Espacios normados y variable compleja. Relación de ejercicios n. 8 ...

Espacios normados y variable compleja.Relación de ejercicios n. 8.1. Sea γ la semicircunferencia unidad superior recorrida en forma simple ysentido positivo. Evalúe las siguientes integrales.∫dz√ , ( √ ∫∫1 = 1). log zdz, ( log 1 = 0).zlog zdz, ( log 1 = 2πi).γ2. Evalúe las siguientes integrales.∫|z|=1dzγ(z + 2)z 3 , ∫|z|=2γ|dz||z − 1| 2 , ∫|z|=13. Sea γ la elipse de ecuación x2a+ x22simple y en sentido positivo. Exprese en dos formas ∫ γ∫ 2π0dta 2 cos 2 t+b 2 sen 2 t .4. Calcule 12πi∫|z|=1( )z +1 2n dzz z∫ 2π0e z2 − 1z 3 dz.b 2 = 1 (a, b > 0) recorrida de formapara deducir el valor dedzzy utilice este resultado para calcularcos 2n θdθ, n = 1, 2, 3, . . ..5. Demuestre el Teorema de Morera rectangular.Teorema de Morera rectangular. Sea D un abierto en C y sea f una funcióncompleja definida y continua en D; si ∫ f(z)dz = 0 para todo rectángulo R contenidoen D entonces f es holomorfa en∂RD.6. Este ejercicio está destinado a presentar una demostración del teorema deMorera circular.(A) Sea a ∈ C y sea W una función compleja definida y continua en un entornode a y diferenciable en sentido real en a. Pruebe que entonces se tiene( )1∂Wlimr→0 πr∫|z−a|=r2 W (z)dz = i (a) + i∂W∂x ∂y (a) .(B) Deduzca que, en las condiciones de (A), W es derivable en a si y sólo silimr→01πr∫|z−a|=r2 W (z)dz = 0.(C) Sea a ∈ C, R > 0 y sea W : ∆(a, 2R) → C una función continua. Para0 < h < R 2, se define∫W h : ∆(a, R) → C, por W h (z) = 1 h ∫ h4hW (z + s + it)dsdt.2 −h −hPruebe que las funciones W h son de clase C 1 en ∆(a, R) y queW h -→h→0W,uniformemente en ∆(a, R).(D) Pruebe el Teorema de Morera para círculos.1

2El Teorema de Morera para círculos.Sea D un abierto en C y sea f una función compleja definida y continua enD; si ∫ f(z)dz = 0 para todo círculo cerrado C contenido en D entonces f es∂Cholomorfa en D.7. Dé una demostración corta del Teorema Fundamental del Algebra basada enel principio del máximo.8. Pruebe la siguiente generalización del Teorema de Liouville:Sea f una función entera. Si Re f esta acotada inferiormente entonces f esconstante.9. Pruebe la siguiente generalización del Teorema de Liouville:Sea f una función entera y sea a > 0. Si existen R > 0 y una constante C talque |f(z)| ≤ C|z| a para todo z con |z| > R entonces f es un polinomio de gradomenor o igual que a.10. Pruebe la siguiente generalización del ejercicio anterior.Sea f una función entera. DenotemosSeaM(r, f) = sup |f(z)|, r > 0.|z|=ra = lim infr→∞log M(r, f).log rPruebe que si a < ∞ entonces f es un polinomio. ¿Qué puede decirse en este casosobre a?11. Sea f una función entera y sea ∑ ∞n=0 a nz n su desarrollo de Taylor centradoen 0. Para cada natural n y para cada r > 0 evalúw las siguientes integrales entérminos de los a n .12π∫ π−πf(re it )e −int dt,∫1 πf(re it )e int dt.2π −πUtilice estos resultados para probar lo siguiente:Si f es una función entera y | Re f(z)| ≤ |z| 1/2 para todo z ∈ C entonces f esconstante.12. Sea f una función holomorfa en el disco unidad ∆ con |f(z)| < 1 para todoz ∈ ∆. Pruebe:(i) |f ′ (z)| ≤ 11−|z|para todo z ∈ ∆.2(ii) Si ∑ ∞n=0 a nz n es el desarrollo de Taylor de f centrado en 0, entonces |a n | ≤ 1para todo n.13.(i) Sea α un complejo y sea f(z) = (1+z) α , (z ∈ ∆) donde tomamos la ramaprincipal de la potencia. Entonces f es una función holomorfa en ∆ y por tantoadmite un desarrollo en serie de potencias de z. Dé este desarrollo explícitamente.(ii) La función f(z) = Log z es holomorfa en 1. Exprésela como serie de potenciasde (z − 1) indicando la región de validez de dicho desarrollo.14. Encuentre los desarrollos de Taylor centrados en 0 de las siguientes funcionese indique el radio de convergencia de los mismos.(i) f(z) = ez1 − z , (ii) f(z) = zz 2 − 2z − 3 , (iii) f(z) = cos2 z.