Hoja de problemas del Tema 4

Sistemas LinealesTema 4. Problemas1. Muestre quex(t) ={estt ≥ 00 de otro modono es una autofunción del sistema LTI y(t) = ∫ t−∞ x(τ)dτ.2. Determine si los siguientes pares de entrada y salida corresponden a un sistema LTI.(a) x(t) = sin(2ω 0 t + φ), y(t) = e j2ω 0t(b) x(t) = sin(2ω 0 t + φ), y(t) = e j4ω 0t(c) x(t) = sin(2ω 0 t + φ), y(t) = te j2ω 0t − te −j2ω 0t3. Determine la representación en series de Fourier de cada una de las siguientes señales:(a) e j200t(b) cos[π(t − 1)/4](c) cos 4t + sin 8t(d) cos 4t + sin 6t(e) x(t) es una señal periódica con periodo 2 y x(t) = e −t para −1 < t ≤ 1(f) x(t) como se muestra en la figura siguiente1x(t)−2−11 2 3−1(g) x(t) = [1 + cos 2πt][cos(10πt + π/4)](h) x(t) es una señal periódica con periodo 2 yx(t) ={(1 − t) + sin 2πt 0 < t < 11 + sin 2πt 1 < t < 2(i) x(t) como se muestra en la figura siguiente1x(t)−4−3−2−11 2 3 4(j) x(t) como se muestra en la figura siguiente1

2x(t)−5−4−3−2−11234(k) x(t) es una señal periódica con periodo 4 y{sin πt 0 < t < 2x(t) =0 2 < t < 4(l) x(t) como se muestra en la figura siguientex(t)−4−3−21−1132 4−2(m) x(t) como se muestra en la figura anteriorx(t)1−5 −41 2−3 −2 −1−13 4 54. Considere un sistema LTI con respuesta al impulso h(t) = e −4t u(t). Encuentre larepresentación en series de Fourier de la salida y(t) para cada una de las siguientesentradas:(a) x(t) = cos 2πt(b) x(t) = sin 4πt + cos(6πt + π/4)(c) x(t) =(d) x(t) =+∞ ∑n=−∞+∞ ∑n=−∞δ(t − n)(−1) n δ(t − n)5. Indique cuáles de las señales mostradas en la figura que aparece debajo cumplen lassiguientes propiedades:(a) R{X(ω)} = 0(b) I{X(ω)} = 0(c) Que exista un α real tal que e jαω X(ω) se real.(d) ∫ ∞−∞ X(ω)dω = 0 2

(e) ∫ ∞−∞ ωX(ω)dω = 0(f) Que X(ω) sea periódica.x(t)x(t)2−113−4 −3 −2(a)1 2−141(b)tx(t)x(t)2 38t−21−12t(c)(d)2x(t)=e−t /2x(t)=t 2 e−|t|tt(e)(f)6. Use la ecuación de análisis de la transformada de Fourier para calcular las transformadasde las siguientes señales:(a) x(t) = e −2(t−1) u(t − 1)(b) x(t) = e −2|t−1|(c) x(t) = δ(t + 1) + δ(t − 1)(d) x(t) = d dt{u(−2 − t) + u(t − 2)}7. Determine la transformada de Fourier de las siguientes señales periódicas:(a) x(t) = sin(2πt + π/4)(b) x(t) = 1 + cos(6πt + π/8)8. Calcule la transformada de Fourier de cada una de las siguientes señales:3

(a) [e −αt cos ω 0 t]u(t), α > 0(b) e −3|t| sin 2t{1 + cos πt, |t| ≤ 1(c) x(t) =0, |t| > 1∞∑(d) α k δ(t − kT ), |α| < 1k=0(e) [te −2t sin 4t]u(t)[ ] [ ](f) sin πt sin 2π(t−1)πt π(t−1){1 − t(g) x(t) =2 , 0 < t < 10, resto(h)+∞∑e −|t−2n|n=−∞(i) x(t) como se muestra en la siguiente figura:x(t)1−2−11 2−1(j) x(t) como se muestra en la siguiente figura:...x(t)21...−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 49. Determine la señal continua correspondiente a las siguientes transformadas:(a) X(ω) = 2 sin[3(ω−2π)](ω−2π)(b) X(ω) = cos(4ω + π/3)(c) X(ω) como se muestra en la siguiente figura:4

|X( ω)|< ) X( ω)1 1−1 1ωω−3ω(d) X(ω) como se muestra en la siguiente figura:X( ω)1−3 −2 −1−11 2 3ω(e) X(ω) = 2[δ(ω − 1) − δ(ω + 1)] + 3[δ(ω − 2π) + δ(ω + 2π)]10. Calcule la convolución de los siguientes pares de señales x(t) y h(t) mediante elcálculo de X(ω) y H(ω), usando la propiedad de convolución y haciendo la transformacióninversa.(a) x(t) = te −2t u(t), h(t) = e −4t u(t)(b) x(t) = te −2t u(t), h(t) = te −4t u(t)(c) x(t) = e −t u(t), h(t) = e t u(−t)11. Suponga que x(t) = e −(t−2) u(t − 2) y{1 −1 < t < 3h(t) =0 restoVerifique la propiedad de convolución para este par de señales demostrando que latransformada de Fourier de y(t) = x(t) ∗ h(t) es igual a H(ω)X(ω).12. Compruebe si las siguientes funciones son o no periódicas. Calcule su transformadade Fourier.(a) x 1 (t) = cos(6ω 0 t) + cos(9ω 0 t)(b) x 2 (t) = sin(ω 0 t) × cos( √ 2ω 0 t)(c) x 3 (t) = x 2 (t) + cos(ω 0 t) × sin( √ 2ω 0 t)(d) x 4 (t) =5 ∑sin( √ nω 0 t)n=1(e) x 5 (t) = sin ( π2 t) + cos ( π3 t)13. Calcule la transformada de Fourier de la señal x(t), siendo ésta una señal periódicacon periodo T = 2 y x(t) = e −t para −1 < t ≤ 1.5

14. La entrada y la salida de un sistema LTI causal están relacionadas por la siguienteecuación diferenciald 2 y(t)dt 2+ 6 dy(t)dt+ 8y(t) = 2x(t)(a) Encuentre la respuesta de este sistema al impulso.(b) Calcule la respuesta del sistema cuando la entrada es x(t) = te −2t u(t).(c) Repita el apartado (a) para el sistema LTI causal descrito pord 2 y(t)dt 2+ √ 2 dy(t)dt+ y(t) = 2 d2 x(t)dt 2− 2x(t)15. Otros problemas de interés: Oppenheim (segunda ed.). Capítulo 3 (series de Fourier),problemas: 3.1, 3.3, 3.4, 3.13, 3.23, 3.24. Capítulo 4 (Transformada de Fourier),problemas: 4.5, 4.6, 4.8, 4.9, 4.12, 4.23, 4.31, 4.34, 4.36.6