Solucionari Fisica

FÍSICA

SOLUCIONARI

1

Autors del llibre de l’alumne

Salvador Serra

Montserrat Armengol

Joan M. Mercadé

BARCELONA – MADRID – BOGOTÀ – BUENOS AIRES – CARACAS – GUATEMALA

MÈXIC – NOVA YORK – PANAMÀ – SAN JUAN – SANTIAGO – SÃO PAULO

AUCKLAND – HAMBURG – LONDRES – MILÀ – MONT-REAL – NOVA DELHI – PARÍS

SAN FRANCISCO – SYDNEY – SINGAPUR – SAINT LOUIS – TÒQUIO – TORONTO

Física 1 · Batxillerat · Solucionari

No és permesa la reproducció total o parcial d’aquest llibre, ni el seu tractament

informàtic, ni la transmissió de cap forma o per qualsevol mitjà, ja sigui electrònic,

mecànic, per fotocòpia, per registre o d’altres mitjans. Adreceu-vos a CEDRO (Centro

Español de Derechos Reprográficos, www.cedro.org) si necessiteu fotocopiar o escanejar

algun fragment d’aquesta obra.

Drets reservats

©

2012, respecte a la segona edició en català per:

McGraw-Hill/Interamericana de España, S.L.

Edificio Valrealty, 1a planta

Basauri, 17

28023 Aravaca (Madrid)

Autors del llibre de l’alumne: Salvador Serra, Montserrat Armengol, Joan M. Mercadé

Editor del projecte: Conrad Agustí

Disseny interiors: dfrente.es

Il . lustracions: Albert Badia i Campos i Luís Bogajo

Composició: Baber

ÍNDEX

3

ÍNDEX

j Solucionari del Llibre de l’alumne

Unitat 0. Les magnituds físiques

i la seva mesura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Física quotidiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Activitats finals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

j Bloc 1. Cinemàtica

Unitat 1. Cinemàtica

en una dimensió. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Activitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14



Unitat 2. Cinemàtica

en dues dimensions. . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

Activitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31



Avaluació del bloc 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

j Bloc 2. Dinàmica

Unitat 3. Forces i lleis de Newton.. . . . . . 50

Activitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50



Unitat 4. Conservació de la quantitat

de moviment. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

Activitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72



Unitat 5. Treball i energia . . . . . . . . . . . . . 81

Activitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81



Unitat 6. Conservació de l’energia. . . . . . 97

Activitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97




j Bloc 3. Introducció

a l’electromagnetisme

Unitat 7. Corrent continu.. . . . . . . . . . . . . 117

Activitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117



Unitat 8. Imatges. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

Activitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129




FÍSICA 1 0

5

j Unitat 0. Les magnituds

físiques i la seva mesura

Física quotidiana

1. Identifiqueu quines de les propietats que apareixen en la

descripció del vi i en la seva nota de tast són magnituds i

quines no.

Són magnituds físiques: l’envelliment, el grau alcohòlic, la capacitat

i la temperatura.

No són magnituds físiques: la varietat de vinya, la qualificació

de l’anyada, la producció, el preu i la data òptima de consum.

2. De les magnituds identificades a la qüestió anterior, indiqueu-ne

el valor i les unitats.

Envelliment: 2 anys i 66 mesos, és a dir, 7,5 anys.

Grau alcohòlic: 12,5 % vol.

Capacitat: 75 cL.

Temperatura mínima: 18 °C.

Temperatura màxima: 19 °C.

3. Expresseu en unitats del sistema internacional els valors de

totes les magnituds físiques que heu identificat.

365,25 dies 8,64·10 4 s

Envelliment: 7,5 anys ?—————— ?—————— 5 2,37 ? 10 8 s

1 any 1 dia

Grau alcohòlic: 12,5 % vol.

1 L 1 m 3

Capacitat: 75 cL ?——— ?——— 5 7,5 ? 10 24 m 3

10 2 cL 10 3 L

Temperatura mínima: 18 °C 1 273 5 291 K

Temperatura màxima: 19 °C 1 273 5 292 K

4. Aneu a alguna botiga o supermercat i fixeu-vos en les etiquetes

dels vins. Indiqueu quines magnituds hi apareixen.

Resposta oberta. L’alumnat ha de buscar el que es demana en

botigues i indicar les magnituds que trobi a les etiquetes de

manera similar a com s’ha fet a les activitats 1, 2 i 3 anteriors).

5. Quines conclusions podeu treure del llenguatge utilitzat en

la nota de tast?

Resposta oberta. Una possible solució podria ser: És un llenguatge

poc científic que utilitza moltes metàfores i s’acosta,

així, al llenguatge literari; fixem-nos que s’utilitzen molts adjectius

i quantificadors.

Activitats finals

Qüestions

1. L’alegria és una magnitud? I la força muscular del braç

d’un atleta? I la intel . ligència? I la velocitat d’una línia

ADSL? Raoneu les respostes.

Les magnituds físiques són totes aquelles propietats d’un cos

a les quals podem assignar un nombre, i comparar-les amb les

seves respectives unitats. Per tant, evidentment, l’alegria no

pot ser una magnitud física, ja que no podem quantificar-la.

La força muscular sí que és una magnitud física, ja que es pot

quantificar, per exemple mesurant-la amb un dinamòmetre.

La intel . ligència tampoc no és una magnitud física, ja que tot i

que existeixen unes proves que permeten quantificar-la, aquesta

quantificació només és una mera puntuació que sempre està

subjecta a les condicions en què s’ha obtingut, i que poden

variar.

La velocitat d’una línia ADSL és mesurable mitjançant sistemes

electrònics i informàtics, i és perfectament quantificable. És

una magnitud.

2. Tot allò que és mesurable té un patró?

Si tenim en compte que mesurar una magnitud física és assignar-li

un valor que puguem comparar amb la unitat o patró al

qual s’ha donat arbitràriament el valor 1, és evident que la resposta

a aquesta pregunta és afirmativa. Per tant, tot allò que

és mesurable ha de tenir un patró, o unitat, amb el qual es

compara allò que es vol mesurar.

3. Busqueu en una enciclopèdia com es defineixen de manera

estricta les unitats de longitud, de massa i de temps del

sistema internacional.

Resposta oberta. Consulteu qualsevol enciclopèdia.

4. Per què és important la utilització del sistema internacional

d’unitats quan es mesuren les magnituds? Expliqueuho

detalladament.

Veure Sistemes d’unitats.

5. Citeu cinc magnituds escalars i cinc magnituds vectorials

i digueu si són fonamentals o derivades.

En el text es donen exemples de magnituds escalars i vectorials.

Magnituds escalars.

— Fonamentals: la massa, el temps i la temperatura.

— Derivades: la pressió, el volum, la densitat, l’energia, etc.

Magnituds vectorials: la velocitat, l’acceleració, la força, la

quantitat de moviment, l’impuls mecànic, el camp elèctric, etc.

Totes són derivades.

6. Si bé es considera que la longitud és una magnitud fonamental,

per què no podem dir el mateix de la superfície?

I la velocitat, és una magnitud fonamental? Raoneu les

respostes.

Veure Magnituds físiques fonamentals i magnituds suplementàries.

7. La pressió es defineix com el quocient entre la projecció

de la força en la direcció perpendicular a una determinada

superfície i l’àrea d’aquesta superfície. Justifica perquè

essent la força una magnitud vectorial, la pressió, en canvi,

és una magnitud escalar.

6 0

SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE

La projecció d’una magnitud vectorial (com ara la força) és una

magnitud escalar. La pressió és el quocient entre dues magnituds

escalars i, en conseqüència, també és una magnitud escalar.

8. Si multipliquem la força que actua sobre un cos per la velocitat

que porta en un instant determinat, quina magnitud

física obtenim? Deduïu-ho a partir de l’anàlisi dimensional.

L’equació dimensional de la força és:

M ? L ? T 22

I la de la velocitat:

L ? T 21

Si les multipliquem:

M ? L ? T 22 ? L ? T 21 M ? L 2 ? T 23

Aquesta equació dimensional correspon a la unitat del watt i,

per tant, a la magnitud de potència.

9. Busqueu en una enciclopèdia el significat de les paraules

sensibilitat, precisió i exactitud.

Resposta oberta. Consulteu qualsevol enciclopèdia.

10. Quantes xifres significatives podem escriure amb una proveta

de capacitat 50 mL i amb dues divi sions entre cada

mL? Per què?

Si entre cada mil . lilitre tenim dues divisions, la sensibilitat o

error instrumental de la proveta és de 0,5 mL. Per tant, qualsevol

mesura que es faci amb aquest aparell i que es doni en mL

tindrà, en principi, tres xifres significatives: la de les desenes,

la de les unitats i la de les dè cimes.

11. Quina és la sensibilitat d’una pipeta graduada en mil . lilitres

amb cinc divisions entre cada mil . lilitre? Raoneu la

resposta.

Si per cada mil . lilitre hi ha cinc divisions, està clar que la sensibilitat

de la pipeta és d’1/5 0,2 mL.

12. Hem determinat la massa d’un cos amb dues balances diferents

i els resultats han estat 2,32 i 2,318. Quina és la més

precisa? Raoneu la resposta.

La primera mesura té xifres significatives fins a la centèsima.

Per tant, l’error instrumental és de 0,01.

La segona mesura té xifres significatives fins a la mil . lèsima. Per

tant, l’error instrumental és de 0,001.

Així doncs, la segona mesura és més precisa, ja que l’error instrumental

és més petit.

13. Té sentit escriure 3,000 g o és preferible posar, per simplificar,

3 g? Per què?

Si escrivim 3,000 g estem suposant que el nostre aparell de

mesura aprecia fins a la xifra de les mil . lèsimes de gram, mentre

que si escrivim 3 g estem suposant que l’aparell aprecia fins a

la xifra de les unitats de gram.

Per tant, té sentit escriure 3,000 g sempre que l’aparell apreciï

fins a la mil . lèsima de gram. Si l’aparell només calcula fins a les

unitats de gram, escriure el valor anterior no tindria sentit, i

hauríem d’escriure 3 g.

14. Donada l’operació 2,21 1 3,428, quin resultat us sembla

que és més correcte: 5,638 o bé 5,64? Raoneu la resposta.

El primer valor ve donat fins a la xifra de les centèsimes, mentre

que el segon s’aproxima fins a les mil . lèsimes. Per tant, hem de

donar el resultat de l’operació fins a la xifra de les centè simes,

una vegada arrodonit: 5,64.

15. Si un aparell mesura amb una precisió de mil . lèsi mes de

centímetre, quants decimals ha de portar si s’expressa en

el SI?

La unitat de longitud en el SI és el m. Si la precisió de l’aparell

és d’una mil . lèsima de cm, fent servir factors de conversió:

0,01 m

0,001 cm ———— 10 5 m 0,00001 m

1 cm

Per tant, qualsevol mesura afectada amb aquest aparell i que

s’expressi en unitats del SI ha de tenir cinc decimals.

16. Si mesurem el diàmetre d’un filferro amb un peu de rei i

obtenim diferents mesures semblants, quins ti pus d’errors

tindrà associada la mesura? Raoneu la resposta.

En primer lloc, tenim l’error instrumental de l’aparell, que en

aquest cas, com que es tracta d’un peu de rei, és de 0,01 cm. En

segon lloc, tenim l’error de mesura que s’obté fent la mitjana

aritmètica de totes les mesures obtingudes i comparant-la amb

la mesura més petita i la més gran.

L’error de mesura en principi ha de donar un valor més gran

que l’error instrumental, i sempre ens hem de quedar amb l’error

que sigui més gran.

17. Per què és decisiva la fase d’experimentació en el mètode

científic?

Veure El mètode científic.

18. Consultant la bibliografia adient, apliqueu les fases del

mètode científic a la teoria de la relativitat ge neral.

Resposta oberta. Cal consultar bibliografia sobre la teoria de la

relativitat general. Pauteu la resposta d’aquesta activitat

d’acord amb allò que estableix el mètode científic: observació,

hipòtesi, experimentació i establiment de la llei física.

Problemes

1. Escriviu amb notació científica els nombres següents:

a) 2 000 000 000 2 10 9

b) 765 000 7,65 10 5

c) 0,000034 3,4 10 5

d) 36 000 000 000 3,6 10 10

e) 0,0000023 2,3 10 6

FÍSICA 1 0

7

f) 0,000000000152 1,52 10 10

g) 1 000 000 000 10 9

h) 0,00000001 10 8

2. Calculeu les potències de 10:

a) (10 4 ) 4 10 16

10 23

b) —————— 10 3 8 2 10 9

10 8 ? 10 22

c) (10 3 ? 10 22 ) 4 (10 3 22 ) 4 (10 25 ) 4 10 100

(10 2 1 10 6 ) 10 2 10 6

d) —————— —— —— 10 2 1 10 6 1

10 10 10

5 10 10 5

3. Efectueu les operacions següents amb ajut de la calculadora

científica, mantenint el mateix nombre de xifres significatives

i arrodonint el resultat:

a) (5,2 ? 10 15 ) (8,7 ? 10 5 ) 4,5 10 21

(2,4 ? 10 5 )

b) ——————— 2,9 10 9

(8,2 ? 10 25 )

c) (7,3 ? 10 8 ) (2,5 ? 10 26 ) 1,8 10 3

d) 4,38 1 5,3 9,7

e) 6,23 2 3,4 2,8

(3,6 ? 10 7 ) (1,2 ? 10 24 )

f) ————————————— 6,9 10 5

6,3 ? 10 23

(2,1? 10 8 )

g) ——————— 1,5 10 14

(1,4 ? 10 26 )

h) (5,2 ? 10 15 ) (1,5 ? 10 10 ) 7,8 10 25

i) 65,55 1 0,3 65,9

4. Resoleu els exercicis d’operacions i unitats següents:

a) (10 m) 2 10 2 m 2

1

b) (6 m) 23 — m 3 4,63 10 3 m 3

6 3

c) 1 m/s/s 1 m/s 2

d) 0,00043 L 1 5,9 10 24 m 3 5 0,00043 L 1 0,59 L

5 0,59043 L

(10 3 m) (10 2 ) 10 5 m

e) ——————— ——— 10 m

10 4 10 4

f) 65 400 000 s 1 345 104 ms 5 65 400 000 s 1 354,104 s 5

5 65 400 354 s

5. Quin és el significat de les paraules següents?

a) Nanosegon (ns) 10 9 s

b) Microgram (mg) 10 6 g

c) Mil . lilitre (mL) 10 3 L

d) Gigavolt (GV) 10 9 V

e) Quilòmetre (km) 10 3 m

f) Picofaraday (pF) 10 12 F

g) Megavolt (MV) 10 6 V

h) Àngstrom (Å) 10 10 m

6. Efectueu els canvis d’unitats següents:

a) 200 g a kg

b) 0,25 m 3 a cm 3

1 kg

200 g ? ———— 0,2 kg

10 3 g

1 cm 3 2,5 10 1

0,25 m 3 ————— —————— cm 3 2,5 10 5 cm 3

10 6 m 3 10 6

c) 70 000 m 2 a hm 2 1 hm 2 7 10 4

70 000 m 2 ———— ———— hm 2 7 hm 2

10 4 m 2 10 4

d) 100 000 mm a km

10 3 m 1 km 10 5 10 3

100 000 mm ————— ———— —————— km 0,1 km

1 mm 10 3 m 10 3

e) 8 ? 10 5 mg a Mg

1 Mg 8 10 5

8 10 5 mg ———— ———— Mg 8 10 4 Mg

10 9 mg 10 9

f) 6 ? 10 24 mL a L

10 3 L

6 10 4 mL ———— 6 10 4 10 3 L 6 10 7 L

1 mL

g) 28 mm 3 a m 3 10 9 m 3

28 mm 3 ————— 28 10 9 m 3 2,8 10 8 m 3

1 mm 3

h) 36 km/h a m/s

i) 2,7 g/cm 3 a kg/m 3

km 10 3 m 1 h

36 —— ———— —————— 10 m/s

h 1 km 3,6 10 3 s

g 1 kg 10 6 cm 3

2,7 ——— ———— ————— 2,7 10 3 kg/m 3

cm 3 10 3 g 1 m 3

j) 7 kg?m/s a g?cm/s

m 10 3 g 10 2 cm

7 kg — ———— ———— 7 10 5 g cm/s

s 1 kg 1 m

8 0


7. Expresseu en unitats del SI:

a) 1 L

1 m 3

1 L ———— 10 3 m 3

10 3 L

b) 365 dies

24 h 3 600 s

365 dies ———— ———— 3,1536 10 7 s

1 dia 1 h

c) 4,2 ? 10 10 mm 2 10 12 m 2

4,2 10 10 m 2 ————— 4,2 10 2 m 2

1 m 2

d) 300 pg

10 12 g 1 kg

300 pg ————— ———— 3 10 13 kg

1 pg 10 3 g

e) 3 ? 10 6 dam 3 10 3 m 3

3 10 6 dam 3 ————— 3 10 9 m 3

1 dam 3

f) 1 km/h

km 10 3 m 1 h 1 10 3 m

1 —— ———— ———— ————— 0,27 m/s

h 1 km 3 600 s 3 600 s

g) 36 m/min 2

m 1 min 2 36 m

36 ——— ———— ———— — 0,01 m/s 2

min 2 60 2 s 2 3 600 s 2

10 2 m/s 2

h) 10 3 hm ? h 22 hm 10 2 m 1 h 2

10 3 hm h 2 10 3 —— ———— —————

h 2 hm 3 600 2 s 2

10 5

—————— m/s 2 7,7 10 3 m/s 2

1,296 10 7

i) 100 mg/dm 3

mg 10 6 kg 1 dm 3 100 10 6

100 ——— ————— ———— —————— kg/m 3

dm 3 1 mg 10 3 m 3 10 3

0,1 kg/m 3

j) 10 5 dg?cm/h

cm 1 kg 10 22 m 1 h

10 5 dg —— ?———— ?————— ?————

h 10 4 dg 1 cm 3600 s

2,78 ? 10 25 kg?m/s

8. Realitzeu els canvis d’unitats següents:

a) 36 km/h a m/s

km 10 3 m 1 h

36 —— ———— —————— 10 m/s

h 1 km 3,6 10 3 s

b) 60 km/h a cm/min

km 10 5 cm 1 h

60 —— ———— ———— 10 5 cm/min

h 1 km 60 min

)

c) 2,7 g/cm 3 a kg/m 3

g 1 kg 10 6 cm 3

2,7 —— ———— ————— 2,7 10 3 kg/m 3

cm 3 10 3 g 1 m 3

d) 20 m/s a km/h

m 1 km 3,6 10 3 s

20 — ———— —————— 72 km/h

s 10 3 m 1 h

e) 7 000 kg/m 3 a g/cm 3

kg 10 3 g 1 m 3

7 000 —— ———— ————— 7 g/cm 3

m 3 1 kg 10 6 cm 3

f) 7 kg?m/s a g?cm/s

m 10 3 g 10 2 cm

7 kg — ———— ———— 7 10 5 g cm/s

s 1 kg 1 m

9. Passeu al sistema internacional:

a) 1 km/h

km 10 3 m 1 h 1 10 3 m

1 —— ———— ———— ————— 0,27 m/s

h 1 km 3 600 s 3 600 s

b) 6 ?10 6 cm/min

cm 1 m 1 min 6 10 6 m

6 10 6 ——— ———— ———— ———— — 10 3 m/s

min 10 2 cm 60 s 10 2 60 s

c) 8 ?10 22 dam/s

dam 10 m m

8 10 2 ——— ———— 8 10 2 10 —

s 1 dam s

8 10 1 m/s 0,8 m/s

d) 10 6 dm/dia

dm 10 1 m 1 dia 1 h

10 6 —— ———— ———— ————

dia 1 dm 24 h 3 600 s

10 6 10 1

————— m/s 1,16 m/s

24 3 600

e) 10 3 hm?h 22 hm 10 2 m 1 h 2

10 3 hm h 2 10 3 —— ———— —————

h 2 1 hm 3 600 2 s 2

10 5

—————— m/s 2 7,7 10 3 m/s 2

1,296 10 7

f) 1,6 kg/m 3 1,6 kg/m 3

g) 0,02 dg?cm 23

)

dg 10 1 g 10 3 kg 1 cm 3

0,02 —— ————— ————— —————

cm 3 1 dg 1 g 10 6 m 3

0,02 10 4

—————— kg/m 3 2 kg/m 3

10 6

FÍSICA 1 0

9

h) 10 5 dg?cm/h

cm 1 kg 10 2 m 1 h

10 5 dg —— ———— ————— ————

h 10 4 dg 1 cm 3 600 s

2,78 10 5 kgm/s

10. Calculeu la densitat de l’aigua líquida en unitats del sistema

internacional, sabent que 1 cm 3 d’aigua té una massa

d’1 gram.

g 10 3 kg 1 cm 3

1 ——— ————— ————— 10 3 kg/m 3

cm 3 1 g 10 6 m 3

11. Trobeu la massa de 62 hL de vi de densitat 0,97 g/cm 3 .

Expresseu-la en dag.

10 2 L 1 m 3

V 62 hL ——— ——— 6,2 m 3

1 hL 10 3 L

g 1 kg 10 6 cm 3

d 0,97 ——— ———— ————— 970 kg/m 3

cm 3 10 3 g 1 m 3

m

10 2 dag

d — f m d V 970 6,2 6,014 10 3 kg ————

V

1 kg

6,014 ? 10 5 dag

12. Un dipòsit de gas butà (densitat 0,02 g/cm 3 ) té forma esfèrica

de 20 m de radi. Determineu la massa de gas contingut

en el dipòsit i expresseu-la en tones mètriques.

4 4

V — r 3 — 20 3 3,351 10 4 m 3

3 3

g 1 kg 10 6 cm 3

d 0,02 ——— ———— ————— 20 kg/m 3

cm 3 10 3 g 1 m 3

m

d — f m d V 20 3,351 10 4

V

1 Tm

6,7021 10 5 kg ———— 6,7 10 2 Tm

10 3 kg

13. La capacitat d’una cisterna de transport de forma cilíndrica

és de 1 200 daL. Calculeu el seu volum en dam 3 .

10 L 1 m 3 1 dam 3

V 1 200 daL ——— ——— ———— 1,2 10 2 dam 3

1 daL 10 3 L 10 3 m 3

0,012 dam 3

14. La Terra és a 150 000 000 km del Sol i l’estrella més propera

és a una distància superior a 250 000 vegades la distància

Terra-Sol.

a) Escriviu aquestes quantitats en notació científica.

d T-S 1,5 10 8 km; 2,5 10 5

b) Determineu la distància mínima en quilòmetres de la

Terra a l’estrella més propera.

d T-E 2,5 10 5 d T-S 2,5 10 5 1,5 10 8

5 3,75 10 13 km

15. a) La velocitat de la llum és de 300 000 km/s. Expresseu

aquesta quantitat en notació científica.

v 300 000 km/s 3 10 5 km/s

b) Es defineix l’any llum com la distància que recorre la

llum en un any. Calculeu quants metres són un any llum.

24 h 3 600 s

1 any 365 dies ———— ———— 3,1536 10 7 s

1 dia 1 h

d v t 3 10 5 3,1536 10 7

10 3 m

9,4608 10 12 km ———— 9,4608 10 15 m

1 km

c) Recordant el resultat obtingut en l’apartat b) del problema

anterior sobre la distància a l’estrella més propera,

expresseu-la ara en anys llum.

1 any llum

d T-E 3,75 10 13 km —————————

9,4608 10 12 km

3,96 anys llum

16. La massa d’un protó és 1,67 ? 10 224 g, mentre que el seu

radi és 1,2 ? 10 213 cm.

1 kg

m 1,67 10 24 g ———— 1,67 10 27 kg

10 3 g

1 m

r 1,2 10 13 cm ———— 1,2 10 15 m

10 2 cm

a) Suposant que el protó és esfèric i recordant que el vo-

4

lum d’una esfera és — p r 3 , calculeu el volum i la den-

3

sitat del protó.

4 4

V — r 3 — (1,2 10 15 ) 3 7,24 10 45 m 3

3 3

m 1,67 10 27 kg

d — ————————— 2,31 10 17 kg/m 3

V 7,24 10 45 m 3

b) Trobeu, aproximadament, la massa d’1 cm 3 d’un material

que estigui format per protons, i com pareu-lo, fent

la relació, amb la massa d’1 cm 3 d’aigua i d’1 cm 3 de

plom (el qual té una massa d’11,34 g).

kg 10 3 g 1 m 3

d 2,31 10 17 —— ——— ————— 2,31 10 14 g/cm 3

m 3 1 kg 10 6 cm 3

m d V 2,31 10 4 1 2,31 10 14 g

m H2 O 1 g

m Pb 11,34 g

10 0


17. Un vaixell que es troba a 500 m d’un far veu la seva llum i

toca la sirena. Calculeu el temps que tardarà la llum a anar

del far al vaixell i el temps invertit pel so a anar del vaixell

al far. Utilitzeu les unitats més adients per expressar els

resultats.

Velocitat del so: 340 m/s.

Velocitat de la llum: 3 ? 10 8 m/s.

r

u

u

w

u

u

q

x

v —— f

t

x 500

t llum ——— ———— 1,67 10 6 s 1,67 s

v llum 3 10 8

x 500

t so —— ——— 1,47 s

v so 340

18. Escriviu l’equació dimensional de les magnituds següents:

a) Quantitat de moviment (p 5 m v)

L

p m v f M — M L T 1

T

b) Potència (P 5 W/t)

W M L 2 T 2

P — f —————— M L 2 T 3

t T

c) Treball (W 5 F D x)

W F Dx f M L T 2 L M L 2 T 2

19. Quina magnitud física correspon a l’expressió F ? Dt? Trieu

la resposta correcta tot raonant l’elecció d’acord amb la

seva equació de dimensions:

a) Pressió

b) Quantitat de moviment

c) Energia

d) Acceleració

Multipliquem l’equació dimensional de la força per la dimensió

de temps:

M ? L ? T 22 ? T M ? L ? T 21

L’equació dimensional resultant és la corresponent a la quantitat

de moviment. Per tant, la resposta correcta és la b) Quantitat

de moviment.

20. Donada l’expressió r g h, on r és la densitat, g l’acceleració

de la gravetat, i h l’altura, trobeu-ne l’equació dimensional

i trieu en conseqüència la magnitud a la qual correspon

d’entre les següents:

a) Massa

b) Treball

c) Velocitat

d) Pressió

Acceleració: L ? T 22

Multipliquem les dues equacions dimensionals entre elles i per

la de longitud (altura) per veure quina equació dimensional resulta:

M ? L 23 ? L ? T 22 ? L M ? L 21 ? T 22

L’equació resultant correspon a pascals. Per tant, la resposta

correcta és la d) Pressió.

p 2

21. Quina magnitud representa l’expressió ——, on p és la quan-

2 m

titat de moviment i m la massa? De duïu-la efectuant la

seva equació de dimensions.

p 2 (M L T 1 ) 2 M 2 L 2 T

—— 2

f —————— ————— M L 2 T 2

2 m M M

p 2

L’expressió —— representa l’energia.

2 m

22. Digueu quina és la sensibilitat dels aparells amb què s’han

fet les mesures següents: 120 cm 3 , 1,2 ? 10 2 cm 3 , 1,120 cm 3 .

120 cm 3 f 1 cm 3 , o bé 10 cm 3

1,2 10 2 cm 3 f 0,1 10 2 cm 3 , o bé 0,2 10 2 cm 3

1,120 cm 3 f 0,001 cm 3

23. Suposeu que mesurem 12 cm 3 d’un líquid amb ins truments

de sensibilitat 1 cm 3 i 0,1 cm 3 , respecti vament. Expresseu

el resultat de la mesura amb el nombre correcte de xifres

significatives. Quin dels dos aparells és més precís? Raoneu

la resposta.

Instrument sensibilitat 1 cm 3 : V 12 cm 3

Instrument sensibilitat 0,1 cm 3 : V 12,0 cm 3

És més precís el segon instrument perquè té una sensibilitat

més petita i permet apreciar volums menors.

24. Expresseu la quantitat 140 cm 3 en dm 3 , en m 3 i en mm 3 ,

mantenint el mateix nombre de xifres significatives.

1 dm 3

140 cm 3 ————— 0,140 dm 3

10 3 cm 3

1 m 3

140 cm 3 ————— 1,40 10 4 m 3

10 6 cm 3

10 3 mm 3

140 cm 3 —————— 1,40 10 5 m 3

1 cm 3

25. De les figures següents, indiqueu quina magnitud física

s’ha mesurat, quin aparell s’ha emprat i escriviu els resultats

de les mesures amb el seu error absolut i relatiu:

a)

Les equacions dimensionals de la densitat i l’acceleració són:

Densitat: M ? L 23

FÍSICA 1 0

11

b)

c) d)

26. El nombre p utilitzat en matemàtiques val, aproximadament

en mil . lèsimes, 3,141. Si en un problema agafem un valor de

3,14, quin és l’error absolut i quin és l’error relatiu?

e a 3,14 3,141 0,001

0,001

e r ———— 100 0,032 %

3,14

27. Amb una cinta mètrica que té deu divisions entre cada centímetre,

s’han fet algunes mesures de diferents objectes,

expressades de la manera següent: 17,453 cm, 13,8 mm,

4 cm, 15 m, 15,35 cm.

Raoneu quines d’aquestes expressions són correctes, i escriviu

correctament les que no ho són.

Com que té deu divisions entre cada cm, la sensibilitat (error

instrumental) val 1 mm 0,1 cm. Per tant:

j 17,453 cm f Incorrecta

Expressió correcta: 17,4 cm

j 13,8 mm f Incorrecta

Expressió correcta: 13 mm

j 4 cm f Incorrecta


j 15 m f Incorrecta

Expressió correcta: 15,000 m

a) Magnitud: longitud

Aparell: regle

Mesura: l (18,7 0,1) cm 18,7 cm 5,3 %

0,1

e r ——— 100 5,3 %

18,7

b) Magnitud: massa

Aparell: balança

Mesura: m (3,72 0,02) g 3,72 g 0,5 %

0,02

1 e r ——— 100 0,5 %

3,72

c) Magnitud: temperatura

Aparell: termòmetre

Mesura: T (22,0 0,5) °C 22,0 °C 2,3 %

0,5

1 e r ——— 100 2,3 %

22,0

d) Magnitud: diferència de potencial

Aparell: voltímetre

Mesura: V (18,5 0,25) V 18,5 V 1,4 %

0,25

1 e r ——— 100 1,4 %

18,5 2

j 15,35 cm f Incorrecta


28. Una alumna mesura un volum de 10 cm 3 d’aigua amb una

pipeta graduada en cm 3 i amb deu divi sions entre cada cm 3 .

Raoneu com s’expressarà el resultat de la mesura.

Com que la pipeta té deu divisions entre cada cm 3 , la sensibilitat

és de 0,1 cm 3 . Per tant, el resultat de la mesura és:

V (10,0 0,1) cm 3

29. El valor de la gravetat en un punt de la Terra és de 9,81 m/s 2 .

Si fem servir el valor aproximat 10, quin error absolut i quin

error relatiu tenim associat?

e a 10 9,81 0,19 m/s 2

0,19

e r ——— 100 1,94 %

9,81

30. Una balança té una càrrega màxima de 100 g i aprecia el

mil . ligram. Calculeu l’error absolut i el relatiu de les pesades

següents: 20 g, 10 g, 5 dg, 4 cg, 3 mg.

e a 0,001 g, en tots els casos.

0,001

j ———— 100 5 10 3 %

20

0,001

j ———— 100 0,01 %

10

12 0


0,001

j ———— 100 0,2 %

0,5

0,001

j ———— 100 2,5 %

0,04

0,001

j ———— 100 33,3 %

0,003

31. [Curs 03-04] Suposeu que s’han mesurat les distàncies

de la Terra al Sol (R TS ) i de Mart al Sol (R MS ), i que els

resultats obtinguts són R TS 5 (1,5 6 0,4) ? 10 8 km,

R MS 5 (22,8 6 0,4) ? 10 8 km. Quina mesura és més precisa?

Raoneu la resposta.

r 0,4

uR TS : E r ——— ? 100 26,7 %

u 1,5

w

u 0,4

uR MS : E r ——— ? 100 1,8 %

q 22,8

És més precisa la mesura de R MS , perquè té un error relatiu més

petit, 1,8.

32. Per a les mesures de longitud següents i els seus errors,

justifiqueu quina és la més precisa:

(4,3 6 0,4) cm, (51 6 1) km,

(15,5 6 0,5) m, (2,4 6 0,1) mm

Per comprovar quina de les mesures és la més precisa hem de

comparar els seus errors relatius.

0,4

e r ——— ? 100 9,30 %

4,3

1

e r —— ? 100 1,96 %

51

0,5

e r ——— ? 100 3,23 %

15,5

0,1

e r ——— ? 100 4,17 %

2,4

La mesura més precisa serà la (51 6 1), ja que té un error relatiu

més petit que les altres, tot i tenir un error absolut més

gran.

33. Amb un peu de rei hem efectuat diverses mesures del diàmetre

d’un conductor elèctric de coure, tot obtenint els resultats

següents expressats en cm: 2,23; 2,25; 2,21; 2,23;

2,24; 2,26; 2,24; 2,22.

Calculeu els errors absolut i relatiu, i doneu el resultat de la

mesura tenint-los en compte.

2 2,21 2,22 2,23 2,23 2,24 2,24 2,25 2,26

d 5 —————————————————————————

8

2,24 cm

e a 2,24 2,21 0,03 cm

0,03

e r ——— ? 100 1,3 %

2,24

d (2,24 0,03) cm 2,24 cm 1,3 %

34. La massa d’un cos petit s’ha mesurat per sis persones diferents

amb una balança de precisió. Els valors que han

obtingut, expressats en g, són els següents: 1,34; 1,36;

1,33; 1,33; 1,35; 1,37. Com hem de donar el valor de la

mesura, tant amb un error absolut com amb error relatiu?

1,33 1,33 1,34 1,35 1,36 1,37

m 2 5 ————————————————————— 1,35 g

6

e a 1,35 1,37 0,02 g

0,02

e r ——— 100 1,5 %

1,35

m (1,35 0,02) g 1,35 g 1,5 %

35. [Curs 00-01] S’ha mesurat el temps de caiguda de tres pedres

per un precipici amb un cronòmetre manual i s’hi han

llegit els valors: t 1 5 3,42 s, t 2 5 3,50 s, t 3 5 3,57 s. Quin

és el resultat d’aquesta mesura de t? Expresseu-lo com:

(valor de t) 6 (incertesa de t).

Busquem el valor mitjà de temps:

2 3,42 3,50 3,57

t 5 —————————— 3,50

3

Calculem l’error particular associat als valors de mesura més

petit i més gran:

e 1 3,42 3,50 0,08

e 3 3,57 3,50 0,07

L’error absolut és el valor més gran dels dos valors anteriors:

e a màx {0,08; 0,07} 0,08

Aquest serà el valor de la incertesa i donarem el resultat amb

la mateixa precisió que aquesta. Per tant:

t (3,50 0,08) s

36. Un grup de vuit alumnes han mesurat, amb una balança de

braços iguals i cada un per separat, la massa d’una mostra

de mineral i han obtingut els valors següents expressats

en grams: 12,43, 12,45, 12,44, 14,32, 12,43, 12,44, 12,42,

12,45.

Algú ha efectuat una mesura errònia?

14,32

Si s’han de posar d’acord per donar un valor per a la massa

de la mostra mesurada, quin serà?

(12,44 6 0,02) g

FÍSICA 1 0

13

37. Per tal de calcular la velocitat angular d’una roda, deu

alumnes han mesurat alhora, amb sengles cronòmetres, el

temps que aquesta roda triga a fer cinc voltes i han obtingut

els valors següents, expressats en s: 14,34; 14,25;

14,31; 14,29; 14,32; 14,31; 14,33; 14,29; 14,32; 14,30.

Quin valor han d’assignar a la mesura?

El valor que hem d’assignar a la mesura és la mitjana dels valors

obtinguts pels diferents alumnes:

2 14,3414,2514,3114,2914,3214,3114,3314,2914,3214,30

t 5 ——————————————————————————

10

14,31 s

Ara calcularem l’error relatiu i l’error absolut:

e a 14,31 14,25 0,06 s

0,06

e r ———— 0,004 0,4 %

14,31

El valor de la mesura serà doncs:

t (14,31 0,06) s 14,31 s 0,4 %

massa

16

14

12

10

8

6

4

2

0

0 2

4

6 8

volum

b) Podem establir una relació matemàtica entre la massa

i el volum? En cas afirmatiu, quina?

Com que formen una recta podem dir que la massa i el volum

són proporcionals. Per tant hem de trobar la raó de

proporció dividint la massa entre el volum, que és la fórmula

de la densitat.

c) Doneu el valor de la densitat del mineral amb tres xifres

significatives i amb el seu error.

Primer calcularem la densitat de cada parella de valors amb

l’ajuda d’una taula:

38. Per tal de determinar la densitat d’un mineral hem mesurat

la massa i el volum de sis mostres del mineral, i hem

obtingut els valors següents (taula 6):

m (g) 2,70 5,15 8,93 10,62 12,7 14,24

V (cm 3 ) 1,2 2,3 3,9 4,7 5,6 6,3

a) Representeu gràficament les masses en ordenades i els

volums en abscisses. Què se n’obté?

Representem les parelles de valors i observem que formen

aproximadament una recta.

m (g) 2,70 5,15 8,93 10,62 12,7 14,24

V (cm 3 ) 1,2 2,3 3,9 4,7 5,6 6,3

d (g?cm 23 ) 2,25 2,24 2,29 2,26 2,27 2,26

2 2,24 1 2,25 1 2,26 1 2,26 1 2,27 1 2,29

d 5 —————————————————————

6

2,26 g/cm 3

e a 2,26 2,29 0,03 g/cm 3

0,03

e r ——— ? 100 2,7 %

2,26

La densitat del material serà:

d (2,26 6 0,03) g/cm 3 2,26 g/cm 3 1 2,7 %

14 1


Bloc 1. Cinemàtica

j Unitat 1. Cinemàtica

en una dimensió

Activitats

1. Analitza aquest fet:

Un avió està agafant velocitat en la pista d’enlairament.

Com veu el moviment de l’avió:

a) Una persona a la torre de control de l’aeroport.

Veu l’avió movent-se amb moviment rectilini.

b) El xofer del cotxe que ha posat combustible i va cap a

dins de l’aeroport en sentit contrari a l’avió.

Pel retrovisor del seu cotxe veu l’avió movent-se en sentit

contrari amb moviment rectilini.

c) L’hostessa que es dirigeix al seu seient per estar a punt

en el moment de l’enlairament.

L’hostessa veu l’avió movent-se respecte d’ella.

d) Un viatger assegut al seu seient.

No observa cap moviment.

2. Citeu cinc cossos que estiguin en repòs respecte del sistema

laboratori i cinc cossos que es moguin respecte del sistema

laboratori.

Qualsevol cos en repòs damunt de qualsevol superfície en repòs

respecte del terra.

Qualsevol cos que estigui en moviment damunt d’una superfície

o bé que no estigui recolzat.

3. Un cos es mou cap a l’esquerra amb una velocitat de

2,45 m/s. Quant val el vector velocitat? I la celeritat?

Per escriure el vector velocitat hem de tenir present el mòdul

i el sentit del moviment. El criteri que s’utilitza normalment

és considerar que cap a la dreta el sentit és positiu i cap a l’esquerra,

negatiu. En el nostre cas escriurem:

Velocitat: 22,45 m/s

La celeritat és el mòdul de la velocitat, per tant el sentit de

moviment no té cap rellevància. Escriurem doncs:

Celeritat: 2,45 m/s

4. Determineu els signes de la velocitat, si augmenta o disminueix

i quina acceleració mitjana s’obté amb el signe corresponent

en els casos següents:

a) Un cos es mou cap a la dreta, amb una velocitat inicial

de 15 m/s; quan han passat 30 s, la seva velocitat val

75 m/s.

v 75 15

a —— ————— 2 m/s 2

t 30

b) Un cos es mou cap a la dreta, amb una velocitat inicial


20 m/s.

v 20 100

a —— ————— 23,2 m/s 2

t 25

c) Un cos es mou cap a l’esquerra, amb una velocitat inicial


72 m/s.

v 72 (12)

a —— ——————— 3,33 m/s 2

t 18

d) Un cos es mou cap a l’esquerra, amb una velocitat inicial


15 m/s.

v 15 (80)

a —— ——————— 2,17 m/s 2

t 30

5. Un automòbil es troba inicialment (t 0 5 0) a la posició x 0 5

5 3 m, i quan han passat 15 s es troba a la posició x 5 53 m.

Si suposem que el moviment és rectilini i uniforme:

a) Feu un esquema i calculeu la velocitat que porta.

x 53 3 50

v —— ———— —— 3,33 m/s

t 15 15

b) En quina posició es trobarà quan hagin passat 34 s?

x x 0 1 v t f x 3 1 3,33 ? 34 116,33 m

c) Dibuixeu els gràfics posició-temps i velocitat-temps.

t

0

15

34

x

3

53

116,33

x(m)

100

50

15 30

6. Un automòbil es troba inicialment a l’origen de coordenades

i es mou cap a la dreta i en línia recta a una velocitat

constant de 72 km/h; en el mateix moment, un motorista

es troba a 500 m de l’automòbil i es mou cap a l’esquerra

a una velocitat constant de 54 km/h.

a) Representeu gràficament els dos moviments en un mateix

gràfic posició-temps i determineu gràficament en

quin moment es troben i en quina posició ho fan.

Automòbil

Motorista

t 0 0

v 72 km/h 20 m/s

x A 20 t

t(s)

t 0 0

v 254 km/h 215 m/s

x 0 500 m

x M 500 2 15 t

FÍSICA 1 1

15

b) Comproveu que es tracta d’un moviment rectilini uniforme.

Analitzem tres intervals aplicant:

D x y 2 2 y 1

v 5 —— 5 —————

D x t 2 2 t 1

7,582 2 0

Entre t 5 0 i t 5 2,23 f v 5 —————— 5 3,4 m/s

2,23 2 0

t x A t x A

0

10

20

0

200

400

0

10

20

500

350

200

b) Determineu a partir de les equacions del moviment en

quin moment es troben i en quina posició ho fan; compareu

els resultats amb l’apartat a).

x A 20 t

x M 500 2 15 t

i

y

t

20 t 500 2 15 t

500

35 t 500 f t —— 14,28 s

35

x 20 ? 14,28 285,71 m

7. En l’enlairament vertical d’un transbordador espacial els

motors han de generar la força necessària per vèncer la força

gravitatòria de la Terra. Durant un bon tram, la velocitat

que porta es manté constant; això vol dir que en intervals

iguals de temps, fa recor reguts iguals. Els tècnics aeronàutics

ens han proporcionat les dades que apareixen a la

taula.

10,676 2 9,894

Entre t 5 2,91 i t 5 3,14 f v 5 ———————— 5

3,14 2 2,91

5 3,4 m/s

12,07 2 0

Entre t 5 0 i t 5 3,55 f v 5 —————— 5 3,4 m/s

3,55 2 0

Podeu provar amb qualsevol altre interval i trobareu que

dóna sempre v 5 3,4 m/s; per tant, es tracta d’un MRU.

Calculem també l’acceleració aplicant:

Dv n 2 2 n 1

a 5 —— 5 ————

D t t 2 2 t 1

Com que Dv 5 v 2 2 v 1 5 3,4 2 3,4 5 0, comprovem també

amb el càlcul de l’acceleració que es tracta d’un MRU.

c) Representeu els gràfics v-t i y-t.

La representació gràfica és la següent:

a) v (m/s)

t (s)

y(m)

t (s)

0

2,23

2,57

2,91

3,14

3,38

3,55

0

7,582

8,738

9,894

10,676

11,492

12,070

b) y (m)

a) Quina és la precisió en les mesures de temps i de posició?

A la taula observem que les dades de temps es donen fins a

les centèsimes de segon, per tant, la precisió en el temps és

de 0,01 s 5 10 ms.

Les dades de la posició de la nau estan donades fins

a la mil . lèsima de metre, per tant, la precisió és de

0,001 m 5 1 mm.

t (s)

d) Escriviu l’equació del moviment.

En general: y 5 y 0 1 v (t 2 t 0 ) o y 5 y 0 1 v Dt

Hem de determinar quant valen t 0 , y 0 i v.

De les dades inicials tenim que t 0 5 0 i y 0 5 0.

La velocitat l’hem determinada en l’apartat a), v 5 3,4 m/s.

16 1


Si posem aquests valors en l’equació del moviment, trobem

que per a aquest moviment la nau es desplaça seguint aquesta

equació:

y 5 3,4 t

Podeu obtenir la taula de valors inicials donant valors del

temps.

v (m/s)

8. Un automòbil pot arribar, partint del repòs, a la velocitat de

100 km/h en 10,5 s. Si suposem que és un moviment rectilini

uniformement accelerat, calculeu l’acceleració i l’espai

recorreguts en aquest temps.

km

100 —— 27,78 m/s

h

v 27,78

a —— ———— 2,64 m/s 2

t 10,5

1 1

x x 0 1 v 0 t 1 — at 2 f x — ? 2,64 ? 10,5 2

2 2

145,53 m

9. Un motorista va a una velocitat de 54 km/h i en 50 m la

redueix fins a 36 km/h. Calculeu l’acceleració i el temps que

ha tardat a reduir-la.

v (m/s)

v 0 54 km/h 15 m/s i

yt

v 36 km/h 10 m/s

25

v v 0 1 a Dt f 10 15 1 at f a ——

t

1

x x 0 1 v 0 Dt 1 — a Dt 2 f

2

1 1 5

50 15 t 1 — a t 2 f 50 15 t 2 — ? — ? t 2 f

2 2 t

50

50 15 t 2 2,5 t f 50 12,5 t f t ——— 4 s

12,5

25

a —— 21,25 m/s 2

4

11. Observeu la figura 1.33 i determineu:

10. Representeu els gràfics v-t i x-t d’un mòbil que parteix del

repòs i es desplaça amb una acceleració constant de 3 m/s 2

des de l’instant t 5 0 fins a t 5 100 s.

v 3 t

i

uyut

1

x — 3 t 2 f x 1,5 t 2

2

t x v

0

0

0

10

150

30

30

1 350

90

60

100

5400

15000

180

300

a) La classe de moviment en cada tram.

1r tram: MRU

FÍSICA 1 1

17

2n tram: MRUA

3r tram: no hi ha moviment

4t tram: MRUA

b) L’acceleració en cada tram.

1r tram: a 0

0 2 20 220

2n tram: a ————— —— 24 m/s 2

10 2 5 5

3r tram: a 0

10 2 0 10

4t tram: a ————— —— 1 m/s 2

25 2 15 10

c) La distància recorreguda en cada tram.

Per determinar la distància recorreguda en cada tram recordem

que és igual a l’àrea que hi ha sota la gràfica v-t. Per

tant, re cordant les fórmules de les àrees d’un rectangle i

d’un triangle, tenim:

1r tram: Dx 20 ? (5 2 0) 100 m

20 ?(10 2 5)

2n tram: Dx ——————— 50 m

2

3r tram: Dx 0 m

10 ? (25 2 15)

4t tram: Dx ——————— 50 m

2

d) La distància total que ha recorregut.

100 1 50 1 50 200 m

e) La velocitat que porta el cos als 7 s, als 12 s i als 18 s.

Trobeu-la numèricament i també gràficament.

j 7 s; 2n tram; v v 0 1 a Dt

v 20 2 4 (t 2 5) 20 2 4 (7 2 5) 12 m/s

j 12 s; 3r tram; v 0

j 18 s; 4t tram; v v 0 1 a Dt

v t 2 15 f v 18 2 15 3 m/s

12. Suposeu que deixem caure un cos des d’una certa altura.

Raoneu cada apartat.

a) Quant val la seva velocitat inicial?

v 0, perquè el deixem caure.

b) La velocitat del cos augmenta o disminueix? Quin signe

té?

Augmenta el mòdul, i el seu signe és negatiu, segons el

sistema de referència que utilitzem.

c) Quant val l’acceleració amb què baixa el cos? Quin signe

té?

L’acceleració és negativa i correspon a l’acceleració de la

gravetat.

d) Què passarà si, en comptes de deixar caure el cos, el

llancem amb una certa velocitat inicial des del terra?

Feu un dibuix que expliqui aquest fet.

Si es negligeixen els efectes del fregament amb l’aire, torna

a arribar a terra amb la mateixa velocitat amb què l’hem

llançat i fa el mateix recorregut. A la unitat hi ha un exemple

numèric que fa referència a aquest fet.

13. Llancem un cos des del terra amb una velocitat inicial de

70 m/s.

v 0 70 m/s

1

y y 0 1 v 0 Dt 1 — a Dt i 2

2

y

v v 0 1 a Dt

t

y 70t 2 4,9 t 2 i y

t

v 70 2 9,8t

a) Fins a quina altura màxima arribarà?

v 5 0; 0 5 70 2 9,8 t

70

t 5 —— 5 7,14 s

9,8

y 5 70 ? 7,14 2 4,9 ? 7,14 2 5 249,8 m

b) Quant de temps triga a fer tot aquest recorregut?

t 5 7,14 s

c) Quant de temps passarà fins que torni una altra vegada

al terra?

0 5 70 t 2 4,9 t 2

0 5 70 2 4,9 t

70

t 5 —— 5 14,29 s

4,9

d) Amb quina velocitat arribarà al terra?

v 5 70 2 9,8 ? 14,29 5 270 m/s

e) Dibuixeu els gràfics velocitat-temps i posició-temps i

interpreteu-ne el resultat.

t x v

0

5

10

7,14

14,29

0

227,5

210

249,8

0

70

21

228

0

270

18 1


A

r v 0 5 20 m/s

u

w t 0 5 0

u

q y 0 5 0

r

1

u y 5 y 0 1 v 0 Dt 1 — a Dt 2

w

2

u

q v 5 v 0 1 a Dt

B

r v 0 5 0

u

w t 0 5 0 a 5 29,8 m/s 2

u

q y 0 5 30 m

y A 5 20 t 2 4,9 t 2 i y

y B 5 30 2 4,9 t 2 t

v A 5 20 2 9,8 t i y

v B 5 29,8 t t

a) En quin instant es trobaran?

y A 5 y B

30

20 t 2 4,9 t 2 5 30 2 4,9 t 2 ; t 5 —— 5 1,5 s

20

b) Quina velocitat portarà cadascuna?

v A 5 20 2 9,8 ? 1,5 5 5,3 m/s

v B 5 29,8 ? 1,5 5 214,7 m/s

c) Calculeu la distància recorreguda per cada una de les

pedres.

y A 5 20 ? 1,5 2 4,9 ? 1,5 2 5 18,975 m

y B 5 30 2 4,9 ? 1,5 2 5 18,975 m f

D y 5 18,975 2 30 5 211,025 m

14. Llancem verticalment cap amunt una bala, que tarda 20 s a

aturar-se. Amb quina velocitat l’hem llançada i a quina altura

ha arribat?

t 5 20 s

1

y 5 y 0 1 v 0 Dt 1 — a Dt 2

2

v 5 v 0 1 a Dt

1

y 5 v 0 ? 20 2 — ? 9,8 ? 20 2

2

0 5 v 0 2 9,8 ? 20 f v 0 5 9,8 ? 20 5 196 m/s

y 5 196 ? 20 2 4,9 ? 20 2 5 1 960 m

15. Es deixa caure una pedra des d’una altura de 30 m, i en el

mateix instant i des de terra es llança verticalment i cap

amunt una altra pedra amb una velocitat de 20 m/s.

——— 30 m

B

Física quotidiana

1. Calculeu la velocitat mitjana de cada atleta en la prova que

ha guanyat.

Considerem que el moviment és rectilini i aleshores podem expressar:

Dx

v m 5 ——

Dt

Per fer els càlculs correctament cal en primer lloc expressar el

temps en segons. Presentem els resultats en la taula següent:

Nedador/a

Distància

(m)

Temps

Temps

(s)

Velocitat

mitjana

(m/s)

E. Mc Intyre 800 9 min 35 s 575 1,39

V. Hadd 200 2 min 29 s 149 1,34

C. Kilian 100 58 s 58 1,72

S. Johnston 50 28 s 28 1,79

A. Romashkin 800 8 min 53 s 533 1,50

T. Herrmann 200 2 min 11 s 131 1,53

A

———

M. Smart 100 52 s 52 1,92

A. Conway 50 25 s 25 2,00

FÍSICA 1 1

19

2. Comenteu els resultats de les velocitats mitjanes que heu

obtingut.

Cal fer dues apreciacions generals:

——

Per a una mateixa distància, la velocitat mitjana dels nedadors

és sempre superior a la de les nedadores.

——

Per a un mateix sexe, la velocitat mitjana disminueix a mesura

que augmenta la distància a recórrer.

A més, pot ser interessant remarcar que la velocitat mitjana

més alta és de 2 m/s, que equival a 7,2 km/h, una velocitat

fàcilment assumible si en comptes de nedar, la persona corre.

Evidentment, l’ésser humà és dissenyat per desplaçar-se caminant

i no nedant.

3. A partir de la prova dels 200 m masculins agafeu, per als

primers 50 m, el temps de la prova dels 50 m i per als 100 m

següents, agafeu el temps de la prova de 100 m i calculeu

el temps i la velocitat per als últims 50 m restants per obtenir

una velocitat mitjana igual que la de la prova de 200 m

masculins.

Dx

Partim de l’expressió v m 5 ——. Si volem que la velocitat mitja-

Dt

na sigui la que ha assolit el nedador de 200 m, n’hi ha prou

amb veure que el temps total haurà de coincidir amb el temps

que ha fet aquest nedador, per tant:

Dt 5 25 1 52 1 t r 5 131 s f t r 5 54 s

Aquest és el temps que cal fer en els últims 50 m.

Per trobar la velocitat mitjana en el tercer tram que estem considerant,

utilitzem l’expressió de la velocitat mitjana:

Dx 50 m

v m 5 —— 5 ——— 5 0,93 m/s

Dt 54 s

4. Si la nedadora que finalment ha guanyat la prova de 200 m

esquena realitzés aquesta prova a la velocitat mitjana de la

nedadora que ha guanyat la prova de 100 m, quin temps

hauria fet en aquesta prova?

Partim un cop més d’aquesta expressió:

Dx

v m 5 ——

Dt

En aquest cas volem que:

Dx 5 200 m

v m 5 1,72 m/s

Substituïm a l’expressió de la velocitat mitjana:

i

y

t

Dx

200 m

v m 5 —— f 1,72 m/s 5 ———

Dt

Dt

200 m

Dt 5 ————— < 116 s 5 1 min 56 s

1,72 m/s

Activitats finals

Qüestions

1. Considereu el sistema laboratori i el sistema Terra:

a) On és l’origen de coordenades de cadascun? Dibuixeulos

esquemàticament amb els eixos de coordenades.

L’origen de coordenades del sistema laboratori és qualsevol

punt que estigui en repòs respecte del terra; per exemple:

un punt immòbil respecte d’una aula, d’una habitació, del

carrer, etc. L’origen de coordenades del sistema Terra és el

centre de la Terra.

b) Es mouen un respecte de l’altre?

El sistema laboratori es mou respecte el sistema Terra perquè

la Terra té un moviment de rotació entorn un eix que

passa pel seu centre. Els únics punts que no es mouen respecte

el sistema Terra són els situats sobre l’eix de rotació.

La resta de punts de la Terra descriuen cercles entorn

aquest eix.

c) El satèl . lit Meteosat es mou respecte de cadascun

d’aquests?

El satèl . lit Meteosat és geoestacionari; és a dir, té un moviment

de rotació de manera que sempre es troba a una distància

constant i sobre el mateix punt de la superfície de la

Terra. Per tant, es mou respecte el sistema Terra; però respecte

el sistema laboratori, el satèl . lit Meteosat està quiet,

ja que té el mateix període de rotació que el terra pres com

a origen del sistema laboratori.

2. El vector desplaçament D f r entre dos punts A i B de la trajectòria

d’un mòbil, canviarà si modifiquem l’origen del sistema

de coordenades? Feu-ne una explicació gràfica.

El vector desplaçament és independent de l’origen de coordenades

escollit, sempre que aquest origen estigui en repòs o es

mogui a velocitat constant. Aquí només considerarem com a

origen de coordenades punts en repòs:

Siguin A i B dos punts de l’espai pels quals passa un mòbil en

determinats instants de temps. Si l’origen de coordenades es situa

al punt O, el vector desplaçament D f r està indicat a la figura:

Si ara l’origen de coordenades és el punt O’, canviaran els vectors

de posició dels punts A i B, però el vector desplaçament és

el mateix. I això es compleix per a qualsevol punt que es prengui

com a origen de coordenades:

És a dir, la nedadora faria la prova en 1 min 56 s, 33 segons

menys que el resultat que va obtenir.

20 1


3. a) Què vol dir que el moviment rectilini és un moviment en

una dimensió? Feu-ne l’explicació amb un dibuix.

La trajectòria és una recta; per tant, la seva posició queda

determinada en una sola coordenada.

b) Penseu i anoteu cinc exemples de moviments rectilinis.

Caiguda d’un cos en la qual l’efecte de l’aire és negligible

i, en conseqüència, no altera la seva trajectòria; moviment

d’un cotxe per una carretera recta; moviment d’un tren per

una via recta; moviment d’oscil . lació d’una molla; un cos

que es deixa caure per un pla inclinat.

4. Un cos es mou cap a la dreta amb una velocitat de 7,5 m/s.

Quant val el vector velocitat? Quant val la celeritat?

El vector velocitat i la celeritat valen 7,5 m/s.

5. Determineu el signe de la velocitat i de l’acceleració en els

casos següents:

a) Un cos baixa segons l’eix vertical.

Velocitat negativa.

Si el mòdul de la velocitat augmenta,

Dv , 0 f a 5 Dv/Dt , 0

En aquest cas l’acceleració és negativa.

Si el mòdul de la velocitat disminueix,

Dv . 0 f a 5 Dv/Dt . 0

En aquest cas l’acceleració és positiva.

b) Un cos puja segons l’eix vertical.

Velocitat positiva; sempre tenint en compte el sistema de

referència utilitzat en tota la unitat.

Si el mòdul de la velocitat disminueix,

Dv , 0 f a 5 Dv/Dt , 0

En aquest cas l’acceleració és negativa.

Si el mòdul de la velocitat augmenta,

Dv . 0 f a 5 Dv/Dt . 0

En aquest cas l’acceleració és positiva.

6. Dels gràfics v-t que representen moviments rectilinis (tria

l’opció correcta):

A) El càlcul de l’àrea entre un interval de temps ens dóna:

a) l’acceleració del moviment

b) l’espai recorregut

c) la velocitat

En calcular l’àrea de la gràfica v-t en un interval de temps,

estem sumant per a petits increments de temps aquesta

Dx

quantitat: —— ? Dt. Per tant, al final obtenim el desplaça-

Dt

ment total del mòbil des de l’instant de temps inicial fins al

final. La resposta correcta és: b) l’espai recorregut.

B) Si hi ha un tram paral . lel a l’eix del temps, aquest correspon

a:

a) un MRU

b) un MRUA

c) absència de moviment

Un tram de la gràfica paral . lel a l’eix del temps significa que

en aquest interval de temps la velocitat és constant i no

nul . la. El cos es mou sense acceleració. Per tant, la resposta

correcta és: a) un MRU.

7. Un cos baixa verticalment sotmès només a l’acceleració de

la gravetat. Segons el sistema de referència emprat en

aquesta unitat (tria l’opció correcta):

A) El signe de la velocitat és:

a) negatiu

b) positiu

c) el signe que agafem és indiferent

La velocitat està dirigida cap a baix, per tant, segons el

conveni de signes d’aquesta unitat té signe negatiu. La

resposta correcta és: a) negatiu.

B) La velocitat en mòdul:

a) augmenta

b) disminueix

c) és constant

La velocitat cada vegada és menor, perquè té signe negatiu i el

mòdul va augmentant. La resposta correcta és: a) augmenta.

8. [Curs 98-99] D’una aixeta gotegen, separades una de l’altra,

dues gotes d’aigua. En un instant determinat, estan separades

una distància d. Raoneu si, amb el pas del temps, mentre

cauen, aquesta distàn cia anirà augmentant, minvant o

romandrà constant.

La distància entre les gotes cada vegada augmentarà perquè

l’espai recorregut en un moviment accelerat té una dependència

quadràtica amb el temps. La gràfica posició-temps d’aquest moviment

és una paràbola. Per tant, a dos valors de temps t 1 i t 2

que difereixen en un valor Dt constant en l’eix d’abscises, els

correspondran valors de posició y 1 i y 2 que difereixen entre si

un valor no constant. La diferència en les ordenades anirà augmentant

en augmentar els valors de t 1 i t 2 considerats. En

aquest cas tenim dues gotes, és a dir, dues paràboles idèntiques

però separades en l’eix del temps en un valor constant Dt

(la diferència de temps entre els instants de caiguda de les

dues gotes de l’aixeta). Per tant, trobar la diferència de posicions

entre les dues gotes a cada instant equival a trobar la

diferència de posicions en una mateixa gràfica per a dos valors

de temps que difereixen en el valor Dt. Així, si per a uns valors

de temps determinats les seves posicions difereixen en una

distància d en l’eix Y, aquest valor no es manté al llarg del

temps, sinó que anirà augmentant.

FÍSICA 1 1

21

Problemes

NOTA: Si l’enunciat dels problemes no diu el contrari, considerarem

nul l’efecte del fregament de l’aire.

1. Un corredor de Fórmula 1 ha fet la volta més ràpida en els

entrenaments d’un gran premi d’aquesta categoria i ha tardat

53,2 s en un circuit que té 3,53 km. A quina velocitat

mitjana ha rodat? Expresseu-la en km/h i m/s.

3,53 km 3 600 s

————— ? ———— 5 238,87 km/h

53,2 s 1 h

3,53 km 1 000 m

————— ? ————— 5 66,35 m/s

53,2 s 1 km

3. Representeu els gràfics v-t i x-t d’un mòbil que parteix

del punt x 5 10 m i es desplaça a 18 km/h entre l’instant

t 5 0 s i t 5 50 s.

x 0 5 10 m

t (s) x (m)

v 5 18 km/h 5 5 m/s

x 5 x 0 1 v t f x 5 10 1 5 t

0

50

10

260

(m)

(m/s)

2. Un motorista es troba inicialment (t 0 5 0) a la posició

x 0 5 25 m, i quan han passat 12 s es troba a la posició x 5

5 2 m. Si suposem que el moviment és rectilini i uniforme:

(m)

a) Feu un esquema i calculeu la velocitat que porta.

Dx 2 2 25 23

v 5 —— 5 ———— 5 2—— 5 21,92 m/s

Dt 12 12 (m/s)

b) En quina posició es trobarà quan hagin passat 18 s?

x 5 x 0 1 v Dt f x 5 25 2 1,92 ? 18 5 29,5 m

v (m/s)

c) Dibuixeu els gràfics posició-temps i velocitat-temps.

t (s)

0

12

18

x (m)

25

2

29,5

4. a) Determineu a partir dels gràfics (fig. 1.42) la velocitat

de cada mòbil.

Dx 40 2 10

1r mòbil: v 5 —— 5 ———— 5 1,67 m/s

Dt 18

2n mòbil: v 5 0

Dx 0 2 20

3r mòbil: v 5 —— 5 ———— 5 25 m/s

Dt 4 2 0

22 1


e) Valor final del desplaçament.

Dx 5 x 2 x 0 5 15 2 20 5 25 m

b) Digueu quin tipus de moviment representa cadascun.

1r mòbil: MRU

2n mòbil: no hi ha moviment

3r mòbil: MRU

c) Determineu la posició en què es troba cada mòbil als 3 s.

1r mòbil: x 5 10 1 1,67 ? 3 5 15 m

2n mòbil: x 5 15 m

3r mòbil: x 5 20 2 5 ? 3 5 5 m

d) Quina distància hauran recorregut als 3 s?

Dx 5 x 2 x 0

1r mòbil: Dx 5 15 2 10 5 5 m

2n mòbil: Dx 5 0

3r mòbil: Dx 5 5 2 20 5 215 m

5. Amb el gràfic següent (fig. 1.43), determineu:

a) Classe de moviment en cada tram.

1r tram: MRU

2n tram: no hi ha moviment

3r tram: MRU

6. En el gràfic següent (fig. 1.44) representem el moviment

de dues partícules damunt una superfície rectilínia. Trobeu:

a) L’equació del moviment de cada partícula.

0 2 (210)

v A 5 —————— 5 1 m/s

10 2 0

x A 5 210 1 t

0 2 20

v B 5 ————— 5 22 m/s

20 2 10

x B 5 20 2 2 (t 2 10) f x B 5 20 2 2t 1 20 f

x B 5 40 2 2t

b) On es troben i quin és el temps de trobada, gràficament

i numèricament.

x A 5 x B

x A 5 210 1 t i y 210 1 t 5 40 2 2 t

x B 5 40 2 2 t t

50

3 t 5 50 f t 5 —— 5 16,66 s

3

x 5 210 1 16,66 5 6,66 m

b) Velocitat en cada tram.

Dx 20 2 10

v 5 —— 1r tram: v 5 ————— 5 5 m/s

Dt 2 2 0

2n tram: v 5 0

15 2 20

3r tram: v 5 ————— 5 22,5 m/s

8 2 6

c) Distància recorreguda en cada tram.

Dx 5 x 2 x 0

1r tram: Dx 5 20 2 10 5 10 m

2n tram: Dx 5 0

d) Distància total que ha recorregut.

3r tram: Dx 5 15 2 20 5 25 m, aquí el

desplaçament és negatiu, prenem el seu

valor absolut per trobar la distància recorreguda:

d 5 Dx 5 5 m

10 1 5 5 15 m

7. Una motocicleta, partint del repòs, fa un recorregut d’1 km

en 31,8 s. Si el moviment és rectilini uniformement accelerat,

calculeu l’acceleració i la velocitat finals.

1

x 5 x 0 1 v 0 t 1 — at 2

2

v 5 v 0 1 a t

1 2 ? 1000

1000 5 — a ? 31,8 2 f a 5 ————— 5 1,97 m/s 2

2 31,8 2

v 5 1,97 ? 31,8 5 62,89 m/s

FÍSICA 1 1

23

8. Escriviu l’expressió de la posició en funció del temps per a

un mòbil que es desplaça sobre l’eix OX amb una acceleració

constant de 24 m/s 2 , si sabem que en l’instant t 5 4 s es

troba en la posició x 5 16 m i la seva velocitat és de 6 m/s.

Quina serà la posició i quina serà la velocitat en l’instant

t 5 5 s? Feu els gràfics posició-temps i velocitat-temps.

a 5 24 m/s 2 i u

t 0 5 4 s uyuut

x 0 5 16 m

v 0 5 6 m/s

1

x 5 x 0 1 v 0 Dt 1 — a Dt 2

2

1

x 5 16 1 6 (t 2 4) 2 — 4 (t 2 4) 2

2

x 5 16 1 6 t 2 24 2 2 t 2 1 16 t 2 32

x 5 22 t 2 1 22 t 2 40

x (5) 5 22 (5) 2 1 22 ? 5 2 40; x (5) 5 20 m

v 5 v 0 1 a Dt f v 5 6 2 4 (t 2 4)

v 5 6 2 4 t 1 16 f v 5 22 2 4 t

9. Un avió Boeing 727 necessita una velocitat de pista de

360 km/h per enlairar-se; si partint del repòs tarda 25 s a

fer-ho:

a) Quina acceleració constant li proporcionen els motors?

1 1

x 5 — a t 2 f x 5 — a ? 25 2

2 2

v 5 a t f 100 5 a ? 25 f a 5 4 m/s 2

b) Quina longitud de pista ha de recórrer?

1

x 5 — ? 4 ? 25 2 5 1 250 m

2

c) Representeu els gràfics v-t i x-t.

x 5 2 t 2 i y

t v 5 4 t

t x y

0

10

20

25

0

200

800

1250

0

40

80

100

v(5) 5 22 2 4 ? 5 f v (5) 5 2 m/s

t x y

0

4

5

240

16

20

22

6

2

10. a) Determineu a partir dels gràfics de la figura 1.45 l’acceleració

de cada mòbil.

Dv 30 2 0

1r mòbil: a 5 —— 5 ———— 5 1,5 m/s 2

Dt 20 2 0

2n mòbil: a 5 0

Dv 5 2 25 20

3r mòbil: a 5 —— 5 ———— 5 2—— 5 21 m/s 2

Dt 20 2 0 20

b) Digueu quin tipus de moviment representa cada mòbil.

1r mòbil: MRUA

2n mòbil: MRU

3r mòbil: MRUA

c) Determineu la velocitat que porta cada mòbil als 18 s.

v 5 v 0 1 a D t

24 1


1r mòbil: v 5 1,5 t f v 5 1,5 ? 18 5 27 m/s

2n mòbil: v 5 20 m/s

3r mòbil: v 5 25 2 t f v 5 25 2 18 5 7 m/s

d) Quina distància hauran recorregut als 18 s?

1

x 5 x 0 1 v 0 Dt 1 — a Dt 2

2

1

1r mòbil: x 5 — ? 1,5 ? 18 2 5 243 m

2

2n mòbil: x 5 20 ? 18 5 360 m

1

3r mòbil: x 5 25 ? 18 2 — ? 18 2 5 288 m

2

2n mòbil:

t 5 0 s i 50 ? 1000

y f x 5 —————— 5 25000 m

t 5 50 s t 2

t 5 50 s

t 5 100 s

i

y

t

v 0 5 0; v 5 1 000 m/s

Dv 1 000

a 5 —— 5 ——— 5 20 m/s 2

Dt 50

f x 5 1 000 ? 50 5 50 000 m

v 5 1 000 m/s

a 5 0

t 5 100 s i 1000 ? 100

y f x 5 —————— 5 50000 m

t 5 200 s t 2

v 0 5 1 000 m/s; v 5 0 m/s

Dv 0 2 1 000

a 5 —— f a 5 ————— 5 210 m/s 2

Dt 100

c) Condicions del punt final.

1r mòbil: x 5 0 m

v 5 210 m/s

a 5 0 m/s 2

2n mòbil: x 5 50000 1 25000 1 50000 5 125000 m

v 5 0 m/s

a 5 210 m/s 2

Compareu els primers, els segons i els tercers moviments de

cada gràfic.

11. Comenteu aquests gràfics (fig. 1.46), cadascun dels quals correspon

a un mòbil diferent. Especifiqueu per a cadascun d’ells:

a) Condicions del punt de partida.

1r mòbil: x 0 5 0

2n mòbil: v 0 5 0

b) Els valors de l’espai recorregut, de la velocitat i de l’acceleració;

i els tipus de moviment que tenen lloc entre

0 s i 50 s, 50 s i 100 s, i entre 100 s i 200 s.

1r mòbil:

t 5 0 s i

1000

y f x 5 1000 m; v 5 ———— 5 20 m/s

t 5 50 s t 50

t 5 50 s

t 5 100 s

i

y

t

f x 5 0 m; v 5 0

t 5 100 s i

21000

y f x 521000 m; v 5 ———— 5210 m/s

t 5 200 s t 100

a 5 0 en tots tres casos

Si comparem els moviments a cada tram per als diferents gràfics,

tenim:

j Tram entre t 5 0 i t 5 50 s. En el primer gràfic tenim un

MRU amb v . 0, mentre que en el segon hi ha un MRUA amb

a . 0.

j Tram entre t 5 50 s i t 5 100 s. En el primer gràfic no hi ha

moviment (v 5 0), mentre que en el segon hi ha un MRU.

j Tram entre t 5 100 s i t 5 200 s. En el primer gràfic tenim

un MRU amb v , 0, mentre que en el segon hi ha un MRUA

amb a , 0.

12. Dos ciclistes fan una cursa de 100 m llisos. Els dos corren

amb un MRUA. Si el ciclista català arriba amb una velocitat

FÍSICA 1 1

25

de 74 km/h i el ciclista italià arriba amb una velocitat de

20 m/s, qui guanya la carrera i quant de temps triguen a

fer-la?

1 i

x 5 x 0 1 v 0 Dt 1 — a Dt 2 u

2 y

u

v 5 v 0 1 a Dt

t

Català: 74 km/h 5 20,56 m/s

1

100 5 — a t 2 i u 200 5 a t 2

2 yut

20,56 5 a t

20,56 5 a t

i

y

t

200

200 5 20,56 t f t 5 ——— 5 9,73 s

20,56

1

Italià: 100 5 — a t 2 i u

yut 2

20 5 a t

Guanya el català.

200

200 5 20 t f t 5 ——— 5 10 s

20

13. Determineu per a cada un dels mòbils representats en la

figura 1.47:

b) Si tots tres surten de la mateixa posició, trobeu:

j On es troben, dos a dos.

j Temps en què porten la mateixa velocitat, gràficament

i matemàticament.

x A 5 x B

10 t 1 0,66 t 2 5 20 t 2 0,5 t 2

10 1 0,66 t 5 20 2 0,5 t f 1,16 t 5 10

10

t 5 —— 5 8,62 s

1,16

x 5 10 ? 8,62 1 0,66 ? 8,62 2 f x AB 5 135,24 m

x B 5 x C

20 t 2 0,5 t 2 5 25 t f 25 5 0,5 t f t 5 210 s

El temps no pot ser negatiu. Per tant, no es troben.

x A 5 x C

10t 1 0,66t 2 5 25t f 0,66t 5 25 2 10

15

t 5 ——— 5 22,5 s

0,66

x 5 25 ? 22,5 5 562,5 m

v A 5 v B

10 1 1,33 t 5 20 2 t f 2,33 t 5 10

10

t 5 ——— 5 4,29 s

2,33

v 5 20 2 4,29 5 15,7 m/s

a) L’acceleració i l’equació del moviment i de la ve locitat.

Dv 30 2 10 20

Mòbil A a 5 —— 5 ————— 5 —— 5 1,33 m/s 2

Dt 15 15

v 5 v 0 1 a Dt

1

x 5 x 0 1 v 0 Dt 1 — a Dt 2

2

v A 5 10 1 1,33 t

i

u

y

u

t

1

x A 5 10 t 1 — ? 1,33 t 2 f x A 5 10 t 1 0,66 t 2

2

Dv 0 2 20

Mòbil B a 5 —— 5 ———— 5 21 m/s 2

Dt 20

v B 5 20 2 t

x B 5 20 t 2 0,5 t 2

Mòbil C a 5 0 m/s 2

v C 5 25 m/s

x C 5 25 t

i

y

t

i

u

y

u

t

v B 5 v C

20 2 t 5 25 f t 5 20 2 25 5 25 s

No porten mai la mateixa velocitat.

v A 5 v C

15

10 1 1,33 t 5 25 f 1,33 t 5 15 f t 5 ———— 5 11,28 s

1,33

v 5 25 m/s

14. El temps dels primers classificats de la final olímpica d’una

cursa de natació és: medalla d’or, 47,14 s, i medalla de plata,

47,5 s. Sabem que tota la cursa va amb MRUA i l’acceleració

del medalla d’or és 0,09 m/s 2 . De quina prova es

tracta i amb quina acceleració va el medalla de plata?

t 1r 5 47,14 s; a 1r 5 0,09 m/s 2

t 2n 5 47,5 s

1 2 x

x 5 — a t 2 f a 5 ——

2 t 2

1 1

x 5 x 0 1 v 0 Dt 1 — a Dt 2 f x 5 — ? 0,09 ? 47,14 2 5 100 m

2 2

2 x 2 ? 100

a 2n 5 —— 5 ———— 5 0,088 m/s 2

t 2 47,5 2

26 1


15. Dos mòbils es mouen damunt d’una recta. En l’instant inicial

(t 5 0) es troben a l’origen (x 5 0).

a) El primer es mou amb un moviment uniforme i quan ha

passat 1 s es troba a la posició x 5 2 m. Calcula la posició

i la velocitat quan han passat 2 s, 3 s, 4 s i 5 s.

Dibuixa els gràfics posició-temps i velocitat-temps.

x 0 5 0 x 5 2 m i x 5 x 0 1 v Dt f

y

t 0 5 0 t 5 1 s t 2 5 v ? 1 f v 5 2 m/s

t x v

0

2

3

4

5

0

8

18

32

50

0

8

12

16

20

x 5 2 t f

t

0

2

3

4

5

x

0

4

6

8

10

b) El segon es mou amb moviment uniformement accelerat

sense velocitat inicial (v 0 5 0) i quan ha passat 1 s

també es troba a la posició x 5 2 m. Calculeu la posició

i la velocitat quan han passat 2 s, 3 s, 4 s i 5 s. Dibuixeu

els gràfics posició-temps, velocitat-temps i acceleraciótemps.

v 0 5 0 x 5 2 m i

uyut

1

x 5 x 0 1 v 0 Dt 1 — a Dt 2

x 0 5 0 t 5 1 s 2

t 0 5 0

x 5 2 t 2 i y

t v 5 4 t

v 5 v 0 1 a Dt

1

2 5 — a ? 1 2 f a 5 4 m/s 2

2

c) Determineu gràficament i també matemàticament en

quin moment els dos mòbils van a la mateixa velocitat i

estan en la mateixa posició.

v 5 4 t i 4 t 5 2 f t 5 0,5 s

yt

v 5 2

v 5 2 m/s

x 5 2 t i

y f 2 t 5 2 t 2 f t 5 1 s

x 5 2 t 2 t

x 5 2 m

16. En la final olímpica de 200 m llisos, els dos primers corredors

fan la cursa amb MRUA. Si el primer classificat tar-

FÍSICA 1 1

27

da 19,15 s i el segon arriba a 72 km/h, quin temps fa el

segon classificat i a quina velocitat arriba el primer?

x 5 200 m

1

x 5 x 0 1 v 0 Dt 1 — a Dt 2

2

v 5 v 0 1 a Dt

t 1r 5 19,15 s

v 2n 5 72 km/h 5 20 m/s

i

u

y

u

t

1

2n classificat: 200 5 — a t 2 i u 400 5 a t 2 i

2 yut yt 400 5 20 t

20 5 at

20 5 at

400

t 2n 5 ——— 5 20 s

20

1r classificat: v 5 19,15 a

1

200 5 — a ? 19,15 2 f

2

400

a 5 ———— 5 1,09 m/s 2

19,15 2

v 5 19,15 ? 1,09 5 20,89 m/s

17. Un motorista es troba inicialment aturat en un semàfor i

arrenca amb acceleració d’1,5 m/s 2 , movent-se en línia recta

i cap a la dreta. En el mateix moment, un automòbil que

es mou amb una velocitat constant de 108 km/h, es troba a

2 km del motorista, i es mou cap a l’esquerra. Calculeu en

quin moment es troben i en quina posició ho fan.

0 2000 m

Motorista r i

w yt Automòbil

q a 5 1,5 m/s 2 v 5 108 km/h

1

x M 5 — ? 1,5 ? t 2

2

x A 5 2 000 2 30 t

i

u

y

u

t

108 km/h 5 30 m/s

1

— ? 1,5 ? t 2 5 2 000 2 30 t f 0,75 t 2 1 30 t 2 2 000 5 0

2

230 6 dll 30lll

2 1l4 llll ? 0,75 lll ? 2ll000

230 6 83,07

t 5 —————————————— 5 —————— 5 35,38 s

2 ? 0,75 1,5

x 5 2 000 2 30 ? 35,38 5 938,67 m

18. Dos mòbils es mouen seguint una trajectòria rectilínia entre

els punts A i B, situats a 500 m l’un de l’altre. El primer surt

d’A a 10 m/s, va cap a B amb una acceleració constant i arriba

a B amb una velocitat de 50 m/s. El segon surt de B 3 s

més tard amb velocitat constant de 20 m/s cap a A. Calculeu:

A 500 m B

v 0A 5 10 m/s

f

v fA 5 50 m/s

t 0B 5 3 s

vB 5 20 m/s

a) Quina acceleració té el mòbil A?

1

x 5 x 0 1 v 0 Dt 1 — a Dt 2 i u

yut 2

v 5 v 0 1 a Dt

1

500 5 10 t 1 — a A t i 2 u 40

2 yut t 5 ——

a

50 5 10 1 a A t

A

40 1 40 2

500 5 10 ? —— 1 — a A ? ——— f

a A 2 a A

2

400 800

500 5 ——— 1 ——— f

a A a A

1 200 1 200

500 5 ——— f a A 5 ——— 5 2,4 m/s 2

a A 500

b) En quin punt es trobaran?

x A 5 10 t 1 1,2 t 2

x B 5 500 2 20 (t 2 3)

x B 5 500 2 20 t 1 60 f x B 5 560 2 20 t

x A 5 10 t 1 1,2 t 2 i

yt

xB 5 560 2 20 t

f 10 t 1 1,2 t 2 5 560 2 20 t f 1,2 t 2 1 30 t 2 560 5 0

230 6 dll 30lll

2 1l4 llll ? 1,2 llll ? 560l

t 5 ————————————— 5 12,46 s

2 ? 1,2

x 5 560 2 20 ? 12,46 5 310,83 m

c) En quin punt està el mòbil que surt d’A en el moment

que té la mateixa velocitat que el mòbil B?

x 5 10 t 1 1,2 t 2 i v 5 20 m/s

yt

v 5 10 1 2,4 t

20 5 10 1 2,4 t f

10

t 5 —— 5 4,17 s

2,4

x 5 10 ? 4,17 1 1,2 ? 4,17 2 5 62,57 m

19. Un bloc es deixa lliscar amb moviment rectilini uniformement

accelerat per un pla inclinat de 6 m de longitud, i

tarda 2 s a fer aquest recorregut. Després, continua desplaçant-se

en línia recta i amb velocitat constant per un pla

horitzontal que també té 6 m de longitud, puja per un altre

pla inclinat amb moviment uniformement accelerat i, finalment,

es para després d’haver fet un recorregut per aquest

últim pla de 3,6 m.

a) Dibuixeu els gràfics v-t, x-t i a-t del moviment total.

1

1: x 5 x 0 1 v 0 Dt 1 — a Dt 2 i u

2 yut

v 5 v 0 1 a Dt

1

f 6 5 — a 2 2 f a 5 3 m/s 2 ; v 5 3 ? 2 5 6 m/s

2

28 1


2: x 5 x 0 1 v Dt

12 5 6 1 6 t f t 5 1 s

3: 0 5 6 1 a t i

1 u 6

15,6 5 12 1 6 t 1 — a t 2 y

u f a 5 2—

2 t t

1 6

f 3,6 5 6 t 2 — — t 2 f

2 t

3,6 6

3,6 5 3 t f —— 5 1,2 s f a 5 2—— 5 25 m/s 2

3 1,2

b) Comproveu en el gràfic v-t que l’espai total recorregut

pel bloc és de 15,6 m.

Calculem l’àrea del gràfic v-t.

6

2 ?— 5 6 m

2

6 ? 1 5 6 m

6

1,2 ?— 5 3,6 m

2

Àrea total: 6 1 6 1 3,6 5 15,6 m

NOTA: Aneu canviant de sistema de referència segons el pla

en què es mogui el bloc.

20. Amb quina velocitat inicial hem de llançar vertical ment cap

amunt un cos perquè arribi fins a una altura de 100 m?

Quant de temps tardarà a arribar-hi?

100 m

0

v 5 v 0 1 a Dt

1

y 5 y 0 1 v 0 Dt 1 — a Dt 2

2

0 5 v 0 2 9,8 t

1

100 5 v 0 t 2 — 9,8 t 2

2

i

u

y

u

t

i

u v 0 5 9,8 t

y

u

t 100 5 9,8 t 2 2 4,9 t 2

i

y

t

100

100 5 4,9 t 2 f t 5 d lll — l — ll 5 4,51 s

4,9

v 0 5 9,8 ? 4,51 5 44,27 m/s

21. Llancem verticalment cap amunt una bala amb una velocitat

de 108 km/h.

v 0 5 108 km/h 5 30 m/s

1 i

y 5 y 0 1 v 0 Dt 1 — a Dt 2 u

2 y

u

v 5 v 0 1 a Dt

t

FÍSICA 1 1

29

a) Quina és l’alçària màxima que assoleix i quant de temps

triga a fer-ho?

y 5 30 t 2 4,9 t 2 i

yt

0 5 30 2 9,8 t

30

t 5 —— 5 3,06 s

9,8

y 5 30 ? 3,06 2 4,9 ? 3,06 2 5 45,92 m

b) Quan ha passat la meitat del temps, a quina altura està

i a quina velocitat va?

t 3,06

— 5 —— 5 1,53 s

2 2

y 5 30 ? 1,53 2 4,9 ? 1,53 2 5 34,43 m

v 5 30 2 9,8 ? 1,53 5 15 m/s

22. Un objecte que s’ha llançat verticalment cap avall assoleix

una velocitat de 30 m/s als 20 m de recorregut. Quant de

temps ha tardat? A quina velocitat ha estat llançat?

20 m

Segons l’enunciat, el salt és vertical, l’altura màxima assolida és

de 2,45 m i el fregament és negligible. Per tant:

1

y màx 5 v 0 t 1 — g t 2

2

On g 5 29,8 m/s 2

D’altra banda, en el punt més alt la velocitat és nul . la:

2v 0

0 5 v 0 1 g t f t 5 —— g

Introduint aquesta expressió en la primera equació tenim:

2

2

v 0

1 v

y 0

màx 5 2—— 1 — 1 —— 2

g 2 g

v 0 5 dll22llgl llyl màx

ll 5 dll22lll ?(2lll

9,8) llll ? 2l,45 ll 5 6,93 m/s

24. Des d’una altura de 200 m sobre el terra, llancem verticalment

i cap amunt un cos amb una velocitat inicial de

30 m/s.

200 m

f v 0 5 30 m/s

0 30 m/s

1

y 5 y 0 1 v 0 Dt 1 — a Dt 2

2

v 5 v 0 1 a Dt

i

u

y

u

t

1

0 5 20 2 v 0 t 2 — 9,8 t i 2 u

yut f 0 5 20 2 v 0 t 2 4,9 t 2 i

2

yt

30 5 v

230 5 2v 0 2 9,8 t

0 1 9,8 t

v 0 5 30 2 9,8 t

0 5 20 2(30 2 9,8 t) t 2 4,9 t 2 f

0 5 20 2 30 t 1 9,8 t 2 2 4,9 t 2 f

4,9 t 2 2 30 t 1 20 5 0

30 6 dll 30lll

2 2l4 llll ? 4,9 llll ? 20l

t 5 ———————————— 5

2 ? 4,9

t 5 5,36 s

30 6 22,54

5 —————— 5

9,8

t 5 0,76 s

a) Feu un dibuix aproximat del gràfic v-t corresponent al

moviment d’aquest cos des de l’instant de llan çament

fins que arriba a terra. Indiqueu en el gràfic els valors de

v i t corresponents als instants inicial i final.

1 i

y 5 y 0 1 v 0 Dt 1 — a Dt 2 u

2 y

u

v 5 v 0 1 a Dt

t

1

y 5 200 1 30 t 2 — 9,8 t 2

2

v 5 30 2 9,8 t

i

u

y

u

t

y 5 0 f 0 5 200 1 30 t 2 4,9 t 2

f 4,9 t 2 2 30 t 2 200 5 0

30 6 dll 30lll

2 1l4 llll ? 200 llll ? 4,9l 30 6 69,43

t 5 ———————————— 5 —————— 5 10,14 s

2 ? 4,9 9,8

v 5 30 2 9,8 ? 10,14 5 269,43 m/s

v (m/s)

30

v 0 5 30 2 9,8 ? 0,76 5 22,54 m/s

10,14

t (s)

23. [Curs 98-99] Javier Sotomayor és l’actual campió de salt

d’alçada amb una marca de 2,45 m. Determineu la velocitat

amb què va saltar verticalment de terra (la velocitat de sortida).

Suposeu negligibles els efectes del fregament amb

l’aire.

230

269,43

30 1


b) Quant temps tarda a recórrer els darrers 50 m?

50 5 200 1 30 t 2 4,9 t 2

f 0 5 150 1 30 t 2 4,9 t 2 f 4,9 t 2 2 30 t 2 150 5 0

30 6 dll 30lll

2 1l4 llll ? 150 llll ? 4,9l 30 6 61,97

t 5 ————————————— 5 —————— 5

2 ? 4,9 9,8

5 9,38 s fins a 50 m

t últims 50 m 5 t f 2 t fins a 50 m 5 10,14 2 9,38 5 0,76 s

c) Quina serà la seva posició respecte del terra en l’instant

en què el cos baixa amb una velocitat de mòdul de

40 m/s?

70

240 5 30 2 9,8 t f 270 5 29,8 t f t 5 —— 5 7,14 s

9,8

y 5 200 1 30 ? 7,14 2 4,9 ? 7,14 2 5 164,4 m

25. Des del terra llancem cap amunt dos cossos amb una velocitat

de 20 m/s i 30 m/s respectivament, el segon cos 1 s més

tard que el primer. Calculeu el temps, l’altura i la velocitat

quan es troben.

r v 0 5 20 m/s

r v 0 5 30 m/s

u

u

A w t 0 5 0

B w t 0 5 1 s

u

u

q y 0 5 0 q y 0 5 0

a 5 29,8 m/s 2

r

w

q

y A 5 20 t 2 4,9 t 2

y B 5 30 (t 2 1) 2 4,9 (t 21) 2 f

f y B 5 30 t 2 30 2 4,9 t 2 1 9,8 t 2 4,9 f

f y B 5 234,9 1 39,8 t 2 4,9 t 2

v A 5 20 2 9,8 t

v B 5 30 2 9,8 (t 2 1) f v B 5 39,8 2 9,8 t

r

w

q

y A 5 20 t 2 4,9 t 2

i

y

t

r

wq

v A 5 20 2 9,8 t

y B 5 234,9 1 39,8 t 2 4,9 t 2 v B 5 39,8 2 9,8t

20 t 2 4,9 t 2 5 234,9 1 39,8 t 2 4,9 t 2 f

34,9

34,9 5 39,8 t 2 20 t f t 5 ——— 5 1,76 s

19,8

y 5 20 ? 1,76 2 4,9 ? 1,76 2 5 20,02 m

v A 5 20 2 9,8 ? 1,76 5 2,75 m/s

v B 5 39,8 2 9,8 ? 1,76 5 22,55 m/s

26. Dos nois llancen una pedra cap amunt. El primer és a terra

i la llança a 60 m/s; el segon està enfilat a una escala 10 m

per sobre del terra i la llança 2 s més tard a 70 m/s. Calculeu

el temps, la velocitat i l’altura quan es troben les dues

pedres.

A

r v 0 5 60 m/s

u

w t 0 5 0

u

q y 0 5 0

a 5 29,8 m/s 2 1

y 5 y 0 1 v 0 Dt 1 — a Dt 2

2

v 5 v 0 1 a Dt

y A 5 60 t 2 4,9 t 2

r v 0 5 70 m/s

u

B wt 0 5 2 s

u

q y 0 5 10 m

i

u

y

u

t

y B 5 10 1 70 (t 2 2) 2 4,9 (t 2 2) 2

i

y

t

y B 5 10 1 70 t 2 140 2 4,9 t 2 1 19,6 t 2 19,6

y B 5 2149,6 1 89,6 t 2 4,9 t 2 i

yt y A 5 y B f

y A 5 60 t 2 4,9 t 2

f 2149,6 1 89,6 t 2 4,9 t 2 5 60 t 2 4,9 t 2

149,6

f 2149,6 5 289,6 t 1 60 t f t 5 ——— f t 5 5,05 s

29,6

y 5 60 ? 5,05 2 4,9 ? 5,05 2 ; y 5 178,04 m

v A 5 60 2 9,8 t

v B 5 70 2 9,8 (t 2 2) f v B 5 70 2 9,8t 1 19,6 f

v B 5 89,6 2 9,8t

v A 5 60 2 9,8 ? 5,05; v A 5 10,51 m/s

v B 5 89,6 2 9,8 ? 5,05; v B 5 40,11 m/s

27. Es llança una pilota des del terra amb una velocitat inicial

v 0 5 15 m/s.

a) A quina alçada arriba?

L’alçada a què arriba la trobem imposant que la velocitat en

aquest punt sigui zero:

v 2 2

2

2 v 0

2v 0

215 2

y 5 y 0 1 ———— 5 ——— 5 ————— 5 11,48 m

2 g 2 g 2 ?(29,8)

b) Amb quina velocitat arriba a terra?

Negligint el fregament amb l’aire, per simetria, la velocitat

d’arribada al terra és la mateixa en mòdul que la del llançament,

però de sentit contrari. Per tant:

v 5 215 m/s

c) Si la velocitat de llançament fos el doble, quina seria la

relació dels nous valors de l’alçada màxima i de la velocitat

d’arribada a terra amb els inicials?

Si la velocitat de llançament ara és el doble (v9 0 5 22 v 0 ),

la velocitat d’arribada a terra també serà doble:

0

A

10 m

B

v9 5 2v9 0 5 22 v 0

I l’altura màxima ara serà:

2

v 2 2 v 0

30 2

y 5 y 0 1 ———— 5 ———— 5 45,92

2 g 2 ?(29,8)

FÍSICA 1 2

31

j Unitat 2. Cinemàtica

en dues dimensions

Activitats

1. Comenteu com veuen el moviment d’una pinya que cau d’un

pi d’un penya-segat:

a) Un passatger d’una barca que navega paral . lelament a la

costa, suposant que aquesta és recta.

Si el sistema de referència fix és la barca que es mou paralle

lament a la costa i que és on es troba el passatger, aquest

observa un moviment en el pla, és a dir, un moviment parabòlic.

b) Un home des del far de la costa.

En aquest cas, el sistema de referència fix és la costa on es

troben l’arbre i l’home; ara observem que el moviment de la

pinya és rectilini, ja que el seu moviment és vertical de

caiguda lliure.

2. Un observador que es troba situat en una estació d’autobusos,

quiet, deixa caure una pedra a terra. Quin moviment

seguirà aquesta pedra des del punt de vista d’un observador

ubicat dins un autobús que es mou a una velocitat

constant f v 0 respecte de l’estació?

Es tracta del cas simètric al de la figura 2.2 del llibre de text.

L’observador dins de l’autobús veurà que la pinya segueix una

trajectòria parabòlica. Això és degut a que, per a l’observador

de l’autobús, la pinya té dos moviments superposats: un moviment

de caiguda lliure en la direcció Y i un MRU en la direcció

X amb un valor de velocitat 2 f v 0 , oposat a la velocitat de

l’autobús.

3. Trobeu l’equació de la trajectòria d’un mòbil la posició del

qual, en unitats del SI, és:

x 5 3 t 2 1 i

yt

y 5 4 t 1 2

x 1 1

x 5 3 t 2 1 f t 5 ————

3

x 1 1 4 x 1 4

y 5 4 1

———— 2 1 2 f y 5 ———— 1 2 f

3 3

4 x 1 4 1 6 4 10

y 5 —————— f y 5 — x 1 ——

3 3 3

4. Un vaixell que desenvolupa una velocitat de 40 km/h s’utilitza

per travessar un riu de 500 m d’amplada. La velocitat

del riu és d’1,5 m/s i el vaixell (línia proa-popa) sempre es

manté perpendicular als marges del riu.

a) Quina és la velocitat del vaixell respecte d’un observador

situat als marges del riu?

v9 5 40 km/h 5 11,11 m/s, v 0 5 1,5 m/s, v9 || v 0

v 5 dll v9 2 ll1 llv 0

2l 5 dll11,ll11lll1lll

2 1,5ll 2 5 11,21 m/s

b) A quin punt de l’altra riba arribarà?

Dy 5 Dy9 5 500 m; Dy 5 Dy9 5 v9Dt

Dy 500

Dt 5 —— f Dt 5 ——— 5 45 s f Temps que tarda a

v9 11,11

arribar a l’altra riba.

Dx 5 v 0 Dt 5 1,5 ? 4,5 5 6,75 m f Coordenada X del punt

de la riba contrària a on arriba el vaixell.

Dy 5 500 m f Coordenada Y del punt de la riba contrària

a on arriba el vaixell.

c) Quina és l’equació de la trajectòria del vaixell respecte

d’un observador que es troba situat al marge del riu?

v9 11,11

y 5 — x f y 5 ——— x f y 5 7,4 x

v 0 1,5

5. Des d’un edifici de 10 m d’altura llancem obliquament una

pedra cap amunt amb una velocitat inicial de 10 m/s i amb

un angle de 30° respecte de l’horitzontal. A quina distància

del punt de partida cau si el terreny és horitzontal?

Amb quina velocitat arriba a terra i quina altura màxima

assoleix?

v 0 5 10 m/s i u x 5 v 0x t

a 5 30° yut 1

y 5 y

y 0 5 10 m

0 1 v 0y t 1 — g t 2

2

v x 5 v 0x

v y 5 v 0y 1 g t

i

y

t

v 0x 5 10 ?cos 30° 5 8,66 m/s

v 0y 5 10 ? sin 30° 5 5 m/s

a 5 29,8 m/s 2

x 5 8,66 t

y 5 10 1 5 t 2 4,9 t 2

i

y

t

Distància a què arriba a terra:

i

u

y

u

t

y 5 0 f 4,9 t 2 2 5 t 2 10 5 0

5 6 dll5 2 1llll 4 ? l4,9 llll ? 10l

t 5 ——————————— f t 5 2,02 s

2 ? 4,9

x 5 8,66 ? 2,02 5 17,56 m

Velocitat amb què arriba a terra:

v x 5 8,66 i v x 5 8,66

y

v y 5 5 2 9,8 t t v y 5 5 2 9,8 ? 2,02 5 214,8 m/s

Altura màxima que assoleix:

5

v y 5 0 f 5 2 9,8 t 5 0 f t 5 —— 5 0,51 s

9,8

y 5 10 1 5 ? 0,51 2 4,9 ? 0,51 2 5 11,2 m

6. Llancem un cos des del terra obliquament cap amunt amb

una velocitat de 20 m/s que forma un angle de 30° respecte

de l’horitzontal. A quina distància del punt de partida cau

32 2


si el terreny és horitzontal? Quina és la posició 0,5 s després

d’haver-lo llançat? Quina altura màxima assoleix?

x 5 x 0 1 v 0x Dt

1

y 5 y 0 1 v 0y Dt 1 — g Dt 2

2

v 0x 5 20 cos 30° 5 17,32 m/s

v 0y 5 20 sin 30° 5 10 m/s

x 5 17,32 t

y 5 10 t 2 4,9 t 2

i

y

t

i

u

y

u

t

v x 5 v 0x

v y 5 v 0y 1 g Dt

i

y

t

Si t 5 30 s i y 5 0 f 0 5 y 0 2 4,9 ? 30 2

y 0 5 4,9 ? 30 2 5 4 410 m

x 5 50 ? 30 5 1500 m

8. Llancem un objecte cap amunt des de terra amb una velocitat

inicial v 0x 5 20 m/s i v 0y 5 40 m/s. Quan baixa, cau

al terrat d’una casa de 35 m d’alçària. Calculeu el temps de

volada de l’objecte, la distància a la qual es troba la casa i

l’altura màxima a la qual ha arribat l’objecte.

Si y 5 0 f 10 t 2 4,9 t 2 5 0 f t (10 2 4,9 t) 5 0 f

10

t 5 —— 5 2,04 s

4,9

x 5 17,32 ? 2,04 5 35,35 m

Posició al cap de 0,5 s: x 5 17,32 ? 0,5 5 8,66 m

Alçada màxima: v x 5 17,32

y 5 10 ? 0,5 2 4,9 ? 0,5 2 5 3,78 m

v y 5 10 2 9,8 t

i

y

t

10

v y 5 0 f 10 2 9,8 t 5 0 f t 5 —— 5 1,02 s

9,8

y 5 10 ?1,02 2 4,9 ?1,02 2 5 5,10 m

7. Una avioneta passa volant a 50 m/s i deixa anar un paquet

que triga 30 s a arribar a terra. Calculeu l’altura a la qual

vola l’avioneta i la distància entre el punt sobre el qual ha

deixat anar el paquet i el punt on cau.

x 5 v 0x t

1

y 5 y 0 1 v 0y t 1 — g t 2

2

v x 5 v 0x

v y 5 v 0y 1 g t

i

y

t

a y 5 g 5 29,8 m/s 2

i

u

y

u

t

v 0x 5 20 m/s i x 5 20 t i

y

v 0 y 5 40 m/s t y 5 40 t 2 4,9 t 2 y

t

Temps:

Quan y 5 35 m f 35 5 40 t 2 4,9 t 2 f

f 4,9 t 2 2 40 t 1 35 5 0

40 6 dll 14l0 llll 2 2 4lll ? 4,9 lll? 35 ll 40 6 30,23 1 s

t 5 ————————————— 5 —————— 5

2 ? 4,9 9,8 7,17 s

La resposta válida és t 5 7,17 s.

Distància a què es troba la casa:

x 5 20 ? 7,17 5 143,33 m

Alçada màxima:

40

v y 5 0 f 0 5 40 2 9,8 t f t 5 —— 5 4,08 s

9,8

y 5 40 ? 4,08 2 4,9 ? 4,08 2 5 163,2 2 81,57 5 81,63 m

Llançament horitzontal:

x 5 v 0 t

i

u

1

y 5 y 0 2 — g t 2 y

u

2 t

g 5 29,8 m/s 2 f x 5 50 t

v 0 5 50 m/s y 5 y 0 2 4,9 t 2

i

y

t

9. Un helicòpter vola a 180 km/h a una altura de 500 m i veu

venir un camió en sentit contrari. Calculeu a quina distància

del camió ha de deixar anar un paquet per fer-lo caure

dins la caixa del camió si aquest es mou amb una velocitat

constant de 72 km/h.

Helicòpter:

x 5 v 0x t

1

y 5 y 0 1 v 0y t 1 — g t 2

2

i

u

y

u

t

x 5 50 t i

y 5 500 2 4,9 t 2 yt

FÍSICA 1 2

33

500

Si y 5 0 f 0 5 500 2 4,9 t 2 f t 5 d ll ——

ll 5 10,1 s

4,9

x 5 50 ?10,1 5 505 m

Camió:

x 5 x 0 1 v Dt

x 5 505 m i

uyut x 0 5 x 2 v D t

v 5 220 m/s

x 0 5 505 2 (220) ?10,1 5 707 m

t 5 10,1 s

1

28,35 5 30 1 — a ? 2,09 2 f

2

(28,35 2 30) ? 2

a 5 ———————— 5 20,75 m/s 2

2,09 2

v 5 20,75 ? 2,09 5 21,58 m/s

11. Una saltadora de longitud arriba a una velocitat de 10 m/s

en l’instant en què inicia el salt. Si la inclinació amb què el

fa és de 25° respecte de l’horitzontal, i si negligim els

efectes del vent i el fregament, determineu:

x 5 v 0x t

1

y 5 y 0 1 v 0y t 1 — g t 2

2

i

u

y

u

t

10. Un futbolista xuta una pilota amb un angle de 37° amb

l’horitzontal i una velocitat inicial de 17 m/s. Un segon

futbolista, situat a 30 m del primer, comença a córrer cap

a la pilota amb accele ració constant en el mateix moment

en què el primer xuta. Quina velocitat porta el segon jugador

quan arriba a la pilota, si ho fa just abans que aquesta

toqui el terra?

v 0x 5 10 cos 25° 5 9,06 m/s

v 0y 5 10 sin 25° 5 4,23 m/s

g 5 29,8 m/s 2

i

u x 5 9,06 t i

y y

u y 5 4,23 t 2 4,9 t

2 t

t

a) El temps total que és a l’aire.

Si y 5 0 f 0 5 4,23 t 2 4,9 t 2 f

4,23

f 0 5 t (4,23 2 4,9 t) f t 5 ——— 5 0,86 s

4,9

b) L’altura màxima a la qual arriba mentre és a l’aire.

x 5 v 0x t

1

y 5 y 0 1 v 0y t 1 — g t 2

2

i

u

y

u

t

v 0x 5 17 cos 37° 5 13,58 m/s

v 0y 5 17 sin 37° 5 10,23 m/s

a 5 g 5 29,8 m/s 2

x 5 13,58 t

y 5 10,23 t 2 4,9 t 2

i

y

t

Si y 5 0 f 0 5 10,23 t 2 4,9 t 2 f t (10,23 2 4,9 t) 5 0

10,23

f t 5 ——— 5 2,09 s

4,9

x 5 13,58 ? 2,09 5 28,35 m

i

y

t

El jugador situat a 30 m es mou amb MRUA.

v

1

0 5 0

x 5 x 0 1 v 0 t 1 — a t i i

2 u

u x 0 5 30 m u

2 yut

y

x 5 28,35 m u

v 5 v 0 1 a t

u

t 5 2,09 s t

v x 5 v 0x i v x 5 9,06 i

y

y

v y 5 v 0y 1 g t t v y 5 4,23 2 9,8 t t

4,23

Si v y 5 0 f 4,23 2 9,8 t 5 0 f t 5 ——— 5 0,43 s

9,8

y 5 4,23 ? 0,43 2 4,9 ? 0,43 2 5 0,91 m

c) La longitud mínima que ha de tenir el clot de sorra si

l’atleta comença el salt a 27 cm d’aquest clot.

x 5 9,06 ? 0,86 5 7,82 m

La longitud mínima que ha de tenir el clot de sorra és:

7,82 2 0,27 5 7,55 m

12. Tenim dos rellotges amb un diàmetre d’1 cm i 2 cm, respectivament.

Trobeu la relació de les velocitats lineals de

les tres agulles del rellotge. Raoneu si és la mateixa per a

cadascuna de les tres agulles.

Rellotge 1 Rellotge 2

Diàmetre d 1 5 1 cm d 2 5 2 cm

Radi d 1

r 1 5 —— 5 0,005 m

2

d 2

r 2 5 —— 5 0,01 m

2

34 2


Les agulles dels dos rellotges giren a la mateixa velocitat angular.

És a dir, les agulles horàries giren amb igual v en els dos

rellotges i les agulles minuteres dels dos rellotges giren amb la

mateixa velocitat angular tot i que és diferent de la de les agulles

horàries (vegeu l’activitat 14). El mateix suc ceix per a les

agulles dels segons. De la relació entre la velocitat lineal i l’angular

tenim: v 5 v ?r, que per cada rellotge val:

v 1 5 v r 1 5 v ? 0,005

v 2 5 v r 2 5 v ? 0,01

v 1 0,005

Si relacionem les dues velocitats: —— 5 ———— 5 0,5;

v 2 0,01

2 v 1 5 v 2

La velocitat lineal del rellotge amb l’esfera més gran és el doble

de la del rellotge amb l’esfera més petita.

13. [Curs 03-04] Són les dotze en punt. Tant l’agulla horària

com l’agulla minutera del rellotge apunten cap amunt.

En quin instant tornaran a coincidir, per primer cop, les

dues agulles del rellotge?

Primer de tot determinarem les velocitats angulars de les agulles

horària i minutera:

1 volta 2 p rad 1 hora

v h 5 ————— ?———— ?———— 5 4,63 ? p ? 10 25 rad/s

12 hores 1 volta 3600 s

1 volta 2 p rad 1 hora

v m 5 ———— ?———— ?———— 5 5,56 ? p ? 10 24 rad/s

1 hora 1 volta 3600 s

Les equacions de moviment seran:

w h 5 v h ? t 5 4,63 p ? 10 25 ? t

w m 5 v m ? t 5 5,56 p ? 10 24 ? t

Les agulles es tornaran a trobar quan l’angle girat per la minutera

sigui el mateix que l’angle girat per l’agulla horària més

una volta, o sigui, més 2 p radiants.

w m 5 w h 1 2 p f v m ? t 5 v h ? t 1 2 p f

f v m ? t 2 v h ? t 5 2 p f (v m 2 v h )? t 5 2 p f

2 p

f t 5 ————— 5 3927 s 5 1 h 5 min 27 s

v m 2 v h

2 p

Minutera: v 5 ———— 5 1,74 ?10 23 rad/s

3 600

2 p

Horària: v 5 ————— 5 1,45 ?10 24 rad/s

12 ? 3 600

15. [Curs 04-05] Una roda de 3 m de radi realitza un moviment

circular uniformement accelerat amb una acceleració angular

de 2 rad/s 2 , partint del repòs.

A) En un mateix instant, tots els punts de la roda tenen la

mateixa:

a) Velocitat lineal.

b) Velocitat angular.

c) Acceleració normal.

La resposta correcta és la b). Tots els punts de la roda giren

amb la mateixa velocitat angular.

B) L’acceleració tangencial:

a) Augmenta amb el temps.

b) Augmenta amb la distància al centre.

c) És la mateixa per a tots els punts de la roda.

L’acceleració tangencial és igual al producte de l’acceleració

angular pel radi. Per tant, la resposta correcta és la b).

C) L’acceleració normal:

a) No depèn del temps.

b) És la mateixa per a tots els punts de la roda.

c) Va dirigida cap al centre.

L’única resposta correcta és la c), ja que l’acceleració normal

és igual al producte de la velocitat tangencial al quadrat

dividida pel radi.

D) Passats 2 s, els punts de la perifèria tenen una velocitat

lineal de:

a) 12 rad/s.

b) 12 m/s.

c) 4 m/s.

v 5 v 0 1 a t t 5 0 1 r a t 5 3 ? 2 ? 2 5 12 m/s. Per tant, la

resposta correcta és la b).

14. Trobeu la velocitat angular de les tres agulles que donen

voltes en un rellotge.

2 p

v 5 ——

T

2 p

Secundària: v 5 —— 5 0,105 rad/s

60

E) En aquests 2 s, la roda ha girat:

a) Menys d’una volta.

b) Més d’una volta.

c) Exactament una volta.

1 1

w 5 w 0 1 v 0 t 1 — a t 2 5 0 1 0 1 — ? 2 ?2 2 5 4 rad

2 2

Aquest valor és menor que 2 p, per tant, l’opció correcta és

la a).

FÍSICA 1 2

35

16. [Curs 00-01] Un mòbil que surt del repòs segueix una trajectòria

circular de 3 m de radi amb una acceleració angular

constant a 5 p rad/s 2 .

a) Quant temps triga a fer una volta completa? Quina és la

longitud de l’arc recorregut durant la meitat d’aquest

temps?

1 p t 2

Du 5 v 0 Dt 1 — a Dt 2 f 2 p 5 —— f 2 s

2 2

1 p p

Du 5 — p ? 1 2 5 — f s 5 u ? r 5 —? 3 5 4,7 m

2 2 2

b) Quina és la velocitat angular del mòbil a l’instant

t 5 50,5 s? I l’acceleració normal al mateix instant?

v 5 a t f v 5 0,5 ? p 5 1,57 rad/s

a n 5 v 2 ? r 5 1,57 2 ? 3 5 7,4 m/s 2

c) Quant val l’acceleració tangencial del mòbil a l’instant

t 5 0,5 s? Quin angle formen l’accele ració tangencial i

l’acceleració total en aquest instant?

a t 5 a ? r 5 p ? 3 5 9,4 m/s 2

a n

tg b 5 —— 5 0,787 f b 5 38,2°

a t

Física quotidiana

1. Expresseu el valor de la pressió màxima de l’aigua p màx en

unitats del SI. (Recordeu que la unitat de la pressió en el SI

és el Pa 5 N/m 2 ; per tant, hauríeu de multiplicar per l’acceleració

de la gravetat.)

La pressió màxima és de 5,4 kg/cm 2 , que en unitats del SI és:

kg 9,8 N 10 4 cm 2

p màx 5 —— ?——— ?———— 5 5,29 ? 10 5 Pa 5 529 kPa

cm 2 1 kg 1 m 2

2. Amb el valor de pressió màxima, calculeu la velocitat màxima

de sortida de l’aigua a partir de la relació de la dinàmica

de fluids següent:

2 p màx

v màx 5 d ll l l ll — ——

r

on r és la densitat de l’aigua (r 5 10 3 kg ? m 23 )

2 p màx 2 ? 529 ? 10 3

v màx 5 d ll —

l —

l ——

ll 5 d ll —

l —

l ——

lll —

l —— lll — 5 32,5 m?s

21

r 10 3

3. A partir d’aquest valor de velocitat màxima del broll, calculeu

l’altura màxima que pot assolir l’aigua.

L’altura màxima que pot assolir l’aigua correspon al cas en què

és disparada verticalment. Aleshores:

v 2 màx 32,5 2

h màx 5 ——— ? ———— 5 53,89 m < 54 m

2 |g| 2 ? 9,8

4. Amb quina inclinació s’ha de disparar l’aigua per obtenir

aquest valor d’altura màxima? Compareu el valor que heu

obtingut amb el valor que hi ha a la fitxa tècnica.

Com ja hem dit a la qüestió anterior, l’altura màxima correspon

a un llançament amb un angle d’inclinació de 90°. Podem comprovar

que hi ha un molt bon acord entre el resultat obtingut i

la dada d’altura màxima de la fitxa tècnica.

5. Calculeu amb quin angle d’inclinació s’hauria de projectar

l’aigua a la tassa superior per tal que caigués just al seu

perímetre. Considereu que el brollador és al centre de les

fonts i que l’aigua es dispara a la màxima velocitat possible.

Si el brollador està al centre, com que la tassa superior té un

diàmetre de 12 m, el seu radi és de 6 m. Si es vol que el broll

caigui just al perímetre, cal buscar l’angle a per al qual l’abast

horitzontal és de 6 m. De l’expressió de l’abast horitzontal x per

al cas del llançament des de terra deduïm:

g x 9,8 ? 6

sin 2 a 5 2—— 5 ———— f a 5 1,6°

v 2 0 32,52

Obtenim un valor d’angle molt petit, pràcticament corresponent

a un tir horitzontal. Evidentment, en la Font Màgica, les trajectòries

d’aigua que veiem que arriben a la perifèria de les tasses

no provenen del brollador del centre, sinó que hi ha diferents

brolladors emplaçats a diversos punts de les tasses que estan

distanciats entre si.

6. Calculeu a quina velocitat s’hauria de projectar l’aigua des

del brollador del centre de les fonts perquè arribés a la superfície

a una distància de 3 m del brollador, si es dispara

amb una inclinació de 45°. A quina altura màxima arribaria,

en aquest cas, l’aigua?

Calculem primer la velocitat de llançament a partir de l’expressió

coneguda de l’abast horitzontal i els valors de l’angle de

llançament i abast horitzontal:

2g x 9,8 ? 3

v 0 5 d ll l l lll

— —— — 5 d ll l l lll

— —— — 5 5,4 m/s

sin 2 a 1

Amb aquest valor i el de la velocitat inicial trobem l’altura màxima

assolida segons l’expressió del llibre de text:

2v 2 0

sin 2 a 25,42

y 5 —————— 5 ————— 5 1,5 m

2 g 2 ?(29,8)

Activitats finals

Qüestions

1. Un nen situat dins un tren llança una pilota cap al sostre

quan aquest passa davant d’una estació. Descriviu quina és

la trajectòria de la pilota observada per:

a) Un passatger que està assegut dins del tren.

Estudiem el moviment des d’un sistema de referència interior

i fix al tren; la trajectòria de la pilota és rectilínia, ja

que el seu moviment és de llançament vertical.

b) Una persona que està asseguda a l’andana de l’es tació.

En aquest cas, el sistema de referència fix és l’andana de

l’estació, i ara el moviment de la pilota és un moviment en

36 2


el pla, és a dir, parabòlic, ja que durant el temps que ha

durat el vol de la pilota, tant aquesta com el tren s’han

desplaçat horitzontalment respecte de l’andana.

c) Un passatger assegut dins d’un tren que es mou en sentit

contrari al primer tren.

Des del punt de vista d’un observador situat dins un segon

tren que es mou, respecte l’andana, amb una velocitat en

sentit contrari a la del primer tren, la pilota té un moviment

en el pla. El sistema de referència ara és fix en aquest observador;

per tant, la pilota es desplaça verticalment i també

horitzontalment. La trajectòria serà una paràbola més «aplanada»

que l’observada en l’apartat b), ja que ara la velocitat

de la pilota en la direcció X és més gran (és la suma dels

valors absoluts de les velocitats dels dos trens respecte de

l’andana).

2. El corrent d’un riu té una certa velocitat en la direcció paral

. lela a la riba. Si aquesta velocitat augmenta, un nedador

que vulgui creuar el riu nedant perpendicularment al corrent,

trigarà més o menys temps a fer-ho? Trieu la resposta

correcta:

a) Tardarà més perquè la velocitat del riu és més gran i el

desplaça a més distància abans d’arribar a l’altra riba.

Com que augmenta la distància, també augmenta el

temps.

b) Tardarà menys perquè la velocitat del riu és més gran i

ell no ha de fer tant esforç per creuar-lo. Com que augmenta

la velocitat, dismi nueix el temps.

c) Tardarà el mateix perquè la velocitat del corrent i la

del nedador estan en direccions per pendi culars entre

si. Es desplaça més distància en la direcció de la riba,

però la mateixa (amplada del riu) en la direcció perpendicular.

La resposta correcta és la c). Si el nedador manté la mateixa

velocitat en la direcció perpendicular a la riba (direcció Y), el

temps que triga en creuar el riu ve donat únicament pel quocient

entre l’amplada del riu i la velocitat del nedador en la direcció

Y. El fet que la velocitat del corrent del riu variï en mòdul

no afecta al moviment en la direcció Y, perquè el moviment de

l’aigua té lloc en la direcció X. El que passa és que la velocitat

del nedador en la direcció X sí que varia i això provoca que

quan arriba a l’altra riba, el corrent l’hagi desplaçat una distància

més gran en la direcció X, però el temps de la travessia no

es modifica.

3. Compareu el moviment sota l’acció de la gravetat en caiguda

lliure amb el llançament parabòlic.

El moviment sota l’acció de la gravetat en caiguda lliure té

lloc en la direcció de l’eix Y, i la seva equació del moviment és

1

y 5 y 0 1 v 0 D t 2 — g D t 2 . El llançament parabòlic, en canvi,

2

és un moviment amb acceleració constant en el qual l’acceleració

és la de la gravetat i la velocitat inicial forma un cert angle

amb l’acceleració. L’equació del moviment és x 5 x 0 1 v 0 x D t i

1

y 5 y 0 1 v 0 x D t 2 — g Dt 2 .

2

0

0

0

0

Per tant, observem que el component y del llançament parabòlic

té un comportament anàleg al mo viment sota l’acció de la

gravetat en caiguda lliure. Podem comparar els dos moviments

a partir de la figura.

Suposem que llancem un cos verticalment cap amunt i, simultàniament,

un altre cos amb certa velocitat que forma un determinat

angle amb l’eix X; si la velocitat inicial amb què llancem

el primer cos és igual al component y de la velocitat inicial

del segon cos, podem observar que els dos cossos arriben a la

mateixa altura en el mateix instant de temps, i tornen a arribar

a terra amb la mateixa velocitat inicial i en el mateix moment.

4. Si llancem horitzontalment des d’una certa alçada un objecte

amb una certa velocitat inicial:

A) El moviment en la direcció X és:

a) Rectilini

b) Rectilini uniformement accelerat

c) Parabòlic

En un llançament horitzontal es parteix d’una velocitat

inicial en la direcció X. Com que no hi ha acceleració en

aquesta direcció, el moviment serà rectilini uniforme. L’opció

correcta és la a).

B) El moviment en la direcció Y és:

a) Rectilini

b) Rectilini uniformement accelerat

c) Parabòlic

En un llançament horitzontal el mòbil està sotmès a l’acceleració

de la gravetat en la direcció Y. Per tant, en aquesta

direcció es produeix una caiguda lliure i el mòbil seguirà un

MRUA. L’opció correcta és la b).

5. Trobeu la velocitat d’un cos i el temps que triga a arribar

a terra, si el llancem des del mateix lloc, en els dos casos

següents i comenteu els resultats obtinguts en ambdós.

a) El llancem a una velocitat inicial horitzontal.

Es tracta d’un llançament horitzontal. Si mirem la taula 2.2

del llibre, on hi ha les condicions inicials per aquest moviment,

l’equació del moviment i i l’equació de la trajectòria,

trobem:

Equació del moviment: x 5 v 0 t

i

u

1

y 5 y 0 1 — g t 2 y

u

2 t

0

FÍSICA 1 2

37

Equació de la velocitat: v x 5 v 0

v y 5 g t

i

y

t

Quan arriba a terra,

1 2 y 0

y 5 0 f y 0 5 2— g t 2 f t 5 d lll 2 ll —— lll

2 g

Substituint aquest valor en l’equació de la velocitat, trobem

que:

v x 5 v 0 i

2 y 0

v y 5 g d lll 2 ll —— lll uyut

g

b) El deixem caure lliurement.

Es tracta d’un moviment rectilini uniformement accelerat en

l’eix vertical. L’equació del moviment i l’equació de la velo-

1

citat són: y 5 y 0 1 — g t 2 i u

2 yut

v 5 g t

Quan arriba a terra,

1 22 y 0

y 5 0 f y 0 5 2— g t 2 f t 5 d ll — l — l — ll

2 g

Substituint aquest valor en l’equació de la velocitat, trobem

que: v 5 g d lll2 y 0

2 ll —— lll

g

D’aquí s’observa que el temps i el component y de la velocitat

coincideixen en ambdós casos.

6. a) Què vol dir que el moviment circular és un moviment

en dues dimensions? Expliqueu-ho amb un dibuix.

En un moviment circular la trajectòria és una circumferència

i cal donar dues coordenades per especificar la posició.

b) Poseu cinc exemples de moviments circulars.

Una roda que gira, un pèndol cònic, uns cavallets de fira,

el moviment de la Lluna al voltant del Sol, les agulles del

rellotge.

7. Un punt material fa un moviment circular de radi 20 cm,

descrit per l’equació del moviment:

w 5 15 1 270 t

on w és l’angle descrit en graus.

A) L’angle descrit inicial és:

a) 15º

b) 15 rad

c) 200 rad

L’equació del moviment circular uniforme és:

w 5 w 0 1 v (t 2 t 0 )

Si comparem amb l’expressió donada a l’enunciat:

w 5 15 1 270 t

on es diu que l’angle està expressat en graus, l’angle inicial

val:

w 0 5 15°

Per tant, l’opció correcta és la a).

B) La velocitat angular és:

a) 270 m/s

b) 4,71 rad/s

c) 270 rad/s

Comparant les dues expressions anteriors, s’obté:

p rad

v 5 270 graus/s 5 270 ?——— s 21 5 4,71 rad/s

180

Per tant, l’opció correcta és la b).

C) El període del moviment val:

a) 1,33 s

b) 0,75 s

c) 10 s

De la relació entre la velocitat angular i el període obtenim

el valor d’aquest últim:

2 p 2 p ? 180

T 5 —— 5 ———— 5 1,33 s

v 270 p


D) La freqüència del moviment val:

a) 1,33 Hz

b) 0,75 Hz

c) 10 Hz

La freqüència és la inversa del període. Així:

1 1

f 5 — 5 ——— 5 0,75 Hz

T 1,33 s


8. Una politja de 20 cm de diàmetre gira amb moviment circular

uniforme fent 10 voltes en 15 s.

A) El període del moviment d’aquesta politja és:

a) 15 s b) 10 s c) 1,5 s

Si la politja fa 10 voltes en 15 segons, per a fer una volta

tardarà un temps (període) igual a 15/10 5 1,5 segons. Per

tant, l’opció correcta és la c).

B) La velocitat lineal amb què gira és:

a) 4,19 rad/s b) 0,42 m/s c) 4,19 m/s

La velocitat lineal ve donada pel quocient entre el desplaçament

i el temps. En un període, la roda recorre un espai

igual a la longitud del seu perímetre. Així:

2 p r p d p 0,2 m

v 5 ——— 5 ——— 5 ———— 5 0,42 m/s

T 1,5 s 1,5 s

38 2


on d és el diàmetre de la roda. Per tant, l’opció correcta és

la b).

9. El diàmetre de les rodes del darrere d’un tractor és tres

vegades més gran que el diàmetre de les rodes del davant.

Quina relació hi ha entre les ve lo citats angulars de les

dues rodes?

Les quatre rodes del tractor s’han de moure amb la mateixa velocitat

lineal. Per tant, s’ha de plantejar la seva relació amb la

velocitat angular.

Rodes del darrere

Rodes del davant

Diàmetre d 1 5 3 d 2 d 2

Radi d 1 d 2

r 1 5 —— 5 3 ——

2 2

d 2

r 2 5 —— 2

d 2

v 5 v r. Per cada roda val: v 5 v 1 r 1 5 v 1 ? 3 ——

2

d 2

v 5 v 2 r 2 5 v 2

——

2

d 2 d 2

Igualem les velocitats: v 1 ? 3 —— 5 v 2

——

2 2

Simplifiquem: v 2 5 3 v 1

Quan les rodes de darrere han donat una volta, les del davant

n’han donat tres.

10. [Curs 99-00] Un cotxe es mou per una carretera seguint

una corba i l’agulla del seu velocímetre marca constantment

60 km/h. Té acceleració el cotxe? Raoneu la resposta.

Sí, ja que varia la direcció de la velocitat. Per tant, té acceleració

normal o centrípeta.

11. Com són l’acceleració angular, l’acceleració normal i l’acceleració

tangencial:

a) En el moviment rectilini uniformement acce lerat?

En el MRU, com que la trajectòria és una recta, l’acceleració

correspon a l’acceleració tangencial.

b) I en el moviment circular uniforme?

En el MCU la velocitat angular és constant. Per tant, l’acceleració

angular és nul . la. La velocitat lineal també és constant

i, així, el component tangencial de l’acceleració també

n’és. Ara bé, en el MCU hi ha variació en la direcció de la

velocitat i, per tant, el component normal de l’acceleració

v 2

val a n 5 ——.

R

12. [Curs 03-04] Considereu una partícula que descriu un moviment

circular uniformement retardat, amb acceleració

angular no nul . la. Quin dels diagrames de la figura 2.40 li

correspon?

a) Trieu la resposta que considereu correcta.

La resposta correcta és la b).

b) Justifiqueu la resposta.

Circular implica que l’acceleració normal és diferent de zero.

Retardat significa que l’acceleració tangencial és diferent

de zero i en sentit oposat a la velocitat.

13. Com estan relacionats els temps que tarden a girar dues

partícules si una té una velocitat angular doble de la de

l’altra i descriu la meitat de l’angle?

Suposem que t 1 és el temps que la partícula triga a girar un

angle 1 quan va a velocitat 1 , i t 2 és el temps que triga la

partícula a girar un angle 2 quan va a velocitat angular 2 .

1

Segons l’enunciat, tenim que 2 2 1 , 2 — 1 . Conside-

2

rem que la partícula gira amb acceleració angular constant partint

del repòs. Si tenim en compte l’equació del moviment i la

de la velocitat del MCUA, trobem que:

1 1

0 0 t — t 2 f — t 2 i u

2 2 yut

0 t f t

Aïllem i la substituïm en l’equació del moviment:

1 1 2

— f — — t 2 f — t f t ——

t 2 t 2

Apliquem aquesta última expressió a les dues situacions de

l’enunciat i relacionem els temps:

2 1 i 2 1

t 1 —— u ——

1 u t 1 1

y —— ———— f

2 2 u t

u 2 2 2

t 2 —— ——

2

t 2

t 1 1 2 t 1 1 2 1

—— ——— f —— ————— 4 f t 1 4 t 2

t 2 2 1 t 2 1 — 1 1

2

Arribem al mateix resultat si considerem que el moviment és un

MCU.

Problemes

1. Les escales mecàniques d’uns grans magatzems pugen i baixen

els clients a una velocitat de 2,5 m/s. Per a una persona

que camina a un ritme constant de 4 km/h sobre les escales,

determineu la velocitat amb què la veiem caminar des

de fora de les escales, en els casos següents:

|v 0| 5 2,5 m/s

FÍSICA 1 2

39

km 1 000 m 1 h

|v9| 5 4 —— ? ———— ? ———— 5 1,11 m/s

h 1 km 3 600 s

a) La persona puja per les escales que van en sentit ascendent.

v 0 5 2,5 m/s

v9 5 1,11 m/s

i

y

t

v 5 v9 1 v 0 5 1,11 1 2,5 5 3,61 m/s

b) La persona baixa per les escales que van en sentit ascendent.

v 0 5 2,5 m/s i

y v 5 v9 1 v 0 5 21,11 1 2,5 5 1,39 m/s

v9 5 21,11 m/s t

c) La persona puja per les escales que van en sentit descendent.

v 0 5 22,5 m/s i

y v 5 v9 1 v 0 5 1,11 2 2,5 5 21,39 m/s

v9 5 1,11 m/s t

d) La persona baixa per les escales que van en sentit descendent.

v 0 5 22,5 m/s i

yv 5 v9 1 v 0 5 21,11 2 2,5 5 23,61 m/s

v9 5 21,11 m/s t

2. Considereu una cinta transportadora en moviment d’una

cadena de muntatge, i una joguina mecànica que es mou

damunt la cinta. Amb quina velocitat es mou la cinta, si una

persona veu moure’s la joguina a una velocitat de 5 m/s,

quan la joguina es mou en la mateixa direcció i el mateix

sentit que la cinta, i a una velocitat de 2 m/s quan la veu

moure’s en la mateixa direcció, però en sentit contrari?

Quina velocitat desenvolupa la joguina? I la cinta?

v 1 5 5 m/s 5 5 v9 1 v 0

v 2 5 22 m/s 22 5 2v9 1 v 0

Resolem el sistema per reducció:

(5 5 v9 1 v 0 )? 1 i

3

y 3 5 2 v 0 v 0 5 — 5 1,5 m/s

(22 5 2v9 1 v 0 )? 1 t 2

(5 5 v9 1 v 0 )? 1 i

7

y 7 5 2 v9 v9 5 — 5 3,5 m/s

(22 5 2v9 1 v 0 )?(21)

t 2

3. Un nedador pot desenvolupar una velocitat d’1,2 m/s nedant

a ritme constant. Si neda en un riu en què el corrent

d’aigua porta una velocitat d’1,6 m/s, calculeu la velocitat

amb què el veu nedar una persona en repòs, en els casos

següents:

|v9| 5 1,2 m/s, v 0 5 1,6 m/s

a) Quan neda a favor del corrent del riu, paral . lelament a la

seva riba.

v9 5 1,2 m/s v 5 v9 1 v 0 5 1,2 1 1,6 5 2,8 m/s

b) Quan neda en contra del corrent del riu, paral . lelament

a la seva riba.

v9 5 21,2 m/s v 5 v9 1 v 0 5 21,2 1 1,6 5 0,4 m/s

i

y

t

c) Quan neda perpendicularment al corrent del riu cap a la

riba contrària.

|v9| |v 0| v 5 dll2lv9 llll 2 1 lv ll

2

0

5 dll 1,2lll1ll

2 1,6ll 2 5 2 m/s

d) Determineu el punt de la riba contrària al qual arriba el

nedador en el cas c).

Anomenen L l’amplada del riu, i tenim:

x 5 v 0 Dt f x 5 1,6 Dt i

yt

y 5 L

L

y 5 L 5 1,2 Dt f Dt 5 ——

1,2

Per tant, la coordenada x del punt on arriba el nedador ve

donada per:

L

x 5 1,6 Dt 5 1,6 —— 5 1,33 L

1,2

És a dir, el nedador arriba a la riba contrària al punt

P (1,33 L, L).

4. Un vaixell turístic que circula a 36 km/h fa un recorregut

per un riu entre la població A, que es troba gairebé a la

desembocadura del riu, i la població B, que es troba a

24 km aigües amunt de la població A. Si a l’estiu les aigües

del riu van a una velocitat mitjana de 18 km/h, calculeu:

|v9| 5 36 km/h, v 0 5 18 km/h

Dx AB 5 A B 5 224 km

a) El temps que tarda a anar de la població A a la població B.

v9 5 236 km/h

v 5 v9 1 v 0 5 236 1 18 5 218 km/h

Dx AB Dx 224 60 min

v 5 ——— Dt 5 —— 5 ——— 5 1,33 h ? ———— 5

Dt v 218 1 h

5 80 min

b) El temps que tarda a anar de la població B a la població A.

v9 5 36 km/h v 5 v9 1 v 0 5 36 1 18 5 54 km/h

Dx BA 5 B A 5 2A B 5 24 km

Dx BA Dx BA 24 60 min

v 5 ——— Dt 5 ——— 5 —— 5 0,44 h ? ———— 5

Dt v 54 1 h

5 26,67 min

40 2


5. Trobeu l’equació de la trajectòria d’un mòbil la po sició del

qual, en unitats del SI, és:

x 5 3 t 1 2

y 5 3 t 1 9 t 2

i

y

t

x 2 2

x 5 3 t 1 2 f t 5 ————

3

x 2 2 x 2 2

y 5 3 1

———— 2 1 9 1

———— 2

2

3 3

f y 5 x 2 2 1 (x 2 2) 2 f

f y 5 x 2 2 1 x 2 1 4 2 4 x f y 5 x 2 2 3 x 1 2

6. Un avió és impulsat pels seus motors a 800 km/h en direcció

nord, a l’alçada a què vola bufa un vent en direcció

sud-est que l’empeny amb una velocitat de tracció de

150 km/h. Calculeu la velocitat i la direcció en què es mou

l’avió respecte del terra.

Prenem com a sistema de referència el terra. Aleshores, la velocitat

total de l’avió es deu a la velocitat proporcionada pels

seus motors i la velocitat de tracció del vent. A la figura següent

representem aquestes dues velocitats. Si les descomponem

en les direccions X i Y podrem trobar, aplicant el teorema

de Pitàgores, la velocitat total:

7. Una barca de pesca, que considerem puntual, vol travessar

perpendicularment un riu de 20 m d’ample, i desenvolupa

una velocitat de 8 m/s. Si la velocitat del corrent del riu és

de 2 m/s, calculeu:

a) El temps que la barca triga a arribar a l’altre marge del

riu.

Dy 20

Dy 5 Dy9 5 v9Dt Dt 5 —— 5 —— 5 2,5 s

v9 8

b) El desplaçament en la direcció del riu de l’altre marge al

qual arriba.

D x 5 v 0 Dt 5 2 ? 2,5 5 5 m

c) L’espai recorregut i la velocitat de la barca.

v 5 dll v9 2 lll1ll v 2l 0

5 dll 8 2 1lll2 2 l 5 dll 68 5 8,25 m/s

Dr 5 v Dt 5 8,25 ? 2,5 5 20,6 m

d) L’espai recorregut per la barca en el temps calculat en

l’apartat a), si navegués en el sentit del corrent del riu.

v9 || v 0 v 5 v9 1 v 0 5 8 1 2 5 10 m/s

Dx 5 v Dt 5 10 ? 2,5 5 25 m

Com que la velocitat del vent forma un angle de 45° amb els

eixos de coordenades, els seus components v ‘ x i v ‘ y venen donats

per:

v9 x 5 v vent cos (45°) 5 106 km/h

v9 y 5 v vent sin (245°) 5 2106 km/h

En la direcció X, l’avió té una velocitat total igual a:

v x 1 v9 x 5 106 km/h

En la direcció Y, l’avió té una velocitat total igual a:

v y 5 v motors 1 v9 y 5 800 2 106 5 694 km/h

La velocitat total és:

v 5 dll v 2 x 1ll v 2l y 5 dll 10l6 lll1ll 2 69l4 2 l 5 702 km/h

I la direcció d’aquesta velocitat ve donada per l’angle que forma

amb el semieix positiu d’X:

v y 694

w 5 arctg — 5 arctg ——— 5 81,31°

v x 106

Tenint en compte les xifres significatives, és w 5 81,3°.

e) L’espai recorregut per la barca en el temps calculat en

l’apartat a), si navegués en sentit contrari al corrent

del riu.

v9 || v 0 , v9 5 28 m/s v 5 v9 1 v 0 5 28 1 2 5 26 m/s

Dx 5 v Dt 5 26 ? 2,5 5 215 m, en mòdul, 15 m.

8. Un noi sap que si neda a favor del corrent del riu és capaç

de recórrer, paral . lelament a la riba i en el mateix temps, el

doble de la distància que nedant contracorrent. Si vol travessar

un riu i arribar a l’altra riba en el punt directament

oposat al de sortida, en quina direcció ha de nedar?

j Quan neda a favor del corrent:

D x 1 D x 1

v 1 5 v9 1 v 0 Dt 5 —— 5 ———— [1]

v 1 v9 1 v 0

FÍSICA 1 2

41

j Quan neda contracorrent:

D x 2 D x 2

v 2 5 v9 2 v 0 Dt 5 —— 5 ———— [2]

v 2 v9 2 v 0

Quan neda a favor del corrent recorre, en el mateix temps Dt, el

doble de distància que quan ho fa contracorrent, D x 1 5 2 D x 2

i per tant:

D x 1 D x 2

[1] 5 [2] ———— 5 ————

v9 1 v 0 v9 2 v 0

2 Dx 2 Dx 2

———— 5 ———— 2 (v9 2 v 0 ) 5 v9 1 v 0

v9 1 v 0 v9 2 v 0

2 v9 2 2 v 0 5 v9 1 v 0 2 v9 2 v9 5 v 0 1 2 v 0 v9 5 3 v 0

Representem la situació quan travessa el riu perpendicularment,

i calculem l’angle:

v 0 v 0 1

cos b 5 —— 5 —— 5 —

v9 3 v 0 3

1

b 5 cos 21 1

— 2 5 70,53°

3

x 5 180 2 b 5 180 2 70,53° 5 109,47°

9. L’aigua d’un riu de 160 m d’amplada es mou a 10 m/s. Una

barca surt d’un dels seus marges en direcció perpendicular

al riu amb una velocitat de 4 m/s. Simultàniament, surt una

altra barca navegant contracorrent seguint el centre del riu

i des d’un punt situat a 1 km del primer aigües avall. Les

dues barques es creuen en el punt mitjà del riu. Calculeu:

a) El temps que tarden a creuar-se.

Les barques es creuen quan la coordenada y de la primera

D y 160

barca és: ——— 5 ——— 5 80 m.

2 2

Per tant:

y 1 80

y 1 5 v 1 9Dt Dt 5 —— 5 —— 5 20 s

v 1 9 4

b) La distància recorreguda per la segona barca fins que es

creua amb la primera.

Quan les barques es creuen, la coordenada x de la primera

barca és: x 1 5 v 0 Dt 5 10 ? 20 5 200 m. Per tant, la distància

D x 2 que recorre la segona barca és:

D x 2 5 1 000 2 200 5 800 m

c) La velocitat de la segona barca respecte de l’aigua.

La segona barca recorre un espai negatiu, ja que es mou cap

a l’esquerra. Per tant, la velocitat v 2 amb què es mou respecte

de la riba del riu és:

2D x 2 2800

v 2 5 ———— 5 ———— 5 240 m/s

Dt 20

Per tant, la velocitat v 2 9 de la segona barca respecte de l’aigua

és:

v 2 5 v 2 9 1 v 0 v 2 9 5 v 2 2 v 0 5 240 2 10 5 250 m/s

En mòdul, aquesta velocitat és de 50 m/s.

10. Un home navega per un riu i porta una ampolla d’aigua a la

popa del vaixell. Quan el vaixell passa per sota un pont, una

ona reflectida en els pilars del pont xoca contra l’embarcació

i l’ampolla cau a l’aigua. L’home navega durant 20 min

sense adonar-se que l’ampolla no hi és. Quan se n’adona,

gira el vaixell i, amb la mateixa velocitat que portava, va

a buscar l’ampolla i la recull 1 000 m més avall del pont.

Calculeu la velocitat del riu negligint el temps que el vaixell

tarda a fer la maniobra de gir.

D x 1 5 v 0 Dt T on v 0 és la velocitat de l’aigua del riu.

Aquest problema es resol d’una manera molt senzilla si ho mirem

des del punt de vista del sistema de referència S9, és a dir,

del sistema de referència definit per l’aigua del riu. Imaginem el

que percep un observador solidari amb el sistema S9; per aquest

observador, l’aigua del riu està quieta, i són els marges del riu,

el pont, els arbres, etc., els que es mouen amb velocitat 2v 0 .

Per tant, quan aquest hipotètic observador veu caure l’ampolla,

observa com aquesta resta en repòs en el sistema S9 (aigua

del riu); també observa com el vaixell se n’allunya amb velocitat

v9 durant vint minuts, passats els quals el vaixell gira i

s’apropa ara amb velocitat 2v9 cap al punt on havia caigut

l’ampolla. Com que aquesta velocitat és la mateixa, en mòdul,

que la velocitat v9, i l’ampolla ha restat immòbil en el sistema

S9, el vaixell ha de trigar el mateix temps (vint minuts) a

arribar al punt on ha caigut l’ampolla.

Així doncs:

Dt T 5 t 1 1 t 2 5 20 1 20 5 40 min 5 2 400 s

Dx 1 5 v 0 Dt T

42 2


Dx 1 1 000

v 0 5 —— 5 ——— 5 0,42 m/s 5 1,5 km/h

Dt T 2 400

Evidentment, aquest exercici també es pot resoldre mirant-ho

des del punt de vista del sistema S9 (marges del riu), però cal

plantejar un sistema d’equacions la resolució del qual és bastant

farragosa.

11. Una noia tira un objecte amb una certa inclinació cap amunt

des d’una altura de 3 m. Si el component de la velocitat v 0x

és de 20 m/s i el mòdul de la velocitat és v 0 5 32 m/s:

v 0x 5 20 m/s

a 5 g 5 29,8 m/s 2

v 0 5 dll v 2l 0x

1lllv 2 0y

ll f v 0y 5 dll v 0

2ll2ll v 0 xll

2

dll 32lll

2 2ll 20ll 2 5 dll 624l 5 24,98 m/s

x 5 v 0x t

i

u v x 5 v 0x

1

y 5 y 0 1 v 0y g t 1 — g t 2 y

u v y 5 v 0y 1 g t

2 t

i

y

t

a) Escriviu l’equació del moviment de l’objecte.

x 5 20 t

y 5 3 1 24,98 t 2 4,9 t 2

b) Calculeu el moment en què l’objecte arriba a terra i on

ho fa.

Si y 5 0 f 0 5 3 1 24,98 t 2 4,9 t 2 f

f 4,9 t 2 2 24,98 t 2 3 5 0

24,98 6 dll 24,ll98lll1l4 2 llll ? 4,9l? ll 3 24,98 6 26,13

t 5 ———————————————— 5 ————————

2 ? 4,9 9,8

t 5 5,2 s

Amb aquest valor de temps podem trobar la coordenada x

del punt on l’objecte arriba a terra:

x 5 v 0x t 5 20 ? 5,2153 5 104,31 m . 104 m

c) L’objecte entrarà en un forat que és a 100 m mesurats

horitzontalment?

x 5 20 ? 5,21 5 104,3 m

No entrarà al forat.

12. Un canó llança un projectil des de terra, obliquament cap

amunt amb un angle a tal que sin a 5 0,6 i cos a 5 0,8

i amb una velocitat de 30 m/s. A 50 m de distància hi ha

una tanca de 5 m d’altura.

x 5 v 0x t

i

u v x 5 v 0x

1

y 5 y 0 1 v 0y t 1 — g t 2 y

u v y 5 v 0y 1 g t

2 t

g 5 29,8 m/s 2

sin a 5 0,6

cos a 5 0,8

i

y

t

v 0x 5 30 ? 0,8 5 24 m/s i x 5 24 t i

y

v 0 y 5 30 ? 0,6 5 18 m/s t y 5 18 t 2 4,9 t 2 y

t

a) El projectil passa la tanca?

50

Si x 5 50 m f 50 5 24 ? t f t 5 —— 5 2,08 s

24

y 5 18 ? 2,08 2 4,9 ? 2,08 2 5 16,24 m

Sí que passa la tanca, ja que 16,24 m . 5 m.

b) Calculeu la velocitat quan passa per damunt de la tanca.

v x 5 24 m/s

v y 5 18 2 9,8 t

i v x 5 24 m/s

y

t v y 5 18 2 9,8 ? 2,08 5 22,42 m/s

13. En una classe d’educació física es fa una prova de salts de

longitud; un alumne comença el salt amb una velocitat

de 25 km/h i un angle de 36º amb l’horitzontal. Suposem

que el fregament amb l’aire és negligible.

En primer lloc, representem el moviment i veiem que es tracta

d’un moviment parabòlic.

y

v 0

5 25 km/s

36°

Les condicions inicials són:

v 0 5 25 km/h 5 6,94 m/s

x 0 5 0

v 0x 5 v 0 cos a 5 6,94 cos 36° 5 5,62 m/s

a x 5 0

y 0 5 0

x

i

y

t

FÍSICA 1 2

43

v 0y 5 v 0 sin a 5 6,94 sin 36° 5 4,08 m/s

a x 5 g 5 29,8 m/s 2

a) Determineu el valor de la marca que ha aconseguit.

Per determinar la marca que ha aconseguit l’alumne, substituïm

les dades en l’equació del moviment.

x 5 v 0x t f x 5 5,62 t

1

y 5 y 0 1 v 0y t 1 — g t 2 f y 5 4,08 t 2 4,9 t 2

2

y 5 0 f 0 5 4,08 t 2 4,9 t 2 f t (4,08 2 4,9 t) 5 0 f

4,08

t 5 ——— 5 0,83 s

4,9

x 5 5,62 ? 0,83 5 4,68 m

b) Sense canviar la velocitat amb què ha iniciat el salt, de

quina manera podríem millorar la marca? Quina marca

seria?

L’angle de llançament que dóna l’abast horitzontal màxim és

de 45º; per tant, la marca que pot aconseguir és:

v 0x 5 v 0 cos a 5 6,94 cos 45° 5 4,91 m/s

v 0y 5 v 0 sin a 5 6,94 sin 45° 5 4,91 m/s

Substituïm les dades en l’equació del moviment.

x 5 4,91 t

y 5 4,91 t 2 4,9 t 2

y 5 0 f 0 5 4,91 t 2 4,9 t 2 f t (4,91 2 4,9 t) 5 0

4,91

t 5 ——— 5 1 s

4,9

Observem que x 5 4,91 ? 1 5 4,91 m

És a dir, hem millorat la marca en 0,23 m.

14. Una boia està situada a 15 km d’un vaixell. Si disparen un

objecte des del vaixell a 400 m/s amb un angle de 30°, arribarà

a la boia? A quina alçada màxima arriba l’objecte?

x 5 346,4 t

y 5 200 t 2 4,9 t 2

i

y

t

Si y 5 0 f 0 5 200 t 2 4,9 t 2 f t (200 2 4,9 t) 5 0

200

f t 5 ——— 5 40,82 s

4,9

x 5 346,4 ? 40,82 5 14 140 m

No arribarà a la boia, ja que aquesta es troba a 15 km.

v x 5 v 0x i v x 5 346,4 m/s i

y

y

v y 5 v 0y 1 g t t v y 5 200 2 9,8 t t

200

Si v y 5 0 f 0 5 200 2 9,8 t f t 5 ——— 5 20,41 s

9,8

x 5 200 ? 20,41 2 4,9 ? 20,41 2 5 2 040,82 m

15. Un cangur, quan salta, avança 10 m en cada salt. Si ho fa

amb una velocitat inicial v 0 i un angle de 45° respecte de

l’horitzontal, calculeu la velocitat inicial i el temps que

tarda entre salt i salt.

x 5 v 0x t

1

y 5 y 0 1 v 0y t 1 — g t 2

2

i

u

y

u

t

v x 5 v 0x i

y a 5 g 5 29,8 m/s 2

v y 5 v 0y 1 g t t

v 0x 5 v 0 cos 45° 5 0,707 v 0

v 0y 5 v 0 sin 45° 5 0,707 v 0

x 5 0,707 v 0 t

y 5 0,707 v 0 t 2 4,9 t 2

i

y

t

Quan x 5 10 m f y 5 0

10 5 0,707 v 0 t

0 5 0,707 v 0 t 2 4,9 t 2

i

y

t

i

y

t

10 5 0,707 v 0 t

1 0 5 20,707 v 0 t 1 4,9 t 2

_________________________

x 5 v 0x t

1

y 5 y 0 1 v 0y t 1 — g t 2

2

v 0x 5 400 ? cos 30 5 346,4 m/s

v 0y 5 400 ? sin 30 5 200 m/s

a 5 g 5 29,8 m/s 2

10 5 4,9 t 2 10

t 5 d ll —— l ll 5 1,43 s

4,9

10 10

v 0 5 ———— 5 —————— 5 9,90 m/s

0,707 t 0,707?1,43

16. Disparem un projectil amb una velocitat de 150 m/s amb un

angle de 60°. Determineu-ne l’altura i l’abast màxim.

v

2 0 sin 2 a

Altura màxima: y màx 5 —————

2 g

44 2


v 0

2

sin 2 a

Abast màxim: x màx 5 ——————

g

150 2 ? sin 2 60°

y màx 5 ——————— 5 860,97 m

2 ? 9,8

150 2 ? sin 2 ? 60°

x màx 5 ———————— 5 1 988,32 m

9,8

17. Un avió que vola a 270 km/h a una altura de 3 km ha de

tirar una paquet a un edifici de 20 m d’altura. Calculeu la

distància amb què ha de tirar el paquet perquè caigui al

terrat de l’edifici i la velocitat amb què arribarà.

Busquem primer el temps que el paquet tarda a arribar al terrat.

És a dir, el temps que tarda a recórrer en la direcció Y un desplaçament:

Dy 5 y 2 y 0 5 20 2 3000 5 22980 m. Considerem

l’origen de temps l’instant en què el paquet es deixa

caure. En aquest cas, la velocitat inicial en la direcció Y és zero:

1 1

y 5 y 0 1 v 0 Dt 1 — g (Dt) 2 f 22 980 5 2— 9,8 t 2 f

2 2

f t 5 24,661 s

Busquem ara la distància que el paquet haurà recorregut en la

direcció X en aquest temps i sabrem des de quina distància s’ha

de llançar:

270 km/h 5 75 m/s

x 5 x 0 1 v 0 D t f x 5 75 ? 24,661 5 1 849,6 m

El paquet arriba a terra amb un component de velocitat en la

direcció X igual a v x 5 75 m/s. En canvi, el component de

la velocitat en la direcció Y val:

v y 5 v 0 1 g t f v y 5 29,8 ? 24,661 5 2241,7 m/s

18. Una noia vol menjar-se una poma situada a la part més alta

d’un arbre. Per poder-ho fer, llança una pedra amb el tirador

amb una velocitat inicial de 30 m/s, la qual forma un angle

a amb l’horitzontal tal que sin a 5 0,8 i cos a 5 0,6. Si

l’arbre és a 80 m de la noia i la noia llança la pedra a 1 m

del terra:

v 0y 5 30 sin a 5 30 ? 0,8 5 24 m/s

g 5 29,8 m/s 2

Per tant, x 5 18 t

y 5 1 1 24 t 2 4,9 t 2

a) Calculeu l’alçària de l’arbre.

80

Si x 5 80 m f 80 5 18 t f t 5 —— 5 4,44 s

18

y 5 1 1 24 ? 4,44 2 4,9 ? 4,44 2 5 10,88 m

b) Calculeu la velocitat de la pedra quan toca la poma.

v x 5 v 0x i v x 5 18

y

v y 5 v 0y 2 g t t f i

y

v y 5 24 2 9,8 t t f

v x 5 18 m/s

i

y

t

v y 5 24 2 9,8 ? 4,44 5 219,56 m/s

En mòdul:

i

y

t

v 5 dll v

2 x

lll 1 ll v

2 y 5 dll18lll

2 1 (21lll 9,56 lll ) 2 5 26,58 m/s

Direcció:

v y 219,56

tg a 5 —— 5 ———— 5 21,09 f a 5 312,62°

v x 18

c) Indiqueu si la pedra pujava o baixava en el moment de

la col . lisió.

La pedra baixava.

19. El porter d’handbol d’un equip inicia un contraatac llançant

una pilota amb una velocitat de 20 m/s i una inclinació de

60° sobre un company que es troba 25 m més endavant. Si

aquest jugador corre amb una velocitat constant i agafa la

pilota a la mateixa altura a la qual ha estat llançada, amb

quina velocitat corre aquest ju gador?

v 0 5 30 m/s

sin a 5 0,8

cos a 5 0,6

x 5 v 0x t

1

y 5 y 0 1 v 0y t 1 — g t 2

2

i

u

y

u

t

v 0x 5 30 cos a 5 30 ? 0,6 5 18 m/s

x 5 v 0x t

1

y 5 y 0 1 v 0y t 1 — g t 2

2

i

u

y

u

t

v 0x 5 20 cos 60° 5 10 m/s i x 5 10 t

i

y

v 0y 5 20 sin 60° 5 17,32 m/s t y 5 17,32 t 2 4,9 t 2 y

t

g 5 29,8 m/s 2

Si y 5 0 f 0 5 17,32 t 2 4,9 t 2 f t (17,32 2 4,9 t) 5 0

17,32

f t 5 ——— 5 3,53 s

4,9

FÍSICA 1 2

45

x 5 10 ? 3,53 5 35,3 m. Deduïm que es mou en sentit positiu,

ja que 35,3 m . 25 m.

L’altre jugador:

x 2 x 0 35,3 2 25

x 5 x 0 1 v Dt f v 5 ———— 5 ————— 5 2,93 m/s

t 3,53

20. Un objecte puntual està sotmès a un moviment circular uniforme

de radi 7 m i gira a 150 rpm. Calculeu-ne el període,

la freqüència, l’acceleració normal i l’angle descrit en 10 s.

Coneixem la velocitat angular i el radi.

voltes 2 p rad 1 min

v 5 150 rpm 5 150 ———— ? ———— ? ——— 5 15,71 rad/s

min 1 volta 60 s

Si coneixem la velocitat angular, trobem el període amb l’expressió:

2 p 2 p 2 p

v 5 —— f T 5 —— 5 ———— 5 0,4 s

T v 15,71

I la freqüencia:

1 1

f 5 — 5 —— 5 2,5 Hz

T 0,4

Amb l’expressió de l’acceleració normal trobem que:

v 2

a n 5 — 5 v 2 R 5 15,71 2 ? 7 5 1725,43 m/s 2

R

A partir de l’equació del moviment circular uniforme, trobem

l’angle descrit.

w 5 w 0 1 vt f w 5 15,71 ? 10 5 157,1 rad

21. Calculeu la velocitat angular dels punts de la roda d’un cotxe

que circula a una velocitat constant de 100 km/h si

el diàmetre de la roda fa 80 cm. Quantes voltes fa quan el

cotxe ha recorregut 1 km?

100 km/h 5 27,78 m/s

r 5 40 cm

s 5 1000 m

v 27,78

v 5 — 5 ———— 5 69,44 rad/s

r 0,4

s 1000 1 volta

w 5 — 5 ———— 5 2 500 rad ? ———— 5 397,89 voltes

r 0,4 2 p rad

22. Un disc situat en un tocadiscs dels d’abans gira a 33 rpm i

té un radi de 15 cm.

a) Calculeu-ne la velocitat angular i la lineal.

voltes 2 p rad 1 min

33 rpm 5 33 ———— ? ———— ? ——— 5 3,46 rad/s

min 1 volta 60 s

v 5 v ? r 5 3,46 ? 0,15 5 0,52 m/s

b) Calculeu-ne el període i la freqüència.

2 p 2 p

T 5 —— 5 ——— 5 1,82 s

v 3,46

1 1

f 5 — 5 ——— 5 0,55 Hz

T 1,82

c) Si una cançó dura 5 min, quantes voltes fa en el tocadiscs?

Expresseu-ne el resultat en ra diants.

w 5 v t 5 3,46 ? 5 ? 60 5 1036,72 rad

23. Un cotxe tarda 15 s a fer una volta a una rotonda. Calculeu

la velocitat angular amb què es mou. Si s’ha desplaçat amb

una velocitat mitjana de 60 km/h, quin és el perímetre de

la rotonda i quina, l’acceleració normal?

Calculem la velocitat angular amb l’expressió següent:

Dw 2 p 2 p

v 5 ——— 5 —— 5 —— 5 0,42 rad/s

Dt T 15

Passem la velocitat lineal a unitat del SI: 60 km/h 5 16,67 m/s

Per trobar el perímetre de la rotonda hem de trobar el radi

d’aquesta, i ho fem amb l’expressió v 5 v ? r

v 16,67

r 5 — 5 ——— 5 39,79 m

v 0,42

El perímetre el trobem amb aquesta expressió:

s 5 w ? r 5 2 p ? r 5 2 p ? 39,79 5 250 m

L’acceleració normal la trobem amb l’expressió següent:

v 2 16,67 2

a n 5 —— 5 ———— 5 7 m/s 2

R 39,79

24. Una bicicleta circula amb una velocitat de 12 km/h i les rodes

tenen un radi de 30 cm. Amb aquestes dades, calculeu:

a) La velocitat angular de la roda.

Primer expressem la velocitat lineal en unitats del SI:

v 5 12 km/h 5 3,33 m/s

La velocitat angular ve donada per:

v 3,33

v 5 — 5 ——— 5 11,1 rad/s

r 0,3

b) La distància recorreguda en 10 min.

60 s 3,33 m

10 min ? ———— ? ———— 5 1 998 m

1 min 1 s

c) El nombre de voltes que ha efectuat la roda en aquest

temps.

En aquest temps el nombre de voltes que han efectuat les

rodes és el següent:

60 s 1 volta 11,11 rad

10 min ? ———— ? ———— ? ————— 5 1 061 voltes

1 min 2p rad s

25. Quina és l’acceleració centrípeta d’un pilot del Gran Premi

de Catalunya que traça una corba de 50 m de radi a una velocitat

de 180 km/h?

46 2


km

180 —— 50 m/s

h

v 2 50 2

a n —— f a n —— 50 m/s 2

R 50

26. Un ciclista s’entrena donant voltes amb la bicicleta en una

pista circular de 50 m de radi a un ritme de 5 voltes cada

2 min i 37 s. Calculeu:

a) La velocitat angular.

2

——

T

60 s

2 min ———— 120 s 37 s 157 s

1 min

5 voltes 2 rad

————— ————— 0,20 rad/s

157 s 1 volta

b) La velocitat lineal.

v r 0,20 50 10 m/s

c) L’acceleració centrípeta.

v 2 10 2

a n —— ——— 2 m/s 2

R 50

27. Un aprenent d’astronauta gira amb una velocitat angular v

i experimenta una acceleració centrípeta de 2 g. Calculeu la

velocitat angular i la freqüència de gir si el radi del dispositiu

giratori és de 2 m i g val 9,8 m/s 2 .

a n 2 g

r 2 m

a n 2 9,8

a n 2 r f d lll —— ll d lll — l —— ll —

ll dll9,8 l 3,13 rad/s

r 2

3,13

2 f f f —— ——— 0,5 s 1

2 2

28. Quina velocitat angular s’ha de comunicar a una estació espacial

de forma anular de 60 m de diàmetre per tal de crear

una gravetat artificial a la perifèria igual a la gravetat a la

superfície terrestre?

r 30 m

v 2

a n g f a n —— 2 r g

r

g 9,8

d ll — l d lll —— ll 0,57 rad/s

r 30

29. Un mòbil descriu una circumferència de 20 cm de radi. Partint

del repòs, es mou amb una acceleració angular constant

i, quan han passat 5 s, la seva velocitat angular és de

300 rpm. Calculeu, per a aquest temps, la velocitat lineal,

l’acceleració angular, l’acceleració tangencial, l’acceleració

normal, l’acceleració total, l’espai recorregut i l’angle girat.

1 i

0 0 t — t u

2 y

u

0 t

t

1 s r

— t 2 i u

yut 2 v r

t

i

u

y

u

a t r t

v 2 1

a n —— s — a t t 2 i u

r 2 yut

a T dll a n

2llll2

a t

v a t t

voltes 2 rad 1 min

300 rpm 300 ? ———— ? ———— ? ———— 5 31,42 rad/s

min 1 volta 60 s

v r 31,42 0,2 6,28 m/s

31,42

— ———— 6,28 rad/s 2

t 5

a t r f a t 6,28 0,2 1,26 m/s 2

v 2 6,28 2

a n —— ——— 197,19 m/s 2

r 0,2 2

a T dll a n

2llll a 2 t

dll 197, lll19lllll1,ll

2 26ll 2 197,20 m/s 2

1 1

s — a t t 2 f s — 1,26 5 2 15,75 m

2 2

1 1

— t 2 f — 6,28 5 2 78,5 rad

2 2

30. La velocitat angular d’una roda disminueix uniformement

de 1 000 a 750 voltes per minut en 10 s. Calculeu per

aquest temps:

a) L’acceleració angular.

v f 2 v 0 750 2 1000 1 min 2 p rad

a ————— ——————— ?———— ?————

Dt 10 60 s 1 volta

22,62 rad/s 2

b) El nombre de voltes que fa.

Calculem el nombre de voltes a partir de l’angle girat:

1

0 v 0 t — a t

2 2

——— ————————————

2 p 2 p

2 p 10 1 10 2

5 0 1 1000 ? ——— ? ——— 1 —?(22,62)? ——— 5

60 2 p 2 2 p

5 145,8 voltes

31. Una partícula descriu una circumferència de 10 cm de radi.

Si parteix del repòs i es mou amb una acceleració angular

de 0,2 rad/s 2 , calculeu, al cap de 20 s:

a) L’acceleració normal.

t 0,2 20 4 rad/s

v 2

a n —— 2 r f a n 4 2 0,1 16 m/s 2

r

b) L’acceleració tangencial.

a t r 0,2 0,1 0,02 m/s 2

FÍSICA 1 2

47

c) L’acceleració total.

a T dll a 2llll t

a 2 n

dll1,l6 2 lll ll0,l0l2 ll 2 1,60 m/s 2

d) La longitud d’arc recorreguda.

1 1

s — a t t 2 — 0,02 20 2 4 m

2 2

32. Un automòbil circula a 80 km/h, frena i s’atura en 10 s. Calculeu:

km

80 —— 22,22 m/s

h

v 0; t 10 s; r 25 cm 0,25 m

a) Les voltes que han donat les rodes si tenen un diàmetre

de 50 cm.

v v 0 0 22,22

a t ————— —————— 2,22 m/s 2

t 10

1 1

s v 0 t — a t t 2 f s 22,22 — (2,22) 10 2

2 2

111,2 m

s 111,2 1 volta

s r f — ———— 444,8 rad —————

r 0,25 2 rad

70,79 voltes

b) L’acceleració angular de les rodes.

a t 2,22

a t r f —— ———— 8,88 rad/s 2

r 0,25

33. Un mòbil descriu una corba amb acceleració tangencial constant

de 2 m/s 2 . Si el radi de la corba és de 40 m i la velocitat

del mòbil és de 80 km/h, a quina acceleració total està

sotmès?

80 km/h 22,22 m/s

a t 2 m/s 2

v 2 22,22 2

a n —— ————— 12,34 m/s 2

R 40

a T dll a n

2llll a 2 t

dll12,3 llll 4 2 lll2 2 l 12,51 m/s 2

34. Una roda gira a 60 rpm i en 5 s té una velocitat angular de

40 rad/s. Calculeu quantes voltes ha donat si suposem que

l’acceleració angular és constant.

voltes 2 rad 1 min

60 rpm 60 ———— ————— ———— 6,28 rad

min 1 volta 60 s

0 40 6,28

————— —————— 6,74 rad/s 2

t 5

1 1

0 t — t 2 6,28 5 — 6,74 5 2

2 2

1 volta

115,65 rad ———— 18,41 voltes

2 rad

35. [Curs 98-99] Una centrifugadora de 12 cm de radi que està

inicialment en repòs accelera uniformement durant 20 s. En

aquest interval de temps, a 5 100 p rad/s 2 . Després manté

constant la velocitat adquirida.

a) Amb quina velocitat gira la centrifugadora quan fa 20 s

que funciona? Expresseu el resultat en rpm.

t f 100 p ? 20

rad 1 volta 60 s

2 000 —— ? ———— ? ———— 60 000 rpm

s 2 p rad 1 min

b) Quantes voltes ha de fer la centrifugadora després de

funcionar durant 20 s? I després de fun cionar 50 s?

1 1 1 volta

u — a D t 2 — 100 p ? 20 2 20 000 p rad ? ————

2 2 2p rad

10 000 voltes

u u o 1 v Dt f u 20 000 p 1 2 000 p (50 2 20)

1 volta

80 000 p rad ———— 40 000 voltes

2 p rad

c) Calculeu les acceleracions tangencial i normal que com a

màxim tenen els objectes a l’interior de la centrifugadora

quan aquesta fa 1 min que gira.

a t a ? r f a t 0, ja que 1 min MCU

a n v 2 ? r (2 000 p) 2 ? 0,12 4 737 410,11 m/s 2

36. Una partícula que parteix del repòs descriu un moviment

circular uniformement accelerat. Calculeu l’angle que ha

girat en el moment en què el mòdul de l’acceleració tangencial

és el doble que el mòdul de l’acceleració normal.

1

— t i 2 u a yut t r

2

a n 2 r

t

i

y

t

a t 2 a n

a t 2 2 r r f 2 2 1

t f 2 2 t f 1 2 t f t —

2

1 1

— t 2 f — 2 2 t 2 f 2 t 2

2 2

1 1

—

2

— f 0,25 rad

2 4

Avaluació del bloc 1

Q1. [Curs 01-02] La figura representa el gràfic velocitat-temps

per a un cos que es mou sobre una recta i que surt del repòs.

Raoneu si l’espai recorregut pel mòbil en l’interval de

temps en què augmenta la velocitat és més gran, més petit

o igual que l’espai recorregut durant la frenada.

48 2


Els espais són iguals, ja que el desplaçament és igual a l’àrea

sota la gràfica v-t. També es pot fer calculant:

a t 2 a t 2

Dx 1 5 —— 5 90 m; Dx 2 5 v 0 t 2 —— 5 90 m

2 2

Q2. [Curs 00-01] Una partícula surt del repòs i es mou sobre

una recta. Al gràfic es representa l’acceleració de la partícula

durant els 6 primers segons. Representeu el gràfic v (t)

del moviment.

trajectòria és una paràbola en un pla perpendicular en tot

moment al cotxe.

b) L’observador és a la motocicleta.

L’observador de la motocicleta veurà que l’objecte segueix

la trajectòria d’un llançament horitzontal amb velocitat

inicial igual a:

v dll (80lll 2ll 60) lll1 2 ll20ll 2 28,3 km/h

La trajectòria és una paràbola en un pla que forma un angle

de 45° amb la direcció del cotxe i de la moto, ja que els

components de la velocitat perpendiculars entre si i a la

direcció Y tenen el mateix valor (20).

c) L’observador és en repòs a terra.

L’observador en repòs al terra veurà que l’objecte segueix la

trajectòria d’un llançament horitzontal amb velocitat inicial

igual a:

v dll80lll1 2 ll20ll 2 82,5 km/h

La trajectòria és una paràbola en un pla que forma un angle

w amb la direcció del cotxe que ve donat per:

20

w arctg —— 14°

80

Q4. Un ventilador de 30 cm de diàmetre està en fun cionament i

durant un cert interval de temps podem considerar que es

mou descrivint un moviment circular uniforme seguint

l’equa ció del moviment w 5 p t. Calculeu:

a) La velocitat lineal i l’angular del venti lador.

L’equació del moviment circular uniforme és:

w 5 w 0 1 v (t 2 t 0 )

Si comparem amb l’expressió donada a l’enunciat, resulta

que la velocitat angular val:

v 5 p 5 3,14 rad/s

Així, la velocitat lineal ve donada per:

d 0,3

v 5 v r 5 3,14 ? — 5 3,14 ? —— 5 0,47 m/s

2 2

Q3. Un automòbil que circula a 80 km/h avança una motocicleta

que circula a 60 km/h. En un instant donat, es llança un

objecte des de l’automòbil en la direcció perpendicular a la

del moviment d’aquest i a una velocitat de 20 km/h respecte

d’ell. Calculeu el valor de la velocitat de l’objecte en

l’instant del llançament i descriviu la trajectòria que seguirà

prenent els sistemes de referència següents:

a) L’observador és dins de l’automòbil.

Un observador des de dins de l’automòbil observarà que

l’objecte segueix la trajectòria corresponent a la d’un llançament

horitzontal amb velocitat inicial de 20 km/h. La

b) Les voltes i l’arc recorregut que ha fet el ventilador si ha

funcionat descrivint un moviment circular uniforme durant

1 h.

Busquem el nombre de voltes i la longitud de l’arc recorregut

durant un interval de temps d’una hora:

3 600 s 1 volta 3,14 rad

1 h ———— ? ———— ? ———— 5 1 800 voltes

1 h 2 p rad s

2 p r m 2 p (0,3/2) m

1800 voltes ———— 5 1800 voltes ——————— 5

1 volta 1 volta

5 1696,46 m 5 1696 m

FÍSICA 1 2

49

P1. Es llança un cos de 5 kg des d’un penya-segat que està a una

altura de 120 m sobre l’aigua. La velocitat inicial del cos té

un mòdul de 100 m/s i forma un angle de 30° amb l’horitzontal.

Si la fricció amb l’aire és negligible, calculeu:

i el coet continua el seu moviment de manera que l’única

força a què està sot mès és la gravetat.

a) Calculeu l’altura màxima a què arriba el coet.

Primer tram:

1

y 5 — a t 2 5 470,4 m, v 5 a t 5 117,6 m/s

2

Segon tram:

1

y9 5 y 1 v t9 2 — g t9 2 i u

2 yut y9 5 1175,3 m, t9 5 12 s

0 5 v9 5 v 2 g t9

x 5 v 0x t

i v 0x 5 100 cos 30° 5 86,60 m/s

u

1 v 0y 5 100 sin 30° 5 50 m/s

y 5 y 0 1 v 0y t 1 — g t 2 y

u

2 t g 5 29,8 m/s 2

v x 5 v 0x

v y 5 v 0y 2 g t

i

y

t

x 5 86,60 t i v x 5 86,60

y 5 120 1 50 t 2 4,9 t 2 y

t v y 5 50 2 9,8 t

a) El component horitzontal de la velocitat en el moment

de l’impacte amb l’aigua.

v x 5 86,60 m/s

b) El temps que el cos triga a arribar a una altura de 80 m

sobre l’aigua.

Quan y 5 80 m f 80 5 120 1 50 t 2 4,9 t 2 f

f 4,9 t 2 2 50 t 2 120 2 80 5 0 f

f 4,9 t 2 2 50 t 2 40 5 0 f

50 6 dll50l 2 ll 1 llll 4 ? 4,9 lll40l ? 50 6 dll3 l284 ll

t 5 ———————————— 5 ——————— 5 10,95 s

2 ? 4,9 9,8

i

y

t

b) Calculeu el temps transcorregut des de la sortida fins a

la tornada del coet a la superfície de la Terra.

Pujada: t 1 t9 5 20 s

1

Baixada: 0 5 1175,3 1 0 ? t0 2 — 9,81 t0

2

2

t0 5 15,48 s

t T 5 20 1 15,48 5 35,48 s

c) Feu un gràfic velocitat-temps d’aquest moviment. Considereu

g 5 9,81 m/s 2 .

117,6

8

10

35,48

P2. [Curs 02-03] Un coet és llançat verticalment cap amunt, des

del repòs, i puja amb una acceleració constant de 14,7 m/s 2

durant 8 s. En aquest moment se li acaba el combustible,

50 3


Bloc 2. Dinàmica

j Unitat 3. Forces

i lleis de Newton

Activitats

1. Indiqueu quatre situacions de la vida quotidiana on es posi

en evidència el principi d’inèrcia i expliqueu com es verifica.

j Quan anem en un automòbil en moviment hem de portar el

cinturó de seguretat posat, ja que, en cas d’impacte i d’acord

amb el principi d’inèrcia, tindrem tendència a continuar amb

la velocitat que portàvem: el cinturó ho impedeix i ens frena

juntament amb l’automòbil.

j Suposem que un camió està carregat amb caixes apilades;

si deixem la porta del darrere oberta, i el camió arrenca sobtadament,

pot caure la càrrega cap enfora si no es lliga convenientment.

D’acord amb el principi d’inèrcia el camió es

posa en marxa, però les caixes tenen tendència a conti nuar

en repòs i a romandre al lloc on es trobaven inicialment.

j Quan estem a l’interior d’un vehicle i fem un revolt, sentim

una força que ens impulsa cap enfora de l’automòbil; de nou,

és una conseqüència del principi d’inèrcia: tenim tendència

a continuar amb MRU, mentre que l’automòbil segueix un

moviment circular.

j Quan estem a l’interior d’un ascensor sentim augments o

disminucions aparents del nostre pes quan l’ascensor es posa

en marxa o quan frena. Quan l’ascensor frena, com que nosaltres

tenim tendència a continuar amb la velocitat que

portàvem, sentirem com un augment de pes quan l’ascensor

freni tot baixant, mentre que sentirem com una disminució

de pes quan l’ascensor freni tot pujant, d’acord amb el principi

d’inèrcia.

2. Una persona que està movent un moble a velocitat constant

ha d’efectuar contínuament una for ça sobre el moble.

Aquest fet es contradiu amb el principi d’inèrcia? Raoneu

la resposta.

Aquest fet no contradiu el principi d’inèrcia perquè la força que

fa l’home un cop el moble s’està movent és una força oposada

a la força de fregament que fa el terra sobre l’home i que actua

en sentit contrari al del desplaçament. Les dues forces es compensen

i el moble manté la seva velocitat.

3. Si anem en un vehicle a velocitat constant, i aquest gira

cap a l’esquerra, notem una tendència a anar-nos-en cap a

la dreta. Hi ha alguna força responsable d’aquesta tendència?

Expliqueu-ho detalladament.

El vehicle modifica la direcció de la seva velocitat perquè aplica

una acceleració. Aquesta acceleració no es transmet instantàniament

als passatgers mitjançant els lligams (fregament

amb els seients i superfícies de contacte amb el vehicle). Així,

els passatgers tendeixen a mantenir la seva velocitat inicial,

pel principi d’inèrcia. No hi ha cap força real responsable

d’aquesta tendència a mantenir el MRU. Ara bé, si es vol explicar

el fet des d’un sistema de referència no inercial, on no són

vàlides les lleis de Newton, aleshores perquè aquestes es mantinguin

cal introduir unes forces fictícies anomenades forces

d’inèrcia.

4. És possible que un cos sobre el qual s’aplica una única força

estigui en equilibri? Justifiqueu la resposta.

Si sobre un cos actua una única força, adquireix una acceleració

d’acord amb la segona llei de Newton; per tant, és impossible

que sobre un cos actuï una única força i estigui en equilibri.

5. En quina de les situacions següents està actuant una força

neta sobre el cos considerat? Trieu la resposta correcta i

raoneu el perquè de la tria.

a) Un automòbil que està pujant un pendent a velocitat

constant.

b) Un satèl . lit artificial que està girant al voltant de la

Terra.

c) Una caixa en repòs al terra.

d) Un pèndol que penja del sostre d’un ascensor que baixa

a velocitat constant.

Només actua una força neta en les situacions on hi hagi una

acceleració no nul . la, o bé una deformació. L’única opció que

compleix aquesta condició és:

b) Un satèl . lit artificial que està girant al voltant de la Terra.

Perquè el satèl . lit giri cal modificar la direcció de la seva

velocitat, és a dir, proporcionar-li una acceleració. En la

resta de situacions no hi ha acceleració ja que, o bé el cos

està en repòs permanent (opció c) o bé es mou a velocitat

constant (opcions a i d) tant en mòdul com en direcció.

6. Dos cossos diferents experimenten la mateixa acceleració.

Quina és la relació entre les forces netes aplicades sobre

ells si un té una massa cinc vegades més petita que l’altre?

m 2

Si m 1 i m 2 són les masses dels cossos: m 1 5 ——

5

Segons l’enunciat, les acceleracions dels dos cossos tenen el

mateix valor:

a 1 5 a 2 5 a

Si F 1 i F 2 són les forces netes aplicades sobre els cossos de masses

respectives m 1 i m 2 , l’expressió de la segona llei de Newton

per a un cos de massa constant és, per a cada un dels dos

cossos:

F 1 5 m 1 a 1 5 m 1 a

F 2 5 m 2 a 2 5 m 2 a

Introduint en aquestes expressions la relació entre les masses

dels dos cossos, trobem la relació entre les forces netes aplicades

sobre ells:

m

—— 2

F 1 m 1 a 5 1

—— 5 ——— 5 ——— 5 —

F 2 m 2 a m 2 5

És a dir, la força neta sobre el cos de més massa és cinc vegades

més gran que la força neta sobre el cos de massa menor.

FÍSICA 1 3

51

7. Calculeu la força resultant que s’efectua sobre un cos de

34 kg de massa, que està situat sobre una superfície horitzontal

que no presenta fregament, en les si tuacions següents,

i efectueu-ne un diagrama representatiu:

m 34 kg

a) El cos es mou cap a la dreta, amb velocitat constant de

2,5 m/s.

Quan estem a dintre d’una piscina, ens podem impulsar tot

efectuant una força sobre una de les parets verticals de la piscina:

la paret ens impulsa en sentit contrari.

10. Aplicant la segona i la tercera llei de Newton, cal culeu l’acceleració

que adquireix la Terra en la seva interacció gravitatòria

amb els objectes següents que estan a prop de la

seva superfície:

a) Un bacteri de 2 pg de massa.

a 0 f F m a 0

b) El cos es mou cap a la dreta amb acceleració constant

de 0,85 m/s 2 .

F m a 34 0,85 28,9 N

c) El cos es mou cap a l’esquerra amb acceleració constant

de 4,8 m/s 2 .

F m a 34 4,8 163,2 N

8. Volem moure una caixa de 25 kg que està inicialment en

repòs damunt d’una superfície horitzontal. Si li apliquem

una força de 100 N paral . lela a la superfície, quin temps

tarda a adquirir una velocitat de 72 km/h, suposant que no

hi ha fregament entre la caixa i el pla?

m 25 kg

v 0 0

F 100 N

v 72 km/h 20 m/s

i

u

u

y

u

u

t

F 100

F m a f a — —— 4 m/s 2

m 25

v 20

v v 0 a t f t — —— 5 s

a 4

9. Indiqueu tres exemples de la vida quotidiana que posin en

evidència el principi d’acció-reacció i expliqueu com es verifica.

Quan disparem amb un fusell sentim una força que empeny

el fusell cap enrere; aquest fenòmen és una conseqüència

del principi d’acció-reacció: el fusell efectua una força sobre

la bala que la impulsa cap endavant; en contrapartida, la bala

efectua la mateixa força sobre el fusell, però en sentit contrari.

Quan volem saltar fem una força sobre el terra verticalment cap

a baix; d’acord amb el principi d’acció-reacció, el terra fa la

mateixa força sobre nosaltres, però en sentit contrari, i així ens

impulsa verticalment cap amunt.

m 2 pg 2 10 12 g 2 10 15 kg

m g

F m a f p M T a T f a T —— f

M T

2 10 15 9,8

f a T ——————— 3,28 10 39 m/s 2

5,98 10 24

b) Una persona de 75 kg que cau amb paracai gudes.

75 9,8

m 75 kg f a T —————— 1,23 10 22 m/s 2

5,98 10 24

c) Un avió de 2 000 t que vola a una certa altura. Quina

conclusió en podem treure tenint en compte que la massa

de la Terra és de 5,98 ? 10 24 kg?

m 2 000 t 2 10 6 kg f

2 10 6 9,8

f a T —————— 3,28 10 18 m/s 2

5,98 10 24

La conclusió que n’extraiem és que, en tots els casos,

l’acceleració que adquireix la Terra és pràcticament nul . la i,

per tant, el moviment de la Terra no es veu afectat.

11. Suposeu que premem un cos contra una paret, o contra

qualsevol altra superfície vertical, amb una força F. Justifiqueu

les respostes.

a) Quina és la força normal que actua sobre el cos?

Tenint en compte la tercera llei de Newton, la força normal

f

N coincideix amb la força f F que efectuem nosaltres sobre

el cos: N F; per demostrar-ho, es pot fer servir el mateix

rao nament que vam utilitzar quan vam definir la força

normal sobre un cos que descansa sobre una superfície horitzontal,

amb la diferència que ara la força normal és horitzontal.

b) Quina és la força normal si deixem anar el cos?

En aquesta situació, com que el cos cau lliurement per acció

del pes, la força normal ha de ser nul . la: f N 0.

12. Indiqueu les forces de contacte amb el terra i la paret que

actuen sobre una escala que es manté en equilibri recolzada

a la paret i formant un cert angle amb l’horitzontal.

Dibuixeu també la força pes i apliqueu en la direcció vertical

i en l’horitzontal la condició d’equilibri: o

i

f

F i 5 0

52 3


La paret i el terra exerceixen forces de contacte sobre la superfície

de l’escala que es recolza en ells. Aquestes forces de contacte

les podem descompondre en components perpendiculars a

les superfícies en contacte (forces normals) i components tangents

a les superfícies en contacte (forces de fregament). A la

figura següent representem l’escala vista de perfil i indiquem

les forces de contacte i la força pes (p) que actua sobre l’escala.

Les forces que fa el terra sobre l’escala les designem amb

N terra i F f terra .

Anàlogament, les forces que fa la paret sobre l’escala les designem

amb N paret i F f paret .

Apliquem la segona llei de Newton:

F f m a f f p f x p f y N f m a

f

f

p y N f f p f x m a f f m g sin m a f

f a g sin 9,8 sin 9,8 sin 12° 2,0 m/s 2

1

x v 0 t — a t 2 f

2

2 x 2 136

f t d ll — ll — l — l d ll — l — ll —— ll 11,55 s

a 2,0

v v 0 a t 2,0 11,55 23,56 m/s

14. [Curs 98-99] Aixequem de terra un cos de 10 kg de massa

mitjançant un fil. Si la tensió de ruptura del fil és de

200 N, quina és la màxima acceleració amb què es pot aixecar

el cos sense que es trenqui el fil?

L’acceleració màxima es tindrà quan la tensió tingui el màxim

valor possible. Per tant:

Una escala recolzada de la forma indicada tendeix a lliscar de

manera que l’extrem superior es mou en el sentit negatiu

de l’eix Y i l’inferior, en el sentit positiu de l’eix X. Les forces de

fregament s’oposen al moviment relatiu de les superfícies en

contacte. Per aquesta raó, la F f paret té el sentit positiu de l’eix Y

i la F f terra té el sentit negatiu de l’eix X.

La condició d’equilibri de forces és:

En la direcció X:

T 2 mg 200 2 10 ? 9,8

T 2 mg ma f a ———— ——————— 10,2 m/s 2

m 10

15. Un llum, de massa 1,35 kg, penja del sostre d’una habitació

mitjançant dues cadenetes que formen uns angles a

i b amb l’horitzontal (fig. 3.29). Calculeu les tensions de

les cadenetes en les situacions següents:

F f terra N paret F f terra 1 N paret 0

En la direcció Y:

F f paret 1 N terra 5 p F f paret 1 N terra 1 p 0

13. Un esquiador té una massa de 72 kg. Amb quina acceleració

baixa per una pista que té una inclinació de 12°,

suposant que no hi ha fregament entre els esquís i la

neu? Quant tarda a baixar per la pista, si aquesta té una

longitud total de 136 m, i si ell està inicialment en repòs?

Amb quina velocitat arriba a la base de la pista?

A la figura hem descompost les tensions de les cadenetes segons

les direccions X i Y. Negligim les masses de les cadenes i,

per tant, no considerem els pesos respectius. El pes de la làmpada

de massa m el designem amb p.

m 72 kg

12°

x 136 m

v 0 0

i

u

u

y

u

u

t

Diagrama de forces:

5

Designem amb T f 1 i T f 2 les tensions de les cadenes que formen

els angles respectius a i b amb el sostre. Els valors dels components

de les tensions en funció dels angles són:

T 1x 5 2T 1 cos a T 2x 5 T 2 cos b

T 1y 5 T 1 sin a T 2y 5 T 2 sin b

Apliquem la condició d’equilibri (acceleració nul . la) de forces

per a cada direcció:

T 1x 1 T 2x 5 0 f T 1 cos a 5 T 2 cos b

T 1y 1 T 2y 2 |p| 5 0 f T 1 sin a 1 T 2 sin b 5 mg

FÍSICA 1 3

53

a) Els angles a i b són iguals i de valor 60º.

T 1 cos 60° 5 T 2 cos 60° f T 1 5 T 2

T 1 sin 60° 1 T 2 sin 60° 5 mg f 2 T 1 sin 60° 5 1,35 ? 10 f

f T 1 5 T 2 5 7,79 N

b) Els angles a i b valen, respectivament, 55º i 35º.

cos 35°

T 1 cos 55° 5 T 2 cos 35° f T 1 5 T 2

————

cos 55°

T 1 sin 55° 1 T 2 sin 35° 5 mg f

cos 35°

f T 2

———— sin 55° 1 T 2 sin 35° 5 1,35 ? 10 f

cos 55°

f T 2 5 11,06 N f T 1 5 7,74 N

Considereu g 5 10 m/s 2 i descomponeu les ten sions en

components horitzontals i verticals.

16. Un camió té una massa de 8 t i arrossega un remolc de 5,5 t.

Si el conjunt està inicialment en repòs, quina força mitjana

ha de fer el camió per adquirir una velocitat de 31 km/h

en un recorregut de 104 m? Quina és la tensió a què està

sotmès l’enganxall entre el camió i el remolc?

m 1 8 t 8 10 3 kg

m 2 5,5 t 5,5 10 3 kg

v 0 0

v 31 km/h 8,61 m/s

x 104 m

Diagrama de forces:

i

u

u

u

y

u

u

u

t

f

p 1 2N f 1

f

p 2 2N f 2

Apliquem la segona llei de Newton a cada massa:

F T m 1 a i

yt f F (m 1 m 2 ) a

T m 2 a

v 2 8,61 2

v 2 v 0 2 2 a x f a ——— ———— 0,356 m/s 2 f

2 x 2 104

f F (8 10 3 5,5 10 3 ) 0,356 4 812,7 N

T m 2 a 5,5 10 3 0,356 1960,7 N

17. La longitud d’una molla és de 20 cm quan l’estirem amb

una força de 40 N, i de 25 cm quan la força és de 60 N.

Calculeu la longitud de la molla, quan no hi actua cap força,

i la seva constant elàstica.

x 1 20 cm 0,2 m f F 1 40 N

x 2 25 cm 0,25 m f F 2 60 N

F k x f F k (x x 0 )

Dividim les dues equacions:

40 k (0,2 x 0 )

60 k (0,25 x 0 )

40 k (0,2 x 0 )

—— —————— f 40 (0,25 x 0 ) 60 (0,2 x 0 ) f

60 k (0,25 x 0 )

f 10 40 x 0 12 60 x 0 f 60 x 0 40 x 0 12 10 f

2

f 20 x 0 2 f x 0 —— 0,1 m 10 cm

20

40

Calculem k: 40 k (0,2 0,1) f k —— 400 N/m

0,1

18. [Curs 01-02] Una molla de constant recuperadora k 5 50 N/m

i longitud natural l 5 2 m està lligada al sostre d’un ascensor.

Si pengem de l’extrem lliure de la molla un cos de massa

m 5 3 kg, quina serà la longitud de la molla quan:

Es calculen els resultats imposant que la suma de forces és

igual al producte de la massa per l’acceleració i tenint en compte

que la força elàstica és igual a k (l 2 l 0 ):

a) L’ascensor pugi amb una acceleració igual a 2 m/s 2 en el

sentit del moviment?

m (g 1 a)

l 5 l 0 1 ————— 5 2,71 m

k

b) L’ascensor pugi a una velocitat constant?

m g

l 5 l 0 1 —— 5 2,59 m

k

19. Per determinar la constant elàstica d’una molla, de longitud

natural 14,3 cm, s’han penjat diferents masses, i se

n’han mesurat les longituds. Amb els valors següents (taula

3.1):

m (g) 10 15 20 25 30 35

y (cm) 16,6 17,8 19,0 20,1 21,3 22,5

a) Representeu gràficament la deformació experimentada

per la molla en abcisses i la força elàstica en ordenades.

Aquesta molla verifica la llei de Hooke? Raoneu la resposta.

y 0 0,143 m

m (kg) y (m) D y 5 y 2 y 0 p (N)

0,010 0,166 0,023 0,098

0,015 0,178 0,035 0,147

0,020 0,190 0,047 0,196

0,025 0,201 0,058 0,245

0,030 0,213 0,070 0,294

0,035 0,225 0,082 0,343

54 3


0,4

0,35

0,3

0,25

0,2

0,15

0,1

0,05

0

0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1

20. Indiqueu i expliqueu:

a) Tres situacions en què és necessari que hi ha gi un fregament

relativament elevat.

És necessari que hi hagi fregament quan caminem, ja que

s’ha d’impedir que el peu es mogui respecte al terra quan

s’hi recolza.

Per la mateixa raó, cal un fregament alt entre les rodes d’un

automòbil i el terra, de manera que no es mogui el punt de

contacte entre la roda i el terra.

La representació gràfica és una recta. La molla, per tant,

verifica la llei de Hooke.

b) Determineu la constant elàstica de la molla. Doneu el

resultat amb tres xifres significatives i l’error corresponent.

Per tal de determinar la constant elàstica farem ús de la

fórmula de Hooke:

F

F 5 k (y 2 y 0 ) f k 5 ——

Dy

y 2 y 0 (m) p (N) k (N/m)

0,023 0,098 4,261

0,035 0,147 4,200

0,047 0,196 4,170

0,058 0,245 4,224

0,070 0,294 4,200

0,082 0,343 4,183

El valor amb què ens quedarem serà la mitjana entre els

valors de la constant calculats.

4,26114,20014,17014,22414,20014,183

k 5 ——————————————————————— 5

6

5 4,206 N/m

e a 5 4,261 2 4,206 5 0,055 N/m

0,055

e r 5 ———— ? 100 5 1,3 %

4,206

k 5 (4,206 6 0,055) N/m 5 4,206 N/m 6 1,3 %

c) Quina longitud assoleix la molla quan hi pengem una

massa de 18 g? Quina massa hi hem de penjar per assolir

un allargament de 5 cm?

p 0,018 ? 9,8

Dy 5 — 5 —————— 5 0,042 m

k 4,206

y 5 y 0 1 Dy 5 0,143 1 0,042 5 0,185 m

p 5 m ? g 5 k ? Dy f

k ? Dy 4,206 ? 0,05

f m 5 ——— 5 —————— 5 0,021 kg

g 9,8

També cal un fregament alt quan interessa que dues peces

en contacte no es moguin una respecte de l’altra; per

exemple, la corretja de transmissió d’un cotxe es fabrica

amb un material que presenta un alt coeficient de fregament,

ja que s’ha de moure solidàriament amb una certa

roda que gira.

b) Tres situacions en què és desitjable que hi hagi un fregament

petit o nul.

Per contra, cal un fregament molt petit quan interessa no

dificultar el moviment relatiu de dues peces en contacte,

com per exemple l’èmbol i el cilindre d’un motor d’explosió;

així, en algunes ocasions, i per facilitar el moviment relatiu

entre dos cossos que estan en contacte, podem disminuir el

fregament apreciablement tot lubrificant les superfícies

dels cossos que han d’estar en contacte, com l’èmbol i el

cilindre d’aquest exemple.

Una altra situació en què cal un fregament baix es dóna

quan volem moure amb facilitat un cos situat sobre una

superfície; així, alguns vaixells es mouen sobre la superfície

de l’aigua amb un coixí d’aire que fa disminuir bastant el

fregament.

També, quan estem esquiant i volem agafar velocitat, és desitjable

un fregament petit, i per això utilitzem els esquís:

el fregament entre aquests i la neu és relativament petit (a

no ser que fem «cunya»: en aquest cas, augmenta bastant el

fregament i aconseguim frenar).

21. Un cos de 50 kg està damunt d’un pla horitzontal. Experimentalment

es pot veure que el cos es comença a moure

quan la força horitzontal aplicada sobre ell val 300 N i

que, després, si continuem aplicant la mateixa força, recorre

4,8 m en 3,5 s. De les proposicions següents, trieu la

resposta correcta:

A) El coeficient de fregament dinàmic és de:

a) 0,49 ; b) 0,53 ; c) 0,61

L’opció correcta és la b) m d 5 0,53

B) El coeficient de fregament estàtic val:

a) 0,61 ; b) 0,49 ; c) 0,53

L’opció correcta és la a) m e 5 0,61

Recordem que el coeficient de fregament dinàmic sempre és

menor o igual que el coeficient de fregament estàtic. Calculemlos

en aquest problema particular:

FÍSICA 1 3

55

Diagrama de forces:

23. Un automòbil circula per una carretera horitzontal amb una

velocitat constant de 80 km/h. Calculeu la força que exerceix

el seient de l’automòbil sobre el conductor de 75 kg de

massa en els casos següents:

a) L’automòbil circula per un tram recte.

Apliquem la llei de Newton:

f

F N f p f 0 F f f m a f F F f m a

F N m a f F m g m a

Inicialment, la força de fregament que actua és l’estàtica, i el

cos tot just comença a moure’s (a 0). Per tant:

300 e 50 9,8 50 0 300 e 490 0

300

e ——— 0,61

490

Una vegada el cos ja es mou, actua la força de fregament dinàmic.

Calculem l’acceleració:

80 km/h 22,22 m/s

N p 75 9,8 735 N

b) L’automòbil es troba en el punt més alt d’un canvi de

rasant que té un radi de curvatura de 80 m.

x 4,8 m i y

t

1 1

x — a t 2 4,8 — a 3,5 2

t 3,5 s 2 2

2 4,8

a ———— 0,78 m/s 2

3,5 2

Per tant:

300 d 50 9,8 50 0,78

300 50 0,78

d ————————— 0,53

50 9,8

22. En una exhibició aèria, una avioneta vola a 700 km/h i fa

un ris, de manera que descriu una circumferència en un pla

vertical. Quin radi ha de tenir el ris, si la força que fa el

pilot contra el seient és set vegades el seu pes en passar

pel punt més baix?

v 2 v 2

p N m —— f N m g ——

R

R 2

22,22 2

N 75 9,8 ———— 2 272,04 N

80

c) L’automòbil es troba en el punt més baix d’un gual que

té un radi de curvatura de 80 m.

Tenim: 700 km/h 194,44 m/s

En el punt més baix de la trajectòria la força centrípeta és:

v 2

N 2 p m a c f 7 p 2 p m —— f

R

v 2 194,44 2

R m ——— ————— 643

6 m g 6 ? 9,8

v 2 v 2

N p m —— f N m g ——

R

R 2

22,22 2

N 75 9,8 ———— 2 1197,96 N

80

24. Una atracció de fira consisteix en una rotllana horitzontal de

2,5 m de radi d’on pengen uns gronxadors de 3 m de longitud

(fig. 3.58). Si en un dels gronxadors, de 2 kg de massa,

s’hi asseu un noi de 70 kg, calculeu la velocitat angular amb

què ha de girar la rotllana per aconseguir que els gronxadors

formin un angle de 30° amb la vertical.

56 3


és el que hauria de passar per trobar-nos en les condicions de

la primera llei de Newton. Per tant, ens trobem en les condicions

de la segona llei de Newton.

3. En els 20 segons, els passatgers de l’A300 noten que no

pesen. Això és conseqüència del fet que no hi ha gravetat?

O bé s’explica per alguna altra raó? Justifiqueu la resposta.

m 70 kg

m e 2 kg

r 1

sin 30° —— f r 1 l sin 30° 3 sin 30° 1,5 m

l

R 1,5 2,5 4 m

T x m 2 R i T sin 30° m 2 R

y i y

Ty p t T cos 30° m g t

2 R

tg 30° ———

g

g tg 30° 9,8 tg 30°

d ll — l — ll — ll — d ll — ll — l — ll — ll — ll — 1,19 rad/s

R 4

Física quotidiana

Abans de proposar les solucions pot ser molt interessant consultar la

següent pàgina web:

http://www.elmundo.es/especiales/2005/07/microgravedad/

index.html

Consisteix en un excel·lent reportatge d’un vol amb l’avió Zero-G

elaborat per una periodista del diari El Mundo. A més del reportatge,

molt centrat en les sensacions de la periodista al llarg del vol, hi

ha uns apartats infogràfics que poden ajudar molt a entendre l’experiència

que es proposa. De fet, una de les infografies dóna directament

la resposta a la primera qüestió.

1. Dibuixeu de manera aproximada uns quants cicles de caiguda-pujada

de l’avió A300 en una de les seves campanyes,

d’acord amb les dades que proporciona el text.

http://www.elmundo.es/especiales/2005/07/microgravedad/

grafico1.html

2. Durant els 20 segons que dura l’estat de microgravetat, en

quines condicions ens trobem, en les de la primera llei de

Newton, o bé en les de la segona? Raoneu la resposta.

Al llarg de tot el vol, sobre les persones de dins l’avió actua la

força de la gravetat de la Terra, i per tant el seu pes. De fet,

l’existència d’aquest pes fa que la trajectòria sigui parabòlica

en el període de microgravetat. Això vol dir que en cap moment

dels 20 segons que dura la paràbola s’està en absència de forces

i, per tant, en condicions de moviment rectilini uniforme, que

Com ja hem dit anteriorment, la força gravitatòria de la Terra

sobre els passatgers actua en tot moment, ja que segons la Llei

de Gravitació Universal sempre hi ha una força d’atracció gravitatòria

entre dues masses (en aquest cas, la de la Terra i la

del passatger) separades una certa distància (en el nostre cas,

el radi de la Terra més l’alçada del vol). Per tant, els passatgers

tenen pes durant tot el vol. Ara bé, el pes aparent dels passatgers

és nul ja que l’avió cau amb ells i, per tant, no hi ha cap

superfície per recolzar una bàscula que permeti fer una mesura

del pes del passatger.

La situació és anàloga a la que es donaria si dins un ascensor

en caiguda lliure una persona intentés saber el seu pes mitjançant

una bàscula. Com que la bàscula i la persona caurien en

tot moment amb la mateixa acceleració, la lectura de la bàscula

seria que la persona no té pes.

Aquest fet ens porta a pensar en la diferència que hi ha entre

la definició física del pes i la sensació subjectiva d’aquest.

Físicament, el pes és la força gravitatòria que la Terra fa sobre

un objecte que és proper a la seva superfície, i es dóna per

p 5 m g, on m és la massa del cos i g l’acceleració de la gravetat

en el punt on es troba l’objecte. La sensació subjectiva de

pes depèn de la sensació que té una persona en recolzar el seu

cos sobre una superfície. La sensació de variació de pes es té

en diverses ocasions de la vida quotidiana: en ascensors, en

muntanyes russes, si es fa submarinisme, en un canvi de rasant

amb un cotxe, etc.

Activitats finals

Qüestions

1. Expliqueu les sensacions que sentim en les situa cions següents

i relacioneu-les amb el principi d’inèrcia.

a) Ens trobem dins d’un vehicle en repòs que arrenca sobtadament.

Sentim una força que ens empeny cap enrera, és a dir, en

sentit contrari al moviment del vehicle; en realitat no existeix

aquesta força, sinó que és una conseqüència de la

nostra tendència a estar en repòs, d’acord amb el principi

d’inèrcia.

b) Ens trobem dins d’un vehicle que va a velocitat constant

i que frena sobtadament.

Sentim una força que ens empeny cap endavant, és a dir, en

sentit contrari al de l’acceleració del vehicle. En realitat

no existeix aquesta força, sinó que el que notem és la nostra

tendència a moure’ns segons un MRU, d’acord amb el

principi d’inèrcia.

FÍSICA 1 3

57

c) Ens trobem dins d’un ascensor en repòs que es posa en

marxa sobtadament i comença a pujar.

Sentim un augment del nostre pes, ja que augmenta la força

que efectuem amb els nostres peus sobre el terra de l’ascensor;

aquest augment de pes no és real, sinó que és una

conseqüència del principi d’inèrcia: tenim tendència a romandre

en repòs, mentre que l’ascensor accelera en sentit

contrari al nostre pes.

d) Ens trobem dins d’un ascensor en repòs que es posa en

marxa sobtadament i comença a baixar.

Sentim una disminució del nostre pes; com en el cas anterior,

també és una conseqüència del principi d’inèrcia,

però ara l’ascensor s’accelera en el mateix sentit que el nostre

pes.

e) Ens trobem dins d’un ascensor que es mou amb velocitat

constant.

No sentim cap força fictícia, ja que ens movem amb la mateixa

velocitat constant que l’ascensor.

2. Per què un ciclista ha de pedalejar encara que vagi per una

carretera plana? Contradiu això el principi d’inèrcia? I per

què costa més frenar un automòbil que una bicicleta? Justifiqueu

la resposta atenent-vos al principi d’inèrcia.

Com que hi ha fregament entre les rodes i el terra, la bicicleta

es va frenant; per contrarestar aquesta disminució de velocitat

el ciclista ha de pedalejar constantment, tot fent una força en

sentit contrari al fregament. Per tant, no es contradiu el principi

d’inèrcia, i el ciclista es mou amb moviment rectilini uniforme

si la força que efectua és igual en mòdul a la força de

fregament.

Per frenar un vehicle que es mou a una determinada velocitat

cal comunicar-li una acceleració que només depèn d’aquesta

velocitat i de l’interval de temps en el qual es vulgui assolir la

nova velocitat. Ara bé, per proporcionar aquesta acceleració

al vehicle, cal comunicar-li una força que és directament proporcional

a la seva massa. Tant el camió com la bicicleta tendeixen

a seguir un MRU; per tant, per modificar aquesta situació,

cal aplicar una força que, en el cas del camió, serà més

gran perquè la massa del camió és més gran que la de la bicicleta.

Aquest fet no contradiu el principi d’inèrcia, sinó tot

el contrari: cal aplicar una força per modificar la inèrcia del

vehicle.

3. [Curs 00-01] El pèndol de la figura 3.60 està penjat del

sostre d’un vehicle que es mou d’esquerra a dreta. Raoneu

si el vehicle està frenant, accelerant o es mou a velocitat

constant. Quina seria la resposta a la pregunta anterior si

la posició observada del pèndol fos vertical en relació amb

el vehicle?

El vehicle està accelerant, ja que la tensió del pèndol té un

component horitzontal dirigit cap a la part davantera del vehicle

i comunica l’acceleració del vehicle al pèndol. Pel que fa

al component vertical de la tensió, aquest és contrarestat pel

pes del pèndol.

Si el fil del pèndol no formés cap angle en respecte la vertical,

es tindria una situació d’acceleració nul . la en la direcció X. Per

tant, el vehicle estaria movent-se a velocitat constant o bé estaria

en repòs.

4. Quan un cavall estira un carro, la força que efectua és exactament

igual, en mòdul, però en sentit contrari, a la que

efectua el carro sobre el cavall. Com és que hi pot haver

moviment, si són forces oposades? Raoneu la resposta.

Penseu que aquestes forces, encara que siguin iguals, estan

aplicades sobre cossos diferents, i, considerant totes les forces

que actuen sobre cada cos, és possible el moviment tal i com

estableix la segona llei de Newton.

5. Si apliquem una mateixa força f F a dos cossos, quina és la

relació entre les seves masses si un experimenta una acceleració

que és el triple que la de l’altre.

Aplicant la segona llei de Newton als dos cossos, i tenint en

compte que la força aplicada és la mateixa:

F m 1 a (primer cos)

F m 2 (3 a) (segon cos)

F m 1 a

Dividim ambdues equacions: — ————— f

F m 2 (3 a)

m 1

1 ——— f m 1 3 m 2

3 m 2

6. Poseu exemples de forces que:

a) Actuen a distància.

La força gravitatòria entre dues masses, la força elèctrica entre

dues càrregues, la força magnè tica entre dos imants, etc.

b) Actuen per contacte.

La força de fregament entre dos cossos en contacte, la força

de tracció que efectua un cavall quan tira d’un carro, etc.

7. Com variarà la força que indica una balança situa da dins

d’un ascensor amb una persona al damunt, quan:

En qualsevol cas, si F és la força que indica la balança (pes

aparent), tenim que:

F p m a f F m a m g f F m (g a). Per tant:

a) L’ascensor puja frenant.

La balança indicarà un pes aparent més petit, ja que a 0.

b) L’ascensor puja accelerant.

La balança indicarà un pes aparent més gran, ja que a 0.

58 3


c) L’ascensor baixa frenant.

Com en el segon cas, la balança indicarà un pes aparent més

gran, ja que a 0.

d) L’ascensor baixa accelerant.

Com en el primer cas, la balança indicarà un pes aparent

més petit, ja que a 0.

e) L’ascensor puja a velocitat constant.

La balança indicarà el pes real de la persona, ja que a 0.

f) L’ascensor baixa a velocitat constant.

La balança indicarà el pes real de la persona, ja que a 0.

8. Poseu tres exemples de cossos en els quals es verifiqui la

llei de Hooke i expliqueu com es verifica.

La llei de Hooke es verifica en el cas d’una molla, tal com s’ha

comentat en l’apartat corresponent d’aquesta unitat.

Un altre cas en què es verifica la llei de Hooke el tenim quan

estirem una goma: en aquesta situació, si apliquem una força

sobre la goma, aquesta s’estira proporcionalment a la força

aplicada, d’acord amb la llei de Hooke. La goma també té una

determinada constant elàstica.

Finalment, també es verifica la llei de Hooke en el cas d’un

pèndol de torsió, construït amb un fil metàl . lic i un cos que en

penja; en aquest cas, si girem el cos que penja un cert angle

petit per acció d’un parell de forces de valor F, f es pot comprovar

que l’angle girat és directament proporcional a la força

aplicada: F k .

10. Per què un cargol agafat a la paret pot suportar forces relativament

grans com, per exemple, el pes de cossos que

s’hi poden penjar? Raoneu la resposta.

Quan el cargol està agafat a la paret, la força de fregament entre

aquests dos cossos és molt gran, i, per això, pot contrarestar

l’efecte d’altres forces que es poden efectuar sobre el cargol,

com, per exemple, el pes d’un objecte que s’hi penja.

11. En la situació de la figura següent (fig. 3.61), quina relació

han de tenir les masses m 1 i m 2 perquè aquestes no es moguin,

si el coeficient de fregament estàtic entre la primera

massa i el pla horitzontal és m e ?

Les forces que actuen sobre els cossos estan representades a la

figura de sota.

Aplicant la segona llei de Newton a cada cos, i tenint en compte

que els cossos no es mouen (a 0), tenim:

T F F1 0 i

yt f F F1 p 2 f m 1 g m 2 g f m 2 m 1

T p 2 0

F1

9. Determinem la massa d’un cos petit de dues maneres diferents:

amb un dinamòmetre calibrat en grams, i amb una

balança de braços iguals. Si poguéssim fer la determinació

a la Lluna, n’obtin dríem els mateixos valors?

Quan mesurem la massa amb un dinamòmetre calibrat en

grams, obtenim l’equivalent en grams de la força pes que provoca

l’allargament del dinamòmetre (l’altre extrem ha d’estar

subjecte a un suport). A la Lluna, el pes d’un cos varia, mentre

que la seva massa és la mateixa que a la Terra. Per tant, obtindrem

una lectura de la massa diferent, perquè el dinamòmetre

ha estat calibrat a la Terra.

Si, en canvi, utilitzem una balança de braços iguals, tot i que el

pes dels cossos a la Terra i a la Lluna és diferent, el valor obtingut

per a la massa serà el mateix. La causa d’aquest fet és que

a la Lluna haurem d’utilitzar les mateixes masses per equilibrar

l’altre platet de la balança que si féssim la mesura a la Terra. El

pes del cos i de les masses que l’equilibren varien de la mateixa

manera a la Lluna.

12. Suposeu que deixem caure una bola per un pla inclinat,

que no presenta fregament. Si a continuació hi ha un altre

pla inclinat que tampoc no presenta fregament, quina distància

puja sobre aquest segon pla? Si disminuïm la inclinació

del segon pla, quina distància puja la bola? Si el

segon pla és horitzontal, quina distància recorre la bola?

Raoneu les respostes.

Sigui quina sigui la inclinació del segon pla, la bola sempre recorrerà

la distància necessària per assolir la mateixa altura des

que l’hem deixat anar; per tant, si el segon pla és horitzontal,

la bola no pararà mai i es mourà amb MRU, ja que mai arribarà

a assolir la mateixa altura. Aquest raonament va ser utilitzat

per Galileu per demostrar el principi d’inèrcia.

13. [Curs 99-00] És possible que un cos sobre el qual actua una

única força de mòdul constant que forma un angle a Þ 0

amb la seva velocitat segueixi una trajectòria rectilínia?

Raoneu la resposta.

FÍSICA 1 3

59

No és possible, ja que la projecció de la força segons la perpendicular

a la trajectòria és diferent de zero, això implica que hi

haurà una força normal que farà variar la direcció del moviment,

per tant, l’acceleració normal no és nul . la, i la trajectòria no pot

ser rectilínia.

14. Si augmentem el coeficient de fregament al doble, com

varia la velocitat mínima de gir d’un rotor de fira?

La velocitat mínima de gir d’un rotor de fira és:

g R

v d lll — l — ll

m

En augmentar el doble el coeficient de fregament, la velocitat

mínima v9 és:

g R

v9 d lll — l — ll

2 m

v

D’on tenim que v9 ——

dll2

15. Per què un motorista s’inclina quan descriu un revolt sense

peralt?

Per contrarestar els efectes del principi d’inèrcia, que tendeix a

fer anar la moto en sentit contrari a aquesta inclinació.

16. Determineu la velocitat màxima a la qual un ciclista pot

donar una corba de radi R en un velòdrom si aquesta, a més

de tenir un peralt a, presenta un coeficient de fregament

estàtic m e .

Les forces que actuen són el pes (vertical), la normal (perpendicular

al pla) i la força de fregament (paral . lela al pla):


v 2

X) N x 1 F rx 5 m a c f N sin a 1 F r cos a 5 m —

R

Y) N y 2 F ry 2 p 5 0 f N cos a 5 F r sin a 1 m g

Com que F r 5 m N:

v 2 v 2

N sin a 1 m N cos a 5 m — f N (sin a 1 m cos a) 5 m —

R

R

N cos a 5 m N sin a 1 m g f N (cos a 2 m sin a) 5 m g

Dividim les dues equacions i aïllem v:

m —

N (sin a 1 m cos a) R

——————————— 5 ———— f

N (cos a 2 m sin a) m g

sin a 1 m cos a

tg a 1 m

f v 2 5 R g ————————— f v d lll R g ll — l — lll — lll lll — l l

cos a 2 m sin a

1 2 m tg a

Problemes

1. Quina força hem de fer sobre un cos de 105 kg de massa

que és damunt d’una superfície horitzontal, si volem que

faci un recorregut de 25 m en 12 s? Suposeu que no hi ha

fregament entre la caixa i el pla horitzontal i que el cos

està inicialment en repòs. Trieu la resposta correcta:

a) 29,76 N

b) 36,46 N

c) 12,55 N

d) 43,42 N

L’opció correcta és la b) 36,46 N

Comprovem-ho:

v 2

m 105 kg i u

uyuut

x 25 m

t 12 s

v 0 0

1 1

x v 0 t — a t 2 f 25 — a 12 2 f

2 2

2 25

a ——— 0,35 m/s 2

12 2

F m a 105 0,35 36,46 N

N x 5 N sin a

N y 5 N cos a

F rx 5 F r cos a

F ry 5 F r sin a

2. Una grua que té una massa de 665 kg remolca un automòbil

que està espatllat amb una força de 245 N. Calculeu la massa

de l’automòbil, tenint en compte que la grua mou el

conjunt amb una acceleració constant de 0,3 m/s 2 . Calculeu

també la tensió de l’enganxall entre la grua i l’automòbil.

m 1 665 kg

F 245 N

a 0,3 m/s 2

i

u

y

u

t

60 3


El diagrama de forces i l’aplicació de la segona llei de Newton

són iguals que en el problema anterior. Per tant,

Diagrama de forces:

F (m 1 m 2 ) a f 245 (665 m 2 ) 0,3 f

245

m 2 ——— 665 f m 2 152 kg

0,3

T m 2 a 152 0,3 45,5 N

3. Amb l’ajut d’una corda apliquem una força sobre un cos de

massa 7,5 kg, tal com indica la figura 3.62.

m 7,5 kg

f F m f a f F p m a f

f F m a m g m (a g)

a) Quina força hem de fer perquè pugi a velocitat constant?

v constant f a 0 f

F m (0 g) m g 7,5 9,8 73,5 N

b) Quina força hem de fer perquè pugi amb acceleració

constant de 2,9 m/s 2 ?

Segona llei de Newton:

F T 1 m 1 a

T 1 T 2 m 2 a

T 2 m 3 a

i

u

y

u

t

f

p 1 N f 1

f

p 2 N f 2

f

p 3 N f 3

F (m 1 m 2 m 3 ) a f

F 5,5 10 4

f a ——————— ———————————————

m 1 m 2 m 3 3,5 10 4 2,3 10 4 1,8 10 4

0,72 m/s 2

T 2 m 3 a 1,8 10 4 0,72 1,3 10 4 N

T 1 m 2 a T 2 2,3 10 4 0,72 1,3 10 4 3,0 10 4 N

5. Del sostre d’un ascensor pengem una bola d’1,55 kg de massa

amb l’ajut d’una corda. Calculeu la tensió de la corda en

les situacions següents:

m 1,55 kg

f F m f a f T p m a

T m a p f T m (a g)

a 2,9 m/s 2 f

F m (a g) 7,5 (2,9 9,8) 95,3 N

c) Quina força hem de fer perquè baixi amb una acceleració

constant de 5,6 m/s 2 ?

a 5,6 m/s 2 f

f F 7,5 (5,6 9,8) 31,5 N

4. Una màquina de tren té una massa de 35 t i arros se ga dos

vagons, un de 23 t de massa i l’altre de 18 t. Si la força que

fa la màquina per tal de moure el conjunt és de 5,5 ? 10 4 N,

amb quina acceleració es mouen la màquina i els vagons?

Quines són les tensions dels enganxalls? Suposeu que no hi

ha fregament.

m 1 35 t 3,5 10 4 kg i u

uyuut

m 2 23 t 2,3 10 4 kg

m 3 18 t 1,8 10 4 kg

F 5,5 10 4 N

a) L’ascensor baixa amb una acceleració constant de

2 m/s 2 .

a 2 m/s 2 f T 1,55 (2 9,8) 12,09 N

b) L’ascensor puja a una velocitat constant de 5 m/s.

v 5 m/s f a 0 f

T m (0 g) m g 1,55 9,8 15,19 N

c) L’ascensor puja amb una acceleració constant de 0,9 m/s 2 .

a 0,9 m/s 2 f T 1,55 (0,9 9,8) 16,58 N

d) Es trenquen els cables de l’ascensor.

g 9,8 m/s 2 f T 1,55 (9,8 9,8) 0 N

FÍSICA 1 3

61

6. El cable d’un muntacàrregues pot suportar una tensió màxima

de 2,0 ? 10 4 N, de manera que, si se sobrepassa aquest

valor, es pot trencar el cable. Amb quina acceleració màxima

pot pujar el munta càrregues, si la seva massa és

de 1 250 kg i porta a dintre seu una càrrega de 340 kg?

Representem les forces que actuen sobre els dos blocs. Com

que en la direcció horitzontal no actuen forces, el problema

esdevé unidimensional.

F m a f T p m a

T 2,0 10 4 N

m 1 1 250 kg i

yt m m 1 m 2 1 250 340 1 590 kg

m 2 340 kg

T m g 2 10 4 1 590 9,8

f a ————— —————————— 2,8 m/s 2

m 1 590

7. [Curs 98-99] Tenim dues masses iguals (M 5 5 kg) penjades

dels extrems d’una corda que passa per una politja (fig. 3.63).

Les masses de la corda i de la politja es poden considerar negligibles.

Inicialment les dues mas ses estan en repòs.

Com que la massa de la corda és menyspreable, les tensions

aplicades a cada bloc coincideixen: T 1 5 T 2 5 T. Apliquem

ara la segona llei de Newton a cada bloc:

Bloc 1: T 2 M g 5 M a 1

Bloc 2: T 2 (M 1 m) g 5 (M 1 m) a 2

Tenint en compte que la corda és inextensible, la relació

entre les acceleracions és: a 1 2a 2 a.

Per tant, el sistema d’equacions queda així:

T 2 M g M a

T 2 (M 1 m) g 2(M 1 m) a

i

y

t

T M (a 1 g) f M (a 1 g) 2 (M 1 m) g 2(M 1 m) a

Per tant:

a) Considereu una de les dues masses M. Feu un esquema de

les forces que actuen sobre M i indiqueu sobre quin cos

estarien aplicades les forces de reacció corresponents.

m g 0,5 ? 9,8

a ————— —————— 0,467 m/s 2

2 M 1 m 2 ? 5 1 0,5

c) Quins són els valors de la tensió de la corda abans i després

del xoc?

Abans del xoc hi ha equilibri entre forces i, per tant, no hi

ha acceleració. En conseqüència:

T 2 Mg

———— 0 f T M g 5 ? 9,8 49 N

M

A aquesta condició també s’hi pot arribar imposant m 5 0

en les equacions de l’apartat a). S’obté:

Bloc 1: T 2 Mg 5 Ma 1

La força de reacció a la tensió T està aplicada sobre la corda

i és una força igual en mòdul i direcció però de sentit contrari.

La força de reacció al pes p està aplicada sobre la

Terra i també és de sentit contrari a la força d’acció.

b) Sobre la massa penjada a la dreta cau un tros de plastilina

de massa m 5 500 g que s’hi queda enganxat. Quina

serà l’acceleració de les masses en el moviment posterior

al xoc?

Bloc 2: T 2 Mg 5 Ma 2

És a dir: a 1 5 a 2 . I com que perquè les masses es puguin

moure lligades per la corda inextensible s’ha de complir que

a 1 5 2a 2 , l’única possibilitat és que a 1 5 a 2 5 0.

Després del xoc podem obtenir el valor de la tensió a partir

del valor de l’acceleració calculat a l’apartat a):

T 5 M (a 1 g) 5 5 (0,47 1 9,8) 5 51,33 N

62 3


8. Un pèndol es construeix amb una corda de massa negligible

i amb una bola de massa 525 g. El pèndol penja del sostre

d’un vagó de tren, que porta un moviment rectilini uniformement

accelerat, tal com indica la figura 3.64.

A) L’acceleració de l’automòbil val:

a) 8,94 m/s 2

b) 7,12 m/s 2

c) 13,99 m/s 2

L’opció correcta és la c) 13,99 m/s 2 .

En efecte, de la figura obtenim les relacions següents:

a) Per què el pèndol està inclinat respecte de la vertical?

El pèndol està inclinat perquè la força neta que actua sobre

ell no és nul . la, i, per tant, hi actua una acceleració que fa

que el pèndol s’inclini.

b) Suposem que l’acceleració del vagó és constant i val

3,2 m/s 2 , calculeu l’angle que forma la corda amb la

vertical.

a 3,2 m/s 2

Les relacions entre les forces en les direccions X i Y són:

T cos a 5 m g

T sin a 5 m a

D’aquí es dedueix que tg a 5 a/g.

L’angle a és el complementari de l’angle b:

a 5 90° 2 b f a 5 90° 2 35° 5 55°

Per tant: a 5 g tg a 5 9,8 tg 55° 5 13,99 m/s 2

B) La tensió de la corda és de:

a) 0,88 N

b) 1,25 N

c) 0,73 N

Com que l’acceleració només actua en l’eix horitzontal (no

hi ha acceleració vertical), la força neta en l’eix vertical és

nul . la, mentre que la força neta en l’eix horitzontal és el

producte de la massa per l’acceleració.

X: F x m a f T x m a f T sin m a

Y: F y 0 f T y p 0 f T cos m g

Dividim aquestes dues últimes equacions:

T sin m a

———— ——— f

T cos m g

a 3,2

f tg — —— 0,326

g 9,8

18°

c) Calculeu la tensió de la corda.

m a 0,525 3,2

T sin m a f T ——— —————— 5,4 N

sin sin 18

9. Un pèndol de 73 g de massa penja del sostre d’un automòbil

que es mou amb un moviment rectilini uniformement

accelerat; si el pèndol forma un angle de 35º amb l’horitzontal,

trieu la resposta correcta de les proposicions següents:

i

y

t

L’opció correcta és la b) 1,25 N.

En efecte, amb el valor de l’acceleració i els valors de la

massa i el sinus d’a, trobem el valor de la tensió:

m a 0,073 ? 13,99

T 5 ——— 5 ——————— 5 1,25 N

sin a sin 55°

10. En la situació de la figura 3.65, se suposa que la corda i la

politja tenen masses negligibles i que no hi ha fregaments.

Diagrama de forces:

f

p y1 f N 1

FÍSICA 1 3

63


T p x1 m 1 a

p 2 T m 2 a

i

y

t

f p 2 p x1 (m 1 m 2 ) a f

f m 2 g m 1 g sin (m 1 m 2 ) a

a) Quin ha de ser l’angle d’inclinació del pla, si m 1 5 29 kg,

m 2 5 17 kg, i el conjunt es mou amb una velocitat constant?

v constant a 0 i

uyut

m 1 29 kg

m 2 17 kg

17 9,8 29 9,8 sin 0 f 36°

b) Si l’angle val 30°, quina ha de ser la relació entre les

masses perquè el conjunt es mogui amb una velocitat

constant?

b) L’ascensor puja a una velocitat constant de 3 m/s.

a 0

T 1 3,9 ? (9,8) 38,22 N

T 2 1,6 ? (9,8) 15,68 N

c) L’ascensor, que estava pujant, frena amb una acceleració

d’1,2 m/s 2 i s’atura.

a 21,2 m/s 2

T 1 3,9 ? (21,2 1 9,8) 33,54 N

T 2 1,6 ? (21,2 1 9,8) 13,76 N

12. Una persona és a dins d’un ascensor al damunt d’una bàscula

calibrada en newtons.

30°

v constant a 0

i

y

t

m 2 g m 1 g sin 30° 0

1

f m 1 g — m 2 g f m 1 2 m 2

2

11. A l’interior d’un ascensor hi pengen dos objectes esfèrics de

masses 2,3 kg i 1,6 kg. El primer està unit al sostre mitjançant

una corda, i el segon està unit al primer també amb

una corda. Determineu la tensió de les cordes en les situacions

següents:

Diagrama de forces:


T 1 2 T 2 2 p 1 m 1 ? a i T y 1 (m 1 1 m 2 )?(a 1 g) i

yt

T t

2 2 p 2 m 2 ? a T 2 m 2 ?(a 1 g)

a) L’ascensor arrenca pujant amb una acceleració constant

d’1,1 m/s 2 .

a 1,1 m/s 2

T 1 3,9 ? (1,1 1 9,8) 42,51 N

T 2 1,6 ? (1,1 1 9,8) 17,44 N

La força que indica la balança és la força normal, N. Si apliquem

la segona llei de Newton, tenim:

f F m f a f f N f p m f a f

f N p m a f N m g m a f N m (g a)

a) Si l’ascensor puja amb acceleració de 3,1 m/s 2 i la

bàscula assenyala 774 N, quina és la massa de la persona?

a 3,1 m/s 2 i

yt N m (g a) f

N 774 N

774

774 m (9,8 3,1) f m ——— 60 kg

12,9

b) En quina situació la bàscula indica 522 N?

N 522 N f 552 60 (9,8 a) f

522

a ——— 9,8 1,1 m/s 2

60

És a dir, quan l’ascensor baixa amb una acceleració de

1,1 m/s 2 .

c) En quina situació la bàscula indica exactament el pes de

la persona?

N p m g 60 9,8 588 N

588 60 (9,8 a) f a 0

Quan l’ascensor puja o baixa a velocitat constant.

64 3


d) En quina situació indica 0?

N 0 f g a 0 f a g 9,8 m/s 2

Quan l’ascensor cau lliurement.

13. Hem penjat diferents masses d’una molla, n’hem mesurat les

longituds i hem obtingut els resultats següents (taula 3.2):

m (g) 0 10 20 30 40

y (cm) 5,5 7,8 10,1 12,4 14,7

Dibuixem el diagrama de forces:

a) Quina és la constant de la molla?

La longitud y 0 de la molla és 5,5 cm 0,055 m, ja que

és la longitud quan no hi penja cap massa (m 0).

Calculem k amb els quatre parells de valors restants, expressant

els valors en unitats del SI:

m g

F k y f m g k (y y 0 ) f k ————

y y 0

0,01 9,8

j k ———————— 4,3 N/m

0,078 0,055

0,02 9,8

j k ———————— 4,3 N/m

0,101 0,055

0,03 9,8

j k ———————— 4,3 N/m

0,124 0,055

0,04 9,8

j k ———————— 4,3 N/m

0,147 0,055

En tots els casos, k 4,3 N/m.

b) Quina és la lon gitud de la molla quan hi pengem una

massa de 17 g?

m 17 g 0,017 kg f m g k (y y 0 ) f

f 0,017 9,8 4,3 (y 0,055) f

0,017 9,8

y —————— 0,055 0,094 m 9,4 cm

4,3

c) Quina massa hi pengem quan l’allargament experimentat

per la molla és de 5,1 cm?

L’allargament és y y y 0 5,1 cm 0,051 m.

Per tant, m g k y f m 9,8 4,3 0,051 f

4,3 0,051

m —————— 0,0224 kg 22,4 g

9,8

14. En la situació indicada a la figura 3.66, tenim un cos de

massa 250 g enganxat a una molla, que va solidària amb un

vagó de tren. Si la molla té una constant elàstica de 15 N/m,

i no hi ha fregament entre el cos i la superfície del vagó,

determineu l’allargament que experimenta en les situa cions

següents:

m 250 g 0,25 kg

k 15 N/m

f

N 5 2 f p


f F m f a f f F f N f p m f a f F m a f k x m a

a) El vagó es mou cap a l’esquerra amb acceleració constant

d’1,6 m/s 2 .

a 1,6 m/s 2 f L’acceleració és negativa perquè el vagó

es mou cap a l’esquerra. Per tant:

15 x 0,25 (1,6)

0,25 (0,16)

x ———————— 0,027 m 2,7 cm

15

La molla s’estira 2,7 cm.

b) El vagó es mou cap a la dreta amb acceleració constant

de 2,8 m/s 2 .

a 2,8 m/s 2 f Ara l’acceleració és positiva (el vagó es

mou cap a la dreta). Per tant:

15 x 0,25 2,8

0,25 2,8

x ————— 0,047 m 4,7 cm

15

La molla es comprimeix 4,7 cm.

c) El vagó està en repòs.

a 0 f El vagó està en repòs. Per tant:

15 x 0,25 0 f x 0

La molla roman amb la seva longitud en repòs.

15. Una molla té una constant elàstica de valor 250 N/m i està

situada paral . lelament a un pla inclinat un angle de 50°. La

molla està fixada a la part superior del pla i pengem del seu

extrem inferior un cos de massa desconeguda. Si la molla

FÍSICA 1 3

65

s’allarga una longitud de 7,5 cm, quant val la massa del cos,

si suposem que no hi ha fregament? Trieu la resposta correcta:

a) 2,5 kg b) 4,6 kg c) 1,7 kg d) 3,4 kg

L’opció correcta és la a) 2,5 kg.

Comprovem-ho:

Diagrama de forces:

a) Quina força mínima hem de fer perquè la cai xa es comenci

a moure?

Inicialment, la força de fregament que hi actua és la força

de fregament estàtic, i el cos tot just comença a moure’s

(a 0).

F x F fe m a f

f F x F fe e N e (m g F sin ) f

f F cos e m g e F sin f

f F cos F e sin e m g f

m e m g

f F ————————

cos e sin

k 250 N/m

50°

x 7,5 cm 0,075 m

f

N 5 2p f y


f F m f a f f F f N f p y f p x m f a

f

F f p x 0 f F p x 0 f F p x f

f k x m g sin f

k x 250 0,075

f m ———— ——————— 2,5 kg

g sin 9,8 sin 50°

16. Una caixa de 15 kg de massa descansa sobre una superfície

horitzontal que presenta un coeficient de fregament estàtic

de valor 0,45 i un coeficient de fregament dinàmic de valor

de 0,42. Per moure la caixa, l’estirem amb l’ajut d’una

corda que forma un angle de 20° amb l’horitzontal.

Diagrama de forces:

0,45 15 9,8

———————————— 60,5 N

cos 20° 0,45 sin 20°

b) Quina força hem de fer per moure la caixa amb velocitat

constant?

Quan la caixa es mou amb velocitat constant, l’acceleració

continua sent nul . la, però la força de fregament que actua

és la dinàmica; per tant:

m d m g

F —————————

cos d sin

0,42 15 9,8

———————————— 57 N

cos 20° 0,42 sin 20°

c) Si la força amb què estirem la corda val 65 N, amb quina

acceleració es mou la caixa?

Ara hi ha acceleració, i F 65 N:

F cos d (m g F sin )

F x F fe m a f a ——————————————— f

m

65 cos 20° 0,42 (15 9,8 65 sin 20°)

f a ——————————————————————

15

0,57 m/s 2

m 15 kg

20°

m e 0,45

m d 0,42

17. [Curs 99-00] Un cos de massa M 5 40 kg és a sobre un terra

horitzontal amb el qual té una fricció no nul . la. Apliquem

una força de mòdul F 5 100 N al cos que forma un angle

a 5 37º amb l’horitzontal, i aquest adquireix una acceleració

horitzontal d’1 m/s 2 (fig. 3.67).

Si suposem que la caixa es mou en la direcció horitzontal, tenim

que:

N F y p 0 i

yt f N p F y m g F sin

F x F f m a

a) Feu un esquema amb totes les forces que actuen sobre

el cos. Hi ha entre aquestes forces algun parell d’accióreacció?

Per què?

66 3


L’esquema de les forces que actuen sobre la massa M és

aquest:

N

F

M

F1

Les forces que actuen sobre M són el pes (p), la normal (N),

la força de fregament (F f ) i la força aplicada (F). Entre

aquestes, no hi ha cap parell d’acció-reacció perquè totes

elles actuen sobre el mateix cos, i els parells de forces

d’acció-reacció són forces oposades que actuen sempre sobre

cossos diferents.

b) Quant val el mòdul de la força total que actua sobre

el cos? I el de la força normal que el terra fa sobre el

cos?

Sabem que en la direcció X té una acceleració d’1 m/s 2 ,

mentre que en la direcció Y no hi ha acceleració. El mòdul de

la força neta que actua sobre el cos és, segons la segona llei

de Newton, igual al producte de la massa per l’acceleració

neta. Per tant:

f F neta M f a 40 ? 1 40 N

Per trobar el valor de la força normal, apliquem la segona

llei de Newton en la direcció Y:

N 1 F sin a 2 M g 0 f

N 40 ? 9,8 2 100 sin 37° 331,82 N ù 332 N

c) Determineu el valor del coeficient de fricció dinàmic

entre el cos i el terra.

Trobem el coeficient de fricció dinàmic aplicant la segona

llei de Newton en la direcció X i utilitzant el valor de la

força normal:

F cos F f M·a f F cos d N M·a

F cos a 2 M a 100 cos 37° 2 40 ? 1

m d ———————— ——————————— 0,12

N 331,82

18. Un automòbil té una massa de 375 kg i puja per una carretera

rectilínia que forma un angle de 15° amb l’horitzontal.

Si el coeficient de fregament dinàmic entre les rodes i

la carretera val 0,74, quina força ha de fer el motor de l’automòbil

en les situacions següents?

Diagrama de forces:

p

m 375 kg

15°

0,74


F p x F f m a f F m a p x F f

a) L’automòbil puja amb velocitat constant.

v constant a 0 F p x F f f

f F m g sin m g cos m g (sin cos ) f

f F 375 9,8 (sin 15° 0,74 cos 15°) 3 578 N

b) L’automòbil puja amb acceleració constant, de manera

que recorre 50 m en 23 s.

x 50 m i

yt

1

x — a t 2 f

t 23 s 2

2 x 2 50

f a ——— ——— 0,189 m/s 2

t 2 23 2

F m a p x F f m a m g sin m g cos

m (a g sin m g cos )

375 (0,189 9,8 sin 15° 0,74 9,8 cos 15°)

3 649 N

19. [Curs 98-99] La massa m 1 del sistema de la figura 3.68 val

40 kg, i la massa m 2 és variable. Els coeficients de fricció

estàtic i cinètic entre m 1 i la taula són iguals i valen m 5 0,2.

a) Amb quina acceleració es mourà el sistema si m 2 5 10 kg?

Apliquem la segona llei de Newton al sistema:

m 2 g 2 m m 1 g (m 1 1 m 2 ) a f

10 ? 9,8 2 0,2 ? 40 ? 9,8

a ——————————— 0,39 m/s 2

40 1 10

b) Quin és el valor màxim de m 2 per al qual el sistema romandrà

en repòs?

Si el sistema està en repòs s’ha de complir, òbviament, que

a 5 0.

Per tant:

m 2 g 5 m m 1 g f m 2 5 m m 1 5 0,2 ? 40 5 8 kg

c) Si m 2 5 6 kg, quina serà la força de fregament entre el

cos i la taula? I la tensió de la corda?

Com que la massa és inferior a 8 kg, el sistema està en repòs,

aleshores: T 5 m 2 g 5 6 ? 9,8 5 58,8 N

FÍSICA 1 3

67

I la força de fregament valdrà:

F f 5 T 5 m 2 g 5 6 ? 9,8 5 58,8 N

Fixeu-vos que la força de fregament no assoleix el valor

màxim sinó just el necessari per oposar-se al moviment

d’m 1 sobre la superfície horitzontal.

20. En el sistema de la figura 3.69 tenim els valors següents:

m 1 5 9,3 kg, m 2 5 2,4 kg, a 5 54°. Calculeu l’acceleració

del sistema i la tensió de la corda:

b) Suposant que el coeficient de fregament entre el pla

inclinat i la massa m 1 val 0,37. Representeu en un esquema

les forces que hi actuen.

0,37

9,39,8 sin 54° 2,49,8 0,379,39,8cos 54°

a ————————————————————————

9,3 2,4

2,6 m/s 2

T m 2 (a g) 2,4 (2,6 9,8) 29,8 N

21. En el sistema de la figura 3.70 tenim els valors següents:

m 1 5 450 g, m 2 5 790 g, a 5 38°, b 5 29°. Calculeu l’acceleració

del sistema i la tensió de la corda:

Diagrama de forces:

Diagrama de forces:

a 5 54°

m 1 9,3 kg

m 2 2,4 kg

Determinem en primer lloc en quin sentit es mouen les masses:

p x1 m 1 g sin 9,3 9,8 sin 54° 73,73 N

p 2 m 2 g 2,4 9,8 23,52 N

Com que p x1 p 2 , el sistema es mou en el sentit indicat a la

figura.

Apliquem la segona llei de Newton a cada massa seguint el

mateix criteri que al problema anterior.

m 1 : p x1 T F f1 m 1 a i

yt p x1 p 2 F f1 (m 1 m 2 ) a

m 2 : T p 2 m 2 a

m 1 g sin m 2 g m 1 g cos

a —————————————————

m 1 m 2

a) Suposant que no hi ha fregament.

Si no hi ha fregament, F f 0. Per tant:

9,3 9,8 sin 54° 2,4 9,8 0

a ————————————————— 4,3 m/s 2

9,3 2,4

T p 2 m 2 a f T m 2 a m 2 g m 2 (a g) f

f T 2,4 (4,3 9,8) 33,8 N

Determinem el sentit del moviment:

p x1 m 1 g sin 0,45 9,8 sin 38° 2,72 N

p x2 m 2 g sin 0,79 9,8 sin 29° 3,75 N

Com que p x2 p x1 , el sentit de moviment és l’indicat a la figura.

m 1 450 g 0,45 g

m 2 790 g 0,79 kg

38°

29°

Apliquem la segona llei de Newton seguint el mateix criteri que

als exercicis anteriors:

m 1 : T p x1 F f1 m 1 a

m 2 : p x2 T F f2 m 2 a

p x2 p x1 F f1 F f2 (m 1 m 2 ) a f

p x2 p x1 F f1 F f2

f a ———————————

m 1 m 2

68 3


a) Suposant que no hi ha fregament.

Si no hi ha fregament, F f1 F f 2 0. Per tant:

p x2 p x1 F 0 0

f1 F f2 m 2 g sin m 1 g sin

a ——————————— ———————————

m 1 m 2 m 1 m 2

0,79 9,8 sin 29° 0,45 9,8 sin 38°

————————————————————— 0,84 m/s 2

0,45 0,79

T p x1 F f1 0 m 1 a f T m 1 a m 1 g sin

m 1 (a g sin ) f T 0,45 (0,84 9,8 sin 38°)

3,09 N

b) Suposant que el coeficient de fregament entre els plans

inclinats i les masses val 0,08.

0,08

p x2 p x1 F f1 F f2

a ———————————

m 1 m 2

m 2 g sin m 1 g sin (m 1 g cos m 2 g cos )

—————————————————————————

m 1 m 2

0,79 9,8 sin 29° 0,45 9,8 sin 38°

0,08 (0,45 9,8 cos 38° 0,79 9,8 cos 29°)

————————————————————————

0,45 0,79

a 0,18 m/s 2

T p x1 F f1 m 1 a f T m 1 a p x1 F f1 f

f T m 1 a m 1 g sin m m 1 g cos

m 1 (a g sin m g cos )

0,45 (0,18 9,8 sin 38° 0,08 9,8 cos 38°)

3,07 N

22. El cos de la figura 3.71 té una massa de 4 kg i l’angle a del

pla inclinat és de 20°. Dibuixeu un diagrama de les forces

que hi actuen i calculeu:

Com que la caixa es mou en la direcció paral . lela al pla, tenim

que:

i

y

t

N p y F y 0 f N F y p y F sin m g cos

F x p x F f m a

m 4 kg

20°

a) El valor de la força f F que s’ha d’aplicar externament per

tal que el cos es mogui cap a la part superior del pla

inclinat amb velocitat constant, si el fregament es considera

negli gible.

Com que v constant, a 0; a més, F f 0. Per tant:

F x p x F

0 f m a 0 F x p x F cos

m g sin

m g sin F ————— m g tg

cos

4 9,8 tg 20° 14,3 N

b) Si el coeficient de fregament entre el cos i el pla val 0,27,

com canvia l’apartat anterior?

a 0; 0,27

F x p x F f 0 f F cos m g sin N f

f F cos m g sin (F sin m g cos ) f

f F (cos sin ) m g (sin cos ) f

m g (sin cos )

f F ———————————

cos sin

4 9,8 (sin 20° 0,27 cos 20°)

————————————————— 27,6 N

cos 20° 0,27 sin 20°

23. Un home tira de dos trineus amb una força de 117,6 N que

forma un angle de 45° amb l’horitzontal (fig. 3.72). Si els

dos trineus tenen una massa de 15 kg i el coeficient de

fregament dels trineus amb la neu és de 0,02, calculeu:

Diagrama de forces:

f

p 1 f p 2 f p 3

x

a) L’acceleració dels trineus i la tensió de la corda que els

uneix.

x

f

y

y

Cos 1

F cos 45° T F f1 m 1 a

p 1 N 1 F sin 45° 0

F cos 45° T N 1 m 1 a

FÍSICA 1 3

69

N 1 p 1 F sin 45°

5 15 9,8 117,6 sin 45° 63,84 N

117,6 cos 45° T 0,02 63,84 15 a

Cos 2

p 2 N 2 i p 2 N 2

T F f 2 m 2 a

81,88 T 15 a

y

t T N 2 m 2 a

i

y

t

p 2 9,8 15 147 N

T 0,02 147 15 a f T 2,94 15 a

81,88 T 15 a

T 2,94 15 a

i

y

t

81,88 T T 2,94 f 2T 81,88 2,94

84,82

T ———— 42,41 N

2

42,41 2,94

a ——————— 2,63 m/s 2

15

b) El valor de la força f F perquè els trineus es moguin amb

velocitat constant.

Cos 1

F cos 45° T F f1 0 f F cos 45° T N 1 0 i

yt

N1 p 1 F sin 45°

Cos 2

F cos 45° T (p 1 F sin 45°) 0

p 2 N 2

T F f2 N 2 0,02 15 9,8 2,94 N

F cos 45° 2,94 0,02 15 9,8 0,02 F sin 45° 0

i

y

t

2,94 0,02 15 9,8

F ———————————— 8,15 N

cos 45° 0,02 sin 45°

a) L’acceleració del sistema.

Cos A

T 1 T fA m A a i

yt T 1 p A m A a

p A N A

T 1 0,2 9,8 a f T 1 1,96 a

Cos B

T 2 p B sin 30° F fB T 1 m B a

T 2 2 9,8 0,5 N B T 1 2 a

N B p B cos 30° 2 9,8 cos 30° 16,97 N

T 2 9,8 3,39 T 1 2 a f T 2 6,41 T 1 2 a

Cos C

p D p C T 2 (m C m D ) a

5,5 9,8 T 2 5,5 a f 53,9 T 2 5,5 a

T 1 1,96 a i

u T 1 a 1,96

T 2 6,41 T 1 2 ay

u

t T 2 53,9 5,5 a

53,9 T 2 5,5 a

53,9 5,5 a 6,41 a 1,96 2 a

58,35

58,35 8,5 a f a ———— 6,86 m/s 2

8,5

b) Les tensions de les cordes.

T 1 6,86 1,96 8,82 N

T 2 53,9 5,5 6,86 16,15 N

c) La força que fa la massa D sobre la massa C.

p D N m D A f N p D m D a

0,5 9,8 0,5 6,86 1,47 N

25. Quina velocitat mínima ha de dur un ciclista per poder efectuar

un ris de la mort de 10 m de radi, tal com mostra la

figura 3.74?

24. En el sistema representat en la figura 3.73, les mas ses valen

m A 5 1 kg, m B 5 2 kg, m C 5 5 kg, m D 5 0,5 kg. El coeficient

de fregament entre els cossos i la superfície és de

0,2. Calculeu:

v 2 v 2

p m —— f m g m —— f v dll g hl dll 9,8ll ll 10

R

R

9,9 m/s

26. Una massa d’1 kg situada sobre una taula que no presenta

fregament s’uneix a una altra massa de 4 kg mitjançant una

corda que passa per un forat fet al mig de la taula. El cos de

4 kg està en repòs, mentre que el d’1 kg descriu un moviment

circular uniforme amb un radi de 0,1 m.

70 3


a) Feu un esquema de les forces que actuen sobre cada cos

i especifiqueu-hi les relacions que hi ha entre elles.

29. Es fa giravoltar una pedra de 25 g en un pla ver tical, mitjançant

una corda de 20 cm de longitud:

m 25 kg

r 20 cm

a) Quina és la tensió de la corda quan la pedra es troba en

el punt més alt de la seva trajectòria si, en aquest moment,

la velocitat lineal que du és de 4 m/s?

b) Calculeu la velocitat amb què es mou el primer cos.

p 2 T i

v 2 u

y v 2 v 2

T m 1

—— u

t p 2 m 1

—— f 4 9,8 —— f

R R 0,1

f v dll 4 ll 9,8l ll0,1

1,98 m/s

c) Indiqueu quines són les acceleracions tangencial i normal

del primer cos.

a t 0

v 2 1,98 2

a n —— ——— 39,2 m/s 2

R 0,1

27. Un bloc de 2 kg de massa està lligat a l’extrem d’un fil de

20 cm i es troba damunt d’una taula horitzontal sense fregament;

l’altre extrem del fil està fixat a la taula. Calculeu

la tensió del fil si el fem girar a 5 rpm.

Com que no hi ha fregament, la tensió és igual a la força centrípeta:

2 p 1 min

T m a c m v 2 R 2 kg 1 5 ——— ——— 2

2? 0,2 m 0,11 N

1 rev 60 s

28. Es fa girar en un pla vertical una pedra de 3 kg que està

enganxada a un fil de 2 m de longitud. Cal culeu:

a) La tensió de la corda quan el cos passa per la part més

baixa de la trajectòria amb una velocitat de 20 m/s.

A la part més baixa tant la tensió com el pes tenen la direcció

de l’eix Y:

v 2

T 2 p m a c f T m g 1 m —— f

R

20 2

f T 3 1 9,8 1 —— 2 629,4 N

2

b) La mínima velocitat que pot tenir en el punt més alt, de

manera que el cos pugui seguir girant.

La velocitat mínima correspon a l’acceleració centrípeta

mínima, és a dir, a una tensió nul . la:

v 2 mín

p m a c mín f m g m ——— f

R

f v dll R gl dll 2 ? l9,8 ll 4,43 m/s

v 2

T p m —

r

v 2 4 2

T m

—— g 2 0,025

—— 9,8 2 f T 1,76 N

r 0,2

b) Quin és el valor mínim de la velocitat perquè la corda es

mantingui tibada en passar la pedra pel punt més alt de

la circumferència que descriu?

T 0

v 2

p m —— f v dll g rl dll 9,8 ll? l0,2 ll 1,4 m/s

r

30. En un parc d’atraccions hi ha un rotor de radi 5 m, dins del

qual se situen cinc persones que es recolzen a la paret interior.

Quan el cilindre gira al voltant del seu eix, les persones

que són a dintre queden encastades a la paret, que presenta

un coeficient de fregament d’1:

a) Quina és la velocitat angular mínima del cilindre perquè

pugui girar en un pla vertical sense que ningú se separi

de la paret?

N m 2 R i

yt

p

p F f f p N f N —

p

m g

— m 2 R f —— m 2 R f

m

m

g 9,8

f d lll — l — ll d lll — l — ll 1,4 rad/s

R 5

FÍSICA 1 3

71

b) En el supòsit anterior, quina força exerceix el cilindre

sobre les cinc persones que hi van a dins, si cada una

d’elles té una massa de 55 kg?

N m 2 R 5 55 1,4 2 5 2 695 N

31. [Curs 03-04] El muntatge d’una atracció de fira consisteix

en una anella horitzontal de 3 m de radi, de la qual pengen

cordes de 4 m de longitud i massa negligible. A l’extrem de

cada corda hi ha una cadireta de 2 kg de massa. L’anella

gira a velocitat angular constant, al voltant d’un eix vertical

que passa pel seu centre (fig. 3.75).

b) En les condicions anteriors, calculeu la tensió de la

corda.

mg

T 5 ——— f T 5 24,6 N

cos u

c) Si la tensió màxima que poden suportar les cordes sense

trencar-se és de 796 N i l’atracció gira a la velocitat

adequada perquè la corda continuï formant un angle de

37º amb la vertical, quin és el pes màxim que pot tenir

un usuari de l’atracció sense que es trenqui la corda? A

quina massa (en kg) correspon aquest pes màxim? Considereu

g 5 9,81 m/s 2

T9 cos u 2 (m 1 M) g 5 0 f M g 5 T9 cos u 2 mg f

f M g 5 616,4 N

M 5 62,8 kg

32. Un automòbil entra en un revolt de 120 m de radi a 90 km/h.

Calculeu el mínim peralt que ha de tenir la corba en els dos

casos següents:

a) No hi considerem el fregament.

a) Calculeu la velocitat angular de l’anella quan la corda

d’una cadireta buida forma un angle de 37º amb la vertical.

r 5 s 1 l sin u 5 5,4 m

T sin u 5 m v 2 r

T cos u 2 m g 5 0

i g tg u

y v 2 5 ———— f v 5 1,17 rad/s

t r

v 2 25 2

tg a 5 —— f tg a 5 ———— 5 0,53 f a 5 27,99°

R g 120 ? 9,8

b) El coeficient de fregament estàtic que presenta la corba

és de 0,45.

Ens basem en els resultats de la qüestió 16:

tg a 1 m

v 2 5 R g —————— f v 2 (1 2 m tg a) 5

1 2 m tg a

5 R g (tg a 1 m) f v 2 2 m v 2 tg a 5 R g tg a 1 R g m f

f tg a (R g 1 m v 2 ) 5 v 2 2 R g m f

v 2 2 R g m

f tg a 5 —————— f

R g 1 m v 2

v 2 2 R g m

f a 5 arctg —————— 5

R g 1 m v 2

25 2 2 120 ? 9,8 ? 0,45

5 arctg ———————————

120 ? 9,8 1 0,45 ? 25 2

a 5 3,76°

72 4


j Unitat 4. Conservació

de la quantitat de moviment

Activitats

1. Dos cossos tenen la mateixa quantitat de moviment, però

la velocitat de l’un és el triple de la de l’altre. Quina relació

tenen les seves masses?

Com que les quantitats de moviment són iguals i les seves velocitats,

una el triple de l’altra, podem establir que: p 5 m 1 v

(primer cos); p 5 m 2 (3 v) (segon cos). Dividim ambues expressions:

p m 1 v m

— 1

5 ———— f 1 5 ——— f m 1 5 3 m 2

p m 2 3 v 3 m 2

2. Calculeu el mòdul de la quantitat de moviment dels cossos

següents:

a) Un automòbil de 275 kg que es mou amb una velocitat

de 65 km/h.

m 5 275 kg

v 5 65 km/h 5 18,06 m/s

p 5 m v 5 275 ?18,06 5 4 965,28 kg?m/s

b) Una persona de 72 kg que camina amb una velocitat de

5,5 km/h.

m 5 72 kg

v 5 5,5 km/h 5 1,53 m/s

p 5 m v 5 72 ?1,53 5 110 kg?m/s

c) Un avió de reacció de 45 t que es mou amb una velocitat

de 950 km/h.

m 5 45 t 5 4,5 ? 10 4 kg

v 5 950 km/h 5 263,89 m/s

p 5 m v 5 4,5 ?10 4 ? 263,89 5 1,19 ?10 7 kg?m/s

3. Un cos de 3 kg de massa es mou en línia recta amb una

velocitat constant de 3 m/s. En un moment determinat, se

li aplica una força constant de 12 N durant un temps de

5 s. Determineu la quantitat de moviment i la velocitat

finals.

Calculem la variació de la quantitat de moviment a partir de la

força aplicada i de l’interval de temps durant el qual s’aplica

aquesta força constant. En mòdul:

Dp 5 F ? Dt 5 12 ? 5 5 60 N?s

El mòdul de la quantitat de moviment inicial del cos és:

p 0 5 3 ? 3 5 9 kg?m/s

Per tant, la quantitat de moviment i la velocitat finals valen:

p f 5 p 0 1 Dp 5 9 1 60 5 69 kg?m/s

p f 69

v f 5 —— 5 —— 5 23 m/s

m 3

Calculem l’impuls lineal i apliquem el teorema de l’impuls lineal:

m 5 3 kg i

u

v 0 5 3 m/s u

y

F 5 12 N u

u

Dt 5 5 s t

I 5 F Dt 5 12 ? 5 5 60 N?s

D p 5 I f p 2 p 0 5 I f p 5 I 1 p 0 5 I 1 m v 0 f

f p 5 60 1 3 ? 3 5 69 m/s

p 69

p 5 m v v 5 — 5 —— 5 23 m/s

m 3

4. Estimeu la força mitjana efectuada quan una es copeta d’aire

comprimit, que ha actuat durant un interval de temps de

0,1 s, expulsa un petit projectil de 12 g de massa amb una

velocitat de 15 m/s.

Calculem primer la variació del mòdul de la quantitat de moviment.

Sabem que la quantitat de moviment inicial és zero perquè

la bala parteix del repòs:

Dp 5 p f 2 p 0 5 0,012 ?15 2 0 5 0,18 kg?m/s

Amb aquest valor i el de l’interval de temps durant el qual

s’aplica la força de valor constant trobem el valor d’aquesta

força. En mòdul:

Dp 0,18

F 5 —— 5 —— 5 1,8 N

Dt 0,1

Apliquem el teorema de l’impuls lineal i aïllem F:

Dt 5 0,1 s

i

u

m 5 12 g 5 0,012 kg u

y

v 5 15 m/s

u

u

v 0 5 0

t

D p m v 2 m v 0

I 5 F Dt 5 D p f F 5 —— 5 —————— f

Dt Dt

0,012 ?15 2 0

f F 5 ———————— 5 1,8 N

0,1

5. El batedor d’un equip de beisbol veu venir la pilota, de

massa 145 g, a una velocitat de 28 m/s, i l’impulsa en sentit

contrari a una velocitat de 42 m/s. La força mitjana que

ha actuat ha estat de 140 N. Trieu les respostes correctes.

Dp 5 m (v f 2 v 0 ) 5 0,145 ? (42 2 (228)) 5 10,15 kg?m/s 5 I

Per tant, les respostes correctes són:

A) L’impuls que ha actuat sobre la pilota és de:

a) 6,09 N?s b) 10,15 N?s c) 2,03 N?s

La resposta correcta és la b) I 5 10,15 N?s

B) La variació de la quantitat de moviment experimentada

per la pilota és de:

a) 10,15 kg?m/s

FÍSICA 1 4

73

b) 2,03 kg?m/s

c) 6,09 kg?m/s

La resposta correcta és la a) Dp 5 10,15 kg?m/s

C) El temps que ha durat el cop ha estat de:

a) 43,5 ms b) 14,5 ms c) 72,5 ms

Dp 10,15

La resposta correcta és la c) Dt 5 —— 5 ——— 5 72,5 ms

F 140

6. El mecanisme d’un joc de tir al plat fa una força sobre els

plats donada per la funció F (t) 5 96 2 800 t, expressada

en N, que actua entre l’instant t 0 5 0 i l’instant en què f F

s’anul . la. Si la massa dels plats val 90 g, amb quina velocitat

surten disparats, si ini cialment estan en repòs?

(N)

En primer lloc, representem la funció F (t):

j t 0 5 0 f F (0) 5 96 2 800 ? 0 5 96 N

96

j F 5 0 f 0 5 96 2 800 t 1 f t 1 5 ——— 5 0,12 s

800

A continuació, calculem l’impuls a partir del gràfic F-t; si tenim

en compte que l’àrea tancada per aquest gràfic és la d’un triangle

de base 0,12 i altura 96, trobem que:

0,12 ? 96

I 5 àrea 5 ————— 5 5,76 N?s

2

Finalment, apliquem el teorema de l’impuls i aïllem v tenint en

compte que v 0 5 0, m 5 90 g 5 0,09 kg:

I 5 Dp f m v 2 m v 0 0 5 I

I 5,76

f v 5 — 5 ——— 5 64 m/s

m 0,09

7. Volem estimar la força mitjana que han d’efectuar els cinturons

de seguretat sobre els ocupants d’un automòbil

en un accident de circulació. Un automòbil, que portava

una velocitat de 72 km/h, ha xocat contra un mur molt resistent

i, de resultes de l’accident, en 0,25 s ha rebotat

amb una velocitat de 18 km/h. Calculeu la força mitjana

que efectua el cinturó de seguretat sobre un ocupant

de 70 kg de massa i l’acceleració que ha sofert aquesta

persona.

v 5 72 km/h 5 20 m/s

v 0 5 218 km/h 5 25 m/s

m 5 70 kg

Dt 5 0,25 s

Primer calcularem la variació de la quantitat de moviment:

Dp 5 m v 2 m v 0 5 m (v 2 v 0 ) 5 70 ?(20 2 (25)) 5

5 1750 kg?m/s

Dp 1 750

F 5 —— 5 ——— 5 7 000 N

Dt 0,25

El cinturó ha efectuat una força mitjana de 7 000 N.

Utilitzem la segona llei de Newton per calcular l’acceleració

efec tuada sobre l’ocupant:

F 7 000

F 5 m ? a a 5 —— 5 ——— 5 100 m/s 2

m 70

L’ocupant del vehicle pateix, doncs, una acceleració de 100 m/s 2 .

8. Tenint en compte el principi de conservació de la quantitat

de moviment, com s’explica el moviment d’un avió de

reacció?

El combustible d’un avió de reacció es crema en una cambra,

que només té un petit orifici perquè els gasos de combustió

puguin sortir cap a l’exterior; per tant, aquests gasos són

expulsats de l’avió a una gran velocitat, i, en contrapartida,

l’avió és impulsat en sentit contrari per tal que es verifiqui el

principi de conservació de la quantitat de moviment.

9. [Curs 01-02] Dos patinadors, A i B, amb la ma teixa massa,

m 5 40 kg, estan en repòs sobre una pista horitzontal sense

fregament apreciable. El patinador A llança a una velocitat

horitzontal v 5 2 m/s una bola de massa m 5 6 kg

que recull el patinador B. Calculeu la velocitat final de cada

patinador.

Donat que el fregament és negligible, podem aplicar el principi

de conservació de la quantitat de moviment en les diferents

si tuacions:

1) Al sistema format pel patinador A i la bola abans i després

del llançament d’aquesta:

m A v A 1 m bola v bola 5 m A v9 A 1 m bola v9 bola f

f 0 5 m A v9 A 1 m bola v9 bola f

2m bola v9 bola 6 ? 2

f v9 A 5 —————— 5 ——— 5 20,3 m/s

m A 40

Aquesta és la velocitat del patinador A després del llançament.

2) Al sistema format pel patinador B i la pilota abans i després

de recollir la bola, tenint present que el patinador B i la

bola adquireixen la mateixa velocitat final v9 B :

m B v B 1 m bola v bola 5 (m B 1 m bola ) v9 B f

f 0 1 m bola v bola 5 (m B 1 m bola ) v9 B f

m bola v bola 6 ? 2

f v9 B 5 —————— 5 ———— 5 0,26 m/s

m B 1 m bola 40 1 6

Aquesta és la velocitat del patinador B i de la bola després

del llançament.

74 4


10. Una granada en repòs explota i es divideix en dos fragments,

que surten disparats en la mateixa direcció. Si la

velocitat amb què surt el primer fragment és de 115 m/s,

calculeu la velocitat en mòdul del segon fragment, suposant

que la massa d’aquest és la tercera part de la massa

del primer. Després feu un diagrama que representi les situacions

inicial i final.

Representem la situació abans i després de l’explosió:

m 1

m 2 5 ——

3

Apliquem el principi de conservació de la quantitat de movim

1

ment tenint en compte que v 5 0 i m 2 5 ——, i aïllem v 2 9.

3

m 1

m v 0 5 m 1 v 1 9 1 m 2 v 2 9 f m 1 ? (2115) 1 —— v 2 9 5 0 f

3

f m 1 v 2 9 5 23 m 1 (2115) f v 2 9 5 345 m/s

11. [Curs 98-99] Suposeu el cas ideal d’una pilota de tennis

de 80 g de massa que xoca contra una paret vertical i tant

abans com després de xocar-hi va a 30 m/s i es mou en la

mateixa direcció horitzontal. S’ha conservat la quantitat

de moviment de la pilota durant el xoc? Quant val el mòdul

de l’impuls realitzat per la paret sobre la pilota?

La quantitat de moviment de la pilota no s’ha conservat perquè

la paret ha efectuat una força sobre la pilota. Tot i que el mòdul

de la quantitat de moviment de la pilota és el mateix abans i

després del xoc, com que hi ha un canvi en la direcció del moviment,

també hi ha un canvi en la quantitat de moviment.

El mòdul de l’impuls realitzat per la paret sobre la pilota és

igual al mòdul de la variació de la quantitat de moviment:

f I 5 D f p

I, com que es tracta d’un moviment unidimensional, podem

prescindir del caràcter vectorial. Per tant:

I 5 Dp 5 m v f 2 v 0 5 0,08 ? 230 2 30 5 4,8 N?s

12. Calculeu en mòdul la velocitat de retrocés d’un canó que té

una massa de 275 kg, sabent que dispara un projectil de

massa 1,4 kg que surt amb una velocitat de 78 m/s.

m 1 5 275 kg, v 1 9 5 ?

m 2 5 1,4 kg, v 2 9 5 78 m/s

i

y

t

Apliquem el principi de conservació de la quantitat de moviment

i aïllem v 1 9:

m v 5 m 1 v 1 9 1 m 2 v 2 9 f 275 v 1 9 1 1,4 ? 78 5 0 f

En mòdul: v 1 9 5 0,4 m/s

f v 1 9 5 20,4 m/s

13. [Curs 02-03] Un projectil de 20 g va a una velocitat horitzontal

de 300 m/s i s’encasta en un bloc d’1,5 kg que està

inicialment en repòs. Calculeu la velocitat del conjunt just

després de l‘impacte.

m 5 20 g 5 0,02 kg

M 5 1,5 kg

v 0 5 300 m/s

Si considerem el sistema format pel projectil i el bloc al qual

s’encasta veiem que no actuen forces exteriors, per tant podem

aplicar la conservació de la quantitat de moviment:

D f p 5 ctnt f m v 0 1 M ? 0 5 (m 1 M) ? v f

m ? v 0 0,02 ? 300

f v 5 ———— 5 —————— 5 3,95 m/s

m 1 M 0,02 1 1,5

Física quotidiana

1. Feu un dibuix esquemàtic d’un calamar, indicant les dues

forces d’acció-reacció i les quantitats de moviment.

F reacció

calamar

→

→

F acció 5 2F reacció

P calamar

P calamar 5 2P aigua

P aigua

calamar

→

→

F acció

aigua expulsada

aigua expulsada

2. Penseu i dissenyeu com seria un mitjà de transport basat

en aquest sistema. Creieu que és un bon mètode de propulsió?

Ja es coneixen alguns dispositius de transport basats en el

principi de conservació de la quantitat de moviment, com els

coets que s’utilitzen com a transports espacials. En aquest cas,

es fan servir dipòsits de combustibles formats de gasos liquats,

que en encendre’s experimenten una expansió molt sobtada cap

a l’exterior per la cua del coet. Per conservació de la quantitat

de moviment el coet experimenta un augment de la seva quantitat

de moviment en el sentit contrari, i això li permet avançar

en l’espai exterior, on no hi ha atmosfera que li pugui servir de

recolzament.

3. Si un calamar expulsa l’aigua continguda al seu interior

amb una velocitat v, a quina velocitat inicial es desplaçarà

endavant? Suposeu que la relació entre massa d’aigua expulsada

i massa inicial del calamar és del 15 %. No considereu

els efectes del fregament de l’aigua.

FÍSICA 1 4

75

Com que s’ha de conservar la quantitat de moviment total del

sistema, ja que suposem que la fricció no es té en compte, tenim

que:

P abans 5 P després

0 5 P f calamar 1 P f aigua

f

P calamar 5 2P f aigua ; en mòdul:

m calamar ? v calamar 5 m aigua ? v aigua

m aigua 0,15 m calamar

v calamar 5 ———— ? v aigua 5 —————— v aigua 5 0,15 v aigua

m calamar

m calamar

v calamar 5 0,15 ? v aigua

La velocitat del calamar és el 15 % de la velocitat d’expulsió de

l’aigua, en sentit contrari a aquesta.

4. Per què quan empenyem un cotxe que està aturat i avariat,

hem de fer força amb els braços per poder-lo empènyer,

però també amb els peus per no caure? Com ho relacioneu

amb el principi físic de la propulsió dels cefalòpodes? És el

mateix si ho fem sobre terra o sobre una superfície glaçada?

Raoneu la resposta.

Degut a la tercera llei de Newton, la força que fa l’home sobre

el cotxe és la mateixa que fa el cotxe sobre l’home. Igualment,

quan l’home fa força amb els peus sobre el terra, el terra fa una

força igual i en sentit contrari sobre l’home, tenint en compte

que la fricció entre la sola de la sabata de l’home i el terra és

suficient perquè aquest no rellisqui.

D’aquesta manera, sobre el cotxe actua la força que fan els

braços de l’home, que el fan avançar. Sobre l’home actua la

força de reacció del cotxe, que el faria retrocedir, i la força de

fricció amb el terra, que el fa avançar, sempre i quan la força

de fricció sigui igual o superior a la força que el cotxe fa sobre

l’home.

En el cas que el terra sigui de gel, la fricció entre la sola de

l’home i el terra serà tan petita que la força de fricció serà

insuficient per evitar que la força que fa el cotxe sobre l’home

sigui més gran que la de la fricció, i aleshores l’home relliscarà.

5. Penseu altres exemples basats en el mateix principi físic

d’acció-reacció.

Alguns fenòmens que s’expliquen segons aquest principi poden

ser el retrocés de les armes de foc, els focs artificials, el moviment

d’un globus inflat en desinflar-se, els xocs entre les boles

en el billar, etc.

Activitats finals

Qüestions

1. Raoneu si és certa l’afirmació següent: «El vector quantitat

de moviment és sempre tangent a la trajectòria d’un

cos en moviment.»

El vector quantitat de moviment sempre té la direcció del vector

velocitat, ja que és igual al producte escalar d’aquest vector

per la massa, que sempre és una quantitat positiva. Com que el

vector velocitat instantània és tangent en tot punt a la trajectòria

del mòbil, el vector quantitat de moviment també ho és.

Per tant, l’afirmació és certa.

2. Comenteu com són l’impuls mecànic i la variació de la quantitat

de moviment en els casos següents:

a) Una força que actua durant un interval de temps molt curt.

L’impuls tindrà un valor petit, ja que l’interval de temps és

molt curt.

b) Una força molt petita que actua durant un interval de

temps molt llarg.

L’impuls pot tenir un valor apreciable sempre i quan el valor de

l’interval de temps sigui prou gran per compensar el valor

de la força. Amb els valors típics d’intervals de temps, pe rò,

l’impuls associat a una força molt petita sol ser també petit.

c) Una força molt gran que actua durant un interval de

temps molt curt.

En aquest cas l’impuls pot tenir un valor apreciable, ja que

si bé una magnitud és molt petita, l’altra té un valor molt

gran, donant un valor d’ I f apreciable; lògicament, aquest valor

d’ I f dependrà dels valors de F f i de Dt.

3. Comproveu que les unitats en el SI de l’impuls i de la

quantitat de moviment són equivalents.

Les unitats en el SI de l’impuls són les del producte d’una força

per un temps, és a dir, el Newton per segon. Tenint en compte

que el Newton és igual al quilogram pel metre dividit pel segon

al quadrat, obtenim:

m m

N?s 5 kg — s 5 kg —

s 2 s

És a dir, tenim les mateixes unitats en el SI que la quantitat de

moviment, ja que aquest és el producte d’una massa per una

velocitat.

4. Quan disparem amb una escopeta, sentim una força que

ens impulsa cap enrera. Interpreteu aquest fenomen tenint

en compte el principi de conservació de la quantitat

de moviment.

Suposem que el projectil surt disparat en sentit positiu de l’eix

de les X; com que la quantitat de moviment inicial és nul . la

(tant el projectil com l’escopeta estan en repòs) i la quantitat

de moviment del projectil després del tret és positiva, la

quantitat de moviment de l’escopeta ha de ser igual a la del

projectil, però negativa: l’escopeta surt disparada cap enrera, i

l’hem d’agafar ben fort per aguantar-la.

76 4


5. Amb argila tova construïm una bola de la mateixa massa que

una altra bola de goma. Quan les deixem caure des de la mateixa

altura, i després d’impactar amb el terra, la bola d’argila

es queda enganxada al terra, mentre que la bola de goma

rebota i assoleix gairebé la mateixa altura. Per a cada una de

les boles, i si considerem els instants de temps just abans

i just després del xoc de les boles amb el terra, s’ha experimentat

la mateixa variació de la quantitat de moviment?

S’ha conservat la quantitat de moviment? Quin ha estat

l’impuls mecànic que el terra ha efectuat sobre cada una

de les boles?

Cada bola experimenta una variació de la quantitat de moviment

diferent, ja que tenen la mateixa massa i la seva velocitat

varia de forma diferent. Si p 0 és la quantitat de moviment

ini cial de cada una de les boles (treballem en una dimensió i

amb el sentit positiu d’Y habitual), la bola d’argila experimenta

Dp 5 p 0 i la de goma, Dp 5 2 p 0 . És a dir, la quantitat de moviment

no s’ha conservat i l’impuls del terra sobre la bola d’argila

val I 5 p 0 , i sobre la de goma, I 5 2 p 0 .

6. Un home està dret sobre una barca a prop del moll. En un

moment donat, salta a terra. Per què creieu que quan l’home

salta, la barca es mou en sentit contrari?

Aquesta qüestió es pot resoldre per dos procediments diferents:

1r. Quan l’home vol saltar a terra, cal que la barca l’empenti a

ell endavant; per tant, ell ha d’empentar la barca cap enrera,

d’acord amb el principi d’acció-reacció. Com que la barca es pot

moure dins l’aigua, en ser empentada per l’home es mou en

sentit contrari a ell.

2n. Considerem el sistema format per l’home i la barca. Inicialment

la seva quantitat de moviment total és nul . la. En un

moment donat l’home salta i, per tant, té una certa quantitat

de moviment en una direcció. En aquest instant, la força neta

externa sobre el sistema és nul . la (aquesta suposició és prou

bona considerant negligible el fregament entre l’aigua i la barca).

Per tant, s’ha de conservar la quantitat de moviment del

sistema i, en conseqüència, la barca adquireix un valor de quantitat

de moviment oposat al de l’home. És a dir, la seva velocitat

és oposada a la de l’home i per això es mou en sentit contrari.

7. Demostreu el principi de conservació de la quantitat de

moviment en el cas d’un sistema format per tres partícules.

Suposem que les partícules interaccionen entre elles a partir

de forces que tendeixen a separar-les; les partícules s’efectuen

forces dos en dos, d’acord amb el principi d’acció-reacció. Per

tant, totes les forces que tenim són les següents:

j Forces sobre la partícula 1 (degudes a les partícules 2 i 3):

f

F 12 , f F 13 .


f

F 21 , f F 23 .


f

F 31 , f F 32 .

Si tenim en compte la tercera llei de Newton:

f

F 12 5 2 f F 21 ; f F 13 5 2 f F 31 ; f F 23 5 2 f F 32

Per tant, la força total del sistema és nul . la:

S f F 5 f F 12 1 f F 21 1 f F 13 1 f F 31 1 f F 23 1 f F 32 5

5 f F 12 2 f F 12 1 f F 13 2 f F 13 1 f F 23 2 f F 23 5 0

Reagrupant els termes de l’expressió anterior per a cada partícula,

i suposant que aquestes forces són constants i que actuen

durant un interval de temps Dt:

S f F 5 ( f F 12 1 f F 13 ) 1 ( f F 21 1 f F 23 ) 1 ( f F 31 1 f F 32 ) 5

D f p 1 D f p 2 D f p 3

5 ——— 1 ——— 1 ——— 5 0 f

Dt Dt Dt

f D f p 1 1 D f p 2 1 D f p 3 5 0 f D ( f p 1 1 f p 2 1 f p 3 ) 5

5 0 f f p 1 1 f p 2 1 f p 3 5 constant

8. Dues boles, una d’elles amb una massa cinc vegades més

gran que l’altra, van a la mateixa velocitat en mòdul i experimenten

un xoc frontal, a conseqüència del qual queden

unides. El mòdul de la velocitat final és, respecte del

de la velocitat inicial:

a) La meitat.

b) Dues terceres parts.

c) La quarta part.

d) Continua sent el mateix.

Per conservació de la quantitat de moviment, i tenint en compte

que m 1 5 5 m 2 , obtenim com a resultat:

m 1 ? v 1 m 2 ? (2v) 5 (m 1 1 m 2 ) ? v9 f

2

f 4 m 2 v 5 6 m 2 v 2 f v9 5 — v

3


9. Un cos es mou amb una velocitat determinada i interacciona

amb un segon cos que està inicialment en repòs. Quina

és la relació entre les masses d’ambdós cossos si, de resultes

de la interacció, la velocitat final del primer es redueix

a la meitat, i la velocitat final del segon és el doble de la

que portava inicialment el primer?

FÍSICA 1 4

77

Considerant que en tot moment els cossos es mouen en el sentit

positiu de l’eix X, i tenint en compte com són les velocitats

entre si, tenim que:

m 1 v 1 1 m 2 v 2 5 m 1 v 1 9 1 m 2 v 2 9 f

v

f m 1 v 1 m 2 ? 0 5 m 1 1

— 2 1 m 2 (2 v ) f

2

m 1

f m 1 5 —— 1 2 m 2 f

2

2 m 1 5 m 1 1 4 m 2 f 2 m 1 2 m 1 5 4 m 2 f m 1 5 4 m 2

Problemes

1. Un automòbil es mou amb una velocitat de 110 km/h. El

conductor acciona els frens durant 1,2 s i la velocitat disminueix

fins a 80 km/h. Si la massa total és de 435 kg,

calculeu:

Apliquem el teorema de l’impuls lineal i aïllem F:

D p m v 2 m v 0

I 5 F Dt 5 D p f F 5 —— 5 —————— 5

D t D t

0,021 ? 20,83 2 0,021 ? (220,83)

5 ————————————————— 5 10,94 N

0,08

3. En el moment en què un tennista està a punt d’impulsar

la pilota, de massa 25 g, aquesta porta una velocitat de

84 km/h. Sabent que la força mitjana que aplica el jugador

sobre la pilota és de 26 N, i que aquesta actua durant un

interval de temps de 0,05 s, calculeu la velocitat final de la

pilota, suposant que aquesta surt en la mateixa direcció,

però en sentit contrari, a la velocitat inicial.

v 0 5 110 km/h 5 30,56 m/s i

uuyuut

v 5 80 km/h 5 22,22 m/s

D t 5 1,2 s

m 5 435 kg

a) La variació de la quantitat de moviment.

p 0 5 m v 0 5 435 ? 30,56 5 1,33 ?10 4 N?s

p 5 m v 5 435 ? 22,22 5 9,67 ?10 3 N?s

D p 5 p 2 p 0 5 9,67 ?10 3 2 1,33 ?10 4

D p 5 23 630 N?s

b) La força mitjana amb què es frena l’automòbil, aplicant

el teorema de l’impuls mecànic.

D p 23 630

I 5 F D t 5 D p f F 5 —— 5 ———— 5 23 025 N

D t 1,2

2. Una pilota de tennis de massa 21 g que es mou horitzontalment

amb una velocitat de 75 km/h xoca contra una paret

vertical i surt disparada en sentit contrari. Calculeu, en mòdul,

la força mitjana efectuada per la paret sobre la pilota,

suposant que ha actuat durant un temps de 0,08 s i que la

pi lota surt disparada amb la mateixa velocitat.

Abans del xoc

Després del xoc

Representem la situació, suposant que la velocitat inicial és

negativa:

m 5 25 g 5 0,025 kg

v 0 5 84 km/h 5 23,33 m/s

F 5 26 N

Dt 5 0,05 s

i

u

u

y

u

u

t

Apliquem el teorema de l’impuls lineal i aïllem v:

I 5 F D t 5 D p f m v 2 m v 0 5 F Dt f

F Dt 1 m v 0

f v 5 ——————— f

m

26 ? 0,05 1 0,025 ? (223,33)

f v 5 ——————————————— 5

0,025

5 28,67 m/s 5 103,2 km/h

Abans del xoc

Representem la situació:

m 5 21 g 5 0,021 kg

v 0 5 75 km/h 5 20,83 m/s

|v| 5 |v 0| 5 20,83 m/s

Dt 5 0,08 s

Després del xoc

4. Una pilota de golf de massa 30 g que està inicialment en

repòs és impulsada per un jugador i agafa una velocitat de

104 km/h. Aplicant el teorema de l’impuls mecànic, estimeu

quina ha estat la força mitjana efectuada sobre la pilota,

suposant que aquesta ha actuat durant un interval de

temps de 0,07 s.

m 5 30 g 5 0,03 kg

v 5 104 km/h 5 28,89 m/s

Dt 5 0,07 s

v 0 5 0

i

u

u

y

u

u

t

78 4


D p m v 2 m v 0 0

I 5 F Dt 5 D p f F 5 —— 5 ——————— 5

Dt Dt

0,03 ? 28,89

5 ——————— 5 12,4 N

0,07

5. Un automòbil que està sortint d’una població per una carretera

recta va a una velocitat constant de 50 km/h. Quan ja

n’ha sortit, el conductor, de 64 kg de massa, veu un senyal

que li permet augmentar la velocitat fins a 80 km/h, i accelera

durant mig minut fins a assolir aquesta velocitat.

Determineu, aplicant el teorema de l’impuls:

a) La variació de la quantitat de moviment que ha experimentat

el conductor.

v i 5 50 km/h 5 13,89 m/s

v f 5 80 km/h 5 22,22 m/s

D f p 5 m ( f v f 2 f v i ) 5 64 ? (22,22 2 13,89) 5 533 kg?m/s

7. Sobre una pilota de tennis, de 35 g de massa, actua la força

donada per l’expressió F (t) 5 22 2 2 ? 10 2 t, on F només

adopta valors positius i t 0 5 0. A partir d’aquestes dades

calculeu:

m 5 35 g 5 0,035 kg; F (t) 5 22 2 2 ? 10 2 t

a) El temps durant el qual ha actuat la força, i dibuixeu el

gràfic de F en funció de t.

Com que F només adopta valors positius, tenim que:

22 2 2 ? 10 2 t . 0 f 2 ? 10 2 t , 22 f

22

f t , ———— 5 0,11 s

2 ? 10 2

Per tant, F ha actuat entre t 0 5 0 i t 1 5 0,11 s.

El gràfic F-t és (F (0) 5 22 2 2 ? 10 2 ? 0 5 22 N):

N

b) La força mitjana sobre el conductor en la direcció del

seu moviment durant aquest interval de temps.

Dt 5 0,5 min 5 30 s

f Dp f 533

F 5 —— 5 ——— 5 17,8 N

Dt 30

6. Un cos de 850 g és impulsat amb una força donada pel gràfic

següent (fig. 4.11):

Calculeu l’impuls mecànic, la quantitat de moviment final i

la velocitat final del cos, suposant que inicialment la seva

velocitat és de 2,3 m/s.

Calculem l’impuls a partir de l’àrea del triangle definit pel gràfic

F-t, tenint en compte que correspon a l’àrea d’un triangle

de base 0,4 i altura 2,4:

0,4 ? 2,4

I 5 àrea 5 ————— 5 0,48 N?s

2

b) La velocitat final de la pilota, suposant que inicialment

està en repòs.

Calculem en primer lloc l’impuls a partir de l’àrea del triangle

definit pel gràfic F-t (base 0,11 s i altura 22 N):

0,11? 22

I 5 ————— 5 1,21 N?s

2

Finalment, apliquem el teorema de l’impuls i aïllem v (v 0 5 0):

I

I 5 D p f m v 2 m v 0 5 I f v 5 — f

m

1,21

f v 5 ———— 5 34,57 m/s 5 124,5 km/h

0,035

8. En un experiment de laboratori, s’ha determinat el gràfic de

la força efectuada per un bloc de fusta fix sobre un corró

de 37 g de massa que xoca amb ell i que porta una velocitat

inicial de 8,3 m/s, utilitzant un sensor de força i analitzant

les mesures obtingudes amb un programa informàtic. Per

fer-ne el tractament, el gràfic obtingut (fig. 4.12) s’ha superposat

sobre una quadrícula, en la qual, en cada quadret,

el costat horitzontal representa 0,005 s i el costat vertical,

1 N.

Per calcular la quantitat de moviment final, apliquem el teorema

de l’impuls, amb v 0 5 2,3 m/s i m 5 850 g 5 0,85 kg.

I 5 D p f p 2 p 0 5 I f

f p 5 I 1 p 0 5 0,48 1 0,85 ? 2,3 5 2,4 N?s

Per últim, calculem la velocitat final:

p 2,4

p 5 m v f v 5 — 5 ——— 5 2,9 m/s

m 0,85

FÍSICA 1 4

79

Determineu la velocitat final del corró. (Indicació: trobeu

l’impuls calculant, en el gràfic F-t, les àrees per defecte i

per excés).

m 5 37 g 5 0,037 kg

v i 5 28,3 m/s

v f 5 ?

Primer calcularem l’impuls efectuat pel bloc de fusta sobre el

corró calculant l’àrea del gràfic F-t. Com que no és una àrea

regular mesurarem l’àrea per excés i per defecte amb l’ajuda de

la quadrícula i tenint en compte que cada requadre equival a

0,005 N?s:

Representem la funció F (t) tenint en compte que la força actua

entre t 0 5 0 i t 5 1 s.

j t 0 5 0 f F (0) 5 5 2 4 t 5 5 2 4 ? 0 5 5 N

j t 5 1 s f F (1) 5 5 2 4 ?1 5 5 2 4 5 1 N

Calculem l’impuls a partir del gràfic F-t. En aquest cas, l’àrea

tancada per aquest gràfic es compon d’un triangle de base 1 i

altura 5 2 1 5 4, i d’un rectangle de base 1 i altura 1:

1 ? 4

I 5 àrea 5 ——— 1 1 ?1 5 2 1 1 5 3 N?s

2

Apliquem el teorema de l’impuls i aïllem v tenint en compte que

m 5 1,8 kg i v 0 5 3,5 m/s:

I 5 Dp f m v 2 m v 0 5 I f

I 1 m v 0 I

f v 5 ————— 5 — 1 v 0 5

m m

3

5 —— 1 3,5 5 5,2 m/s

1,8

10. [Curs 99-00] Un cos es mou amb una velocitat de 5 m/s.

Si de cop es trenca en dues parts iguals de manera que una

d’elles es mou amb una velocitat de 2 m/s en la mateixa

direcció i sentit que el cos original, quina serà la velocitat

(en mòdul, direcció i sentit) de l’altra part?

Apliquem la conservació del moviment lineal:

m m

m ? 5 5 —? 2 1 — v9 f v9 5 8 m/s

2 2

L’altra part es mou a 8 m/s en la mateixa direcció i sentit que el

cos original i que la part que es mou a 2 m/s.

A d 5 92 requadrets i A d 1 A e 92 1 125

y f A 5 ———— 5 ————— 5

A e 5 125 requadrets t 2 2

5 108,5 requadrets f I 5 108,5 ? 0,005 5 0,543 N?s

I 5 Dp 5 m ? (v f 2 v i ) f

I 0,543

f v f 5 — 1 v i 5 ———— 1 (28,3) 5 6,36 m/s

m 0,037

9. La força que actua sobre un cos de massa 1,8 kg ve donada

per la funció F (t) 5 5 2 4 t, expressada en N. Calcula la

velocitat final del cos, suposant que la força actua entre els

instants t 0 5 0 i t 5 1 s i que el cos es mou inicialment a

una velocitat de 3,5 m/s.

F (N)

11. Una vagoneta es mou sobre un carril horitzontal amb una

velocitat de 24 km/h i porta una persona de 71 kg de massa.

En un moment determinat, la persona salta de la vagoneta

amb una velocitat de 2,3 m/s respecte del terra,

en sentit contrari al del moviment de la vagoneta. Feu

un esquema que representi les situacions inicial i final, i

calculeu la velocitat final de la vagoneta, sabent que aquesta

té una massa de 198 kg i sense tenir en compte el fregament.

m 1 5 198 kg, v 1 5 24 km/h 5 6,67 m/s, v 1 9 5 ?

m 2 5 71 kg, v 2 5 24 km/h 5 6,67 m/s, v 2 9 5 22,3 m/s


i aïllem v 1 ’:

m 1 v 1 1 m 2 v 2 5 m 1 v 1 9 1 m 2 v 2 9 f

f 198 ? 6,67 1 71 ? 6,67 5 198 v 1 9 1 71 (22,3) f

f v 1 9 5 9,89 m/s 5 35,6 km/h

80 4


12. Un estudiant de física vol comprovar experimentalment el

principi de conservació del moment lineal en un billar, i

utilitza un sensor de moviment per tal de determinar les

velocitats d’una bola abans i després de xocar amb una de

les bandes, i els temps d’impacte. Llança una bola de 120 g

de massa en direcció perpendicular a una de les bandes,

que rebota en la mateixa direcció. Les velocitats de la bola

mesurades just abans del xoc amb la banda i just després

són, en mòdul, de 3,2 m/s i de 2,8 m/s, respectivament,

amb un temps d’impacte amb la banda de 0,15 s.

a) S’ha conservat la quantitat de moviment de la bola?

Dp 5 m (v f 2 v 0 ) 5 0,120 ? (23,2 2 2,8) 5

5 20,72 kg?m/s

b) Quin impuls ha efectuat la banda sobre la bola?

I 5 Dp 5 20,72 N?s

c) Quina força mitjana ha efectuat la banda sobre la bola?

I la bola sobre la banda?

Dp 0,72

F 5 ——— 5 ——— 5 4,8 N. Són forces d’acció-reacció.

Dt 0,15

13. L’estudiant del problema 12 realitza un segon experiment.

Llança la bola anterior contra un altra bola de 100 g inicialment

en repòs, i mesura una velocitat per a la primera bola

tot just abans del xoc de 3,8 m/s. Les velocitats de les boles

just després del xoc són, respectivament, d’1,8 m/s i

de 2,4 m/s, totes dues en el mateix sentit que la velocitat

inicial de la primera bola, i el temps d’impacte ha estat de

0,07 s.

Dades:

m 1 5 0,120 kg; m 2 5 0,100 kg

v 1 5 3,8 m/s; v 2 5 0

v9 1 5 1,8 m/s; v9 2 5 2,4 m/s

a) S’ha conservat la quantitat de moviment de la primera

bola?

Dp 1 5 m 1 (v9 1 2 v 1 ) 5 0,120 ? (1,8 2 3,8) 5 20,24 kg?m/s.

No s’ha conservat.

b) Quin impuls ha efectuat la primera bola sobre la segona?

La variació de la quantitat de moviment de la primera bola

és deguda a l’impuls que ha exercit la segona bola. Pel principi

d’acció-reacció, l’impuls de la primera bola sobre la segona

és igual a I 1f2 5 2I 2f1 5 0,24 N?s.

c) Quina força mitjana ha efectuat la primera bola sobre la

segona? I la segona sobre la primera?

Són forces d’acció-reacció. Per tant, són oposades, de mò-

I 0,24

dul igual i de valor F 5 —— 5 ——— 5 3,43 N.

Dt 0,07

14. Un dia en què ha nevat força s’ha dipositat una gran quantitat

de neu sobre el sostre d’una estació; en el moment en

què una màquina de tren de 9,1 t passa per l’estació, li cauen

a sobre 396 kg de neu. Calculeu la velocitat que portava la

màquina, sabent que la seva velocitat final és de 23 km/h i

que la neu ha caigut suaument.

m 1 5 9,1 t 5 9,1 ? 10 3 kg; v 1 5 ?

m 2 5 396 kg; v 2 . 0 (ja que ha caigut suaument)

m T 5 m 1 1 m 2 5 9,1 ? 10 3 1 396 5 9,496 ? 10 3 kg;

v9 5 23 km/h 5 6,39 m/s


i aïllem v 1 :

m 1 v 1 1 m 2 v 2 5 m T v9 f

f 9,1 ? 10 3 ? v 1 5 9,496 ? 10 3 ? 6,39 f

f v 1 5 6,67 m/s 5 24 km/h

15. Els astronautes d’un transbordador espacial de 47,5 t es

volen allunyar d’una estació espacial i tornar a la Terra. En

un moment donat, engeguen els motors i els gasos de combustió

són expulsats a una velocitat de 720 m/s respecte de

l’estació. Calculeu l’augment de velocitat que experimenta

el transbordador, sabent que inicialment està en repòs respecte

de l’estació i que la massa dels gasos expulsats és

de 950 kg.

m 5 47,5 t 5 4,75 ? 10 4 kg; v 5 0

m 1 5 950 kg; v 1 9 5 720 m/s

m 2 5 4,75 ? 10 4 2 950 5 4,655 ? 10 4 kg; v 2 9 5 ?


i aïllem v 2 9:

m v 5 m 1 v 1 9 1 m 2 v 2 9 f

f 950 ? 720 1 4,655 ? 10 4 v 2 9 5 0 f

950 ? 720

f v 2 9 5 2 —————— 5 214,7 m/s f

4,655 ?10 4

Dv 5 14,7 2 0 5 14,7 m/s

FÍSICA 1 5

81

j Unitat 5. Treball i energia

Activitats

1. Justifiqueu en quines de les situacions següents es realitza

treball i en quines no:

a) Empenyem un moble molt pesat sense aconseguir moure’l.

b) Aguantem una bossa plena de menjar a la cua del supermercat

sense que la cua avanci.

c) Un jugador de bàsquet llança la pilota a la cistella.

d) Donem corda a una joguina mecànica.

e) Aguantem una maleta mentre ens desplacem horitzontalment.

f ) Aguantem una maleta mentre pugem per unes escales.

En a) i b) no es realitza treball perquè no hi ha desplaçament.

En c), d) i f) es fa treball perquè s’aplica una força sobre un cos

que es desplaça en una direcció no perpendicular a la força, tot

i que en c) s’aplica durant un instant de temps molt petit (mentre

la pilota es desplaça sobre les mans). En e) no es fa treball

perquè la força aplicada és perpendicular al desplaçament.

2. Un objecte es desplaça 10 m quan hi actua una força de

20 N. Calculeu el treball realitzat sobre l’objecte quan la

força:

a) Té el mateix sentit que el desplaçament de l’objecte.

W 5 F f D r f f W 5 20 ? 10 5 200 J

b) Té sentit contrari al desplaçament de l’objecte.

W 5 20 ? 10 ? cos 180° 5 2200 J

c) És perpendicular al desplaçament de l’objecte.

W 5 20 ? 10 ? cos 90° 5 0

3. Volem moure un armari de massa 100 kg. Si la força de

fregament amb el terra és de 250 N:

a) Quina és la força mínima que cal fer per moure’l?

F 2 F f 5 m a f F 5 F f 5 250 N

b) Amb quina acceleració es mourà si apliquem una força

horitzontal constant de 300 N?

F 2 F f 5 m a f 300 2 250 5 100 a f

50

a 5 —— 5 0,5 m/s 2

100

c) Quin és el treball resultant durant els 10 s inicials en el

cas b)?

W 5 (F 2 F f ) Dx

1 1

Dx 5 — a Dt 2 f Dx 5 — ? 0,5 ?10 2 5 25 m

2 2

W 5 (300 2 250) ? 25 5 1 250 J

4. Volem moure un trineu per una pista de gel horitzontal

amb velocitat constant, i apliquem una força de 40 N que

forma un angle de 35º amb l’horitzontal.

Primer dibuixem un esquema de les forces que actuen sobre el

trineu:

a) Quin és el treball efectuat per la força aplicada quan el

trineu es desplaça 10 m?

Calculem el treball:

W 5 F (cos a) d 5 40 ? cos 35° ? 10 5 328 J

b) Quina és la força de fregament efectuada per la pista

sobre el trineu?

Com que el trineu no té acceleració en la direcció X, ja que

es mou a velocitat constant, la força de fregament és oposada

al component horitzontal de la força F i els treballs

respectius també seran oposats. Per tant, la força de fregament

la podem trobar a partir del resultat de l’apartat

anterior:

W fregament 2W F 328

F f 5 —————— 5 ——— 5 2——— 5 232,8 N

d d 10

El signe negatiu indica que la força de fregament té el sentit

negatiu de l’eix X.

c) Quant val el coeficient de fregament si la massa del trineu

val 30 kg?

Com que el trineu està en moviment, actua el fregament

dinàmic:

a

F f

F f 5 m d N f m d 5 ——

N

Així, podem determinar el coeficient de fregament dinàmic

a partir de la força de fregament i de la força normal. Per

trobar el valor d’aquesta última imposem la condició d’equilibri

de forces en la direcció Y, donat que en aquesta direcció

el cos no té acceleració. En mòdul:

F sin a 1 N 5 m g f N 5 m g 2 F sin a

Per tant:

F f 32,8

m d 5 ———————— 5 ——————————— 5 0,12

m g 2 F sin a 30 ? 9,8 2 40 sin 35°

d) Quin treball net s’ha efectuat sobre el trineu?

Sobre el trineu s’ha efectuat un treball total nul, ja que la

força neta és nul . la.

5. Un bloc de fusta de 7,5 kg de massa baixa per un pla inclinat

(a 5 37º) des d’una altura de 4 m. Si el pla inclinat té

un coeficient de fregament de 0,18, determineu el treball

82 5


realitzat pel pes del cos, pels components tangencial i

normal del pes i per la força de fregament.

El treball realitzat pel pes és: m ? g ? h 5 7,5 ? 9,8 ? 4 5 294 J

El treball realitzat pel component normal del pes no fa treball

perquè és perpendicular al desplaçament.

Per tant, el treball realitzat pel component tangencial del pes

és igual al treball realitzat pel pes que ja hem calculat abans.

Si es vol, es pot comprovar:

h

W tangencial 5 m ? g ? sin a ? d 5 m ? g ? sin a ?——— 5 m ? g ? h

sin a

El treball realitzat per la força de fregament val:

W 5 2m N d 5 2m ? m ? g ? cos a ? d 5

h

5 2m ? m ? g ? cos a ?——— 5 270,23 J

sin a

6. Una grua ha de pujar un automòbil avariat de 1250 kg de

massa fins a la seva plataforma, a 1,75 m d’altura respecte

del terra, mitjançant uns rails que formen un cert angle

amb l’horitzontal i que presenten un coeficient de fregament

dinàmic o cinètic de 0,35. Quina força mínima ha de

fer el motor ele vador de la grua i quin treball efectua si

l’angle és de 20º? I si l’angle és de 30º? A quina conclusió

arribem? Per què creieu que són útils els plans inclinats?

Primer dibuixem un esquema de les forces que actuen sobre el

cotxe:

5

La força mínima que ha de fer la grua és igual a la suma del

component tangencial del pes i de la força de fregament dinàmic,

amb acceleració zero:

F mín grua 5 F màx f 1 p x 5 m N 1 m g sin a

Per altra banda, la força normal és igual al component perpendicular

del pes:

N 5 p y 5 m g cos a

Per tant, la força mínima que ha de fer la grua és aquesta:

Si a 5 20° obtenim:

F mín grua 5 m g (m cos a 1 sin a)

f mín grua 5 1 250 ? 9,8 (0,35 cos 20° 1 sin 20°) 5 8,22 ? 10 3 N

I el treball associat val:

h 1,75

W 5 f mín grua d 5 f mín grua

——— 5 8,22 ? 10 3 ———— 5

sin a sin 20°

5 4,21 ? 10 4 J

Si a 5 30° obtenim:

f mín grua 5 1 250 ? 9,8 (0,35 cos 30° 1 sin 30°) 5 9,84 ? 10 3 N

I el treball associat val:

h 1,75

W 5 f mín grua d 5 f mín grua

——— 5 8,22 ? 10 3 ———— 5

sin a sin 30°

5 3,44 ? 10 4 J

7. Un cos de massa m està unit a una molla que compleix la

llei de Hooke, segons la funció F 5 8 x, en unitats del SI.

Calculeu el treball necessari per deformar- la 10 cm.

F (x) 5 8 x x (m) F (N)

0

0,1

F (N)

0

0,8

1

W 5 — ? 0,8 ? 0,1 5 0,04 J

2

8. Estirem una molla fins a una longitud determinada x9 des

de la seva posició d’equilibri. Com serà el treball W9 que

haurem de realitzar, respecte del que hauríem de realitzar

(W) per estirar la molla una longitud x quatre vegades més

gran que x9?

1

W 5 — k (Dx) 2

2

1

Si Dx9 5 4 Dx, aleshores W9 5 — k (4 Dx) 2 5 16 W. És a dir,

2

el treball que hem de realitzar és 16 vegades més gran.

9. Una partícula de 9 g de massa inicialment en repòs a l’origen

de coordenades es posa en moviment en l’eix X quan hi

actua una força neta F x que ve donada pel gràfic següent

(fig. 5.17).

Determineu el treball realitzat sobre la partícula quan es

desplaça entre les posicions x 5 0, x 5 20 cm, i entre

x 5 20 cm, x 5 50 cm.

FÍSICA 1 5

83

La gràfica defineix dues àrees diferents:

j l’àrea triangular de 10 cm de base i 20 N d’altura:

20 ? 0,1

A 1 5 ———— 5 1

2

j l’àrea rectangular de 10 cm de base i 20 N d’altura:

A 2 5 20 ? 0,1 5 2

Calculem, per tant, el treball W 1 realitzat sobre la partícula

quan es desplaça entre les posicions x 5 0 i x 5 20 cm com la

suma de les àrees:

W 1 5 A 1 1 A 2 5 3 J

I el treball entre x 5 20 cm i x 5 50 cm com:

W 1 5 A 1 2 A 2 2 A 1 5 22 J

10. Calculeu el treball en quilowatts hora i la potència en quilowatts

desenvolupats per un carretó elevador en aixecar

500 kg de totxos i col . locar-los a una altura de 20 m en un

temps de 30 s. Com varia el resultat si els col . loca de cop o

si els va col . locant, en el mateix temps total, en grups de

250 kg?

W 5 F D x f W 5 m g h 5 500 ? 9,8 ? 20 5 98 000 J

1 kWh

98 000 J ? —————— 5 0,027 kWh

3,6 ? 10 6 J

La potència desenvolupada ve donada per:

W 9,8 ? 10 4 J

P 5 —— 5 —————— 5 3,3 kW

Dt 30 s

Si en comptes d’aixecar-los de cop ho fem en grups de 250 kg,

es realitza dues vegades un treball de valor la meitat que l’anterior,

perquè la massa cada vegada és la meitat. El treball total

no varia i, per tant, tampoc ho fa la potència desenvolupada si

el treball total es realitza en el mateix interval de temps.

11. Un motor elèctric desenvolupa una potència mitjana de

2,5 CV. Si desenvolupa una potència d’1,2 kW, quin és el

rendiment d’aquest motor?

P 5 1,2 kW i

uyut

P d 5 2,5 CV

1 200 W

h 5 —————————— 5 0,65

735 W

2,5 CV ? ————

1 CV

12. Una màquina de 8 CV funciona durant una hora i mitja. Quin

treball ha desenvolupat? Doneu el resultat en joules i en

quilowatts hora.

W 5 P t

735 W 60 s

W 5 8 CV ? ———— ? 90 min ? ———— 5 3,17 ? 10 7 J

1 CV 1 min

1 kWh

3,17 ? 10 7 J ? —————— 5 8,82 kWh

3,6 ? 10 6 J

13. Un ascensor de 1 600 kg puja des de la planta baixa d’un

edifici fins al tercer pis, a 9 m d’altura. Arrenca des del

repòs de manera que, durant els primers 1,1 s, es mou

amb moviment uniformement accelerat i assoleix l’altura

d’1,15 m. Continua amb velocitat constant i, en arribar a

l’altura de 7,85 m, frena durant 1,1 s fins a aturar-se al

tercer pis. Determineu els treballs i les potències desenvolupats

pel motor de l’ascensor en els tres trams del seu

recorregut.

Primer tram:

v 0 5 0

Dx 5 1,15 m

Dt 5 1,1 s

1

Dx 5 v 0 ? Dt 1 — a ? Dt 2 f

2

2 Dx 2 ? 1,15

f a 5 ——— 5 ———— 5 1,9 m/s 2

Dt 2 (1,1) 2

Segona llei de Newton

v 5 v 0 1 a ? Dt 5 1,9 ? 1,1 5 2,09 m/s

F 1 2 p 5 m ? a f F 5 m ?(a 1 g) 5 1600 ?(1,9 1 9,8) 5

5 1,87 ? 10 4 N

W 1 5 F 1 ? Dx 5 1,87 ? 10 4 ? 1,15 5 2,15 ? 10 4 J

W 1 2,15 ? 10 4

P 1 5 —— 5 ————— 5 1,96 ? 10 4 W

Dt 1,1

Segon tram:

Dx 5 7,85 2 1,15 5 6,70 m

v 5 2,09 m/s

Dx 6,70

Dt 5 —— 5 ——— 5 3,2 s

v 2,09

v 5 ct

a 5 0

F 2 5 m ? g 5 1 600 ? 9,8 5 1,57 ? 10 4 N

W 2 5 F 2 ? Dx 5 1,57 ? 10 4 ? 6,70 5 1,05 ? 10 5 J

W 2 1,05 ? 10 5

P 2 5 —— 5 ————— 5 3,28 ? 10 4 W

Dt 3,2

Tercer tram:

Dx 5 9 2 7,85 5 1,15 m

Dt 5 1,1 s

v 0 5 2,09 m/s

v 5 0

0 2 v 0 22,09

v 5 v 0 1 a ? Dt f a 5 ———— 5 ——— 5 21,9 m/s 2

Dt 1,1

Segona llei de Newton

F 3 2 p 5 m ? a f F 3 5 1 600 ? (21,9 1 9,8) 5 1,26 ? 10 4 N

W 3 5 F 3 ? Dx 5 1,26 ? 10 4 ? 1,15 5 1,45 ? 10 4 J

W 3 1,45 ? 10 4

P 3 5 —— 5 ————— 5 1,32 ? 10 4 W

Dt 1,1

84 5


14. Una bomba eleva 10 m 3 d’aigua a una altura de 30 m en un

temps de 7 minuts i mig. Calculeu la potència de la bomba

i el seu rendiment si ha consumit una potència total de

10 kW.

10 3 kg

m 5 10 m 3 ?——— 5 10 4 kg

1 m 3

Dt 5 7,5 min 5 450 s

Dx 5 30 m

P c 5 10 kW

W F ? Dx m ? g ? Dx 10 4 ? 9,8 ? 30

P u 5 —— 5 ——— 5 ———— 5 —————— 5

Dt Dt Dt 450

5 6533 W ù 6,53 kW

P u 6,5 kW

h 5 —— 5 ———— 5 0,65 65 %

P c 10 kW

15. En uns grans magatzems, una cinta transportadora de 35 m

de llarg puja 20 persones de massa total 1 450 kg des de

la planta baixa fins a la primera planta, a 6 m d’altura,

amb una velocitat de 0,25 m/s. Determineu el rendiment

del motor de la cinta si aquest ha consumit una potència

d’1,56 CV per pujar les 20 persones.

W 5 F Dy cos a 5 m g Dy cos a 5

6

5 1450 ? 9,8 ? 35 ? —— 5 85260 J

35

DW DW 85260

P 5 —— 5 —— v 5 ———— ? 0,25 5 609 W

Dt Dy 35

1 CV

P 5 609 W ———— 5 0,828 CV

735 W

P u 0,828

h 5 —— 5 ———— 5 0,53 f 53 %

P c 1,56

16. Citeu set exemples de fonts energètiques tant renovables

com no renovables. Quines aplicacions tenen? En quina forma

fan treball?

Exemples de fonts energètiques renovables:

j L’energia eòlica utilitzada per moure les pales d’un aerogenerador

o les aspes d’un molí.

j L’energia cinètica d’un riu que fa un treball en moure una

sínia.

j L’energia solar es pot utilitzar en un forn solar per escalfar

aigua i el vapor obtingut pot moure una turbina.

j L’energia geotèrmica del subsòl també es pot utilitzar per

escalfar aigua.

j L’energia maremotriu es pot utilitzar per moure turbines.

j L’energia de la biomassa a partir de la qual es poden obtenir

biocombustibles, la combustió dels quals es transforma en

treball mecànic en un vehicle.

j L’energia química de la recombinació de l’hidrogen amb l’oxigen

es transforma en treball mecànic en alguns vehicles,

com ara els autobusos urbans.

Exemples de fonts energètiques no renovables:

j El carbó utilitzat en màquines de vapor antigues. La seva

energia química es transformava en treball mecànic.

j El petroli emprat per fabricar la benzina es transforma en el

treball mecànic dels vehicles.

j La combustió de la fusta també serveix per obtenir vapor

amb el qual s’aconsegueix treball mecànic. Si els boscos se

sobreexploten, aquesta font energètica no és renovable.

j El gas natural també s’utilitza per escalfar líquids.

j Els productes agrícoles poden ser considerats com no renovables

si el sòl se sotmet a una sobreexplotació. L’energia

química que contenen permet el creixement i el moviment a

altres éssers vius; és a dir, el treball mecànic.

j Els productes ramaders i de la pesca també són no renovables

si les fonts són sobreexplotades.

j Els radioisòtops naturals, l’energia nuclear dels quals s’utilitza

en les centrals nuclears per obtenir vapor per moure les

turbines del generador. Tot i que alguns radioisòtops tenen

una vida mitjana molt gran, a la llarga s’exhauriran.

17. Quin factor influeix més en el valor de l’energia cinètica, la

massa de la partícula o la velocitat?

1

E c 5 — m v 2

2

La velocitat afecta més l’energia cinètica de la partícula, ja que

en l’expressió està elevada al quadrat.

18. Tenim dos cossos de masses una el doble que l’altra. La velocitat

del cos més lleuger és el doble que la del cos més

pesat. Quina afirmació és la correcta? Raoneu la resposta.

a) Els dos cossos tenen la mateixa energia cinètica.

b) S’han desplaçat el mateix en el mateix interval de temps.

c) El cos més lleuger té el doble d’energia cinètica que el

cos més pesat.

d) El cos més pesat té el doble d’energia cinètica que el cos

més lleuger.

Cos 1 Cos 2

m 1 5 2 m 2 m 2

v 1 v 2 5 2 v 1

1 1

E c1 5 — m 1 v 1 2 5 — 2 m 2 v 1 2 5 m 2 v 1

2

2 2

1 1

E c2 5 — m 2 v 2 2 5 — m 2 (2 v 12

) 5 2 m 2 v 1

2

2 2

Relacionem les dues expressions:

2

E c1 m 2 v 1

1

—— 5 ————— 5 —

2

f 2 E c1 5 E c2

E c2 2 m 2 v 1

2

FÍSICA 1 5

85

La resposta correcta és la c). El cos més petit té el doble d’energia

cinètica que el més pesat.

19. Amb l’ajut d’una corda aixequem un cos de 4,5 kg, inicialment

en repòs, a una altura de 5 m fent una força de 125 N.

De les proposicions següents, trieu la resposta correcta:

A) El treball efectuat per la força transmesa a través de la

corda val:

a) 500 J

b) 750 J

c) 625 J

W 5 F ? Dx 5 125 ? 5 5 625 J

La resposta correcta és la c).

B) El treball efectuat per la força de la gravetat val:

a) 2120,5 J

b) 2220,5 J

c) 2420,5 J

W 5 F ? Dx 5 2m ? g ? Dx 5 24,5 ? 9,8 ? 5 5 2220,5 J


C) L’energia cinètica final del cos és:

a) 404,5 J

b) 279,5 J

c) 205,5 J

DE c 5 W T 5 W F 1 W p 5 625,0 2 220,5 5 404,5 J

La resposta correcta és la a).

20. Un automòbil de 1 410 kg es mou a una velocitat constant

de 30 km/h per una carretera recta. De sobte, el conductor

accelera durant un cert temps, de manera que la força neta

F que actua sobre l’automòbil durant aquest interval es

representa pel gràfic següent (fig. 5.25).

Calculeu el treball efectuat per aquesta força, i de termineu

la velocitat final de l’automòbil aplicant el teorema del treball

i l’energia cinètica.

Calculem el treball a partir de l’àrea:

1

W 5 —? 7300 ? 40 5 1,46 ? 10 5 J

2

Com que W 5 DE c , llavors:

1 2 ? 1,46 ? 10 5 30

— m (v 2 f 2 v 2

0) 5 W f v f 5 d ll — ll —— lll —— lll — lll lll

1 1

lll ——

2 2 l 5

2 1410 3,6

5 16,6 m/s 5 60 km/h

21. Es dispara un projectil de 12 g de massa contra un bloc

de fusta que es manté fix, i, quan porta una velocitat de

350 m/s s’hi incrusta, tot penetrant una distància de 9,5 cm.

Determineu el treball realitzat sobre el projectil i determineu

la força que, de mitjana, ha efectuat el bloc.

Per determinar la força efectuada pel bloc apliquem el teorema

del treball i l’energia cinètica, tenint en compte que, sent una

força resistent, forma un angle de 180º amb el desplaçament, i

que la velocitat final del projectil és nul . la:

1 1

W 5 DE c f F Dx cos 180° 5 — m v 2 2 — m v 0 2 f

2 2

1

f 2F Dx 5 2— m v 0

2

f

2

2

m v 0

0,012 ? 350 2

f F 5 ——— 5 —————— 5 7737 N

2 Dx 2 ? 0,095

El treball val:

1 1

W 5 —

2

m v 0

5 — 0,012 ? 350 2 5 735 J

2 2

22. Un projectil igual al de l’activitat anterior, anant a la mateixa

velocitat inicial, travessa un altre bloc de fusta que

també es manté fix, i surt a una velocitat de 75 m/s. Sabent

que aquest nou bloc efectua la mateixa força resistent que

el de l’activitat anterior, podem concloure que:

A) El treball efectuat per la força resistent és:

a) 735 J

b) 701,25 J

c) 2701,25 J

1 1

W 5 — 5 (v 2 f 2 v 2) 0 5 — ? 0,012 ?(752 2 350 2 ) 5

2 2

5 2701,25 J

Per tant, l’opció correcta és la c).

B) La longitud que ha recorregut el projectil a l’interior del

bloc ha estat de:

a) 9,5 cm

b) 9,1 cm

c) 9,9 cm

D’acord amb l’activitat anterior, la força resistent és de

7 737 N. Per tant, la longitud recorreguda ha estat de:

W 701,25

l 5 —— 5 ———— 5 0,091 m 5 9,1 cm

F 7 737

L’opció correcta és la b).

86 5


23. Quines de les forces següents són conservatives? Raoneu

la resposta.

a) La força elàstica exercida per un ressort heli coïdal.

b) La força de resistència efectuada per l’aire sobre un avió

que vola.

c) La força gravitatòria exercida pel Sol sobre la Terra.

d) La força de fregament exercida pel terra sobre les rodes

d’un automòbil que frena.

Les forces de les opcions a) i c) (elàstica i gravitatòria) són

conservatives.

Les opcions b) i d) corresponen a forces no conservatives (fregament).

24. Un cos es mou des d’un punt A fins a un punt B i després

torna al punt A. Si al punt B té la mateixa velocitat que

a l’inici però quan torna de nou al punt A la seva velocitat

és menor, trieu quines de les afirmacions següents són

certes. Justifiqueu les respostes:

a) En l’anada d’A a B, la força neta sobre el cos és zero.

b) En l’anada d’A a B, totes les forces que ac tuen són conservatives.

c) En el tram de tornada de B a A, actua alguna força no

conservativa.

d) En el cicle total, totes les forces que actuen són conservatives.

L’afirmació a) només és certa si la direcció de la velocitat no ha

canviat. En el cas que no hagi canviat en mòdul però sí en direcció,

hi ha hagut una acceleració i, per tant, ha actuat una

força. Perquè l’afirmació a) sigui certa cal que en tot moment la

velocitat sigui constant en mòdul i direcció, ja que pot ser que

hagi actuat una força durant un cert temps i després una altra

per retornar el cos a la velocitat inicial. Aquestes forces fan

treballs oposats però no són necessàriament oposades.

L’afirmació b) és falsa. Tot i que l’energia cinètica s’ha mantingut

constant en el tram d’A a B, pot ser que hagin actuat forces

no conservatives el treball de les quals s’hagi compensat entre

si. Pensem, per exemple, en una força motriu oposada a una

força de fregament de manera que la velocitat del mòbil es

manté constant.

L’afirmació c) és falsa perquè una força conservativa en un tram

de recorregut no tancat pot provocar un canvi en la velocitat

del cos.

L’afirmació d) és falsa. Si en un cicle hi ha variació de l’energia

cinètica, necessàriament ha actuat alguna força no conservativa

sobre el cos.

25. Dos grups de muntanyencs assoleixen el mateix cim partint

del mateix punt; el primer grup ha seguit un camí més

curt però més abrupte, mentre que el segon ha anat per un

camí amb un desnivell menys acusat però més llarg. Per a

quin dels dos grups la força de la gravetat ha desenvolupat

un treball més gran? Raoneu la resposta.

La força gravitatòria és conservativa, això vol dir que el treball

que desenvolupa sobre un cos que es mou entre dues posicions

és independent del camí seguit. Per tant, per als dos grups de

muntanyencs la força de la gravetat ha desenvolupat el mateix

treball.

26. Un alpinista de 80 kg escala 300 m per hora en ascensió

vertical. Quina energia potencial gravitatòria guanya cada

hora?

E p 5 m g h 5 80 ? 9,8 ? 300 5 235 200 J 5 2,35 ? 10 5 J

27. Un espeleòleg de 75 kg de massa baixa a una cova en descens

vertical. Si la cova té una profunditat de 500 m, quina

és la variació d’energia potencial gravitatòria quan arriba al

fons de la cova?

D E p 5 m g h 2 0 5 75 ? 9,8 ? (2500) 5 2367 500 J 5

5 23,68 ? 10 5 J

28. Un grup d’alumnes raona que, quan estirem una molla una

distància determinada, l’energia potencial elàstica que

emmagatzema la molla és la meitat de la que emmagatzema

quan s’estira una distància doble que l’anterior. Esteu

d’acord amb aquest raonament? Justifiqueu la resposta.

L’afirmació és errònia perquè l’energia elàstica depèn del quadrat

de la deformació. Per tant, si s’estira una longitud meitat,

l’energia elàstica queda reduïda en un factor 4:

2

2

2

E 0 1/2 k (Dl) 0

(Dl) 0

(Dl) 0

1

—— 5 —————— 5 ——— 5 ————— 5 —

2

2

E f 1/2 k (Dl) f

(Dl) f

(2(Dl) 0 ) 2 4

29. Un cos de 200 g de massa està subjectat a una molla de

constant recuperadora k 5 1 000 N/m. El conjunt està recolzat

en un pla horitzontal on negligim els fregaments. Si separem

el conjunt 20 cm de la posició d’equilibri, calculeu:

a) L’energia potencial elàstica que té la molla en aquesta

posició.

1 1

E p 5 — k x 2 5 — ? 1 000 ? 0,2 2 5 20 J

2 2

b) El treball que hem fet per tal de portar el cos a aquesta

posició.

W 5 DE p 5 20 J

30. Una molla que està penjada del sostre té una constant elàstica

de 2 500 N/m. Si al seu extrem s’hi penja una massa de

25 kg, quina longitud s’allarga la molla? Quina energia potencial

elàstica emmagat zema?

F 5 k Dx f m g 5 k Dx f

m g 25 ? 9,8

f Dx 5 —— 5 ———— 5 0,098 m

k 2 500

1 1

E p 5 — k x 2 5 — ? 2 500 ? 0,098 2 5 12 J

2 2

31. Un automòbil de massa 1 000 kg està parat just en el moment

de pujar una rampa. Arrenca i agafa una velocitat de

54 km/h quan ha arribat a una altura de 5 m per damunt del

punt de partida. Calculeu l’energia mecànica adquirida.

FÍSICA 1 5

87

1

E 5 E c 1 E p 5 — m v 2 1 mgh

2

v 5 54 km/h 5 15 m/s

1

E 5 —? 1 000 ? 15 2 1 1000 ? 9,8 ? 5 5 161500 J 5

2

5 1,62 ? 10 5 J

32. Suposant que tota l’energia cinètica d’un automòbil es

trans formés en energia potencial gravitatòria, fins a quina

altura podria pujar l’automòbil si portés una velocitat de

120 km/h?

1

DE p 5 2DE c f m ? g ? h 5 — m v 2 f

2

120

1 —— 2 2

v 2 3,6

f h 5 —— 5 ————— 5 57 m

2 g 2 ? 9,8

33. Un cos de 5 kg cau des de 10 m d’altura, arriba a terra i rebota

fins a una altura de 8 m. Calculeu l’energia mecànica

inicial i la final.

E i 5 m g h 0 5 5 ? 9,8 ? 10 5 490 J

E f 5 m g h f 5 5 ? 9,8 ? 8 5 392 J

Física quotidiana

1. A partir dels valors de l’energia que pot subministrar el parc

eòlic de Tortosa en un any, del nombre de generadors amb

què compta i de la potència de cada un d’ells, calculeu el

nombre d’hores efectives de funcionament anual del parc

eòlic.

Segons el text, el parc eòlic subministrarà en un any una energia

total igual a:

DW 5 110 ? 10 6 kW?h

La potència total de 37 generadors de 1 300 kW cadascun és:

P m 5 37 ? 1 300 kW 5 48 100 kW

Aquest resultat coincideix amb el valor de 48,1 MW mencionat

al text. Busquem el nombre d’hores efectives de funcionament:

DW 110 ? 10 6 kWh

Dt 5 —— 5 ———————— 5 2286,9 h

P m 48,1 ? 10 3 kW

Aquestes 2 286,9 hores de funcionament anual equivalen a 95 dies

funcionant les 24 hores al dia. Aquest nombre és més petit que

els 365 dies que té l’any. Això és així perquè el parc no funciona

24 h cada dia, ja que no sempre hi ha vent amb la velocitat

adient per moure les pales dels aerogeneradors. L’energia prevista

es basa en estimacions de dies de vent efectius a l’any.

El text afirma que el 2015 es preveu aconseguir una potència de

3500 MW a partir de l’energia eòlica, que suposarà el 12,3 %

de la producció bruta d’electricitat. Això significa que de la

resta de fonts energètiques s’obtindrà el 87,7 % de la potència

elèctrica. Per tant, la potència elèctrica que es preveu obtenir

el 2015 d’altres fonts d’energia diferents de l’eòlica és:

3500 MW

87,7 % ————— 5 24955 MW

12,3 %

3. Comproveu que l’energia cinètica d’una massa d’aire que

impacta contra les pales del rotor d’un aerogenerador en un

1

interval de temps determinat val: E c 5 — r V v 2 0

, on r és la

2

densitat de l’aire, v 0 és la velocitat de l’aire en xocar contra

les pales, i V és el volum ocupar per la massa d’aire que

toca les pales en aquest inteval de temps.

Sigui m la massa d’una quantitat d’aire de densitat r que ocupa

un volum V i que es mou a velocitat de mòdul v 0 . La seva energia

cinètica val:

1

E c 5 — m v 2 0

2

Tenint en compte la relació entre massa, volum i densitat:

m 5 r V, l’expressió anterior es pot escriure com:

Activitats finals

Qüestions

1

E c 5 — r V v

2

0

2

1. Si una força realitza un treball negatiu hem de concloure

que la força:

a) És perpendicular al desplaçament.

b) Té un component en sentit contrari al desplaçament.

c) La força varia amb el temps.

d) Es tracta d’una situació impossible, ja que el treball mai

no pot ser negatiu.

Trieu la resposta correcta.

La resposta correcta és la b). Recordem que el treball ve donat

per l’expressió W 5 F (cos a) d, on F és el mòdul de la força

i a és l’angle entre la força i el desplaçament de mòdul d. Per

tal d’obtenir un valor negatiu, cal que l’angle tingui un valor

comprès entre 90 i 270º. Això equival a dir que la força té

un component de sentit contrari al desplaçament.

2. Un nen vol fer pujar la seva joguina per plans incli nats diferents

que tenen la mateixa alçària (fig. 5.44).

2. D’acord amb les dades d’aquesta nota de premsa, calculeu la

potència elèctrica que es preveu obtenir l’any 2015 a partir

d’altres fonts energètiques diferents de l’eòlica.

88 5


5. Per a un motorista que parteix del repòs i accelera uniformement

augmentant de velocitat:

Suposant que aconsegueix que la joguina pugi fins a dalt en

els dos casos a velocitat constant i tenint en compte que no

actua la força de fregament, demostreu:

a) Que la força que ha de fer és diferent en un cas que en

l’altre.

f

F 5 m a. f Com que la velocitat és constant, a f 5 0.

F a 5 p x 5 p sin a

F b 5 p x 5 p sin b

Com que a . b f sin a . sin b f F a . F b

b) Que el treball és el mateix en els dos casos.

W a 5 F a x a 5 p sin a x a

h

Tenim en compte que sin a 5 ——

xa

h

Si substituïm: W a 5 p —— x a 5 p h

x a

Fem el mateix per calcular W b :

W b 5 F b x b 5 p sin b x b

h

Tenim en compte que sin b 5 ——

xb

h

Si substituïm: W b 5 p —— x b 5 p h

x b

D’on veiem que W a 5 W b .

3. Justifiqueu el fet que el treball, la potència i l’energia són

magnituds escalars.

El treball és el producte escalar del vector força pel vector desplaçament.

Per tant, és un escalar. Si no es domina el càlcul

vectorial, es pot justificar tenint en compte que el tre ball s’obté

de la projecció de la força en la direcció del desplaçament.

La potència ve donada pel quocient entre el treball i l’interval

de temps. Com que totes dues magnituds són escalars, el seu

quocient també ho és.

L’energia també és una magnitud escalar donat que l’energia i

el treball són magnituds equivalents.

4. Si el treball realitzat per una força determinada disminueix

fins a la quarta part quan la distància recorreguda

disminueix fins a la meitat, de quina força es tracta? Expliqueu-ho

detalladament.

Dx

W

Si Dx9 5 ——, tenim W9 5 —. Aquest cas correspon a la força

2 4

elàstica, ja que el treball depèn del quadrat del desplaçament.

A) La potència que desenvolupa el motor:

a) Augmenta. b) Disminueix. c) És constant.

Com que la potència es pot expressar com P 5 F ? v, en augmentar

la velocitat, la potència també ho fa. Per tant, l’opció

correcta és la a).

B) El treball efectuat pel motor és:

a) Positiu. b) Negatiu. c) Nul.

El treball efectuat és positiu perquè l’energia cinètica augmenta.

L’opció correcta és la a).

Trieu les respostes correctes.

6. La normativa vigent sobre vehicles pesants els obliga a portar

un aparell que en limita la velocitat.

Raoneu si això té relació amb l’energia cinètica que poden

acumular respecte dels vehicles més lleugers, si circulen a

la mateixa velocitat.

1

E c 5 — m v 2

2

L’augment de massa comporta un augment de l’energia cinètica

del vehicle, si aquest està en moviment; així doncs, per

una mateixa velocitat, un vehicle amb més massa acumula més

energia cinètica.

7. Una mateixa força resultant actua sobre una moto i sobre

una pilota de tennis al llarg d’un mateix despla çament en

la mateixa direcció i sentit. La variació de l’energia cinètica

és més gran en:

a) La moto.

b) La pilota.

c) Totes dues tindran la mateixa energia cinètica.

Si la força realitzada i el desplaçament són iguals, a partir del

teorema del treball i l’energia cinètica (W 5 D E c ) tenim que

la variació de l’energia cinètica també és la mateixa. Per tant, la

resposta cor recta és la c).

8. Un cos té una massa que és la meitat que la d’un altre cos,

però porta una velocitat doble. Si en un moment determinat

apliquem sobre tots dos la mateixa força de frenada,

l’espai que recorrerà el primer cos serà, respecte del que

recorrerà el segon:

a) La meitat.

b) El doble.

c) La quarta part.

d) El quàdruple.

m 2

Dades: m 1 5 ——

2

v 1 5 2 v 2

FÍSICA 1 5

89

Com que es compleix que W 5 DE c , aleshores:

Per al primer cos:

1 1 m 2 m 2 ? v 2

2

2F ? d 1 5 2— m 1 ? v 2 1 5 2— —— ? (2 v 2) 2 f d 1 5 ————

2 2 2 F

Per al segon cos:

2

1 m 2 ? v

2F ? d 2

2 5 2— m 2 ? v 2 2 f d 2 5 ————

2 2 F

El cos de massa més petita recorre el doble de distància. L’opció

correcta és la b).

9. Volem que el treball realitzat per anar des del punt A fins al

punt B (fig. 5.45) sigui el mateix fent-lo pel recorregut 1

que fent-lo pel 2. Com ha de ser la força que hi actua?

a) La mateixa energia poten cial gravitatòria.

D’on deduïm que E p1 5 E p2 .

E p1 5 m 1 g h 1 5 m 1 g 2 h 2

E p2 5 m 2 g h 2 5 2 m 1 g h 2

b) La mateixa energia me cànica.

Com que l’energia cinètica és nul . la en ambdós casos, l’energia

mecànica també coincideix.

13. De les frases següents, quines són correctes? Quines incorrectes?

Justifiqueu la vostra resposta.

a) L’energia cinètica d’un cos és negativa quan ho és la

seva velocitat.

Incorrecta. L’energia cinètica depèn del quadrat de la velocitat

i sempre és positiva.

b) El rendiment d’una màquina mai no pot ser més gran

que la unitat.

Correcta. Mai es pot gastar més treball del que es disposa.

c) L’energia potencial elàstica pot assolir valors negatius.

La força que hi actua ha de ser conservativa per tal que el treball

realitzat sigui independent del recorregut seguit.

10. Quin tipus d’energia s’emmagatzema en les si tuacions següents?

a) Un arc que ha estat tensat a punt de llançar una fletxa.

Energia potencial elàstica.

b) Una bola de billar que es mou damunt la taula quan és

impulsada pel tac.

Energia cinètica.

c) L’aigua d’un dipòsit situat a l’última planta d’un edifici

que abasteix els veïns dels pisos infe riors.

Energia potencial gravitatòria.

11. És possible que la velocitat d’un cos estigui dirigida cap a

l’est i la força que actua sobre ell cap a l’oest? Raoneu la

resposta.

És possible sempre i quan el cos estigui en moviment, per

exemple quan sobre el cos actua la força de fregament.

12. Tenim dos cossos en repòs. La massa d’un és el doble de

la de l’altre. L’altura en què es troba el més lleuger és el

doble que la del més pesat. Demostreu que els dos cossos

tenen:

Cos 1 Cos 2

m 1 m 2 5 2 m 1

h 1 5 2 h 2 h 2

Incorrecta. L’energia potencial elàstica sempre és positiva,

tant si la molla està comprimida com si està allargada.

d) El treball efectuat per una força conservativa al llarg

d’una trajectòria tancada és nul.

Correcta, segons la definició de força conservativa.

e) L’energia potencial gravitatòria sempre és positiva.

Incorrecta. Si el cos està sota el nivell del terra o de l’origen

d’energia potencial gravitatòria, aquesta és negativa.

f) L’energia mecànica és la suma de les energies cinètiques

i potencials.

Correcta, segons la definició d’energia mecànica.

g) El treball efectuat per una força correspon a l’àrea del

gràfic F-t.

Incorrecta. Aquesta àrea correspon a l’impuls fet per la força.

Problemes

1. Calculeu el treball que realitza una noia amb una motxilla

de 15 kg.

a) L’aguanta 5 min mentre espera entrar a l’institut per

començar les classes.

W 5 F f D r f f D r f 5 0 f W 5 0

b) Es dirigeix a l’aula caminant a velocitat constant.

v 5 constant f F f és perpendicular a D r f f W 5 0

c) Se la treu de l’esquena a 1 m del terra i la hi deixa.

W 5 F f D r

f

W 5 m g y cos a 5 15 ? 9,8 ? 1 ? cos 180° f W 5 2147 J

90 5


2. Sobre un cos de 2,5 kg en repòs s’aplica durant 10 s una

força de 3 N i una altra de 4 N en direccions perpendiculars

entre si. Com a conseqüència, el cos es mou en la direcció

de la força de 4 N. Si en aquesta direcció no actua cap altra

força més, cal culeu:

a) El treball de la força resultant.

F 4

F 5 m a f a 5 — 5 —— 5 1,6 m/s 2

m 2,5

F R 5 dll 4 2 1llll 3 2 5 dll 25l 5 5 N

3

tg a 5 — 5 0,75 f a 5 36,87°

4

1 1

D x 5 —? a D t 2 5 — ? 1,6 ? 10 2 5 80 m

2 2

b) El treball total. Comproveu que és igual al treball que

realitza la força resultant.

W T 5 W p 1 W N 1 W Ff 1 W F 5 20,965 1 88,39 5 87,42 J

fT F 5 N f 1 p f 1 f F f 1 f

F

F x 5 F x cos a

F f 5 m N

F Tx 5 F x 2 F f 5 25 ? cos 45° 2 0,1 ? 1,92 5 17,48 N

F Ty 5 0

W T 5 F T x cos a 5 17,48 ? 5 ? cos 0° 5 87,42 J

4. Un cos de massa 100 kg es mou segons un moviment rectilini,

d’acord amb la figura 5.47.

W 5 F D x cos a 5 5 ? 80 ? cos 36,87° 5 320 J

b) El treball realitzat per la força de 3 N.

W 3N 5 0 f a 5 90°

c) El treball realitzat per la força de 4 N.

W 4N 5 F D x cos a 5 4 ? 80 ? cos 0° 5 320 J

d) La suma dels treballs fets per les dues forces considerades.

W T 5 W 3N 1 W 4N 5 320 J

3. Un nen vol arrossegar 5 m el carretó de 2 kg de massa per

una superfície horitzontal i ho fa mitjançant una corda que

forma un angle de 45° amb la superfície (fig. 5.46) i amb

una força de 25 N. Si el coefi cient de fregament entre les

rodes del carretó i la superfície és de 0,1, calculeu:

a) El treball que realitza cada una de les forces que actuen

sobre el carretó.

W p 5 0

a) Calculeu quina força actua en cada tram del moviment.

Dv 20

1r tram: a 5 —— 5 —— 5 5 m/s 2

Dt 4

F 5 m a f F 5 100 ? 5 5 500 N

10 2 20

2n tram: a 5 ————— 5 25 m/s 2

6 2 4

F 5 2100 ? 5 5 2500 N

3r tram: a 5 0 f F 5 0

b) Representeu gràficament la força respecte del desplaçament

del cos.

1 1

1r tram: x 5 — a D t 2 5 — ? 5 ? 4 2 5 40 m

2 2

1

2n tram: x 5 x 0 1 v 0 D t 1 — a D t 2 5

2

1

5 40 1 20 ? (6 2 4) 2 — ? 5 ? (6 2 4) 2 5 70 m

2

3r tram: x 5 x 0 1 v D t 5 70 1 10 ? (8 2 6) 5 90 m

F (N)

W N 5 0

W F 5 F x ? x ? cos a 5 25 ? 5 ? cos 45° 5 88,39 J

N 5 p 2 F y 5 2 ? 9,8 2 25 ? sin 45° 5 1,92 N

W Ff 5 m N ? cos a 5 0,1?1,92 ? 5 ? cos 180° 5 20,965 J

FÍSICA 1 5

91

c) Calculeu a partir de la representació gràfica el treball

total realitzat per la força.

1r tram: W 1 5 F 1 D x 5 500 ? 40 5 20 000 J

2n tram: W 2 5 F 2 D x 5 2500 ? (70 2 40) 5 215 000 J

3r tram: W 3 5 F 3 D x 5 0

W T 5 W 1 1 W 2 1 W 3 5 20 000 2 15 000 5 5 000 J

5. Volem fer pujar un bloc de 50 kg a velocitat constant per

un pla inclinat de 4 m d’alçària i 5 m de longitud, mitjançant

una força aplicada en la ma teixa direcció i sentit del

desplaçament del cos. Calculeu:

a) La força que s’ha de realitzar, suposant que no existeix

fregament entre el cos i el pla inclinat.

S F 5 m a 5 0

F 5 p x 5 m g sin a

h 4

F 5 m g — 5 50 ? 9,8 ?— 5 392 N

x 5

b) El treball que s’ha realitzat quan el bloc arriba a dalt del

pla inclinat.

W 5 F D x 5 392 ? 5 5 1 960 J

c) La força que s’ha de realitzar si el coeficient de fregament

entre el cos i el pla és de 0,1.

A) La longitud natural de la molla és:

a) 8,0 cm

b) 12,7 cm

c) 20,7 cm

Calculem primer la constant elàstica de la molla:

F aplicada 5 2F elàstica 5 k Dx f

F aplicada 6

f k 5 ————— 5 ————— 5 150 N/m

Dx 4 ? 10 22

Si s’apliquen 12 N addicionals, aleshores la força aplicada val:

F aplicada 5 6 1 12 5 18 N

F aplicada 18

L’allargament val: Dx 5 ———— 5 ——— 5 12 cm

k 150

A partir d’aquest valor trobem la longitud natural de la molla:

x 0 5 x 2 Dx 5 24,7 2 12 5 12,7 cm


B) El treball que hem de fer per estirar-la des de la primera

posició fins a la segona val:

a) 0,96 J

b) 1,08 J

c) 0,48 J

La diferència entre l’energia potencial elàstica a cada posició

és el treball per passar d’una a altra:

1 1

W 5 — k 3 (Dx f ) 2 2 (Dx 0 ) 2 4 5 — 150 (0,122 2 0,04 2 ) 5

2 2

5 0,96 J


7. Sobre un cos de 2,7 kg actua la força donada pel gràfic següent

(fig. 5.48):

F 5 p x 1 F f 5 m g sin a 1 m N 5 m g sin a 1 m m g cos a 5

5 m g (sin a 1 m cos a)

4

sin a 5 — f a 5 53,13°

5

F 5 50 ? 9,8 ? (sin 53,13° 1 0,1 ? cos 53,13°) 5 421,4 N

d) Quin és l’avantatge d’utilitzar un pla inclinat per pujar

el bloc en lloc d’elevar-lo verticalment?

Tot i que es realitza el mateix treball, per pujar-lo pel pla la

força que es fa és de 392 N; i quan l’elevem la força que

hem de fer ha de ser igual al pes del cos, és a dir, 490 N.

6. Una molla està estirada una longitud de 4,0 cm a partir

de la seva posició natural quan apliquem una força de

6 N. Si apliquem una força addicional de 12 N, la longitud

de la molla augmenta fins a 24,7 cm. Trieu la resposta correcta.

Si a la posició x 5 0, la velocitat del cos és de 2 m/s, determineu

les velocitats del cos quan ha assolit les posicions

x 5 3 m, x 5 6 m i x 5 9 m.

Per determinar les velocitats demanades podem fer-ho de dues

maneres diferents:

a) Mitjançant la segona llei de Newton per determinar l’acceleració

i utilitzant després les equacions del MRUA.

92 5


b) Calculant el treball realitzat amb la gràfica i aplicant el teorema

del treball i l’energia cinètica.

Ho farem de les dues maneres pels dos primers trams:

1r tram:

v 0 5 2 m/s

Dx 5 3 m

F 12

a) F 5 m ? a f a 5 — 5 —— 5 4,44 m/s 2

m 2,7

v 2 2

2 v

Dx 5 ————— 0

f v 5 dll v 0

2ll1ll2 a lll Dxl 5

2 a

b) W 5 àrea 5 12 ? 3 5 36 J

5 dll2 2 l1lll 2 ? ll4,44 llll ? 3l 5 5,5 m/s

1

DE c 5 W 5 — m (v 2 2 v 0 2 ) f

2

2 W 2 ? 36

f v 5 d ll v ll 2

0

1 ll —— lll 5 d ll 2 ll 2 1 ll — ll —— ll 5 5,5 m/s

m 2,7

2n tram:

v 0 5 5,5 m/s

Dx 5 3 m

F 12

a) F 5 m ? a a 5 — 5 —— 5 4,44 m/s 2

m 2,7

v 2 2

2 v

Dx 5 ————— 0

f v 5 dll v 0

2ll1ll2 a lll Dxl 5

2 a

b) W 5 àrea 5 12 ? 3 5 36 J

5 dll5,l5 lll1lll 2 2 ? ll4,44 llll ? 3l 5 7,6 m/s

1

DE c 5 W 5 — m (v 2 2 v 0 2 ) f

2

2 W 2 ? 36

f v 5 d ll v ll 2

0

1 ll —— lll 5 d ll 5, l 5 2lll ll ll ll 1 ——— 5 7,6 m/s

m 2,7

Pel tercer tram no podem utilitzar el primer mètode ja que la

força no és constant i, per tant, l’acceleració tampoc ho és.

Veiem doncs que el segon mètode té més aplicacions que no

pas el primer.

3r tram:

v 0 5 7,6 m/s

12 ? 3

b) W 5 àrea 5 ——— 5 18 J

2

1

DE c 5 W 5 — m (v 2 2 v 2 0

) f

2

2 W 2 ? 18

f v 5 d ll v ll 2

0

1 ll —— lll 5 d ll 7, l 6 2lll ll ll ll 1 ——— 5 8,4 m/s

m 2,7

8. Una grua aixeca una biga de 100 kg a una altura de 15 m i

després desplaça la càrrega horitzontalment 10 m a velocitat

constant.

a) Quant val el treball realitzat?

W 5 F D y 5 m g D y 5 100 ? 9,8 ? 15 5 14 700 J

b) Quina potència útil té la grua si tarda 1 min a alçar la

biga?

W 14 700

P 5 — 5 ———— 5 245 W

t 60

c) Quin és el rendiment de la grua si té una potència de

450 W?

245

h 5 —— 5 54 %

450

9. Un objecte de 10 kg és arrossegat per una pista horitzontal

una distància de 10 m, amb una força constant de 100 N

que forma un angle de 60° amb la direcció del desplaçament.

La força de fregament d’aquest objecte amb el ter ra

és de 6 N. Calculeu:

F f

5 6 N

F 5 100 N

a) El treball realitzat per la força aplicada, per la força de

fregament i per la força pes.

W p 5 m g Dx cos a 5 m g Dx cos 90° 5 0

W F 5 F Dx cos a f W F 5 100 ? 10 ? cos 60° 5 500 J

W Ff 5 F f D x cos a 5 26 ? 10 5 260 J

b) La potència total desenvolupada per totes les forces que

hi actuen.

S F 5 F x 2 F f 5 100 ? cos 60° 2 6 5 44 N

F 44

S F 5 m a f a 5 — 5 —— 5 4,4 m/s 2

m 10

1 2 x 2 ? 10

x 5 — a t 2 f t 5 d ll —— ll 5 d ll — l — ll — l 5 2,13 s

2 a 4,4

W F 500

P F 5 —— 5 ——— 5 234,52 W

t 2,13

W Ff 60

P Ff 5 —— 5 ——— 5 28,17 W

t 2,13

P p 5 0

10. Una vagoneta que té una massa de 200 kg es troba sobre

una via horitzontal. Calculeu el treball que es fa en els casos

següents:

FÍSICA 1 5

93

a) Si empenyeu la vagoneta amb una força de 100 N durant

50 s sense aconseguir que la vagoneta es mogui.

W 5 100 ? 0 5 0 J

b) Si l’empenyeu amb una força constant de 200 N en la

direcció de la via, fent un recorregut de 50 m en 10 s.

W 5 200 ? 50 5 10 000 J

c) Si empenyeu la vagoneta amb una força de 500 N que fa

un angle de 60° amb la via, i la vagoneta re corre 100 m

en 12,65 s.

W 5 500 ? 100 ? cos 60° 5 25 000 J

d) Calculeu la potència desenvolupada en els tres apartats

anteriors.

P a 5 0

W 10 000

P b 5 — 5 ———— 5 1 000 W

t 10

25 000

P c 5 ———— 5 1 976,28 W

12,65

11. Un ascensor de massa 850 kg, que porta dues persones a

l’interior de 70 kg i 75 kg de massa, puja des de la planta

baixa fins al setè pis en 45 s. Si cada pis té una altura de

3 m, quina potència ha de desenvolupar el motor de l’ascensor

si el rendiment de la instal . lació és del 55 %.

m total 5 850 1 70 1 75 5 995 kg

Dy 5 7 ? 3 5 21 m

Dt 5 45 s

h 5 55 %

W 5 F ? Dy 5 m ? g ? Dy 5 995 ? 9,8 ? 21 5 204 771 J

W 204 771

P u 5 —— 5 ———— 5 4 550,47 W 5 6,19 CV

Dt 45

P u

h 5 —— ? 100 f

P c

P u 6,19

f P c 5 —— ? 100 5 ——— ? 100 5 11,26 CV

h 55

El motor ha de desenvolupar una potència d’11,26 CV.

12. Un camió que pesa 60 tones porta una velocitat de 72 km/h

i de sobte frena. Si s’atura 10 s després, quina ha estat la

potència mitjana de la frenada?

m 5 60 t 5 60 000 kg

v 5 72 km/h 5 20 m/s

1

W 5 D E c f W 5 0 2 — m v 2 5

2

1

5 2— ? 60 000 ? 20 2 5 21,2 ? 10 7 J

2

W 1,2 ? 10 7

P 5 — 5 ———— 5 1,2 ?10 6 W

t 10

13. Es vol dissenyar el teleesquí d’una pista d’esquí per a principiants

que té 150 m de llarg i un pendent d’angle 20º

(fig. 5.49). El teleesquí ha de poder arrossegar simultàniament

40 esquiadors, de 75 kg de massa mitjana, a una

velocitat de 12 km/h, i els cables que els estiren han de

formar un angle de 40º amb la pista. Si el motor que mou

tot el sistema té un rendiment del 75 %, i sabem que el

coeficient de fre gament que presenta la pista val, de mitjana,

0,09, quina ha de ser la potència que ha de tenir el

motor d’aquest sistema?

Primer calcularem el treball necessari per pujar un sol esquiador,

tenint en compte que puja a velocitat constant i que té

una massa mitjana de 75 kg.

S f F 5 m ? f a 5 0

F x 5 F f 1 p x f F ? cos 40° 5 m ? N 1 m ? g ? sin 20°

F y 1 N 5 p y f F ? sin 40° 1 N 5 m ? g ? cos 20°

Si aïllem N de la segona equació i substituïm en la primera,

tenim:

F ?(cos 40° 1 m sin 40°) 5 m ? g ?(sin 20° 1 m cos 20°) f

sin 20° 1 m cos 20°

f F 5 m ? g ?——————————— 5 380,56 N

cos 40° 1 m sin 40°

W 1 5 F ? Dx ? cos 40° 5 380,56 ? 150 ? cos 40° 5 43 728,89 J

El treball total per pujar simultàniament 40 esquiadors serà

quaranta vegades més gran.

W 40 5 40 ? W 1 5 40 ? 43728,89 5 1,75 ? 10 6 J

Dx 5 150 m

v 5 12 km/h 5 3,33 m/s

Dx 150

Dx 5 v ? t f t 5 —— 5 ——— 5 45 s

v 3,33

W 1,75 ? 10 6

P u 5 — 5 ————— 5 3,89 ? 10 4 W 5 53 CV

t 45

P u P u 53

h 5 —— f P c 5 —— 5 ——— 5 71 CV

P c h 0,75

14. Una força constant de 100 N actua durant 20 s sobre un cos

de 10 kg que inicialment es mou a 36 km/h. Si es mou amb

una acceleració de 5 m/s 2 :

100 N

94 5


a) Quina és la força de fregament?

F 2 F f 5 m a f F f 5 F 2 m a 5 100 2 10 ? 5 5 50 N

b) A quina velocitat es mou als 20 s?

v 5 v 0 1 a t 5 10 1 5 ? 20 5 110 m/s

c) Quin espai recorre durant aquest temps?

1 1

x 5 v 0 t 1 — a t 2 f x 5 10 ? 20 1 — ? 5 ? 20 2 5 1 200 m

2 2

d) Quin treball s’ha realitzat?

W 5 F T D x f W 5 (100 2 50) ? 1 200 5 60 000 J

e) Quin ha estat l’augment de l’energia cinètica?

W 5 D E c 5 60 000 J

15. Un objecte de 100 kg es mou a una velocitat de 15 m/s.

S’hi aplica una força de 500 N en el sentit del despla çament

i la velocitat arriba fins a 20 m/s. Calculeu:

a) Quin treball s’ha realitzat?

1 1 1

W 5 D E c 5 — m v 2 2 — m v 2 0

5 — m (v 2 2 v 2 0

) f

2 2 2

1

f W 5 — ? 100 ? (20 2 2 15 2 ) 5 8 750 J

2

b) Quin ha estat el desplaçament de l’objecte?

W 8 750

W 5 F Dx f Dx 5 — 5 ——— 5 17,5 m

F 500

c) Quant val la força de fregament si, quan hi actua, el

cos necessita 3 m més per arribar a la mateixa velocitat

final?

D x 5 17,5 1 3 5 20,5 m

F9 5 F 2 F f

W 8 750

F9 5 —— 5 ———— 5 426,83 N

D x 20,5

F f 5 F 2 F9 5 500 2 426,83 5 73,17 N

16. Un automòbil de 1 375 kg pot desenvolupar una potència

màxima de 60 CV. Si suposem que el coefi cient de fregament

entre les rodes i el terra val sempre 0,11, determineu

la velocitat màxima que podria desenvolupar l’automòbil en

els casos següents:

a) L’automòbil circula per una via horitzontal.

En la situació en què la velocitat és màxima i el cotxe circula

per una via horitzontal la potència subministrada pel

motor és igual a la que es dissipa per la força de fregament,

ja que no hi ha acceleració:

m ? m ? g ? Dx

P motor 5 —————— 5 m ? m ? g ? v màx f

Dt

60 ? 735

f v màx 5 ———————— 5 29,7 m/s 5 107 km/h

0,11 ? 1375 ? 9,8

b) L’automòbil puja per un pendent del 7 %.

Quan la velocitat és màxima i el cotxe puja per un pendent,

la potència subministrada pel motor és igual a la suma de la

potència dissipada per la força de fregament i la potència

associada al component tangencial del pes:

a 5 arctg 0,07 5 4°

m ? m ? g ? cos a ? Dx 1 m ? g ? sin a Dx

P motor 5 —————————————————— 5

Dt

5 m ? g ?(m? cos a 1 sin a) ? v màx f

P motor

v màx 5 ———————————— 5

m ? g ?(m? cos a 1 sin a)

60 ? 735

5 ————————————— 5 18,2 m/s 5 66 km/h

1375 ? 9,8 (0,11? cos 4 1 sin 4)

c) L’automòbil baixa per un pendent del 6 %.

Quan la velocitat és màxima i el cotxe baixa per un pendent,

la potència subministrada pel motor més la potència del

component tangencial del pes és igual a la potència dissipada

per la força de fregament:

a 5 arctg 0,06 5 3,4°

m ? g ? sin a Dx m ? m ? g ? cos a ? Dx

P motor 1 ———————— 5 ————————— f

Dt

Dt

f P motor 5 m ? g (m? cos a 2 sin a) ? v màx

P motor

f v màx 5 ———————————— 5

m ? g ?(m? cos a 2 sin a)

60 ? 735

5 ———————————————— 5

1375 ? 9,8 (0,11? cos 3,4 2 sin 3,4)

5 64,6 m/s 5 233 km/h

17. Un projectil de 250 g travessa una paret que té 0,30 m de

gruix. La velocitat quan penetra a la paret és de 300 m/s

i quan en surt és de 90 m/s. Calculeu el treball sobre el

projectil i la resistència de la paret.

1 1 1

W 5 D E c 5 — m v 2 2 — m v 2 0

5 — m (v 2 2 v 02

) 5

2 2 2

1

5 — ? 0,250 ? (90 2 2 300 2 ) 5 210 237,5 J

2

W 10 237,5

W 5 F D x f F 5 —— 5 ————— 5 34 125 N

Dx 0,3

18. Un conductor circula a 80 km/h per una avinguda; a 50 m hi

ha un semàfor que es posa vermell i el conductor frena. L’automòbil

i el conductor tenen una massa total de 1 000 kg, i

la força de frenada que hi actua és de 2 000 N.

Calculeu:

a) L’energia cinètica inicial del cotxe.

v 0 5 80 km/h 5 22,22 m/s

1 1

E c0 5 — m v 2 0

5 — ? 1 000 ? 22,22 2 5 246 914 J 5

2 2

5 2,47 ? 10 5 J

FÍSICA 1 5

95

b) El treball realitzat per la força de frenada en els 50 m.

W 5 2F f D x 5 22 000 ? 50 5 2100 000 J 5 210 5 J

c) Raoneu si el cotxe s’aturarà just abans o després del

semàfor.

Perquè el cotxe s’aturi abans del semàfor, ha d’anul . lar tota

l’E c que porta amb el treball realitzat pels frens. Dels resultats

dels apartats a) i b) veiem que l’E c inicial del cotxe és

més gran que el treball que realitzen els frens en els 50 m.

Per tant, el cotxe s’aturarà després del semàfor.

19. Amb l’ajuda de dos companys, empenyeu un automòbil que

està inicialment parat amb una força constant de 1000 N

i el cotxe es mou 10 m. Una vegada s’ha desplaçat els 10 m,

el cotxe porta una velocitat de 3 m/s. La massa de l’automòbil

és de 600 kg.

Calculeu:

a) Quin és el treball que heu fet?

W 5 F D x 5 1 000 ? 10 5 10 000 J

b) Quina és l’energia cinètica de l’automòbil en acabar el

recorregut assenyalat?

1 1

E c 5 — m v 2 5 — ? 600 ? 3 2 5 2 700 J

2 2

c) Quin és el treball que s’ha perdut? En què s’ha transformat?

W T 2 E c 5 10 000 2 2 700 5 7 300 J

El treball s’ha transformat en calor.

20. Per treure l’aigua d’un pou que està a 45 m de profunditat

disposem d’una bomba d’una potència de 2 CV que pot treure’n

80 L cada mig minut.

a) Quin treball efectua la bomba en aquest temps? En què

es converteix aquest treball?

Tenint en compte que la densitat de l’aigua és d’1 g/cm 3 ,

els 80 L corresponen a 80 kg. Per tant, el treball desenvolupat

per la bomba en mig minut és:

W 5 mgh 5 80·9,8·45 5 35 280 J

Aquest treball s’ha invertit en augmentar l’energia potencial

de l’aigua, ja que aquesta està ara a 45 m d’altura respecte

de la posició que ocupava en el pou, i podem concloure

que també correspon a l’energia útil E u desenvolupada per

la bomba.

b) Quina energia es perd en aquest temps? En què es converteix

aquesta energia?

Per determinar l’energia perduda E p en aquest temps hem

de calcular l’energia consumida E c en mig minut i restar-li

l’energia utilitzada en pujar l’aigua, que és l’E u calculada

a l’apartat anterior. Prèviament expressem la potència consumida

en unitats del SI:

P c 5 2 CV ?(735 W/1 CV) 5 1470 W

E c 5 P Dt 5 1470 W ? 30 s 5 44100 J

E p 5 E c 2 E u 5 44100 2 35280 5 8820 J

Si tenim en compte que part de l’energia consumida es perd

en forma de calor a causa del fregament entre les parts

mòbils del motor de la bomba i pel seu circuit elèctric, deduïm

que aquesta energia perduda es converteix en calor.

c) Quin és el rendiment de la bomba?

Per calcular el rendiment de la bomba dividim la potència

útil entre la potència consumida, tenint en compte que la

primera es calcula dividint l’energia útil entre el temps

transcorregut (30 s):

E u 35280

P u 5 —— 5 ———— 5 1176 W

30 30

P u 1170

h 5 —— 5 ———— 5 0,8 f 80 %

P c 1470

Fixem-nos que arribem al mateix resultat si dividim directament

l’energia útil desenvolupada en mig minut per l’energia

consumida en el mateix temps.

21. En una minicentral hidroelèctrica l’aigua cau des d’una altura

de 2 m sobre una turbina amb un cabal mitjà de 1 500 kg/s.

Quina seria la potència teòrica que podríem obtenir a la central

si l’energia poten cial es transformés íntegrament en

energia elèctrica?

W F ? Dy m ? g ? Dy m

P 5 — 5 ——— 5 ————— 5 — ? g ? Dy 5

t t t t

5 1 500 ? 9,8 ? 2 5 29 400 W 5 29,4 kW

22. Si d’una molla de longitud natural 12,0 cm pengem una

massa de 18 g, la molla assoleix una longitud de 12,9 cm.

Quina energia emmagatzema la molla quan es comprimeix

fins a una longitud de 10,4 cm?

m 5 0,018 kg f Dl 5 12,9 2 12,0 5 0,9 cm 5 9 ? 10 23 m

F 5 p 5 m ? g 5 k ? Dl f

m ? g 1,8 ? 10 22 ? 9,8

f k 5 ——— 5 ——————— 5 19,6 N/m

Dl 9 ? 10 23

Dl 5 10,4 2 12 5 21,6 cm 5 21,6 ? 10 22 m

1 19,6 ? (21,6 ? 10 22 ) 2

E p 5 — k ? Dl 2 5 —————————— 5 2,51 ? 10 23 J

2 2

23. Un edifici té 12 pisos i cada pis fa 3,5 m d’alçària. Calculeu

per a una persona de 60 kg, i prenent la planta baixa com a

zero d’energia potencial gravitatòria:

a) L’energia potencial gravitatòria que té si viu al cinquè pis.

E p 5 m g h 5 60 ? 9,8 ? 5 ? 3,5 5 10 290 J

b) L’energia potencial gravitatòria que té si viu al vuitè pis.

E p 5 60 ? 9,8 ? 8 ? 3,5 5 16 464 J

c) La variació de l’energia potencial gravitatòria si puja

des del segon pis fins al terrat de l’edifici.

D E p 5 m g Dh 5 60 ? 9,8 ? (12 ? 3,5 2 2 ? 3,5) 5 20 580 J

96 5


d) Quina és la variació de l’energia potencial gravitatòria si

baixa des del sisè pis fins al carrer?

D E p 5 m g Dh 5 60 ? 9,8 ? (0 2 6 ? 3,5) 5 212 348 J

24. Un test de flors està situat en un balcó en la mateixa vertical

d’un pou (fig. 5.50). El test es troba damunt del terra

a 15 m d’altura i té una energia potencial gravitatòria de

40 J. Si cau dins del pou, calculeu:

b) L’energia potencial gravitatòria que té dins del pou, si

aquest fa 20 m de profunditat.

E p 5 0,27 ? 9,8 ? (220) 5 253,3 J

c) La variació d’energia potencial gravitatòria.

D E p 5 E pf 2 E p0 5 253,3 2 40 5 293,3 J

25. Un avió de 10 000 kg de massa té una energia mecànica

de 10 9 J i vola horitzontalment a 9 km d’altura. Calculeu:

a) L’energia potencial gravitatòria i l’energia cinè tica de

l’avió.

E p 5 m g h 5 10 000 ? 9,8 ? 9 000 5 8,82 ? 10 8 J

E c 5 E 2 E p 5 10 9 2 8,82 ? 10 8 5 1,18 ? 10 8 J

b) La velocitat a la qual vola l’avió.

a) La massa del test.

E p 40

E p 5 m g h f m 5 —— 5 ————— 5 0,27 kg

g h 9,8 ? 1,5

1

E c 5 — m v 2 f

2

2 E c 2 ? 1,18 ? 10 8

f v 5 d lll — l — ll 5 d ll —— lll —— lll — ll —— ll 5 153,62 m/s

m 10 000

FÍSICA 1 6

97

j Unitat 6. Conservació

de l’energia

Activitats

1. Un ascensor es troba aturat en el cinquè pis d’un edifici. Si

cada pis té una alçària de 4 m i es trenca el cable de l’ascensor,

calculeu:

a) La velocitat amb què l’ascensor arribarà a terra.

1

E p0 E c f m g h 0 — m v 2 f

2

f v dll 2 gllh ll 0 dll 2 9lll ,8 ll5 ll 4 19,8 m/s

b) La posició que tindrà l’ascensor respecte del terra quan

dugui una velocitat de 18 km/h.

18 km/h 5 m/s

1

E p0 E p1 E c1 f m g h 0 m g h 1 — m v 2 1

f

2

1

f 9,8 20 9,8 h 1 — 5 2 f h 1 18,7 m

2

c) Com es modificarien les respostes anteriors si l’ascensor

dugués una velocitat de 30 km/h en el moment en què

es trenca el cable?

Primer expressem la velocitat en unitats del SI:

30 km/h 5 8,33 m/s

En aquesta nova situació, cal afegir una energia cinètica

inicial quan l’ascensor es troba al cinquè pis, és a dir, a 20 m

del terra.

Per tant, la velocitat amb què arriba a terra és:

E p0 1 E c0 5 E cf f v 5 dll v 0

2ll1 lllghl 2 0

l 5

5 dll8,l33lll1 2 ll2 ? lll 9,8 ll? 20 ll 5 21,5 m/s

Aquest resultat és vàlid tant si l’ascensor està pujant com si

està baixant en el moment en què es trenca el cable ja que,

si puja, quan torna a passar pel mateix punt porta la mateixa

velocitat.

v 0 2 2 v f

2

E p0 1 E c0 E cf 1 E pf f h h 0 1 —————

2 g

8,33 2 2 5 2

20 1 —————— 22,3 m

2 ? 9,8

Quan té una velocitat de 5 m/s, l’ascensor es troba en un

punt situat entre el cinquè pis i el sisè pis.

2. Llancem des del terra, verticalment cap amunt, amb una

energia mecànica de 1 250 J, un cos de 5 kg. Calculeu l’altura

que assolirà el cos i la velocitat inicial.

E 1 250 J

E

E E p m g h f h ——

m g

1 250

h ———— 25,51 m

5 9,8

1 2 E

E E c — m v 2 f v d lll — l — ll

2 m

2 1 250

v d lll — l — llll —— ll 22,36 m/s

5

3. Des de la mateixa altura, deixem caure dues boles, una en

caiguda lliure i l’altra per un pla inclinat. Si no hi ha fregament,

arribaran les dues a terra amb la mateixa velocitat?

Justifiqueu la resposta.

Si les dues boles amb la mateixa massa parteixen del repòs des

de la mateixa altura inicial i no hi ha fregament, per conservació

de l’energia mecànica arriben al punt d’altura zero amb la

mateixa velocitat. Tota l’energia gravitatòria inicial s’ha transformat

en energia cinètica. Com que tenen la mateixa energia

cinètica final i la mateixa massa, tenen també la mateixa velocitat

final.

4. L’atleta de la figura 6.5 té una massa de 65 kg i salta a una

velocitat inicial de 6,5 m/s formant un angle de 45° amb

l’horitzontal. Calculeu:

Ara busquem l’altura a la qual es troba quan la seva velocitat

és de 18 km/h 5 5 m/s. Aquest valor de velocitat és

menor que la velocitat inicial i només es pot assolir en el

cas que l’ascensor estigui pujant en el moment en què es

trenca el cable. Si l’ascensor estigués baixant, com que

l’energia potencial gravitatòria va disminuint i l’energia cinètica

va augmentant, no hi hauria cap punt del recorregut

en el qual l’ascensor es mogués a 5 m/s.

Així, doncs, l’ascensor està pujant en el moment que es

trenca el cable. Ja sabem, per cinemàtica, que l’ascensor

segueix pujant cada vegada a menor velocitat fins a assolir

la velocitat zero i, tot seguit, segueix una caiguda lliure.

Busquem en quin punt del recorregut la velocitat val 5 m/s

aplicant la conservació de l’energia:

98 6


a) L’altura màxima a què arribarà.

Per trobar l’altura màxima a la qual arriba l’atleta, hem de

buscar primer el component de la velocitat en la direcció Y,

perquè ja sabem que la velocitat en la direcció X es manté

sempre constant, ja que no actua cap força en aquesta

direcció. En canvi, en la direcció Y actua la força pes que

trans forma part de l’energia cinètica en energia potencial

gravitatòria.

Els components de la velocitat inicial valen:

v 0x 5 v 0 cos a 5 6,5 cos 45º 5 4,6 m/s

v 0y 5 v 0 sin a 5 6,5 sin 45º 5 4,6 m/s

L’altura màxima ve donada per:

v 0

2y 4,6 2

E c0y 5 E pf f h 5 —— 5 ———— 5 1,08 m ø 1,1 m

2 g 2 ? 9,8

b) L’energia cinètica en el punt d’altura màxima.

En el punt d’altura màxima l’energia cinètica és deguda al

component de la velocitat en la direcció X:

1 1

E c 5 — m v 2 0x 5 — 65 ? 4,62 5 687,7 J ø 688 J

2 2

c) La potència desenvolupada per la força de contacte del

terra sobre la saltadora si ha actuat durant 0,1 s.

Per trobar la potència cal calcular primer el treball fet per

la força de contacte amb el terra. Aquesta força fa que la

saltadora s’aturi. Per tant, el treball que realitza és la disminució

de l’energia cinètica de la saltadora, que és igual a

l’energia cinètica inicial. Això és així perquè sabem que el

component de la velocitat en la direcció X no s’altera i que

el component de la velocitat Y en arribar a terra té el mateix

valor absolut que el valor inicial. Per tant:

W 5 DE c 5 E cf 2 E c0 5

1 1

5 0 2 — mv 2 0 5 2— ? 65 ? 6,52 5 21373 J

2 2

I la potència desenvolupada val (prenem el treball en valor

absolut):

W 1 373

P 5 —— 5 ———— 5 13,7 kW

Dt 0,1

d) El treball fet pel pes des que la saltadora s’eleva des de

terra fins que torna a tocar terra.

La força pes no fa treball perquè la saltadora, en tocar terra,

arriba a la mateixa altura inicial. No hi ha variació de la

seva energia potencial gravitatòria i, per tant, la força pes

no fa treball.

Aquest resultat també s’obté si considerem el recorregut de

la saltadora: parteix del punt A on inicia el salt i arriba al

punt B on toca el terra. Si portéssim la saltadora del punt B

al punt A tindríem un recorregut tancat. En el tram que va

de B a A la força pes és perpendicular al desplaçament i

no fa treball. A més, en ser el pes una força conservativa,

el treball total en el cicle és nul. I com que de B a A no es fa

treball, es conclou que d’A a B la força pes tampoc fa treball.

e) La velocitat amb què arriba a terra, si negligim el fregament

amb l’aire.

A l’apartat c) ja hem vist que, just en tocar a terra, l’energia

cinètica coincideix amb l’energia cinètica inicial. Per tant,

la velocitat just en tocar a terra és igual a la velocitat inicial

del salt:

v 5 6,5 m/s

5. Sobre una superfície horitzontal hi ha un objecte de massa

200 g unit a una molla de constant elàstica 2 000 N/m. Si

separem l’objecte 10 cm de la posició d’equilibri i el deixem

anar sense tenir en compte el fregament, calculeu la

velocitat quan:

m 5 200 g 5 0,2 kg

Dl 0 5 10 cm 5 0,1 m

k 5 2000 N/m

Com que totes les forces que actuen són conservatives podem

aplicar la conservació de l’energia mecànica.

a) El cos passa per la posició d’equilibri.

1 1 1 1

E 0 5 E f f — m ? 0 2 1 — k ? Dl 2 0

5 — m ? v 2 1 — k ? 0 2 f

2 2 2 2

k 2 000

f v 5 d lll — l ? Dl 5 d lll — l — ll l — l ? 0,1 5 10 m/s

m 0,2

b) El cos es troba a 5 cm de la posició d’equilibri.

1 1 1 1

E 0 5 E f f — m ? 0 2 1 — k ? Dl 2 0

5 — m ? v 2 1 — k ? Dl 2 f

2 2 2 2

k 2000

f v 5 d lll — l llll ( llll 2

lll ll Dl0 2 Dl

2) 5 d lll —— ll — llll ( ll llll lll lll

0,1 2 2 0,052

) 5

m 0,2

5 8,66 m/s

6. El mecanisme d’una pistola de joguina té una molla de

constant elàstica de valor 150 N/m, si la comprimim 5 cm

per carregar-la. Calculeu la velocitat que comunicarà a un

projectil de 10 g.

Es compleix el principi de conservació de l’energia mecànica,

ja que la força elàstica és una força conservativa. Per tant:

E 0 5 E f f E pe 5 E c f

1 1 1 1

f — k x 2 5 — m v 2 f — ? 150 ? 0,05 2 5 —? 0,01 ? v 2 f

2 2 2 2

150

f v 5 0,05 ? d lll — l — ll 5 6,12 m/s

0,01

7. Un bloc de 3 kg de massa avança a 2 m/s sobre una superfície

horitzontal sense fregament. Si en el camí es troba una

molla de constant elàstica 40 N/m, quina és la compressió

màxima de la molla?

v 5 2 m/s

FÍSICA 1 6

99

1 1

E c E p f — m v 2 — k x 2

2 2

m 3

x v d lll — l 2 d lll —— ll 0,55 m

k 40

8. Disposem d’una molla de constant elàstica 500 N/m. Si la

comprimim 20 cm amb un cos de 2 kg i tot seguit la deixem

lliure, calculeu:

m 5 2 kg

k 5 500 N/m

Dl 0 5 20 cm 5 0,2 m

a) La velocitat de sortida del cos.

Apliquem la conservació de l’energia:

1 1

E c E p f — k Dl 2 — m v 2 f

2 2

k 500

f v d lll — l Dl d lll —— ll ? 0,2 3,16 m/s

m 2

b) La distància que recorre el cos si puja per un pla inclinat

de 45º, sense fregament.

Per determinar la distància recorreguda primer calcularem,

fent ús de la conservació de l’energia, l’altura a què arribarà

el cos.

1

E c 5 E p f — m v 2 5 m g Dy f

2

v 2 3,16 2

f Dy 5 —— 5 ———— 5 0,51

2 g 2 ? 9,8

Com que el cos puja per un pla inclinat de 45º la distància

recorreguda serà:

Dy

d 5 ———— 5 0,72 m

sin 45°

9. Llancem un cos d’1 kg de massa a una velocitat de 5 m/s

sobre un pla horitzontal, i s’atura després d’haver recorregut

10 m. Calculeu:

a) El treball exercit per la força de fregament.

1

W Ff E f W Ff 0 E c — m v 2 0

2

1

— 1 5 2 12,5 J

2

b) La quantitat de calor produïda.

W Ff Q 12,5 J

c) El coeficient de fregament entre el cos i el pla.

W Ff 12,5

W Ff m g x f ———— ————— 0,13

m g x 1 9,8 10

10. Un nen de 30 kg es deixa caure per un tobogan de 2 m

d’altura i quan arriba a terra porta una velocitat de 4 m/s.

Quin treball han fet les forces de fregament?

Apliquem el principi de conservació quan actuen forces de fregament:

1

W f 5 DE m 1

— m ? v 2 2 f 2 (m ? g ? h) i 5

2

1

5 — ? 30 ? 4 2 2 30 ? 9,8 ? 2 5 240 2 588 5 2348 J

2

11. Calculeu l’alçada que aconseguirà pujar un cos que és impulsat

a 5 m/s per un pla inclinat de 30º que té un coeficient

de fregament de 0,2. Comenteu si influeix el valor de

la massa del cos en tot el recorregut.

Apliquem el principi de conservació de l’energia quan actuen

forces no conservatives:

DE mecànica 5 W fregament f DE c 1 DE p 5 W fregament

El treball fet per la força de fregament és negatiu perquè actua

en sentit contrari al del desplaçament. Tenint en compte que en

un pla inclinat a un angle a la relació entre l’altura h a què arrih

ba el cos i el desplaçament d sobre el pla és d 5 ————, i que

sin a

la força normal val m g cos a, tenim que:

1

1 0 2 — m v 2

0 2 1 (m g h 2 0) 5 2m m g (cos a) d 5

2

2

h v

5 2 m m g (cos a) ——— f h 5 ————————— 0

5

sin a

2 g 1 1 1 —— 2

5 2

5 ———————————— 5 0,95 m

0,2

2 ? 9,8 1 1 1 ———— 2

tg 30°

tg a

On el valor de la massa del cos no influeix en l’altura que pot

assolir.

12. Una grua portuària ha elevat una embarcació de 5 tones que

estava en repòs a terra fins a una altura de 7 m. Calculeu:

a) La variació d’energia mecànica de l’embarcació, si un

cop elevada es manté en repòs.

Com que la velocitat final de l’embarcació és zero, la seva

energia mecànica coincideix amb la seva energia potencial

gravitatòria:

E 5 E p 5 m g h 5 5 ? 10 3 ? 9,8 ? 7 5 343 kJ

b) El treball desenvolupat per la grua.

Si negligim el fregament i tenim en compte que l’embarcació

no ha variat la seva energia cinètica, el treball resultant

de totes les forces que han actuat en el desplaçament

és nul. Per tant, el treball fet per la grua és oposat al treball

fet per la força pes. I aquest últim és igual a la variació de

l’energia potencial gravitatòria canviada de signe. Per tant:

W grua 5 2W pes 5 2(2DE p ) 5 E pf 2 E p0 5 343 kJ

c) La velocitat màxima d’elevació que pot desenvolupar la

grua si té una potència de 6 CV.

La grua ha de fer una força exactament igual al pes de l’embarcació

per pujar-la a velocitat constant. La potència és

100 6


igual al producte d’aquesta força per la velocitat a què es

desplaça el mòbil. Si la potència desenvolupada és la màxima

possible (6 CV 5 6 ? 735 W), la velocitat també serà

màxima:

P màx 6 ? 735

v màx 5 ——— 5 —————— 5 0,09 m/s

F 5 ? 10 3 ? 9,8

d) El rendiment de la grua si la velocitat real d’elevació

mitjana ha estat de 4 m/min.

Tenint en compte la velocitat mitjana, és a dir, suposant

que la força aplicada sempre és la mateixa, el rendiment és:

4

——

F v real 60

h 5 ———— 5 ——— 5 74 %

F v màx 0,09

13. Una bola de 20 g de massa es mou sense fregament damunt

d’una superfície a 10 m/s, i xoca contra una altra bola que

està en repòs. A conseqüència del xoc, que és perfectament

elàstic, la primera bola surt llançada cap enrere amb una

velocitat de 5 m/s. Calculeu la massa de la segona bola.

15. Observem com dos ocells, que volen seguint trajec tòries

rectilínies, xoquen i després cauen a terra. Aquest fet contradiu

el principi de conservació de la quantitat de moviment

i la conservació de l’energia cinètica?

Aquest fet no contradiu el principi de conservació de la quantitat

de moviment perquè actuen forces externes al sistema format

pels dos ocells. Aquestes forces són els seus pesos, que

provoquen que apareguin components de la quantitat de moviment

en la direcció Y que no existien abans del xoc.

Tampoc es contradiu el principi de conservació de l’energia

perquè l’augment de l’energia cinètica que té lloc després del

xoc es deu al treball fet per la força pes. L’energia total sempre

es conserva.

En aquest cas, augmenta l’energia cinètica però disminueix

l’energia potencial gravitatòria.

16. Un cos de 2 kg es mou a una velocitat de 5 m/s i un altre

cos de 3 kg es mou a 2 m/s en la mateixa direcció però en

sentit contrari. Quina energia es desprèn en el xoc entre

tots dos cossos, si aquest és perfectament inelàstic?

m 1 20 g m 2

v 1 10 m/s v 2 0

v 1 5 m/s

v 2

i

u

y

u

t

m 1 v 1 m 2 v 2 m 1 v 1 m 2 v 2 i

yt

v 1 v 1 v 2 v 2

0,02 10 0,02 (5) m 2 v 2

10 5 v 2 f v 2 5 m/s

0,3

0,2 0,1 5 m 2 f m 2 —— 0,06 kg 60 g

5

14. Dues boles es mouen en la mateixa direcció però en sentits

contraris amb velocitats de 2 m/s i 1 m/s, respectivament.

Es produeix un xoc perfectament elàstic. Després del xoc

les boles es mouen en la mateixa direcció i amb la mateixa

velocitat en mòdul, però en sentits contraris. Com seran les

seves masses respectives?

m 1 v 1 m 2 v 2 (m 1 m 2 ) v

4

2 5 3 (2) 5 v f v — 0,8 m/s

5

1 1 1

E c — (m 1 m 2 ) v 2 — m 1 v 2 1

—

2

m 2 v

2 2 2 2

1 1 1

E c — 5 0,8 2 — 2 5 2 — 3 (2) 2

2 2 2

29,4 J

17. Un vagó de 10 tones circula amb una velocitat de 1,5 m/s.

De sobte, xoca amb un altre vagó de 15 to nes que es troba

aturat a la via, i tot seguit es mouen junts amb una velocitat

constant. Calculeu:

m 1 10 tones 10 4 kg

m 2 15 tones 1,5 ? 10 4 kg

m 1 v 1 m 2 v 2 m 1 v 1 m 2 v 2 i

yt

v 1 v 1 v 2 v 2

2 m 1 m 2 2 m 1 m 2

4 m 1 2 m 2 f m 1 0,5 m 2

v 1 1,5 m/s

v 2 0

a) La quantitat de moviment del primer vagó.

p 1 m 1 ? v 1 1,5 ? 10 4 15000 kg?m/s

FÍSICA 1 6

101

b) La velocitat dels vagons després del xoc.

m 1 ? v 1 1 m 2 ? v 2 (m 1 1 m 2 ) ? v f

m 1 ? v 1 1 m 2 ? v 2 10 4 ? 1,5

f v ———————— ————— 0,6 m/s

m 1 1 m 2 2,5 ? 10 4

c) L’energia perduda en el xoc.

1 1

DE c — (m 1 1 m 2 ) v 2 2 — m 1 v 2 1

2 2

1 1

— (10 4 1 1,5 ? 10 4 )? 0,6 2 2 — 10 4 ? 1,5 2 26 750 J

2 2

p 3 dlllllllllllllllllllllllllll

(9,22 10 21 ) 2 (5,33 10 21 ) 2

5 1,06 10 20 kg m/s

5,33 10 21

tg ——————— 0,57 f 30,03°

9,22 10 21

Està en el tercer quadrant f 180° 30° 210°

20. Una bomba de 2 kg explota i es divideix en quatre fragments.

Un, de 0,5 kg, surt a 2 m/s en sentit nord; un altre,

de 0,2 kg, surt a 5 m/s en sentit est; el tercer, de 0,8 kg, va

a 0,5 m/s en sentit sud-oest. Del quart fragment, trobeu-ne

el mòdul, la direcció i el sentit de la velocitat.

18. Dues boles de massa 1 kg i 0,5 kg, que avancen per un pla

horitzontal en la mateixa direcció i en el mateix sentit, i

amb unes velo citats respectives de 4 m/s i 2 m/s, xoquen.

Com a conseqüència del xoc varien de velocitat a 3 m/s i

4 m/s, respectivament. Calculeu el coeficient de restitució

i l’energia dissipada en el xoc.

m T 2 kg

(v 1 v 2 ) (3 4)

k ——————— —————— 0,5

v 1 v 2 4 2

1 1

E ci E ci1 E ci2 — m 1 v 1 2 — m 2 v 2 2

2 2

1 1

— 1 4 2 — 0,5 2 2 9 J

2 2

1 1

E cf E cf1 E cf 2 — m 1 v 1 2 — m 2 v 2 2

2 2

1 1

— 1 3 2 — 0,5 4 2 8,5 J

2 2

E c E cf E ci 8,5 9 0,5 J

19. Un nucli inicialment en repòs es descompon per radioactivitat

i emet un electró amb una quantitat de moviment

de 9,22 ?10 221 kg m/s i, perpendicularment a la direcció

de l’electró, un neutrí amb una quantitat de moviment

de 5,33 ?10 221 kg m/s. Determineu la direcció en què retrocedeix

el nucli residual i la seva quantitat de moviment.

f

p 2 5,33 10 21 kg m/s

f

p 1 9,22 10 21 kg m/s

m T m 1 m 2 m 3 m 4 f m 4 0,5 kg

f

p 1 f p 2 f p 3 f p 4 0

m 1

f

v1 m 2

f

v2 m 3

f

v3 m 4

f

v4 0

m 1

f

v1 m 2

f

v2 m 3

f

v3

f

v 4 ———————————

m 4

0,52 f j 0,25 f i 0,8(0,5cos 45° f i 0,5sin 45° f f

j )

v 4 ——————————————————————————

0,5

f f f f

j i 0,28 i 0,28 j

————————————— 1,44 f i 1,44 f j

0,5

v 4 dlllllllllll

1,44 2 1,44 2 2,04 m/s

1,44

arctg ——— 45°

1,44

Està al tercer quadrant f 180° 45° 225°

21. Una granada es desplaça horitzontalment a 2 m/s, explota i

es divideix en tres fragments que tenen la mateixa massa.

El primer segueix movent-se horitzontalment a 4 m/s. El

segon forma un angle de 60° cap amunt amb la línia horitzontal

inicial. El tercer va cap avall amb un angle de 60°

amb la mateixa línia horitzontal. Amb quina velocitat es

mouen els dos últims fragments?

f

p 1 f p 2 f p 3 0

9,22 10 21 f i 5,33 10 21 f j f p 3 0

f

p 3 9,22 10 21 f i 5,33 10 21 f j

102 6


La resposta correcta és la a). El cos llançat horitzontalment

arriba a terra desplaçat en la direcció X a causa del compof

v 2 f i

f

v 1

4 f i

f

v 2

v 2 cos 60° f i v 2 sin 60° f f f

j 0,5 v 2 i 0,87 v2 j

f

v 3

v 3 cos 60° f i v 3 sin 60° f f f

j 0,5 v 3 i 0,87 v3 j

f

p p f 1 p f 2 p f 3

3 m f v m f v 1 m f v 2 m f v 3 f 3 f v f v 1 f v 2 f v 3

3 2 f i 4 f i (0,5 v 2

f

i 0,87 v2

f

j ) (0,5 v3

f

i 0,87 v3

f

j )

Si suposem que la desacceleració és uniforme, podem aplicar

les equacions del MRUA, tenint en compte que la velocitat final

és zero i la velocitat inicial és de 80 km/h 5 22,22 m/s.

Per tant,

v 2 v 0 222,22

a 5 ————— 5 ————— 5 2148 m/s 2

Dt 0,150

Aquesta acceleració, en unitats de l’acceleració de la gravetat,

g, és:

g

a 5 148 m/s 2 ? ————— 5 15 g

9,8 m/s 2

6 4 0,5 v 2 0,5 v 3 i

yt

0 0,87v 2 0,87v 3

v 2 v 3

2 0,5 v 2 0,5 v 2 f v 2 2 m/s

f

v 2

0,5 2 f i 0,87 2 f j ( f i 1,74 f j ) m/s

f

v 3

0,5 2 f i 0,87 2 f j ( f i 1,74 f j ) m/s

Física quotidiana

1. Creieu que és una bona aproximació considerar que aquests

tipus de xocs són xocs en una dimensió?

En aquests assaigs, tant el moviment dels cotxes en les simulacions

de xocs frontals, com el dels blocs deformables en les simulacions

de xocs laterals, és un moviment rectilini. Per tant,

aquests xocs es poden suposar unidimensionals.

2. L’energia cinètica que tenen el vehicle i els seus ocupants

abans del xoc, en què es transforma durant el xoc?

A causa del xoc, el xassís del vehicle es deforma i, a més, els

ocupants pateixen una brusca desacceleració. Han «d’absorbir»

l’excés d’energia cinètica. Per tant, quan s’assoleix el

repòs, l’energia cinètica del cotxe i dels seus ocupants s’ha

transformat en energia plàstica de deformació i també en energia

calorífica.

3. Expliqueu per què, en els xocs, els passatgers i les parts

mòbils del vehicle segueixen un moviments diferent que el

de la carrosseria del vehicle.

Tot i tenir la mateixa velocitat inicial, la carrosseria del vehicle

i els seus ocupants descriuen trajectòries diferents perquè, en el

xoc, són sotmesos a forces diferents. La carrosseria rep les forces

de contacte amb la barrera i el terra, a banda de les forces

de contacte dels passatgers. Aquests, en canvi, només reben les

forces de contacte amb els seients i els elements de subjecció.

La transmissió de la desacceleració del vehicle cap als seus ocupants

no és instantània i per això cal l’ús de dispositius de seguretat:

cinturons, cadiretes de subjecció, airbags, etc.

4. Els xocs tenen una durada aproximada de 15 ms. Estimeu

la desacceleració mitjana que actua sobre un vehicle que

xoca a 80 km/h contra un obstacle en repòs. Expresseu-la

en unitats de l’acceleració de la gravetat.

Activitats finals

Qüestions

1. En què es transforma el combustible que posem als vehicles?

Serveix per accionar el motor i per produir energia mecànica.

2. Des de dalt d’una torre deixem anar tres cossos idèntics

amb la mateixa velocitat inicial però en direccions diferents:

un, verticalment cap amunt; un altre, horitzontalment,

i el tercer, verticalment cap avall. Si no tenim en

compte el fregament amb l’aire...

A) L’energia cinètica amb què arriben a la base és:

a) Més gran per al que llancem cap amunt.

b) Més gran per al que llancem cap avall.

c) La mateixa per a tots tres cossos.

La resposta correcta és la c). Els tres cossos arriben amb la

mateixa energia cinètica perquè tenen els mateixos valors

de massa i d’energia cinètica inicial, i la força gravitatòria

fa el mateix treball en els tres cossos. Per tant, tots tenen

el mateix augment en la seva energia cinètica.

B) L’energia cinètica amb què arriben a la base de la torre és:

a) La mateixa que la que tenien a l’inici.

b) Més gran que la de l’inici, pel treball fet per la força

pes.

c) Més petita que la de l’inici pel treball fet per la força

pes.

La resposta correcta és la b). L’energia cinètica augmenta a

causa del treball fet per la força pes. Treball que és positiu

perquè té la mateixa direcció que el desplaçament en la direcció

Y.

C) Només un cos no arriba justament al peu de la torre

quan toca a terra. Quin?

a) El que llancem horitzontalment.

b) El que llancem verticalment cap amunt.

c) El que llancem verticalment cap avall.

FÍSICA 1 6

103

nent de la velocitat en aquesta direcció. Els altres dos cossos

no tenen aquest component de la velocitat.

D) El mòdul de la velocitat en tocar terra és:

a) Més gran pel cos que llancem cap amunt.

b) Més gran pel cos que llancem cap avall.

c) El mateix en tots tres cossos.

La resposta correcta és la c). El mòdul de la velocitat és el

mateix en els tres cossos per la mateixa raó que hem explicat

a l’apartat A). De tota manera es pot comprovar a partir

de les equacions de la cinemàtica.

3. Per què augmenten de temperatura els frens d’un automòbil

després d’aturar-lo?

Part de l’energia mecànica que porta el cotxe es va transmetent

al terra i als frens en forma de calor, i aquesta és la causa que

el cotxe disminueixi de velocitat.

4. Dos blocs de massa diferent pengen dels extrems d’un fil,

que és inextensible i de massa negligible. Aquest passa

per la gorja d’una politja sense fregament. Si deixem el

sistema en llibertat, justifiqueu:

A) Es conservarà l’energia mecànica del sistema?

a) Sí.

b) No.

c) Depèn de com siguin els valors de les masses dels

blocs.

La resposta correcta és la a). L’energia del sistema es conserva

perquè no hi ha fregament.

B) Es conservarà l’energia mecànica de cada bloc?

a) Sí, pel principi de conservació de l’energia.

b) No, perquè hi ha forces internes.

c) Depèn de com siguin els valors de les masses dels

blocs.

La resposta correcta és la b). L’energia mecànica de cada

bloc no es conserva, només la del sistema. Inicialment els

dos blocs tenen una energia cinètica nul . la i un cert valor

d’ener gia potencial gravitatòria. Posteriorment, tot i que

els dos blocs tinguin la mateixa energia cinètica, tenen diferents

valors d’energia potencial gravitatòria. Les forces

internes que provoquen que l’energia mecànica de cada bloc

no es conservi són les tensions del fil.

C) La variació de l’energia cinètica del sistema:

a) És igual al treball fet per totes les forces sobre el

sistema.

b) És igual al treball fet només per les forces conservatives.

c) És nul . la perquè les forces internes fan un treball nul.

La resposta correcta és la a). Pel teorema del treball i de

l’energia cinètica, la variació d’aquesta és deguda a totes les

forces que actuen sobre el sistema. Si no hi ha fregament,

les úniques forces que actuen són els pesos dels cossos, ja

que les forces internes (tensions) s’anul . len entre si.

5. Quan un cos queda en repòs a terra després d’haver caigut

d’una certa altura:

a) En què s’ha transformat l’energia potencial gravitatòria

que tenia inicialment?

En energia calorífica i energia de deformació del cos.

b) On ha anat a parar aquesta energia?

A l’entorn, en aquest cas a terra.

6. Considereu un xoc elàstic unidimensional entre dos cossos

de massa igual. Trieu les respostes correctes per a cada

situació:

A) Si un d’ells està en repòs, després del xoc:

a) El que estava en repòs continua estant en repòs i

l’altre canvia el sentit del seu moviment.

b) El que estava en repòs adquireix la velocitat de l’altre,

mentre que el que es movia abans del xoc queda

en repòs.

c) Tots dos queden units i es mouen a la meitat de la

velocitat d’abans del xoc.

La resposta correcta és la b). Quan dos cossos amb la mateixa

massa xoquen elàsticament, intercanvien les seves

velocitats. Això vol dir que el cos que estava en repòs abans

del xoc, després de xocar adquireix la velocitat que tenia el

cos en moviment abans del xoc i aquest es queda en repòs.

B) Si es mouen a una certa velocitat en sentits contraris,

després del xoc:

a) Cadascun canvia el sentit del seu moviment però

manté el mateix mòdul de la velocitat que duia abans

del xoc.

b) Cadascun canvia el sentit del seu moviment i s’intercanvien

els valors del mòdul de les velocitats d’abans

del xoc.

c) Queden units i es mouen a la mateixa velocitat, que

és el valor mitjà de les velocitats d’abans del xoc.

La resposta correcta és la b). Tal com passava en l’apartat

anterior, els dos cossos d’igual massa intercanvien les velocitats

en xocar elàsticament.

7. Imagineu-vos que escalfem masses iguals de ferro, plom i

mercuri, que inicialment estan a 15 ºC, i utilitzem el mateix

focus de calor. Sense fer cap càlcul, justifiqueu quina

arribarà abans als 30 ºC.

Nota: Consulteu les taules de la calor específica de cada

material.

104 6


El plom, perquè la calor específica és menor i necessitarà menys

calor per augmentar la seva temperatura.

8. Tenim dos objectes aparentment iguals a la mateixa temperatura;

els apliquem la mateixa quantitat de calor i observem

que un objecte ha augmentat la seva temperatura 10 ºC

mentre que l’altre l’ha augmentada 15 ºC. Raoneu a què pot

ser degut i marqueu l’opció correcta:

a) Són de diferents materials.

b) Són de diferents materials i la seva massa és diferent.

c) La seva massa és diferent.

d) Totes les altres respostes poden ser correctes, però necessitem

dades per comprovar-ho.

La resposta correcta és la d).

9. Tenim dos cossos la massa d’un dels quals és molt més

gran que la de l’altre. Si xoquen elàsticament, deduïu quina

és la velocitat de cada cos després del xoc a cadascuna

d’aquestes situa cions i poseu-ne exemples quotidians:

a) Si inicialment el cos amb massa més gran està en repòs

i l’altre es mou amb una velocitat determinada.

m 1 . m 2

Cos 1 Cos 2

m 1 m 2

v 1 5 0 v 2

Apliquem el principi de conservació de la quantitat de moviment.

m 1

f

v1 m 2

f

v2 m 1

f

v1 m 2

f

v2

Posant els valors, tenim:

m 1 0 m 2 v 2 m 1 v 1 m 2 v 2

Quan m 1 . m 2 simplifiquem:

0 m 1 v 1 f v 1 0

Utilitzem també l’expressió deduïda en la unitat en combinar

el principi de conservació de la quantitat de moviment i

de l’energia cinètica, que és:

v 1 v 1 v 2 v 2

Posant els valors que coneixem tenim:

0 v 2 v 2 f v 2 v 2

El cos que estava en moviment canvia el sentit del moviment,

sense modificar el mòdul de la seva velocitat, i el cos

que està quiet continua en repòs.

Un exemple d’aquest cas és el d’una pilota que rebota contra

una paret.

b) Si inicialment el cos amb menys massa està en repòs i

l’altre es mou amb una velocitat determinada.

Cos 1 Cos 2

m 1 m 2

v 1 v 2 5 0

Apliquem el principi de conservació de la quantitat de moviment.

m 1

f

v1 m 2

f

v2 m 1

f

v1 m 2

f

v2

Posant els valors, tenim:

m 1 v 1 m 2 0 m 1 v 1 m 2 v 2

Quan m 1 . m 2 simplifiquem:

m 1 v 1 m 1 v 1 f v 1 v 1

Utilitzem també l’expressió deduïda en la unitat en combinar

el principi de conservació de la quantitat de moviment i

de l’energia cinètica, que és:

v 1 v 1 v 2 v 2

Posant els valors que coneixem tenim:

v 1 v 1 v 2 f v 2 2 v 1

El cos que estava en moviment canvia contínuament movent-se

en el mateix sentit i a la mateixa velocitat, i el cos

que estava en repòs es mou amb una velocitat el doble de

la que porta l’altre i en el mateix sentit.

Un exemple d’aquest cas és el d’un petit mòbil que és envestit

per un mòbil amb més massa, per exemple: una furgoneta

que xoca contra un ciclista.

10. Un cos en repòs esclata i es divideix en dos fragments. Justifiqueu

que les velocitats dels dos fragments han de tenir

la mateixa direcció. Tindran el mateix sentit, o sentits contraris?

Raoneu-ho.

En tota explosió es conserva la quantitat de moviment; com

que inicialment aquesta és nul . la, també ha de ser-ho després

de l’explosió. Per tant, les quantitats de moviment dels dos

fragments han de ser iguals en mòdul però de sentit contrari.

Inici: f p i 0

Final: f p f f p 1 f p 2 m 1

f

v1 m 2

f

v2

Com que p f i p f f

Igualant, tenim que:

f f m 2

0 m 1v1 m 2v2 f v f 1 —— v f 2

m 1

11. [Curs 98-99] És possible que en un cert procés es conservi

la quantitat de moviment d’un sistema de partícules però

que no se’n conservi l’energia cinètica? Si la resposta és

negativa, raoneu-ho. Si la resposta és afirmativa, poseune

un exemple.

FÍSICA 1 6

105

Sí que és possible. Un exemple és un xoc inelàstic en què es

conserva la quantitat de moviment i no es conserva l’energia

cinètica.

12. [Curs 99-00] Es produeix una explosió en un sistema aïllat.

Justifiqueu quina o quines de les afirma cions següents són

correctes:

a) No varia ni la quantitat de moviment ni l’energia cinètica.

b) Varia la quantitat de moviment però no l’energia cinètica.

c) Varien la quantitat de moviment i l’energia cinètica.

d) No varia la quantitat de moviment, però sí l’energia

cinètica.

Les afirmacions a), b) i c) són falses perquè en el sistema aïllat

es conserva la quantitat de moviment en absència de forces

externes. També es conserva l’energia total però no necessàriament

l’energia cinètica. En el cas d’una explosió, part de l’energia

interna (química) es transforma en energia cinètica. Per

tant, l’opció d) és la correcta.

Problemes

c) A quina altura es troba quan va a 20 m/s? Quina energia

cinètica i potencial té a aquesta altura?

E p0 E c0 E p3 E c3

1 1

m g h 0 — m v 0 2 m g h 3 — m v 3

2

2 2

1 1

9,8 20 — 50 2 9,8 h 3 — 20 2 f h 3 127,14 m

2 2

1 1

E c3 — m v 3 2 — 5 10 3 20 2 1 J

2 2

E p m g h 3 5 10 3 9,8 127,14 6,23 J

2. Llancem verticalment cap amunt un cos de 2 kg a una velocitat

de 20 m/s. Calculeu quina energia potencial gravitatòria

tindrà quan dugui una velocitat de 10 m/s.

E c0 E c1 E p1 f E p1 E c0 E c1

1 1

E p1 — m (v 0 2 v 12

) — 2 (20 2 10 2 ) 300 J

2 2

3. Des d’una torre disparem cap amunt una bala de 20 g de

massa a una velocitat de 36 km/h. Si arriba fins a 200 m

d’altura, calculeu:

1. Des d’una torre de 20 m d’alçària disparem verticalment

cap amunt una bala de 5 g de massa amb una velocitat de

50 m/s:

a) Quina altura assoleix?

E p0 E c0 E p1

1

m g h 0 — m v 2 0

m g h 1

2

1

9,8 20 — 50 2 9,8 h 1 f h 1 147,55 m

2

a) L’alçària de la torre.

E p0 E c0 E p1

1

m g h 0 — m v 0 2 m g h 1

2

1

9,8 h 0 — 10 2 9,8 200 f h 1 194,9 m

2

b) La velocitat amb què arriba a terra.

1

E p1 E c2 f m g h 1 —

2

m v

2 2

v 2 dllll 2 g hl 1 dlllllllll 2 9,8 200 62,61 m/s

c) La velocitat a 10 m de terra.

b) Quina és la velocitat amb què arriba al terra?

E p0 E c0 E c2

1 1

m g h 0 — m v 2 0

—

2

m v

2 2 2

1 1

9,8 20 — 50 2 — v 2 2 f v 2 53,78 m/s

2 2

1

E p1 E c3 E p3 f m g h 1 — m v 3 2 m g h 3

2

1

9,8 200 — v 3 2 9,8 10 f v 3 61,02 m/s

2

d) L’energia potencial a dalt de la torre.

E p1 m g h 1 0,02 9,8 194,9 38,2 J

106 6


e) L’energia cinètica quan arriba a terra.

1 1

E c2 — m v 2 2 — 0,02 62,61 2 39,2 J

2 2

7. A cadascun dels caps d’una corda que passa per una politja

fixa hi ha un cos penjat: un de 200 g i l’altre de 100 g. Si

inicialment estan en repòs i a la mateixa altura, quin recorregut

han fet quan van a 10 m/s?

4. Una nedadora de massa m salta d’un trampolí de 5 m d’altura.

Calculeu la velocitat amb què arriba a l’aigua si es deixa

caure i si es llança amb una velocitat inicial de 18 km/h.

18 km/h 5 m/s

1

E p0 E cf f m g h 0 — m v 2 f

f v f dllll 2 g h 0

l f

2

f v f dllllll l 2 9,8 5 9,90 m/s

E p0 E c0 E cf

1 1 1 1

m g h 0 — m v 0 2 — m v f 2 f g h 0 — v 0 2 — v f

2

2 2 2 2

1 1

9,8 5 — 5 2 — v f 2 f v f 11,09 m/s

2 2

5. Un paracaigudista de 100 kg de massa, inclòs l’equipament,

es deixa caure des d’un avió que vola a 2 km d’altura. Si

no se li obrís el paracaigudes, calculeu, tot negligint les

forces de fregament:

a) Amb quina velocitat arribaria al terra.

1

E p0 E cf f m g h 0 — m v 2 f

f v f dllll 2 g h 0

l

2

v f dlllllllll

2 9,8 2000 198 m/s

b) A quina altura es trobaria en el moment d’assolir una

velocitat de 126 km/h.

v 126 km/h 35 m/s

1

E p0 E c2 E p2 f m g h 0 — m v 2 2 m g h 2

2

1

9,8 2 000 — 35 2 9,8 h 2 f h 2 1 937,5 m

2

6. Un muntacàrregues aixeca un cos de 280 kg de massa al

vintè pis d’un edifici; si cada pis té 3 m d’alçària, calculeu:

a) L’energia potencial del muntacàrregues.

E p m g h 280 9,8 (3 20) 164 640 J

b) En el supòsit que el muntacàrregues es trenqués i que el

cos caigués al carrer, quina energia cinètica tindria en

arribar al terra? Amb quina velocitat hi arribaria?

E p E c 164 640 J

1

E c — m v 2 f

2

2 E c 2 164 640

f v d lllll —— d

llllllllll

————— 34,29 m/s

m 280

v 10 m/s

E i 0 i

yt E i E f

E f 0

1

0 E cf E pf — (m 1 m 2 ) v f 2 m 1 g (h) m 2 g h f

2

1

f 0 — (0,2 0,1) 10 2 9,8 h (0,1 0,2) f

2

f 0 15 0,98 h f

15

f h ——— 15,31 m

0,98

8. Calculeu la velocitat d’un pèndol d’1 m de longitud quan

passa per la vertical, si es deixa anar des d’una posició que

forma un angle de 40° respecte de la vertical.

E p

1 m

l h

cos 40° ——— f h l (1 cos 40°)

l

1 0,766 0,234 m

E c

1

E p E c f m g h — m v 2 f

2

f v dllll 2 g h dllllllllll

2 9,8 0,234 2,14 m/s

9. Si comprimim 30 cm una molla de constant elàstica 80 N/m

situada en un pla horitzontal i, d’aquesta manera, es dispara

un cos de 250 g, calculeu l’altura que assoleix aquest

en el pla inclinat (fig. 6.29) si no tenim en compte el fregament.

FÍSICA 1 6

107

1 k x 2

E pe E pg f — k x 2 m g h f h ———

2 2 m g

80 0,3 2

—————— 1,47 m

2 0,25 9,8

10. Llancem un cos de 25 kg de massa en direcció cap amunt per

un pla inclinat d’inclinació 30°, amb velocitat de 20 m/s.

Calculeu la distància que recorre fins que s’atura, si:

a) Es negligeix el fregament.

1

E c E p f — m v 2 m g h f

2

v 2 20 2

f h —— ———— 20,41 m

2 g 2 9,8

h h 20,41

sin 30° — f x ———— ———— 40,81 m

x sin 30° sin 30°

b) El fregament entre el cos i el terra és de 0,15.

W Ff E f W Ff E p E c

F f N m g cos

i

u

h

y

sin 30° —— f h x sin 30° u

x

t

1

F f x m g h — m v 2

2

1

m g cos x m g h — m v 2 f

2

1

f g cos 30° x g x sin 30° — v 2 f

2

1

f 0,15 9,8 cos 30° x 9,8 x sin 30° — 20 2 f

2

f 1,27x 4,9 x 200 f x 32,40 m

11. Calculeu la quantitat de calor que hem de subministrar a

10 mL de mercuri perquè la seva temperatura augmenti de

20 ºC a 38 ºC.

Dades: la densitat del mercuri és de 13,6 g/cm 3 .

Calculem prèviament la massa del mercuri:

13,6 g 1 kg

10 mL ? ———— ?———— 0,136 kg

1 cm 3 1000 g

Amb l’expressió de la calor trobem:

Q c ? m ? DT 140 ? 0,136 ?(38 2 20) 342,72 J

12. Tenim una mostra de 120 g de plom i una altra de 120 g de

ferro. Inicialment les dues estan a 25 ºC i els transferim

200 J d’energia. Calculeu a quina temperatura arribaran les

dues mostres.

Amb l’expressió de la calor i aïllant la variació de la temperatura,

trobem:

Plom:

Q 200

Q c ? m ? DT f DT ——— ————— 12,82 °C f

c ? m 130 ? 0,12

f T f DT 1 T 0 12,82 1 25 37,82 °C

Ferro:

Q 200

Q c ? m ? DT f DT ——— ————— 3,76 °C f

c ? m 443 ? 0,12

f T f DT 1 T 0 3,76 1 25 28,76 °C

13. Calculeu la quantitat de calor necessària per elevar la

temperatura d’1 g d’una peça de coure, de 20 ºC a 35 ºC.

Tingues en compte que la calor específica del coure és

385 J?kg 21 ?K 21 .

Amb l’expressió de la calor trobem:

Q c ? m ? DT 385 ? 0,001 ? (35 2 20) 25,77 J

14. Deixem anar un cos des del punt A (fig. 6.30). Calculeu

l’altura a què està quan arriba al punt B, si:

A

a) No hi ha fregament.

E p0 E pf f m g h 0 m g h f f

f h 0 h f 1 m

b) En tot el recorregut hi ha un fregament de coeficient 0,2.

W Ff E

B

A

Des d’ A fins a 1:

h

h

sin 30° —— f x ————

x sin 30°

W Ff E f N x E c E p f

1

f m g cos 30° x — m v 2 m g h f

2

h 1

f g cos 30° ———— — v 2 g h f

sin 30° 2

cos 30° 1

f 0,2 9,8 ———— 1 — v 2 9,8 1 f

sin 30° 2

f v dlllll 2 6,4 3,58 m/s

B

108 6


Des d’ 1 fins a 2:

W Ff E f m g x E cf E ci f

1 1

f m g x — m v 2 2 — m v 1 2 f

2 2

1 1

f 0,2 9,8 0,5 — v 2 2

— 3,58 2 f

2 2

f v dllllll 2 5,43 3,29 m/s

Des de 2 fins a B:

W Ff E c f m g cos x E pf E ci

h

h

sin 60° —— f x ————

x sin 60°

1

m g cos 60° x m g h — m v 2

2

f

2

h 1

f g cos 60° ———— g h — v 2 2 f

sin 60° 2

cos 60° 1

f 0,2 9,8 ———— h 9,8 h — 3,29 2 f

sin 60° 2

f 1,13 h 9,8 h 5,43 f h 0,50 m

15. En el punt més alt d’un pla inclinat de 10 m de longitud i

2 m d’alçària hi ha un cos de 2 kg de massa. Si el deixem

baixar lliscant per aquest pla inclinat, calculeu la velocitat

amb què arriba a baix, tenint en compte que la força de

fregament que s’oposa al moviment és de 5 N.

W Ff E

W Ff F f x 5 10 50 N

E p m g h 2 9,8 2 39,2 N

W Ff E c E p f E c E p W Ff 39,2 50 10,8 J

És impossible. Per tant, no es mou.

16. Des de la part superior d’un pla inclinat de 4 m d’altura i

10 m de longitud es deixa caure un cos de 8 kg de massa

que arriba a la base del pla amb una velocitat de 8 m/s.

Calculeu:

a) L’energia cinètica i potencial del cos en iniciar el moviment

i en finalitzar-lo.

E c0 0

E p0 m g h 8 9,8 4 313,6 J

1 1

E cf — m v 2 — 8 8 2 256 J

2 2

E pf 0

b) L’energia mecànica perduda pel fregament i el valor de

la força de fregament.

W Ff E E cf E ci 256 313,6 57,6 J

W Ff 57,6

F f ——— ———— 5,76 N

x 10

17. Damunt d’una taula horitzontal hi ha, en un extrem, un cos

de 500 g de massa i, enganxat a aquest cos, n’hi penja un

altre de 400 g de massa. Tots dos cossos estan connectats

per una politja. Tenint en compte que el coeficient de fregament

dinàmic entre el cos i la superfície horitzontal

és de 0,2, calculeu, quan els cossos tinguin una velocitat de

5 m/s:

F f

a) L’espai recorregut.

W Ff E

F f x E

h 5 x

1

m 1 g x — (m 1 m 2 ) v 2 m 2 g x

2

1

0,2 0,5 9,8 x — (0,5 0,4) 5 2 0,4 9,8 x

2

b) El treball de fricció.

0,98 x 11,25 3,92 x

2,94 x 11,25 f x 3,82 m

W Ff m 1 g x 0,2 0,5 9,8 3,82 3,74 J

c) La pèrdua d’energia potencial de la massa de 400 g.

E p 0 m g x 0,4 9,8 3,82 14,97 J

d) L’energia cinètica total.

1 1

E c — (m 1 m 2 ) v 2 — (0,5 0,4) 5 2 11,25 J

2 2

18. Un cos de 2 kg de massa baixa per un pla inclinat de 80 cm

d’altura i 60 cm de base. Quan arriba a baix la velocitat és

de 3 m/s. Calculeu:

FÍSICA 1 6

109

a) L’energia perduda en forma de calor degut al fregament.

E W Fnc

1

W fnc E c E p f W fnc — m v 2 m g h

2

1

— 2 3 2 2 9,8 0,8 6,68 J

2

b) El coeficient de fregament.

20. Damunt d’una taula horitzontal hi ha, en un extrem, un cos

de 2 kg de massa i, enganxat a aquest cos, n’hi penja un

altre de 3 kg de massa. Tots dos cossos estan connectats per

una politja. Tenint en compte que el coeficient de fregament

dinàmic entre el cos i la superfície horitzontal és

de 0,2, calculeu, quan els cossos han re corregut una distància

de 2 m:

F f

b 0,6

cos — f x dllllllllll

0,8 2 0,6 2 1 f cos ——

x 1

W Fnc

W Fnc m g cos x f ———————

m g cos x

26,68

——————— 0,57

2 9,8 0,6 1

19. Deixem caure un cos de 2 kg de massa que es troba sobre un

pla inclinat de 30° de manera que tarda 5 s a arribar a baix,

tot recorrent 25 m. Calculeu el coefi cient de fregament i el

treball de la força de fregament.

P y

F f

P x

E W Ff

E c E p W Ff

1 1

x x 0 v 0 t — t 2 i u

yut

x — a t 2 i u

yut

a 2

v v 0 a t

v a t

1 2 x 2 25

x — v t f v —— ——— 10 m/s

2 t 5

W Ff E

F f x E

a) La velocitat quan ha recorregut els 2 m.

1

m 1 g x — (m 1 m 2 ) v 2 m 2 g x

2

1

0,2 2 9,8 2 — (2 3) v 2 3 9,8 2

2

7,84 2,5 v 2 58,8 f v 4,51 m/s

b) El treball de fricció.

W Ff 0,2 2 9,8 2 7,84 J

c) La pèrdua d’energia potencial de la massa de 3 kg.

E p m 2 g x 58,8 J

d) L’energia cinètica total final.

1 1

E c — (m 1 m 2 ) v 2 — (3 2) 4,51 2 50,96 J

2 2

21. Des de la part superior d’un pla inclinat de 10 m d’alçada

i 50 m de longitud deixem caure un cos de 20 kg de massa,

que arriba a la base del pla amb una velocitat de 10 m/s.

Calculeu:

h x sin 25 sin 30° 12,5 m

E c E p m g cos x f

1

f — m v 2 m g h m g cos x f

2

1

f — v 2 g h g cos x f

2

1

— 10 2 9,8 12,5 9,8 cos 30° 25 f 0,34

2

W Ff m g cos x 0,34 2 9,8 cos 30° 25

5 145 J

a) Les energies cinètica i potencial del cos a l’inici i al final

del recorregut.

E ci 0

E pi m g h 20 9,8 10 1 960 J

1 1

E cf — m v 2 — 20 10 2 1 000 J

2 2

E pf 0

b) L’energia mecànica perduda pel fregament.

E W fnc f W fnc 1 000 1 960 960 J

110 6


22. Un cos de 0,5 kg inicialment en repòs llisca per un pla inclinat

de 3 m de longitud i un angle de 30° sobre l’eix horitzontal

fins que xoca amb una molla de constant elàstica

300 N/m situada al final del pla inclinat (fig. 6.31). Calculeu

la velocitat d’impacte del cos amb la molla i la màxima

compressió d’aquesta:

23. Llancem per un pendent i cap amunt un cos de 300 kg de

massa amb una velocitat inicial de 50 m/s. Calculeu fins a

quina altura arribarà, si mentre puja es dis sipen 7,5 ? 10 4 J

d’energia mecànica a causa de les forces de fregament.

x

f

y

a) Si no tenim en compte el fregament en tot el recorregut.

1

E 0 f E c E p f — m v 2 m g h

2

h x sin 30° 3 sin 30° 1,5 m

v dl2 lll g h dllllllll 2 9,8 1,5 5,42 m/s

1

E 0 f E pe E pg f — k x 2 m g h f

2

2 m g h 2 0,5 9,8 1,5

f x d lllllll ———— d llllllllllllll

———————— 0,22 m

k 300

b) Si entre el cos i el pla actua el fregament amb un coeficient

de 0,2.

E W fnc f E p E c W fnc

1

m g h — m v 2 5 W fnc f

2

1

f 300 9,8 h — 300 50 2 7,5 10 4 f

2

f 2 940 h 375 000 7,5 10 4 f h 102,04 m

24. Dues boles de billar de masses m 1 i m 2 , que duen velocitats

inicials de 2 m/s i 3,3 m/s respectivament, experimenten

un xoc frontal. Si la primera es mou cap a la dreta i la segona

cap a l’esquerra, calculeu les velocitats finals en els casos

següents, suposant que el xoc sigui perfectament elàstic.

a) m 1 5 150 g, m 2 5 250 g

f

x

m 1 v 1 m 2 v 2 m 1 v 1 m 2 v 2 i

yt

v 1 v 1 v 2 v 2

y

1 E W fnc f E c E p m g cos x f

1

f — m v 2 m g h m g cos x f

2

f v dllllllllllllllll

2 g (h cos x)

dllllllllllllllllllllll

2 9,8 (1,5 0,2 cos 30° 3) 4,38 m/s

1 1

2 E pe E c W fnc f — k x 2 — m v 2 m g x f

2 2

f k x 2 m v 2 2 m g x 0 f

f 300 x 2 0,5 4,38 2 2 0,2 0,5 9,8 x 0 f

f 300 x 2 1,96 x 9,59 0 f

0,15 2 0,25 (3,3) 0,150 v 1 0,250 v 2 i

yt

2 v 1 3,3 v 2

0,525 0,15 v 1 0,25 v 2 i

yt

v 1 v 2 5,3

0,525 0,15 (v 2 5,3) 0,25 v 2

0,525 0,15 v 2 0,795 0,25 v 2

0,525 0,4 v 2 0,795

0,795 0,525

v 2 ———————— 0,68 m/s

0,4

b) m 1 5 1,2 kg, m 2 5 1,3 kg

v 1 0,68 5,3 4,62 m/s

1,96 dllllllllllllllll

1,96 2 4 300 9,59

f x ————————————————— 0,17 m

2 300

FÍSICA 1 6

111

1,2 2 1,3 3,3 1,2 v 1 1,3 v 2 i

yt

2 v 1 3,3 v 2

1,89 1,2 v 1 1,3 v 2 i

yt

v 1 v 2 5,3

1,89 1,2 (v 2 5,3) 1,3 v 2

1,89 1,2 v 2 6,36 1,3 v 2

4,47

4,47 2,5 v 2 f v 2 ——— 1,8 m/s

2,5

c) m 1 5 m 2 5 0,8 kg

v 1 1,8 5,3 3,5 m/s

26. [Curs 04-05] Un vagó de massa 1 000 kg es desplaça a una

velocitat constant de 5 m/s per una via horitzontal sense

fricció. En un moment determinat xoca amb un altre vagó

de massa 2 000 kg que estava aturat, de manera que després

de la col . lisió queden units. Calculeu:

a) La velocitat que tindrà el conjunt després del xoc.

Dades:

m 1 1000 kg

m 2 2000 kg

v 1 5 m/s

v 2 0

v 1 9 v 2 9 v9

Per conservació de la quantitat de moviment:

m 1 ? v 1 1 m 2 ? 0 (m 1 1 m 2 ) ? v9 f

2 m 3,3 m m v 1 m v 2 i

yt

2 v 1 3,3 v 2

1,3 v 1 v 2

2 v 1 3,3 v 2

1,3 v 1 v 2

i

y

t

5,3 v 1 v 2

—————————

4 / 2 v 2 f v 2 2 m/s

v 1 5,3 v 2 f v 1 3,3 m/s

25. Dues boles de 200 g i de 300 g es desplacen horitzontalment

amb unes velocitats de 4 m/s i 22 m/s, respectivament.

Després d’un xoc frontal, la velocitat de la primera

és de 23,2 m/s. Calculeu la velo citat de la segona bola, el

coefi cient de restitució i deduïu de quin tipus de xoc es

tracta.

m 1 1000

f v9 ————— v 1 ——— 5 1,667 m/s ø

m 1 1 m 2 3000

ø 1,67 m/s

b) L’energia mecànica perduda en el xoc.

L’energia mecànica perduda en el xoc correspon a la variació

d’energia cinètica perquè l’energia potencial no varia:

1 1

DE c — (m 1 1 m 2 ) ? (v9) 2 2 — m 1 v 1 2

2 2

1 1

— 3 000 ? 1,6667 2 2 — 1 000 ? 5 2 28 333 J

2 2

27. Una bala de fusell que té una massa de 250 g és disparada

a una velocitat de 500 m/s contra un bloc de fusta de 4 kg

de massa. Si la bala queda incrus tada dins del bloc de fusta,

calculeu:

Apliquem el principi de conservació de la quantitat de moviment,

i tenim que:

m 1 v 1 1 m 2 v 2 m 1 v 1 m 2 v 2 f 0,2 ? 4 1 0,3 ?(22)

0,2 1 0,64

0,2 ?(23,2) 1 0,3 ? v 2 f v 2 —————— 2,8 m/s

0,3

Calculem el coeficient de restitució:

2(v 1 9 2 v 2 9) 2(23,2 2 2,8) 6

k —————— ———————— — 1

v 1 2 v 2 4 2 (22) 6

Es tracta d’un xoc perfectament elàstic, ja que el coeficient de

restitució del seu valor és d’1. També es pot comprovar que es

tracta d’un xoc perfectament elàstic calculant la variació de

l’energia cinètica.

DE E f 2 E 0

1 1 1 1

2— m 1 v 1 9 2 1 — m 2 v 2 9 2 2 — m 1 v 2 1

2— m 2 v 2 2

2 2 2 2

1 1 1 1

—? 0,2 ? 3,2 2 1 —? 0,3 ? 2,8 2 2 —? 0,2 ? 4 2 2 —? 0,3 ? 2 2 0

2 2 2 2

a) La velocitat amb què es mou el conjunt després del xoc.

m 1 v 1 m 2 v 2 (m 1 m 2 ) v

0,25 500 4 0 4,25 v f v 29,41 m/s

b) L’energia dissipada en el xoc.

1 1 1

E c — (m 1 m 2 ) v 2 — m 1 v 1 2 — m 2 v 2 2

2 2 2

1 1

— 4,25 29,41 2 — 0,25 500 2

2 2

5 29 411,76 J

112 6


28. Una pilota de 500 g de massa es deixa caure verticalment

des d’una certa alçada. La pilota impacta amb el terra a una

velocitat de 5,4 m/s i rebota verticalment fins a arribar a un

punt d’altura màxima de 120 cm. Des de quina altura inicial

s’ha deixat caure la pilota? Quant val el coeficient de restitució

del xoc pilo ta-ter ra? Quanta energia s’ha perdut en

el xoc?

En tocar el terra, tota l’energia potencial s’ha transformat en

energia cinètica, així trobem l’altura inicial:

v f

2

5,4 2

E cf E p0 f h —— ———— 1,49 m ø 1,5 m

2 g 2 ? 9,8

Si la pilota arriba a una altura d’1,2 m, vol dir que després de

xocar amb el terra té una velocitat de:

E pf

E c0

f v9 dllll 2 g h dllllllll 2 9,8 1,2 4,8 m/s

El coeficient de restitució del xoc de la pilota amb el terra val:

2(v9 2 v9 terra ) 4,8 2 0

k ———————— 2—————— 0,89

v 2 v terra 25,4 2 0

En aquest xoc s’ha perdut una energia igual a la pèrdua d’energia

cinètica:

DE DE c E cf 2 E c0

1 1

— m (v 2 f

2 v 02

) — 0,5 (4,8 2 2 5,4 2 ) 21,5 J

2 2

29. Dues boles de 2 kg i 1 kg de massa, xoquen frontalment a

una velocitat de 2 m/s cada una. Si el coefi cient de restitució

del xoc és de 0,8, quines són les velocitats després del xoc?

k 0,8

(v 1 v 2 ) (v 1 v 2 )

k —————— f 0,8 —————— f 3,2 v 1 v 2

v 1 v 2

2 (2)

m 1 v 1 m 2 v 2 m 1 v 1 m 2 v 2

2 2 1 (2) 2 v 1 1 v 2 f 2 2 v 1 v 2

3,2 v 1 v 2 i

yt

2 2 v1 v 2

3,2 v 1 v 2 i

yt

2 2 v1 v 2

—————————

1,2

1,2 3 v 1 / f v 1 —— 0,4 m/s

3

3,2 0,4 v 2 f v 2 2,8 m/s

30. Una bola de plastilina amb una massa de 150 g es mou horitzontalment

a una velocitat indeterminada i impacta sobre

un bloc de 0,5 kg (fig. 6.32). Com a conseqüència de l’impacte

el bloc puja fins a una altura de 6 cm. Calculeu a quina

velocitat ha impactat la bola de plastilina sobre el bloc.

1

E 0 f E c E p f — ( m 1 m 2 ) v 2 ( m 1 m 2 ) g h

2

v dllll 2 g h d lllllllll 2 9,8 0,06 1,08 m/s

m 1 v (m 1 m 2 ) v

m 1 m 2 0,15 0,5

v ————— v —————— 1,08 4,7 m/s

m 1 0,15

31. Un camió d’una tona de massa viatja a 72 km/h; de sobte

xoca amb un cotxe de 500 kg de massa que es troba aturat.

Determineu el vector velocitat després de l’impacte si queden

escastats i quina és l’energia perduda a causa de l’impacte.

v 72 km/h 20 m/s

f

p i 1000 ? 20 20000 kg m/s i

f

yt

p f (1000 2 500) v

20 000

v ———— 13,33 m/s 48 km/h

1 500

1 1

DE — m T v 2 2 — m 1 v 1 2

2 2

1 1

— 1 500 ? 13,33 2 2 — 1 000 ? 20 2 266 666,67 J

2 2

32. Un nucli d’urani es desintegra en dos fragments de

2,5 ?10 225 kg i 1,5 ?10 225 kg. Determineu la relació entre

les velocitats dels dos fragments en què es desintegra el

nucli, si no tenim en compte altres partícules de masses

negligibles.

f

p inicial f p final f 0 m 1

f

v1 m 2

f

v2

0 2,5 10 25 v 1 1,5 10 25 v 2

v 1 1,5 10 25 3

—— —————— 2— 20,6

v 2 2,5 10 25 5

m 1 1 m 2 5

5 0,5 1 0,15 5

5 0,65 kg

FÍSICA 1 6

113

33. Un vagó amb una massa de 50 Tm es mou amb una velocitat

de 12 km/h i xoca contra una plataforma de 30 Tm de massa

que es troba en una via i s’enganxen. Calculeu:

v 12 km/h 3,33 m/s

f

p inicial f p final

a) La velocitat del moviment del conjunt just després del

xoc.

m 1 v 1 (m 1 m 2 ) v

m 1 v 1 50 000 12

v ————— ————————— 7,5 km/h

m 1 m 2 50 000 30 000

2,08 m/s

b) La distància recorreguda pel conjunt, si la força de fregament

és igual al 5 % del pes.

1

E W fnc f 0 E ci W fnc f — m T v 2 F f x

2

F f 0,05 (m 1 m 2 ) g 0,05 80 000 9,8 39 200 N

m T v 2 80 000 2,08 2

x ——— ——————— 4,41 m

2 F f 2 39 200

34. [Curs 05-06] Una bola d’acer xoca elàsticament contra un

bloc d’1 kg inicialment en repòs sobre una superfície plana

horitzontal (fig. 6.33). En el moment del xoc la bola té una

velocitat horitzontal de 5 m/s. El coeficient de fricció dinàmic

entre la superfície i el bloc és de m 5 0,2. Degut al xoc,

el bloc recorre 2 m abans d’aturar-se. Cal culeu:

a) La velocitat del bloc just després del xoc.

DE W fnc f E cf 2 E ci 2F f Dx f

1

f 0 2 — m 2 v 2 9 2 2m m 2 g Dx f

2

1

f — v 2 9 2 m g Dx f v 2 9 dlllllll 2 m g Dx

2

dlllllllllll

2 ? 0,2 ? 9,8 ? 2 2,8 m/s

b) La massa de la bola d’acer.

m 1 v 1 m 1 v 1 9 1 m 2 v 2 9 i

yt

v 1 1 v 1 9 v 2 1 v 2 9

m 1 ? 5 m 1 v 1 1 1 ? 2,8

5 1 v 1 9 0 1 2,8 f v 1 9 2,8 2 5 22,2 m/s

i

y

t

5 m 1 22,2 m 1 1 2,8 f (5 1 22) m 1 2,8 f

2,8

f m 1 —— 0,4 kg

7,2

c) L’energia cinètica perduda per la bola en el xoc.

1 1

DE E cf 2 E ci — m 1 v 1 9 2 2 — m 1 v 2 1

2 2

1 1

— 0,4 ? (22,2) 2 2 — 0,4 ? 5 2 24,03 J

2 2

35. [Curs 99-00] Es llança una pedra de 20 kg de massa amb

una velocitat inicial de 200 m/s que forma un angle de 30º

amb l’horitzontal.

a) Quant valdrà la seva energia mecànica en el punt més alt

de la trajectòria?

1 1

E constant E — m v 2 — 20 ? 200 2 4 ? 10 5 J

2 2

b) Quina ha estat la variació de la quantitat de moviment

de la pedra en anar des del punt de llançament fins al de

màxima altura en la seva trajectòria parabòlica?

v 0x v 0 cos a 200 cos 30° 173,2 m/s i

yt

v 0y v 0 sin a 200 sin 30° 100 m/s

f

v 2 173,2 f i

f

v 1 173,2 f i 1 100 f j

i

y

t

D f p m f v 2 2 m f v 1 m ( f v 2 2 f v 1 )

20 (173,2 f i 2 173,2 f i 2 100 f j) 22 000 f j kgm/s

c) Suposeu que quan arriba al punt de màxima altura la

pedra es trenca en dos trossos de 5 kg i 15 kg, de manera

que la massa de 15 kg queda parada immediatament

després de l’explosió. Quina seria la velocitat de la massa

de 5 kg en aquest instant?

m 1 5 kg i f

pi p f f f m v f f f

y

2 m 1v1 9 1 m 2v2 9

m 2 15 kg t

20 ? 173,2

20 ? 173,2 f i 5 f v 1 f f v 1 ————— f i 692,8 f i m/s

5

36. [Curs 03-04] Deixem caure un cos m 1 de massa 1 kg des del

punt A d’una guia semicircular de radi R 5 2 m (fig. 6.34).

En arribar al punt B, xoca contra una altra massa en repòs

m 2 de 500 g, de manera que després de l’impacte ambdues

114 6


masses queden unides i el conjunt puja per la guia fins a

una altura h de 60 cm (punt C). Sabent que en la meitat AB

de la guia no hi ha fricció, però en l’altra meitat sí, calculeu:

a) La velocitat amb què m 1 xoca contra m 2 .

f

p i 1 p f j f m 2 v 2 (m 1 1 m 2 ) v9 f

m 2 v 2 0,6 ? 4

f v9 ————— ————— 3 m/s

m 1 1 m 2 0,6 1 0,2

1 1 1

(m 1 1 m 2 ) v9 2 2 — m 2 v 2 2

— 0,8 ? 3 2 2 — 0,6 ? 4 2 5

2 2 2

1,2 J

b) El treball de la força de fricció en el tram BC.

1 1

E pe E c f — k A 2 — (m 1 1 m 2 ) v9 2 f

2 2

m 1 1 m 2 0,8

f A v9 d lllllllll ———— 3 d lll — l — ll 0,12 m

k 500

c) La força que fa la guia sobre el conjunt en el punt C.

1r mètode:

E ci E ci2 1 E pe2 f

1 1

f — (m 1 1 m 2 ) v 2 2

1 — k x9 2 f

2 2

f 0,8 ? 3 2 0,8 ? 3 2 ? v 2 2

1 500 ? 0,06 2 f

f 7,2 0,8 v 2 2

1 1,8 f

7,2 2 1,8

f v 2 d lllllllll ———— 2,6 m/s

0,8

2n mètode:

t 0

x 0

w 0

x A sin (v t 1 w)

A

p

x sin v t f x — A sin v t f v t — rad

2 6

v A v cos v t

k 500 p

A d lll — l cos v t 0,12 d lll — l — ll cos — 2,6 m/s

m 0,8 6


Q1. [Curs 02-03] Una massa de 5 kg està penjada d’un fil vertical,

inextensible i de massa negligible. Si la tensió del fil té

un valor de 60 N, raoneu quina de les propostes següents és

correcta:

a) La massa puja a velocitat constant.

b) La massa té una acceleració cap amunt de 2 m/s 2 .

c) La massa es troba en repòs.

Considereu g 5 10 m/s 2 .

T m g m a f a 2 m/s


Q2. [Curs 04-05] Des de la part superior d’un pla inclinat, d’angle

37° amb el pla horitzontal i longitud 5 m, deixem caure

una partícula de massa 10 kg. La partícula arriba a la part

inferior del pla inclinat amb una velocitat de 6 m/s.

h

l

h l sin a 5 5 ? sin 37º 3 m

a) Quant val el treball que la força pes ha fet sobre la partícula

en aquest trajecte?

W 5 2 DU 5 mgh f W 5 294 J

b) Quant val el treball fet per la força de fregament?

W nc 5 DE 5 DU 1 DE c

1

W nc 5 2W 1 — mv 2 5 2114 J

2

Q3. Un cos de 25 kg de massa puja amb velocitat constant per

un pla inclinat que forma un angle de 15° amb l’horitzonal.

Sobre el cos actua una força de mòdul F paral . lela al pla inclinat.

Si el fregament entre el cos i el pla és negligible,

quant val F?

A la figura mostrem les forces que actuen sobre el cos:

Com que el cos es mou a velocitat constant, l’acceleració és

nul . la i, per tant, les forces s’anul . len entre si.

En la direcció X (paral . lela al pla):

F 2 mg sin a 5 0 f

f F 5 mg sin a 5 25 ? 9,8 ? sin 15º 5 63,4 N

Q4. En un xoc entre dos cossos un d’ells, de massa quatre vegades

més petita, va a l’encontre d’un altre amb velocitat

doble. Si després del xoc el cos més ràpid redueix la seva

velocitat fins a una tercera part, en quina proporció augmenta

la velocitat del cos més lent respecte de la velocitat

que portava ini cialment? Trieu la resposta correcta.

FÍSICA 1 6

115

a) Tres segones parts.

b) El doble.

c) Es queda igual.

d) Quatre terceres parts.

Dades:

m 2

m 1 5 ——

4

v 1 5 2 v 2

v 1 2 v 2

v 1 9 5 — 5 ——

3 3

Per conservació de la quantitat de moviment:

m 1 ? v 1 1 m 2 ? v 2 5 m 1 ? v 1 9 1 m 2 ? v 2 9 f

m 2 m 2 v 2

f —— 2 v 2 1 m 2 ? v 2 5 —— 2 —— 1 m 2 ? v 2 9 f

4 4 3

4

f v 2 9 5 — v 2

3

Per tant, l’opció correcta és la d).

P1. [Curs 01-02] Un cotxe de 2 000 kg de massa que arrossega

un remolc de 150 kg mitjançant un cable de massa negligible

es troba inicialment en repòs. El cotxe arrenca amb una

acceleració que es manté constant durant els primers 10 s

i la tensió del cable durant aquest temps val 500 N. Suposant

que la fricció dels pneumàtics del cotxe i del remolc

amb el terra equival a una força de fregament amb coeficient

0,2, i que la fricció amb l’aire és negligible, calculeu:

T 2 F f2 T 2 m m 2 g

a 5 ———— 5 ————— 5

m 2 m 2

T 500

5 —— 2 m g 5 —— 2 0,2 ? 9,8 5 1,37 m/s 2

m 2 150

La velocitat al cap de 8 segons val:

v 5 v 0 1 a Dt 5 0 1 1,37 ? 8 5 10,96 m/s

b) La força de tracció i la potència del motor del cotxe 8 s

després d’haver-se iniciat el moviment.

De l’equació de l’apartat anterior i coneguda l’acceleració,

trobem la força de tracció:

F 5 T 1 F f1 1 m 1 a 5 T 1 m 1 (m g 1 a) 5

5 500 1 2 000 (0,2 ? 9,8 1 1,37) 5 7 160 N

La potència la trobem a partir del treball realitzat per

aquesta força en la unitat de temps. Primer busquem el

desplaçament:

1 1

Dx 5 v 0 Dt 1 — a (Dt) 2 5 0 1 — 1,37 ? 8 2 5 43,84 m

2 2

La potència val:

W F ? Dx ? cos a 7 160 ? 43,84 ? 1

P 5 —— 5 —————— 5 ———————— 5

Dt Dt 8

5 39 236,8 W

c) El treball que han fet les forces de fregament durant els

primers 10 s del moviment.

L’acceleració és constant durant els 10 s. Per tant, els resultats

anteriors són vàlids. Calculem el desplaçament del

conjunt cotxe-remolc en aquest període de temps:

En tot el problema, designarem amb el subíndex 1 la massa

i les forces que actuen sobre el cotxe, i amb el subíndex 2, la

massa i les forces que s’apliquen sobre el remolc.

a) L’acceleració i la velocitat del sistema cotxe-remolc 8 s

després d’haver-se iniciat el moviment.

Aplicant la segona llei de Newton per a les forces que actuen

en la direcció Y tenim per al cotxe i per al remolc:

N 1 5 m 1 g

N 2 5 m 2 g

D’altra banda, com que la massa del cable és negligible:

T 1 5 T 2 5 500 N

Obtenim l’acceleració aplicant la segona llei de Newton en la

direcció X, tenint present que el cotxe i el remolc es mouen

amb la mateixa acceleració i que la força de tracció F actua

directament només sobre el cotxe:

Per al cotxe: F 2 T 2 F f1 5 m 1 a i

y

t

Per al remolc: T 2 F f2 5 m 2 a

1 1

Dx 5 v 0 Dt 1 — a (Dt) 2 5 0 1 — 1,37 ? 10 2 5

2 2

5 68,5 m

El treball fet per les forces de fregament és:

W Ff 5 W Ff1 1 W Ff2 5 (F f1 1 F f2 ) Dx ? cos 180º 5

5 2(F f1 1 F f2 ) Dx 5 2m (m 1 1 m 2 ) g Dx 5

5 20,2 ? (2 000 1 500) ? 9,8 ? 68,5 5 23,357 ? 10 5 J

P2. Deixem caure un cos d’1 kg de massa situat a la part de dalt

d’un pla inclinat. Calculeu fins a quin punt es comprimirà la

molla de constant elàstica 200 N/m, si:

116 6


a) No hi ha fregament.

E 0 f E pe E pg 0

1 2 m g h 2 1 9,8 0,5

— k x 2 m g h f x d lllllll ——— f x d llllllllllll

——————— 0,22 m

2 k 200

b) En tot el recorregut hi ha un fregament de co eficient 0,1.

F f

50 cm

P x

P y

F f

1 E W fnc

1

E c E p W fnc f — mv 2 mg h mg cos x

2

h

h

sin 25° —— f x ————

x sin 25°

1 h

— v 2 g h g cos ——— f

2 sin

h

f v d lllllllllllllllllllll

sin

2 g h g cos ——— 2 f

f v d llllllllllllll

tg

2 g h 1 —— 2

0,1

d llllllllllllllllllll

tg 25°

2 9,8 0,5 1 ——— 2 2,77 m/s

2 E pe E c W fnc

1 1

— k x 2 — m v 2 m g (x x 1 ) f

2 2

f k x 2 m v 2 2 m g (x x 1 ) f

f 200 x 2 1 2,77 2 2 0,11 9,8 (x 1) f

f 200 x 2 7,7 1,96 x 1,96 f

f 200 x 2 1,96 x 5,74 0

21,96 dllllllllllllllll

1,96 2 4 5,74 200

x —————————————————

2 200

1,96 67,79

———————— 0,16 m

400

FÍSICA 1 7

117

Bloc 3. Introducció

a l’electromagnetisme

j Unitat 7. Corrent continu

Activitats

1. Poseu alguns exemples de medis conductors i medis aïllants

i expliqueu quina aplicació tenen en el transport o

l’aïllament dels corrents elèctrics.

j Exemples de medis conductors són els metalls i les substàncies

polars com ara l’aigua. L’aplicació més coneguda és la

fabricació de cables metàl . lics per a circuits elèctrics. En el

cas de l’aigua, per exemple, una atmosfera prou humida ajuda

a eliminar els efectes de l’electricitat electrostàtica.

j Exemples de medis aïllants són els plàstics, la fusta i el formigó.

Amb els primers es recobreixen els cables metàl . lics dels

circuits elèctrics per evitar curtcircuits i fugues. Amb la fusta

i el formigó es construeixen els pals que subjecten els cables

elèctrics utilitzats per al transport de l’energia elèctrica.

2. Tenint present que la càrrega de l’electró val 21,6 ? 10 219 C,

calculeu la càrrega amb el seu signe dels ions següents:

a) H 1

L’H 1 , també anomenat protó, té una unitat de càrrega elèctrica

positiva, per tant: q 5 11,6 ? 10 219 C.

b) OH 2

L’ió hidròxid OH 2 té una unitat de càrrega elèctrica negativa,

per tant: q 5 21,6 ? 10 219 C.

c) SO 4

22

L’ió sulfat SO 4 22 té dues unitats de càrrega elèctrica negativa,

per tant: q 5 22 ? 1,6 ? 10 219 5 23,2 ? 10 219 C.

3. Considerem un tros de conductor exposat a una ddp entre

els seus extrems V 1 2 V 2 , amb V 1 . V 2 . Dibuixeu la força

que rep un electró lliure, la seva acceleració, la seva velocitat

i el sentit convencional del corrent.

La força va en sentit de V 2 a V 1 .

L’acceleració va en sentit de V 2 a V 1 .

La velocitat va en sentit de V 2 a V 1 .

La intensitat va en sentit contrari, de V 1 a V 2 .

4. Deduïu, seguint un raonament similar a l’il . lustrat en la figura

7.5, que les càrregues positives sotmeses només a la força

elèctrica es mouen de re gions d’energies potencials elèctriques

altes a regions d’energies potencials baixes. En quin

sentit es mouran respecte dels potencials elèctrics?

Considerem un conductor carregat positivament i una càrrega

positiva, per exemple un protó, situada en un punt B a una

certa distància del cos. A causa de la repulsió elèctrica, el protó

s’allunya del cos passant del punt B al punt A, més allunyat del

cos, tot augmentant la seva energia cinètica. Com que el cos

carregat i el protó formen un sistema conservatiu, el treball fet

per la força elèctrica quan el protó es mou de la posició B a

l’A és igual a la variació d’energia potencial elèctrica canviada

de signe. Però, a més, aquest treball és igual a la variació de

l’energia cinètica, que és positiva.

Per tant:

W 5 2DE p

W 5 DE c . 0

i

y

t

f 2(E pA 2 E pB ) 5 DE c . 0 f E pB . E pA

És a dir, tota càrrega elèctrica positiva tendeix a moure’s cap a

les zones de menor valor d’energia potencial elèctrica.

Quant als valors del potencial elèctric, com que l’energia potencial

elèctrica d’una càrrega en un punt de l’espai és igual al

producte del valor de la càrrega pel valor del potencial en aquest

punt, resulta que les càrregues elèctriques positives tendeixen a

moure’s cap a les zones de menor valor del potencial elèctric.

5. Suposeu que el conductor de la figura 7.6 se substitueix

per un tub de vidre que conté ions de gas amb càrrega positiva

i a molt baixa pressió. Si en els seus extrems s’aplica

una ddp V 1 2 V 2 amb V 1 . V 2 , dibuixeu la força elèctrica

que rep un ió, la seva acceleració, la seva velocitat i el

sentit convencional del corrent dins el tub.

V 1 . V 2

6. Quants electrons passen per segon en un filament d’una

bombeta si hi circula un corrent constant de 0,45 A?

Quan una bombeta està funcionant pel filament hi passen electrons

que per efecte de la fricció produeixen llum.

Si la intensitat és de 0,45 A, la quantitat de càrrega que circula

en un segon és de 0,45 C.

Tenint en compte que la càrrega d’un electró és 1,6 ? 19 219 C,

podem calcular la quantitat d’electrons que passen per segon

pel filament:

1 e

0,45 C ?—————— 5 2,8 ? 10 18 e

1,6 ? 10 219 C

7. Per un conductor metàl . lic hi passa un corrent continu de

4,3 A. Quina quantitat de càrrega hi passa en 2 minuts?

Quants electrons hi passen per segon?

Podem saber la càrrega que passa per un conductor en un

temps determinat, sabent la intensitat. En el nostre cas:

DQ 5 I Dt 5 4,3 A ? 120 s 5 516 C

En un segon:

DQ (1 s) 5 I 5 4,3 C

Per altra banda, com que la càrrega d’un electró és:

1 e 5 1,6 ? 10 219 C

Podem calcular el nombre d’electrons que equivaldrien a una

càrrega de 4,3 C.

1 e

4,3 C ——————— 5 2,69 ? 10 19 electrons

1,6 ? 10 219 C

118 7


8. Per un plasma hi circulen electrons i ions positius en sentits

contraris simultàniament. Si han passat 1,23 ? 10 18

electrons per segon en un sentit, quina és la intensitat

que circula pel fluorescent?

DQ 1,23 ? 10 18 ? 2 e 1,6 ? 10 219 C

I 5 —— 5 ———————— ?——————— 5 0,3936 A

Dt 1 s 1 e

9. a) Quina és la ddp entre dos punts d’un conductor de Cu

de resistència 20 V quan hi passa un corrent d’1,5 A?

DV 5 R I 5 20 ?1,5 5 30 V

b) Quina longitud té si la secció és de 2 mm 2 i la resistivitat

del coure és r Cu 5 1,7 ? 10 28 V?m?

l R S 20 ? 2 ?10 26

R 5 r — f l 5 —— 5 ——————— 5 2 353 m

S r 1,7?10 28

10. Quin diàmetre té un conductor de coure de longitud 200 m

si presenta una resistència al pas de corrent de 4 V quan

la temperatura és de 40 ºC?

Consultant les taules del llibre, obtenim:

r 20 °C 5 1,7 ? 10 28 V?m i a 20 °C 5 3,9 ? 10 23 K 21

Calculem la resistivitat a la temperatura de 40 ºC

r(40 °C) 5

5 1,7 ? 10 28 V?m [1 1 3,9 ? 10 23 K 21 (40 2 20) K] 5

5 1,8 ? 10 28 V?m

Calculem la secció del conductor:

200 m

4 5 1,8 ? 10 28 V?m ———— f S 5 9,16 ? 10 27 m 2

S

Per últim, calculem el diàmetre passant prèviament la secció

a mm 2 :

10 6 mm 2

S 5 9,16 ? 10 27 m 2 ————— 5 0,9163 mm 2

1 m 2

S 0,9163

S 5 p R 2 f R 5 d lll — 5 d lllllll ———— 5 0,54 mm f

p p

f f 5 1,08 mm

11. Un fil d’alumini té una resistència d’1,23 V a 20 ºC. Calculeu

la resistència del fil a 50 ºC consultant les taules i negligint

els efectes de dilatació del ma terial.

La resistivitat d’un conductor varia amb la temperatura d’acord

amb la fórmula següent:

r (T) 5 r 293 ? [1 1 a (T 2 293)]

Podem relacionar la resistència d’un conductor a temperatures

diferents:

l

R 20 5 r 20 ?— i u

s uyuut R 50 r 50

f —— 5 ——

l R 20

r 20

R 50 5 r 50 ?— s

r 50

R 50 5 R 20 ?——

r20

Per altra banda:

r 50 5 r 20·[1 1 a(323 2 293)]

r 50

—— 5 1 1 a ? 30

r 20

En el cas de l’alumini (consultem la taula del llibre):

a 5 3,8 ? 10 23 T 21

R 50 5 1,23 V ? 1,114 5 1,37 V

12. S’aplica una diferència de potencial d’1,2 V en un fil de

tungstè de longitud 2,4 m i secció transversal 0,45 mm 2 .

Quin és el corrent que hi circula a 20 ºC? Consulteu les

taules.

l

R 5 r ? —

s

En el nostre cas:

l 5 2,4 m

S 5 0,45 mm 2 5 0,45 ? 10 26 m 2

Consultant la taula del llibre la resistivitat del tungstè a 20ºC:

r 20 5 5,5 ? 10 28 V?m

Per tant,

2,4 m

R 5 5,5 ? 10 28 V ? m ?———————— 5 0,2933 V

0,45 ? 10 26 m 2

I la intensitat:

D V 1,2

I 5 —— 5 ———— 5 4,1 A

R 0,2933

13. Calculeu la resistència equivalent del sistema de resistències

següent (fig. 7.24):

Primer calcularem la resistència equivalent de les dues resistències

en paral . lel més pròximes al punt B. Després la sumarem

amb la resistència en sèrie. Aquest procediment l’anirem

repetint amb les resistències que queden.

1 1 1 2

— 5 —— 1 —— 5 —— f R 5 10 V

R 20 20 20

R 5 20 1 10 5 30 V

1 1 1 5

— 5 —— 1 —— 5 —— f R 5 12 V

R 20 30 60

R 5 20 1 12 5 32 V

1 1 1 8 1 5 160

— 5 —— 1 —— 5 ——— f R e 5 ——— 5 12,3 V

R e 20 32 160 13

FÍSICA 1 7

119

14. Una resistència de 5 V pot ser travessada per un corrent

màxim de 20 mA si no volem que es faci malbé. Si li està

arribant un corrent d’1 A, com haurem de connectar-li (en

sèrie o en paral . lel) una segona resistència per tal que

passin 20 mA a través seu? Raoneu la resposta. Quin valor

ha de tenir aquesta segona resistència?

Cal connectar una resistència de valor R en paral . lel per la

qual passi part de la intensitat i així tota la intensitat no

circularà per la resistència de 5 V.

Les dues resistències estaran sotmeses a la mateixa DV però

per la de 5 V circularà una intensitat de 20 mA i per R circularà

una intensitat igual a I 5 1 2 0,02 5 0,98 A.

Per tant el valor de R és:

DV 5 0,02 ? 5 5 0,98 R f R 5 0,102 V 5 102 mV

15. Sabent que les tres resistències que apareixen a la figura

7.25 són iguals i que la resistència del conjunt és de

8 V, quin serà el valor de cada una de les resistències?

1 1 1 1 1 1 2 3

— 5 —— 1 — f — 5 ——— 5 —— f R 5 12 V

8 2 R R 8 2 R 2 R

16. De vegades expressem la càrrega d’una bateria en amperes

hora, és a dir, els amperes que pot proporcionar la bateria

durant una hora. En tenim una de 50 V amb una càrrega de

280 amperes hora. De quanta energia disposa?

3 600 s

E 5 DV I t 5 50 V ? 280 A ?1 h ? ———— 5 5,04 ?10 7 J

1 h

17. Per una resistència de 580 V hi passa un corrent de

350 mA. Quina potència dissipa la resistència? Si es manté

el corrent durant 20 hores, quina energia dissipa en

forma de calor? Expresseu el resultat en joules i en quilowatts

hora.

Calculem la potència que dissipa la resistència:

P 5 I 2 ? R 5 (0,350 A) 2 ?(580 V) 5 71,1 W

1 J

Sabem que 1 W 5 ——

1 s

Per tant, ara podem calcular l’energia consumida en 20 hores

(72 000 s).

J

71,1 — ? 72000 s 5 5,12 ? 10 6 J

s

Coneixem l’equivalència entre J i kW/h

Així:

1 kWh 5 3,6 ? 10 6 J

1 kWh

5,12 ? 10 6 J ? ————— 5 1,42 kWh

3,6 ? 10 6 J

18. Tenim dos forns elèctrics de 1 000 W i 1 500 W i tots dos

funcionen connectats a una tensió de 230 V. Digueu quin

dels dos gasta més energia elèctrica, per quin dels dos

passa més corrent i quin té més resistència elèctrica.

W DV 2

Tenint en compte que P 5 — 5 I DV 5 ———

t

R

Gasta més energia el que té més potència.

Passa més corrent pel que té més potència.

Té més resistència elèctrica el que té menys potència.

19. Quina és la despesa econòmica deguda al fun cionament

d’una bombeta de 100 W durant 24 ho res, si el cost de l’electricitat

és de 15 cèntims d’euro per quilowatt hora? I la

despesa d’una bombeta de 40 W?

Per a una bombeta de 100 W la despesa és:

0,15 €

100 W ? 24 h —————— 5 0,36 €

10 3 W ? 1 h

Per a una bombeta de 40 W la despesa és:

0,15 €

40 W ? 24 h —————— 5 0,14 €

10 3 W ? 1 h

20. Les bombetes de baix consum són unes bombetes que fan

més llum, gasten menys i duren més. Consulteu-ne bibliografia

i doneu algunes raons dels seus avantatges.

Resposta oberta.

21. Determineu la resistència interna d’un generador elèctric

de fem 120 V amb una tensió entre els seus borns de 110 V

quan subministra un corrent de 20 A.

% 5 DV 1 r I f 120 5 110 1 20 r f r 5 0,5 V

22. Un generador de fem % i resistència r pot alimentar mitjançant

un interruptor una resistència externa R de 15 V

o una altra de 35 V. Quan ho fa amb la primera, hi passa

un corrent d’1 A i amb la segona, de 0,5 A. Determineu la

fem i la r. Té el mateix rendiment el generador en els dos

casos?

% 5 1? (15 1 r) i

u

% 5 I (R 1 r) f y f r 5 5 V

u

% 5 0,5 ? (35 1 r) t

% 5 20 V

No, el rendiment del generador amb la resistència externa de

15 V és més baix.

23. Un generador de fem 20 V i resistència interna r 5 10 V

alimenta una resistència externa d’1 kV. Calculeu la intensitat

que circula i la ddp del generador.

% 20

I 5 ——— 5 —————— 5 0,0198 A 5 19,8 mA

R 1 r 1 000 1 10

DV 5 R I 5 1 000 ? 0,0198 5 19,8 V

120 7


24. Trieu el valor correcte de la ddp del voltímetre de la figura

7.41, el qual té una resistència interna de 2 MV.

S% 2 S %9 12 2 4

I 5 ———————— 5 ———— 5 0,381 A

SR 1 Sr 1 Sr9 20 1 1

DV 5 R I 5 20 ? 0,381 5 7,6 V

29. Quina és la ddp en els extrems de la resistència de 40 V

del circuit adjunt (fig. 7.55)? Trieu la resposta correcta.

a) 6,66 V b) 6,45 V c) 8,78 V d) 4,32 V

Calculem la intensitat en el circuit considerant la resistència

interna del voltímetre:

1 1 1

——— 5 ——— 1 ——— f Req 5 199,98 V

Req 200 2·10 6 (voltímetre)

10

I 5 ——————— 5 0,0333 A

100 1 199,98

La diferencia de potencial és:

D V 5 I ? R 5 0,0333 ? 200 5 6,66 V


25. Per al circuit següent (fig. 7.42), calculeu la ddp entre els

borns del generador i la intensitat que marca l’amperímetre.

S% 20

I 5 ————— 5 ——————— 5 0,0976 A 5 97,6 mA

SR 1 Sr 200 1 4 1 1

DV 5 % 2 r I 5 20 2 4 ? 0,0976 5 19,6 V

26. Per comprar-vos un bon amperímetre, quines qualitats valorareu?

I en un voltímetre?

En un amperímetre, cal que la resistència interna sigui molt

petita, i en un voltímetre, molt gran.

27. Quan fem funcionar un motor elèctric, és correcte dir que

«tota l’energia elèctrica que gastem es transforma en energia

mecànica»?

No. Una part de l’energia elèctrica es perd per efectes del fregament,

corrents de Foucault, en forma de calor. Una bona part es

transforma en energia cinètica.

a) 10 V

b) 20 V

c) 23,4 V

Apliquem la llei d’Ohm generalitzada al circuit. Prenem la intensitat

en sentit antihorari:

210 1 20 5 140 I 1 f I 1 5 0,25 A

D V 5 I ? R 5 (0,25 A) ? (40 V) 5 10 V


30. Una bateria de fem 2,5 V i amb resistència interna de 0,8 V

s’utilitza per encendre una bombeta. Quan el circuit es

tanca hi passa un corrent d’1,5 A. Trobeu la potència subministrada

per la bateria, la potència dissipada per la bateria

i la potència dissipada per la bombeta.

% 5 2,5 V

r 5 0,8 V

I 5 1,5 A

Calculem la potència subministrada per la bateria:

P 1 5 %? I 5 (2,5 V) ?(1,5 A) 5 3,75 W

La potència dissipada per la batería és (a causa de la resistència

interna):

P 2 5 2I 2 ? r 5 2(1,5 A) 2 ? 0,8 V 5 21,8 W

La potència utilitzada per la bombeta serà la resultant:

P 3 5 2P 1 1 P 2 5 21,95 W

31. Pel circuit de la figura 7.56 calculeu el valor de la força

electromotriu % quan hi circula en sentit contrari a les

agulles del rellotge un corrent de 0,4 A.

28. Una bateria de fem % 5 12 V i resistència interna r 5 1 V

es connecta en sèrie amb una resistència R 5 20 V i amb

un motor de resistència interna negligible i fcem %9 5 4 V.

Quant valdrà la dife rència potencial entre els extrems de

la resistència R?

FÍSICA 1 7

121

Apliquem la llei d’Ohm generalitzada suposant el sentit de corrent

que ens indica el problema:

Física quotidiana

30 2 % 5 I ? 18 1 I ?12

I 5 0,4 A

% 5 18 V

1. Creieu que variarà el consum reflectit a la factura si el consum

d’electricitat de la família Puig és conseqüència, en el

50 %, del consum de les bombetes? I l’import?

Primer, cal dir que si l’import per 1 736 kWh és de 147,56 €, el

preu del kWh és de 0,085 € i no de 0,087 € com es diu al llibre.

En qualsevol cas, es podrien canviar els valors tenint en

compte el valor actual del kWh (0,089868 € sense IVA).

Considerem que el 50 % del consum és degut a bombetes i que

se substitueixen totes per altres de baix consum, que gasten un

80 % menys. Aquest últim valor s’obté suposant que es passa

de 100 W a 20 W de potència. Això significa que ara es gastarà

un 40 % menys d’energia elèctrica, ja que:

50 80

—— ? —— 5 0,4 5 40 %

100 100

Per tant, es gastarà el 60 % del consum antic, és a dir, el nou

consum valdrà:

60

1 736 ? —— 5 1 042 kWh

100

I el nou import serà de:

60

147,56 ? —— 5 88,54 €

100

2. Us sembla que és un gran estalvi? I si penseu que en tot

l’edifici hi viuen 30 famílies com aquesta? I si penseu que

en una ciutat mitjana hi ha 60 000 famílies en la mateixa

si tuació?

Un estalvi del 40 % és considerable, tot i que no és realista

perquè les bombetes no solen consumir la meitat de l’energia

d’una llar. De tota manera, tenint en compte que amb aquesta

mesura la família Puig estalvia uns 60 €, a tot l’edifici amb

30 famílies es poden estalviar 60 3 30 5 1 800 €, i en una

ciutat amb 60 000 famílies com aquesta, es poden estalviar

60 3 60 000 5 3 600 000 €, és a dir, més de tres milions i mig

d’euros.

3. Penseu en altres mesures d’estalvi energètic que podeu aplicar

a casa. A part dels beneficis econòmics, creieu que estalviar

energia té altres beneficis?

Resposta oberta. Evidentment s’han de destacar els beneficis

medioambientals.

Activitats finals

Qüestions

1. Podríeu citar un exemple de corrent elèctric on participin

càrregues positives i negatives a la vegada?

L’electròlisi, per exemple.

2. Justifiqueu quines de les respostes següents són correctes:

A) El sentit convencional del corrent elèctric en un circuit:

a) Es pot considerar que és el que tindrien càrregues

mòbils positives.

b) És el mateix que el del moviment dels electrons dins

els conductors que constitueixen el circuit.

La resposta correcta és la a). El sentit convencional de circulació

del corrent elèctric és el que tindrien càrregues

elèctriques positives si aquestes fossin les càrregues mòbils.

Independentment del signe de les càrregues mòbils reals, es

pren com a sentit positiu del corrent aquest sentit convencional.

B) En un flux de càrregues elèctriques en moviment:

a) Les càrregues positives es mouen segons la direcció

d’augment del potencial elèctric; i les negatives, a la

inversa.

b) Les càrregues positives es mouen segons la direcció

de disminució del potencial elèctric; i les negatives,

a la inversa.

c) Totes les càrregues, independentment del seu signe,

es mouen en la direcció de disminució del potencial

elèctric.

La resposta correcta és la b). Les càrregues positives es

mouen cap a potencials elèctrics més petits i les negatives,

cap a potencials elèctrics més alts. Això equival al fet

que ambdós tipus de càrregues tendeixen a moure’s cap a

zones amb energies potencials elèctriques més petites. Podeu

consultar també l’activitat 3.

3. Si un grup de partícules amb una càrrega elèctrica de 5 C

superen una diferència de potencial de 140 V, quin és el

seu canvi d’energia potencial elèctrica?

DE p 5 q ? DV 5 5 ? 40 5 200 J

4. Quan passa corrent per un conductor, la velocitat mitjana

dels electrons és molt gran o molt petita?

És petita comparada amb la velocitat de la llum i amb la velocitat

de propagació del so en els medis ma terials.

5. Un conductor de coure de longitud l i secció S té una resistència

R. Quina és la resistència si tenim un altre conduc-

122 7


tor de coure de longitud 20 vegades més llarg i amb la

meitat de secció?

Si la resistivitat del coure és r, la resistència d’un conductor de

longitud l i secció S és:

l

R 5 r —

S

Per tant, la resistència d’un conductor de longitud 20 vegades

més llarg i amb la meitat de secció és:

20 l

R9 5 r ——— 5 40 R

S

—

2

6. Dues bombetes iguals es connecten en paral . lel a un generador

de corrent continu. Si una de les bombetes es fon,

raoneu si l’altra lluirà més, menys o igual que abans. Què

hauria passat si les bombetes haguessin estat connectades

en sèrie i una s’hagués fos?

Quan es fon una de les bombetes, només lluirà la bombeta bona

i amb la mateixa intensitat de llum. Veiem-ho:

Considerem que la resistència de cada bombeta és R i que estan

sotmeses a una ddp de DV. Quan les dues bombetes funcionen

correctament, la intensitat I del circuit es reparteix en les dues

bombetes, de manera que per cada una hi circula una intensitat

de valor I bombeta 5 I/2. Per tant, l’energia W que dissipa cada

bombeta en un interval de temps t és:

R 2 DV

R e 5 — f I 5 ———

2 R

DV DV DV 2

I bombeta 5 —— f W 5 R 1 —— 2

2

t 5 ——— t

R R R

Si es fon una de les bombetes, tenim que per l’altra:

DV DV DV 2

I bombeta 5 —— f W 5 R 1 —— 2

2

t 5 ——— t

R R R

Comprovem, doncs, que la bombeta encesa dissipa la mateixa

energia que abans, és a dir, llueix igual.

En el cas que haguessin estat connectades en sèrie, en fondre’s

una d’elles, el circuit hagués quedat obert i no passaria corrent,

per tant, les bombetes s’apagarien.

7. Donat un conjunt de resistències, en quina forma s’han de

connectar per obtenir el màxim valor de resistència possible?,

i per obtenir-ne el mínim?

En sèrie per obtenir-ne el màxim valor. En paral . lel per obtenirne

el mínim.

8. Les bombetes A i B estan connectades a la mateixa diferència

de potencial, com mostra la figura 7.63. Sabem que les

bombetes són de 60 i 30 W. Quina de les dues bombetes

té més resistència? En quina d’elles hi passa més corrent?

Justifiqueu les respostes.

Sabem que la potència P dissipada en una resistència R sotmesa

a una ddp de valor DV i per la qual circula una intensitat I es

pot expressar com:

(DV) 2

P 5 ———— 5 DV ? I

R

Per tant, la resistència i la intensitat es poden expressar com:

(DV) 2

R 5 ———

P

P

I 5 ———

DV

Com que el valor de DV és el mateix per les dues resistències

deduïm que la que té una potència més gran és la de menor

resistència òhmica. També la de potència més gran és aquella

per on circula una intensitat més gran. Per tant:

R 30 W . R 60 W i I 30 W , I 60 W

9. La figura 7.64 representa el gràfic «diferència de poten cialintensitat»

en una resistència R connectada a un generador

de corrent continu. Quanta energia emetrà la resistència R

en forma de calor si se li aplica una ddp de 200 V durant

15 minuts?

Del pendent de la gràfica de la figura trobem el valor de R,

d’acord amb la llei d’Ohm:

DV 120

R 5 —— 5 ——— 5 60 V

I 2

Trobem l’energia dissipada a partir de l’expressió de la calor

emesa per una resistència de valor òhmic R sotmesa a una ddp

de valor DV durant un període de temps t:

(DV) 2 200 2 V 2 60 s

——— t 5 ———— 15 min ——— 5 6 ? 10 5 J

R 60 V 1 min

10. Es connecta una bateria de 12,0 V a una resistència de

100 V. Negligint la resistència interna de la bateria, quina

potència dissipa la resistència?

a) 2,45 W b) 1,44 W c) 3,86 W

FÍSICA 1 7

123

Com que negligim la resistència interna de la bateria, la ddp

de la resistència serà la que ens dóna la bateria, és a dir, 12 V.

V V 2 12 2

P 5 V ? I 5 V ?— 5 —— 5 —— 5 1,44 W

R R 100


11. Una pila alimenta una resistència externa R. Com varien els

valors de la fem i de la diferència de potencial de la pila

si el valor de R augmenta? I si el valor de R disminueix?

La fem i la resistència interna de la pila són independents de la

resistència externa que es connecta. Ara bé, la diferència de

potencial (ddp) de la pila sí que depèn de la resistència externa

%

segons les expressions I 5 ——— i DV 5 % 2 r I. Si el valor

R 1 r

de la resistència externa augmenta, augmenta la ddp de la pila,

i si dismi nueix, la ddp també ho fa.

12. Quan dues resistències idèntiques es connecten en sèrie

entre els borns d’una bateria, la potència subministrada

per aquesta és de 20 W. Si les connectem en paral . lel entre

els borns de la mateixa bateria, quina potència subministra

ara? Trieu la resposta correcta.

a) 80 W b) 10 W c) 20 W

Si considerem la bateria ideal, sense resistència interna, la potència

subministrada per la bateria és la mateixa que la dissipada

per les resistències.

Considerem primer quina és la resistència equivalent en els dos

casos:

En sèrie: R e 5 S R 5 R 1 R 5 2 R

1 1 1 1 2 R

En paral . lel: —— 5 ^— 5 — 1 — 5 — R e 5 —

R e R R R R 2

La potència dissipada en els dos casos serà:

V 2

En sèrie: P s 5 —— 5 20 W

2 R

V 2 2 ? V 2

En paral . lel: P p 5 —— 5 ——— 5 4 ? P s 5 4 ? 20 5 80 W

R R

—

2


13. Disposeu de moltes resistències de 2 V. Com ho fa ríeu per

obtenir-ne una de 2,5 V?

15. La ddp entre els borns d’un motor pot ser més gran que la

fcem d’aquest motor?

Sí, i no pot ser més petita que la fem del motor.

Problemes

1. Un corrent de 20 mA circula per un conductor. Calcula

quants electrons passen en una centèsima de segon.

10 23 A

q 5 I t 5 20 mA ? ———— ?10 22 s 5

1 mA

1 e

5 2 ?10 24 C ? ——————— 5 1,25 ?10 15 electrons

1,6 ?10 219 C

2. Amb quina velocitat mitjana es mouen els electrons d’un

corrent de 2 A que passa per un conductor de Cu?

Dades:

r Cu 5 8,9 g/cm 3 ; S 5 1 mm 2 ; M Cu : 63,5 g/mol, i suposem

que cada àtom de Cu proporciona com a mitjana un electró

lliure.

2 C 1 e 1 àtom Cu

v 5 —— ? ——————— ? —————— ?

S 1,6 ?10 219 C 1 e

1 mol 63,5 g 1 cm 3

? ——————————— ? ———— ? ———— ?

6,023 ?10 23 àtom Cu 1 mol 8,9 g

1 m 3 1

? ————— ? ————— 5 1,48 ?10 24 m/s

10 6 cm 3 10 26 m 2

3. Un feix d’ions positius de tipus X 21 travessa una secció a

raó de 10 12 ions/ms. Quina intensitat de corrent passa per

la superfície?

10 12 ions 12 e 1,6 ?10 219 C

————— ? ——— ? —————— 5

10 23 s 1 ió 1 e

5 3,2 ?10 24 A 5 0,32 mA

Quin és el sentit del corrent elèctric?

El mateix que el sentit del moviment dels ions, ja que són positius.

4. En un conductor d’alumini de longitud 20 m i secció 1 mm 2

passa un corrent de 2 A. Digues quina diferència de potencial

hi ha entre els extrems.

Dades: r Al : 2,8 ? 10 28 Vm

l 20

DV 5 R I 5 r — I 5 2,8 ?10 28 ? 2 ? ——— 5 1,12 V

S 10 26

14. La ddp entre els borns d’una pila pot ser més gran que la

fem d’aquesta pila?

No, i no pot ser més gran que la fem de la pila.

5. Un fil de coure de resistència 2 V està a una temperatura

de 20 °C. Suposem que els efectes de dilatació tèrmica són

negli gibles.

a) Quina resistència té quan la temperatura és de 80 °C?

(a Cu 5 3,9 ? 10 23 K 21 )

124 7


r (T) 5 r 293 (1 1 a (T 2 293))

R (T) 5 R 293 (1 1 a (T 2 293)) 5

5 2 ? (1 1 3,9 ?10 23 ? 60) 5 2,468 V

b) En quin percentatge augmenta la resis tència?

DR 0,468

—— ?100 5 ——— ?100 5 23,4 %

R 2

6. El fet que la resistència dels bons conductors tingui un

comportament gairebé lineal amb la temperatura permet

utilitzar-los com a termòmetres, i normalment es

cons trueixen de platí. Considerem un filferro de platí

a 20 °C que té una resistència de 100 V. Si se submergeix

en un líquid, s’observa que la resistència passa a ser

de 105 V. Calculeu quina és la temperatura del líquid

(a Pt 5 3,93 ? 10 23 K 21 ).

R (T) 5 R 293 (1 1 a (T 2 293)) 5

5 100 ? (1 1 3,93 ?10 23 ?DT) 5 105 f

f DT 5 12,72 °C f T 2 20 5 12,72 f T 5 32,72 °C

7. Un tros de conductor de cert material té una longitud l, una

secció S i presenta una resistència òhmica R. Calculeu el

nou valor de resistència que presentarà si aquest conductor

és deformat fins que la seva longitud té un valor 9 l.

S

S l 5 S9 l9 f S l 5 S9? 9 l f S9 5 —

9

l 9 l 81 l

R 5 r — f R9 5 r ? —— 5 r —— 5 81 R

S S S

—

9

8. Calculeu la resistència equivalent dels sistemes de resistències

que mostren les figures 7.65 i 7.66:

a)

b)

1 1 1 1

—— 5 —— 1 —— 5 —— f R 23 5 40 V

R 23 60 120 40

R e 5 20 1 40 1 40 5 100 V

1 1 1 3

—— 5 —— 1 —— 5 —— f R 123 5 53,33 V

R 123 80 160 160

R e 5 40 1 53,33 5 93,33 V

9. Calculeu les intensitats i les ddp de cada resistència dels

casos a) i b) del problema anterior quan entre A i B s’aplica

una ddp de 100 V.

100

a) I R1 5 I R4 5 —— 5 1 A

100

DV R1 5 20 V ; DV R4 5 40 V

DV R2 5 DV R3 5 100 2 60 5 40 V

40 2

I R2 5 —— 5 — 5 0,666 A

60 3

40 1

I R3 5 —— 5 — 5 0,333 A

120 3

100 15

b) I R4 5 ——— 5 1,071 A 5 —— A

93,33 14

15 300

DV R4 5 40 ? —— 5 —— 5 42,86 V

14 7

300 400

DV R12 5 DV R3 5 100 2 —— 5 —— 5 57,14 V

7 7

10

I R3 5 —— 5 0,357 A

28

5

I R1 5 I R2 5 — 5 0,714 A

7

10. Disposem de 8 resistències de 5 V connectades en paral

. lel. Si s’aplica una ddp de 20 V entre els extrems del

conjunt, quina intensitat passa per cada resistència?

20

I 5 —— 5 4 A

5

11. Tenim un circuit (fig. 7.67) que consta d’un aparell que

funciona correctament quan està sotmès a una ddp entre

els seus extrems de 20 V. Si s’alimenta per mitjà d’un generador

de 50 V, quina resistència R cal posar per garantir

el bon funcionament de l’aparell?

20

La intensitat que passa per l’aparell és I 5 —— 5 0,1 A

200

La ddp de la resistència R és 50 2 20 5 30 V.

Per tant, el valor de la resistència protectora és:

DV 30

R 5 —— 5 —— 5 300 V

I 0,1

FÍSICA 1 7

125

12. Una bombeta de 100 W i 220 V està funcionant durant

30 dies a raó de 8 h al dia. Calculeu:

a) La resistència de la bombeta.

DV 2 DV 2 220 2

P 5 ——— f R 5 ——— 5 ——— 5 484 V

R P 100

b) El consum en euros si el quilowatt hora val 0,15 €.

8 h

E 5 P t 5 0,1 kW ? 30 dies ? ——— 5 24 kWh

1 dia

Consum 5 24 ? 0,15 5 3,6 €

13. Un forn elèctric funciona a 220 V i proporciona una energia

de 15 000 J/min. Quina és la resistència del forn?

15 000 J 1 minut

P 5 ————— ? ————— 5 250 W

1 minut 60 s

DV 2 220 2

R 5 ——— 5 ——— 5 193,6 V

P 250

14. Calculeu la resistència R que cal posar en sèrie amb la

de 10 V en el circuit de la figura 7.68 perquè l’aparell de

500 W funcioni a 100 V.

Calculem la intensitat que passa per l’aparell:

P 500

I 5 —— 5 ——— 5 5 A

DV 100

La caiguda de tensió de la resistència de 10 V és:

DV 5 10 ? 5 5 50 V

La caiguda de tensió de la resistència R és, per tant:

DV 5 300 2 100 2 50 5 150 V

I la resistència és:

DV 150

R 5 —— 5 ——— 5 30 V

I 5

15. Calculeu la resistència R que cal posar en paral . lel (fig. 7.69)

amb la de 10 V perquè l’aparell de 80 W funcioni a 20 V.

Calculem la intensitat que passa per l’aparell:

P 80

I 5 —— 5 —— 5 4 A

DV 20

El sistema de resistències en paral . lel està alimentat amb una

ddp de 10 V, i en conseqüència, la intensitat que passa per la

resistència de 10 V és:

10

I 5 —— 5 1 A

10

Per tant, la intensitat que passa per la resistència R és de 3 A i

el valor d’aquesta resistència és:

10

R 5 —— 5 3,3 V

3

16. Determineu la intensitat que passa pel generador, la

ddp entre els seus borns i el rendiment del circuit següent

(fig. 7.70):

La resistència equivalent del circuit extern és:

1 1 1 1

— 5 —— 1 —— 5 —— f R 5 40 V

R 60 120 40

R e 5 50 1 40 5 90 V

% 40

I 5 ——— 5 ————— 5 0,4 A

R 1 r 90 1 10

DV 5 R I 5 90 ? 0,4 5 36 V

DV 36

h 5 —— 5 —— 5 0,9 f 90 %

% 40

17. Un tren elèctric porta un generador de % 5 18 V i r 5 2 V

que fa anar el motor de fcem de 15 V i resistència interna

de 10 V, i sis bombetes iguals, de resistències 8 V cadascuna,

connectades en paral . lel. Calculeu la intensitat que

passa pel generador i el rendiment del motor.

Calculem la resistència equivalent del sistema en paral . lel:

1 6 4

—— 5 — f R e 5 — V 5 1,33 V

R e 8 3

Intensitat que passa pel circuit:

% 2 %9 18 2 15

I 5 —————— 5 ———————— 5 0,225 A 5 225 mA

R 1 r 1 r9 1,33 1 2 1 10

El rendiment és:

% 15

h 5 —— 5 ———————— 5 0,869 f 86,9 %

DV9 15 1 10 ? 0,225

126 7


18. Trobeu el potencial en el punt A del circuit de la figura

7.71. Quina és la diferència de potencial entre els borns

de la bateria de 4 V?

B

A

C

S % 1 S %9

I 5 ———————— 5

S R 1 S r 1 S r9

4 1 8

5 ———————————— 5 0,5 A

9 1 6 1 8 1 0,5 1 0,5

Aquest corrent va en el sentit contrari de les agulles del rellotge.

Ho veiem per la disposició de les bateries.

Com que el punt D està connectat a terra, el potencial al punt

A serà el mateix que la ddp entre aquest dos punts.

DV DA 5 V A 5 28 1 0,5 ? 0,5 1 8 ? 0,5 5 23,75 V

DV BC 5 4 2 0,5 ? 0,5 5 3,75 V

19. A partir del circuit següent (fig. 7.72), determineu:

D

20. Determineu V AB i la intensitat que passa per la resistència

de 600 V del circuit següent (fig. 7.73):

Resistència equivalent.

1 1 1

—— 5 —— 1 —— f R e 5 150 V

R e 200 600

Intensitat que passa pels generadors:

40 2 20

I 5 —————— 5 0,125 A

150 1 2 ? 5

V AB 5 0,125 ?150 5 18,75 V

18,75

I 5 ———— 5 0,03125 A 5 31,25 m A

600

21. La intensitat que circula per la resistència de 5 V val

1,25 A (fig. 7.74).

a) La intensitat.

S% 2 S %9

I 5 ————————— 5

SR 1 Sr 1 Sr9

60 ? 2 2 20 2 50

5 ——————————————— 5 0,125 A

165 1 200 1 2 ? 5 1 10 1 15

b) Les ddp entre els punts AB, BC, CD i DA.

V AB 5 260 1 5 ? 0,125 5 259,375 V

V BC 5 260 1 5 ? 0,125 1 165 ? 0,125 5 238,8 V

V CD 5 50 1 15 ? 0,125 1 200 ? 0,125 5 76,9 V

V DA 5 20 1 10 ? 0,125 5 21,3 V

Podeu comprovar que la suma de les diferències de potencial

és zero.

a) Què marcarà el voltímetre?

Suposant un voltímetre ideal:

DV 5 R I 5 8 ?1,25 5 10 V

b) Quin és el valor de la resistència R entre C i D?

S % 20

I 5 ————— 5 ———————— 5

SR 1 Sr 8 1 5 1 1 1 R

5 1,25 f R 5 2 V

c) Calculeu l’energia dissipada per la resistència de 5 V

en una hora i l’energia subministrada pel generador en

aquest mateix temps.

E R 5 R I 2 t 5 5 ?1,25 2 ? 3 600 5 28 125 J

E % 5 % I t 5 20 ?1,25 ? 3 600 5 90 000 J

22. Al circuit de la figura 7.75, quan l’interruptor B està tancat

i el C obert, l’amperímetre A marca 0,375 A. Si % 5 4,5 V i

r 5 1 V:

FÍSICA 1 7

127

b) La intensitat per a cadascuna de les dues branques entre

M i N i la indicació del voltímetre.

Com que les resistències són iguals en cada branca, la intensitat

de cadascuna és la meitat de la intensitat total:

I

i 5 — 5 0,1 A

2

El voltímetre marcarà: DV 5 3 ? 0,1 5 0,3 V

a) Quin és el valor de la resistència R?

Quan B és tancat i C és obert, tenim que:

% 4,5

I 5 ————— f 0,375 5 —————— f R 5 5 V

SR 1 r R 1 6 1 1

c) L’energia subministrada pel generador en 10 min i la

potència dissipada en la resistència de 6 V.

E % 5 % I t 5 3,2 ? 0,2 ? 600 5 384 J

E R 5 R i 2 5 6 ? 0,1 2 5 0,06 W

24. Per mesurar la resistència d’un element R s’ha fet el muntatge

de la figura 7.77 i els resultats obtinguts són els de

la taula 7.4.

b) Quina potència es dissipa en forma de calor dins del generador?

P 5 r I 2 5 1? 0,375 2 5 0,141 W

c) Què marcarà l’amperímetre si mantenim tancats simultàniament

els dos interruptors B i C?

Si es tanca C, la resistència equivalent del circuit extern és:

1 1 1

— 5 — 1 — f R 5 2 V f R e 5 2 1 5 5 7 V

R 3 6

L’amperímetre marcarà:

S% 4,5

I 5 —————— 5 ———— 5 0,562 A

SR 1 Sr 7 1 1

23. L’amperímetre del circuit representat en la figura 7.76 marca

0,2 A. Calculeu:

I (mA) V (V)

7,5 0,49

15 0,99

22,5 1,48

30 2,01

36 2,41

47,5 3,12

52 3,39

a) Dels aparells A 1 i A 2 , quin serà el voltímetre i quin serà

l’amperímetre?

L’A 1 és l’amperímetre, i l’A 2 , el voltímetre.

b) Quant val la resistència de R?

Calculem la resistència per a cada mesura i després en fem

la mitjana:

DV

R 5 ——

I

0,49 0,99

———— 5 65,33 V; ———— 5 66 V

0,0075 0,015

1,48

———— 5 65,77 V

0,0225

2,01 2,41

———— 5 67 V; ———— 5 66,94 V

0,03 0,036

3,12 3,39

———— 5 65,68 V; ———— 5 65,19 V

0,0475 0,052

a) La resistència equivalent entre M i N i la fem % del generador.

1 1 1

— 5 —— 1 —— f R 5 5 V

R 10 10

S% %

I 5 —————— f 0,2 5 ——————— f % 5 3,2 V

SR 1 Sr 5 1 10 1 1

La mitjana és:

65,33 1 66 1 65,77 1 67 1 66,94 1 65,68 1 65,19

—————————————————————————— 5

7

5 66 V

La màxima desviació de la mitjana és 1 V i, per tant, la

mesura de la resistència és (66 6 1) V.

128 7


25. Determineu què marquen el voltímetre i la ddp del generador

del circuit següent (fig. 7.78):

Com que el voltímetre té una resistència interna molt gran en

comparació a les resistències del circuit, el podem considerar

ideal.

S% 40

I 5 ————— 5 ————————— 5 0,0571 A

SR 1 Sr 190 1 500 1 10

DV 5 R I 5 500 ? 0,0571 5 28,57 V

DV 5 % 2 r I 5 40 2 10 ? 0,0571 5 39,4 V

26. En un circuit com el de la figura 7.79 realitzem una experiència

que consisteix a anar modificant el valor de la resistència

R i mesurar la diferència de poten cial entre els seus

extrems (DV) i la intensitat del corrent (I) que la travessa.

Per dur-la a terme, dis posem d’un generador de corrent continu

de fem % 5 1,5 V, d’un conjunt de resistèn cies iguals

de valor R 0 , d’un voltímetre i d’un amperímetre. Els resultats

que obtenim en l’experiència són els que s’exposen en

la taula 7.5:

R DV (V) I (A)

R 0 1,45 4,85 ? 10 21

2 R 0 1,48 2,46 ? 10 21

3 R 0 1,45 1,64 ? 10 21

4 R 0 1,49 1,24 ? 10 21

5 R 0 1,49 9,9 ? 10 22

L’amperímetre s’ha de connectar en sèrie amb la resistència R

per tal que per ell circuli la mateixa intensitat que per R. Cal

que la resistència interna de l’amperímetre sigui molt peti ta

(R A f 0) per tal de no introduir una caiguda de tensió addicional.

Si així fos, s’hauria de tenir en compte el valor real

de la resistència interna en els càlculs dels propers apartats.

b) Segons aquesta experiència, quin seria el valor de R 0 i

quin marge d’error assignaríeu a aquest valor?

Aplicant la llei d’Ohm (DV 5 IR) als diferents conjunts de

dades, tenim:

1,45 5 4,85 ? 10 21 R 0 f R 0 5 2,99 V

1,48 5 2,46 ? 10 21 2 R 0 f R 0 5 3,01 V

1,45 5 1,64 ? 10 21 3 R 0 f R 0 5 2,95 V

1,49 5 1,24 ? 10 21 4 R 0 f R 0 5 3,00 V

1,49 5 9,9 ? 10 22 5 R 0 f R 0 5 3,01 V

El valor mitjà de la resistència és:

2 2,99 1 3,01 1 2,95 1 3,00 1 3,01

R0 5 —————————————————— 5 2,99 V

5

Els errors particulars de les mesures més petites i més grans

són:

e 1 5 2,95 2 2,99 5 0,04 V

e 2 5 3,01 2 2,99 5 0,02 V

Prenem com a valor absolut el més gran dels dos valors anteriors:

e a 5 0,04 V

Per tant, el resultat de la mesura és:

R 0 5 (2,99 6 0,04) V

c) Quina de les mesures de la intensitat té una incertesa

relativa més gran? Per què els valors de DV són lleugerament

inferiors a la fem del generador? Fixeu-vos en la

figura 7.79.

a) Feu un esquema indicant com col . locaríeu en el circuit el

voltímetre i l’amperímetre. Com ha de ser la resistència

interna de cadascun d’aquests aparells?

L’esquema del circuit és el següent:

El voltímetre s’ha de connectar en paral . lel amb la resistència

R per tal que en els seus extrems respectius hi hagi la

mateixa ddp. Cal que la resistència interna del voltímetre

sigui molt gran (R V f ∞) per tal que tota la intensitat

circuli per R i, per tant, la intensitat mesurada per l’amperímetre

sigui realment la intensitat que circula per R.

La mesura d’intensitat que té una incertesa més gran és la

mesura número 5: I 5 9,9 ? 10 22 A, ja que té menys xifres

significatives. En té dues, mentre que les altres mesures

totes es donen amb tres. La seva incertesa relativa és:

0,1

e r 5 —— ? 100 5 1 %

9,9

Els valors de DV són inferiors al de la fem del generador

perquè aquest té una determinada resistència interna r que

produeix una caiguda de tensió dins el generador. Així, tot

i que l’amperímetre sigui ideal i no introdueixi una caiguda

de tensió, la ddp en els extrems de R no pot coincidir

amb la fem del generador per la caiguda de tensió dins

d’aquest, la qual depèn també de la intensitat que circula

pel circuit: DV 5 % 2 Ir.

R 0

FÍSICA 1 8

129

j Unitat 8. Imatges

Activitats

1. Doneu exemples d’ones mecàniques i d’ones electromagnètiques.

Són ones mecàniques les produïdes a la superfície d’un líquid,

les produïdes en cordes sotmeses a una certa tensió i el so. En

tots aquests casos es genera una oscil . lació de les partícules

del medi per on es propaga l’ona.

Són ones electromagnètiques la llum, els raigs ultraviolats,

els raigs X, els raigs gamma, els raigs infraroigs, les microones,

i les ones de ràdio, de televisió, de telefonia mòbil, i les

dels radars. En tots aquest casos es genera una oscil . lació de

camps elèctrics i camps magnètics, i l’ona es pot propagar a

través del buit.

2. Quines magnituds físiques són pertorbades pel pas d’una

ona electromagnètica?

Els camps elèctric i magnètic a cada punt de l’espai on arriba

l’ona electromagnètica.

3. Què és la velocitat de fase d’una ona?

És la velocitat a la qual es propaga la pertorbació en un medi

determinat.

4. Com es pot generar una ona cilíndrica? Expliqueu-ho detalladament.

Per generar una ona cilíndrica cal fer oscil . lar alhora tots els

punts que estiguin situats sobre una mateixa recta i de tal manera

que l’ona es transmeti en l’espai al llarg d’un medi homogeni,

per tal que es conservi la forma de l’ona.

5. Justifiqueu el fet que a distàncies prou grans d’un focus

emissor d’ones esfèriques, els fronts d’ona es poden considerar

plans.

A distàncies prou grans del centre, les superfícies esfèriques es

poden assimilar localment a plans, ja que els diferents fronts

d’ona esfèrics tenen poca curvatura. És una bona aproximació

considerar-los fronts d’ona plans.

6. El focus emissor d’una ona mecànica vibra amb una freqüència

de 20 Hz i una amplitud de 2 cm. Si la distància

mínima entre dos punts que estan en fase és de 15 cm,

quina serà la velocitat de propagació de l’ona?

v 5 l f 5 0,15 ? 20 5 3 m/s

7. Una ona mecànica fa oscil . lar les partícules del medi amb

una freqüència de 550 Hz i es propaga a una velocitat de

300 m/s. Quina és la distància mínima entre dos punts que

en tot moment es troben en el mateix estat de vibració?

v 300

l 5 — 5 —— 5 0,55 m

f 550

8. Per què diem que la difracció és un fenomen típicament

ondulatori? Raoneu la resposta.

La refracció és un fenomen típicament ondulatori, ja que consisteix

en la desviació que experimenta una ona quan passa

d’un medi a un altre en què la velocitat de fase és diferent;

aquesta desviació és una conseqüència del principi de Huygens,

que, recordem-ho, només verifiquen els moviments ondulatoris.

9. Comenteu breument en què consisteix la difracció de les

ones i poseu-ne un exemple.

La difracció és la distorsió d’una ona o un tren d’ones que troba

en el seu recorregut un obstacle de dimensions comparables a

les de la longitud d’ona del moviment ondulatori. Exemples de

fenòmens de difracció s’observen en la cubeta d’ones amb obstacles

amb petites obertures; en el cas del so, en interposar

obstacles entre el focus i el receptor, el so és capaç de vorejar

l’obstacle.

10. En què consisteix el fenomen d’interferències? Poseu-ne un

exemple.

El fenomen de les interferències consisteix en la superposició

additiva dels moviments ondulatoris de la mateixa natura en

tot punt del medi de propagació de les ones. És a dir, tot punt

de l’espai és pertorbat segons la suma de pertorbacions associades

a cada una de les ones. Un cas típic d’interferències el

constitueixen les ones estacionàries en una corda.

11. La llum blanca del Sol és monocromàtica? Què vol dir aquest

concepte? Si en un experiment com el de Young il . luminem

les escletxes amb llum blanca, què observarem?

La llum del Sol no és llum monocromàtica. Per comprovar-ho

n’hi ha prou en fer passar un feix de llum solar a través d’un

prisma de vidre i observar que es descompon en diferents colors.

El concepte de llum monocromàtica significa llum d’una única

freqüència; és a dir que no està formada per l’agrupació d’ones

de diferents freqüències i longituds d’ona.

L’experiment de Young de la doble escletxa mostra que la separació

entre franges x que es veu a la pantalla depèn de la

d

longitud d’ona: x ——, on d és la longitud que hi ha entre

a

les escletxes i la pantalla, i a la distància entre les escletxes.

Per tant, i si recordem que la llum blanca conté totes les longituds

d’ona corresponents a tots els colors, cada un d’aquests

pateix una separació x diferent. Així, observarem cada franja

com una suma de tots els colors, tal com passa amb un prisma,

que separa els colors de la llum blanca, o amb l’arc de sant

Martí.

12. Quins van ser els científics que van demostrar el caràcter

electromagnètic de la llum, tant teòricament com experimentalment?

El físic anglès J. C. Maxwell va predir l’existència de les ones

electromagnètiques, entre elles la llum, l’any 1861, tot estudiant

la relació entre els camps elèctrics i els camps magnètics.

130 8


Vint-i-sis anys més tard, el 1887, el físic alemany H. Hertz va

idear un dispositiu que va permetre demostrar la predicció de

Maxwell de les ones electromagnètiques. En aquest dispositiu

un emissor emetia ones electromagnètiques de baixa freqüència

que eren recollides en un receptor: en aquest hi havien dos pols

entre els quals saltava un arc voltaic. Demostrava així la recepció

de les ones emeses per l’emissor i confirmava experimentalment

la teoria de Maxwell.

13. Suposeu que introduïm algun objecte allargat en un got

d’aigua, de manera que quedi una part dins de l’aigua i l’altra

fora. Com veurem l’objecte? A què és degut aquest fenomen?

Quan introduïm un objecte allargat dins d’un got d’aigua observem

que l’objecte sembla deformar-se en la porció que queda

submergida en l’aigua. Això es deu a la refracció de la llum, ja

que els raigs de llum que provenen de l’interior del got pateixen

aquest fenomen.

Fixem-nos de la figura en què a9 i 5 90° 2 a iL . A més, els angles

incident i refractat compleixen: n aire sin a i 5 n fibra sin a ir . Així:

sin a9 i 5 cos a ir 5

n aire

1 2 sin 2 a ir 5 d llllllllllllllll

n fibra

5 dllllllllll

n aire

n fibra

1 2 1 ——— sin a i 2 2 . ———

D’on es dedueix que:

n 2 aire n2 aire n2 fibra

1 2 ——— sin 2 a i . ——— f sin 2 a i , ——— 2 1 f

n 2 fibra n2 fibra n2 aire

n 2 fibra

f a i , arcsin d llllll

——— 2 1

n 2 aire

14. Entre altres aplicacions, la fibra òptica serveix per transmetre

informació a grans distàncies i d’una manera molt

ràpida. Indiqueu quin fenomen ho permet i expliqueu-lo

detalladament.

Amb quin angle màxim respecte de l’eix de la fibra poden

entrar els raigs emesos per un focus lluminós situat a l’eix

de la fibra per tal que es puguin propagar per aquesta?

En la fibra òptica s’aprofita el fenomen de la reflexió total. La

fibra òptica, tot i que és transparent, té un índex de refracció

més gran que l’aire. Quan un raig de llum penetra en la fibra i

arriba a la superfície de separació de la fibra amb l’aire, ho sol

fer amb un angle d’incidència molt proper a 90°, que sobrepassa

l’angle límit. Per tant, el raig no s’hi refracta i s’hi reflecteix

totalment, és a dir, no pot sortir de la fibra. Això passa en les

reflexions successives que s’hi produeixen a mesura que el raig

es propaga a l’interior de la fibra, encara que aquesta estigui

corbada; en l’extrem oposat al d’entrada del raig, aquest surt

pràcticament inalterat.

Tot raig provinent de l’exterior pot entrar dins la fibra òptica

independentment del valor de l’angle d’incidència (a i ) ja que

l’aire és menys dens que la fibra òptica. Ara bé, un cop dins la

fibra, cal que en la primera reflexió del raig en les parets se

superi l’angle límit (a iL ), així no s’escaparà cap part del raig a

fora. És a dir, cal que l’angle d’incidència en la superfície fibraaire,

que anomenem a9 i , compleixi: a9 i . a iL . Per tant, donat

que n fibra sin a iL 5 n aire , tenim:

n aire

a i . a iL f sin a9 i . sin a iL f sin a9 i . ———

n fibra

15. Per a un mirall còncau, efectueu un diagrama de raigs i deduïu

com és la imatge que proporciona d’un objecte quan

aquest està més enllà del centre de curvatura, quan està

entre el centre i el focus, i quan està entre el focus i el mirall.

Indiqueu, en conseqüència, quines de les combinacions

de característiques següents són possibles.

a) Imatge virtual, dreta i més gran que l’objecte.

b) Imatge real, invertida i més petita que l’objecte.

c) Imatge real, dreta i més gran que l’objecte.

d) Imatge virtual, invertida i més petita que l’objecte.

Recordem que les característiques que tenen les imatges formades

per un mirall còncau són les que es donen en els casos següents:

— Quan l’objecte està situat a una distància més gran que el

centre de curvatura del mirall, la imatge és real, invertida i

més gran que l’objecte.

— Quan l’objecte està situat en el centre de curvatura i el focus

del mirall, la imatge és real, invertida i més petita que

l’objecte.

— Quan l’objecte està situat a una distància més petita que el

focus del mirall, la imatge és virtual, dreta i més gran que

l’objecte.

Per tant, de les tres situacions indicades a l’enunciat d’aquesta

qüestió, només són possibles la situació a), que correspon al

tercer cas anterior, i la situació b), que correspon al segon cas

an terior. La situació c) és impossible.

16. Per a una lent convergent, efectueu un diagrama de raigs i

deduïu com és la imatge que proporciona d’un objecte quan

aquest està més enllà del focus de la lent, quan està situat

al focus, i quan està en tre el focus i la lent. Expliqueu, en

FÍSICA 1 8

131

conseqüència, com varia la posició i la mida de la imatge

quan un objecte es va apropant cap a la lent des d’una posició

llunyana, i indiqueu quines de les combinacions de

característiques següents són impossibles.

a) Imatge real, dreta i més gran que l’objecte.

Objecte més enllà del focus.

b) Imatge real, invertida i més petita que l’ob jecte.

Objecte en el focus.

— En el cas de la figura c), l’objecte es troba entre el focus

i la lent i es forma una imatge virtual (imatge a l’esquerra

de la lent), dreta i més gran que l’objecte, tant

més gran quan l’objecte es troba més a prop del focus.

d) Imatge virtual, invertida i més petita que l’objecte.

Conclusions:

— El supòsit a) és impossible: una imatge dreta i més gran

que l’objecte no pot ser real, ha de ser virtual.

— El supòsit b) és cert i el trobem en el dibuix a), quan l’objecte

s’allunya prou del focus.

— El supòsit c) també és cert (dibuix c).

— El supòsit d) és fals: una imatge invertida i més petita que

l’objecte només pot ser real.

17. Busqueu en algun llibre d’òptica informació sobre el telescopi

de reflexió i dibuixeu un diagrama de raigs de les imatges

que forma d’un objecte. Sobre el dibuix, expliqueu com

és la imatge que forma aquest sistema òptic i el perquè de

la seva utilització.

Resposta oberta.

Cal que l’alumnat consulti llibres d’òptica on s’expliqui el funcionament

del telescopi de reflexió. Es pot plantejar aquesta

activitat, juntament amb la que hi ha con tinuació, com un petit

treball sobre els instruments òptics. Així es complementaria

l’estudi de l’òptica geomètrica que s’ha desenvolupat en aquesta

unitat. Aquesta activitat es pot fer alhora que la qüestió

anterior.

Física quotidiana

c) Imatge virtual, dreta i més gran que l’objecte.

Objecte entre el focus i la lent.

— La imatge és real quan es forma a la dreta de la lent. És

el cas de la figura a): la imatge és invertida i tant més

gran quant més a prop es troba l’objecte al focus (per

l’esquerra).

— En el cas de la figura b) (objecte situat en el focus) la

imatge es forma en l’infinit (els raigs són paral . lels).

1. Per què els raigs X són útils en la detecció d’algunes malalties

i són molt utilitzats en traumatologia? Com s’utilitzen

els raigs X en medicina?

Els raigs X són molt útils per detectar malalties i s’usen, per

exemple, en traumatologia, ja que permeten visualitzar l’interior

del cos: la radiació X travessa molts teixits, però no els

ossos. Actualment es fa servir de dues maneres. En la primera,

la ra diació X incideix, una vegada travessa el cos, sobre una

placa fotogràfica que, en ser revelada, proporciona detalls de

l’interior del cos. En la segona, en lloc de placa fotogràfica

s’utilitza un ordinador, que analitza de manera més detallada la

manera en què la radiació ha travessat el cos i que permet fer

un estudi més acurat del seu interior.

2. Quina molècula orgànica d’importància cabdal va poder

ser descoberta mitjançant la tècnica de cristal.lografia de

raigs X? Efectua un petit treball bibliogràfic en què es mostrin

cro nològicament els principals esdeveniments que van

portar a aquest descobriment.

La qüestió fa referència a l’ús de la cristal . lografia de raig X en

el descobriment de l’estructura del DNA. És sabut que aquesta

molècula és la base química de l’herència genètica, ja que és

la que forma els cromosomes que es troben en el nucli de la

132 8


cèl . lula i que són els portadors de la informació necessària

per a tots els processos relacionats amb la vida de la cèl . lula i

els organismes que aquestes formen. Atès que en aquests moments

els temes relacionats amb la biotecnologia són de plena

actualitat, és bo que els alumnes aprofundeixin en el seu coneixement,

en particular pel que fa a les tècniques experimentals,

moltes d’elles provinents dels camps de la recerca fonamental

que es fan servir en física i en química. Abordar a fons la cristal

. lografia de raig X en aquests nivells és massa complex, ja

que els coneixements sobre moviment ondulatori, ones electromagnètiques

i òptica que tenen els alumnes no permeten aprofundir.

Tanmateix, sí que és possible fer una aproximació històrica

que parteixi del descobriment dels raigs X a finals del

segle xix, passi pel descobriment i l’estudi de la difracció dels

raigs X per William Bragg i se centri més específicament amb les

imatges sobre difracció de raig X per les molècules de DNA que

va obtenir Rossalin Franklin i que van permetre a James Watson

i Francis Crick proposar el seu model de la doble hèlix de DNA.

Hi ha moltes pàgines web que els alumnes poden consultar i

que poden ser una bona guia per efectuar el petit treball de

recerca que es demana. Com que els alumnes encara no tenen

els coneixements ni la pràctica suficients en la recerca per Internet,

és interessant donar-los algunes adreces que els puguin

ajudar. A continuació se’n proposen algunes:

si recordem l’expressió que relaciona la freqüència, la velocitat

de fase i la longitud d’ona, v f, podem comprovar que, en

disminuir la freqüència f, la longitud d’ona augmenta per tal

que la velocitat de fase v es mantingui constant.

2. Dibuixeu dues ones en una corda en els casos següents:

a) Amb la mateixa amplitud, però amb longituds d’ona una

el doble de l’altra.

b) Amb la mateixa longitud d’ona, però amb amplituds que

A 2

estiguin en la relació A 1 5 ——.

3

http://www.sciencetimeline.net/index.htm

Science Timeline és un web que té una extraordinària cronologia

sobre el coneixement de les ciències experimentals (física,

química, biologia i geologia) i alguns apunts de matemàtiques

i filosofia. És en anglès però es pot entendre perfectament

per nivells de Batxillerat. A més, permet seleccionar les entrades

que un desitja i descarregar-les fàcilment en format word.

http://www.galileog.com/ciencia/biologia/adn/adn1.htm

Aquesta pàgina web té una bona descripció de què és el DNA,

quina funció té i informació sobre el seu descobriment. És especialment

in teressant pel que fa al nostre tema l’apartat titulat

«El des cubri miento de la estructura del ADN» que entra

en detalls amb els aspectes de cristal . lografia de raig X i com

aquesta por ta a conèixer l’estructura de raig X, amb unes imatges

molt aclaridores.

http://www.porquebiotecnologia.com.ar

Podem trobar una història complementària, adreçada a alumnes

i d’un nivell bàsic, però amb bones il . lustracions i altres enllaços

interessants. A més, es parla també de biotecnologia en

general.

Activitats finals

Qüestions

1. Si disminuïm la freqüència d’una ona, com variarà la longitud

d’ona si es transmet a través del mateix medi? Raoneu

la resposta.

Si l’ona no canvia el seu medi de transmissió, la seva velocitat

de fase no varia encara que ho faci la seva freqüència. Per tant,

c) Amb les mateixes amplituds i longituds d’ona, però desfasades

270°.

3. Expliqueu detalladament què vol dir que una ona és doblement

periòdica.

En tota ona s’ha de considerar una doble periodicitat: en el

temps i en l’espai. En el temps perquè qualsevol partícula del

medi oscil . la al pas de l’ona, i sabem que un moviment oscil . latori

és un tipus particular de moviment periòdic. En l’espai perquè

l’ona es va repetint periòdicament a in tervals regulars de

longitud d’ona d’acord amb el seu valor de longitud d’ona.

Aquesta doble periodicitat queda reflectida, per exemple, en

l’equació d’ona harmònica, en la qual la periodicitat temporal ve

donada pel valor del període T, mentre que la periodicitat espacial

ve donada pel valor de la longitud d’ona:

y (x , t) A sin ( t k x) A sin 2

FÍSICA 1 8

133

Aquesta doble periodicitat d’una ona també queda reflectida si

tenim en compte que l’expressió que lliga la velocitat de fase v,

la longitud d’ona i el període T ve donada per v —. D’altra

T

banda, es defineix la velocitat de fase com la relació entre la

distància que recorre l’ona des del focus fins a un punt determinat

situat a una distància x del focus i el temps que triga a

x

fer-ho, v —.

t

Per tant, si comparem ambdues expressions, comprovem que, en

el temps d’un període, l’ona avança una longitud igual a la longitud

d’ona, mentre que, perquè l’ona recorri una longitud igual

a la longitud d’ona, ha de transcórrer el temps d’un període.

4. Comenteu detalladament el que passa en la situació següent

tot relacionant-la amb el fenomen ondulatori que

correspongui: «una ona plana produïda a la superfície d’un

líquid troba un petit obstacle en la seva direcció de propagació.»

Es produeix el fenomen de la difracció: cada punt on arriba el

front d’ones constitueix un emissor d’ones en una determinada

direcció i l’ona resultant és constituïda per la suma de totes les

noves ones emeses.

5. Una ona es transmet per un medi determinat amb una velocitat

v 1 , i quan penetra en un altre medi ho fa amb velocitat

v 2 . Es pot donar el cas que no hi hagi refracció de l’ona? En

quines condicions? Justifiqueu la resposta.

Suposem que l’ona penetra en el segon medi formant un angle

i amb la recta normal a la superfície de separació dels dos

medis, que considerem plana. Recordem que, en aquest cas,

podem aplicar la llei de Snell:

sin i v 1

———— ——

sin r v 2

On r és l’angle de refracció, i v 1 i v 2 les velocitats respectives

en els dos medis. En el cas que la velocitat en el segon medi

v 1

sigui més gran que en el primer medi, el quocient —— serà

v 2

més petit que la unitat i, per tant, també ho serà el quocient

sin i

————:

sin r

v 1 sin i

v 1 v 2 f —— 1 f ———— 1 f sin i sin r

v 2

sin r

f i r

Si tenim en compte aquest últim resultat, podem veure que

existeix un angle i més petit que 90º pel qual l’angle de refracció

és de 90º. Per tant, podem concloure que, en aquestes

condicions, l’ona refractada surt en una direcció que està compresa

en la superfície de separació dels dos medis, i que, així,

no hi ha ona refractada. L’angle d’incidència que verifica aquesta

con dició s’anomena angle límit i, segons el que acabem de

veure, per a angles d’incidència més grans o iguals que l’angle

límit, no hi ha ona refractada i l’ona incident es reflecteix totalment.

6. Dues ones transversals produïdes en sengles focus puntuals

tenen igual amplitud i freqüència. D’acord amb el

que es mostra a la figura 8.70, on les valls s’han representat

amb línies contí nues, i les crestes amb línies discontínues,

raoneu com seran les interferències en els punts A,

B, C i D.

Punt A: coincideixen una vall i una cresta, de manera que la

diferència de camins és un nombre imparell de semilongituds

d’ona. Per tant, es dóna una interferència destructiva.

Punt B: coincideixen dues crestes, de manera que la diferència

de camins és un múltiple de la longitud d’ona. Per tant, hi ha

interferència constructiva.

Punt C: coincideixen dues valls, i com en el cas del punt B, la

diferència de camins és un múltiple de la longitud d’ona. Per

tant, hi ha una interferència constructiva.

Punt D: tenim la mateixa situació que en el punt C; coincideixen

dues valls i, per tant, hi ha interferència constructiva.

7. [Curs 01-02] En què consisteix la difracció? Raoneu si

aquest fenomen avala el caràcter ondulatori o el caràcter

corpuscular de la llum.

La difracció és la distorsió que experimenta una ona en arribar

a un obstacle de dimensions comparables a la seva longitud

d’ona i que impedeix la transmissió. Com a resultat s’obtenen

patrons o figures de difracció característics resultants dels diferents

valors de l’amplitud de l’ona que arriba als diferents punts

de l’espai. La forma d’aquests patrons depèn de la longitud

d’ona de la llum i del tipus d’obstacle.

El fenomen de la difracció avala el caràcter ondulatori de la

llum, ja que no és explicable a partir del model corpuscular.

8. Normalment és difícil d’observar la difracció de la llum.

Per què?

Per poder observar la difracció de la llum és necessari que l’obstacle

sigui del mateix ordre de magnitud que la longitud d’ona

de la radiació incident. Com que la llum té una longitud

d’ona molt curta i els obstacles són d’una magnitud molt superior,

els fenòmens de difracció no tenen lloc perquè en superposar-se

a la pantalla raigs difractats per molts punts de l’objecte

difrantant, es compensen els efectes constructius i destructius,

i així s’obté una imatge intermèdia i uniforme.

134 8


Per observar les figures de difracció és precís també que el focus

lluminós sigui puntual i sobretot monocromàtic, perquè si

es tracta d’un focus emissor amb llum blanca les interferències

destructives per a una longitud d’ona determinada es compensen

fàcilment amb les constructives per a una altra.

9. La reflexió és un fenomen típicament ondulatori? I la refracció?

Raoneu la resposta.

La reflexió no és un fenomen típicament ondulatori, sinó que

també es dóna en el cas dels moviments corpusculars. Penseu,

per exemple, quan una pilota xoca elàsticament amb un obstacle:

es produeix una reflexió de la pilota. Per contra, la refracció

sí que és un fenomen típicament ondulatori, ja que

consisteix en la desviació que experimenta una ona quan passa

d’un medi a un altre en què la velocitat de fase és diferent;

aquesta desviació és una conseqüència del principi de Huygens,

que, recordem-ho, només verifiquen els moviments ondulatoris.

10. Expliqueu els fenòmens que tenen lloc quan un raig de

llum arriba a la superfície de separació de dos medis transparents.

En general, quan un raig de llum troba en el seu recorregut una

superfície de separació de dos medis amb diferent índex de refracció

es divideix en dues parts:

A) Com és la velocitat de la llum en l’oli, respecte a la velocitat

de la llum a l’aigua?

a) més gran

b) més petita

c) igual

B) Quin dels dos líquids té un índex de refracció més gran?

a) l’oli

b) l’aigua

c) els dos el tenen igual

Mostrem una taula amb els diferents índexs de refracció:

Substància

Aigua 1,333

Aire 1,00029

Oli 1,46

La trajectòria del raig seria la següent:

Índex de refracció

Una es propaga en el medi inicial, és el que anomenem reflexió

i compleix les lleis següents:

j Els raigs incident i reflectit i la normal a la superfície reflectant

es troben en un mateix pla.

j L’angle que forma el raig incident amb la normal en el punt

d’incidència és el mateix que el que forma el raig reflectit.

La relació entre la velocitat i l’índex de refracció és:

c

v 5 —

n

L’altra s’introdueix en el nou medi, és el que anomenem refracció

(també, si entra en diverses direccions, es produeix el fenomen

de difusió interna), que compleix la llei de Snell:

n 1 ? sin a i 5 n 2 ? sin a r

on n 1 i n 2 són els índexs de refracció dels medis i a i i a r són els

angles del raig respecte a la normal.

11. Sabem que l’oli, d’índex de refracció n, té una densitat més

petita que l’aigua i, per tant, sura sobre aquesta. Una fina

capa d’oli d’un cert gruix d s’ha dipositat sobre la superfície

de l’aigua continguda en un recipient. Dibuixeu la trajectòria

que segueix un raig de llum oblic que passa de

l’aire a l’oli, i de l’oli a l’aigua, i trieu la resposta correcta:

És a dir, un índex de refracció més gran suposa una velocitat de

la llum més petita en el medi:

Per tant:

A) Com que l’índex de refracció de l’oli és més gran que el de

l’aigua, la velocitat de la llum en l’oli és més petita. La

resposta correcta és la b).

B) L’oli té un índex de refracció més gran. La resposta correcta

és la a).

12. [Curs 03-04] La figura 8.71 representa la propagació d’un

raig de llum quan passa d’un medi a un altre. Enuncieu la

llei que regeix aquest fenomen físic i raoneu en quin dels

dos medis (A o B) la llum es propaga amb més velocitat.

FÍSICA 1 8

135

v A sin a i

Llei de refracció: —— ———

v B sin a r

a i , a r f sin a i , sin a r f v A , v B

13. [Curs 99-00] Un raig de llum passa de l’aire a un vidre.

Raoneu si cadascuna de les afirma cions següents referides

al raig de llum són vertaderes o falses:

a) Augmenta la freqüència.

b) Augmenta el període.

c) Disminueix la velocitat de propagació.

d) Augmenta la longitud d’ona.

Dada: l’índex de refracció del vidre és més gran que el de

l’aire.

Les afirmacions a) i b) són falses perquè una ona no altera la

seva freqüència ni, per tant, el seu període en canviar de medi

de propagació.

c

Com que n — i tenim n aire , n vidre , aleshores: v aire . v vidre ,

v

en passar de l’aire al vidre disminueix la velocitat de propagació.

L’opció c) és la correcta.

Si la velocitat disminueix, aleshores la longitud d’ona també

disminueix ja que la freqüència és constant. L’opció d) és

falsa.

14. En què consisteix la polarització de la llum? Si situem

dues plaques polaritzadores de manera que les seves direccions

de polarització siguin perpendiculars, què observem?

Es tu dieu diverses posicions relatives de les direccions

de polarització i deduïu què passa en els diferents

casos.

La llum, com a ona transversal, té la propietat que allò que

vibra ho fa en direcció perpendicular a la direcció de propagació.

Vibren els camps elèctric i magnètic, que tenen caràcter

vectorial. Polaritzar vol dir restringir (controlar) aquestes vibracions.

Dues plaques polaritzades col . locades de manera que les seves

direccions de polarització siguin perpendiculars no deixen passar

cap raig de llum.

15. Durant el dia, el cel es veu de color blau, mentre que quan

el Sol es pon, es veu de color vermellós en la direcció de

la posta. En quin fenomen es basen aquests dos fets? Expliqueu-lo

detalla dament i digueu per què el cel es veu

d’aquesta manera.

El cel es veu de color blau durant el dia i amb tonalitats vermelloses

al capvespre en la zona on es pon el Sol a causa del fenomen

de la difusió de la llum. La llum que prové del Sol,

composta per tots els colors, és difosa per les molècules de

l’aire. Com que els colors de longitud d’ona curta, com el blau,

són els que pateixen la difusió en un grau més elevat, el cel

apareix d’aquest color quan mirem en una direcció que no sigui

la definida per la nostra vista i el Sol (el component violeta

de la llum solar és menys abundant que el blau, per la qual cosa

predomina la difusió del color blau).

Al capvespre, la llum del Sol ha de travessar una capa d’aire més

gruixuda, i la difusió de la llum encara es fa més patent. El color

vermell té una longitud d’ona més gran i és, per tant, el

component de la llum blanca que menys pateix el fenomen de

la difusió. És el color que predomina quan mirem cap al Sol, ja

que pels altres colors s’haurà alterat significativament la propagació

rectilínia a causa de la difusió.

16. La dispersió de la llum blanca es pot estudiar amb un prisma.

Busqueu informació sobre el tema i descriviu aquest

fenomen.

Quan la llum travessa un prisma (un objecte transparent amb

superfícies planes i polides no paral . leles), el raig de sortida ja

no és paral . lel al raig incident. Com que l’índex de refracció

d’una substància varia amb la longitud d’ona, un prisma pot

separar les diferents longituds d’ona contingudes en un feix i

formar un espectre. En la figura, l’angle CBD entre la trajectòria

del raig incident i la trajectòria del raig emergent és l’angle de

desviació. Pot demostrar-se que quan l’angle del raig incident

coincideix amb el del raig emergent, la desviació es mínima.

Angle de desviació

En la figura s’observa com es pot polaritzar (filtrar la direcció

del camp elèctric) en direccions diferents. Els retardadors introdueixen

un canvi en la fase del vector camp elèctric.

136 8


L’índex de refracció d’un prisma es pot calcular mesurant l’angle

de desviació mínima i l’angle que formen les cares del prisma.

C: centre de curvatura

F: focus

O: objecte; O’: imatge

La imatge és virtual, dreta i ampliada.

18. Considereu un mirall còncau i un objecte situat a diferents

posicions del mirall.

A) Quan l’objecte es troba entre el mirall i el focus, la

imatge és:

a) Virtual, dreta i més gran que l’objecte.

w 5 r 1 r9

d 5 1 i9 2 w

sin (d mín 1 w)

si d 5 d mín ; llavors n 5 ———————

sin (w/2)

17. [Curs 04-05] Un mirall esfèric còncau té un radi de curvatura

R. Dibuixeu els diagrames de raigs necessaris per localitzar

la imatge d’un objecte petit en forma de fletxa

situat sobre l’eix del mirall, a una distància d de l’extrem

del mirall, en els casos següents:

a) d 5 2 R

Indiqueu en cada cas si la imatge és virtual o real, dreta

o invertida, i reduïda o ampliada.

b) Real, invertida i més petita que l’objecte.

c) Cap de les respostes anteriors és correcta.

La imatge és virtual, dreta i més gran que l’objecte. La resposta

correcta és la a).

B) Quan l’objecte es troba entre el focus i el centre, la

imatge és:

a) Real, dreta i més petita que l’objecte.

b) Virtual, invertida i més gran que l’objecte.


Aquest cas correspon amb l’apartat b) de la qüestió anterior,

per tant la imatge és real, invertida i més gran que

l’objecte. La resposta correcta és la c).

C) Quan l’objecte se situa més enllà del centre, la imatge és:

a) Real, invertida i més petita que l’objecte.

b) Virtual, dreta i més gran que l’objecte.


Correspon a l’apartat a) de la qüestió anterior: imatge real,

invertida i més petita que l’objecte. La resposta correcta és

la a).


F: focus

O: objecte, O’: imatge

La imatge és real, invertida i reduïda.

R

b) d 5 —

3

19. Com és la imatge que forma un mirall còncau quan l’objecte

està sobre el centre de curvatura C del mirall? I quan està

situat sobre el focus F? Dibuixeu el diagrama de raigs per

raonar la resposta. Si tenim en compte com és la imatge

quan l’objecte està més enllà del centre del mirall, quan

està entre el centre i el focus, i quan està entre el fo cus i

el mirall, deduïu en conseqüència com varia la posició i el

tamany de la imatge quan un objecte es va apropant cap al

mirall des d’una posició llunyana.

En el primer cas, hem de situar l’objecte sobre el centre de curvatura

C. Per representar la situació, dibuixem primer amb un

compàs un arc de circumferència que representarà el mirall còncau

i que, com que no es donen valors, tingui un radi r arbitrari.

A continuació, senyalem el centre de curvatura C i el focus F

(que, recordem-ho, està situat a una distància del mirall igual a

la meitat del radi, f r/2). Per fer el diagrama de raigs, representem

l’objecte O amb una fletxa, el situem sobre C i tracem

els raigs paral . lel (p) i radial (r). Podem veure que el raig radial

creua l’objecte, ja que ha de passar per C i l’objecte està situat

FÍSICA 1 8

137

a C. Una vegada s’ha traçat també el raig paral . lel, observem

que la imatge I també està situada sobre el punt C, té la mateixa

mida que l’objecte, però és invertida.

En el segon cas, l’objecte està situat sobre el focus F. Tornem

a dibuixar un arc de circumferència de radi arbitrari r, senyalem

el centre C i el focus F, i dibuixem l’objecte sobre F representant-lo

amb una fletxa. Una vegada traçats els raigs paral . lel

(p) i radial (r), observem que quan aquests es reflecteixen en

el mirall, surten paral . lels l’un respecte de l’altre, per la qual

cosa deduïm que s’ajunten a l’infinit. Per tant, arribem a la conclusió

que, en aquesta situació, la imatge es forma a l’infinit, és

a dir, no s’obté cap imatge.

20. [Curs 04-05] Considereu un mirall esfèric convex. Dibuixeu

el diagrama de raigs necessari per localitzar la imatge d’un

objecte petit en forma de fletxa situat davant del mirall,

sobre el seu eix. Indiqueu si la imatge és virtual o real,

dreta o invertida, i reduïda o ampliada.

22. Per què en alguns encreuaments de carrers i en alguns comerços

hi ha miralls convexos situats de manera estratègica?

Té alguna cosa a veure amb el tipus d’imatge que formen

aquests miralls? Raoneu la resposta.

Pensem en la manera en què una persona capta les imatges

donades pels diversos tipus de miralls. Els miralls còncaus, tot i

que en determinades condicions donen imatges virtuals i, per

tant, susceptibles de ser observades per la persona, també poden

donar, depenent de la situació de l’objecte respecte del

focus del mirall, imatges reals que no seran captades per l’observador.

Només els miralls plans i els miralls convexos formen

una imatge que sempre és, en qualsevol situació, virtual i dreta,

i que, per tant, pot ser captada per la persona.

Per tant, en principi, per visualitzar objectes sigui quina sigui

la seva posició, cal utilitzar o bé miralls plans o bé miralls convexos.

Ara bé, tot i que les imatges donades pel mirall pla són

de la mateixa mida que l’objecte, a diferència del mirall convex,

que dóna imatges més petites que l’objecte, aquests darrers són

més adequats per ser col . locats estratègicament en l’encreuament

d’alguns carrers i en comerços, ja que el camp de la visió

que donen és més ample que en el cas del mirall pla, i permeten

visualitzar més objectes.

a) En un mirall pla la imatge és de la mateixa mida que l’objecte,

però el camp visual és més petit.


F: focus

O: objecte; O’: imatge

La imatge és virtual, dreta i reduïda.

b) En un mirall convex, la imatge és més petita que l’objecte,

però, en tenir un major camp visual, és idoni per ser collocat

en alguns encreuaments de carrers i en comerços.

21. La imatge que dóna un mirall convex, sota quines condicions

és real? Deduïu, en conseqüència, com varia la posició

i la mida de la imatge que es forma d’un objecte que

es va apropant cap al mirall des d’una posició llu nyana.

La imatge sempre és virtual, només quan l’objecte s’apropa

molt al mirall la imatge s’apropa cap al límit entre virtual i real,

com veiem en la figura següent:

138 8


23. Per què diem que les lents biconvexes són lents convergents?

Per què diem que les lents bicòncaves són lents divergents?

Raoneu les respostes.

En una lent biconvexa, els raigs que provenen de l’infinit convergeixen

en un punt situat darrere de la lent (anomenat punt

focal imatge) una vegada han travessat la lent. Per aquest motiu

diem que aquestes lents són convergents.

Per contra, en una lent bicòncava, els raigs que provenen d’un

punt infinit divergeixen quan travessen la lent i sembla que provinguin

d’un punt situat davant de la lent; per això les anomenem

lents divergents.

26. Els defectes de la visió més usuals que acostumen a patir

les persones són la miopia i la hipermetropia. En què consisteixen

aquests defectes i com creus que es corregeixen?

Expliqueu-los detalladament.

La miopia és la dificultat per enfocar els objectes llunyans. La

imatge es forma davant la retina.

La miopia es corregeix amb lents divergents:

24. Una lent biconvexa dóna sempre imatges reals? I una lent bicòncava

dóna sempre imatges virtuals? Raoneu les respostes.

Una lent biconvexa pot donar tant imatges reals com imatges

virtuals. Que la imatge sigui d’un tipus o d’un altre depèn de la

situació de l’objecte respecte del focus objecte de la lent. Quan

l’objecte està a una distància més gran que el focus objecte, els

raigs que provenen de l’objecte convergeixen quan han travessat

la lent i formen una imatge al costat contrari d’on està situat

l’objecte. Per tant, en aquesta situació s’obté una imatge

real, ja que està situada, respecte de la lent, en el costat contrari

d’on està l’objecte (encara que invertida). Per contra, quan

l’objecte està situat a una distància més petita que el focus

objecte, els raigs que provenen de l’objecte divergeixen quan

s’han refractat a la lent i sembla que provinguin de punts situats

al mateix costat que l’objecte. Per tant, en aquesta situació

la imatge és virtual, ja que està situada al mateix costat,

respecte de la lent, que l’objecte.

D’altra banda, les lents bicòncaves només donen imatges virtuals,

ja que, sigui quina sigui la posició de l’objecte, els raigs

sempre divergeixen quan han travessat la lent i sembla que

provinguin de punts situats al mateix cantó que l’objecte; per

tant, la imatge és virtual.

La hipermetropia és la dificultat per veure-hi a distàncies curtes.

La imatge es forma darrere de la retina. Es corregeix amb

lents convergents:

25. La imatge que dóna una lent divergent, sota quines condicions

és real? Deduïu, en conseqüència, com varia la posició

i la mida de la imatge que es forma d’un objecte que es va

apropant cap a la lent des d’una posició llunyana.

A mesura que l’objecte s’apropa a la lent divergent, la imatge es

fa mes gran:

Problemes

La imatge sempre és virtual (a l’esquerra de la lent), dreta i més

petita que l’objecte:

1. Calculeu la freqüència dels emissors de radiació electromagnètica

següents sabent que c 5 3 ? 10 8 m/s:

a) Una emissora de ràdio que emet un senyal electromagnètic

de longitud d’ona 5 m.

5 m

c 3 10 8 m/s

i

y

t

c 3 10 8

c f f f — ———— 6 10 7 Hz

5

FÍSICA 1 8

139

b) Un àtom excitat que emet radiació ultraviolada de longitud

d’ona 550 Å.

10 10 m

550 A ° ————— 5,5 10 8 m f

1 A °

c 3 10 8

f f — ————— 5,45 10 15 Hz

l 5,5 10 8

c) Un nucli radioactiu que emet radiació gamma de longitud

d’ona 4 ?10 212 m.

c 3 10 8

4 10 12 m f f — ————— 7,5 10 19 Hz

4 10 12

2. [Curs 02-03] Una estació de radar utilitza ones electromagnètiques

de freqüència 3 ?10 10 Hz.

a) Quantes longituds d’ona hi ha entre l’estació i un avió

situat a 50 km de distància?

c

x f

— ; x nl f n —— 5 ? 10 6

f

c

b) Quant de temps transcorre des que s’emet un pols fins

que retorna a l’estació, després de rebotar a l’avió?

2 x

t —— 3,33 ? 10 24 s 5 0,33 ms

c

Dada: c 5 3 ?10 8 m/s

3. La banda comercial de ràdio d’AM abasta unes freqüències

que van des dels 550 kHz fins als 1 600 kHz. Quines longituds

d’ona corresponen a aquesta franja?

De 187,5 m a 545,45 m.

4. La banda comercial de ràdio d’FM abasta unes freqüències

que van des dels 87,5 MHz fins als 108 MHz. Quines longituds

d’ona corresponen a aquesta franja?

De 2,78 m a 3,43 m.

5. [Curs 98-99] Un raig de llum vermella que es propaga per

l’aire incideix sobre un vidre amb un angle de 30º respecte

a la direcció normal en la superfície del vidre. L’índex de

refracció del vidre per a la llum vermella val n v 5 1,5, i

l’índex de refracció de l’aire val n a 5 1.

a) Feu un esquema amb les direccions dels raigs reflectit

i refractat, i calculeu el valor dels angles que formen

aquests raigs amb la normal.

L’esquema amb els raigs incident, reflectit i refractat és:

a i a r , per tant, l’angle de reflexió també forma un angle

de 30° amb la normal. A més:

n i sin a i n i sin a9 r f

n i sin a i 1 ? sin 30°

f a9 r arcsin ————— arcsin 1

————— 2 19,47°

n r 1,5

El raig refractat forma un angle de 19,47° amb la normal.

b) Calculeu l’angle que formen entre si el raig reflectit i el

raig refractat.

Els raigs reflectit i refractat formen entre si un angle igual a:

(90° 2 a r ) 1 (90° 2 a9 r ) 180° 2 30° 2 19,47°

5 130,53°

6. Sobre un cos de material transparent incideix un raig de

llum formant un angle de 35° amb la normal a la superfície

del cos. Si l’angle de refracció és de 25°, quin índex de refracció

té el material? A quina velocitat es propaga la llum

en ell?

i 35°

r 25°

Apliquem la llei de Snell:

sin i sin 35°

———— n f n ———— 1,36

sin r sin 25°

Apliquem la definició de n i aïllem v tenint en compte que

c 3 10 8 m/s:

c c 3 10 8

n — f v — ———— 2,2110 8 m/s

v n 1,36

7. Un raig de llum arriba a la superfície de separació de dos

medis transparents. Si el primer medi té un índex de refracció

d’1,33 i el segon, d’1,55, quin ha de ser el valor de

l’angle que forma el raig incident respecte a la direcció normal

a la superfície de separació quan l’angle que formen el

raig reflectit i el raig refractat val 90º?

a i 49,37°

8. [Curs 04-05] Una ona electromagnètica es propaga en el

buit i té una longitud d’ona l 5 5 ? 10 27 m. Calculeu la seva

longitud d’ona quan penetra en un medi d’índex de refracció

n 5 1,5.

v c/n l

l9 — ——— —

f c/l n

l9 3,3 ? 10 27 m

9. Quan un raig de llum travessa una làmina plana feta d’un

cert material transparent, no es desvia quant a la direcció

de propagació, però sí que experimenta un cert desplaçament

paral . lel al raig incident. Demostreu matemàticament

aquest fet, i trieu la resposta correcta d’entre les següents

si el gruix de la làmina és de 5 mm i l’índex de refracció n

del material val 1,65:

140 8


A) El desplaçament paral . lel que experimenta el raig incident

és:

d cos (a i 2 a r 9)

a) —————————

sin a r 9

d sin (a i 2 a r 9)

b) —————————

cos a r 9

d cos (a i 2 a r 9)

c) —————————

cos a r 9


B) Quan el raig hi incideix formant un angle de 50º respecte

de la superfície de la làmina, el desplaçament val:

a) 0,15 mm

b) 1,15 mm

c) 2,15 mm


10. Suposem que sobre la làmina de l’exercici anterior hi incideix

perpendicularment un raig de llum monocromàtica de

freqüència 6 ?10 14 Hz. Trieu la resposta correcta i justifiqueu-la.

A) Quan el raig hi incideix formant un angle de 90º respecte

de la superfície de la làmina, el temps que tarda el

raig a travessar-la val:

a) 27,5 ps

b) 35,6 ns

c) 12,9 ms


B) La velocitat de la llum en aquest material val:

a) 0,8 c

b) c

c) 0,6 c


C) La freqüència del raig quan es propaga a l’interior de la

làmina val:

a) 10 15 Hz

b) 3,6 ?10 14 Hz

c) És la mateixa, la freqüència no varia


D) La longitud d’ona del raig quan es propaga a l’interior de

la làmina val:

a) 5 ?10 27 m

b) 3 ?10 27 m

c) 2 ?10 27 m


11. Observem des de fora una piscina de fondària h completa-

4

ment plena d’aigua, d’índex de refracció —. Dibuixeu la

3

marxa dels raigs, i justifiqueu la veracitat o no de les afirmacions

següents tot triant les respostes correctes.

A) Ens fa l’efecte que la seva profunditat és:

a) Més gran que h.

b) Més petita que h.

c) Igual a h.


B) Si la profunditat de la piscina és de 2,4 m, a quina distància

de la superfície de l’aigua veiem el fons?

a) 1,7 m b) 1,8 m c) 1,9 m

12. El quars i el diamant presenten uns índexs de refracció

d’1,51 i 2,42 respectivament.

a) A quina velocitat es transmet la llum d’aquests mate rials?

n quars 1,51

c 3 10 8

v quars ——— ———— 1,99 10 8 m/s

n quars 1,51

n diamant 2,42

c 3 10 8

v diamant ———— ———— 1,24 10 8 m/s

n diamant 2,42

b) Quant valen els respectius angles límit?

sin i 1 sin iL 1

Quars: ——— — f ———— ——— f

sin r n sin 90° 1,51

f sin iL 0,6622 f iL arcsin (0,6622) 41,47°

sin iL 1

Diamant: ———— ——— f

sin 90° 2,42

f sin iL 0,4132 f iL arcsin (0,4132) 24,41°

13. [Curs 98-99] Quin és l’angle d’incidència mínim per tal

que un raig de llum, que es propaga per un vidre d’índex de

refracció n v 5 1,6, es reflecteixi totalment en arribar a la

superfície de separació entre aquest vidre i l’aire? L’índex

de refracció de l’aire és n a 5 1.

Cal buscar l’angle d’incidència al qual correspongui un angle

refractat de 90°:

n i sin a i n r sin a9 r f

n r sin 90° 1

f a i arcsin —————— arcsin 1 —— 2 38,68°

n i 1,6

14. Un raig lluminós que es propaga per l’aire passa a l’aigua

continguda en un recipient. Quin és l’angle de refracció del

raig refractat si l’angle d’incidència és de 15°? Si volguéssim

que el raig refractat a l’aigua no tornés a sortir i es reflectís

totalment, amb quin angle mínim hauria d’entrar el raig des

de l’aire? És possible aquesta situació en la pràctica?

Dada: índex de refracció de l’aigua: 1,33.

FÍSICA 1 8

141

Apliquem la llei de Snell tenint en compte que n 1,33.

sin i sin 15°

———— n f ———— 1,33 f

sin r

sin r

sin 15°

f sin r ———— 0,1946 f

1,33

f r arcsin (0,1946) 11,22°

Ara apliquem la llei de Snell dues vegades, ja que el raig pateix

dues refraccions: quan passa de l’aire a l’aigua, amb un angle

d’incidència i2 , i quan passa de l’aigua a l’aire, amb un angle

d’incidència iL .

sin iL 1 1

———— — f iL arcsin

——— 48,75°

sin 90° n 1,33

sin i2

r 2 iL f ———— n f i2 sin 1 (n sin r 2 ) f

sin r 2

f i2 arcsin (1,33 sin 48,75°) 90°

Deduïm que aquesta situació és impossible, ja que l’angle d’incidència

hauria de ser de 90° i, per tant, el raig mai no passaria

a l’aigua.

Veiem que la imatge està situada aproximadament a 14,5 cm

davant del mirall (imatge real), i la seva alçada és d’1,5 m,

aproximadament. La imatge és real, invertida i més gran que

l’objecte.

c) 12 m

Seguim els mateixos criteris que a l’apartat anterior i ara

situem l’objecte a 12 m (12 cm en el dibuix):

15. Un mirall còncau té un radi de 10 m. Davant seu se situa un

objecte de 80 cm d’altura. Dibuixeu un diagrama de raigs i

determineu la posició i l’altura de la imatge per a les distàncies

de l’objecte al mirall que es donen a continuació:

La distància focal és, en tots els casos, la meitat del radi:

r 10

f — f f —— 5 m

2 2

Per dibuixar el diagrama de raigs fem servir paper mil . limetrat,

de manera que 1 m correspongui a 1 cm en el dibuix, per

exemple.

a) 2,25 m

Representem l’objecte amb una fletxa. Amb l’escala triada,

l’objecte mesura 0,8 cm, i el situem a 2,25 cm (2,25 m

reals). Dibuixem els raigs paral . lel i radial:

Observem que la imatge està situada 4 m darrere del mirall

(imatge virtual) i la seva alçada és d’1,5 m, aproximadament.

La imatge és virtual, dreta i més gran que l’objecte.

b) 7,5 m

Seguim els mateixos criteris que en l’apartat anterior, però

ara situem l’objecte a 7,5 m (7,5 cm en el dibuix):

La imatge està situada a 8,6 m davant del mirall i la seva

alçada és de 0,6 m 60 cm. La imatge és real, invertida i

més petita que l’objecte.

16. Deduïu a quina distància aproximada d’un mirall còncau hem

de situar un objecte per tal que la imatge formada sigui

virtual i d’altura doble a la de l’objecte. Feu-ho considerant

que el mirall té un radi de 45 cm i que l’objecte té una alçària

de 15 cm. Determineu també la posició de la imatge.

En primer lloc, calculem la distància focal:

r 45

f — f f —— 22,5 cm

2 2

Per tal que la representació de la situació sigui adequada, farem

servir, per exemple, les escales següents:

— En l’eix X, 1 cm del dibuix correspon a 5 cm reals.

— En l’eix Y, 1 cm del dibuix correspon a 10 cm reals.

Per determinar la distància a la qual hem de situar l’objecte i el

punt on està situada la imatge, fem les consideracions següents:

j Com que l’objecte ha de tenir una alçada de 15 cm, tracem

una recta a paral . lela a l’eix òptic que passi pels punts d’altura

y 15 cm (que correspondrà a 1,5 cm en el dibuix,

d’acord amb l’escala triada per a l’eix X).

j Com que la imatge és virtual, ha d’estar situada darrere del

mirall i ha de ser dreta. Si tenim en compte que la seva

142 8


alçada, y, ha de ser el doble de l’alçada y de l’objecte,

y 2 y 2 15 30 cm, aleshores podem traçar una recta

b paral . lela a l’eix òptic, per sobre d’aquest, que passi pels

punts y 30 cm (3 cm en el dibuix).

j Si ara tracem el segment que va d’F (punt focal) al punt on

la recta a talla el mirall, i perllonguem aquest segment fins

a la recta b, està clar que aquest segment serà la trajectòria

que segueix el raig focal, i, per tant, ens dóna la posició de

la imatge I.

j També podem traçar ara la recta que va del punt de tall de la

recta b i el raig focal anterior al punt C (centre del mirall).

Aquesta recta ens dóna la posició de l’objecte O.

Tenint en compte aquestes consideracions, fem el dibuix en

paper mil . limetrat:

b) Mirall convex

Observem que en el cas del mirall còncau, la imatge està situada

a 6,7 m davant del mirall (imatge real) i té una alçada aproximada

de 2 m. La imatge és real, invertida i més gran que

l’objecte.

En el cas del mirall convex, la imatge està situada 1,5 m dar rere

del mirall (imatge virtual) i té una alçada de 0,5 m. La imatge

és virtual, dreta i més petita que l’objecte.

18. Una lent convergent disposa d’una distància focal de 3,1 cm.

Determineu la posició, l’alçària i les característiques que

dóna d’un objecte de 2,3 cm quan l’objecte està situat a:

Dibuixem la representació en tots dos casos tenint en compte

que 1 cm correspon a 1 cm en el dibuix.

Observem que la imatge està situada a 22,5 cm del mirall (4,5 cm

en el dibuix), mentre que l’objecte està situat a 11 cm del mirall

(2,2 cm en el dibuix).

17. Dibuixeu el diagrama de raigs per obtenir la imatge d’un

objecte d’1,2 m d’alçària quan es col . loca a 4 m d’un mirall

còncau de 5 m de radi. Si el mirall és convex, com serà la

imatge formada pel mateix objecte?

En tots dos casos, la distància focal és:

r 5

f — — 2,5 m

2 2

Per representar els raigs fem servir una escala en què 1 m correspongui

a 1 cm en el dibuix. Efectuem un dibuix per al mirall

còncau, i un altre per al mirall convex, tenint en compte les

dades que ens donen i l’escala triada:

a) 1,5 cm de la lent

Veiem que la imatge està situada a 2,7 cm de la lent, davant

seu (imatge virtual) i que té una alçada de 4,4 cm. La

imatge és virtual, dreta i més gran que l’objecte.

b) 4,7 cm de la lent

a) Mirall còncau

FÍSICA 1 8

143

Veiem que la imatge està situada a 9 cm darrere de la lent

(imatge real), i que té una alçada de 4,5 cm. La imatge és

real, invertida i més gran que l’objecte.

19. Una lent biconvexa de focal 15 cm forma una imatge invertida,

real i tres vegades més gran que l’objecte.

A) La posició de l’objecte és:

a) 20 cm

b) 40 cm

c) 60 cm


B) La posició de la imatge és:

a) 20 cm

b) 40 cm

c) 60 cm


Per resoldre aquest exercici farem servir aquestes expressions:

y9 s9

—— 2——

y s

1 1 1

—— 1 —— 5 ——

s s9 f

Si la imatge és invertida, la seva altura y9 és negativa. A més,

és tres vegades més gran que l’objecte, per tant: y9 5 23 y.

Si substituïm aquesta relació a la primera expressió trobem

que:

y9 s9 y s9

—— 2—— f 23 —— 2—— f

y s y s

s9

f 3 —— f s9 3 s

s

Si substituïm aquesta relació entre s i s9 a la segona expressió,

i tenint en compte que f 5 15 cm:

1 1 1 1 1 1

—— 1 —— 5 —— f —— 1 —— 5 —— f

s s9 f s 3 s 15

4 1 4 ? 15

f —— 5 —— f s 5 ———— 5 20 cm

3 s 15 3

Per resoldre aquest problema farem servir uns criteris similars

als del 19. Les escales que triem ara són:

— En l’eix X, 1 cm correspon a 1 cm en el dibuix.

— En l’eix Y, 1 cm correspon a 2 cm en el dibuix.

j Tracem la recta a paral . lela a l’eix òptic corresponent a l’alçada

de l’objecte.

j Tracem la recta b paral . lela a l’eix òptic, per sobre d’aquest,

ja que la imatge ha de ser virtual i, per tant, dreta, cor responent

a l’alçada de la imatge.

j Tracem la recta que passa per F i pel punt v intersecció

entre l’eix de la lent i la recta a: serà la trajectòria que

segueix el raig focal, de manera que el punt de tall I amb

la recta b (alçada de la imatge) ens dóna la posició de la

imatge.

j Tracem la recta que passa pel vèrtex V de la lent i pel punt I

anterior, que ens dóna la trajec tòria del raig central: el punt

de tall amb la recta a (altura de l’objecte) ens dóna la posició

de l’objecte.

Efectuem el dibuix tenint en compte les consideracions anteriors:

Veiem que l’objecte està situat a 2,4 cm de la lent, aproximadament,

mentre que la imatge està situada a uns 9,1 cm a la

dreta de la lent.

Si col . loquem l’objecte a 5 cm de la lupa, cal fer el diagrama de

raigs amb les mateixes escales que abans, per exemple, i traçar

els raigs focal i central:

Si s9 5 3 s f s9 5 3 ? 20 5 60 cm

20. Una lupa és un instrument òptic que permet ampliar la

mida dels objectes i consisteix en una lent convergent que

té una distància focal petita. Si una lupa té una distància

focal de 3 cm, a quina distància hem de situar un objecte

de 0,5 cm si volem obtenir-ne una imatge virtual i quatre

vegades més gran? En aquest cas, on està situada la imatge?

Què passaria si col . loquéssim l’objecte a una distància

de 5 cm de la lupa?

Observem que la imatge està situada aproximadament a 7,4 cm

a la dreta de la lent (imatge real), i que té una alçada aproxi

144 8


mada de 0,75 cm. La imatge és real, invertida i més gran que

l’objecte.

21. Quin tipus de lent ha de portar un projector de diapositives?

A quina distància de la lent han d’estar les diapositives, de

2,5 cm d’altura, si volem projectar-les sobre una pantalla

d’1,5 m situada a 2 m de la lent?

Si volem que la imatge es formi sobre la pantalla, és a dir, darrere

de la lent, cal que aquesta sigui convergent (o biconvexa).

Per tant, un projector de diapositives porta una lent biconvexa.

La imatge obtinguda per aquest tipus de lents és invertida respecte

l’objecte; així, si volem obtenir una imatge dreta sobre la

pantalla, cal situar l’objecte (la diapositiva en aquest cas) invertida.

Així doncs, l’altura y de l’objecte ha de ser negativa:

22. Una lent divergent té una distància focal de 4,25 cm. Determineu

la potència de la lent, i la posició, l’altura i les característiques

que dóna de la imatge d’un objecte d’1,4 cm

quan aquest objecte està situat a:

Podem usar, en la representació, una escala en què 1 cm correspongui

a 1 cm en el dibuix.

a) 1,8 cm de la lent

Fem el diagrama de raigs tenint en compte les dades que es

donen:

y 22,5 cm 20,025 m

i amb una distància focal de la lent que compleixi determinades

condicions que demostrarem a continuació.

No resoldrem aquest problema representant la marxa dels raigs,

ja que hi ha una discrepància molt gran entre l’altura de l’objecte

(2,5 cm) i l’altura de la imatge (1,5 m), i hauríem de fer

un dibuix molt desproporcionat. Ho farem aplicant les expressions

següents:

1 1 1

— 1 — —

s s9 f

y9 s9

— 5 2—

y s

Si volem que la imatge ocupi aproximadament tota la pantalla,

la seva altura y9 ha de ser la de la pantalla:

Observem que la imatge està situada a 1,3 cm davant de la

lent (imatge virtual), i que té una alçada d’1 cm. La imatge


b) 6,3 cm de la lent

Fem el diagrama de raigs:

y9 5 1,5 m

D’altra banda, la pantalla està situada a 2 m de la lent; aquesta

ha de ser la distància s’ entre la lent i la imatge:

s9 5 2 m

Apliquem la segona expressió per obtenir el valor de la distància

s que hi ha d’haver entre l’objecte (diapositiva) i la lent:

y9 s9 1,5 2

— 2— f ———— 2— f

y s 20,025 s

2 ? 0,025

f s ————— 0,0333 m 3,33 cm

1,5

Finalment, si apliquem la segona expressió, obtenim la condició

que ha de complir la distància focal f de la lent:

1 1 1 1 1 1

— 1 — — f ———— 1 — — f

s s9 f 0,0333 2 f

f f 0,0328 m 3,28 cm

Es comprova que la focal de la lent ha de tenir un valor semblant,

lleugerament inferior, a la distància objecte-lent, si volem

que es donin les condicions adequades de projecció sobre

la pantalla.

Veiem que la imatge està situada a 2,6 cm davant de la lent

(imatge virtual), i que té una alçada de 0,6 cm. La imatge


23. De quantes diòptries ha de ser una lent biconvexa per tal

que la grandària de la imatge sigui el doble que la grandària

de l’objecte, si aquest es troba a 25 cm de la lent?

La lent biconvexa ha de tenir 2 D.


Q1. [Curs 02-03] Dues bombetes B iguals, de tensió nominal

3 V i resistència 20 V, es connecten en paral . lel a una font

de tensió de 6 V i resistència interna negligible. A fi que les

FÍSICA 1 8

145

bombetes funcionin a la seva tensió nominal, es connecta

al circuit una resistència R en sèrie, tal com es veu a la figura.

Quin ha de ser el valor de R?

b) L’ona es propaga a la velocitat de 340 m/s.

c) L’ona vibra en una direcció que és perpendicular a la de

propagació.


Q4. En una experiència de laboratori fem incidir un raig de llum

vermella amb diferents angles d’incidència, i, sobre una làmina

de vidre; mesurem els corresponents angles de refracció,

r, i n’obtenim la gràfica adjunta. Quant val l’índex de

refracció del vidre per a la llum vermella? A quina velocitat

es propaga la llum vermella en aquest vidre?

Dades: c 5 3 ? 10 8 m/s

i

Circuit complet: 6 i R 1 — ? 20 i u

uyuut

i 0,3 A

2

i

Branca 1 bombeta: 3 —? 20

2

R 10 V

Q2. [Curs 02-03] Determineu la lectura del voltímetre V, al circuit

de la figura, sabent que a la resistència de 4 V es dissipen

240 J cada minut.

240 J

——— i 2 ? 4 f i 1 A

60 s

V 4V i ? 4 4 V (branca 4 V)

4 V i9 (10 1 10) f i9 0,2 A (branca 10 V 1 10 V)

Lectura de V: V i9 ? 10 2 V

n 1 sin i n 2 ? sin r i

yt n 2 és el pendent de la recta

n 1 1 (aire)

0,75 2 0

j n 2 ————— 1,39

0,54 2 0

c

c

j n 2 —— f v 2 —— 2,16 ? 10 8 m/s

v 2 n 2

P1. [Curs 02-03] Al circuit de la figura, l’amperí metre A 2 marca

una intensitat de 0,25 A. Cal culeu:

a) La intensitat mesurada pels amperímetres A 1 i A 3 .

Q3. Una ona harmònica es propaga per una corda tensa. Si la

freqüència es redueix a la meitat:

a) El període es redueix a la meitat.

b) La velocitat de propagació es duplica.

c) La longitud d’ona es duplica.


Si es tracta d’ona ona transversal:

a) En un instant donat, tots els punts de la corda vibren

amb la mateixa velocitat.

A 2 0,25 A f V 6V 6 ? 0,25 1,5 V

1,5 V

A 3 ——— 0,15 A

10 V

A 1 1 A 2 1 A 3 0,4 A

b) La caiguda de tensió mesurada pel voltímetre V.

c) El valor de la resistència r.

AV 0 a la malla principal

V 12 2 0,4 ? 1 11,6 V

1,5 1 A 1 ? r 2 11,6 0 f r 25,25 V

146 8


La imatge és:

j Real.

j Invertida.

j Més gran que l’objecte.

P2. a) [Curs 03-04] En l’esquema inferior, dibuixeu la imatge

de la fletxa produïda per la lent fent la marxa de raigs

corresponent. F i F9 són els focus de la lent.

Repetiu el dibuix per al cas que la fletxa se situï entre el

focus i la lent, com en l’esquema inferior.

c) Enumereu les propietats (real o virtual, dreta o invertida,

major o menor) de la imatge que ens retorna una

cullera per la part convexa. Per demostrar-les, dibuixeu

la marxa dels raigs i la imatge que s’obté de la fletxa en

el mirall esfèric convex de la figura. El punt c és el centre

de curvatura del mirall.

j Virtual.

j Dreta.

j Més petita que l’objecte.

b) Enumereu les propietats (real o virtual, dreta o invertida,

major o menor) de la imatge que ens retorna una

cullera per la part còncava.

Per a demostrar-les, dibuixeu la marxa dels raigs i la

imatge que s’obté de la fletxa en el mirall esfèric còncau

de la figura. El punt c és el centre de curvatura del mirall.

Solucionari Fisica

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?