SEÑALES Y SISTEMAS DISCRETOS

SEÑALES Y SISTEMAS
DISCRETOS
DEFINICIONES Y CONCEPTOS BÁSICOS

INTRODUCCIÓN
•Las señales en tiempo discreto o simplemente señales discretas son aquellas que están definidas
en instantes discretas de tiempo.
•Algunos ejemplos de en la vida real de algún fenómeno que pueden ser descritos como señales
en tiempo discreto son: la clase de Análisis de Señal, número de niños que nacen diariamente
durante el año, el interés que produce una cuenta bancaria, etc.
•Este tipo de señales generalmente son de tipo limitado en el tiempo, por ejemplo en el caso de
la clases de análisis de señales, ya que hace la descripción solo en el semestre.
•Otro tipo de señales en tiempo discreto es aquella señal que surge como consecuencia de un
proceso llamado “muestreo”.
•Un ejemplo de este tipo de caso seria la grabación digital de señales de audio o los sistemas de
telemedida.

INTRODUCCIÓN
•Las señales discretas en la actualidad tienen aplicaciones en muchas áreas de la ingeniería,
ciencia, economía, etc.
•Por ejemplo en economía la variable discreta en el tiempo puede ser día, mes, trimestre o año
de un periodo específico.
•Según el área de aplicación y/o el fenómeno, la variable independiente puede ser cualquier
parámetro medible, (ejemplo, la altura).
•En el caso de nuestra área, se va a tomar como variable independiente discreta al tiempo.
•De ahí que a este tipo de señales se los llama señales en tiempo discreto.
•Por lo tanto, dichas señales se representan como una secuencia de valores f(t n ) donde t n indica
instantes en los que está definida la señal.

DEFINICION DE SEÑALES DISCRETAS
• Como se dijo una señal en tiempo discreto es aquella que solamente está definida
para valores discretos del tiempo, es decir, para un valor específico t n , se define su
correspondiente f(t n ).
• Además, como también se dijo, una señal es una secuencia de valores, se va a
representar a dichas señales como:
f[n]
Donde n es un número entero.
A n también se lo conoce como número de muestra.
TIPOS DE SEÑALES DISCRETAS: Según como se exprese a la señal discreta, existen dos
tipos de señales:
1. Señales discretas finitas.
2. Señales discretas infinitas.

TIPOS DE SEÑALES DISCRETAS
SEÑALES DISCRETAS FINITAS: Son aquellas señales que se representan mediante un
conjunto de valores. También se conocen como señales de tiempo finito o tiempo
discreto limitado. Otro nombre que reciben estas señales son como secuencia de
longitud finita.
f n =
1 4 , 1 2 , 1 3 , 0, 3 4 , − 1 2
La flecha indica el valor de la secuencia para n = 0.

TIPOS DE SEÑALES DISCRETAS
SEÑALES DISCRETAS INFINITAS: Son aquellas señales que se representan mediante una
función o expresión matemática. También se conocen como señales de tiempo infinito
o tiempo discreto ilimitado.
f n = e −n sen[n]
También se conoce como secuencia de
longitud infinita

TIPOS DE SEÑALES DISCRETAS
• Desde el punto de visto práctico, y por las limitaciones en el tamaño de la palabra
que usa un procesador, la velocidad de procesamiento, las señales se describen en
base a un valor finito de muestras.
• Es decir, que a partir de una secuencia de muestreo, solo se agarra una cierta
cantidad de muestras para realizar el posterior procesamiento de la misma.
• Eso va a estar en función de las características de la aplicación, precisión y exactitud
buscada, y por supuesto capacidades técnicas del elemento procesador.

DISCRETIZACION DE SEÑALES
• El proceso de discretización o también llamado muestreo consiste en extraer
valores específicos o muestras cada cierto tiempo llamado periodo de muestreo, a
partir de una señal continua en el tiempo o analógica.
• En la vida real, todos los fenómenos naturales, que son posibles ser representados
por señales, son de naturaleza de tiempo continuo.
• Con el transcurso del tiempo la tendencia es la digitalización de todo tipo de
proceso.
• De ahí que en la actualidad es común hablar de señales digitales.
• La discretización es la primera parte del proceso llamado digitalización del señales
analógicas.
• Una señal de tiempo discreta en esencia aquella señal que está definida en un
cierto valor de tiempo, pero su magnitud todavía contiene un número infinito de
valores.

DISCRETIZACION DE SEÑALES
Para poder realizar la discretización de señales analógicas a discretas, se requiere de un
dispositivo llamado muestreador o discretizador, que lo podemos representar como una
llave que se cierra y abre cada cierto tiempo uniforme, llamado periodo de muestreo, T S .
Señal continua en el tiempo, f(t)
Señal muestreada, f[nTs]
El interruptor se cierra y
abre cada Ts segundos
Por lo tanto, a partir de la señal analógica, f(t) se obtiene la señal muestreada, es decir:
f n =
f(t) ቚ = f[nT s ]
t=Ts

DISCRETIZACION DE SEÑALES
Desde el punto de vista analítico, el proceso de muestreo consiste en multiplicar dos
señales o funciones. Una de ellas es la señal analógica a ser muestreada y la función se
conoce como muestreador.
Es decir:
f n = f t . p(t)
Donde la función p(t) esta definida como una función llamada tren de impulsos unitarios.
f(t)
x
p(t)
f[n]
p t =
+∞
δ t − k
k=−∞

DISCRETIZACION DE SEÑALES
Por lo tanto:
+∞
f n = f t . δ t − nTs
n=−∞
Tren de pulsos
(líneas punteadas), función f(t)
Función muestreada, f[n]
+∞
f n = f(nTs)δ t − nTs
n=−∞

DISCRETIZACION DE SEÑALES
• Como bien sabemos, cada señal ocupa un cierto ancho de banda, como pudimos
apreciar en el tema de transformada de Fourier.
• Por lo tanto si se aplica la transformada de Fourier a las funciones f(t) y p(t)
F(f)
P(f)
En estos gráficos se muestran los espectros
de las señales f(t) y del muestreador p(t)
f

DISCRETIZACION DE SEÑALES
Por lo tanto al aplicar la Transformada de Fourier a la función muestreada
F s f =
+∞
F(f − kf s )
k=−∞
Fs(f)
Donde B representa el ancho de banda de la señal o información.

DISCRETIZACION DE SEÑALES
• A medida que disminuimos la
frecuencia de muestreo, es decir
se aumenta el periodo de
muestreo, las replicas de Fs(f),
tienden a aproximarse entre sí.
• Si se sigue aumentando el
periodo de muestreo, las réplicas
llegan a invadir el espacio del
otro.
• A este efecto se conoce como
“Aliasing”, o solapamiento.
Fs(f)
Aliasing o Solapamiento

TEOREMA DE MUESTREO
•Este solapamiento o “Aliasing” va a provocar que la señal sufra una distorsión de la señal, lo cual
significa que ya no es el mismo.
•Esto es muy importante sobre todo a la hora de la recuperación de la señal.
•Para evitar este problema y recuperar la información de manera íntegra se debe aplicar el
principio o criterio de Nyquist.
•Este criterio de Nyquist o también llamado el “Teorema de Muestreo, establece que para poder
recuperar la señal original de la muestreada la frecuencia de muestreo, fs, debe de ser por lo
menos el doble del Ancho de banda que ocupa la información.
•Es decir:
f s = 2. AB
Donde AB: Ancho de Banda de la señal a muestrear.

EJEMPLO MUESTREO
Sea una señal expresada por la siguiente ecuación: x(t) = 5cos(2π1000t), para t ≥ 0, y
se muestrea a una frecuencia de fs = 8 [KHz]. Se pide:
a) Dibujar el espectro de la señal original.
b) Dibujar el espectro de la señal muestreada de 0 a 20 [KHz].
SOLUCIÓN: Debido a que la señal analógica es una senoidal con un valor pico de 5V y
frecuencia de 1000 Hz, se puede escribir a la señal aplicando Identidad de Euler:
x(t) = 5cos(2π1000t) = 5.
e j2π1000t + e −j2π1000t
2
= 2.5e j2π1000t + 2.5e −j2π1000t

EJEMPLO MUESTREO
De la ecuación se muestran los coeficientes de los términos: C 1 = C -1 = 2.5
Espectro de la señal original
Espectro de la señal muestreada, donde se
muestras las réplica de X(f)

EJEMPLO MUESTREO
Consideremos la señal x(t) = 2cos(2πt + π/4), −∞ < t < ∞ , determinar si es de banda
limitada. Usar Ts = 0.4, 1s como periodo de muestreo. Averiguar para caso si se
cumple con el Teorema de Nyquist.
SOLUCIÓN: De acuerdo a la ecuación, se ve que su frecuencia es w 0 = 2π [rad/seg], por
lo tanto sí es de banda limitada y vale a w MAX = w 0
De la expresión general para una señal muestreada:
Usando a Ts = 0.4s, la frecuencia de muestreo en rad/seg, es igual a w s = 2π/Ts = 2π/0.4
= 5π[rad/s]. Por lo tanto, w s > 2w 0 = 2*2π = 4π. Entonces cumple con el Teorema de
Nyquist.

EJEMPLO MUESTREO
Por lo tanto la señal muestreada se expresa de la siguiente manera:
Pregunta: ¿Cada cuánto se repite la señal?
Secuencia muestreada a Ts = 0.4s
* Para Ts = 1s?

TRANFORMACION DE LA VARIABLE
INDEPENDIENTE
Al igual como en el caso de las señales continuas en el tiempo, en señales discretas es
posible realizar transformaciones sobre la variable independiente discreta, n. Como se
vio con señales analógicas dichas transformaciones son: Desplazamiento, Escalamiento
e Inversión.
DESPLAZAMIENTO TEMPORAL: Dada una secuencia o señal discreta f[n] y un valor
cualquiera entero k, positivo o negativo, se puede obtener una versión desplazada de
f[n], tal que:
• f[n - k]. Secuencia desplazada a la derecha k muestras. Se tiene Retraso (k muestras).
• f[n + k]. Secuencia desplazada a la izquierda k muestras. Se tiene Adelanto (k muestras).

TRANFORMACION DE LA VARIABLE
INDEPENDIENTE
DESPLAZAMIENTO TEMPORAL
a) Secuencia original tomando como referencia una muestra en n 1 .
b) Señal atrasada en k muestras.
c) Señal adelantada en k muestras.

TRANFORMACION DE LA VARIABLE
INDEPENDIENTE
ESCALADO EN EL TIEMPO: El escalado tampoco difiere con su contraparte analógico o
continuo en el tiempo, pero se debe tener cuidado en el caso de tiempo discreto, debido
a que como dijimos la señal solamente está definida para valores enteros de la variable
discreta independiente.
Sea la siguiente secuencia expresado por la función x[n] y k valor entero. Por lo tanto, la
versión escalada es la función:
• g[n] = x[kn]
• g[n] = x[n/k]

TRANFORMACION DE LA VARIABLE
INDEPENDIENTE
ESCALADO EN EL TIEMPO
• En figura (a) se muestra la secuencia
original x[n].
• En figura (b) se muestra la secuencia
g[n] = x[2n].
• En figura (c) se muestra la secuencia
g[n] = x[3n].

TRANFORMACION DE LA VARIABLE
INDEPENDIENTE
ESCALADO EN EL TIEMPO
Es de interés saber la relación entre los elementos de cada secuencia para varios valores
de k. Por ejemplo si k = 2, se tiene:
Lo que sugiere que g[n] retiene
cada otro valor de x[n], y
descarta las muestras entre ellos.
Esto se muestra en la siguiente
figura.
A esta operación se conoce como
downsampling.

ESCALADO EN EL TIEMPO
OTRO EJEMPLO: Si se tiene la misma función que en el anterior ejemplo, es decir x[n] y
k = 2, analizar la función g[n] = x[n/k].
g[n] = x[n/2]
Se puede apreciar que la relación entre estas dos funciones está
definida solo para valores de n para el cual n/2 se haga entero.
Por lo tanto, las muestras de amplitud de la secuencia g[n] no tienen relación con las de
x[n] para valores impares de n, pero si para valores pares.

ESCALADO EN EL TIEMPO
Por lo tanto, se puede definir a la función g[n] como:
g n = ቐ x n 2
si n 2 entero
0, en otro caso.
A este proceso se conoce como
Upsampling

TRANFORMACION DE LA VARIABLE
INDEPENDIENTE
REFLEXIÓN O INVERSIÓN: implica obtener una secuencia con simetría con respecto al
eje vertical u origen de la secuencia. Es decir:
g[n] = x[-n]

CLASIFICACIÓN DE LAS SEÑALES
SEÑALES DE ENERGIA Y DE POTENCIA
Al igual que en el caso de las señales continuas en el tiempo, las señales en tiempo
discreta se pueden clasificar en diversas categorías.
• SEÑAL DE ENERGIA:
E =
lim
N →∞
• SEÑAL DE POTENCIA: P = lim
N →∞
N
n=−N
N
n=−N
f[n] 2
1
2N + 1 f[n] 2
La señal f[n] es de energía finita si E es finito, y es de potencia media finita si P es finito. Como P = 0
cuando E es un número finito, todas las señales de Energía finita son señales de potencia media finita.
Sin embargo, si P es finito, E puede ser finito o infinito.

CLASIFICACIÓN DE LAS SEÑALES
SEÑALES PERIODICAS Y NO PERIODICAS
Se dice que una señal f[n] es periódica si para algún valor entero N > 0, f[n + N] =
f[n], para todo valor de n.
• El mínimo valor de N que satisface la relación anterior se denomina periodo
fundamental de la señal.
• Si la relación anterior no se satisface para ningún valor entero N se dice que la señal
f[n] es no periódica o aperiódica.

CLASIFICACIÓN DE LAS SEÑALES
La definición de señales periódicas en tiempo discreto es similar al caso de señales
analógicas, con la excepción que el periodo fundamental es entero. Por ejemplo sea la
siguiente señal senoidal que es desplazada por el periodo fundamental N multiplicado
por k.
• Debido a que adicionamos al ángulo original un múltiplo mk (entero) de 2π, se nota
que el ángulo no cambie.
• Por lo tanto, si la frecuencia discreta no tiene la forma 2πm/N, entonces la señal
discreta no es periódica.

CLASIFICACIÓN DE LAS SEÑALES
La unidad de la frecuencia w discreta es el radian. Además, las frecuencias discretas se
repiten cada 2π, es decir, w = w + 2kπ para cualquier valor entero de k, y como tal
solo necesitamos considerar en rango –π ≤ w ≤ +π. Esto contrasta con la frecuencia de
las señales analógicas que tiene como unidad a [rad/s], y cuyo rango es de -∞ a +∞.
EJEMPLO: Sea la señal senoidal x[n] = 2cos(πn − π/3), para −∞ < n < ∞. Averiguar si es
periódica. Si lo es, cuánto vale su periodo.
De la señal: w = π = 2π/2 = 2π(m/N). Se ve que m = 1 y N = 2.
Por lo tanto la señal es periódica y su periodo es N = 2.

CLASIFICACIÓN DE LAS SEÑALES
Lo que es para senoidales analógicas, que siempre son periódicas, no es verdad para
senoidales discretas. Las senoidales discretas pueden ser no periódicas aun si son
resultado de un muestreo uniforme a partir de una senoidal analógica.
EJEMPLO: Sea la señal x[n] = cos(n + π/4), −∞ < n < ∞ , que se obtiene del muestreo de
x(t) = cos(t + π/4), −∞ < t < ∞ , con periodo de muestreo Ts = 1s. ¿Es x[n] periódica?. Si lo
es indicar su periodo fundamental. Caso contrario determinar valores del periodo de
muestreo que satisfagan el Teorema de Nyquist.

CLASIFICACIÓN DE LAS SEÑALES
SEÑALES PARES E IMPARES
• SEÑAL PAR: Se dice que una secuencia o señal discreta es par si:
f n = f[−n]
• SEÑAL IMPAR: Se dice que una secuencia o señal discreta es impar si:
f n = −f[−n]

SEÑALES DISCRETAS ELEMENTALES
1. IMPULSO UNITARIO: También llamado delta Dirac. Está definido como: