Muestreo_y_Reconstruccion_de_una_Senal_A

Demostracion del teorema de muestreo y Reconstrucion de la señal
Jairo Caín Sánchez Estrada
M. en C. en Ingenía Electrónica y Computación
Centro Universitario de Ciencias Exactas e Ingenierías
Universidad de Guadalajara
Abstract
1
0.5
Señal Analogica
1
0.8
Tren de Impulsos
Este documente desarrolla la demostracion matematica
del teorema de muestreo y reconstruccion de la señal, asi
como tambien se realiza una simulacion en el software de
MATLAB para comprobar lo demostrado.
sin((1/25)*pi*t)
gT(t)
0
−0.5
−1
−50 0 50 100
−50

−50 0 50 100
GT(f)
G(f)
10
8
6
4
2
0
−2
500
400
300
200
100
0
Transformada de Fourier de la Señal Analogica
−50

Por lo tanto la señal reconstruida:
g(t) =
n=∞
∑
n=−∞
g( n ) sin(2πf mt − nπ)
2f m 2πf m t − nπ
(22)
Figura 4: Reconstrucion de la señal muestreada por medio
de la Transformada inversa de fourier (MATLAB).
G(f) = 1
2f m
n=∞
∑
n=−∞
g( n )e −j2πnf
2fm
2f m
−f m ≤ f ≤ f m
(16)
Si se conocen todas las muestras de la señal analogica
g(t) entonces la transformada de fourier esta univocamente
determinada por la representacion en serie de fourier de
la ecuacion 16. ademas puesto que G(t) se puede determinar
a partir de su espectro G(f) utilizando la transformada
inversa de fourier, la señal original esta tambien univocamente
determinada por las muestras de la señal analogica.
Se considerara ahora reconstruir la señal a partir de las
muestras utilizando la transformada inversa de fourier:
g(t) = F −1 {
g(t) =
∫ fm
−f m
1
2f m
1
2f m
n=∞
∑
n=−∞
n=∞
∑
n=−∞
g( n )e −j2πnf
2fm
2f m
}
(17)
g( n
2f m
)e −j2πnf
2fm e j2πft df (18)
La integral en la transformada inversa de fourier se evalua
desde la frecuencia −f m a fm por que solo se quiere convertir
al dominio del tiempo el espectro centrado en cero o
mejor dicho el espectro de la señal analogica. Como solo
las exponenciales estan en funcion de f la integral se puede
recorrer sacando como constante los demas terminos:
g(t) =
n=∞
∑
n=−∞
1
g( n )
2f m 2f m
∫ fm
−f m
e j2πf(t−
n
2fm ) df (19)
Integrando la exponencial con respecto a f y evaluando
la integral definida se obtiene el seno dividido entre su
argumento, que no es mas que la funcion sinc:
∫ n
fm
e j2πf(t− n
2fm ) df = ej2πfm(t−
−f m
2fm ) − e −j2πfm(t−
j2π(t −
n
2f m
)
∫ fm
e j2πf(t− n
2fm ) df = sin(2πf mt − nπ)
−f m
2πf m t − nπ
n
2fm )
(20)
(21)
La ecuacion 22 es la formula para reconstruir la señal
original a partir de las muestras, siendo la funcion sinc la
funcion interpoladora. Si se presta atencion la funcion sinc
representa un filtro pasa bajas de ancho de banda f m cuya
entrada es la señal muestreada figure 4.
3. Codigo Simulacion Matlab
Codigo Main
clear all
close all
T=50;
sample=50;
t=0.01-T:0.01:2*T;
t2=0.02-3*T:0.01:3*T;
signal=sin((1/25)*pi*t);
trendepulsos=pulsetrain(sample,3*T,0.01,1);
muestreada=signal.*trendepulsos;
figure(1)
subplot(2,2,1);
plot(t,signal)
xlabel(’-50¡t¡100’)
ylabel(’sin((1/25)*pi*t)’)
title(’Señal Analogica’)
subplot(2,2,2);
stem(t,trendepulsos)
xlabel(’-50¡t¡100’)
title(’Tren de Impulsos’)
subplot(2,2,[3:4]);
stem(t,muestreada)
xlabel(’-50¡t¡100’)
ylabel(’gT(t)’)
title(’Señal Muestreada’)
fouriersignal=fftshift(fft(signal));
figure(2)
subplot(2,2,1);
stem(t,fouriersignal)
xlabel(’-50¡f¡100’)
ylabel(’G(f)’)
title(’Transformada de Fourier de la Señal Analogica’)
fouriertren=fftshift(fft(trendepulsos));
subplot(2,2,2);
stem(t,fouriertren)

xlabel(’-50¡f¡100’)
title(’Transformada de Fourier del Tren de Impulsos’)
convolucion=conv(fouriertren,fouriersignal);
subplot(2,2,[3:4]);
stem(t2,convolucion)
xlabel(’-150¡f¡150’)
ylabel(’GT(f)’)
title(’Transformada de Fourier de la Señal Muestreada’)
fouriersignal=fftshift(fft(signal));
figure(3)
stem(t,fouriersignal);
fouriertren=fftshift(fft(trendepulsos));
figure(4)
stem(t,fouriertren);
convolucion=conv(fouriertren,fouriersignal);
figure(5)
subplot(2,1,1)
stem(t2,convolucion);
xlabel(’-150¡f¡150’)
ylabel(’GT(f)’)
title(’Transformada de Fourier de la Señal Muestreada’)
analogica = ifftshift(ifft(convolucion))
subplot(2,1,2)
stem(t2,analogica);
xlabel(’-150¡t¡150’)
ylabel(’g(t)’)
title(’señal Analogica Reconstruida’)
Funcion generadora del tren de impulsos.
function pt=pulsetrain(Size,t,incre,Amplitude)
pt=zeros(1,t/incre);
for j=1:(t/(Size*incre)):(t/incre)
pt(j)=Amplitude;
end
end
Referencias
[1] John G.Proakis y Dimitris G.Manolakis Author, ”Tratamiento
Digital de Senales,”A Book, Madrid,1998.
[2] Jonh C. Bellamy,”Digital Telephone,”A Book, USA,
2000.