Funciones exponenciales

LECCIÓN
CONDENSADA
5.1
En esta lección
Funciones exponenciales
● escribirás una fórmula recursiva para modelar un deterioro radiactivo
● hallarás una función exponencial que pasa por los puntos de una secuencia
geométrica
● aprenderás acerca de la vida media del deterioro exponencial y el tiempo de
duplicación del crecimiento exponencial
En el Capítulo 1, usaste fórmulas recursivas para modelar el crecimiento y el
deterioro geométricos. Las fórmulas recursivas sólo generan valores discretos,
tales como la cantidad de dinero en una cuenta bancaria después de 1 ó 2 años.
En muchas situaciones reales, el crecimiento y el deterioro se dan de manera
continua. En esta lección hallarás fórmulas explícitas que te permiten modelar
los crecimientos y los deterioros continuos.
Investigación: El deterioro radiactivo
Lee el primer párrafo y el Procedure Note (Nota del procedimiento) en la
investigación. Si tienes un dado, puedes realizar el experimento por tu cuenta,
siguiendo estos pasos:
1. Dibuja 30 puntos en una hoja de papel.
2. Lanza el dado una vez por cada punto. Si sacas un 1, borra o tacha el punto.
3. Cuenta y registra el número de puntos restantes.
4. Repite los Pasos 2 y 3 hasta que haya menos de tres puntos restantes.
Después de reunir los datos, completa los Pasos 1 a 6 en tu libro. Los resultados
dados a continuación usan los siguientes datos de muestra:
Etapa 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Gente en pie
(o puntos restantes)
30 26 19 17 14 11 12 9 8 8 5 5 2
Paso 1 Observa la tabla anterior.
Paso 2 A la derecha hay una gráfica de los datos. La gráfica se
parece a una secuencia geométrica decreciente.
Paso 3 El término inicial es u0 � 30. Para hallar la razón
común, mira la razón de los valores de y consecutivos:
� 26
�
30
� 0.867, � 19
�
26
� 0.731, � 17
�
19
� 0.895, � 14
2
�
17
� 0.824, �1 �
14
� 0.857,
� 11
9
�
12
� 0.917, �� 11
� 0.818, �8 �
9
� 0.889, �8 �
8
� 1, �5 �
8
� 0.625, �5 �
5
� 1, �2 �
5
� 0.4
Halla la media de estas 12 razones para obtener r � 0.8185.
Al completar la tabla en tu libro, habrás observado un patrón: u 1 � u 0 � r 1 ,
u 2 � u 0 � r 2 , y u 3 � u 0 � r 3 , ahora puedes ampliar este patrón a u n � u 0 � r n .
Por consiguiente, la fórmula explícita de los datos es u n � 30 � 0.8185 n .
Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish CHAPTER 5 57
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(continúa)

Lección 5.1 Funciones exponenciales (continuación)
Paso 4 A la derecha se muestra la gráfica de los datos de la
ecuación f(x) � 30 � 0.8185x .
Una ecuación con la misma razón común que pasa por el punto
(1, 26) es f(x) � 26 � 0.8185 x�1 .
Paso 5 Debes experimentar con ecuaciones diferentes para
hallar la que creas que satisface mejor los datos. ¿Preferirías una
gráfica que pase por más puntos de los datos o una con el mismo
número de puntos por arriba y por abajo? Si es posible compara tu modelo con
el de otros compañeros y coméntalo.
Paso 6 La ecuación f(x) � 6 � r x�6 representa una función exponencial con
razón r que contiene el punto �6, u 6�.
La fórmula de una secuencia geométrica genera un conjunto de puntos discretos.
Ahora aprenderás a hallar la ecuación de una curva que pasa por los puntos. Lee
la sección Science Connection acerca de la vida media en tu libro. Luego analiza
el Ejemplo A en tu libro y lee el siguiente ejemplo.
EJEMPLO Una moneda rara de la colección de Jo vale $450 en la actualidad. El valor
ha aumentado en 15% cada año. Si el valor continúa aumentando a este ritmo,
¿cuánto valdrá la moneda dentro de 11� 1
�
2 años?
� Solución El valor se multiplica por (1 � 0.15) cada año:
450 � (1 � 0.15) Valor después de 1 año.
450 � (1 � 0.15) � (1 � 0.15) � 450(1 � 0.15) 2 Valor después de 2 años.
450 � (1 � 0.15) � (1 � 0.15) � (1 � 0.15) � 450(1 � 0.15) 3 Valor después de 3 años.
450 � (1 � 0.15) n Valor después de n años.
Por lo tanto, la fórmula explícita es u n � 450(1 � 0.15) n . La ecuación de
la función continua que pasa por los puntos es y � 450(1 � 0.15) x .
Puedes usar la función continua para hallar el valor de la moneda en cualquier
tiempo. Para hallar el valor después de 11� 1
�
2 años, sustituye x por 11.5.
y � 450(1 � 0.15) 11.5 � $2,245.11
La función continua hallada en el ejemplo es una función exponencial,
que consiste en una función continua con una variable en el exponente. Lee
el recuadro “Exponential Function” (Función exponencial) y el texto que sigue
en la página 254 de tu libro. Luego analiza atentamente el Ejemplo B, que
muestra cómo dos transformaciones diferentes de una función exponencial
pueden dar como resultado la misma gráfica.
58 CHAPTER 5 Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish
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LECCIÓN
CONDENSADA
5.2
En esta lección
● repasarás las propiedades de los exponentes
● resolverás ecuaciones exponenciales y ecuaciones de potencias
Recuerda que en una expresión exponencial a n , a es la base y n es el exponente.
Puedes decir que a está elevada a la potencia n. Si el exponente es un entero
positivo, puedes escribir la expresión en forma expandida. Por ejemplo,
5 4 � 5 � 5 � 5 � 5.
En tu primer clase de álgebra, aprendiste propiedades para volver a escribir las
expresiones que contienen exponentes. En esta lección, repasarás estas propiedades
y verás cómo pueden ayudarte a resolver ecuaciones.
Investigación: Propiedades de los exponentes
Completa la investigación por tu cuenta. Cuando hayas terminado, compara tus
resultados con los siguientes.
Paso 1
a. 2 3 � 2 4 � (2 � 2 � 2) � (2 � 2 � 2 � 2) � 2 7
b. x 5 � x 12 � (x � x � x � x � x) � (x � x � x � x � x � x � x � x � x � x � x � x) � x 17
c. 10 2 � 10 5 � (10 � 10) � (10 � 10 � 10 � 10 � 10) � 10 7
Paso 2 a m � a n � a m�n
Paso 3
a.
4 5
___
4 2 �
c. (0.94)15
�
(0.94) 5 �
4 4 4 4� 4�
�� � 4
4� 4�
3 b.
x 8
___
x 6 �
x� x� x� x� x� x� x x
��� � x
x� x� x� x� x� x�
2
(0.94) (0.94) (0.94) (0.94) (0.94) (0.94) (0.94) (0.94) (0.94) (0.94) (0.94) � (0.94) � (0.94) � (0.94) � (0.94) �
������������
(0.94) � (0.94) � (0.94) � (0.94) � (0.94) �
Paso 4
Paso 5
a.
c.
Paso 6
� (0.94) 10
a m
__
n � a m�n
a
2 3
___
2 4 2� 2� 2�
� �� �
2 2� 2� 2� 1 ___
2 1
x 3
___
x 8 �
Propiedades de los exponentes
y funciones de potencias
x� x� x�
���
x x x x x x� x� x�
___ 1
�
x 5
b.
4 5
___
7 �
4
4� 4� 4� 4� 4�
�� �
4 4 4� 4� 4� 4� 4� 1 ___
4 2
a. 23�4 � 2�1 b. 45�7 � 4�2 c. x3�8 � x�5 Paso 7 1 __
n � a�n
a
Paso 8 Un ejemplo es �2 3 � 4 � �2 3 ��2 3 ��2 3 ��2 3 � � 2 3�3�3�3 � 2 3�4 . Puedes
generalizar este resultado como �a n � m � a nm .
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(continúa)

Lección 5.2 Propiedades de los exponentes y funciones de potencias (continuación)
Paso 9 Un ejemplo es (2 � 3) 3 � (2 � 3)(2 � 3)(2 � 3) � 2 � 2 � 2 � 3 � 3 � 3 �
2 3 � 3 3 . Puedes generalizar este resultado como (a � b) n � a n � b n .
3
3
Paso 10 Considera la expresión __ a
3 . Al dividir, tenemos __ a a� a� a�
3 � � � 1. Por la
3 a a a� a� a�
propiedad del Paso 4, __ a
a 3 � a3�3 � a0 . Por consiguiente, a0 � 1.
Las propiedades de los exponentes se resumen en la página 260 de tu libro.
Asegúrate de leer la propiedad de la potencia de un cociente, la propiedad de
la igualdad de las potencias, y la propiedad de la igualdad de las bases comunes.
La investigación no incluyó estas propiedades. Intenta crear ejemplos que te
convenzan de que estas propiedades son ciertas.
El Ejemplo A en tu libro ilustra un método para resolver ecuaciones cuando ambos
lados pueden escribirse como expresiones exponenciales con una base común.
Intenta resolver cada ecuación antes de leer la solución. Éste es otro ejemplo:
EJEMPLO A Resuelve.
a. 125x � 5 b. 16x 1
� �� 64
� Solución Convierte cada lado de la ecuación en una base común, después usa las
propiedades de los exponentes.
a. 125x � 5 Ecuación original.
�5 3 � x � 5 1 5 3 � 125 y 5 1 � 5.
5 3x � 5 1 Usa la propiedad de la potencia de una potencia.
3x � 1 Usa la propiedad de la igualdad de las bases comunes.
x � � 1
�
3
Divide.
b. 16x 1
� �� 64
Ecuación original.
�24� x 1
� �
26�
24 � 16 y 26 � 64.
2 4x � 2 �6 Usa la propiedad de la potencia de una potencia y la definición de
exponentes negativos.
4x � �6 Usa la propiedad de la igualdad de las bases comunes.
x � �� 3
� Divide.
2
Una función exponencial tiene una variable en el exponente. Una función de
potencias tiene una variable en la base.
Función exponencial Función de potencias
y � abx , donde a y b son constantes y � axn , donde a y n son constantes
(continúa)
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Lección 5.2 Propiedades de los exponentes y funciones de potencias (continuación)
El Ejemplo B en tu libro muestra cómo puedes usar las propiedades de los
exponentes para resolver ecuaciones que contienen variables elevadas a una
potencia. Intenta resolver cada ecuación por tu cuenta antes de leer la solución.
Después lee el siguiente ejemplo.
EJEMPLO B Resuelve.
a. 8x3 � 4913 b. x 4.8 � 706
� Solución Usa la propiedad de la igualdad de las potencias y la potencia de una propiedad
de las potencias. Escoge un exponente que deshaga el exponente de x.
a. 8x3 � 4913 Ecuación original.
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x 3 � 614.125 Divide ambos lados por 8.
�x 3 � 1�3 � 614.125 1�3 Usa la propiedad de la igualdad de las potencias.
x � 1.5 Usa tu calculadora para hallar 614.125 1�3 .
b. x 4.8 � 706 Ecuación original.
�x 4.8 � 1�4.8 � 706 1�4.8 Usa la propiedad de la igualdad de las potencias.
x � 4 Usa tu calculadora para hallar 706 1/4.8 .
En este libro, las propiedades de los exponentes se definen sólo para las bases
positivas. Por lo tanto, el uso de estas propiedades sólo produce una solución
para cada ecuación.

LECCIÓN
CONDENSADA
5.3
En esta lección
Exponentes racionales y raíces
● aprenderás cómo se relacionan los exponentes racionales con las raíces
● escribirás ecuaciones de curvas exponenciales en forma punto-razón
Sabes que puedes considerar los exponentes enteros positivos como una
multiplicación repetida. Por ejemplo, 5 3 � 5 � 5 � 5. Pero, ¿cómo puedes considerar
los exponentes fraccionarios? Explorarás esta cuestión en la investigación.
Investigación: Llegar a la raíz
Completa la investigación en tu libro, por tu cuenta. Después compara tus
resultados con los siguientes.
Paso 1 Una tabla de calculadora muestra que x 1�2 es indefinido para los
números enteros menores que 0, y que es un entero positivo para los valores que
son cuadrados perfectos. De hecho, parece que x 1�2 � �x�.
Paso 2 Por la gráfica, parece que y � x 1�2 es equivalente a
y � �x�. Para verificarlo, representa gráficamente ambas
funciones en la misma ventana.
Paso 3 Elevar un número a una potencia de � 1
�
2 es lo mismo que sacar
su raíz cuadrada. Por ejemplo, �4� � 2 y 41�2 � 2.
Paso 4 Ésta es una tabla para y � 25 x , en la cual x se expresa en
incrementos de � 1
2 �.
Paso 5 Cada entrada de la tabla es la raíz cuadrada de 25, que es 5, elevada al
numerador. Esto es, 25 1�2 � 5 1 , 25 2�2 � 5 2 , 25 3�2 � 5 3 , y así sucesivamente. Si el
mismo patrón se cumple para y � 49 x , entonces 49 3�2 � ��49�� 3 � 7 3 � 343.
Paso 6 27 2�3 es la raíz cúbica de 27 elevada a la segunda potencia:
27 2�3 � � 3 �27�� 2 � 3 2 � 9. De similar modo, 8 5�3 � � 3 ��8� 5 � 2 5 � 32.
Paso 7 Para hallar a m�n , saca la raíz enésima de a, y después eleva el resultado a
la potencia de m. Esto es, a m�n � � n �a�� m .
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(continúa)

Lección 5.3 Exponentes racionales y raíces
En tu libro, lee el párrafo que sigue a la investigación y el recuadro “Definition
of Rational Exponents” (Definición de los exponentes racionales), que resume lo
que has descubierto en la investigación. Después intenta resolver las ecuaciones
del Ejemplo A, que incluyen exponentes racionales.
Observa que, dado que puedes escribir una función como y � 7
� x 3 � de la forma
y � x3�7 , se la considera como una función de potencias. Puedes aplicar todas las
transformaciones que aprendiste en el Capítulo 4 a las funciones de potencias. Por
ejemplo, la gráfica de y � x3�7 � 3 es la gráfica de y � x 3�7 corrida 3 unidades
hacia arriba.
Ahora, pongamos atención a las ecuaciones exponenciales. En la forma general de
una ecuación exponencial, y � abx , b es el factor de crecimiento o de deterioro.
Cuando sustituyes x por 0, obtienes y � a. Esto significa que a es el valor inicial
de la función al tiempo 0 (la intersección y).
Existen otras formas útiles de ecuaciones exponenciales. Recuerda que si conoces
un punto �x 1 , y 1� en una recta y la pendiente de dicha recta, puedes escribir una
ecuación de la forma punto-pendiente: y � y 1 � m�x � x 1�. Del mismo modo,
si conoces un punto �x 1 , y 1� de una curva exponencial y la razón común b entre
los puntos separados por 1 unidad horizontal (es decir, el factor de crecimiento o
deterioro), puedes escribir una ecuación de la forma punto-razón: y � y 1 � b x�x 1.
Veamos un ejemplo para comprender cómo se relacionan las formas
general y punto-razón. Haz una gráfica de la ecuación general
y � 47(0.9) x en tu calculadora. Después halla las coordenadas de
un punto de la curva. Escogeremos (2, 38.07).
Con (2, 38.07) puedes escribir una ecuación de la forma punto-razón:
y � 38.07(0.9) x�2 . Un poco de álgebra muestra que esto es equivalente
a la ecuación general:
y � 38.07(0.9) x�2 Forma punto-razón.
� 38.07(0.9) x (0.9) �2 Usa la propiedad multiplicativa de los exponentes.
� 47(0.9) x Usa tu calculadora para multiplicar 38.07 � (0.9) �2 .
Analiza el Ejemplo B en tu libro. Pon especial atención a la técnica utilizada para
hallar el valor de b.
El texto que sigue al Ejemplo B explica otro modo de hallar la ecuación, sin tener
que resolver para b. Lee dicho texto atentamente. Éste es un resumen del método:
1. En la parte a del Ejemplo B, la gráfica pasa por (4, 40) y (7.2, 4.7).
2. La razón de valores y para los dos puntos es � 4.
7 �. Observa que no es el valor
40
de b, porque los valores de x 4 y 7.2 no son enteros consecutivos; la razón � 4.
7
�
40
está distribuida en 3.2 unidades horizontales, en vez de 1 unidad.
3. Escribe la ecuación de la curva que pasa por (4, 40) y que sí tiene un valor
de b de � 4.
7 �: 40
y � 40��4 . 7 �� 40
x�4 .
4. Empieza con la ecuación del paso anterior. Divide el valor x por 3.2 para
dilatar la gráfica 3.2 unidades horizontalmente: y � 40��4 . 7
�� 40
(x�4)�3.2 .
64 CHAPTER 5 Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish
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LECCIÓN
CONDENSADA
5.4
En esta lección
Aplicaciones de las ecuaciones
exponenciales y de potencias
● resolverás problemas de aplicación con funciones exponenciales y de potencias
Los ejemplos en tu libro son aplicaciones de funciones exponenciales y de
potencias. En ambos ejemplos, el problema se resuelve al escribir una ecuación
y después deshacer el orden de las operaciones.
Analiza el Ejemplo A en tu libro. Después lee el texto que le sigue y asegúrate de
que entiendes el término asíntota. Lee el siguiente ejemplo. Intenta resolver el
problema por tu cuenta, antes de leer la solución.
EJEMPLO A La empresa Computer Central cerrará sus operaciones en 10 semanas. El dueño
desea bajar el precio de cada producto de la tienda por el mismo porcentaje cada
semana, de modo que, al final de las 10 semanas, la mercancía restante tenga un
valor de 25% de su precio original. ¿En qué porcentaje necesita bajar los precios
cada semana para obtener tal resultado?
� Solución Al final de las 10 semanas, el precio de una computadora, originalmente de
$1,000, debe reducirse a $250. La tasa de descuento, r, no se conoce. Escribe
una ecuación y resuélvela para r.
250 � 1000(1 � r) 10 Ecuación original.
0.25 � (1 � r) 10 Deshace la multiplicación por 1000, dividiendo ambos lados por 1000.
0.251�10 � �(1 � r) 10 � 1�10 1
Deshace la potencia de 10, elevando ambos lados a la potencia ��. 10
0.25 1�10 � 1 � r Usa las propiedades de los exponentes.
r � 1 � 0.25 1�10 Suma r y �0.25 1�10 a ambos lados.
r � 0.1294 Usa una calculadora para evaluar 1 � 0.25 1�10 .
El dueño necesita reducir los precios en aproximadamente 13% cada semana.
Observa que no importa cuál sea el precio original con que empieces.
Por ejemplo, si empiezas con un precio de $2,400, tu ecuación sería
600 � 2,400(1 � r) 10 . Después de dividir ambos lados por 2,400, tendrías la
misma ecuación del segundo paso anterior.
El Ejemplo B en tu libro es una aplicación de la forma punto-razón de una
ecuación exponencial. Sin embargo, este problema tiene una modificación, la
función exponencial debe trasladarse de modo que se aproximea un valor a largo
plazo que no sea cero. Resuelve el ejemplo usando lápiz y papel. Después analiza
el ejemplo en la página siguiente.
Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish CHAPTER 5 65
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(continúa)

Lección 5.4 Aplicaciones de las ecuaciones exponenciales y de potencias (continuación)
EJEMPLO B La tabla muestra la cantidad de cloro que hay en la piscina cada cuatro días.
Halla una ecuación que modele los datos de la tabla.
Día
x
Cloro (g)
y
0 4 8 12 16 20 24
300 252.20 227.25 214.22 207.43 203.88 202.02
� Solución Representa gráficamente los datos. La gráfica muestra
una curva, por lo tanto los datos no son lineales.
El patrón parece ser una secuencia geométrica
decreciente, por lo tanto una ecuación de deterioro
exponencial sería el mejor modelo. Sin embargo,
observa que el valor a largo plazo parece ser 200, no 0.
La función de deterioro exponencial en forma de
punto-razón es y � y 1 � b x�x 1. Sin embargo, debido
a que esta función a largo plazo se aproxima a cero,
debe ser trasladada 200 unidades, para que tenga
una asíntota horizontal de y � 200. Para hacer esto,
sustituye y por y � 200. Debido a que el coeficiente, y 1 ,
también es un valor y, debe sustituirse y 1 por y 1 � 200
para tomar en cuenta la traslación.
66 CHAPTER 5 Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish
Cloro (g)
300
250
200
y
0 8 16
Día
24 32
La ecuación punto-razón es ahora y � 200 � �y 1 � 200� � b x�x 1. Para hallar el
valor de b, sustituye �x 1 , y 1� por el valor de cualquier punto, digamos (20, 203.88),
y resuelve para b.
y � 2
��
3.8
�
8
y � 200 � � y 1 � 200� � b x�x 1 Ecuación original.
y � 200 � �203.88 � 200� � b x�20 Sustituye �x 1 , y 1� por (20, 203.88).
y � 200 � 3.88 � b x�20 Resta lo que está entre paréntesis.
y � 200
�
3.8
�
8
� b x�20 Divide ambos lados por 3.88.
1�(x�20) 00 1
� � b Eleva ambos lados a la potencia �
x � 20
�
para resolver para b.
Ahora tienes b en términos de x e y. Al evaluar b para todos los demás puntos,
se obtienen los siguientes valores:
Día
x
0 4 8 12 16 24
Cloro (g)
y
300 252.20 227.25 214.22 207.43 202.02
b 0.850 0.8501 0.8501 0.8501 0.8501 0.8494
Todos los valores de b se acercan a 0.85, por lo tanto usa tal valor para b. Por
consiguiente, un modelo para estos datos es y � 200 � (203.88 � 200) � 0.85 x�20 ,
ó y � 200 � 3.88(0.85) x�20 .
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x

LECCIÓN
CONDENSADA
5.5
En esta lección
● hallarás los inversos de las funciones
● aprenderás cómo la gráfica y la ecuación de una función se relacionan con
la gráfica y la ecuación de su inverso
● compondrás una función con su inverso
Mira las dos gráficas al inicio de la Lección 5.5 en tu libro. Esas gráficas
representan los mismos datos. Sin embargo, la variable independiente de la
gráfica de la izquierda es la variable dependiente de la gráfica de la derecha,
y la variable dependiente de la gráfica de la izquierda es la variable independiente
de la gráfica de la derecha.
Una relación que es resultado de intercambiar las variables independiente
y dependiente de una función se llama inverso de la función.
Investigación: El inverso
En esta investigación descubrirás cómo se relacionan la ecuación de una función
y su inverso. Completa por tu cuenta los pasos de la investigacion y después
compara tus resultados con los siguientes.
Paso 1 A la derecha se muestran la gráfica y la tabla de f(x) � 6 � 3x.
Paso 2 Para completar la tabla del inverso, completa los valores
de f(x) del Paso 1 como los valores de x.
x 3 6 9 12 15
y �1 0 1 2 3
Paso 3 Los puntos están en una recta con pendiente 1 _
3 e intersección y �2.
La recta con la ecuación y � 1 _
3 x � 2 (o con cualquier ecuación equivalente) pasa
por los puntos.
Paso 4
Construcción de los inversos
de funciones
i. A la derecha se muestran la tabla y la gráfica de
g(x) � ��x � 1 � 3.
Para completar la tabla del inverso de g(x) � ��x � 1 � 3,
completa los valores de g(x) como los valores de x.
x �3 �2 �1.59 �1.27 �1
y �1 0 1 2 3
Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish CHAPTER 5 67
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(continúa)

Lección 5.5 Construcción de los inversos de funciones (continuación)
La gráfica de los valores inversos de la tabla muestra que los
puntos parecen estar en una parábola con vértice (�3, �1). La
gráfica de la derecha muestra que la ecuación y � (x � 3) 2 � 1
se ajusta a los puntos. Tu ecuación debe ser equivalente.
ii. A la derecha se muestra la tabla y la gráfica de h(x) �
(x � 2) 2 � 5. Para completar la tabla del inverso de h(x),
escribe los valores de h(x) como los valores de x.
x 4 �1 �4 �5 �4
y �1 0 1 2 3
Cuando representas gráficamente los valores inversos de la
tabla, la gráfica parece mostrar una parábola horizontal. Como
los puntos (�4, 1) y (�4, 3) tienen el mismo valor de x, pero
dos valores de y diferentes, esta gráfica no representa una función.
Necesitarás usar dos ecuaciones para describir esta gráfica.
La mitad inferior de la gráfica puede describirse con una ecuación
radical que se refleja verticalmente. El vértice está en (�5, 2), por
lo tanto, la ecuación es y � ���x � 5 � 2. Para representar
gráficamente la mitad superior, usa la ecuación y � ��x � 5 � 2.
Las gráficas se ajustan a los puntos, como lo puedes ver a la derecha.
Paso 5 La gráfica de cada inverso es una reflexión de la función
original sobre la recta y � x. Mira la gráfica de f(x) � 6 � 3x y
la de su inverso y � 1 _
3 x � 2 a la derecha. Imagina que
y
pliegas el plano de coordenadas por la recta y � x.
10
Las gráficas se corresponderían exactamente. Podrías
intentarlo sobre papel cuadriculado con cada par de
gráficas del Paso 4.
Paso 6 Empieza con la función original, f(x) � 6 � 3x.
5
Cambia las variables independiente y dependiente
f (x) � 6 � 3x
para obtener x � 6 � 3y. Ahora resuelve la ecuación
para y. Debes obtener y � ____ x � 6
3 . Puedes verificar con
una gráfica o mediante métodos simbólicos que ésta
–6
es equivalente a la ecuación y �
–6
1 _
3 x � 2. Intenta este
método con las ecuaciones del Paso 4. Debes hallar
que al cambiar las variables x e y, y al resolver para y,
obtienes la ecuación inversa de la ecuación original.
Resuelve el problema planteado en el Ejemplo A de tu libro y después lee
la solución.
Tal vez notaste en la investigación que es posible que el inverso de una función
no sea una función. Por ejemplo, el inverso de la función y � (x � 2) 2 � 5 es
y � ���x � 5 � 2, que empareja cada valor de x (excepto �5) con dos valores de y.
5
y = x
y � (1/3)x � 2
10
x
(continúa)
68 CHAPTER 5 Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish
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Lección 5.5 Construcción de los inversos de funciones (continuación)
Cuando tanto la función como su inverso son funciones, la función se llama
función uno a uno (debido a que hay una correspondencia de uno a uno entre
los valores del dominio y los valores del rango). Una función es uno a uno si
su gráfica pasa tanto la prueba de la recta vertical como la prueba de la recta
horizontal. El inverso de la función f(x) uno a uno se escribe como f �1 (x).
El Ejemplo B en tu libro ilustra que cuando compones una función con su inverso,
obtienes x. El siguiente ejemplo utiliza una función diferente para ilustrar lo mismo.
EJEMPLO Considera la función f(x) � ��x � 1 � 3. Halla f�f �1 (x)� y f �1 (f(x)).
� Solución En la investigación hallaste que f �1 (x) � (x � 3) 2 � 1. Primero, halla f�f �1 (x)�.
Dado que f(x) tiene el rango y � �3, debes restringir el dominio para f �1 (x)
a x � �3.
Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish CHAPTER 5 69
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f� f �1 (x)� � ���(x � 3) 2 � 1� � 1 � 3 Sustituye x por f �1 (x).
� ��x 2 � 6x � 9 � 3 Desarrolla (x � 3) 2 y simplifica la expresión que está
dentro del signo de la raíz cuadrada.
� ��(x � 3) 2 � 3 Factoriza la expresión que está dentro del signo de la
raíz cuadrada.
� x � 3 � 3 Porque x � �3, ��(x � 3) 2 � x � 3.
� x Suma.
Ahora halla f �1 (f(x)).
f �1 (f(x)) � ���x � 1 � 3 � 3� 2 � 1 Sustituye x por f(x).
� ���x � 1� 2 � 1 Resta.
� x � 1 � 1 ���x � 1� 2 � x � 1
� x Resta.

LECCIÓN
CONDENSADA
5.6
En esta lección
Funciones logarítmicas
● aprenderás el significado de un logaritmo
● usarás logaritmos para resolver ecuaciones exponenciales
En la Lección 5.2, resolviste ecuaciones en las cuales x es un exponente.
En todas las ecuaciones, pudiste escribir ambos lados con una base común.
Desafortunadamente, por lo general esto no es posible. En esta lección,
descubrirás un método poderoso para resolver para x en una ecuación
exponencial. Este método implica una nueva función llamada logaritmo,
cuya abreviatura es log.
Investigación: Exponentes y logaritmos
En esta investigación explorarás la conexión entre exponentes de base 10 y los
logaritmos. Resuelve por tu cuenta los pasos de la investigación. Después compara
tus resultados con los siguientes.
Paso 1 A continuación está la gráfica de f(x) � 10 x , junto con la información
acerca de la función.
Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish CHAPTER 5 71
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Dominio todos los números reales
Rango y � 0
Intersección x no hay
Intersección y 1
Ecuación de la asíntota y � 0 (eje x).
Paso 2 Recuerda que una vez que hayas completado los valores de salida
para la función original, puedes hallar los valores de entrada para el inverso.
A continuación están las tablas completas.
x �1.5 �1 �0.5 0 0.5 1 1.5
f (x) 0.032 0.1 0.316 1 3.162 10 31.62
x 0.032 0.1 0.316 1 3.162 10 31.62
f �1 (x) �1.5 �1 �0.5 0 0.5 1 1.5
Paso 3 Ingresa los puntos de la tabla inversa en una gráfica de dispersión. Ajusta
tu ventana de modo que se puedan ver los siete puntos. A continuación está la
gráfica, junto con su tabla de información.
Dominio x � 0
Rango todos los números reales
Intersección x 1
Intersección y no hay
Ecuación de la asíntota x � 0 (eje y)
(continúa)

Lección 5.6 Funciones logarítmicas (continuación)
Paso 4 Este inverso se llama logaritmo de x, o log(x). A continuación están
las respuestas para 4a–h. Asegúrate de que puedes hallar estos valores usando
tu calculadora. Consulta Calculator Note 5C para aprender cómo trabajar con
logaritmos en la calculadora.
a. 10 1.5 � 31.6 b. log �10 1.5 � � 1.5 c. log 0.32 � �0.49 d. 10 log 0.32 � 0.32
e. 10 1.2 � 15.8 f. log �10 1.2 � � 1.2 g. log log 25 � 25 h. log 10 2.8 � 2.8
Paso 5 Examina las respuestas de b, f y h. Parece que el logaritmo da el exponente
en base 10. Por lo tanto, log 10 x debe ser x.
Paso 6 Mira las respuestas de d y g. El logaritmo parece “deshacer” el exponente.
Por lo tanto, 10 log x � x.
Paso 7 Si no pudiste completar estos enunciados por tu cuenta, inténtalo ahora antes de
comprobar los siguientes resultados. Puedes verificar estas respuestas con tu calculadora.
a. Si 100 � 102 , entonces log 100 � 2.
b. Si 400 � 10 2.6021 , entonces log 400 � 2.6021.
c. Si 500 � 10 2.6990 , entonces log 500 � 2.6990.
Paso 8 Si y � 10 x , entonces log y � x.
Log x es el exponente que colocas en la base 10 para obtener x. Por ejemplo,
log 1000 � 3 porque 103 � 1000. También puedes hallar logaritmos para otras
bases. La base se especifica como subíndice después de la palabra “log.” Por
ejemplo, log2 32 es 5, el exponente que tienes que ponerle a 2 para obtener 32.
Si no se especifica ninguna base, se supone que log x es el logaritmo base 10 (o sea,
log x significa log10 x). Los logaritmos con base 10 se llaman logaritmos comunes.
Resuelve la ecuación dada en el Ejemplo A de tu libro y después lee la solución.
Luego, lee el párrafo corto que sigue al Ejemplo A y la definición de logaritmo.
El Ejemplo B muestra cómo usar logaritmos para resolver una ecuación exponencial
cuando la base no es 10. Léelo atentamente y asegúrate de comprender cada paso de
la solución. Verifica tu comprensión resolviendo la ecuación del siguiente ejemplo.
EJEMPLO Resuelve 7 x � 211.
� Solución Vuelve a escribir cada lado de la ecuación como una potencia de base 10.
7 x � 211 Ecuación original.
�10 log 7 � x � 10 log 211 Usa el dato que a � 10 log a .
log 7 � x � log 211 Usa la propiedad de la igualdad de las bases comunes.
x � � log
log
�2
11
7
Divide ambos lados por log 7.
x � 2.7503 Usa una calculadora para comprobarlo.
Mira la ecuación original, 7x � 211, del ejemplo anterior. La solución de esta
ecuación es el exponente que tienes que poner en 7 para obtener 211. En otras
palabras, x � log7 211. El cuarto paso de la solución indica que log7 211 � � log
log
�2
11
7 .
Esto ilustra la propiedad del cambio de bases de los logaritmos. Lee acerca de esta
propiedad en tu libro. Después analiza el Ejercicio C en tu libro.
72 CHAPTER 5 Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish
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LECCIÓN
CONDENSADA
5.7
En esta lección
Propiedades de logaritmos
● usarás logaritmos como ayuda para hacer cálculos complejos
● explorarás las propiedades de los logaritmos
Lee el primer párrafo de la lección en la página 293 de tu libro. Después, lee
el ejemplo, resolviéndolo con lápiz y papel. Las soluciones de las tres partes
consideran el hecho de que m � 10log m . El siguiente ejemplo te dará más práctica.
Resuelve cada parte por tu cuenta antes de leer la solución.
EJEMPLO Convierte los números en logaritmos para resolver estos problemas.
a. Halla 37.678 � 127.75 sin usar la tecla de multiplicación de tu calculadora.
b. Halla 37.678 _____
127.75 sin usar la tecla de división de tu calculadora.
c. Halla 9.31.8 sin usar la tecla de exponenciación de tu calculadora.
� Solución a. 37.678 � 127.75 � 10 log 37.678 � 10 log 127.75 � 10 log 37.678 � log 127.75 � 4813.3645
b. 37.678 _____
127.75 � 10log 37.678
�
10log 127.75 � 10log 37.678�log 127.75 � 0.2949
c. �10 log 9.3 � 1.3 � 10 (log 9.3)�1.3 � 18.1563
Antes de que hubiera calculadoras, las personas hacían cálculos como los anteriores
usando tablas de logaritmos base 10. Por ejemplo, para hallar 37.678 � 127.75,
buscaban log 37.678 y log 127.75, y sumaban esos números. Después, resolvían en
sentido inverso para hallar el antilog, o antilogaritmo, de la suma. El antilog de
un número es 10 elevado a ese número. Por ejemplo, el antilog de 3 es 10 3 , ó 1000.
Investigación: Propiedades de los logaritmos
En esta investigación explorarás las propiedades de los logaritmos.
Completa la investigación. Después, compara tus resultados con
los siguientes.
Paso 1 A la derecha está la tabla completa.
Paso 2 Éstas son seis respuestas de muestra. Puedes hallar otras.
log 2 � log 3 � log 6 log 2 � log 5 � log 10 log 2 � log 6 � log 12
log 2 � log 8 � log 16 log 3 � log 5 � log 15 log 3 � log 9 � log 27
Paso 3 La suma de log a y log b es igual al logaritmo del producto
de a y b.
Paso 4 Éstas son tres respuestas posibles. Puedes hallar otras.
log 9 � log 10 � log 90 log 3 � log 10 � log 30 log 8 � log 9 � log 72
Puedes representar el patrón con la ecuación: log a � log b � log ab.
Logaritmos
Forma
decimal
Log 2 0.301
Log 3 0.477
Log 5 0.699
Log 6 0.778
Log 8 0.903
Log 9 0.954
Log 10 1.000
Log 12 1.079
Log 15 1.176
Log 16 1.204
Log 25 1.398
Log 27 1.431
(continúa)
Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish CHAPTER 5 73
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Lección 5.7 Propiedades de logaritmos (continuación)
Paso 5 Éstas son seis respuestas de muestra. Hay muchas otras. Intenta hallar
algunas más.
log 6 � log 2 � log 3 log 6 � log 3 � log 2 log 10 � log 2 � log 5
log 10 � log 5 � log 2 log 12 � log 2 � log 6 log 15 � log 3 � log 5
Puedes representar el patrón con la ecuación: log a � log b � log � a _
b �.
Paso 6 Éstas son cuatro respuestas posibles. Puedes hallar otras.
3 log 2 � log 8 3 log 3 � log 27 4 log 2 � log 16 2 log 5 � log 25
Puedes representar el patrón con la ecuación b log a � log ab .
Paso 7 Como los logaritmos son exponentes, tienen propiedades similares a las
de los exponentes que ya estudiaste. Por ejemplo, la propiedad que descubriste
acerca de la suma de logaritmos, log a � log b � log ab, se relaciona con la
propiedad del producto de los exponentes: a m � a n � a m+n . ¿Qué otras conexiones
puedes hallar entre las propiedades de los logaritmos y las propiedades de los
exponentes?
Las propiedades de los exponentes y de los logaritmos se resumen en la página 296
de tu libro. Léelas atentamente.
74 CHAPTER 5 Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish
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LECCIÓN
CONDENSADA
5.8
En esta lección
Aplicaciones de logaritmos
● usarás logaritmos para resolver problemas reales que se pueden modelar
con ecuaciones exponenciales
● usarás una técnica llamada rectificación de curvas para determinar si una
relación es exponencial
En esta lección usarás lo que has aprendido acerca de los logaritmos y sus
propiedades para resolver problemas. Primero, analiza el Ejemplo A en tu libro.
El quinto paso de esa solución implica sacar el logaritmo de ambos lados de
la ecuación. Es importante recordar que sólo puedes sacar el logaritmo de ambos
lados si sabes que el valor de cada lado es positivo. (La función del logaritmo
no se define para cero ni para números negativos.)
El siguiente ejemplo te muestra cómo resolver el Ejercicio 5c en tu libro. Intenta
resolver el problema por tu cuenta antes de mirar la solución.
12,000
EJEMPLO La ecuación f(x) � ___________
1 � 499(109) �x da las ventas totales x días después del
lanzamiento de un nuevo juego de video. ¿Qué día se vendieron 6,000 juegos?
� Solución Sustituye f(x) por 6000 y resuelve.
6,000 �
12,000
______________
1 � 499(109) �x
Ecuación original.
6,000�1 � 499(1.09) �x � � 12,000 Multiplica ambos lados por 1 � 499(1.09) �x .
499�1.09 �x � � 1 Divide ambos lados por 6,000 y luego resta 1
de ambos lados.
1.09�x 1
� �� Divide ambos lados por 499.
499
1
�x(log 1.09) � log ��
499
��
1 1
x � ��
log 1.09�
log ��
499
��
Saca el logaritmo de ambos lados.
1
Multiplica ambos lados por ��
log 1.09 �.
x � 72.1 Comprueba con una calculadora.
Se vendieron seis mil juegos 72 días después del lanzamiento.
El Ejemplo B en tu libro ilustra una técnica llamada rectificación de curvas.
Analiza este ejemplo resolviéndolo con lápiz y papel. La rectificación de curvas
también se usa en la investigación.
Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish CHAPTER 5 75
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(continúa)

Lección 5.8 Aplicaciones de logaritmos (continuación)
Investigación: Enfriamiento
Paso 1 Lee el Paso 1 de la investigación en tu libro. Si dispones de un sensor
de temperatura, puedes reunir tus propios datos. Si no lo tienes, usa los siguientes
datos de muestra.
Paso 2 Sea t el tiempo en segundos y sea p la temperatura del sensor en °C.
Dibuja una gráfica de cómo supones que serán los datos (t, p).
Paso 3 Completa el Paso 3 en tu libro. A continuación hay una tabla y una
gráfica con datos de muestra.
Tiempo (s)
t
Temperatura (°C)
p
0 29.7495
10 28.87
20 27.4995
30 26.4995
40 25.812
50 25.312
60 24.8745
70 24.437
80 24.062
Tiempo (s)
t
Temperatura (°C)
p
90 23.8745
100 23.6245
110 23.3745
120 23.187
130 22.9995
140 22.812
150 22.687
160 22.562
170 22.437
180 22.312
La gráfica muestra un deterioro exponencial y el límite parece ser 22°. Si 22° es el
límite, entonces una ecuación de la forma p � 22 � ab t , ó p � 22 � ab t , modelará
los datos. Al sacar el log de ambos lados obtienes log(p � 22) � log a � t � log b,
que es una ecuación lineal. Por lo tanto, si el límite es 22°, entonces la gráfica de
log(p � 22) será lineal.
Paso 4 Resta 22° de cada temperatura y representa gráficamente (t, log(p � 22)).
Si estás usando tus propios datos, podrías borrar cualquier valor repetido al final
de tu conjunto de datos. La representación gráfica de los datos de muestra da
el siguiente diagrama que parece ser lineal. Por consiguiente, 22° es el límite.
(continúa)
76 CHAPTER 5 Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish
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Lección 5.8 Aplicaciones de logaritmos (continuación)
Paso 5 Ahora necesitas hallar una ecuación que modele los datos. Usa la recta
mediana-mediana.
Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish CHAPTER 5 77
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yˆ � �0.007x � 0.88 Recta mediana-mediana para los datos de (t, log(p � 22)).
log(p � 22) � �0.007t � 0.88 Sustituye y por log(p � 22) y x por t.
p � 22 � 10 �0.007t�0.88 Definición de logaritmo.
p � 10 �0.007t�0.88 � 22 Suma 22 a ambos lados.
p � 10 �0.007t � 10 0.88 � 22 Propiedad de multiplicación de los exponentes.
p � 10 �0.007t � 7.58 � 22 Comprueba 10 0.88 .
p � �10 �0.007 � t � 7.58 � 22 Propiedad de las potencias de los exponentes.
p � 0.98 t � 7.58 � 22 Comprueba 10 �0.007 .
yˆ � 22 � 7.58(0.98) x Vuelve a escribir de la forma y � k � ab x .
Puedes usar una calculadora para verificar el ajuste.