Dia 4 Guia de Mate

UNIDAD DE APRENDIZAJE III
PRELIMINARES DE ÁLGEBRA
INTRODUCCIÓN
Esta unidad trata sobre los preliminares y aspectos generales sobre álgebra, la forma en
que se relacionan las variables en las expresiones algebraicas y las operaciones que se
pueden desarrollar.
Se estudiarán entre otros temas:
Términos algebraicos
Expresiones algebraicas
Reducción de términos semejantes
Signos de agrupación
Multiplicación de monomios
Multiplicación de polinomios
RESULTADOS DE APRENDIZAJE:
Clasificar diferentes expresiones algebraicas
Resolver operaciones con expresiones algebraicas
Resolver expresiones algebraicas con signos de agrupación.
CONTENIDOS DE LA UNIDAD:
3.1 Generalidades
3.2 Términos algebraico
3.2.1 Tipos de términos.
3.3 Expresiones algebraicas.
3.3.1 Clasificación de las expresiones algebraicas
3.4 Términos semejantes
3.4.1 Reducción de términos semejantes
3.4.2 Producto de monomios
3.4.3 Producto monomio por polinomio
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Signos del
álgebra
3.1 GENERALIDADES DE ÁLGEBRA.
Algunas definiciones de álgebra:
“Rama de la matemática en la cual las operaciones son
generalizadas empleando números, letras y signos que
representan simbólicamente un número u otra entidad
matemática”
“Parte de las matemáticas que trata la cantidad en general,
representándola por medio de letras u otros signos”
NOTACIÓN ALGEBRAICA.
Los símbolos utilizados en álgebra para representar cantidades son números y letras.
Los números: representan cantidades conocidas.
Las letras : se emplean generalmente para representar cantidades desconocidas ,
se utilizan letras del alfabeto como: u, v, w, x, y, z entre otras.
SIGNOS UTILIZADOS EN ÁLGEBRA
Los signos empleados en álgebra son:
De operación
+, -, x, ÷, ^, ⬚
De relación
=, >,

3.2 TÉRMINO ALGEBRAICO.
Es una expresión algebraica que consta de uno o varios símbolos, no
separados entre sí por el signo (+) o el signo (-).
Ejemplos:
5a
7b , −3xyz , 20m3 , a
Elementos de un término algebraico:
Grado de un término:
El grado de un término puede ser de dos tipos:
a) Grado absoluto: es la suma de los exponentes de la parte literal.
b) Grado relativo: se calcula con respecto a una letra y es el
exponente de dicha letra.
3.2.1 TIPOS DE TÉRMINOS.
Término Descripción Ejemplos
Entero
Fraccionario
Racional
Irracional
Es el que no tiene parte literal (letras) en
el denominador
Es el que tiene parte literal (letras) en el
denominador
Es el que no tiene letras en el interior de
una raíz.
Es el que tiene letras en interior de una
raíz
20 x 2 y 5 z , 3mn
5
21yz
4x
√7a 5 b 2
3
√x 2 y
, 5m
√2n
36

3.3 EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Una expresión algebraica es cualquier combinación de letras y números ligados
por las operaciones elementales de suma, resta, multiplicación, división,
potenciación y radicación.
Ejemplo: 2 3 x2 y − xy 3 + 12; (3mn − 7) 3
3.3.1 CLASIFICACIÓN DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS.
Expresiones
algebraicas
se clasifican en
MONOMIO BINOMIO TRINOMIO POLINOMIO
tiene tiene tiene tiene
1 Término
ejemplos
2 Términos 3 Términos
2 o más términos
−25m;
xyz
50m
x + y; 3m − 2n
x 2 − 6y 3 + z 3
a + bc; mn − m 2 n 3 + m − 2 7
son son son
Polinomios
ACTIVIDAD 1.
Completar la siguiente tabla.
Expresión Nombre Nº de Nº de
términos variables
2 5 7
a c
3
1)
c
11 2 5
2) 2y 3y
5y
20
y
2
xy y
5
2 3 4 5 2 3 3 2 3
a b c 3df
b d a c d
b
7 2 3 7 3
3) 6x
y x z 2x
9
4)
Grado relativo
respecto a
Grado
absoluto
37

3.4 TÉRMINOS SEMEJANTES.
Definición.
Dos o más términos son semejantes si tienen la misma parte literal, es
decir, cuando tienen las mismas letras con los mismos exponentes.
Ejemplo: mn es semejante con 2 3 mn
−2x 3 y 5 z es semejante con √5y 5 x 3 z
ACTIVIDAD N° 2
Para cada término escriba dos que sean semejantes.
Término Semejante 1 Semejante 2
1) 3 7 x5 y 3
2) −250 a 2 bc 11 d 3
3
3)√7mn 2
4) −xy 5 z 2
3.4.1 REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES
Es una operación que tiene por objeto operar los términos semejantes en
una expresión y así llevarla hasta su expresión más simple. Se puede
presentar los casos:
a) Términos semejantes del mismo signo.
b) Términos semejantes de distinto signo.
Recuerde
Signos iguales = se suman
Signos diferentes = se restan
Ejemplos:
Reducir términos semejantes.
1) − 125m 3 n 2 − 30m 3 n 2 − 7n 2 m 3 = (−125 − 30 − 7)m 3 n 2
= −142 m 3 n 2
Sumamos los coeficientes
por tener el mismo signo y
agregamos la parte literal.
Conservamos el signo
común de los coeficientes.
2) 40x 3 y − 51x 3 y = (40 − 51) x 3 y
= −11 x 3 y
Restamos los coeficientes
por tener el signo diferente y
agregamos la parte literal.
Conservamos el signo del
número mayor en valor
absoluto.
38

3) −81x + 19y − 30z + 6y + 80x + x − 25y − 2z = (−81 + 80 + 1)x + (19 + 6 − 25)y +
(−30 − 2)z
= 0x + 0y − 32z
= −32z
ACTIVIDAD N° 3.
Reducir términos semejantes.
1) x 2x
2)
4) b 5b
7)
3a
b 4b
a 5a
b
3 5 5 3 3 5
19) 20)
8 a
a a a 2a
3a
a a 2a
2 2
a 9
3) 11b+9b
5) 8 m m
6) 9m 7m
x x
1 1
3 1
4a 5a
8) a a
9) ab ab 3
2 2
5 10
1 1
xy 11) x − 26y − 8x + 12y 12) 1525ab − 1530ba
3 6
10) xy
13) −23a x + 16a x 14) 7a − 9b + 6a − 4b 15) 12m − 3n + 15m + 21n
16) 2x a + 5x a −28x a 17)
5xy 3xy
10xy
12yx
3
3
376x y 400 yx
18)
2 3 1
a b ba
3 2
3 2 2 3 3 2
50m
n 175n
m 25m
n 21)
3
1
ab
5
22) 125x 3 y 5 − 250x 2 y 3 − 125y 5 x 3 + 100x 2 y 3 23) 20xy 75xz
25yx
125zx
24) 25) −n − 7n − 15n − 35n − 40n
Encuentre el perímetro de las siguientes figuras:
26) 27) Tuerca
3
28) Una expresion algebraica para la cantidad
de metros de cable de la figura es
39

3.4.2 PRODUCTO DE MONOMIOS
Se multiplican los coeficientes, luego se escriben las letras y se suman los
exponentes correspondientes de cada letra.
Recuerde
(+) (+) = +
(+) ( -) = -
(- ) (+) = -
(-) (-) = +
ACTIVIDAD N° 4
Multiplicar:
1) −5x 2 y 3 por 3xy 2 2) (mn)(−mn) 3)
2x por x
4) (x)(x) 5) (−m 2 )(−m 2 ) 6)
(−3xy)(−12xy)
7) (5ay 2 )(−21x 2 ) 8) (− 3 7 m2 n)( 7 4 am3 ) 9) ( 7 8 xyz)( 4 21 y2 )
10) ( 1 3 b)(− 2 5
(− 2 3 m)(− 7 13 n)
3 7 5 7 4
2mn
3mn
mn m
p
9 p
2 3 4
10a b c5
b c
3ab
b) 11) 12)
13)( 1 2 x)(− 3 5 y)(−10x)(−4y) 14)(2x)3b (2x) 11b (2x) −3b 15)
16) (−a m )(−2ab)(−3a 2 b x ) 17)
18) 19)
2
3
abc
a b
3
4
2 3
xy yz 3xyz
2yz
2 3 2 5 4
2x y
3xz
2y
z xy
3xyz
20) (−3ab)(−7b)(−5a)(−4a 2 b 3 ) 21) (2m)(−25n)(−3p)(−4)
Escriba una expresión algebraica para el área de la figura.
22) El área de la región sombreada es: 23) El área de la superficie superior es:
40

3.4.3 PRODUCTO DE MONOMIO POR POLINOMIO.
Se multiplica el monomio por cada uno de los términos del
polinomio, aplicando la ley de los signos y las leyes de los exponentes.
En otras palabras se aplica la ley distributiva de la multiplicación.
En forma general tenemos:
a (b + c − d) = ab + ac − ad
Ejemplos:
1) 2mn 2 (3m + 5n − 7m 2 n 2 ) = 2mn 2 (3m) + 2mn 2 (5n) − 2mn 2 (7m 2 n 2 )
= (2)(3)m 1+1 n 2 + (2)(5)mn 2+1 − (2)(7)m 1+2 n 2+2
= 6m 2 n 2 + 10mn 3 − 14m 3 n 4
2) (15a − 3bc)(−12a 2 b 3 ) = −(15a)(12a 2 b 3 ) + (3bc)(12a 2 b 3 )
= −(15)(12)a 1+2 b 3 + (3)(12)a 2 b 1+3 c
= −180a 3 b 3 + 36a 2 b 4 c
ACTIVIDAD N° 5
Multiplicar:
1) 5( c 4)
2) 4(5 x)
3) 4( 2c
5)
4) −2(−a − b) 5) −10(x 2 − 42) 6) (−2a)(a 2 + b 2 )
7) 5( a b)
8) 10( 9 4 x)
9) mn
( 1)
10) a( c 6 bc)
11) z 6( 1 x)
12)
2
2 xy( x 3 x x )
13) 2y(5 − y + y 2 ) 14) (9a 2 b 2 − 5b + 13a)(−7ab) 15) m 2 (20m − m 2 )
16) (−5m 3 )(−23 − 2m 2 + 3m 3 ) 17) ( 2 5 a2 )(5a − 15
2 ) 18) (− 3 7 m)(14 9 − 2 5 m2 )
19) −2x(x 3 + 3x 2 − 7x + 1) 20) (21 − 43m 2 n + 13mn 2 )(5mn) 21) 3 4 n(12 − 8 9 n2 + mn)
22) (−9a 2 b)(−5ab − 7b 2 − 12ab 2 ) 23) (− 1 3 xy)(6 − 18x2 y 3 + 2 5 xy2 )
24) Calcular el área del tablero 25) Calcular el área de la cancha
2x
41

BIBLIOGRAFÍA
Álgebra y trigonometría, Zill, Dennis G. y Dewar Jacqueline, EditorialMcGraw
Hill, México.
Matemática , Mauricio Enriques Navas, Belinda López, Carlos Ortez, Editorial
Santillana, México.
Aritmética de Baldor, Aurelio Baldor, Editorial Cultural centroamericana S.A.,
Guatemala.
Álgebra de Baldor, Aurelio Baldor, Editorial Cultural centroamericana S.A.,
Guatemala.
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