apuntes completos

[2016]
Apuntes de Víctor Herrera Bautista
Víctor Herrera Bautista
[Fecha]

Elaborado por Víctor Herrera Bautista
INTRODUCCIÓN A LA ESTADÍSTICA
todos los elementos que permiten
bosquejar a un problema.
La Estadística es una ciencia que nos
proporciona un método importante para
la toma de decisiones y resolver
problemas en forma sistemática y
reproducible, a diferencia de otros
métodos que difícilmente pueden ser
explicados o reproducidos hasta por la
misma persona que lo ejecuta. Por lo
anterior es importante analizar
detenidamente cada uno de los
conceptos en los que se fundamenta
ésta para lograr acercarnos
profundamente a su conocimiento.
Dado que la estadística nace con la
idea de resolver problemas
comenzaremos diciendo que un
problema es la diferencia entre lo real
y lo deseado, es decir, que nosotros
normalmente al tener injerencia en la
toma de decisiones podamos
escenificar perfectamente la realidad
que nos rodea y con ello empatar
nuestras necesidades o deseos. De tal
forma, que la estadística, entonces
juegue el papel de agente
caracterizador de una población.
Entendiendo a esta (Población) como
una realidad concreta que comprende
Por lo tanto una muestra será aquel
subconjunto propio obtenido de la
población, es decir, cuenta con algunos
elementos y no todos los de la
población.
Las medidas que se obtienen en una
población son llamadas parámetros y
las obtenidas en una muestra reciben
el nombre de estadísticos. Es
importante aclarar que las poblaciones
y las muestras están determinadas por
el problema ya que en diferentes
situaciones una muestra puede jugar el
papel de población dependiendo del
problema y viceversa.
Por ejemplo una gota de sangre es una
muestra si el problema es estudiar la
salud de una persona, pero es una
población si me interesa determinar el
volumen de eritrocitos y leucocitos que
hay en ella. Así en los negocios
también es importante delimitar el
problema ya que las ventas de un día
resultan ser una muestra cuando
estemos interesados en analizar las
ventas promedio anuales, y por otro
lado resulta ser la población cuando
analizamos las ventas por empleado en
ese día.
RAMAS DE LA ESTADÍSTICA

Elaborado por Víctor Herrera Bautista
La estadística se separa, solamente en
forma didáctica, en dos partes; la
estadística descriptiva y la
inferencial, ya que en la realidad se
utilizan ambas sin distinciones. La
descriptiva nos permite caracterizar
una realidad mediante la medición de
una población, es decir, que cuando el
tamaño de la población y las medidas
que se deben obtener no la afectan
entonces se realiza la investigación
sobre toda la población. La inferencial
será aquella realizada en una muestra
para obtener información, de forma
inductiva, de la población, es decir, que
existen situaciones en las que el
estudio de la población es imposible ya
sea por el tamaño de la misma o
porque al obtener alguna medida
destruyamos a sus elementos, como en
el caso de querer estimar la calidad de
un producto que producimos
continuamente no se puede detener
esta producción y mucho menos
estudiar toda la producción, de ahí que
nos vemos en la necesidad de estudiar
una pequeña parte de esta población
(muestra) y las medidas que
obtenemos las consideramos como
representativas de esta.
TIPOS DE VARIABLES
Para poder realizar una estadística
también es necesario identificar la
naturaleza de los datos que conforman
a la población, con el objeto de
establecer las variables que se deben
manejar, pudiendo encontrarnos con
datos cuantitativos y datos
cualitativos. Los datos cuantitativos
son aquellos que resultan de una
medida o de un conteo por lo que los
podemos diferenciar en continuos y en
discretos respectivamente, es decir,
que se pueden obtener datos
cuantitativos que debido a un
instrumento podemos especificar
valores enteros y decimales de tal
forma que sus diferencias serán
establecidas dependiendo de la
exactitud del instrumento al medir
distancias, volúmenes, superficies, etc.
y otros datos que solo se puedan
contar, como es el caso del número de
automóviles en circulación en cierta
ciudad, número de empleados en una
empresa, etc. Los datos cualitativos
resultan de aquellas poblaciones en las
que sus elementos no pueden ser
medidos debido a su naturaleza y que
por lo tanto solo se les pueden
observar atributos y diferencias.
ESCALAS DE MEDICIÓN
En cuanto a las escalas de medición la
estadística cuenta con las siguientes:
Nominal; la cual se utiliza
principalmente en los datos
cualitativos y nos permite manejar la
información por su nombre, como en
los casos de marcas de diferentes
productos,
enfermedades,
preferencias, etc.
Ordinal; aquella que utilizamos
cuando necesitamos establecer
orden entre las diferencias de la
población y sus datos son
cualitativos, por ejemplo, escalas de
calidad (mala, regular, buena, muy
buena), escalas de gusto (muy
sabrosa, sabrosa, agradable,
desagradable, muy desagradable),
etc.

Elaborado por Víctor Herrera Bautista
Intervalo; Se utiliza principalmente
en datos cuantitativos y es una
escala que no cuenta con un cero
absoluto o con un instrumento
estandarizado, por ejemplo, la
temperatura se puede medir en
grados centígrados, Fahrenheit y
kelvin dentro de las cuales los
grados centígrados no cuentan con
un cero absoluto debido a que se
basan en el punto de ebullición del
agua, el cuál es variable en
diferentes altitudes, los Fahrenheit
que tampoco cuentan con un cero
absoluto, ya que este también
cambia con las altitudes con
respecto al nivel del mar, debido a
que se sustenta en el punto de
congelación del agua y los kelvin
que si cuentan con un cero absoluto
ya que queda establecido al vacío
fuera de las diferencias provocadas
por la altitud, otro ejemplo sería el
utilizar una cuerda con nudos para
determinar una Distancia o un
volumen con vasija de barro, ya que
al intentar comprobar esta distancia
o este volumen debemos contar con
la misma cuerda o con la misma
vasija.
Razón; Básicamente utilizada en
datos cuantitativos que pueden ser
medidos con instrumentos
estandarizados o con un cero
absoluto como por ejemplo una
distancia medida en kilómetros, un
volumen medido en centímetros
cúbicos, ventas medidas en pesos,
etc.
Cuando ya se han identificado el
problema que deseamos resolver, la
población, el tipo de datos y las
variables con las que nos acercaremos
a la información entonces será
necesario especificar si es necesario
trabajar solo con la población o con una
muestra así como la forma en la que
obtendremos los datos.
Por lo anterior se describirán las
diferentes formas de obtener una
muestra:
Dentro de la estadística se pueden
obtener muestras que resultan
probabilísticas y las no probabilísticas,
diferenciándose en el método de su
consecución, es decir, cuando
utilizamos un método que nos garantice
que todos los elementos de una
población tienen la misma probabilidad
de ser elegidos estamos trabajando
con un muestreo probabilístico y
cuando la obtención de una muestra
resulte de criterios, juicios, preferencias
o cualquier elemento subjetivo (o en
otras palabras, que no podamos
garantizar que contemos con
elementos equiprobables) entonces
estaremos trabajando con un
muestreo no probabilístico.
De ahí que nos enfocáremos más a los
primeros; subdividiéndolos en:
Aleatorio Simple; el cual requiere del
tamaño de la población “N”, el tamaño
de la muestra “n”, de una tabla de
números aleatorios, especificar si se
realizará con reemplazo o sin él, así
como, de una regla de uso (no debe
ser la misma en todos los casos) y
determinar el número de dígitos que se
utilizarán. Por ejemplo; si me intereso
en determinar el nivel socioeconómico
de las personas que se encuentran
trabajando dentro de una empresa y
deseo que todos sus integrantes
tengan la misma probabilidad de ser
elegidos entonces realizo lo siguiente:
determino el número total de

Elaborado por Víctor Herrera Bautista
empleados (N=200), el número de
personas que integrarán la muestra
(n=10), selecciono una regla para
utilizar mi tabla de números aleatorios
(lanzaré mi lápiz y donde caiga leeré de
3 en 3 dígitos sobre la misma columna
hacia abajo hasta terminarla y cuando
esto suceda continuare leyendo en la
siguiente columna hasta terminar de
obtener los diez datos). Supongamos
que la tabla es la siguiente
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
1 2 3 1 2 1 0 8 7 6 5 9 7 8 1 0 0 3 4 9 8 0 0 9 7 1
2 5 5 6 3 8 9 0 9 6 7 5 9 0 7 6 4 2 3 1 6 5 6 3 3 2
3 9 6 4 1 2 3 0 0 4 6 1 7 9 2 1 4 3 9 1 5 2 3 9 0 8
4 3 2 8 9 2 9 3 4 6 5 9 4 7 7 2 6 2 1 5 9 0 7 1 9 9
5 3 6 1 0 0 4 0 7 0 5 1 5 3 9 1 0 1 2 1 8 5 9 4 4 6
6 5 3 3 4 7 1 9 5 4 5 2 4 6 4 2 9 6 5 4 3 9 4 2 1 7
7 4 3 1 0 3 3 7 8 7 3 7 5 3 5 0 2 6 4 1 1 0 2 7 0 2
8 2 2 8 6 5 6 7 2 7 1 6 4 1 8 6 5 4 3 7 1 2 6 6 1 0
9 0 4 1 6 5 7 6 4 2 0 3 4 5 2 1 5 9 6 8 7 6 0 5 6 4
10 9 1 7 0 3 6 6 7 3 1 2 2 8 4 6 8 3 8 9 9 7 3 5 8 0
11 6 0 6 7 7 0 6 8 7 7 1 2 4 3 4 3 3 3 4 4 0 9 7 8 1
12 8 2 7 3 2 9 2 8 3 8 2 1 0 7 1 2 7 7 5 7 1 3 8 5 9
13 6 0 6 7 4 5 8 9 6 0 9 4 9 5 1 5 1 0 7 2 0 5 5 0 6
14 7 8 0 2 4 8 1 5 8 2 8 5 5 5 2 1 2 4 8 4 8 8 9 3 5
y que al arrojar el lápiz cayó en el
renglón 5 columna 7, entonces, las
personas que debemos seleccionar
serán 097,766, 628,179, 047, 582, 478,
895, 664, 604, 772, 373, 685, 765, 553,
101, 780, 295, 191, 276, 321, 298, 797,
454, 544, 221, 458, 097,363, 158, 409,
517, 279, 458, 243, 755, 061, 212,
061, 641, 112, tomando en cuenta que
es un muestreo con reemplazo.
Sistemático; Este muestreo permite
obtener los elementos de cada k -
ésima unidad de la población, y para
ello se requiere conocer el tamaño de
la población (N), el de la muestra (n) y
obtener el valor de k, de tal forma que
al tener estos datos escojamos al
primer dato por medio de aleatorio
simple y de ahí de k en k. Por ejemplo;
si tenemos la necesidad de extraer una
muestra de 20 artículos de 1000
unidades producidas entonces
deberemos dividir 1000/20 obteniendo
50 por lo que el primer número lo
seleccionamos de nuestra tabla de
números aleatorios obteniendo el
número 12, por lo que, los siguientes
números deberán ser 12+k, 12+2k,
etc., es decir, 12, 62,112, 162, 212,
262, 312, 362, 412, 462, 512, etc.
87 65 78 87 60 87 34 31 43 87
78 90 65 68 62 70 80 61 62 72
95 64 80 90 68 80 30 35 40 75
59 68 65 92 70 78 95 33 72 65
70 95 50 75 31 60 43 78 70 60
65 60 30 90 40 80 59 27 92 65
Estratificado; Este tipo de muestreo
requiere tener una población bien
clasificada en varios grupos llamados
estratos, que a su interior se
mantengan bastante homogéneos,
para construir la muestra normalmente
se toma una cantidad de elementos del
mismo tamaño de cada uno de los
estratos, este debe ser mediante el
muestreo aleatorio simple (m.a.s.);
aunque en algunos casos cuando las
proporciones de los estratos son
distintas se toman en cuenta.
Por conglomerados; En este caso la
muestra nos presenta gran dificultad
para establecer sus diferencias, por lo
que iniciamos seleccionando en forma
aleatoria una muestra de
conglomerados, ya que, cada uno de
ellos podría representar una muestra,
posteriormente se deberá elaborar un
censo para poder establecer las
proporciones de las diferentes
categorías que se encuentren
presentes en nuestra muestra.
Ahora bien, después de determinar qué
tipo de variables utilizaremos, de que
formas las vamos a medir y si
será necesario obtener una
muestra nuestra siguiente
decisión a tomar dentro del
método estadístico será el de
especificar si usaremos los datos en
forma agrupada o no agrupada.
Para el caso de querer agrupar los
datos, entonces deberemos crear una
tabla de distribución de frecuencias
y para ello los pasos que debemos
seguir son los siguientes:
Se debe conocer el número total de
datos (N).
K
N
n

Elaborado por Víctor Herrera Bautista
Se elaborará el Diagrama de Tallo y
Hojas, buscando la cifra que haga más
evidente el cambio para formar el tallo
y los demás valores formarán las hojas;
por ejemplo:
Supongamos que tenemos los
siguientes datos:
Un restaurante establece, sobre la
base de sus registros, que el número
de comensales que hicieron uso de su
servicio día con día, durante los últimos
dos meses a la hora de la comida, son
los que se presentan a continuación:
Nos podemos percatar que en este
caso las cifras significativas son las que
representan a las decenas por lo que el
diagrama quedará compuesto de la
siguiente forma:
2 7
3 0 0 1 1 3 4 5
4 0 0 3 3
5 0 9 9
6 0 0 0 0 1 2 2 4 5 5 5 5 5 5 8 8 8
7 0 0 0 0 2 2 5 5 8 8 8
8 0 0 0 0 7 7 7 7 8
9 0 0 0 2 2 5 5 5
Nótese que este diagrama nos sirve
para encontrar los valores mínimos y
máximos de forma más rápida, también
nos permitió ordenar a los datos en
forma más sencilla y por último nos
muestra al menos el comportamiento
de la forma en el conjunto de datos.
El siguiente paso es obtener el Rango
mediante la siguiente relación, en la
que nos debemos cuestionar su
Rango = dato mayor - dato menor
significado, ya que, no representa una
diferencia simplemente sino que, más
bien es nuestra primer medida
estadística que representa la máxima
dispersión que vamos a encontrar en
nuestro conjunto de datos, así
tendremos: 95-27 = 68
1) Obtenemos la raíz de N y el
resultado redondeado siempre a valor
entero nos dará en número de
renglones (en nuestro ejemplo
tendremos 60 77459666 . 8 )
2) Seleccionar de una tabla, el número
de renglones representados por K y el
número que más se aproxime al
número de datos en la columna
denominada con la letra N por ejemplo
en nuestro problema tenemos 60 datos,
por lo que, la tabla nos sugiere utilizar 5
intervalos para poderlos agrupar
adecuadamente.
Número de Intervalos: No debe
ser menor de 6 ni mayor de 15.
Se puede establecer:
- al gusto del investigador
- n redondeado al siguiente
entero
- utilizando la tabla
- mediante la expresión
2
k n
3) Escoger el número de renglones o
intervalos a juicio del investigador,
tomando en cuenta que si no se tiene
experiencia en este tipo de problemas
el diagrama de tallo y hojas puede
proporcionarnos una buena cantidad de
renglones para nuestro objetivo, en
nuestro ejemplo el diagrama sugiere 8
renglones.
El paso siguiente para elaborar la tabla
de distribución de frecuencias es
calcular el tamaño de intervalo,
rango
i
K
Tamaño de
intervalo
Número de
renglones
Posteriormente debemos determinar la
cantidad de intervalos o clases
deseamos utilizar para clasificar o
agrupar nuestra información y para ello
contamos con tres procedimientos al
menos:

Elaborado por Víctor Herrera Bautista
f en nuestro caso resultará de 9,
después 8 de haber redondeado hacia
arriba, 4 por lo que procederemos a
calcular 1 los límites de los intervalos,
comenzando 9
con los límites inferiores
sumándole 14 al número más pequeño el
tamaño 11 del intervalo (i) “K” veces, en
nuestro 5 ejemplo tendríamos:
8
Nótese que al dato menor se le
ha sumado el tamaño de
intervalo que es 9
resultándonos el siguiente y así
sucesivamente hasta sumarle el
tamaño del intervalo 8 veces
(que es el número de renglones
que hemos escogido).
LI
27
36
45
54
63
72
81
90
99
Posteriormente debemos
calcular los límites superiores y
para ello debemos considerar
que los intervalos que nos encontramos
construyendo son intervalos cerrados,
es decir, intervalos que incluyen a sus
extremos, de esta manera observamos
que los números que deben estar en el
primer intervalo son 27, 28, 29, 30, 31,
32, 33, 34 y 35, o sea, nuestro límite
superior es 35 en lugar de 36 que es el
resultado de sumar 27+9, por lo que
debemos disminuir el resultado una
unidad. (Por lo anterior los límites
superiores que nos quedan en nuestro
ejemplo son tomados de los inferiores
pero con una unidad menos).
El siguiente paso será determinar la
frecuencia ( f ) o número de datos que
caen dentro de los intervalos que
hemos generado por lo que debemos
contestar a la pregunta de ¿cuántos
datos se encuentran entre tal valor y tal
otro?, es decir, en nuestro ejemplo
li + ls lri + lrs
x = =
2 2
vemos que debemos preguntarnos
¿cuántos datos hay entre los valores
de 27 y 35?, pudiendo observar en el
diagrama de tallo y hojas que contamos
con 8 datos, y así sucesivamente hasta
terminar de preguntarnos los demás
intervalos teniendo:
De esta manera ahora ya contamos
con una tabla de distribución de
frecuencias la cual nos permitiera crear
nuevas columnas que nos facilitarán la
tarea de describir una
realidad y con ello
resolver un problema
mediante
importantes.
decisiones
Una de las columnas 8 128
que podemos generar etc. etc.
puede ser la que representa a la
frecuencia acumulada ( fa
K N
4 8
5 16
6 32
7 64
i
i
f
j
),
j1
es decir, la que nos responderá a la
pregunta de ¿cuántos datos se fueron
presentando desde el primer intervalo
hasta el último?, Dé esta forma
tendremos:
Así, con esta columna podemos decir
que 8 días tuvimos entre 25 y 37
comensales, 12 días entre 25 y 44,
etc.
fa
8
12
13
22
36
47
52
60
Después debemos encontrar
un número que representa a
todo el intervalo, ya que, es
más sencillo hablar de un solo
dato a un intervalo.
Este número se llama marca de
clase o punto medio el cual
quedará representado por una “x”
y se calcula utilizando los límites o los
límites reales o verdaderos, mediante
la siguiente relación:
En donde “li” representa al límite
inferior “ls” al límite superior y “lri”, “lrs”
a los límites reales.
Nótese que la marca de clase puede
obtenerse con los límites que habíamos
obtenido o con los límites reales, los
cuales resultan de las siguientes
acciones.
Es importante lograr establecer un
intervalo continuo para poder hacer
análisis estadístico de todo el conjunto
de datos y que a la vez no nos limite
este mismo conjunto.
Para obtener un límite real debemos
tomar los valores de los límites que
LS
35
44
53
62
71
80
89
98

Elaborado por Víctor Herrera Bautista
presentan un “hito” de información
(como es el caso de 44 y 45 en nuestro
ejemplo) y encontrar un punto que
represente ese intervalo con la fórmula
que hemos utilizado con las marcas de
clase.
Ahora procederemos a calcular la
frecuencia relativa ( fr ) la cual nos
representa la proporción que le
corresponde a cada intervalo con
respecto al total de datos mediante la
fórmula:
fr =
f
N
Al tener la frecuencia relativa entonces
también nos podemos preguntar cuál
es la proporción acumulada
( fra
x 100
i
fr j
j1
i
Es la
frecuencia de
cada renglón
Es el número total
de datos o en otras
palabras la suma
de “f”
) por renglón de la misma
forma que lo hicimos para la
frecuencia.
fr fra Como estas columnas
13 13 representan
la
7 20 proporción que le
2
15
23
18
22
37
60
78
corresponde a cada una
de las frecuencias en
cada renglón entonces
también podríamos crear
8 87 una columna que
13 100 representara los grados
dentro de una
circunferencia con el objetivo de crear
una gráfica de pastel o de pay también
llamada gráfica de sectores.
cualitativos o cuantitativos. Un círculo
se divide en sectores que representan,
proporcionalmente, cada clase. No es
recomendable representar más de 6
clases.
Se suelen ordenar los sectores para
hacer más evidente sus diferencias.
A partir de la frecuencia relativa, se
obtienen los grados:
grados fr 360 O grados % 3.6
i
Gráfica de Barras:
Puede representar datos cualitativos o
cuantitativos. Consiste en barras que
representan a las clases. La altura de
cada barra es igual a la frecuencia o
frecuencia relativa de la clase. El eje
horizontal no es la recta numérica por
lo que las barras se presentan
separadas
Histogramas:
i
i
i
Gráfica de Pastel (Pie, Circular o de
Sectores): Puede representar datos

Elaborado por Víctor Herrera Bautista
Permite comparar visualmente las
proporciones o magnitudes de las
clases.
Solo representa datos cuantitativos.
Muy semejante a la gráfica de barras.
Se representa sobre el eje cartesiano,
donde el eje horizontal representa las
fronteras o las marcas de clase. El área
de las barras representa
proporcionalmente cada clase.
Polígono: Hace evidente la forma de la
distribución de frecuencias de los
datos. Solo representa datos
cuantitativos. Es una gráfica de puntos
y líneas. Relaciona las marcas de clase
con sus frecuencias o frecuencias
relativas. Como el área total de las
barras del histograma debe
mantenerse igual al área debajo del
polígono, el polígono empieza en una
marca de clase anterior y termina en
una marca de clase posterior a las de
la tabla de frecuencias.
Ojiva:
2) Ojiva "O más": "¿cuántas
observaciones hay iguales o mayores a
esta fronteras?". Es una curva
decreciente que empieza en el total de
observaciones y termina en cero.
FUENTES DE DATOS.
Ahora nos interesa describir la forma
en que la estadística se hace llegar la
información para poder trabajarla. En
principio podemos decir que hay dos
tipos de estudios estadísticos; aquellos
que involucran la toma de decisiones
respecto a una población y/o sus
características, es decir, el estudio
enumerativo y el segundo llamado
estudio analítico que involucra realizar
actividad sobre un proceso para
mejorar el desempeño en el futuro.
Después de haber decidido qué tipo de
estudio se debe realizar entonces
podremos encontrar la información en
tres tipos de fuentes:
1) La bibliográfica
Equivalen a los polígonos de frecuencia
acumulada. Relacionan las fronteras
inferiores con los valores acumulados
de frecuencia. Su aplicación se
concreta a responder preguntas como:
¿qué proporción acumulada le
corresponde a este dato?, ¿Qué dato
corresponde a esta proporción
acumulada? Hay dos criterios para
construir ojivas:
1) Ojiva "Menor que": "¿cuántas
observaciones son menores que esta
frontera?". Es una curva creciente que
empieza en frecuencia cero y termina
en el total de observaciones.
2) La experimentación
3) La entrevista.
Dentro
de la
informaci
ón
bibliográf
ica

Elaborado por Víctor Herrera Bautista
podemos decir que está representada
por la información impresa y quedan
incluidas las nuevas fuentes tales como
la información obtenida en Internet,
discos compactos, y cualquier otro
medio digital que permita obtener
información almacenada. Las ventajas
de este tipo de datos quedan
manifiestas por la velocidad de
obtención de la información, ya que, tal
vez pueda estar clasificada y ordenada,
además de evitarnos la pérdida de
tiempo para recopilar esta información.
La desventaja es que muchas veces la
información no es actualizada o que la
información no se apegue exactamente
a nuestro problema.
La experimentación en forma contraria
a la bibliográfica tiene como ventaja
que la información obtenida es
exactamente de nuestro problema,
pero esto implica que se requiera de un
grupo de investigadores, de
presupuesto, así como de todos los
insumos para su funcionamiento.
c) Directa.
Cada una de ellas tiene sus ventajas y
sus desventajas pero también son
utilizadas en la actualidad, así como,
una serie de versiones que mezclan
estos tres tipos, por ejemplo en los
noticieros televisivos hacen una
pregunta y dan dos diferentes teléfonos
o tres para recibir las respuestas.
En cuanto a la entrevista podemos
decir que contamos al menos con tres
tipos diferentes:
a) Por correo
b) Por teléfono

Elaborado por Víctor Herrera Bautista
NOTACIÓN SUMA.
En la operación de adición o suma, se presenta con frecuencia en la estadística el
símbolo (sigma) para denotar “tomar la suma de”. A continuación se presenta un
ejemplo donde se tiene un conjunto de valores n para alguna variable X.
n
X i
i 1
, esta
expresión indica que estos n valores deben sumarse. Por consiguiente:
n
i 1
X
i
X
1
X
2
X
3
...
X
n
Ejemplo Se encuentran cinco observaciones para la variable
X X 2, X 0, X 1,
X 5 y X 7 .Por lo tanto:
5
i1
:
1 2
3
4
5
X
i
X
1
X
2
X
3
X
4
X
5
2 0 ( 1)
5 7 13
En estadística nos vemos involucrados muy a menudo con la suma de los valores al
cuadrado de una variable. Por lo tanto.
n
i 1
X
2
i
X
2
1
X
2
2
X
2
3
2
... X
n
Y en nuestro ejemplo, tenemos:
5
i1
2
X
2
2
i
0
X
2
2
1
X
( 1)
5
4 0 1
25
49
79
2
2
2
X
2
2
3
7
X
2
2
4
X
2
5

Elaborado por Víctor Herrera Bautista
n
X i
i1
Se debe observar, aquí que
a
n
X
i1
I
2
, el cuadrado de la suma, esto es
2 , la sumatoria de los cuadrados no es igual
n
i1
X
2
i
n
i1
2
X
i
En nuestro ejemplo, la sumatoria de los cuadrados es igual a 79. Esto no es igual al
cuadrado de la suma, cuyo resultado es 13 2 169
Otra operación que se utiliza con frecuencia implica la sumatoria del producto. Esto es,
suponiendo que tenemos dos variables, X y Y, cada una con n observaciones.
Entonces,
n
i 1
X Y
i
i
X Y X Y
1
1
2
2
X
3
Y
3
... X
n
Y
n
Continuando con el ejemplo anterior, suponiendo que también se tiene una segunda
variable Y cuyos valores son Y , Y 3, Y 2,
Y 4 y Y 3 Entonces,
5
i 1
(2)(1) (0)(3) ( 1)(
2)
(5)(4) (7)(3)
2 0 2 20 21
45
X Y
i
i
X Y
1
n
i1
1
X Y
2
2
X Y
3
1
1
2 3
4
5
3
X Y
4
4
X Y
Al calcular X i
Yi
debemos tomar en cuenta que el primer valor de X por el primer
valor de Y más el segundo valor de X por el segundo de Y, y así sucesivamente. Estos
productos cruzados luego se suman con el propósito de obtener el resultado deseado.
Sin embargo, debemos observar en este punto que la sumatoria de productos
cruzados no es igual al producto de las sumas individuales, es decir;
n
n n
i1
X
iYi
i1
X
i
i1
Yi
5
En nuestro ejemplo, X 13 y Y 1
3 ( 2)
4 3 9 de modo
i 1
i
5
5
i 1
5 5
n
que
X
i
Yi
(13)(9) 117. Esto no es lo mismo que X i
Yi
, que es igual a
i1
i1
i1
45.
Antes de estudiar las cuatro reglas básicas para efectuar operaciones con notación
sigma, será de ayuda presentar los valores de cada una de las cinco observaciones de
X y de Y en forma de tabla:
5
i
Observación X i
Y i

Elaborado por Víctor Herrera Bautista
1
2
3
4
5
2
0
-1
5
7
1
3
-2
4
3
5
i1
X 13
Y 9
i
5
i1
i
Regla 1: La sumatoria de los valores de dos variables es igual a la suma de los
valores de cada variable sumada.
n
i1
X
i
Yi
X
i
n
i1
En nuestro ejemplo:
5
i 1
n
i1
3 3 ( 3)
9 10 22
5
i 1
X
X
i
i
Y
5
i
i 1
Y
Y
13 9 22
i
(2 1) (0 3) ( 1
( 2))
(5 4) (7 3)
i
Regla 2: La sumatoria de una diferencia entre los valores de dos variables es igual a
la diferencia entre los valores sumados de las variables.
n
i1
( X
i
Y
)
i
n
i1
X
i
n
i1
Por consiguiente, en nuestro ejemplo,
5
i1
X
1
( 3)
11
4
4
i
Y
5
i1
i
X
i
Y
i
(2 1)
(0 3) ( 1
( 2))
(5 4) (7 3)
5
i1
Y 13
9 4
i
Regla 3: La sumatoria de una constante por una variable es igual a la constante que
multiplica a la sumatoria de los valores de la variable.
n
i1
cX
i
c
n
i1
X
i
En la que c es una constante.
Por tanto, en nuestro ejemplo, c =2
5
i 1
4 0 ( 2)
10
14
26
2
cX
5
i 1
X
i
i
5
i 1
2X
(2)(13)
26
i
(2)(2) (2)(0) (2)( 1)
(2)(5) (2)(7)

Elaborado por Víctor Herrera Bautista
Regla 4: Una constante sumada n veces será igual a n veces al valor de la constante.
n
i 1
c nc
En la que c es una constante. Así pues, si la constante c =2 se suma cinco veces
tendremos:
5
i 1
c 2 2 2 2 2 10
(5)(2) 10
En el caso de que i 1 entonces n = (valor final - valor inicial)+ 1
7
i 2
c 2 2 2 2 2 2 12
((7 2) 1) * (2) 12
Para ilustrar cómo se utilizan las reglas de la sumatoria, podemos mostrar una de las
propiedades matemáticas pertenecientes al promedio o media aritmética.
n
X
X i
i1
0
Esta propiedad establece que la sumatoria de las diferencias entre cada observación y
la media aritmética es cero. Esto se puede probar matemáticamente de la siguiente
manera:
1.- De la ecuación (4.1),
n
X
i
i
x 1
n
Así pues, utilizando la regla 2 de la sumatoria, tenemos:
n
n n
X
i
X X
i
i 1
i 1
i 1
X
2.- Puesto que, para cualquier conjunto fijo de datos, X Puede ser considerada como
una constante, de la regla 4 de la sumatoria tenemos:
n
i 1
X nX
Por consiguiente,
n
n
Xi
X Xi
nX
i 1
i 1
3.- Sin embargo, de la ecuación (4.1), puesto que
n
Xi
n
i
X 1 Después n X
n
Por consiguiente,
n
n n
X
i
X X
i
i1
i1
i1
X
i
X i
i 1
De esta manera se ha demostrado que:

Elaborado por Víctor Herrera Bautista
n
X
i
X 0
i1
PROBLEMA para ejercitar
Suponiendo que se tienen seis observaciones de las variables X y Y tales que
X , X 1, X 5, X 3,
X 1, X 2yY
4, Y 0, Y 1,
Y 2, Y 7, Y
1
2
2 3 4
5 6
1 2 3 4 5 6
Calcule cada una de las siguientes sumatorias.
3
6
a) X
i1
6
c) X
i1
6
i
2
i
e) X i
Yi
i1
6
b)Y
i
i1
6
d)Y
i
i1
6
2
f) X
i1
i
Y i
6
g)
i1
6
6
2
X
i
Y i
h) X
i
3Y
i
2X
i
i) cX
i
,
c 1
j) X
3Y
c,
c 3
i1
i1
6
i1
i
i

Elaborado por Víctor Herrera Bautista
MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN
El objetivo principal de las medidas de tendencia central es poder representar por
medio de un solo número al conjunto de datos, es decir, dan valores representativos
de la distribución de frecuencias, situados en algún lugar intermedio, alrededor del
cual, se encuentran los otros valores. Nos indican dónde tienden a concentrarse los
valores.
Existen tres medidas de tendencia central generales, que son, la Media aritmética, la
Mediana y la Moda; así como otras que se utilizan en casos particulares como la
Media ponderada, la Media Armónica, la Media Geométrica, la Media Cuadrática.
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL GENERALES.
,
x
Media Aritmética: Es el promedio de los datos, y su objetivo principal
es encontrar el valor que debería de estar en el centro. Su ventaja
principal es que es la única medida en la que x
x 0 , su
inconveniente es que se ve influida por valores extremos.
Datos No Agrupados:
x
=
n
X
i 1
i
n
X= cualquier dato
Número total de datos
Ejemplo: Calcular la media aritmética de los números 10, 12, 36, 25,58
1012
36
25
58 121
x
24.2
5
5

Elaborado por Víctor Herrera Bautista
Datos Agrupados:
x =
k
i1
f
i
*X
n
i
Frecuencia por la marca de clase de cualquier renglón
Número total de datos
Dónde: k = última clase
Nota: La media muestral se denota X, la media poblacional se conoce como .
Ejemplo: calcular el salario promedio de:
Salario
(X)
No. De emp.
(F)
$15,000 18
$20,000 35
$25,000 29
Como f 82 n sustituimos en la formula y se
Obtiene:
x
15000*18 20000*35 25000* 29
82
1695000
$20,670.70
82
Mediana x ~ : Es el valor central, el que delimita al 50% de los datos, es decir, es el
valor que se encuentra exactamente en la mitad de los datos.
Datos No agrupados: En los datos ordenados se aplica la siguiente relación,
para encontrar la posición de los datos.
posición n 1 ; En donde n = número total de datos
2
Entonces podemos tener sólo dos alternativas
a) El valor de la posición puede ser entero y lo único que debemos hacer es contar el
número de lugares que nos indica esta fórmula.
b) El valor de la posición nos da un valor decimal (.5) y entonces debemos: sumar los
valores involucrados y dividirlos entre 2. Por ejemplo; si tenemos los valores 5, 7,
8, 13 entonces la posición nos da 2.5 por que tendremos que seleccionar a los
números 7 y 8 para luego sumarlos (15) y dividirlos entre 2 (7.5)
Datos Agrupados:
Se localiza la clase o renglón que contiene a la mediana, con la siguiente condición

Elaborado por Víctor Herrera Bautista
n +1
fa , es decir debemos encontrar la primera frecuencia acumulada que
2
sea mayor o igual a la posición, para posteriormente aplicar la siguiente
fa
formula: X ~ posición
= FI +
anterior *
i donde:
f
FI Fa F i
Frecuencia Frecuencia
acumulada del renglón de
anterior al la mediana
renglón de la
mediana
Frontera o
límite
verdadero
inferior del
renglón de la
mediana
Tamaño de
intervalo en el
renglón de la
mediana
Nota: Si la posición, en los datos no agrupados, es decimal (.5), se toma el promedio
del dato anterior y el siguiente.
Ejemplo: Calcular el sueldo mediano de:
Fronteras($) Salario
(X)
12,500- $15,00
17,500 0
17,500- $20,00
22,500 0
22,500- $25,00
27,500 0
No. De emp.
(F)
18
35
29
Primero se obtiene la posición:
posición
821
41.5
2
Entonces buscamos el renglón de la mediana buscando la fa igual o más grande de
41.5, como 18+35 = 53, entonces decimos que es el segundo renglón o clase donde
se encuentra la mediana y aplicamos la fórmula:
fa
41.5-18
X ~ posición
= FI +
anterior
*i
17500
*5000
$20,857.14
f
35
Moda Xˆ : Es el valor más frecuente, el que se observa mayor número de veces.
Datos No Agrupados: Después de ordenar los datos buscamos el valor que más se
repite.

Elaborado por Víctor Herrera Bautista
Ejemplo: Encontrar la moda de; 47, 48, 49, 49, 49, 51, 51, 52. Podemos observar que
el número que más se repite es el 49. Si ningún valor se repite, no existe moda
Datos Agrupados:
Se localiza la clase modal buscando la frecuencia más alta y después se aplica la
siguiente fórmula:
1
Xˆ = FI +
*i
1
2
donde : f f
1
2
f f
anterior
posterior
Nota: La distribución puede ser: amodal, unimodal, bimodal, trimodal,...., polimodal.
Ejemplo: Calcular el salario que más se repite en:
Fronteras($) Salario
(X)
12,500- $15,00
17,500 0
17,500- $20,00
22,500 0
22,500- $25,00
27,500 0
No. De emp.
(F)
18
35
29
Observamos las frecuencias (No. de empleados) y decimos que la clase modal es la
segunda, porque 35 es la frecuencia más grande y aplicamos:
1
Xˆ = FI +
1
donde : f f
1
2
2
f f
17
*i 17500
*5000 $21,195.65
17
6
3518
17
anterior
posterior
35
29 6
Relación entre Media Aritmética, Mediana y Moda:
Para distribuciones unimodales que sean poco asimétricas:
X Xˆ 3 X X ~
Sus posiciones relativas, según la simetría de la distribución de frecuencias son:
Relación
Simetría
X
X = X Simétrica
X < X < X Sesgo positivo

Elaborado por Víctor Herrera Bautista
X
X > X Sesgo negativo
Nótese que en nuestros ejemplos tenemos:
Xˆ
X ~
> X esdecir 21195.65
20857.14
20670.7
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL PARA CASOS ESPECIALES
Media Aritmética Ponderada X
p : Es el promedio de los datos en donde se le da un
peso o importancia específica a cada observación. Se calcula:
X
w
=
n
W*X
i
i1
n
i1
W
i
i
Producto de cada uno de los datos por su ponderación
Suma de las ponderaciones
Ejemplo:
Se desea obtener el precio promedio de:
Precio del
Producto
Cantidad
en Kg.
$ 17.80 75
$ 35.90 56
$ 79.45 19
Aplicamos la fórmula:
X
w
=
n
W*X
i
i1
n
i1
W
i
i
(17.8*75) (35.9*56) (79.45*19)
75
5619
4854.95
$32.37
150
Media Geométrica (G): Con cierto tipo de datos, la media aritmética no da el valor
promedio correcto. La media geométrica sirve para promediar los crecimientos
geométricos de una variable.
Si suponemos que Y representa el factor de crecimiento geométrico de la variable X,
Xi
es decir: Yi
entonces el factor de crecimiento geométrico promedio de la
Xi
1
variable X será:

Elaborado por Víctor Herrera Bautista
Datos No Agrupados:
G
n
Y
1
* Y2
* *
Yn
Ejemplo:
Si los precios de la acción “Anáhuac” en los últimos cuatro días fueron; 4.75, 5.23,
4.78 y 6.32 calculan el factor de crecimiento promedio y el crecimiento porcentual
promedio.
Existen dos formas de resolverlo:
a) De la forma más ortodoxa, es decir:
5.23 4.78 6.32
n Y *Y * *Y 3
1 2
n
* * 1.330526316
1.099869493
4.75 5.23 4.78
G
3
Lo que acabamos de obtener es factor de crecimiento promedio y para obtener el
crecimiento se aplica la siguiente formula:
crecimient o
( 1
G) *100 (1 1.099869493) *100 9.9869%
6.32
b) Otra forma es G
último número de datos -1 3
3 1.330526316
1. 099869493
primero 4.75
Datos Agrupados:
G
n
Y
f
1
1 2
Y k
* Y * *
f
2
f
k
Dónde: k = última clase
Nota: Se puede demostrar que X G.
También puede calcularse la media geométrica ponderada.
Ejemplo:
Supóngase que se cuenta con la información diaria de los incrementos porcentuales
de una acción y que se representan en la siguiente tabla:
Crecimiento
porcentual
(%)
Frecuencias
en días
10 14
20 15
30 48
a) Calcular los factores de crecimiento.

Elaborado por Víctor Herrera Bautista
y 1
crecimiento porcentual
100
b) Calcular el factor de crecimiento promedio
G
n f1 f2
fk
77 14 15 48
Y * Y * * Y 1.10 *1.20 *1.30 1.2415965
1
2
k
Media Armónica (H): Cuando los datos a promediarse están medidos en unidades
expresadas en forma de cocientes (km./hr., $/lt, etc.), lo más adecuado es utilizar la
media armónica, ya que la media aritmética nos llevará a un promedio equivocado.
Datos No Agrupados:
H
n
n
1
i 1 X i
Ejemplo:
Si un vehículo se mueve de la ciudad A a la B a 65 Km./hr y regresa de B a A a 98
Km./Hr a qué promedio se desplazó.
H
n
i1
n
1
X
i
1
65
2
1
98
78.1595
Datos Agrupados:
H
k
i1
n
fi
X
i
Dónde: k = última clase
Nota: Se puede demostrar que X G H.
También puede calcularse la media armónica ponderada.
Ejemplo:
Supóngase que una flotilla de vehículos muestra la siguiente información:
Velocidad
promedio
en km/hr
Número
de
vehículos
50 15
60 28
75 31

Elaborado por Víctor Herrera Bautista
La respuesta es:
H
k
i1
n
fi
X
i
74
62.711864
15 28 31
50 60 75
Media Cuadrática (MC):
La media cuadrática nació con el objetivo de poder obtener el promedio de valores
positivos y negativos al mismo tiempo, esta medida será la que nos permita generar a
las medidas de dispersión (ver medidas de dispersión).
Datos no agrupados:
MC
n
i1
n
x
2
i
Ejemplo:
Supóngase que se obtienen las ganancias y pérdidas del precio de una acción durante
una semana; - 4.00, - 3.50, 2.35, 6.20, 3.25 Calcular el promedio:
MC
n
i1
n
x
2
i
( 4.0)
2
( 3.5)
2
2.35
5
2
6.2
2
3.25
2
50.775
3.186691
5
Datos agrupados:
MC
k
i1
f x
n
2
i i
Ejemplo:
Ahora deseamos obtener el promedio de una tabla de distribución de frecuencias pero
con datos positivos y negativos.
Ganancias y
pérdidas del
precio de
una acción
(x)
No. De
días
(f)
-7.25 25
2.75 14
12.75 2

Elaborado por Víctor Herrera Bautista
MC
n
i1
f
n
x
2
i i
25*( 7.25)
2
14* 2.75
41
2
2*12.75
2
6.5239

Elaborado por Víctor Herrera Bautista
MEDIDAS DE POSICIÓN
Ayudan a localizar el valor de la variable que acumula cierto porcentaje específico de
datos.
Cuartiles (Q): Encuentran el valor acumulado al 25%, 50% y 75% respectivamente.
Deciles (D): Representan el 10%, 20%,..., 90% de los datos acumulados
respectivamente.
Percentiles (P): Representan el 1%, 2%,..., 99% de los datos acumulados
respectivamente.
Cada cuantil delimita dos regiones:
- el p% de datos de menor valor (acumulados a la izquierda del cuantil C)
- el (1-p) % de datos de mayor valor (acumulados a la derecha del cuantil C).
Datos No Agrupados:
En los datos ordenados: se debe calcular la posición mediante la fórmula:
j *( n 1)
Posición
r
donde:
j Número de cuantil que sedesea obtener
r puede ser 4,10o100depende del cuantil
que se deseeobtener
n número de datos

Elaborado por Víctor Herrera Bautista
Después de calcular la posición se utiliza la siguiente fórmula para encontrar el cuantil
deseado:
dato menor (dato mayor - dato menor)*fracción de la posición
Ejemplo:
Dados los números 3, 5, 7, 36, 45; obtener el número que represente al 75% de los
datos.
Solución:
Primero obtienes la posición
N = 5
J = 75
R = 100
75*(5 1)
100
4.5
2. Identificamos que números están en la cuarta y quinta posición, es decir el 36 y el
45
3. Aplicamos la fórmula:
36
(45
36) * 0.5 40.5
Es decir, el número que representa al 75% de los datos es el 40.5
Datos Agrupados:
Primero calculamos la posición como en los datos no agrupados, después buscamos
la primer fa posición, y aplicamos la siguiente formula:
Posición de la mediana
.
C = FI+
j *
n 1
fa
r
f
anterior
* i
Frontera inferior
Frecuencia acumulada anterior al
renglón seleccionado
Tamaño de intervalo del renglón seleccionado
Frecuencia del renglón seleccionado

Elaborado por Víctor Herrera Bautista
Ejemplo
Encontrar el cuartil 3 de la siguiente tabla
Fronteras Frecuencia Fa
100 - 200 389 389
200- 300 258 647
300 - 400 452 1099
C = FI +
j* n 1
fa
r
f
anterior
3*(10991)
647
4
*i 300
*100 339.3805
452

Elaborado por Víctor Herrera Bautista
MEDIDAS DE DISPERSIÓN
Rango (o Intervalo):
Es la distancia que existe entre el
menor y el mayor valor de los datos.
Datos No Agrupados:
rango max min
Datos Agrupados:
rango LS k
LI 1
Donde k = última clase
Rango Semi-Inter Cuartil (Q): (o
Desviación Cuartil)
Mide el rango promedio de una cuarta
parte de los datos (evita los valores extremos)
Q
Q
Q
2
3
1
Desviación Media Absoluta (DM): (o Desviación Absoluta Promedio)
Es la distancia promedio de los datos a su media.
Datos No Agrupados:
DM =
n
i1
X X
n
i
Datos Agrupados:
DM =
k
i1
f
i
X X
n
i
Varianza:
Poblacional ( 2 ) es el promedio cuadrático de la distancia de los datos a su media

Elaborado por Víctor Herrera Bautista
Datos No Agrupados:
Las varianzas se calcularan con:
N
2 i1
=
2
N
i1
X
X
N
i
N
i
2
2
2
Y la desviación estándar se podrá obtener con:
=
N
i1
N
i1
X
X
N
i
N
i
2
2
2
varianza simplificada
desviación estándar simplificada
Datos Agrupados:
k
2 i1
=
2
k
i1
f i
La desviación estándar
f
i
N
X
N
X
i
i
2
2
2
varianza
simplificada

Elaborado por Víctor Herrera Bautista
=
k
i1
f i
X
i
N
2
k
i1
f
i
N
X
i
2
2
desviación
estándar simplificada
Muestral (S 2 ) la suma de las distancias al cuadrado se divide entre en número de
datos menos uno:
Datos No Agrupados:
s
s
2
2
=
N
i1
x
n -1
N 2
x i
i1
n -1
La desviación estándar
s
s
=
N
i1
x
i
x
n -1
i
N 2
x i
i1
n -1
x
2
2
2
nx
n 1
2
nx
n 1
varianza
desviación
simplificada
estándar simplificada
Datos Agrupados:
da
s
2
=
k
i1
f
i
x
i
n -1
x
2
s
2
k
i1
f
i
x
i
n -1
2
2
nx
n 1
varianza
simplifica

Elaborado por Víctor Herrera Bautista
La desviación estándar
s
s
=
k
i1
k
f
i1
i
f
x
n -1
i
x
i
n -1
i
x
2
2
2
nx
n 1
desviación
estándar simplificada
Nota: S 2 para muestras "chicas". Para muestras grandes S 2 o 2 prácticamente no
difieren.
Desviación Estándar:
Mide la variación de los datos en términos absolutos. Es la raíz cuadrada positiva de la
varianza.
2
Poblacional:
Muestral: S = S 2
La desviación estándar se interpreta construyendo intervalos alrededor del promedio:
Ejemplo:
Nota: Estos ejemplos pretender enseñarte el uso de las fórmulas, por lo que, no se
utilizarán todas las de dispersión, ya que, todas funcionan para el mismo fin.
Supóngase que se tiene la información siguiente:
No. de horas
que estudia
un alumno
No. De
alumnos X F*X X- x F*(X- x ) 2
10 - 20 25 15 375 -8.267 1708.44
20 - 30 38 25 950 1.733 114.17
30 - 40 12 35 420 11.733 1652.05
a) Debemos obtener la media aritmética. Sumando (f * x)/n = 1745/75=23.2667
b) Después calculamos X- x . Es decir cada una de las marcas de clase menos
la media aritmética.
c) Obtenemos la columna F*(X- x ) 2 y la sumamos (3474.67)
d) Por último aplicamos la fórmula de la desviación estándar:

Elaborado por Víctor Herrera Bautista
=
N
i1
i
N
X
2
3474.67
75
6.8065
Intervalo de confianza:
a) Teorema de Chebyshev. El teorema dice que no importa la forma que tenga la
distribución podemos calcular el porcentaje de valores que se encuentran dentro
de K desviaciones estándar mediante la siguiente formula:
1
% 1 *100
2
k
De ésta forma tenemos que:
- al menos el 75% de los valores cae dentro de 2 desviaciones estándar alrededor de
la media: X 2S
- al menos el 89% de los valores caen dentro de 3 desviaciones estándar alrededor de
la media: X 3S
b) Regla Empírica.
Si la distribución es una curva acampanada, unimodal y simétrica:
- aproximadamente el 68% de los datos (población) se encuentran a una desviación
estándar alrededor de la media: X S
- aproximadamente el 95% de los datos (población) se encuentran a 2 desviaciones
estándar alrededor de la media: X 2S
- aproximadamente el 99% de los datos (población) se encuentran a 3 desviaciones
estándar alrededor de la media: X 3S

Elaborado por Víctor Herrera Bautista
Coeficiente de Variación (CV): Mide la variación relativa de la variable con respecto a
su promedio. Mide la magnitud de la desviación estándar en relación con la magnitud
de la media. Se expresa en por cientos.
CV = S X 100

Elaborado por Víctor Herrera Bautista
MEDIDAS DE FORMA
Proporcionan un valor numérico para saber hacia qué lado de la distribución hay
mayor acumulación de frecuencias y si la concentración central de frecuencias es
mayor que en los extremos o viceversa sin tener que graficar los datos.
Momento Respecto de la Media: El r-ésimo momento respecto a la media aritmética
es:
Datos No Agrupados:
m
r
n
i1
x x
i
n
r
Datos Agrupados:
m
r
n
f
i
i1
n
r
x x
i
El primer momento respecto a la media (r=1) siempre es igual a cero.
El segundo momento respecto a la media (r=2) es la varianza poblacional.
Coeficiente
momento
de sesgo
a 3
= 0
a 3
> 0
a 3
< 0
Sesgo
No hay sesgo. La
distribución es
insesgada
La distribución tiene
sesgo positivo o a la
derecha.
La distribución tiene
sesgo negativo o a la
izquierda.
Sesgo: Es el grado de asimetría que tiene la distribución o en otras palabras es el
análisis del comportamiento de los datos con respecto al eje de las “X”. La distribución
puede ser:
Insesgada: (sin sesgo). Si tiene forma de campana y el área acumulada del centro de
la distribución a la derecha es igual a la que se acumula a la izquierda.

Elaborado por Víctor Herrera Bautista
Con sesgo positivo o a la derecha: Si tiene la mayor acumulación de frecuencias a
la izquierda y una cola larga a la derecha.
Con sesgo negativo o a la izquierda: Si la mayor acumulación está a la derecha y
tiene una cola larga a la izquierda.
Coeficiente Momento de Sesgo (a 3
): también conocido como coeficiente de
asimetría se calcula dividiendo el tercer momento respecto a la media entre la
desviación estándar al cubo:
Datos No Agrupados:
a
3
m
S
3
3
n
i1
x
i
ns
3
x
3
Número total de datos = n y
s = desviación estándar

Elaborado por Víctor Herrera Bautista
En el caso de calcularlo con Excel la fórmula es distinta:
sesgo
n
(n-1) * (n- 2)
*
n
i 1
x
i
x
s
3
Ejemplo:
Al efectuarse la subasta de Cetes la semana pasada se pudo observar la siguiente
información:
Postura Monto
(millones de pesos)
Tasa
%
A 200 8.75
B 225 8.40
C 140 8.65
D 190 8.50
E 170 8.90
F 120 8.80
G 160 8.65
H 150 8.70
Con esta información determine:
a) El sesgo de los montos de todas las
posturas.
Para lograrlo se requiere obtener la media
aritmética y la desviación estándar por lo
que procedemos a hacer una tabla:
montos x- med (x - med)^2 (x - med)^3
200 30.625 937.890625 28722.90039
225 55.625 3094.140625 172111.5723
140 -29.375 862.890625 -25347.4121
190 20.625 425.390625 8773.681641
170 0.625 0.390625 0.244140625
120 -49.375 2437.890625 -120370.85
160 -9.375 87.890625 -823.974609
150 -19.375 375.390625 -7273.19336
sumas 1355 8221.875 55792.96875
Con estos resultados obtenemos:
X =
n
i1
n
X
i
1355
8
169.375
s
2
( x )
n 1
2
8221.875
8 1
1174.55357
Si le sacamos la raíz cuadrada obtenemos la desviación estándar:
s
( x )
n 1
2
8221.875
8 1
34.2717

Elaborado por Víctor Herrera Bautista
m
S
n
ns
3
xi
x
3 i1
a3
3
3
3
55792.9687 5
8 * 34.2717
0.173253
El sesgo no dio como resultado 0.17 por lo que afirmamos que es positivo y
seguramente tendrá una figura como:
Datos Agrupados:
a
3
m
S
3
3
k
i1
f
i
i
ns
3
x x
3
EJEMPLO:
Después de encuestar a varios clientes de un banco con respecto a la cantidad de
fotocopias que había solicitado ese mismo día, se nos muestra la siguiente tabla:
a) Obtener la media aritmética.
b) Obtener la desviación estándar.
c) Obtener el sesgo.
Respuestas:
No. de No. de
Copias clientes
0 - 10 15
10 - 20 6
20 - 30 10
30 - 40 5
40 - 50 1

Elaborado por Víctor Herrera Bautista
No.
Copias
de
0 - 10 15
10 a 20 6
No. de
clientes
marca de
f * (x - f * (x -
clase (x) X * f x - med med)^2 med)^3
-
5 75 12.1621622 2218.772827 -26985.07492
-
15 90 2.16216216 28.04967129 -60.64793793
20 - 30 10 25 250 7.83783784 614.3170197 4814.917182
30 - 40 5 35 175 17.8378378 1590.942294 28378.97064
40 - 50 1 45 45 27.8378378 774.9452155 21572.79924
Sumas 37 635 5227.027027 27720.96421
n
fiXi
i1
635
a) = 17. 162
n 37
b)
f ( x )
n
2
5227.02702 7
37
11.8857
c)
k
3
fixi
i1
a3
3
m3
3
3
n
27720.96421
37 * 11.8857
0.4462
Por lo que podemos concluir que es una curva sesgada a la derecha ya que el
resultado del sesgo es mayor a cero.
Curtosis: Mide qué tan puntiaguda es una distribución, con respecto a la Normal, es
decir, analiza el comportamiento de los datos con respecto al eje de las “Y”.
La distribución puede ser:
1. Mesocúrtica: solo la distribución Normal (es el término medio).
2. Leptocúrticas: Las distribuciones más puntiagudas que la Normal, ya que su
desviación estándar es muy pequeña.
3. Platocúrticas: Las distribuciones menos puntiagudas que la Normal, debido a
que presenta una desviación estándar muy grande con respecto a la
distribución normal.

Elaborado por Víctor Herrera Bautista
Coeficiente momento de curtosis (a 4
): se calcula dividiendo el cuarto momento
respecto a la media entre la varianza al cuadrado (o la desviación estándar a la
cuarta).
Coeficiente
momento
de curtosis
a 4
= 3
a 4
> 3
a 4
< 3
Curtosis
La distribución es
Mesocúrtica.
La distribución es
Leptocúrtica.
La distribución es
Platocúrtica.
Datos No Agrupados:
a
4
m
S
4
4
n
i1
x
i
ns
x
4
4
Ejemplo:
Al efectuarse la subasta de Cetes la semana pasada se pudo observar la siguiente
información:
Postura Monto
(millones de pesos)
Tasa
%
A 200 8.75
B 225 8.40
C 140 8.65
D 190 8.50
E 170 8.90
F 120 8.80
G 160 8.65
H 150 8.70
Con esta información determine:
a) La curtosis de los montos de todas
las posturas.
Para lograrlo se requiere obtener la media
aritmética y la desviación estándar por lo
que procedemos a hacer una tabla:
(x -
montos x- med (x - med)^2 (x - med)^3 med)^4
200 30.625 937.890625 28722.90039 879638.824
225 55.625 3094.140625 172111.5723 9573706.21
140 -29.375 862.890625 -25347.4121 744580.231
190 20.625 425.390625 8773.681641 180957.184
170 0.625 0.390625 0.244140625 0.15258789
120 -49.375 2437.890625 -120370.85 5943310.7
160 -9.375 87.890625 -823.974609 7724.76196
150 -19.375 375.390625 -7273.19336 140918.121
sumas 1355 8221.875 55792.96875 17470836.2
Con estos resultados obtenemos:

Elaborado por Víctor Herrera Bautista
X =
n
i1
n
X
i
1355
8
169.375
s
2
( x )
n 1
2
8221.875
8 1
1174.55357
Si le sacamos la raíz cuadrada obtenemos la desviación estándar:
s
( x )
n 1
2
8221.875
8 1
34.2717
m
S
n
4
xi
x
4 i1
a4
4
4
4
ns
17470836.2
8 * 34.2717
1.583
Por lo que podemos afirmar que nuestra curva es una PLATICURTICA ya que al
compararla con el número 3 resulta ser menor
Datos Agrupados:
a
4
m
S
4
4
Ejemplo:
k
i
i1
i
ns
4
f x x
4
Después de encuestar a varios clientes de un banco con respecto a la cantidad de
fotocopias que había solicitado ese mismo día, se nos muestra la siguiente tabla:
No. de No. de
Copias clientes
0 - 10 15
10 - 20 6
20 - 30 10
30 - 40 5
40 - 50 1
d) Obtener la media aritmética.
e) Obtener la desviación estándar.
f) Obtener el sesgo.
Respuestas:

Elaborado por Víctor Herrera Bautista
No.
Copias
de
0 – 10 15
10 a 20 6
No. de
clientes
marca
de
clase
(x) X * f x - med f * (x - med)^2 f * (x - med)^3 f * (x - med)^4
-
5 75
12.1621622 2218.772827 -26985.07492 328196.8572
-
2.16216216 28.04967129 -60.64793793 131.1306766
15 90
20 - 30 10 25 250 7.83783784 614.3170197 4814.917182 37738.54007
30 - 40 5 35 175 17.8378378 1590.942294 28378.97064 506219.4763
40 - 50 1 45 45 27.8378378 774.9452155 21572.79924 600540.087
Sumas 37 635 5227.027027 27720.96421 1472826.091
n
fiXi
i1
635
d) = 17. 162
n 37
e)
f ( x )
n
2
5227.02702 7
37
11.8857
f)
k
4
fixi
i1
a4
4
m4
4
4
n
1472826 .09
37 * 11.8857
1.9946
Por lo que podemos concluir que es una PLATICÚRTICA ya que el resultado de
la curtosis es menor al número 3.

Elaborado por Víctor Herrera Bautista
MEDIDAS DE CONCENTRACIÓN
En una distribución, ni la media ni la varianza son explicativas de la mayor o menor
igualdad en el reparto; para esto usamos las medidas de concentración.
Consideremos que la variable en cuestión es el salario. Una distribución muy
concentrada indica que pocos individuos reciben la mayor parte del total, mientras que
poca concentración supone que todos los individuos tienen un reparto igualitario.
Índice de Gini:
Ig
k1
i
i1
k1
Donde:
p q
i1
p
i
i
k = número de clases o categorías
f
p
i
= la proporción acumulada de individuos = i
100 = fra x 100
n
q
i
= la proporción acumulada del total del producto de f i*x i
0 Ig 1
Si Ig=0, la variable está menos concentrada (mejor repartida).
Si Ig=1, la variable está más concentrada (peor repartida).
Curva de Lorenz:
Se grafican los valores de la proporción acumulada de individuos (p) y la proporción
acumulada del total de la variable (q).
La función identidad representa la igualdad absoluta, es decir, a la variable cuando no
está concentrada (la recta a 45 grados). La desigualdad absoluta o máxima
concentración de la variable indicaría que un solo individuo tenga el total de la variable
(el triángulo inferior).
Cuanto más se acerque la Curva de Lorenz a la diagonal, más igualitario será el
reparto (Ig = 0). Cuanto más se acerque la Curva de Lorenz al triángulo inferior, más
concentrada esta la variable (Ig = 1).

Elaborado por Víctor Herrera Bautista
El Índice de Gini calcula el área entre la diagonal y la Curva de Lorenz, como un
porcentaje del área del triángulo inferior de la gráfica (mide la desigualdad relativa).
EJEMPLO:
Si deseamos obtener la concentración del problema de las copias que sacan los
clientes de un banco tendríamos:
Se obtiene
Se obtiene
acumulando dividiendo:
en cada
x * f
renglón a fr
( x * f )
No. de No. de marca
Copias clientes de
clase
(x) X * f fr en % P H Q P-Q
0 - 10 15 5 75 40.5405405 40.54054054 11.81102362 11.81102362 28.72951692
10 a 6
20
15 90 16.2162162 56.75675676 14.17322835 25.98425197 30.77250479
20 - 30 10 25 250 27.027027 83.78378378 39.37007874 65.35433071 18.42945308
30 - 40 5 35 175 13.5135135 97.2972973 27.55905512 92.91338583 4.383911471
40 - 50 1 45 45 2.7027027 100 7.086614173 100 0
Sumas 37 635 278.3783784 Se obtiene 82.31538625
k 1
pi
qi
i1
Ig
k 1
p
i1
i
82.3153
278.378
0.2956
acumulando
en cada
renglón a H
Como es un valor muy cercano a cero se dice que el conjunto de datos está poco
concentrado.

Elaborado por Víctor Herrera Bautista
Números Índices.
Los números índices nos permiten describir el comportamiento de una cantidad (o
varias) a través del tiempo; las circunstancias empresariales fluctúan dentro de
márgenes muy amplios y cuesta mucho trabajo explicarlas, por ello, los números
índices pueden disminuir significativamente estas dificultades. Es decir, relaciona un
valor de un período determinado llamado período base, con otro valor de un período
diferente, que se denomina período corriente.
Los números índices se pueden clasificar de la siguiente manera:
Pc
Simple I * 100
P
b
Sin
ponderación
Donde:
P preciocorriente
c
P preciobase
b
P
i 1
De precios agregados I * 100
n
n
P
i 1
c
b
i
i
Compuestos
Ponderados
* Q
De ponderación fija i1
I
* 100
n
n
P
c
P
bi
i1
n
i
* Q
De Laspeyres i1
I
* 100
L
n
i1
n
P
c
P
b
i
i
f
f
i
i
* Q
b
* Q
De Paasche i1
I
* 100
De Fisher
P
n
i1
P
c
P
b
I I * I
F
L
i
i
b
* Q
c
* Q
P
c
i
i
i
i
El período base puede ser establecido por decreto (en el caso de México), o
dependiendo de las necesidades del investigador, pero en pocas palabras será el valor
o precio con el que se harán las comparaciones.
El período corriente será aquella cantidad o precio que se desea comparar con la
base.

Elaborado por Víctor Herrera Bautista
Los índices simples nos van a servir para describir el comportamiento del precio de
un bien a través del tiempo, por ejemplo; Si compramos una casa en un millón de
pesos y dos años después un avalúo nos informa que el nuevo precio de esa casa es
de un millón quinientos mil pesos entonces tendremos:
Es decir; que lo adquirido por cada
I
Año
P c
P
b
1,500,000
* 100
* 100 150.0
1,000,000
Precio
(P)
$
Cebolla Jitomate Frijol carne
Cantidad
Cantidad
Cantidad
(Q) Kg
(Q) Kg
(Q) Kg
Precio
(P)
$
$100.00 ahora se podrá adquirir por
$150.00, o en otras palabras que lo
que antes de dos años nos costó
$100.00 ahora nos cuesta $50.00 más.
Como se puede observar el índice simple resulta muy obvio ya que las cantidades que
manejamos son individuales y podemos inferir el resultado.
Los índices compuestos aumentan su importancia, porque nos permiten explorar el
comportamiento de un grupo de precios de diferentes bienes, es decir, que en forma
individual cada precio puede subir o bajar sin verse influido por los otros precios, en
otras palabras, los precios son independientes y excluyentes del comportamiento de
los otros. De esta forma, no será tan fácil observar el comportamiento global, es decir,
no podremos percatarnos del crecimiento global o decremento de los bienes en
conjunto. Por ejemplo. En México existe el análisis de la canasta básica, la cual,
contiene varios productos que se encuentran controlados por el Estado y otros
productos (o bienes) que están sujetos al comportamiento del mercado. Además nos
dan otra ventaja, puesto que, nos permiten relacionar precios con cantidades, ya sean,
de consumo o de producción.
Supongamos que tenemos los precios y cantidades de algunos bienes:
Precio
(P)
$
Precio
(P)
$
Cantidad
(Q) Kg
1997 2.7 125 10.0 158 15.5 236 22.0 85
1998 3.0 132 8.0 257 15.9 259 27.0 88
1999 3.0 135 12.0 159 15.9 289 32.0 95
2000 3.5 140 17.0 138 16.0 297 34.0 99
2001 4.0 144 10.0 156 16.0 358 45.0 99
Si queremos calcular los números índices compuestos tendremos lo siguiente:
1. Para él cálculo del índice compuesto sin ponderar tendremos que calcular dos
sumatorias, la que corresponda al año base y la del año corriente. Supóngase que
el índice que nos interesa es el de 1999, teniendo como base el año 1997.
5
P 3.0 12.0
15.9
32.0 62.9 , P
2.7 10.0
15.5
22.0 50. 2
i 1
c i
5
i 1
b i
Después de ello las sustituimos en la fórmula:
n
Pc
i
i 1
I
n
P
i 1
b
i
* 100
62.9
* 100 125.2988
50.2
Esto significa que de 1997 a 1999 los precios en conjunto han subido un 25.2988%.

Elaborado por Víctor Herrera Bautista
2. Si deseamos obtener el índice compuesto de ponderación fija para el año 1999
teniendo como base el año 1997 y año de ponderación el año 1998, los pasos a
seguir son:
Primero tendremos que calcular las sumatorias que corresponden a la fórmula,
n
P i
* Q
i 1
c
f
i
(3.0 *132.0) (12.0 * 257.0) (15.9 * 259.0) (32.0 * 88) 10414.1
n
P i
* Q
i 1
b
f
i
(2.7 *132.0) (10.0 * 257.0) (15.5 * 259.0) (22.0 * 88.0) 8876.9
Como podemos observar en este índice se multiplican los precios ya sea del año
corriente o de la base por la cantidad fija, que en este caso es la del año 1997.
Segundo paso aplicamos la fórmula:
I
n
P
i 1
n
P
i 1
c
b
i
i
* Q
f
* Q
f
i
i
* 100
10414.1
* 100
8876.9
117.3168
Podemos concluir que los precios del año 1999 han crecido el 17.3168% con respecto
a 1997 y tomando la producción fija de 1998.
3. Ahora calcularemos el índice de Laspeyres para el año 1999 base 1997 y para ello
tendremos que calcular las siguientes sumatorias.
n
P
i 1
n
i 1
ci
P
bi
* Q
bi
* Q
bi
(3.0 *125.0) (12.0 *158.0) (15.9 *236.0) (32.0 * 85.0) 8743.4
(2.7 *125.0) (10.0 *158.0) (15.5 * 236.0) (22.0 * 85) 7445.5
Y después utilizaremos la fórmula del índice Laspeyres.
I
L
n
P
i 1
n
P
i 1
c
b
i
i
* Q
* Q
b
b
i
i
* 100
8743.4
7445.5
* 100
117.4320
Nótese que el resultado nos indica que el año 1999 ha crecido 17.4320 % con
respecto al año 1997 tomando en cuenta el consumo (cantidad) de 1997. Además de
que casi no cambia el resultado con respecto al índice de ponderación fija, ya que, los
consumos de los años 1997 y 1998 son muy semejantes pero si hubiera diferencias
significativas, estos valores serían diferentes.
4. En el caso de que deseáramos calcular el índice de Paasche del año 1999 base
1997 los pasos serán:

Elaborado por Víctor Herrera Bautista
n
P i
* Q
i 1
n
c
c
P i
* Q
i 1
b
c
i
i
(3.0 *135) (12.0 *159.0) (15.9 * 289.0) (32.0 * 95) 9948.1
(2.7 *135.0) (10.0 *159.0) (15.5 * 289.0) (22.0 * 95.0) 8524.0
Y sustituyendo en la fórmula:
I
P
n
P
i 1
n
P
i 1
c
b
i
i
* Q
* Q
c
c
i
i
* 100
9948.1
8524.0
* 100
116.7069
Ahora observamos que el crecimiento del año 1999 con respecto a 1997 tomando
como ponderación el año 1999 es de 16.7069% es decir, menor que el índice de
Laspeyres debido a que la ponderación es distinta.
5. Por lo anterior será conveniente calcular el promedio geométrico de los índices de
Laspeyres y de Paasche para encontrar el valor más representativo del
crecimiento del año 1999 base 1997 de los productos antes mencionados:
I
F
I
L
* I 117.4320 *116.7069 117.0689
P
En Economía y negocios debe tomarse en cuenta que cuando los costos permanecen
constantes y el precio muestra cambios en el tiempo entonces podemos hablar de
inflación para el caso en el que el precio aumente y deflación para el caso en el que
el precio se vea disminuido.
Muchas veces se desea cambiar el año base y para ello se debe utilizar la siguiente
fórmula:
I
In
I
c
b
*100
Es decir, sólo tenemos que dividir el índice que desea tener como valor corriente
entre el índice que deseamos sea el año base.

Elaborado por Víctor Herrera Bautista
CORRELACIÓN.
La correlación es la forma numérica en la que la estadística ha podido evaluar la
relación de dos o más variables, es decir, mide la dependencia de una variable con
respecto de otra variable independiente.
Para poder entender esta relación tendremos que analizarlo en forma gráfica:
edad peso
15 60
30 75
18 67
42 80
28 60
19 65
31 92
represente la tendencia de los datos, que en otras
palabras podría decirse que se observa que a
mayor edad mayor peso.
Si tenemos los datos que se presentan en la tabla y
consideramos que la edad determina el peso de las
personas entonces podremos observar la siguiente
gráfica:
50
0
1698 47
2045 15
1348 100
1268 120
demanda
Donde los puntos representan cada uno de los pares
ordenados y la
150
línea podría ser 100
una recta que
1000 1500 2000
La correlación se puede explicar con la pendiente
de esa recta estimada y de esta forma nos
podemos dar cuenta que también existe el caso en
el que al crecer la variable independiente decrezca
la variable dependiente. En aquellas rectas estimadas cuya pendiente sea cero
entonces podremos decir que no existe correlación.
Así en estadística podremos calcular la correlación para datos no agrupados con la
siguiente formula.
Ejemplo:
r
n
n
i1
x
2
i
n
n
x y
i1
n
i1
i i i
i1 i1
i1
n
x
i
2
n
x
n
*
y
n
2
i
y
i
n
i1
y
2
i
En donde:
R = coeficiente de
correlación
N = número de pares
ordenados
X = variable independiente
Y = variable independiente
Edad (x) Peso (y) X 2 Y 2 X* Y
15 60 225 3600 900
30 75 900 5625 2250
18 67 324 4489 1206
42 80 1764 6400 3360
28 60 784 3600 1680
19 65 361 4225 1235
31 92 961 8464 2852
183 499 5319 36403 13483
Supóngase que deseamos obtener la correlación de los datos de la tabla anterior:
Ahora podemos observar que:

Elaborado por Víctor Herrera Bautista
r
n n n
n x y x * y
i 1
i i
i 1
i
i 1
i
7 *13483 (183 * 499)
0.65638606
2
2
7 * 5319 (183)
2 7 * 36403 (499)
2
n
2
2
n n
n
n x x n y y
i 1
i
i
1
i
i 1
i
i
1
i
Se debe aclarar que el coeficiente de correlación sólo puede variar de la siguiente
manera: 1 r 1 y que para entenderlo mejor se debe obtener el coeficiente de
determinación que se obtiene con “r “cuadrada, ya que este representa el porcentaje
que se explica “y” mediante los datos de “x”.
En nuestro ejemplo decimos que la correlación es casi perfecta, ya que, está muy
cerca de 1 y que el porcentaje de datos que explican a “y “es (0.65638606) 2 =
0.430842 o sea el 43.08 %
En el caso de que fueran datos agrupados tendremos lo siguiente:
Primero tendremos que pensar que se genera una matriz, ya que, ahora estamos
juntando dos tablas de distribución de frecuencias y por ello nuestros cálculos serán
más laboriosos, por lo que les recomiendo el uso de una hoja de cálculo o al menos
una calculadora con regresión para datos agrupados.
De cualquier forma aquí también estamos evaluando numéricamente si existe relación
entre dos variables y lo haremos con la siguiente ecuación.
k l
l
k
En donde podemos
n
f
xi
y
i
fx
xi
* fy
y
i
encontrar k como el
j 1
i 1 i 1
i 1
r
número de clases para la
2
2
l
l
2
k
k
variable "y" y l para el
2
n fx
xi
fx
xi
n fy
y
i fy
y
i número de clases de "x".
i 1
i 1
i 1
i 1
También podemos
observar que hay varios
tipos de "f" es decir, la que se encuentra sola (sin subíndice) que nos habla de las
frecuencias celdares (cada una de las frecuencias que se encuentran en la
intersección entre una columna y un renglón) y las "f" con subíndices que representan
las frecuencias de cada una de las variables.
Para entender el uso de esta fórmula usaremos un ejemplo:
Los resultados que se presentan en la siguiente tabla representan los pesos y las
estaturas de 48 alumnos entrevistados el "día Anáhuac"
Microsoft Excel
97-2003 Worksheet
Dar doble clic para ver un ejemplo
resuelto
La sustitución de la fórmula es la siguiente:

Elaborado por Víctor Herrera Bautista
r
k
l
l
n f xiyi
fxxi
* fyyi
j 1
i 1 i 1
i 1
2
2
l
l
2
k
k
2
n
f
xxi
fxxi
n fyyi
fyyi
i 1
1
1
1
i i
i
k
48 * 5380.77 - (82.06 * 3116)
((48 *140.8982) - 82.06
2
) * ((48 * 212072) - 3116
2
0.695
)
Debe notarse que la doble sumatoria queda calculada con una matriz que debe
explicarse en clase pero en el caso de la hoja de cálculo que se te proporciona sólo te
da el resultado.
Al interpretar nuestro resultado podemos concluir que si existe relación entre el peso y
la estatura, es decir, que a mayor estatura mayor peso.
En muchas ocasiones el resultado de la correlación es negativo y lo que debemos
pensar es que la relación de las variables involucradas en el cálculo es inverso es
decir que en la medida que crece la variable independiente la variable dependiente
decrece:
demanda
150
100
50
0
1000 1500 2000
Existen otras formas de calcular la correlación entre dos variables, mediante:
a) Covarianza.
b) Por rangos de Spearman.
c) Por mínimos cuadrados.
Para efecto de este curso sólo daremos las fórmulas del método de covarianza.
Para datos no agrupados:
n
( xi
x)*(
yi
y)
xi
* yi
i1 i1
covxy
x*
y
n
n
En donde:
x = cualquier valor de la variable independiente
y = el valor correspondiente de la variable dependiente
x = media aritmética de la variable independiente
y = media aritmética de la variable dependiente
n

Elaborado por Víctor Herrera Bautista
Para datos agrupados:
fxy
covxy x * y
n
En donde:
x = cualquier marca de clase de la variable independiente
y = la marca de clase correspondiente de la variable dependiente
x = media aritmética de la variable independiente
y = media aritmética de la variable dependiente
f = frecuencia celdar (ver atrás)
Debemos recordar que como esta fórmula es semejante a la de la varianza tendremos
que tomar en cuenta que si son menos de 30 datos tendremos que utilizar como
denominador “n-1”
Para obtener la correlación aplicaremos la siguiente fórmula:
covxy
r
s * s
x
y
En donde:
S x = Desviación estándar de la variable independiente
S y = Desviación estándar de la variable dependiente
Técnicas de conteo.

Elaborado por Víctor Herrera Bautista
En muchas ocasiones es necesario saber cuántos son los casos posibles y los casos
favorables para hacer el cálculo de probabilidades, por lo que es necesario desarrollar
algunas técnicas para determinar sin enumeración directa estos resultados.
Principio fundamental del conteo.
Cuando un evento puede realizarse de n 1 formas diferentes y otro evento puede
realizarse de n 2 maneras diferentes y así sucesivamente, entonces el número de
maneras en que los eventos pueden realizarse en el orden indicado es el producto de:
n 1 *n 2 *n 3 *………*n k
Ejemplo: Si llegáramos a un restaurante y nos dijeran que podemos escoger de 4
sopas, 6 guisados, 2 postres y 4 bebidas el número de comidas completas diferentes
que podríamos organizar sería: 4 * 6 * 2 * 4 = 192 formas diferentes
Aquí debemos aclarar que si deseamos saber cuántos platillos nos han ofrecido lo que
se debe hacer es sumarlos, es decir, 4 + 6 + 2 + 4 = 16
Ordenaciones con repetición
Este es un caso particular del principio fundamental, ya que, ahora el problema es
calcular las ordenaciones de un conjunto que no cambia. Por ejemplo: Si tenemos 9
cajetillas de cigarros cuántos arreglos podemos obtener si deseamos 4 y existe la
posibilidad de repetición.
n 1 *n 2 *n 3 *………*n k = n r
en donde r es el número de veces.
Sustituyendo la información del problema n r = 9 4 = 6561
Ordenaciones sin repetición
Notación factorial.
Este caso sirve para un conjunto de datos que se desean seleccionar uno a uno hasta
agotarlos y el orden es importante. Por ello tendremos que calcular el producto de los
enteros positivos desde 1 hasta n inclusive. Se denota con un símbolo especial n! (n
factorial).
n! = 1 * 2 * 3 *…. (n - 2) * (n - 1) * n
Cuando estemos haciendo operaciones con números factoriales nos podemos
encontrar con las siguientes situaciones que por definición quedan resueltas.
0! = 1; 1! = 1
Ejemplo:
¿Si debemos ordenar 5 libros de Estadística en un librero cuantas formas diferentes
tenemos?
5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120
Permutaciones.

Elaborado por Víctor Herrera Bautista
Este tipo de operaciones lo utilizamos cuando estamos en la misma condición que en
la notación factorial pero ahora no agotamos todos los elementos, es decir, buscamos
una ordenación de un conjunto de n objetos, tomados de r en r. Consideremos que r
n . Su fórmula es:
P r n
n!
( n r )!
Ejemplo:
¿De cuántas formas diferentes puedo seleccionar a un representante de la sociedad
de alumnos de la escuela de Mercadotecnia, a un secretario y un tesorero de diez
candidatos?
Del problema anterior sabemos que n = 10 y r = 3, por lo que la sustitución sería:
n!
10! 10 * 9 * 8 * 7!
n
P r
10 * 9 * 8 720
( n r )! (10 3)! 7!
Formas diferentes de
elegir a tres personas.
Permutaciones con repetición.
Este caso es muy especial, pero no por ello difícil de encontrar, y es precisamente
cuando el evento cuenta con objetos iguales, es decir, no se pueden diferenciar uno
del otro, pero nos interesa el orden en el que los colocamos. Su fórmula es:
Pr
n !* n
n!
!*........* n
1 2
r
Esto quiere decir, el número de n objetos de los cuales n 1 son iguales, n 2 son
iguales,……., n r son iguales.
Ejemplo: Si queremos encontrar el número de mensajes distintos que podemos con 4
banderas rojas, 2 verdes y 5 azules entonces tendremos que aplicar la fórmula de
permutaciones con repetición:
!
P
r
n !* n
1
2
n!
!*........* n !
r
11!
4!*2!*5!
6930
Combinaciones.
Cuando no nos interesa el orden de los datos y sólo queremos ver cuánto arreglos
podemos formar entonces debemos calcular las combinaciones de n objetos tomados
de r en r.
n
r
n
C
r
n!
r!*(
n r )!
Ejemplo.

Elaborado por Víctor Herrera Bautista
Si tenemos las letras a, b, c y d cuántas combinaciones podemos tener si queremos
formar palabras de dos letras, aunque no tengan ningún significado.
n
r
n
C
r
n!
4!
r!*(
n r )! 2!*(4 2)!
4!
2!*2!
6
6 formas diferentes de combinar las letras sin tomar en cuenta el orden, nótese que si
nos interesa el orden entonces tendríamos que:
P r n
n!
4!
12
( n r )! (4 2)!
Nota: Tú puedes hacer el diagrama de árbol que demuestre lo que acabamos de
demostrar numéricamente.

Elaborado por Víctor Herrera Bautista
Probabilidad
Para estudiar probabilidad se requiere tener conocimientos de la Teoría de conjuntos a
continuación recordaremos los conceptos más importantes. Por otra parte, si el
usuario no tiene aún bien definida la idea de lo que son los conjuntos, lo más
recomendable será estudiar los temas con mayor profundidad en un libro.
Conjuntos
La teoría de los conjuntos constituye un lenguaje apropiado que nos facilita los
estudios de algunos conceptos importantes de la Teoría de Probabilidad. Un Conjunto
es una colección bien definida de elementos. Los conjuntos se representan por: A, B,
C. Los elementos se representan por: a, b, c… etc. Para indicar que un elemento
pertenece a un conjunto A se representa como: a A y para indicar lo contrario
a A
Los conceptos de orden, conteo y cardinalidad
Ordenar es, en esencia, arreglar las cosas o elementos de una manera no ambigua,
es decir, una vez definido cual elemento es el inicial, para el resto de ellos siempre se
podrá decir cual le precede. Cuando los elementos de un conjunto son mediciones al
menos en una escala ordinal, son susceptibles de ordenarse conforme a algún criterio
de ordenación previamente establecido, generando así lo que se conoce como
"conjunto ordenado", denotándose dicho conjunto con el nombre del anterior pero con
el subíndice "ord". Así, si un conjunto X contiene valores numéricos, el conjunto de
dichos valores, pero ordenados, se llamará X ord.
Se conoce como par ordenado a una pareja de valores en la que el orden de sus
componentes es de suma importancia, denominándose al primer valor como "primera
componente" del par, y al segundo valor como "segunda componente" del par.
Ejemplo: Las coordenadas de un punto en el plano son un par ordenado, ya que son
de la forma (x,y).
Contar los elementos de un conjunto es efectuar una correspondencia ordenada 1 a 1,
entre dichos elementos y el conjunto ordenado de los enteros positivos cuyo primer
elemento sea el 1.

Elaborado por Víctor Herrera Bautista
La cardinalidad de un conjunto es el número de elementos que lo constituyen. Esto es,
para conocer cuántos elementos tiene un conjunto será necesario contarlos, y su
cardinalidad será el último número correspondido en el conjunto ordenado de los
enteros positivos, al efectuar el proceso de contar. Lo anterior presenta dificultades
cuando el conjunto que se pretende contar es un continuo, pues conjuntos de este tipo
no son "contables". Por lo anterior, se puede concluir que existen conjuntos contables
y conjuntos no contables. Un conjunto será contable si es susceptible de ordenarse y,
si no lo es, será no contable. Generalmente esta dificultad se soluciona diciendo que
los conjuntos no contables tienen cardinalidad infinita.
El conjunto de los cardinales = C, es de las cardinalidades posibles, las cuales serán
siempre números enteros no negativos, ya que nunca se podrá hablar de una
cardinalidad negativa o fraccionaria; es decir, es el conjunto ordenado de los naturales
con el cero = {0, 1, 2,...}.
Clasificación de los conjuntos
Se dice que un conjunto es finito si es contable o numerable. Esta clasificación está en
función de su propiedad de ser contable y no en función de su cardinalidad, por lo que
puede darse el caso de conjuntos finitos, pero de cardinalidad infinita, como, por
ejemplo, el conjunto de los cardinales.
Se dice que un conjunto es infinito si no es contable. Generalmente su cardinalidad
también es infinita.
Operaciones entre conjuntos
Si se tienen dos conjuntos, digamos A y B, la unión de ellos, denotada por A U B, será
un conjunto que contenga a todos los elementos de A y a todos los elementos de B
que no estén contenidos en A. Es fácil observar que es indistinto decir A U B que B U
A, por lo que este tipo de relación es simétrica.
Ejemplo: Sean A = {3, 2, 5} y B = {2, 6, 1, 8}
A U B = {3, 2, 5, 6, 1, 8} = B U A
Si se tienen dos conjuntos, digamos A y B, la intersección de ellos, denotada por A ∩
B, será el conjunto que contenga a aquellos elementos de A que también sean
elementos de B. Este tipo de relación también es simétrica, pues el conjunto A
intersección B contiene los mismos elementos del conjunto B intersección A. Cuando
dos conjuntos no tienen ningún elemento en común, se dice que son conjuntos
disjuntos o excluyentes, y su intersección será el conjunto vacío.
Ejemplo: Sean A = {3, 2,5} y B = {2, 6, 1,8}
A ∩ B = {2} = B ∩ A
Debemos aclarar que cuando queremos obtener la unión de conjuntos que sí
presentan intersección es la suma de sus elementos menos la intersección:
Ejemplo: Sean A = {3,2,5} y B = {2,6,1,8} A ∩ B = {2} y su unión será A U B = A + B
- (A ∩ B) = {3,2,5} + {2,6,1,8} - {2} = {1,2,3,5,6,8}
El producto cartesiano es el conjunto de todos los pares ordenados posibles cuya
primera componente sean los elementos del conjunto que esté primero y que la
segunda componente de los pares sean los elementos del conjunto que esté en
segundo lugar. Se denota, suponiendo que los conjuntos sean A y B, como A X B.
Ejemplo: Sean A = {1, 2, 3} y B = {a, b}
(3, b)}
A X B = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a),

Elaborado por Víctor Herrera Bautista
NOTA: Este tipo de relación no es simétrica, pues generaría a otro tipo de pares
ordenados.
La diferencia de dos conjuntos, (A - B) es un conjunto que contiene a los elementos de
A pero que no están en B.
Ejemplo: Sean A = {3, 2,5} y B = {2, 6, 1,8} A - B = {3,5}
Representación de conjuntos y sus operaciones.
Diagramas de Venn. Este tipo de representación se utiliza fundamentalmente para
representar a los conjuntos dentro de su universo, y para representar las operaciones
de unión de los conjuntos, así como la intersección de los mismos. Generalmente
consiste en un rectángulo que representa al universo, y en círculos interiores para
representar a los conjuntos de un problema.
U=Universo
A = {1, 3, 7, 4}
B = {8, 5, 3}
U = {x | x sea un dígito}
DIAGRAMA DE VENN PARA A Y B
DIAGRAMA DE VENN DE A ∩B

Elaborado por Víctor Herrera Bautista
Arreglo o red. Este tipo de representación gráfica se utiliza para representar al
conjunto producto cartesiano entre dos conjuntos, notándose que el primer conjunto se
fija en el eje horizontal, o eje de las abscisas de los ejes cartesianos, y el segundo, en
el eje vertical o eje de las ordenadas; una vez hecho esto, se pintan los puntos
correspondientes a todos los posibles pares ordenados generado por el producto
cartesiano. Si los dos conjuntos son discretos, se generará una colección aislada de
puntos en el plano; si uno de ellos es discreto, pero el otro continuo, se generarán una
serie de líneas; si los dos son continuos, se generará un área; véanse las figuras V, VI
A = {1, 2, 3}
B = {4, 5}
Arreglo o red que representa a AXB
A = {5, 6, 8}
B = {x | 1 < x < 2}
Arreglo o red que representa a AXB
A = {x | 2 < x < 4}

Elaborado por Víctor Herrera Bautista
B = {x | 1 < x < 2}
Arreglo o red que representa a AXB
Gráfica arborescente: Ésta es otro tipo de representar al producto cartesiano de dos
conjuntos, sólo que está restringido a conjuntos discretos. Consiste en poner a los
elementos del primer conjunto en forma de columna, y a los elementos del segundo
conjunto combinados también en columna, pero para cada elemento del primer
conjunto; véase la figura.
A x B
1
2
3
4
5
a
b
c
d
a
b
c
d
a
b
c
d
a
b
c
d
a
b
c
d
(1,a)
(1,b)
(1,c)
(1,d)
(2,a)
(2,b)
(2,c)
(2,d)
(3,a)
(3,b)
(3,c)
(3,d)
(4,a)
(4,b)
(4,c)
(4,d)
(5,a)
(5,b)
(5,c)
(5,d)
A = {1, 2, 3, 4, 5}
B = {a, b, c, d}
Gráfica arborescente que representa a AXB
Subconjuntos posibles de un conjunto finito.
Algunas veces es útil o inclusive necesario, conocer cuántos subconjuntos puede tener
un conjunto, particularmente si éste tiene cardinalidad finita. Si llamamos "n" a su
cardinalidad, es posible demostrar mediante el uso del concepto de combinaciones, y
aceptando al conjunto vacío como un subconjunto, que existen (2) n .
Definición clásica de probabilidad.
Si un suceso puede ocurrir de N (casos posibles) maneras mutuamente exclusivas e
igualmente verosímiles, y si M (casos favorables) de ellas poseen una característica o
atributo A (el conjunto de todas ellas será el espacio eventual "S", y el conjunto de las

Elaborado por Víctor Herrera Bautista
que poseen el atributo será el evento "A"), entonces la probabilidad de A, denotada por
f M casos favorables
p(A) = M/N, es decir, p ( A)
fr
N N casos posibles
A esta definición se le conoce también con el nombre de definición a priori de
probabilidad, pues no requiere de hacer antes alguna prueba experimental, sino que
excluye la necesidad de ella.
Cuando se dice que dos sucesos son mutuamente exclusivos, quiere decir que la
ocurrencia de uno de ellos excluye automáticamente la posibilidad de la ocurrencia del
otro, y cuando se dice que son igualmente verosímiles, se sobreentiende que ambos
tienen la misma posibilidad de ocurrir, es decir, los dos eventos unitarios que los
contengan, tendrán la misma probabilidad.
Ejemplo: Supóngase un salón de clase de 20 alumnos, de los cuales algunos son
mexicanos y otros no lo son. ¿Cuál es la probabilidad de que si se toma uno de ellos al
azar sea mexicano? Véase que el espacio muestral tendrá cardinalidad igual a 20 (el
suceso puede ocurrir de 20 maneras, N = 20), y suponiendo que hubiera 16
mexicanos, el evento "que sea mexicano" tendrá a los 16 (M = 16); además, todos los
sucesos son mutuamente exclusivos, pues cada alumno es un individuo plenamente
diferenciable, y la ocurrencia de alguno implica la no ocurrencia de los otros 19, así
como el hecho de que la extracción será al azar garantiza la igual verosimilitud para
todos. Dado todo lo anterior, se puede aplicar la definición clásica de la probabilidad:
p (salga un mexicano) = 16/20 = 0.8
Definición empírica de probabilidad.
Si un suceso puede ocurrir de diversas maneras mutuamente exclusivas (pero no
necesariamente iguales verosímiles), y algunas de estas maneras poseen un atributo
A, entonces la p(A) será igual al límite de su frecuencia relativa, es decir:
n
p(
A)
Lim
N
N
n número de veces en que se ha cumplido A en las N repeticiones.
N Número de repeticiones
Lím = esto indica que la precisión en la estimación del valor verdadero de p(A) se va
incrementando a medida que N crece, y que se llega al máximo cuando se llega al
infinito.
Si se evalúa la frecuencia relativa de la ocurrencia de un evento en un experimento
que se va repitiendo, se puede observar que al principio las frecuencias relativas
varían proporcionalmente mucho de una a otra repetición, es decir, si el experimento
se repite digamos 10 veces, y se evalúa la f r, y se repite una vez más (la 11-ava vez),
y se evalúa nuevamente la f r, la variación que presente el nuevo cálculo con respecto
al anterior, será proporcionalmente mayor que si se compara con la variación de la 20-
ava repetición a la 21-ava, y así sucesivamente, a medida que la N crece y se hace
constante en el infinito. Esto se puede observar en forma esquematizada en la figura
X.

Elaborado por Víctor Herrera Bautista
FIG. X VARIACIONES EN LOS VALORES DE LA FRECUENCIA RELATIVA DE UN
EVENTO AL REPETIRSE EN FORMA CRECIENTE UN EXPERIMENTO
A la definición empírica de probabilidad también se le denomina como definición a
posteriori de probabilidad, pues requiere de un previo experimento para poder evaluar
la probabilidad de un evento.
Definición axiomática de probabilidad.
Cada evento posible de un espacio muestral dado, tiene un y sólo un valor de
probabilidad, el cual es asociado a dicho evento mediante una regla, por lo que la
probabilidad es realmente una función cuyo dominio es el conjunto de los eventos
posibles de un espacio muestral, y cuyo contra dominio es el conjunto de los números
reales, siempre que cumpla con los siguientes axiomas:
1. Si A S, p (A) ≠ 0
2. P(S) = 1
3. Si A 1, A 2,..., A n es una secuencia de eventos del espacio muestral, mutuamente
exclusivos, entonces la probabilidad de la unión de todos ellos es igual a la suma
de las probabilidades de cada uno.
Observando estos axiomas y analizándolos, en realidad lo que cada uno dice es lo
siguiente: el primero dice que para todo evento de un espacio muestral, siempre su
probabilidad será no negativa. Esto es obvio, ya que no importa en qué caso nos
encontremos, es decir, en el caso de fenómenos insesgados en los cuales podamos
aplicar la definición clásica de probabilidad, vemos que al dividir M entre N, ambos
será siempre números enteros positivos que no pueden dar una respuesta negativa, o
si nos encontramos en algún caso de fenómenos sesgados, en los cuales no se puede
aplicar la definición clásica y tengamos que aplicar la empírica, también vemos que la
respuesta no puede salir negativa, ya que no puede existir una frecuencia relativa
negativa.
El segundo axioma nos dice que la probabilidad del espacio muestral mismo es igual a
uno; esto es también obvio, pues esto sería lo mismo que decir: ¿cuál es la
probabilidad de que al efectuar un cierto experimento, nos dé como resultado alguno
de los resultados posibles (alguno de los elementos de S)?, claro que la p(S) = 1.
Probablemente el tercer axioma sea más difícil de entender, o mejor dicho, de
interpretar, pero también es muy fácil. Lo que dice es que si se tiene una serie de
eventos disjuntos (es decir, que la intersección de cualesquiera dos de ellos sea
vacía), y cada evento tiene un valor de probabilidad, la probabilidad de la unión es
claro que será la suma de las probabilidades parciales de cada evento, ya que la unión
incluiría a todos los elementos de todos los eventos dados.

Elaborado por Víctor Herrera Bautista
De los axiomas anteriores se desprende lo siguiente:
1) 0 p 1
2) P ( ) 1 y P( )
0
3) Si A A c , entonces P(A c ) 1 P(A)
NOTAS: Si la probabilidad es siempre un valor entre 0 y 1, entonces el rango de la
función de probabilidad será un subconjunto del intervalo cerrado entre dichos valores.
Se entiende por intervalo, digamos el intervalo (2, 7), como el conjunto de todos los
valores comprendidos entre el 2 y el 7. Hay dos tipos de intervalos (y uno mixto o
derivado de ambos): el intervalo abierto y el intervalo cerrado. En el caso del intervalo
abierto (2, 7) los valores de los límites no quedan incluidos en el conjunto, sino
únicamente a todos los valores intermedios. En el caso del intervalo [2,7], los límites sí
son elementos del conjunto. El intervalo mixto es aquel que es cerrado por un lado y
abierto por el otro.
Cuando se tiene una secuencia de eventos mutuamente exclusivos que agoten u
ocupen a todo el espacio (esto se puede generalizar a subconjuntos de un conjunto
cualquiera), esto es, que la unión de todos sea el espacio muestral completo, se dice
que se tiene una partición. Así, una partición es un conjunto de subconjuntos disjuntos
tales que la unión de todos sea el conjunto parental.
Probabilidad subjetiva.
Este tipo de probabilidad es asignada por un experto y no se puede comprobar, es
decir, en muchas ocasiones no se dispone de datos históricos, y debemos tomar una
conjetura informada, también se utiliza para estimar la probabilidad de un evento que
nunca ha sucedido.
Por ejemplo: para calcular la probabilidad del número de accidentes en determinado
lugar le preguntamos a un policía que vigile en la zona.
Reglas de probabilidad.
En la economía y los negocios es importante aclarar dos condiciones para utilizar la
probabilidad:
a) el caso en que un evento u otro se presente.
b) La situación en que dos o más eventos se presenten al mismo tiempo.
Por ejemplo: para el primer caso nos preguntaríamos. ¿Cuál es la probabilidad de que
la demanda de hoy exceda nuestros inventarios? Y la segunda podríamos preguntar
¿¿cuál es la probabilidad de que la demanda de hoy exceda nuestro inventario y que
el 10% de nuestra fuerza laboral no se presente a trabajar?
Para dar respuesta a éstas y muchas más preguntas tendremos que aclarar algunos
conceptos de la probabilidad.
Probabilidad marginal.
Es la probabilidad de un evento conocido (sencillo) y que sólo éste puede llevarse a
cabo también se le conoce como probabilidad incondicional. Se representa por:

Elaborado por Víctor Herrera Bautista
P(A) = la probabilidad del evento A
Regla de la adición para eventos mutuamente excluyentes.
Esta regla se aplica cuando deseamos conocer la probabilidad de un evento u otro
sucedan. Si son mutuamente excluyentes podremos obtenerla de la siguiente manera:
P(A o B) = P(A) + P (B)
U
A
B
En el diagrama observamos que para conocer la unión sólo debemos juntar sus
probabilidades.
Existe un caso especial para cualquier evento A, tenemos que este sucede o no
sucede. De modo que los eventos A y no A son mutuamente excluyentes y a su vez
exhaustivos (es decir, con ellos juntos ya no habrá más elementos) tendremos:
P(A) + P (no A) = 1 o de manera equivalente: P(A) = 1- P (no A)
Regla de la adición para eventos no mutuamente excluyentes.
Si dos eventos no son mutuamente excluyentes, es posible que ambos se presenten al
mismo tiempo y por ello debemos modificar la regla de adición para obtener:
P(A o B) = P(A) + P (B) - P(A y B) = P(A) + P (B) - P(A B)
P(A)
P(AB)
P (B)
Probabilidades bajo condiciones de independencia estadística.
Existe la posibilidad de que al estar calculando la probabilidad de un evento tengamos
que revisar si éste no es resultado que haya sucedido otro evento previo, debido a que
ahora examinaremos él cálculo de probabilidad de eventos que son estadísticamente
independientes, es decir, la presentación de uno de ellos no tiene efecto sobre la

Elaborado por Víctor Herrera Bautista
probabilidad de presentación de cualquier otro evento. Por ejemplo supongamos que
contamos con una urna en donde hemos depositado papelitos con los 10 nombres de
los candidatos a dos becas otorgadas por el CONACYT para realizar estudios de
postgrado en el extranjero. Si extraemos un papelito para seleccionar al primer
candidato nuestra probabilidad es de P(A) = 10
1 , pero si no lo regresamos hemos
modificado la probabilidad de seleccionar a otro candidato, ya que ahora sólo hay 9
papelitos, para no alterar esta probabilidad habrá que regresar el primer papelito
extraído. Es importante aclarar que en estas condiciones tendremos tres casos
diferentes de probabilidad bajo independencia estadística:
1. MARGINAL P(A)
2. CONJUNTA P(A y B)
3. CONDICIONAL P(B\A)
Probabilidades bajo condiciones de dependencia estadística.
En este caso las probabilidades que deseamos calcular dependen de que haya
sucedido otro evento, también tenemos tres tipos diferentes de probabilidades,
marginal, conjunta, condicional y aunque se llaman igual se calculan de forma distinta.
En el cuadro siguiente podemos observar las fórmulas que nos servirán para calcular
los diferentes tipos de probabilidad:
Bajo independencia
Bajo dependencia
Tipo de Símbolo Fórmula Tipo de Símbolo Fórmula
probabilidad
probabilidad
Marginal P(A) a Marginal P(A) Suma de
P(
A)
probabilidad
n
es de los
eventos en
los que A se
presenta
Conjunta P(AB) P(A)*P(B) Conjunta P(AB) P(A\B)* P(B)
P(BA) P(B\A)*P(A)
Condicional P(B\A) P(B) Condicional P(B\A)
P(A\B)
P(
B A)
P(
A)
P(
A B)
P(
B)

Elaborado por Víctor Herrera Bautista
Supongamos que conocemos la probabilidad de que al seleccionar una muestra de
alumnos de la carrera de Negocios internacionales de la escuela de Economía y
Negocios, que sea hombre. P (H) = 0.35. También sabemos que la probabilidad de
que un hombre salga reprobado en Estadística es de 37%, mientras que de las
mujeres el 30% reprobarán la materia.
a) Generar el diagrama de árbol para explicar este problema.
b) Crear un cuadro de información para mostrar las probabilidades marginales y
conjuntas
c) Calcular la probabilidad de que al seleccionar un alumno sea reprobado dado que
es mujer.
d) Calcular la probabilidad de seleccionar un hombre dado que está aprobado en
Estadística
Respuesta de a)
Alumnos
0.35
1 – 0.35
0.37
Hombres
1 – 0.37
0.30
Mujeres
1 – 0.30
Reprobado
Aprobado
Reprobado
Aprobado
Respuesta b)
Hombre Mujer Total
marginal
Reprobado 0.1295 0.195 0.3245
Aprobado 0.2205 0.455 0.6755
Total
marginal
0.35 0.65 1.00
Respuesta c)
Este inciso lo podemos resolver de dos formas dependiendo del diagrama que
utilicemos, si utilizamos el diagrama de árbol tendremos:
P(
R M ) 0.30*0.65
P ( R / M ) 0.30
P(
M ) 0.65
La otra opción es tomar la información de la tabla del inciso b)
P(
R M ) 0.195
P ( R / M ) 0.30
P(
M ) 0.65
Respuesta d)
También tenemos dos formas de responder pero es importante lo que va a pasar
ahora en el diagrama de árbol.

Elaborado por Víctor Herrera Bautista
P(
H A)
0.35*0.67
P ( H / A)
0.326424
P(
A)
(0.35*0.67) (0.65*0.70)
Es decir descubrimos que para poder calcular la probabilidad marginal de “aprobado”
tuvimos que sumar las probabilidades en donde estuvo presente el evento.
Mientras que si ya hicimos la tabla las cosas serán más fáciles.
P(
H A)
0.2205
P ( H / A)
0.326424
P(
A)
0.6755
A este caso en particular se le denomina Teorema de Bayes y su fórmula general es:
P(
B A)
P(
B / A)*
P(
A)
P A/
B)
P(
B)
( P(
B / A)*
P(
A))
( P(
B / A)
(
C
C
* P(
A)
)

Elaborado por Víctor Herrera Bautista
Distribuciones de Probabilidad.
La distribución de probabilidad es muy interesante, ya que, nos proporciona una forma
sencilla de calcular probabilidades para eventos que son repetitivos o muy comunes y
para ello debemos recordar que en estadística hay dos tipos de variables aleatorias
las discretas y las continuas. Las discretas normalmente provienen de un conteo,
por ejemplo; número de hijos, número de veces que compra el mismo producto en un
mes, numero de faltas durante un semestre, etc. Y su gráfica quedara representada
por puros puntos en el plano cartesiano. Mientras que las continuas son aquellas que
se encuentran dentro de un intervalo con un valor mínimo y uno máximo y se
representan gráficamente con una línea dentro del plano cartesiano, estas son tales
como la estatura de las personas, el tipo de cambio, el precio de una acción, etc.
Lo primero que analizaremos es la Esperanza matemática para cada uno de los tipos
de variables:
Esperanza para variables discretas.
Para que no te olvides de este tema, debes recordar las fórmulas de datos agrupados
de la estadística descriptiva por ejemplo:
x =
k
i1
f
i
*X
n
i
o
=
k
i1
f i
X
i
N
2
o
k
i1
f
i
x
i
3
n
3
La primera de la media aritmética, la segunda para la desviación estándar y la tercera
para el sesgo todas ellas en datos agrupados, es decir, que se encuentran en una
tabla de distribución de frecuencias.
La esperanza matemática de variables discretas se puede calcular con estas fórmulas
considerando que
n
f
puede ser la probabilidad de cada suceso en la distribución así
tendríamos:
Se podría representar como
E(x)
μ=
k
i1
P(x
i
)* x
i
K
= P(
x i
)*( x i
)
i1
2

Elaborado por Víctor Herrera Bautista
k
i1
p(
x i
)*
3
x i
3
En las variables continuas no es posible sumar al total de los datos porque estan dentro de un
intervalo y es infinito el número de casos posibles por lo que sera necesario utilizar integrales
definidas para obtener el área bajo la curva. Y en la esperanza matemáticas se debera definir
la funcion de densidad que nos servirá para obtener las probabilidades. Esta función deberá
cumplir con los axiomas de la probabilidad para poder ser trabajada.
P ( a x b)
f ( x)
dx
Por lo anterior las formulas de la esperanza matemática para variables continuas quedarían:
b
E(x) μ= f ( x)
* x
a
idx
b
2
= f ( x)*(
x )
dx
a i
Para la media aritmética, desviación estándar y sesgo respectivamente.
b
p( x)*
x i
a
3
b
a
3

Elaborado por Víctor Herrera Bautista
Ejemplo de variable discreta:
Si se obtiene la probabilidad de que se cancelen cuentas de nuestros clientes por semana, la
información se reporta en la siguiente tabla:
Probabilidad
No de de que
cuentas suceda en
canceladas cualquier
semana
xi * p(xi) xi - media p(xi) * (xi - media) 2 p(xi) * (xi - media) 3
Xi
=
K
P(
x i
)*( x i
)
i1
p(xi)
0 0.021 0.000 -2.22 0.1034964 -0.229762008
1 0.325 0.325 -1.22 0.4837300 -0.590150600
2 0.258 0.516 -0.22 0.0124872 -0.002747184
3 0.205 0.615 0.78 0.1247220 0.097283160
4 0.191 0.764 1.78 0.6051644 1.077192632
Sumas 1 2.220 1.3296000 0.351816000
k
E(x) μ= P(x
i1
i
)* x 0*0.0211*0.325
2*0.258 3*0.205 4*0.191 2.22
i
2
1.3296 1.15308
sesgo
k
i 1
p(
x i
)*
3
x
i
3
0.351816
0.22947
3
1.15308
La primer suma de 2.22 nos indica la cantidad de cuentas canceladas que debemos esperar en
cada semana. Luego obtuvimos la desviación estándar de 1.15308 y posteriormente el sesgo
de 0.22947 con lo que podemos decir que: un intervalo de confianza al 68% de confianza para
el número de cuentas canceladas será (1.067, 3.373) y su sesgo positivo.

Elaborado por Víctor Herrera Bautista
En el caso de las variables continuas:
Un profesor de la Anáhuac nunca termina su clase antes del término de la hora, mas nunca se
pasa de 2 minutos de ésta. Sea X: el tiempo que transcurre entre el término de la hora y el
término efectivo de la clase. Suponga que la función de densidad viene dada por:
f ( x)
2
kx
0 x 2
0
para cualquier otro
a) Encuentre el valor de k.
b) ¿Cuál es la probabilidad de que la clase termine a menos de un minuto después del
término de la hora?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que la clase continúe entre 60 y 90 segundos después del
término de la hora?
d) ¿Cuál es la probabilidad de que la clase continúe por lo menos 90 segundos después
del término de la hora?

Elaborado por Víctor Herrera Bautista
e) Encuentre la media esperada de tiempo que se tarda el profesor y la desviación
estándar.
E(x)
μ=
b
a
f
( x)*
x dx
i
2 8
2
x * xdx 10.667
0
3
=
2
b f ( x)*(
x )
dx
a i
598.640988
24.47
Lo que nos lleva a concluir que se espera que el profesor salga entre 0 y 35.13 segundos tarde
de su clase con un nivel de confianza del 68%.
Una aplicación de la esperanza matemática adecuada para economía y negocio muy útil para
estimar los costos que se pueden esperar al abrir por primera vez. Por ejemplo:
El gerente de personal de una Compañía está planeando cuanto personal ocupará en las
instalaciones del taller del negocio. A partir de información proporcionada por el fabricante y por
otros negocios cercanos, ha estimado el número de horas de mecánica anuales que es
probable que requiera su taller.
El gerente planea pagar a cada mecánico $9.00 por hora y cargar a su cliente $16.00 por hora.
Los mecánicos trabajarán una semana de 40 horas y tendrán vacaciones anuales de dos
semanas.
Horas 10000 12000 14000 16000
Probabilidad 0.2 0.3 0.4 0.1
Determine cuantos mecánicos deberá contratar el gerente.
datos
empleados 5 6 7 8
Horas 10000 12000 14000 16000
Probabilidad 0.2 0.3 0.4 0.1

Elaborado por Víctor Herrera Bautista
c/he 9
i/h 16
52 sem 50
250 300 350 400
5 6 7 8
ganancia 7
trabajo de un
emp 2000
tabla de ganancias esperadas
ofrecen
5 6 7 8 p(x) 5 6 7 8
Demandan
5 70000 52000 34000 16000 0.2 14000 10400 6800 3200
6 56000 84000 66000 48000 0.3 16800 25200 19800 14400
7 42000 70000 98000 80000 0.4 16800 28000 39200 32000
8 28000 56000 84000 112000 0.1 2800 5600 8400 11200
50400 69200 74200 60800
ofrecen
tabla de pérdidas esperadas
Demandan
5 6 7 8 p(x) 5 6 7 8
5 0 18000 36000 54000 0.2 0 3600 7200 10800
6 14000 0 18000 36000 0.3 4200 0 5400 10800
7 28000 14000 0 18000 0.4 11200 5600 0 7200
8 42000 28000 14000 0 0.1 4200 2800 1400 0
19600 12000 14000 28800
Como se puede observar se determinó primero cuántos empleados deben cubrir las horas de
trabajo, luego se calculó la ganancia, el ingreso y las perdidas con cada contratación, por
ejemplo; el 84,000 de la tabla de ganancias, que se encuentra al ofrecer 6 empleados y se le
haya demandado el trabajo para 6 empleados se obtuvo multiplicando 12,000 horas por 7
pesos de ganancia pero es importante observar que a los datos que no se encuentran en la
diagonal principal se les descontó ya sea costo real o costo de oportunidad como en el caso de
56,000 que se encuentra al ofrecer 5 empleados y que se le soliciten las horas para 6
empleados entonces se ganaría lo de 5 empleados 70,000 menos (2000*7) = 14,000 por no
tener al otro empleado. El 34,000 de la tabla de ganancias que se encuentra al ofrecer 7
empleados y se le requieran las horas para ser cubiertas por 5 empleados se gana lo de los 5
empleados pero se pierde en salario de 2 más 70000 – (4000*9).
Después se obtienen las ganancias esperadas por cada una de las opciones de oferta y se
selecciona el de mayor ganancia posible (marcada con verde). Para las pérdidas se realiza el
mismo trabajo y se puede observar en la otra tabla.

DISTRIBUCION CARACTERISTICAS FORMULA MINITAB ESPERANZA. VARIANZA
Binomial
(n y p)
N fijo
2 resultados (éxito y
fracaso)
Encontrar el nº exacto de éxitos P(x=k)
Al menos o por lo menos K; P(xprob.dist -
>binomial-
>prob->
Calc-
>prob.dist -
>binomial-
>cum. Prob
E(x)=np
2
npq
Multinomial
(varias x, varias p)
Geométrica
(se desea un lugar
específico y un solo
acierto)
Binomial negativa
(un éxito al final y otros
éxitos)
Hipergeométrica
(no hay “p”)
Poisson
(el único dato es un
promedio)
P es constante e
independiente
Se puede repetir el
experimento. Varias
veces
N fijo
K resultados
K probabilidades
independientes
N es fijo
Dada la probabilidad obtener x
El resultado de cada exp puede clasif. En k
categ.
Deben haber k probabilidades
Cada exp. Es indep.
El exp se realiza n veces
2 resultados Se desea calcular la probabilidad de lograr
un éxito al último de x repeticiones
P es cte. e
independiente
N variable
2 resultados
P constante e
independiente
N fijo
2 resultados
P no constante no
hay independencia
Se desea obtener la prob. R éxitos donde
el último éxito está en la última repetición
N=tamaño de población, n=tamaño de la
muestra, m=éxitos en la población,
X=éxitos en muestra.
x !* x
1
2
n
!*....*
! x1
x2
p1
* p2
xk
*....* p
x k
k
Calc-
>prob.dist -
>binomial-
>inv. Cum.
Pro.
1
P(x x) p
1
q
x 1
E( x)
p
P(x)
P(
x x)
P(
X
E(
x)
r xr
x1 Cr
1
p q
p
m
Cx
*
C
N m
Éxitos o fracasos que ocurren en un intervalo de tiempo o región de
espacio x!
N
e
x)
n
x
C
nx
Calc-
>prob.dist -
>hipergeome
tric
Calc-
>prob.dist -
>poisson
r
2
2
q
2
p
rq
2
p
m 2 N n
E( x)
n*
np
npq
N
N 1
E (x)
2