Curso de Análisis Funcional - Universidad de Zaragoza

Pedro J. Miana
Curso de
Análisis Funcional
–Departamento de Matemáticas
Universidad de Zaragoza–

Presentación
Escribir un libro de texto de Análisis Funcional en el Departamento de
Matemáticas de la Universidad de Zaragoza es un gran reto. La fama de
este departamento tanto a nivel nacional como a nivel internacional nos hace
ser exigentes con nosotros mismos. Presentamos este texto con humildad e
ilusión.
El Análisis Funcional es una asignatura de síntesis y de abstracción, con
gran cantidad de aplicaciones dentro del Análisis Matemático, en otras ramas
de las Matemáticas e incluso en otras ciencias. Tiene una gran belleza
intrínseca, aplicaciones variadas, y es el origen de importantes teorías matemáticas.
Existen buenos libros, algunos verdaderas obras de arte y otros casi enciclopédias,
del Análisis Funcional. A menudo están escritos para el profesor o
para un alumno avanzado, tal vez estudiante de tercer ciclo. Nos proponemos
presentar un texto base adecuado para el alumnado de segundo ciclo de los
actuales planes de estudio. Este libro está pensado para una asignatura cuatrimestral
de 7’5 créditos. El último capítulo sobre teoría espectral puede
ser suprimido en asignaturas de menor duración. Cada capítulo incluye una
sección de ejercicios y otra de notas históricas que permiten al lector comprender
los resultados del Análisis Funcional de una forma más coherente.
Quiero terminar esta presentación mostrando mi agradecimiento a todas
las personas que me han ayudado a elaborar y mejorar este texto. Gracias
a Raquel, José Luis, Bienve y a todos mis compañeros del área de Análisis
Matemático de la Universidad de Zaragoza por su ayuda y apoyo.
Deseo que la lectura de este libro sea interesante y satisfactoria.
Zaragoza, 13 de enero de 2006 P.J.M.

A Natalia

Breves apuntes históricos
El origen del Análisis Funcional es múltiple. Hay quien lo sitúa en el problema
de la cuerda y membrana vibrantes y los problemas de contorno de las
ecuaciones diferenciales. Cercana se encuentra la Física newtoniana con sus
numerosos problemas, a menudo inconexos en su formulación y que dieron
origen, entre otras, a las teorías del cálculo de variaciones y de las ecuaciones
integrales. Volterra al estudiar la variación del área encerrada por una curva
cuando la curva varía, trabaja con aplicaciones que tienen por dominio de
definición un conjunto de funciones. Hadamard les da el nombre de “funcionales”
por lo que Levy propone el nombre de la teoría que la estudia como
“Análisis Funcional”.
Literalmente el término “Análisis Funcional” hace referencia a la idea de
analizar espacios de funciones a través de funcionales actuando en estos espacios.
Eligiendo hábilmente el espacio de funciones y los funcionales sobre
él, se podrían resolver ecuaciones funcionales. En las primeras décadas del
siglo XX, esta técnica fue empleada satisfactoriamente en diversas áreas como
ecuaciones integrales, superficies minimales, ecuaciones en derivadas parciales,
análisis armónico y problema de los momentos.
Durante los años veinte la teoría espectral de operadores tuvo sorprendentes
aplicaciones a problemas únicamente planteados en espacios de Hilbert.
La aparición en 1932 del libro de John von Neumann “ Mathematische Grundlagen
der Quantenmechanik ” y de “ Linear Transformations in Hilbert Spaces
and Applications in Analysis ” de Marshall Stone mostraron la aparición de
la teoría de operadores (en espacios de Hilbert) como una parte propia pero
íntimamente relacionado con lo que se conoce ahora por Análisis Funcional
Lineal.
Por aquellos años el Análisis Funcional Lineal experimentó su primer gran
desarrollo. Muchas de las ideas empleadas cristalizaron en principios generales
que se formularon y demostraron. Varias técnicas evolucionaron para
aplicarlas a problemas lineales más generales que los planteados en espacios
de Hilbert. Tres principios básicos fueron pronto reconocidos.

12 Breves apuntes históricos
El teorema de extensión de Hahn-Banach. Un funcional lineal y continuo en
un subespacio vectorial de un espacio normado admite una extensión continua
y lineal a todo espacio.
El teorema de Banach-Steinhaus. Toda familia de operadores lineales y continuos
entre espacios de Banach que esté puntualmente acotada en la bola
unidad está uniformemente acotada.
El teorema de la aplicación abierta. Un operador lineal, continuo y sobreyectivo
entre dos espacios de Banach es abierto.
En 1932 la traducción francesa “Opérations Linéaires” del libro de Stefan
Banach apareció. En él, estos tres teoremas fueron presentados como los
pilares fundamentales del Análisis Funcional. Después de formular cada principio
en su forma más general, Banach proporcionaba una gran variedad de
aplicaciones de cada principio. Había asegurado el papel central de estos resultados
en el estudio de problemas lineales.
En los años treinta y principios de los cuarenta las fronteras del Análisis
Funcional fueron continuamente extendidas (con el resultado lógico de cierta
pérdida en la definición del Análisis Funcional). Cada resultado probado era
obtenido mediante una rápida incursión en un territorio inexplorado. Las investigaciones
de Gelfand en la estructura de álgebras de Banach conmutativas
reunificaron la teoría general del Análisis Funcional Lineal con la teoría de operadores
para dar lugar, entre otras cosas, a una demostración sorprendente del
teorema espectral para operadores acotados normales. La teoría de Gelfand
también fue usada para estudiar los grupos abelianos localmente compactos,
una nueva prueba del resultado de dualidad de Pontryagin fue obtenida. El
análisis de Fourier en grupos abelianos localmente compactos llegaba a ser un
realidad factible y el Análisis Armónico había nacido.
Después de la Segunda Guerra Mundial la escuela francesa de Análisis Funcional
continuó la labor que la escuela polaca había iniciado y desarrolló una
serie de investigaciones intensivas sobre la estructuras de los espacios vectoriales
topológicos, especialmente sobre los espacios de funciones differenciables
y sus duales. Laurent Schwartz fijó la teoría de distribuciones (una teoría anticipada
por otros pero incuestionable a partir de la labor fructífera realizada
por Schwartz). El escenario estaba montado para uno de los hitos alcanzados
por el Análisis Funcional: el descubrimiento de Bernard Malgrange y Leon
Ehrenpreis que toda ecuación en derivadas parciales homogénea con coeficientes
constantes tiene solución distribucional fundamental. Su demostración
es una vuelta de tuerca del teorema de Hahn-Banach.
A principios de los sesenta las herramientas que un joven analista funcional
necesitaba eran diversas como eran sus posibles aplicaciones. La teoría
de Choquet unió el Análisis Funcional Lineal con la teoría de operadores; esto
hizo que la teoría de la medida fue una valiosa aliada del Análisis Funcional.
Técnicas y motivaciones probabilísticas invadieron el Análisis Funcional y la

Breves apuntes históricos 13
teoría de operadores; el análisis complejo proporcionó interesantes problemas
que podían ser reformulados y solucionados en el contexto del Análisis
Funcional. Prácticamente todas las áreas del Análisis trasladaron sus propios
problemas, técnicas e intuiciones al Análisis Funcional para obtener nuevos
resultados.
Estos desarrollos dieron sus frutos. Largamente pero inapropiadamente
considerados, problemas clásicos en espacios de Banach fueron atacados con
espíritu renovado. Sólo unos pocos de los problemas planteados por Banach
en su monografía permanecen sin resolver. Es más, aplicaciones de la teoría
de estructura de espacios de Banach se han encontrado en Análisis Armónico,
teoría de la probabilidad, teoría de interpolación, teoría de la aproximación y
en la distribución de los valores propios de operadores en espacios de Hilbert.
El estudio de operadores en un espacio de Hilbert ha experimentado
también profundos desarrollos. El último de ellos ha unido la teoría de operadores
con la K-teoría y ha resuelto diversas asuntos entre la geometría
diferencial y la topología algebraica.
Actualmente el término “Análisis Funcional” incluye una gran variedad de
campos matemáticos. Como descripción general, suele decirse que el Análisis
Funcional es el estudio de ciertas estructuras algebraico-topológicas y de los
métodos por los que el conocimiento de estas estructuras puede ser aplicado
a problemas de Análisis (Epstein).

Parte I
Espacios de Banach
En esta primera parte del curso nos centramos en el estudio de los espacios
normados, que en el caso de ser completos se denominan espacios de
Banach. Aunque dentro del Análisis Funcional existen ejemplos importantes
de espacios vectorial topológicos que no son normados, el espacio normado es
la estructura principal sobre la que se asienta esta memoria. Pretendemos dar
una visión rica en ejemplos, resultados y aplicaciones de la teoría de Análisis
Funcional en estos espacios.
En el primer capítulo repasaremos algunos conocimientos que el alumno ya
debe poseer, recordándole especialmente álgebra lineal y topología elemental.
También probaremos resultados nuevos para ellos que sirven para centrar ideas
sobre los objetos a los que vamos a dedicar nuestro estudio, hablamos de los
espacios vectoriales finito-dimensionales o del álgebra C([a, b]).
En el segundo capítulo trabajaremos en los espacios L p . Estos espacios son
importantes tanto en el Análisis Matemático como en la Matemática Aplicada.
Damos una presentación detallada que ayudará al estudiante a entenderlos y
aplicar estos conocimientos en otras materias como por ejemplo, Análisis de
Fourier, Ecuaciones en Derivadas Parciales, o Análisis Espectral. Señalamos
además que es necesario poseer conocimientos previos de la asignatura de la
Teoría de la Medida. Si éste no es el caso, es posible desarrollar esta capítulo
en el contexto de la medida de Lebesgue y de los espacios de Lebesgue L p (Ω)
con Ω ⊂ R n .
En el tercer y último capítulo nos centraremos en tres teoremas fundamentales
sobre aplicaciones lineales y acotadas entre espacios normados. La impor-

16
tancia de estos resultados en el Análisis Funcional es sobradamente conocida
y es ilustrada con varias aplicaciones.

1
Introducción a los espacios normados
En este capítulo recordamos conceptos ya conocidos por el estudiante en cursos
anteriores y fijamos la notación que usaremos a lo largo del curso. Partiendo
de un contenido mínimo, es un capítulo que permite variar sus contenidos
y el tiempo de dedicación a él dependiendo del nivel de los estudiantes, las
perspectivas del curso y su orientación definitiva.
Los espacios vectoriales normados son espacios intermedios entre los espacios
vectoriales topológicos y los espacios pre-Hilbert y un contexto adecuado
para el Análisis Funcional. La unión coherente del espacio vectorial
y la topología (proveniente de una norma) dota al espacio de un estructura
rica y que permite un estudio en detalle. La dimensión del espacio vectorial
es crucial en diversos resultados, por ejemplo, la estructura de los espacios
vectoriales de dimensión finita está perfectamente determinada, véase sección
1.3. Las aplicaciones lineales y continuas pueden ser usadas para comparar un
espacio normado con otro e identificarlos (sección 1.2). Si añadimos una segunda
operación al espacio vectorial de forma adecuada se obtiene un álgebra
normada. El teorema de Weierstrass es un resultado notable en el álgebra
C([a, b]). Tanto ejemplos de espacios normados como de álgebras normadas
son comentados en detalle en este capítulo, algunos conocidos para el estudiante
y otros nuevos.
Daremos como referencias básicas los libros [Co] y [MV] y con un nivel
superior [BN], [R] y [RN].
1.1 Espacios normados
Comenzamos recuperando el concepto de espacio vectorial, estudiado en la
asignatura de Álgebra Lineal.
Sea K el cuerpo de los números reales R o complejos C y cuyos elementos
llamamos escalares. Sobre un conjunto de elementos X (que denominaremos
vectores) se definen dos operaciones: la suma de vectores , +, operación interna
en X y el producto de un vector por un escalar · K, λ · x , λ ∈ K,

18 Introducción a los espacios normados
x ∈ X. Un espacio vectorial (X, +, ·, K) está formado por el conjunto X, las
dos operaciones anteriores, + , · y el cuerpo de escalares K cumpliendo una
serie de propiedades conocidas. Por ejemplo, la buena coexistencia de las dos
operaciones se expresa a través de las propiedades distributivas.
Definición 1.1 Sea (X, +, ·K) un espacio vectorial. Se llama norma a un
aplicación � · � : X → R tal que
(i) �x� ≥ 0 y �x� = 0 si y solamente si x = 0 con x ∈ X.
(ii) �λx� = |λ| �x� para λ ∈ K y x ∈ X.
(iii) �x + y� ≤ �x� + �y� para x, y ∈ X.
Al par (X, � · �) se le llama espacio normado. Una aplicación p : X → [0, ∞)
que cumpla sólo las condiciones (ii) y (iii) se llama seminorma.
Nota. Es posible definir normas distintas sobre el mismo espacio vectorial X,
como el alumno puede conocer en R n y que recordaremos más adelante en el
Ejemplo 1.
Una norma en un espacio vectorial induce una métrica d : X × X → R,
(invariante por traslaciones) definida mediante,
d(x, y) := �x − y�, x, y ∈ X.
El espacio (X, d) es un espacio métrico. La métrica d induce una topología τd
en X siendo una base local (B(x, ε))ε>0 el conjunto de las bolas centradas en
el vector x ∈ X:
B(x, ε) := {y ∈ X | �x − y� < ε} = x + B(0, ε), ε > 0.
Escribiremos BX(x, ε) si queremos hacer explícito el espacio de Banach X. La
bola unidad cerrada se denota por D(0, 1),
DX = D(0, 1) = B(0, 1) = {x ∈ X ; �x� ≤ 1}.
Análogamente se utilizan las bolas cerradas D(x, ε) con x ∈ X y ε > 0.
Aunque esta no es la notación estándar en el Análisis Funcional, preferimos
seguirla para beneficio del alumnado. En asignaturas anteriores, en especial
en Topología y Geometría Elemental, la bola unidad abierta centrada en el
origen se denota por B(0, 1). Mantendremos esta notación y escribiremos para
la bola unidad cerrada D(0, 1), señalando a nuestro alumnado que en textos
de Análisis Funcional el concepto importante son las bolas cerradas y que se
pueden encontrar la escritura BX para denotar la bola unidad cerrada del
espacio X.
El espacio (X, τd) es un espacio topológico y permite hablar de clausura de
un conjunto, A, o del interior, Int(A), con A ⊂ X; de propiedades topológicas
como densidad, separabilidad, compacidad; al ser espacio métricos, son espacios
T2 o de Hausdorff, es decir, para todo x �= y ∈ X, existen un entorno de

Espacios normados 19
x y un entorno de y disjuntos entre sí. También recordaremos las definiciones
de funciones continuas y de funciones abiertas. Un espacio topológico se dice
localmente compacto si cada punto admite una base de entornos compactos.
Todos estos conceptos se suponen conocidos por el estudiante y se comentarán
brevemente cuando vayan a ser utilizados.
Volviendo a espacios normados, las operaciones algebraicas y la norma de
un espacio normado
(x, y) ↦→ x + y, (λ, x) ↦→ λx, x ↦→ �x�,
son aplicaciones continuas. En espacios normados (como en cualquier espacio
métrico) la continuidad de aplicaciones se puede probar a través de sucesiones.
Definición 1.2 Sean (X, � · �) un espacio normado y (xn)n∈N ⊂ X.
(i) La sucesión (xn)n∈N se dice convergente a x ∈ X si para todo ε > 0 existe
n0 ∈ N tal que �xn − x� < ε para todo n > n0.
(ii) La sucesión (xn)n∈N se dice de Cauchy si para todo ε > 0 existe n0 ∈ N
tal que �xm − xn� < ε para todo m, n > n0.
Si (xn)n∈N converge a x se escribe limn xn = x, xn → x o limn �xn − x� = 0.
Toda sucesión convergente es de Cauchy, pero en algunos espacios no toda
sucesión de Cauchy es convergente.
Definición 1.3 Un espacio de Banach X es un espacio normado tal que toda
sucesión de Cauchy es convergente (es decir, X es un espacio completo).
En espacios normados es posible definir series de vectores. Sean X un
espacio normado y (xn)n∈N ⊂ X. La serie � ∞
n=1 xn se dice convergente a
x ∈ X si
lim N
N�
xn = x,
n=1
y se escribe x = �∞ n=1 xn. La serie �∞ n=1 xn es de Cauchy si la sucesión
( �N n=1 xn)N∈N es de Cauchy. La serie �∞ n=1 xn se dice que converge absolutamente
si la serie �∞ n=1 �xn� converge.
La convergencia de las series absolutamente convergentes caracterizan a
los espacios de Banach como probamos en la siguiente proposición y usaremos
en varios resultados de este texto.
Proposición 1.4 Sea X un espacio normado. Entonces X es un espacio de
Banach si y solamente si toda serie absolutamente convergente es convergente.
Demostración. Sea X un espacio de Banach y � ∞
n=1 xn una serie absolutamente
convergente. Notemos que toda serie absolutamente convergente es una
serie de Cauchy, y como X es un espacio de Banach, la serie es convergente.
Recíprocamente, sea ahora una sucesión de Cauchy (xn)n∈N ⊂ X. Nótese
que la sucesión (xn)n∈N ⊂ X es convergente si y sólo si la serie

20 Introducción a los espacios normados
∞�
(xn+1 − xn)
n=0
es convergente, y ambos límites coinciden si x0 = 0. Por ser la sucesión
(xn)n∈N ⊂ X de Cauchy, existen n1 < n2 < n3.... < nk... de modo que
�xm − xn� < 1
, m, n ≥ nk.
2k Se definen yk = xnk+1 − xnk y la serie � ∞
k=1 yk es absolutamente convergente
y por hipótesis convergente a x ∈ X. Por tanto la sucesión (xnk )k converge a
x + xn1. Al ser (xn) una sucesión de Cauchy con una subsucesión convergente
entonces (xn)n∈N es convergente. ⊓⊔
Sean X un espacio normado y � · �, � · � ′ dos normas en X. Las normas
� · � y � · � ′ se dicen comparables si existe una constante a > 0 tal que
�x� ′ ≤ a�x�;
y se dicen equivalentes si existen constantes 0 < a < b tales que
a�x� ≤ �x� ′ ≤ b�x�,
para todo x ∈ X. En este caso se indica que � · � ∼ � · � ′ (es una relación
de equivalencia). Nótese que dos normas son equivalentes si y sólo si inducen
en X la misma topología. El Teorema de los isomorfismos de Banach permite
identificar normas equivalentes y normas comparables en espacios de Banach
(ejercicio 3.4).
Sea (X, �·�) un espacio normado e Y ⊂ X un subespacio de X (recordamos
que los subconjuntos Y ⊂ X que heredan la estructura de espacio vectorial
de X son los subespacios vectoriales de X). Entonces (Y, � · �) es un espacio
normado. Además si X es Banach entonces Y es un espacio de Banach si y
sólo si Y es cerrado en X.
Sea Y un subespacio cerrado en un espacio vectorial normado X. El espacio
vectorial cociente X/Y es un espacio normado con la norma cociente � · � X/Y
dada por
�x + Y � X/Y := inf{�x + y� ; y ∈ Y }.
La norma cociente genera la topología cociente, y si X es de Banach, entonces
también lo es X/Y .
Para terminar esta sección comentamos en detalle algunos ejemplos de
espacios normados.
Ejemplos (1) Espacios K n . Sea X = K n con n ∈ N, 1 ≤ p ≤ ∞ y se define
la norma � · �p : R n → R como
�(x1, x2, . . . xn)�p =
� n�
k=1
|xk| p
� 1
p
, 1 ≤ p < ∞,

Espacios normados 21
y �(x1, x2, . . . xn)�∞ = max1≤k≤n |xk|. Se cumple que � · �p es una norma y
(K n , � · �p) es un espacio normado.
La desigualdad triangular de la norma �·�p se llama a menudo desigualdad
de Minkowski,
� n�
k=1
|xk + yk| p
� 1
p
≤
� n�
k=1
|xk| p
� 1 �
p n�
+
k=1
|yk| p
y se prueba a partir de la desigualdad de Hölder: si 1 < p < ∞ y 1
p
entonces
n�
�
n�
|xkyk| ≤ |xk| p
� 1
p � �n
|yk| q
� 1
q
,
k=1
véase una prueba en ejercicio 1.1.
Nótese que
�(x1, x2, . . . xn)�∞ ≤
k=1
� n�
k=1
|xk| p
� 1
p
k=1
� 1
p
≤ n 1
p �(x1, x2, . . . xn)�∞
,
+ 1
q
= 1,
y por tanto � · �p ∼ � · �q con 1 ≤ p, q ≤ ∞. A partir de ahora consideraremos
el espacio vectorial K n dotado de la topología usual, generada por cualquiera
de las normas equivalentes � · �p con 1 ≤ p ≤ ∞.
(2) Espacios de sucesiones K N . Sea 1 ≤ p < ∞ y el espacio vectorial
Se define la norma
ℓ p := {(xn) ∞ n=1 ⊂ K ;
�(xn)�p :=
y (ℓ p , � · �p) es un espacio de Banach.
El espacio ℓ ∞ es definido como
� ∞�
n=1
∞�
|xn| p < ∞}.
n=1
|xn| p
� 1
p
,
ℓ ∞ := {(xn) ∞ n=1 ⊂ K ; sup |xn| < ∞},
n
y la norma �(xn)�∞ := sup n |xn| < ∞. El par (ℓ ∞ , � · �∞) es un espacio de
Banach. Los subespacios c, c0 y c00 se definen como
c : = {(xn) ∞ n=1 ⊂ K ; (xn) es convergente },
c0 : = {(xn) ∞ n=1 ⊂ K ; lim n xn = 0},
c00 : = {(xn) ∞ n=1 ⊂ K ; existe n0 ∈ N tal que xn = 0 para todo n > n0}.
Nótese que c00 ⊂ c0 ⊂ c ⊂ ℓ ∞ y que c0, y c son subespacios cerrados de ℓ ∞ y
por tanto (c0, � · �∞) y (c, � · �∞) son espacios de Banach.

22 Introducción a los espacios normados
El espacio (c00, � · �∞) es normado, pero no es completo. La clausura de
c00 en (ℓ ∞ , � · �∞) es el subespacio (c0, � · �∞), mientras que la clausura de
c00 en (ℓ p , � · �p) es el propio espacio (ℓ p , � · �p) con 1 ≤ p < ∞.
(3) Espacios de funciones continuas. Sea K un conjunto compacto de un
espacio topológico de Hausdorff. Sea el espacio vectorial C(K) definido por
C(K) := {f : K → K ; f continua},
y la norma �f�∞ := maxs∈K |f(s)|. El par (C(K), � · �∞) es un espacio de
Banach y la convergencia en � · �∞ se llama convergencia uniforme.
El espacio C0(R n ) definido por
C0(R n ) := {f : R n → K ; f continua, lim f(x) = 0},
x→∞
con la norma �f�∞ := sup s∈R n |f(s)| es un espacio de Banach.
Por último sean n ∈ N y a, b ∈ R con a < b y los espacios C (n) ([a, b])
definidos mediante
C (n) ([a, b]) := {f : [a, b] → K ; f continua, derivable n veces y f (n) continua}.
Los espacios (C (n) ([a, b]), � · �n,∞) son espacios de Banach con la norma
�f�n,∞ =
n�
j=0
1
j! �f (j) �∞.
1.2 Aplicaciones entre espacios normados
Las aplicaciones lineales son las aplicaciones que conservan la estructura de
espacio vectorial. Sean X e Y dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo
K, una aplicación T : X → Y se dice lineal si
T (αx + βy) = αT (x) + βT (y), α, β ∈ K, x, y ∈ X.
Si T es biyectiva, T se dice isomorfismo algebraico. Se llaman funcionales
lineales o formas a las aplicaciones lineales de un espacio vectorial sobre su
cuerpo de escalares, f : X → K.
La continuidad en el origen de una aplicación lineal se transmite a todos
los vectores y equivale a su continuidad uniforme.
Proposición 1.5 Sean X e Y dos espacios normados, y T : X → Y una
aplicación lineal. Son equivalentes las siguientes afirmaciones.
(i) T es continua.
(ii) T es continua en 0.
(iii)Existe C > 0 tal que �T (x)� ≤ C�x� para x ∈ X.

Aplicaciones entre espacios normados 23
Demostración. Es claro que (i) ⇒ (ii). Probemos que (ii) ⇒ (iii). Por continuidad
en 0 existe δ > 0 tal que �T (x)� < 1 si �x� < δ. Sea 0 < δ ′ < δ y
x �= 0, entonces
�T (x)� = �x� x �x�
�T (δ′ )� ≤
δ ′ �x� δ ′ .
(iii) ⇒ (i) Sean x ∈ X y ε > 0. Si tomamos y ∈ X con �x − y� < δ donde
0 < δ < ε/C entonces nótese que
�T (x) − T (y)� = �T (x − y)� < C�x − y� < Cδ < ε.
Con ello concluimos la demostración. ⊓⊔
Sea T un operador lineal y continuo entre espacios normados X e Y .
Recordemos que la norma de T , �T �, se define mediante
�T � := sup �T (x)�.
�x�≤1
Es fácil probar que si X �= {0} entonces
�T (x)�
�T � = sup �T (x)� = sup = inf{C > 0 ; �T (x)� ≤ C�x�, x ∈ X}.
�x�=1
x�=0 �x�
Denotaremos por L(X, Y ) el conjunto de aplicaciones lineales y continuas
entre los espacios X e Y . La aplicación T ↦→ �T � es una norma en L(X, Y ),
y por tanto (L(X, Y ), � · �) es un espacio normado.
Teorema 1.6 Sean X e Y espacios normados. Si Y es un espacio de Banach
entonces L(X, Y ) es también espacio de Banach.
Demostración. Sea (Tn) ⊂ L(X, Y ) una sucesión de Cauchy. Fijado x ∈ X,
es claro que (Tn(x)) ⊂ Y es de Cauchy en Y y por tanto convergente. Se
define T (x) := limn Tn(x). Es claro que T : X → Y es lineal. Para probar la
continuidad de T se tiene que
�T (x)� = � lim n Tn(x)� = lim n �Tn(x)� ≤ sup
n
�Tn(x)� ≤ sup(�Tn�)�x�.
n
Al ser (Tn) una sucesión de Cauchy entonces sup n(�Tn�) < ∞ y T ∈ L(X, Y ).
Basta comprobar que Tn → T en L(X, Y ). Sea ε > 0; por ser (Tn) una sucesión
de Cauchy entonces existe n0 ∈ N tal que �Tn −Tm� < ε para todo n, m ≥ n0.
Sean x ∈ X y n > n0, entonces �Tm(x) − Tn(x)� ≤ ε�x� para todo m > n0.
Como T (x) = limm Tm(x) entonces �T (x) − Tn(x)� = �(T − Tn)(x)� ≤ ε�x�
y �Tn − T � ≤ ε para n > n0. ⊓⊔
Nota. En el capítulo tercero probaremos (como consecuencia del teorema de
Hahn-Banach) que la completitud de Y es una condición necesaria si L(X, Y )
es espacio de Banach (Teorema 3.5 (ii)).

24 Introducción a los espacios normados
Dos espacios normados X e Y son isomorfos si existe T : X → Y biyectiva,
lineal, continua y de inversa continua. En este caso se escribe X � Y y es
equivalente a que existan m, M > 0 tales que
m�x� ≤ �T (x)� ≤ M�x�, x ∈ X.
En el caso en que X e Y sean espacios de Banach toda aplicación biyectiva,
lineal y continua entre ellos es un isomorfismo, (Corolario 3.25). Nótese que
un mismo espacio vectorial X dotado con dos normas equivalentes puede ser
considerado como dos espacios vectoriales isomorfos.
Un isomorfismo isométrico es un isomorfismo T : X → Y tal que �T (x)� =
�x� para x ∈ X. En este caso desde el punto de vista del Análisis Funcional
es posible identificar los espacios.
Definición 1.7 Sea X un espacio normado sobre K. Se llama espacio dual,
X ′ , al espacio X ′ := L(X, K).
Por el teorema anterior, si X es un espacio normado entonces X ′ es de
Banach.
Ejemplos. Podemos identificar los siguientes espacios duales
(c0) ′ = ℓ 1 ; (ℓ p ) ′ = ℓ q , 1 1
+
p q = 1, 1 < p < ∞; (ℓ1 ) ′ = ℓ ∞ ,
como sigue. Sea x ≡ (xn)n ∈ E = c0, ℓp , con 1 ≤ p < ∞ e y ≡ (yn)n ∈ E ′ .
Entonces
∞�
y(x) = xnyn.
En la sección 2.5 probaremos versiones más generales de estos resultados.
1.3 Espacios de dimensión finita
n=1
La condición de dimensión finita en los espacios vectoriales normados es
muy exigente y provoca falta de variedad. Todos los espacios vectoriales ndimensional
normados son isomorfos, las normas en un espacio vectorial finito
dimensional son equivalentes y los conjuntos cerrados y acotados son compactos.
Teorema 1.8 Toda aplicación lineal de K n en cualquier espacio normado X
es continua.
Demostración. Sea T : Kn → X una aplicación lineal. Si {ej} n j=1 es la base
canónica de Kn , y (λ1, · · · , λn) ∈ Kn , tenemos que
�T (λ1, · · · , λn)� = �
n�
λjT (ej)� ≤
j=1
n�
|λj|�T (ej)�
j=1

Espacios de dimensión finita 25
≤ �(λ1, · · · , λn)�2
n�
�T (ej)� ≤ C�(λ1, · · · , λn)�2
donde C = � n
j=1 �T (ej)�. Entonces T es continua por la Proposición 1.5. ⊓⊔
El siguiente teorema prueba que K n es, salvo isomorfismos, el único espacio
normado n-dimensional sobre K.
Teorema 1.9 (Teorema de Tichonov) Sea X un espacio normado de dimensión
n sobre K. Entonces toda biyección lineal de K n en X es un isomorfismo.
Demostración. Sea T : K n → X una biyección lineal. Por la proposición
anterior existe C > 0 tal que
j=1
�T (x)� ≤ C�x�, x ∈ K n .
Sea ahora Sn = {x ∈ Kn ; �x�2 = 1} que al ser un compacto de Kn ,
entonces T (Sn) es un compacto de X; al ser T inyectiva, entonces 0 �∈ T (Sn).
En particular T (Sn) es un subconjunto cerrado de X que no contiene al cero.
Por tanto existe ε > 0 tal que D(0, ε) ∩ T (Sn) = ∅. Además probaremos que
D(0, ε) ⊂ T (DKn(0, 1)). En caso contrario, sea z ∈ D(0, ε) \ T (DKn(0, 1)). Al
ser T sobreyectiva existe x ∈ K n tal que z = T (x) y �x�2 > 1. Por tanto
T (�x� −1
2 x) ∈ D(0, ε) ∩ T (Sn) llegando a contradicción. En conclusión,
T −1 (D(0, ε)) ⊂ DKn(0, 1),
y por tanto ε�x�2 ≤ �T (x)� para x ∈ K n , concluyendo que T es un isomorfismo.
⊓⊔
Corolario 1.10 Las siguientes afirmaciones son ciertas.
(i) Si X es un espacio normado de dimensión finita, toda aplicación lineal de
X en otro espacio normado Y es continua.
(ii)Toda biyección lineal entre dos espacios normados de dimensión finita es
un isomorfismo. En consecuencia, dos espacios normados de dimensión
finita son isomorfos si, y sólo si, tienen la misma dimensión.
(iii) Todas las normas sobre un mismo espacio vectorial de dimensión finita
son equivalentes.
(iv)Todo espacio normado de dimensión finita es un espacio de Banach.
(v) Todo subespacio finito dimensional de un espacio normado es cerrado.
(vi) Un subconjunto de un espacio normado de dimensión finita es compacto
si y sólo si es cerrado y acotado (Teorema de Bolzano-Weierstrass).
Demostración. (i) Sean X un espacio normado n-dimensional y T : X → Y
una aplicación lineal. Siempre se puede definir una biyección lineal T1 : K n →
X. Por el teorema anterior T1 es un isomorfismo, y como T ◦ T1 : K n → Y

26 Introducción a los espacios normados
es lineal, por el Teorema 1.8 es continua. Por tanto T = (T ◦ T1) ◦ T −1 es
continua.
(ii) Sean X e Y espacios normados. Si X e Y son isomorfos, entonces son algebraicamente
isomorfos y por tanto tienen la misma dimensión. Recíprocamente,
si X e Y tienen la misma dimensión finita, entonces existe una biyección lineal
y por (i) es continua.
(iii) Sean X un espacio de dimensión finita sobre K y � · �1, � · �2 dos normas
sobre X. Consideremos la aplicación identidad de IX : (X, �·�1) → (X, �·�2),
la cual es un isomorfismo y por tanto las normas son equivalentes.
(iv) Sea X un espacio de dimensión finita n sobre K. Por el teorema anterior
X es isomorfo a K n , y como éste es completo, X es completo.
(v) Sean X un espacio normado y M un subespacio-finito dimensional de X.
Por el apartado (iv) M es completo y por tanto es cerrado.
(vi) Sean X un espacio normado de dimensión finita n sobre K y A un subconjunto
de X. Si A es compacto entonces es cerrado y acotado (esto es cierto
en cualquier espacio métrico). Recíprocamente, sea A cerrado y acotado y
sea T : X → K n un isomorfismo. Es claro que T (A) es cerrado y acotado
en K n , luego T (A) es compacto, y por la continuidad de T −1 se sigue que
A = T −1 (T (A)) es compacto en X. ⊓⊔
Las afirmaciones análogas a las anteriores en el caso de espacios vectoriales
infinito dimensionales son falsas. Es más, el teorema de Bolzano-Weierstrass
caracteriza los espacios de dimensión finita.
Teorema 1.11 (Teorema de Riesz) Sea X un espacio normado. Las siguientes
afirmaciones son equivalentes.
(i) X es de dimensión finita.
(ii)Todo conjunto cerrado y acotado de X es compacto.
(iii) La bola unidad cerrada D(0, 1) es compacta (X es localmente compacto).
Demostración. La implicación (i) ⇒ (ii) es el teorema de Bolzano-Weierstrass.
Es claro que (ii) implica (iii). Sólo falta concluir que (iii) implica (i). Por ser
D(0, 1) compacto, existen x1, x2 . . . xn tal que
D(0, 1) ⊂
n�
i=1
D(xi, 1
2 ).
Sean Y = span{x1, . . . , xn} y Q : X → X/Y la aplicación cociente. Al ser Q
sobreyectiva, abierta, lineal y cumplir que �Q� ≤ 1, se tiene que
D X/Y (0, 1) = Q(DX(0, 1)) ⊂
n�
i=1
Q(xi + D(0, 1
2 ))
= 1
2 Q(DX(0, 1)) = 1
2 D X/Y (0, 1),
donde aplicamos que Q(xi) = 0 ya que xi ∈ Y . De forma reiterada se obtiene
que D X/Y (0, 1) ⊂ 1
2 n D X/Y (0, 1) para todo n ∈ N. Si z ∈ D X/Y (0, 1) entonces

Álgebras normadas 27
z ∈ 1
2n DX/Y (0, 1) y �z�X/Y ≤ 1
2n para todo n ∈ N. Por tanto DX/Y (0, 1) =
{0}, así X/Y = 0 y X = Y . ⊓⊔
Nota. Esta demostración del teorema de Riesz es debida a Choquet. Existen
otras que involucran el “lema sobre la existencia de elementos casi ortogonales”
o lema de Riesz [CM, p.18].
1.4
Álgebras normadas
Definition 1.12. Un álgebra normada A es un espacio normado sobre K con
una segunda operación interna, producto, A × A → A, (x, y) ↦→ xy tal que
(i) x(yz) = (xy)z,
(ii) x(y + z) = xy + xz, (x + y)z) = xz + yz,
(iii) λ(xy) = (λx)y = x(λy)
y �xy� ≤ K�x��y� con K > 0, x, y, z ∈ A, y λ ∈ K. Un álgebra de Banach
es un álgebra normada completa.
Se dice que el álgebra de Banach es conmutativa si xy = yx con x, y ∈ A;
con unidad si existe e ∈ A tal que ex = xe = x para todo x ∈ A; con unidad
aproximada si existe (en)n ⊂ A tal que enx → x y xen → x con x ∈ A. La
unidad aproximada (en)n se dice acotada si existe K > 0 tal que �en� < K
para todo n ∈ N.
A continuación se muestran algunos espacios normados que admiten un
producto con el cual son álgebras normadas.
Ejemplos. (1) Sea L(X) := L(X, X) y consideremos la composición de operadores
(T ◦ S)(x) := T (S(x)) con x ∈ X y T, S ∈ L(X). Nótese que
�T ◦ S� ≤ �T ��S�
y L(X) es un álgebra con unidad, a menudo no conmutativa.
(2) Sea K un conjunto compacto en un espacio de Hausdorff. En el espacio
de Banach C(K) se considera el producto puntual
(fg)(t) = f(t)g(t), t ∈ K.
El álgebra C(K) es un álgebra de Banach, conmutativa con unidad.
(3) El espacio C0(Rn ) con el producto de funciones puntual anterior es un
álgebra normada con unidad aproximada acotada, por ejemplo
⎧
⎨ 1, si �x�2 ≤ n,
en(x) := n + 1 − �x�, si n < �x�2 ≤ n + 1,
⎩
0, si n + 1 < �x�2.

28 Introducción a los espacios normados
(4) Los espacios de sucesiones normados c00, c0, c, ℓ ∞ son álgebras con el producto
de sucesiones coordenada a coordenada, x ≡ (xn)n, y ≡ (yn)n,
xy ≡ (xnyn)n.
(5) El espacio ℓ1 es un álgebra de Banach con el producto de Cauchy, x ≡
(xn)n, y ≡ (yn)n ∈ ℓ1 ,
n�
x ∗ y ≡ ( xn−jyj)n.
j=1
(6) El álgebra del disco A(D) definida mediante
A(D) := {f : D → C, ; holomorfas y continuas en D},
donde D = {z ∈ C ; |z| < 1} es un álgebra de Banach con el producto puntual
y la norma del supremo.
1.5 El teorema de Weierstrass
En esta última sección probamos el teorema clásico de Weierstrass sobre
aproximación uniforme de funciones continuas mediante polinomios en un
intervalo compacto de R (Corolario 1.14). Presentamos un planteamiento
general probando un teorema debido a Korovkin. Como consecuencia del
teorema de Weierstrass, demostraremos que los polinomios trigonométricos
aproximan a las funciones continuas sobre la circunferencia unidad, véase por
ejemplo [CM, Teorema 1.9.29] y [Li, Theorem 3.18].
Teorema 1.13 (Teorema de Korovkin) Sean f0, f1 y f2 las funciones definidas
en [a, b] por
f0(t) = 1, f1(t) = t, f2(t) = t 2 ,
para cada t ∈ [a, b]. Para cada n ∈ N, sean Pn : C([a, b]) → C([a, b]) aplicaciones
lineales. Supongamos que:
(i) Cada operador Pn es positivo, es decir, si f ∈ C([a, b]) y f ≥ 0 entonces
Pn(f) ≥ 0.
(ii)Para cada m = 0, 1, 2 se cumple que limn �Pn(fm) − fm�∞ = 0.
Entonces para cada f ∈ C([a, b]) se cumple que
lim n �Pn(f) − f�∞ = 0.

El teorema de Weierstrass 29
Demostración. Sea f ∈ C([a, b]) y f : [a, b] → R. Como f está acotada existe
α > 0 tal que |f(t)| ≤ α con t ∈ [a, b]. Si t, s ∈ [a, b] entonces
−2α ≤ f(t) − f(s) ≤ 2α.
Tomamos ε > 0. Al ser f uniformemente continua en [a, b] existe δ > 0 tal
que si |t − s| < δ entonces |f(t) − f(s)| < ε, es decir,
−ε < f(t) − f(s) < ε.
Dado s ∈ [a, b] definimos la función gs(t) = (t − s) 2 . Nótese que si |t − s| ≥ δ,
entonces |gs(t)| ≥ δ 2 . Combinando ambas desigualdades se tiene que para
todo t ∈ [a, b],
−ε − 2αgs(t)
δ 2
≤ f(t) − f(s) ≤ ε + 2αgs(t)
δ2 .
Como cada Pn es positivo y lineal se cumple que
−εPn(f0) − 2αPn(gs)
δ 2
≤ Pn(f) − f(s)Pn(f0) ≤ εPn(f0) + 2αPn(gs)
δ 2 . (1.1)
Por hipótesis se tiene que Pn(f0) converge a 1 uniformemente en [a, b] mientras
Pn(gs)(s) converge a 0 uniformemente para todo s ∈ [a, b], ya que gs = f2 −
2sf1 + s 2 f0, y por tanto
Pn(gs)(s) = Pn(f2)(s) − 2sPn(f1)(s) + s 2 Pn(f0)(s) → s 2 − 2s 2 + s 2 = 0.
Debido a las desigualdades de (1.1) se concluye que Pn(f) converge uniformemente
a f en [a, b].
Si f ∈ C([a, b]), f : [a, b] → C entonces f = ℜf + iℑf con ℜf, ℑf ∈
C([a, b]) y ℜf, ℑf : [a, b] → R. Basta aplicar el caso ya demostrado para
concluir el resultado. ⊓⊔
Por el teorema anterior, considerando unos operadores adecuados Pn podremos
demostrar la convergencia uniforme. Así, el teorema de Weierstrass se
demuestra como consecuencia del Teorema 1.13.
Corolario 1.14 (Teorema de Weierstrass) El conjunto de los polinomios en
una variable es uniformemente denso en C([a, b]).
Demostración. Haciendo el cambio de variable t ↦→ a + t(b − a) podemos
suponer sin pérdida de generalidad que [a, b] = [0, 1]. Consideramos los operadores
Bn : C([0, 1]) → C([0, 1]) con n = 1, 2, . . . definidos por
Bn(f)(t) =
n�
f
k=0
� � � �
k n
t
n k
k (1 − t) n−k , t ∈ [0, 1].
(El polinomio Bn(f) de grado n a lo sumo se denomina polinomio de Bernstein
asociado a f). Para probar que Bn(f) → f uniformemente basta probar que

30 Introducción a los espacios normados
los operadores Bn cumplen las hipótesis del teorema 1.13. Claramente cada
Bn es lineal, positivo y
n�
� �
n
Bn(f0)(t) = t
k
k=0
k (1 − t) n−k = 1,
n�
� �
k n
Bn(f1)(t) =
t
n k
k=1
k (1 − t) n−k n−1 �
� �
n − 1
= t
t
j
j=0
j (1 − t) (n−1)−j = t,
n�
� � � �
k n − 1
Bn(f2)(t) =
t
n k − 1
k=1
k (1 − t) n−k
n�
�
(n − 1)(k − 1)
=
+
n(n − 1)
1
� � �
n − 1
t
n k − 1
k (1 − t) n−k = (1 − 1
n )t2 + 1
n t,
k=1
para n = 1, 2, . . . . Lo que implica que limn �Bn(fm) − fm�∞ = 0 para todo
m = 0, 1, 2. . Por el teorema 1.13 se tiene que limn �Bn(f) − f�∞ = 0 para
todo f ∈ C([0, 1]). ⊓⊔
Notas. Existen extensiones del teorema de Weierstrass. El teorema de Stone-
Weierstrass complejo afirma que si A es una subálgebra autoconjugada de
C(K), donde K es un compacto de Hausdorff, A separa puntos de K y contiene
a las funciones constantes, entonces A es densa en C(K), [Yo, p.10].
Sea el espacio de Banach (Cp([−π, π]), � · �∞) donde
Cp([−π, π]) = {f ∈ C([−π, π]) ; f(−π) = f(π)}.
Sean las funciones (en)n∈Z ⊂ Cp([−π, π]) donde en(t) = e int con t ∈ [−π, π).
Las combinaciones lineales de las funciones (en)n∈Z,
Pn(t) =
n�
j=−n
λje ijt , t ∈ [−π, π), λj ∈ C,
se llaman polinomios trigonométricos. Si f ∈ Cp([−π, π]) los coeficiente de
Fourier de f ∈ X se definen mediante
ˆf(k) =
� π
−π
−ikt dt
f(t)e , k ∈ Z.
2π
La sumas parciales de la serie de Fourier son las sumas
Sn(f)(t) =
n�
k=−n
ˆf(k)e ikt , t ∈ R, n ∈ N,
mientras que la serie de Fourier de f es formalmente la expresión

El teorema de Weierstrass 31
S(f)(t) ≡
∞�
k=−∞
ˆf(k)e ikt .
Es lógico esperar que la serie parcial de Fourier, Sn(f)(t), de una función
f ∈ Cp([−π, π]) converja al valor de la función f(t) en cada t ∈ [−π, π). Sin
embargo no es así, véase la sección 3.5.2. El siguiente teorema completa esta
información.
Corolario 1.15 (Teorema de Weierstrass trigonométrico) El conjunto de los
polinomios trigonométricos es denso en (Cp([−π, π]), � · �∞).
Demostración. Sea f ∈ Cp([−π, π]). Entonces f = f1 + f2, con f1 la parte par
y f2 la parte impar de f,
f1(x) =
f(x) + f(−x)
, f2(x) =
2
f(x) − f(−x)
, x ∈ [−π, π],
2
con f2(π) = f2(0) = 0. Al ser el conjunto de los polinomios trigonométricos
un espacio vectorial basta probar el resultado para funciones f1 y f2 con las
propiedades anteriores.
Sea f una función par en [−π, π]. Como φ : [−1, 1] → [0, π] definida mediante
φ(t) = arccos(t) es una biyección, estrictamente decreciente y continua,
la función f ◦ φ : [−1, 1] → C es continua, y por el Corolario 1.14, existe un
polinomio p de modo que
es decir, que
�f ◦ φ − p�∞ = sup
t∈[−1,1]
|f ◦ φ(t) − p(t)| < ε,
�f − p ◦ cos �∞ = sup
x∈[0,π]
|f(x) − p(cos(x))| < ε.
Al ser f y cos funciones pares se deduce que también
sup |f(x) − p(cos(x))| < ε.
x∈[−π,π]
Como p ◦ cos es un polinomio trigonométrico (recordemos que cos(t) =
(e it + e −it )/2) queda probado el resultado para funciones pares.
Sea f una función impar en [−π, π] con f(π) = f(0) = 0. Por la continuidad
uniforme de f en [0, π], fijado ε > 0 existe η > 0 tal que si |x−x ′ | < η
entonces
|f(x) − f(x ′ )| < ε.
Al ser f una función continua que se anula en 0 y en π, existe 0 < δ0 <
min{η, π} tal que si x �∈ [δ, π − δ] con 0 < δ < δ0, entonces se tiene que
|f(x)| < ε. Tomemos 0 < δ < δ0 y definimos la función gδ : [0, π] → R dada
por

32 Introducción a los espacios normados
⎧ � �
⎨ π(x − δ)
gδ(x) =
f
⎩
π − 2δ
0,
si δ ≤ x ≤ π − δ,
en otro caso.
Es claro que gδ ∈ C([0, π]) y gδ(0) = 0. Si llamamos x ′ = π(x−δ)
π−2δ , entonces
x ′ − x =
2δx − δπ
π − 2δ .
Si se toma x ∈ [δ, π − δ], entonces |x − x ′ | < η, y por tanto
|f(x) − gδ(x)| < ε, x ∈ [0, π].
Definimos gδ en el intervalo [−π, 0] mediante gδ(x) = −gδ(−x), x ∈ [−π, 0].
Al ser f y gδ impares se cumple que
|f(x) − gδ(x)| < ε, x ∈ [−π, π].
Sea G : [−π, π] → C definida mediante
�
gδ(x)
G(x) = sen(x)
si 0 �= x ∈ (−π, π),
0, si x = 0, ±π.
La función G es continua y par. Por el caso anterior existe un polinomio
trigonométrico p que cumple que |G(x) − p(x)| < ε. Por tanto
|gδ(x) − sen(x)p(x)| ≤ ε, x ∈ [−π, π].
Utilizando que sen(x) = (e ix − e −ix )/2i, entonces sen(x)p(x) es un polinomio
trigonométrico y se concluye la demostración. ⊓⊔
Nota. En otros textos se presenta una demostración alternativa utilizando
el teorema de Korovkin trigonométrico (véase ejercicio 1.10) y los núcleos de
Féjer, [Li, Theorem 1.4.12].

Ejercicios 33
Ejercicios
(1.1) Demuéstrese que
(i) inf0

34 Introducción a los espacios normados
(b) Sean g ∈ C([0, 1]) y K ∈ C([0, 1] × [0, 1]). Entonces la ecuación
tiene una única solución.
f(t) = g(t) +
� t
0
K(t, s)f(s)ds,
(1.7) Sea X un espacio normado real de dimensión infinita. Constrúyase una
aplicación lineal de X en R que no sea continua. Pruébese que en X hay
normas no equivalentes.
(1.8) Sea A un álgebra de Banach con unidad e y sea G el conjunto de
elementos inversibles. Pruébese que
(a) si x ∈ A y |x| < 1 entonces x + e ∈ G.
(b) G es un abierto de A.
(1.9) Demuéstrese que el espacio de las medidas complejas sobre un espacio
de medida X, definiendo la norma de una medida como su variación total, es
un espacio de Banach.
(1.10)(Teorema de Korovkin trigonométrico)
Sean el espacio de Banach (Cp([−π, π]), � · �∞) y las funciones f0, f1, f2 ∈
Cp([−π, π]) definidas por
f0(t) = 1, f1(t) = cos(t), f2(t) = sen(t), t ∈ [−π, π].
Para cada n = 1, 2, . . . ,, sean Tn : Cp([−π, π]) → Cp([−π, π]) lineales. Supongamos
que:
(i) cada operador Tn es positivo,
(ii) para cada m = 0, 1, 2 se cumple que limn �Tn(fm) − fm�∞ = 0.
Pruébese que para cada f ∈ Cp([−π, π]), se cumple que
lim n �Tn(f) − f�∞ = 0.
(Ayuda: Considérese la demostración del teorema 1.13 y la función
hs(t) := 1
2 sen2
� �
t − s
,
2
en vez de gs. )

Notas históricas 35
1.6 Notas históricas
Stephan Banach nació el 30 de marzo de 1892 en Cracovia, ciudad perteneciente
al Imperio Austro-Húngaro, actualmente Polonia y murió el 31 de agosto de
1945 en Lwów, actualmente Ucraina. A pesar de sus precoces habilidades
matemáticas decidió estudiar Ingenería en Lwów ya que sentía que nada nuevo
podía aportar en Matemáticas. En la primavera de 1916, un encuentro casual
con Hugo Steinhaus cambia su futuro.
Steinhaus propone al joven Banach un problema en el que estaba trabajando
sin éxito. A los pocos días Banach ya tenía la idea principal para
la construcción del requerido contra-ejemplo y la publicación de su primer
trabajo conjunto.
En 1920 defiende en Lwów su tesis doctoral “Sobre operaciones en conjuntos
abstractos y sus aplicaciones a las ecuaciones integrales” que para muchos
marca el nacimiento del Análisis Funcional moderno. En la Introducción, Banach
afirma:
“El objetivo de este trabajo es demostrar algunos teorema que son ciertos
para diferentes espacios funcionales (champs fonctionneles). En lugar de
probar los resultados para cada espacio funcional particular, he optado por un
enfoque diferente: considero en general un conjunto de elementos abstractos,
para los que postulo una serie de propiedades y demuestro los teoremas de esos
conjuntos. Entonces pruebo que los distintos espacios funcionales particulares
en los que estoy interesado, satisfacen los axiomas postulados...”
El marco general en cuestión es precisamente lo que hoy conocemos como
espacio normado completo, es decir, espacio de Banach, nombre dado por M.
Fréchet.
Los numerosos trabajos realizados por Banach, las monografías escritas
y la fundación de la revista Studia Mathematica con H. Steinhaus en 1929,
hicieron de Lwów el centro de referencia en el desarrollo del Análisis Funcional.
A modo de curiosidad señalamos su particular estilo de trabajo. Pasaba
horas y horas en los cafés de Lwów tanto en la compañía de sus colaboradores
como en solitario. El ruido y la música no perturbaban su concentración, uno
de ellos era el famoso Café Escocés. Cuando los cafés cerraban, marchaba a la
estación de tren donde la cafetería permanecía abierta. Allí, con un vaso de
cerveza, continuaba pensando en sus problemas.
El concepto de compacidad fue introducido en 1906 por M. Fréchet en su
famosa tesis doctoral “Sur quelques points du calcul fonctionel”. Esta tesis
tuvo una tremenda influencia tanto en el desarrollo del Análisis Funcional
como en el de la Topología. El teorema 1.11 de F. Riesz apareció en el artículo
“ Über lineare Funktionalgleichungen”, Acta Math. 41 (1918), 71-98. Sobre
este artículo, J Dieudonné afirma:
“In my opinion, F. Riesz’s 1918 paper is one of the most beautiful ever
written; it is entirely geometric in language and spirit, and so perfectly adapted
to its goal that it has never been superseded and that Riesz’s proof can still be
transcribed almost verbatim”.

36 Introducción a los espacios normados
([D, p.145-146]).
El teorema de aproximación de Weierstrass es de 1885. La lista de
matemáticos que han aportado demostraciones diferentes de este resultado
muestra lo fascinante del resultado: Picard (1890), Volterra (1897), Lebesgue
(1898), Mittag-Leffler (1900), Landau (1908), S. Bernstein (1912), P. Montel
(1918), Marchand (1927) y Meinardus (1964).

2
Los espacios L p
En este capítulo daremos los resultados principales para una familia de espacios
normados de funciones particularmente importante en las Matemáticas y
en las Ciencias en general, los espacios L p (X).
Suponemos conocido por el estudiante un curso elemental de teoría de
la medida, que incluye conceptos y resultados básicos como identidades en
casi todo punto (escribiremos µ-a.e.), funciones simples, el Lema de Fatou, la
convergencia dominada y algunos de más nivel, como el Teorema de Radon-
Nikodym. Al usar estas ideas de la teoría de la medida, recordaremos sus
enunciados y sus propiedades más elementales. También daremos referencias
donde aparecen, como por ejemplo [Ce],[R2], [Li] y [V].
Si ése no fuera el caso, es posible leer este capítulo considerando la medida
de Lebesgue en Ω ⊂ R n , y los espacios de Lebesgue L p (Ω).
2.1 Definiciones y primeras propiedades
Sea (X, A, µ) un espacio de medida donde X es un conjunto, A una σ-álgebra
sobre X y µ una medida positiva en A. Recordemos que una propiedad P se
dice cierta en casi todo punto y se escribe µ-a.e., si el conjunto
con µ(N) = 0, [Ce, p. 54].
{x ∈ X ; x no cumple P } ⊂ N
Definición 2.1 Sean (X, A, µ) un espacio de medida y 1 ≤ p < ∞. El espacio
Lp (µ) se define mediante
L p �
(µ) := {f : X → C medibles ; |f| p dµ < ∞}.
Nota. Se cumple que si f : X → C es medible y �
X |f|pdµ = 0 entonces f = 0
µ-a.e.; véase por ejemplo [R2, Theorem 1.39]. Además es claro que
X

38 Los espacios L p
�
|λf|
X
p dµ = |λ| p
�
|f|
X
p dµ, λ ∈ C.
Proposición 2.2 El espacio L p (µ) es un espacio vectorial complejo.
Demostración. Por la observación anterior basta ver que si f, g ∈ L p (µ) entonces
f + g ∈ L p (µ). Como la función φ(t) = t p es convexa, se tiene que
y por tanto
� a + b
2
� p
≤ 1
2 ap + 1
2 bp , a, b ≥ 0,
(a + b) p ≤ 2 p−1 a p + 2 p−1 b p , a, b ≥ 0.
Así |f + g| p ≤ (|f| + |g|) p ≤ 2 p−1 |f| p + 2 p−1 |g| q , luego si f, g ∈ L p (µ) entonces
f + g ∈ L p (µ). ⊓⊔
Sea el subespacio vectorial N ⊂ Lp (µ) definido mediante
N := {f ∈ L p �
(µ) ; |f| p dµ = 0} = {f ∈ L p (µ) ; f = 0 µ − a.e }.
X
Nótese que f = g µ − a.e. si y solamente si f − g ∈ N.
Definición 2.3 Sea 1 ≤ p < ∞. El espacio vectorial L p (X) se define mediante
el cociente,
L p (X) := L p (µ)/N,
y la aplicación � · �p : L p (X) → [0, ∞) mediante la expresión
con f ∈ L p (X).
��
�f�p :=
X
|f| p � 1
p
dµ ,
Por definición, los elementos de Lp (X) son clases de equivalencia. De momento
para cada f : X → C con �
X |f|pdµ < ∞, denotaremos su clase por
[f] ∈ Lp (X). Las siguientes afirmaciones se cumplen.
(i) Una función g ∈ [f] si y solamente si f = g µ-a.e.
(ii) Si g ∈ [f] entonces �
X |f|pdµ = �
X |g|pdµ. A partir de ahora llamaremos a los elementos de L p (X) funciones, las manejaremos
teniendo en cuenta estas identificaciones y denotaremos las clases por
un elemento que pertenezca a ellas.
Si 1 < p < ∞, y q ∈ (1, +∞) tales que
1 1
+ = 1,
p q
los números p, q se dicen exponentes conjugados.

Definiciones y primeras propiedades 39
Teorema 2.4 Sean 1 < p < ∞, y q ∈ (1, +∞) su exponente conjugado,
(X, A, µ) un espacio de medida y f, g : X → [0, ∞] funciones µ-medibles.
Entonces se cumple
� ��
(i) fgdµ ≤
X
X
��
(ii)
(f + g)
X
p � 1
p
dµ
f p � 1
p
dµ
��
��
≤
X
X
f p dµ
g q � 1
q
dµ
� 1
p
(desigualdad de Hölder).
��
+ g
X
p � 1
p
dµ
(desigualdad de Minkowski).
Demostración.(i) Sean A = ��
X f p � 1 ��
p dµ y B = X gqdµ A = 0 ó B = 0 la desigualdad es trivial, al igual que si A = ∞ ó B = ∞. Por
tanto supongamos que 0 < A < ∞ y 0 < B < ∞.
Sean las funciones F (x) := 1
1
Af(x) y G(x) := B g(x). Si x ∈ X es tal que
0 < F (x) < ∞ y 0 < G(x) < ∞ entonces existen s, t ∈ R tales que
F (x) = e s
p , G(x) = e t
q .
� 1
q . En el caso en que
Al ser la función exponencial una función convexa y los exponentes p y q
conjugados, se tiene que
F (x)G(x) = e s t
p + q ≤ 1
p es + 1
q et = 1
p F (x)p + 1
q G(x)q .
Eliminando conjuntos de medida nula, se tiene integrando que
� �
�
1
F Gdµ =
F Gdµ ≤
X
0

40 Los espacios L p
de donde obtenemos la desigualdad de Minkowski
��
(f + g)
X
p � 1
p
dµ
concluyendo la demostración. ⊓⊔
��
≤
X
f p � 1 ��
p
dµ + g
X
p � 1
p
dµ ,
Corolario 2.5 Para todo 1 ≤ p < ∞ el espacio (L p (X), � · �p) es un espacio
normado.
Demostración. Basta comprobar que � · �p es una norma. Las condiciones
(i) y (ii) de la definición 1.1 se comprueban de forma directa, mientras que
la condición (iii) para el caso p > 1 es la desigualdad de Minkowski y es
inmediata para el caso p = 1. ⊓⊔
A continuación probaremos que el espacio (L p (X), � · �p) con 1 ≤ p < ∞
es un espacio normado completo.
Teorema 2.6 Para todo 1 ≤ p < ∞ el espacio (L p (X), � · �p) es un espacio
de Banach.
Demostración. Para probar la completitud del espacio (Lp (X), � · �p) empleamos
la Proposición 1.4. Sea (fj)j ⊂ Lp (X) tal que cumple que �
j �fj�p <
∞. Debemos probar que la serie �
j fj es convergente, es decir, existe
h ∈ Lp (X) tal que
�h −
n�
fj�p → 0 si n → ∞.
j=1
Para cada n ≥ 1 se definen las funciones gn : X → [0, ∞] y la función
g : X → [0, ∞] medibles mediante
gn(x) :=
n�
∞�
|fj(x)|, g(x) = |fj(x)|, x ∈ X.
j=1
j=1
Por la desigualdad de Minkowski, se tiene que
��
X
g p � 1
ndµ
p
= �
n�
n�
∞�
|fj| �p ≤ �fj�p ≤ �fj�p < ∞,
j=1
y como g(x) = limn g(x) para cada x ∈ X, por el Lema de Fatou [R2, Lema
1.28], se cumple que
�
g p �
dµ = lim inf g
n
p ⎛ ⎞
∞�
ndµ ≤ ⎝ �fj�p⎠
< ∞.
X
X
j=1
j=1
j=1

Definiciones y primeras propiedades 41
Por tanto g(x) < ∞ µ-a.e. . Definimos a continuación la función h : X → C,
mediante
∞�
h(x) = fk(x).
k=1
�n La función h esta bien definida µ-a.e., cumple que limn j=1 fj(x) = h(x),
µ-a.e., y
n�
|h(x) − fj(x)| p �
∞�
�p ≤ |fk(x)| ≤ g(x) p ,
j=1
µ-a.e. . Como �
X gpdµ < ∞, por el teorema de la convergencia dominada [R2,
Teorema 1.34],
�h −
⎛
n�
�
fj�p = ⎝
j=1
X
|h(x) −
n+1
n�
fj(x)| p ⎞
dµ ⎠
j=1
si n → ∞ y la serie �
j fj es convergente en L p (X). ⊓⊔
1
p
→ 0 1
p = 0,
Nota. En el caso en el 0 < p < 1 también es posible definir los espacios
vectoriales Lp (X), aunque en general no son espacios normados. Es posible
dar una métrica, d : Lp (X) × Lp (X) → [0, ∞), invariante por traslaciones,
�
d(f, g) := |f − g|dµ,
X
y (L p (X), d) es un espacio métrico completo. Sin embargo, L p (X) no contiene
conjuntos convexos propios, véase por ejemplo [R, section 1.47] y [Ce,
Observación V.1.2].
Para terminar esta sección daremos algunos ejemplos conocidos de espacios
L p (X).
Ejemplos. (1) Si X = N, A = P(N) y µ es la medida de contar, entonces
L p (N) = ℓ p con 1 ≤ p < ∞, definidos en la sección 1.1, Ejemplo (2). Nótese
que también coinciden las normas definidas: sea f : N → C, y
��
�f�p = |f(n)|
N
p dµ
� 1
p
=
� �
n
|f(n)| p
� 1
p
.
(2) Si X = Ω ⊂ R n , A = B(Ω), el conjuntos de los borelianos de Ω y µ
es la medida de Lebesgue en Ω entonces los espacios L p (Ω) son los espacios
estándar de Lebesgue con la norma
��
�f�p = |f(t)|
Ω
p dt
� 1
p
.

42 Los espacios L p
Un caso concreto de este ejemplo es el siguiente.
(3) Sean X = [−π, π], A = B([−π, π]) y µ la medida de Lebesgue normalizada.
Los espacios L p ([−π, π]) son los espacios estándar de Lebesgue con la norma
�f�p =
�� π
|f(t)|
−π
p dt
2π
� 1
p
.
A menudo se identifican los puntos −π y π en el intervalo [−π, π], se escribe
entonces [−π, π) = {z ∈ C ; |z| = 1} = T y se consideran los espacios L p (T).
Nótese que si Cp([−π, π]) es el espacio de Banach introducido en la sección
1.5,
Cp([−π, π]) = {f ∈ C([−π, π]) ; f(−π) = f(π)},
entonces Cp([−π, π]) ⊂ L p (T) con 1 ≤ p < ∞.
(4) Si (X, A, µ) es un espacio de medida, el espacio L 2 (X) además de ser un
espacio de Banach es un espacio de Hilbert (véase el capítulo 4) cuyo producto
escalar 〈 , 〉 : L 2 (X) × L 2 (X) → C se define mediante
2.2 El espacio L ∞
�
〈f, g〉 :=
X
fgdµ, f, g ∈ L 2 (X).
Sean (X, A, µ) un espacio de medida y f : X → C una función continua.
Notemos que la norma � · �∞ definida mediante
�f�∞ = sup |f(x)|,
x∈X
puede modificarse al variar f en un conjunto de µ-medida nula. Para evitar
este hecho, se introduce la siguiente definición.
Definición 2.7 Sean f : X → C medible y K ≥ 0. Se dice que K es una cota
esencial de f si
|f(x)| ≤ K µ-a.e .
Se llama supremo esencial de f al ínfimo de las cotas esenciales de f y se
escribe �f�∞.
Nótese que K es cota esencial de f si y sólo si
µ({x ∈ X ; |f(x)| > K}) = 0.
A continuación probamos algunas propiedades sobre el supremo esencial.
Proposición 2.8 Sean f, g : X → [0, ∞] medibles y K ∈ [0, ∞). Se tiene que

El espacio L ∞
(i) |f(x)| ≤ �f�∞ µ-a.e.;
(ii) |f(x)| ≤ K µ-a.e. si y sólo si �f�∞ ≤ K;
(iii) si f = g µ-a.e. entonces �f�∞ = �g�∞;
(iv) si N ⊂ X y µ(N) = 0 entonces �f�∞ ≤ sup x�∈N |f(x)|;
(v) existe N ⊂ X tal que µ(N) = 0 y
�f�∞ = sup |f(x)|.
x�∈N
Demostración. (i) Para cada n ≥ 1 se cumple que �f�∞ + 1
n es una cota
esencial de f y por la observación anterior
Como se cumple que
µ({x ∈ X ; |f(x)| > �f�∞ + 1
}) = 0.
n
{x ∈ X ; |f(x)| > �f�∞} = �
{x ∈ X ; |f(x)| > �f�∞ + 1
n }
n=1
entonces µ({x ∈ X ; |f(x)| > �f�∞}) = 0, es decir, |f(x)| ≤ �f�∞ µ-a.e. .
La parte (ii) se demuestra usando la definición de cota esencial y de
supremo esencial. La prueba de (iii) es inmediata. Para demostrar (iv) podemos
aplicar (ii) con K = sup x�∈N |f(x)|. Por último, sea el conjunto
N = {x ∈ X ; |f(x)| > �f�∞}.
Por el apartado (i) se cumple que µ(N) = 0 y por (iv) �f�∞ ≤ sup x�∈N |f(x)|.
Por la definición de N se obtiene que
y se concluye la igualdad. ⊓⊔
sup |f(x)| ≤ �f�∞,
x�∈N
Los conceptos de cota esencial y de supremo esencial extienden a conceptos
ya conocidos para funciones continuas.
Lema 2.9 Sean f : [a, b] → C continua y K ≥ 0. Entonces
(i) K es cota esencial de f si y sólo si |f(x)| ≤ K para todo x ∈ [a, b];
(ii)el supremo esencial de f es el supremo de f en [a, b],
�f�∞ = sup |f(x)| = max
x∈[a,b]
x∈[a,b] |f(x)|.
Demostración. Para probar (i) sea x0 ∈ [a, b] tal que |f(x0)| > K. Por continuidad
existe ε > 0 tal que
|f(x)| > K, x ∈ [x0 − ε, x0 + ε].
43

44 Los espacios L p
Por tanto
µ({x ∈ X ; |f(x)| > K}) ≥ µ([x0 − ε, x0 + ε]) > 0,
llegando a contradicción. La afirmación recíproca es trivial.
La parte (ii) se deduce de (i) trivialmente. ⊓⊔
Definición 2.10 Sea (X, A, µ) un espacio de medida. El espacio L ∞ (µ) se
define mediante
L ∞ (µ) := {f : X → C medible ; �f�∞ < ∞}.
Al ser L ∞ (µ) un espacio vectorial y el conjunto
N = {f : X → C medible ; f = 0 µ − a.e.}
un subespacio, el espacio cociente se define mediante L ∞ (X) := L ∞ (µ)/N.
A continuación probamos que (L ∞ (X), � · �∞) es un espacio de Banach.
Teorema 2.11 El espacio (L ∞ (X), � · �∞) es un espacio de Banach.
Demostración. Comprobemos primero que � · �∞ es una norma. Es claro que
�f�∞ ≥ 0 y si �f�∞ = 0 entonces f(x) = 0 µ-a.e. y por tanto f = 0 en
L ∞ (X).
Sean f, g ∈ L ∞ (X). Entonces se tiene que |f(x)| ≤ �f�∞ y |g(x)| ≤ �g�∞
µ-a.e. por la Proposición 2.8 (i). Por tanto
|f(x) + g(x)| ≤ |f(x)| + |g(x)| ≤ �f�∞ + �g�∞, µ − a.e.,
y �f + g�∞ ≤ �f�∞ + �g�∞ (Proposición 2.8 (ii)).
Sean 0 �= λ ∈ C y f ∈ L ∞ (X). Se tiene que
|(λf)(x)| = |λ||f(x)| ≤ |λ|�f�∞, µ − a.e.,
y por tanto �λf�∞ ≤ |λ|�f�∞ (Proposición 2.8 (ii)). Aplicando esta desigualdad
se tiene que
�f�∞ = � 1
λ (λf)�∞ ≤ 1
|λ| �λf�∞,
obteniendo la igualdad �λf�∞ = |λ|�f�∞. Si λ = 0 es inmediata la igualdad.
Para terminar veamos que (L ∞ (X), � · �∞) es completo. Sea (fn)n una
sucesión de Cauchy en L ∞ (X). Para cada n, m ≥ 1 existe Nn,m ⊂ X tal que
µ(Nn,m) = 0 y además
�fn − fm�∞ = sup |fn(x) − fm(x)|.
x�∈Nn,m
Sea N = ∪n,mNn,m que cumple que µ(N) = 0 y

Los espacios L p de medida finita y las funciones de distribución 45
|fn(x) − fm(x)| ≤ �fn − fm�∞, x /∈ N.
Entonces la sucesión (fn)n es uniformemente de Cauchy en X\N y por lo
tanto (fn)n es uniformemente convergente en X\N. Sea f(x) := limn fn(x) si
x /∈ N y f(x) = 0 si x ∈ N. Se tiene que
�fn − f�∞ ≤ sup |fn(x) − fm(x)| → 0, n → ∞,
x�∈N
concluyendo la demostración. ⊓⊔
Para terminar, señalamos algunos ejemplos conocidos de espacios L ∞ (X).
Ejemplos. (1) Si X = N, A = P(N) y µ es la medida de contar entonces
L ∞ (N) = ℓ ∞ definido en la sección 1.1. (el espacio de la sucesiones acotadas).
Nótese que también coinciden las normas definidas: dada f : N → C,
�f�∞ = sup{|f(n)|}.
n
(2) Sean X = Ω ⊂ R n , A = B(Ω) y µ la medida de Lebesgue. El espacio
L ∞ (Ω) es el espacio estándar de Lebesgue con la norma
�f�∞ = supess x∈Ω|f(x)|.
2.3 Los espacios L p de medida finita y las funciones de
distribución
Sea (X, A, µ) un espacio de medida. Se dice que X es de medida finita si
µ(X) < ∞ y σ-finito si existe (Xn)n≥1 tal que X = ∪nXn y µ(Xn) < ∞
para todo n ≥ 1 [Ce, p.52]. Un ejemplo de espacio de medida finita es [−π, π]
y de medida σ-finita R, ambos con la medida de Lebesgue.
Proposición 2.12 Sean (X, A, µ) un espacio de medida finita y 1 ≤ p ≤ q ≤
∞. Entonces
L ∞ (X) ↩→ L q (X) ↩→ L p (X) ↩→ L 1 (X).
Demostración. La primera inclusión L∞ (X) ⊂ Lq (X) es directa ya que si
f ∈ L∞ (X) entonces |f(x)| ≤ �f�∞ µ-a.e., y
�
|f(x)| q dµ(x) ≤ �f� q �
∞ dµ(x) = �f� q ∞µ(X),
X
es decir, �f�q ≤ µ(X) 1
q �f�∞ y f ∈ L q (X).
X

46 Los espacios L p
Si f ∈ Lq (X) con q < ∞ y 1 ≤ p < q entonces, aplicando Hölder con el
), se tiene que
par ( q
p ,
q
q−p
�
X
|f(x)| p ��
dµ(x) ≤
X
Por tanto �f�p ≤ µ(X) 1 1
p − q �f�q y f ∈ Lp (X). ⊓⊔
|f(x)| q � p
q
dµ(x)
�� � q−p
q
1dµ(x) ≤ �f�
X
p qµ(X) q−p
q .
Nota. En la proposición anterior hemos probado que si 1 ≤ p ≤ q ≤ ∞,
entonces
�f�p ≤ µ(X) 1 1
p − q �f�q.
entendiendo por 1
∞ = 0. En general la Proposición 2.12 es falsa si µ(X) = ∞,
como se muestra en el siguiente ejemplo (2).
Ejemplos. (1) Sea X = (0, 1) con la medida de Lebesgue y sea fs(x) = 1
xs con s > 0. Se cumple que fs ∈ Lp ((0, 1)) si y sólo si 1
p > s. Este ejemplo
muestra que los contenidos de la Proposición 2.12 son estrictos.
(2) Sea X = (1, ∞) con la medida de Lebesgue y sea fs(x) = 1
xs con s > 0.
Se cumple que fs ∈ Lp ((1, ∞)) si y sólo si 1
p < s. Si p < q basta tomar s con
1 1
> s >
p q
para que fs ∈ L q ((1, ∞) y fs �∈ L p ((1, ∞).
Sin embargo se cumple el siguiente resultado.
Proposición 2.13 Si 1 ≤ p ≤ q ≤ ∞, entonces
ℓ 1 ↩→ ℓ p ↩→ ℓ q ↩→ ℓ ∞ .
Demostración. Sea x ≡ (xn) ∈ ℓ p con 1 ≤ p ≤ ∞. Entonces se cumple que
|xn| ≤ �x�p, para todo n ≥ 1.
Por tanto si q ≥ p, se tiene que
�x� q q = �
|xn| q = �
|xn| p |xn| q−p ≤ �x� q−p
�
p |xn| p = �x� q p
n≥1
n≥1
y por tanto �x�q ≤ �x�p. ⊓⊔
Para terminar esta sección introducimos las funciones de distribución de
funciones medibles. Sean (X, A, µ) un espacio de medida y f : X → C una
función medible. Entonces el conjunto
{x ∈ X ; |f(x)| > t} ∈ A,
para todo t ≥ 0 y la siguiente definición tiene sentido.
n≥1

Los espacios L p de medida finita y las funciones de distribución 47
Definición 2.14 Sea (X, A, µ) un espacio de medida y f : X → C una
función medible. Se llama función de distribución de f, λf : [0, ∞) → [0, ∞)
a la función definida mediante
λf (t) = µ({x ∈ X ; |f(x)| > t}), t ∈ [0, ∞).
Nota. La función de distribución es una función real de variable real para
toda función medible.
Para funciones que pertenecen a L p (X) se cumplen las siguientes propiedades.
Teorema 2.15 Sea (X, A, µ) un espacio de medida σ-finito. Sean 1 ≤ p < ∞,
f : X → C medible con f ∈ L p (X) y λf su función de distribución. Se cumple
que
(i) λf (t) ≤ 1
t p �f�p p para todo t > 0;
(ii) lim
t
t→∞ p λf (t) = 0;
� ∞
(iii)�f� p p =
0
pt p−1 λf (t)dt.
Demostración. Para probar (i) consideramos el conjunto
para t ≥ 0. Se tiene que
λf (t) = µ(E t �
) =
�
=
E t = {x ∈ X ; |f(x)| > t},
E t
{x∈X ; 1< |f(x)|
t }
�
dµ(x) =
dµ(x) ≤
para todo t ≥ 0. Por otra parte se cumple que
{x∈X ; |f(x)|>t}
�
|f(x)| p
t p χEt(x) ≤ |f(x)|pχE t(x), x ∈ X,
y por tanto se obtiene que
t p �
λf (t) = χEt(x)tp �
dµ(x) ≤
X
Fijado x ∈ X, se tiene que
X
X
t p
dµ(x)
dµ(x) = �f�pp ,
tp |f(x)| p χE t(x)dµ(x).
|f(x)| p χE t(x) = |f(x)|p χ {(x,t) ; |f(x)|>t}(x, t) → 0
si t → ∞. Como |f(x)| p χE t(x) ≤ |f(x)|p , por el teorema de la convergencia
acotada, se demuestra que

48 Los espacios L p
�
lim
t→∞
|f(x)| p χEt(x)dµ(x) = 0,
X
y por lo tanto limt t p λf (t) = 0, es decir la parte (ii).
Por último para probar (iii), sea E el conjunto definido por
E := {(x, t) ∈ X × [0, ∞) ; |f(x)| > t}.
El conjunto E es A ⊗ B([0, ∞))-medible, y la función t → µ(Et ) = λf (t) es
medible. Por el teorema de Fubini y por la igualdad χE(x, t) = χ [0,|f(x)|)(t)
se tiene que
�
p t
[0,∞)
p−1 �
λf (t)dt = pt
[0,∞)
p−1
�
χE(x, t)dµ(x)dt
� �
X
= pt p−1 �
χ [0,|f(x)|)(x, t)dtdµ(x) = |f(x)| p dµ(x) = �f� p p,
X
[0,∞)
con lo que se concluye la prueba. ⊓⊔
2.4 Densidad en L p
En esta sección demostramos los dos resultados siguientes. Sea (X, A, µ) un
espacio de medida. Las siguientes afirmaciones se cumplen.
(i) El conjunto de las funciones simples que pertenecen a L p (X) es denso en
L p (X) con 1 ≤ p ≤ ∞, (Teorema 2.16 y Teorema 2.17).
(ii) El conjunto de las funciones continuas de soporte compacto es denso en
L p (X) con 1 ≤ p < ∞, (Teorema 2.19).
Recordemos que una función simple, s : X → C, es una combinación lineal
de funciones características de conjuntos medibles, ([Ce, p. 50]). Toda función
simple s se puede escribir de la forma
s =
n�
j=1
αjχEj ,
donde Ej ∩ Ek = ∅ si j �= k, αj �= 0, Ej ∈ A, para todo 1 ≤ j ≤ n. Debido a
la anterior igualdad es fácil probar que
|s| p =
n�
j=1
|αj| p χEj ,
y por tanto s ∈ L p (X) con 1 ≤ p < ∞ si y sólo si µ(Ej) < ∞ para todo
1 ≤ j ≤ ∞, esto es, la función s es integrable, s ∈ L 1 (X). Por otra parte toda
función simple y medible s pertenece a L ∞ (X).
X

Densidad en L p
Teorema 2.16 El conjunto de las funciones simples y medibles es denso en
L ∞ (X).
Demostración. Sea f ∈ L ∞ (X). Tenemos que probar que existe (sn)n una
sucesión de funciones simples y medibles tal que �f − sn�∞ → 0 si n → ∞.
Para toda función positiva y medible, f : X → [0, ∞], existe una sucesión
de funciones simples y medibles (sn)n≥1 tal que
(i) 0 ≤ s1 ≤ s2 ≤ . . . sn ≤ . . . ≤ f;
(ii) se cumple que f(x) = limn sn(x) para todo x ∈ X;
(iii) el límite anterior es uniforme en {x ∈ X ; f(x) �= ∞}.
Véase por ejemplo [Ce, Teorema II.2.1].
En el caso en que f ∈ L ∞ (X) y f ≥ 0 la sucesión (sn)n dada en el resultado
anterior cumple que �f − sn�∞ → 0. Si f ∈ L ∞ (X) y f : X → C, entonces
f se puede escribir de la forma f = f1 − f2 + i(f3 − f4) con fj : X → [0, ∞),
fj ∈ L ∞ (X), 1 ≤ j ≤ 4. Aplicando el caso anterior, existen cuatro sucesiones
de funciones simples (s (j)
n )n, 1 ≤ j ≤ 4, tales que
�
�f − s (1)
n − s (2)
n − i(s (3)
n − s (4)
�
n ) �∞ → 0
si n → ∞, terminando así la demostración. ⊓⊔
Usando ideas similares se demuestra el siguiente resultado
Teorema 2.17 El conjunto de las funciones simples, medibles e integrables
es denso en L p (X) con 1 ≤ p < ∞.
Demostración. Sea f ∈ L p (X) con 1 ≤ p < ∞ y f ≥ 0. Por la demostración del
Teorema 2.16, existe una sucesión de funciones simples (sn)n ((sn)n ⊂ L p (X)
con 1 ≤ p) tal que sn(x) ≤ f(x) para todo n ≥ 1 y
lim n sn(x) = f(x),
para todo x ∈ X. Como |f(x) − sn(x)| p ≤ 2|f(x)| p , por el teorema de la
convergencia dominada se tiene que
�f − sn� p �
p ≤ |f(x) − sn(x)| p dµ(x) → 0,
X
si n → ∞. En el caso f : X → C procedemos de igual forma que en la
demostración del Teorema 2.16. ⊓⊔
Sea (X, τ) un espacio topológico de Hausdorff y localmente compacto,
(véase definiciones en la sección 1.1). Denotamos por B(X) a la σ-álgebra
engendrada por los abiertos de X y los elementos de B(X) se llaman borelianos
de X ([Ce, p.49]). Una medida µ : B(X) → [0, ∞] se dice regular si
(i) para todo compacto K ⊂ X, se tiene µ(K) < ∞;
49

50 Los espacios L p
(ii) para todo E ∈ B(X) con µ(E) < ∞ y ε > 0, existe V un abierto y K un
compacto tales que K ⊂ E ⊂ V , y µ(V \K) < ε.
Si f : X → C es una función definida en el espacio topológico X, se llama
soporte de f, sop(f), al conjunto definido mediante
sop(f) := {x ∈ X ; f(x) �= 0}.
Por el último se denota por Cc(X) el conjunto
Cc(X) := {f : X → C ; f continua y de soporte compacto}.
El siguiente resultado topológico se enuncia sin demostración, véase [R2,
Teorema 2.12].
Lema 2.18 (Lema de Urysohn) Sean (X, τ) un espacio de Hausdorff topológico
localmente compacto, V un abierto y K un compacto con K ⊂ V . Entonces
existe f ∈ Cc(X) tal que
χK ≤ f ≤ χV .
Teorema 2.19 Sean X un espacio topológico de Hausdorff localmente compacto
y (X, B(X), µ) un espacio de medida con µ una medida regular. Entonces
se cumple que Cc(X) es denso en L p (X) si 1 ≤ p < ∞.
Demostración. Supongamos primero que f = χE ∈ Lp (X) con 1 ≤ p < ∞ y
E ∈ B(X). Sea ε > 0. Como µ(E) < ∞ y µ es regular existen un K compacto
y un V abierto tales que K ⊂ E ⊂ V y
�
ε
�p µ(V \K) < .
2
Por el lema de Urysohn, existe φ ∈ Cc(X) tal que χK ≤ φ ≤ χV . Por tanto
�f − φ�p ≤ �f − χK�p + �χK − φ�p =
� �
dµ
� 1
p
E\K
≤ µ(E\K) 1
p + µ(V \K) 1
p ≤ 2µ(V \K) 1
p < ε.
Sea ahora f una función simple e integrable,
f =
n�
i=1
αiχEi
+
� �
V \K
|φ| p dµ
con Ei ∈ B(X), µ(Ei) < ∞, 0 �= αi ∈ C para 1 ≤ i ≤ n. Tomemos ε > 0. Por
el párrafo anterior para cada i = 1, . . . n, existen φi ∈ Cc(X) tales que
Sea ahora φ = � n
i=1 αiφi ∈ Cc(X) y
�χEi − φi�p < ε
n|αi| .
� 1
p

Densidad en L p
�f − φ�p = �
n�
αi(χEi − φi)�p ≤
i=1
n�
|αi|�χEi − φi�p < ε.
Por último sea f ∈ L p (X) y ε > 0. Por el Teorema 2.17 existe s, función
simple e integrable, tal que
i=1
�f − s�p < ε
2 .
Por el párrafo anterior, existe φ ∈ Cc(X) tal que �s − φ�p < ε
2 . Por la desigualdad
triangular se tiene que �f − φ�p < ε. ⊓⊔
Para terminar esta sección, nos interesamos sobre la clausura de Cc(X) en
L ∞ (X), donde X es un espacio topológico de Hausdorff localmente compacto.
Recordemos que un espacio topológico de Hausdorff localmente compacto admite
una compactificación al añadir un punto (que a menudo se denota ∞)
denominada compactificación de Alexandroff, [ADQ, Corolario 13.10]. Se define
el espacio vectorial C0(X) mediante
C0(X) := {f ∈ C(X); ∀ε > 0 ∃ K ⊂ X compacto tal que |f(x)| < ε si x �∈ K}.
A menudo la condición de la definición se escribe como limx→∞ f(x) = 0. Es
claro que C0(X) ⊂ L ∞ (X) y además
�f�∞ = max |f(x)|, f ∈ C0(X).
x∈X
Teorema 2.20 El espacio (C0(X), � · �∞) es un espacio de Banach.
Demostración. Ya hemos comentado que C0(X) es un subespacio vectorial de
L ∞ (X) y por tanto es un espacio normado. Basta ver que es completo.
Sea (fn)n ⊂ C0(X) una sucesión de Cauchy. Entonces (fn)n es uniformemente
de Cauchy en X y, por ser C completo, la sucesión es uniformemente
convergente a f ∈ C(X). Falta comprobar que f ∈ C0(X). Sea ε > 0. Como
fn → f uniformemente en X, existe n ∈ N tal que
|fn(x) − f(x)| < ε
, para todo x ∈ X.
2
Fijado n, existe K ⊂ X tal que |fn(x)| < ε
2 para todo x �∈ K. Por lo tanto
|f(x)| < ε para todo x �∈ K. ⊓⊔
Nota. Al ser L ∞ (X) un espacio de Banach, C0(X) ⊂ L ∞ (X) y por el Teorema
2.20 el espacio C0(X) es completo entonces C0(X) es cerrado.
Teorema 2.21 La clausura de Cc(X) en � · �∞ es igual a C0(X).
Demostración. Es claro que
Cc(X) �·�∞
⊂ C0(X).
51

52 Los espacios L p
Sean ahora f ∈ C0(X) y ε > 0. Entonces existe K ⊂ X compacto tal que
|f(x)| < ε si x �∈ K. Por el lema de Urysohn existe φ ∈ Cc(X) tal que
χK ≤ φ ≤ χV con V un abierto cualquiera tal que K ⊂ V . Definimos h := φf,
h ∈ Cc(X) y cumple
�
0 si x ∈ K,
|f(x) − h(x)| = |f(x) − f(x)φ(x)| = |f(x)||1 − φ(x)| =
ε si x �∈ K.
Por tanto �f − h�∞ < ε. Nótese además que sop(h) ⊂ sop(φ). ⊓⊔
2.5 Dualidad en L p
Nos proponemos en esta última sección probar que (L p (X)) ′ � L q (X) con
1 ≤ p < ∞ , donde (p, q) es un par de exponentes conjugados. Se sigue el
convenio que si p = 1, entonces q = ∞. Recuérdese la definición de espacio
dual que se dió en Definición 1.7:
(L p (X)) ′ = {T : L p (X) → C ; T es continua y lineal }.
Enunciamos el teorema para el caso σ-finito, dejando como ejercicio (Ejercicio
2.8) suprimir la condición σ-finito, (véase por ejemplo [Ce, p. 190]). Aunque
existen otras demostraciones que no utilizan el Teorema de Radon-Nikodym
([V, section 8.9]) seguimos la demostración presentada en [R2, Theorem 6.16].
Teorema 2.22 Sea (X, A, µ) un espacio σ-finito. Sean 1 ≤ p < ∞ y 1 < q ≤
∞ con
1 1
+ = 1
p q
si 1 < p < ∞ y q = ∞ si p = 1. Entonces (L p (X)) ′ � L q (X).
Demostración. Definimos la aplicación Φ : Lq (X) → (Lp (X)) ′ , f ↦→ Φf , mediante
�
Φf (g) = fgdµ, f ∈ L q (X), g ∈ L p (X).
X
Probaremos que Φ está bien definida, es lineal, �Φ� = 1, (por lo tanto es
continua e inyectiva), y es sobreyectiva. Al ser Lq (X) y (Lp (X)) ′ espacios de
Banach, se concluye que Φ es un isomorfismo isométrico, (Corolario 3.25).
Sea f ∈ Lq (X) y g ∈ Lp (X) con 1 ≤ p < ∞ y 1 1
p + q = 1. Por la
desigualdad de Hölder, (Teorema 2.4) en el caso 1 < p < ∞ (y si p = 1, es
directo), fg ∈ L1 (X) y por tanto Φf (g) ∈ C. Es más
� �
|Φf (g)| = | fgdµ| ≤ |f| |g|dµ ≤ �f�q�g�p.
X
Al ser claramente Φf lineal, entonces Φf es continua, Φf ∈ (L p (X)) ′ y �Φf � ≤
�f�q.
X

Dualidad en L p
Es directo comprobar que Φ es lineal. Comprobamos que �Φf � ≥ �f�q
para todo f ∈ Lq (X) y concluimos que �Φ� = 1.
Sea 0 �= f ∈ Lq (X). Para cada α ∈ C, existe β ∈ C con |β| = 1 tal que
αβ = |α| (basta tomar β = |α|
α si α �= 0 y β = 1 si α = 0). Usando esta idea
se define h : X → C tal que |h(x)| = 1 y f(x)h(x) = |f(x)| para todo x ∈ X.
Entonces h es medible ya que
h = χ {x ; f(x)=0} + |f|
f χ {x ; f(x)�=0}
y h ∈ L∞ (X). Si q = ∞, Φf (h) = �
X |f|dµ = �f�1 y por tanto �Φf � ≥ �f�
para todo f ∈ L∞ (X).
Si 1 < q < ∞, definimos g = |f| q−1h, (nótese que fg = |f| q ). Como
p(q − 1) = q, entonces |g| p = |f| q y por tanto �g�p p = �f�q q. Como
se tiene que
�
Φf (g) =
X
�
gfµ =
q
X
|f| q = �f� q q
|Φf (g)|
=
�g�p
�f�qq q = �f�q,
p
�f�
de donde se deduce que �Φf � ≥ �f� para todo f ∈ L q (X).
A continuación probamos la sobreyectividad de Φ. Para ello consideramos
primero el caso en que µ sea finito y después el caso en que µ sea σ-finito.
Sean µ(X) < ∞ y 0 �= T : L p (X) → C lineal y continuo con 1 ≤ p < ∞.
Definimos ϑ : A → C mediante la igualdad
ϑ(E) = T (χE), E ∈ A.
La aplicación ϑ está bien definida ya que
|ϑ(E)| = |T (χE)| ≤ C�χE�p = Cµ(E) 1
p < ∞.
Probemos que ϑ es una medida compleja, es decir, si (En)n ⊂ A siendo
disjuntos dos a dos y E = �
n En, entonces se cumple que
ϑ(E) = �
ϑ(En)
([Ce, p.144]). Al ser (En)n disjuntos dos a dos se tiene que χE = �
n χEn en
L p (X), ya que por el teorema de la convergencia dominada
�
Por lo tanto se tiene que
n
χEn = lim N
N�
n=1
n
χEn en L p (X).
53

54 Los espacios L p
ϑ(E) = T (χE) = lim N
N�
T (χEn) = lim
N
n=1
N�
∞�
ϑ(En) = ϑ(En).
Además ϑ es absolutamente continua respecto de µ, ϑ

Dualidad en L p
�
T (s) =
X
sfdµ
para toda función s simple y medible. Por densidad (Teorema 2.17) se concluye
que
�
T (g) = gfdµ, g ∈ L 1 (X).
X
Si 1 < p < ∞ y q es su exponente conjugado, veamos que f ∈ Lq (X) y
�
T (g) = fgdµ, g ∈ L p (X).
X
Para cada n ∈ N, tomamos En = {x ∈ X ; |f(x)| ≤ n}. Nótese que
limn χEn(x) = 1 para todo x ∈ X y por el teorema de la convergencia
monótona se cumple que
�
|f| q �
dµ = lim
n
χEn|f| q �
dµ = lim
n
|f| q dµ.
X
X
Sea h : X → C tal que |h(x)| = 1 para todo x ∈ X y que cumple fh = |f|.
Definimos las funciones hn = χEn|f| q−1 h. Es claro que hn ∈ L ∞ (X) ↩→ L p (X)
y que además hnf = χEn|f| q . Por tanto
�
En
|f| q ��
dµ = T (hn) ≤ �T � χEn|f|
X
p(q−1) � 1 ��
p
dµ = �T � |f|
En
q � 1
p
dµ ,
de donde se deduce que
��
En
|f| q � 1 1− p
dµ ≤ �T �,
es decir, que f ∈ Lq (X) y �f�q ≤ �T �. Entonces la aplicación Φf : Lp (X) → C
es lineal, continua y cumple
�
T (s) = sfdµ,
para toda función s simple y medible. Por densidad (Teorema 2.17) se concluye
que
�
T (g) = gfdµ, g ∈ L p (X).
X
Concluimos la demostración con el caso σ-finito. Sean X = ∪n≥1An con
µ(An) < ∞, An ⊂ An+1 para todo n ≥ 1 y 0 �= T : L p (X) → C lineal y
continuo con 1 ≤ p < ∞. Para cada n, definimos Tn : L p (An) → C mediante
X
Tn(g) := T (gχAn).
En
55

56 Los espacios L p
La aplicación Tn está bien definida (ya que gχAn ∈ L p (X)), es lineal y cumple
que
|Tn(g)| ≤ �T � �gχAn� L p (X) = �T � �g� L p (An).
Luego Tn es continua y �Tn� ≤ �T � para todo n ∈ N. Por el caso anterior
existe fn ∈ Lq (An) tal que
�
T (gχAn) = Tn(g) = fngdµ, g ∈ L p (An),
An
y �fn�q ≤ �Tn�. Veamos que fn = fn+1 µ-a.e. en An. Para ello basta demostrar
que � �
fndµ = fn+1dµ
E
para todo E ⊂ An medible. Entonces
� �
�
fndµ = fnχEdµ = T (χEχAn ) = T (χEχAn+1 ) =
E
An
E
E
fn+1dµ.
Definimos f(x) := fn(x) si x ∈ An. Por lo anterior está bien definido y si
1 < p < ∞,
�
|f| q �
dµ = lim
n
|f| q �
dµ = lim
n
χAn|f| q dµ ≤ �T � q .
X
An
Luego f ∈ Lq (X); el caso p = 1 es directo. Sea g ∈ Lp (X). Como g =
limn gχAn en Lp (X), se tiene que
�
� �
T (g) = lim T (gχAn) = lim
n n
fngdµ = lim
n
fgdµ = fgdµ,
donde hemos aplicado el teorema de la convergencia dominada. ⊓⊔
An
Notas. Nótese que para p = 2 entonces q = 2 y el dual de L 2 (X) es isomorfo
a L 2 (X). El espacio L 2 (X) es un ejemplo particularmente importante de espacios
de Hilbert. A ellos dedicaremos la segunda parte de esta asignatura.
Usando las mismas ideas que en la demostración del teorema anterior se
prueba que L 1 (X) ⊂ (L ∞ (X)) ′ y además el contenido es estricto. El dual
de L ∞ (X) se puede identificar con el conjunto de las medidas finitamente
aditivas (véase por ejemplo [Ce, Ejercicio 5.2.8]).
X
An
X

Ejercicios 57
Ejercicios
(2.1) Sean (X, A, µ) un espacio de medida y 1 < p < ∞. Si f ∈ Lp (X)
pruébese que existe una única g ∈ Lq tal que
�
�f�p = fgdµ,
donde 1 1
p + q = 1.
(2.2) Sean (X, A, µ) un espacio de medida, 1 ≤ p ≤ ∞ y q su exponente
conjugado. Sea g una función medible tal que
Pruébese que g ∈ L q (X).
X
fg ∈ L 1 (X), f ∈ L p (X).
(2.3) Sean (X, A, µ) un espacio de medida finita y 0 �= f ∈ L ∞ (X). Pruébese
que:
(i) limp→∞ �f�p �
= �f�∞;
X (ii)
|f|n+1dµ �
X |f|ndµ ≤ �f�∞ para todo n ∈ N;
�
X (iii)limn→∞
|f|n+1dµ �
X |f|n = �f�∞.
dµ
(2.4) Sea µ(X) = 1. Pruébese que si f es una función medible tal que �f�∞ =
�f�1 < ∞, entonces |f| es constante µ-a.e. .
(2.5) Sean r, p, q ∈ [1, ∞) tales que 1
r
g ∈ L q (X) entonces fg ∈ L r (X) y
1 1 = p + q . Pruébese que si f ∈ Lp (X) y
�fg�r ≤ �f�p�g�q.
(2.6) Sean 1 ≤ r < s ≤ ∞, p ∈ [r, s] y (X, A, µ) un espacio de medida.
(i) Pruébese que L r (X) ∩ L s (X) ⊂ L p (X) y si f ∈ L r (X) ∩ L s (X) entonces
donde 1
p
= α 1
r
�f�p ≤ �f� α r �f� 1−α
s ,
+ (1 − α) 1
s . Dedúzcase que �f�p ≤ max{�f�r, �f�s}.
(ii) Demúestrese que L p (X) ⊂ L r (X) + L s (X).
(iii) Encuéntrese algún ejemplo que demuestre que los contenidos
pueden ser estrictos.
L r (X) ∩ L s (X) ⊂ L p (X) ⊂ L r (X) + L s (X)

58 Los espacios L p
(2.7) Sea µ(X) = 1. Demuéstrese que para todo par de funciones f y g
medibles y positivas sobre X y tales que fg ≥ 1 se tiene que
�� � �� �
fdµ gdµ ≥ 1.
X
(2.8) Sean (X, A, µ) un espacio de medida, 1 < p < ∞ y q su exponente
conjugado. Pruébese que (L p (X)) ′ � L q (X).
(2.9) Sea ((0, +∞), B((0, +∞)), m) donde m es la medida de Lebesgue en
(0, +∞) y 1 < r < s < +∞. Averigüese para qué valores de p ∈ [1, +∞] la
función
está en L p ((0, +∞)).
1
x 1
r
X
χ ((0,1)) + 1
x 1 χ ([1,+∞))
s
(2.10) Pruébese que la función Gamma de Euler, Γ : (0, +∞) → (0, +∞),
Γ (t) =
� ∞
e
0
−x x t−1 dx, t > 0,
es logarítmicamente convexa, es decir, log Γ (t) es convexa:
log Γ ((1 − α)t + αs) ≤ (1 − α) log Γ (t) + α log Γ (s), α ∈ [0, 1], s, t > 0.

Notas históricas 59
2.6 Notas históricas
Existen varios precedentes de la medida de Lebesgue de un subconjunto de la
recta real. Uno de los más cercanos es el llamado contenido de un conjunto,
introducido por C. Jordan en su libro “Cours d’analyse” en la década 1880-
1890. Los contenidos exterior e interior de un conjunto acotado A ⊂ R son,
respectivamente,
y
N�
N�
ce(A) = inf{ l(Ik) ; A ⊂ Ik, Ik intervalos disjuntos }
k=1
k=1
k=1
N�
N�
ci(A) = sup{ l(Ik) ; A ⊃ Ik, Ik intervalos disjuntos }.
k=1
Se dice que A es un conjunto medible Jordan si se cumple ce(A) = ci(A), y
este valor comúm es el contenido c(A).
A partir de 1900 Henri Lebesgue elaboró su teoría de la medida en su
tesis que publicó en el artículo “Intégrale, longueuer, aire” de 1902. En ella
define una función de conjuntos |A| ≥ 0 sobre conjuntos acotados de la recta,
numerablemente aditiva e invariante por traslaciones. Siguió el concepto del
contenido de Jordan pero admitiendo uniones numerables de intervalos en las
definiciones de su medida exterior y de su medida interior.
El propio H. Lebesgue (1910), J Radon (1913), M. Frechét (1913) y C.
Carathéodory (1914) fueron extendiendo las ideas iniciales hasta construir la
teoría general de la medida conocida actualmente.
En 1910 F. Riesz introduce y estudia las propiedades de los espacios L p ,
entre ellas la desigualdad de Hölder, la completitud y la dualidad. Las desigualdades
de Hölder y de Schwarz (Hölder para p = 2) tienen una larga e
interesante historia. La desigualdad de Schwarz para R 3 puede ser atribuida
a Lagrange, para sumas arbitrarias a Cauchy (1821),
� n�
k=1
akbk
� 2
≤
� n�
k=1
a 2 k
� � n�
y para integrales a V. Buniakowsky (1859) y H.A. Schwarz (1885).
E. Hölder, trabajando con desigualdades de convexidad, probó en 1888 la
desigualdad
n�
k=1
akbk ≤
� n�
k=1
|ak| p
� 1
p � n �
k=1
k=1
b 2 k
|bk| q
�
,
� 1
q
,
para números reales, aunque de hecho, ya había sido encontrada por L.J. Rojers
en el año anterior. En 1896, también para sumas finitas, H. Minkowski
probó su desigualdad con normas distintas de la euclídea en sus famosos trabajos
sobre la Geometría de los Números.

60 Los espacios L p
De los espacios L p han dicho:
Las clases L k ocupan la posición central de mucho trabajo moderno, en
teoría de funciones reales o complejas, en la teoría de las series de Fourier, o
en la teoría general de desarrollos ortogonales. Este trabajo exige un considerable
dominio de la técnica de desigualdades; en todo momento se requieren las
desigualdades de Hölder y de Minkowski, y otras desigualdades más modernas
y sofisticadas del mismo carácter general.
G.H. Hardy, J.E. Littlewood y G. Polya

3
Principales resultados en Análisis Funcional
Este capítulo está articulado en torno a los tres principales resultados sobre
aplicaciones lineales entre espacios de Banach, que son el teorema de Hahn-
Banach, el teorema de Banach-Steinhauss (o de la acotación uniforme) y el
teorema de la aplicación abierta. Aunque estos resultados admiten formulaciones
en espacios más generales (véase por ejemplo [R]), hemos preferido
por coherencia y con vistas a las aplicaciones y ejemplos que presentamos,
limitarnos al caso de espacios normados y de Banach.
Después de cada una de las tres secciones centrales, nos dedicamos a las
aplicaciones. Desarrollamos ejemplos variados del Análisis Matemático y de la
Matemática Aplicada donde se emplean de forma fundamental los resultados
de la sección precedente.
El teorema de Banach-Steinhauss parte de conceptos topológicos. Éstos
serán recordamos brevemente y daremos referencias donde se explican de forma
más detallada.
Los textos [CM], [La] y [MV] en teoría y en problemas [TM] se han usado
para la exposición siguiente.
3.1 El lema de Zorn
El lema de Zorn es una de las herramientas importantes en Análisis Funcional
y en Matemáticas en general. En este texto es utilizado en la demostración del
Teorema de Hahn-Banach (Teorema 3.2) y en el teorema sobre la existencia
de bases ortonormales en un espacio de Hilbert (Teorema 4.27). Comenzamos
recordando algunas ideas sobre conjuntos ordenados.
Sea A un conjunto cualquiera. Se dice que A está ordenado si existe una
relación binaria “≤” que verifica las tres condiciones siguientes:
(i) Reflexiva: x ≤ x para todo x ∈ A.
(ii) Antisimétrica: Sean x, y ∈ A tales que x ≤ y e y ≤ x. Entonces x = y.
(iii) Transitiva: Sean x, y, z ∈ A tales que x ≤ y e y ≤ z. Entonces x ≤ z.

62 Principales resultados en Análisis Funcional
Si además se verifica que dados x, y ∈ A entonces x ≤ y ó y ≤ x, el par (A, ≤)
se dice totalmente ordenado.
Sea (A, ≤) un conjunto ordenado y B ⊂ A. Se dice que c ∈ A es una cota
superior de B si b ≤ c para todo b ∈ B. Un elemento m ∈ A se dice maximal
de A si m ≤ a con a ∈ A entonces m = a.
Lema 3.1 (Lema de Zorn) Sea (A, ≤) un conjunto (no vacío) y ordenado. Si
cualquier subconjunto de A totalmente ordenado tiene una cota superior en
A, entonces hay al menos un elemento maximal.
El lema de Zorn es equivalente a otros resultados fundamentales en la
teoría de conjuntos: al axioma de elección de Zermello, al principio de buena
ordenación de Cantor o al principio de maximalidad de Hausdorff (véase por
ejemplo [P, Theorem 1.1.6]).
3.2 Los teoremas de Hahn-Banach
Dado un espacio normado X, un subespacio normado Y y una aplicación
lineal y continua f : Y ↦→ K, es lógico preguntarse si existe la posibilidad de
prolongar f de forma continua a todo el espacio vectorial X, es decir, existe
˜f : X → K continua y lineal tal que
˜f(y) = f(y), y ∈ Y.
El primer teorema de Hahn-Banach resuelve positivamente esta cuestión.
Damos una versión general (denominada versión analítica) que incluye a los
espacios normados y que aparece en [R, Theorem 3.2]. Reformulaciones y
consecuencias geométricas de este primer resultado también se denominan a
menudo teoremas de Hahn-Banach, versión geométrica. Los presentamos al
final de la sección, véase el Teorema 3.9.
Teorema 3.2 (Teorema de Hahn-Banach, versión analítica) Sea X un espacio
vectorial real, y sean M, p y f tales que
(i) M es un subespacio de X,
(ii) p : X → R cumple
p(x + y) ≤ p(x) + p(y), p(tx) = tp(x),
para x, y ∈ X, t ≥ 0,
(iii)f : M → R lineal y f(x) ≤ p(x) para todo x ∈ M.
Entonces existe Λ : X → R tal que
Λ(x) = f(x), x ∈ M,
y cumple que −p(−x) ≤ Λ(x) ≤ p(x), para x ∈ X.

Los teoremas de Hahn-Banach 63
Demostración. Si M �= X existe x1 ∈ X\M, y definimos el subespacio vectorial
M1 : {x + tx1 ; x ∈ M, t ∈ R}.
Nótese que
y por tanto
f(x) + f(y) = f(x + y) ≤ p(x + y) ≤ p(x − x1) + p(x1 + y),
f(x) − p(x − x1) ≤ p(y + x1) − f(y), x, y ∈ M.
Sea α := sup{f(x) − p(x − x1) ; x ∈ M}. Entonces
f(x) − α ≤ p(x − x1), x ∈ M; f(y) + α ≤ p(y + x1), y ∈ M.
Definimos f1 : M1 → R mediante
f1(x + tx1) := f(x) + tα, x ∈ M, t ∈ R.
Es claro que f1 = f en M y f1 es lineal en M1. Falta probar que f1 ≤ p en
M1. Para ello, si t > 0 entonces
f(t −1 x)−α ≤ p(t −1 x−x1), x ∈ M; f(t −1 y)+α ≤ p(t −1 y+x1), y ∈ M,
y por tanto
f(x) − tα ≤ p(x − tx1), x ∈ M; f(y) + tα ≤ p(y + tx1), y ∈ M,
obteniendo que f1 ≤ p en M1. Para terminar la demostración usaremos el lema
de Zorn. Sea P la colección de pares (M ′ , f ′ ) donde M ′ es un subespacio de X
que contiene a M y f ′ es un funcional en M ′ que extiende a f y que cumple
que f ′ ≤ p en M ′ . Notar que (P, ≤) es una familia parcialmente ordenada,
donde el orden ≤ significa que si (M ′ , f ′ ) ≤ (M ′′ , f ′′ ) entonces M ′ ⊂M ′′ y
f ′′ = f ′ en M ′ .
Sea Φ una familia de elementos de P, Φ ⊂ P, totalmente ordenada. Consideremos
˜ M la unión de todos los subespacios que son parte de los elementos
de Φ. Si x ∈ ˜ M entonces x ∈ M ′ donde (M ′ , f ′ ) ∈ Φ. Definimos ˜ f(x) := f ′ (x).
Es evidente que el par ( ˜ M, ˜ f) es una cota de Φ y ( ˜ M, ˜ f) ∈ P. Por el lema de
Zorn, el conjunto P tiene un elemento maximal, que denotamos por ( ˜ M, Λ) y
Λ ≤ p en ˜ M. Si ˜ M �= X por la primera parte del resultado podríamos construir
un subespacio que contuviera propiamente a ˜ M, obteniendo contradicción con
el hecho que ˜ M es un elemento maximal.
Por último si Λ ≤ p entonces
para x ∈ X. ⊓⊔
−p(−x) ≤ −Λ(−x) = Λ(x)
En el caso en que X es un espacio vectorial sobre C, se prueba la siguiente
versión del teorema de Hahn-Banach.

64 Principales resultados en Análisis Funcional
Teorema 3.3 Sean M un subespacio vectorial de un espacio vectorial X, p
una seminorma en X y f un funcional lineal en M tal que
|f(x)| ≤ p(x), x ∈ M.
Entonces f se extiende a un funcional lineal Λ en X que cumple
|Λ(x)| ≤ p(x), x ∈ X.
Demostración. Si K = R, este resultado está contenido en el teorema anterior
ya que al ser p seminorma se cumple p(−x) = p(x) con x ∈ M.
Si K = C y consideramos el funcional u = ℜf, por el Teorema 3.2 existe
un funcional real U : X → R tal que U = u en M y U ≤ p en X. Se define el
funcional complejo asociado Λ : X → C mediante
Λ(x) = U(x) − iU(ix).
Debido a que f y Λ son funcionales complejos y coinciden en su parte real en
M, concluimos que Λ = f en M.
Sea x ∈ X y α ∈ C con |α| = 1 tal que αΛ(x) = |Λ(x)|. Entonces
|Λ(x)| = Λ(αx) = U(αx) ≤ p(αx) = p(x),
terminando así la demostración. ⊓⊔
Los resultados anteriores se aplican a espacios vectoriales normados, obteniendo
interesantes consecuencias.
Corolario 3.4 Sea X es un espacio normado, x0 ∈ X, e Y un subespacio
normado de X. Se cumple que:
(i) Existe f ∈ X ′ tal que f(x0) = �x0� y
|f(x)| ≤ �x�, x ∈ X.
(ii)Si g ∈ Y ′ entonces existe f ∈ X ′ que extiende a g y que cumple
�f�X ′ = �g�Y ′.
(iii) Existe f ∈ X ′ tal que �f� = �x0� y tal que f(x0) = �x0� 2 .
(iv)�x0� = sup{|f(x0)| ; f ∈ X ′ , �f� ≤ 1} = max{|f(x0)| ; f ∈ X ′ , �f� ≤ 1}.
Demostración. Para (i) si x0 = 0, basta tomar f = 0. Si x0 �= 0, por el
Teorema 3.3 con p(x) = �x�, M = K(x0) y g(αx0) = α�x0� en M y se
obtiene el resultado enunciado.
Basta aplicar el Teorema 3.3 con p(x) = �g�Y �x� para obtener (ii).
Aplicamos el apartado (ii) con Y = K(x0) y g(αx0) = α�x0� 2 , y se cumple
�g�Y = �x0� lo que demuestra (iii).
Para (iv) observamos que claramente se cumple que

Los teoremas de Hahn-Banach 65
sup{|f(x0)| ; f ∈ X ′ , �f� ≤ 1} ≤ �x0�.
Así por el apartado (iii) si existe f0 tal que �f0� = �x0� y f0(x0) = �x0� 2 .
Ahora consideramos f1 := �x0� −1 f0, que cumple �f1� = 1 y f1(x0) = �x0�.
⊓⊔
Teorema 3.5 Sean X, Y espacios normados.
(i) El espacio L(X, Y ) es trivial si y sólo si uno de los dos espacios X, Y lo
es.
(ii)Sea X �= {0}. Si el espacio L(X, Y ) es de Banach entonces Y es de Banach.
Demostración. Probemos el apartado (i). Es claro que si X ó Y son triviales
entonces L(X, Y ) es trivial. Recíprocamente, sean f ∈ X ′ e y ∈ Y . La aplicación
f ⊗ y : X → Y definida mediante
es lineal y cumple que
(f ⊗ y)(x) = f(x)y, x ∈ X,
�(f ⊗ y)(x)� = �f(x)y� = |f(x)| �y� ≤ �f� �x�| �y�,
para todo x ∈ X. Por tanto f ⊗ y ∈ L(X, Y ) y �f ⊗ y� ≤ �y� �f�. De hecho
�f ⊗ y� = sup{�f(x)y� ; �x� ≤ 1} = �y� sup{|f(x)| ; �x� ≤ 1} = �y� �f�.
Si L(X, Y ) = {0} entonces f ⊗ y = 0 y por tanto f ó y es nulo. En el caso
que Y �= {0} entonces X ′ = {0} y por el Corolario 3.4, se concluye X = {0}.
Sea ahora X �= {0} y el espacio L(X, Y ) completo. Tomemos (yn) ⊂ Y
una sucesión de Cauchy y f ∈ X ′ con �f� = 1. Puesto que f(X) = K, existe
un vector x ∈ X tal que f(x) = 1. Para cualesquiera m, n ∈ N, se verifica que
�f ⊗ yn − f ⊗ ym� = �f ⊗ (yn − ym)� = �f� �yn − ym� = �yn − ym�.
De donde se deduce que la sucesión (f ⊗ yn) es de Cauchy en L(X, Y ). Por
tanto existe T ∈ L(X, Y ) tal que la sucesión (f ⊗ yn) converge a T . Nótese
que
yn = f(x)yn = (f ⊗ yn)(x) ↦→ T (x),
y por tanto Y es completo. La parte (ii) está probada. ⊓⊔
En lo que nos queda de sección presentaremos las versiones geométricas
del teorema de Hahn-Banach. Para ello, necesitamos recordar o introducir
algunos conceptos geométricos.
Sea X un espacio vectorial y A ⊂ X. El subconjunto A se dice convexo si
para todo x, y ∈ A.
tx + (1 − t)y ∈ A,

66 Principales resultados en Análisis Funcional
Definición 3.6 Sea (X, � �) un espacio normado y A ⊂ X un conjunto
convexo y abierto tal que 0 ∈ A. Se define el funcional de Minkowski pA :
X → [0, ∞) mediante
pA(x) := inf{α > 0 ; α −1 x ∈ A}.
Nótese que pA(x) < ∞ para todo x ∈ X.
Aunque el funcional de Minkowsky es posible definirlo en espacios más
generales que los espacios normados (en espacios vectoriales topológicos, [R,
p.25]) para nuestros objetivos basta con trabajar en espacios normados.
Proposición 3.7 Sea (X, � �) un espacio normado, A ⊂ X un conjunto
convexo y abierto tal que 0 ∈ A y pA : X → [0, ∞) el funcional de Minkowski.
Entonces se cumple que
(i) pA(x + y) ≤ pA(x) + pA(y) para todo x, y ∈ X;
(ii) pA(tx) = tpA(x) para x ∈ X y t ≥ 0;
(iii) existe M > 0 tal que p(x) ≤ M�x� para todo x ∈ X;
(iv) A = {x ∈ X ; pA(x) < 1}.
Demostración. Sean ε > 0 y t = pA(x)+ε y s = pA(y)+ε. Entonces x/t, y/s ∈
A y por tanto su combinación convexa
x + y
s + t
t x s y
= + ∈ A.
s + t t s + t s
Por tanto se tiene que pA(x + y) ≤ s + t = pA(x) + pA(y) + 2ε y el apartado
(i) está probado.
(ii) es directo. Para el apartado (iii) consideramos r > 0 tal que BX(0, r) ⊂
A. Es claro que
p(x) ≤ 1
�x�, x ∈ X.
r
Por último si x ∈ A, al ser A abierto, existe ε > 0 tal que (1 + ε)x ∈ A.
Así,
pA(x) ≤ 1
< 1.
1 + ε
Recíprocamente, si pA(x) < 1 existe 0 < α < 1 tal que α −1 x ∈ A. Al ser A
convexo, se tiene que
Con ello concluye la prueba. ⊓⊔
x = α(α −1 x) + (1 − α)0 ∈ A.
En los próximos resultados consideraremos espacios vectoriales reales,
K = R. Aunque los resultados pueden ser planteados para espacios vectoriales
complejos (véase por ejemplo [R, Theorem 3.4]), por sencillez en el
planteamiento asumimos esta restricción. Bastará utilizar la descomposición
Λ : X → C,

Los teoremas de Hahn-Banach 67
Λ(x) = (ℜΛ)(x) − i(ℜΛ)(ix),
para obtener resultados análogos para funcionales lineales y continuos en espacios
vectoriales complejos.
Recordemos que un hiperplano en un espacio normado real X es un conjunto
de la forma
Hf,α := {x ∈ X ; f(x) = α},
donde α ∈ R y f es un funcional lineal no necesariamente continuo. Se prueba
que Hf,α es cerrado si y sólo si f es continuo.
Sean A, B ⊂ X. Se dice que el hiperplano Hf,α separa A y B en sentido
amplio si
f(x) ≤ α, x ∈ A, y f(x) ≥ α, x ∈ B.
Se dice que Hf,α separa A y B en sentido estricto si existe ε > 0 tal que
f(x) ≤ α − ε, x ∈ A, y f(x) ≥ α + ε, x ∈ B.
Lema 3.8 Sea A ⊂ X un subconjunto convexo abierto no vacío de un espacio
normado real X con x0 ∈ X y x0 �∈ A. Entonces existe f ∈ X ′ tal que
f(x) < f(x0) para todo x ∈ A. En particular el hiperplano H f,f(x0) separa x0
de A en sentido amplio.
Demostración. Por traslación se puede suponer que 0 ∈ A, y consideramos el
funcional de Minkowski de A, pA. Sean ahora el subespacio Y = R(x0) y la
aplicación lineal g : Y → R definida mediante
g(tx0) = t, t ∈ R.
Es claro que g(x) ≤ pA(x) para x ∈ Y . Por el Teorema 3.2 existe f : X → R
que extiende a g, tal que
f(x) ≤ pA(x), x ∈ X.
Directamente se tiene que f(x0) = 1, f es funcional continuo ya que por la
Proposición 3.7 (iii)
|f(x)| ≤ pA(x) ≤ M�x�, x ∈ X,
y por la Proposición 3.7 (iv) f(x) < 1 para x ∈ A. ⊓⊔
Teorema 3.9 (Teorema de Hahn-Banach, versión geométrica) Sean X un
espacio vectorial real, A, B ⊂ X dos conjuntos convexos, no vacíos y disjuntos.
(i) Si A es abierto entonces existe un hiperplano cerrado que separa A y B
en sentido amplio.
(ii)Si A es cerrado y B es compacto entonces existe un hiperplano cerrado
que separa A y B en sentido estricto.

68 Principales resultados en Análisis Funcional
Demostración. Para el apartado (i) sea el conjunto C = A − B. Es fácil
comprobar que C es convexo, abierto ya que
C = �
(A − y),
y∈B
y además 0 �∈ C. Por el Lema 3.8, existe f ∈ X ′ tal que
f(z) < 0, z ∈ C,
es decir, f(x) < f(y), para todo x ∈ A e y ∈ B. Basta tomar α ∈ R tal que
sup f(x) ≤ α ≤ inf
x∈A
y∈B f(y)
y el hiperplano Hf,α separará A y B en sentido amplio.
Para (ii) tomamos ε > 0 y ponemos Aε = A+B(0, ε) y Bε = B+B(0, ε) de
forma que los conjuntos Aε y Bε son convexos, abiertos y no vacíos. Además
existe ε suficientemente pequeño tal que Aε ∩ Bε = ∅. En caso contrario
existirían una sucesión εn → 0, xn ∈ A, yn ∈ B tales que �xn − yn� <
2εn pero la distancia entre un cerrado y un compacto es positiva, llegando
a contradicción. Por el apartado (i) existe un hiperplano cerrado Hf,α que
separa Aε y Bε en sentido amplio:
f(x + εz) ≤ α ≤ f(y + εz), x ∈ A, y ∈ B, z ∈ B(0, 1),
de donde se obtiene que
f(x) + ε�f� ≤ α ≤ f(y) − ε�f�, x ∈ A, y ∈ B.
Al ser �f� �= 0 se concluye que A y B se separan en sentido estricto por el
hiperplano Hf,α. ⊓⊔
Se pueden dar ejemplos de conjuntos convexos, no vacíos y disjuntos que
no se pueden separar por ningún hiperplano. Para terminar, enunciamos un
corolario (a menudo llamado también Teorema de Hahn-Banach) muy útil
cuando se trata de probar que un subespacio vectorial es denso. En este último
resultado consideramos espacios vectoriales reales o complejos.
Corolario 3.10 Sea X un espacio normado e Y ⊂ X un subespacio vectorial
tal que Y �= X. Entonces existe f ∈ X ′ tal que f �= 0 y
f(x) = 0, x ∈ Y.
Demostración. Supongamos que K = R, x0 ∈ X pero x0 �∈ Y . Por el Teorema
3.9 (ii), con B = {x0} y A = Y , existe un hiperplano Hf,α separa en sentido
estricto A y B, en particular
f(x) < α < f(x0), x ∈ Y .
Por tanto f(x) = 0 para todo x ∈ Y ya que se cumple λf(x) < α para todo
λ ∈ R. Si K = C, basta definir Λ(x) = f(x) − if(ix), donde f es un funcional
real con la propiedad dada. ⊓⊔

Aplicaciones del Teorema de Hahn-Banach 69
3.3 Aplicaciones del Teorema de Hahn-Banach
A continuación presentamos dos aplicaciones del Teorema de Hahn-Banach.
Hay que señalar que el teorema de Hahn-Banach es uno de los más empleados
en Análisis Funcional.
3.3.1 El espacio dual de C([0, 1])
Nos proponemos caracterizar al espacio dual de C([0, 1]). Para ello recordemos
que una función g : [0, 1] → C es de variación acotada si
V (g) := sup
n�
|g(tk) − g(tk−1)| < ∞,
k=1
donde el supremo se toma sobre las particiones 0 = t0 < t1 < t2 < . . . tn = 1
y cualquier n ∈ N. Además se cumple que
��
� 1 �
�
�
� f(t)dg(t) �
� ≤ �f�∞V (g), f ∈ L ∞ ([0, 1]),
0
donde la integral es la integral de Riemann-Stieltjes.
Teorema 3.11 Las siguientes afirmaciones son equivalentes:
(i) x ′ ∈ (C([0, 1])) ′ ;
(ii) existe g : [0, 1] → C de variación acotada tal que
x ′ (f) =
� 1
0
f(t)dg(t), f ∈ C[0, 1],
donde la integral es la integral de Riemann-Stieltjes.
Además �x ′ � = V (g).
Demostración. La implicación (ii) ⇒ (i) es de comprobación directa. Para el
recíproco sea x ′ ∈ (C([0, 1])) ′ . Nótese que C([0, 1]) es un subespacio normado
del espacio vectorial (L ∞ ([0, 1]), � · �∞) y por el Corolario 3.4 (ii) existe z ′ ∈
L ∞ ([0, 1]) tal que z ′ (f) = x ′ (f) para todo f ∈ C([0, 1]) y además �x ′ � = �z ′ �.
Para cada s ∈ (0, 1], consideramos la función característica χs ≡ χ [0,s] ∈
L ∞ ([0, 1]) con χ0 = 0 y definimos la función g : [0, 1] → C,
g(s) = z ′ (χs), 0 ≤ s ≤ 1.
Probemos que la función g es de variación acotada. Sea 0 = t0 < t1 < . . . <
tn = 1 una partición de [0, 1]. Para cada k = 1, 2, . . . , n definimos los números
�
exp (−i (arg (g(tk) − g(tk−1)))) , si g(tk) �= g(tk−1),
ak =
0, si g(tk) = g(tk−1);

70 Principales resultados en Análisis Funcional
y la función
h(t) = a1χ [t0,t1](t) +
n�
akχ (tk−1,tk](t).
k=2
La función h ∈ L ∞ ([0, 1]), �h�∞ ≤ 1 y se puede escribir
Por tanto
z ′ (h) =
=
n�
k=1
h =
n�
k=1
� �
ak χtk − χtk−1 .
� ′
ak z (χtk ) − z′ (χtk−1 )� =
n�
| (g(tk) − g(tk−1)) |.
k=1
De esta igualdad se obtiene la desigualdad
n�
k=1
n�
ak (g(tk) − g(tk−1))
k=1
| (g(tk) − g(tk−1)) | ≤ �z ′ � �h�∞ ≤ �x ′ �.
Por tanto g es de variación acotada y V (g) ≤ �x�.
Sea f ∈ C([0, 1]) y sea 0 = t0 < t1 < . . . tn = 1 una partición de [0, 1]. La
función
n�
�
h1 =
k=1
cumple que h1 ∈ L ∞ ([0, 1]) y además
z ′ (h1) =
f(tk−1) � χtk − χtk−1
n�
f(tk−1) (g(tk) − g(tk−1)) .
k=1
Dado ε > 0 existe una partición 0 = t0 < t1 < . . . tn = 1 tal que
sup{|tk − tk−1| | k = 1, . . . , n}
es suficientemente pequeño para que �h1 − f�∞ < ε
2�z ′ �
|
n�
f(tk−1) (g(tk) − g(tk−1)) −
k=1
� 1
0
f(t)dg(t)| < ε
2 .
y por lo tanto
Nótese que la integral de Riemann-Stieltjes existe ya que f ∈ C([0, 1]) y g es
de variación acotada. Concluimos que
z ′ (f) =
� 1
0
f(t)dg(t).

Aplicaciones del Teorema de Hahn-Banach 71
Como z ′ (f) = x ′ (f), la parte (ii) está probada. La igualdad V (g) = �x ′ � es
consecuencia de la estimación de la integral de Riemann-Stieltjes
� 1
|
0
Con ello se termina la demostración ⊓⊔
f(t)dg(t)| ≤ V (g)�f�∞, f ∈ C([0, 1]).
Nótese que si dos funciones g1 y g2 cumplen que dg1 = dg2 entonces
determinan el mismo elemento x ′ del espacio dual. Es posible introducir una
relación de equivalencia en el conjunto de las funciones de variación acotada y
probar una isometría entre (C([0, 1])) ′ y el conjunto de funciones de variación
acotada normalizadas [T, p.195-201].
Aunque no lo demostraremos, es interesante para el estudiante enunciar
aquí el teorema de representación de Riesz. Sean C0(X) el conjunto de las funciones
continuas tales que limx→∞ f(x) = 0, donde X es un espacio topológico
de Hausdorff localmente compacto y M(X) el conjunto de todas las medidas
complejas, acotadas y regulares de Borel en X [MV, Theorem 13.10], [R2,
Theorem 6.19].
Teorema 3.12 (Teorema de representación de Riesz) Sea X un espacio
topológico de Hausdorff localmente compacto. Las siguientes afirmaciones son
equivalentes:
(i) x ′ ∈ (C0(X)) ′ ,
(ii) existe una única medida de Borel, regular, compleja y acotada, µ ∈ M(X),
tal que
x ′ �
(f) =
X
f(t)dµ(t) (f ∈ C0(X)).
Además �x ′ � = |µ|(X), donde |µ|(X) es la variación total de µ en X.
3.3.2 El problema de los momentos
Una versión general del llamado problema de los momentos plantea que, dada
una sucesión c0, c1, c2, . . . ∈ K, se encuentre una función g de variación acotada
en [0, 1] tal que
� 1
t n dg(t) = cn, n = 0, 1, 2, . . .
0
Este problema aparece en diversos planteamientos tanto matemáticos como
físicos, en particular está muy relacionado con la teoría de polinomios ortogonales
(véase el ejercicio 4.9).
Después del teorema 3.11 el problema de los momentos se puede plantear
en otros términos: encontrar x ′ ∈ (C[0, 1]) ′ tal que x ′ (tn ) = cn para n =
0, 1, 2, . . . En general, si X es un espacio vectorial topológico, (xα)α∈Ω ⊂ X y
(cα)α∈Ω ⊂ K, ¿ existe x ′ ∈ X ′ tal que x ′ (xα) = cα para todo α ∈ Ω ?.

72 Principales resultados en Análisis Funcional
El problema general de momentos no tiene solución, pero el teorema de
Hahn-Banach permite dar la siguiente caracterización.
Teorema 3.13 Sean (X, � �) un espacio normado sobre K, (cα)α∈Ω ⊂ K,
y (xα)α∈Ω ⊂ X. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:
(i) existe x ′ ∈ X ′ tal que x ′ (xα) = cα para todo α ∈ Ω;
(ii) existe una constante M > 0 tal que
| �
aαcα| ≤ M� �
aαxα�,
α
donde la suma se realiza sobre los subconjuntos finitos no vacíos de Ω.
Demostración. Si x ′ ∈ X ′ es tal que x ′ (xα) = cα para α ∈ Ω, entonces para
toda combinación (aα)α∈Ω ⊂ K con un número finito de elementos no nulos
�
�
�
�
�
�
α
aαcα
�
�
�
�
� =
�
�
�
�
� aαx
�
′ �
�
�
(xα) �
� =
�
�
�
�
α
� x′
� �
α
α
aαxα
��
����
≤ �x ′ � � �
aαxα�,
obteniendo el apartado (ii).
Supongamos que (ii) se cumple; sea Y definido mediante
Y := span{xα ; α ∈ Ω} ⊂ X.
Para cada elemento �
α aαxα ∈ Y definimos
y ′ ( �
aαxα) := �
aαcα.
α
Probemos que y ′ está bien definido. Sea �
α aαxα = �
β bβxβ ∈ Y . Introduci-
mos un mismo subconjunto de índices para las dos expresiones anteriores. Así
consideramos los escalares (a ′ γ), (b ′ γ) ⊂ K con γ ∈ Ω mediante
a ′ γ = aγ, si aγ �= 0; a ′ γ = 0, si aγ = 0,
b ′ γ = bγ, si bγ �= 0; b ′ γ = 0, si bγ = 0.
Excepto un número finito de (a ′ γ) y (b ′ γ) son todos nulos y por (ii), tenemos
que
| �
aαcα − �
bβcβ| = | �
α
β
γ
α
(a ′ γ − b ′ γ)cγ|
≤ M� �
(a ′ γ − b ′ γ)xγ� = M� �
aαxα − �
bβxβx� = 0,
por lo que y ′ ( �
α aαxα) = y ′ ( �
γ
β bβxβ). A partir de la definición de y ′ es claro
que es lineal; por el apartado (ii) es continuo e y ′ ∈ Y ′ con �y ′ � ≤ M. Por
el Corolario 3.4 (ii) existe x ′ ∈ X ′ tal que �x ′ � = �y ′ � ≤ M y que además
y ′ (y) = x ′ (y) para y ∈ Y . En particular x ′ (xα) = cα para todo α ∈ Ω y se
obtiene (i). ⊓⊔
α
β
α

Teorema de Banach-Steinhaus 73
3.4 Teorema de Banach-Steinhaus
Es claro que, si (Tn)n ⊂ L(X, Y ) es una sucesión de operadores entre los
espacios de Banach y T ∈ L(X, Y ) tal que Tn → T en L(X, Y ), entonces
Tn(x) → T (x) para todo x ∈ X. El resultado recíproco no es cierto en general,
veremos un ejemplo en esta sección. Sin embargo el teorema de Banach-
Steinhaus da cierta información al respecto (véase el Corolario 3.17).
La demostración del teorema de Banach-Steinhaus se apoya en el conocido
Teorema de Baire que damos a continuación. Existen detrás de este resultado
varios conceptos topológicos (conjuntos no densos en ninguna parte,
de primera categoría o segunda categoría) relacionados directamente con él.
Evitamos darlos explícitamente, aunque citaremos las referencias [R], [BN]
para un lectura más detallada.
Teorema 3.14 (Teorema de Baire) Sean X un espacio métrico completo y
(Xn)n≥1 una sucesión de cerrados en X. Supongamos que
para todo n ≥ 1. Entonces
Int
Int(Xn) = ∅
� �
n
Xn
�
= ∅.
Demostración. Sean On = Xc n, de forma que On es un abierto y denso. Basta
probar que
G = �
n=1
es denso en X. Dado Ω ⊂ X un abierto no vacío de X, comprobemos que
Ω ∩ G �= ∅.
Sean B(x, r) = {y ∈ X ; d(x, y) < r}, D(x, r) = B(x, r), x0 ∈ Ω y r0 > 0
tales que
D(x0, r0) ⊂ Ω.
On
Tomamos x1 ∈ B(x0, r0) ∩ O1 y r1 > 0 tales que
D(x1, r1) ⊂ B(x0, r0) ∩ O1
con 0 < r1 < r0
2 , lo cual es posible ya que O1 es denso y abierto. Por inducción
construimos dos sucesiones (xn)n≥0 y (rn)n≥0 tales que
D(xn+1, rn+1) ⊂ B(xn, rn) ∩ On+1,
con 0 < rn+1 < rn
2 . Es fácil probar que la sucesión (xn)n≥0 es de Cauchy
y, por ser X completo, es convergente. Sea l := limn xn. Nótese además que
xn+p ∈ B(xn, rn) para todo n, p ≥ 0. Por tanto

74 Principales resultados en Análisis Funcional
l ∈ D(xn, rn)
para todo n ≥ 0. En particular l ∈ Ω ∩ G. ⊓⊔
Notas. La completitud de X es una condición necesaria. Algunas veces, el
Teorema de Baire se suele enunciar de la siguiente forma (véase [MV, Proposition
3.2]).
Corolario 3.15 Sean X un espacio métrico completo no vacío y (Xn)n≥1
una sucesión de cerrados tales que
X = �
Xn.
n=1
Entonces existe un n0 tal que Int(Xn0) �= ∅.
Teorema 3.16 (Teorema de Banach-Steinhaus) Sean X e Y dos espacios de
Banach y (Ti)i∈I una familia de operadores lineales y continuos, (Ti)i∈I ⊂
L(X, Y ), tales que
para todo x ∈ X. Entonces
sup �Ti(x)� < ∞
i∈I
sup �Ti� < ∞.
i∈I
Demostración. Para cada n ≥ 1, se definen los conjuntos
Xn = {x ∈ X, �Ti(x)� ≤ n para todo i ∈ I}.
Los conjuntos (Xn)n≥1 son cerrados y por hipótesis
X = �
Xn.
n≥1
Por el teorema de Baire existe algún n0 ≥ 1 tal que IntXn0 �= ∅. Sea entonces
x0 ∈ X y r > 0 tal que
B(x0, r) ⊂ Xn0 .
Por tanto
para todo i ∈ I y �z� < 1. Por tanto
para todo i ∈ I. ⊓⊔
�Ti(x0 + rz)� ≤ n0,
r�Ti� ≤ n0 + �Ti(x0)�
Una demostración alternativa de este resultado sin utilizar el Teorema
de Baire puede encontrarse en [L], donde se aplica el teorema de la gráfica
cerrada (véase la sección 3.5). Un corolario inmediato del Teorema de Banach-
Steinhaus es el siguiente.

Teorema de Banach-Steinhaus 75
Corolario 3.17 Sean X e Y espacios de Banach y (Tn) una sucesión de
operadores lineales y continuos, (Tn) ⊂ L(X, Y ), tales que Tn(x) converge
para cada x ∈ X a un límite que escribimos por T (x). Entonces se tiene que:
(i) sup n �Tn� < ∞;
(ii)el operador T así definido es lineal y continuo, T ∈ L(X, Y );
(iii) �T � ≤ lim infn �Tn�.
Demostración. (i) es consecuencia del Teorema 3.16 y por tanto existe C > 0
tal que
�Tn(x)� ≤ C�x�, x ∈ X
para todo n ∈ N. Tomando el límite, se tiene que �T (x)� ≤ C�x� para todo
x ∈ X. Al ser T lineal, se obtiene (ii). Por último, al ser
se deduce la parte (iii). ⊓⊔
�Tn(x)� ≤ �Tn� �x� (x ∈ X)
Notas. La completitud del espacio X es una condición necesaria (véase el
ejercicio 3.1). Nótese que en el resultado anterior no se obtiene que T = lim Tn
en L(X, Y ), como ilustra el siguiente ejemplo.
Ejemplo. Para cada n ∈ N sea fn : c0 → K definido por
fn(x) = x(n), x ∈ c0.
Claramente fn es lineal, y para todo x ∈ c0 se tiene que
|fn(x)| = |x(n)| ≤ �x�∞.
Luego fn ∈ c ′ 0. Como fn(en) = 1 = �en�∞, entonces �fn� = 1. Por tanto es
claro que fn �→ 0 en c ′ 0.
Sin embargo, es claro que fn(x) → 0 para todo x ∈ c0.
Para terminar esta sección, probamos el siguiente corolario.
Corolario 3.18 Sean E un espacio de Banach y A ⊂ E. Son equivalentes:
(i) A es un conjunto acotado;
(ii) para cada f ∈ E ′ el conjunto {f(a) ; a ∈ A} está acotado.
Demostración. La implicación (i) ⇒ (ii) es clara. Para probar que (ii) ⇒ (i)
aplicamos el Teorema 3.16, con X = E ′ , Y = K e I = A. Si se definen los
operadores
Ta(f) = f(a), f ∈ E ′ ,
por hipótesis se tiene que sup a∈A |Ta(f)| < ∞ para cada f ∈ E ′ y por tanto
se tiene que existe c > 0 tal que

76 Principales resultados en Análisis Funcional
|f(a)| ≤ c�f�, f ∈ E ′ , a ∈ A.
Por el Corolario 3.4 (iv) se cumple que �a� ≤ c para todo a ∈ A, y por tanto
A es acotado. ⊓⊔
Un resultado similar se cumple sobre subconjuntos de X ′ (véase el ejercicio
3.2).
3.5 Aplicaciones del Teorema de Banach-Steinhauss
Las dos aplicaciones siguientes del Teorema de Banach-Steinhauss aparecen
en [L]. No obstante, para la primera de ellas seguimos la presentación de [CM].
3.5.1 Métodos de sumabilidad
Es bien conocido que si una sucesión x ≡ (xn)n converge entonces la sucesión
de sus medias de Césaro, (Cn(x))n, con
Cn(x) = 1
n�
xj,
n
converge al mismo límite. Sin embargo el recíproco no es cierto en general, la
sucesión de las medias de Césaro puede converger sin que la sucesión converja.
No obstante las medias de Césaro son una herramienta útil para obtener
algunos resultados relevantes.
Nótese que la sucesión (Cn(x))n de las medias de Césaro, de una sucesión
dada x ≡ (xn)n se puede obtener como el resultado de la multiplicación de
matrices infinitas,
⎛ ⎞ ⎛
⎞ ⎛ ⎞
C1(x) 1 0 0 . . . 0 . . . x1
⎜
C2(x) ⎟ ⎜ 1 1
⎟ ⎜ 2 2 0 . . . 0 . . . ⎟ ⎜ x2 ⎟
⎟ ⎜ ⎟
⎜ . ⎟ ⎜ . . . . . . ⎟ ⎜ . ⎟
⎜ . ⎟ = ⎜ . . . . . . ⎟ ⎜
⎟ ⎜ . ⎟ .
⎜
⎝
Cn(x) ⎟ ⎜ 1 1 1 1
⎠ ⎝ n n n . . . n . . . ⎟ ⎜ xn ⎟
⎠ ⎝ ⎠
. . . . . . .
.
Es natural estudiar transformaciones en el espacio de sucesiones a través de
matrices infinitas.
Definición 3.19 Sea M = (kn,m)n,m≥1 una matriz infinita con kn,m ∈ K.
Una sucesión (xm)m ⊂ K se dice M-convergente a x ∈ K si la serie
∞�
m=1
j=1
kn,mxm

Aplicaciones del Teorema de Banach-Steinhauss 77
converge a un elemento yn ∈ K para todo n ≥ 1 y la sucesión (yn)n converge a
x. La matriz M se dice que es un método de sumabilidad permanente cuando
transforma cada sucesión convergente (xm)m ⊂ K en una sucesión convergente
(yn)n,
∞�
yn = kn,mxm,
y que cumple que lim xm = lim yn.
m=1
Nótese que la matriz de Césaro es un método de sumabilidad permanente.
A las matrices de sumabilidad permanente se les llama a menudo matrices de
Toeplitz [L, p.161].
Teorema 3.20 Una matriz infinita M = (kn,m) ∞ n,m=1 es un método de sumabilidad
permanente si, y sólo si, se cumplen las siguientes condiciones:
(i) s = sup{ �∞ m=1 |kn,m| ; n = 1, 2, . . .} < ∞;
(ii)limn kn,m = 0 para todo m ≥ 1;
∞�
kn,m = 1.
(iii)lim n
m=1
Demostración. Sea M un método de sumabilidad permanente. Sea el espacio
de Banach (c, � · �∞), definido en el Ejemplo 1.1.2, de las sucesiones convergentes.
Para cada x ≡ (xn)n ∈ c consideramos las sumas
f n k (x) =
k�
kn,mxm, f n (x) =
m=1
∞�
m=1
kn,mxm,
con n, k ≥ 1. Nótese que la serie converge por hipótesis. Claramente f n k , f n :
c → K son aplicaciones lineales y se comprueba fácilmente que f n k ∈ c′ y
�f n k � =
k�
m=1
|kn,m|.
Para cada x ∈ c se tiene que f n k (x) → f n (x), y por el Corolario 3.17, se tiene
que f n ∈ c ′ con
�f n ∞�
� = |kn,m|.
m=1
Al ser M un método de sumabilidad permanente entonces (f n (x))n es convergente
y aplicando de nuevo el Corolario 3.17 se obtiene que
sup{�f n � ; n ∈ N} = sup{
∞�
|kn,m| ; n ∈ N} = s < ∞,
m=1
probando la parte (i). Para la parte (ii) aplicamos M a los elementos canónicos
ej ≡ ((ej)m) = (δj,m) para obtener que

78 Principales resultados en Análisis Funcional
�
0 = lim
n
m
kn,m(ej)m = lim kn,j
n
para todo j ≥ 1. Para la parte (iii) consideramos la sucesión 1= (1)n, que
cumple que
�
1 = lim kn,m.
n
Recíprocamente, sea x = (xm)m ∈ c. Para cada n ≥ 1, se tiene que
∞�
�
∞�
�
|kn,mxm| ≤ |kn,m| �x�∞ ≤ s�x�∞ < ∞.
m=1
m=1
Por tanto concluimos que � ∞
m=1 kn,mxm converge a un valor yn ∈ K para
todo n ≥ 1. Consideramos la sucesión y = (yn); debemos probar que y ∈ c y
que limn yn = limm xm.
Sea λ = limm xm y ε > 0. Existe m0 ∈ N, tal que
m
sup |xm − λ| < ε.
m≥m0
Por las condiciones (ii) y (iii) existe n0 ∈ N tal que
m0 �
m=1
|kn,m| < ε y |
si n ≥ n0. Entonces se tiene que
m=1
m=1
∞�
kn,m − 1| < ε,
m=1
∞�
∞�
∞�
|yn − λ| = | kn,mxm − λ| ≤ | kn,m(xm − λ)| + |λ| | kn,m − 1|
≤ |
m0 �
m=1
kn,m(xm − λ)| + |
∞�
m=m0+1
m=1
kn,m(xm − λ)| + |λ|ε ≤ (c1 + s + |λ|)ε,
donde c1 es una constante adecuada, n ≥ n0 y la prueba queda terminada.
⊓⊔
3.5.2 Divergencia de la serie de Fourier
Nuestra intención en esta sección es probar que existe una función continua
f en [−π, π] cuya serie de Fourier diverge en el origen. Recordemos que los
) se definen mediante
coeficientes de Fourier de una función f ∈ L1 ([−π, π], dt
2π
� π
ˆf(k) =
−π
−ikt dt
f(t)e , k ∈ Z.
2π
La sumas parciales de la serie de Fourier son las sumas

Aplicaciones del Teorema de Banach-Steinhauss 79
Sn(f)(t) =
n�
k=−n
ˆf(k)e ikt , t ∈ R, n ∈ N
mientras que serie de Fourier de f es formalmente la expresión
S(f)(t) ≡
∞�
k=−∞
ˆf(k)e ikt .
Es interesante saber si para toda f ∈ C([π, π]) se cumple que Snf(t) → f(t)
para cada t ∈ [−π, π], es decir, si
f(t) =
∞�
k=−∞
ˆf(k)e ikt , t ∈ [−π, π].
El teorema 3.21 da un respuesta negativa a esta afirmación.
Los núcleos de Dirichlet (Dn)n∈N definidos mediante
Dn(t) =
n�
k=−n
e ikt 1 sen((n + 2 = )t)
, t ∈ [−π, π], t �= 0,
sen( t
2 )
y Dn(0) = 2n + 1 permiten expresar las sumas parciales de la serie de Fourier
mediante una representación integral,
n ∈ N.
Sn(f)(t) = 1
2π
� π
−π
f(t)Dn(s − t)dt, f ∈ L 1 ([−π, π], dt
2π ),
Teorema 3.21 Existe f ∈ C([−π, π]) tal que la serie de Fourier de f diverge
en t = 0.
Demostración. Basta probar que las sumas parciales de la serie de Fourier no
están acotadas en el origen para concluir que la serie de Fourier no converge
en el origen. Así pues, nuestro objetivo es probar que
sup
n
|
n�
k=−n
ˆf(k)| = sup |
n
1
� π
f(t)Dn(−t)dt| = ∞
2π −π
para alguna f ∈ C([−π, π]).
Claramente Dn ∈ C([−π, π]) y Dn(t) = Dn(−t) para t ∈ [−π, π] y n ∈ N.
Definimos los funcionales lineales x ′ n ∈ (C([−π, π])) ′ mediante
� π
que cumplen que
x ′ n(f) = 1
2π
−π
f(t)Dn(t)dt, f ∈ C([−π, π]),

80 Principales resultados en Análisis Funcional
|x ′ � π
1
n(f)| ≤ �f�∞ |Dn(t)|dt.
2π −π
Por tanto �x ′ n� ≤ 1
� π
2π −π |Dn(t)|dt = �Dn�1 para cada n ∈ N; es más �x ′ n� =
�Dn�1 (Teorema 3.11).
Si la serie de Fourier de cada f ∈ C([−π, π]) convergiera en t = 0, se
tendría que
sup |x
n
′ n(f)| < ∞.
Por el Teorema de la acotación uniforme, o de Banach-Steinhauss (Teorema
3.16), se tendría que
sup
n
�Dn�1 = sup |x
n
′ n| < ∞.
Sin embargo, se cumple que
�Dn�1 = 1
� π �
�
�
sen((n +
2π �
−π
1
2 )t)
sen( t
2 )
�
�
�
�
≥ 2
� π �
�
2 �
�
sen((2n + 1)t) �
�
π � t � dt,
0
ya que 0 ≤ sen(t) ≤ t para 0 ≤ t ≤ π
2 . Pero
≥
� π
2
0
2n�
k=0
2n�
= 2
π
�
�
�
�
sen((2n + 1)t) �
�
� t � dt =
2(2n + 1)
(k + 1)π
k=0
1
(k + 1)
� (k+1)π
2(2n+1)
kπ
2(2n+1)
� π
2
Por tanto se tiene que
0
2n�
k=0
� (k+1)π
2(2n+1)
kπ
2(2n+1)
� π
2 2
dt =
π 0
|sen((2n + 1)t)| dt =
sen(t)dt = 2
π
2n�
k=0
�Dn�1 ≥ 4
π 2
�
�
�
�
sen((2n + 1)t) �
�
� sen(t) � dt
�
�
�
�
sen((2n + 1)t) �
�
� t � dt
1
(k + 1) .
2n�
k=0
2n�
k=0
1
(k + 1) ,
2
(k + 1)π
� (k+1)π
2
de donde se sigue que sup n �Dn�1 = ∞, llegando a contradicción. ⊓⊔
kπ
2
|sen(t)| dt
Notas. Una de estas funciones se puede encontrar en [E, p. 154-155]. En
realidad se puede probar que el conjunto de funciones para las que la serie de
Fourier converge en t = 0 es un conjunto relativamente pequeño, y “para casi
todas” las funciones continuas su serie de Fourier diverge en el origen (véase
[L, Corollary 6.6.1]).
Idénticos resultados se obtienen en el espacio (Cp([−π, π]), � · �∞), donde
Cp([−π, π]) = {f ∈ C([−π, π]) ; f(−π) = f(π)}.

Teoremas de la aplicación abierta y de la gráfica cerrada 81
3.6 Teoremas de la aplicación abierta y de la gráfica cerrada
En esta sección presentamos el Teorema de la aplicación abierta. Este resultado,
debido a Banach, fue probado en 1929. Un año mas tarde Schauder
obtuvo una versión más general. Así el Teorema de la aplicación abierta se
denomina a veces Teorema de Banach-Schauder. También presentamos otras
dos reformulaciones equivalentes de este resultado, el Teorema de los isomorfismos
de Banach y el Teorema de la gráfica cerrada (véanse los ejercicios 3.3
y 3.5).
Estos resultados son de gran importancia en el Análisis Funcional. En la
sección siguiente presentamos algunas aplicaciones.
Lema 3.22 Sean X un espacio de Banach, Y un espacio normado y T ∈
L(X, Y ). Supongamos que T (DX) es un entorno de cero en Y . Entonces T es
abierta.
Demostración. Probemos primero que T (DX) es un entorno de cero en Y . Al
ser T (DX) un entorno de cero en Y , existe δ > 0 tal que δDY ⊂ T (DX) y,
para cada n ∈ N, se tiene que
δ
2n DY
� �
1
⊂ T DX .
2n Dado y ∈ T � 1
2DX �
existe x1 ∈ 1
2DX tal que �y − T (x1)� < δ
22 . Por tanto
y − T (x1) ∈ δ
22 DY
� �
1
⊂ T DX .
22 En consecuencia, existe x2 ∈ 1
22 DX tal que �y − T (x1) − T (x2)� < δ
23 . Procediendo
por recurrencia, encontramos una sucesión (xn)n≥1 ⊂ X tal que
�xn� ≤ 1
2n y
n�
�y − T (xk)� < δ
. (3.1)
2n+1 k=1
Al ser la serie � xn absolutamente convergente y X completo, por la Proposición
1.4, la serie � xn es convergente. Sea x = � xn. Se cumple que
�x� ≤
∞�
�xn� ≤ 1.
n=1
Como T ∈ L(X, Y ), la serie � T (xn) es convergente y su suma es T (x)
y por la desigualdad (3.1) se cumple que y = T (x) ∈ T (DX). Por tanto
�
⊂ T (DX) y además como
T � 1
2 DX
δ
2 DY
�
1
⊂ T
2 DX
�
⊂ T (DX),

82 Principales resultados en Análisis Funcional
se deduce que T (DX) es un entorno de cero en Y .
Dado U un abierto de X, probemos que T (U) es abierto en Y . Sea y ∈ T (U)
y x ∈ U tal que T (x) = y. Existe r > 0 tal que x+rDX ⊂ U. Por la linealidad
de T se sigue que y + rT (DX) ⊂ T (U), y por la primera parte de la prueba
existe δ > 0 tal que
y + r δ
2 DY ⊂ T (U).
Por tanto T (U) es entorno de y, y T (U) es abierto de Y . ⊓⊔
Aplicando el resultado anterior y el Teorema de Baire (Teorema 3.15)
probamos el principal resultado de esta sección.
Teorema 3.23 (Teorema de la aplicación abierta) Toda aplicación lineal,
continua y sobreyectiva entre dos espacios de Banach es abierta.
Demostración. Sea T una aplicación lineal, continua y sobreyectiva entre dos
espacios de Banach X e Y . Es claro que
� �
�
Y = T (X) = T (nDX) = �
T (nDX) = �
nT (DX),
n
y por tanto Y = ∪nnT (DX). Al ser Y unión contable de subconjuntos cerrados
de Y , por el Corolario 3.15 existe m ∈ N tal que Int(mT (DX)) �= ∅.
Como las homotecias de un espacio normado son homeomorfismos se tiene
que Int(T (DX)) �= ∅. Para terminar la demostración falta probar que T (DX)
es un entorno del origen en Y .
Sean y0 ∈ Int(T (DX)) y δ > 0 tal que y0 + δDY ⊂ T (DX). Probemos que
n
δ
2 DY ⊂ T (DX).
Sea y ∈ δ
2 DY ; los vectores y0, y0 + 2y ∈ T (DX)) y existen (xn)n≥1, (zn)n≥1 ⊂
DX tales que T (xn) → y0 y T (zn) → y0 + 2y. Como 1
2 (zn − xn) ∈ DX para
cada n ≥ 1 y
lim n T
�
1
2 (zn
�
− xn) = y,
se sigue que y ∈ T (DX). Así pues T (DX) es un entorno de cero en Y , y por
el lema anterior T es abierta. ⊓⊔
El Teorema de la aplicación abierta permite caracterizar los espacios de
Banach separables en términos de cocientes del espacio ℓ 1 . Aunque esta caracterización
no es útil, permite darnos una idea de la riqueza de cocientes que
podemos encontrar en ℓ 1 .
Corolario 3.24 Todo espacio de Banach separable es isomorfo a un cociente
del espacio ℓ 1 .
n

Teoremas de la aplicación abierta y de la gráfica cerrada 83
Demostración. Sean X un espacio de Banach separable y {xn ; n ∈ N} un
conjunto numerable y denso en la bola unidad DX. Dado y ∈ ℓ1 �
la serie
n y(n)xn es absolutamente convergente y por la Proposición 1.4 es convergente.
Así pues se define la aplicación T : ℓ1 → X,
T (y) := �
y(j)xj, y ≡ (y(j))j∈N ∈ ℓ 1 .
j
Es claro que T es lineal y continua.
Sea (en) ⊂ ℓ 1 tal que en(j) = δnj para todo n, k ∈ N (δnk es la función
delta de Kronecker). Como en ∈ D ℓ 1 y T (en) = xn entonces se tiene que
{xn ; n ∈ N} ⊂ T (D ℓ 1), y por tanto
DX = {xn ; n ∈ N} ⊂ T (D ℓ 1).
En consecuencia T (Dℓ1) es un entorno de 0 en X, y por el Lema 3.22 T es
abierta.
Para probar que T es sobreyectiva procedemos de forma similar a la demostración
del Lema 3.22. Sea x ∈ DX. Existe xn1 tal que �x − xn1� < 1
2 , es
decir, �2(x − xn1)� < 1 y por tanto existe n2 > n1 tal que
es decir,
�2(x − xn1) − xn2� < 1
2 ,
�x − xn1 − 1
2 xn2� < 1
.
22 Reiterando este proceso, construimos una subsucesión (xnk ) ⊂ DX tal que
�x −
m� 1 1
xnk� ≤ ,
2k−1 2m k=1
con m ∈ N. Como X es un espacio de Banach, la serie �
gente y se tiene que x = T (yx) donde
⎧
⎨
1
yx(j) = 2
⎩
k−1 , si j = nk para algún nk,
0, en otro caso.
Si �x� > 1 basta considerar que x = �x� x
�x� .
Entonces la aplicación ˜ T : ℓ 1 / ker(T ) → X definida por
˜T (y + ker(T )) = T (y), y + ker(T ) ∈ ℓ 1 / ker(T ),
k
1
2k−1 xnk es conver-
es biyectiva, lineal, continua y abierta, ya que T es abierta. Por tanto ˜ T es un
isomorfismo entre ℓ 1 / ker(T ) y X. ⊓⊔

84 Principales resultados en Análisis Funcional
Corolario 3.25 (Teorema de los isomorfismos de Banach) Toda biyección
lineal y continua entre dos espacios de Banach es un isomorfismo.
Demostración. Sea T : X → Y una biyección lineal y continua entre dos
espacios de Banach X e Y . Por el teorema de la aplicación abierta T es
abierta y por tanto existe δ > 0 tal que δDY ⊂ T (DX). Como T es lineal y
biyectiva, δT −1 (DY ) ⊂ DX, y por tanto
�T −1 (y)� ≤ 1
�y�, y ∈ Y.
δ
Al ser T −1 lineal se obtiene la continuidad de T −1 y por tanto T es un isomorfismo.
⊓⊔
Para terminar la sección probamos el Teorema de la gráfica cerrada.
Recordemos que si X es un espacio topológico, Y un espacio topológico de
Haussdorff y F : X → Y una aplicación continua, entonces la gráfica de F , es
decir,
G(F ) := {(x, y) ∈ X × Y ; y = F (x)},
es un subconjunto cerrado de X × Y . No obstante no toda aplicación cuya
gráfica es cerrada es continua. Por ejemplo sea F : R → R, tal que F (x) = x −1
si x �= 0 y F (0) = 0. Entonces G(F ) es cerrada pero no es continua.
Corolario 3.26 (Teorema de la gráfica cerrada) Sean X e Y espacios de
Banach y T : X → Y una aplicación lineal. Entonces T es continua si y sólo
si G(T ) es un subconjunto cerrado.
Demostración. Si G(T ) es un subconjunto cerrado del espacio de Banach X ×
Y , entonces G(T ) es un espacio de Banach. La proyección sobre la primera
coordenada π1 : G(T ) → X definida mediante
π1(x, T (x)) = x (x, T (x)) ∈ G(T ),
es claramente una biyección, lineal y continua entre espacios de Banach. Por
el Corolario 3.25 tenemos la continuidad de π −1
1 : X → G(T ), π −1
1 (x) =
(x, T (x)), y al componer con la proyección en la segunda coordenada, obtenemos
la continuidad de T . La afirmación recíproca se cumple en condiciones
más generales como hemos comentado. ⊓⊔
Es interesante observar que el Teorema de la aplicación abierta, el Teorema
de los isomorfismos de Banach y el Teorema de la gráfica cerrada son diferentes
formulaciones de un mismo principio.
3.7 Aplicaciones del Teorema de la aplicación abierta
Para terminar este capítulo presentamos un aplicación del teorema de la aplicación
abierta y otra del teorema de la gráfica cerrada. Recomendamos las
monografías [Cn] y [Li] para consultar más aplicaciones de estos resultados.

Aplicaciones del Teorema de la aplicación abierta 85
3.7.1 Dependencia continua de la solución de ecuaciones diferenciales
Sean A = (aij) una matriz n×n de funciones continuas sobre el intervalo [a, b],
f ∈ C([a, b], K n ), x0 ∈ K n y fijemos t0 ∈ [a, b]. Consideremos el problema de
valores iniciales � x ′ (t) = A(t)x(t) + f(t), t ∈ [a, b],
x(t0) = x0.
(3.2)
Las soluciones del problema anterior son funciones x ∈ C (1) ([a, b], K n ) que
cumplen las igualdades de (3.2).
Teorema 3.27 La solución x del problema (3.2) depende de manera continua
del valor inicial x0 ∈ K n y del dato f.
Demostración. Sea T : C (1) ([a, b], K n ) → C([a, b], K n ) × K n la aplicación
definida por
T (x) = (x ′ − Ax, x(t0)), x ∈ C (1) ([a, b], K n ).
Claramente T es lineal y continua. Como el problema (3.2) tiene solución
única, T es biyectiva. Por el Teorema de los isomorfismos de Banach, Corolario
3.25, la solución x depende de manera continua del valor inicial x0 ∈ K n y del
dato f. ⊓⊔
Notas. Esta dependencia continua garantiza que los métodos de perturbación
para aproximar la solución se pueden aplicar. El mismo resultado es válido
para ecuaciones diferenciales de orden superior (véase [CM, Ejemplo 3.4.15]).
3.7.2 Continuidad de aplicaciones entre espacios de sucesiones
Sea X = ℓ p , c0, c, con 1 ≤ p ≤ ∞, con sus apropiadas normas. Consideramos
en estos espacios el operador traslación derecha Sr : X → X tal que
Sr(x1, x2, . . .) := (0, x1, x2, . . .).
Teorema 3.28 Sea T : X → X lineal. Si T Sr = SrT entonces T es una
aplicación continua, es decir, T ∈ B(X).
Demostración. Sea x ≡ (x(n))n ∈ X. Para cada n, m ≥ 1 se define el funcional
fn,m : X → K mediante
fn,m(x) = x(n)(T (en))(m), x ∈ X,
donde en = (δn,m)m. Es claro que fn,m es un funcional lineal y continuo ya
que
|fn,m(x)| = |x(n)|�T (en)� ≤ �T (en)��x�.
Probemos que G(T ) es cerrado. Para ello utilizamos el ejercicio 3.6. Sea xn →
0 tal que T (xn) → y en X. Tenemos que concluir que y = 0. Fijemos m; para
cada n ≥ 1

86 Principales resultados en Análisis Funcional
xn =
m�
j=1
xn(j)ej + S m r (zn,m),
donde zn,m ∈ X está definido por zn,m(j) = xn(m + j) para j ≥ 1. Como se
cumple que T Sr = SrT , entonces T S m r = S m r T, y por tanto
⎛
⎞
m�
T (xn)(m) = ⎝ xn(j)T (ej) ⎠ (m) + S m m�
r (T (zn,m))(m) = fj,m(xn) + 0.
j=1
Como fj,m es continua y xn → 0 se cumple que
lim n T (xn)(m) = lim n
m�
fj,m(xn) = 0.
Por otro lado como T (xn) → y en X, se tiene que T (xn)(m) → y(m), y por
lo tanto y(m) = 0 para todo m, y = 0.
Así G(T ) es cerrado y por el teorema de la gráfica cerrada, Corolario 3.26,
se concluye que T es continua. ⊓⊔
j=1
j=1

Ejercicios 87
Ejercicios
(3.1) Para cada número natural n sea fn el funcional sobre c00 definido mediante
n�
fn(x) = x(k), x ∈ c00.
k=1
(i) Pruébese que fn es lineal y �fn� = n.
(ii) Pruébese que fn(x) → f(x), donde
f(x) =
∞�
x(n), x ∈ c00.
n=1
(iii) Pruébese que f no es continua (Ayuda: Pruébese que no está acotada en
la bola unidad cerrada de c00).
(Este ejercicio muestra que la completitud del espacio es una condición necesaria
en el Corolario 3.17).
(3.2) Sea E un espacio de Banach y B ⊂ E ′ . Pruébese que las siguientes
afirmaciones son equivalentes.
(i) B es un conjunto acotado,
(ii) para cada x ∈ E el conjunto {f(x) ; f ∈ B} es acotado.
(3.3) Demuéstrese el Teorema de la aplicación abierta a partir del Teorema
de los isomorfismos de Banach (ambos resultados son equivalentes).
(3.4) Sea X un espacio vectorial. Supongamos que � · �1 y � · �2 son dos
normas completas en X. Pruébese que dichas normas son equivalentes si y
sólo si existe una constante α > 0 tal que �x�1 ≤ α�x�2 para todo x ∈ X.
(3.5) Demuéstrese el Teorema de los isomorfismos de Banach a partir del
Teorema de la gráfica cerrada. (Ambos resultados son equivalentes).
(3.6) Sean X e Y espacios normados y T : X → Y una aplicación lineal.
Pruébese que las siguientes afirmaciones son equivalentes:
(i) la gráfica de T es cerrada,
(ii) si (xn) ⊂ X es una sucesión que tiende a cero, y (T (xn))n es una sucesión
convergente, entonces T (xn) → 0.
(3.7) Sean 1 ≤ p, q ≤ ∞ y (aij) una matriz doblemente infinita de números
complejos tal que si x ∈ ℓp entonces la serie yi = �
j aijx(j) converge para
cada i, y además la sucesión y = (yi) ∈ ℓq . Pruébese que la aplicación T :
ℓp → ℓq dada por T (x) = y para cada x ∈ ℓp es continua.
(3.8) Sea �·� una norma completa en C([a, b]). Supongamos que la convergencia
en la norma � · � implica la convergencia puntual. Pruébese que la norma
� · � es equivalente a la norma del máximo en C([a, b]).

88 Principales resultados en Análisis Funcional
(3.9) Sea 1 ≤ p ≤ ∞ y (ai,j)ij una matriz tal que
(Af)(i) :=
∞�
ai,jf(j)
define un elemento Af ∈ ℓ p para todo f ∈ ℓ p . Pruébese que A ∈ L(ℓ p ).
j=1
(3.10) Pruébese que la aplicación ˆ : L1 ([−π, π], dt
2π ) → c0,
� π
ˆf(n) =
−π
f(t)e −int dt, n ∈ Z,
es lineal, continua e inyectiva, pero no suprayectiva.

Notas históricas 89
3.8 Notas históricas
Probablemente, uno de los principales creadores del Análisis Funcional es el
matemático húngaro Frédéric Riesz (1880-1956). Como ya comentamos en el
capítulo anterior introdujo en 1910 los espacios L p , 1 < p < ∞ como generalización
natural del espacio L 2 ya estudiado. F. Riesz plantea la resolución de
un sistema de infinitas ecuaciones del tipo
� b
a
fi(x)g(x)ds = ci
(i ∈ I),
donde las fi y los escalares ci son los datos y la función g la solución, generalización
del problema de los momentos estudiado en la sección 3.2.2. Para que
el problema tenga sentido, Riesz muestra que la solución g debe buscarse en
el espacio Lq siendo
1 1
+ = 1.
p q
A la vista de la dualidad entre L p y L q el problema anterior puede interpretarse
también así: Encontrar una forma lineal T que tome los valores
prefijados ci en los elementos dados fi. Este punto de vista fue tomado por el
matemático austriaco E. Helly en 1912. Helly participó en la Primera Guerra
Mundial y fue hecho prisionero, no volviendo a la investigación hasta 1921.
En su importante trabajo trabaja con subespacios vectorial de C N dotados
con una cierta noción de norma. Planteó por primera vez el problema de la
extensión de una forma lineal continua definida sobre un espacio, a todo el
espacio, conservando su norma.
En 1927 en un artículo publicado en el Journal für reine und ang. Math.
H. Hahn retomó el trabajo y las técnicas de Helly en el contexto de la espacios
de Banach y prueba que toda forma lineal continua sobre un subespacio de
un espacio de Banach real, se puede extender al total conservando su norma.
Además introduce la noción de espacio dual E ′ (“polare Raum”) de un espacio
de Banach E. Dos años más tarde, S. Banach redescubre el teorema de
extensión de Hahn con una demostración similar, reconociendo más tarde la
prioridad de Hahn.
Los antecedentes del Teorema de Banach-Steinhaus aparecen en una trabajo
de Helliger y Toeplitz publicado en Matematische Ann. en 1910. Allí
desarrollan una teoría de matrices infinitas (formas bilineales) acotadas en
ℓ 2 . Prueban que si (Kn) es una sucesión de formas bilineales acotadas sobre
ℓ 2 tal que para cada par de elementos x e y de la bola unidad de ℓ 2 , la
sucesión (Kn(x, y)) está acotada por una constante Mx,y entonces la sucesión
está uniformemente acotada, esto es, existe M > 0 tal que
para todo n ∈ N, e x, y ∈ ℓ 2 .
|Kn(x, y)| ≤ M,

90 Principales resultados en Análisis Funcional
En su Tesis, Banach prueba el Principio de Acotación Uniforme para
una sucesión de operadores lineales entre espacios de Banach. Casi al mismo
tiempo, H. Hahn probó el mismo resultado para una sucesión de funcionales
sobre un espacio de Banach. Finalmente, en 1927 Banach y Steinhaus probaron
el resultado para una familia arbitraria de operadores entre espacios de
Banach, extendiendo el teorema de R. Baire a espacios de Banach. El resultado
inicial de Baire de 1899 había sido probado para funciones sobre abiertos
de R n .
El teorema de la aplicación abierta es una contribución original de Banach.
Una primera versión aparece en 1929 en el artículo Sur les fonctionnelles
linéaires II (Studia Mathematica). La versión general aparece en el libro de
Banach Théorie des opérations linéaires de 1932. Según J. Dieudonné es de
hecho el resultado más destacado incluido en el libro de Banach.
Estas ideas han sido obtenidas del artículo escrito por F. Bombal [Bo],
véase también [D].

Parte II
Espacios de Hilbert
En esta segunda parte del curso nos centraremos en los espacios de Hilbert.
Los espacios de Hilbert son espacios normados cuya norma proviene de un producto
escalar o producto interno. Esto hace que su estructura interna sea más
rica que la de los espacios de Banach y permite descomponer cada vector
en términos de una base (al igual que los espacios vectoriales finito dimensionales),
el espacio en suma de subespacios cerrados e incluso operadores
definidos en el espacio de Hilbert admiten cierta descomposición en elementos
más sencillos.
En el cuarto capítulo introduciremos, definiremos, daremos propiedades
y probaremos las resultados fundamentales de los espacios de Hilbert. Nos
proponemos dar una formación sólida que permita desarrollar aplicaciones de
la teoría en problemas de aproximación, ecuaciones diferenciales ordinarias o
parciales, o en mecánica cuántica.
En el quinto capítulo nos ocuparemos de los operadores compactos y normales,
una familia particular de operadores sobre espacios de Hilbert. Estos
operadores se pueden descomponer en el espacio de Hilbert (Teorema espectral).
Este resultado tiene importantes consecuencias.
Este planteamiento puede encontrarse en varias libros de Análisis Funcional,
en particular [B], [BN], [Br], [CM], [Re], [RN] y [Y]. Sin embargo
señalamos que hemos buscado exponer sólo los conocimientos necesarios para
conseguir una exposición auto-contenida.

4
Introducción a los espacios de Hilbert
En la primera sección definimos, comentamos y damos las primeras propiedades
y ejemplos de los espacios pre-Hilbert y de Hilbert. El espacio ℓ2 (I) es el ejemplo
canónico de espacio de Hilbert y es estudiado en detalle en la segunda
sección. En la tercera consideramos aquellas normas que provienen de un
producto escalar, las normas hilbertianas. El teorema del vector minimizante
define la proyección de un vector sobre un subespacio cerrado. La ortogonalidad
es tratada en la cuarta sección y es una herramienta básica en los
espacios de Hilbert. Permite definir las bases hilbertianas que descomponen
al espacio. En la última sección probamos el Teorema de Riesz-Fréchet: todo
espacio de Hilbert es isomorfo a su dual. Éste tiene aplicaciones en problemas
de minimización.
Los textos [B], [CM] y [Y] y en problemas [TM] se han seguido en la
exposición siguiente.
4.1 Definiciones, primeras propiedades y ejemplos
Definición 4.1 Sea H un espacio vectorial sobre K = R, C. Un producto
escalar o producto interno sobre H es una aplicación 〈 , 〉 : H × H → K
tal que
(i) 〈x, x〉 ≥ 0 para x ∈ H y 〈x, x〉 = 0 si y sólo si x = 0.
(ii) 〈x, y〉 = 〈y, x〉 para todos x, y ∈ H .
(iii)〈λx + µy, z〉 = λ〈x, z〉 + µ〈y, z〉 para todos x, y ∈ H y λ, µ ∈ K.
El par (H, 〈 , 〉) se llama espacio pre-Hilbert
Notas. Si K = R el producto escalar es un forma bilineal definida positiva,
mientras que si K = C la forma es anti-lineal en la segunda variable.
Definimos �x� := � 〈x, x〉 para x ∈ X. Para probar que � · � es una norma
necesitamos el siguiente resultado.

94 Introducción a los espacios de Hilbert
Proposición 4.2 (Desigualdad de Cauchy-Schwarz) Sean x, y ∈ H donde H
es un espacio pre-Hilbert. Entonces
|〈x, y〉| ≤ �x� �y�.
Demostración. Sean x, y ∈ H y λ ∈ K entonces
0 ≤ 〈x + λy, x + λy〉 = 〈x, x〉 + 2ℜ(λ〈x, y〉) + |λ| 2 〈y, y〉.
〈x, y〉
Si y = 0 la desigualdad es trivialmente cierta; si y �= 0 tomamos λ = −
�y�2 y obtenemos que
Por tanto |〈x, y〉| ≤ �x� �y�. ⊓⊔
0 ≤ �x� −
|〈x, y〉|2
�y� 2 .
Teorema 4.3 Sea (H, 〈 , 〉) un espacio pre-Hilbert. Entonces (H, � · �) es
un espacio vectorial normado donde la aplicación � · � : H → K está definida
mediante
�x� := � 〈x, x〉, x ∈ X.
Demostración. Basta probar la desigualdad triangular de la norma, pues las
demás condiciones son inmediatas. Sean x, y ∈ H. Entonces
�x + y� 2 = 〈x + y, x + y〉 = �x� 2 + 〈x, y〉 + 〈y, x〉 + �y� 2
≤ �x� 2 + 2|〈x, y〉| + �y� 2 ≤ (�x� + �y�) 2 ,
donde aplicamos la desigualdad de Cauchy-Schwarz. ⊓⊔
Definición 4.4 Un espacio pre-Hilbert (H, 〈 , 〉) se dice de Hilbert si es
completo con la topología asociada al producto escalar, es decir, a la norma
definida por éste.
Desarrollamos las primeras secciones de este capítulo en espacios pre-
Hilbert señalando los resultados que se cumplen para espacios de Hilbert.
En las últimas secciones la completitud del espacio es necesaria y se trabaja
en espacios de Hilbert.
A continuación damos algunos ejemplos de espacios pre-Hilbert. Las demostraciones
de algunas afirmaciones se dejan al estudiante.
Ejemplos. (1) El espacio Kn . Sean x ≡ (x1, . . . xn), y ≡ (y1, . . . yn) ∈ Kn ; la
expresión
n�
〈x, y〉 :=
es un producto escalar en K n cuya norma asociada � · � es la norma � · �2
definida en la sección 1.1, Ejemplo (1):
i=1
xiyi

Definiciones, primeras propiedades y ejemplos 95
�
n�
�x� = |xi| 2
i=1
� 1
2
= �x�2.
El espacio (K n , 〈 , 〉) es un espacio de Hilbert.
(2) El espacio ℓ 2 . Recordemos que el espacio ℓ 2 está definido como
ℓ 2 := {(xn) ∞ n=1 ⊂ K :
∞�
|xi| 2 < ∞},
(véase sección 1.1, Ejemplo (2)). Como |xiyi| ≤ 1
�
2 |xi| 2 + |yi| 2� , entonces
dados x ≡ (xi), y ≡ (yi) ∈ ℓ2 , la serie
∞�
〈x, y〉 := xiyi,
es convergente, (en realidad es absolutamente convergente) y es directo probar
que 〈 , 〉 es un producto escalar en ℓ 2 cuya norma asociada es � · �2. El
espacio (ℓ 2 , 〈 , 〉) es un espacio de Hilbert.
(3) El espacio de las funciones continuas. Sea el espacio C([0, 1]) (sección 1.1,
Ejemplo (3)) y consideremos la expresión
〈f, g〉 :=
� 1
0
i=1
n=1
f(t)g(t)dt, f, g ∈ C([0, 1]).
Es fácil probar que 〈 , 〉 es un producto escalar y (C([0, 1]), 〈 , 〉) es un
espacio pre-Hilbert cuya norma asociada es
�f�2 =
�� 1
0
|f(t)| 2
� 1
2
, f ∈ C([0, 1]).
La compleción de C([0, 1]) en la norma � �2 es el conjunto de las funciones
de cuadrado integrable, L 2 ([0, 1]).
(4)El espacio de las funciones holomorfas. Sean D := {z ∈ C ; |z| < 1} y
H 2 ∞�
�
�
(D) := {f : D → C ; f es holomorfa, �
f
�
(n) �2
(0) �
�
n! � < ∞}.
Dadas f, g ∈ H 2 (D), la serie
〈f, g〉 :=
∞�
n=0
n=0
f (n) (0) g
n!
(n) (0)
n!
define un producto escalar en H2 (D) cuya norma asociada es
�
∞� �
�
�f� = �
f
�
(n) � � 1
2 2
(0) �
�
n! � .
n=0
El espacio (H 2 (D), 〈 , 〉) es de Hilbert.

96 Introducción a los espacios de Hilbert
4.2 El espacio ℓ 2 (I)
En esta sección estudiamos el espacio de Hilbert ℓ 2 (I) donde I es un conjunto
de índices. Estos espacios son canónicos entre los espacios de Hilbert ya que
probaremos en la sección quinta que todo espacio de Hilbert es isomorfo a
un espacio ℓ 2 (I) para un determinado conjunto de índices I (Teorema 4.36,
Teorema de Riesz-Fischer).
Introducimos la sumabilidad para índices no numerables. Esta definición
extiende a la sumabilidad conocida (en el caso finito) y a la sumabilidad para
series absolutamente convergente de índices contables (Proposición 4.9, [S]).
Definición 4.5 Sea I un conjunto de índices cualquiera. Se dice (ai)i∈I ⊂ K
es sumable a s ∈ K si, para todo ε > 0, existe J0 ⊂ I finito tal que, si J es
finito y J0 ⊂ J ⊂ I, se cumple que
|s − �
ai| < ε.
i∈J
Entonces se escribe que s = �
i∈I ai.
Se tiene unicidad de la suma de la serie, y se conserva la sumabilidad a
través de las operaciones de la suma y del producto por escalares.
Definición 4.6 El espacio ℓ 2 (I) se define mediante
ℓ 2 (I) := {(ai)i∈I ⊂ K : (|ai| 2 )i∈I sumable }.
La siguiente proposición caracteriza a las sucesiones de índice I que son
sumables y permite un manejo más sencillo de las mismas.
Proposición 4.7 Sea (ai)i∈I ⊂ K. Entonces (ai)i∈I es sumable si y sólo si
sup{ �
|ai| ; J ⊂ I, J finito } < ∞.
i∈J
En este caso, además
| �
ai| ≤ �
|ai| = sup{ �
|ai| ; J ⊂ I, J finito } < ∞.
i∈I
i∈I
i∈J
Demostración. Sea (ai)i∈I ⊂ K sumable con s = �
i ai, y definimos P :=
{i ∈ I ; ℜai ≥ 0}. Para ε = 1 existe J0 finito tal que si J finito cumple que
J0 ⊂ J ⊂ I entonces
|s − �
ai| < 1.
i∈J
Sea A ⊂ P con A finito, entonces se tiene que
�
|ℜai| = |ℜ �
ai| ≤ | �
ai + �
i∈A
i∈A
i∈A
i∈J0\A
ai − s − �
i∈J0\A
ai + s|

El espacio ℓ 2 (I) 97
≤ | �
ai − s| + �
|ai| + |s| ≤ 1 + �
|ai| + |s|.
i∈A∪J0
i∈J0
Por tanto existe C > 0 (independiente de A) tal que �
i∈A |ℜai| ≤ C para
todo A finito con A ⊂ P . Análogamente se hace con I\P , luego existe C1 > 0
tal que para todo J finito se cumple
�
|ℜai| ≤ C
i∈J
para todo J finito con J ⊂ I. Actuando de idéntica forma con ℑai concluimos
que existe K > 0 tal que
�
|ai| ≤ �
(|ℜai| + |ℑai|) ≤ K
i∈J
i∈J
para todo J ⊂ I finito.
Recíprocamente, consideremos el caso particular en que ai ≥ 0 para todo
i ∈ I y sea s = sup{ �
i∈J ai J ⊂ I, J finito } ∈ K. Tomemos ε > 0; sabemos
que existe J0 ⊂ I finito tal que
s < �
ai + ε.
i∈J0
Si ahora J finito cumple que J0 ⊂ J ⊂ I, entonces
�
ai ≤ s < �
ai + ε ≤ �
ai + ε.
i∈J
i∈J0
Por tanto |s − �
i∈J ai| < ε para J finito con J0 ⊂ J ⊂ I, y s = �
i∈I ai. En
el caso general ai = bi − ci + i(di − ei) con bi, ci, di, ei ≥ 0, podemos separar
en cuatro sumandos y, debido a que bi, ci, di, ei ≤ |ai|, concluimos de forma
análoga el resultado.
Para la demostración de la segunda parte del resultado, aplicamos la
primera parte ya probada a (|ai|)i∈I ⊓⊔.
Definición 4.8 Sea I un conjunto de índices cualquiera y consideremos x ≡
(xi)i∈I, y ≡ (yi)i∈I ∈ ℓ 2 (I). Se define el producto 〈x, y〉 mediante
〈x, y〉 = �
xiyi.
i∈I
Este producto está bien definido. Para probarlo basta usar que |xiyi| ≤
1
2 (|xi| 2 +|yi| 2 ) y aplicar la proposición anterior. Es más, es sencillo comprobar
que 〈 , 〉 es un producto escalar en ℓ 2 (I) y además (ℓ 2 (I), 〈 , 〉) es un
espacio pre-Hilbert, cuya norma asociada es
�
�
�(xi)i∈I� = |xi| 2
i∈I
i∈J
i∈J0
� 1
2
, (xi)i∈I ∈ ℓ 2 (I).

98 Introducción a los espacios de Hilbert
Es más, (ℓ 2 (I), 〈 , 〉) es un espacio de Hilbert (Teorema 4.10) pero antes
de demostrarlo, consideremos la sumabilidad en el caso I = N.
Proposición 4.9 Sean (ai)i∈N ⊂ K. Son equivalentes:
(i) (ai)i∈N es sumable en el sentido de la Definición 4.5,
∞�
(ii) |ai| < ∞.
i=1
En tal caso � ∞�
ai = ai.
i∈N
i=1
Demostración. Para probar que (i) ⇔ (ii) basta aplicar que (ai)i∈N es sumable
si y sólo si
sup{ �
|ai| ; J ⊂ N, J finito } < ∞,
i∈J
que es la Proposición 4.7.
Sean s = �
i∈N ai y ε > 0. Existe J0 finito con J0 ⊂ N tal que para todo
J finito con J0 ⊂ J ⊂ N se cumple que
|s − �
ai| < ε.
i∈J
Sea n0 = max{i ; i ∈ J0}. Para cada n ≥ n0, se tiene que J0 ⊂ {1, . . . , n} y
por tanto
n�
|s − ai| < ε,
es decir,
i=1
i∈N
i=1
∞�
ai converge y �
∞�
ai = s = ai. ⊓⊔
Nótese que en particular ℓ 2 (N) = ℓ 2 (véase sección 1.1, Ejemplo (2)).
Teorema 4.10 Para todo I conjunto de índice cualesquiera, ℓ 2 (I) es un espacio
de Hilbert.
Demostración. Basta con probar que ℓ 2 (I) es completo con la topología asociada
al producto escalar. Sea (a n ) ⊂ ℓ 2 (I) una sucesión de Cauchy con
a n = (a n i )i∈I. Nótese que para cada b ≡ (bi)i∈I ∈ ℓ 2 (I), se cumple que
i=1
�b� 2 = �
|bi| 2 = sup{ �
|bi| 2 ; J ⊂ I, J finito } < ∞,
i∈I
i∈J
y por tanto |bi| ≤ �b� para todo i ∈ I. De aquí se obtiene que las sucesiones
(a n i )n ⊂ K son de Cauchy para cada i ∈ I, por tanto convergentes para cada
i ∈ I. Sean ai = limn a n i para cada i ∈ I. Falta probar que a ∈ ℓ2 (I) y
(a n )n∈N → a en ℓ 2 (I).

Espacios hilbertizables y teorema del vector minimizante 99
Por ser (an )n∈N de Cauchy, dado ε > 0 existe n0 ∈ N tal que �an−a m� ≤ ε
para todo m, n > n0, y por la Proposición 4.7
sup{ �
|a n i − a m i | 2 ; J ⊂ I finito } ≤ ε 2 .
i∈J
Tomamos J ⊂ I finito cualquiera y se tiene que
�
i∈J
|a n i − a m i | 2 ≤ ε 2 .
Nótese que si tomando n ≥ n0, hacemos m → ∞ se tiene que
�
y por tanto
sup{ �
i∈J
i∈J
|a n i − ai| 2 ≤ ε 2 ,
|a n i − a i | 2 ; J ⊂ I finito } ≤ ε 2 .
Luego a n − a ∈ ℓ 2 (I) y al ser un espacio vectorial a ∈ ℓ 2 (I). Así se tiene que
a n → a en ℓ 2 (I) ya que �an − a� ≤ ε 2 para todo n ≥ n0. ⊓⊔
4.3 Espacios hilbertizables y teorema del vector minimizante
Dado (X, � · �) un espacio vectorial normado, resulta natural preguntarse si
existe un producto escalar 〈 , 〉 : X × X → K tal que
�x� 2 = 〈x, x〉, x ∈ X.
Estos espacios normados se dicen hilbertizables y las normas hilbertianas. El
Teorema 4.12 caracterizará los espacios hilbertizables. Antes probamos el siguiente
resultado para espacios pre-Hilbert.
Proposition 4.11. (Identidades de polarización) Sea (H, 〈
pre-Hilbert.
, 〉) un espacio
(i) Si K = R entonces 〈x, y〉 = 1
�
2 2
4 �x + y� − �x − y� � para x, y ∈ H.
(ii)Si K = C entonces 〈x, y〉 = 1
�
2 2 2 2
4 �x + y� − �x − y� + i�x + iy� − i�x − iy� �
para x, y ∈ H.
Demostración. Sean x, y ∈ H. En el caso real,
�x + y� 2 = �x� 2 + 2〈x, y〉 + �y� 2
�x − y� 2 = �x� 2 − 2〈x, y〉 + �y� 2 ,
de donde se obtiene la igualdad (i). El caso (ii) se prueba de forma similar y
se deja como ejercicio. ⊓⊔

100 Introducción a los espacios de Hilbert
Teorema 4.12 (Ley del paralelogramo) Sea (X, � · �) un espacio normado.
El espacio (X, � · �) es hilbertizable si y sólo si
�x + y� 2 + �x − y� 2 = 2(�x� 2 + �y� 2 ), x, y ∈ X.
Demostración. Sea (X, � · �) hilbertizable, entonces
�x + y� 2 = �x� 2 + 〈y, x〉 + 〈x, y〉 + �y� 2 ,
�x − y� 2 = �x� 2 + 〈−y, x〉 + 〈x, −y〉 + �y� 2 ,
y se obtiene la igualdad sumando ambas identidades.
Recíprocamente, sea K = R ó C. Definimos 〈 , 〉 mediante las identidades
de polarización (Proposición 4.11), comprobamos que es un producto
escalar y
�x� 2 = 〈x, x〉, x ∈ X.
Con ello terminamos la demostración. ⊓⊔
La ley del paralelogramo se usa en la demostración del teorema del vector
minimizante para conjuntos convexos y completos en espacios pre-Hilbert.
Recordemos que A ⊂ E es convexo, donde E es un espacio vectorial, si cumple
que
[x, y] := {λx + (1 − λ)y ; 0 ≤ λ ≤ 1} ⊂ A,
para todo x, y ∈ A.
Teorema 4.13 (Teorema del vector minimizante) Sean (H, 〈 , 〉) un espacio
pre-Hilbert, ∅ �= S ⊂ H con S un subconjunto convexo y completo y
x ∈ H. Entonces existe un único yx ∈ S tal que
�x − yx� = d(x, S) := inf{�x − z� ; z ∈ S}.
El vector yx se dice vector minimizante.
Demostración. Sea δ = d(x, S) e (yn)n ⊂ S una sucesión tal que �x−yn� → δ.
Probemos que (yn)n es una sucesión de Cauchy. Si n, m ∈ N entonces por la
ley del paralelogramo
�yn − ym� 2 = 2�x − ym� 2 + 2�x − yn� 2 − 4�x − 1
2 (yn + ym)� 2 .
Por ser S convexo 1
2 (yn + ym) ∈ S y �x − 1
2 (yn + ym)� ≥ δ y por tanto
�yn − ym� 2 ≤ 2(�x − ym� 2 − δ 2 ) + 2(�x − yn� 2 − δ 2 ).
Como �x−ym� 2 −δ 2 → 0 concluimos que (yn)n es una sucesión de Cauchy. Por
ser completo S, (yn)n es una sucesión convergente y existe y := limn yn ∈ S
tal que
�x − y� = �x − lim n yn� = lim n �x − yn� = d(x, S).

Espacios hilbertizables y teorema del vector minimizante 101
Falta probar la unicidad del vector minimizante. Sea z ∈ S que cumpla que
�x − z� = d(x, S), entonces por la ley del paralelogramo
�y − z� 2 = 2(�x − z� 2 + �x − y� 2 ) − 4�x − 1
2 (y + z)�2 ≤ 4δ 2 − 4δ 2 = 0,
por tanto y = z y el teorema está probado. ⊓⊔
Corolario 4.14 Sea H un espacio de Hilbert y S un subconjunto no vacío,
convexo y cerrado. Si x ∈ H entonces existe un único yx ∈ S tal que
�x − yx� = d(x, S).
Demostración. Notar que al ser S un subconjunto cerrado en un espacio H
completo entonces S es completo y podemos aplicar el teorema anterior. ⊓⊔
El teorema anterior permite definir la proyección de un vector x sobre un
subconjunto convexo y completo de un espacio pre-Hilbert.
Definición 4.15 Sean (H, 〈 , 〉) un espacio pre-Hilbert, S un subconjunto
convexo, completo y no vacío de H. Se define la aplicación proyección pS :
H → S, x ↦→ pS(x), tal que
�x − pS(x)� = d(x, S), x ∈ H.
A continuación probamos algunas propiedades de pS.
Proposición 4.16 Sean (H, 〈 , 〉) un espacio pre-Hilbert, S un subconjunto
convexo, completo y no vacío de H y pS : H → S definida anteriormente.
(i) Se cumple que x ∈ S si y sólo si pS(x) = x.
(ii)La aplicación pS es sobreyectiva y p2 S = pS.
(iii) La aplicación pS no es lineal en general.
(iv) La aplicación pS es continua.
Demostración. (i) Si x ∈ S entonces d(x, S) = 0 = �x − pS(x)� y por tanto
pS(x) = x. Recíprocamente, si x = pS(x) y como pS(x) ∈ S entonces x ∈ S.
(ii) Por la parte (i) es claro que es sobreyectiva y p 2 S (x) = pS(pS(x)) =
pS(x) para x ∈ H.
(iii) Si pS fuera lineal entonces se tendría
pS(λx + µy) = λx + µy,
y por tanto λx + µy ∈ S para todo λ, µ ∈ K y x, y ∈ S. Por tanto S sería un
subespacio y no todo conjunto convexo y completo de un espacio pre-Hilbert
es un subespacio.
(iv) Al no ser pS lineal, la continuidad hay que probarla directamente.
Sean x, y ∈ H. Para todo z ∈ S se tiene que �y − z� ≤ �y − x� + �x − z�, y
tomando el ínfimo en z, vemos que

102 Introducción a los espacios de Hilbert
d(y, S) ≤ �y − x� + d(x, S).
Aplicando de nuevo la ley del paralelogramo obtenemos que
�pS(x) − pS(y)� ≤ 2�pS(x) − x� 2 + 2�pS(y) − x� 2 − 4�x − 1
2 (pS(x) + pS(y))� 2
≤ 2d(x, S) 2 + 2(�pS(y) − y� + �y − x�) 2 − 4d(x, S) 2
≤ 2(d(x, S) + 2�x − y�) 2 − 2d(x, S) 2 .
Por tanto si y → x entonces pS(y) → pS(x). ⊓⊔
A continuación caracterizamos a los vectores que son proyecciones sobre
un subconjunto convexo y completo de vectores fijados.
Teorema 4.17 Sean (H, 〈 , 〉) un espacio de pre-Hilbert, S un subconjunto
convexo, completo y no vacío de H y x, y ∈ H. Entonces y = pS(x) si
y sólo si y ∈ S con ℜ〈x − y, z − y〉 ≤ 0 para todo z ∈ S.
Demostración. Sean x, y ∈ H, z ∈ S y 0 < λ < 1. Si y = pS(x) entonces
y + λ(z − y) = λz + (1 − λ)y ∈ S y
�x − y� = d(x, S) ≤ �x − y − λ(z − y)�.
Usando �a − b� 2 = �a� 2 − 2ℜ〈a, b〉 + �b� 2 se tiene que
Por tanto
�x − y� 2 ≤ �x − y� 2 − 2ℜ〈x − y, λ(z − y)〉 + λ 2 �z − y� 2 .
2λℜ〈x − y, z − y〉 ≤ λ 2 �z − y� 2 ,
de donde se obtiene la desigualdad.
Recíprocamente, si y ∈ S y ℜ〈x − y, z − y〉 ≤ 0 para todo z ∈ S entonces
�x − z� 2 = �x − y� 2 − 2ℜ〈x − y, z − y〉 + �z − y� 2 ≥ �x − y� 2 ,
para todo z ∈ S; de donde concluimos que y = pS(x). ⊓⊔
En el caso que S sea un subespacio (entonces es convexo) el teorema anterior
admite la siguiente mejora.
Teorema 4.18 Sean (H, 〈 , 〉) un espacio pre-Hilbert, M un subespacio
completo y no vacío de H y x, y ∈ H. Entonces y = pM (x) si y sólo si y ∈ M
con 〈x − y, z〉 = 0 para todo z ∈ M.
Demostración. Sean x ∈ H, y = pM (x), z ∈ M y λ ∈ K. Es claro que
y + λz ∈ M y por tanto
Así
�x − y� 2 ≤ �x − (y + λz)� 2 = �x − y� 2 − 2ℜ〈x − y, λz〉 + |λ| 2 �z� 2 .
2ℜ(λ〈x − y, z〉) ≤ |λ| 2 �z� 2

Ortogonalidad 103
y, si tomamos λ = t〈x − y, z〉 con 0 < t, se tiene que
2|〈x − y, z〉| 2 ≤ t|〈x − y, z〉|�z� 2 .
Haciendo tender t → 0 se obtiene el resultado.
Recíprocamente, dado v ∈ M
�x − v� 2 = �x − y� 2 − 2ℜ〈x − y, v − y〉 + �v − y� 2 ≥ �x − y� 2 ,
terminando la demostración. ⊓⊔
Nota. En el caso en que H sea espacio de Hilbert, basta exigir que el subespacio
M sea cerrado.
Como consecuencia del teorema anterior probamos que la proyección pM
(con M subespacio) es lineal.
Corolario 4.19 Sean (H, 〈 , 〉) un espacio pre-Hilbert y M un subespacio
completo no vacío de H. Entonces la aplicación pM es lineal.
Demostración. Sean u, v ∈ H y λ, µ ∈ M. Debemos probar que pM (λu+µv) =
λpM (u) + µpM (v). Sean y = λpM (u) + µpM (v) y z ∈ M. Entonces, por el
Teorema 4.18, se tiene que
〈λu + µv − y, z〉 = λ〈u − pM (u), z〉 + µ〈v − pM (v), z〉 = 0,
y como y ∈ M, se concluye que y = pM (λu + µv). ⊓⊔
Nota. La condición de completitud del subconjunto S o del subespacio M
es una condición necesaria para los resultados anteriores. Es fácil encontrar
contraejemplos de subconjuntos donde no existen vectores minimizantes o que
éstos no sean únicos, Ejercicios 4.3 y 4.4.
4.4 Ortogonalidad
La ortogonalidad es un concepto básico en espacios de Hilbert.
Definición 4.20 Sea (H, 〈 , 〉) un espacio pre-Hilbert. Se dice que un vector
x ∈ H es ortogonal al vector y ∈ H, y escribiremos x ⊥ y, si 〈x, y〉 = 0.
Sean F, G ⊂ H y x ∈ X.
(i) Se dice que x es ortogonal a F , x ⊥ F , si x ⊥ y para todo y ∈ F .
(ii) Diremos que el conjunto F es ortogonal a G, F ⊥ G, si x ⊥ y para todo
x ∈ F e y ∈ G.
(iii) Se define el complemento ortogonal de F , F ⊥ , mediante
F ⊥ := {x ∈ H ; x ⊥ F }.
(iv) El conjunto F se dice total si F ⊥ = {0}.

104 Introducción a los espacios de Hilbert
Por convenio se tiene que ∅ ⊥ = H. A continuación demostraremos algunas
propiedades de los subconjuntos ortogonales.
Proposición 4.21 Sea (H, 〈 , 〉) un espacio pre-Hilbert y ∅ �= S, T ⊂ H.
(i) EL conjunto S ⊥ es un subespacio vectorial cerrado de H.
(ii) S ⊂ S ⊥⊥ = (S ⊥ ) ⊥ .
(iii) Si S ⊂ T entonces T ⊥ ⊂ S ⊥ .
(iv) S ⊥ = S ⊥⊥⊥
(v) S ∩ S ⊥ = {0} ∩ S.
Demostración. Es claro que si x, y ∈ S ⊥ entonces λx + µy ∈ S ⊥ para todo
λ, µ ∈ S. Además si (xn) ⊂ S ⊥ y xn → x en H entonces es fácil probar que
x ∈ S ⊥ , ya que
〈x, z〉 = 〈lim n xn, z〉 = lim n 〈xn, z〉 = 0, z ∈ S,
(por la desigualdad de Cauchy-Schwarz, la aplicación 〈·, z〉 : H → K es continua
y lineal); en otras palabras
S ⊥ = �
(〈·, z〉) −1 ({0});
z∈S
al ser (〈·, z〉) −1 ({0}) cerrado entonces S ⊥ es cerrado, con lo que tenemos la
parte (i).
Para (ii), tomamos x ∈ S. Entonces 〈x, y〉 = 0 para todo y ∈ S ⊥ , luego es
claro que x ∈ (S ⊥ ) ⊥ .
Para (iii), sea x ∈ T ⊥ ; entonces 〈x, y〉 = 0 para todo y ∈ T , en particular
〈x, y〉 = 0 para todo y ∈ S y x ∈ S ⊥ .
Para probar (iv) observamos que por (ii) se tiene que S ⊥ ⊂ (S ⊥ ) ⊥⊥ =
S ⊥⊥⊥ y por el apartado (iii) se tiene que S ⊥⊥⊥ = (S ⊥⊥ ) ⊥ ⊂ S ⊥ . Por tanto
S ⊥ = S ⊥⊥⊥ .
Por último, para (v), si x ∈ S ∩ S ⊥ entonces 〈x, x〉 = 0 y x = 0. Nótese
que 0 ∈ S ⊥ . ⊓⊔
Una consecuencia de las propiedades anteriores es el siguiente teorema de
descomposición de un espacio pre-Hilbert.
Teorema 4.22 Sea (H, 〈 , 〉) un espacio pre-Hilbert y M un subespacio
vectorial completo de H. Entonces
H = M ⊕ M ⊥ ,
es decir, M ∩ M ⊥ = {0} y H = M + M ⊥ . Por tanto M ⊥⊥ = M.
Demostración. Por la Proposición 4.21 (v) se tiene que M ∩ M ⊥ = {0}. Sea
ahora x ∈ H, claramente
x = pM (x) + (x − pM (x)),

Bases hilbertianas 105
donde obviamente pM (x) ∈ M. Falta comprobar que x − pM (x) ∈ M ⊥ . Sea
z ∈ M, entonces por el Teorema 4.18
〈x − pm(x), z〉 = 0,
por tanto x − pM (x) ∈ M ⊥ .
Para terminar falta probar que M ⊥⊥ ⊂ M, ya que por la Proposición 4.21
(ii) M ⊂ M ⊥⊥ . Sea x ∈ M ⊥⊥ entonces x = y + z con y ∈ M y z ∈ M ⊥ , pero
nótese que
0 = 〈x, z〉 = 〈y, z〉 + 〈z, z〉 = 〈z, z〉.
Por tanto z = 0 y se cumple que x = y ∈ M. ⊓⊔
Nota. Si x ∈ H la descomposición de x correspondiente a H = M ⊕ M ⊥ es
x = pM (x) + p M ⊥(x).
Nótese que, por la Proposición 4.21 (i), M ⊥ es un subespacio vectorial completo,
(M ⊥ ) ⊥ = M y la proyección ortogonal sobre un subespacio vectorial
completo es única.
Para terminar la sección damos dos corolarios del teorema anterior en
espacios de Hilbert.
Corolario 4.23 Sean H un espacio Hilbert y S ⊂ H. Entonces S ⊥⊥ es el
subespacio vectorial cerrado mínimo que contiene a S.
Demostración. Basta probar que si N es un subespacio vectorial cerrado tal
que S ⊂ N entonces S ⊥⊥ ⊂ N. Si S ⊂ N entonces N ⊥ ⊂ S ⊥ y S ⊥⊥ ⊂
N ⊥⊥ = N (N es completo y se puede aplicar el Teorema 4.22). ⊓⊔
Corolario 4.24 Sean H un espacio Hilbert y M un subespacio vectorial cerrado
de H. Entonces �pM � ≤ 1; es más, si M = {0} entonces �pM � = 0, y
si M �= {0} entonces �pM � = 1.
Demostración. El caso M = {0} es directo. Supongamos que M �= {0}.
Tomemos x ∈ H y tenemos x = pM (x) + p M ⊥(x), y
�x� 2 = �pM (x)� 2 +2ℜ〈pM (x), p M ⊥(x)〉+�p M ⊥(x)� 2 = �pM (x)� 2 +�p M ⊥(x)� 2
y por tanto �x� ≥ �pM � y �pM (x)� ≤ 1. Si 0 �= x ∈ M entonces pM (x) = x,
de donde 1 ≤ �pM � y se concluye que �pM � = 1. ⊓⊔
4.5 Bases hilbertianas
Las bases en espacios de Hilbert tienen sus precedentes en las bases de espacios
vectoriales de dimensión finita. Mientras que en espacios de Hilbert se entiende
por base ortonormal (o base hilbertiana) a un sistema ortonormal maximal de
elementos señalamos que existen diferentes definiciones de bases en espacios
de Banach.

106 Introducción a los espacios de Hilbert
Definition 4.25. Sean I un conjunto de índices y H un espacio pre-Hilbert.
(i) Una familia (ai)i∈I ⊂ H se dice ortogonal si 〈ai, aj〉 = 0 para todo i �= j
con i, j ∈ I.
(ii) Se dice ortonormal si es ortogonal y �ai� = 1 para todo i ∈ I.
(iii) Una familia ortonormal (ai)i∈I ⊂ H se dice maximal si no está contenida
estrictamente en ninguna otra familia ortonormal.
(iv) Se dice que (ai)i∈I ⊂ H es una base ortonormal de H si es una familia
ortonormal maximal.
Los dos resultados siguientes tratan sobre familias ortonormales en espacios
pre-Hilbert. El primero permite “ortonormalizar” una sucesión de vectores
linealmente independientes. El segundo afirma la existencia de bases.
Teorema 4.26 (Método de Gram-Schmidt) Sea (xn)n∈N una colección contable
(finito o numerable) de vectores linealmente independientes en un espacio
pre-Hilbert (H, 〈 , 〉). Si se define por inducción la sucesión de vectores
(un)n mediante las fórmulas
y1 := x1, u1 := y1
�y1� ,
n−1 �
yn := xn − 〈xn, uj〉uj, un := yn
�yn� ,
j=1
para n ≥ 2, entonces (un)n es una sucesión ortonormal en H, y para cada n
se tiene que
span{u1, . . . , un} = span{x1, . . . , xn}.
Demostración. Daremos una demostración constructiva por inducción. El
enunciado para n = 1 es directo ya que x1 �= 0. Por hipótesis de inducción
sean u1, u2, . . . un−1 ortonormales tales que
span{u1, . . . , un−1} = span{x1, . . . , xn−1}.
Nos proponemos construir y ∈ span{x1, . . . , xn} = span{u1, . . . un−1, xn} tal
que y sea ortogonal a span{u1, . . . , un−1}. Dicho vector es de la forma
y = a1u1 + . . . an−1un−1 + anxn.
Como y debe ser ortogonal a u1, . . . un−1 entonces an �= 0 y podemos tomar
an = 1. Debido a la ortogonalidad de y con uj con j ≤ n − 1 se tiene que
y por tanto
0 = 〈y, uj〉aj + 〈xn, uj〉, 1 ≤ j ≤ n − 1,
n−1 �
yn = xn − 〈xn, uj〉uj.
j=1

Bases hilbertianas 107
Como el vector yn es no nulo, (nótese que xn es linealmente independiente
de {u1, . . . un−1}), se define un := yn
�yn� . El conjunto ortonormal {u1, . . . , un}
cumple que
span{u1, . . . , un} = span{x1, . . . , xn}
y el teorema queda probado ⊓⊔
El siguiente resultado prueba la existencia de bases en espacios de Hilbert.
Teorema 4.27 Sea H un espacio pre-Hilbert. Toda familia ortonormal está
contenida en una base. En particular, cualquier espacio pre-Hilbert tiene una
base.
Demostración. Sea A el conjunto de las familias ortonormales que contiene
a una familia dada. Nótese que tal conjunto está parcialmente ordenado por
la inclusión. Además si (Fi)i∈I ⊂ A es un subconjunto totalmente ordenado
entonces ∪i∈IFi es una familia ortonormal que contiene a la familia dada y
es una cota del conjunto (Fi)i∈I. Por el lema de Zorn, existe un elemento
maximal que contiene a la familia dada. Este elemento maximal es una base
ortonormal. ⊓⊔
Proposición 4.28 Sea H un espacio pre-Hilbert y (ei)i∈I una base. Entonces
(ei)i∈I es total.
Demostración. Sea F = (ei)i∈I y supongamos que existe 0 �= x ∈ F ⊥ . Entonces
〈x, ei〉 = 0 para todo i ∈ I, el conjunto F ′ := (ei)i∈I ∪ { x
�x� } sería
ortonormal con F ⊂ F ′ . Al ser F maximal, se concluye que el elemento x no
existe y F ⊥ = {0}. ⊓⊔
Nota. En el caso de que H sea un espacio de Hilbert y F ⊂ H, F es total
si y sólo si span(F ) = H. Nótese que span(F ) es el menor subespacio cerrado
que contiene a F , es decir, F ⊥⊥ (Corolario 4.23).
Es lógico pensar que (al igual que en el caso finito-dimensional) las bases
en espacios de Hilbert permiten describir a los elementos del espacio. Así, uno
espera encontrar expresiones del tipo
x = �
λiei, x ∈ H,
i∈I
donde (λi)i∈I ⊂ K y (ei)i∈I es una base. Veremos que se dan estas descomposiciones,
pero para ello deberemos introducir el concepto de sumabilidad en
el espacio de Hilbert (compárese con la Definición 4.5 en la sección 4.2). A
partir de ahora consideraremos sólo espacios de Hilbert, ya que necesitamos
la condición de completitud.
Definición 4.29 Sean I un conjunto de índices y H un espacio de Hilbert.
Se dice que (xi)i∈I es sumable a x ∈ H, y se escribe

108 Introducción a los espacios de Hilbert
x = �
xi,
i∈I
si para todo ε > 0 existe J0 ⊂ I finito tal que para todo J finito con J0 ⊂ J ⊂ I
se tiene que
� �
xi − x� < ε.
i∈J
Esta definición coincide con la usual en el caso de que I sea finito o numerable.
Además se tiene la siguiente propiedad.
Proposition 4.30. Sean H un espacio de Hilbert y (xi)i∈I ⊂ H sumable a
x ∈ H. Entonces (〈xi, y〉)i∈I ⊂ K es sumable a 〈x, y〉, es decir
〈 �
xi, y〉 = �
〈xi, y〉.
i∈I
Demostración. Basta observar que si J ⊂ I es finito entonces
| �
〈xi, y〉 − 〈x, y〉| = |〈 �
xi − x, y〉| ≤ � �
xi − x� �y�
i∈J
por la desigualdad de Cauchy-Schwarz, obteniendo el resultado. ⊓⊔
i∈J
Este resultado permite identificar los coeficientes en las expresiones de un
vector en términos de los elementos de una familia ortonormal.
Corolario 4.31 Sean H un espacio de Hilbert, (ai)i∈I una familia ortonormal
y x = �
i∈I λiai ∈ H con (λi)i∈I ⊂ K. Entonces
i∈I
λi = 〈x, ai〉, i ∈ I.
Demostración. Inmediata a partir de la proposición anterior. ⊓⊔
Definición 4.32 Sean (ai)i∈I una familia ortonormal en un espacio de Hilbert
H y x ∈ H. Los números (〈x, ai〉)i∈I se llaman coeficientes de Fourier y la
expresión �
i∈I 〈x, ai〉ai se llama serie de Fourier de x respecto a (ai)i∈I.
Proposición 4.33 (Desigualdad de Bessel) Sean H un espacio de Hilbert
y (ai)i∈I una familia ortonormal. Entonces para cada x ∈ H se tiene que
(|〈x, ai〉| 2 )i∈I es sumable y además
�
i∈I
|〈x, ai〉| 2 ≤ �x� 2 .
Demostración. En realidad sólo hace falta probar que
�
i∈J
|〈x, ai〉| 2 ≤ �x� 2 ,
i∈J

Bases hilbertianas 109
con J finito por la Proposición 4.7. Llamamos λi = 〈x, ai〉 con i ∈ I y entonces
0 ≤ �x − �
λiai� 2 = �x� 2 − �
λi〈x, ai〉 − �
λi〈ai, x〉 + �
|λi| 2
i∈J
= �x� 2 − �
i∈J
|λi| 2 ,
concluyendo la demostración. ⊓⊔
Para series de Fourier se prueban las siguientes propiedades.
i∈J
Proposición 4.34 Sean H un espacio de Hilbert y (ai)i∈I una familia ortonormal.
(i) Para cada x ∈ X el conjunto {i ∈ I ; 〈x, ai〉 �= 0} es un conjunto numerable
o finito. Además (〈x, ai〉ai)i∈I es sumable en H.
(ii)Sea (λi)i∈I ⊂ K. Entonces (λiai)i∈I es sumable en H si y sólo si (|λi| 2 )i∈I
es sumable en K.
Demostración. Por la desigualdad de Bessel se tiene que para cada J ⊂ I
finito �
i∈J
|〈x, ai〉| 2 ≤ C�x� 2 .
Sea k ∈ N y consideramos el conjunto Ik := {i ∈ I ; |〈x, ai〉| ≥ 1
k }. Nótese que
el cardinal de Ik es finito y además
{i ∈ I ; 〈x, ai〉 �= 0} = �
Ik.
Por tanto {i ∈ I ; 〈x, ai〉 �= 0} es numerable o finito. Sean (bi)i∈N obtenidos de
(ai)i∈I tales que {i ∈ I ; 〈x, ai〉 �= 0}. Veamos que �
i∈N 〈x, bi〉bi es una serie
de Cauchy. En efecto sean m ≥ n ∈ N. Entonces
�
m�
〈x, bi〉bi −
i=1
n�
〈x, bi〉bi� 2 = �
i=1
m�
i=n+1
k∈N
i∈J
〈x, bi〉bi� 2 =
m�
i=n+1
i∈J
|〈x, bi〉| 2 ,
y como �
i∈N |〈x, bi〉 2 | < ∞, se obtiene que �
i∈N 〈x, bi〉bi es una serie de
Cauchy, por tanto convergente y
�
〈x, bi〉bi = �
〈x, ai〉ai,
i∈N
con lo que se tiene (i). Para probar (ii) tomamos x = �
i λixi ∈ H. Por la
desigualdad de Bessel
�x� 2 ≥ �
|〈λiai, aj〉| 2 = �
|λi| 2 .
i,j∈I
i∈I
i∈I

110 Introducción a los espacios de Hilbert
Recíprocamente la segunda implicación se demuestra de igual forma que el
apartado (i). ⊓⊔
La bases ortonormales están caracterizadas por la representación en serie
de Fourier de todo elemento del espacio de Hilbert.
Teorema 4.35 Sean H un espacio de Hilbert y (ei)i∈I una familia ortonormal
en H. Son equivalentes:
(i) la familia (ei)i∈I es una base ortonormal,
(ii)para todo x ∈ H se tiene que x = �
i∈I 〈x, ei〉ei,
(iii) para todo x, y ∈ H se tiene que 〈x, y〉 = �
i∈I 〈x, ei〉〈y, ei〉,
(iv) para todo x ∈ H se cumple que �x�2 = �
i∈I |〈x, ei〉| 2 .
Demostración. Presentamos una demostración círcular. Comenzamos por (i)
⇒ (ii). Sea x ∈ H. Por la Proposición 4.34 (i) se tiene que y = �
i∈I 〈x, ei〉ei ∈
H. Dado j ∈ I,
〈x − y, ej〉 = 〈x, ej〉 − 〈 �
〈x, ei〉ei, ej〉 = 〈x, ej〉 − 〈x, ej〉 = 0,
i∈I
por el Corolario 4.31. Por tanto (x − y) ⊥ (ej)j∈I y, por la Proposición 4.28,
x − y = 0, luego x = �
i∈I 〈x, ei〉ei.
Veamos ahora (ii) ⇒ (iii). Sean x, y ∈ H. Por la Proposición 4.30
〈x, y〉 = 〈 �
〈x, ei〉ei, y〉 = �
〈x, ei〉〈ei, y〉 = �
〈x, ei〉〈y, ei〉.
i∈I
i∈I
Simplemente tomando y = x en (iii) se obtiene (iv) .
Por último, sea x ∈ H tal que x ⊥ ei para todo i ∈ I. Entonces por (iv)
�x� 2 = �
i∈I |〈x, ei〉| 2 = 0 y x = 0. Luego (ei)i∈I es maximal, y por tanto es
base ortonormal y se tiene (i). ⊓⊔
Para terminar esta sección probaremos que todo espacio de Hilbert es
isomorfo a un espacio ℓ 2 (I) de los estudiados en la sección 4.2. Un isomorfismo
entre dos espacios de Hilbert (H1, H2) es una aplicación biyectiva, lineal y
continua que conserva el producto escalar, y se escribe H1 ∼ H2.
Teorema 4.36 (Teorema de Riesz-Fischer) Sea H un espacio de Hilbert y
sea (ei)i∈I una base ortonormal en H. Entonces
H ∼ ℓ 2 (I).
Demostración. Sea T : H → ℓ 2 (I) definida mediante
x ↦→ (〈x, ei〉)i∈I.
La aplicación T está bien definida ya que (〈x, ei〉)i∈I ∈ ℓ 2 (I) por el Teorema
4.35. Es claro que es lineal y conserva productos escalares ya que
i∈I

Duales de los espacios de Hilbert 111
〈T x, T y〉 = �
〈x, ei〉〈y, ei〉,
i∈I
también por el Teorema 4.35. Además es continua, ya que por la igualdad
anterior �T (x)� = �x�. Falta por comprobar que es biyectiva. Si T (x) = 0
entonces 〈x, ei〉 = 0 para todo i ∈ I y x = 0. Sean (λi)i∈I con (|λi|)i∈I
sumable. Entonces, por la Proposición 4.34, x = �
i∈I λiei está bien definido
y T (x) = (〈x, ei〉)i∈I = (λi)i∈I. ⊓⊔
4.6 Duales de los espacios de Hilbert
En el siguiente teorema probamos que los elementos del espacio de Hilbert
definen elementos del dual del espacio de Hilbert, Teorema de Riesz-Fréchet,
(véase Definición 1.7). Es más, ambos espacios, el espacio de Hilbert y su
dual, son isomorfos como espacios de Hilbert. El Teorema de Lax-Milgram, el
teorema principal de los problemas variacionales cuadráticos y la existencia
de soluciones clásicas para el problema de Sturm-Liouville son consecuencias
del Teorema de Riesz-Fréchet.
Teorema 4.37 (Teorema de Riesz-Fréchet) Sea H un espacio de Hilbert.
(i) Dado x ∈ H, la aplicación ux : H → K, ux(y) := 〈y, x〉 es lineal y
continua, es decir, ux ∈ H ′ .
(ii)La aplicación u : H → H ′ , x ↦→ ux es antilineal, biyectiva e isométrica.
Demostración. Para (i) es claro que la aplicación ux es lineal y continua ya
que por la Desigualdad de Cauchy-Schwarz,
y por tanto �ux� ≤ �x�. Es más
|ux(y)| = 〈y, x〉| ≤ �x� �y�,
|ux(x)| = |〈x, x〉| = �x� 2 ,
de donde �x� ≤ �ux� y por consiguiente �x� = �ux� y se tiene (i).
Por otra parte es directo probar que la aplicación x ↦→ ux es antilineal y
por la demostración del apartado (i) es una isometría.
Veamos que es biyectiva. Al ser lineal, la inyectividad equivale a probar
que ux = 0 si y sólo si x = 0, lo cual es cierto ya que �x� = �ux�. Sea ahora
F ∈ H ′ , es decir, F : H → K. Nos proponemos encontrar x ∈ H tal que
F (y) = 〈y, x〉, y ∈ H.
Si F = 0 basta tomar x = 0. Si F �= 0 sea N = ker F. Al ser N un subespacio
cerrado, N ⊥⊥ = N �= H y por tanto N ⊥ �= {0}. Sea 0 �= z ∈ N ⊥ . Como
N ∩N ⊥ = {0} entonces z �∈ N y F (z) �= 0. Sea v = z
con lo que F (v) = 1.
F (z)
Nótese que y − F (y)v ∈ N para todo y ∈ H, entonces

112 Introducción a los espacios de Hilbert
y F (y) = 〈y,
0 = 〈y − F (y)v, v〉 = 〈y, v〉 − F (y)�v� 2 ,
v
v
〉. Basta tomar x =
�v�2 �v�2 para ver que F = ux. ⊓⊔
Corolario 4.38 Si H es un espacio de Hilbert entones H ′ es también espacio
de Hilbert. Además H ′ es isomorfo a H.
Demostración. En H ′ se define el producto escalar 〈ux, uy〉 := 〈y, x〉 para
x, y ∈ H. Es fácil probar que es un producto escalar y que además
terminando la demostración. ⊓⊔
〈ux, ux〉 = �ux� 2 = �x� 2 ,
Un corolario importante del Teorema de Riesz-Fréchet es el conocido por
Teorema de Lax-Milgram, útil para probar la existencia de soluciones de
ecuaciones lineales diferenciales en derivadas ordinarias y derivadas parciales
(véase ejemplo al final de la sección). Recordemos algunos conceptos básicos
sobre formas bilineales.
Sea X un espacio normado sobre K. Una aplicación B : X × X → K
se dice forma bilineal si fijados x, y ∈ X, las aplicaciones B(x, ·) : X →
K, B(·, y) : X → K son lineales y se dice forma sesquilineal si la aplicación
B(·, y) : X → K es lineal y la aplicación B(x, ·) : X → K, es lineal conjugada,
es decir,
B(x, λy + µz) = λB(x, y + z) + µB(x, z), λ, µ ∈ K, x, y, z ∈ X.
Una forma bilineal se dice simétrica si B(x, y) = B(y, x) para x, y ∈ X;
acotada si existe M ≥ 0 tal que
|B(x, y)| ≤ M�x� �y�, x, y ∈ X;
y coerciva si existe K > 0 tal que B(x, x) ≥ K�x� 2 para todo x ∈ X.
Corolario 4.39 (Teorema de Lax-Milgram) Sean H un espacio de Hilbert
sobre K y B una forma sesquilineal en H acotada y coerciva. Entonces existe
un isomorfismo de espacios de Hilbert T : H → H unívocamente determinado
tal que
B(x, y) = 〈x, T (y)〉, x, y ∈ H.
Demostración. Sea el conjunto Y ⊂ H definido por
Y := {y ∈ H : existe y ∗ ∈ H tal que 〈x, y〉 = B(x, y ∗ ) para todo x ∈ H}.
Nótese que 0 ∈ Y , (0 ∗ = 0) y que el elemento y ∗ está unívocamente determinado
por y ya que B es coerciva. Por la sesquilinealidad de B, el conjunto Y
es un subespacio vectorial y la aplicación S : Y → H tal que S(y) = y ∗ es
lineal. Como

Duales de los espacios de Hilbert 113
K�S(y)� 2 ≤ B(S(y), S(y)) = 〈S(y), y〉 ≤ �S(y)� �y�,
se obtiene la continuidad de S y además �S� ≤ K −1 . Probemos que Y es
cerrado. Sea (yn) ⊂ Y con y = limn yn. Entonces
〈x, y〉 = lim n 〈x, yn〉 = lim n (x, S(yn)) = B(x, S(y)),
es decir, y ∈ Y . Sea z ∈ Y ⊥ . Se define el funcional f : H → K mediante
f(x) := B(x, z), con x ∈ H. Por el Teorema 4.37 existe w ∈ H tal que
〈x, w〉 = f(x) = B(x, z), x ∈ H.
Por tanto w ∈ Y . Si tomamos x = z se tiene que B(z, z) = 0 y por tanto
z = 0, de donde concluimos que Y = H.
Probemos que S es sobreyectiva. Si z ∈ H entonces repitiendo el razonamiento
anterior existe w ∈ H tal que z = S(w). También S es inyectiva, ya
que si S(y) = 0 entonces 〈x, y〉 = B(x, S(y)) = 0 para todo x ∈ X y por tanto
y = 0. Si consideramos T := S −1 entonces 〈x, T (y)〉 = B(x, y), y si tomamos
x = T (y) se obtiene, si M es una cota para B, que
�T (y)� 2 = B(T (y), y) ≤ M�T (y)� �y�,
de donde �T � ≤ M y �T −1 � = �S� ≤ K −1 , como habíamos dicho antes. ⊓⊔
Consideramos un segundo problema de mínimos, esta vez para formas
bilineales.
Teorema 4.40 (Teorema principal de los problemas variacionales cuadráticos)
Sean H un espacio de Hilbert real y B una forma bilineal simétrica, acotada
y coerciva en H. Sean b ∈ H ′ y F : H → R definida mediante
Entonces:
F (x) := 1
B(x, x) − b(x), x ∈ H.
2
(i) es condición necesaria y suficiente para que F alcance su mínimo en w ∈ H
que se verifique la ecuación
B(w, y) = b(y), y ∈ H.
(ii)la función real F alcanza un mínimo absoluto en H que además es único.
Demostración. Comenzamos con la prueba de (i). Debido a la simetría de B
se tiene la igualdad
F (w + ty) = 1
2 t2 B(y, y) + t(B(w, y) − b(y)) + F (w), t ∈ R, w, y ∈ H.

114 Introducción a los espacios de Hilbert
Si la función tiene un mínimo en w entonces F (w + ty) ≥ F (w) para todo
t ∈ R e y ∈ H. Si la función ϕ(t) := F (w + ty) tiene un mínimo en t = 0
entonces ϕ ′ (0) = 0, obteniendo la igualdad buscada. Recíprocamente, si para
algún w ∈ H se cumple la condición, entonces
F (w + ty) = 1
2 t2 B(y, y) + F (w), t ∈ R, y ∈ H,
es decir, F (w + ty) ≥ F (w) para todo y ∈ H y t ∈ R. Entonces F (z) ≥ F (w)
para todo z ∈ H, concluyendo la demostración de (i).
Para (ii) probemos la existencia y unicidad del mínimo para F . Como B
es bilineal, simétrica y coerciva, define un producto escalar en H. Además la
norma asociada a tal producto escalar es una norma equivalente a la norma
de H ya que existen constantes M, K > 0 tales que
K�x� 2 ≤ B(x, x) ≤ M�x� 2 , x ∈ H.
El funcional b es continuo para el producto escalar que define B y por el
Teorema 4.37 existe un único w ∈ H tal que
B(y, w) = B(w, y) = b(y), y ∈ H.
Aplicando el apartado (i) concluimos la demostración de (ii). ⊓⊔
Nota. El teorema anterior se aplica en el principio de Dirichlet: dada una
función continua g definida en la frontera del disco unidad del plano complejo,
estudiar la existencia de una función u continua y armónica en el interior del
disco que coincida con g en la frontera (ver [CM]).
El problema de Sturm-Liouville
Sea H1 (I) el espacio de Sobolev definido por
�
uϕ ′ �
= −
H 1 (I) := {u ∈ L 2 (I) ; ∃g ∈ L 2 (I) tal que
I
I
gϕ ∀ ϕ ∈ C (1)
c (I)},
donde C (1)
c (I) = {ϕ ∈ C (1) (I) ; ϕ con soporte compacto} y se denota u ′ = g.
El espacio H 1 (I) es un espacio de Hilbert con producto escalar
〈u, v〉 H 1 (I) = 〈u, v〉 L 2 (I) + 〈u ′ , v ′ 〉 L 2 (I),
y la norma asociada �u�H1 (I) = �u�L2 (I) + �u ′ �L2 (I). La inyección H1 (I) ↩→
L2 (I) es continua y compacta ([Br, Teorema VIII.7]). Se dice que u ∈ H2 (I)
si u ′ ∈ H1 (I). El subespacio de Hilbert H1 0 (I) se define como la clausura de
C (1)
c (I) en H1 (I). El espacio H1 0 (I) es un espacio de Hilbert separable, (véanse
estas definiciones en [Br]).
Sea I = (0, 1). Consideramos el problema de Sturm-Liouville,

Duales de los espacios de Hilbert 115
�
′ ′ −(pu ) (x) + qu(x) = f(x),
u(0) = u(1) = 0,
x ∈ I,
(4.1)
donde p ∈ C (1) (I), q ∈ C(I) y f ∈ L 2 (I). Una solución clásica u es una
función u ∈ H 2 (I) que cumple la ecuación (4.1). Nos proponemos demostrar
la existencia de soluciones clásicas del problema de Sturm-Liouville.
Si u es una solución clásica de (4.1) entonces se tiene que
�
pu ′ v ′ � �
+ quv = fv, v ∈ H 1 0 (I).
I
I
Consideremos el espacio de Hilbert H 1 0 (I) y la forma bilineal continua y
simétrica
�
B(u, v) =
I
pu
I
′ v ′ +
�
I
quv.
Si p(x) ≥ α > 0 y q(x) ≥ 0 entonces esta forma es coerciva, ya que
�
B(u, u) = p(u ′ ) 2 �
+ qu 2 ≥ α�u ′ � 2 L2 (I) ≥ C�u�2H 1 (I) ,
I
I
donde hemos empleado la desigualdad de Poincaré: si I es un intervalo acotado
entonces �u�H1 (I) ≤ M�u ′ �2 L2 (I) . Nótese que esta desigualdad se cumple, ya
que al ser I finito y u ∈ H1 0 (I),
� x
y por tanto
|u(x)| = |u(x) − u(0)| = |
0
u ′ (t)dt| ≤ �u ′ � L 1 (I),
�u� 2 L 2 (I) ≤ �u′ � 2 L 1 (I) ≤ �u′ � 2 L 2 (I) ,
donde aplicamos la desigualdad de Hölder.
Nótese que por el Teorema principal de los problemas variacionales cuadráticos,
Teorema 4.40, existe u ∈ H 1 0 única tal que
y además
�
B(u, v) =
fv, v ∈ H
I
1 0 (I),
u = min
v∈H 1 0 (I)
� �
1
(pv
2 I
2 + qv 2 � �
) − fv .
I
Es claro que pu ′ ∈ H 1 (I), y por tanto u ′ = 1
p pu′ ∈ H 1 (I), con lo que u ∈ H 2 (I)
y es una solución clásica.

116 Introducción a los espacios de Hilbert
Ejercicios
(4.1) Sea (xn) m n=1 una familia ortonormal en un espacio de Hilbert H.
Pruébese que para cada x ∈ H
min �x −
λ1,...λm∈K
se alcanza si λn = 〈x, xn〉, n = 1, . . . m.
m�
λnxn�
(4.2) Sean H un espacio de Hilbert, x0 ∈ H y M un subespacio vectorial
cerrado en H. Pruébese que
n=1
min{�x − x0� ; x ∈ M} = max{|〈x0, y〉| ; y ∈ M ⊥ , �y� = 1}.
(4.3) Dado el espacio (C([0, 1]), � �∞) y
� 1
2
M := {f ∈ C([0, 1]); f −
0
� 1
1
2
f = 1}.
Pruébese que M es convexo y cerrado en C([0, 1]) pero no tiene elementos de
norma mínima.
(4.4) Pruébese que si M = {f ∈ L1 ([0, 1]); � 1
f = 1} entonces M es convexo
0
y cerrado en L1 ([0, 1]) con infinitos elementos de norma mínima.
(4.5) Sea H un espacio de Hilbert. Decimos que (xn) ∞ n=1 converge débilmente
a x, xn →w x si para cada y ∈ H se tiene que
Pruébese que
〈xn, y〉 → 〈x, y〉.
(i) si xn → x entonces xn →w x;
(ii) xn → x si y sólo si xn →w x y �xn� → �x�.
(4.6) Sea A convexo, cerrado y no vacío en un espacio de Hilbert, y sea
(xn) ∞ n=1 ⊂ A tal que xn →w x. Pruébese que x ∈ A.
(4.7) Sea (un) ∞ n=1 un sistema ortonormal en un espacio de Hilbert. Demuéstrese
que {un ; n = 1, 2, · · ·} es cerrado y acotado pero no compacto en H.
(4.8) Pruébese que
Lebesgue).
� π
−π
f(t) cos(nt)dt → 0 si f ∈ L 2 (T) (lema de Riemann-
(4.9) Sean H = L 2 ([−1, 1]) y un(t) = t n para n = 0, 1, . . . . Aplicando
el proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt se construye una sucesión
(en)n ortonormal.

Ejercicios 117
(i) Calcule explícitamente los tres primeros términos de dicha sucesión.
(ii)Pruébese que (en)n es una sucesión de polinomios, llamada sucesión de
polinomios de Legendre, que constituyen una base hilbertiana de H.
(iii) Pruébese que
ek(t) =
k�
j=0
akjt j , con akk > 0 y t k =
k�
bkjej(t), con bkk > 0.
(iv) Pruébese que si Pn es un polinomio de grado n, y 〈Pn(t), t j 〉 = 0 para
0 ≤ j < n, entonces Pn(t) = cnen(t) para cierto cn ∈ K.
(v) Sea Pn(t) = dn
dt n (t2 − 1) n . Utilizando integración por partes reiteradamente
pruébese que 〈Pn(t), t j 〉 = 0 con 0 ≤ j < n y Pn(t) = cnen(t)
con cn > 0.
(vi) Integrando por partes repetidas veces pruébese que
j=0
�Pn� 2 2 = (n!)2 2 2n+1
2n + 1
y obténgase la fórmula de Rodrigues:
�
en(t) = n + 1 1
2 2n d
n!
n
dtn (t2 − 1) n .
(4.10) Pruébese que entre todas las curvas cerradas y simples en el plano de
longitud L la circunferencia es la que encierra un área máxima.
Para ello:
(i) Demuéstrese que si f es una función definida en un intervalo [0, 2π] derivable,
con derivada continua, entonces el desarrollo de Fourier de f ′ se
obtiene derivando término a término el desarrollo de Fourier de f.
(ii)Si s es el parámetro arco entonces la curva admite una parametrización en
función de t := s/L, con t ∈ [0, 1], dada por
⎛
√
x(t) = a0 2 ⎝ �
an cos(2πnt) + �
⎞
bnsen(2πnt) ⎠ ,
Dedúzcase que
L 2 =
n≥1
n≥1
y(t) = c0 + √ ⎛
2 ⎝ �
cn cos(2πnt) + �
⎞
dnsen(2πnt) ⎠ .
� 1
0
n≥1
(x ′ ) 2 (t) + (y ′ ) 2 (t)dt = �
n≥1
n≥1
4π 2 n 2 (a 2 n + b 2 n + c 2 n + d 2 n).

118 Introducción a los espacios de Hilbert
(iii) Muéstrese que el área A que encierra la curva cumple que
A =
� 1
0
x(t) dy(t)
dt
�
dt = 2πn(andn − bncn).
(iv) Muéstrese que L 2 − 4πA ≥ 0, (desigualdad isoperimétrica), y que se da
la igualdad si y sólo si a1 = d1, b1 = −c1 y an = bn = cn = dn = 0 para
todo n ≥ 2.
n≥1

Notas históricas 119
4.7 Notas históricas
David Hilbert nació en 1862 en Könisberg (Prusia y actualmente Kaliningrado
Rusia) y murió en 1943 en Göttingen (Alemania). Estudió en la Universidad
de Königsberg bajo la dirección de Lindemann consiguiendo su doctorado
en 1885. Uno de sus grandes amigos fue Minkowski existiendo una fuerte
influencia mutua en sus respectivos progresos matemáticos.
Abandonó Könisberg en 1895 al conseguir un puesto en la Universidad de
Göttingen donde continuó enseñando ya el resto de su carrera. El puesto
dominante que ocupaba Hilbert en el mundo de las matemáticas después
de 1900 hizo que varias universidades intentaran conseguir sin éxito al brillante
profesor. Göttingen se convirtió en uno de los centros principales de las
Matemáticas durante más de treinta años.
La capacidad matemática de David Hilbert asombra tanto por la diversidad
de temas que trató como por la profundidad que alcanzó en ellos. Trabajó
en teoría invariante y probó su famoso teorema de Bases; en teoría algebraica
de números; en geometría axiomática donde se le considera que ha sido el
autor más influyente después de Euclides.
En el Segundo Congreso Internacional de Matemáticas en Paris en 1902
plantea en su conferencia The Problems of Mathematics una lista de 23 problemas
(algunos de los cuales todavía hoy sin resolver). Es un discurso lleno de
optimismo en las matemáticas:
Every mathematician certainly shares... the conviction that every mathematical
problem is necessarily capable of strict resolution... we hear within
ourselves the constant cry: There is the problem, seek the solution. You can
find it through pure thought...
Muchos han proclamado que en 1915 Hilbert descubrió las ecuaciones correctas
de la teoría general de la relatividad antes que Einstein pero sin embargo
nunca lo reclamó. En realidad el artículo de Hilbert publicado el 6 de
diciembre de 1915 no contiene tales ecuaciones mientras que aparecen en el
de Einstein de 2 Diciembre 1915.
Hilbert recibió muchos reconocimientos. En 1930 fue nombrado ciudadano
de honor de Könisberg y terminó su discurso de agradecimiento con sus seis
famosas palabras que muestran su entusiasmo por las matemáticas y por su
vida resolviendo problemas matemáticos:
Wir müssen wissen, wir werden wissen.
D. Hilbert se interesó por los sensacionales resultados de F. Fredholm
sobre resoluciones de ecuaciones integrales en el invierno de 1900-1901. Entre
1904 y 1910 Hilbert publicó seis artículos sobre las Ecuaciones Integrales en el
Göttingen Nachrichten, que fueron posteriormente reunidos en forma de libro
en 1912. En él aparecen nociones y directrices novedosas que posteriormente,
en manos de matemáticos como E. Schmidt y F. Riesz, van a convertirse en
los fundamentos del Análisis Funcional. Hilbert introduce los conceptos de
“sistema ortogonal completo de funciones”, prueba su famoso “principio de

120 Introducción a los espacios de Hilbert
elección” ( compacidad débil de la bola unidad de ℓ 2 ), estudia el problema de
Sturm-Liouville y considera formas cuadráticas generales.
Las ideas topológicas introducidas en la tesis de M. Fréchet (véase notas
históricas del capítulo 1) se difundieron rápidamente. Uno de los mejores
alumnos de Hilbert, E. Schmidt, definió en 1908 el “espacio de dimensión
infinita” ℓ 2 con las nociones actuales de producto escalar, norma, ortogonalidad,
etc. Introdujo el lenguaje geométrico moderno, probando el teorema de
la proyección ortogonal y el proceso de ortogonalización que lleva su nombre.
Otros dos jóvenes matemáticos E. Fischer y F. Riesz también adoptaron
esta visión geométrica y topológica del espacio de Hilbert, lo que les llevó a
descubrir (independientemente) el llamado “teorema de Fischer-Riesz” (1906-
1907). Este teorema establece una inesperada relación de estos teoremas con
otro gran descubrimiento de la época, la Teoría de integración de Lebesgue:
el espacio de Lebesgue de funciones de cuadrado integrable sobre [a, b] es isomorfo
al espacio de Hilbert ℓ 2 . Las consecuencias de este resultado estructural
hicieron ver la importancia del nuevo Análisis y abrieron el camino hacia la
introducción de los espacios L p y ℓ p por Riesz y, en definitiva, la aparición del
espacio normado de Banach.

5
Teoría espectral de operadores compactos normales
Aunque los principales resultados de las próximas secciones y los ejemplos que
trataremos al final de esta sección se enuncian en espacios de Hilbert, en la
primera sección trabajaremos en espacios normados y en espacios de Banach.
5.1 Inversión de operadores. Espectro
Sean X e Y espacios normados, y sea T ∈ L(X, Y ). Recordemos que se dice
que T es invertible si existe un operador S ∈ L(Y, X) tal que T S = IY y
ST = IX. En este caso se escribe S = T −1 . Nótese que la inversión del
operador T resuelve el siguiente problema: dado y ∈ Y encontrar x ∈ X tal
que
T (x) = y.
Definición 5.1 Sea X un espacio normado sobre K, T ∈ L(X) e I la identidad
sobre X.
(i) Se dice que λ ∈ K es un valor regular de T si T − λI es un operador
invertible. El conjunto de los valores regulares de T se denomina el conjunto
resolvente de T , ρ(T ).
(ii) Los valores no regulares de T se llaman valores espectrales de T . El conjunto
de los valores espectrales de T se denomina espectro de T , σ(T ).
Un número λ ∈ K se dice que es un valor propio de T si ker(T − λI) �= 0.
El conjunto de los valores propios de T se llama espectro puntual de T y
se denota σp(T ). Nótese que σp(T ) ⊂ σ(T ).
Si λ ∈ σp(T ) y T (x) = λx con x �= 0, entonces x se llama vector propio de
T correspondiente al valor propio λ. Al subespacio ker(T − λI) se le llama
subespacio propio correspondiente al valor propio λ.
En el caso que X sea un espacio finito dimensional, dim(X) = n y T ∈
L(X), es bien conocido que se cumple la igualdad

122 Teoría espectral de operadores compactos normales
n = dim(X) = dim(ker(T )) + dim(T (X)).
Notemos que T −λI es no invertible si y sólo si T −λI es no inyectivo. Por tanto
el espectro de T coincide con el espectro puntual de T y está formado a lo sumo
por n elementos, las raíces del polinomio característico P (λ) = det(T − λI)
(véase por ejemplo [Hu]).
En espacios de dimensión infinita la situación es distinta. Sea el espacio de
Hilbert ℓ 2 y consideremos el operador desplazamiento a derecha, Sr : ℓ 2 → ℓ 2
definido por
Sr(x1, x2, . . .) := (0, x1, x2, . . .).
Nótese que 0 ∈ σ(Sr), ya que Sr no es sobreyectivo, pero 0 �∈ σp(Sr), ya que
de hecho σp(Sr) = ∅.
A menudo, en teoría de operadores, expresiones formales válidas en el
campo escalar se cumplen también para operadores. Así la suma de la serie
geométrica
1
1 − a = 1 + a + a2 + . . .
con |a| < 1 en el caso escalar inspira el siguiente teorema en el caso vectorial.
Teorema 5.2 Sean X un espacio de Banach y T ∈ L(X) tal que �T � < 1.
Entonces I − T es invertible y se tiene
en L(X) siendo �(I − T ) −1 � ≤
(I − T ) −1 =
∞�
T n
n=0
1
1 − �T � , T 0 = I y T n = T ◦ . . . n ◦ T .
Demostración. Como X es espacio de Banach, L(X) es de Banach (Teorema
1.6) y por la Proposición 1.4 basta comprobar que
∞�
�T n � < ∞,
n=0
para concluir que S = � ∞
n=0 T n es convergente en L(X). Nótese que
S(I − T ) = S − ST = T 0 = I, (I − T )S = S − T S = I,
es decir que (I − T ) −1 = S. Por último
�(I − T ) −1 ∞�
� ≤ �T n ∞�
� ≤ �T � n 1
=
1 − �T �
n=0
con lo que se concluye la prueba. ⊓⊔
El operador (λI − T ) −1 , con λ ∈ ρ(T ), se llama operador resolvente, y es
fácil comprobar la identidad de la resolvente,
n=0

Inversión de operadores. Espectro 123
(λI − T ) −1 − (µI − T ) −1 = (µ − λ)(λI − T ) −1 (µI − T ) −1 , λ, µ ∈ ρ(T )
(véase por ejemplo [Re, Theorem V.5]).
Teorema 5.3 Sean X un espacio de Banach complejo y T ∈ L(X). Entonces
el espectro σ(T ) es un subconjunto compacto no vacío de C contenido en
D(0, �T �).
Demostración. Sea λ ∈ C\D(0, �T �). Entonces �T � |λ −1 | < 1 y por tanto
λI − T = λ(I − T/λ) es invertible por el Teorema 5.2, luego λ �∈ σ(T ) y
σ(T ) ⊂ B(0, �T �).
Consideremos la aplicación ϕ : C → L(X) tal que ϕ(λ) = λI − T . Claramente
es continua y ϕ −1 (Isom(X)) = C\σ(T ), donde Isom(X) es el conjunto
abierto de los operadores invertibles de L(X) (véase el ejercicio 5.1). Por tanto
σ(T ) es cerrado y compacto en C.
Falta comprobar que σ(T ) es no vacío. Para ello, procedemos por reducción
al absurdo. Supongamos que σ(T ) = ∅, y consideramos la aplicación φ : C →
L(X), φ(λ) = (λI − T ) −1 ; es continua por el ejercicio 5.1. Por la identidad de
la resolvente se tiene que
φ(λ + h) − φ(λ)
h
De aquí se deduce la existencia del límite,
= −φ(λ + h)φ(λ), λ, h ∈ C.
φ ′ φ(λ + h) − φ(λ)
(λ) = lim
= −φ(λ)
h→0 h
2 , λ ∈ C.
La función φ es una función holomorfa vectorial, (véase la definición en [R, p.
82]), y cumple que limλ→∞ �φ(λ)� = 0, ya que si |λ| > �T � entonces
�φ(λ)� = � 1 T
(I −
λ λ )−1� = � 1 � T
λ
n≥0
n 1 1
� ≤
λn |λ| 1 − �T �/|λ| =
1
|λ| − �T � .
Por el teorema de Liouville vectorial [R, Theorem 3.32], ésto implicaría que φ
es constante y φ(λ) = 0, imposible por la definición de φ. ⊓⊔
Nota. Otra demostración de este resultado, básico en teoría de operadores y
más generalmente en álgebras de Banach, puede encontrarse en [Br] y [R].
A continuación consideramos algunos ejemplos de operadores acotados en
espacios de Hilbert. El teorema 5.2 es utilizado para resolver problemas de
inversión.
Ejemplos (1) Sea (aij) ∞ i,j=1 una matriz infinita con aij ∈ K y tal que
� ∞
i,j=1 |aij| 2 < ∞. Sean H1, H2 dos espacios de Hilbert separables de dimensión
infinita con bases ortonormales (un)n y (vn)n respectivamente. Entonces
la fórmula

124 Teoría espectral de operadores compactos normales
�
∞�
�
∞�
�
∞�
�
T (x) = T 〈x, ui〉ui := aij〈x, ui〉vj
i=1
j=1 i=1
define un operador de H1 en H2 con
⎛
∞�
�T � ≤ ⎝
i,j=1
|aij| 2
En efecto, para ver que T está bien definido hay que probar que la serie
∞�
aij〈x, ui〉
i=1
es convergente, y si definimos bj := �∞ i=1 aij〈x, ui〉 entonces �∞ j=1 |bj| 2 < ∞.
Basta aplicar la desigualdad de Hölder (ejercicio 1.1) para obtener que
∞�
�
∞�
|aij| |〈x, ui〉| ≤
i=1
También obtenemos que
�T (x)� 2 =
i=1
|aij| 2
∞�
|bj| 2 ≤ �
j=1
terminando la prueba.
Si �
i,j=1 |aij| 2 < 1, el sistema
xi −
⎞
⎠
1
2
.
� 1
2 � ∞ �
i,j=1
i=1
|〈x, ui〉 2
|aij| 2 �x� 2 ,
∞�
aijxj = yi, i = 1, 2, . . . ,
j=1
� 1
2
.
tiene una única solución z = (z1, z2, . . .) para cada y = (y1, y2, . . .) ∈ ℓ2 .
Además los sistemas truncados
n�
xi − aijxj = yi, i = 1, 2, . . . , n,
j=1
tienen una única solución z (n) = (z (n)
1 , z (n)
2 , . . . z (n)
n ) y la sucesión Jn(z (n) )
tiene por límite z en ℓ 2 , donde Jn es la inclusión de K n en las primeras n
coordenadas de ℓ 2 .
Para demostrar la primera parte basta aplicar el Teorema 5.2 al operador
T : ℓ 2 → ℓ 2 . Sea Tn : ℓ 2 → ℓ 2 el operador definido a partir de la matriz
truncada, es decir, ãij = aij si 1 ≤ i, j ≤ n y ãij = 0 en otro caso. El sistema
truncado de nuevo tiene solución por el Teorema 5.2, y debido a la unicidad
de la solución es Jn(z (n) ). Falta comprobar que Jn(z (n) ) → z en ℓ 2 . Para ello

Inversión de operadores. Espectro 125
�z − Jnz (n) ∞�
� = � T k (y) − T k n (y (n) ∞�
)� = �
k=0
k=0
∞�
≤ � T
k=0
k (y − y (n) ∞�
)� + � (T
k=0
k − T k n )(y (n) )�
∞�
≤ � T k (y − y (n) ⎛
∞� k−1 �
)� + �T − Tn� � ⎝
k=0
T k (y (n) + y − y (n) ) − T k n y (n) �
k=0
j=0
T k−1−j T j n
1
≤
1 − �T � �y − y(n) � + �T − Tn� �y (n) �
∞�
� α
k=0
k−1
�
1
≤
1 − �T � �y − y(n) � + �T − Tn� �y�C
⎞
⎠ (y (n) )�
donde α = � ∞
i,j=1 |aij| 2 . Como limn �y − y (n) � = 0 y limn �T − Tn� = 0 se
concluye que z = limn Jn(z (n) ).
(2) Sea k ∈ L 2 ([a, b] × [a, b]). Entonces la fórmula
Kf(t) :=
� b
a
k(t, s)f(s)ds
define un operador acotado K : L2 ([a, b]) → L2 ([a, b]) (llamado operador
integral con núcleo k) que cumple
� b � b
�K� 2 ≤
a
a
|k(t, s)| 2 dtds.
La demostración es análoga al ejemplo anterior utilizando la desigualdad de
Hölder integral.
Si � b � b
a a |k(t, s)|2dtds < 1, entonces para cada g ∈ L2 ([a, b]) la ecuación
integral
f(t) −
� b
tiene una única solución, que es de la forma
a
g(t) +
k(t, s)f(s)ds = g(t) (5.1)
� b
a
˜k(t, s)g(s)ds,
donde ˜ k ∈ L2 ([a, b] × [a, b]). En efecto, aplicando el Teorema 5.2 tenemos que
el operador I − K es invertible y la solución de la ecuación (5.1) viene dada
por
f = (I − K) −1 ∞�
g = g + K n g.
Falta por comprobar que � ∞
n=1 Kn define un operador integral de núcleo ˜ k.
Para ello comprobemos que, por el teorema de Fubini,
n=1

126 Teoría espectral de operadores compactos normales
K 2 g(t) =
� b
a
k2(t, u)g(u)du,
donde k2(t, u) = � b
a k(t, s)k(s, u)ds, con k2 ∈ L 2 ([a, b] × [a, b]) y �k2� ≤ �k� 2 .
Recursivamente se construye una sucesión (kn)n ⊂ L 2 ([a, b] × [a, b]) tal que
(i) kn(t, u) = � b
a k(t, s)kn−1(s, u)ds, para n = 2, 3, . . ., con k1 = k.
(ii) �kn� ≤ �k� n para n ∈ N.
(iii) K n g(t) = � b
a kn(t, s)g(s)ds, para n = 1, 2, . . ..
Como �∞ n=1 �kn� < ∞ entonces ˜ k := �∞ n=1 kn converge en L2 ([a, b] × [a, b]).
Llamamos ˜ K al operador definido por el núcleo ˜ k. Para cada m ∈ N, se tiene
que
m�
� K n − ˜ m�
K� ≤ � kn − ˜ k�.
n=1
Tomando límite cuando m → ∞ se tiene que la solución a la ecuación 5.1
viene dada por la fórmula
f(t) = (I − K) −1 ∞�
g(t) = g(t) + K n � b
g(t) = g(t) + ˜k(t, s)g(s)ds.
n=1
5.2 Operadores autoadjuntos y normales en espacios de Hilbert
En esta sección definimos la noción de adjunto de un operador. Aunque el
adjunto de un operador se puede definir para espacios de Banach ([R, p.97]),
en esta sección nos basta trabajar en espacios de Hilbert con vistas al objetivo
principal del capitulo, la sección 5.4.
Proposición 5.4 Sean H1 y H2 espacios de Hilbert, y T ∈ L(H1, H2). Entonces
�T � = sup{|〈T (x), y〉| ; �x�, �y� ≤ 1} = sup{|〈T (x), y〉| ; �x� = �y� = 1}.
Demostración. Nótese que por la desigualdad de Cauchy-Schwarz, se tiene que
n=1
|〈T (x), y〉| ≤ �T (x)� �y� ≤ �T � �x� �y�.
Por tanto sup{|〈T (x), y〉| ; �x�, �y� ≤ 1} ≤ �T �. Por el teorema de Riesz,
Teorema 4.37, se tiene que
�T (x)� = sup{|〈y, T (x)〉| ; �y� ≤ 1}.
Para cada ε > 0 existe x ∈ X con �x� ≤ 1 tal que
�T � − ε ≤ �T (x)� ≤ sup{|〈T (x), y〉| ; �x�, �y� ≤ 1},
y por tanto �T � = sup{|〈T (x), y〉| ; �x�, �y� ≤ 1}. De forma similar se prueba
que �T � = sup{|〈T (x), y〉| ; �x�, �y� = 1}. ⊓⊔
a

Operadores autoadjuntos y normales en espacios de Hilbert 127
Teorema 5.5 Sean H1 y H2 espacios de Hilbert y T : H1 → H2 un operador
lineal y continuo. Entonces existe un único operador lineal y continuo T ∗ :
H2 → H1 tal que
〈T (x), y〉 = 〈x, T (y)〉,
para todo x ∈ H1 y para todo y ∈ H2. Además �T � = �T ∗ �.
Demostración. Para cada y ∈ H2 se define la aplicación lineal fy : H2 → K
mediante
fy(w) := 〈w, y〉, w ∈ H2.
Si consideramos la aplicación fy ◦ T : H1 → K es lineal y continua, y por el
Teorema 4.37, existe z ∈ H1 tal que
〈T (x), y〉 = fy(T (x)) = 〈x, z〉.
Si definimos T ∗ (y) := z entonces T ∗ : H2 → H1 es lineal y además
sup{|〈T (x), y〉| ; �x�, �y� ≤ 1} = sup{|〈x, T ∗ (y)〉| ; �x�, �y� ≤ 1},
y por la Proposición 5.4, se tiene �T ∗ � = �T �. ⊓⊔
Definición 5.6 Sean H1 y H2 espacios de Hilbert y T ∈ L(H1, H2). Al operador
T ∗ ∈ L(H2, H1) definido en el Teorema 5.5 se llama operador adjunto
de T .
Algunas propiedades inmediatas de los operadores adjuntos son las siguientes.
Proposición 5.7 Sean H1, H2 y H3 espacios de Hilbert, T, S ∈ L(H1, H2) y
R ∈ L(H2, H3). Entonces
(i) (λT + µS) ∗ = λT ∗ + µS ∗ con λ, µ ∈ K.
(ii)(T ∗ ) ∗ = T .
(iii)(T R) ∗ = R ∗ T ∗ .
(iv) Si T es invertible entonces T ∗ también, y (T ∗ ) −1 = (T −1 ) ∗ .
(v) �T T ∗ � = �T ∗ T � = �T � 2 .
(vi) ker(T ) = (Im(T ∗ )) ⊥ , ker(T ∗ ) = (Im(T )) ⊥ , (ker(T )) ⊥ = Im(T ∗ ),
(ker(T ∗ )) ⊥ = Im(T ).
(vii) λ ∈ σ(T ) si y sólo si λ ∈ σ(T ∗ ).
Demostración. Las cuatro primeras propiedades son de comprobación inmediata.
Para la propiedad (v) usamos que �T ∗ � = �T �, por lo que
�T ∗ T � ≤ �T � 2 .
Además se tiene por la desigualdad de Cauchy-Schwarz que
�T (x)� 2 = |〈T (x), T (x)〉| = |〈T ∗ T (x), x〉| ≤ �T ∗ T � �x� 2 ,

128 Teoría espectral de operadores compactos normales
de donde �T � 2 ≤ �T ∗ T � y obtenemos la igualdad �T � 2 = �T ∗ T �. Cambiando
los papeles de T y T ∗ obtenemos �T ∗ T � = �T T ∗ �.
Para probar (vi) tomamos x ∈ ker(T ). Entonces T (x) = 0 y equivalentemente
0 = 〈T (x), y〉 = 〈x, T ∗ (y)〉 para todo y ∈ H2, es decir x ∈ (Im(T ∗ )) ⊥ .
Así pues, ker(T ) = (Im(T ∗ )) ⊥ y por tanto ker(T ∗ ) = (Im(T )) ⊥ . Por otro lado
(ker(T )) ⊥ = (Im(T ∗ )) ⊥⊥ = Im(T ∗ ) y en consecuencia (ker(T ∗ )) ⊥ = Im(T ).
Por último si λ ∈ C\σ(T ) entonces (T − λI) es invertible y por (iv) su
adjunto (T ∗ − λI) también, es decir λ ∈ C\σ(T ∗ ). Recíprocamente si λ ∈
C\σ(T ∗ ), entonces λ ∈ C\σ(T ∗∗ ) = C\σ(T ). Así, λ ∈ σ(T ) si y sólo si
λ ∈ σ(T ∗ ) y el apartado (vii) está probado. ⊓⊔
Nótese que si H1 = H2 entonces T, T ∗ ∈ L(H1). En este caso se consideran
diversas clases de operadores:
Definición 5.8 Sea H un espacio de Hilbert y T ∈ L(H).
(i) El operador T se dice autoadjunto o hermitiano si T = T ∗ .
(ii) El operador T se dice normal si T T ∗ = T ∗ T .
(iii) El operador T se dice unitario si T T ∗ = I = T ∗ T .
(iv) El operador T se dice proyección si T 2 = T .
Nótese que todo operador autoadjunto es normal. Los operadores autoadjuntos
cumplen las siguientes propiedades.
Proposición 5.9 Sea H un espacio de Hilbert y T ∈ L(X) un operador autoadjunto.
Se cumple que
(i) 〈T (x), x〉 ∈ R para todo x ∈ H y
�T � = sup{|〈T (x), x〉| ; �x� ≤ 1} = sup{|〈T (x), x〉| ; �x� = 1}.
(ii) σp(T ) ⊂ R.
(iii) Si 〈T (x), x〉 = 0 para todo x ∈ H entonces T = 0.
(iv) H = ker(T ) ⊕ Im(T ).
(v) si S es autoadjunto entonces T + S es autoadjunto. El operador T S es
autoadjunto si y sólo si T S = ST .
Demostración. Comenzamos con (i). Notemos que
〈T (x), x〉 = 〈x, T ∗ (x)〉 = 〈x, T (x)〉 = 〈T (x), x〉,
y por tanto 〈T (x), x〉 ∈ R. Por la Proposición 5.4 se cumple que
sup{|〈T (x), x〉| ; �x� = 1} ≤ sup{|〈T (x), x〉| ; �x� ≤ 1} ≤ �T �.
Sean s = sup{|〈T (x), x〉| ; �x� = 1}, a ∈ R\{0} y los vectores
u = ax + 1
1
T (x), v = ax − T (x).
a a

Operadores autoadjuntos y normales en espacios de Hilbert 129
Como se cumple que |〈T 2 (x), x〉| = �T (x)� 2 y 〈T (u), u〉 − 〈T (v), v〉 =
4�T (x)� 2 , entonces
�T (x)� 2 ≤ 1
s
(〈T (u), u〉 − 〈T (v), v〉) ≤
4 4 (�u�2 + �v� 2 )
≤ s
4 (a2�x� 2 + 1
a2 �T (x)�2 ).
Sea ahora x ∈ H con �x� ≤ 1 y tal que T (x) �= 0, y tomamos a 2 = �T (x)�.
Entonces se cumple que �T (x)� 2 ≤ s�T (x)� y por tanto �T (x)� ≤ s, con lo
que tenemos la primera parte.
Los apartados (ii) y (iii) son consecuencias de (i) .
Para probar (iv) notamos que H = ker(T ) ⊕ (ker(T )) ⊥ = ker(T ) ⊕ Im(T )
por la Proposición 5.7 (vi).
Para (v) Basta aplicar la Proposición 5.7 (i) y (iii). ⊓⊔
Notas. En el caso de que K = C y T ∈ L(H), se puede probar que T es
autoadjunto si y sólo si 〈T (x), x〉 ∈ R para todo x ∈ H (véase por ejemplo [R]).
Además T se puede descomponer de la forma, T = A + iB con A, B ∈ L(X)
operadores autoadjuntos, donde
∗
∗
T + T T − T
A = , B = .
2
2i
A menudo los operadores A y B se llaman la parte real y la parte imaginaria
de T , A = ℜT y B = ℑT .
La siguiente proposición caracteriza a los operadores normales.
Proposición 5.10 Sean H un espacio de Hilbert y T ∈ L(X). Las siguientes
afirmaciones son equivalentes:
(i) el operador T es normal,
(ii) 〈T (x), T (y)〉 = 〈T ∗ (x), T ∗ (y)〉 para todos x, y ∈ H,
(iii) �T (x)� = �T ∗ (x)� para todo x ∈ H.
Además, en el caso en que K = C cada una de las afirmaciones anteriores
equivale a que
ℜ(T )ℑ(T ) = ℑ(T )ℜ(T ).
Demostración. Haremos una demostración cíclica. La implicación (i) ⇒ (ii)
es directa ya que al ser T normal
〈T (x), T (y)〉 = 〈x, T ∗ T (y)〉 = 〈x, T T ∗ (y)〉 = 〈T ∗ (x), T ∗ (y)〉,
para x, y ∈ H. (ii) ⇒ (iii) es directo. Veamos que (iii) ⇒ (i): como
〈T (x), T (x)〉 = 〈T ∗ (x), T ∗ (x)〉, entonces 〈T ∗ T (x), x〉 = 〈T T ∗ (x), x〉, y por
tanto
〈(T ∗ T − T T ∗ )(x), x〉 = 0.

130 Teoría espectral de operadores compactos normales
Como el operador T ∗ T − T T ∗ es autoadjunto, por la Proposición 5.9 (ii) se
tiene que T es normal.
En el caso que K = C se tiene que
y por tanto
T T ∗ = (ℜ(T )) 2 + (ℑ(T )) 2 − iℜ(T )ℑ(T ) + iℑ(T )ℜ(T )
T ∗ T = (ℜ(T )) 2 + (ℑ(T )) 2 + iℜ(T )ℑ(T ) − iℑ(T )ℜ(T ),
T T ∗ − T ∗ T = 2i(ℑ(T )ℜ(T ) − ℜ(T )ℑ(T )),
con lo que se concluye la prueba. ⊓⊔
Vamos a ver algunas propiedades de los operadores normales (y por tanto
de los operadores autoadjuntos). Estas propiedades se utilizarán en la sección
5.4.
Proposición 5.11 Sean H un espacio de Hilbert y T ∈ L(H) un operador
normal. Entonces se cumple que:
(i) para todo λ ∈ C, ker(T − λI) = ker(T ∗ − λI).
(ii)si λ �= µ entonces ker(T − λI) ⊥ ker(T − µI).
(iii) los subespacios ker(T − λI) y (ker(T − λI)) ⊥ son invariantes por T .
Demostración. Como T es normal entonces T − λI también lo es ya que
(T − λI)(T ∗ − λI) = T ∗ T − λT − λT ∗ + |λ| 2 I = (T ∗ − λI)(T − λI).
Por la Proposición 5.10, se cumple que
�(T − λI)x� = �(T ∗ − λI)x�,
para todo x ∈ X, lo que prueba (i).
Sean λ �= µ y sean x ∈ ker(T − λI), e y ∈ ker(T − µI). Entonces
λ〈x, y〉 = 〈T (x), y〉 = 〈x, T ∗ (y)〉 = µ〈x, y〉,
de donde se obtiene que 〈x, y〉 = 0 lo que da (ii).
Por último, si x ∈ ker(T − λI) entonces T (x) = λx ∈ ker(T − λI), y por
tanto ker(T −λI) es invariante por T . Sea ahora y ∈ (ker(T −λI)) ⊥ . Entonces
〈y, x〉 = 0 para todo x ∈ ker(T − λI). Además por (i)
〈T (y), x〉 = 〈y, T ∗ (x)〉 = 〈y, λx〉 = λ〈y, x〉 = 0,
y por tanto (ker(T − λI)) ⊥ es invariante por T concluyendo (iii). ⊓⊔
Para terminar esta sección consideramos los ejemplos de la sección 4.1
Ejemplos (1) Sean H un espacio de Hilbert separable con base hilbertiana
(en)n, y el operador T definido en L(H) mediante la matriz (aij)i,j con
� ∞
i,j=1 |aij| 2 < ∞. Entonces el operador adjunto T ∗ se representa por la
matriz (bij)i,j con bij = aji. El operador T es autoadjunto si y sólo si

Operadores compactos 131
aij = aji, i, j ∈ N.
(2) Si K : L 2 ([a, b]) → L 2 ([a, b]) es un operador integral con núcleo k ∈
L 2 ([a, b] × [a, b]), entonces K ∗ es un operador integral con núcleo
k ∗ (t, s) = k(s, t), t, s ∈ [a, b].
El operador K es autoadjunto si y sólo si k(t, s) = k(s, t) para todo t, s ∈ [a, b].
En general K es normal si y sólo si
� b
a
k(s, t)k(s, x)ds =
para casi todo (t, x) ∈ [a, b] × [a, b].
5.3 Operadores compactos
� b
a
k(t, s)k(x, t)ds
En esta sección introducimos los operadores compactos. La compacidad de
un operador y las propiedades básicas de los operadores compactos pueden
estudiarse en espacios normados. Añadir la estructura de espacios de Hilbert
permite probar que todo operador compacto es límite de una sucesión de
operadores acotados de rango finito.
Definición 5.12 Sean X e Y espacios normados y T ∈ L(X, Y ). El operador
T se dice compacto si T (DX(0, 1)) es un conjunto compacto en Y (es decir,
si T (DX(0, 1)) es un conjunto relativamente compacto). El conjunto de los
operadores compactos se denota por K(X, Y ).
Nótese que por el Teorema 1.11 los operadores acotados de rango finito
son compactos, y el operador identidad de un espacio vectorial normado de
dimensión infinita nunca es compacto.
Si Y es un espacio de Banach (es decir, se exige la completitud) y T ∈
L(X, Y ), entonces son equivalentes las siguientes afirmaciones:
(i) T es compacto,
(ii) para cada sucesión (xn) ⊂ X acotada en norma, la sucesión (T (xn))n
posee una subsucesión convergente.
Véase una demostración en [MV, Corollary 4.10].
Si X e Y son espacios normados, entonces el conjunto K(X, Y ) es un
subespacio vectorial de L(X, Y ), y en el caso de que Y sea de Banach, K(X, Y )
es un subespacio cerrado [MV, Proposition 15.1]. Se prueba directamente que
si T ∈ L(X, Y ), S ∈ K(Y, Z) y R ∈ L(Z, W ) entonces R ◦ S ◦ T ∈ K(X, W ),
en particular K(X) es un ideal bilátero de L(X).
Teorema 5.13 Sean X e Y espacios normados y T ∈ K(X, Y ). Entonces se
cumple lo siguiente:

132 Teoría espectral de operadores compactos normales
(i) M = Im(T ) es un subespacio separable de Y .
(ii)si Y es un espacio de Hilbert, (en)n es una base hilbertiana de M y Pn
es la proyección ortogonal de Y en el subespacio span{ei ; 1 ≤ i ≤ n},
entonces se tiene que T = limn PnT en L(X, Y ).
Demostración. Comenzamos con (i). Como el conjunto T (DX(0, 1)) es relativamente
compacto, entonces es precompacto, y en cualquier espacio métrico
es separable (véase por ejemplo, [MV, chapter 4]). Por tanto nT (DX(0, 1)) es
separable y
Im(T ) = �
nT (DX(0, 1))
n
también es separable.
Para ver (ii) nótese que M es de dimensión infinita. Como Y es un espacio
de Hilbert, M es un espacio de Hilbert separable y podemos tomar una
base de Hilbert ortonormal numerable (en)n∈N de M. Sea Pn la proyección
ortonormal sobre span{ei ; 1 ≤ i ≤ n}. Para cada x ∈ X se tiene que
T (x) = limn PnT (x). Por la compacidad de T vamos a probar que la convergencia
es uniforme en la bola unidad, es decir, T = limn PnT en L(X, Y ).
Sea ε > 0. Existe un conjunto finito (xj)j∈J en DX(0, 1) tal que
�T (x) − T (xj)� ≤ ε
3 ,
para cierto j0 ∈ J, dado cualquiera x ∈ DX(0, 1). Existe n0 tal que para todo
n ≥ n0 se tiene que �T (xj0) − PT (xj0)� ≤ ε
3 y por tanto
�T (x) − PnT (x)�
≤ �T (x) − T (xj0)� + �T (xj0) − PnT (xj0)� + �PnT (xj0) − PnT (x)� ≤ ε,
ya que �Pn� = 1, de donde se deduce que para todo n ≥ n0 se cumple que
�T − PnT � < ε y se concluye la demostración. ⊓⊔
Corolario 5.14 El conjunto de los operadores compactos en un espacio
Hilbert es la clausura, en la topología de la norma de los operadores, del conjunto
de los operadores acotados de rango finito.
Corolario 5.15 Sean H1, H2 dos espacios de Hilbert y T ∈ L(H1, H2). El
operador T es compacto si y sólo si T ∗ es compacto.
Demostración. Por el corolario anterior existen (Tn) de rango finito tal que
T = lim Tn. Nótese que (Tn) ∗ también es de rango finito y como
�Tn − T � = �(Tn) ∗ − T ∗ �
entonces T ∗ = lim(Tn) ∗ . De nuevo por el teorema anterior se tiene que T ∗
es compacto. Recíprocamente, aplicando esta propiedad a T ∗ se obtiene que
(T ∗ ) ∗ = T es compacto. ⊓⊔
El espectro de un operador compacto está bien descrito (véase la sección
5.4). En el próximo resultado probamos algunos resultados en esta dirección.

Operadores compactos 133
Proposición 5.16 Sean X un espacio de Banach sobre K y T ∈ K(X).
(i) Si λ �= 0 entonces ker(T − λI) es de dimensión finita.
(ii)Si X es infinito dimensional entonces 0 ∈ σ(T ).
Demostración. El apartado (i) basta probarlo para λ = 1. Sea U la bola
unidad cerrada del espacio normado ker(T − I). Nótese que T (U) = U y al
ser T compacto entonces U es relativamente compacto y por tanto compacto.
Por el Teorema de Riesz, Teorema 1.11, ker(T − I) es finito dimensional.
Veamos el apartado (ii). Si 0 �∈ σ(T ) entonces IX = T ◦ T −1 y por composición
IX es compacto, y de nuevo por el Teorema 1.11, llegamos a contradicción.
⊓⊔
Para terminar la sección consideramos los ejemplos ya estudiados en la
secciones anteriores.
Ejemplos (1) Sean H un espacio de Hilbert separable con base hilbertiana
(en)n y el operador T definido en L(H) mediante la matriz (aij)i,j
con � ∞
i,j=1 |aij| 2 < ∞. Entonces el operador T es compacto. En efecto, si
se definen los operadores Tn mediante las matrices (an ij )ij donde an ij = aij si
1 ≤ i, j ≤ n y an ij = 0 en otro caso , se cumple que
�T − Tn� 2 ≤
∞�
i,j=1
|aij| 2 −
n�
i,j=1
Como Tn es de rango finito entonces T es compacto.
|aij| 2 .
(2) Sean H1 y H2 espacios de Hilbert. Un operador lineal y acotado T ∈
L(H1, H2) se dice de Hilbert-Schmidt si existe una sucesión ortonormal (en)n∈N
⊂ H1 tal que
∞�
�T (en)� 2 < ∞.
n=1
Es directo probar que los operadores de Hilbert-Schmidt son compactos (son
límite de truncaturas finito-dimensionales), véase [Y, Theorem 8.7].
Sin embargo no todos los operadores compactos son de Hilbert-Schimidt.
Por ejemplo, el operador diagonal (véase el ejercicio 5.3) T : ℓ 2 → ℓ 2 definido
por la matriz
diag(1, 1
√ 2 , 1
√ 3 . . .),
es compacto pero no es de Hilbert-Schmidt.
(3) Sea K : L 2 ([a, b]) → L 2 ([a, b]) un operador integral con núcleo k ∈
L 2 ([a, b] × [a, b]). Entonces el operador K es de Hilbert-Schimdt y por tanto
es compacto (véase, por ejemplo, [Y, Theorem 8.8]).

134 Teoría espectral de operadores compactos normales
5.4 Teorema espectral para operadores compactos autoadjuntos
En el caso finito dimensional, es bien conocido el teorema de Jordan o de diagonalización
de matrices (véase por ejemplo [St, p.250]). Si T es un operador
autoadjunto sobre un espacio de Hilbert H de dimensión n entonces:
(i) si λ1, λ2, . . . λm son los valores propios de T , distintos entre sí, se tiene que
H = ker(T − λ1I) ⊕ ker(T − λ2I) ⊕ . . . ⊕ ker(T − λmI).
La suma anterior es una suma directa ortogonal.
(ii) el operador T se puede expresar en la forma
T (x) =
n�
µk〈x, ek〉ek,
k=1
donde cada µk es un valor propio de T y cada λ ∈ σp(T ) = σ(T ) aparece
un número finito de veces igual a la dimensión del subespacio vectorial
ker(T − λI) en la colección {µk | 1 ≤ k ≤ n}.
(iii) existe una base ortonormal (ej) n j=1 de H de vectores propios de T .
La generalización del teorema de Jordan en espacios vectoriales de dimensión
infinita se conoce como el teorema espectral. Daremos la demostración
para operadores compactos autoadjuntos.
Teorema 5.17 Sean H un espacio de Hilbert y T ∈ K(H).
(i) Si T es autoadjunto, entonces o bien �T � o bien −�T � es un valor propio
de T .
(ii)Si T es normal entonces σp(T ) �= ∅.
Demostración. Veamos (i). Si T = 0 el resultado es trivial. Supongamos que
T �= 0. Por la Proposición 5.9
�T � = sup{|〈T (x), x〉| ; �x� = 1},
por tanto existe (xn)n en H tal que �xn� = 1 y 〈T (xn), xn〉 → λ ∈ R con
�T � = |λ|. Probemos que λ ∈ σp(T ). Nótese que
�(T − λI)xn� 2 = �T (xn)� 2 − 2λ〈T (xn), xn〉 + λ 2
= 〈T (xn), T (xn) − λxn + λxn〉 − 2λ〈T (xn), xn〉 + λ 2 ,
por tanto lim(T −λI)(xn) = 0. Al ser T compacto, la sucesión (T (xn))n posee
una subsucesión convergente (que denotamos igual) a y ∈ H. Entonces,
y como
(T − λI)(y) = lim n (T − λI)(T (xn)) = lim n T (T − λI)(xn)
= T (lim n (T − λI)(xn)) = 0,

Teorema espectral para operadores compactos autoadjuntos 135
�y� = � lim T (xn)� = lim n �T (xn)� = |λ| = �T � > 0
entonces λ es valor propio.
Podemos probar ahora (ii). Como T ∈ L(H) es normal, T = B + iC en
L(H) con B, C operadores autoadjuntos en L(H) tales que BC = CB, (véase
la Proposición 5.10). Por la parte (i), B tiene un valor propio λ con ker(B −
λI) �= {0}. Como C conmuta con B se tiene que C(ker(B−λI)) ⊂ ker(B−λI),
y aplicando el apartado (i) a este subespacio, se concluye que existe x ∈
ker(B − λI), x �= 0, y un escalar µ tales que C(x) = µx. Consecuentemente
T (x) = (λ + iµ)x y queda acabada la prueba. ⊓⊔
A continuación describimos el espectro de los operadores compactos normales
en espacios de Hilbert. Aunque el resultado siguiente es válido para
operadores compactos en espacios de Banach (véase [MV, Proposition 15.12]),
para la demostración del teorema espectral basta esta versión.
Teorema 5.18 Sean H un espacio de Hilbert sobre K y T ∈ K(H) un operador
normal. Entonces se cumple lo siguiente.
(i) σ(T )\{0} = σp(T )\{0}.
(ii)El espectro de T es finito o numerable. En el caso numerable, es una
sucesión acotada que tiene al 0 como único punto de acumulación.
Demostración. Para (i) consideramos 0 �= λ ∈ σ(T )\σp(T ). Nótese que, por
la Proposición 5.11, ker(T − λI) = ker(T ∗ − λI), de donde obtenemos que
{0} = ker(T − λI) = (Im(T − λI)) ⊥ ,
aplicando la Proposición 5.7 (vi). Por consiguiente, H = (T − λI)(H). Al ser
T compacto, (T − λI)(H) es cerrado (véase por ejemplo [MV, Lemma 15.7 y
Corollary 8.7]) y por tanto H = (T − λI)(H), llegando a contradicción.
Para (ii) basta probar que para cada ε > 0 el conjunto
Aε := {λ ∈ σp(T ) ; |λ| > ε}
es finito. Supongamos que para algún ε > 0 el conjunto Aε fuese infinito. Sea
(λn)n en σp(T ) con términos distintos dos a dos. Si en es un vector propio de
norma 1 asociado a λn para cada n ∈ N, entonces se tiene que para n �= m
�T (en) − T (em)� 2 = �λnen − λmem� 2 = �λn − λmem� 2 = |λn| 2 + |λm| 2 > 2ε 2
aplicando la Proposición 5.11. Por tanto la sucesión (T (en))n no puede tener
ninguna subsucesión convergente, lo que contradice el hecho de que T sea
compacto. ⊓⊔
El siguiente teorema es el principal de este capítulo.
Teorema 5.19 (Teorema espectral para operadores compactos autoadjuntos)
Sean H un espacio de Hilbert y T ∈ L(H) un operador compacto autoadjunto.

136 Teoría espectral de operadores compactos normales
(i) El conjunto de los vectores propios no nulos de T σp(T )\{0} es finito o
numerable, y el espacio puede expresarse como suma directa hilbertiana de
ker(T ) y de los subespacios propios correspondientes a los valores propios
no nulos de T , es decir,
H = ker(T )
�
(ker(T − λI)) .
λ∈σp(T )\{0}
(ii)Si Pλ es la proyección ortogonal sobre el subespacio ker(T − λI), entonces
T = �
λPλ
λ∈σ(T )
en el espacio L(H), donde la igualdad anterior debe entenderse en el sentido
de que la familia (λPλ) λ∈σ(T ) es sumable con suma T .
(iii) Im(T ) =
�
ker(T − λI).
λ∈σp(T )\{0}
(iv)Existen un conjunto contable (finito o numerable) J, una colección (en)n∈J
de vectores ortonormales que constituyen una base de Im(T ), y una
colección de escalares (µn)n∈J, (µn ∈ {λ ; λ ∈ σp(T )\{0}}) tales que
para cada x ∈ H se tiene que
T (x) = �
µn〈x, en〉en.
n∈J
Para cada n ∈ J, el valor λ ∈ σp(T )\{0}} aparece en la colección
{µn ; n ∈ J} un número finito de veces cuyo valor es la dimensión
ker(T − λI).
(v) Cada x ∈ H admite una representación de la forma
x = P0(x) + �
〈x, en〉en,
n∈J
donde P0 es la proyección ortogonal de H sobre ker(T ).
Demostración. Supongamos que H es infinito dimensional. La clave de la
demostración es el apartado (i). Por la Proposición 5.16, 0 ∈ σ(T ); por el
Teorema 5.17, σp(T ) �= ∅ y por el Teorema 5.18, σ(T ) = σp(T ) ∪ {0} es un
conjunto contable y con el cero como único posible punto de acumulación.
Pongamos λ0 = 0 y sean {λn ; n = 1, 2, . . .} los valores propios no nulos,
diferentes entre sí, de T . Llamamos D al subconjunto de N ∪ {0} que describe
a σp(T ) = {λn ; n ∈ D}. Probemos (i), es decir
H = �
(ker(T − λI)) .
λ∈σ(T )
Por la Proposición 5.11, se tiene que ker(T −λnI) ⊥ ker(T −λmI) si n, m ∈ D
y n �= m. Sea F el subespacio definido mediante

Teorema espectral para operadores compactos autoadjuntos 137
F = span{ker(T − λnI) : n ∈ D},
y probemos que F = H. Para ello basta ver que F es denso en H, es decir
que F ⊥ = {0}. El subespacio F es invariante por T , ya que cada subespacio
ker(T −λnI) es invariante por T (Proposición 5.11). También F ⊥ es invariante
por T , ya que al ser autoadjunto si x ∈ F ⊥ e y ∈ F
〈T (x), y〉 = 〈x, T ∗ (y)〉 = 〈x, T (y)〉 = {0},
porque T (F ) ⊂ F . Véamos que F ⊥ = {0}. En caso contrario, existirían dos
posibilidades.
(a) Si T | F ⊥ = 0 entonces F ⊥ ⊂ ker(T ) ⊂ F y por tanto F ⊥ = {0}.
(b) Si T | F ⊥ �= 0, al ser T | F ⊥ autoadjunto, por el Teorema 5.17 el operador
T | F ⊥ tiene un valor propio µ y un vector propio y ∈ F ⊥ . Como µ ∈
σp(T ) se tiene que y ∈ F, de donde obtenemos que y = 0, llegando a
contradicción.
Por tanto H se descompone como suma directa ortogonal de subespacios
cerrados tales que la restricción de T a ellos es un múltiplo de la identidad.
Sea Pλn la proyección ortogonal de H al subespacio ker(T − λnI) con n ∈ D.
Se cumple que
x = Pλ0(x) + Pλ1(x) + Pλ2(x) + . . . = �
Pλn(x), x ∈ H.
Por la Proposición 5.16 se tiene que la dimensión de ker(T − λnI) es finita
con n �= 0, mientras que la de ker(T − λ0I) puede ser nula, finita o infinita.
Tomando una base ortonormal de cada subespacio ker(T − λnI) con n �= 0 y
construyendo con los vectores una sucesión (en)n∈J, entonces se tiene que
x = Pλ0(x) + �
〈x, en〉en,
probando de esta forma (iv).
Como (ker(T )) ⊥ = Im(T ) (Proposición 5.11) podemos probar el apartado
(iii) a partir del apartado (i). Además la familia (en)n∈J es una base ortonormal
de Im(T ).
Al ser T lineal, continua y su restricción a ker(T − λnI) coincidir con λnI,
se verifica que
T (x) = �
n∈D{0}
n∈J
n∈D
λnPλn(x),
para cada x ∈ H, y utilizando una base ortonormal (en)n∈J de Im(T ) se tiene
que
T (x) = �
µn〈x, en〉en,
n∈J

138 Teoría espectral de operadores compactos normales
donde cada µn es uno de los λm, m ∈ D\{0}, y que aparece tanta veces como
la dimensión de ker(T − λnI), obteniendo (iv).
Probemos (ii): si D es finito es inmediata la igualdad. Sean D0 ⊂ D\{0}
finito y el operador
RD0(x) := T − �
λnPλn.
Nótese que el operador RD0 cumple que
RD0(x) = �
n∈D\D0
D0
λnPλn(x),
y por tanto es un operador diagonal. Por el ejercicio 5.3, se tiene que
�T − �
λnPλn� = �RD0� = sup{|λn| : n ∈ D\D0}.
n∈D0
Al ser 0 el único punto de acumulación se concluye que
T = �
λPλ
en L(H), concluyendo la prueba. ⊓⊔
λ∈σ(T )
Nota. Es posible dar un enunciado idéntico para operadores T normales compactos
en espacios de Hilbert. La demostración en este caso utiliza la descomposición
de T = ℜT + ℑT, donde ℜT e ℑT, son operadores autoadjuntos y
compactos, y el teorema anterior (véase por ejemplo [BN]). Otros teoremas
espectrales para operadores no acotados se enuncian y se demuestran en [R].
El teorema espectral permite obtener la siguiente representación de operadores
compactos entre espacios de Hilbert cualesquiera.
Corolario 5.20 Sean H1 y H2 espacios de Hilbert sobre K y T ∈ L(H1, H2)
un operador. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:
(i) el operador T es compacto,
(ii)existe un conjunto contable (νn)n∈J de escalares positivos, con 0 como
único punto de acumulación, y conjuntos ortonormales (en)n∈J en H1 y
(fn)n∈J en H2 tales que
T (x) = �
νn〈x, en〉fn.
n∈J
Demostración. Veamos en primer lugar que (i) ⇒ (ii): nótese que el operador
S := T ∗ T es compacto y autoadjunto y además
〈T ∗ T (x), x〉 = 〈T (x), T (x)〉, x ∈ H1,
por lo que σ(S) ⊂ [0, �S�]. Por el Teorema Espectral existe un conjunto
ortonormal contable (en)n∈J que es base de Im(S) y un conjunto contable

Teorema espectral para operadores compactos autoadjuntos 139
(µn)n∈J de números reales positivos tales que para cada x ∈ H1 se cumple
que
S(x) = �
µn〈x, en〉en, x = P0(x) + �
〈x, en〉en,
n∈J
siendo P0 la proyección ortogonal de H1 sobre el ker(T ∗ T ). Nótese que
ker(T ∗ T ) = ker(T ) gracias a que
Entonces
n∈J
〈T ∗ T (x), x〉 = 〈T (x), T (x)〉, x ∈ H1.
T (x) = �
〈x, en〉T (en) = �
n∈J
T (en)
donde fn = √
µn
familia ortonormal:
〈fk, fj〉 =
1
√ √
µk µj
n∈J
√ T (en)
µn〈x, en〉 √
µn
= � √
µn〈x, en〉fn,
n∈J
para cada n ∈ J. Basta comprobar que (fn)n∈J es una
〈T (ek), T (ej)〉 =
1
√ √
µk µj
〈S(ek), ej〉 =
µk
√ √ δkj = δkj.
µk µj
Veamos ahora el recíproco (ii) ⇒ (i). Sean T el operador definido por
T (x) = �
νn〈x, en〉fn,
n∈J
donde (νn)n∈J es un conjunto de escalares positivos, con 0 como único punto
de acumulación y conjuntos ortonormales (en)n∈J en H1 y (fn)n∈J en H2.
Queremos ver que T es compacto. Si J es finito entonces T es de rango finito
y por tanto compacto. Si por el contrario J es infinito, la sucesión (νn)n∈N
está acotada ya que
|νn| = �νnfn� ≤ �T ��en� = �T �,
para todo n ∈ J. Por lo tanto para cada ε > 0 el conjunto {n ∈ N ; |νn| ≥ ε}
es finito, y por tanto limn νn = 0. Sea x ∈ BH(0, 1). Entonces para cada
n ∈ N, se tiene que
�T (x) −
n�
�
∞�
νk〈x, ek〉fk� =
k=1
k=n+1
|νk| 2 〈x, ek〉 2
� 1
2
≤ sup{|νk| ; k > n},
donde usamos el ejercicio 5.3, y por tanto T es compacto al ser límite en L(H)
de una sucesión de operadores de rango finito. ⊓⊔
Notas. En el corolario anterior, si H1 = H2 se prueba de idéntica manera que
un operador T es compacto autoadjunto si y sólo si los coeficientes (νn)n∈J

140 Teoría espectral de operadores compactos normales
son reales, con 0 como único punto de acumulación, y existe un conjunto
ortonormal contable (en)n∈N tal que
T (x) = �
νn〈x, en〉en,
n∈J
para todo x ∈ H1 = H2. También se cumple que un operador T ∈ L(H) es
compacto normal si y sólo si existen un conjunto de escalares (νn)n∈J con
0 como el único punto de acumulación, y un conjunto ortonormal contable
(en)n∈N tales que
T (x) = �
νn〈x, en〉en,
para todo x ∈ H.
n∈J
5.5 Aplicaciones del teorema espectral
Para terminar este capítulo damos dos aplicaciones del teorema espectral
en la prueba de existencia de soluciones de ecuaciones funcionales (alternativa
de Fredholm) y de algunas ecuaciones diferenciales (problema de Sturm-
Liouville).
5.5.1 Alternativa de Fredholm
Dados λ ∈ K, H un espacio de Hilbert, T ∈ L(H) e y ∈ H, estamos interesados
en encontrar solución a la ecuación funcional
(λI − T )(x) = y
(compárese con el Teorema 5.2 y ejemplos de la sección 5.1).
Teorema 5.21 (Alternativa de Fredholm) Sea H un espacio de Hilbert sobre
K y T ∈ L(H) un operador compacto autoadjunto. Sea (en)n∈J una base de
Im(T ) tal que T se expresa en la forma
T (x) = �
µn〈x, en〉en.
n∈J
(i) Si λ �∈ σp(T ) ∪ {0} entonces para cada y ∈ H la ecuación (λI − T )(x) = y
tiene una única solución que viene dada por la fórmula
x = 1
�
y +
λ
�
�
µn
〈y, en〉en .
λ − µn
n∈J

Aplicaciones del teorema espectral 141
(ii)Si λ ∈ σp(T )\{0} entonces la ecuación (λI − T )(x) = y tiene solución si
y sólo si y ∈ ker(λI − T )) ⊥ , siendo la solución general, en este caso,
x = 1
�
y +
λ
�
�
µn
〈y, en〉en + z,
λ − µn
n∈Jλ
donde z ∈ ker(λI − T ) es arbitrario y Jλ = {n ∈ J : µn �= λ}.
(iii) La ecuación T (x) = y tiene solución si y sólo si,
y ∈ (ker(T )) ⊥ , e �
n∈J
En este caso las soluciones vienen dadas por
x = z + �
donde z ∈ ker(T ) es arbitrario.
µn
n∈Jλ
2 1
|〈y, en〉| < ∞.
|µn| 2
1
〈y, en〉en,
Demostración. Nótese que si existe solución a la ecuación (λI − T )(x) = y,
con y ∈ H y 0 �= λ, entonces ésta cumpliría
x = 1
� �
1 �
(T (x) + y) = µn〈x, en〉en + y .
λ λ
n∈J
Por tanto 〈x, en〉 = λ −1 (µn〈x, en〉 + 〈y, en〉), o sea
(λ − µn)〈x, en〉 = 〈y, en〉.
Para probar (i), sea λ �∈ σp(T )∪{0}. Entonces λ−µn �= 0 para todo n ∈ J
y consideramos la serie
x = 1
� �
� µn
〈y, en〉en + y .
λ λ − µn
n∈J
La serie anterior converge ya que si σp(T ) es infinito entonces limn µn = 0 y
supn{|µn/(λ − µn|} < ∞, con lo que
�
� �2
� µn �
� �
�λ
− µn
� |〈y, en〉| 2 < ∞,
n∈J
(Proposición 4.33). Es claro que x expresada por la serie anterior es la única
solución de la ecuación (λI − T )(x) = y.
Para (ii), sea ahora λ ∈ σp(T )\{0}. Si la ecuación (λI − T )(x) = y tiene
solución entonces y ∈ Im(λI − T ) ⊂ (ker(λI − T )) ⊥ (usamos que T es autoadjunto
y la Proposición 5.7 (vi)). Recíprocamente, si y ∈ (ker(λI − T )) ⊥
se comprueba que el vector

142 Teoría espectral de operadores compactos normales
x = 1
�
y +
λ
�
�
µn
〈y, en〉en + z,
λ − µn
n∈Jλ
donde z ∈ ker(λI − T ) es arbitrario y Jλ = {n ∈ J ; µn �= λ}, satisface la
ecuación (λI − T )(x) = y.
Por último, para (iii), si la ecuación T (x) = y tiene solución, entonces
y ∈ Im(T ) ⊂ (ker(T )) ⊥ . Por otro lado se tiene que
�
µn〈x, en〉en = T (x) = y = �
〈y, en〉en,
n∈J
de donde 〈x, en〉 = µ −1
n 〈y, en〉 y
�
n∈J
Recíprocamente, si se cumple que
y ∈ (ker(T )) ⊥ ,
n∈J
2 1
|〈y, en〉| < ∞.
|µn| 2
�
n∈J
2 1
|〈y, en〉| < ∞,
|µn| 2
se comprueba directamente que el vector definido por
x = z + � 1
〈y, en〉en,
µn
n∈Jλ
donde z ∈ ker(T ) es arbitrario, es solución de la ecuación T (x) = y. ⊓⊔
Nota. Se pueden encontrar algunas formulaciones particulares de la alternativa
de Fredholm para operadores diferenciales en los problemas de Dirichlet
y Neumann, por ejemplo en [C, Teorema 13.9].
5.5.2 Funciones propias del problema de Sturm-Liouville
Sea I = (0, 1) y consideramos ( problema de Sturm-Liouville)
� −(pu ′ ) ′ (x) + qu(x) = f(x), x ∈ I,
u(0) = u(1) = 0,
(5.2)
donde p ∈ C (1) (I), q ∈ C(I) y f ∈ L 2 (I), estudiado en la sección 3.6 (algunos
casos particulares se ven en los ejercicios de este capítulo). Probamos
el siguiente resultado.
Teorema 5.22 Sea p ∈ C (1) (I) con p ≥ α > 0 en I y q ∈ C(I). Entonces
existen una sucesión (λn)n≥1 de números reales positivos y una base hilbertiana
(en)n≥1 de L 2 (I) tales que en ∈ C (2) (I) y
� −(pe ′ n) ′ (x) + qen(x) = λnen(x), x ∈ I,
en(0) = en(1) = 0.
Además λn → ∞ si n → ∞.

Aplicaciones del teorema espectral 143
Demostración. Siempre se puede suponer que q ≥ 0, en caso contrario elegiremos
C constante tal que q + C ≥ 0, lo cual implica sustituir λn por λn + C.
Por la sección 4.6 sabemos que para cada f ∈ L 2 (I) existe u ∈ H 1 0 (I) ∩
H 2 (I) única solución del problema (5.2). Sea T : L 2 (I) → L 2 (I) tal que
T (f) = u. Comprobemos que T es un operador continuo, autoadjunto y compacto.
Probemos primero que T : L 2 (I) → H 1 (I) es continuo. Integrando el
problema (5.2) se obtiene que
�
p(u
I
′ ) 2 +
�
qu 2 �
= fu.
I
Por la desigualdad de Hölder obtenemos que α�u ′ � 2 L 2 (I) ≤ �f�2 L 2 (I) �u�2 L 2 (I) .
De esto y de la desigualdad de Poincaré (véase la sección 4.6) resulta que
�u� H 1 (I) ≤ C�f� L 2 (I), donde C es una constante independiente de f y de u,
y por tanto
�T (f)� H 1 (I) ≤ C�f� L 2 (I).
Como la inyección de H 1 (I) en L 2 (I) es compacta, (véase sección 5.3, el
operador T : L 2 (I) → L 2 (I) es compacto.
Demostremos ahora que
� �
T (f)g = fT (g), f, g ∈ L 2 (I).
Si u = T (f) y v = T (g) se tiene que
I
I
−(pu ′ ) ′ + qu = f,
−(pv ′ ) ′ + qv = g.
Multiplicando la primera ecuación por v y la segunda por u, e integrado por
partes, se tiene que
�
pu
I
′ v ′ � � �
+ quv = fv = gu.
I
I I
Nótese que ker(T ) = {0} ya que si T (f) = u = 0 entonces f = 0 y además
� � �
T (f)f = uf = (p(u ′ ) 2 + qu 2 ) ≥ 0, f ∈ L 2 (I). (5.3)
I
I
I
Por el teorema espectral, Teorema 5.19, L 2 (I) posee un base hilbertiana
(en))n≥1 formada por vectores propios de T asociada a valores propios
(µn)n≥1. Se cumple que µn > 0 (ya que µn ≥ 0 por la desigualdad 5.3 y
µ �= 0 porque ker(T ) = {0}) y µn → 0.
Como T (en) = µnen, entonces
−(pe ′ n) ′ + qen = λnen, λn = 1
Por último se tiene que en ∈ C (2) (I) ya que f = λnen ∈ C(I). ⊓⊔
I
µn
.

144 Teoría espectral de operadores compactos normales
Ejercicios
(5.1) Sea X un espacio de Banach.
(i) Si T ∈ L(X) es invertible y S ∈ L(X) es tal que �T − S� <
tonces pruébese que S también es invertible y se tiene que
S −1 =
∞�
n=0
1
�T −1 � en-
(T −1 (T − S)) n T −1 , �T −1 − S −1 � ≤ �T −1 � 2 �T − S�
1 − �T −1 � �T − S� .
(ii) Pruébese que el subgrupo de los operadores invertibles, que se denota por
Isom(X), es un abierto de L(X) y la aplicación de Isom(X) en L(X) que
a cada T asigna T −1 es continua para la norma en L(X).
(5.2) Sea P : H → H una proyección continua no nula en un espacio de
Hilbert. Pruébese que las siguientes afirmaciones son equivalentes.
(i) ker(P ) = (Im(P )) ⊥ ,
(ii) P es la proyección ortogonal,
(iii)�P � = 1,
(iv)Im(P ) = (ker(P )) ⊥ ,
(v) P es autoadjunto,
(vi)P es normal,
(vii)〈P (x), x〉 = �P (x)� 2 para todo x ∈ H,
(viii) 〈P (x), x〉 ≥ 0 para todo x ∈ H.
(5.3) Sean H un espacio de Hilbert separable con base hilbertiana (en)n y
(an)n ⊂ K una sucesión acotada.
(i) Pruébese que la serie
T (x) := �
an〈x, en〉en, x ∈ H,
n=1
define un operador lineal y acotado (operador diagonal), T ∈ L(H) con
�T � = sup |an|.
n
(ii) Pruébese que el operador T ∗ es un operador diagonal definido por la
sucesión (λn)n.
(iii) Pruébese que el operador diagonal T es normal.
(iv) Pruébese que el operador T es autoadjunto si y sólo si (an)n ⊂ R.
(v) Pruébese que el operador T es compacto si y sólo si (an) → 0.
(5.4) Sean el espacio L 2 ([a, b]) y g ∈ L ∞ ([a, b]).

Ejercicios 145
(i) Pruébese que la fórmula
T (f) := fg, f ∈ L 2 ([a, b]),
define un operador lineal y acotado en L 2 ([a, b]) con �T � = �g�∞,
(ii) Pruébese que el operador T ∗ está definido mediante la expresión T ∗ (f) =
gf,
(iii) Pruébese que el operador diagonal T es normal,
(iv)Pruébese que el operador T es autoadjunto si y sólo si g(t) ∈ R para casi
todo t ∈ [a, b],
(v) Pruébese que el operador T es compacto si y sólo si g(t) = 0 para casi
todo t ∈ [a, b].
(5.5) Pruébese que toda proyección ortogonal sobre un subespacio cerrado de
un espacio de Hilbert H, P : H → H, es autoadjunta.
(5.6) Sean el espacio ℓ 2 y los operadores desplazamiento Sr, Sl : ℓ 2 → ℓ 2 ,
definidos mediante
Sr(x1, x2, . . .) := (0, x1, x2, . . .), Sl(x1, x2, x3 . . .) := (x2, x3, . . .).
Pruébese que S ∗ r = Sl y S ∗ l
= Sr.
(5.7) Pruébese que el operador de Volterra, V : L 2 ([0, 1]) → L 2 ([0, 1]),
definido por,
V (f)(t) :=
� t
0
f(s)ds, f ∈ L 2 ([0, 1]),
es un operador de Hilbert-Schimidt y por tanto compacto.
(5.8) Sea I = (0, 1). Pruébese que el operador f ↦→ u que a f ∈ L 2 (I) le
asocia la única solución del problema de Sturm-Liouville
� −(pu ′ ) ′ (x) + qu(x) = f(x), x ∈ I,
u(0) = u(1) = 0,
con p ≥ α > 0 y q ≥ 0 es un operador de Hilbert-Schmidt de L 2 (I) en L 2 (I).
(5.9) Consideremos el problema de Sturm-Liouville
� −u ′′ = f,
u(0) = u(1) = 0.
Pruébese que en(x) = sen(nπx) es una base hilbertiana de vectores propios
del operador asociado a este problema de Sturm-Liouville y de valores propios
µn = 1/n 2 π 2 . Resuélvase el problema de Sturm-Liouville
� −u ′′ − µu = f,
u(0) = u(1) = 0,

146 Teoría espectral de operadores compactos normales
que describe la ecuación que rige el movimiento de una cuerda vibrante de
extremos fijos.
(5.10)Resuélvase el problema de Sturm-Liouville
� −u ′′ − µu = f,
u ′ (0) = u ′ (1) = 0,
que describe la ecuación que rige el movimiento de una cuerda vibrante de
extremos libres.

Notas históricas 147
5.6 Notas históricas
La teoría espectral de operadores tiene sus raíces en la teoría de matrices y en
la teoría de ecuaciones integrales. En los primeros años de la teoría de matrices
los términos “valor caracterítico”, “valor secular” o “raíz latente” fueron
usados para denominar lo que hoy se conoce como valor propio. Laguerre
construyó la función exponencial de una matriz, y Frobenius obtuvo los desarrollos
para el operador resolvente en las proximidades de un polo. Sylvester
definió funciones arbitrarias de una matriz con valores propios distintos. Esto
fue generalizado por Buchheim al caso de valores propios múltiples.
En el siglo XX, F. Riesz extendió estos conceptos al espacio ℓ 2 . Manejando
operadores compactos en este espacio, demostró que el conjunto resolvente
es abierto, el operador resolvente es analítico y que el teorema integral de
Cauchy puede ser usado en el caso de un polo para obtener una proyección
que conmuta con el operador dado.
Wiener probó que el teorema integral de Cauchy y el teorema de Taylor
son ciertos para funciones analíticas con valores en un espacio de Banach
complejo. Nagumo extendió algunos de los resultados de F. Riesz a álgebras
de Banach. Hille aplicó ideas similares en el estudio de semigrupos. Gelfand
desarrolló la teoría de ideales de álgebras de Banach. Además usó la integral
sobre contornos para obtener elementos idempotentes. El teorema de la aplicación
espectral es debido a Dunford que introdujo también otros conceptos
como el de espectro continuo y espectro residual.
Fredholm estudió las ecuaciones integrales. Dio una detallada representación
de la resolvente como cociente de dos funciones enteras en términos de desarrollos
de determinantes. Schmidt usó el método de aproximación de un
operador compacto por operadores de rango finito en espacios de Hilbert.
Considerables trabajos han sido realizados desde entonces para calcular los
valores propios de un operador y su distribución.
Ch. Sturm (1836) y J. Liouville (1837) desarrollaron un teoría general para
abordar el estudio de las ecuaciones en el intervalo [a, b]
y ′′ − q(x)y + λy = 0,
que satisfacen las condiciones de contorno α1y(a) + β1y ′ (a) = 0, α2y(b) +
β2y ′ (b) = 0, conocidos desde entonces como problemas de Sturm-Liouville.
La contribución principal de Sturm fue la demostración de que el problema
planteado solo tiene solución para una sucesión estrictamente creciente (λn)
de valores reales del parámetro (los autovalores del problema), con lo que
siente las bases de la moderna teoría espectral.
Las propiedades de ortogonalidad de las correspondientes autofunciones
(un) llevaron a Liouville a tratar de generalizar el desarrollo en serie de Fourier,
y expresar cualquier función continua u como una serie � anun donde
an =
�
uun
� .
u2 n

148 Teoría espectral de operadores compactos normales
Liouville logra demostrar la convergencia de la serie, siempre que la serie de
Fourier de u sea convergente.
Gran parte de los esfuerzos de los analistas del XIX, se dirigieron a tratar
de extender la teoría de Sturm-Liouville para distintos tipos de ecuaciones en
derivadas parciales con 3 o más incógnitas.

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Contenidos
Presentación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Breves apuntes históricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Parte I Espacios de Banach
1 Introducción a los espacios normados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.1 Espacios normados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2 Aplicaciones entre espacios normados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.3 Espacios de dimensión finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.4 Álgebras normadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.5 El teorema de Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.6 Notas históricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2 Los espacios L p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.1 Definiciones y primeras propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2 El espacio L ∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.3 Los espacios L p de medida finita y las funciones de distribución 45
2.4 Densidad en L p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.5 Dualidad en L p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.6 Notas históricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3 Principales resultados en Análisis Funcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.1 El lema de Zorn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.2 Los teoremas de Hahn-Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.3 Aplicaciones del Teorema de Hahn-Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.3.1 El espacio dual de C([0, 1]). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.3.2 El problema de los momentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

152
3.4 Teorema de Banach-Steinhaus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.5 Aplicaciones del Teorema de Banach-Steinhauss . . . . . . . . . . . . . 76
3.5.1 Métodos de sumabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.5.2 Divergencia de la serie de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.6 Teoremas de la aplicación abierta y de la gráfica cerrada. . . . . . 81
3.7 Aplicaciones del Teorema de la aplicación abierta . . . . . . . . . . . . 84
3.7.1 Dependencia continua de la solución de ecuaciones
diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.7.2 Continuidad de aplicaciones entre espacios de sucesiones 85
Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.8 Notas históricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
Parte II Espacios de Hilbert
4 Introducción a los espacios de Hilbert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.1 Definiciones, primeras propiedades y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.2 El espacio ℓ 2 (I) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.3 Espacios hilbertizables y teorema del vector minimizante . . . . . 99
4.4 Ortogonalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.5 Bases hilbertianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.6 Duales de los espacios de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.7 Notas históricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
5 Teoría espectral de operadores compactos normales . . . . . . . . . . . . . . . 121
5.1 Inversión de operadores. Espectro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
5.2 Operadores autoadjuntos y normales en espacios de Hilbert . . . 126
5.3 Operadores compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
5.4 Teorema espectral para operadores compactos autoadjuntos . . . 134
5.5 Aplicaciones del teorema espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
5.5.1 Alternativa de Fredholm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
5.5.2 Funciones propias del problema de Sturm-Liouville . . . . 142
Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
5.6 Notas históricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149