1. EDO (USB)

Ecuaciones Diferenciales "ED" 

De…nición, Clasi…cación y Solución de una ED 

FRANCISCO ARIAS DOMINGUEZ 

Magister en Matemáticas 

UNIVERSIDAD DE SAN BUENAVENTURA 

RANCISCO ARIAS DOMINGUEZ 

Ecuaciones Diferenciales "ED" De…nición, , Magister Clasi…cación en Matemáticas y Solución (UNIVERSIDAD de una EDDE SAN 1 / 29 BUE

MOTIVACIÓN: 

¿Por qué estudiar Ecuaciones Diferenciales? 

¿Qué es una Ecuación Diferencial? 



Fact 

Las ecuaciones diferenciales son una parte muy importante del análisis 

matemático y modelan innumerables procesos de la vida real. Por ejemplo, 

La mayoría de nosotros hemos conducido por alguna carretera durante un 

día soleado, y hemos visto a la distancia una mancha luminosa en el 

camino que se ve como un parche de hielo. Esta mancha se mueve, 

desaparece y reaparece, a medida que conducimos. 

La velocidad de la luz en un medio está dada por v = c/n, donde c es la 

velocidad de la luz en el vacío y n el índice de refracción del medio. Como 

la velocidad de la luz no puede ser mayor que c, el índice de refracción 

siempre satisface n 1. Para el aire frío, la densidad y el índice de 

refracción son mayores, de manera que la velocidad de la luz es más lenta. 

Por otra parte, para el aire caliente, la densidad y el índice de refracción 

son menores, así que la velocidad de la luz es más rápida. Cuando la luz 

viaja entre dos medios con índices de refracción diferentes, se dobla o 

refracta. La siguiente …gura muestra la luz que el aire refracta conforme la 

densidad cambia. 



Fact 

La luz brillante del cielo se refracta a medida que se acerca más al camino, 

de manera que entra en los ojos del conductor como lo ilustra la …gura. De 

hecho, la luz nunca toca el camino; más bien, parece provenir directamente 

de éste como un brillante parche en la distancia. Si y(x) denota la 

ecuación de la trayectoria suguida por la luz, es posible demostrar que y 

satisface la ecuación diferencial de sugundo orden no lineal 

" 

d 2 # 

y dy 2 

dx 2 = 1 dn 

1 + 

dx n dy 

Para resolver la ED necesitamos conocer n(y). 



Fact 

Las ecuaciones diferenciales tienen numerosas aplicaciones a la ciencia y a 

la ingeniería, de modo que los esfuerzos de los cientí…cos se dirigieron en 

un principio, a la búsqueda de métodos de resolución y de expresión de las 

soluciones en forma adecuada. De este modo, los primeros métodos de 

resolución fueron los algebraicos y los numéricos. Los primeros permiten 

expresar la solución en forma exacta, como y = f (x), una función de la 

variable independiente, y los segundos tienen como objetivo calcular 

valores que toma la solución en una serie de puntos. Al conjunto de estos 

valores se lo denomina solución numérica. La estimación de los valores en 

puntos intermedios puede obtenerse por interpolación. La necesidad de 

recurrir a métodos alternativos a los algebraicos obedece a que, con la 

excepción de unos cuantos casos más o menos sencillos, la gran mayoría 

de las ecuaciones diferenciales no puede ser resuelta satisfactoriamente en 

forma exacta. 



Fact 

Por otra parte, la implementación de técnicas numéricas e…cientes requiere 

previamente el estudio cualitativo de las soluciones. Asimismo, los 

métodos numéricos, si bien son e…caces para aportar una solución 

aproximada de algún problema especí…co, no resultan adecuados para la 

discusión global del conjunto de todas las soluciones. Basada 

especialmente en las ideas de Poincaré y Lyapunov se desarrolló la llamada 

teoría cualitativa, que consiste en estudiar las propiedades de las soluciones 

de una ecuación diferencial sin resolverla. Este método permite obtener 

gran cantidad de información acerca de las soluciones, aún sin conocerlas. 

En Colombia las ecuaciones diferenciales constituyen una mínima parte de 

los programas de cálculo en carreras de ingeniería, y su enseñanza se 

limita, en muchos casos, al marco algebraico. Numerosas investigaciones 

ponen de mani…esto que esta manera de enseñarlas no contribuye 

signi…cativamente a la comprensión de estos objetos matemáticos y por 

ende se observa en los estudiantes una falta de motivación para su estudio. 



De…nition 

Una ecuación diferencial es una ecuación que involucra las derivadas de 

una o más variables dependiente con respecto a una o más variables 

independientes. 

Example 

Ecuación Diferencial 

Variable Dependiente 

dy 

ds = s y 2 y = y(s) (1) 

d 2 z 

dt 2 

+ 5t dz 

dt 

8z = 0 z = z(t) (2) 

∂ 3 u 

∂x 3 

5 ∂2 u 

∂x ∂y + ∂u 

∂y = exy u = u(x, y) (3) 

∂ 2 f 

+ ∂2 f 

= cos(x + t) f = f (x, t) (4) 

∂x 2 ∂t 2 

∂ 2 u 

∂x ∂y + ∂2 v 

∂x ∂y = ex 2 +y 2 F = hu(x, y), v(x, y)i (5) 



Notación: 

Notación de 

Leibniz 

Notación Prima de 

Newton 

Notación Punto 

dy 

dx 

y 0 Esta se usa cuando la 

variable independiente 

d 2 y 

dx 2 y 00 es el tiempo t. Es decir: 

d 3 y 

y 000 

dx v = 

dv 

3 dt 

d 4 y 

y (4) 

v = d 2 v 

dx 4 dt 2 

. 

d n y 

dx n 

. 

y (n) 



Las ecuaciones diferenciales se clasi…can de acuerdo a su tipo, orden y 

linealidad. 




linealidad. 

1 Clasi…cación según el tipo: Si la ecuación posee derivadas de una o 

más variables dependientes respecto a una sola variable independiente, 

la ecuación se llama ecuación diferencial ordinaria (EDO). En 

cambio si la ecuación posee derivadas de una o más variables 

dependientes respecto a dos o más variables independientes la ecuación 

se llama ecuación diferencial parcial (EDP). 

Las ecuaciones diferenciales (1) y (2) del ejemplo anterior son EDO, 

mientras que las ecuaciones diferenciales (3), (4) y (5) son EDP. 




linealidad. 

1 Clasi…cación según el tipo: Si la ecuación posee derivadas de una o 

más variables dependientes respecto a una sola variable independiente, 

la ecuación se llama ecuación diferencial ordinaria (EDO). En 

cambio si la ecuación posee derivadas de una o más variables 

dependientes respecto a dos o más variables independientes la ecuación 

se llama ecuación diferencial parcial (EDP). 

Las ecuaciones diferenciales (1) y (2) del ejemplo anterior son EDO, 

mientras que las ecuaciones diferenciales (3), (4) y (5) son EDP. 

2 Clasi…cación según el orden: El orden de una ecuación diferencial lo 

determina el orden de la mayor derivada que aparece en la ecuación. Se 

utiliza para ello números ordinales. 

La ED dada en (1) es de primer orden, las ED’s dada en (2), (4) y (5) 

son de segundo orden, y la EDP dada en (3) es de tercer orden. 



Fact 

Se puede a…rmar en general, que una EDO es una relación entre la variable 

dependiente, la variable independiente y las derivadas de la dependiente 

respecto a la variable independiente. Con símbolos se puede escribir 

F (x, y, y 0 , y 00 , ..., y (n) ) = 0 (1.1) 

La ecuación diferencial (1.1) es ordinaria de n-ésimo orden. La EDO 

ordinaria de primer orden se puede escribir entonces como 

F (x, y, y 0 ) = 0 (1.2) 


Ecuaciones Diferenciales "ED" De…nición, , Magister Clasi…cación en Matemáticas y Solución (UNIVERSIDAD de una EDDE 10 SAN / 29 BUE

Clasi…cación según la linealidad: Se dice que una EDO es lineal, si 

tanto la función desconocida como sus derivadas están elevadas a la 

potencia uno. Por tanto la EDO (1.1) es lineal si F es lineal respecto 

y, y 0 , y 00 , , y (n) . 

La ecuación (1) es no lineal y la (2) es lineal. 






y, y 0 , y 00 , , y (n) . 


1 La EDO lineal de n-ésimo orden, no homogénea, con función 

desconocida y = y(x) es 

a n (x)y (n) + a n 1 (x)y (n 1) + + a 1 (x)y 0 + a 0 (x)y = g(x). (1.3) 

donde los a i (x) i = 0, 1, 2, ..., n y g(x) son funciones de x continuas. 






y, y 0 , y 00 , , y (n) . 






2 La ecuación (1.3) la podemos escribir en su forma Estandar como 

y (n) + p n 1 (x)y (n 1) + + p 1 (x)y 0 + p 0 (x)y = q(x) (1.4) 

donde los p i (x) i = 0, 1, 2, ..., n 1 y q(x) son funciones de x. 






y, y 0 , y 00 , , y (n) . 






2 La ecuación (1.3) la podemos escribir en su forma Estandar como 

y (n) + p n 1 (x)y (n 1) + + p 1 (x)y 0 + p 0 (x)y = q(x) (1.4) 

donde los p i (x) i = 0, 1, 2, ..., n 1 y q(x) son funciones de x. 

3 Si q(x) = 0 la ecuación (1.4) toma la forma 

y (n) + p n 1 (x)y (n 1) + + p 1 (x)y 0 + p 0 (x)y = 0 (1.5) 

Esta última ecuación se llama ecuación diferencial de n-ésimo 

orden, homogénea con función desconocida y = y(x). 



De…nition 

(SOLUCIÓN DE UNA EDO) Una función cualquiera de…nida en un 

intervalo I , n veces derivable, que al sustituirse en una EDO de n-ésimo 

orden, la reduce a una identidad, es una solución de dicha ecuación en I . 

Con símbolos: 

si y solo si 

y = φ(x) es solución de la EDO F (x, y, y 0 , y 00 , ..., y (n) ) = 0 

F (x, φ(x), φ 0 (x), φ 00 (x), ..., φ (n) (x)) 0, para todo x en I . 



Comprobación de una solución: Para comprobar que una función 

dada es la solución de una EDO, se procede a derivar la función las 

veces que sea necesario, y luego se sustituye en la EDO, y esta última 

debe convertirse en una identidad. 

De…nition 

La grá…ca de una solución y = φ(x) de una EDO, se llama curva 

solución. 

De…nition 

No es posible considerar una solución de una ecuación ordinaria sin pensar 

al mismo tiempo en un intervalo de válidez. El intervalo dependerá de la 

ecuación y de la solución. Este intervalo puede ser abierto (a, b), un 

intervalo cerrado [a, b], un intervalo in…nito (a, ∞), etc.. 



Example 

Veri…que que la función y = 6 

primer orden 

x 2 +1 

y 0 = 

es solución de la ecuación diferencial de 

2xy 

x 2 + 1 . 

la grá…ca de la función y = 6 , se puede ver en la siguiente …gura, la 

x 2 +1 

cual tiene válidez en el intervalo ( 

∞, ∞). 



Fact 

La continuidad de una función f garantiza que 

Z 

y 0 = f (x) () y = f (x)dx + C 

siendo C una constante. 



Problem 

Resuelva: y 0 = tan x. 

La ecuación está de…nida en todos los puntos del plano xy, excepto en 

aquellos puntos donde x es un múltiplo de π 2 

. Note que la función del lado 

derecho es continua en los intervalos 

 

I k = (2k 1) π 2 , (2k + 1) π 

, k 2 Z. 

2 



Solution 

Puesto que tan x es continua en I k , al integrar se obtiene la solución 

general de la ecuación diferencial: 

Algunas curvas de solución son: 

y = ln jcos xj + C. 



Example 

xy 0 + y y ln(xy) = 0. 

¿Dominio de de…nición de la ecuación? El Dominio está de…nido 

solamente cuando x y y son ambos positivos o ambos negativos. 











Problem 

I ) Clasi…que la ecuación dada en cada caso como lineal o no lineal. 

Indique el orden de cada una. 

1. (1 t) y 00 4ty + 5y = cos t 2. (sin t) y 000 (cos t) y 0 = 2 

r 

 

3. d 2 2 

y 

= 1 + dy 

dt 2 dt 

4. udv + (v + uv ue u ) du = 0 

5. d 2 y 

dt 2 

+ dy 

dt + t = cos (t + y) 6. sin(uv)u0 e uv u = cos v. 

7. t 5 y (4) t 3 y 00 + 6y = 0 8. 

x (1 

r 

9. d 2 y 

= 1 + 

dx 2 

3 dy 

dx 

 

x 2 

3 ) x + x = 0 

10. d 2 R 

dt 2 = k R 2 , k 2 R. 



Problem 

II ) Compruebe que la función indicada es una solución de la ecuación dada 

y determine el intervalo de válidez. 

1. y 00 6y 0 + 13y = 0, y = e 3t cos 2t. 

2. y 0 Rt 

+ 2ty = 1, y = e t2 

0 

e x 2 dx + c 1 e t2 . 

3. ty 0 2y = 0, y = 

t 2 , si t < 0 

t 2 , si t 0 

. 

4. 1 t 2 x 00 2tx 0 + 2x = 2, x = t tanh 1 (t). 

5. y 00 2ay 0 + (a 2 + b 2 )y = 0, y 1 = e ax cos(bx), y 2 = e ax sin(bx). 

6. x = t 

x p 1 t 2 , x2 + 2 p 1 t 2 = 0. 



Problem 

7. y 0 = y (1 y) , y = ce t 

1+ce t . 

8. t 3 y 000 + 2t 2 y 00 ty 0 + y = 12t 2 , y = c 1 t 1 + c 2 t + c 3 t ln t + 4t 2 . 

9. 2x 0 = x 3 cos t, x = (1 cos t) 1/2 . 

10. y 00 + y = 0, y 1 = sin t; y 2 = cos t. 

11. (1 + tx) x = x 2 , xe tx = c. 

12. x x = te t2 +x , 

1 

2 et2 + e x (x + 1) + c = 0. 

Note que: 

tanh 1 (x) = ln 

p ! 

1 x 2 

1 x 

= 1 1 + x 

2 ln . 

1 x 



Problem 

III ) En cada caso, obtenga los valores de m para los que la función dada 

sea solución de la ecuación asociada. 

i) v 00 5v 0 + 6v = 0, v = e mt . iv) x 2 z 00 z = 0, z = x m . 

ii) y 00 + 10y 0 + 25y = 0, y = e mx . v) x 2 y 00 + 2y 0 = 0, y = x m . 

iii) t 2 u 00 4tu 0 + 6u = 0, u = t m . vi) x 00 + 2x 0 + x = 0, x = e mt . 



Problem 

IV ) Veri…que que la ecuación dada es una solución ímplicita de la ecuación 

diferencial asociada 

a) 2txdt + t 2 x dx = 0; 2t 2 x + x 2 = 1. 

b) dx 

dt 

 

2x 1 

= (x 1)(1 2x); ln 

x 1 = t. 

Problem 

V ) Explique por qué la función de…nida por 

y = 

p 

25 x 2 , si 5 < x < 0 

p 

25 x 2 , si 0 x < 5 

no es solución de la ecuación xy 0 2y = 0 en el intervalo ( 5, 5) . 



Bibliografía: 

| Ecuaciones Diferenciales, AUTORES: Dennis G. Zill - Michael R. 

Cuellen, EDITORIAL: Mc Graw Hill. Tercera edición. 

| Ecuaciones Diferenciales y en Diferencias, AUTORES: 

Fernández-Vásquez-Vegas-EDITORIAL Mc Graw Hill. 

| Cálculo Volumen 2- Autor: Apostol Tom. Editorial Reverté. 

| Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones de modelado, AUTORES: 

Dennis G. Zill, EDITORIAL: Thomson. Sexta edición. 

| Ecuaciones Diferenciales y Problemas con Valores en la Frontera: 

Cómputo y Modelados, AUTORES: C. Henry Edwards – David E. Penney.

1. EDO (USB)

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