Trabajo de Investigación Cuerpos Geométricos - Escolares

Saint George’s CollegeÁrea de Matemáticas y sus AplicacionesTercera UnidadTrabajo de InvestigaciónCuerpos GeométricosIntegrantes:-Stefan Jercic-Ignacio Larrain-Cristian MajlufCurso:10°EProfesora:Marta JoignantFecha de entrega:29 de octubre de 1999

CUERPOS GEOMÉTRICOS1. Clasifique los cuerpos geométricos.Dos grupos de sólidos geométricos del espacio presentan especialinterés:1.1 . Poliedros: Aquellos cuerpos geométricos totalmente limitadospor polígonos, como por ejemplo, el prisma, la pirámide; etc.1.2 . Cuerpos redondos: aquellos cuerpos geométricosengendrados por la rotación de una figura plana alrededor de sueje, como la esfera, el cilindro, etc.2. Clasifique los poliedros.Algunos poliedros reciben nombres especiales en función delnúmero de caras que poseen.Así, se llama tetraedro a todo poliedro de cuatro caras;pentaedro, al poliedro de cinco caras; hexaedro, al poliedro de seiscaras; heptaedro al de siete caras; octaedro, al de ocho; eneaedro,al poliedro de nueve caras; decaedro, al de diez caras; endecaedro,al de once, dodecaedro, al poliedro de doce caras; pentadecaedro,al de quince caras, e icosaedro, al poliedro de veinte caras.Los demás poliedros no reciben ningún nombre en particular;así por ejemplo, se habla de un poliedro de 17 caras, de 22 caras,etcétera.Conviene no confundir los poliedros (cuerpos geométricoscerrados) de los ángulos poliedros correspondientes, a pesar delgran parecido en las denominaciones de unos y otros, queúnicamente se diferencian en la palabra “ángulo” que figuraantepuesta cuando se trata de un ángulo poliedro y no figuracuando se trata del poliedro correspondiente.En el caso del ángulo triedro resulta indiferente ladenominación “ángulo triedro” o la denominación “triedro”, ya quepor no existir el poliedro de tres lados no es posible que se dé laconfusión anterior.Se entiende por desarrollo de poliedro a la figura obtenidacuando se representan todas las caras del poliedro sobre un plano,de manera que cada cara del poliedro aparezca. Unida a susadyacentes según la misma arista con la que lo estaba el poliedro.Se dice que un poliedro es convexo cuando cualquier rectapuede cortar su superficie en dos puntos, lo que equivale a decirque el poliedro no tiene ningún diedro entrante. En el caso contrario,es decir, cuando alguna recta corta la superficie del poliedro en másde dos puntos, se dice que el poliedro es cóncavo. En este caso,como sé comprende fácilmente, el poliedro tiene algún ángulodiedro entrante.

Atendiendo a la regularidad de sus elementos se puedeestablecer otra clasificación de los poliedros en:1) Poliedros Regulares. Cuando todas sus caras sonpolígonos regulares entre sí y todos sus ángulos diedros y poliedrosson también iguales. Como se verá más tarde, existen únicamentecinco poliedros regulares.2) Poliedros Irregulares. Cuando no son regulares, por nocumplirse algunas o todas las condiciones precisas para ello.Dentro de los poliedros existen tres grupos importantes: losprismas, los paralelepípedos y las pirámides.3. Clasifique los cuerpos redondos.Los cuerpos redondos son todos aquellos cuerpos o sólidosgeométricos formados por regiones curvas o regiones planas ycurvas.Un cuerpo redondo se puede definir también como aquelvolumen generado por la revolución de una determinada figurageométrica en torno a un eje imaginaria.De ahí que a esta figura imaginaria del espacio también se ledenomina cuerpo de revolución.Los principales cuerpos redondos son: el cilindro, el cono, y laesfera.Los cuerpos redondos son:• Cilindros• Conos• Esferas4. Arista de un poliedro.PoliedrosSon los lados de las caras del poliedro.5. Vértice de un poliedro.Es la intersección de tres o más de sus aristas.

Si se trata de un prisma oblicuo, el área lateral del prisma seobtiene multiplicando el perímetro de la sección recta por la aristalateral del prisma.Área lateral del prisma oblicuo = p r * a12. Definición área total del prismaEl área total de un prisma se obtiene sumando al área lateral yel área de las dos basesÁrea total del prisma = p * a + 2Bp: perímetro de la base o bien perímetro de la secciónrecta, cuando se trate de un prisma oblicuo;a: altura, o bien arista lateral, cuando el prisma sea oblicuo;B: el área de una de las bases del prismaCUBO13. Defina y dibuje un cubo.Es un paralelepípedo cuyas seis caras son cuadradas.Se trata además de un poliedro regular, ya que todos losángulos poliedros son también iguales.Es un poliedro regular de 6 caras. Se le denomina Hexaedro(hexa = 6, edro = caras)

14. Dibuje la red de un cubo.15. ¿Qué es el área lateral de un cubo y cómo se calcula?• El área lateral de un cubo es igual a la suma de las áreas de lascaras laterales de un cubo.Se obtiene elevando al cuadrado la arista y el producto de eso semultiplica por 4.A = arista área lateral = A² x 416. ¿Qué es el área total de un cubo y cómo se calcula?El área total de un cubo es igual a la suma del área lateral y elárea de las regiones básales.Se obtiene elevando al cuadrado la arista y el producto de eso semultiplica por 2. A todo eso se le suma el área lateral antesmencionada.A = aristaárea total = A² x 2 + área lateral.17. ¿Qué es el volumen del cubo y cómo se calcula?El volumen de un cubo es la medida del espacio que ocupa.Se obtiene elevando al cubo la arista del cubo.V = A³ A = arista18. Con lo investigado resuelva:a) Calcule el área total de un cubo de arista 6 cm.6 x 6 = 36cm² = área de cara.36 x 6 = 216 cm² = área total del cubo.b) Calcule el área basal de un cubo de arista 17 cm.

17 x 17 = 289cm² = área de cara289 x 2 = 578cm2 = área basal.c) ¿Cuánto mide la arista de un cubo si su área total es150cm²?156 : 6 = 25cm² = área de cara25 = 5cm = arista.d) Calcule el volumen de un cubo de arista 6 cm.6 x 6x 6 = 216cm² = volumen del cubo.e) Calcule la arista de un cubo si su volumen es 343 cm².³343 = 7cm = arista.19. Defina y dibuje un paralelepípedoSe denomina paralelepípedos a aquellos prismas cuyas basesson paralelogramos como por ejemplo una caja de cerillas, un dado,etc.Se comprende fácilmente que un paralelepípedo tiene seiscaras (2 correspondientes a las bases que son paralelogramos y 2 alas caras laterales).20. Con lo investigado resuelva.a) Calcule el área total de un prisma recto cuya base es uncuadrado cuya arista basal mide 8 cm y la arista lateral 20cm.8 x 8 = 64cm² = área cara basal64 x 2 = 128cm² = área basal20 x 8 = 160cm² = área cara lateral160 x 4 = 640cm²= área lateral128 + 640 = 768 cm² = área total del prisma

) Calcule el área total de un paralelepípedo que tiene 16 cmde largo, 8 cm de ancho y 3 cm de alto.8 x 3 = 24cm²= área arista basal24 x 2 = 48cm² = área basal16 x 3 x 2 = 96cm² = parte de área lateral16 x 8 x 2 = 256cm² = parte de área lateral256 + 96 = 352cm² = área lateral.48 + 352 = 400cm² = área total del paralelepípedoPIRÁMIDE21. Defina pirámide.Se denomina pirámides a aquellos poliedros limitados por unpolígono cualquiera llamado “base” y por tantos triángulos comolados tiene la base que concurren a un vértice común, llamadocúspide o vértice de la pirámide.Las pirámides se pueden clasificar según la región poligonalque tienen por base y según si esta es regular o no regular.Además, toda pirámide puede ser recta u oblicua, según el pie desu altura coincida o no con el centro de su región basal.22. Defina cada uno de los elementos de una pirámide.Vértice: Es el punto donde convergen todos los triángulos quecomponen las caras de la pirámide.Apotema: Es la altura de cada uno de los triángulos que componenlas caras de la pirámide.Altura: Es la perpendicular que baja desde la cúspide de lapirámide.23. Dibuje 4 pirámides que tengan bases distintas y al menosuna de ellas sea oblicua.

24. Defina área lateral de una pirámide.Se denomina área lateral de una pirámide a la suma de lasáreas de las caras laterales de la mismaEl área lateral de una pirámide regular se obtiene hallando lamitad del producto del perímetro de la base por la apotema de lapirámide.25. Defina área total de una pirámideEl área total de una pirámide es igual a la suma del área lateral yel área basal de una pirámide.26. N/A27. ¿Cómo se calcula el volumen de una pirámide?Se calcula multiplicando la arista basal por la altura y el resultadode eso se divide en tres.V (pirámide) = 1/3 Ab x h Ab = arista basal y h =altura.28. Calcula:a) El área lateral de una pirámide de base cuadrada de aristabasal 12 cm y su altura es de 16 cm.(12 x 16) : 2=192 : 2 = 96cm² = área de cara lateral96 x 4 = 384cm² = área lateralb) El área total de una pirámide de base cuadrada si su aristabasal es de 6 cm y la altura es de 4 cm.6 x 6 = 36 cm² = área basal(6 x 4) : 2=24 : 2 = 1212 x 4 = 48cm² = área lateral36 + 48 = 84cm² = área total de la pirámide.

c) El volumen de la pirámide anterior.(6 : 3) x 4= 2 x 4 = 8 cm³CUERPOS REDONDOS29. Defina cuerpo redondo.Son todos aquellos cuerpos o sólidos geométricos formados porregiones curvas o regiones curvas y planas. También se puededefinir como aquel volumen generado por la revolución de unadeterminada figura geométrica en torno a un eje imaginario(cuerpos de revolución).30. ¿Cuáles son los principales cuerpos redondos?Los principales son el cilindro, el cono y la esfera.31. Defina cada uno de ellos y dibújelos.Cilindro: Un cilindro circular recto es aquel cuerpo o sólidogeométrico generado por la revolución de una región rectangularen torno a uno de sus lados o también en torno a uno de sus ejesde simetría.Cono: Un cono circular recto es aquel cuerpo o sólidogeométrico generado por la revolución de una región triangularen torno a uno de sus catetos o en torno a su eje de simetría.Esfera: es aquel cuerpo o sólido geométrico generado por larevolución de un semicírculo en torno a su diámetro.

32. Dibuja la red del cilindro recto y del cono recto.Cilindro33. ¿Cómo se calcula el área total de un cilindro?Si “abrimos” un cilindro recto a lo largo de una generatriz, y loextendemos en un plano, obtenemos dos círculos y una regiónrectangular. De esta manera se obtiene la red del cilindro recto.CD: radioAD: generatrizBC: alturaBC: ejeA partir de ella podemos ver que el área lateral de cilindroesta determinada por el área de la región rectangular, cuyo largocorresponde a su perímetro basal, es decir a 2πr, y cuyo anchoes la medida de la altura del cilindro, o sea h.Ál (cilindro) = 2πr •h

Si a la expresión anterior le sumamos el área de las dosregiones circulares básales, obtenemos el área total delcilindro.Át = Ál + πr² + πr²Entonces,Át = 2πrh + 2πr²Por lo tanto:Át (cilindro) = 2πr ( h+ r )(Sé factoriza)-Ejemplo: Un cilindro recto tiene un radio basal de 4cm y su alturamide el doble del diámetro de esa base. Calculemos el área totaldel cilindro.Se sabe que: r = 4cm y h = 2 • (diámetro) = 2 • 8cm = 16cmÁt (cilindro) = 2π • 4cm(16cm + 4cm) = 8πcm(20cm) =160πcm²34. ¿Cómo se calcula el volumen de un cilindro?Como hemos visto, podemos considerar un cilindro como unprisma que tiene por base una región poligonal de ladosinfinitamente pequeños.Por lo tanto, también para un cilindro circular, su volumen esigual al producto del área del circulo basal por su altura.Es decir: V (cilindro) = Áb • hV (cilindro) = πr²• h-Ejemplo: El volumen de un cilindro circular cuyo radio basal es de6cm y cuya altura mide 8cm, es:V (cilindro) = π(6cm)² • 8cm ≈ 288πcm³ ≈ 904,78cm³35. Calcule:a) el área total de un cilindro si su radio basal mide 10cm y sualtura mide 20cm.Se sabe que: r = 10cm y h = 20cm

2π • 10cm(20cm+10cm) = 20πcm(30cm) = 600πcm²Át (cilindro) = 600πcm²b) el volumen del cilindro anterior.Se sabe que: r = 10cm y h = 20cmπ (10cm)² • 20cm ≈ 2000πcm³ ≈ 6283cm³V (cilindro) = 6283cm³c) si el volumen de un cilindro recto es 144πcm³. Si el diámetrode su región basal mide 12cm, ¿cuál es su área total?Se sabe que: r = 12cm y h = incógnitaπ (12cm)² • h = 144πcm³144πcm² • h = 144πcm³h = 144πcm³144πcm²h = 1cm2π • 12cm(1cm+12cm) = 24πcm(13cm) = 312πcm²Át (cilindro) = 312πcm²Cono36. ¿Qué es la generatriz de un cono?Es una línea lateral imaginaria que es por donde se abre el conopara quedar como el manto.37. ¿Qué es el manto de un cono?• Es la figura “abierta” que representa el área lateral del cono.

38. ¿Cómo se calcula el área lateral de un cono?Se puede deducir la siguiente porción:Área sector circular = Longitud arco sector circularÁrea círculo Longitud de la circunferenciaEs decir:Ál = 2πr Ál = πrg² (g: generatriz)πg² 2πg gÁl (cilindro) = πrgExiste otra relación para calcular el área lateral del cono enfunción de su altura.Esto es:El área lateral de un cono es igual alproducto de su altura por el perímetro delcirculo cuyo radio es la medida delsegmento perpendicular a la generatriz ensu punto medio.Ál = 2π • ED • h39. ¿Cómo se calcula el área total de un cono?Luego si al área lateral del cono le sumamos el área basal,obtenemos el área total: Át (cono) = πrg + πr²Át (cono) = πr (g+ r)40. ¿Cómo se calcula el volumen de un cono?• Si consideramos al cono como una pirámide regular cuya basees una región poligonal de lados infinitamente pequeños,entonces se tiene que el volumen de un cono es igual al volumende una pirámide regular, donde el área basal (Áb) se confundecon el área de una región circular (πr²).Sabemos que:V (pirámide) = 2 Áb • hPor lo tanto:

V (cono) = V (pirámide) = 2 πr² • hV (cono) = 2 πr² • h41. Calcula:a)el área lateral de un cono recto cuya generatriz mide 9cm ycuya altura mide lo mismo que el diámetro basal.Se sabe que: g = 9cm y 2r = hx² + (2x)² = 81cmx² + 4x² = 81cm5x² = 81cmx² = 81cm5x² = 16,2 cmx = 4,02 cmÁl (cono) = 3,1416 • 4,02cm • 8,04cmÁl (cono) = 101,5 cm²b) ¿Cuál es el área lateral de un cono recto cuya región basaltiene 25πcm² y su altura es de 12cm?Se sabe que: h = 12cm y que Áb = 25πcm²Áb (cono) = πr²πr² = 25πcm²r² = 25cm²r = 25cm²r = 5cm(5cm)² + (12cm)² = x²25cm² + 144cm² = x²169cm² = x²169cm² = x13cm = x g = 13cmÁl (cono) = πrgπrg = 3,1416 • 5cm • 13cmπrg = 204,20cm²Ál (cono) = 204,20cm²c) Las papas fritas tienen el mismo precio si se entregan en unenvase cónico o en uno rectangular. El cono tiene un radio de6cm y una altura de 15cm, y las medidas del envase rectangularson 8cm de ancho, 6cm de alto y 9cm de largo. ¿Cuál de los dosenvases trae mas papas fritas?(Cono) Se sabe que: r = 6cm y que h = 15cm

V (cono) = π • r² • h3π • r² • h = 3,1416 • (6cm)² • 15cm3 3π • r² • h = 1696,4cm³3 3π • r² • h = 565,4cm³V (cono) = 565,4cm³(Rectángulo) Se sabe que: a = 8cm, b = 9cm y c = 6cmV (rectángulo) = a • b • ca • b • c = 8cm • 9cm • 6cma • b • c = 432cm³V (rectángulo) = 432cm³Respuesta: El envase que trae más papas fritas es el cónico.ESFERA42. ¿Cómo se calcula el área de una esfera?El área de la superficie esférica se obtiene multiplicando por 4el área de un círculo máximo de la esfera.Superficie esférica = 4πR 243. ¿Cómo se calcula el volumen de una esfera?El volumen de la esfera se obtiene hallando los cuatro terciosdel producto del número π por el cubo del radio de la esfera.Volumen de la esfera = 4/3 π * R 344. Calcula:a) El área de una esfera de radio 6 cm.4 * π * 6 2 = 452,3897421 cm 3

) El área de una esfera que se encuentra inscrita en uncubo de arista de 60 cm.4 * π * (60/2) 2 = 11.309,73355 cm 3c) La superficie total y volumen de la Tierra si el radio esaproximadamente de 6.370 km.4 * π * 6.370 2 = 509.904.363,8 cm 345. Haga un esquema con la clasificación de los cuerpos engeneral.Poliedrosregulares• Tetraedro• Hexaedro• Octaedro• Dodecaedro• IcosaedroPoliedros noregulares• Prismas• Pirámides• Otros enGeneralCuerposredondos• Cilindros• Conos• Esferas