Geometría del plano euclídeo

Geometría del plano euclídeo SOBRE UN PLANO CARTESIANO
La geometría plana es una parte de la geometría que trata de aquellos elementos
cuyos puntos están contenidos en un plano euclídeo. La geometría plana está considerada
parte de la geometría euclídea, pues ésta estudia los elementos geométricos a partir de dos
dimensiones.
Axiomas
La presentación tradicional de la geometría euclidiana se hace en un formato axiomático, en el
que todos los teoremas («declaraciones verdaderas») derivan de un pequeño número de
axiomas. 4 Un sistema axiomático es aquel que, a partir de un cierto número de proposiciones
que se presuponen «evidentes» (conocidas como axiomas) y mediante deducciones lógicas,
genera nuevas proposiciones cuyo valor de verdad es también lógico.
Postulados
Euclides planteó cinco postulados en su sistema:
1. Dados dos puntos se puede trazar una recta que los une.
2. Cualquier segmento puede prolongarse de manera continua en cualquier sentido.
3. Se puede trazar una circunferencia con centro en cualquier punto y de cualquier radio.
4. Todos los ángulos rectos son congruentes.
5. Si una recta corta a otras dos formando, a un mismo lado de la secante, dos ángulos
internos agudos, esas dos rectas prolongadas indefinidamente se cortan del lado en el
que están dichos ángulos (ver quinto postulado de Euclides).
Este último postulado, que es conocido como el postulado de las paralelas, fue reformulado
como:
5. Por un punto exterior a una recta, se puede trazar una única paralela a la recta
dada.
Este postulado parece menos obvio que los otros cuatro, muchos geómetras intentaron
deducirlo de los anteriores. Cuando intentaron reducirlo al absurdo negándolo, surgieron
dos nuevas geometrías: la elíptica, también llamada geometría de Riemann o riemanniana
(dada una recta y un punto exterior a ella, no existe ninguna recta que pase por el punto y
sea paralela a la recta dada) y la hiperbólica o de Lobachevsky (dada una recta, existen
varias rectas paralelas que pasan por un mismo punto exterior a esta). Puesto que ambas
geometrías son consistentes, se deduce que el quinto postulado es, en efecto, un
postulado que no puede deducirse de los otros cuatro. Estas geometrías, en las que el
quinto postulado no es válido, se llaman geometrías no euclidianas.
Limitaciones
Una limitación del trabajo de Euclides fue no reconocer la posibilidad de sistemas
geométricos perfectamente consistentes donde el quinto axioma no era válido, es decir,
para Euclides y los geómetras posteriores hasta el siglo XVIII pasó inadvertida la
posibilidad de geometrías no euclidianas, hasta el trabajo de Nikolái
Lobachevski, Gauss y Riemann.
Si bien durante el siglo XIX se consideró a las geometrías no euclidianas un artefacto
matemáticamente interesante e incluso con cierto interés práctico pero limitado, como es
el caso de la trigonometría esférica usada en astronomía, en cierto modo se admitió que la
geometría del espacio físico era euclidiana y, por tanto, las geometrías no euclidianas
eran tan sólo un artificio abstracto útil para ciertos problemas, pero en modo alguno
descripciones realistas del mundo. Sin embargo, el trabajo de Albert Einstein hizo ver que
entre las necesidades de la física moderna están las geometrías no euclidianas para
describir, por ejemplo, el espacio-tiempo curvo.

Polígono
Algunos ejemplos de polígonos.
En geometría, un polígono es una figura geométrica plana compuesta por una secuencia
finita de segmentos rectos consecutivos que encierran una región en el plano. Estos
segmentos son llamados lados, y los puntos en que se intersecan se llaman vértices. El
polígono es el caso bidimensional del politopo.
Índice
1Etimología
o 1.1Definición
• 1.1.1Línea poligonal
o 1.2Propiedades
2Elementos de un polígono
3Formulario
4Clasificación
o 4.1Clasificación de los polígonos según su contorno
o
4.2Nombres de polígonos según su número de lados
Etimología
La palabra polígono deriva del griego antiguo πολύγωνος (polúgōnos), a su vez formado por
πολύ (polú) ‘muchos’ y γωνία (gōnía) ‘ángulo’, 123 aunque hoy en día los polígonos son
usualmente entendidos por el número de sus lados.
La noción geométrica elemental ha sido adaptada de distintas maneras para servir a
propósitos específicos. A los matemáticos a menudo les interesan sólo las líneas poligonales
cerradas y los polígonos simples (aquellos en los cuales sus lados sólo se intersecan en los
vértices), y pueden definir un polígono de acuerdo a ello. Es requisito geométrico que dos
lados que se intersecan en un vértice formen un ángulo no llano (distinto a 180°), ya que de
otra manera los segmentos se considerarían partes de un único lado; sin embargo, esos
vértices podrían permitirse algunas veces por cuestiones prácticas. En el ámbito de la
computación, la definición de polígono ha sido ligeramente alterada debido a la manera en que
las figuras son almacenadas y manipuladas en la computación gráfica para la generación de
imágenes.
Definición
La definición del polígono depende del uso que se le quiera dar, así por ejemplo para hacer
referencia a una región del plano se tiene:
Llamaremos polígono a la porción del plano delimitada y encerrada por una línea
poligonal. 4
Para hacer referencia al estudio euclidiano de las longitudes de los lados de un polígono, se
tiene:
Llamaremos polígono a una figura geométrica plana definida por una línea poligonal de la
cual sus dos extremos coinciden.
Para desarrollar un concepto didáctico del polígono, se tiene:
Llamaremos polígono al conjunto de puntos y segmentos que unen sucesivamente dichos
puntos.
En esta última definición se suele evitar los puntos consecutivos alineados.
Propiedades
Interior de un polígono es el conjunto de todos los puntos que están en el interior de la
región que delimita dicho polígono.
Exterior de un polígono es el conjunto de los puntos que no están en la línea poligonal
(frontera) ni en el interior. 5

Elementos de un polígono
En un polígono se distinguen los siguientes elementos geométricos:
Lados del polígono: son cada uno de los segmentos que conforman el polígono.
Vértices de un polígono: son los puntos de intersección o puntos de unión entre lados
consecutivos.
Diagonales del polígono: son segmentos que une dos vértices, no consecutivos, del
polígono.
Ángulo interior del polígono: es el ángulo formado, internamente al polígono, por dos
lados consecutivos.
Ángulo exterior del polígono: es el ángulo formado, externamente al polígono, por uno
de sus lados y la prolongación del lado consecutivo.
Ángulo entrante del polígono: es el ángulo interior al polígono que mide más de 180º.
Ángulo saliente del polígono: es el ángulo interior al polígono que mide menos de 180º
Hexágono regular.
En un polígono regular se puede distinguir, además:
Centro (C): es el punto equidistante de todos los vértices y lados.
Ángulo central (AC): es el ángulo formado por dos segmentos de recta que parten del
centro a los extremos de un lado.
Apotema (a): es el segmento que une el centro del polígono con el centro de un lado;
es perpendicular a dicho lado.
Diagonal : son los segmentos que unen los vértices del polígono no consecutivamente.
Formulario
Perímetro (P): es la suma de las longitudes de todos los lados del polígono.
Semiperímetro (SP): es la mitad del perímetro.
Diagonales totales
Intersecciones de diagonales en un polígono de N vértices.
Todo polígono regular de n lados, puede ser descompuesto en un conjunto ordenado
de n-2 triángulos, con un vértice común y la suma de las áreas de los triángulos sea
igual al área del polígono.

Clasificación
Existen varias clasificaciones posibles de los polígonos. Para ver una clasificación basada
en su número de lados, vea la tabla inferior.
Clasificación de los polígonos según su contorno
Algunos ejemplos de varios tipos de polígono.
Clasificación de los polígonos según la
forma de su contorno.
Polígonos Simples Convexos Regulares
Irregulares
Cóncavos
Complejos
Según las propiedades que cumpla el contorno del polígono, es posible realizar las
siguientes clasificaciones.
Simple, si ningún par de aristas no consecutivas se corta. Equivalentemente, su
frontera tiene un solo contorno.
Convexo, si todo segmento que une dos puntos cualesquiera del contorno del
polígono yace en el interior de este. Todo polígono simple y con todos sus ángulos
internos, menores que 180º es convexo.
Cóncavo, si es un polígono simple y no convexo.
Equilátero, si tiene todos sus lados de la misma longitud.
Equiángulo, si tiene todos sus ángulos interiores iguales.
Regular, si es equilátero y equiángulo a la vez.
Irregular, si no es regular. Es decir, si no es equilátero o equiángulo.
Cíclico, si existe una circunferencia que pasa por todos los vértices del polígono.
Todos los polígonos regulares son cíclicos.
Ortogonal o Isotético, si todos sus lados son paralelos a los ejes
cartesianos o . 9
Estrellado, si se construye a partir de trazar diagonales en polígonos regulares. Se
obtienen diferentes construcciones dependiendo de la unión de los vértices: de dos en
dos, de tres en tres, etc.
Reticular es simple y, al representarlo en un reticulado, cada vértice yace
exactamente en un vértice de cuadrado unitario del reticulado (en este caso funciona
la fórmula de Pick).

Polígono convexo y regular (equilátero y equiángulo).
Polígono estrellado.
Nombres de polígonos según su número de lados
Los polígonos tienen un nombre especial para designar el número de lados del mismo.
Los nombres más comunes están en la siguiente tabla:
Clasificación de polígonos
según el número de lados
Nombre
trígono o triángulo 3
tetrágono, cuadrángulo o cuadrilátero 4
pentágono 5
hexágono 6
heptágono 7
octógono u octágono 8
eneágono o nonágono 9
decágono 10
endecágono o undecágono 11
dodecágono 12
tridecágono 13
tetradecágono 14
pentadecágono o pentedecágono 15
hexadecágono 16
heptadecágono 17
octodecágono u octadecágono 18
eneadecágono o nonadecágono 19
isodecágono o icoságono 20
n.º lados

EJEMPLO
INSTRUCCIONES: de trazado del hexágono con N = 6 (ver el ejemplo).
Primero el plano cartesiano X Y con negro y regla.
Segundo el círculo con el compás abierto 12 cuadros o 6 cm y apoyado en el origen.
Tercero se apoya el compás en el cruce derecho del eje X con el círculo y se marcan dos
arcos a los lados que crucen al círculo. Se repite con el lado izquierdo.
Cuarto con lápiz se unen todos los cruces para formar el hexágono. Y después se
remarca con Tinta roja.
Quinto con verde se marca el radio sobre el eje X positivo. R = 6.
Sexto se calcula el ángulo central (AR). Que es igual a 180 sobre N, igual a 30 grados y
queda (AR=30°), el lado es igual a 6. L=6
Séptimo para trazar el ángulo central (AR) se usa el transportador y se hace una marca
sobre el círculo, se une con el centro con lápiz. Formando el lado por encima del radio y
ya está el ángulo y la apotema (AP). Se forma un triángulo rectángulo.
Octavo. El ángulo se marca rosa y el apotema con tinta azul.
Noveno se pone los títulos en cada línea de la figura.
Décimo Calcula: apotema al cuadrado es igual al radio al cuadrado menos lado sobre 2 al
cuadrado. Con teorema de Pitágoras; AP 2 = R 2 − (L/2) 2 . AP=5.1962.
Con funciones quedarían: L = R ∗ sin(AR) ∗ 2 AP = R ∗ cos(AR).
Ángulo interno igual a 120 grados.
Suma de ángulos internos igual a 720 grados.
Perímetro igual a L por N.
Área igual a L al cuadrado por N / (4 por tangente del ángulo central).
A = L 2 N/(tan(AR) ∗ 4)
Con esto terminamos el ejemplo y los pasos necesarios.

CALCULAR PRISMAS Y PIRÁMIDES.

Los sólidos platónicos, regulares o perfectos son poliedros convexos tal que todas sus
caras son polígonos regulares iguales entre sí, y en que todos los ángulos sólidos son
iguales. 1 Reciben este nombre en honor al filósofo griego Platón (ca. 427 a. C./428 a. C.-
347 a. C.), a quien se atribuye haberlos estudiado en primera instancia. También se conocen
como cuerpos , cuerpos cósmicos, sólidos pitagóricos, sólidos perfectos, poliedros de
Platón o, sobre la base de propiedades geométricas, poliedros regulares convexos.
Se le atribuye la formulación de la teoría general de los poliedros regulares a Teeteto,
matemático contemporáneo de Platón. 2 Gobernados por la fórmula V + C = A+2, donde V es
el número de vértices; C, número de caras y A, número de aristas y fue descubierta por el
genial y prolífico Leonardo Euler. 3
Los sólidos platónicos son el tetraedro, el cubo (o hexaedro regular), el octaedro (o bipirámide
cuadrada si se incluyera en la nomenclatura de sólidos de Johnson), 4 el dodecaedro y
el icosaedro (o bipirámide pentagonal giroelongada si se incluyera en la nomenclatura
de sólidos de Johnson). Esta lista es exhaustiva, ya que es imposible construir otro sólido
diferente de los cinco anteriores que cumpla todas las propiedades exigidas, es decir,
convexidad y regularidad.
Historia
Las propiedades de estos poliedros son conocidas desde la antigüedad clásica, hay
referencias a unas bolas neolíticas de piedra labrada encontradas en Escocia 5 1000 años
antes de que Platón hiciera una descripción detallada de los mismos en Los
elementos de Euclides. Se les llegó a atribuir incluso propiedades mágicas o místicas. El
nombre cubo en árabe, Kaaba, nombra un santuario sumamente venerado en el Islam. 6 Timeo
de Locri, en el diálogo de Platón dice «El fuego está formado por tetraedros; el aire, de
octaedros; el agua, de icosaedros; la tierra de cubos; y como aún es posible una quinta forma,
Dios ha utilizado esta, el dodecaedro pentagonal, para que sirva de límite al
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mundo»
Los antiguos griegos estudiaron los sólidos platónicos a fondo, y fuentes (como Proclo)
atribuyen a Pitágoras su descubrimiento. Otra evidencia sugiere que solo estaba familiarizado
con el tetraedro, el cubo y el dodecaedro, y que el descubrimiento del octaedro y el icosaedro
pertenecen a Teeteto, un matemático griego contemporáneo de Platón. En cualquier
caso, Teeteto dio la descripción matemática de los cinco poliedros y es posible que fuera el
responsable de la primera demostración de que no existen otros poliedros regulares convexos.
Propiedades
Teorema
Existen únicamente cinco poliedros regulares; ello debido a la posibilidad de construcción de
sus ángulos sólidos que admiten triángulos equiláteros, o cuadrados, o bien pentágonos, que
deben ser menor de 360°. 7
Regularidad
Tal y como se ha expresado para definir estos poliedros:
las caras de un sólido platónico son polígonos regulares iguales.
En todos los vértices de un sólido platónico concurren el mismo número de caras y de
aristas.
Todas las aristas de un sólido platónico tienen la misma longitud.
Todos los ángulos diedros que forman las caras de un sólido platónico entre sí son
iguales.
Todos sus vértices son convexos a los del icosaedro.

Simetría
Los sólidos platónicos tienen caracterizaciones simétricas:
El centro de un cubo (de un octaedro regular) es centro de simetría de dicha figura,
devuelve la misma figura; pero no lo es, el centro de un tetraedro regular. 8 Todos ellos
gozan respecto a un punto del espacio (centro de simetría) que equidista de sus caras, de
sus vértices y de sus aristas, pero no se conserva la figura original.
Todos ellos tienen además simetría axial respecto a una serie de ejes de simetría que
pasan por el centro de simetría anterior.
Todos ellos tienen también simetría especular respecto a una serie de planos de simetría
(o planos principales), que los dividen en dos partes iguales.
Como consecuencia geométrica de lo anterior, se pueden trazar en todo sólido platónico
tres esferas particulares, todas ellas centradas en el centro de simetría del poliedro:
Una esfera inscrita, tangente a todas sus caras en su centro.
Una segunda esfera tangente a todas las aristas en su centro.
Una esfera circunscrita, que pase por todos los vértices del poliedro.
Proyectando los centros de las aristas de un poliedro platónico sobre su esfera circunscrita
desde el centro de simetría del poliedro se obtiene una red esférica regular, compuesta por
arcos iguales de círculo máximo, que constituyen polígonos esféricos regulares.

Arquímedes de fue un físico, ingeniero, inventor, astrónomo y matemático griego. Aunque se
conocen pocos detalles de su vida, es considerado uno de los científicos más importantes de
la Antigüedad clásica. Entre sus avances en física se encuentran sus fundamentos
en hidrostática, estática y la explicación del principio de la palanca. Es reconocido por haber
diseñado innovadoras máquinas, incluyendo armas de asedio y el tornillo de Arquímedes, que
lleva su nombre. Experimentos modernos han probado las afirmaciones de que Arquímedes
llegó a diseñar máquinas capaces de sacar barcos enemigos del agua o prenderles fuego
utilizando una serie de espejos.
Se considera que Arquímedes fue uno de los matemáticos más grandes de la antigüedad y,
en general, de toda la historia. Usó el método exhaustivo para calcular el área bajo el arco de
una parábola con el sumatorio de una serie infinita, y dio una aproximación extremadamente
precisa del número pi. También definió la espiral que lleva su nombre, fórmulas para
los volúmenes de las superficies de revolución y un ingenioso sistema para expresar números
muy largos.
Su técnica recibe el nombre de método exhaustivo, y fue el sistema que utilizó para aproximar
el valor del número π. Para ello, dibujó un polígono regular inscrito y otro circunscrito a una
misma circunferencia, de manera que la longitud de la circunferencia y el área del círculo
quedan acotadas por esos mismos valores de las longitudes y las áreas de los dos polígonos.
A medida que se incrementa el número de lados del polígono la diferencia se acorta, y se
obtiene una aproximación más exacta. Partiendo de polígonos de 96 lados cada uno,
Arquímedes calculó que el valor de π debía encontrarse entre 3 10 ⁄ 71 (aproximadamente
3,1408) y 3 1 ⁄ 7 (aproximadamente 3,1429), lo cual es consistente con el valor real de π.
También demostró que el área del círculo era igual a π multiplicado por el cuadrado del radio
del círculo. En su obra Sobre la esfera y el cilindro, Arquímedes postula que cualquier
magnitud, sumada a sí misma suficiente número de veces, puede exceder cualquier otra
magnitud dada, postulado que es conocido como la propiedad arquimediana de los números
reales.