está dado por es la dada por la suma de las e.r. de laforma R1k n , donde 1 suponemos es el estado inicial y k es un estadofinal.

Contenidos1 Autómatas finitosAutómatas finitos deterministasAutómatas finitos no deterministasAutómatas finitos no deterministas1 Gramáticas regularesExpresiones y gramáticas regularesAutómatas finitos y gramáticas regularesAutómatas y expresiones regulares1 Propiedades de los lenguajes regularesLenguajes no regularesPropiedades de clausuraPropiedades de decisiónEquivalencia y minimización1 Autómatas a pilaDefiniciones básicasAutómatas a pila deterministas

EjemploConsidérese el lenguaje definido sobre {0,1}L := {0 n 1 n : n ∈ N}Intuitivamente se puede llegar a la conclusión de que dicho lenguajeno es regular puesto que un autómata finito que lo reconozca debeser capaz de contar el número de ceros para compararlo con elnúmero de unos. Sin embargo, dado que los autómatas tienen unacapacidad de almacenamiento limitada por el número de estado, nopueden almacenar números arbitrariamente grandes. Por lo tanto, nopuede existir un tal autómata, i.e. L no es regular

Lema de BombeoLema (Lema de Bombeo)Sea L un lenguaje regular. Entonces, existe una constante n(dependiente de L) tal que para toda cadena ω ∈ L de longitud mayoro igual que n, existen cadenas ω 1 ,ω 2 ,ω 3 ∈ Σ ∗ tales que:ω 2 ≠ ε,|ω 1 ω 2 | ≤ n, ypara todo k ∈ N, la cadena ω 1 ω k 2 ω 3 pertenece a L.

Función de transición extendidaDefiniciónDado un autómata A = (K,Σ,δ,s,F), se define la extensión de δ aldominio K ×Σ ∗ (denotada por ˆδ ) de manera inductiva en la longitudde las cadenas:dado q ∈ K , definimos ˆδ(q,ε) := q,dados q ∈ K , ω ∈ Σ ∗ y σ ∈ Σ, definimosˆδ(q,σω) := δ(ˆδ(q,ω),σ).NotaA acepta w ∈ Σ ∗ si y sólo si ˆδ(s,w) ∈ F.

DemostraciónDemostración.Supongamos dado un lenguaje regular L y consideremos un AFA = (K,Σ,δ,s,F) t.q. L = L(A); supongamos además que #K = n.Dada una cadena ω = σ 1 ···σ m ∈ Σ ∗ , con m ≥ n, definimos p i , para0 ≤ i ≤ m, como el estado en el que se encuentra el autómata trasprocesar la cadena σ 1 ···σ i , i.e. p i = ˆδ(s,σ 1 ···σ i ) (notar que p 0 = s).Obviamente, existen 0 ≤ j < k ≤ n tales que p j = p k . Definiendoω 1 := σ 1 ···σ j , ω 2 := σ j+1 ···σ k , y ω 3 := σ k+1 ···σ m , se sigue elresultado.

EjemploEjemploConsideramos el lenguaje del ejemplo anterior, veamos por reducciónal absurdo, que no es regular.Si así fuera, por el Lema de Bombeo, existiría un natural n ∈ N tal quepara toda cadena de longitud como poco n, digamos ω ∈ Σ ∗ existencadenas ω 1 ,ω 2 ,ω 3 ∈ Σ ∗ tales que1 ω 2 ≠ ε,2 |ω 1 ω 2 | ≤ n, y3 para todo k ∈ N, la cadena ω 1 ω k 2 ω 3 pertenece a L.En particular, consideramos la cadena de L definida por ω = 0 n 1 n .Por lo anterior, existen ω 1 ,ω 2 ,ω 3 verificando 1, 2 y 3. Tomando k = 0,se sigue que ω 1 ω 3 pertenece a L, lo cual es absurdo puesto que sunúmero de ceros es forzosamente menor que él de unos (ω 2 tienelongitud mayor o igual a uno, i.e. consta de como poco de un cero).

Propiedades básicasTeoremaLas siguientes afirmaciones son ciertas.1 La unión de dos lenguajes regulares es regular.2 El complementario de un lenguaje regular es regular.3 La intersección de dos lenguajes reuglares es regular.4 La diferencia de dos lenguajes regulares es regular.NotaLas afirmaciones anteriores son ciertas para un número finito delenguajes (la demostración es por inducción).

Demostración1. Sean L,L ′ ⊆ Σ ∗ dos lenguajes regulares y E L y E L ′ e.r. para losmismos. La expresión regular E L + E L ′) da el lenguaje L ∪ L ′ y, por lotanto, es regular.2. Sea L un lenguaje regular dado por un AFD A. Construimos unautómata A ′ igual a A con la salvedad de que sus estadosaceptadores son los estados de rechazo de A. El autómata A ′ aceptacualquier cadena que A rechaze, i.e. determina el lenguaje L c . Por lotanto, el complementario de L es un lenguaje regular.

Demostración3. Dados dos lenguaje regulares L,L ′ ⊂ Σ ∗ tenemos (Leyes deMorgan):L ∩ L ′ = ( L c ∪ L ′c)c .Puesto que, tal y como se ha demostrado en 1. y 2., la unión y elcomplementario de lenguajes regulares es regular, se sigue que laintersección es regular.4. Sean L,L ′ ⊆ Σ ∗ dos lenguajes regulares. Puesto que se verifica:L \ L ′ = L ∩ L ′c ,se sigue de 1. y 3. que la diferencia de lenguajes regulares es regular.

ReflexiónDefiniciónDada una cadena cualquiera ω = ω 1 ···ω n ∈ Σ ∗ sobre el alfabeto Σ,se define la reflexión de la cadena ω, notada ω R , comoω R := ω n ···ω 1 .DefiniciónDado un lenguaje L ⊆ Σ ∗ , se define la reflesión del lenguaje L,denotada por L R , comoL R := {ω R : ω ∈ L}.TeoremaSea L ⊆ Σ un lenguaje regular. Entonces, L R es un lenguaje regular.

DemostraciónPara demostrar el enunciado haremos uso de la relación existenteentre lenguajes regulares y expresiones regulares.Supongamos en primer lugar que el lenguaje regular L es descrito poruna expresión regular E. Procediendo por inducción estructural,distinguimos los siguientes casos:(Caso Base) Si E = /0, E = ε o E = σ, para algún σ ∈ Σ, definiendoE R como E se tieneL(E R ) = L(E) R = L.

Demostración(Paso inductivo) Consideremos las restantes alternativas:Supongamos que E = E 1 + E 2 , para ciertas expresionesregulares E 1 y E 2 . Definiendo E R = E1 R + E 2R tenemos queL(E R ) = L(E R 1 + E R 2 ) = L(E R 1 ) ∪ L(E R 2 )= L(E 1 ) R ∪ L(E 2 ) R = L(E 1 + E 2 ) R = L(E).Con respecto al caso E = E 1 E 2 , definiendo E R = E R 2 E R 1tenemosL(E R ) = L(E 2 2 E R 1 ) = L(E R 2 )L(E R 1 ) = L(E 2) R L(E 1 ) R= (L(E 1 )L(E 2 )) R = L(E 1 E 2 ) R = L(E) R .Finalmente, el caso E = E ∗ 1se sigue del anterior.

HomomorfismoDefiniciónDados dos alfabetos finitos Σ y Γ, llamaremos homomorfismo a todaaplicación h : Σ → Γ ∗ . Toda aplicación como la anterior induce, demanera natural una aplicación h : Σ ∗ → Γ ∗ definida medianteh(σ 1 ···σ n ) := h(σ 1 )···h(σ n ).Dado un lenguaje cualquiera L ⊆ Σ, llamaremos homomorfismo de L(con respecto a h) al lenguaje h(L) definido porh(L) = {ω ∈ Γ : ∃ω ′ ∈ Lt.q. h(ω ′ ) = ω}.TeoremaSea L ⊂ Σ ∗ un lenguaje regular y h : Σ → Γ un homomorfismo entrelos alfabetos (finitos) Σ y Gamma. Entonces, el homomorfismo dellenguaje L (con respecto a h) es un lenguaje regular.

DemostraciónSupongamos que el lenguaje L viene dado mediante una expresiónregular sobre el alfabeto Σ, digamos E. Construyamos, por inducciónestructural, una nueva expresión, digamos E h , que determine h(L).(Caso Base) Supongamos de entrada que E = /0, E = ε ó E = σ(con σ ∈ Σ). Entonces, definimos E h mediante E h := /0, E h := εó E h := h(σ) de pendiendo del caso. Está claro que, en estecaso, h(L(E)) = L(E h ).(Paso Inductivo) Distinguimos los siguientes casos:si E = E 1 + E 2 , definimos E h := E1 h + E 2 h .si E = E 1 E 2 , definimos E h := E1 h E 2 h y, finalmente,si E = E ∗ 1 , definimos E h := (E h ) ∗ . Resulta fácil de ver que en lostres casos anteriores se tiene que h(L(E)) = L(E h ).En resumen, el homomorfismo de un lenguaje regular es regular.

Homomorfismo inversoDefiniciónSean Σ y Γ dos alfabetos finitos, h : Σ → Γ un homomorfismo yL ⊂ Γ ∗ un lenguaje regular. Se define el homomorfismo inverso de L(con respecto a h), denotado h −1 (L), como:h −1 (L) := {ω ∈ Σ ∗ : h(ω) ∈ L}.TeoremaSean Σ y Γ dos alfabetos finitos, h : Σ → Γ un homomorfismo yL ⊂ Γ ∗ un lenguaje regular. El homomorfismo inverso de L es unlenguaje regular.

DemostraciónSupongamos dado A = (K,Γ,δ,s,F) aceptando L. Construyamos unautómata A ′ = (K,Σ,δ ′ ,s,F) (sólo cambia la función de transición)definiendo:δ ′ (q,σ) := ˆδ(q,h(σ)),donde ˆδ denota la función de transición extendida de A.Queda claro que el lenguaje de A ′ es precisamente h −1 (L).

EquivalenciaTeoremaExisten algoritmos que1 dada una e.r. E, construyen un AF A tal que L(A) = L(E),2 dado un AF A, construyen una g.r. G tal que L(G) = L(A), y3 dada una g.r. G, construyen una e.r. E, tal que L(E) = L(G).

Otros problemasCuestiónDado un lenguaje regular L, ¿es L no vacío?CuestiónDado un lenguaje regular L, ¿es L el total, i.e. L = Σ ∗ ?CuestiónDados lenguajes regulares L 1 y L 2 , ¿es L 1 = L 2 ?

VaciedadTeoremaExiste un algoritmo que dado un lenguaje regular L decide si es o novacío.

Demostración para AFSi L viene dado por un AF, dicha pregunta equivale a: ¿existe uncamino del estado inicial a un estado aceptador?Así enunciada, la pregunta tiene fácil respuesta algorítmica:el estado inicial es accesible desde el estado inicial, ysi el estado p es accesible desde el estado inicial y existe un arcode p a q, entonces el estado q es accesible desde el estadoinicial.Lo anterior resume la construcción inductiva del conjunto de estadosaccesibles desde el estado inicial, en el momento en que dichoconjunto contenga un estado aceptador, concluimos que el lenguajeno es vacío. Si dicho conjunto no se puede ampliar y no contieneningún estado aceptador, concluimos que el lenguaje L es vacío.

Demostración para ERSi L viene dado mediante una ER E, procedemos por inducciónestructural:(Caso Base) Si E es /0 define el lenguaje vacío; si es del tipo ε oσ (σ ∈ Σ), entonces L no es vacío.(Paso Inductivo) Si E no es de los tipos anteriores, distinguimos:Si es de la forma E 1 + E 2 , el lenguaje es vacío si y sólo si loslenguajes de E 1 y E 2 lo son,Si es del tipo E 1 E 2 , el lenguaje es vacío si y sólo si el lenguaje deE 1 o el de E 2 lo son.Finalmente, si la expresión regular es del tipo E ∗ , el lenguaje noes vacío.

Demostración para GRSi L viene dado por una GR, dicha pregunta equivale a: ¿existe unaserie de producciones que llevan del símbolo inicial S a una cadenacuya variable se puedes substituir por una cadena de sólo terminales?Así enunciada, la pregunta tiene también fácil respuesta algorítmica:el símbolo inicial es accesible desde el símbolo inicial, ysi una variable V se obtiene mediante una producción desde unavariable que es accesible desde el símbolo inicial, tb. esaccesible desde S.En el momento en que dicho conjunto contenga una variable que sepuede substituir por una cadena sólo de terminales, concluimos que ellenguaje no es vacío. Si dicho conjunto no se puede ampliar y nocontiene ninguna de tales variables, el lenguaje L es vacío.

Totalidad e igualdadTotalidadPara determinar si un lenguaje regular L es el total, basta decidir si L ces el vacío.IgualdadPara saber si dos lenguajes regulares L 1 y L 2 coinciden, basta sabersi L 1 ⊆ L 2 y L 2 ⊆ L 1 o equivalentemente, si L 1 \ l 2 = /0 y L 2 \ L 1 = /0.

Relaciones de equivalenciaDefiniciónSea X un conjunto. Una relación ∼⊆ X × X se dice de equivalencia,si satisface las siguientes propiedades:[Reflexiva] para todo x ∈ X , x ∼ x,[Simétrica] para todos x,y ∈ X , x ∼ y implica y ∼ x, y[Transitiva] para todos x,y,z ∈ X , x ∼ y y y ∼ z implica x ∼ z.

Clases de equivalencia y conjuntos cocienteDefiniciónDada una relación ∼⊆ X × X y un elemento x ∈ X , se define la clasede x, notada [x] ∼ , como el conjunto de todos los elementos de Xrelacionados con x, i.e.[x] := {y ∈ X : x ∼ y}.El conjunto X/ ∼ es el conjunto cociente, i.e. el conjunto de todas lasclases de equivalenciaNotaDados dos elementos x,y ∈ X no relacionados mediante ∼, severifica [x] ∼ ∩[y] ∼ = /0. La demostración de este hecho se sigue lapropiedad transitiva: por reducción al absurdo, sean x,y ∈ X doselementos no relacionados tales que [x] ∩[y] ≠ /0 y sea z ∈ [x] ∩[y].Puesto que x ∼ z y z ∼ y se sigue x ∼ y, lo cúal es absurdo. Por loque se tiene la afirmación.

Estados equivalentesDefiniciónSea A = (K,σ,δ,s,F) un autómata finito determinista y seanp,q ∈ K dos estados del mismo. Diremos que los estados p y q sonequivalentes, denotado por p ∼ q, si para toda cadena w ∈ Σ ∗ severifica que ˆδ(p,w) es de aceptación si y sólo si ˆδ(q,w) es deaceptación. En caso contrario, diremos que los estados sondistinguibles.

PropiedadesTeoremaLa relación estados equivalentes es una relación de equivalencia.Demostración.Las tres propiedades se siguen directamente de la definición,omitiremos su prueba.

Algoritmo de marcadoTeoremaExiste un algoritmo que tomando como entrada un autómata finitodeterminista, calcula los pares de estados distinguibles y por ende, lospares de estados equivalentes.

DemostraciónEl algoritmo procede como sigue:(Caso Base) Si p ∈ K es un estado de aceptación y q ∈ K no loes, se marca el par (p,q) como par de estados distinguibles.Dichos estado se distinguen mediante la cadena ε.(Paso Inductivo) Sean p,q ∈ K dos estados tales que para algúnσ ∈ Σ se tiene δ(p,σ) = s y δ(q,σ) = r. Si el par (r,s) estamarcado como distinguible, se marca el par (p,q) comodistinguible. Obviamente, una cadena que distingue p y q es aw,donde w ∈ Σ ∗ es una cadena que distingue a r y s.

DemostraciónEl algoritmo anterior marca todos los pares de estados distinguibles.Para demostrarlo, supongamos que no es así, i.e. que existe un parde estado p,q ∈ K distinguibles que no han sido marcados por elalgoritmo.Los estados p y q no pueden ser distinguidos mediante la cadena ε,puesto que si así fuera hubieran sido marcados en la primera etapadel algoritmo (uno sería aceptador mientras que el otro no).Sea w = w 1 ...w n ∈ Σ + la cadena más corta que distingue a p y q,los estados δ(p,w 1 ) y δ(q,w 1 ) son distinguidos por la cadenaw 2 ...w n . Continuando con la argumentación, llegamos a la conclusiónde que unos ciertos estados r ∈ K y s ∈ K son distinguibles por lacadena vacía y por tanto conforman un par marcado en la primeraetapa del algoritmo. Por lo tanto, el par conformado por p y q hubierasido marcado durante la ejecución de la segunda etapa.

EjemploSea A el autómata finito:0C0D011E1En este caso, el algoritmo comienza marcando lo pares formados porestados aceptadores y no aceptadores, i.e.: {(C,E),(D,E)}. Trasesta primera fase, el algoritmo pasa a la fase inductiva. Sin embargo,en esta fase no marca nuevos pares puesto que el par (D,C) esindistinguible.

EquivalenciaTeoremaExiste un algoritmo que decide si dos autómatas finitos aceptan elmismo lenguaje.

DemostraciónSupongamos dados dos autómatas finitosA = (K A ,Σ A ,δ A ,s A ,F A ) y B = (K B ,Σ B ,δ B ,s B ,F B )tales que sus conjuntos de estados sean disjuntos. Consideramos unnuevo autómata cuyo conjunto de estados viene dado por la unión delos conjuntos K A y K B . El resto de los elementos del nuevo autómatase definen de manera acorde a esta elección.El autómata así definido, tiene dos estados iniciales; sin embargo estono afecta a lo que sigue.El algoritmo emplea el algoritmo de marcado para detectar si losestados iniciales son equivalentes o no. Ambos autómatas definen elmismo lenguaje si y sólo si así es.

EjemploConsideramos el AF del Ejemplo anterior y01A1B0Empleando el algoritmo de marcado, son distinguibles los pares deestados: (B,A),(E,A),(C,B),(D,B),(E,C) y (E,D).Por lo tanto, el par (A,C) es un par de estados equivalentes y ambosautómatas definen el mismo lenguaje.

MinimizaciónTeoremaExiste un algoritmo que tomando como entrada un autómata finitodeterminista, produce un autómata equivalente con el menor númeroposible de estados.

DemostraciónSupongamos dado un autómata A = (K,Σ,δ,s,F). El algoritmoelimina de entrada aquellos estados que no son accesibles desde elestado inicial. Después, construye un nuevo autómataB = (K ′ ,Σ,δ ′ ,s ′ ,F ′ ) de la siguiente manera:K ′ es el conjunto de clases de equivalencia de K con respecto a∼ (equivalencia de estados),s ′ es la clase de equivalencia de s, i.e. s ′ := [s] ∼ ,F ′ es el conjunto de clases de equivalencia de los elementos deF, yδ ′ se define de la siguiente manera: dado σ ∈ Σ y q ∈ K ′ , sedefine δ ′ (q,σ) = [δ(q,σ)] ∼ . La función de transición esta biendefinida puesto que, si p ∈ [q] ∼ y [δ(q,σ)] ∼ ≠ [δ(p,σ)] ∼ , losestados p y q serían distinguibles.

DemostraciónEl algoritmo, para construir un tal autómata, hace uso del algoritmo demarcado con el fin de determinar las clases de equivalencia.Veamos que el autómata B así construido tiene el menor número deestados posibles. Por reducción al absurdo, supongamos que no esasí y sea C un autómata con un número menor de estados. Comodefinen el mismo lenguaje, i.e. son autómatas aquivalentes, losestados iniciales son equivalentes. Como ninguno de los dosautómatas posee estados aislados del inicial, cada estado de B va aser equivalente a alguno de C. Puesto que C tiene menos estados queB, hay dos estados de B equivalentes entre si, lo cual resulta absurdo.

EjemploConsideramos el autómata:01AE0 1B0101 1FCG0011DH100

EjemploEl mínimo autómata que acepta el lenguaje del anterior es:10G1D,FA,E1000B,H1C10

Contenidos1 Autómatas finitosAutómatas finitos deterministasAutómatas finitos no deterministasAutómatas finitos no deterministas1 Gramáticas regularesExpresiones y gramáticas regularesAutómatas finitos y gramáticas regularesAutómatas y expresiones regulares1 Propiedades de los lenguajes regularesLenguajes no regularesPropiedades de clausuraPropiedades de decisiónEquivalencia y minimización1 Autómatas a pilaDefiniciones básicasAutómatas a pila deterministas

Autómatas a pilaDefiniciónUn autómata a pila es una tupla P = (K,Σ,Γ,δ,s,Z,F) donde:1 K es un conjunto finito de estados,2 Σ y Γ son dos alfabetos finitos llamados de entrada y de pila(respec.),3 δ : K ×(Σ ∪ {ε}) ×Γ → P(K)×Γ ∗ es una aplicación llamadade transición,4 s ∈ K es el estado inicial, Z es el símbolo inicial de la pila, y5 F es el conjunto de estados aceptadores.

Configuración y paso de computación de un APDefiniciónDado un AP P = (K,Σ,Γ,δ,s,Z,F), llamaremos configuración delautómata P a toda tupla (q,w,γ) ∈ K ×Σ ∗ ×Γ ∗ . En particular,llamaremos configuración inicial para un cadena dada w ∈ Σ ∗ a latupla (s,w,Z).DefiniciónSupongamos dados un AP P = (K,Σ,Γ,δ,s,Z,F), un símbolo delalfabeto de entrada σ ∈ Σ y un símbolo del alfabeto de pila ρ ∈ Γ talesque δ(q,σ,ρ) = (Q,α) para ciertos Q ∈ P(K) y α ∈ Γ ∗ . Para todop ∈ Q, w ∈ Σ ∗ y γ ∈ Γ ∗ , diremos que la configuración (q,σw,ργ) dalugar, en un paso de computación, a la configuración (p,w,αγ) y lodenotaremos por (q,σw,ργ) ⊢ P (p,w,αγ). En general, emplearemosla notación ⊢ ∗ Ppara indicar que una configuración se sigue de otra enun número finito de pasos (quizás nulo).

Lenguaje aceptado por estado finalDefiniciónDado un autómata a pila P = (K,Σ,Γ,δ,s,Z,F), se define ellenguaje aceptado por P por estado final como el conjunto de lascadenas w ∈ Σ ∗ tales que partiendo de la configuración inicial para w,el autómata alcanza en un número finito de pasos una configuraciónaceptadora, i.e.L(P) = {w ∈ Σ ∗ : (s,w,Z) ⊢ ∗ P (f,ε,γ) ∈ F × {ε} ×Γ∗ }.

Lenguaje aceptado por pila vacíaDefiniciónDado un autómata a pila P = (K,Σ,Γ,δ,s,Z,F), se define ellenguaje aceptado por P por pila vacía como el conjunto de lascadenas w ∈ Σ ∗ tales que partiendo de la configuración inicial para w,el autómata alcanza en un número finito de pasos una configuracióncon cadena y pila vacías, i.e.L(P) = {w ∈ Σ ∗ : (s,w,Z) ⊢ ∗ P (f,ε,ε) ∈ K × {ε} × {ε}}.

EquivalenciaTeoremaDado un lenguaje aceptado por un autómata P por estado final, existeun autómata P ′ que acepta L por pila vacía. Recíprocamente, si L esaceptado por un autómata por pila vacía, existe un autómata P ′ queacepta L por estado final.

Demostración (1)Supongamos dado un lenguaje L ⊂ Σ ∗ aceptado por un APP = (K,Σ,Γ,δ,s,Z,F) por estado final. La construcción de unautómata P ′ que acepta L por pila vacía es como sigue: P ′ coincidecon P con las siguientes salvedades:el símbolo inicial de pila viene dado por un nuevo símbolo X ,el conjunto de estado coincide con el de P salvo por la inclusiónde dos nuevos estados: un nuevo estado inicial p 0 y un nuevoestado denotado p F encargado de vaciar la pila.la función de transición es igual que en el autómata a pila salvopor la inclusión de diversas transiciones: la primera está definidamediante δ(p 0 ,ε,X) = {(s,ZX)} y se encarag de apilar elsímbolo inicial de pila del autómata P, mientras que las restantesson de la forma δ(f,ε,γ) = {(p F ,ε)}, donde f ∈ F y γ ∈ Γ.

Demostración (2)Gráficamente, representamos a continuación dicho autómata:ε,Γ/εε,X/ZXε,Γ/εp 0 s pF

Demostración (3)Recíprocamente, supongamos que el lenguaje L es aceptado por unautómata a pila por pila vacía. La construcción del autómata P ′ escomo sigue: al igual que en el caso anterior, el nuevo autómata esesencialmente igual a P con las siguientes salvedades:el símbolo inicial de pila viene dado por un nuevo símbolo Z ,se añaden dos nuevos estados p 0 (estado inicial) y p F (estadofinal),se consideran, además de las transiciones de originales P, lassiguientes: una transición inicial definida medianteδ(p 0 ,ε,X) = {(s,ZX)} y unas transiciones encargadas deaceptar definidas por δ(q,ε,Z) = {(p F ,X)}.

Demostración (4)En líneas generales, el diagrama de transiciones de P ′ tiene la pinta:ε,X/ZXε,X/Xp 0 s pF

Autómata a pila deterministaDefiniciónDado un autómata a pila P = (K,Σ,Γ,s,Z,F), diremos que esdeterminista si verifica:1 δ(q,σ,γ) = (Q,γ ′ ) verifica #Q ≤ 1 para todo q ∈ K , σ ∈ Σ yγ ∈ Γ.2 Si δ(q,σ,γ) = (Q,γ ′ ) con Q ≠ /0, entonces δ(q,ε,γ) = (/0,γ ′ ).

AP y lenguajes regularesTeoremaDado un lenguaje regular L ⊆ Σ ∗ , exite un autómata a piladeterministas que acepta L por estado final.NotaPara finalizar, notemos que existen lenguajes aceptador porautómatas a pila que no son aceptados por autómatas a piladeterministas.