TEMA01 LIBRO

TEMA 1
CÁLCULO VECTORIAL
1.1. MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES
Magnitud escalar es aquella que queda determinada únicamente por su valor numérico; tal es el
caso de la temperatura, la masa de un cuerpo, el trabajo realizado por una fuerza, la energía cinética, etc.
Magnitud vectorial es aquella que precisa, para que resulte unívocamente definida, conocer su
dirección y sentido. Esta clase de magnitud se denomina también dirigida y se representa gráficamente
por vectores. Es el caso de una velocidad o una fuerza, donde no sólo interesa su valor, pues para saber
cómo es realmente, hay que especificar su dirección y su sentido.
r
Vector: segmento orientado en el espacio. Consta de cuatro elementos:
O
r
v
A
- Punto de aplicación u origen O.
- Dirección o línea de acción.
- Sentido (indicado por la flecha).
- Módulo (valor numérico de la magnitud asociada).
Los vectores se representan mediante una letra minúscula con una flecha encima ( r v ) o en
negrilla (v). También se pueden representar por las dos letras mayúsculas que representan sus extremos
( AB r ). Los módulos de los vectores se representan de igual manera que los vectores pero entre barras
( r v ). A veces, basta con su letra (v).
1.2. TIPOS DE VECTOR
C
z
r
O
α
γ
β
D
B
y
A
x
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a) Libres: son aquellos que vienen determinados por sus tres componentes cartesianas o proyecciones de
dicho vector sobre los tres ejes coordenados. Se representan por v = (X,Y,Z), siendo X = OA, Y = OB y
Z = OC. Su módulo ⏐v ⏐ viene dado por la expresión:
r
v = X + Y + Z
2 2 2
Las direcciones respecto a los tres ejes coordenados vienen dadas por los cosenos de los ángulos
correspondientes, también llamados cosenos directores:
X
Y
cos α = ; cos β = ; cosγ
=
v
r Z
v
r v
r
Dado que se cumple que cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1, el vector que tiene por componentes (cosα,
cosβ, cosγ) es un vector de módulo uno (vector unitario) en la dirección y sentido de v. En
consecuencia, este tipo de vectores carece de punto de aplicación y de línea de acción, siendo ésta
cualquier línea paralela a la OD de la figura.
b) Deslizantes: son los que carecen de punto de aplicación y vienen determinados por sus tres
componentes cartesianas (su magnitud) y su línea de acción (recta soporte). Su origen puede trasladarse,
por tanto, a lo largo de su línea de acción.
c) Fijos: son los que tienen sus tres componentes cartesianas y punto de aplicación determinados. Vienen
dados por su módulo, dirección, sentido y punto de aplicación.
d) Axiales: representan magnitudes angulares, como la velocidad de giro o el momento cinético. La
magnitud se asocia con un valor numérico o módulo, un eje de giro o dirección y un sentido de rotación
dado por la regla de Maxwell o del sacacorchos. Los vectores que no están asociados a un sentido de
rotación se denominan polares.
Regla de Maxwell: el sentido de rotación es el sentido de giro de un sacacorchos cuando éste
avanza en el sentido que indica el vector. También se denomina regla de la mano derecha.
e) Ligados. son aquellos cuyo punto de aplicación, dirección y sentido son fijos e invariables. Sólo varía
su módulo.
f) Opuestos: dos vectores de cualquier clase son opuestos si tienen el mismo módulo y dirección pero
sentidos contrarios.
g) Equipolentes: dos o más vectores libres son equipolentes cuando tienen el mismo módulo, dirección y
sentido, pero distinto punto de aplicación. El hecho de tener punto de aplicación los diferencia de los
libres. Sus rectas soporte son paralelas o coincidentes.
1.3. OPERACIONES CON VECTORES
a) Suma y diferencia
a
b
s
a
s
b
b
d
a
c
e
s
f
a
d = a - b
b
v 2
d = v 1 - v 2
v1
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La suma o resultante de dos vectores V 1 y V 2 es el vector que se obtiene al unir el origen del
primero con el extremo del segundo, cuando éste se aplica en el extremo de aquél:
r r r
S = V + V
1 2
También se define como la diagonal del paralelogramo construido sobre V 1 y V 2 como lados que
parten del mismo vértice.
La diferencia es el vector que resulta de sumar al primero el opuesto del segundo:
r v r r r
D = V + − V = V − V
( )
1 2 1 2
Resulta de unir los orígenes de los vectores con sus extremos coincidentes. Si se representan con
sus orígenes coincidentes, entonces el vector diferencia viene dado por la otra diagonal del
paralelogramo.
Las componentes de la resultante serán, en cada caso:
r r r
S = V1 + V2 = ( X1 + X
2, Y1 + Y2 , Z1 + Z2
)
r r r
D = V − V = ( X − X , Y − Y , Z − Z )
1 2 1 2 1 2 1 2
Nótese que el módulo del vector suma o diferencia sólo es igual a la suma o diferencia de los
módulos si los vectores son paralelos. Asimismo, el módulo de la suma sólo puede ser igual al de la
diferencia si los vectores son perpendiculares entre sí. Del mismo modo, el módulo de la suma no puede
ser mayor que la suma de los módulos, mientras que el módulo de la diferencia no puede ser menor que
la diferencia de los módulos.
b) Producto de un número (escalar) por un vector
El producto de un número real n por un vector v es otro vector nv que tiene la misma dirección
que v, el mismo sentido o el contrario (si n es negativo) y un módulo n veces el original. En virtud de esta
definición, todo vector puede expresarse como producto de su módulo por un vector unitario que tenga la
misma dirección y sentido que él:
r r r r
v = v ⋅ u siendo u = 1
Las componentes de un vector unitario son, respectivamente, los cosenos directores de dicho
vector y resultan, por tanto, iguales al cociente de cada componente dividida por el módulo del vector:
r
r
ur = ( ) = 1
X
Y
r X Y Z
r
v
= ⎛
Z ⎞ v
v
cos α,cos β,cos γ ( , , ) ⎜
, ,
⎟ =
2 2 2 2 2 2 2 2 2
⎝ X + Y + Z X + Y + Z X + Y + Z ⎠ v
Los vectores unitarios sobre los ejes coordenados se representan por i, j y k, respectivamente, de
modo que si las tres componentes del vector v son X, Y y Z, dicho vector se puede expresar por sus
componentes o por una suma de vectores:
r r r r
v = ( X , Y, Z)
= X ⋅ i + Y ⋅ j + Z ⋅ k
Ejemplo: Hallar la suma de los vectores a: 100 metros hacia el Sur, b: 100 m hacia el Sur 60° Oeste, c:
S0 m hacia el Este y d 200 m hacia el Nordeste.
s = a + b + c + d
a = (a x ,a y ) = (0, 100) m; b = (b x ,b y ) = (-100·sen60°, -100·cos60°) = (-86.6, -50) m
c = (c x , c y ) = (50, 0) m; d = (d x ,d y ) = (200·cos45°, 200·sen45°) = (141.4, 141.4) m
s = (s x ,s y ) = (a x +b x +c x +d x , a y +b y +c y +d y ) = (104.8, -8.6) m
⏐s⏐ = [104.8 2 + (-8.6) 2 ] ½ = 105.15 m
tagα = ⏐s y ⏐/⏐s x ⏐ = 0.082 ⇒ α = 4° 41' 28.47"
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c) Producto escalar de dos vectores
Es el número ( = escalar) que resulta de multiplicar los módulos de los vectores por el coseno del
ángulo que forman:
r r r r r
a ⋅ b = a ⋅ b ⋅ cos a, b r
= a ⋅ b⋅
cosα
Propiedades del producto escalar:
( )
1. Cumple la propiedad conmutativa, pues el coseno de un ángulo no varía, ni de magnitud
ni de signo, al cambiar el sentido del ángulo. Puede afirmarse que:
r r r r
a ⋅ b = b ⋅ a
2. Cumple la propiedad distributiva respecto a la suma:
a r ⋅ b r + c r = a r ⋅ b r + a r ⋅ c
r
( )
3. Es igual al producto escalar de uno de ellos por el vector proyección ortogonal del otro
sobre él:
r r r r r r
a ⋅ b = a ⋅ b⋅ cos α = a ⋅( b⋅ cos α ) = a ⋅ b′ = a ⋅ proyb a
b
α
b’
a
O
a
α
proy a b
A
b
B
proy b a
4. El módulo de la proyección ortogonal de a sobre b es igual al producto escalar de a por b
dividido por el módulo de b:
a r b
proyab =
⋅
r
r
b
5. Si a ≠ 0 y b ≠ 0 y a · b = 0, entonces a y b son perpendiculares, ya que la única
posibilidad de que el producto escalar de dos vectores no nulos sea cero es que lo sea el
cosα, lo cual ocurre para α = π/2 + n·π, siendo n = 0,1,2,3...
6. Considerando los vectores unitarios fundamentales, i, j y k, es fácil ver que:
i · i = j · j = k · k = 1; i · j = j · i = j · k = k · j = i · k = k · i = 0
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En consecuencia, si escribimos los vectores en forma de suma vectorial de sus
componentes cartesianas:
a · b = (a x i + a y j + a z k) · (b x i + b y j + b z k) = a x b x + a y b y + a z b z
que es la expresión del producto escalar en función de las coordenadas cartesianas de
ambos vectores.
Entre las aplicaciones del producto escalar, se pueden destacar:
a) Módulo de un vector:
r r r r
v ⋅ v = v ⋅ v ⋅ cosα = X ⋅ X + Y ⋅ Y + Z ⋅ Z = v ⇒ v = X + Y + Z
b) Ángulo formado por dos vectores:
r
cos ( ,
r r r
a b a b a b a b
a b)
= ⋅ + +
=
a ⋅ b a ⋅ b
x x y y z z
2 2 2 2
Ejemplo: Dados los vectores a = i - 2j + 2k y b = j + 8k, hallar la proyección de a en la dirección de b y
el ángulo que forman:
a = (1, -2, 2) ⇒ ⏐a⏐ = a = (1 2 + (-2) 2 + 2 2 ) ½ =3
b = (0, 1, 8) ⇒ ⏐b⏐ = b = (0 2 + 1 2 + 8 2 ) ½ = 8.06
a · b = 1.0 + (-2).1 + 2-8 = 14
proya b = a · b/b = 14/8.06 = 1.74
cos α = a · b / a·b = 14/3·8.06 = 0,58 ⇒ α = 54° 32' 58"
d) Producto vectorial
Dados dos vectores a y b que forman un ángulo α, se llama producto vectorial de ambos a un
vector c = a x b = a ∧ b cuyo módulo es igual al producto de los módulos multiplicado por el seno del
ángulo α que forman y cuya dirección es perpendicular al plano determinado por los vectores a y b,
siendo su sentido el de avance de un tornillo que girara tendiendo a hacer coincidir a con b por el camino
más corto (regla de Maxwell).
a ∧ b
b
a
α
r r
a ∧ b = a ⋅ b⋅senα
Propiedades del producto vectorial:
1. a ∧ 0 = 0
2. No posee la propiedad conmutativa: a ∧ b = - b ∧ a.
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3. El producto vectorial es nulo si los vectores tienen sus líneas de acción paralelas (α = 0 ó
α = π). Por ello, se cumple que
4. El producto vectorial vale:
i ∧ i = j ∧ j = k ∧ k = 0
i ∧ j = - j ∧ i = k; j ∧ k = - k ∧ j = i; k ∧ i = - i ∧ k = j
c = a ∧ b = (a x i + a y j + a z k) ∧ (b x i + b y j + b z k) =
= (a y b z - b y a z )i + (a z b x - b z a x )j + (a x b y - b x a y )k
que coincide con el desarrollo del determinante:
r r
a ∧ b =
i j k
a a a
x y z
b b b
x y z
5. Doble producto vectorial: a ∧ (b ∧ c) = (a · c) · b - (a · b) · c
Entre las aplicaciones del producto vectorial cabe destacar:
a) Momento de un vector respecto a un punto: se llama momento de un vector v aplicado en
un punto A, con respecto a un punto O, al producto vectorial:
r r r r
M r = OA ∧ ov
v = r ∧ v
y suele representarse aplicándolo en el punto O. Se trata por tanto de un vector axial.
Su valor numérico o módulo coincide con el doble del área del triángulo formado por
el vector v y el punto O y, en consecuencia, aunque el vector se deslice a lo largo de
su línea de acción SS’ su momento respecto a O no varía. También se deduce que el
momento de un vector respecto a un punto de su línea de acción es siempre nulo.
Como se puede observar en la figura, la distancia desde el punto O a la recta soporte
SS’ del vector AB viene dada por la expresión:
d = r·sen α
M o
B
v α
r
A
O d
S
Momento de un vector
S’
d
r = r 1 - r 2
α
v 2 = -v
v 1 = v
M o
O
r1
r 1
Momento de un par
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) Momento de un par de vectores respecto a un punto: en primer lugar, se llama par de
vectores a aquellos dos vectores que teniendo el mismo módulo y dirección, tienen
sentido contrario y distinta línea de aplicación. El momento de un par es la suma de los
momentos de los vectores (por lo que si la línea de acción es la misma, el momento es
nulo):
r r r r r r
M = r ∧ v − r ∧ v = ( r − r ) ∧ v = r ∧ v ; M = r ⋅ v ⋅ senα = d ⋅ v
o
1 2 1 2
c) Área de un paralelogramo: de la definición de producto vectorial, se deduce que el área
de un paralelogramo coincide con el módulo del producto vectorial de dos vectores
adyacentes que coinciden con dos de sus lados. Así, sea el paralelogramo ABCD de la
figura siguiente. Su área valdrá:
r r
S = AB ∧ AD
o
B
B
C
a
AB
S
c
S’
C
A
AD
D
A
b
d) Área de un triángulo: en el caso de la figura, será:
1 r r
S = ⋅ a ∧ b
2
e) Momento de un vector con respecto a un eje: es la proyección sobre dicho eje del
momento de ese vector con respecto a un punto cualquiera del eje:
M e
u e
α
E
M e
v
B
e
r
A
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tendremos:
siendo
u r
e
r r r r
M = proy M ; siendo M = ∧ v ;
e e E E
r r r
M
e
= M
E
⋅ ue = M
E
⋅ cosα
un vector unitario en la dirección del eje. Nótese que si la recta soporte del
vector v corta al eje o es paralela a él, el momento respecto al eje es nulo.
Sistema de vectores: conjunto de vectores que actúan simultáneamente sobre un punto. A cada uno de
los vectores se le llama componente del sistema.
Teorema de Varignon: el momento de la suma de varios vectores concurrentes es igual a la suma de los
momentos de los vectores componentes.
Ejemplo: Dados los vectores a = 2i - 3j + k y b = -i + 2j - 5k, hallar:
a) su producto escalar: a · b = 2·(-1) + (-3)·2 + 1·(-5) = -13
b) sus módulos:
⏐a⏐ = (2 2 + (-3) 2 + 1 2 ) ½ = 3.74
⏐b⏐ = ( ( 1 ) 2 + 2 2 + (-5) 2 ) ½ = 5.48
c) el ángulo que forman: cosα = a·b/a·b = 0,62 ⇒ α = 128° 18' 58"
d) la proyección de b sobre a: proyb a = a·b/a = - 3.48
e) la proyección de a sobre b: proya b = a·b/b = - 2,37
f) producto vectorial c = a x b:
i j k
r r r r r
a ∧ b = 2 −3 1 = 13i + 9 j + k
−1 2 −5
g) área del paralelogramo determinado por a y b: S = ⏐a ∧ b⏐= 15.84 u 2
h) área del triángulo determinado por a y b: S’ = ½S = 7,92 u 2
i) momento de a aplicado en P (1,1,1) respecto a Q (0,2,1):
r = QP = (1,1,1) - (0,2,1) = (1,-1,0)
M Q = r ∧ a = - i - j - k
j) momento de b aplicado en A (0,1, 1 ) respecto al eje definido por x − 1
=
y + 2 z =
2 3 − 1 :
Un punto cualquiera del eje: E (1, -2,0)
r = EA = (-1,3 1) ⇒ M E = r ∧ b = (17 -6,1)
u e = (0.53, 0.8, -0.27)
M e = M E·u e = 1,82 unidades.
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e) Producto mixto
Es un escalar resultado de la operación:
( )
r r r
a ⋅ b ∧ c =
a a a
x y z
b b b
x y z
c c c
x y z
Su valor absoluto coincide con el volumen del paralelepípedo definido por los tres vectores.
Propiedad del producto mixto: Volumen = ⎥ a · (b ∧ c) ⎢ = ⎥ c · (a ∧ b) ⎢ =⎥ b · (c ∧ a) ⎢. Este valor no
puede ser negativo, pues carecería de sentido físico. Esta es la razón pòr la que se toman valores
absolutos.
f) Derivada de un vector
Sea un vector v que varía con el tiempo, bien de módulo, bien de dirección, o de ambos a la vez;
diremos que en este caso el vector es función del tiempo, y lo expresaremos así: v = v (t). Pues bien, se
llama derivada del vector v respecto al tiempo t al vector:
r r r r r r r
dv
d lim v ( t + ∆ t ) − v ( t )
lim v ′ −
= =
v ∆
=
lim
v =
dt ∆t→ 0 ∆t
∆t→ 0 ∆t
∆t→
0 ∆t
z
(x’, y’, z’)
v (t + ∆t)
∆v
v (t)
(x,y,z)
O
y
x
Como al dividir el vector ∆v por un número real sus componentes quedan divididas por el mismo
número, tendremos:
d
x
dv dv
x
y dvz
= ; d
y
= ; dz
= ;
dt dt dt
siendo cada una de las componentes una función de t.
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Reglas de derivación:
d
dt
d
dt
d
dt
d
dt
r r
r r du dv
+ = +
dt dt
u dv r
v du r
r r r r
⋅ = ⋅ + ⋅
dt dt
r r
r r r dv du r
u ∧ v = u ∧ + ∧ v
dt dt
r
r du df r
⋅ = f ⋅ + ⋅ u
dt dt
( u v)
( u v)
( )
( f u)
Representación vectorial de las superficies:
Una superficie puede ser representada por un vector de tipo axial. El vector superficie es
perpendicular a la misma, su módulo representa el área de dicha superficie y su sentido es el saliente por
la cara convexa.
S
Ejemplo: Un vector viene determinado por la función v(t) = 2t 3 i + (2t 2 -4t)j + (t-2)k, siendo t el tiempo.
Hallar las componentes de su primera, segunda y tercera derivada respecto a la variable t cuando ésta
toma el valor t = 1 y sus componentes en la dirección del vector a = i - 2j + 2k
v 1 = dv/dt = d(2t 3 , 2t 2 -4t, t-2)/dt = (6t 2 , 4t, 1)
v 2 = d 2 v/dt 2 = (12t, 4, 0)
v 3 = d 3 v/dt 3 = (12, O, 0)
Para t = 1 ⇒ v 1 = (6,4,1)
v 2 = (12,4,0); v 3 = (12,0,0)
La dirección de a viene determinada por el vector u a = a/a = (0.33, 0.66, 0.66). Por tanto, las
componentes en la dirección de a serán:
g) Operaciones diferenciales
v 1 · u a = 0; v 2 · u a = 1,33; v 3 · u a = 4
Para definir las distintas operaciones diferenciales con vectores, utilizaremos el operador
diferencial vectorial nabla, o simplemente operador nabla, que se representa por ∇ y se define así:
r ∂ r ∂ r ∂ r
∇ ≡ ⋅ + ⋅ + ⋅
∂ x i ∂ y j ∂ z k
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Este operador vectorial tiene todas las propiedades de los vectores ordinarios. A partir de él, se
definen las tres magnitudes vectoriales más importantes del cálculo diferencial: gradiente, divergencia y
rotacional.
Gradiente
Sea una función f = f (x,y,z) derivable y definida para cada uno de los puntos (x,y,z) de una cierta
r
región del espacio. El gradiente de f, que se representa por ∇ ⋅ f ó por grad·f es un vector cuyas
componentes valen:
grad f
f
f
x i f f
= ∇⋅ r ∂
≡ ⋅ r ∂
+ ⋅ r ∂
j + ⋅ k
r
∂ ∂ y ∂ z
Mediante el gradiente, podemos asociar a cada punto de esa región donde había definida una
función escalar (campo escalar) un vector (campo vectorial). Así pues, a cada punto se le asocia un
escalar mediante f y un vector mediante ∇f.
Con el producto escalar ∇f · u calculamos la componente del gradiente en la dirección de u, y a
esta componente se le llama derivada direccional de f según u. Cuando el gradiente y u tienen la misma
dirección se obtiene ⏐∇f⏐, que representa la máxima derivada direccional o la máxima variación de la
magnitud escalar por unidad de longitud.
Divergencia
Sea ahora una función vectorial v(x,y,z) que define un campo vectorial; se define la divergencia
de v, y se representa por ∇·v o por div v como el escalar:
r r ∂ v ∂ v
x y ∂ vz
∇⋅ v ≡ + +
∂ x ∂ y ∂ z
es decir, la divergencia de un vector equivale al producto escalar del vector nabla por dicho vector.
Rotacional
Sea v(x,y,z) una función vectorial que define en una cierta región del espacio un campo vectorial
derivable. Definimos el rotacional de v, y se representa por ∇ ∧ v ó por rot v, al vector resultado del
producto vectorial de nabla por v:
i j k
r r r r
rot v = ∇ ∧ v = ∂ ∂ ∂
∂ x ∂ y ∂ z
vx v
y
vz
es decir:
r r r ⎛ ∂ v ∂ v v v v
z y ⎞ r r v r
x z y x
rot v = ∇ ∧ v = ⎜ − i
j
k
⎝ y z ⎠
⎟ ⋅ + ⎛ ∂
⎜
⎝ z
− ∂ ⎞
x ⎠
⎟ ⋅ + ⎛ ∂
⎜
⎝ x
− ∂ ⎞
⎟ ⋅
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ y ⎠
A partir de esta definición es fácil demostrar que
• El rotacional del gradiente de una función escalar f es el vector nulo.
• La divergencia del rotacional de un vector v es cero.
Un campo vectorial tal que rot v = 0 se llama irrotacional. De estos campos se dice que derivan
de un potencial o son conservativos. Si la divergencia es nula, el campo se denomina solenoidal.
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Ejemplo: dada lafunción escalar f = 2x 3 y 2 z y la vectorial v = (x 2 , xy, xz), calcular, para el punto P (-
1,1,1) el gradiente de f, la divergencia de dicho gradiente y el rotacional de v.
a) gradiente:
∂ f 2
= 6x
y
∂ x
∂ f 3
= 2x
y
∂ z
2
∂ f 3
= 4x
yz
∂ y
2
z
para
para
para
gradf = 6i -4j -2k
∂ f
P(
−1,1,1)
⇒ = 6
∂ x
∂ f
P(
−1,1,1)
⇒ = −4
∂ y
∂ f
P(
−1,1,1)
⇒ = −2
∂ z
b) divergencia: ∇ · gradf
∂
∂
∂
grad
∂ x
grad
∂ y
grad
∂ z
x
y
z
grad
∂
2
x
= 12xy z para P ⇒ = −12
∂ x
grad
∂
3
y
= 4x z para P ⇒ = −4
∂ y
grad
∂
z
= 0 para P ⇒ = 0
∂ z
div (gradf) = - 12 - 4 = - 16
c) rotacional: rot v = ∇ ∧ v
∂ vx
∂ y
∂ vx
∂ z
∂ v
y ∂ vz
= y = z
∂ x ∂ x
∂ vz
= 0 = 0
∂ y
∂ v
y
= 0 = 0
∂ z
rot v = (0,-z,y); para P (-1,1,1) ⇒
rot v = (0,-1,1) = - j + k
h) Integración vectorial
La integración vectorial es la operación inversa a la diferenciación. La forma de operar es similar
a la integración, salvo que en este caso el resultado es un vector. Como siempre, cuando la integral sea
indefinida, aparecerá un vector constante de integración, cosa que no ocurre en las definidas, para las que
existen unos límites de integración establecidos. Dado que a lo largo del curso se van a ver numerosos
ejemplos de integración vectorial, dejamos para más adelante los ejercicios correspondientes.
PREGUNTAS DE TEST
1. El coseno del semiángulo que forman dos vectores de igual módulo, si su resultante tiene un módulo
mitad que el módulo de cada uno de ellos, es:
A) 1 B) 1/2 C) 1/4 D) 1/6
2. Si los vectores suma y diferencia de dos vectores son paralelos, los vectores son entre sí:
A) de igual módulo B) paralelos C) perpendiculares D) opuestos
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3. Todas las proposiciones siguientes son ciertas en algún caso, pero sólo una lo es en todos los casos.
Señálela:
A) Si el producto mixto de tres vectores es nulo, los tres vectores son concurrentes en un punto.
B) Si el momento de un vector con respecto a un eje es nulo, la directriz del vector corta al eje.
C) Si los momentos de un vector respecto a dos puntos distintos tienen el mismo módulo, ambos
puntos equidistan de la directriz del vector.
D) Una fórmula física es correcta si todos las magnitudes que en ella intervienen tienen la misma
ecuación de dimensiones.
4. Dados los puntos A (1,1,1) y B (4,5,-3), la proyección de AB
r sobre un eje que pasa por el origen y
forma ángulos agudos e iguales con los ejes coordenados, es:
A) 2 B) 3 C) 5 D) 4 2
5. Dados los vectores a = 6i + 3j – 6k y b = 4i + j + 5k, aplicados en el origen de coordenadas, estando
las componentes es unidades S.I., la mínima distancia entre el extremo de b y la directriz de a es:
A)
377
3
B)
377
2
C) 377 D)
6. De las siguientes afirmaciones, señale la correcta:
A) Cuando el módulo de un vector es constante, su vector derivada es siempre paralelo al primero.
B) El momento respecto a un punto de un par de vectores es igual respecto a todos los puntos del
plano definido por el par.
C) El rotacional de un vector indica la dirección de máxima variación de dicho vector.
D) Un vector pertenece siempre a un plano cualquiera definido por otros dos vectores, pudiendo
expresarse como una combinación lineal de ellos.
7. El origen de un vector es el punto A (3,-1,2) y su extremo B(1,2,1). ¿Cuál es su momento respecto al
punto C (1,1,2)?
A) 2i+2j+2k B) –5i-j+7k C) 5i+j-7k D) –2i-2j+3k
8. De las siguientes relaciones, sólo una contiene magnitudes vectoriales.
A) Fuerza, aceleración normal y trabajo.
B) Velocidad, impulso lineal y aceleración tangencial.
C) Temperatura, masa y momento de inercia.
D) Velocidad, fuerza y momento de inercia.
9. Sean las coordenadas de los vértices de un triángulo A(1,3,1), B(0,0,2) y C(1,0,0). Indicar su área:
A) 6,78 B) 2,13 C) 0 D) 3,39
10. Dados los vectores 2i + 5j y 3i – 3j + ak, el valor de a que hace que ambos sean perpendiculares es:
A) 0 B) 4,5 C) Cualquiera D) ninguno
11. De las siguientes unidades correspondientes a magnitudes fundamentales, sólo una es incorrecta,
señálela:
A) gramo B) julio C) kilopondio D) mol
12. Suponiendo la Tierra perfectamente esférica y sin ningún relieve, la rodeamos con un alambre por
una circunferencia máxima. Aumentamos entonces la longitud de tal hilo en 6,28 m y volvemos a
rodear la Tierra con él, de forma que todos sus puntos queden a la misma altura sobre el suelo
¿cuánto valdrá esa altura?
A) inapreciable B) 1 µm C) 1 mm D) 1 m
29
377
4

13. El ángulo que forman dos vectores de igual módulo, si su resultante tiene el mismo módulo que ellos,
es:
A) 30º B) 60º C) 90º D) 120º
14. Si los vectores suma y diferencia de dos vectores son perpendiculares, los vectores son entre sí:
A) de igual módulo B) paralelos C) perpendiculares D) opuestos
15. Indique cuál de los siguientes enunciados referidos al momento de un vector con respecto a un eje es
falso:
A) El valor del momento de un vector respecto a un eje es el mismo cualquiera que sea el punto del
eje que tomemos como centro de momentos.
B) Si el vector y el eje están en el mismo plano, el momento es nulo.
C) Si el vector y el eje están cruzados perpendicularmente, el momento con respecto al eje es igual
al módulo del momento con respecto a cualquier punto del eje.
D) El momento de un vector respecto a un eje es un vector resultante de proyectar sobre dicho eje, el
momento del vector sobre un punto del eje.
16. Dados los vectores a r y b r de componentes respetivas (1,2,3) y (3,2,1), ¿cuáles son las componentes
del vector de módulo unidad que es perpendicular a ambos?
A) (-1,2,-1) B)
1 (-1,2,-1) C)
1 (1,2,1) D)
1 (-1,-2,-1)
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6
6
PROBLEMAS DEL CAPÍTULO
Para los problemas 1 a 42, se dan los siguientes datos:
i) Vectores, por sus componentes cartesianas, a (1,1,1), b (0,-1,1), c (1,0,1), d (1,1,m)
ii) Puntos O (0,0.0), A(1,2,3), B(1,-1,-1), C(2,-1,0), D(4,-1,0)
iii) Funciones: f = xyz; g = 2x 2 y 3 z 2 . h = 2x 2 -y 2 +z; m = 3x 2 y-z 2 + l/y
iv) Vectores: u (x, y, z); v (x 2 , 2yz, 3z 3 ); w (xyz, x 2 +2xz, 3yz)
1. Realizar la operación vectorial a + 2b - 3c.
2. Realizar la operación vectorial 2a - b + 2c.
3. Realizar la operación vectorial a + b - 3c.
4. Hallar el vector unitario en la dirección del vector a.
5. Hallar los cosenos directores del vector b.
6. Hallar el vector unitario en la dirección del vector c.
7. Hallar el valor de m para que los vectores a y d sean perpendiculares.
8. Hallar el valor de m para que los vectores b y d sean perpendiculares.
9. Hallar el valor de m para que los vectores c y d sean perpendiculares.
10. Hallar el ángulo formado por los vectores a y b.
11. Hallar el ángulo formado por los vectores a y c.
12. Hallar el ángulo formado por los vectores b y c.
13. Hallar el producto vectorial r r
a ∧ AB .
14. Calcular el área de paralelogramo determinado por los vectores b y BC.
15. Calcular el área del triángulo formado por c y AC.
16. Hallar la proyección del vector a en la dirección de b.
17. Hallar la proyección del vector b en la dirección perpendicular a OA y OB.
18. Hallar la proyección del vector c en la dirección de a.
19. Hallar un vector unitario perpendicular a a y a b.
20. Hallar un vector de módulo 10 perpendicular a a y a c.
21. Hallar un vector unitario perpendicular a b y a c.
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22. Calcular las componentes de un vector unitario perteneciente al plano determinado por a y b y
perpendicular al vector a - 2b.
23. Calcular las componentes de un vector unitario perpendicular a los vectores a y c-2a.
24. Calcular las componentes de un vector unitario perteneciente al plano determinado por b y c y
perpendicular al vector c - 2b.
25. Hallar el volumen del paralelepípedo formado por OA, b y c.
26. Hallar el momento de b respecto al origen de coordenadas si está aplicado en A.
27. Hallar el momento de BD respecto a C.
28. Hallar el área del triángulo que tiene por vértices O, B y C.
29. Hallar el volumen del paralelepípedo que tiene por artistas OA, OB y OD.
30. Hallar un vector perpendicular al AB y contenido en el plano XY.
31. Hallar el momento de c, aplicado en C respecto a la recta que une A con B.
32. Hallar el momento de AD respecto al eje OX.
33. Hallar el momento respecto al origen de coordenadas del par de vectores cuya dirección coincide con
el eje OZ, cuyo módulo vale 10 y están aplicados en los puntos A y C.
34. Hallar el gradiente de la función f en el punto B.
35. Hallar el gradiente de la función f-g para el punto A.
36. Hallar la dirección de pendiente máxima de la función g en el origen de coordenadas.
37. Hallar la divergencia del gradiente de la función h+m en el punto B.
38. Hallar la divergencia del vector v en el origen de coordenadas.
39. Hallar la divergencia del vector w.
40. Hallar el rotacional de u en C.
41. Hallar el rotacional de w en el origen de coordenadas.
42. Hallar el rotacional de v en D.
43. Se tienen dos fuerzas coplanarias y concurrentes cuyos módulos son 5 y 7 kp, que forman
respectivamente 60° y -30° con el eje OX. Calcular la fuerza resultante, su módulo y el ángulo que
forma con OX.
44. Deseamos volar en un avión a 500 km/h hacia el Este. La velocidad del viento es de 80 km/h. ¿Cuál
debe ser la velocidad y rumbo del avión si el viento sopla hacia el Sur?
45. Se tienen tres fuerzas coplanarias de 6, 3 y 4 kp y que forman con OX, respectivamente, ángulos de
45° , 30° y -60° . Las tres fuerzas son concurrentes. Calcular el módulo de la resultante y el coseno
del ángulo que forma con el eje OX.
46. Un vector forma con los ejes X e Y ángulos de 60° y tiene de módulo 4. Calcular sus componentes y
el ángulo que forma con el eje Z.
47. Demostrar que el vector unitario s, cuyos cosenos directores son cosα = 1/3, cosβ = 2/3 y cosγ > 0, es
perpendicular al t (6,-9,6).
48. Demuéstrese que si la suma y diferencia de dos vectores tienen el mismo módulo, entonces son
perpendiculares.
49. Hallar un vector unitario paralelo a OYZ y perpendicular a v (2, 1 , 3).
50. Si el producto vectorial de dos vectores es a ∧ b = 3i - 6j + 2k y sus módulos son 4 y
7 respectivamente, calcular su producto escalar.
51. Demuéstrese que si p + q + r = 0 , se verifica que p ∧ q = q ∧ r = r ∧ p.
52. Demostrar la identidad de Lagrange (p ∧ q) 2 + (p · q) 2 = p 2 q 2 siendo las potencias siempre escalares.
53. Hallar un vector de módulo 6 perpendicular al plan o en que se encuentran a y b.
54. Las coordenadas del origen de cierto vector son proporcionales a 1, 5 y α, y sus componentes lo son
a 1 , α y β. Además, sus momentos respecto de los ejes coordenados son proporcionales a 1, 2 y 3.
Calcular α y β.
55. Una partícula se mueve a lo largo de la curva cuyas ecuaciones paramétricas son x = 8t 3 ; y = t 3 - 1; z
= 6t; siendo t el tiempo. Hallar las componentes de la velocidad y de la aceleración en t =2 y en la
dirección del eje OX.
56. Dados los vectores a(5,2,3); b(b x ,2,b z ); y c(3,c y ,1), determinar b x , b y y c y para que los tres vectores
sean mutuamente perpendiculares.
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57. La recta de acción del vector s, de módulo 7, pasa por los puntos A(6,0,4) y B(0,12,8). Calcular la
distancia de O a dicha recta de acción usando el momento vectorial.
58. Un vector de módulo 10 y cuyos cosenos directores son proporcionales a 4, 4 y 2 está aplicado en
P(1,0,2). Hallar el momento de dicho vector respecto al punto P' simétrico del P respecto del origen.
59. Tres de los vértices de un paralelogramo ABCD tienen por coordenadas A(2,0,2), B(3,2,0) y D (1,2,-
1). Calcular las coordenadas del vértice C y el área del paralelogramo.
60. Un móvil se desplaza hacia el Este con una velocidad de 10 km/h. Calcular la velocidad con que debe
desplazarse hacia el Nordeste 30° un segundo móvil, sabiendo que continuamente se dirige hacia el
norte con respecto al primero.
61. Tomando como origen de ángulos el semieje positivo de abscisas, hallar la resultante de un
desplazamiento de 20 m y 40° y otro de 100 m y 125°.
62. Calcular las componentes de un vector de módulo 8, está contenido en el plano YZ y forma 30° con
OZ.
63. Demostrar que si tres vectores p, q y r no están contenidos en el mismo plano, ni son paralelos,
entonces de la igualdad xp + yq +zr = 0 se deduce que x = y = z = 0.
64. Escribir las componentes de tres vectores p, q y r de manera que formen un triángulo rectángulo.
65. Dados los vectores (-1,3,4) y (6,0,-3) calcúlese el ángulo que forma su suma con su producto
vectorial.
66. Deducir la ley de los cosenos de un ángulo, por medio del producto escalar.
67. Deducir la ley de los senos de un triángulo por medio del producto vectorial.
68. Dado el vector a = A(cos wt i + sen wt j) donde A y w son constantes y t es la variable escalar
independiente. Calcular el módulo de a y su derivada.
69. Si v es un vector función de un parámetro t demostrar que si v es constante en dirección, entonces v
∧ dv/dt=0.
70. Si v es un vector función de un parámetro t demostrar que si v es constante en módulo, entonces v ·
dv/dt = 0.
71. Calcular la distancia del origen de coordenadas a la recta que pasa por los puntos A(0,0,6) y B(0,3,0).
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