無差別曲線と効用関数のグラフ

4. 陰 関 数 の 定 理 (implicit function theorem)無 差 別 曲 線 ū = u(x 1 ,x 2 ) は,x 1 と x 2 の 対 応 関 係 を「 暗 黙 のうちに」(implicitに) 表 している.つまり,x 2 を x 1 の 関 数 とみなすことができる.陰 関 数 の 定 理方 程 式 ū = u(x 1 ,x 2 ) で 表 される 関 数 x 2 を x 1 で 微 分 すると,dx 2= − u 1(x 1 ,x 2 )dx 1 u 2 (x 1 ,x 2 )(1)が 成 り 立 つ.( 証 明 )x 2 = f(x 1 ) とおく:ū = u(x 1 ,f(x 1 ))両 辺 を x 1 で 微 分 する. 合 成 関 数 の 微 分 法 より,0=u 1 + u 2 · f 0 (x 1 )したがって,f 0 (x 1 )=− u 1(x 1 ,x 2 )u 2 (x 1 ,x 2 )問 題 無 差 別 曲 線 ū = x 2 1x 2 の 限 界 代 替 率 MRS 21 を x 1 ,x 2 を 用 いて 表 せ.解 答陰 関 数 の 定 理 より,ここで,MRS 21 = − dx 2dx 1= u 1u 2u 1 =2x 1 x 2u 2 = x 2 1であるから,MRS 21 = 2x 1x 2x 2 1= 2x 2x 1問 題 上 の 例 で 限 界 代 替 率 MRS 12 を 求 め,1MRS 12 =MRS 21が 成 り 立 つことを 確 かめよ.4