Modelo Matricial de Determinación de Costes.

M. TERESA URGELL CHAO
RESUMEN
CUADERNOS DE CC.EE. y EE., Nº 58, 2010, pp. 53-82
MODELO MATRICIAL DE DETERMINACIÓN DE COSTES
MODELO MATRICIAL DE DETERMINACION DE COSTES ∗
M. Teresa Urgell Chao ∗∗
En este artículo se formula matricialmente un modelo que conduce a la determinación
de los costes (totales y unitarios) de producción de los diferentes productos
de una empresa industrial. Para ello se parte de la segunda formulación del modelo
matemático-matricial de determinación de costes de Mir Estruch (1995) donde se
considera que todos los costes son variables y donde existen además de fases o
lugares principales, lugares auxiliares con posibilidad tanto de prestaciones recíprocas
entre ellos como de autoconsumo. Los costes de producción de los distintos productos,
tienen dos componentes esenciales: los costes de las materias primas empleadas y los
costes de perfeccionamiento o transformación. La contribución del modelo propuesto
es la introducción de tres nuevos tipos de costes dentro del coste de trasformación:
fi jos, semifi jos y semivariables. Además, se ofrece información adicional que permite
la utilización del modelo en el proceso de presupuestación empresarial del ámbito
interno de circulación de valores. Por último, se utiliza un supuesto para ilustrar el
modelo.
PALABRAS CLAVE: coste de producción, costes fi jos, costes semivariables, costes
semifi jos, álgebra matricial, presupuestación.
CÓDIGOS JEL: M41
ABSTRACT
This paper deals with product cost calculation through a matrix model. The
starting point is the second formulation of the Mir-Estruch (1995) matrix model of
cost calculation. The latter assumes that all costs are variable, as well as the existence
of producing department and service department with self-service cost and reciprocal
relationships. The two main production cost components are: raw materials and
overheads. The contribution of the proposed model is the introduction of three new
overhead cost types: fi xed, partly fi xed and partly variable. Also, additional information
for budgeting application can be extracted from the model. Lastly, and example
illustrates the model.
KEY WORDS: production cost, fi xed costs, partly variable costs, partly fi xed
costs, matrix algebra, budgeting.
(*) Original recibido en marzo de 2009 y revisado en noviembre de 2009.
(**) Profesora de la Universidad de Barcelona.
53

MODELO MATRICIAL DE DETERMINACIÓN DE COSTES
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M. TERESA URGELL CHAO
1. INTRODUCCIÓN
En los años 60 surgieron los primeros trabajos orientados a la utilización del
álgebra matricial para formular y resolver los problemas de la contabilidad de costes.
Se encuentra, entre ellos, el modelo matricial en términos monetarios de Churchill
(1964), cuyo objetivo fi nal era el cálculo del coste de los productos, a través de
una formulación que lleva implícita la liquidación de la estadística de costes cuando
existen prestaciones recíprocas entre lugares auxiliares. Posteriormente, Dor (1969)
impulsó una línea de investigación en contabilidad analítica matricial, planteando
la formulación vectorial del coste total de los productos, así como las ecuaciones
fundamentales de producción y de consumo. Siguiendo esta línea de investigación,
Churruca Arrizabalaga (1979) construyó un modelo de contabilidad matricial de
costes, y Broto Rubio (1982) elaboró un modelo matricial orientado al cálculo de
los costes de los productos y a la formulación de la matriz de coefi cientes técnicos
de producción. Posteriormente, López Cruces (1994:91-97) entre otros, recogió y
complementó el modelo de Dor (1969), y además formuló los modelos matriciales
generales del fl ujo de valores en la empresa (López Cruces, 1994:109-150).
Mir Estruch (1992) recogiendo la metodología de Dor (1969) y con el propósito
de completar la formulación de su modelo, obtuvo una primera formulación
analítica del coste de producción, fundamentada en la utilización de coefi cientes
técnicos, y considerando la existencia de costes variables y de lugares de trabajo
principales. Posteriormente, Mir Estruch (1995) amplió la formulación inicial introduciendo
lugares auxiliares en el modelo, con posibilidad tanto de autoconsumo
como de prestaciones recíprocas entre ellos. Esta última formulación, es el punto
de partida de este trabajo.
El modelo matemático-matricial propuesto (modelo de Mir Estruch ampliado)
se enmarca dentro de la tendencia que tienen algunos estudios recientes a la
utilización de la modelización matemática en la investigación contable, y concretamente,
en los problemas de la contabilidad de costes (Gietzman y Monahan,
1996; Cruz y Valls, 2002; Piedra et al., 2004; Argilés, 2007), que si bien no
tienen como objetivo primordial el cálculo del coste de los productos, tratan otras
problemáticas relacionadas con esta disciplina. No obstante, no existe, según la
información que poseemos, ningún otro modelo matricial de determinación de
los costes de los outputs que incorpore simultáneamente costes variables, fi jos,
semivariables y semifi jos.
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2. MODELO MATRICIAL DE CÁLCULO DEL COSTE DE PRODUCCIÓN DE
MIR ESTRUCH
2.1. Contenidos básicos
La segunda formulación del modelo de Mir Estruch (1995) tiene como principal
objetivo la determinación del coste de producción de los productos obtenidos en
una unidad económica de producción, concretamente en una empresa industrial,
suponiendo la existencia de centros o lugares de trabajo principales y auxiliares.
La transformación se produce en los lugares principales caracterizados por su
régimen de producción alternativa1 . Los lugares de trabajo auxiliares producen
factores derivados2 ; los cuales son consumidos por otros lugares de trabajo
contemplando la posibilidad tanto de autoconsumo como de interrelación
entre lugares auxiliares. Para alcanzar su objetivo, el autor, utilizó el álgebra
matricial como instrumento de cálculo y de representación de las formulaciones
alcanzadas.
El modelo de Mir Estruch (1995) considera la existencia de varias materias
primas (j), la aplicación de varios factores activos 3 (k), de diversos lugares de
trabajo (l) divididos en principales y auxiliares y la obtención de varios
productos acabados (i). Se considera que todos los factores activos son
variables proporcionales.
El modelo de Mir Estruch (1995) parte del conocimiento de un conjunto de
coefi cientes técnicos, como los consumos de materias primas y de semielaborados
por unidad de producto acabado, los consumos de factores activos variables por
unidad de tiempo de funcionamiento de los lugares, las cantidades de factores
derivados que precisa cada lugar por unidad de tiempo de funcionamiento de los
mismos, etc. Según López Cruces (1994:296-297) “Los modelos basados en los
coefi cientes tecnológicos 4 …, son los más adecuados para las tareas de planifi cación
y simulación del comportamiento del proceso productivo, y de cálculo de costes,
tanto de carácter prospectivo como retrospectivo.” Por todo ello, el modelo de Mir
Estruch (1995) resulta un modelo adecuado para la planifi cación empresarial.
(1) En la producción alternativa “la aplicación de los diversos medios productivos en la obtención de un determinado
tipo de producto es excluyente respecto de los demás, de manera que todo aumento en la producción de uno cualquiera
de ellos conlleva una reducción en la de los restantes,…”(Requena, Mir y Vera, 2002: 68).
(2) Factores derivados son los elaborados en los lugares auxiliares. También se denominan prestaciones.
(3) Factores activos son los que desarrollan la actividad que exige el funcionamiento de un lugar de trabajo. Todos los
factores, excepto las materias primas, son factores activos.
(4) La denominación “coefi cientes tecnológicos” de López Cruces (1994) equivale al término “coefi cientes técnicos”
de este trabajo.
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MODELO MATRICIAL DE DETERMINACIÓN DE COSTES
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Además, se puede efectuar una correspondencia entre el modelo de Mir
Estruch (1995), el modelo orgánico de la doctrina germana (Schneider, 1960), el
modelo francés de las secciones homogéneas (Plan francés de 1957) y el modelo
ABC (e.g. Kaplan y Cooper, 2003), si se considera que las unidades de prestación
del modelo germano, las unidades de obra del modelo francés y los inductores de
coste del ABC, están representados por el tiempo de funcionamiento de los lugares
en el modelo de Mir Estruch (1995).
2.2. Fórmulas matriciales
El modelo matemático de Mir Estruch (1995: 149-164) parte de la premisa
de que el coste total de la producción (KT) está formado por la suma del coste
de las materias primas empleadas (KTM) más el coste de transformación (KTF),
de manera que para los i productos acabados se cumple 5 :
vcKT = vcKTM + vcKTF [1]
i i i
Signifi cando:
vcKTi = vector columna representativo de los costes totales de producción
de los i productos acabados.
vcKTM = vector columna representativo de los costes totales de las materias
i
primas consumidas para la producción de los i productos acabados.
vcKF = vector columna representativo de los costes totales de transformación
i
de los i productos acabados.
La formulación que permite obtener los costes totales de las materias primas
consumidas para la obtención de los i productos es:
vcKTM i = dgA i x Mqm ij x vcpm j [2] es decir:
KTM1
KTM2
.
.
.
KTMi
=
A1 0 … 0
0 A2 … 0
. . .
. . … .
. . … .
0 0 … Ai
(5) La numeración de las formulaciones utilizadas no coincide con las originales, debido a que este trabajo pretende ser
una síntesis, presentando únicamente las formulaciones más signifi cativas para el propósito del mismo.
x
qm11 qm12…qm1j
qm21 qm22… qm2j
. . .
. . .
. . .
qmi1 qmi2…qmij
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x
pm1
pm2
.
.
.
pmj

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Signifi cando:
dgA = Matriz diagonal, cuyos elementos representan las cantidades obtenidas
i
de cada uno de los i productos acabados.
Mqm = Matriz de cantidades unitarias de materias primas. Siendo qm ij ij
la cantidad de materia prima j necesaria para obtener una unidad de producto
acabado i.
vcpm j = vector columna representativo de los valores unitarios de las materias
primas 6 .
Para obtener el vector de costes totales de transformación de los i productos
acabados, Mir Estruch (1995:160) elaboró la siguiente formulación:
vcKTF = dgA x Mt x Minvt’ x Mqf x vcpf [3] es decir:
i i il lk k
x
KTF1
KTF2
.
.
.
KTFi
=
A1 0 … 0
0 A2 … 0
. . … .
. . … .
. . … .
0 0 … Ai
(1-t’11) -t’12 … - t’1l
-t’21 (1-t’22) … - t’2l
. . .
. . .
. . .
-t’ l1 -t’ l 2 … (1-t’ l l)
x
-1
x
t11
t21
ti1
t12 … t1l
t22 … t2l
. . .
. . .
. . .
ti2 … til
qf11 qf12 … qf1k
qf21 qf22 … qf2k
. . .
. . .
. . .
qf l1 qfl2 … qflk
Signifi cando:
Mt = Matriz de tiempos unitarios de transformación. Donde t es el tiempo
il il
que emplea la fase l para obtener una unidad de producto acabado i al fi nalizar
éste su proceso productivo.
Minvt’ = [M(I-t’ )] ll -1 siendo M(I-t’ ) = MI (l) – Mt’ [4]
ll ll
(6) Los elementos del vector vcpm j incluyen los precios de las materias primas y los costes de aprovisionamiento por
unidad.
x
x
pf1
pf2
.
.
.
pfk
[3]
57

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Mt’ ll = Matriz de tiempos unitarios. Cada elemento t’ αβ indica el tiempo que
emplea el lugar β para elaborar la cantidad de su factor derivado 7 que precisa
el lugar α por unidad de tiempo de funcionamiento de α .
MI (l) = Matriz identidad de orden l.
Mqf = Matriz de cantidades de factores activos (variables) consumidos por
lk
unidad de tiempo de funcionamiento de cada lugar. Siendo qf cantidad de factor k
lk
consumido por el lugar l por unidad de tiempo de funcionamiento de dicho lugar.
vcpf = vector columna representativo de los valores unitarios de los k fac-
k
tores activos.
Al multiplicar las tres primeras matrices de la formulación [3] (dgA x Mt x
i il
Minvt’), se obtiene una matriz que muestra el tiempo total que cada lugar destina
a la elaboración de cada producto. Después se multiplica la matriz obtenida,
por la de cantidades de factores activos variables consumidas por unidad de
tiempo de funcionamiento (Mqf ), obteniéndose una matriz que representa el
lk
consumo total de cada factor que se precisa para poder fabricar cada producto.
Por último, se multiplica la matriz que se acaba de determinar, por el vector de
valores o precios de los factores (vcpf ) y se obtiene el vector columna de los
k
costes totales de transformación de cada uno de los productos (vcKTF). Por lo
i
tanto, el consumo de factores activos (variables) depende del tiempo de funcionamiento
de los lugares.
Al sumar las dos componentes del coste total de producción se obtiene:
vcKT = dgA x Mqm x vcpm + dgA x Mt x Minvt’ x Mqf x vcpf [5]
i i ij j i il lk k
El coste total de las materias primas es proporcional al volumen obtenido de
cada producto, y el coste de transformación es proporcional al tiempo total (dgA x i
Mt x Minvt’) empleado para su obtención. Tomando en consideración que el tiempo
il
empleado es proporcional al número de unidades fabricadas, se puede afi rmar que
el coste total de producción es proporcional al número de unidades obtenidas.
Partiendo de la expresión [5] se puede obtener el coste unitario de producción
de los i productos (kut), es decir:
i
vckut = Mqm x vcpm + Mt x Minvt’ x Mqf x vcpf [6]
i ij j il lk k
El coste unitario total (de producción) se puede descomponer en dos: coste
unitario de las materias primas consumidas para la elaboración de los i productos
(7) En la matriz Mt’ ll las columnas que representan los lugares principales toman valor cero, ya que éstos no elaboran
factores derivados.
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(vckum) y coste unitario de transformación de los i productos acabados (vckuf), i i
de manera que:
vckum = Mqm x vcpm i ij j [7]
vckuf = Mt x Minvt’ x Mqf x vcpf i il lk k [8]
3. INTRODUCCIÓN DE COSTES FIJOS, SEMIVARIABLES Y SEMIFIJOS EN EL
MODELO DE MIR ESTRUCH
Como se ha explicado en el apartado 2.2., los costes de producción de los
distintos productos tienen dos componentes esenciales: los costes de las materias
primas empleadas y los costes de perfeccionamiento o transformación. Estos últimos
son los que se modifi can al introducir costes fi jos, semivariables y semifi jos en el
modelo de Mir Estruch (1995), dando lugar al modelo de Mir Estruch ampliado.
3.1 Conceptos de costes fi jos, semivariables y semifi jos
La defi nición más utilizada de costes fi jos siguiendo a Gutenberg (1968: 246),
es aquella que los identifi ca como aquellos que no varían al variar la producción,
de manera que, tanto si la producción aumenta como si disminuye, los costes
fi jos no variarán.
Son costes semivariables aquellos que están “integrados por dos componentes:
una fi ja y, por tanto a soportar en todo caso, aun cuando no exista actividad, y otra
variable, en función de ella” (Requena, Mir y Vera, 2002: 44) 8 . Las componentes
variables de dichos costes, en este trabajo, dependen del tiempo de funcionamiento
de los lugares de trabajo donde están localizados, tiempo que depende del volumen
de producción.
Los costes semifi jos se defi nen como aquellos que: “Al sobrepasar ciertos
intervalos en la producción surge, en estas condiciones, un incremento en la suma
total de los costes fi jos, que crecen, por tanto, a saltos. Los costes, en tales circunstancias,
se califi can como costes variables a saltos o como costes semifi jos”
(Hansen, 1961: 24). Se trata, en defi nitiva, de costes cuyo comportamiento es fi jo
a intervalos o variable a saltos, es decir, aumentan cada determinado intervalo de
producción. 9 En este trabajo, se supone que los costes semifi jos aumentan en
(8) El coste semivariable que se considera en este trabajo, es aquel cuya componente variable aumenta a partir de la
primera unidad.
(9) Los costes semifi jos representados y tratados en este trabajo, son los reversibles. Según Requena Rodríguez, Mir
Estruch y Vera Ríos (2002:44) existen también costes semifi jos irreversibles, cuya diferencia con los reversibles consiste
en que no disminuyen al disminuir la producción.
59

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función del tiempo de funcionamiento, puesto que existe una relación directa entre
la producción y el tiempo de funcionamiento de los lugares de trabajo, por lo que
su representación será:
FIGURA 1
COSTES SEMIFIJOS EN FUNCION DEL TIEMPO
Donde “T” indica el tiempo de funcionamiento de un lugar de trabajo, “T ” el 1
tiempo máximo de funcionamiento del lugar de trabajo, donde se localiza el coste
semifi jo, que corresponde al primer intervalo, “K” el coste total y “ku” el coste medio
unitario.
3.2. Costes fi jos, semivariables y semifi jos en los lugares
En este apartado se supone, que en la unidad económica de producción,
además de los factores variables proporcionales, pueden existir en los diferentes
lugares de trabajo otros tres tipos de factores: fi jos, semivariables -con dos componentes:
una variable y otra fi ja- y semifi jos. Los dos primeros factores tienen una
componente fi ja, que es necesaria para el funcionamiento de los lugares de trabajo
independientemente de la producción que se efectúe en los mismos.
Es necesario conocer las componentes fi jas de factores –expresadas en términos
reales– localizadas. Se supone que se conoce, a través de medición directa
o mediante criterios adecuados de localización, dichas cantidades fi jas de factores
(fi jos y semivariables) aplicadas en los distintos lugares de trabajo. Por otro lado,
es también preciso conocer las cantidades de factores semifi jos en que incurren
los diversos lugares de trabajo. Para ello es necesario averiguar el tiempo total de
funcionamiento de los mismos, ya que en este trabajo, los intervalos que delimitan
cada cuantía de factor semifi jo están defi nidos en función del tiempo total de
funcionamiento del lugar donde se localizan.
El cálculo de la cuantía de factor semifi jo en cada lugar, se realiza empleando
una formulación condicional, en la que se delimitan los diferentes intervalos y
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la cuantía de factor semifi jo que corresponde a cada uno de ellos. Por ejemplo,
suponiendo que existe un factor semifi jo (k) que depende directamente del tiempo
total de funcionamiento del primer lugar de trabajo, la cantidad que tomará dicho
factor localizado en el lugar 1, se obtendrá a través de la siguiente fórmula condicional
de Excel:
(SI(TT >I ;Q f ; SI(TT >I ;Q f ;SI(TT >I ;Q f ; Q f ))
1 3 F 1k(4) 1 2 F 1k(3) 1 1 F 1k(2) F 1k(1)
donde:
TT = Tiempo total del lugar 1.
1
I = Tiempo total máximo del primer intervalo, siendo I = Tiempo total máximo
1 r
del intervalo r.
Q f = cuantía total del factor semifi jo k localizado en el lugar 1 correspon-
F 1k(1)
diente al intervalo 1.
En la fórmula anterior, si el tiempo total del lugar 1(TT ) es mayor que el
1
tiempo máximo que corresponde al tercer intervalo (I ), la cuantía que correspon-
3
derá al factor semifi jo k localizado en el lugar 1 será Q f En caso de que TT F 1k(4). 1
sea menor o igual que I y mayor que I la cantidad de dicho factor será Q f 3 2 F 1k(3).
Siguiendo el mismo razonamiento se llegaría a la conclusión de que la cuantía
mínima que puede tomar el factor semifi jo k es Q f . F 1k(1)
Las cantidades de costes semifi jos se pueden representar a través de la matriz
MQ f en la que existe una columna para cada factor y una fi la para cada lugar.
F lk
Dicha matriz, suponiendo la existencia de k factores semifi jos y de dos intervalos
-(r) y (r+1)-, quedará formulada de la siguiente manera:
MQ f = F lk
(SI(TT1>Ir;QFf11(r+1); QFf11(r)) (SI(TT1>Ir;QFf12(r+1); QFf12(r))... (SI(TT1>Ir;QFf1k(r+1); QFf1k(r))
(SI(TT2>Ir;QFf21(r+1); QFf21(r)) (SI(TT2>Ir;QFf22(r+1); QFf22(r))... (SI(TT2>Ir;QFf2k(r+1); QFf2k(r))
. .
. .
(SI(TT l >Ir;QFfl1(r+1); QFfl1(r)) (SI(TT l >Ir;QFfl2(r+1); QFfl2(r)) ... (SI(TT l >Ir;QFflk(r+1); QFflk(r))
donde:
Q F f lk(r) = cuantía total del factor semifi jo k localizado en el lugar l correspondiente
al intervalo r, pudiéndose defi nir distintos intervalos para cada factor y lugar.
[9]
9
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Esta matriz comprende, en realidad, la formulación generalizada de las cantidades
fi jas o semifi jas de factores, es decir, no sólo de las cuantías incurridas
de factores semifi jos, sino también de las cantidades de factores fi jos y de las
componentes fi jas –en términos reales- de los factores semivariables, ya que si
en las formulaciones de la columna que corresponde a un factor, se igualan las
diferentes cuantías de coste que corresponden a los intervalos, es decir, Q f = F lk(r)
Q f , la cuantía de coste fi jo total defi nida para dicho factor y lugar siempre será
F lk(r+1)
la misma, sea cual sea el tiempo de funcionamiento del lugar, correspondiéndose
por lo tanto, con el comportamiento de un factor fi jo o con la componente fi ja de
uno semivariable.
3.3. Formulación matemática del coste de transformación añadiendo
costes fi jos, semivariables y semifi jos
En el supuesto de que en los lugares de trabajo existan factores variables,
fi jos, semivariables y semifi jos, habrá que complementar la matriz Mqf de la for-
lk
mulación [3] -de cantidades consumidas de factores activos por unidad de tiempo
de funcionamiento de los l lugares de trabajo-, añadiendo las componentes fi jas o
semifi jas de los factores consumidos. Dicha matriz se denominará Mq f , e incluirá
F lk
los elementos de la matriz original Mqf y los de la matriz MQ f [9], dividiendo
lk F lk
estos últimos entre el tiempo total de funcionamiento de cada uno de los lugares
de trabajo donde se emplean, para conseguir que permanezcan invariables ante
modifi caciones del volumen de producción10 .
La nueva matriz Mq f contiene componentes variables y semifi jas en todos
F lk
sus elementos, es decir:
(SI(TT 1 > I r ; Q Ff11(r+
1) ; Q Ff11(r)
)
qf11+
TT1
(SI(TT 2 > I r ; Q Ff
21(r+
1) ; Q Ff
21(r) )
qf21+
TT2
qfl1+
(SI(TTl > I r ; Q Ff
l1(r+
1) ; Q Ff
l1(r)
)
TTl
(SI(TT 1 > I r ; Q Ff12(r+
1) ; Q Ff12(r)
)
(SI(TT 1 > I r ; Q Ff1k(r+
1) ; Q Ff1k(r)
)
qf12+
… qf1k+
TT1
TT1
(SI(TT 2 > I r ; Q Ff
22(r+
1) ; Q Ff
22(r) )
(SI(TT 2 > I r ; Q Ff
2k(r+
1) ; Q Ff
2k(r) )
qf22+
… qf2k+
TT2
TT2
. . .
. . .
. . .
qfl2+
MqFflk = [10]
)
(SI(TTl > I r ; Q Ff
l 2(r+
1) ; Q Ff
l 2(r) )
TTl
… qflk+
(SI(TTl > I r ; Q Ff
l k(r+
1) ; Q Ff
l k(r) )
TTl
(10) Los costes semifi jos permanecerán invariables siempre que el tiempo de funcionamiento del lugar donde están
localizados se mantenga dentro del intervalo alcanzado.
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Para cada elemento, la componente variable (la primera) indica la cantidad
consumida de factor por unidad de tiempo del lugar donde se ha localizado, mientras
que la componente semifi ja (la segunda) determina la cantidad fi ja de factor que
corresponde al intervalo temporal en que ha incurrido cada lugar y la divide entre
el tiempo total del mismo.
La matriz Mq f general [10] es aplicable a factores variables, fi jos, semiva-
F lk
riables y semifi jos. En el caso de que se aplique a un factor:
variable, es nula la segunda componente de los elementos correspondientes
a la columna que representa dicho factor.
fi jo, es nula la componente variable de los elementos que corresponden
a la columna de dicho factor y, además, para convertir las componentes
semifi jas en fi jas se igualarán -en cada lugar donde se localiza dicho factor-,
las diferentes cuantías que pueden tomar en los intervalos, es decir,
Q f = Q f . De este modo, sea cual sea el tiempo de funcionamiento
F lk(r) F lk(r+1)
de un lugar, la cuantía de coste fi jo total defi nida para cada factor y lugar
siempre será la misma.
semivariable, se efectuará la misma operación en la segunda componente
que la efectuada para factores fi jos, tomando la primera valores positivos.
semifi jo, es nula la componente variable de cada elemento que corresponde
a la columna que representa dicho factor.
Sustituyendo la matriz Mqf en la formulación [3] por la nueva matriz Mq f lk F lk
[10], se determinan los costes totales de perfeccionamiento o transformación de
los i productos cuando existen costes variables, fi jos, semivariables y semifi jos,
es decir:
KTF1
KTF2
.
.
.
KTFi
=
A1 0 … 0
0 A2 … 0
. . … .
. . … .
. . … .
0 0 … Ai
x
t11
t21
ti1
t12 … t1l
t22 … t2l
. . .
. . .
. . .
ti2 … til
x
(1-t’11) -t’12 … - t’1l
-t’21 (1-t’22) … - t’2l
. . .
. . .
. . .
-t’ l1 -t’ l2 … (1-t’ ll)
-1
x
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x
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(SI(TT 1 > I r ; Q Ff11(r+
1) ; Q Ff11(r)
)
qf11+
TT1
(SI(TT 2 > I r ; Q Ff
21(r+
1) ; Q Ff
21(r) )
qf21+
TT2
qfl1+
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(SI(TT 1 > I r ; Q Ff12(r+
1) ; Q Ff12(r)
)
(SI(TT 1 > I r ; Q Ff1k(r+
1) ; Q Ff1k(r)
)
qf12+
… qf1k+
TT1
TT1
(SI(TT 2 > I r ; Q Ff
22(r+
1) ; Q Ff
22(r) )
(SI(TT 2 > I r ; Q Ff
2k(r+
1) ; Q Ff
2k(r) )
qf22+
… qf2k+
TT2
TT2
. . .
. . .
. . .
(SI(TTl > I r ; Q Ff
l1(r+
1) ; Q Ff
l1(r)
)
TTl
x
qfl 2+
(SI(TTl > I r ; Q Ff
l 2(r+
1) ; Q Ff
l 2(r) )
TTl
pf1
pf2
.
.
.
pfk
[11]
… qfl k+
(SI(TTl > I r ; Q Ff
l k(r+
1) ; Q Ff
l k(r) )
TTl
En forma simplifi cada:
vcKTF = dgA x Mt x Minvt’ x Mq f x vcpf [11]
i i il F lk k
Mediante esta formulación, se imputarán los costes totales de transformación
a los distintos productos obtenidos, en función del tiempo total que cada lugar
principal no dedicado a su fabricación.
3.4. Formulación matemática del coste de producción incluyendo
costes variables, semivariables, fi jos y semifi jos
Al sumar el coste total de las materias primas consumidas [2] a la formulación
anterior [11], se obtiene el coste total de producción de los i productos en
el modelo de Mir Estruch ampliado:
vcKT = dgA x Mqm x vcpm + dgA x Mt x Minvt’ x Mq f x vcpf [12]
i i ij j i il F lk k
Partiendo de esta expresión se puede obtener el nuevo coste unitario de
producción de los i productos (kut), es decir:
i
vckut = Mqm x vcpm + Mt x Minvt’ x Mq f x vcpf [13]
i ij j il F lk k
4. INFORMACIÓN COMPLEMENTARIA
Partiendo de las formulaciones anteriores, se puede obtener diversa información
complementaria que posee gran interés para la planifi cación y presupuestación
empresarial. La información complementaria se clasifi ca en:
CUADERNOS DE CC.EE. y EE., Nº 58, 2010, pp. 53-82
x

M. TERESA URGELL CHAO
CUADERNOS DE CC.EE. y EE., Nº 58, 2010, pp. 53-82
MODELO MATRICIAL DE DETERMINACIÓN DE COSTES
1. Determinación de las cantidades consumidas de materias primas.
2. Coste total de cada materia prima.
3. Tiempos de funcionamiento de los lugares de trabajo.
4. Cantidades empleadas de factores.
5. Coste total de cada factor.
6. Costes de funcionamiento de los lugares.
4.1. Determinación de las cantidades consumidas de materias
primas
Se obtienen mediante la siguiente formulación (Mir Estruch, 1992:250):
[1,1,…,1] x
A1 0 … 0
0 A2 … 0
. . … .
. . … .
. . … .
0 0 … Ai
Qm = cantidad total de materia prima j empleada.
j
4.2. Coste total de cada materia prima
Se obtiene a través de (Mir Estruch, 1992:250-251):
Qm1, Qm2,…,Qmj x
x
pm1 0 … 0
0 pm2 … 0
. . … .
. . … .
. . … .
0 0 …pmj
qm11 qm12… qm1j
qm21 qm22… qm2j
. . .
. . .
. . .
qmi1 qmi2… qmij
= [Qm1, Qm2,…,Qmj]
Km = coste total de la materia prima j empleada.
j
4.3. Tiempos de funcionamiento de los lugares de trabajo
Los tiempos totales (TT) de funcionamiento de los lugares se determinan a
l
través de la siguiente formulación (Mir Estruch, 1995:159):
[14]
= [Km1, Km2,…,Kmj] [15]
65

MODELO MATRICIAL DE DETERMINACIÓN DE COSTES
i)
[1,1,…,1] x
66
A1 0 … 0
0 A2 … 0
. . … .
. . … .
. . … .
0 0 … Ai
=
x
TT1, TT2, …, TTl
t11
t21
ti1
t12 … t1l
t22 … t2l
. . .
. . .
. . .
ti2 … til
M. TERESA URGELL CHAO
Esta formulación calcula tanto los tiempos de funcionamiento de los lugares
principales (tiempos de fabricación), como los tiempos de funcionamiento de los
lugares auxiliares (tiempos de elaboración de factores derivados).
4.4. Cantidades empleadas de factores
Las cantidades de factores variables dependen del tiempo de funcionamiento
de los lugares, tanto de los principales como de los auxiliares. Esto no sucede
con los factores fi jos ni con la componente fi ja de los semivariables. Por otro lado,
las cantidades de factores semifi jos dependen de los intervalos temporales que
los defi nen. La fórmula que determina las cantidades empleadas de los diversos
factores empresariales (Qf ) es: k
x
(SI(TT 1 > I r ; Q Ff11(r+
1) ; Q Ff11(r)
)
qf11+
TT1
(SI(TT 2 > I r ; Q Ff
21(r+
1) ; Q Ff
21(r) )
qf21+
TT2
qfl1+
[TT1, TT2,…,TTl] x
= [Qf1, Qf2,…,Qfk] [17]
4.5. Coste total de cada factor
Partiendo de las cantidades totales de factores que se acaban de determinar,
la fórmula para hallar el coste total de cada factor (Kf ) es: k
[16]
x
(1-t’11) -t’12 … -t’1l
-t’21 (1-t’22) … -t’2l
. . .
. . .
. . .
-t’l1 -t’l2 … (1-t’ll)
(SI(TT 1 > I r ; Q Ff12(r+
1) ; Q Ff12(r)
)
(SI(TT 1 > I r ; Q Ff1k(r+
1) ; Q Ff1k(r)
)
qf12+
… qf1k+
TT1
TT1
(SI(TT 2 > I r ; Q Ff
22(r+
1) ; Q Ff
22(r) )
(SI(TT 2 > I r ; Q Ff
2k(r+
1) ; Q Ff
2k(r) )
qf22+
… qf2k+
TT2
TT2
. . .
. . .
. . .
(SI(TTl > I r ; Q Ff
l1(r+
1) ; Q Ff
l1(r)
)
TTl
qfl2+
(SI(TTl > I r ; Q Ff
l 2(r+
1) ; Q Ff
l 2(r) )
TTl
… qflk+
(SI(TTl > I r ; Q Ff
l k(r+
1) ; Q Ff
l k(r) )
TTl
CUADERNOS DE CC.EE. y EE., Nº 58, 2010, pp. 53-82
=
-1
=

M. TERESA URGELL CHAO
Qf1, Qf2 ,…, Qfk
CUADERNOS DE CC.EE. y EE., Nº 58, 2010, pp. 53-82
MODELO MATRICIAL DE DETERMINACIÓN DE COSTES
4.6. Costes de funcionamiento de los lugares
El cálculo de los costes de funcionamiento de los lugares presenta mayor
complejidad, ya que entran en juego lugares auxiliares que pueden experimentar
autoconsumo, así como prestaciones recíprocas entre ellos. Los costes de funcionamiento,
según Mir Estruch (1996: 371), deben ser estudiados en dos etapas:
1. Cálculo del coste primario de cada lugar (KP): se refi ere al coste que
l
procede del consumo de los factores activos originarios.
2. Cálculo del coste total de cada lugar (KH ): se trata de añadir al coste
lb
primario, el coste secundario procedente, exclusivamente, de otros lugares
auxiliares.
En el modelo de Mir Estruch ampliado, el cálculo del coste primario se efectúa
a través de la siguiente formulación, que utiliza, además de los precios de los
factores (pf ) y de la matriz (Mq f )’de la formulación [10] k F lk 11 , los tiempos totales de
funcionamiento de los lugares determinados en [16]:
[pf1,pf2,…,pfk]
(SI(TT 1 > I r ; Q Ff11(r+
1) ; Q Ff11(r)
)
qf11+
TT1
(SI(TT 2 > I r ; Q Ff
21(r+
1) ; Q Ff
21(r) )
qf21+
TT2
(11) La matriz (Mq F f lk )’ es la matriz traspuesta de Mq F f lk
x
x
pf1 0 … 0
0 pf2 … 0
. . … .
. . … .
0 0 … pfk
TT1 0 … 0
0 TT2 … 0
x .
.
.
.
… .
… .
= [KP1,KP2,…,KPl] [19]
. . … .
0 0 … TTl
= [Kf1, Kf2,…, Kfk] [18]
(SI(TT 1 > I r ; Q Ff12(r+
1) ; Q Ff12(r)
)
(SI(TT 1 > I r ; Q Ff1k(r+
1) ; Q Ff1k(r)
)
qf12+
… qf1k+
TT1
TT1
(SI(TT 2 > I r ; Q Ff
22(r+
1) ; Q Ff
22(r) )
(SI(TT 2 > I r ; Q Ff
2k(r+
1) ; Q Ff
2k(r) )
qf22+
… qf2k+
TT2
TT2
x
. . .
x
. . .
. . .
qfl1+
(SI(TTl > I r ; Q Ff
l1(r+
1) ; Q Ff
l1(r)
)
TTl
qfl2+
(SI(TTl > I r ; Q Ff
l 2(r+
1) ; Q Ff
l 2(r) )
TTl
… qflk+
(SI(TTl > I r ; Q Ff
l k(r+
1) ; Q Ff
l k(r) )
TTl
’
67

MODELO MATRICIAL DE DETERMINACIÓN DE COSTES
68
M. TERESA URGELL CHAO
En la siguiente etapa es preciso eliminar el autoconsumo –o consumo de
su propio factor derivado– que pueden experimentar algunos lugares auxiliares,
a fi n de calcular el coste de dichos lugares utilizando prestaciones netas, como
se suele efectuar a través del proceso tradicional de liquidación de la estadística
de costes. Para ello, Mir Estruch (1996: 379-383) propuso una solución defi nitiva
que consiste en calcular, aparte, los tiempos netos destinados a la elaboración de
factores derivados (TA lb ) a través de la siguiente formulación:
vf1(l) dgTTl Mt’ llb
[1,1,…,1] x
TT1 0 … 0
0 TT2 … 0
. . … .
. . … .
. . … .
0 0 … TTl
=
0 t’12b … t’1lb
t’21b 0 … t’2l b
. . .
. . .
. . .
t’l1b t’l 2b … 0
vf = vector fi la ; vf1(l) = vector fi la unidad de orden l.
Donde TA es el tiempo destinado por el lugar l a la elaboración de factores
lb
derivados para el consumo de los demás lugares de trabajo. Los tiempos totales
(TT) de la formulación anterior son los hallados a través de la formulación [16].
l
La matriz Mt’ se calculó del siguiente modo (Mir Estruch, 1996:375):
llb
Donde:
qf ’ = cantidad de factor derivado k’ que precisa el lugar 2 por unidad de
2k’
tiempo de funcionamiento.
tf ’ = tiempo que emplea el lugar l para elaborar una unidad de su factor
l
derivado.
t’ = tiempo que emplea el lugar l para elaborar la cantidad de factor derivado
2lb
que se precisa por unidad de tiempo de funcionamiento del lugar 2.
x
TA1b, TA2b, …, TAlb
[20]
Mqf ’ lk’b dgtf ’l Mt’llb
0 qf’12’b … qf’1k’b
qf ’21’b 0 … qf’2k’b
. . .
. . .
. . .
qf’l1’b qf’l2’b … 0
x
tf ’1 0 … 0
0 tf ’2 … 0
. . … .
. . … .
. . … .
0 0 … tf ’l
=
CUADERNOS DE CC.EE. y EE., Nº 58, 2010, pp. 53-82
=
0 t ’ 12b … t’1lb
t’21b 0 … t’2lb
. . .
. . .
. . .
t’l1b t’l2b … 0
[21]

M. TERESA URGELL CHAO
CUADERNOS DE CC.EE. y EE., Nº 58, 2010, pp. 53-82
MODELO MATRICIAL DE DETERMINACIÓN DE COSTES
Mt’ llb = matriz que muestra los tiempos que emplean los lugares auxiliares
para elaborar las cantidades de factores derivados que se precisan por unidad
de tiempo de funcionamiento de los lugares que los demandan, exceptuando el
autoconsumo.
A continuación se hallarán los tiempos netos de funcionamiento (TT lb ) de los
lugares, para lo que será necesario sumar a los tiempos netos destinados a la
elaboración de factores derivados (TA lb ), los tiempos empleados en la fabricación
de productos (TF l ), es decir (Mir Estruch, 1996:381):
vfTFl vfTAlb vfTTlb
TF1, TF2, …, TFl
+
TA1b, TA2b, …, TAlb
TT1b, TT2b, …, TTlb
Los tiempos empleados en la fabricación de productos (TF l ) se determinan a
través de la siguiente formulación (Mir Estruch, 1995:155):
i)
[1,1,…,1] x
A1 0 … 0
0 A2 … 0
. . … .
. . … .
. . … .
0 0 … Ai
x
t11
t21
Cabe destacar que únicamente los lugares principales se dedican a fabricar
productos acabados, por lo que, en el caso de los lugares auxiliares, sus tiempos
unitarios de fabricación serán nulos y, consecuentemente, sus tiempos totales de
fabricación también.
La fórmula que determina los costes totales (netos) de funcionamiento de
los lugares, es:
d
=
t12 … t1l
t22 … t2l
. . .
. . .
. . .
ti1 ti2 … til
[22]
= [TF1, TF2,…,TFl] [23]
vfKPl (Minv%t’b)’ vfKHlb
KP1, KP2, …, KPl
x
1 -%t’21b … -%t’l1b
-%t’12b
.
1 … -%t’l2b
. .
. . .
. . .
-%t’1l b -%t’2lb … 1
-1
= KH1b, KH2b, …, KHlb [24]
69

MODELO MATRICIAL DE DETERMINACIÓN DE COSTES
70
M. TERESA URGELL CHAO
Donde:
KH = coste total de funcionamiento del lugar l que no incluye ningún valor
lb
por los factores derivados autoconsumidos.
%t’ = Parte alícuota del tiempo neto de funcionamiento del lugar l empleado
2lb
en elaborar los factores derivados precisos para el lugar 2.
Minv%t’ = [M(I-%t’ )] b llb -1 y su traspuesta es [(M(I-%t’ ))’] llb -1 = (Minv%t’ )’ b
M(I-%t’ ) = MI (l) – M%t’ ; MI (l) = matriz identidad de orden (l)
llb llb
M%t’ = Matriz de partes alícuotas del tiempo neto de funcionamiento de
llb
cada lugar dedicado a la elaboración de factores derivados.
La matriz M%t’ se determina a través de la siguiente formulación (Mir Es-
llb
truch, 1996:381-382):
dgTTl Mt’llb MinvdgTTlb
TT1 0 … 0
0 TT2 … 0
. . … .
. . … .
. . … .
0 0 … TTl
x
0
t’21b
.
t’12b … t’1lb
0 … t’2l b
. . x
1/TT1b 0 … 0
0 1/TT2b … 0
. . … . =
. . . . . … .
. . . . . … .
t’l 1b t’l 2b … 0 0 0 … 1/TTlb
M%t’llb
0 %t’12b … %t’1lb
%t’21b 0 … %t’2lb
= .
.
.
.
.
.
[25]
. . .
%t’l 1b %t’l 2b … 0
Esta formulación utiliza la matriz Mt’ llb de la formulación [21], la matriz
diagonal de tiempos totales de funcionamiento (dgTT l ) que se formula partiendo
del vector de tiempos totales calculado a través de [16], y la matriz diagonal
inversa de tiempos netos de funcionamiento de los lugares (MinvdgTT lb ) que se
construye a través de los tiempos netos de funcionamiento de los lugares (vfTT lb )
determinados en [22].
CUADERNOS DE CC.EE. y EE., Nº 58, 2010, pp. 53-82

M. TERESA URGELL CHAO
CUADERNOS DE CC.EE. y EE., Nº 58, 2010, pp. 53-82
MODELO MATRICIAL DE DETERMINACIÓN DE COSTES
5. APLICACIÓN A UN SUPUESTO PRÁCTICO
5.1. Enunciado del supuesto
Se supone la existencia de una explotación que trabaja en régimen de producción
alternativa donde, a partir de tres materias primas, tres factores activos
variables (f , f , f ), un semivariable (f ), un factor fi jo (f ) y uno semifi jo (f ), se
1 2 3 4 5 6
obtienen dos productos semielaborados y dos productos acabados (A , A ) utilizando
1 2
dos lugares principales (l , l ) y dos lugares auxiliares (l , l ). Cada lugar auxiliar
1 2 3 4
elabora su propio factor derivado (3’,4’) que puede ser consumido por el resto de
lugares. El factor semifi jo (f ) depende únicamente del tiempo total de funcionamiento
6
del lugar 1, por lo que está íntegramente localizado en el mismo. El diagrama que
muestra el proceso productivo de esta explotación es el siguiente:
Los datos disponibles para el cálculo de los costes de los productos acabados
son los que se indican a continuación:
Los consumos12 de materias primas (por unidad de semielaborado obtenido)
son:
Qm /S -a = 1,11
1 1 1
Qm /S -a = 0,48
2 1 2
Qm /S -a = 0,62
3 1 2
Los consumos de semielaborados por unidad de producto acabado son:
S -a /A = 1,10
1 1 1
S -a /A = 1,12
1 2 2
(12) Todos los consumos están expresados en unidades físicas.
71

MODELO MATRICIAL DE DETERMINACIÓN DE COSTES
72
M. TERESA URGELL CHAO
Los tiempos de fabricación 13 de cada lugar principal por unidad obtenida,
bien de semielaborado o bien de producto acabado, son:
TTI 1 /S 1 -a 1 = 0,30 TTI 2 /A 1 = 0,38
TTI 1 /S 1 -a 2 = 0,50 TTI 2 /A 2 = 0,76
Las cantidades 14 de los factores variables 1, 2 y 3 consumidas por cada
lugar l l por unidad de tiempo de funcionamiento son:
I1 I2 I3 I4 qf1 0,17 0,20 0,00 0,10
qf2 10,00 8,00 12,00 7,00
qf3 4,00 3,00 3,50 2,00
El factor 4 es semivariable. Sus cantidades variables consumidas por cada
lugar l por unidad de tiempo de funcionamiento (qf ) y sus cantidades fi jas
l 4
localizadas (Q ) son:
F4
I 1 I 2 I 3 I 4
qf 4 2,00 2,50 1,00 1,50
Q F4 1600 2800 900 1200
El factor 5 es el único factor fi jo y sus cantidades fi jas localizadas (Q F5 )
son:
I 1 I 2 I 3 I 4
Q F5 150 260 90 70
La fórmula que determina la cuantía del factor semifi jo (f 6 ) localizado
exclusivamente en el lugar 1, puesto que depende de su tiempo de funcionamiento
es:
=SI(H1>3000;2000;SI(H1>2500;1500;SI(H1>2000;1000;SI(H1>0;500;0))))
En la celda H1 se determina el tiempo total de funcionamiento del lugar 1.
Cantidad de factor derivado k ’que precisa cada lugar I por unidad de
l
tiempo de funcionamiento:
(13) Expresados en horas.
(14) En esta aplicación se postula la proporcionalidad entre el consumo de todos los factores variables y el tiempo de
funcionamiento de los lugares.
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MODELO MATRICIAL DE DETERMINACIÓN DE COSTES
I1 I2 I3 I4 Qf’ 3’ 0,35 0,80 0,10 0,20
Qf’ 4’ 1,20 1,60 0,90 0,00
Tiempo que emplea cada lugar auxiliar para elaborar una unidad de su
factor derivado (tf ’ ): k’
TTI /Qf ’ = tf ’ = 0,45
3 3 3’
TTI /Qf ’ = tf ’ = 0,23
4 4 4’
Los precios unitarios de las materias primas (vcpm) son: j
pm = 240,00
1
pm = 415,00
2
pm = 190,00
3
Los precios unitarios de los factores variables, del semivariable, del fi jo y
del semifi jo (vcpf ) son: k
pf = 12,00
1
pf = 1,40
2
pf = 4,60
3
pf = 2,50
4
pf = 80,00
5
pf = 95,00
6
Las producciones obtenidas de productos acabados (vcA) son: i
A = 3.200
1
A = 1.800
2
5.2. Resolución del supuesto: cálculo del coste de producción de
los dos productos
El coste de producción, según la formulación [1], está constituido por el coste
de las materias primas aplicadas más el coste de transformación.
5.2.1. Costes de las materias primas consumidas por producto.
Para obtener el vector columna de los costes totales de las materias primas
empleadas en la fabricación de cada producto, es necesario utilizar la fórmula [2]:
vcKTM = dgA x Mqm x vcpm i i ij j
73

MODELO MATRICIAL DE DETERMINACIÓN DE COSTES
74
M. TERESA URGELL CHAO
El vector columna de los costes unitarios de materias primas por producto
se determina a partir de la formulación [7]:
vckum = Mqm x vcpm i ij j
Ambas formulaciones contienen la matriz Mqm de cantidades de materias
ij
primas consumidas por unidad de producto acabado. Esta matriz se puede obtener
multiplicando las matrices de cantidades siguientes15 : Mqm = Mqs x Mqm ij is sj
Signifi cando:
Mqm = Matriz que representa la cantidad de materia prima j necesaria para
ij
obtener una unidad de producto acabado i.
Mqs = Matriz de cantidad de semielaborado s que se precisa por unidad
is
de producto acabado i.
Mqm = Matriz de cantidad de materia prima j que se precisa por unidad de
sj
semielaborado s obtenido.
Esta formulación, al calcular el consumo de cada materia prima j necesario
para obtener una unidad de cada producto acabado i, tiene en consideración las
mermas que se producen en cada etapa dentro del proceso productivo de cada
producto. Al aplicarla al supuesto se obtiene:
Mqsis S2-m M1 Mqmsj M3 Mqmij 1,10 0,00
0,00 1,12
x
1,11
0,00
S2-m
0,00
0,48
0,00
0,62
=
1,221 0,000
0 0,538
0,000 x
0,694
Una vez conseguida la matriz Mqm ij , aplicando la formulación [2] se obtienen
los costes totales de las materias primas consumidas para la obtención de los dos
productos:
dgAi x Mqmij x vcpmj = vcKTMi
dgAi
Mqm ij vcpm j vcKTMi
3.200 0 1,2210 0,0000 0,0000 240,00 937.728,00
x
x
0 1.800 0,0000 0,5376 0,6944 415,00 = 639.072,00
190,00
157680000
Los costes de materias primas por unidad de producto acabado son:
(15) La formulación de la matriz Mqm ij ha sido posible gracias a las ideas aportadas por Mir Estruch.
CUADERNOS DE CC.EE. y EE., Nº 58, 2010, pp. 53-82

M. TERESA URGELL CHAO
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MODELO MATRICIAL DE DETERMINACIÓN DE COSTES
5.2.2. Costes de transformación de los cinco productos obtenidos.
Para calcular los costes de transformación de los cinco productos es necesario
aplicar la fórmula [11]:
vcKTF = dgA x Mt x Minvt’ x Mq f x vcpf [11]
i i il F lk k
16
Una de sus componentes es la matriz Mt que en este supuesto, toma
il
los siguientes valores:
Mtil 0,33 0,38 0,00 0,00
0,56 0,76 0,00 0,00
Como se aprecia en Mt los elementos de las dos últimas columnas son
il
ceros, esto es debido a que los lugares auxiliares no se dedican a la fabricación
de productos sino a la elaboración de factores derivados.
Otra de las componentes de la fórmula [11] es la matriz Minvt’, que es
equivalente a:
Minvt’ = [M(I-t’ )] ll -1 Donde: M(I-t’ ) = MI (l) – Mt’ y Mt’ =Mqf’ x
ll ll ll lk’
dgtf’ l
Mqmij x vcpmj = vckumi [7]:
Mqmij vcpmj kumi 1,221 0,000
0 0,538
0,000
0,694
x
240,00
415,00
190,00
=
293,0400
355,0400
Signifi cando:
Mqf’ lk’ = Matriz de cantidades de factores derivados requeridas por los lugares.
Siendo qf ’ lk’ la cantidad de factor derivado k’ que precisa el lugar l por unidad de
tiempo de funcionamiento.
dgtf’ = Matriz diagonal que representa el tiempo que emplea cada lugar
l
(auxiliar) para elaborar una unidad de su factor derivado.
MI (l) = Matriz identidad de orden l.
(16) Recordemos, que en la matriz Mt il se encuentran, para cada lugar, los tiempos de fabricación por unidad de productos
fi nal. Para mayor detalle acerca de cómo obtener la matriz Mt il ,véase Urgell Chao (2008: 187-188)
75

MODELO MATRICIAL DE DETERMINACIÓN DE COSTES
76
En el supuesto práctico los resultados son:
M. TERESA URGELL CHAO
Mqf 'lk' f'8 f'9 dgf 'l Mt’ ll
0,00 0,00 0,35 1,20 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,158 0,276
0,00 0,00 0,80 1,60 X 0,00 0,00 0,00 0,00 = 0,00 0,00 0,360 0,368
0,00 0,00 0,10 0,90 0,00 0,00 0,45 0,00 0,00 0,00 0,045 0,207
0,00 0,00
qf ’ l k’ =
0,20 0,00 0,00 0,00 0,00 0,23 0,00 0,00 0,090 0,000
La matriz M(I-t’ ll ) es: La inversa de la misma es:
[M(I-t’ ll )]
1,000 0,000 -0,158 -0,276
0,000 1,000 -0,360 -0,368
0,000 0,000 0,955 -0,207
0,000 0,000 -0,090 1,000
Por último, habrá que determinar la matriz Mq f . Para ello, partimos de la
F lk
matriz MQ f que representa las cantidades fi jas y semifi jas de factores localiza-
F lk
das; tanto las del factor semivariable, como las del fi jo y la del semifi jo. Respecto
del factor semifi jo, la fórmula que determina su cuantía (fi la 1, columna 6 de la
matriz MQ f ) es: F lk
=SI(H1>3000;2000;SI(H1>2500;1500;SI(H1>2000;1000;SI(H1>0;500;0))))
En la celda H1 se determina el tiempo total de funcionamiento del lugar 1
a través de la formulación [16]. Debido a que el tiempo total de funcionamiento
del lugar 1 es de 2.064,00 horas, el coste semifi jo se sitúa en el segundo tramo
correspondiéndole una cuantía de 1.000 unidades.
La matriz MQ f toma los siguientes valores, en el supuesto planteado:
F lk
MQFflk =
[M(I-t’ ll )] -1
1,00 0,00 0,195 0,316
0,00 1,00 0,420 0,455
0,00 0,00 1,068 0,221
0,00 0,00 0,096 1,020
0,00 0,00 0,00 1.600,00 150,00 1.000,00
0,00 0,00 0,00 2.800,00 260,00 0,00
0,00 0,00 0,00 900,00 90,00 0,00
0,00 0,00 0,00 1.200,00 70,00 0,00
En la cuarta columna se muestran las componentes fi jas del factor semivariable,
en la quinta las cantidades fi jas localizadas del factor fi jo, y en la última, el
factor semifi jo localizado en el lugar 1.
CUADERNOS DE CC.EE. y EE., Nº 58, 2010, pp. 53-82

M. TERESA URGELL CHAO
CUADERNOS DE CC.EE. y EE., Nº 58, 2010, pp. 53-82
MODELO MATRICIAL DE DETERMINACIÓN DE COSTES
A continuación, es necesario dividir cada elemento de esta matriz entre el
tiempo total de funcionamiento del lugar que le corresponde y después sumar a
los valores obtenidos, las cantidades de factores variables consumidas por unidad
de tiempo de funcionamiento de cada lugar. Los tiempos totales de los lugares
se determinan en el apartado 5.3.3. incluido en la información complementaria.
El resultado es:
vfTTl 2.064,00 2.584,00 1.486,78 1.828,34
La matriz Mq F f lk [10] toma los siguientes valores en el supuesto analizado:
=
Mq Ff lk
0,17 10,00 4,00 2,7752 0,0727 0,4845
0,20 8,00 3,00 3,5836 0,1006 0,0000
0,00 12,00 3,50 1,6053 0,0605 0,0000
0,10 7,00 2,00 2,1563 0,0383 0,0000
Los elementos de las tres primeras columnas corresponden a los factores
variables; los elementos de la cuarta columna corresponden al factor semivariable;
los de la quinta columna corresponden al fi jo y el de la última columna al factor
semifi jo localizado en el lugar 1.
Para determinar los costes totales de transformación se utilizará la formulación
[11]:
vcKTF = dgA x Mt x Minvt’ x Mq f x vcpf i i il F lk k
[M(I-t’ ll )]-1
dgAi Mtil
1,00 0,00 0,19 0,32
3.200
0
0
1.800
x
0,33
0,56
0,38
0,76
0,00
0,00
0,00
0,00
x
0,00
0,00
1,00
0,00
0,42
1,07
0,45
0,22
x
0,00 0,00 0,10 1,02
#### ##### 0,00 0,00
x
Mq Ff lk
vcpf k
12,00 vcKTF i
0,17 10,00 4,00 2,78 0,07 0,48 1,40 207.765,07
0,20 8,00 3,00 3,58 0,10 0,00 x 4,60 = 213.861,24
0,00 12,00 3,50 1,61 0,06 0,00 2,50
0,10 7,00 2,00 2,16 0,04 0,00 80,00
95,00
77

MODELO MATRICIAL DE DETERMINACIÓN DE COSTES
78
M. TERESA URGELL CHAO
Los costes unitarios de transformación (kuf) se pueden obtener dividiendo
i
los costes totales de transformación entre las unidades de producto obtenidas, el
resultado es:
kuf i
64,92659
118,81180
5.2.3. Costes de producción de los cinco productos obtenidos.
Los costes totales de producción (KT) de los dos productos serán [1]:
i
vcKTMi vcKTFi vcKTi 937.728,00
639.072,00
+
207.765,07
213.861,24
=
1.145.493,07
852.933,24
Los costes unitarios de producción de cada producto, se pueden obtener
sumando los costes unitarios de las materias primas consumidas calculados a
través de la formulación [7] y los de transformación, determinados en el apartado
anterior, es decir:
vckum i vckufi vckut i
293,0400 + 64,9266 = 357,9666
355,0400 118,8118 473,8518
Los costes totales y unitarios de producción llevan incorporados dentro de
sus costes de transformación, además de los costes variables procedentes de
los factores activos, el coste fi jo, el semivariable y el semifi jo enunciados en el
supuesto.
5.3. Resolución del supuesto: Información complementaria
5.3.1. Determinación de las cantidades consumidas de materias primas.
Partiendo de la formulación [14] se obtienen las cantidades consumidas de
materias primas:
f1vf1(2) Mqmij vfQmj
1 1 x
dgAi 3.200 0 x 1,2210 0,0000 0,0000 = 3.907,20 967,68 1.249,92
0 1.800 0,0000 0,5376 0,6944
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MODELO MATRICIAL DE DETERMINACIÓN DE COSTES
5.3.2. Coste total de cada materia prima.
Empleando [15] se obtienen los costes de las materias primas:
vfQmj dgpmj vfKmj
240,00 0,00 0,00
3.907,20 967,68 1.249,92 X 0,00 415,00 0,00 = 937.728,00 401.587,20 237.484,80
0,00 0,00 190,00
5.3.3. Tiempos de funcionamiento de los lugares de trabajo.
Los tiempos de funcionamiento de los lugares de trabajo, tanto principales
(l , l ) como auxiliares (l , l ), se calculan a través de la formulación [16] sustitu-
1 2 3 4
yendo sus dos primeras matrices (vf1(i) x dgA) por su equivalente, el vector fi la
i
de cantidades obtenidas de cada producto (vfA): i
CALCULO DE TIEMPOS TOTALES (2)
[M(I-t’ ll )]
vfA i
3.200 1.800 X 0,33
Mtil 0,38 0,00 0,00 X
1,0000
0,0000
0,0000
1,0000
0,1947
0,4198
0,3163
0,4549 = 2.064,00 2.584,00 1.486,78 1.828,34
0,56 0,76 0,00 0,00 0,0000 0,0000 1,0680 0,2211
0,0000 0,0000 0,0961 1,0199
####### ######## ##### 0,0000
-1
vfTT l
5.3.4. Cantidades empleadas de factores.
Las cantidades consumidas de los tres factores activos variables (f , f , f ), del
1 2 3
semivariable (f ), del fi jo (f ) y del semifi jo (f ), se obtienen a través de [17]:
4 5 6
vfTT l
2.064,00 2.584,00 1.486,78 1.828,34 X
f1 MqFflk f5
I1 0,17 10,00 4,00 2,78 0,07 0,4845
X 0,20 8,00 3,00 3,58 0,10 0,00
I3 0,00 12,00 3,50 1,61 0,06 0,00 =
I4 0,10 7,00 2,00 2,16 0,04 0,00
0 0
vfQf k
0 0
= 1.050,51 71.951,67 24.868,39 21.317,28 570,00 1.000,00 0
0
5.3.5. Coste total de cada factor.
A través de la fórmula [18] se determina el coste total de cada uno de los
6 factores activos:
79

MODELO MATRICIAL DE DETERMINACIÓN DE COSTES
80
vfQf k
M. TERESA URGELL CHAO
= 1.050,51 71.951,67 24.868,39 21.317,28 570,00 1.000,00 x
dgpf k
12,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0
0,00 1,40 0,00 0,00 0,00 0,00
x 0,00 0,00 4,60 0,00 0,00 0,00 =
0,00 0,00 0,00 2,50 0,00 0,00 ####
0,00 0,00 0,00 0,00 80,00 0,00
0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 95,00
vfKf k
= 12.606,17 100.732,34 114.394,60 53.293,21 45.600,00 95.000,00
5.3.6. Costes de funcionamiento de los lugares.
En primer lugar se calcula el coste primario de los lugares mediante la
formulación [19]:
I1 (MqFflk)' vfpfk 0,1700 0,2000 0,0000 0,1000
pf1 pf2 pf3 pf4 pf5 10,000 8,0000 12,0000 7,0000
12,00 1,40 4,60 2,50 80,00 95,00 X 4,0000 3,0000 3,5000 2,0000 X
2,7752 3,5836 1,6053 2,1563
0,0727 0,1006 0,0605 0,0383
0,4845 0,0000 0,0000 0,0000
2.064,00
dgTTl 0,00 0,00 0,00 vfKPl 0,00 2.584,00 0,00 0,00 = 192.404,16 114.751,60 62.081,85 52.388,71
X 0,00 0,00 1.486,78 0,00
0,00 0,00 0,00 1.828,34
Los costes totales de funcionamiento de los lugares, se determinan a través
de [24]:
vfKPl (Minv%t’b)’ vfKHlb
KP1 KP2 KP3 KP4 KP5 1,0000 0,0000 0,0000 0,0000
192.404,16 114.751,60 62.081,85 52.388,71 X 0,0000 1,0000 0,0000 0,0000 = 227.893,86 193.732,46 72.311,02 60.768,92
0,2703 0,7297 1,0199 0,1182
0,3571 0,6429 0,1717 1,0199
Para calcular la matriz (Mt’ ilb )’ es necesario obtener previamente la matriz
Mt’ ilb , que en este supuesto es:
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0
0
0

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6. CONCLUSIONES
Se han formulado matemáticamente los costes de producción de una empresa
industrial que consume varias materias primas, diversos factores variables,
semivariables, fi jos y semifi jos, fabrica diversos productos, mediante un proceso
productivo constituido por lugares o centros de actividad principales, caracterizados
por su régimen de producción alternativa, y lugares de trabajo auxiliares en los que,
junto al fenómeno conocido como autoconsumo, puede existir también, interrelación
entre los mismos. En la formulación alcanzada, denominada modelo de Mir Estruch
ampliado, los costes variables activos dependen del tiempo de funcionamiento de
los lugares, mientras que los costes fi jos y las componentes fi jas de los costes
semivariables permanezcan inalterables ante variaciones del volumen de producción.
En cuanto a los costes semifi jos permanecen inalterados dentro de cada intervalo
establecido en función de los tiempos de funcionamiento de los lugares. Los costes
de los factores activos (variables, semivariables, fi jos y semifi jos) se imputan a los
diferentes productos en función del tiempo total de funcionamiento que cada lugar
dedica a la producción de cada producto.
La formulación matemática conseguida, parte de la última formulación del
modelo matemático-matricial de Mir Estruch (1995:149-164) que requiere el conocimiento
de un conjunto de coefi cientes técnicos (cantidades de materias primas
requeridas por unidad de output, tiempos de funcionamiento de cada lugar por
unidad de output, cantidad de factores variables consumidas por cada fase por
unidad de tiempo de funcionamiento, etc.) que lo validan para su aplicación en la
planifi cación empresarial, tanto a corto plazo como a largo plazo, siempre que se
modifi quen en la formulación matricial aplicada los valores de aquellos coefi cientes
técnicos que hayan experimentado cambios en la realidad empresarial. Asimismo,
la información complementaria que se extrae del modelo matemático (consumos
y costes de materias primas, de factores activos variables, coste de factores fi jos,
semifi jos y semivariables localizados por lugares, tiempos de funcionamiento de los
lugares y costes de los mismos) es de indudable interés para acometer un proceso
de planifi cación en el ámbito interno de la empresa.
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