Revista Digital

TRANSFORMADA DE
LAPLACE&Fourier
El propósito de esta
investigación fue el desarrollo de
un Programa educativo para la
enseñanza de las Transformadas
de Fourier, y Laplace, así como
también sus aplicaciones,
utilizando Matlab, el cual
permite al estudiante aprender y
afianzar por si mismo los
objetivos de los programas
correspondientes a estos temas,
en las asignaturas de Matemática
para Ingeniería Eléctrica.
La investigación realizada fue del tipo de
campo. El diseño de la investigación fue
enmarcado dentro los criterios de diseños no
experimentales .El Programa fue elaborado en
lenguaje GUIDE (Interface gráfica de usuario)
manejado a través del software de Matlab
(Laboratorio de Matrices). Se concluyó que el
programa PLACEFOR permitirá mejorar y
ayudar a los estudiantes en el aprendizaje de las
transformadas de Fourier y de Laplace.

Cap. 1.
El Problema
también un programa
interactivo que ayude al
aprendizaje de las mismas.
La transformada de Laplace se
utiliza para convertir relaciones en
el dominio del tiempo, en un
conjunto de ecuaciones expresadas
en función del operador ‘s’ de
Laplace. En consecuencia, la
solución del problema original se
halla por simples manipulaciones
algebraicas en el dominio ‘s’ de
Laplace en lugar del dominio del
tiempo.
Por lo anterior mencionado se
pudo notar la necesidad de un
programa que facilite a los alumnos
de la universidad Fermín Toro en
especial a los de la escuela de
ingeniería eléctrica, la resolución de
estas transformadas y series,
Objetivo general del proyecto:
Crear un programa educativo
que facilite la resolución de las
transformadas de laplace y series
de Fourier en los alumnos de la
escuela de Ingeniería eléctrica
de la universidad Fermín Toro.
Objetivos específicos:
1. Elaborar un programa educativo.
2. Presentar las generalidades teóricas
en el programa.
3. Presentar las prácticas de forma
interactiva con ejemplos en el
programa.
4. Brindar asistencia a los alumnos de la
escuela de ingeniería eléctrica con
dificultad para el aprendizaje de las
transformadas de Laplace y series de
Fourier.
5. Presentar en pantalla las
herramientas necesarias para la
resolución de estas transformadas y
series.

Justificación.
Las aplicaciones de la
Transformada de Laplace, aparecen
comúnmente en tratados sobre
solución de ecuaciones
diferenciales.
Un campo específico de aplicación
es el cálculo de valores tales como
corrientes, voltajes y otros factores
en redes eléctricas, cuando estos
varían en el tiempo.
Tales aplicaciones son brevemente
presentadas en libros dedicados a
los circuitos eléctricos.
La importancia de este proyecto
radica en que se creara un
programa que facilite la resolución,
que tenga todas sus generalidades
teóricas y además presente
ejemplos, las aplicaciones del tema
mostrando la importancia de éstos
tópicos en la formación del
ingeniero y cómo los temas
tratados en el curso de Matemática
IV tienen amplias aplicaciones.
Alcances y limitaciones.
La investigación para el
programa cubre aplicaciones
básicas de la transformada de
Laplace al estudio de circuitos
formados por fuentes,
resistencias y condensadores, en
los cuales se hallarán las
ecuaciones de corrientes y
voltajes en el tiempo.
Se limitará por lo tanto a las
aplicaciones básicas citadas en
el párrafo anterior.

Cap. 1I.
MARCO TEÓRICO
Antecedentes.
Sobre la temática en estudio, se
hizo necesaria la revisión de
trabajos de investigación
desarrollados con anterioridad, de
los cuales se tomaron algunos
aspectos significativos (aportes y
lineamientos teóricos) relacionados
con la variable de estudio
“Programa Computacional para la
Enseñanza de las Transformadas de
Fourier, y Laplace”, los cuales
sirven de referencia teórica a la
realización del presente trabajo.
Se presenta a la consideración
del estudio, la identificación
general de algunos trabajos
realizados a partir de 2010,
los cuales han tenido como
objetivo general demostrar la
influencia e importancia de un
software educativo en el
aprendizaje de otras áreas del
conocimiento.
Un primer trabajo a ser
considerado, es el realizado por
Rojo, A (2010), el cual se
denominó “Enseñanza Asistida
por Computadoras, Caso:
Asignatura Comunicación
Grafica, de la Facultad de
Ingeniería, de la Universidad del
Zulia, el cual trabajara bajo una
modalidad tutorial, permitiendo
al estudiante aprender por si
mismo los fundamentos de la
operación y uso adecuado de los
objetivos del programa de
Comunicación Grafica I de la
formación básica de la Facultad
de Ingeniería de la Universidad
del Zulia .

Software educativo.
Bases teóricas.
El objetivo del marco teórico
es sustentar teóricamente la
investigación emprendida. Ello
implica analizar y exponer aquellas
teorías, enfoques teóricos, modelos
y tendencias en general, cuya
fundamentación apoya lo expuesto,
planteándose una relevante
relación con la variable presente en
el problema “Programa educativo
para la enseñanza de las
transformadas de Fourier, y
Laplace”.
En el área de la
informática, los software
educativos se iniciaron en los
años sesenta; sin embargo, los
problemas pedagógicos de fondo
siguen presentes, y las
discusiones sobre las estrategias
y métodos de enseñanza a ser
adoptados en un programa
informático para la enseñanza
continua, siguen siendo material
de total actualidad. Pues bien,
un programa educativo no es un
programa de control de una
actividad específica, pues se
supone que el producto
provocara un cambio en el
usuario, proporcionándole o
facilitándole un determinado
aprendizaje.

Teoría basada en la transformada
de Laplace.
Haykin (2001), establece que
la transformada de Laplace posee
un conjunto de propiedades
poderoso para el análisis de señales
y sistemas. Así mismo, afirma que
su papel fundamental en ingeniería
es el análisis transitorio y la
estabilidad de sistemas lineales e
invariantes en el tiempo.
La transformada de Laplace
recibe su nombre en honor del
matemático francés Pierre Simon
Laplace, que la presentó dentro de
su teoría de la probabilidad. En
1744, Leonhard Euler había
investigado un conjunto de
integrales de la forma:
Que algunos historiadores
interpretan como auténticas
transformadas de Laplace.
Este tipo de integrales
atrajeron la atención de Laplace
cuando, en 1782, y siguiendo la
idea de Euler, trató de emplear
estas integrales como soluciones
de Ecuaciones diferenciales.
Parece ser que en 1785 dio un
paso más allá, y reenfocó el
problema para en vez de usar las
integrales como soluciones,
aplicarlas a las ecuaciones
dando lugar a las transformadas
de Laplace tal y como hoy en
día se entienden. Usó una
integral de la forma:
Como soluciones de ecuaciones
diferenciales, pero no profundizó en
ellas y pronto abandonó su
investigación. Joseph Louis
Lagrange, admirador de Euler,
también investigó ese tipo de
integrales, y las ligó a la teoría de
la probabilidad en un trabajo sobre
funciones de densidad de
probabilidad de la forma:

Teoría basada en la transformada
de Fourier.
Haykin (2001), establece que
el estudio de señales y sistemas
empleando representaciones
senoidales se denomina análisis de
Fourier, en honor a Joseph Fourier
(1769-1830) por sus contribuciones
a la teoría de representaciones de
funciones como superposición
ponderada de senoides. Para las
señales periódicas, las
exponenciales complejas que las
constituyen están relacionadas
armónicamente, mientras que para
señales aperiódicas están
infinitamente cercanas en
frecuencia, y la representación en
términos de una combinación lineal
adopta la forma de una integral en
lugar de una suma. El espectro de
coeficientes resultantes de esta
representación se conoce como
transformada de Fourier, y la
integral de síntesis por sí misma, la
cual usa esta combinación lineal de
exponenciales complejas, se llama
la transformada inversa de Fourier.
Una serie de Fourier es una serie
infinita que converge puntualmente
a una función periódica y continua
a trozos (o por partes).
Las series de Fourier
constituyen la herramienta
matemática básica del análisis
de Fourier, empleado para
analizar funciones periódicas a
través de la descomposición de
dicha función en una suma
infinita de funciones senoidales
mucho más simples (como
combinación de senos y cosenos
con frecuencias enteras). El
nombre se debe al matemático
francés Jean-Baptiste Joseph
Fourier que desarrolló la teoría
cuando estudiaba la ecuación
del calor. Fue el primero que
estudió tales series
sistemáticamente, y publicando
sus resultados iniciales en 1807
y 1811. Esta área de
investigación se llama algunas
veces Análisis armónico.
Es una aplicación usada en
muchas ramas de la ingeniería,
además de ser una herramienta
sumamente útil en la teoría
matemática abstracta. Áreas de
aplicación incluyen análisis
vibratorio, acústica, óptica,
procesamiento de imágenes y
señales, y compresión de datos.
En ingeniería, para el caso de
los sistemas de telecomunicaciones,
y a través del

uso de los componentes espectrales
de frecuencia de una señal dada, se
puede optimizar el diseño de un
sistema para la señal portadora del
mismo. Refiérase al uso de un
analizador de espectros.
Las series de Fourier tienen la
forma:
Donde y se denominan
coeficientes de Fourier de la serie de
Fourier de la función .
Aplicaciones de la Transformada de
Fourier a los circuitos eléctricos.
Charles (2002), explica que si se
deja que la amplitud de la fuente
senoidal de un circuito eléctrico
permanezca constante y variamos la
frecuencia, obtenemos la respuesta
en frecuencia del circuito. Esta
puede considerarse como una
descripción completa del
comportamiento del estado estable
senoidal de un circuito como una
función de la frecuencia. Las
respuestas en frecuencia de circuitos
en estado estable senoidal son de
importancia en muchas aplicaciones.
Una aplicación específica se
encuentra en los filtros eléctricos que
bloquean o eliminan las señales con
frecuencias indeseables y dejan pasar
señales con las frecuencias
deseadas.
Los filtros se utilizan en
sistemas de radio, TV y
telefónicos para separar una
frecuencia de transmisión a otra.
Algunas de las formas de
representar la respuesta en
frecuencia es a través de los
diagramas de Bode, Nyquist,
Nichols, y el lugar geométrico de
las raíces. La respuesta en
frecuencia de un circuito es la
gráfica de la función de
transferencia H(w) de un
circuito, la cual es la razón
dependiente de la salida de un
circuito versus su entrada. Para
obtener la función de
transferencia de un circuito
eléctrico, obtenemos primero el
equivalente en el dominio de la
frecuencia del circuito
sustituyendo las resistencias,
inductores y capacitares por sus
impedancias R, jwl, y 1/jwc.
Después se utiliza cualquier
técnica de circuitos para obtener
la cantidad apropiada.
Finalmente obtenemos la
respuesta en frecuencia del
circuito graficando el módulo y la
fase de la función de
transferencia conforme varía la
frecuencia.

Cap. 1II.
MARCO METODOLÓGICO
Tipo de investigación.
La de esta investigación se
orienta según el tipo de problema a
solucionar, objetivos a lograr y
disponibilidad de los recursos,
Chávez (2001), quien afirma que los
estudios aplicados tienen como
propósito resolver el problema
planteado en corto tiempo. A su
vez Ary, Jacobs y Razaviech
(1965), afirman que los estudios
aplicados se desarrollan en un
tiempo breve, contribuyendo así en
el proceso enseñanza aprendizaje
para la enseñanza de las
Transformadas de Laplace y
Fourier utilizando Matlab en la
Escuela de Ingeniería Eléctrica de
la UFT.
También, de acuerdo con
(Brito, 1999) es descriptiva debido
a que se describen hechos,
situaciones, resultados, métodos.
Hernández, R y otros (1998)
refieren que los estudios
descriptivos buscan especificar las
propiedades importantes de
personas, grupos, comunidades o
cualquier otro fenómeno que sea
sometido a análisis. Por otra
parte, este estudio se clasifica
como de campo, puesto que la
información se recoge
directamente del sitio,
permitiendo una mejor
compresión del problema
(Bavaresco, 1997).

Diseño de la investigación.
La de esta investigación se El
diseño de la investigación de
acuerdo con Hernández, R y otros
(1998) está enmarcado dentro los
criterios de diseños no
experimentales, esto debido a la no
esto debido a la no manipulación
de las variables planteadas en el
proceso de diseño, desarrollo e
implantación del programa
computacional interactivo para el
aprendizaje de las Transformadas
de Fourier y Laplace, y sus
aplicaciones, utilizando Matlab.
Cap. 1V.
CONCLUSIONES
En el presente proyecto de
aplicación ha permitido llevar a
cabo la creación de un programa
necesario para los estudiantes de
la escuela de ingeniería eléctrica
de la universidad Fermín Toro
Esta propuesta computacional permitirá mejorar y ayudar a los
estudiantes en sus necesidades de aprendizaje, reforzando los
conocimientos adquiridos en el salón de clases, a través de la posibilidad
que ofrece de repasar los objetivos cuantas veces sea necesario.
El programa PLACEFOR permite integrar a los estudiantes en el uso
de las nuevas tecnologías de información, brindándoles la oportunidad de
controlar su propio tiempo y ritmo de aprendizaje.