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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE HONDURAS<br />
FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS<br />
DEPARTAMENTO DE METODOS CUANTITATIVOS<br />
METODOS CUANTITATIVOS II<br />
PRIMER PARCIAL<br />
Hábitos de estudio necesarios para tener éxito:<br />
1. Mantenga una actitud positiva. Usted puede aprender.<br />
2. Asista a clase y participe. Pregunte cuándo no entienda, pida aclaraciones.<br />
3. Haga los ejercicios asignados diariamente y pregunte lo que no entienda.<br />
4. Aprenda cómo y cuándo usar la calculadora<br />
5. Busque ayuda: su maestro, estudiantes-tutorres, libros, tutorías en internet, etc.<br />
6. Prepárese para los exámenes y repase los ejercicios, volviendo a hacerlos.<br />
RELACIONES y FUNCIONES<br />
En matemáticas, una asociación entre variables que cambian juntas (como el tiempo y la altura) se llama<br />
relación. Una relación asocia los elemento de un conjunto A con elementos de un conjunto B.<br />
Las relaciones pueden representarse de diferentes maneras:<br />
(1) Como un conjunto de pares ordenados<br />
(2) Por medio de una tabla de valores<br />
(3) Por medio de un mapeo<br />
(4) Por medio de una gráfica<br />
(5) Por medio de una fórmula o descripción de cómo se relacionan las dos variables.<br />
X Y<br />
a 5<br />
a 3<br />
b 7<br />
d 4<br />
e 6<br />
El conjunto formado por todas las primeras componentes en la relación se llama Dominio de la relación.<br />
Dominio = {a, b, d, e}<br />
El conjunto formado por todas las segundas componentes en la relación se llama Rango de la relación.<br />
Rango = {3, 4, 5, 6, 7}<br />
Una función es una relación en la que a cada elemento del dominio se le asigna un único elemento del<br />
rango. En un conjunto de pares ordenado o en una tabla de valores, las primeras componentes no se<br />
repiten de un par a otro. En un diagrama de mapeo, no sale más de una flecha de cada valor de la<br />
primera burbuja. En una gráfica, no hay más de un punto sobre ningun valor en el eje horizontal.<br />
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Métodos Cuantitativos II UNAH Ana María Girón<br />
Cuando la gráfica de la función tiene muchos puntos suele aplicarse la prueba de la recta vertical, que<br />
consiste en barrer el plano de la gráfica con una línea vertical (como un scanner). La linea no debería<br />
tocar la gráfica en más de un punto en cualquier parte del plano. Si lo hace, la relación no es una función.<br />
Ejemplos:<br />
La gráfica A representa una función. La gráfica B no representa una función porque la<br />
línea vertical toca dos puntos donde se muestra.<br />
Los conceptos de Dominio y Rango de una función son los mismos que en una relación, ya que una<br />
función es solo un tipo especial de relación. Ejemplo:<br />
F = {(-2, 1), (0, 4), (1, -3), (2, 0), (5, 1)} es una función porque ninguna de las primeras componentes<br />
de los pares ordenados se repite. Dominio = {-2, 0, 1, 2, 5} Rango = {1, 4, -3, 0}<br />
Si se nos dá una función en formato de fórmula, a menos que se especifique lo contrario, se considerará el<br />
dominio como el conjunto de todos los números reales para los cuales pueden realizarse las operaciones<br />
indicadas en la fórmula. Ejemplos:<br />
a. y = 3x + 4<br />
Como las operaciones indicadas (producto y suma) pueden realizarse con todos los números, el<br />
dominio de la función serán todos los números reales. Dom f = R<br />
b. y = 1/x<br />
Como el único problema posible sería tratar de dividir entre cero, el dominio de la función serán<br />
todos los números reales excepto el cero. Dom f = R – {0}<br />
c. y = √x<br />
Como en los números reales no se pueden sacar raices cuadradas a números negativos, exigiremos<br />
que x sea mayor o igual que cero. Dom f = [0, +∞ [<br />
d. y = 1/√x<br />
Debido a la raiz cuadarada, x no puede ser negativo, pero como tambien esta en el denominador,<br />
tampoco puede ser cero. El dominio de la función serán solo los números positivos. Dom f = ] 0, +∞ [<br />
A la variable que representa los elementos del dominio de la función se le denomina variable independiente.<br />
A la variable que representa los elementos del rango de la función se le denomina variable<br />
2
Métodos Cuantitativos II UNAH Ana María Girón<br />
dependiente, porque sus valores se calculan a partir de los valores de primera, dependen de ella.<br />
La notación de función, en la que y = f(x) es una manera de escribir funciónes en la que se da el nombre<br />
de la función (f), la variable independiente (x), la variable dependiente (y) y la fórmula para calcular el<br />
valor de ésta.<br />
f(x) = 2x – 5 tiene la ventaja sobre la notación y = 2x -5, de que cuando se quiere indicar que hay que<br />
evaluar la función –calcular el valor de y—para un determinado valor de x, basta sustituir ese valor en el<br />
paréntesis donde originalmente estaba la x. Asi, “f(3)” es lo mismo que decir “el valor de y cuando x =<br />
3” Para éste ejemplo en particular, f(3) = 2(3) – 5 = 6 – 5 = 1<br />
FUNCIONES LINEALES<br />
Una función de primer grado se denomina función lineal porque su gráfica es siempre una línea recta.<br />
Sabiendo esto y que “dos puntos determinan una recta” solo necesitamos dos puntos y una regla para<br />
poder graficar la función.<br />
Existen tres tipos de formato para funciónes lineales:<br />
Forma General: Ax + By – C = 0 o Ax + By = C<br />
Forma pendiente-intercepto: y = mx + b<br />
Forma pendiente-punto: y- y o = m(x – x o)<br />
La Forma General se usa generalmente para describir una relación lineal entre dos variables en las que<br />
ninguna de las dos depende con más fuerza de la otra o cuando se quiere tener versatilidad en cuanto a<br />
cuál se usara como variable independiente.<br />
Ejemplo: Se venden ramilletes de flores en presentaciones de 3 o 5 flores y hay 72 flores disponibles. Si<br />
x es el número de ramilletes de 3 flores y y es el número de ramilletes de 5 flores, la ecuación 3x + 5y =<br />
72 des-cribe la relación entre ambas variables. Algunas ecuaciones de oferta o demanda se presentan a<br />
veces en este formato. Los valores de A, B y C no representan nada en particular en la grafica de la<br />
funcion.<br />
La forma pendiente-intercepto o “pendiente-ordenada en el origen” se usa muy frecuentemente. En<br />
estas, b generalmente representa un valor inicial o un valor fijo y m representa la tasa de cambio de la<br />
variable dependiente con respecto a la variable independiente.<br />
Ejemplo: en una ecuación de costos C(x) = 75x + 12,000, el intercepto, b, (12,000) representa los costos<br />
fijos y la pendiente (75) representa el costo variable por unidad producida. <strong>Funciones</strong> de costos, ingresos<br />
y utilidad se presentan en este formato. En la gráfica, b es el valor donde la recta cruza el eje y; m<br />
indica la dirección e inclinación de la recta. Más adelante se darán más detalles al respecto.<br />
La forma pendiente-punto suele utilizarse como una forma de transición para colocar los datos de un<br />
problema en la relación apropiada para después convertir la ecuación a una de las formás anteriores. Sin<br />
embargo, es un formato aceptable en sí mismo.<br />
Ejemplo: Por el pago Lps 500 de membresía de un sitio se tiene derecho a 10 visitas sin cargo al mes y se<br />
3
Métodos Cuantitativos II UNAH Ana María Girón<br />
pagan Lps 35 por cada visita adicional. Si x es el número de visitas y y la cantidad pagada, la ecuación,<br />
y – 500 = 35(x – 10) representa la situación para x ≥ 10. En la gráfica, la recta pasa por el punto (x o, y o);<br />
m tiene el mismo significado que en la forma anterior.<br />
Todos los formatos pueden convertirse a la Forma General y a la forma pendiente-intercepto por medio<br />
de manipulaciones algebraicas.<br />
De la Forma General a la forma pendiente-intercepto:<br />
3x + 5y = 12<br />
5y = -3x + 12<br />
y = -3/5 x + 12/5<br />
y = -0.6 x + 2.4<br />
De la forma pendiente-punto a la forma pendiente-intercepto:<br />
y – 500 = 35(x – 10)<br />
y – 500 = 35x – 350<br />
y = 35x – 350 + 500<br />
y = 35x + 150<br />
De la forma pendiente-intercepto a la Forma General:<br />
y = 75x + 12,000<br />
y - 75x = 12,000<br />
-75x + y = 12,000<br />
De la forma pendiente-punto a la Forma General:<br />
y – 500 = 35(x – 10)<br />
y – 500 = 35x – 350<br />
y – 35x = -350 + 500<br />
-35x + y = 150<br />
No suele convertirse de los otros formatos a la forma pendiente-punto.<br />
La Pendiente de una Recta<br />
La pendiente de una recta describe el grado de inclinación de la misma. Si la pendiente es positiva, la<br />
recta va hacia arriba y si la pendiente es negativa, la recta va hacia abajo, cuando nos movemos de<br />
izquierda a derecha. Rectas horizontales tienen pendiente cero.<br />
m > 0 m = 0 m < 0<br />
Las rectas verticales, en realidad no son funciones, y su pendiente no está definida.<br />
4
Métodos Cuantitativos II UNAH Ana María Girón<br />
Si no se presta atención al signo, rectas con pendientes mayores seran más “empinadas” y rectas con<br />
pendientes menores seran más “tendidas”:<br />
m = 2 m = 1 m = 1/6<br />
Para rectas que con pendiente positiva<br />
m = -2 m = -1 m = -1/6<br />
Para rectas que con pendiente negativa<br />
Cálculo de la pendiente de una recta dados dos puntos.<br />
Si la recta está ubicada en el plano cartesiano es posible determinar la pendiente de la recta a través de<br />
cualesquiera dos puntos distintos de la recta, P 1 (x 1,y 1) y P 2 (x 2,y 2).<br />
Podemos expresar la pendiente en términos de las coordenadas de los puntos,<br />
Obsérvese que la pendiente de rectas verticales no esta definida – el denominador sería cero.<br />
5
Métodos Cuantitativos II UNAH Ana María Girón<br />
Ejemplos:<br />
1) Calcule la pendiente de la recta que pasa por los puntos (-1, 8) y (4, -2)<br />
= <br />
= <br />
= −2<br />
() <br />
2) Calcule la pendiente de la recta que pasa por los puntos (-3, 1) y (2, 16)<br />
= <br />
= <br />
= 3<br />
() <br />
3) Calcule la pendiente de la recta que pasa por los puntos (-1, 4) y (2, 4)<br />
=<br />
<br />
= = 0 → la recta es horizontal<br />
() <br />
4) Calcule la pendiente de la recta que pasa por los puntos (2, 1) y (2, 7)<br />
= <br />
= indefinida → la recta es vertical<br />
<br />
Encontrar la Ecuación de una Recta<br />
1) Encontrar la ecuación de la recta con pendiente 5 e intercepto en y, -2.<br />
m = 5, b = -2<br />
= 5 – 2<br />
2) Encontrar la ecuación de la recta con pendiente -3 y que pasa por (0, 7).<br />
Note que el punto (0, 7) es el intercepto en y, asi que m = -3, b= 7<br />
= −3 + 7<br />
3) Encontrar la ecuación de la recta con pendiente 2 y que pasa por (3, 10)<br />
y – 10 = 2 (x – 3)<br />
y – 10 = 2x – 6<br />
y = 2x – 6 + 10<br />
= 2 + 4<br />
4) Encontrar la ecuación de la recta con pendiente -5 y que pasa por (2, 0)<br />
Note que (2,0) no es el intercepto en y, sino en x. Se trabaja como otro punto cualquiera.<br />
y – 0 = -5 (x – 2)<br />
= −5 + 10<br />
5) Encontrar la ecuación de la recta horizontal que pasa por (2,7)<br />
y = 7<br />
6) Encontrar la ecuación de la recta vertical que pasa por (2,7)<br />
x = 2<br />
7) Encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos (-1, 8) y (4, -2)<br />
= <br />
= <br />
= −2<br />
() <br />
Ya que tenemos la pendiente, usamos uno cualquiera de los puntos que nos dieron para encontrar la<br />
ecuación. Da lo mismo cual. Solo use uno, da lo mismo cual. Aquí mostramos el trabajo con cada<br />
uno solo para mostrar que el resultado final es el mismo.<br />
6
Métodos Cuantitativos II UNAH Ana María Girón<br />
y – 8 = -2 (x - (-1)) y - (-2) = -2 (x – 4)<br />
y – 8 = -2 (x + 1) = -2x – 2 y + 2 = -2x + 8<br />
y = -2x – 2 + 8 = −2 + 6<br />
= −2 + 6<br />
EJERCICIOS de PRÁCTICA:<br />
Encuentre la ecuación de la recta con las siguientes características.<br />
1. Pasa por los puntos (3,-7) (1,0)<br />
2. Pasa por los puntos(3,2) (-1,-2)<br />
3. Pasa por los puntos(-4,-1) (1,-1)<br />
4. Pasa por los puntos(-4,5) (-4,8)<br />
5. Pasa por (3,5) con pendiente 3<br />
6. Pasa por (-3,1) con pendiente 1/4<br />
7. Pasa por (4,-3) con pendiente 0<br />
8. Pasa por (0,5) con pendiente indefinida<br />
GRAFICAR FUNCIONES LINEALES<br />
Por medio de tabla de valores<br />
Si la ecuación de la recta esta en forma pendiente-intercepto, resulta fácil crear una tabla de valores de<br />
tres entradas para graficar la linea. En realidad solo necesitamos dos puntos para graficar una linea<br />
recta, pero se calcula el tercero para poder detectar si cometimos algún error en los cálculos --si los tres<br />
puntos resultan no estar alineados, hay que revisar los cálculos. Incluya siempre (0, b) porque no añade<br />
cálculos.<br />
Ejemplo:<br />
Grafique = 3 – 2 usando una tabla de valores<br />
Hacemos los cálculos para tres valores de x. Estos valores son<br />
arbitrarios (usted los escoge a su gusto). Aqui usaremos 0, 2 y 4<br />
x = 0 → y = -2<br />
x = 2 → y = 3 (2) – 2 = 6 – 2 = 4<br />
x = 4 → y = 3 (4) – 2 = 12 – 2 = 10<br />
x y<br />
0 -2<br />
2 4<br />
4 10<br />
Si la ecuación de la recta está en otro formato, deberá convertirla a la forma<br />
pendiente-intercepto antes de usar este método.<br />
Si la pendiente es una fracción, se recomienda utilizar como valores de x múltiplos<br />
del denominador de la misma.<br />
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Métodos Cuantitativos II UNAH Ana María Girón<br />
Ejemplo:<br />
Grafique = – 1 usando una tabla de valores<br />
<br />
Utilizamos múltiplos de 5 (el demominador) como valores de x: -5, 0 y 5<br />
x = -5 → y = <br />
(−5) − 1 = − − 1 = −2 − 1 = −3<br />
<br />
x = 0 → y = (0) − 1 = 0 − 1 = −1<br />
<br />
x = 5 → y = <br />
(5) − 1 = − 1 = 2 − 1 = 1<br />
<br />
x y<br />
-5 -3<br />
0 -1<br />
5 1<br />
EJERCICIOS: Grafique utilizando una tabla de valores de tres lineas.<br />
1. = 2 + 7<br />
2. = − + 5<br />
3. = 3 – 4<br />
4. = – 1 <br />
5. = − + 6 <br />
Utilizando el concepto de pendiente<br />
Este es un procedimiento muy ágil para graficar cuando la ecuación de la recta está en forma pendienteintercepto<br />
o en forma pendiente-punto.<br />
Recuerde que la pendiente representa la tasa de cambio en y con respecto al cambio en x.<br />
=<br />
<br />
<br />
Si tenemos una recta con pendiente 2, la reescribimos como 2/1 y tenemos que el valor de y sube dos<br />
unidades por cada unidad que “avanza” el valor de x, o como -2/(-1) y tenemos que el valor de y baja dos<br />
unidades por cada unidad que “retrocede” el valor de x.<br />
Si la recta tiene pendiente -2, la reescribimos como -2/1 y tenemos que el valor de y baja dos unidades<br />
por cada unidad que “avanza” el valor de x, o como 2/(-1= y tenemos que el valor de y sube dos unidades<br />
por cada unidad que “retrocede” el valor de x.<br />
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Métodos Cuantitativos II UNAH Ana María Girón<br />
Pero ya sea para subir o bajar en y, avanzar o retroceder en x, necesitamos un punto de partida, y ese es<br />
el intercepto en y cuando la función está en forma pendiente-intercepto.<br />
2 unidades<br />
1 unidad<br />
2 unidades<br />
1 unidad<br />
y= 2x + 3 y= -2x + 5<br />
Si la pendiente fuera una fraccion, como 2/3, no necesitamos reescribirla. El valor de y sube dos<br />
unidades por cada tres unidades que “avanza” el valor de x, o como -2/-3 y tenemos que el valor de y baja<br />
dos unidades por cada tres unidades que “retrocede” el valor de x.<br />
2 unidades<br />
3 unidades<br />
y = 2/3 x + 3<br />
Para más ayuda, puede ver el tutorial https://www.youtube.com/watch?v=YLLiiB-KWK4<br />
Si la ecuación de la recta estuviera en forma pendiente-punto, el procedimiento es el mismo, pero en<br />
lugar de arrancar del intercepto en y, se arranca desde el punto (x o, y o). Ejemplo: y + 1 = 3 (x – 2)<br />
punto: (2, -1)<br />
pendiente: 3 = 3/1<br />
(el punto negro)<br />
1 unidad<br />
3 unidades<br />
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Métodos Cuantitativos II UNAH Ana María Girón<br />
Este método resulta muy ágil para graficar la mayor parte de las ecuaciones que se encuentran en los<br />
textos de álgebra, donde los coeficientes (pendiente e intercepto en y) son valores de magnitudes<br />
similares. En problemas de aplicación, sin embargo, los coeficientes toman valores difíciles de manejar<br />
en la misma escala y el método que sigue resulta más práctico.<br />
EJERCICIOS: Grafique directamente sobre papel cuadriculado<br />
1. = 2 + 1<br />
6. + 2 = 3( – 1)<br />
2. = −3 + 5<br />
7. – 3 = −2 ( – 4)<br />
3. = 4 – 3<br />
8. + 4 = 5( + 1)<br />
4. = – 4<br />
9. + 1 = 2 ( – 3)<br />
<br />
5. = − + 7 10. – 5 = −4 ( + 3)<br />
<br />
Por medio de interceptos en los ejes<br />
Los interceptos en los ejes son los puntos donde la linea cruza los ejes x e y. Se encuentran calculando el<br />
valor de y cuando x = 0, y el valor de x cuando y = 0<br />
Ambos se obtienen muy fácilmente a partir de ecuaciones en Forma General y con un poco más de<br />
trabajo en los otros formatos.<br />
Ecuación de la recta: 3x + 5y = 12<br />
si x= 0 3 (0) + 5y = 12<br />
5y = 12<br />
y = 12/5 = 2.4<br />
x y<br />
0 2.4<br />
4 0<br />
si y= 0 3x + 5(0) = 12<br />
3x = 12<br />
x = 12/3 = 4<br />
Ecuación de la recta: y – 10 = 3 (x – 2)<br />
si x=0 y – 10 = 3 (0 – 2)<br />
y – 10 = 3 (-2)<br />
y – 10 = -6<br />
y = -6 + 10 = 4<br />
si y = 0 0 – 10 = 3(x – 2)<br />
-10 = 3x – 6<br />
3x – 6 = -10<br />
3x = -10 + 6<br />
3x = -4<br />
x = -4/3 = -1.333<br />
x y<br />
0 4<br />
-1.333 0<br />
10
Métodos Cuantitativos II UNAH Ana María Girón<br />
Ecuación de la recta: y = 3x + 2<br />
si x= 0 y = 3 (0) + 2<br />
y = 2<br />
si y = 0 0 = 3x + 2<br />
3x + 2 = 0<br />
3x = -2<br />
x = -2/3 = -0.666<br />
x y<br />
0 2<br />
-0.666 0<br />
Cuando al calcular el primer intercepto este resulta ser (0,0), no se puede graficar con solo los<br />
interceptos, porque los dos resultan ser el mismo punto. Habrá que conseguir algun otro punto,<br />
sustituyendo x por el valor que querramos, que no sea cero.<br />
Ecuación de la recta: 3x – 5y = 0<br />
Si x = 0 3(0) – 5y = 0<br />
5y = 0<br />
y = 0<br />
Si x = 5 3(5) – 5y = 0<br />
15 – 5y = 0<br />
-5y = -15<br />
y = -15/(-5)<br />
y = 3<br />
x y<br />
0 0<br />
5 3<br />
Ecuación de la recta: y = -2x<br />
Si x = 0 y = -2(0) = 0<br />
Si x = 3 y = -2(3) = -6<br />
x y<br />
0 0<br />
3 -6<br />
EJERCICIOS: Grafique utilizando interceptos<br />
1. 2 – 3 = 9<br />
2. 4 + 3 = 6<br />
3. −2 + = 5<br />
4. −3 – 4 = 12<br />
5. 5 – 3 = 15<br />
6. = 2 + 1<br />
7. = −3 + 5<br />
8. = 4 – 3<br />
9. = – 4 <br />
10. = − + 7 <br />
11. + 2 = 3( – 1)<br />
12. – 3 = −2 ( – 4)<br />
13. + 4 = 5( + 1)<br />
14. + 1 = 2 ( – 3)<br />
15. – 5 = −4 ( + 3)<br />
11
Métodos Cuantitativos II UNAH Ana María Girón<br />
EJERCICIOS de PRÁCTICA:<br />
Grafique la recta con las siguientes características.<br />
1. Pasa por los puntos (3,-7) (1,0)<br />
2. Pasa por los puntos(3,2) (-1,-2)<br />
3. Pasa por los puntos(-4,-1) (1,-1)<br />
4. Pasa por los puntos(-4,5) (-4,8)<br />
5. Pasa por (3,5) con pendiente 3<br />
6. Pasa por (-3,1) con pendiente 1/4<br />
7. Pasa por (4,-3) con pendiente 0<br />
8. Pasa por (0,5) con pendiente indefinida<br />
Grafique las siguientes funciónes lineales, usando el método que más le convenga en cada caso<br />
1. 12 − 4 = 15<br />
2. 3 + 2 = 12<br />
3. + = −5<br />
4. −2 – 4 = 0<br />
5. −3 + = 0<br />
6. = 3 – 2<br />
7. = −4 + 9<br />
8. 3 + 6 = 0<br />
APLICACIONES DE LAS FUNCIONES LINEALES<br />
A continuación se presentan ejemplos de ejercicios de aplicación de ecuaciones lineales en ciencias<br />
economicas.<br />
1) Un departamento de policía estima que el costo total C de tener y operar de una patrulla se puede<br />
describir con la ecuación lineal C = 0.40 x + 18,000 donde C es el costo total, en dolares, y x es el<br />
número de millas conducidas.<br />
a) Trace la gráfica del costo contra el números de millas conducidas.<br />
x y<br />
0 18,000<br />
10,000 22,000<br />
x = 10,000<br />
y = 0.40 (10,000) + 18,000<br />
= 4,000 + 18,000<br />
= 22,000<br />
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Métodos Cuantitativos II UNAH Ana María Girón<br />
b) Calcule el costo total de recorrer 12,000 millas<br />
C = 0.40 (12,000) + 18,000<br />
= 4,800 + 18,000<br />
= 22,800<br />
El costo total de recorrer 12,000 millas es de $22,800<br />
c) Estime el número de millas que se tendrán que recorrer para que el costo llegue a $ 25,000<br />
0.40 x + 18,000 = 25,000<br />
0.40 x = 25,000 – 18,000<br />
0.40 x = 7,000<br />
x = 7,000/0.40 = 17,500<br />
Se tendrán que recorrer 17,500 millas<br />
2) Suponga que la demanda por semana de un producto es de 100 unidades, cuando el precio es de $58<br />
por unidad, y de 200 unidades a un precio de $50 cada una.<br />
a) Determine la ecuación de demanda, suponiendo que es lineal.<br />
En la ecuación de la demanda x, el números de unidades vendidas es función del precio.<br />
Los pares ordenados deben escibirse (precio, número de unidades): (58, 100) y (50, 200)<br />
m = (200 – 100)/ (50 – 58) = 100/ (-8) = -12.5<br />
x – 200 = -12.5 (p – 50)<br />
x – 200 = -12.5 p + 625<br />
x = -12.5 p + 625 + 200<br />
x = -12.5 p + 825<br />
b) Determine la demanda cuando el precio es de $45<br />
x = -12.5 (45) + 825 ≈ 262<br />
La demanda es de 262 unidades semanales.<br />
c) Determine el precio que se cobrará si la demanda es de 240 unidades.<br />
-12.5 p + 825 = 240<br />
-12.5 p = 240 – 825 = -585<br />
p = -585/(-12.5) = 46.80<br />
Si el precio fuera de $46.80 por unidad, se esperaria una demanda de 240 unidades.<br />
3) Un fabricante tiene costos fijos de 1,000 y más un costo de $3 por unidad producida. El producto se<br />
vende a $ 5.20 por unidad.<br />
a) Determine la ecuación de costo total.<br />
C(x) = 3x + 1,000<br />
b) Determine la ecuación de ingreso.<br />
I(x) = 5.2 x<br />
c) Determine la ecuación de utilidad.<br />
P(x) = I(x) – C(x) = 5.2 x – (3x + 1,000) = 2.2 x – 1,000<br />
13
Métodos Cuantitativos II UNAH Ana María Girón<br />
d) ¿Cuál es el costo de producir 2,000 unidades?<br />
C(2,000) = 3(2,000) + 1,000 = 6,000 + 1,000 = 7,000<br />
El costo de producir 2,000 unidades es de $7,000<br />
e) ¿Cuál es la utilidad de vender 2,000 unidades?<br />
P(2,000) = 2.2 (2,000) -1,000 = 4,400 – 1,000 = 3,400<br />
Habria una ganancia de $3,400<br />
f) Encuentre el punto de equilibrio: P(x) = 0<br />
2.2x – 1,000 = 0<br />
2.2 x = 1,000<br />
x = 1,000/2.2<br />
x = 454.55<br />
Para llegar al punto de equilibrio habría que producir y vender 455 unidades del producto.<br />
4) Suponga que el costo de producir 10 unidades de un producto es $40 y el costo de 20 unidades es<br />
$70. Si el costo, C, está relacionado de manera lineal con la producción, x, determine el costo de<br />
producir 35 unidades.<br />
Tenemos los puntos (10, 40) y (20, 70) y debemos determinar la ecuación de costo total:<br />
m = (70-40)/(20-10) = 30/10 = 3<br />
C – 40 = 3(x – 10)<br />
C = 3x -30 + 40<br />
C = 3x +10<br />
Ahora podemos usar esta ecuación para calcular el costo de producir 35 unidades:<br />
C(35) = 3 (35) +10 = 105 + 10 = 115<br />
El costo de producir 35 unidades es de $115.<br />
EJERCICIOS de PRÁCTICA:<br />
1. La ganancia de un fabricante de bicicletas se puede aproximar mediante la ecuación P = 60 x + 90,000<br />
donde x es el número de bicicletas fabricadas y vendidas.<br />
a) Trace una gráfica de las ganancias contra con el número de bicicletas vendidas (hasta 5000<br />
bicicletas).<br />
b) Estime el número de bicicletas que deben venderse para que la compañía recupere sus gastos.<br />
c) Calcule el número de bicicletas que deben venderse para que la compañía obtenga una utilidad de<br />
US$150,000<br />
2. El costo semanal de operación de un taxi es de $75.00 más 15 centavos por kilometro recorrido.<br />
a) Escriba una ecuación que exprese el costo semanal C en términos de los kilómetros k.<br />
b) Trace una gráfica que muestre el costo semanal contra el número de kilómetros conducidos por<br />
semana.(hasta 200 km).<br />
c) Calcule el costo semanal si Juan recorre 150 kilómetros.<br />
d) Calcule los kilómetros de recorrido efectuado por Juan si el costo fué de $135.00<br />
14
Métodos Cuantitativos II UNAH Ana María Girón<br />
3. El salario semanal de Pedro es de $200 más 10% de comisión sobre ventas semanales.<br />
a) Plantée una ecuación.<br />
b) Trace una gráfica del salario semanal comparado con las ventas semanales.<br />
c) ¿Cuál es el salario de Pedro si sus ventas fueron de $20,000?<br />
d) Si su salario a la semana es de $1,200 ¿Cuánto fueron sus ventas?<br />
4. El costo variable de fabricar una mesa es de L 9.00 por mesa y los costos fijos son L 200.00 al día.<br />
a) Determinar el costo total “y” de fabricar “x” mesas al día.<br />
b) ¿Cuál es el costo de fabricar 150 mesas al día?<br />
5. El costo variable de fabricar una mesa es de L 15.00 y los costos fijos son L 25,000 al mes. Cada mesa se<br />
vende a L 150.<br />
a) Determinar la ecuación de costo total.<br />
b) Determinar la ecuación de ingreso.<br />
c) Determinar la ecuación de utilidad.<br />
d) ¿Cuál es el costo de fabricar 150 mesas al mes?<br />
e) ¿Cuál es el ingreso de fabricar 150 mesas al mes?<br />
f) ¿Cuál es la utilidad de fabricar 150 mesas al mes?<br />
g) Encuentre el punto de equilibrio.<br />
h) Grafique en un mismo plano cartesiano las ecuaciones de ingreso y costo total.<br />
6. La demanda mensual de reproductores de DVD es una función lineal del precio p, para $150 ≤ p ≤<br />
$400. Si el precio es $200, entonces se venderán 50 reproductores por mes. Si el precio es $300 solo<br />
se venderán 30 reproductores.<br />
a) Determine la ecuación de demanda.<br />
b) Determine la demanda cuando el precio es $260.<br />
c) Determine el precio que se cobra si la demanda es de 45 reproductores.<br />
7. Un fabricante de detergente encuentra que las ventas son de 10,000 paquetes a la semana cuando el<br />
precio es de L 1.20 por paquete, pero que las ventas se incrementan en 2,000 paquetes cuando el<br />
precio se reduce a L 1.10 por paquete. Determine la función de la demanda, suponiendo que es<br />
lineal.<br />
8. El ingreso, I, de una obra de teatro es una función lineal del número de boletos vendidos, t. Cuando se<br />
venden 80 boletos el ingreso es de $1000. Cuando se venden 200 boletos el ingreso es de $2500.<br />
a) Utilice estos datos para escribir la ecuación.<br />
b) Determine el ingreso si se vendieron 120 boletos.<br />
c) Si el ingreso fue de $2200, ¿ cuantos boletos se vendieron?<br />
9. Una compañía que repara copiadoras cobra por servicio una cantidad fija más una tarifa por hora. Si<br />
un cliente tiene una factura de L 150.00 por un servicio de una hora y L 280.00 por un servicio de tres<br />
horas, determine la función lineal que describa el precio del servicio en donde x es el número de horas<br />
de servicio. Grafique.<br />
10. Un fabricante de zapatos colocará en el mercado 50,000 pares de zapatos cuando el precio es de $35<br />
el par y 35,000 pares de zapatos cuando el precio es de $30. Determine la ecuación de la oferta.<br />
15
Métodos Cuantitativos II UNAH Ana María Girón<br />
11. La demanda semanal de televisores es 1200 unidades cuando el precio es de $575 cada uno, y 800<br />
unidades cuando el precio es de $725 cada uno.<br />
a) Determine la ecuación de demanda para los televisores, suponiendo un comportamiento lineal.<br />
b) ¿Cuántos televisores se venden si el precio es de $800?<br />
c) ¿A que precio deben vender los televisores si se desea vender 1500 de ellos?<br />
d) Haga la gráfica.<br />
12. El costo de un boleto de autobús en Tegucigalpa depende de la distancia viajada. Un recorrido de 2<br />
millas cuesta L 4, mientras que un recorrido de 6 millas cuesta L 6.<br />
a) Escriba una ecuación que represente el costo de boleto de autobús.<br />
b) Si un cliente pagó L 7, ¿Cuántas millas recorrió?<br />
c) Haga la gráfica.<br />
13. El salario semanal de Juan está compuesto por un salario base más una comisión por sus ventas<br />
realizadas. En la primera semana, su salario semanal fue de $650 cuando vendió $1000. En la<br />
segunda semana, su salario semanal fue de $875 cuando vendió $2500<br />
a) Encuentre la ecuació n que represente el salario semanal de Juan. (Las ventas representan la<br />
variable ẍ ̈ y el salario semanal la variable ÿ)<br />
b) Si Juan vendió $4000 en la semana, ¿cuánto fue su salario semanal?<br />
c) Si el salario semanal de Juan es de $777.50, ¿cuánto vendió en esta semana?<br />
d) ¿Cuál es el salario base que recibe Juan?<br />
14. El costo fijo de una compañía es de L 150. Cuando se fabrican 200 unidades, el costo total es de<br />
L 1950.<br />
a) Determine el costo variable.<br />
b) Determine la ecuación de costo total<br />
c) Determine el número de unidades que debe fabricar para que el costo total sea de L 6900<br />
d) Determine el costo total si se fabrican 450 unidades<br />
15. Una compañía vende cada articulo a L 5. Cuando fabrica 500 unidades el costo total es de L 1250, y<br />
cuando fabrica 750 unidades el costo total es de L1750<br />
a) Determine la función que describa la utilidad de la compañía.<br />
b) Si la compañía desea una utilidad de L 2,000 ¿cuántas unidades debe vender?<br />
c) Determine la utilidad si se venden 350 unidades.<br />
16. Una compañía vende 2,000 unidades y su utilidad es de $10,000; cuando vende 2,250 unidades, su<br />
utilidad es de $15,000.<br />
a) Encuentre la ecuación de utilidad suponiendo que es lineal.<br />
b) Determine la utilidad si se venden 3,200 unidades.<br />
c) Si la compañía tiene una utilidad de $23,000, ¿cuántas unidades vendió?<br />
d) Encuentre la cantidad de unidades que debe vender para que la compañía no sufra perdida.<br />
17. El salario semanal de Juan está compuesto por un salario base más una comisión por sus ventas<br />
realizadas. En la primera semana, cuando vendió $1000, su salario semanal fue de $770. En la<br />
siguiente semana,cuando vendió $2500, su salario semanal fue de $950.<br />
a) Encuentre la ecuación que represente el salario semanal de Juan. Las ventas representan la<br />
variable x y el salario semanal la variable y.<br />
b) Si Juan vendió $4000 en una semana, ¿cuánto fue su salario semanal?<br />
16
Métodos Cuantitativos II UNAH Ana María Girón<br />
c) Si el salario semanal de Juan fue de $860, ¿cuánto vendió en esa semana?<br />
d) ¿Cuál es el salario base que recibe Juan?<br />
18. Un fabricante encuentra que las ventas son de 1,000 unidades a la semana cuando el precio es de L 10<br />
por unidad, pero que las ventas fueron de 900 unidades cuando el precio fue de L 15 por unidad.<br />
Determine la ecuación de la demanda.<br />
19. Un fabricante de DVD tiene costos mensuales fijos de $6,600 y costos variables de $35 por unidad. La<br />
compañía vende cada DVD a $60.<br />
a) Escriba la función de costo total.<br />
b) Escriba la función de ingreso.<br />
c) Escriba la función de utilidad.<br />
d) Encuentre el ingreso si se venden 200 unidades.<br />
e) Encuentre la utilidad o pérdida si se venden 250 unidades.<br />
20. Una compañía tiene costos fijos de $40,000 y el costo variable es de $400 por artículo. Los artículos se<br />
venden a $600 cada uno.<br />
a) Determine la función que describa la utilidad de la compañía.<br />
b) Si se desea una utilidad de $ 60,000 ¿ cuantas unidades debe vender?<br />
c) Encuentre la cantidad de unidades que se deben vender para que la compañía no tenga ganancias<br />
ni perdidas.<br />
21. Una compañía vende cada articulo a L 35. Cuando fabrica 250 unidades el costo total es de L 8000, y<br />
cuando fabrica 380 unidades el costo total es de L9560<br />
a) Determine la función que describa la utilidad de la compañía.<br />
b) Si la compañía desea una utilidad de L 2,000 ¿cuántas unidades debe vender?<br />
c) Determine el costo total si se venden 500 unidades.<br />
d) Determine la utilidad si se venden 500 unidades<br />
22. Una imprenta cobra una cantidad fija de L 80 más un cargo adicional de L 0.05 por copia. Por ejemplo<br />
por 500 copias cobra L 105 y por 700 copias cobra L 115.<br />
a) Determine la función que describa el costo de impresión.<br />
b) Encuentre el costo de 1000 copias.<br />
c) Haga la gráfica de la función de costo de impresión (de 500 copias en adelante)<br />
23. Una compañía tiene costos fijos de L 300 y el costo variable es de L 0.75 por artículo. Los artículos se<br />
venden a L 1.00 cada uno.<br />
a) Determine la función que describa la utilidad de la compañía.<br />
b) Si la compañía desea una utilidad de L 1,950 ¿cuántas unidades debe vender?<br />
c) Encuentre la cantidad de unidades que debe vender para que la compañía no tenga ganancias ni<br />
perdidas.<br />
17
Métodos Cuantitativos II UNAH Ana María Girón<br />
FUNCIÓN CUADRÁTICA<br />
Una función cuadrática, o de segundo grado, puede escribirse de la forma = 2 + + ,<br />
con a, b, c números reales y a ≠ 0. Su Dominio son todos los números reales.<br />
La forma de la gráfica de una función cuadrática se llama parábola. Tiene un punto mínimo o máximo,<br />
donde la curva cambia de direccion y “se regresa”. Este punto recibe el nombre de vértice. Las dos<br />
secciones de la gráfica, a la izquierda y derecha del vértice se conocen como ramás de la parábola.<br />
La parábola es simetrica respecto a la linea vertical que pasa por su vértice. Esta linea no es parte de la<br />
parábola, pero a veces se traza porque ayuda a crear la gráfica con mayor nitidez.<br />
La parábola “se abre” hacia arriba si a > 0 y hacia abajo si a < 0. Las ramás de las parábolas se acercan<br />
más entre si y al eje de simetria a medida que el valor absoluto de a aumenta. A medida que el valor<br />
absoluto de a disminuye, las ramás de la parábola se apartan mas, y se acercan a la linea horizontal que<br />
pasa por el vértice.<br />
La forma particular y dirección de una parábola está determinada exclusivamente por a, su magnitud y<br />
su signo. Los coeficientes b y c solo contribuyen a determinar la ubicacion de la parábola en el plano<br />
cartesiano.<br />
Otros puntos de interés en una parábola son: su intercepto con el eje y, que esta ubicado en (0, c); y su(s)<br />
interceptos con el eje x. Una parábola puede no tener interceptos en x, tener uno solo y hasta dos.<br />
Dos interceptos en x Un intercepto en x No intercepto en x<br />
18
Métodos Cuantitativos II UNAH Ana María Girón<br />
El Vértice de la Parábola<br />
El valor de x del vértice de la parábola y = ax 2 + bx + c se obtiene por medio de la formula x = -b/(2a) y<br />
el valor de y se obtiene al evaluar este valor de x en la función.<br />
Ejemplos:<br />
1) = 2 + 6 + 4<br />
= <br />
() y = (-3)2 + 6(-3) + 4 = 9 – 18 + 4 = -5 vértice: (-3. -5)<br />
2) = 2 − 4 + 5<br />
<br />
= () y = 22 – 4(2) + 5 = 4 – 8 + 5 = 1 vértice: (2, 1)<br />
3) = 2 2 − 16 + 35<br />
= <br />
() y = 2(4)2 – 16(4) + 35 = 32 – 64 + 35 = 3 vértice: (4. 3)<br />
4) = − 2 + 2 + 3<br />
<br />
= () y = -(1)2 + 2(1) + 3 = -1 + 2 + 3 = 4 vértice: (1. 4)<br />
Rango de la Función<br />
El Rango de la función cuadrática con a > 0 son todos los numeros reales mayores o iguales que el y del<br />
vértice. Si a < 0, son todos los números menores o iguales que el y del vértice.<br />
Ejemplos:<br />
1) = 2 + 6 + 4 a = 1, vértice (-3, -5) Rango: [-5, +∞ [<br />
2) = 2 − 4 + 5 a = 1, vértice (2, 1) Rango: [1, +∞ [<br />
3) = 2 2 − 16 + 35 a = 2, vértice (4, 3) Rango: [3, +∞ [<br />
4) = − 2 + 2 + 3 a = -1, vértice (1, 4) Rango: ]-∞, 4]<br />
Interceptos en x:<br />
Mostramos anteriormente que una parábola podria tener como máximo dos interceptos en x y como<br />
mínimo, ninguno. La expresion ∆ = b 2 – 4ac recibe el nombre de discriminante y nos permite determinar<br />
el números de interceptos en x de nuestra función:<br />
Si b 2 – 4ac > 0, la gráfica tiene dos interceptos en x.<br />
Si b 2 – 4ac = 0, la gráfica tiene un solo intercepto en x, que resulta ser su vértice.<br />
Si b 2 – 4ac < 0, la gráfica no tiene interceptos en x.<br />
Los interceptos en sí se obtienen usando la siguiente formula:<br />
Note que la expresion dentro de la raiz cuadrada es el discriminante. Hay que ser cuidadoso al utilizar<br />
19
Métodos Cuantitativos II UNAH Ana María Girón<br />
esta formula porque es común cometer errores de signos o en el orden de operaciones. Recomiendo<br />
calcular el discriminante primero y luego los interceptos así.<br />
Ejemplos:<br />
=<br />
− ± √Δ<br />
2<br />
1) = + + a = 1, b = 6, c = 4<br />
∆ = b 2 – 4ac = 6 2 – 4(1)(4) = 36 -16 = 20<br />
20 > 0 → la parábola tiene dos interceptos en x<br />
=<br />
−6 ± √20<br />
2(1)<br />
=<br />
−6 ± 4.47<br />
2<br />
=<br />
−6 + 4.47<br />
2<br />
−6 − 4.47<br />
2<br />
= −1.53<br />
2<br />
= −10.47<br />
2<br />
= −0.765<br />
= −5.235<br />
2) = − + a = 1, b = -4, c = 5<br />
∆ = b 2 – 4ac = (-4) 2 – 4(1)(5) = 16 -20 = -4<br />
-4 < 0 → la parábola no tiene interceptos en x<br />
3) = − + a = 2, b = -16, c = 35<br />
∆ = b 2 – 4ac = (-16) 2 – 4(2)(35) = 256 - 280 = -24<br />
→ la parábola no tiene interceptos en x<br />
4) = − + + a = -1, b = 2, c = 3<br />
∆ = b 2 – 4ac = 2 2 – 4(-1)(3) = 4 +12 = 16<br />
16 > 0 → la parábola tiene dos interceptos en x<br />
=<br />
−2 ± √16<br />
2(−1)<br />
= −2 ± 4<br />
−2<br />
=<br />
−2 + 4<br />
−2<br />
−2 − 4<br />
−2<br />
= 2 −2 = −1<br />
= −6<br />
−2 = 3<br />
GRÁFICAS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS<br />
Graficar utilizando Tablas de Valores:<br />
Una función cuadrática puede graficarse creando una tabla de valores, pero antes de escoger los valores<br />
de x a usar hay que ubicar el vértice, para hacer la tabla centrada en el mismo y que podamos captar bien<br />
la forma de la parábola.<br />
Se crea una tabla de valores centrada en el vértice para aprovechar la simetría y obtener más puntos con<br />
menos calculos. No nos alejamos mucho del vértice porque los valores de y crecerán mucho y serán<br />
dificiles de manejar.<br />
20
Métodos Cuantitativos II UNAH Ana María Girón<br />
y = x 2 + 6x + 4 y = x 2 - 4x + 5 y = 2x 2 - 16x + 35 y = -x 2 + 2x + 3<br />
x y<br />
-5 -1<br />
-4 -4<br />
-3 -5<br />
-2 -4<br />
-1 -1<br />
x y<br />
0 5<br />
1 2<br />
2 1<br />
3 2<br />
4 5<br />
x y<br />
2 11<br />
3 5<br />
4 3<br />
5 5<br />
6 11<br />
x y<br />
-1 0<br />
0 3<br />
1 4<br />
2 3<br />
3 0<br />
Crear tablas de valores, no importa que sean de pocas entradas, resulta tedioso y no necesariamente se<br />
captan bien puntos de importancia práctica como los interceptos. Los coeficientes y valores en la vida<br />
real pueden no ser tan amigables como los de los ejemplos desarrollados aqui.<br />
Graficar utilizando el Vértice y los Interceptos con los Ejes.<br />
Se pueden obtener buenas gráficas utilizando solamente el vértice y los interceptos, aprovechando la<br />
simetria de la parábola. Ya vimos como se encuentra el vértice (x = -b/(2a) …), el intercepto en y (0,c) y<br />
los interceptos en x, si existen. Se ubican dichos puntos en el plano cartesiano y se ubica tambien el<br />
punto que corresponde al Iy al otro lado del eje de simetria.<br />
Ejemplos:<br />
y = x 2 + 6x + 4<br />
vértice: (-3, -5)<br />
Iy: (0, 4)<br />
Ix: (-0.77, 0) y (-5.23, 0)<br />
21
Métodos Cuantitativos II UNAH Ana María Girón<br />
y = x 2 - 4x + 5<br />
vértice: (2, 1)<br />
Iy: (0, 5)<br />
Ix: no tiene<br />
Como no hay Ix, se trabaja con solo tres puntos.<br />
Es indispensable ubicar el punto que hace pareja<br />
con el Iy, al otro lado del eje de simetría.<br />
EJERCICIOS de PRÁCTICA:<br />
Grafique las siguientes funciónes y encuentre su Dominio y Rango.<br />
1. () = 3( − 2)(1 − )<br />
8. () = − 2 − 2<br />
2. () = −3 2 − 4<br />
9. () = 3 2 − 8 + 2<br />
3. () = 2 − 4<br />
10. () = <br />
4. () = 2 2 − 25<br />
+ 6 + 9<br />
11. () = −( + 10) <br />
5. () = 2 − 8<br />
12. () = <br />
6. () = 2 + <br />
+ 2 <br />
2 + − 1<br />
13. () = 2 2 − 6 + 4<br />
7. () = 2 + − 1 14. () = 2 + 8<br />
ECUACIONES CUADRÁTICAS<br />
Una ecuación de la forma ax 2 + bx + c = 0 se resuelve por factorización o utilizando la fórmula general<br />
Si la ecuación tiene la forma ax 2 + bx + r = s, primero debe reescribirse para que sea igual a cero y hasta<br />
entonces veremos cuál es el valor de c en la fórmula. Ejemplo:<br />
Resolver x 2 - 4x + 5 = 7<br />
La ecuación debe re-escribirse x 2 - 4x + 5 – 7 = 0<br />
x 2 - 4x – 2 = 0<br />
Es en esta ecuación, igualada a cero que se determina que a = 1, b = -4 y c = -2 y ahora se sustituyen<br />
estos valores en la fórmula para encontrar la(s) soluciones de la ecuación, si es que la(s) tiene.<br />
∆ = b 2 – 4ac = (-4) 2 – 4(1)(– 2) = 16 +8 = 24<br />
→ la ecuació n tiene dos soluciones<br />
22
Métodos Cuantitativos II UNAH Ana María Girón<br />
= 4 ± √24<br />
2(1)<br />
= 4 ± 4.9<br />
2<br />
=<br />
4 + 4.9<br />
2<br />
4 − 4.9<br />
2<br />
= 8.9<br />
2 = 4.45<br />
= −0.9<br />
2 = −0.45<br />
APLICACIONES DE LAS FUNCIONES CUADRÁTICAS<br />
En las aplicaciones de las funciones cuadráticas la función ya nos es dada o se obtiene facilmente.<br />
Desde el punto de vista matemático, hay cuatro tipos de ejercicios:<br />
1. Se nos pide averiguar cuál es el valor de la función para un determinado valor de la variable<br />
independiente. Es decir, encuentre f(m). Evalúe.<br />
2. Se nos pide averiguar qué valor de la variable independiente produciría un valor dado de la<br />
variable dependiente. Es decir, resuelva f(x) = n. Aplique la fórmula general.<br />
3. Se nos pide averiguar qué valor de la variable independiente maximizaría (o minimizaría) el valor<br />
de la variable dependiente. Es decir, encuentre el valor de x del vértice.<br />
4. Se nos pide averiguar cuál es el valor máximo (o mínimo) de la variable dependiente. Es decir,<br />
encuentre el valor de y del vértice.<br />
Lo primero que debemos determinar, leyendo cuidadosamente el ejercicio, es cuál de estos tipos de<br />
preguntas se nos plantea, para que no hagamos cálculos innecesarios o que no nos conduzcan a la<br />
respuesta que necesitamos. Tambien debemos prestar atención a qué exactamente representan las<br />
variables en las ecuaciones.<br />
Como en cualquier problema de aplicación, al terminar la parte matemática del ejercicio, véase a usted<br />
mismo como un consultor al que se le ha contratado para que encuentre una respuesta a la pregunta que<br />
se le planteó. Conteste apropiadamente en una oración, incluyendo unidades si es aplicable.<br />
Ejemplos:<br />
1) La función del costo total de fabricar un producto es C(x) = 100 x 2 + 1300x + 1000, donde x es el<br />
numero de unidades producidas, en miles, y C representa el costo total, en miles de dolares,<br />
a) Si cada unidad de producto se vende en $2000, encuentre la función de utilidad.<br />
P(x) = 2000 x – (100 x 2 + 1300x + 1000) = –100 x 2 + 700x – 1000<br />
b) Determine el nivel de produccion requerido para lograr el punto de equilibrio.<br />
P(x) = –100 x 2 + 700x – 1000 = 0<br />
∆ = b 2 – 4ac = (700) 2 – 4(-100)(– 1000) = 490,000 -400,000 = 90,000<br />
23
Métodos Cuantitativos II UNAH Ana María Girón<br />
= −700 ± √90,000<br />
2(−100)<br />
=<br />
−700 ± 300<br />
−200<br />
=<br />
−700 + 300<br />
−200<br />
−700 − 300<br />
−200<br />
= −400<br />
−200 = 2<br />
= −1000<br />
−200 = 5<br />
El punto de equilibrio se logra cuando se producen 2,000 unidades y cuando se producen 5,000<br />
unidades.<br />
c) ¿Cuantas unidades habría que producir para obtener una utilidad de $ 150,000?<br />
P(x) = –100 x 2 + 700x – 1000 = 150<br />
–100 x 2 + 700x – 1000 -150 = 0<br />
–100 x 2 + 700x – 1150 = 0<br />
∆ = b 2 – 4ac = (700) 2 – 4(-100)(– 1150) = 490,000 -460,000 = 30,000<br />
= −700 ± √30,000<br />
2(−100)<br />
=<br />
−700 ± 173<br />
−200<br />
=<br />
−700 + 173<br />
−200<br />
−700 − 173<br />
−200<br />
= − − 527<br />
−200 = 2.635<br />
= −873<br />
−200 = 4.365<br />
Se puede obtener una utilidad de $ 150,000 ya sea vendiendo 2,635 unidades o 4,365 unidades.<br />
d) ¿Que utilidad se obtendría al producir 4,000 unidades del producto?<br />
P(4) = –100 (4) 2 + 700(4) – 1000 = 200 miles de dolares<br />
Se obtendria una utilidad de $ 200,000<br />
e) Determine que nivel de producción resulta en la maxima utilidad.<br />
= −<br />
2 = −700<br />
2(−100) = −700<br />
−200 = 3.5<br />
La máxima utilidad se obtiene al producir y vender 3,500 unidades.<br />
f) ¿Cual es la máxima utilidad esperada?<br />
P(3.5) = –100 (3.5) 2 + 700(3.5) – 1000 = 225 miles de dolares<br />
La máxima utilidad esperada es de $ 225,000<br />
2) La función de demanda de una empresa es q = -1.75p + 115, donde p es el precio por unidad cuando<br />
los consumidores demandan q unidades. Determine el nivel de producción que maximizará el ingreso<br />
total del fabricante y determine este ingreso.<br />
I = pq = p ( -1.75p + 115) = -1.75 p 2 + 115 p<br />
24
Métodos Cuantitativos II UNAH Ana María Girón<br />
Precio al que se maximiza el ingreso:<br />
= −<br />
2 =<br />
−115<br />
2(−1.75) = −115<br />
−3.5 = 32.86<br />
El precio que maximizará el ingreso es de 32.86<br />
Demanda cuando el producto tiene ese precio:<br />
q = -1.75p + 115 = -1.75 (32.86) + 115 = 57.5<br />
El nivel de producción que maximizaria el ingreso total del fabricante es de 57 o 58 unidades.<br />
Ingreso cuando el producto tiene vale $32.86<br />
I = -1.75 p 2 + 115 p = -1.75 (32.86) 2 + 115 (32.86) = 1,889.29<br />
El maximo ingreso posible es de $ 1,889.29<br />
EJERCICIOS DE PRÁCTICA:<br />
1. Para calcular el total de estudiantes inscritos entre los años 1990 y 2008 en el nivel universitario, se<br />
puede utilizar la función N(t)= -0.043t 2 +1.22t + 46 en millones. En la ecuación t es el numero de años<br />
desde 1989, 1 ≤ t ≤1 9.<br />
a) Calcule el total de estudiantes inscritos en 1995<br />
b) En que años el total de estudiantes inscritos es de 54 millones?<br />
2. Una compañía de investigación de mercado estima que “n” meses después de la introducción de un<br />
nuevo producto, f(n) miles de familia lo usaran, en donde: f(n) = (10/9 n)(12 – n) , 0 ≤ n ≤ 12<br />
Estime el numero máximo de familias que usaran el producto y grafique.<br />
3. Un negocio vende n sillas, n ≤ 50, a un precio de (50-0.4n) dólares cada una. ¿Cuántas sillas deben<br />
venderse para obtener un ingreso de $660.<br />
4. Un negocio vende ẍ ̈ sillas, a un precio de (50-0.2x) dólares cada una. ¿Cuántas sillas deben venderse<br />
para que el ingreso sea máximo?<br />
5. La utilidad semanal de una tienda de videos, P, en miles de dólares es una función del precio de<br />
alquiler de las cintas, t. La ecuación de utilidad es P=0.2t 2 + 1.5t – 1.2 , 0 ≤ t ≤ 5.<br />
a) Si la tienda cobra $3 por cinta, ¿Cuál es la utilidad o perdida semanal?<br />
b) Si cobra $5 por cinta, ¿Cuál es la utilidad o perdida semanal?<br />
c) Cual debe ser el precio de alquiler de cada cinta para que la utilidad semanal sea $1600?<br />
6. Una compañía productora de alimento para aves obtiene una utilidad semanal de acuer do con la<br />
función f(x)=-0.4x 2 +80x-200, donde x es el numero de bolsas de alimento para aves fabricadas y<br />
vendidas.<br />
a) Determine el numero de bolsas de alimento para aves que debe vender para obtener la utilidad<br />
máxima.<br />
b) Determine la utilidad máxima.<br />
25
Métodos Cuantitativos II UNAH Ana María Girón<br />
7. La ganancia mensual P ( en miles de dólares) de una compañía de bicicletas puede estimarse<br />
mediante la función P = -2x 2 + 16x – 12, donde x es el numero de bicicletas en cientos, producidas y<br />
vendidas al mes. Cuantas bicicletas deben producir y vender para maximizar la ganancia? Determine<br />
la ganancia máxima?<br />
8. La compañía teatral de una escuela considera que el ingreso total, I, en cientos de dólares, que<br />
obtendrá por una puesta en escena, puede calcularse con la formula I= -x 2 + 22x – 45 donde 2 ≤ x ≤2<br />
0, donde x es el costo de un boleto.<br />
a) ¿Cuánto debe cobrar para obtener el ingreso máximo?<br />
b) ¿Cuál es el ingreso máximo?<br />
9. La dueña de la compañía contrato a un consultor para analizar las operaciones del negocio. El<br />
consultor dice que sus ganancias P (x) de la venta de “x” unidades, están dadas por: P (x) = x (120 – x )<br />
a) ¿Cuántas unidades debe vender para maximizar las ganancias?<br />
b) ¿Cual es la ganancia máxima?<br />
c) ¿Cuál es el intervalo de ventas en el cual al menos su ganancia es cero?<br />
d) Haga la grafica<br />
10. Una compañía encuentra que los costos de producir x unidades están dados por la ecuación<br />
C(x)= x 2 + 50 x + 400 . El precio de venta de cada unidad es de L250<br />
a) Encuentre la función de utilidad.<br />
b) Determine la utilidad si se venden 50 unidades.<br />
c) Encuentre la cantidad de unidades que deben venderse para poder obtener la utilidad máxima.<br />
d) Encuentre la utilidad máxima<br />
11. Una compañía encuentra que los costos de producir x unidades están dados por la ecuación<br />
C(x)= 2000 + 40 x + x 2 . El precio de venta de cada unidad es de L 130<br />
a) Encuentre la función de utilidad.<br />
b) Encuentre el numero de unidades que deben venderse para que la compañía no obtenga perdidas<br />
12. Se determina la utilidad diaria de una empresa por medio de la siguiente función:<br />
f (x) = 16 x – 0.1 x 2 – 100, donde x representa el numero de unidades vendidas.<br />
a) ¿Qué nivel de producción maximiza la utilidad?<br />
b) ¿Cuál es la utilidad máxima?<br />
c) ¿Cuál es la utilidad si se venden 40 unidades?<br />
d) Grafique la función de utilidad.<br />
13. La ganancia mensual P de una compañía de bicicletas puede estimarse mediante la función<br />
P = -4x 2 + 400 x – 3600, donde x es el numero de bicicletas producidas y vendidas al mes.<br />
a) Cuantas bicicletas deben producir y vender para maximizar la ganancia?<br />
b) Determine la ganancia máxima.<br />
c) Determine la utilidad o pérdida si se venden 5 bicicletas al mes.<br />
d) Determine la utilidad o pérdida si se venden 35 bicicletas al mes<br />
14. La demanda de cierto producto es de x unidades cuando el precio fijado al consumidor es de p<br />
dólares en donde p + 2x = 50. El costo en dólares de producir x unidades esta dado por c(x)=200 + 6x.<br />
¿Qué precio por unidad deberá fijar al consumidor con objeto de que la utilidad sea máxima?<br />
26
Métodos Cuantitativos II UNAH Ana María Girón<br />
15. La función de demanda de una empresa es p= 0.9 – 0.0004q , donde p es el precio por unidad cuando<br />
los consumidores demandan q unidades. Determine el nivel de producción que maximizara el ingreso<br />
total del fabricante y determine este ingreso.<br />
16 Un negocio vende ẍ ̈ relojes a un precio de p = 30 - 0.10x dólares cada uno.<br />
a) Encuentre la función de ingreso<br />
b) Determine la cantidad de relojes que debe vender para obtener el ingreso máximo<br />
c) Cuantos relojes debe vender para obtener un ingreso de $2160.<br />
d) Determine el precio al que debe vender cada reloj para que el ingreso sea máximo.<br />
17. Una compañía que produce muebles sabe que la cantidad de unidades vendidas al mes esta dado<br />
mediante la ecuación x = -20 p + 1200 donde p representa el precio de venta. El costo de producción<br />
es de $10 por cada unidad.<br />
a) Encuentre la función de ingreso<br />
b) Encuentre la función de utilidad<br />
c) Determine la cantidad de unidades que maximiza el ingreso<br />
d) Determine la cantidad de unidades que maximiza la utilidad.<br />
e) Determine el ingreso máximo<br />
f) Determine la utilidad máxima<br />
18. Una compañía que produce muebles sabe que la cantidad de unidades vendidas al mes esta dado<br />
mediante la ecuación x = - 750 p + 15,000 donde p representa el precio de venta. El costo de variable<br />
es de $4 por cada unidad y el costo fijo de $7000.<br />
a) Encuentre la función de ingreso<br />
b) Encuentre la función de utilidad<br />
c) Encuentre la función de costo total<br />
d) Determine la cantidad de unidades que maximiza el ingreso<br />
e) Determine la cantidad de unidades que maximiza la utilidad.<br />
f) Determine el ingreso máximo<br />
g) Determine la utilidad máxima<br />
19. La demanda de cierto producto es de x unidades cuando el precio fijado al consumidor es de p dólares<br />
en donde p + 2x = 500. El costo en dólares de producir x unidades esta dado por c(x) = 200 + 60x.<br />
a) Determine la función de ingreso<br />
b) Determine el numero de unidades que maximiza el ingreso<br />
c) ¿Qué precio por unidad deberá fijar al consumidor con objeto de que el ingreso sea máximo.<br />
27
Métodos Cuantitativos II UNAH Ana María Girón<br />
FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO<br />
Las funciones de valor absoluto tienen la forma general () = | + | + , donde k, m, b y c son<br />
números reales y k ≠ 0. Su dominio son todos los números reales.<br />
Las gráficas de estas funciones tienen forma de V si k > 0 y forma de V invertida si k < 0.<br />
Los dos brazos de la V se llaman ramas de la gráfica y el punto donde se unen recibe el nombre de<br />
vértice. Como en la parabola, es el punto mínimo o máximo de la gráfica. Las ramas son rayos con<br />
pendientes opuestas, -k|m| y k|m|. La recta vertical que pasa por el vértice es el eje de simetría de la<br />
gráfica.<br />
El valor de la coordenada en x del vertice se obtiene resolviendo la ecuación mx + b = 0. El valor de y del<br />
vértice es exactamente c. O sea, el vértice es el punto (-b/m, c).<br />
El intercepto en y de la gráfica de la función valor absoluto se obtiene evaluando f(0).<br />
Al igual que en la parabola, la gráfica puede no tener interceptos en x, tener uno solo y hasta dos. Se<br />
puede puede decir que la expresion -c / k es el discriminante para esta función. Si es negativa, no habrá<br />
interceptos en x; si es cero, habrá solo un intercepto en x, que sera precisamente el vértice de la gráfica;<br />
si es positivo, habrá dos interceptos en x, que se obtienen resolviendo la ecuacion f(x) = 0.<br />
El rango de la función valor absoluto serán todos los números reales mayores o iguales a c, si k > 0; y<br />
todos los números reales menores o iguales a c si k < 0. Es decir, [c, +∞ [ y ] -∞, c], respectivamente..<br />
Pasos para graficar funciones valor absoluto:<br />
1) Determinar hacia donde abre.<br />
2) Determinar el vértice<br />
3) Determinar las intersecciones con los ejes.<br />
4) Graficar<br />
28
Métodos Cuantitativos II UNAH Ana María Girón<br />
Ejemplos:<br />
1) Encuentre el dominio y rango de la función f(x) = 3 | 2x + 6 | - 4 y grafíquela.<br />
k = 3, c = -4<br />
Como k > 0, la gráfica tiene forma de V.<br />
Dominio: R Rango: [-4, +∞ [<br />
Vértice: 2x + 6 = 0<br />
2x = -6<br />
x = -3 y = -4<br />
Iy: f(0) = 3 | 2(0) +6| - 4 = 3 |6| - 4 = 3(6) – 4 = 18 – 6 = 12<br />
Ix: 3 | 2x + 6 | - 4 = 0<br />
3 | 2x + 6 | = 4<br />
| 2x + 6 | = 4/3<br />
2x + 6 = 4/3 o 2x + 6 = -4/3<br />
2x = 4/3 - 6 2x = -4/3 -6<br />
2x = -14/3 2x = -22/3<br />
x = -7/3 x = -11/3<br />
x ≈ -2.3 x ≈ -3.7<br />
Ubicamos los puntos en el plano cartesiano y trazamos la grafica.<br />
Nota: Es conveniente ubicar el vértice y uno de los Ix y trazar el rayo que vá en esa dirección antes de<br />
ubicar el segundo Ix. Recordar que los rayos se unen en el vértice y no pasan más allá del mismo. Los<br />
dos rayos “salen” del vértice.<br />
2) Encuentre el dominio y rango de la función f(x) = 2 | x - 5 | y grafiquela.<br />
k = 2, c = 0<br />
Como k > 0, la gráfica tiene forma de V.<br />
Dominio: R Rango: [0, +∞ [<br />
Vértice: x -5 = 0<br />
x = 5 y = 0 (5,0)<br />
Iy: f(0) = 2 | 0 - 5| = 2 | -5 | = 2(5) = 10<br />
Ix: 2| x -5 | = 0<br />
| x - 5 | = 0<br />
x – 5 = 0<br />
x = 5<br />
Esta vez solo tenemos un Ix. Como es el mismo vertice, en<br />
realidad solo tenemos dos puntos. Tendremos que usar la<br />
simetría de la gráfica para ubicar el punto que hace pareja con el<br />
Iy del otro lado del eje de simetría para poder dibujar bien la V.<br />
29
Métodos Cuantitativos II UNAH Ana María Girón<br />
3) Encuentre el dominio y rango de la función f(x) = 2 | 4x - 3 | + 1 y grafiquela.<br />
k = 2, c = 1<br />
Como k > 0, la gráfica tiene forma de V.<br />
Dominio: R Rango: [1, +∞ [<br />
Vértice: 4x - 3 = 0<br />
4x = 3<br />
x = 3/4 y = 1<br />
Iy: f(0) = 2 | 4(0) -3 | + 1 = 2 | -3 | + 1 = 2(3) + 1 = 6 + 1 = 7<br />
Ix: 2 | 4x – 3 | + 1 = 0<br />
2 | 4x -3 | = -1<br />
| 4x – 3 | = -1/2<br />
No tiene solucion porque un valor absoluto no puede ser negativo. La<br />
grafica no tiene interceptos en x.<br />
Esta vez, al igual que la anterior, solo contamos con dos puntos: el<br />
vertice y el intercepto en y, y tendremos nuevamente que usar la<br />
simetría de la gráfica para ubicar el punto que hace pareja con el Iy<br />
del otro lado del eje de simetría para poder dibujar bien la V.<br />
4) Encuentre el dominio y rango de la función f(x) = -2 | x + 1 | + 6 y grafiquela.<br />
k = -2, c = 64<br />
Como k < 0, la gráfica tiene forma de V invertida.<br />
Dominio: R Rango: ] -∞, 6]<br />
Vértice: x + 1 = 0<br />
x = -1 y = 6<br />
Iy: f(0) = -2 | 0 + 1 | + 6 = -2 (1) + 6 = -2 + 6 = 4<br />
Ix: -2 | x + 1 | + 6 = 0<br />
-2 | x + 1 | = -6<br />
| x + 1 | = -6/(-2)<br />
| x + 1 | = 3<br />
x + 1 = 3 o x + 1 = -3<br />
x = 3 – 1 x = -3 - 1<br />
x = 2 x = -4<br />
Ubicamos los puntos en el plano cartesiano y trazamos la gráfica.<br />
Siempre conviene trazar el eje de simetría para comprobar que los<br />
puntos que quedan a la misma altura en y estan a la misma<br />
distancia de éste.<br />
30
Métodos Cuantitativos II UNAH Ana María Girón<br />
OBSERVACIONES: Es muy, muy importante que recuerde que los dos rayos salen del vértice y que el<br />
vértice está entre los dos rayos, no a un lado de ellos. No acepte gráficas que luzcan así (estas gráficas<br />
fueron creadas con los puntos obtenidos en los ejemplos anteriores pero unidos incorrectamente).<br />
Note que en la primera gráfica el “vertice” queda a la derecha de los dos interceptos en x. En la segunda<br />
gráfica, parte de la gráfica es una linea horizontal y el “vertice” queda a la derecha de los dos puntos<br />
utilizados para trazar los rayos.<br />
EJERCICIOS de PRÁCTICA:<br />
Grafique las siguientes funciónes y encuentre su Dominio y Rango.<br />
1. () = 2| + 3| + 1<br />
2. () = | + 1| − 4<br />
3. () = −| + 3| + 3<br />
4. () = || + <br />
5. () = −| − 3| + 4<br />
6. () = 4| − 1| + 3<br />
7. () = 2| − 3| − 4<br />
8. () = −3| + 5| + 7<br />
9. () = 2|− − 1| + 3<br />
10. () = −|− + 2| + 5<br />
11. () = 5 − ||<br />
12. () = −3 − 2|− − 1|<br />
13. () = −5 + 3| + 2|<br />
14. () = 3 + 2 − 6<br />
<br />
15. () = −2 − 2 + 4<br />
16. () = −2 − + 1<br />
17. () = −2 + + 1<br />
18. () = −|1 − | + |−2|<br />
19. () = 4| − 1| − 2| − 1| + 3<br />
20. − 1 = | − 2|<br />
<br />
31
Métodos Cuantitativos II UNAH Ana María Girón<br />
FUNCIÓN RADICAL (RAÍZ CUADRADA)<br />
Una función radical que estudiaremos acá tiene la forma: () = √ + + , donde k, m, b y c son<br />
números reales, k ≠ 0, m ≠ 0 . Como en los números reales no se puede sacar raíz cuadrada a números<br />
negativos, mx + b debe ser mayor o igual que cero.<br />
La madre de las funciones con raíz cuadrada es la<br />
función = √ , que tiene la forma que se muestra en<br />
el gráfico de la derecha.<br />
El dominio de = √ son los números reales<br />
mayores o iguales que cero: [0, +∞ [ Su rango es<br />
tambien [0, +∞ [<br />
La gráfica “arranca” del punto (0,0) que recibe el<br />
nombre de punto inicial.<br />
La función = −√ tiene el mismo dominio y<br />
punto inicial que la función madre, pero la gráfica<br />
está reflejada sobre el eje x.<br />
Su dominio es [0, +∞ [ pero su rango es ] -∞, 0].<br />
Si el signo negativo se coloca dentro de la raiz<br />
cua-drada, = √− , la grafica se refleja sobre<br />
el eje y.<br />
El dominio es ] -∞, 0] y esta vez (0,0) no es el<br />
punto de arranque sino el remate. Aqui, (0,0)<br />
recibe el nombre de punto final. El rango es<br />
[0, +∞ [<br />
Los efectos de estos signos negativos son<br />
independientes y no se modifican el uno al otro,<br />
asi que de ninguna manera los “multiplique”.<br />
La grafica de = −√− tiene dominio ] -∞, 0]<br />
y rango ] -∞, 0]. El punto (0,0) es un punto final.<br />
Para la forma general de la función raiz cuadrada, la<br />
solucion de la desigualdad mx + b ≥ 0 nos da el dominio.<br />
Si m > 0, el punto (-b/m, c) es un punto inicial.<br />
Si m < 0, el punto (-b/m, c) es un punto final.<br />
Si k > 0, el rango es [c, +∞ [.<br />
Si k < 0, el rango es ] -∞, c]<br />
32
Métodos Cuantitativos II UNAH Ana María Girón<br />
Si k >0<br />
si m > 0, punto inicial si m < 0, punto final<br />
Si k 0, punto inicial si m < 0, punto final<br />
Al igual que siempre, el intercepto en y se encuentra evaluando f(0), si es que 0 esta en el Dominio de la<br />
funcion. Si no esta, la grafica no tiene Iy.<br />
El intercepto en x se encuentra resolviendo la ecuacion f(x) = 0. Si esta no tiene solucion, porque -c/k es<br />
negativo, la grafica no tiene Ix.<br />
Pasos para graficar funciones radicales de la forma () = √ + + <br />
1) Determinar hacia donde abre.<br />
2) Determinar el dominio.<br />
3) Encontrar el punto inicial o punto final.<br />
4) Encontrar las intersecciones con los ejes.<br />
5) Graficar<br />
6) Determinar el rango<br />
Ejemplos:<br />
1) Graficar la función () = 2√ + 5 + 3<br />
m, k son ambas positivas, de modo que la gráfica se abre hacia<br />
arriba y a la derecha.<br />
x + 5 ≥ 0<br />
x ≥ -5<br />
Dominio: [ -5, +∞ [ punto inicial: (-5, 3)<br />
Iy: (0) = 2√ 0 + 5 + 3 = 2√5 + 3 7.5<br />
Ix: () = 2√ + 5 + 3 = 0<br />
2√ + 5 = −3<br />
√ + 5 = − <br />
No tiene solucion porque las raíces cuadradas no pueden ser<br />
negativas; la gráfica no tiene Ix.<br />
Rango: [ 3, +∞ [<br />
33
Métodos Cuantitativos II UNAH Ana María Girón<br />
2) Graficar la funcion () = 2√ + 3 − 4<br />
m, k son ambas positivas, de modo que la gráfica se abre hacia arriba y a la derecha.<br />
x + 3 ≥ 0<br />
x ≥ -3<br />
Dominio: [ -3, +∞ [ punto inicial: (-3, -4)<br />
Iy: (0) = 2√0 + 3 − 4 = 2√3 − 4 −0.5<br />
Ix: () = 2√ + 3 − 4 = 0<br />
2√ + 3 = 4<br />
√ + 3 = = 2<br />
x + 3 = 2 2<br />
x + 3 = 4<br />
x = 4 – 3 = 1<br />
Rango: [ -4, +∞ [<br />
3) Graficar la función () = 2√− + 4 + 5<br />
k es positiva, la gráfica se abre hacia arriba<br />
m es negativa, la gráfica se abre hacia la izquierda<br />
-x + 4 ≥ 0<br />
-x ≥ -4<br />
x ≤ 4<br />
Dominio: ] -∞, 4] punto final: (4, 5)<br />
Ix: (0) = 2√0 + 4 + 5 = 2√4 + 5 = 2(2) + 5 = 4 + 5 = 9<br />
Iy: () = 2√− + 4 + 5 = 0<br />
2√− + 4 = −5<br />
√− + 4 = −5/2<br />
no tiene solucion; la gráfica no tiene intercepto en x.<br />
Rango: [ 5, +∞ [<br />
4) Graficar la función () = −2√− + 3 + 5<br />
k es negativa, la gráfica se abre hacia abajo<br />
m es negativa, la gráfica se abre hacia la izquierda<br />
-x + 3 ≥ 0<br />
-x ≥ -3<br />
x ≤ 3<br />
Dominio: ] -∞, 3] punto final: (3, 5 )<br />
Ix: (0) = −2√0 + 3 + 5 = −2√3 + 5 1.5<br />
Iy: () = −2√− + 3 + 5 = 0<br />
−2√− + 3 = −5<br />
√− + 3 = <br />
= <br />
− + 3 = = 6.25<br />
‒x = 6.25 – 3 = 3.25<br />
x = ‒3.25 Rango: ] -∞, 5]<br />
34
Métodos Cuantitativos II UNAH Ana María Girón<br />
5) Graficar la función () = −√− − 4 + 2<br />
k es negativa, la gráfica se abre hacia abajo<br />
m es negativa, la gráfica se abre hacia la izquierda<br />
-x - 4 ≥ 0<br />
-x ≥ 4<br />
x ≤ -4<br />
Dominio: ] -∞, -4] punto final: (-4, 2 )<br />
Ix: f(0) no esta definida porque x = 0 esta fuera del dominio<br />
No hay intercepto en y.<br />
Iy: () = −√− − 4 + 2 = 0<br />
−√− − 4 = −2<br />
√− − 4 = 2<br />
‒x – 4 = (2) 2 = 4<br />
‒x = 4 + 4 = 8<br />
x = ‒8<br />
Rango: ] -∞, 2]<br />
Note que, como en muchos casos solo se dispone de dos puntos para trazar la gráfica, usted debe mantener<br />
presente al momento hacerlo cuál es el punto inicial o punto final, para que no haga la curva en la<br />
dirección equivocada.<br />
EJERCICIOS de PRÁCTICA:<br />
Grafique las siguientes funciónes y encuentre su Dominio y Rango.<br />
1. () = 2√ + 3 − 6<br />
2. () = 3√ + 2 + 4<br />
3. () = √ + 1 − 1<br />
4. () = √3<br />
5. () = √−2 + 5 − 3<br />
6. () = √4 − + 2<br />
7. () = −√1 − + 2<br />
8. () = −√− − 2<br />
9. () = −2 + + 3 <br />
10. () = −2 − √3 − 1<br />
11. () = −2√−2 − 1 − 3<br />
12. () = 2√ + 1 + 3√ + 1 − √4<br />
13. + 1 = 3 − 2√1 − <br />
14. + 1 = 1 − 2√2 − <br />
35
Métodos Cuantitativos II UNAH Ana María Girón<br />
FUNCIONES RACIONALES<br />
Una función racional es una función que puede escribirse como el cociente de dos polinomios:<br />
() = ()<br />
()<br />
donde P y Q son polinomios y el grado de Q no es cero.<br />
Las funciones racionales toman muchas formas, pero para todas, el dominio lo constituyen todos<br />
los valores de x para los que Q(x) ≠ 0.<br />
Los interceptos se calculan de la manera usual:<br />
Iy: f(0), si esta definido<br />
Ix: solucion de la ecuacion f(x) = 0. Solo que aqui se utiliza el hecho de que una fraccion es cero si y solo<br />
si el numerador es cero y el denominador no lo es. Asi que se resuelve la ecuacion P(x) = 0 y si la<br />
solucion esta en el dominio de la funcion, es un intercepto en x.<br />
Para las funciones racionales tenemos que introducir el concepto de ASÍNTOTA.<br />
36
Métodos Cuantitativos II UNAH Ana María Girón<br />
x = a es una asíntota vertical del grafico de y = f(x) si Q(a) = 0 pero P(a) ≠ 0.<br />
La gráfica nunca pasa por las asíntotas verticales, porque la función no esta definida en esos valores de x.<br />
A los lados de la asíntota, la grafica crece o decrece sin límite. Lo representamos escribiendo y → + ∞ o<br />
y → - ∞, respectivamente. Vea las cuatro primeras gráficas en la pagina anterior.<br />
Es importante hacer énfasis en que la asíntota vertical es una linea vertical y no solo un valor de x, asi que<br />
debe reportarse como x = a y no solo como a.<br />
Si Q(a) = 0 y P(a) = 0, significa que − es un factor tanto de P como de Q y la fracción puede simplificarse.<br />
Entonces, en lugar de una asíntota vertical, ocurre lo que llamamos un punto faltante. La grafica<br />
tiene un pequeno hoyo a la altura de x = a. Observe el pequeno hoyo indicado a la altura de x = 3 en la<br />
cuarta grafica en la pagina anterior.<br />
El punto faltante es un punto (a, y a) y debe reportarse como tal. Hay que calcular el valor de y para poder<br />
reportarlo. El valor de y del punto faltante se encuentra sustituyendo a en la version simplificada de la<br />
función<br />
Si el dominio de la función son todos los numeros reales (Q(x) nunca puede ser cero), no hay ni asíntotas<br />
verticales ni puntos faltantes. Vea las dos ultimas graficas en la pagina anterior.<br />
Una asíntota horizontal es una linea horizontal a la que la grafica se acerca, pero no cruza ya en los<br />
extremos izquierdo y derecho de la grafica. La grafica puede, sin embargo, atravesar esta linea en la<br />
parte “central” del plano. Las lineas horizontales punteadas en las graficas de la pagina anterior son<br />
asíntotas horizontales. Si la asíntota es y = 0 , coincide con el eje x y no se marca con esta linea punteada,<br />
pero sigue siéndolo. Observe que en la tercera y en la ultima grafica de la pagina anterior, la grafica cruza<br />
la asíntota horizontal en cierto punto, pero despues se mantiene solo casi rozandola.<br />
Las funciones racionales tienen como máximo una asíntota horizontal, que se determina de la manera<br />
siguiente:<br />
(1) Si el grado de P(x) es menor que el grado de Q(x), la asíntota horizontal sera y = 0 (el eje x).<br />
(2) Si el grado de P(x) es igual al grado de Q(x), la asíntota horizontal sera el cociente de los<br />
coeficientes principales de ambos polinomios.<br />
(3) Si el grado de P(x) es mayor que el grado de Q(x), no hay asíntota horizontal. En su lugar<br />
ocurre una asíntota oblicua.<br />
La asíntota horizontal, como linea, se reporta como “y = k” y no solo como k.<br />
Ejemplos:<br />
() =<br />
<br />
2 <br />
() = <br />
<br />
Habra una asíntota horizontal en y = 0, porque el grado del numerador es menor<br />
que el grado del denominador.<br />
Habra una asíntota horizontal en y = 5/2, porque el grado del numerador es igual<br />
al grado del denominador.<br />
37
Métodos Cuantitativos II UNAH Ana María Girón<br />
Las asíntotas oblicuas son lineas inclinadas a las que la grafica de la función se acerca pero no cruza.<br />
Se determinan dividiendo P(x) entre Q(x). El cociente de esta division es la asíntota oblicua.<br />
Ejemplo:<br />
() = 2 <br />
<br />
Al dividir obtenemos el cociente x + 5. La recta y = x + 5 es una asíntota oblicua<br />
de la grafica de H(x).<br />
Si la division resultara exacta (el residuo es cero), la gráfica sera la gráfica del cociente, pero con<br />
puntos faltantes donde la función original no estaba definida.<br />
Graficar funciones racionales puede ser un poco laborioso.<br />
Si la función ya luce como f(x) = P(x) / Q(x)<br />
1) Encontrar los ceros de Q(x) y determinar el dominio de la funcion.<br />
2) Factorizar P(x) y Q(x) y eliminar los factores comunes. Las asíntotas verticales estan dadas por<br />
los ceros del denominador de la fraccion simplificada. Los ceros de Q(x) que no determinen<br />
asíntotas resultan en puntos faltantes.<br />
3) Encontrar la asíntota horizontal o la asíntota oblicua.<br />
4) Si existe una asíntota horizontal, y = k, determinar si la grafica la atraviesa, resolviendo f(x) = k.<br />
5) Encontrar las intersecciones con los ejes.<br />
6) Ubicar en el plano cartesiano las asíntotas, interceptos y puntos faltantes.<br />
7) Evaluar la función en los valores de x necesarios para determinar en qué zonas la gráfica está por<br />
encima de la asíntota horizontal y en qué zonas está por debajo de la misma.<br />
8) Graficar.<br />
9) Determinar el rango de la función.<br />
Ejemplos:<br />
(1) Graficar () = <br />
<br />
Dominio: x – 5 = 0<br />
x = 5 → Dominio: R – {5}<br />
La fraccion ya esta en su minima expresion.<br />
x = 5 es una asíntota vertical.<br />
No hay puntos faltantes.<br />
38
Métodos Cuantitativos II UNAH Ana María Girón<br />
El grado del numerador es menor que el grado del denominador.<br />
y = 0 es la asíntota horizontal.<br />
Determinar si la gráfica atraviesa la asíntota horizontal:<br />
<br />
no puede ser igual a cero porque el numerador es una constante.<br />
<br />
La gráfica no atraviesa la asíntota horizontal.<br />
Determinar las intersecciones con los ejes:<br />
Iy: (0) =<br />
<br />
= − = −0.4<br />
– <br />
Ix: No hay interceptos en x porque f(x) no puede ser cero.<br />
Al lado izquierdo de la asíntota vertical, la gráfica esta bajo la asíntota horizontal (porque alli esta<br />
el Iy). Además (4) = <br />
= − = −2 Para ver adonde esta la otra rama de la grafica,<br />
evaluamos la función en un valor de x mayor que x = 5,<br />
por ejemplo 6<br />
(6) = <br />
= = 2<br />
que esta por encima de la asíntota horizontal<br />
Rango: R - { 0 }<br />
39
Métodos Cuantitativos II UNAH Ana María Girón<br />
(2) Graficar () = <br />
<br />
Dominio: 2x – 4 = 0<br />
2x = 4<br />
x = 2 → Dominio: R – {2}<br />
La factorizando el numerador y denominador vemos que () =<br />
<br />
()<br />
simplificarse; ya está en su mínima expresión.<br />
x = 2 es una asíntota vertical. No hay puntos faltantes.<br />
El grado del numerador es igual al grado del denominador.<br />
y = -½ es la asíntota horizontal.<br />
Determinar si la grafica atraviesa la asíntota:<br />
<br />
= − <br />
(1 - x) = -½ (2x – 4)<br />
1 - x = -x + 2<br />
1 = 2<br />
La ecuación no tiene solucion. La gráfica no<br />
atraviesa la asíntota.<br />
Determinar las intersecciones con los ejes:<br />
– <br />
Iy: (0) = = = − ¼ = −0.25<br />
()– <br />
Ix: f(x) = 0 cuando 1 ‒ x = 0<br />
x = 1<br />
. La función no puede<br />
La gráfica pasa por encima de la asíntota horizontal a la izquierda de la asíntota vertical (alli<br />
estan los dos interceptos)<br />
Para ver adonde esta la otra rama de la grafica, evaluamos la función en un valor de x mayor que<br />
x = 2, por ejemplo 3<br />
f(3) = (1- 3)/(2(3) – 4) = -2/2 = -1,<br />
que es esta por debajo de la asíntota horizontal.<br />
Rango: R ‒ {-1}<br />
40
Métodos Cuantitativos II UNAH Ana María Girón<br />
<br />
(3) Graficar () =<br />
2 – <br />
Dominio: x 2 – 4 = 0<br />
x 2 = 4<br />
x = ± 2 → Dominio: R – {-2, 2}<br />
La función ya este en su minima expresion.<br />
x = -2 y x = 2 son ambas asíntotas verticales. No hay puntos faltantes.<br />
El grado del numerador es menor que el grado del denominador.<br />
y = 0 es la asíntota horizontal.<br />
Determinar si la gráfica atraviesa la asíntota horizontal. f(x) no puede ser igual a cero porque el<br />
numerador es una constante. La gráfica no atraviesa la asíntota horizontal.<br />
Determinar las intersecciones con los ejes:<br />
<br />
Iy: (0) = = <br />
= 2<br />
() – <br />
Ix: f(x) nunca es igual a cero. No hay Ix.<br />
Hay que evaluar la función<br />
en al menos cuatro valores:<br />
uno a la izquierda de x = -2,<br />
uno a la derecha de x = 2 y<br />
uno a cada lado del<br />
intercepto en y, en la franja<br />
entre las dos asíntotas.<br />
f(-3) = -1.6<br />
f(3) = -1.6<br />
f(-1.5) = 4.57<br />
f(1.5) = 4.57<br />
Note que esta vez hay una franja por encima de la asíntota<br />
horizontal en la que no hay gráfica.<br />
Rango: ]-∞, 0[ U [2, +∞[<br />
41
Métodos Cuantitativos II UNAH Ana María Girón<br />
<br />
(4) Graficar () =<br />
2 – <br />
Dominio: x 2 – 9 = 0<br />
x 2 = 9<br />
x = ± 3 → Dominio: R – {-3, 3}<br />
La función ya este en su minima expresion.<br />
x = -3 y x = 3 son ambas asíntotas verticales.<br />
No hay puntos faltantes.<br />
El grado del numerador es menor que el grado del<br />
denominador.<br />
y = 0 es la asíntota horizontal.<br />
Determinar si la grafica atraviesa la asíntota horizontal.<br />
2<br />
2 – = 0<br />
4x 2 = 0<br />
x = 0<br />
La grafica atraviesa la asíntota horizontal cuando x = 0<br />
Determinar las intersecciones con los ejes:<br />
Iy: f(0) = 4(0) 2 / (0 2 -9) = 0/(-9) = 0<br />
Ix: f(x) es igual a cero cuando x = 0 unicamente<br />
Hay que evaluar la función en al menos cuatro valores: uno a la izquierda de x = -3, uno a la<br />
derecha de x = 3 y uno a cada lado del intercepto en y, en la franja entre las dos asíntotas.<br />
f(-4) = -2.2<br />
f(4) = 2.2<br />
f(-2.5) = 3.6<br />
f(2.5) = -3.6<br />
Rango: R<br />
42
Métodos Cuantitativos II UNAH Ana María Girón<br />
<br />
(5) Graficar () =<br />
2 – <br />
Dominio: x 2 – 16= 0<br />
x 2 = 16<br />
x = ± 4 → Dominio: R – {-4, 4}<br />
La función puede simplificarse<br />
f(x) = (x + 4)/(x 2 – 16) = (x + 4)/(x + 4)(x – 4) = 1/(x – 4)<br />
x – 4 = 0 cuando x = 4<br />
x = 4 es una asíntota vertical<br />
Hay un punto faltante cuando x = -4 , =<br />
<br />
= = − – <br />
(-4, -1/8)<br />
De aqui en adelante trabajamos solo con la versión simplificada de f(x).<br />
El grado del numerador es menor que el grado del denominador.<br />
y = 0 es la asíntota horizontal.<br />
Determinar si la grafica atraviesa la asíntota horizontal.<br />
<br />
– = 0<br />
no se hace cero porque el numerador es una<br />
constante<br />
La grafica no atraviesa la asíntota horizontal.<br />
Determinar las intersecciones con los ejes:<br />
Iy: f(0) = 1/(0 – 4) = 1/ (-4) = -1/4<br />
Ix: f(x) nunca es igual a cero<br />
La gráfica pasa debajo de la asíntota horizontal a la izquierda de la<br />
asíntota vertical. Tenemos que evaluar en un valor de x a la<br />
derecha de la asíntota vertical para ver que pasa de ese lado.<br />
f(5) = 1/(5-4) = 1<br />
Rango: R – {0}<br />
43
Métodos Cuantitativos II UNAH Ana María Girón<br />
(6) Graficar () =<br />
<br />
2 – <br />
Dominio: x 2 – 25 = 0<br />
x 2 = 25<br />
x = ± 5 → Dominio: R – {-5, 5}<br />
La función ya este en su mínima expresión.<br />
x = -5 y x = 5 son ambas asíntotas verticales.<br />
No hay puntos faltantes.<br />
El grado del numerador es mayor que el grado del denominador.<br />
No hay asíntota horizontal, sino oblícua.<br />
Al dividir x 3 entre (x 2 – 25) obtenemos x como cociente y 25 x como residuo. La recta y = x es<br />
la asíntota oblícua<br />
Determinar las intersecciones con los ejes:<br />
Iy: f(0) = (0) 3 / (0 2 -25) = 0/(-25) = 0<br />
Ix: f(x) es igual a cero cuando x = 0 unicamente<br />
Hay que evaluar la función en al menos cuatro valores: uno a la<br />
izquierda de x = -5, uno a la derecha de x = 5 y uno a cada lado del<br />
intercepto en y, en la franja entre las dos asíntotas verticales.<br />
f(-6) = -19.6<br />
f(6) = 19.6<br />
f(-4.5) = 19.2<br />
f(4.5) = -19.2<br />
La gráfica obtenida con esta información luce así:<br />
Rango: R<br />
44
Métodos Cuantitativos II UNAH Ana María Girón<br />
(6) Graficar () =<br />
<br />
2 <br />
Dominio: x 2 + 3 = 0<br />
x 2 = -3<br />
Nunca, porque ningún número real elevado al cuadrado es negativo. Dominio: R<br />
El grado del numerador es menor que el grado del denominador.<br />
y = 0 es la asíntota horizontal.<br />
Determinar las intersecciones con los ejes:<br />
Iy: (0) = <br />
= = 0<br />
Ix: f(x) es igual a cero cuando x = 0 unicamente<br />
La gráfica solo atraviesa la asíntota horizontal en (0,0)<br />
Tenemos que evaluar la función a ambos lados del intercepto para determinar su forma.<br />
(−1) =<br />
(1) =<br />
(−2) =<br />
(2) =<br />
(−3) =<br />
(3) =<br />
<br />
(−1) 2 = <br />
= <br />
= −0.25<br />
<br />
<br />
(1) 2 = <br />
= = 0.25<br />
<br />
<br />
(−2) 2 = <br />
= <br />
<br />
<br />
(2) 2 = <br />
= <br />
<br />
(−3) 2 = <br />
= <br />
= −0.25<br />
<br />
<br />
(3) 2 = <br />
= = 0.25<br />
<br />
La gráfica parece doblarse en algún punto entre<br />
x = -3 y x = -1, y en algún punto entre x = 1 y x = 3<br />
pero no podemos determinar con exactitud<br />
donde pasa exactamente, a menos que<br />
evaluemos en una gran cantidad de valores.<br />
Tampoco podemos determinar el rango con<br />
precisión.<br />
45
Métodos Cuantitativos II UNAH Ana María Girón<br />
Que pasa cuando la función aparece como f(x) = P(x)/Q(x) + k, k siendo una constante?<br />
La gráfica solo se traslada verticalmente k unidades, de modo que el dominio, asíntotas verticales o<br />
puntos faltantes se ubican siempre con la fraccion P(x)/Q(x)<br />
La asíntota horizontal se mueve k unidades y los calculos de interceptos y valores de y tendran que<br />
tomar en cuenta toda la formula.<br />
Ejemplo:<br />
Graficar () =<br />
<br />
– 1<br />
Dominio: x – 5 = 0<br />
x = 5 → Dominio: R – {5}<br />
La fraccion ya esta en su minima expresion.<br />
x = 5 es una asíntota vertical.<br />
No hay puntos faltantes.<br />
El grado del numerador es menor que el grado del denominador.<br />
y = 0 – 1 = -1 es la asíntota horizontal.<br />
Determinar si la grafica atraviesa la asíntota:<br />
<br />
– 1 = −1<br />
<br />
= 0<br />
y esta expresion nunca se hace cero porque el<br />
numerador es una constante.<br />
La grafica no atraviesa la asíntota.<br />
Determinar las intersecciones con los ejes:<br />
Iy: (0) =<br />
<br />
– 1 = −2/5 − 1 = −1.4<br />
– <br />
Ix:<br />
<br />
– – 1 = 0<br />
<br />
– = 1<br />
2 = x – 5<br />
x = 7<br />
Como estos puntos ya quedaron en distintos cuadrantes, no necesitamos evaluar mas puntos.<br />
Rango: R ‒ {‒1]<br />
46
Métodos Cuantitativos II UNAH Ana María Girón<br />
EJERCICIOS DE PRÁCTICA:<br />
Analice y grafique las siguientes funciones. Determine su dominio y rango<br />
<br />
1. f(x) =<br />
<br />
14. f(x) =<br />
<br />
<br />
26. f(x) = <br />
<br />
**<br />
<br />
2. f(x) =<br />
<br />
15. f(x) =<br />
<br />
()()<br />
27. f(x) = <br />
<br />
**<br />
<br />
3. f(x) =<br />
<br />
4. f(x) = <br />
<br />
5. f(x) = <br />
<br />
6. f(x) = <br />
<br />
7. f(x) =<br />
<br />
<br />
8. f(x) = <br />
<br />
9. f(x) =<br />
<br />
<br />
10. f(x) = <br />
<br />
11. f(x) = <br />
<br />
12. f(x) = ()<br />
<br />
13. f(x) =<br />
<br />
<br />
16. f(x) = <br />
<br />
17. f(x) = <br />
*<br />
18. f(x) = <br />
*<br />
19. f(x) = ( )<br />
<br />
20. f(x) =<br />
<br />
*<br />
21. f(x) = <br />
*<br />
22. f(x) =<br />
<br />
*<br />
23. f(x) = <br />
*<br />
24. f(x) = <br />
*<br />
25. f(x) = <br />
<br />
**<br />
*<br />
28. f(x) = <br />
<br />
29. f(x) = <br />
**<br />
30. f(x) = <br />
<br />
31. f(x) = <br />
**<br />
32. f(x) = <br />
<br />
33. f(x) = 1 + <br />
34. f(x) =<br />
35. f(x) =<br />
36. f(x) =<br />
37. f(x) =<br />
<br />
+ 1<br />
<br />
‒ 2<br />
<br />
‒ 2<br />
**<br />
**<br />
**<br />
<br />
‒ 1<br />
* Punto faltante<br />
** Asíntota oblícua<br />
47
Métodos Cuantitativos II UNAH Ana María Girón<br />
TENDENCIAS<br />
Imagínese moviéndose en el plano cartesiano viajando de izquierda a derecha sobre la curva de<br />
= () hacia la recta vertical = . A medida que se avanza sobre la curva, los valores de x van<br />
estando cada vez más cerca de a, pero al mismo tiempo, los valores de y van acercandose a algún valor k.<br />
1<br />
2<br />
3<br />
4<br />
Representamos esto escribiendo: Cuando x a ‒ , y k<br />
Ahora imagínese moviéndose en el plano cartesiano viajando de derecha a izquierda sobre la curva de<br />
= () hacia la recta vertical = . A medida que se avanza sobre la curva, los valores de x van<br />
estando cada vez más cerca de a, pero al mismo tiempo, los valores de y van acercandose a algún valor k.<br />
Representamos esto escribiendo: Cuando x a + , y k<br />
En el caso de las funciones racionales, cuando x se acerca a alguna de las asíntotas verticales, el valor de y<br />
no se acerca a ningún número en particular sino que crece sin límite (y +∞ ) o cae sin límite (y ‒∞).<br />
Estos símbolos se utilizan cuando se quiere proveer información para describir la gráfica de una función<br />
racional para que la pueda graficar sin hacer usted mismo todo el análisis que describimos en la sección<br />
anterior.<br />
48
Métodos Cuantitativos II UNAH Ana María Girón<br />
Ejemplo:<br />
La gráfica:<br />
Se describiría diciendo que:<br />
Cuando x ⤑5 ‒ , y⤑‒∞<br />
Cuando x ⤑5 + , y⤑+∞<br />
A.H.: y = ‒1<br />
Ix: (7,0)<br />
Iy: (0, ‒1.4)<br />
La gráfica:<br />
Se describiría diciendo que:<br />
EJERCICIOS DE PRÁCTICA:<br />
Complete la información usando las siguientes gráficas:<br />
1. Complete:<br />
a) Si x ⤑2 ‒ entonces y⤑ _______<br />
b) Si x ⤑‒3 ‒ entonces y⤑ _______<br />
c) Si x ⤑2 + entonces y⤑ _______<br />
d) Si x ⤑5 + entonces y⤑ _______<br />
e) Si x ⤑‒3 + entonces y⤑ _______<br />
f) Si x ⤑5 ‒ entonces y⤑ _______<br />
g) El rango es _______________________<br />
h) El dominio es ___________________<br />
49
Métodos Cuantitativos II UNAH Ana María Girón<br />
2. Complete:<br />
a) Si x ⤑‒4 ‒ entonces y⤑ _______<br />
b) Si x ⤑‒4 + entonces y⤑ _______<br />
c) Si x ⤑‒1 ‒ entonces y⤑ _______<br />
d) Si x ⤑‒1 + entonces y⤑ _______<br />
e) Si x ⤑4 ‒ entonces y⤑ _______<br />
f) Si x ⤑4 + entonces y⤑ _______<br />
g) El rango es _______________________<br />
h) El dominio es ___________________<br />
3. Complete:<br />
a) Si x ⤑‒1 ‒ entonces y⤑ _______<br />
b) Si x ⤑‒1 + entonces y⤑ _______<br />
c) El punto faltante es _____________<br />
d) El rango es ______________________<br />
e) El dominio es ___________________<br />
4. Complete:<br />
a) Si x ⤑‒5 ‒ entonces y⤑ _______<br />
b) Si x ⤑‒5 + entonces y⤑ _______<br />
c) Si x ⤑1 ‒ entonces y⤑ _______<br />
d) Si x ⤑1 + entonces y⤑ _______<br />
e) Si x ⤑3 ‒ entonces y⤑ _______<br />
f) Si x ⤑3 + entonces y⤑ _______<br />
g) El rango es _______________________<br />
h) El dominio es ___________________<br />
50
Métodos Cuantitativos II UNAH Ana María Girón<br />
5. Complete:<br />
a) Si x ⤑‒1 ‒ entonces y⤑ _______<br />
b) Si x ⤑1 ‒ entonces y⤑ _______<br />
c) Si x ⤑‒1 + entonces y⤑ _______<br />
d) Si x ⤑1 + entonces y⤑ _______<br />
e) El rango es _______________________<br />
f) El dominio es ___________________<br />
Graficar usando tendencias<br />
Cuando se nos pide graficar usando tendencias, se nos dá la información y nosotros la trasladamos poco a<br />
poco al papel donde graficamos.<br />
Ejemplos:<br />
1) Hacer la grafica de la función con la siguiente informacion:<br />
• Cuando x → 1 ‒ , y → - ∞<br />
• Cuando x → 1 + , y → + ∞<br />
• AH: y = -3<br />
• Ix: (2, 0)<br />
• Iy: (0, -6)<br />
Las dos primeras líneas nos dicen que x = 1 es una asíntota vertical.<br />
Ubicamos las asíntotas y los interceptos.<br />
Una vez ubicadas las asíntotas e interceptos,<br />
vemos que la gráfica es sencilla y que las ramas<br />
de la misma se encuentran en el cuadrante<br />
superior derecho y en el cuadrante inferior<br />
izquierdo. Las dibujamos y luego verificamos si<br />
se cumplen las tendencias dadas en las dos<br />
primeras líneas de la descripción.<br />
51
Métodos Cuantitativos II UNAH Ana María Girón<br />
Hicimos pasar la gráfica por los puntos que habíamos<br />
ubicado.<br />
Cuando x → 1 ‒ , y → - ∞<br />
Cuando x → 1 + , y → + ∞<br />
<br />
<br />
y = -3 es una asíntota horizontal, no porque hayamos<br />
dibujado la línea punteada, sino porque la gráfica se acerca a<br />
ella sin cruzarla, en los extremos de la gráfica.<br />
La gráfica es satisfactoria porque cumple con todos los<br />
criterios que nos dieron.<br />
2) Hacer la grafica de la función con la siguiente informacion:<br />
• Cuando x → -2-, y → -∞<br />
• Cuando x → -2+, y → + ∞<br />
• Cuando x → 3+, y → + ∞<br />
• Cuando x → 3-, y → - ∞<br />
• Cuando x → +∞, y → 0+<br />
• Cuando x → -∞, y → 0-<br />
• Ix = Iy = (0, 0)<br />
Las primeras cuatro líneas nos dicen que x = ‒2 y x = 3 son asíntotas verticales. La quinta y sexta<br />
línea indican que y = 0 es la asíntota horizontal. Ubiquemos las asíntotas y los interceptos.<br />
Como solo hay un punto,<br />
marquemos lo que<br />
sabemos de las tendencias<br />
a los lados de las asíntotas<br />
52
Métodos Cuantitativos II UNAH Ana María Girón<br />
Hacemos pasar la gráfica por las marcas que pusimos en la<br />
segunda imágen.<br />
Esta gráfica es satisfactoria porque cumple con todas las<br />
características indicadas en la lista que se nos dió.<br />
Cuando x → -2-, y → -∞<br />
Cuando x → -2+, y → + ∞<br />
Cuando x → 3+, y → + ∞<br />
Cuando x → 3-, y → - ∞<br />
Cuando x → +∞, y → 0+<br />
Cuando x → -∞, y → 0-<br />
Ix = Iy = (0, 0)<br />
3) Hacer la grafica de la función con la siguiente informacion:<br />
• Cuando x → ‒2+, y → + ∞<br />
• Cuando x → ‒2-, y → + ∞<br />
• AH: y = 2<br />
• Corta la AH en (-4/5, 2)<br />
• Ix: (0, 0) y (1, 0)<br />
• Iy: (0, 0)<br />
Las dos primeras líneas nos<br />
dicen que x = -2 es una<br />
asíntota vertical.<br />
Ubicamos las asíntotas y los<br />
interceptos.<br />
Marcamos las tendencias a<br />
los lados de la asíntota<br />
vertical (marcas anaranjadas)<br />
Como la gráfica solo cruza la<br />
asíntota horizontal en el<br />
punto indicado, debemos<br />
asumir que<br />
cuando x → -∞, y → 2+<br />
La otra rama cruza la asíntota<br />
horizontal, pero solo una vez,<br />
asi que debemos asumir que<br />
cuando x → +∞, y → 2 ‒<br />
Marcamos esto a los lados de la asíntota horizontal (marcas verdes)<br />
53
Métodos Cuantitativos II UNAH Ana María Girón<br />
Esta gráfica es satisfactoria porque cumple con todas<br />
las características indicadas en la lista que se nos dió.<br />
Cuando x → ‒2+, y → + ∞<br />
Cuando x → ‒2-, y → + ∞<br />
AH: y = 2<br />
Corta la AH en (-4/5, 2)<br />
Ix: (0, 0) y (1, 0)<br />
Iy: (0, 0)<br />
EJERCICIOS DE PRÁCTICA<br />
1) Hacer la grafica de la función con la siguiente informacion:<br />
• Cuando x → 0+, y → - ∞<br />
• Cuando x → 0-, y → + ∞<br />
• Cuando x → 2+, y → - ∞<br />
• Cuando x → 2-, y → - ∞<br />
• AH: y = 0<br />
• Ix no tiene<br />
• Iy no tiene<br />
2) Hacer la grafica de la función con la siguiente informacion:<br />
• Cuando x → -2+, y → - ∞<br />
• Cuando x → -2-, y → + ∞<br />
• Cuando x → 2+, y → + ∞<br />
• Cuando x → 2-, y → - ∞<br />
• AH: y = 1<br />
• Corta la AH en x = 4<br />
• Ix = Iy = (0,0)<br />
3) Hacer la grafica de la función con la siguiente informacion:<br />
• Cuando x → 1+, y → - ∞<br />
• Cuando x → 1-, y → - ∞<br />
• Cuando x → -2+, y → - ∞<br />
• Cuando x → -2-, y → + ∞<br />
• Cuando x → +∞, y → 1-<br />
• Cuando x → -∞, y → 1+<br />
• Ix = (2, 0)<br />
• Iy = (0, -1)<br />
54
Métodos Cuantitativos II UNAH Ana María Girón<br />
4) Hacer la grafica de la función con la siguiente informacion:<br />
• Cuando x → 2+, y → + ∞<br />
• Cuando x → 2-, y → + ∞<br />
• Cuando x → -3+, y → - ∞<br />
• Cuando x → -3-, y → - ∞<br />
• AH: y = 0<br />
• Corta la AH en (0,0)<br />
• Ix = Iy = (0,0)<br />
• Punto faltante (3,1)<br />
5) Hacer la grafica de la función con la siguiente informacion:<br />
• Cuando x → -3-, y → +∞<br />
• Cuando x → -3+, y → - ∞<br />
• Cuando x → 3+, y → - ∞<br />
• Cuando x → 3-, y → + ∞<br />
• Cuando x → +∞, y → 2+<br />
• Cuando x → -∞, y → 2+<br />
• Punto maximo en (0,0)<br />
• Ix = Iy = (0, 0)<br />
6) Hacer el bosquejo de la grafica de la función con la siguiente informacion:<br />
• Cuando x → -2-, y → +∞<br />
• Cuando x → -2+, y →+∞<br />
• Cuando x → 2+, y → + ∞<br />
• Cuando x → 2-, y → + ∞<br />
• AH: y = 2<br />
• Ix: (-3,0), (-1,0), (3,0), (1,0)<br />
• Iy: (0, -1)<br />
7) Hacer el bosquejo de la grafica de la función con la siguiente informacion:<br />
• Cuando x → -3-, y → +∞<br />
• Cuando x → -3+, y →+ ∞<br />
• Cuando x → 0-, y → + ∞<br />
• Cuando x → 0+, y → -∞<br />
• Cuando x → 2-, y → - ∞<br />
• Cuando x → 2+, y → -∞<br />
• AH: y = -1<br />
• No corta la AH<br />
• Cuando x → +∞, y → -1+<br />
• Cuando x → -∞, y → -1-<br />
• Ix: (-1,0), (-4,0)<br />
• Iy: no tiene<br />
55
Métodos Cuantitativos II UNAH Ana María Girón<br />
8) Hacer el bosquejo de la grafica de la función con la siguiente informacion:<br />
• Cuando x → 2+, y → +∞<br />
• Cuando x → 2-, y →- ∞<br />
• Cuando x → -3-, y → - ∞<br />
• Cuando x → 3+, y → -∞<br />
• AH: y = 0<br />
• Corta la AH en (0,0)<br />
• Ix = Iy = (0,0)<br />
• Punto faltante en (3, ½)<br />
I. Selección única.<br />
EJERCICIOS DE PRÁCTICA ‒ REPASO<br />
1) La función () =<br />
<br />
+ a tiene asíntota vertical = <br />
y aíntota horizontal en = 3 cuando<br />
a) = 3, = 5<br />
b) = , = 3 <br />
c) = 0, = 5<br />
d) = 3, = 0<br />
2) Si la parabola = 3( − )( − 5) tiene eje de simetría en = 17/6 entonces<br />
a) = <br />
b) = <br />
c) = <br />
d) = − <br />
3) El rango de la función () = 2 − 4 + 1 es:<br />
a) [1, +∞ [<br />
b) ] -∞, 1]<br />
c) [-1, +∞ [<br />
d) ] -∞, -1 ]<br />
56
Métodos Cuantitativos II UNAH Ana María Girón<br />
4) El gráfico de la función f(x) =<br />
a) (5/2, 0)<br />
b) (2,1)}<br />
c) (0. ‒5)<br />
d) (0, 5/2)<br />
<br />
<br />
‒ 2 corta el eje x en el punto<br />
5) La parabola con vértice (1,2) y que pasa por (0, 5) tiene ecuación:<br />
a) = 3 2 + 6 + 5<br />
b) = 2 + 2 + 3<br />
c) = 3 2 − 6 + 5<br />
d) = 2 − 2 + 3<br />
6) Las ecuaciones de todas las asíntotas de f(x) = <br />
<br />
a) y = 1, y = ‒1, x = 2<br />
b) x = ‒2, x = 2<br />
c) y = 0, x = 1<br />
d) y = 2, x = ‒1, x = 1<br />
son<br />
7) Una fábrica de calzado tiene costos fijos de $6,600 por semana y un costo de $15 por cada par de<br />
zapatos. Si vende cada par a $20, el número de pares de zapatos que necesita vender por semana<br />
para cubrir los costos de producción es:<br />
a) 660<br />
b) 1320<br />
c) 440<br />
d) 330<br />
8) La recta que pasa por los puntos (1, ‒3) y (0, 5)tiene ecuación:<br />
a) = − + 5 <br />
b) = −8<br />
c) = −8 + 5<br />
d) = 5 − 8<br />
57
Métodos Cuantitativos II UNAH Ana María Girón<br />
9) Si () = + y (−3) = 8 y (3) = −4 entonces<br />
a) = 2, = −2<br />
b) = 4, = −8<br />
c) = −2, = 2<br />
d) = −4, = 20<br />
10) ¿Cuál es la ecuación de la recta que pasa por (0, -4) y (2, 0)?<br />
a) 2 + 4 = 8<br />
b) 4 + 2 = 8<br />
c) 2 − 4 = 8<br />
d) 4 + 2 = −8<br />
e) Ninguna de las anteriores.<br />
11) ¿Cuál es el dominio de () = √4 − ?<br />
a) Todos los numerous reales.<br />
b) ≥ 4<br />
c) ≤ −4<br />
d) ≤ 4<br />
e) Ninguno de los anteriores.<br />
12) El rango de () = −2 2 − 4 − 5 es:<br />
a) Todos los numerous reales.<br />
b) ≤ 3<br />
c) ≥ −3<br />
d) Ninguno de los anteriores.<br />
13) La función () = 2 − 8 + 10<br />
a) Tiene un punto máximo en (4, 6)<br />
b) Tiene un punto máximo en (4, ‒6)<br />
c) Tiene un punto mínimo en (4, 6)<br />
d) Tiene un punto mínimo en (4, ‒6)<br />
e) Ninguna de las anteriores.<br />
58
Métodos Cuantitativos II UNAH Ana María Girón<br />
14) La función () = 2 − 8 + 10<br />
a) Abre hacia abajo y tiene dos interceptos en el eje x.<br />
b) Abre hacia arriba y no tiene interceptos en el eje x.<br />
c) Abre hacia abajo y no tiene interceptos en el eje x.<br />
d) Abre hacia arriba y tiene un intercepto en el eje x.<br />
e) Ninguna de las anteriores.<br />
15) El dominio de la función () = 2 − 2| − 1| es:<br />
a) [ 1, +∞ [<br />
b) ] ‒∞, 1 ]<br />
c) R<br />
d) Ninguna de las anteriores.<br />
16) El rango de la función () = 2√ + 2 − 1 es:<br />
a) [ ‒2, +∞ [<br />
b) ] ‒1, +∞ [<br />
c) ] ‒∞, ‒1 [<br />
d) Ninguna de las anteriores.<br />
17) La función f(x) = <br />
<br />
a) = 2<br />
b) = −2<br />
c) = ±2<br />
d) No tiene asíntota vertical.<br />
tiene asíntota vertical en:<br />
18) El vértice de la función () = 3 − | + 1| − 1 es:<br />
a) (1, ‒1)<br />
b) (‒1, ‒1)<br />
c) (‒1, 2)<br />
d) Ninguno de los anteriores.<br />
59
Métodos Cuantitativos II UNAH Ana María Girón<br />
19) El dominio de la función () = 3 − 2√ + 2 es:<br />
a) ≥ −2<br />
b) 2, +∞<br />
c) −∞, 3<br />
d) a y b son correctas<br />
20) En la función () = − 2 − 4 − 4 el vértice es:<br />
a) (‒2, 8)<br />
b) ( 2, ‒16)<br />
c) (‒2, 0)<br />
d) (2, ‒8)<br />
21) La pendiente de la recta que pasa por los puntos (2,3) y (2,‒3) es:<br />
a) Indefinida<br />
b) 0<br />
c) ‒6/4<br />
d) 6/4<br />
22) El dominio de la función () = √− + 3 + 2 es:<br />
a) ≥ 3<br />
b) ≤ −3<br />
c) 3, +∞<br />
d) −∞, 3 <br />
23) En la función () = | − 2| + 6 el rango es:<br />
a) Los reales<br />
b) −∞, 6 <br />
c) 6, +∞<br />
d) −6, +∞<br />
60
Métodos Cuantitativos II UNAH Ana María Girón<br />
24) En la función () = √ + + , donde c > 0 y k > 0, la gráfica<br />
a) Tiene un Ix.<br />
b) Tiene dos Ix.<br />
c) No tiene Ix.<br />
d) Ninguna de las anteriores.<br />
Dada la siguiente gráfica:<br />
25) El dominio de la gráfica es:<br />
a) ≤ −3<br />
b) ≥ 0<br />
c) ≥ −3<br />
d) ≤ 0<br />
26) El rango de la gráfica es:<br />
a) 0, +∞<br />
b) −3, +∞<br />
c) −∞, 0<br />
d) −∞, −3<br />
27) El punto (‒3, 0) representa un:<br />
a) Punto final<br />
b) Punto máximo<br />
c) Punto mínimo<br />
d) Punto inicial<br />
61
Métodos Cuantitativos II UNAH Ana María Girón<br />
II. Escriba la respuesta correcta:<br />
1) La pendiente de la ecuación 3 + 5 = 2 es _________________________________________________________<br />
2) El vértice de la función () = 2 2 − 3 es _________________________________________________________<br />
3) El punto faltante de la función () = <br />
<br />
es __________________________________________________<br />
4) El dominio de la función () = 2√− + 3 + 2 es ____________________________________________________<br />
5) El rango de la función () = | + 1| es _________________________________________________________<br />
6) Encuentre la ecuación de la recta que pasa por (2, 3) y cuya pendiente es 4 _______________________<br />
7) El vértice de la función () = 2 + 1 es _________________________________________________________<br />
8) La asíntota horizontal de la función () =<br />
<br />
<br />
−3 es ___________________________________________<br />
9) Encuentre el intercepto en y de la función () = 2√ + 9 + 2 _____________________________________<br />
62