CUERPOS. EXTENSIONES DE UN CUERPO - Casanchi

CUERPOS. EXTENSIONES DE UN CUERPOCARLOS S. CHINEAEn efecto:Sea K' = K - {0}. El orden de K' es O(K') = N - 1 = m. Vamos a comprobar queexiste un elemento ξ de K' que genera al grupo multiplicativo (K', +).Como los elementos de K verifican x N - x = 0, los de K' verifican x N - 1 - e =0, o bien que x m = = e.Sea la descomposición de m en factores primos la siguiente:a 1 a21. p2m = p ..... pa kkxm /pi= etiene m/p i raíces en K', todas distintas. Eligiendo un u i distinto decualquiera de las raíces de la ecuaciónllamandouam / p i ii=exap iim /pi= epi m / pim⇒ c = ( u ) = u = e ⇒ai . Veamos que el orden de c i es p i aipues sicap iiim= u ≠ e ⇒iia iia ii. Se tiene:exactamente:el orden de c i es divisor de p ia ii)m / p(pues u i no es, por construcción, raíz de xi−e = 0entonces el exponente mínimo de c i con el que se obtiene e: es p aiiesto, O(c i ) = p ai i .Análogamente:Por lo cual, el elementoO(c 1 ) = p 1 a1 , O(c 2 ) = p 2 a2 , ... , O(c k ) = p kak. De todoξ = c 1 .c 2 . ... .c k ⇒ O(ξ) = O(c 1 ).O(c 2 ) ... O(c k ) = p 1 a1. p 2 a2 . ... .p k ak = mEs decir, en definitiva:Existe un ξ ∈ K' tal que su orden es el orden de K' ⇒ K' es grupo multiplicativocíclico.El elemento generador ξ , que existe siempre en todo campo de Galois, recibe elnombre específico que se concreta en la definición siguiente.Def. 1.8:Se llama raíz primitiva de la unidad, de orden m, o bien, raíz m-sima de la unidad,en el cuerpo K, al elemento ξ generador del grupo cíclico conmutativo de orden m,K' = K -{0}.Se puede extraer el siguiente corolario: Todo cuerpo finito es conmutativo. Puestodo grupo multiplicativo cíclico es conmutativo.Prop. 1.16:Todo campo de Galois es un cuerpo perfecto.DIVULGACION DE LA MATEMÁTICA EN LA RED, MARCHENA, 1998 13