01 AL Juarismi

El nacimiento
del álgebra
Al-Juarismi
MÁTEMÁTICASnU^ J W-V
O V¿ÍU

El nacimiento
del álgebra
Al-Juarismi
RBA

Sumario
introducción — ...—...
© 2016, Carlos Dorce Polo por el texto
© 2017, RBA Coleccionables, S.A.
Realización: EDITEC
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Diseño interior Luz de la Mora
Infograffas: Joan Pejoan
Fotografías: Archivo RBA: 26a, 26a, 26b, 26c, 30, 32,47a, 47c, 50,
93b, 93c, 97,123,147a, 147b, 147c, 153; Adani Carr: 29; Digital
Bodleian: 93a; Getty Irnages: 25b, 87; Peter van der Sluüs: 45;
WaipFIyglit: 47b.
Reservados todos los derechos. Ninguna parte de
esta pubLicacíón puede ser reproducida, ahnacenada
o transmiüda por ningún medio sin pemñso del editor.
capítulo 1 Los orígenes de la ciencia árabe
capítulo 2 La aritxnétíca de ai-Juarismi .......
capítulo3 EI Álgebra de al-Juarismi ..
capítulo 4 La obra astronómica.........135
LECTURAS RECOMENDADAS .............._155
ÍNDICE................ 157
ISBN (Obra completa): 978-84473-8775-5
ISBN: 973-84-473-9061-8
Depósito legai: B17250-2017
Impreso y encuademado en Cayfosa (Impresia Ibérica)
Impreso en España - Printed in Spain

Introducción
Muehas veees se ha creído que la ciencia árabe medieval fue una
niera transmisora de los antiguos conocimientos griegos hasta la Europa
Jatina. Sin embargo, lejos de este pensamiento, desde el siglo vm
hasta el xv, el basto territorio que abrazó el islam fue el gran impulsor
de la medicina, las matemáticas, la astronomía, la botánica..
Si concretamos en el ámbito matemático, Grecia había vivido
su gran esplendor en el siglo iii aC. con las cátedras de Euclides,
Arquímedes, Eratóstenes y Apolonio, entre otros muchos. Estos
sabios eminentes fundaron la geometría sintética, tal como la entendemos
nosotros actualmente, con sus teoremas, proposiciones
y demostraciones. Atrás quedaban Tales y Pitágoras; sus obras se
convirtieron en el canon matemático imprescindible para explicar
las realidades del mundo. Paralelamente, Alejandría se estableció
como el centro cuitural y a ella llegaron filósofos, médicos,
matemáticos y toda clase de sabios para aprender de su famosa
biblioteca; algunos de eüos trabajaron en la corte de los reyes
ptolomeos. Con la invasión romana y los problemas sociales que
vivió Atenas, Grecia tuvo que vivir su propio Renaciiniento en el
siglo ii con la aparición de los primeros rescatadores de sabiduría.
De este modo, Claudio Ptolomeo dio una explicación geométrica al
sistema solar y, un siglo más tarde, Diofanto de Alejandría establecía
las bases del álgebra y la teoría de números en su Aritmética.
Los años siguieron pasando y Pappus (siglo in) con su Colección

matemática, Teón de Alejandría (siglo iv) y su hija Hipatia con
sus ediciones de los Elemvutos y del Almagcsto, Proclo (siglo v) y
su Comentario al libro I de los Elementos... siguieron dedicando
sus esfuerzos a la enseñanza de las antiguas obras de Euclides y
Arquímedes, las cuales no solo no pasaban de nioda, sino que cada
vez eran más alabadas. No obstante, el esplendor gnego ya estaba
viviendo su ocaso. Aún quedaban personajes corao Eutocio de Acalón,
Simplicio de Cilicia o Antemio de Tralles que, si bien seguían
comentando las obras de sus predecesores, ya no hacían aportaciones
innovadoras. Además, cuando, en el año 476, Odoacro
depuso al último emperador romano de Occidente, Rómulo Augusto,
la caída del Imperio llevó consigo el olvido de las matemáticas
teóricas en las escuelas que aún pudieron seguir funcionando. La
única figiua «romana» que quizá destacó en este desierto matemático
fue la de Boecio, a quien se le atribuye una ArUmética, basada
en una Introducción a la aritmética de Nicómaco de Gerasa
(siglo i), y una Geometria, fundamentada en los cuatro primeros
libros de los Elem.ent.os.
Para terminar de rematar el fmal de una época, el emperador
Justiniano mandó ciausurar todas las escuelas filosóficas de Atenas
en el año 529, debido a su temor de que la doctrina del cristianLsmo
ortodoxo estuviera en peligro en ellas y, consecuentemente, también
cerró lo que quedaba de la Academia de Platón. Con el último
de sus directores, el sabio Isidoro de Mileto, se puso fin a la gloria
que habían vivido las matemáticas griegas.
En este momento de la historia, el centro político mundial
abandonó e! mar Mediterráneo y se desplazó hacia la península
Arábiga. En el siglo vn, el islam hizo su aparición y, en muy poco
tiempo, controló un terrilorio que inchúa el sur de Europa, el norte
de Africa y Asia central hasta tierras indias y chinas. Poco a
poco, los musulmanes se fueron estableciendo en las provincias
conquistadas y fundai*on ciudades, palacios y mezquitas allí donde
no había nada. Además, las mezquitas debían estar orientadas de
modo que permitieran a sus feligreses orar en dirección a la Meca.
Pero, ¿dónde estaba la Meca?; es más, ¿a qué hora se debía rezar?
Si a esto se añaden Ias supersticiones derivadas de la astrología,
la sociedad musulmana iba a necesitar en poco tiempo un buen
manuaJ materaáüco y astronómico para dar respuesta a estos nnv
blemas de su vida diana. 103 pro*
Afortunadaraente, en el siglo ,x los abasíes fundaron Ja Casa
de la Sabiduna en Bagdad y a eUa Uegaron todas aqueUas ob
matematicas gnegas que ma vez habían maravUlado al mundo
Aüí estaba la solucion a todos sus problemas. Solo debían
y aprender sus resultados. Pero, además, las emb^adas que iw?
ron a la corte de Bagdad desde el temtorio vecino Uevaron c<2"
go las obras matemáticas y astronómicas indias. En ese momentn
de la historia, más que nunca, la corte de Bagdad necesitaba tm
ductores que fuesen capaces de entender todos aqueUos Ubros que'
ahora inundaban las estanterías de la nueva instítución Con todo
alrededor dei año 780, en algún lugar de la región de la Jorasmi¡
nacía Muhammad íbn Musa ai Juarismi, destinado a ser uno de los
matemáticos árabes más importantes de la historia.
Al-Juarismi pudo ser un simple traductor de la Casa de la Sabiduría.
¿Por qué no? No obstante, un buen día Uegó a sus manos
una edición de un antiguo tratado indio que conterua algo que no
había visto hasta entonces. ¿Podía ser cierto? ¿Era posible escribir
los números con tan solo el uso de nueve símbolos? Posiblemente
otros traductores debieron de ver la misma maraviUa y la necesidad
de convertir aquel texto al árabe para que todo el mundo pudiera
conocerlo. Sin embargo, de entre todos aquellos profesionar
les de la traducción, tan solo al-Juarismi quedó asociado a la
redacción de un manual, en árabe, donde se explicaban las maravillas
del sLstema posicional de numeración en base 10.
Ahí empezó una historia que permite, por ejemplo, que ahora
nosotros miremos los símbolos ordenados de las esquinas inferiores
de las páginas de este libro y entendamos perfectamente cuántas
hojas llevamos leídas. Solo por haberse dado cuenta del valor
de este nuevo sistema de muneración, al-Juarismi ya merecía un
lugar destacado en la historia de las matemáticas. Posteriormente,
en los siglos xii y xdi los traductores europeos tenclrían la misma
revelación y prosiguieron el camino de las cifras indoarábigas hasta
Ja actualidad.
Pero eso no fue todo. Al-Juarismi también leyó los Elementos
de Euelides y, pensando en las demostraciones del übro n, volvió
8 INTROOUCCIÓN
INTRODUCCIÓN 9

a ver una luz de sabiduría. Egipcios, babüonios y griegos habían
sabido resolver la ecuación de segundo grado, pero el talento matemátíco
de al-Juarismi iba a demostrar geométricamente aqueUos
procedimientos que habían ido sido utilizados sin más explicación
que una fórmula dada ¿Qué número elevado al cuadrado más 39
unidades era igual a ese mismo número multiplicado por 10? Al-
Juarismi observó que los miembros de la ecuación podían ser interpretados
como las áreas de ciertos cuadrados y rectángulos y,
siguiendo las igualdades establecidas por Euclides, les podía dar
solución en términos de sus lados. ¡Fantástico! Al-Juarismi fue
capaz de devolver a los Elementos su merecido esplendor con su
aplicación a la resolución de las ecuaciones cuadráticas. Como
premio, el título de su libro ÁLgebra iba a quedar registrado para
siempre en los manuaies matemáticos. ¡Y no solo eso! Con todo,
su nombre iba a dar pie a la palabra «algoritmo», sin el cual La
ciencia informática no sabría operar.
Finalmente, también se fijó en las obras de Ptolomeo y, al igual
que rehizo su Geografía, decidió que el ALmagesto y las Tablas
manimles debían ser actualizados. Pero, ¿cómo? Ptolomeo había
copiado los modelos geométricos de Hiparco de Rodas que explicaban
los movimientos planetarios, pero esos no eran los únicos
métodos vigentes en aquel momento. También, desde la India, habían
Ilegado Ias modificaciones realizadas por sus astrónomos y
al-Juarismi las adaptó al árabe y a la ciudad de Bagdad. Luego, la
expansión deí islam hizo el resto. Sus tablas astronómicas llegaron
a la península Ibérica y, desde allí, a toda Europa, de modo que,
una vez más, el nombre de al-Juarismi estuvo presente en los escritorios
de los grandes escribas y astrólogos medievales.
Siempre nos podrá quedar la duda sobre qué hubiese pasado
si a al-Juarismi le hubiera tocado traducir la Aritmética de Diofanto,
las Cónicas de Apolonio o cualquiera de las obras de Arquímedes.
¿Qué hubiese visto en ellas que nadie vio antes? ¿Qué aplicaciones
les hubiese dado? Quizá algún día la arqueología dé a luz
otra obra suya, actualmente perdida, que haya pasado desapercibida
y conozcamos un poco más de una mente tan privilegiada
dentro de la historia de las matemáticas.
Ca. 780 Al-Juarismi nace en la región de la
Jorasmia.
813 E1 califa ai-Mámun fimda la Casa de
la Sabiduría, en la que al-Juarismi
trabajará el resto de su vida.
ca. 820 Escribe su Álgebra..
828 Se funda el observalorio de
Shammasiya en Bagdad.
833 Muere al-Ma’mun. AJ-Juarismi termina
su revisión de la Geofftrtfía ptolentaica
ca. 850 Muere probablemente en Bagdad.
952 Al-Uqlidifiá amplía el sistema posicional
en base 10 a los decimales de un
número.
976 Vigila compila el Codex vigilanus,
que aJberga laprimera representación
latina de las cifras indoarábigas.
ca. 980 Gerberto de Aurillac, futiux» papa
Süvestre H, escribe el Regulae de
numerorum abaei rationibus, en
el cual recoge un ábaco para el que
utiliza las cifras indoarábigas.
ca.lOOO Maslama al-M^jriti escribe su
recenslón del Sindhind de
al-Juarismi.
*• X|' Adelardo de Bath o Juan de Sevilla
traducen del árabe al lalúi el
Algoiismi de numero Indorum.
«.1080 E1 cadí Sa'id de Toledo lidera a un
gntpo de astrónomos, entre los que
a«staca Azarquiel, y compilan las
Tablos de Tolecio, las cuales copian
algunas de las tablas del Smdhind.
«. 1116 Pedro Alfonso traduce el Sindhind.
1138 En Siciiia se acuñan las primeras
monedas de la historia con las cifras
indoarábigas en lugar de las romanas.
H45 Robert de Chester traduce el Algebra
en Segovia. Poco más tarde. Gerardo
de Cremona la traduce en Toledo.
1202 Flbonaoci escrihe su Liber abací
y popuJariza en Italia las cifras
indoarábigas, el sistema de
numeración posicional decimal y el
álgebra de al- Juarisnü.
ca. 1230 Alexander de Viiladei escribe el
Carmen de aigorismo, y Johannes de
Sacrobosco, el Algurismus vulgaris;
gracias a ello, las cifras 'indoarábigas
y el sistema de numeración posicional
sc implantan en Europa.
1263-1272 Se compilan las Tablas aifonsíes,
patrocinadas por Alfonso X el Sabio,
que sustituiran a las Tablas de
Toledo en la Europa medieval
1381 Pedro el Ceremonioso patrorinalas
Tablas de Barceiona, escritas por
Corsuno, Gilbert y Dalntau Ses Planes,
siguiendo la tradición 'india de aWuarismL
INTRODUCCIÓN INTRODUCCIÓN n

CAPfTULO 1
Los orígenes
de la ciencia árabe
Al-Juarismi es una de las figuras más importantes de la
matemática árabe y su obra no puede entenderse sin el
contexto en el que desarrolló su vida En el siglo dc, Bagdad
se convirtió en una de las ciudades más prósperas del
mundo y los mecenazgos de los distintos calü'as propiciaron
su supremacía cultural sobre cualquier iniciativa similar
desarrollada hasta el momento. Desde la Casa de la
Sabiduna, la astronomia, las matemáticas y, en general,
todas las ciencias vivieron su esplendor gracias a la
conjunción de las herencias griega, india y persa.

No cabe ningima duda de que eí desarrollo de la ciencia árabe se
oñginó en el impulso dado por al-Mansur (califa entxe Ios años
754 y 775) en su recién fundada Bagdad. En esta nueva etapa se
recogió el testigo que, en épocas anteriores, habían llevado Aienas
y Alejandría, y se consiguió que la ciencia y la cultura renacieran
para alcanzar su nivel más alto.
Tras la muerte del profeta Mahoma, en el año 632, la península
Arábiga había quedado absolutamente unificada tanto en lo
político como en lo religioso. En las tres décadas siguientes, los
cuatro califas ortodoxos que se fueron sucediendo (Abu Bakr,
Umar, Uthman y Ali) consiguieron estabilizar las fronteras del
nuevo Imperio, abarcando un vasto territorio que comprendía
toda Persia, parte de Turquía y la región oriental del norte de
África. Sin embargo, la llegada de los invasores árabes a Siria,
Egipto y las antiguas colonias griegas de Asia Menor y Mesopotamia
no significó la desaparición de Ias raíces culturaies de
los territorios conquistados. De este modo, los nuevos colonos
asimilaron las bases culturales, que no habían sido olvidadas
del todo, e hicieron renacer los fundamentos científicos, tecnológicos
e indust.riales de los pueblos que un día dominaron el
rnundo con su íilosofía y pcnsamiento. A pesar de que muchas
familias se convirtieron al islam, también hubo muchas otras
que siguieron conservando sus tradiciones religiosas, y en esta
LOS OR/GENES DE LA CIENCIA ÁRABE

mezcolanza de civilizaciones se geslaron los ínicios de la cien-
ciaárabe.
En una primera fase. lanto en la Meca como en Medina, aparecieron
centros culmnües donde era posible iniciarse en hustoiia,
derecho, los comentarios e interpretaciones del C orán y las tradiciones
del Lslan» (hafii/M). Con las conquLstas del califa ITmar.
Basora se conviriió en un i'entro estratégit'o de gran importancia
dentro del Imperio; pasó de ser un simple cruce de caminos y
rutas comerciales a la gran cajátal de kas provineias orientales. Su
posición geografica p«*miitio que U>s distintos pueblos colonizados
inter<*anibiaran no solo mercancías, sino también sus costumbres
y conocimientos. y aJgo pareoido onimó en Kufa, en el centro
de la actual Iraq. Ue hecho. hubo un momento en el que ambas
ciudades rivalizaron jxtr convertuse en el gran centro cultural del
islam y solo la del gobemador de Siria, Muawiyyah, que
inictó el gobiemo de La dinasiia Omeya, terminó con esta disputa
con el trasl.xio de la oapital a Díunasco.
Otro de los factores que incidió muy positivamente en ese
nuevo ernerger de ia ciencia y cultura fue el establecimiento del
órabe como küoma. Rn el año 63d. el califa Abu Bakr ordenó a Zayd
ibn Thabit. quien había sido secretario personal del profeta, que
compilara ei (’orán. La obra fue terminada en 651 b¿\jo el califato
de l'thman: con ella la lengua ánüie estaba destinada a convertirse
en el idioma infemacional. por tanto, el idioma de la ciencia y la
fiJosofía. A partir de enton<*es, la hisloria empezó a acelerarse y,
en Basora, antes de temiinar el siglo vn, Abu al-’Aswad al-Du’ali
estableció La escrilura del árat»e, redactando diversos tratados sobre
lingüística y gramática La transmLsión y ei estudio del nuevo
idioma fueron ampüamente promocionados; prueba de ello es que
el fundador de la tradición gramaticaJ árabe fue el persa Sibawayh
(m. 795;, quien pertene< ía a toda una generación de nuevos conversos
que se vieron muy beneficiados por las administraciones
árabes. (’on todo, el estudio del hadith, del Corán, su interpretación,
su jurisprudencia, etc., se convirtieron en las enseñanzas de
las distintas escuelas que se fundaron.
Durante el período omeya (en el poder desde el año 661 hasta
el 750) las obras de ingeniería y de minería y el desarrolio eco-
nrtmK-o a .ravés de la a<;,,ñar¡6n de nuev» monedas
mAxin,o inleréa de Ir» d.slíntos caüfas. Además, la comWtfn
dc la expanstón temtonal del Lslam hasta la India y la oenínTi
ntórlra p<,r <■! «te y el oeste, respectlvamente, hicteron necessri!
una refomia administrativa y económica del Estado La artmd
tura en pulacios y mezquitas, el arte. la astronomia y |a astroiori»
uuubién encontrfuron un lugar entre las prioridades de los nuews
califas. Un ejemplo de ello es el complejo de Qasr Amra (en la
actuai Jordania) donde. entre los años 735 y 750, fue pintada una
representación del cieio noctumo con las constetaciones de la
Osa Mayor, la Osa Menor, Orión, Casiopea.. y los signos del Zodiaco.
fomiando uno de los mapas estelares más amiguos que se
conservan en la actualidad. Cada una de las constelaciones fue
representada por su imagen griega y no se señaió ninguna estrella
en particular, con Io que no sería extraño pensar que los árabes
aprovecharan algún fresco romano conocido. De hecho. es constatable
que el artista debió de copiar algún tipo de mapa estelar
convexo anl.erior, ya que los signos del Zodiaco están dispuestos
en el orden inverso, para que, al darles la vuelta, aparecieran en
una bóveda cóncava. De todos modos, ya fuera una reconstrucción
de un fresco greco-romano o una obra origmaL no hay ninguna
duda de que a mediados del sigio vni la tradición astronómica
greco-romana había hecho su aparición en el mundo árabe. Cabe
señalar que, durante el califato de Waiid I (entre el año 705 y el
715), Uegaron a Daruasco nimierosos arquitectos y artesanos bizantinos
para trabajar en las obras de la Gran Mezquita y, con eUos,
las primeras nociones astronómicas y astxológicas greco-romanas
hicieron su aparición dentro de la ciencia islámica.
(Jtro dato que prueba el despertar cientifico de este periodo se
halla en los experimentos alquúnicos de JaUd ibn Yazid (ca 665-
ca. 705), h\jo del califa Yazid I (entre el 680 y el 683). Jaüd habia
viajado a Alejandría, donde entró en contacto con los misterios de
la alquimia a través de las enseñanzas del mor\je Marianos. Con
cl tienipo, se convirtió en un gran alquimista y escribió diversos
Ubros sobre este tema que lo eievaron a ser considerado uno de
los mayores sabios de su tiempo. Con todo, esta iniciación mísrica
fue llevada a Damasco y la astrología y la alquimia, legados
LOS ORfGBNES 06 LA CIENCIA ÁRABE
LOS ORIGEN6S DE LA CIENCIA ARABE

mdiscutibles de la ciencia bizantina, pasaron a tener su propi0
peso dentro de las costunxbres adquiridas por los árabes. Además,
hay que tener en cuenta que el propio Jalid fue autor de diversas
traducciones de obras griegas. Paraleiamente, en Damasco
se empezaron a traducir libros persas al árabe y el gobernador
de Egipto, Abd al-Aziz ibn Marwan, hyo de Marwan I (califa entre
ei 684 y el 685), también tradujo obras del copto al árabe. Entre
todas esas obras traducidas se encontraban conipilaciones históricas
y lingüísticas, tratados de aritmética básica y expücaciones
calendáricas que bien tuvieron su influencia en los escribas que se
dedicaron a traducirios y copiarlos.
Si ahora, a todo lo dicho se añade que los caiifas omeyas nunca
mostraron mucho interés en promocionar las conversiones al
islam (ya que los no musulmanes tenían un régimen fiscal bastante
más impositivo que los musulmanes), la radiografía de la sociedad
del Damasco de mediados del siglo vin es la de una amalgama de
culturas, cada una con su propia lengua (con un cierto predominio
del árabe y del griego), tradiciones y costumbres, que posibilitó una
correcta transmisión de la ciencia preislámica hacia los núcleos
intelectuaJes del momento. Sin embargo, el Imperio estaba a punto
de sufrir cambios inesperados. Durante el califato de Marwan II,
una rebelión armada Liderada por la dinastía Abasí en el año 748 y
la posterior victoria de esta familia en la batalla de Zab (enero de
750) depuso a los omeyas en beneficio de Abu al-Abbas al-Sciffah
(califa hasta 754). Los abasíes basaron su política en el seguiniiento
del islam sin menospreciar las procedencias de sius súbditos y,
cuando al-Mansur sucedió en el trono a su hermano, no dudó en
aprovechar el potencial de los persas, cristianos, griegos, etc., que
vivían en el Imperio. Sin duda alguna, el califato de al-Mansur sigrüficó
un antes y un después en la ciencia árabe y una de las decisiones
que más influyó en este hecho fue la mencionacla fundación
de la nueva capital, datada en el 30 de julio de 762. Bagdad emergió
en medio del desierto como una ciudad circular a la que fueron
llamados arquitectos, ingenieros, astrólogos, artesanos... para
aportar lo mejor de sí mismos. Una crónica escrita en el siglo ix
aíirma que, en el proceso de fundación, al-Mansur fue aconsejado
P°r el astrónomo persa Nawb<yt Ahvaz y el judío Mashallah, quienes
jevantaron el horóscopo fundacional de la nueva capital abasí Esta
carta astral fue elaborada a partir del Zij cU-Sfmh, un compendio de
tablas astronómicas de ongen indo-persa que los astrólogos árabes
conocían en una versión pahlevl Este hecho pone de manifiesto
la circulación de matenal cientffico preislámico y deja ver que los
astrólogos árabes aún no habían alcanzado un grado de madurez
suficiente como para ser los consejeros del califa. En este sentido
en la ciudad persa de Gundeshapur se realizaron observaciones
astronómicas bajo el auspicio del visir abasí Yahya ibn Jalid ibn
Bannak (m. 806) con el objetivo de compüar el Zij al-Mushtamil de
Alunad ibn Muliammad al-Nihawandi (ca. 790). Gundeshapur había
acogido a los filósofos neoplatónicos que fueron expulsados de Ate-
nasy a los crlstianos nestorianos perseguidos en Éfeso. Parece que
la llegada de los nuevos gobemadores abasíes no cambió la poütica
iniciada por Cosroes I, en la que se fundaron centros de enseñanza
de medicina, matemáticas, astronomía y lógica, aprovechando todos
los conocimientos que provenían de tienas griegas. Se tradqjeron
al sirio las obras médicas de Galeno y de Hipócrates, y el Organcm
de Aristóteles, entre otros; y probablemente, los Elementos de Eu-
clides, las Cónwas de Apolonio y las diversas obras de Aiquímedes
encontraron aquí nna puerta de entrada al mundo persa
LA CASA DE LA SABIDURÍA («BAYT AL-HIKMA»)
Con el quinto caüfa abasí, Harun al-Rashid (del 786 al 809), hfjo de
al-Malidi y nieto de al-Mansur, el islam inició su apogeo cultural
Y científico. Harun al-Rashid fue un hombre culto que poseyó un
imperio que iba desde la península Ibérica hasta China, y se ro-
deó de una corte muy numerosa con filósofos. escritores, poetas,
músicos, astiólogos, médicos, etc. De todas las partes del Imperio
se fueron acercando a Bagdad expertos de todo tipo buscando el
patronazgo del nuevo califa; entre ellos también estuvieron los
sabios de Gundeshapur. Daba igual su religión o la lengua que ha-
blaran, lo importante era que aportaran su fuerza intelectual a la
construcción del Estado. En muy poco tiempo, Bagdad fue capaz
LOS ORlGENES DE LA CIENOA ÁRABE
LOS ORlGENES DE LA CIENCIA ÁRABE

de asimilar y traducir todos los libros que iban llegando de 1
distintas culturas y la ciudad se convirtló en el motor intelect ^
de una civilización que no tenía ni dos siglos de historia. Toda est
transformación culminó de forma definitivacon el mecenazgo d 1
califa ai-Ma’mun (del 813 ai 833), a quien se atribuye la fundació^
de la institución en sí misma. n
Para entender la razón de todos estos patrocinios culturale
hay que tener en cuenta que, desde tiempos de los primeros abaS
síes, hubo una necesidad de reafirmación de la identidad dentro
de las distintas cortes que se fueron sucediendo. De este modo
una de las formas en las que la élit.e privüegiada podía distingu^’
se del resto del pueblo era la de demostrar una mayor cuitura v
refinamiento, un nivel de educación superiory unos hábitos inal
canzabJes para la mayoría de la población. Así, hasta la muerte del
califa al-Amin, en el año 813, las primeras muestras de mecenazgo
se centraron en Ia música y la poesía. Estas dos disciplinas estaban
muy presentes en la sociedad preislámica del siglo vr y servían para
consolidar el poder de los distintos jefes tribales. Con la Uegada
del islam, los gobemant.es heredaron el interés por las epopeyas
y gestas que los convertían en grandes figuras de la historia, por
los relatos que alababan la hermosura de sus miyeres o por las
aventuras de sus batallas ganadas. Era habitual que los califas
patrocinaran este tipo de espectáculos en saiones donde toda la
corte estaba presente, con el deseo de que su poder y legitimidad
quedaran del todo reafirmados. En esta línea, la líriea se convirtió
rápidamente en el discurso oficial de esta élite privüegiada.
La llegada de al-Ma’mun al poder tras una dura guerra civil sig-
nificó un borrón y cuenta nueva en la antigua corte de su hermano.
Al-Ma’mun decidió rodearse de un nuevo grupo de cortesanos y de
un nuevo estüo de gobiemo en el que la música y la poesía no eran
suficientes para cantar sus virtudes. Con su idea de renovación,
agrupó a personajes que aún no habfan pisado Bagdad, en muchos
de los casos, dejando así muy claro que con él empezaba ima nueva
etapa Todos eran musulmanes y todos conocían el árabe, y su nue-
vo signo de identidad iba a ser distinto del que imperaba en épocas
anteriores: la ciencia y las traducciones se convertirían en el nuevo
símbolo del califato. En consecuencia, una de las ciencias que
más se vio favorecida por esta serie abrum^
fue la medicina. Diversas fuentes árabes IST* ^ ^^ciones
de Las ciencias {Fihrist. aFUlum) del hisa C°m° el cWUoqo
Ishaq al-Nadim (m. ca. 995) o la Historia 2?* Muharn*nad ibn
redactada por al-Qifti (ca. 1170-1248) atest S hoi7lbres sabios
que suscitaron las obras de Galeno, Hipócr^ t8 *****
lo reproducidas que fueron en Bagdad p„, 7 y Dl0scórides v
835), —— *—w—w oj-íyici xnun, quien • v—■
sirio más de cuarenta obras médicas y comnüó ° deI 31
pedia médica, füosófica y biológica tihünHo r -tUna eíl«cIo-
Otro nombre que merece especial atención es ^08'
Ishaq (m. 876), a quien debemos las traduccion^, fUnayn ibn
Elementos de Euclides, de la República de Plarón, de ,0S
de Aristóteles, además de una larga lista de cas’ ° y dG ^ Física
obrasmédicasy farmacológicas. Suproliflca
catapultó a ser nombrado jefe de la escuela de rm^ ,0
Casa de la Sabiduria. iraductores de la
De las otras ciencias que se desarrollaron en la Casa a». =
biduria, la astrononu'a fue la que captó la atención preCnte Ít
riaductores. Se dice que el mismo Harun ai-Rashid em det outa ^
deque sus astronomosy astrólogosno tenran suficienZoZ
mrentos de geometna como para estar a la aitura de la eZS,
uuciaday esto pudo ser el detonante de que se priorizara la”
' P°u de 0traS rauchas' De modo, Haxun
al-Raslud pago embqjadas a BEancio para comprar los Elemmtos de
uclides y el TetrabMos y el Almagesto de Ptolomeo. Una primera
tóaduccion de esta úlüma obra fue reaiizada por Yaliya ibn JaUd ibn
Barmak en Gundeshapur a principios del siglo ut, aunque parece
que era muy rudirnentana y no satisfizo las expectativas. Alrededor
e año 828, H^ijaj ibn Matlar volvió a traducir el Almagesto y su
versión se convirtió en el manual astronómico de referencia, tanto
en Ja Casa de la Sabiduría como en el resto del irnrndo árabe. Tam-
íén hay que señalar la traducción que se hizo del Sindhind indio,
cuya llegada a Bagdad se suele situar hacia el año 775. La razón de
su mención es que, pese a que en tiempos de al-Mansur ya se había
20 LOS ORÍGENES DE LA CIENCIA ÁRABE
LOS ORlGENES DE LA CIENCIA ÁRABE

EL FIHRIST AL-ULUM DE AL-NADIM
tratado bibliográfico más completo escrrto hasta el siglo x en
0 Fihristal-Ulum es e\tra En este trabajo enciclopédico, Muhammad ibn tshaq
el contexto de )a cienci • ^ ^ y Qbras de mi|es de autores. añadiendo sus
al-Nadim se dedicó ai d ^tos. übros. etc. Las biografias aportadas son
propias sobresus nQ ^ de analizar ningún deta»le: desde Sü
realmente precisas. y sectas a las que pertenecieron. hasta los idiomas que
ctominaban sus^deas filosóficas y sus maneras de divertirse y pasar el rato. De este
modo este’texto compilado en el año 987 es la base documental mas f.able que se
contw para documentar las épocas anteriores y. sobre todo. los f.lósofos y dentfficosárabesde
los siglosvhiy ix. Estádividido en d.ez capitulos ded.cados, respectivamente.
a biografiar a los autores relacionados con:
L Las escrituras religiosas judias. cristianas y musulmanas, con atención especial
en el Corán. También se incluye una sección que describe los distintos idiomas
del mundo.
2. La gramática y la lingüistica. enfatizando los autores de Basra y Kufa.
3. Las tradiciones históricas. la literatura y la genealogia. Dedica una sección a los
reyes. secretarios. jueces. cantantes. bufones... de las cortes musulmanas.
4. La poesía islámica y preislámica.
5. La teología.
6. Las leyes y las autoridades legales.
7. La filosofía natural. la lógica. la medicina y las ciencias antiguas (geometría,
aritmética, música, astronomía, construcción de instrumentos. mecónica y dinámica).
8. Los cuentos y fábulas. la mag.a, el exorcismo y el malabarismo
g. varias sectas importantes. entre las que incluye algunas chinas »
10. La alquimia. ma,as-
En contrapartida a esta vasta fuente de información. n0 se sabe casi nad* ri« .
vida de al-Nadim. a excepcion de lo que nos refieren diversos autores Sl ° *
teriores- Su padre fue librero yprobablemen.e, envló a su hi¡o a la m«quha7?á
edad de seis años para aprender a leer y a escribir. introducirse en el fiad/m u
memorizar el Corán. Tras cuatro años de estudio. el propio al-Nadim debíó de
resarse por seguir la carrera de derecho islámico y pudo acceder a todos los libr^
disponibles en aquel momento grac.as a la librería familiar. Así pues. no es imorobable
pensar que al-Nadim fuera contratado como copista y ayudará a su padre á
vender los libros que debta estudiar el resto de discípulos. Con este trabajo a al
Nadim se le abrió la puerta de multitud de tratados de distintas disciplinas y no es
de extrañar que empezara a redactar catálogos de las obras más importántes de
la libreria y también de los libros perdidos de los que se hablaba en los textos que
iba leyendo y copiando. Posteñormente, extendió esta labor a las obras de sus
maestros. quienes debieron de ser renombrados historiadores. filósofos. cientificos
y juristas. Con todo. gran parte de su vida la pasó en su ciudad persa natal. donde
se casó y tuvo hijos. y él mismo cuenta que viajó a Mosul (en el norte de Iraq) para
visitar sus bibliotecas. Sin embargo. aunque no existe ninguna evidencia de ello,
no es descartable que también viajara a otros centros intelectuales en Siria e Iraq!
e incluso que terminara como secretario en alguna biblioteca de Bagdad. si no eñ
la misma Casa de la Sabiduría.
traducido al árabe, la versión realizada en la Casa de la Sabiduría
corrió a cargo de al-Juarismi.
LA ACTIVIDAD ASTRONÓMICA EN EL CALIFATO
DE AL-MA’MUN
Otra de las instituciones patrocinadas por al-Ma’mun, que influyó
determinantemente en los inicios de la hegemonía árabe medieval,
fue el observatorio de Shammasiya, en Bagdad, que tenía que ser
e complemento perfecto a la actividad traductora de la Casa de la
í uría. Como se ha dicho, el objetivo de los escribas en la Casa
de la Sabiduría era la traducción e interpretación de las obras griegas,
indias, sirias y persas que iban llegando a las estanterías de sus
bibliotecas. Mientras tanto, los astrónomos del observatorio debían
incorporar todos estos conocimientos a la compilación de unas tablas
astronómicas válidas para la ciudad de Bagdad y el siglo dl Por
lo tanto, si bien no se puede afirmar con seguridad que el observatorio
de Shammasiya formara parte del complejo de la Casa de la
Sabiduría, está claro que tanto los traductores como los astronomos
y ^f^ólogos debieron de acceder libremente a ambas instituciones.
El nuevo observatorio fue ñrndado en 828 y se nombró a Sanad
ibn Ah para que construyera los instrumentos astronómicos
y supervisara las observaciones que ailí se iban a realizar. Además
22
LOS ORÍGENES DE LA CIENCW, ÁRABE
LOS ORlGENES DE LA CIENCIA ÁRABE
23

• ConaA entre los ctentíficos que formaron parte de su
scssíc «»* r •*«»'
ibn Said alJawhari (m. ca. 860); todos ellos eran autores de im.
nortantes tratados matemáticos y astronormcos. Ademas, vale la
nena señalar que, pese a que al-Juarismi estuvo siempre ligado a
la Casa de la Sabiduría, en la que desempeno algun tipo de carg0
de administrativo o de bibliotecario, también participó en ias pri-
meras observaciones realizadas en Shammasiya.
Tras la muerte de Yahya ibn Abi Mansur, al-Ma'nmn vi^jó a
Damasco y ordenó la construcción de un nuevo observatorio, el
de Qasiyun, para el que escogió como director a Jafid ibn Abd al-
Mafik ai-Marwazi. E1 cafifa le ordenó la construcción de nuevos
instrumentos astronómicos que mejoraran los de Yahya ibn Abi
Mansur, de modo que el observatorio de Qasiyun pasó a ser la
nueva referencia en el cafifato. La nueva actividad astronómica
nació con el propósito de dedicar un año a observar diariamente
el Sol y la Luna Esta actividad se llevó a cabo entre 831 y 832, y
pese a que Bagdad debía continuarla, la muerte del cafifa en 833
tenninó con las previsiones planteadas en un inicio.
Del equipamiento y los instrumentos con los que contaron
ambos observatorios no se sabe mucho. Parece que Yaliya ibn Abi
Mansur poseía una esfera armilar, que no era demasiado precisa
y que fue vendida tras su muerte en el mercado de los libreros de
Bagdad. Su diseñador y constructor fue ibn Jalaf al-Marwudi, a
quien se le atribuye haber construido astrolabios en Bagdad. Por
otro lado, en Damasco hay noticias de la construcción de un cua-
drante azimutal (que fue aprovechado en el observatorio de Maraga
en el siglo xm), de un cuadrante mural de mármol de 5 m de radio
(a cargo de Ali ibn Isa al-Usturlabi) y de im gnomon de hierro de tam-
bién 5 m de altura, destinado a determinar la longitud del año solar.
E1 resultado final de toda esta actividad astronómica, realizada
entre 828 y 833, fueron diversos cánones, entre los que destacan el
Zij al-Mumtahan (Tablas comprobadas) de Yahya ibn Abi Mansur
y el Zij que Habash al-Hasib (m. ca. 870) compiló en Damasco. Este
último astrónomo fiie un autor muy prolífico, compiló su propia
versión del Zij al-Shah, y también del Sindhind, distinta de la realizada
por al-Juarismi.
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R»pr«ienfac(ón
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y dlspositlvo*
mecinlcos,
En la imagw.
«toblepásina
Interior de la obr»,
publicada
•n 8SO por los
Ues hermanos que
Hegaron a trabajar
en la Casa de la
Sabíduría.
24 LOS ORÍGENES DE LA CIÉNCIA ÁRABE LOS ORfGENES DE LA CIENCIA ARABE
25

uos hermanos banu musa
No se sabe prácticamente nada de este matemático y astrónomo excepto que
trabajó en la Casa de la Sabidun'a. en el observatono de Shammasiya en Bagdad
y en el observatorio de Qasiyun en Damasco
Una de sus obras más importantes dentro de la historia de las matemáticas
fue su Comentario a fos Efementos de Euclides, por las casi cincuenta proposiciones
adicionales que añadió y por su intento de demostración del
quinto postulado del libro I (o postulado de las paralelas): se convirtió asi en
el primer matemático árabe que lo mtentaba. El qumto postulado viene a
afirmar que dada una recta en el plano, tan solo es posible trazar una recta
paralela a la misma por un punto dado Va desde tiempos griegos se creyó
que este resultado tenia que ser demostrable con las otras cuatro premisas
dictada5 por Euclides, pero el tema seguía abierto en el siglo ix. Estos cuatro
primeros postulados son:
1. Se puede trazar una linea recta por dos puntos dados.
2. Se puede extender indefinidamente en línea recta cuaiquier segmento
de recta.
3. Se puede trazar una circunferencia con un centro y un radio dados.
4. Todos los ángulos rectos son iguales entre si.
La demostración de al-Jawhan no es correcta y el tema del quinto postulado
no se cerró hasta la invención de las geometrias no euclideas por parte de
Carl Friedrich Gauss (1777-1855). Nikolái Lobachevskí (1792-1856) y János Bolyai
0802-1860), de manera mdependiente.
Carl Friedrlch Gauss Nlkolái Lobachevskl János Bolyai
Tras la muerte de al-Ma’mun, la actávidad astronA
tancio presente en Bagdad y responsables de eiuTCa si^ esmanos
Banu Musa, de nombres Muhainmad (m <L ñZ°n los her*
Un tercer hermano, Llamado Hasan, no parece m y
en estas observaciones astronómicas. Su padre M parte
había sido un ladrón que en algún momento se’ hah* !bn Shakir'
por la nueva ciencia que iba llegando a la corte de Ha n mteresa(1°
De alguna manera, se había hecho amigo del prínc^I
cuando este accedió al trono del califato, se hizo cammh
hijos, a quienes proporcionó una exquisita educación en "*
les enseñó matemáticas, músicay astronomía. Yade m ““
hermanos Banu Musa fueron de los primeros científicos^il08
que estudiaron las fuentes matemátícas gríegas y su talentot!
Uevó a trabajar en la Casa de la Sabiduría, incluso despn^ Z
fallecimiento de al-Ma’mun. Este interés por los clásicos
se observa claramente en el carácter de sus obras, en las cu^es
añadieron también aportaciones propias. Muhanunad, por eiemplo
escribió una revisión de las Cánicas de Apolonio, y Hasan redactó
sus propias demostraciones a las propiedades de Ja eUpse Hay oue
señalar que las Cónicas siempre estuvieron en el foco de interés de
los hermanos y una prueba más de eUo es que, cuando Hasan murió,
Ahmad vi^jó a Siria ptira conseguir nuevos manuscritos de la
obra de Apolonio. Consiguió versiones de los sieteprimeros übros
(el octavo aún está perdido), entre las que estaba la revisión de los
cuatro primeros, realizada por Eutocio de Ascalón en el siglo vi,
que dejó a HilaJ ibn Abi al-Iíimsi para que la tradujera al árabe.
Otxa de las obras matemátícas destacadas de los hemianos es
el Libiv para saber la medida de lasfiguras planas y esféricas, que
fue objeto de una recensión a cargo de Nasir al-Din al-Tusi (1201-
1274) y de una traducción latina realizada por Gerardo de Cremona
(1114-1187) con el título Liber trium fraürum de geometria (Libro
de geornetría de Los trcs hermanos). Ias bases de este tratado son
De la medida del círculo y Dela esfera y el cilindro de Arquímedes,
pero mientras que el de Siracusa fundamentó sus resultados
en comparación de figuras, los Banu Musa ofrecieron fórmulas
26 LOS ORÍGENES DE LA CIENCIA ÁRABE
LOS ORÍGENES DE LA ClENCtA ÁRABE

LOS TRES PROBLEMAS CLÁSICOS GRIEGOS
Cuenta una leyenda que estando el rey Mínos de Creta ante la tumba de su hijo Glau^
co, ordenó a sus geómetras que consiguieran doblar las dimensiones de aquella es"
pecle de altar cúbico para ofrecerle una correcta sepultura al príncipe. Si Aristótele
habfa afirmado que los posibles movimientos de los elementos naturales tan SO|S
podían ser el movimiento rectilineo uniforme y el circular uniforme. las matemáticas
griegas antiguas estaban basadas en las construcciones geométricas. que se podian
construir utüizando una regla y un compás. Con esta premtsa, los antiguos ¡ngenieros
griegos se pusieron a diseñar la nueva tumba. Contando que. inicialmente. cada arista
de esta tumba hexaédrica medía 10 unidades de longitud. su volumen era de
103=1000 unidades cúbicas. Como Minos quen'a doblar el volumen. los diseñadores
tenían que construir un nuevo cubo cuyo volumen fuera de 2000 unidades cúbicas
y, en consecuencia, de arista igual a 10^2.
Este mlsmo problema de diseño lo afrontaron los antiguos habitantes de Delos. quienes
para terminar con una plaga que azotaba su población, consultaron al
oróculo qué debian hacer. La pitonisa del templo les comunicó que la única manera
de solventar aquel problema era construir un altar cúbico cuyo volumen fuera igual
al doble del que tenian hasta el momento.
Fuera cual fuera realmente el origen de este problema, los antiguos griegos se plantearon
resolver la construcción de un segmento de longitud 10 ^2 a partir de otro de
longitud 10. utilizando tan solo la regla y el compás. sin saber que, por contener una
raíz cúblca. este problema no tenfa solución. Esta duplicación del cubo. junto con los
problemas de la trisección de un ángulo cualquiera y la construcción de un cuadrado
/a área fuera igual a la de un círculo dado. Pasar
¡mas clásicos de las matemáticas griegas. y |a jr
, solo una regla y un compás abrió las distintas
ltemáticos de todas las épocas. Así, por ejempio
nlo v a.C.) el haberse dado cuenta de que se c
nstruir las dos med.as proporcionales a los segn
decir, si se podían encontrar dos segmentos de
cn estas condiciones. x~</2. Sin
embargo. el propio Hipócrates no
fue capaz de resolverlo y las posibles
soluciones que se fueron
dando pasaron por la intersección
de curvas cónicas o por la construcción
de curvas mecánicas con
distintos aparatos de madera.
Apolo SO convlrtló en símbolo de los
oráculos de Delos y de Delfos. y a él
recurrieron los habltantes de Delos para
consultar sobre uno de los tres problemos
clésicos griegos. En la imagen. ruinas del
tempio de Apolo en Delfos.
aritméticas de cálculo. De este modo, si Arquímedes afirmó que
el volumen de una esfera es el cuádruple del volumen de un cono
cuyas base y altura son iguales al círculo máximo de la esfera y el
radio, respectivamente, los Banu Musa calcuiaron de manera directa
que el volumen de la esfera es iguaJ a un tercio del radio multiplicado
por su superficie (V = % xr3). Otra novedad aportada por estos
tres hermanos fue el uso de curvas e instrumentos mecánicos para
resolver ciertos problemas, como la trisección del ángulo (problema
clásico sobre el que Ahmad escribió un tratado específico) o
la determinación de dos medias proporcionales a dos segmentos
dados, problema que equivaie a resolver la duplicación del cubo.
La relación de los Banu Musa con la familia califal continuó
siendo buena tras la muerte de al-Ma’mun y el ascenso aJ trono de
su hermanastro aJ-Mutasim (califa entre los años 833 y 842). En ese
período, inlciaron sus observaciones astronómicas desde su propia
casa locaJizada al lado de la Puerta aJ-Taq de Bagdad, a orillas del
río Tigris. AI-Mutasim trasladó la capital a Samarra, algo más al
norte de Bagdad, y en tiempos de su hyo aJ-MutawakJdJ (del 847
al 861), este les regaló una casa aJ lado de su palacio califaL Desde
su elevada posición, los hermanos se convirtieron en mecenas de
astrónomos y traductores entre los que destacaron Hunayn ibn
Ishaq y Thabit ibn Qurra (836-901). Ellos, por su parte, siguieron
reaJizando observaciones astronómicas hasta, como mínimo, ei
año 870, compilaron un canon astronómico y dirigieron medidas
geodésicas en Sinyar y en Kufa Además, su obra astronómica también
fue muy destacada; recogía diversos temas: la construcción de
astrolabios, determinaciones de ciertas coordenadas y parámetros,
y el análisis y crítica del sistema ptolemaico.
LOS ORlGENES DE LA CIENOA ARABE
LOS OR/GENES DE LA CIENCIA ÁRABE

THABIT IBN OURRA
Otxo de los grandes matemáüeos del siglo ix fue Thabit ibn Qu^
Nació en Harrán, en la actual Turquía, muy cerca de la frontera
Con Siria. Thabit fue un fiel seguidor del sabeísmo y, como tal, su
afición por el cielo y las estreüas le vino ya de pequeño. Sus pri.
meras ocupaciones en Harrán fueron como cambista de moneda
y a través de sus negocios conoció a Muhammad, el mayor de l0s
Banu Musa Impresionado por sus conocimientos de idiomas, Muhammad
lo invitó a Bagdad, donde fue acogido por el mecenazgo
de los hermanos e introducido en las matemáticas y la astronomía.
También destacó como médico y fue escalando posiciones sociales
hasta llegar a introducirse en la corte del califa al-Mutadid (dei
892 al 902).
Como al-Juarismi, su dominio de los distintos idiomas le permitió
acceder a los manuscritos griegos, persas, indios y árabes
El sabefsmo fue una religión que surgió en el antiguo Reino de Saba (actual
Yemen), su culto estaba basado en ciertas premisas astronómicas. Su dios
único era Alá Taala. el cual estaba protegido por siete ángeles que se correspondian
con los planetas Mercurio, Venus. Marte, Júpiter y Saturno. el
Sol y la Luna. Los sabeos rendían culto a sus deidades planetarias, a quienes
construían temptos como guardianes
del cielo. Solo el trlunfo del
islam inició la decadencia de su
credo. En efecto, los sabeos tenían
varios altares en la Kaaba de la
Meca y solo el hecho de creer en
un único dios les permitió seguir
creyendo en él tras la invasión musulmana.
Sin embargo, con los
años, los sabeos fueron adoptando
paulatinamente la lengua y los
nombres árabes, y convirtiéndose
al islam, donde muchos de ellos Salorrón y la relna de Saba. Cuadro «xpuesto «n
destacaron como astrónomos. la biblloteca de San Lorenzo de El Escorial.
„e circulaban por Bagdad, y en seguida destacd com„
Ziáco de primera línea. Uegó a ser un gran
dc! caUfa gracras a los conocuruentos adqmridos a
obraS de Galeno y su Tesoro «te fa medtóna, entre ot^ 8*
" dios 10 Uevaron a escnbir sobre temas como la f
m saitgre, los embríones hwnanos, la anatonua de las av
plantas, etc.. es decir, todo tm elenco de aportaciones bioíSc “
médicas y vetennanas ineditas hasta el momento. Es muv i
poder imaginarse que smt.o Thabiten e! momenrn en el
ios Elementos de EucUdes. A partir de su estudio, se conSoHd -
como el matematico mas destacado del slglo k y empezó a nnv
ducir una serie de tratados que repercuüeron profundamente
el mundo árabe y, algimos de ellos, también en la Europa latina
jnedieval. Por ejemplo, su Ltbro de los datos fue considerado nor
Nasir al-Din al-Tusi una de las obras de referencia, junto con los
Elementos y el Almogesto. Thabit apücó aquí la geometríaeuclfdea
de los Elernentos para resolver ecuaciones cuadráticas al estilo de
al-Juarismi (razonamientos que repitió en su Discurso sotrre la
corrección de los problemas algebraicos). Otro de los textos que
tuvo mucha repercusión fue su Libro sobre la determinacim de
los números amigos, en el cual, partiendo de la proposición de
los Elementos donde se explicita la fórmula generadora de un número
perfecto, termina por encontrar una regla para determinar
los números amigos: dado un número n natural, sip=3-2n“l-l
g=3-2w—1 y ?"=9- 22a_1—1 son tres números primos, entonces 2*pq
y 2“r son una pareja de aniigos.
En cuanto a la geometría se refiere, los Elementos volvieron a
servir de base a su Libro sobre la composición de las razones, en
el que, partiendo de la teoría de la proporción eucüdea, se dedicó
a analizar el resultado de los posibles productos entre cocientes de
magnitudes proporcionales. También analizó la demostración del
teorema de Pitágoras aplicado a un triángulo reetángulo isósceles,
atribuida a Sócrates, y aportó tres nuevas demostraciones del caso
general que editó en un tratado específico. Además, con base en el
Almagesto de Ptolomeo, dio una nueva demostración del teorema
de Menelao en su Tratado de lafigura secante, e inspirándose en
ei cáiculo de áreas y volúinenes de Arquímedes, desarrolló toda
30 LOS ORlGENES DE LA CIENCIA ARABE
LOS ORiGENES DE LA CIENCIA ARABE
31

Se dice que un numero es perr«.i«
iqual a la suma de sus divisores menores ■ W 1,
que él. Por ejemplo, el 6 y el 28 son nu- ■ Jp.;
meros perfectos porque 6=1 + 2+ 3 y ■
28=1+2+4+7+14 Esta propiedad numé- Uy ± < J
rica fuedescubierta por los matemát.cos ■_ \> <-t lr v/; •I
pttagóricos. aunque fue Euchdes el prr- ■ ■
mero en determinar que si un numero N ”*>■ :
era de la forma N=2r\2M) para un oer- ' í* .: ¿ v
to número n natural. con 2Í,-1 pnmo. en- ¿ ¿ J ¿
tonces tenla que ser un número perfecto ■ ' ., >. ,, j.
(para n = 2yn = 3se tiene que N - 6i y ■ ^ V í , , f !g*2U
N= 28. respectivamente). Este tipo de ■ ,r ’? '■ V -*r M
propiedades dio mucho juego tanto en ■O^N^MaraBLhÉBM
las matemáticas griegas como en las árates
y latinas, y tamb.én en el Renao- *
miento y. de hecho, la búsqueda de estos
números continúa aún abierta.
La importancia de los números perfectos sobrepasa la propia historia de las
matemáticas. En el siglo v. por ejemplo. San Agustin llegó a afirmar que si D.os
había creado el mundo en tan solo seis días, no era por nmguna otra razon
que la de cuadrar el número con la perfección de su propiedad. En la actuali-
una teoría diferencial que no dista mucho de las actuales integrales
definidas. De este modo, calculó el área del segmento parabólico
en su Libro sobre la medida de La parábola, y el vohiroen de ua
segmento de paraboloide en el Libro de la medida de los cuerpos
parabólicos. También detemiinó el área de una eiipse en el Libro
ie las seecioMS del ^hodro ydesu superfuHe e .
Z nropia dcmostración del postulado de la, paral„,^tó ofr«*r
Thabit tambien destacó en el ámbito astronónü^
í0S libros en los que anaJlzó pormenoriyadamente ei ZT. ^
ptolemajco e ideó la teoría de la trepidactón para exp^l^
Prepancias entre los vaiores que se calculaban en ei9jf “<tls-
u obbc-uidad de la ecbpücay los dadospor Ptolomeoen^s^
la figura de al-juarismi
Casi nada se sabe de este matemático y astrónomo llamado Muhammad
ibn Musa al-Juansmi, excepto que trab^jó en U Casa de
la Sabiduría de Bagdad y participó en las primeras observaciones
realizadas en el observatorio de Shammasiya.
La nisba de su nombre, que es el término que indica su origen
y que en este caso es al-Juarismi (s^ju!>¿JI), remite a la región
de la Jorasmia, en la actual Uzbekistán. Sin embargo, en algunas
biografías se recoge la versión del historiador persa Muhammad
ibn Jarir al-Tabari (838-923), quien le añadió un «al-Qutrubbulli*,
dato que significaría que sus antepasados eran los originanos de
la Jorasmia, mientras que él habría nacido en Qutrubbull. una pequeña
localidad cerca de Bagdad. Además, por las fechas de sus
libros se puede afirmar que nació alrededor del año 780 y su failecimiento
se produjo no antes del año 850. Estudios fiables sitúan
a su familia dentro de la comunidad turca de la Jorasmia, con lo
que es probable que fuera mucho más preciso referirse a él como
matemático arabizado y no como simplemente árabe.
Como se ha indicado con anterioridad, al-Juarismi estuvo ab-
solutamente ligado a la Casa de la Sabiduría y en ese ambiente
fue un autor bastante prolífico. La primera de las obras que vale
la pena destacar es su Libro del cálculo con los números indios,
escrito durante el califato de al-Ma’mun. En esta obra, al-Juarismi
explicó el sistema de numeración posicional que utilizaban los
indios y que fue transmitido aJ mimdo árabe en alguna de !as embajadas
indias a las coites de al-Mansur, de al-Mahdi (del 775 al
32 LOS ORlGENES DE LA CIENCIA ÁRABE
LOS ORÍGENES OE LA ClENCIA ÁRABE
33

7SM de aj-Hadi (del 785 al 786) o de Harun al-Rashid. Sm duda
atoma. esta fue una obra de referencia dentro del crnculo cientffico
ZTrasa de la Sabiduría y sirnó de base a olros muchos tratados
similares que elaboraron los matemáücos árabes de ios siglos K
V x Este libro podría coincidir con el Libro de la adimón y la
sustracctón según el cdlculo de los indios, actuaimente perdido,
recogido en el índice de al-Nadim.
E1 otro gran tratado matemátioo fue su Libro concreU) del cálculodela
restauración ydela oposición, el cual también escribió
entre los años 813 y 833. Como se verá más adelante, al-Juarismi
supo siivtetizar la geometría griega con la aritmética india para
regalar al mundo la primera obra propiamente de álgebra y pasar
a Ia posteridad como el padre de esta disciplina matemática
En el campo de la astronomía, su gran obra fueron sus Ta-
blas indias (.Sindhind), las cuales tuvieron una gran influencia
en la astronomíá árabe posterior, sobre todo la que se estudió en
al-Andahis. Además, también redactó las siguientes obras: Libro
sobre el cuadrante solar, Construcción de las horas en el plarw
de un cuadrante solar, Libro sobre la construcción de un astro-
labio, Libro sobre el uso del astrolabio, Conocimiento del azimut
a través de un astrolabio, Determinación de la amplitud orti-
va en cada ciudad, Determinación del azimut según la altitud,
Canstrucción geométrica de la amplitud ortiva de cada signo del
zodiaco según la latitud.
También escribió el Libro de la ccmjiguración de la Tierra,
que lo situaría en. alguna expedición patrocinada por al-Ma mun
para comprobar los datos geográficos del Almagesto de Ptolomeo;
un Libro de historia., redactado alrededor del año 826, y una De-
terminación del calendario judío.
CAPfTULO 2
La aritmética de al-Juarismi
Una de las obras más exitosas de al-Juarismi dio pie
a la introducción del sistema de nuxneración decimal
posicional utilizado en la actualidad, Copiado de fuentes
indias, los nuevos números reemplazaron los sistemas
griego, romano... y hasta el propio sistema alfanumérico
árabe. Esta introducción fue progresivapero,
una vez aprendidos, ya nadie fue capaz de recuperar
las antiguas cifras que tantos quebraderos
de cabeza daban en las operaciones.
34 LOS ORÍGENES DE LA CIENCIA ARABE

Los priineros sistemas de numeración escritos nacieron paralelamente
a la escritura, tanto en el antiguo Egipto como en la antigua
Mesopotamia. Por lo tanto, los primeros números no se escribieron
hasta finales del iv milenio a.C., aunque esto no significa que el
hombre no hubiese desarrollado otras maneras de contar.
Desde tiempos remotos, el cuerpo humano ha sido objeto de
uso para contar, no solo las manos, sino que también se han hecho
cuentas con la cara, los brazos, las piemas, los pies, el pecho y el
abdomen. De manera lógica y por comodidad, el hombre decidió
adoptar la base 10 como referencia (con algunas excepciones notables)
y esto se debe al uso general de los diez dedos de ías dos manos.
Esta costumbre fue pasando entre los pueblos e incluso se escribieron
tratados sobre ella. Como ejemplo, cabe citar las palabras de
Tertuliano (siglo n d.C.), quien en su Discurso apologétieo escribió:
Durante ese tiempo, hay que pennanecer sentado rodeado de un montón
de pa^xíles, y gesticulando con Jos dedos para expresar los númeroa
Las primeras cifras de la historia tienen su origen en el sistema
de objetos que los antiguos contables mesopotámicos idearon
a finales del iv milenio a.C. para no necesitar grandes series de piedrecitas
para hacer sus cálculos. Los contables decidieron sustituir
cada 10 giüjarros por una bolita hecha de barro, y si se reunían 6
LA ARITMÉTICA DE AL-JUARISMl

„ ^ giiHtituían por un cono también de barro.
el año 3200 a.C„ un «criba sumerio decidió ^
^cifras escriWS que se conservan en tablUlas cockia, de
COn Ulsmu<^as
por un cálamo ciümlrico .crmmar o en punta por uno de
T^OS Kn CSIC primer sistema esr nto de la hrstona se repre.
sentaron las rifras 1. 10. «0. «*». ^|<lp 0'«“ < ada
XZo se escribía a partir de la repeünón <le las rmsmas. El , „
coriespondía con una peqtteña muesca «ridruda en la an-IIU, Ini,.n.
trfisoiie el 10 era la marca del manRo cilmdnco del ralamo (fÍK.,1-.. 1
P ‘ epresenlar e,se hacía una muesca mayor <|.ie la
v el «00 era una combinación de un 00 con un 10 ...
Piira ei 3600 se marcaba un círcuio mayor que el M) y para el :Ui,KK)
se combinaba im 36U0 con un 10 «rabado en su interi»»r.
Si se quería e»’ríbir el número 167, se tenia en cuenta la »k»ui|.
dad l67®2-60+4-10+7 y, por lo tanto, se represenlalvun ¿ ntrd!i
60,4 cifras 10 y 7 cifras 1.
DISTINTOS SISTEMAS DE NUMERACIÓN ANTIGUOS
Hacia el año 2000 a.C., los mesopotámicos d€»eidier<»n simpliflcar
su sLstema ai’caico y pasar a la escritura cuneiAim»**. en la • ,»!•* I**
números también se simpliflcaron al bosarae tan solo en la «*xisten*
cia de las cifras l y 10. Conservando la anti^ua IxLse 00. los es» nln»
niesopotámicos ideiuon una especie de sLstema sc-mqHisu ionaJ. en
él. las cifras teiüan distinto valor dep<'n<iien<lo de la i>« *sick »n que »hiipaban.
Por ejemplo, en la figura 2 se aprecian inicialineitie »los upoe
de muescas. La muesca vertical es la que servia |Kira represenlar el
ontras que la lateral se correspondía con el 10 Pnr u *
'■."^presenmdos son e. 24 y el .58. A| ,mt^°de '*
"^jTeO. *tratadel nÜmer° 24Ü(U58= 1408; aumW,e
f lftro nosicionfll p<Ktna luu-er variar e| valor de lasSras ,!Tn''la
^ ser24 ■ 6°"+38- S0.24 • «t1+58(»>. *■ *“*■«
^guiendo con los sLstemas aditivos de numeraciñn en el
t¡»uo Efópto “ desarrollo ,u,a numeración basada en e¡fras ¡e„;
ghlica-s <|Ue represeri.aban 1. 10. 10*. 10-, 10'. 10-y 10» mR„ra 3).
,, unúlad se sin,bobzal>a mediame ,u, p,siueft0 trazo verUeal- ia
L,.,.,uv m.sliante ,ma espeoe d<> l J mvenkla; b, centena, medumte
um,<>spirid. el I Oriri. con iuu< flor de loto; el ÍO(KK), eon undedo;el
lOt/UOO. Cf»i» tina r¡um o rciuu*iu\jo, y Uniilmente, un honibre adorajul«'
*d re|*r«'M*nlaba el tniUón.
l on ei liwnpo, l«ri «*mtiUls dcsarrollaron la escrltura jeroglí-
fl,-a lu*4 W u eM-ntura hu-ratica y aparederon nuevas fomrns pHra
i,„ numerrr». d«- n»-lo «iuc se < rcaron símbolos específicos puru
I ; j 4 . 10.3) Jl>. 40.... 100.200, ;UK). 400...
|3 Msifina «U* n«»iiK*riü »«»n miis aniupio di» la anliKua («recia fue
tJ4W. m* .•«*!»*- **coroo -h»T«Mli;uK»«. di'bidoaque fueel hLstoriador
H«t«mIuuk» i MiO*» n-ra) **• qu«* <k*sí nbió por priniera vez una serie
j*. \uiuras uUluarfae» i*ara «*M nl»ir los immeros cardinales, Kn
sisifiiu». c**la *ii»iit«MlLsijnio <k* la unidud se corres|»ondía con
L, («runera k'tra <k*l iuuinto qut» n‘pr«*sental»a.
ílr/ Uk j
R»cri*s«m»ció«
d*l númvro
24,58 *n ci+M
curi*i«orm#l
r*ota* i
R*0<*MiiUCMri
Ó* '•> Cl*M
•9PCIM
Hl«« wiiUiliXi
á» lU C>»rM
KCÜMI
m^tepocánxM
58 iA Of A4.-AJAH»SM1

s giSTE^AS DE NUMERACIÓN EN BASE 20
v.i.n como se ha visto, las bases 10 y 60 fueron laa
S' Histmtospi'eblos de la anügüedad, hay referenci¿ntteh,aSPOr
106 f 20 que vale la pena señalar. La primera de ellas es ^
Para representar las cifras 50, 500, 5000 y 50000, los griegos
superponían el O con A, H, X y M, respectivamente.
Otro sistema fue el alfabético sunple, el cual sema para renresentar
los primeros 24 números naturales con las 24 letras del
alfabeto- A = 1. B = 2, T = 3, A = 4.., Q = 24. E1 griego tuvo su origen
en la adaptación que se hizo del alfabeto fenicio en el siglo k a.C,
después de realizaf las modificaciones necesarias para que todos sus
fonemas se correspondieran con una letra En un principio, se desarroiLaron
diveisos alfabetos locales, pero en el siglo v aC. la variante
oriental de Mileto se impuso como obligatoria en la admirustración
de Atenas y, de allí, pasó al resto de las colonias helenas. Posteriormente,
Ias conquistas de Alejandro Magno (356 a.C.-323 a.C.)
hicieron deJ griego el idioma común de la ciencia y de la literatura de
todo el Imperio macedonio y, junto al latín, llegó a constituirse como
linffuafranca en el Imperio romano. Es necesario señalar que este
tipo de numeración alfabética solo fúe usado en algunas listas contablesy
para la numeración de páginas en libros y documentos como,
por ejemplo, los 24 cantos de ia Itíada y de la Odisea de Homero.
En este breve repaso, no se puede olvidar la numeración romana,
basada en las letras I = 1, V = 5, X = 10, L = 50, C = 100,
D = 500 y M = 1000. AJ igual que las cifras griegas, estos numerales
no penrütían hacer cálculos con faciüdad y, por este motivo, tanto
en Grecia como en Roma, y también en la antigua Mesopotamia, los
cálculos se hacían sobre tableros y ábacos. Los números romanos se
utilizaron fundamentalmente en documentos adnúnistrativos y de
contabiüdad y, pese aque se vieron relegados a un papel secundario
en ia Edad Media, aún se siguen estudiando en las escuelas.
To eran los puntos y los Uazos homontales, cuyo valor equiv^
?nun»s- Deestemodo, el 2 se representaba con dos puntoed .3!
Jes y el 4 «m cuatro. Uegados al S, escribian una linea hórizon^
“Tconservaban debqjo de un puntó para representar el 6 deton
S dos puntos para el 7, de tres puntos para el 8 y de cuatro puTos
° el 9. E1 resto de numeros hasta Uegar al 19 se conformaba de
manera simüar a los nueve antenores, medrante una combinación
de unos y cincos (flgura 4). Conviene señalar que los únicos números
mayas que se conseivan no tienen nada que ver eon la aritmétíca
y simplemente registran datos numéricos Ugados al calendario y a
la astronomía
Es importante destacar, asimismo, que Ios mayas, paramarcar
ej valor posicional de sus cifras, inventaron un símbolo para denotar
la ausencia de las mismas (el 0), con lo que se trata de un ejemplo de
un sistema posicional en base 20.
Las lenguas indoeuropeas — 6~-—
también conservan reminiscencias o i 2 3
de alguna antigua base 20 que con- • M M4
vivió con la base 10. En francés, '+Zl?
por ejemplo, Moliére utilizó six
vingts para decir 120 en El bur- 5 6 7 8
gués gentiihombre y, en la actua- - - • _M ,
üdad, 90 aún se denomina quatrevingt-dix,
y 91, qua tre-mngt - onze,
etc. También encontramos otxos 10 ”
ejemplos en el inglés y el danés. * - — —-SS
E1 presidente Abraham Lincoln
empezó su discurso en Gettysburg is 16 w is
con rnfourscore and. seven years —— éé- éé*
old... para referirse a 87 años ~ — " " —
atrás. La palabra score signifícó ______——
40 LA ARITMÉTtCA DE AL-JUARISMI
LA ARITMÉTICA DE AL-JUARISMI

20 en inglés anüguo y el mismo Wiiliam Shakespeare la utüi2ó
distintas ocasiones en sus grandes obras. En danés, el número 50
se denonúna halvtreds, como abrexiatura de halvtredje-sinds^hive
que significa el cálcuio 3-20-VÍ20, y aigo parecido ocurre COn e¡
70 y el 90. También el 80 se denomina^rs, defirsi ndstyve (4.20)
LOS SISTEMAS DE NUMERACIÓN ALFANUMÉRICOS
Los sistemas alfanuméricos son un sistema de numeración en base
10 que utilizan como ciñas las mismas letras del alfabeto de su
idioma En consecuencia es un sistema aditivo que se fundamenta
en ir poniendo letras distintas, cada una de ellas con su valor asignado,
de modo que la palabra resuitante tiene el valor equivalente
a la suma de los vaiores de cada una de las letras.
EJ primer sistema de numeración de este tipo del que se tiene
constancia es ei griego, cuyo uso se remonta a algún momento
entre los siglos vniyv a.C. Se utilizaron ias 24 letras del alfabeto
junto con la letra sampi y los signos arcaicos digamma y koppa:
1 = A 10 = 1 700 = P
2 = B
US
il
o
(N
200 = Z
3 = r 30 = A 300 = T
II
40 = M 400 = Y
5 = E 50 = N 500 = 4>
6=5 60 = Z 600 = X
7 - Z 70 = 0 700 = ‘P
8 = H 80 = n 800 = Í2
9 = 6 90 = 9 900 = >
Las lenguas que adoptaron el alfabeto griego como base, tales
como el copto, el georgiano, el latín o el gótico, también tomaron
el valor numérico de sus letras. La misma influencia se traspasó
al alfabeto árabe ya desde el siglo vn, probablemente a causa de
EL SISTEMA DE NUMERACIÓN INDIO
KI origen indio del actual sistema posicional decimal es indiscutible
E1 propio al-Juansmi empezó su crucial tratado aritxnético
avisando que iba a «exponer la forma de calcular de Ios indios con
la ayuda de nueve caracteres y mostrar cómo, gracias a su sencfflez
y concisión, dichas figuras pueden expresar todos Ios números*
De hecho, cuando al-Juarismi tuvo noticias de este nuevo sistema
de numeración, las matemáticas indias dominaban absolutamente
sus cifras y se permitían jugar con ellas. En efecto si, por ejemplo,
se consulta el Ganita-Sara-Sangraha del jainista Mahavira (ca
850), tratado de aritmética, álgebra y geometría en el que este matemático
hizo una revisión de obras anteriores de Brahmagupta
(598-670), se encuentran ciertos números curiosos que sirven de
resultado a la gran variedad de problemas que ilustran el algoritmo
de la multiplicación de números naturales. Por ejemplo:
Escribe el número 142 857143 y multiplícalo por 7 y luego di que es
el collar real.
De forma similar, 37037037 se multiplica por 3. Encuen&a el resultado
que se obtiene de multiplicar este producto otra vez para obtener múltiplos
del mismo con un 1 como el primero y un 9 corno el úldmo.
Las cifras 7, 0, 2, 2, 5 y 1 se escriben partiendo de las unidades; entonces
este número multiplicado por 73 también se podrá denonünar
collar.
Los resultados respectivos de estos tres cálculos son
1000000001,111 111111 y 11111111,yestetipodenúmerospone
42 LA ARITMÉTICA OE AL-JUARISMI
LA ARITMÉTICA DE AL-JUARISMI
43

LOS QUIPUS
Desde tiempos de los antiguos griegos, como mínimo. los nudos han acompañado a
\a humanidad como sistema de cómputo. Herodoto (s.glo v a.C.) cuenta que el rey
Darfo I de Persia (del 522 al 486 a.C.) confió la defensa de un puente a unos soldados
qriegos aliados. É1 siguió su expedición y les dejo una correa con 60 nudos con |a
orden de ir deshaciendo un nudo cada día. Si al deshacer el ultimo nudo Dario no
habfa vuelto, entonces los soldados podían abandonar el puente y volver a sus casas.
Un sistema similar de anudado se utilizaba en la antigua China según el Ubro de las
transformaciones (Yi Ching). escrito hacia el año 1000 a.C., en el que se relata que los
hombres «eran gobernados mediante el sistema de cuerdas con nudos». En la tradi.
ción judia. los hombres deben llevar un chal llamado tsitsit para su plegaria matutina,
que tiene unos ribetes entre los cuales se anudan los cuatro cordones de los extremos
en un total de 26 nudos (ya que 26 es el valor que tienen las cuatro letras del nombre
de Vahveh: n = 5.1 = 6, n=5. ' = 10). Romanos. palestinos. árabes, y en definitiva. muchos
puebios vieron en las cuerdas un recurso fácil con el que retener sus cálculos. Sin
embargo, los pueblos precolombinos son los que nos han enseñado mayor constancia
de su uso. a través de los diversos restos arqueológicos encontrados y los testigos
directos españoles del siglo xvi.
Quipu es una palabra inca que signiflca «nudo» y no es nada más que una cuerda
gruesa principal en la que se anudan cuerdas más finas, de colores distmtos. agrupadas
en manojos. En el Imperio inca. la administración central disponia que en cada
aldea debia trabajar un quipucamayoc («guardián del nudo») que se encargase de
la confección de los quipus. Este administrador se encargaba de la supervislón de
los inventarios y los censos que luego se enviaban a la capital. A pesar de que las
cuentas debian realizarse de memoria o con los dedos de las manos y de los pies,
los quipus servían de ayuda para registrar los resultados de los diversos cálculos
planteados para calendarios, estadísticas, contabilidades, etc. Cada quipu era dístinto
a otro en lo que respecta a su significado y para ello, los Incas utilizaban cordeles
de colores que representaban distintas cosas. el amarillo se utilizaba para
contar piezas de oro; e! rojo, para víctimas de guerra; el blanco. para el dinero ...
aunque podian tener más signiflcados. También el tipo de nudo adquiria diferentes
significados.
CadHeterrn¡nada contabilidad expresada en
upa Tlcimal. Si. por ejemplo, se quiere reprebaSf
rel número 1527. el quipucamayoc agrusent3
siete nudos en la parte baja del primer
paba . dos más encima de los siete anteriores
C°representar las decenas. Dejando una dispara¡
¡gual a la que había entre unidades y
ta nas. agrupaba cinco nudos encima de las
deCenaS y. finalmente, un nudo cerraba la
dece propuesta. Una vez reallzado esto, po-
2*® cpauir con otra cuenta en el siguiente
Pste sistema aún se utiliza en las montañas
dinas de Bolivia y Perú. En el siglo xtx, los
nastores peruanos llevaban consigo un quipu
orovisto de cuerdas blancas y verdes para
contabilizar el ganado ovino y el bovino, respectivamente.
Dentro de las cuerdas blancas.
la primera servía para contar carneros, la segunda
para contar corderos, la tercera para las
cabras. la cuarta para los cabritos... En las verdes.
la primera contaba toros; la segunda, va-
Imagen d* un qulpu confactíonado »rt P«iú
cas lecheras. etc.
Hoy en di'a se hace uso (aunque cada vez menos)
de un segundo sistema basado en el chimpu, que consiste en un manojo de cuerdas
anudadas por uno de sus extremos. Los pastores bolivianos y peruanos anudan
los números de sus cuentas agrupando, dentro del nudo, tantas cuerdas como orden
decimal tenga la cifra dentro del número. Por ejemplo, para expresar el número 7825
= 7 101+8 • 10J + 2 • 10' + 5 • 10°, se agrupan siete nudos en la parte superior del manojo,
abarcando cuatro cuerdas; ocho más debajo de los siete anteriores, abarcando tres
cuerdas; dos más equidistantes, abarcando dos cuerdas y, finalmente, cinconudos
més en una sola cuerda.
de manifiesto el interés que tenía Mahavira en las fonnas y propiedades
numérieas. Además, hay que tener en cuenta que la aparicion
de los mimeros palindrómicos, es decir, de los números que se
leen igual tanto del derecho como del revés, solo es posible en un
sistema de numeración posicional. Para el número 12345654321,
Mahavira se refirió a él como la cantidad «que empieza con un 1 y
temiina con un 6, y después disminuye gradualmente».
E1 cero era de uso común ert las matemáticas indias del siglo h
y aún es posible retroceder más en el tiernpo para encontrar a Jinabhadra
Gani (siglo vi), quien expresó el numero 224400000000
coitvo «veintidós y cuarenta y cuatro y ocho ceros».
E1 uso del sistema posicional no se limitó al ámbito estrictamente
matemático, sino que estuvo presente en la vida cotidiana
dGsde, como mínimo, el siglo vl se conserva una carta de donacion
44 LA ARITMÉTICA DE AL-JUARISMJ
UAARlTMéT.CA06AL-JUAfilSM.

del gobemador Dadda ffl de la región del Giyarat datada en 346
la era Chhedi (equiv'alente a nuestxo ano 594) escnta en cifras pogj.
cionales autóctonas. Sin embargo, la representación de los númer0s
en la India no empezó como sistema posicionaJ y, tal vez, fue la ne.
cesidad de verbalizar grandes numeros lo que ímpulsó este avance
tan sigmficatávo. En efecto, en los antiguos manuales astronómicos
indios los Siddhantas, para calcular la posición de un determinado
planeta en el cielo con la hipótesis de que gira alrededor de la Tierra
con movimiento circular uniforme. sus autores ofrecían proporciones
entre grandes números, correspondientes a los ciclos completados
en un cierto tiempo. Por ejemplo, Brahmagupta determinó qUe
los ciclos del Sol y de la Lima eran de 4320000000 y 5753300000
revoluciones, respectivamente y, para referirse a eilos, escribió:
[...] las revoluciones del Sol medio y Mercurio y Venus son siete
ceros. dientes y Vedas. {.-1 Las de la Luna son iguales a cinco cielos,
calidades, calidades, flechas, sabios, flechas.
^■kanim"
whadaai»
w»losnúm«o,
•ür* v1sII»b.
Una ilu«rael6n
**• trabajcs
astronrSrnlciH
al-Biruni,
«xdJIc»
•as diferentas
íases ae l» Luna.
En este sistema de «números-objeto», cada número se ve
sustituido por una palabra sinónima que lo recuerda. Los Veda,
por ejemplo, el conjunto de textos sagrados hindúes, se dividen
en cuatro grandes secciones (Rigveda, Yajurveda, Samaveda y
Atharvaveda) y solo por ese motivo, su nombre es equivalente al
número 4. Este 4, seguido de los 32 «dientes» humanos y de siete
ceros, explica el número 4320000000 y, del mismo modo, el 0 es el
«cielo»; ei 3, las «calidades»; el 5, las «flechas» y el 7, los «sabios».
Este sistema data del siglo ra y fue utilizado en un texto astroiógico
copiado de algún original griego en el año «Vishnu, gancho, Luna».
Como de dios Vishnu solo hay uno y lo mismo ocurre con la Luna,
y el gancho hace referencia a su forma para emplazar al lector al
9, el año de copia es el 191 de la era Sakka o, equivalentemente, e!
año 269 d.C. Este sistema aún seguía vigente en la Lndia en el siglo
xi a tenor de la radiografía de esta región elaborada por al-Biruni
(973-1048) en su Historia de la India (ca. 1030):
Cuando ellos tienen necesidad de expresar un número compuesto
de varios órdenes en sus tablas astronómicas, io hacen mediante
1 Li- jjj)
46
LA ARITMÉTICA OE AL-JUARISMI
LA ARITMÉTICA DE AL-JUARlSMI
47

nalahras cononetas para número fonnado por uno o dos ^
L* i'ara < ada uno de ellos han elegnlo una nerta camidad do
‘ con el fin de q«e. si ha> al^.na dificmltad |>ara su uar una de eUas
en .ui lugar concreto, se puecia sustituir por otra más sencilla. rORj.
da entre sus hern.anas de signirica<h-». Brahmagupta tüce: «Si qUjer^
escnhir el l. expresaio a innes de algo que sea univ o. como la Tierra
o la Una: as.muuno. puedes expmsar el 2 mediame algo que exLsta
en nurnero de dos. como el negro y el blanco: 3 med.ante lo qUe
forma una ivunión de tres: el 0 con los nontbres del cielo».
CHro SLsfema numérico semiposicional fue descrito por Arya.
bhata 1 (siglo v) en su Aryabhudffa, en el que 25 consonantes «varpa,
reprcsentahan los números del 1 al 25. y otras ocho consonantes
«no varga- represeniaban los números 30. 40, 50, 60, 70, 80,
90 y 100. Para indicar el vaJor posicional de las cifras, las vocales
sáiisí'ritas se dí‘bian escribir tras las consonantes, de modo que las
nueve vcM-ales situadas tras una consonante «varga» representaban
laspotencias 10“. lth. 10\... y 101".y situadas tras imaconsonante
«novarga» representaban las polencias 10\ 10*, 10s,... y I01'. De
esre modo. Aryabhata I representó los ciclos astronómicos mediante
combinaciones impronunciables de sílabas.
Asi pues. se puede dar por hecho que ei sistema posicional
decimaJ surgió en la India en aJgún momento del siglo vi con Ia
creación de tin «cero» necesario. Con ia carta de 346 de la era
Chhedi, hay constancia de la escritura del sistema posicionaí, pero
se ha de pensar que «seis-cuatro-tres» debió de ser la manera en Ia
que se dec'ian Jos números oraJmente en mercados, bazares y, en
definitiva. en la vida diaria ¿Qué pasaba, entonces, cuando tenían
que referirse a un núniero conio el 104? Los antiguos astrónomos
indios resolvieron eJ problema utilizando ia palabra sunya, que
significa «vacío», con lo que el 104 se debió de convertir en algo así
como «Veda-vacio-Tierra». EJ siguiente paso se debió de producir
en el momento en que fiie necesaria la simplificación cle este método
coloquiai que hacía que cada cifra contara con un gran elenco
de palabras que la representaban. Asi, en el tratado de cosmología
titulado Las pwrtes del universo (ca 458), su autor jainista decidió
utiiizar tan solo las palabras que habitualmente servían para
f ,rir^e a los primeroa números naturales y <res-unc^M_ .
n’f' nlT uatro-uno» era el nombre de 14236713 1Pte^istrfS-d0^
wDe numero indorum» de al-juarismi
^atado sobre el sistema posicional decimal indio fúe una de las
fjTeras obras sobre este tema que se escribió en Bagdad, a t*Z
C influencia que ejercio despues entre sus contemporánel
^ulmanes. La tradicion historica árabe cuenta que el médico
ndio Kanka fue nombrado embajador en la corte de al-Mansur v
fue viajó a Bagdad con diversos manuaies científicos indios entre
los que Uevó un libro sobre el sistema de numeración posicional
Muhammad al-Fazari (activo hacia 800) fue el autor de la primera
tjaducción al árabe y esta sirvio de base sobre la que debió trabgyar
alJuarismi para reproducir su Libro de la adixri&n y la sustracción
según el cálculo de los indios, actualmente perdido.
Todo lo que se sabe de esta obra tan determinante dentro de la
Iiistoria de Jas matemáticas es debido a diversas ediciones árabes
escritas poco después, y a las distintas traducciones latinas medievales
que se redactaron en Europa Abbas ibn Flmas (m. 887) lo Üevó
a la corte de Abderramán II en Córdoba y a través de al-Andalus,
se atribuye a Adelardo de Bath (ca 1080-ca 1150) o a Juan de Sevilla
(activo hacia 1135) una primera traducción latina con el títuio Algo~
rismi de numero Indomm. La sigue una traducción libre del propio
Juan de Sevilla titulada Liber aigoñsmi de practica arismetrice.
También se atribuye a Adelardo de Bath la correspondiente traducción
del Liber ysagoga t'um alchorismi in artem astronomicam
a magistro A. compositus, avmque este «Magister A» bien podría
referirse a algimos de los traductores judíos más activos de la península
Ibérica en el siglo xn, como el oscense Moshé Sefardí (ca.
1062-ca. 1140), también conocido con su nornbre Jatinizado Pedro
Aifonso, el navarro Abraham ben Ezra (1089-ca 1167) o el cordobés
Abrahain ibn Daud (ca. 1110-ca. 1180). Además, en la biblioteea de
la Universidad de Cambridge, se conserva ima copia del siglo xni
otra b'aducción latina que no está terminada y contiene muchos
48 LA ARftMÉTICA OE AL-JUARISMI
LA ARITMÉTICA DE AL-JUARISMI
49

E-e nue« Algorúmi de »»mm> W,m fu,- «Mi,a«|«,
!X*. p°re* MllassanT (1821 1884 >«
ol Uberalgorism, d,pn,rtn-aan,mPlr,re.
fLe mamw-riw do la l nhvisklad de < ambndge ompiPte Cotl
,«„ .Dini AlKoriani*- tms ol qno áex-nbv ol snaoma <io numomn,m
nosk'KHuU comonzando con las nvn-xo ciffas indias 1.2,3.4.5. (i, 7
¿v 9 que ár.en para oxpiesar las umdados. Para roproseniar ias
doconas. ias mismas cifras colocadas a la izquiorda de las unidados
jndican 10.20.30... y k> mismo «’uno con las eentenas, imidados de
nuL etc. Es docir. para escribir el munero 32o:
, ,nlpozam« a 'a der«ha ripl ^ritor y ponomos .
lltínr. uii 3D la SPgunda a la mtuif'rda dol que w ha en P^er
' !a lercera, cada número on su posieién, ea decir faZ*!’ 300
.„ posieión de las unidades. que es la pránera, las decenasenf“
de las decenas. que es la segunda. las centeaaa en la " ^
las eentenas. que es la rárcera Y la representadón es la stguieat
Píira ver hasta qué punto el nuevo sistema indio eia melor
oualqtáer otro hasta tonces, akluansmi utilizó la lepiesentión^
1SÜ703061492863 (srn utilizar los puntos separadores), que se dtó
KBU AL-RAVHAN MUHAMMAD AL-BIRUNI (973-1048)
Al-9injn.es unodelosmarematicosyastrono- ■
mcs musoimanes mas proilf.cos Oe la .•'istona Su ■ J n * ' ‘
trabaio abarca cas. 150 tratados con un tota> de U ’ff -.-f m , "
mas de 13000 oágmas en lo aue constituye una K. ’’
de las otxas mds importantes dentro de ia ivsto- ^
na de la oenca medieval En el amtHto matema- V
tco. ai-B.run, hizocantnouciones med'tas como B/
ei uso de la .nterpoiac.on cuadratica Dara aproKi- r:' ■ *1 ,, 'y ,
mar vaiores »ntermed.os de tabias tngonometn- p éf
cas. c«rtas sumas oe senes rvumencas o su ana- fc ff • ■ a;■ *
l»sis de >os números irraoonaies Por otro lado. B j *"
escnbó sobre las construcctones geometncas L
con regia y compas. proyecciones estereograh- 1
cas, trigonometria plana y esfenca, secoones I. f ' v \
cómcas. antmetica y áigebra. L -
Naodo en un peaueho puebio cerca de Kath. en
ia región de la Jorasmia. sus pnmeros ahos de i ■ ■iJTi?'1'»" —
vioa estuvieron ligados tanto a Kath como a la
ciudad de ürgench y a sus estudios bajo la tuteia
dei matemático y astrónomo Abu Nasr Mansur (ca. 970-ca 1036;. prínope de la familia
gobemante de la Jorasmia Asi. sus pnmeros trabaios se desarrollaron bajo el
mecenazgo reai, hasta que en 995 un goloe de estado deposo a los Banu Iraq y tuvo
que huir de Bujara.
Privado de las facihdades de su juventud y siendo ya un astrónomo competente que
habia escrito diversas obras. Payy (cerca de la actual Teberán; fue su siguiente cJestino.
Allí coincidió con Abu Muhammad al-Juyandi (ca. 940-ca 1000). un astrónumo
que peseis un gran sextante con el que Se dedicaba a estudiar los tránsitos del
po, el meridiano. Entre ambos. corng,eron los errores en los datos obse^'^
que se habfan cometido anteriormente. vacionates
Al-Biruni anotó una observación de un eclipse de Luna en mayo de 997 oue in
en Kath. Esta observación estaba pactada con Abu al-Wafa al-Buzyani (940 qqa?
quien, habiendo realizado la misma observación desde Bagdad, pretendia determin¿
ladiferencia de longitud terrestre entre ambas ciudades. También. las dedicatorias de
sus libros indican sus conexiones con otros patrones y mecenas. Asi. una de las obras
de esa etapa está dedicada a ibn Rustam, gobernador de Guilán (a orillas del mar
Caspio), Los contactos de esta provincia con la vecina y poderosa Gorgán leabrieron
las puertas de esta región y de su gobernador Qabus. a quien dedicó su Cronotogía
Al-Biruni se desplazó a Gorgán, donde siguió trabajando como astrólogo disciplina
dentro de la que, antes del año 1004. ya habia escrito tres tratados. También hab.a
redactado un tratado sobre el sistema de numeración posicional decimal, uno de
astronomía, otro sobre el astrolabio y dos de historia.
En la primavera de 1004 volvió a la Jorasmia. donde Ali ibn Ma'mun había ascendido
al trono y se reencontró con su maestro Abu Nasr Mansur. Su trabajo y reconocido
ta ento ueron recompensados e incluso se le permitió construir un instrumento para
hacer mediciones precisas de los tránsitos del Sol por el meridiano.
vontacto de al-Biruni con la India se produjo tras la invasíón de la Jorasmia de
atad0 ^a2n' en Pr°t>ablemente. al-Biruni fue prisionero y su vida se vio
nofT)9 3 3 vo*untac* ^el nuevo gobernante. Pese a ello, al-Biruni trabajó como astró-
Asi fu ^ astrol°90 en la oorte y acompañó a Mahmud en sus expediciones a la India.
historf C,°mo lle9¿* a ^o^P'iar su Hístoria de la India. en la que estudió la geograffa,
pais ve °n^Ua' *lteratura- filosofía, medicina, religión. astronomia y mateméticas del
No Mas'^d La muerte de Mahmud terminó con su reclusión y, bajo el mandato de su
su vida VU* ' ^desPues de su nieto Mawdud, parece que pudo disponer libremente de
ra ajo, aunque el nuevo mecenazgo lo siguió atando a la corte gaznávida.
LA ARlTMÉTiCA OE AC-JUARISMI
LA AR/TMÉTICA DE AL-JUARISMI

[...] un mll de miles de mües de imles de miles en cinco veces, [ i
cien mil de miles de miles de miles de miles en cuatro vecés [ \
y ochenta miles de miles de miles de mües en cuatro veces [...^ ^
setecientos mües de miles de nüles en tres veces [...], y tres mU de
miíes de miles en tres veces [...], y cincuenta y un mil de nüles er,
dos veces, y cuatrodentos rrnl, y noventa y dos nñl, y ochocientos
sesenta y tres.
Continuó explicando cómo sumar y restar dos números, «po.
niendo los dos números en dos líneas, es decir, uno encima del
otro», de modo que las unidades estén encima de las unidades, las
decenas, de las decenas, etc. La explicación es la misma que se daría
hoy a un alumno de la escuelaprimaria a excepción de que se propone
empezar Ias operaciones, no por las unidades, sino por la cifra de
mayor valor. Al-Juarismi propuso la resta 6422 - 3211, que escrtbió:
6 4 2 2
3 2 1 1
E1 resultado es 3 211, el cual obtiene restando 6-3 = 3 para la
cifrade los millares. 4-2=2, para las centenas, y 2-1 = 1, para las
decenas y las unidades.
Juan de Sevilla, en su Liber algorismi depraclica arismetrice,
incorporó paso a paso los cálculos que se han de realizar y lo
hizo mediante el ejemplo 12 025-3604:
1 2 0 2 5
3 6 0 4
1. Se empiezapor las cifras de mayor valor, es decir, 12-3-9,
el cual se coloca en lugar del 12:
9 0 2 5
3 6 0 4
SesigueconlaciJradelascer.tenasycomon
4 ei 6 dei 0, se toma una unidad del 9 y se nmiSble «sque
se pone en iugar del 0. Además, se cambia ^9
ya que ha perdido una urüdad parapoder restarel T 8'
8 4 2 5
3 6 0 4
3 Se reitera el aigoritmo con la cifra de las decenas y CQn
' de las unidades, para obtener 8421 como resultado:
8 4 2 1
3 6 0 4
Como se ve, al-Juarismi fue borrando los cálculos intermedios
y sustituyendo los resultados sobre las operaciones previas
y. como se verá, lo mismo ocurrirá con la división. Se ha de pensar
que en el Bagdad del siglo ix no era común el uso del papel para
operar y los cálculos se hacían sobre tablas llenas de arena, con
lo que era muy fácil ir borrando los resultados y escribir encima
LA MULTIPLICACIÓN Y LA DIVISIÓN
Las siguientes operaciones son el producto y la división y, para introducirlas,
al-Juarismi empezó explicando la duplicación y la mediación,
es decir, la multiplicación y la división por 2. Para Uustrar
la multiplicación de dos números cualesquiera, el ejemplo tomado
es 2326 por 214. Se colocan uno encima del otro, de modo que la
cifra de mayor valor del mayor número coincida con la cifra de
las unidades del menor:
2 1 4
2 3 2 6
52 LA ARITMÉTICA DE AL-JUARíSMI
LA ARITMÉTICA DE AL-JUARISMI

Aunque no hay una representación explíoita hasta el
flnal, el algoritmo propuesto es el síguieme:
1. Se multíplica la cifra de mayor valor del primer factor
este caso es el 2, por ei segundo factor, que es e| 214 ^
resultado. igual a 428. se esoribe encima del 214. se elim
el 2 del primer factor que ya se ha mulüplicado: Ina
4 9 6 4 8
2 1 4
t «erando el prore.so el resultado flnai
del segundo factor. ^ ^to encj.
4 9 7 7 6 4
2 1 4
2. D segundo factor se desplaza una posición hacia la derecha
4 2 8 3 2 6
2 1 4
3. Ahora, la cifra de las unidades del segundo factor, en este
caso el 4, ha quedado debajo de la cifra de las centenas del
primero, que es el 3. con lo que se ha de multiplicar esta
última cifra por el segundo factor. IguaJ que anteriormente,
ei resultado, 3-214 = 842. se ha de colocar encinia del 214,
sustituyendo el 3 ya multiplicado. Sin embargo, hay que
tener en cuenta que encima del 214 ya hay otro número
que, una vez eliminado el 3, se convierte en el 4280. Si lo
sumamos a 642, se obtiene 4922, resultado que se coloca
encima del 214:
En ias distintas versiones del Liber ysagogarum qüe ^
.nservan se encuentran mas ejemplos para el producto
!! 10 10= 100, 300-40 = 12 000, 12-14= 168. 406-204
^24-306 = 313344. Juan de SeviUa propone 104-206= 2h42 9
Con el algoritmo de la división, al-Juarismi siguió los mismos
pasos que en nuestro sistema actual, aunque la disposición de ias
cifras es aJgo distinta. E1 ejemplo que propuso fue el cociente entre
46468 y 324, que se escriben uno encima del otro hariendo coinridir
ías cifras de mayor valor:
4 6 4 6 8
3 2 4
1. Se divide 464 entre 324, obteniendo 1 como resultado. Este
1 se coloca encima del 4 del dividendo y se sustituye el 464
inicial por la diferencia 464 - 324 = 140:
1 1
4 6 4 6 8 — 1 4 0 6 8
4. Se repiten los mismos pasos: se desplaza el 214 hacia la derecha
y se multipüca por 2, dando 428 como resultado. Una
vez eliminado el 2 que ya se ha multiplicado, estc producto
se suma a149220 y se obtiene:
3 2 4 3 2 4
2. Se desplaza el divisor una cifra hacia la derecha. E14 de las
uttidades queda deb^jo del 6 de las decenas del dividendo.
Se diride 1406 entre 324, cuyo resultado es 4 y resto igual
54 LA ARtTMÉTICA OE AL-JUARISMI
LA ARITMÉTICA DE AL-JUARISMI 55

a 110. E14 se coloca encima del 6 y se sustituye el 1406
Por
el resto 110:
„5U,tadoS. Así. como 2 grados y 45 mmutos son l65 m
l°s rados, 10 n11103 y 30 «gundos son 11430 sen,,!. u‘
t09'y 3,n es igual a 1885 950 tercios, que equlvalen a s^°S’
PcodUCs 5?segundosy30tercios:
(2+S)'f
10 30) 165 11430
3+Ó0+ 60 / 60 602
1885950
""eo5
30
60 602 6()3 •
3. Se itera el proceso. Se desplaza el 324 una cifra a la dereeha
y se divide 1108 entre 324. E1 resultado, 3, se coloca encima
de la última cifra del dividendo, y el resto, 136, sustituye al
1108:
Como ya se ha comentado, el manuscrito de Cambridge es
fratado inaeabado y aqui se produce una interrupción, justo
'Tel momento en el que al-Juansmi iba a exphcar el producio de
frlcciones decimales y habiapuesto el ejemplo 3+% por 8+3/,
1 4 3
- 110 8
3 2 4
OPERACIONES CON FRACCIONES
Tras las operaciones con los números naturales, al-Juarismi explicó
el producto y la división con fracciones sexagesimales, que
reconocía que aprendió de los indios. Empezo con ejemplos de
multiplicaciones sencillas, especificando que el resultado de multiplicar
minutos por minutos son segundos; el de segundos por
minutos, son tercios... En definitiva, lo que actualmente se podna
resumir con la fórmula
a b _ a-b
(XT 60” ~ 60m'7‘'
E1 ejemplo general consiste en multiplicar 2 grados y 45 minu‘
tos por 3 grados 10 minutos y 30 segundos. E1 algoritmo transíornia
cada uno de los números a su fracción más pequeña, y multipü^3
En el Liber algorismi de practica arismetrice aparece inicialmente
un recuadro similar, pero aplicado en esa ocasión al
producto de
8+ 1 1 1
—1—<—
2 4 5
por 3+ 1 1 —+—.
3 9
De igual manera que en el caso de las fracciones sexagesimales,
al-Juarismi propone ahora convertir ambos números a común
denominador y multiplicar las dos fracciones resultantes, que se
traduce como sigue:
Í8+I+I+iU3+I + IL^.^ = 532?4,30+^Í.
' 2 4 5) { 3 9/ 40 27 1 080 1 080
Llegados a este punto del razonamiento, la disposición de los
Júmeros de Juan de Sevilla da una idea clara de los pasos que se
han seguir;
56 LA ARITMÉTICA DE AL-JUARISMI
LA ARITMÉTICA DE AL-JUARISMI
57

En este caso, la división de fracciones se dispone en un es-
„uema siniilar y parte de la conversión del dividendo y el divisor
¡ fr3fCiones con el mismo denommador, tras lo cual se divide el
numerador de la primera entre el numerador de Ia segunda, y se
ámplifica el resultado obtenido. Por ejemplo, si se quiere dividir
20+2/j3 entre 3+/4 ■ en eSte CaS° ei a*S°ritmo es equivalente a
calcular
Siguiendo el mismo procedimiento, Juan de Sevilla también
calculó el producto propuesto en el manuscrito de Cambridge,
obteniendo 3 4 12
En el Liber ysagoganim, donde se planteael producto
el relato continúa con un esquema algo distinto: 7 9 63
786.130 786
39 ' 39 * 130 * 6+130
Para finalizar este razonamiento, en el Liber algorismi de
practica arismetrice, Juan de Sevilla utilizaun esquemaparecido
al de la multiplicación:
Recuperando el ejemplo
».28+a
22 22
al-Juarismi (o «Magister A.») transformalos factores en fracciones
úmcas y los multiplica como en el caso anterior:
58 LA ARITMéTICA DE AL-JUARISMI
LA ARITMÉTICA OE AL-JUARISMI
S9

cALCULODELARAfZCüADRADA
aí íuarismi continúa con el cálculo de la raíz cuadrada, qUe
pUfca con siguiendo el siguiente algoritmo: ejer«'
1 Separa las ciíras del 5625 en grupos de dos y empie2a
‘ cáJcuio con la raíz cuadrada del grupo que ha quedado f
izquierda, es decir, el 56. A1 no tener raíz cuadrada
escribe 7 debajo del 6, yaque T2=49s56 y 82=64>5g. ^
c, método es parecido cuando se apDca a las fracc
e¿es, con la puntuaiización deque el resuftadoesrj^
2ebU más pequena sea la fracción: cxact°
cuant°
S1 tü buscas la raíz de 120 mmutos, redúcelo a lo9 9
obtendrús 7200, y si reduces estos segundos a cuartos o a 30°1
resultado será más exacto. Entonces, nosotros extraemos la raíz de
7200 segundos para hacer 84 minutos y una fracción, que, reducida
en entero, se obtiene una unidad y 24 minutos.
I 5 6 2 5 I
2. Como 7^=49 y 56-49=7, sustituye el 56 del radicando por
el 7 que acaba de obtener:
De modo parecido, se tratan las raíces de las fracciones deci-
males. Como en los casos anteriores, aWuarismi procede con un
cjemplo concreto: [—TT
hf1
3 13
m
y*3 +13 “\39'
2. Para calcular la raíz cuadrada, se transforma la fracción
propuesta en otra equivalente cuyo denominador no esté
afectado por la raíz:
3. Se dobla el 7:
/94 _ Í94-39 _ >/3666
\39 39-39 * 39 ’
3. Se calcula la raíz cuadrada del numerador tal como se ha
explicado para los números enteros: V3666 - 60 + una fracción
menor. Por lo tanto:
4. Ahora busca una cifra tal que, puesta detrás del 14 y multiplicando
el número de tres cifras que se obtiene por esa
misma cifra, dé 725. Es decir, determina una cifra x tal que
(140+j?)-#=725. En este caso, x-5, yaque 145-5 =725:
7 2 5
14 5
5. Por lo tanto, la raíz cuadrada buscada es 75.
V3 666 _ 60_] + 21
39 ~39~ 39'
«Magister A.» y Juan de Sevilla también añaden que, si se
quiere obtener mejores resultados, lo único que hay que hacer es
afíadir parejas de ceros a la derecha del número, y lo aplican al
cálculo de V2:
VícPa
~lo>r~'
'2 000 000 ^ 1414
1000 ~1000
LA ARTTMÉTICA DE AL-JUARiSMI
LA ARITMÉTICA DE AL-JUARISMI

Según Abu Mansur ibn ai-Tahir al-Bagdadi (ca. 980.10371
su CumpUmiento del cülcuto, al-Juarismi también calcuióJ^
cuadradas através de un método de aproximación equivaie^
la fórmula actual:
Esta regla, que también tíene su origen en las matemáticas
indias, fue ampliamente reproducida en los tratados de aritmética
árabes en toda la Edad Media, aunque sufrió diversas modificaciones
quepretendieron mejorarla Abu al-Hasan al-Uqlidisi (ca. 920.
ca. 980), por ejemplo, la incluyó en su Libro de Las secciones sobre
la aritmética india, escrito en el año 952, pero con la variación:
Esta también la incluyó ibn al-Banna’ al-Marrakushi (1256-
1321) en su Compendio del cálculo. Por otro lado, Abu al-Hasan
ibn Ali al-Qalasadi (1412-1486) propuso:
r-t-l
2(a +1)
LA TRANSMISIÓN DEL SISTEMA DE NUMERACIÓN
INDOARÁBIGO
Tras la introducción del sistema posicional decimal indio en Bagdad,
el mundo árabe vivió una proliferación de textos dedicados
a esta innovación. Sin embargo, la nueva aritmética india tuvo
que coexistir con ei cálculo con los dedos, que los árabes habi^
heredado de la tradición bizantina. También se escribieron diversas
obras sobre esta manera de calcular. La implantación de las
nuevas cifras debió de ser progresiva y los propios matemáticos y
astrónomos solo las utilizaban para expresar números enteros, ya
que las fracciones se siguieron expresando con su antiguo sisto*
«xagesixnal, mediante el abyad. En este senódo. en el „ ■
m® Ae aritmética arabe que ha llegado hasta nL Pmner
0*® _ Libro de Las secciones sobre La aritmética * ya
SSÍScibió en Damasco en ei ario 952, se iTplT,-'
Inténtico sistema decimal. La obra empieza con la T
de ias nueve cifras (que escribe conuna línea oncíJZT
¿L siguen los algoritmos de las cuatro operaciones básiT
'¿¿o con fracciones ordinanas y con fracdones sexages^
lextracción de las ratces cuadrada y cubica de números enteS
ydefracciones...
y Pero el avance se produce en el momento en el que al-Uqüdisi
expüca cómo dividir un número por la mitad. En principio, si por
ejeniplo se quiere calcular Ia mitad de 19, mediante la aritmética
india el resultado es igual a 9+^, que se representaría con la
fracción (sin la línea) escnta deb^jo del 9, tal como lo escribía
alJuarismi. Otro método para dividir ei 19 entre 2 es recurrir a las
fiacciones sexagesimales, cuyo resultado sería 9 y 30 minutos, que
se representaban con el 30 escrito debajo del 9. Pero al-Uqlidisi se
dio cuenta de algo que ni los indios ni los primeros matemáticos
musulmanes de Bagdad habían tenido en cuenta:
En lo que se ha dibiyado en el prmcipio de Ios números, la mitad de
uno en cualquier posición es 5 delante de éJ [Hay que tmerenmm-
ta que em. árabe se escribe de derecha a izquierda). Por io tanto, si
dividimos por la mitad cualquier número impar, pondrertios la mitad
como un 5 delante de él, y la posición de las unidades marcada por
elSÍRno sobre ella, para denotar el lugar. La posición de las unidades
se convierte en las decenas de lo que está delante de eüa
Por ejemplo, queremos dividir el 19 por la mitad. Decimos: una mitad
de 9 es cuatro y medio; ponemos la mitad como un 5 delante del 4;
después, dividiinos el 10 por la mitad. Marcamos la posición de las
unidades. Se obtiene 95.
pues> este fue el primer uso histórico de los decimales y
sí qUe ^ no tograron un gran alcance en un primer momento,
bes Post .ÍC*eron eco eH°s algunos de ios matemáticos áraenores.
Se encuentran ejemplos en Ias obras del citado
62
ARITMÉTICA DE AL-JUARI5MI
LA ARITMÉTICA D£ AL-JUARISMI
63

al-Bagdadi, quien escribió 08 0217 par
o de al-Samaw'al aJ-Magribi (ca. 1130-^^^a]
el cálculo de raíces cuadradas. Ya en elt l,l80>» qu^N^b
bizantino aparece la representación ISSik
153,6 y 16,25, respectivamente, y Jamshid¡
multiplicaba números decimales en Sarn ^Uca.
cemos nosotros en la actualidad. <wiarcaucia tal c
Otro de los tratados más importantes ^ ^ (
meración posicional fue el titulado
de Kushyar ibn Labban (971-1029), el cual s °S
los manuales imprescindibles dentro del m*
los casos anteriores, Kushyar presenta las nu ° ^
ff» v» A y ** y Presenta el cero como el
poner cuando no hay cifra (al Juarismi no l0 había°H° qUe S
mente). De hecho, utilizó la palabra árabe sifr
«vacío» y que proviene de la traducción de la
En la Europa latina medieval, la península
de las principales vías de transmisión del nuevo
meración, ya que las traducciones más importantesderhl^
al-Juarismi al latín se hicieron allí. Un dato importantea^en^
cuenta es que la primera representación de las eiíras indoar¿
gas que se conserva está contenida en el Codex vigUUm,uq
compilación de documentos anteriores escrita en elaiio976por¿
monje Vigila, en el monasterio de San Martín de AlbeldaOnai
las figuras importantes de este proceso de transmisiónfue!a«
francés Gerberto de Aurillac (ca. 945-1003), quien viajóate
lona en el 967 para pasar tres años en la corte del condeBoMf
(del 947 al 992). Durante esta estancia, Gerbertodebiódew
por tierras musulmanas y entró en contactó con lasmatemica
y la astronomía árabes. Probablemente, debió de quedai W
sionado por la sabiduría de los vecinos andalusiesy,«‘»
vuelta en Reims, pidió a sus contactos catalanes ^
obras sobre estas materias traducidas al latin- nnJRer^t
mación recibida, Gerberto redactó una Regu
abaci ratiombu¿ hacia el año 980, obra en ametai en el
nuevo tipo de ábaco de 27 compariimentos grat^
depositaban fichas con las nueve cifras m
„ de !os compartimentos servíaparaindicar unaposición
C^aUn! v por lo tanto, los números quedaban eacritos según el
...mética y. ^ de nomeración. Es muy difícü saber s¡ .
•ci ema a* — -- sabersi esw estetxatado
S ocado desapercibido en condiciones normales
^ieSeooQ Gerberto fue nombrado papa de la IgJesia catóíica
el ombre de Silvestre H, y todo su legado obtuvo una gran
con el 11. Bn seguida, el Regulae de numeronim abaci ratiore,eV^'
objeto de un comentario a cargo de Herigerus de Lob-
nibVS j007). y de 1103 edición del francés Abón de Fleury (ca.
beS W) Además, el ábaco fue descrito en otras obras como el
a Jione de Lorenzo de Amalfi (m. 1049), el Regulae, quali-
De iitiplioationesfiant in abbaco de Hermann de Reichenau
^itl054) ° el Regule abaCÍ de Ade]ard0 de Bath- °tras muchas
(1° n redactadas a lo largo de ios siglos xi, xn y xrn en Bélgica,
Sicia, Italia y Alemania.
En la península Ibénca, por su parte, el judío Abraham ben
describió las cifras indoarábigas en su Libro de la unidad, y
el Libro del número expuso el sistema posicional.
Otra de las obras que incidió de manera determinante en el
uso extensivo de las cifras indoarábigas en los mercados y comercios
fue el Liber abaci (1202, reescrito en 1228) de Leonardo de
pisa, más conocido con el sobrenombre de Fibonacci (ca. 1180-ca.
1250). Fibonacci pasó su infancia en la localidad argelina de Bugía,
donde muchos de los maestros andalusíes llegaron huyendo de la
cruzada cristiana en la península Ibérica. Su padre, un rico mercaderpisano,
decidió ponerle un profesor local, con Io que el joven
Leonardo enseguida aprendió el nuevo sistema de numeración.
Tras viajarpor Egipto, Siria, Grecia, Siciliay la Provenza, Fibonacci
se estableció en su Pisa natal, donde redactó esta introducción de
las cifras indoarábigas:
Las nueve figuras indias son:
987654321
-on estas nueve figuras y con el signo 0 que los árabes denominan
zephirum, cualquier número puede ser escrito como demostraré.
LA ARITMÉTICA DE AL-JUARISMI 65
LA AR(TMÉTiCA OE AL-JUARISMI

Un número es U suma de uiüdades [...] y mediante su 5um
números se incrementan sin fln. En primer lugar, se componen
1#8 unidades aflueflos números entre el uno y el diea. En segu„ÍD
de Ias decenas se componen los números que van desde el $ '
hasta el cien [...}• La pnmera posición de la escritura de los númer^
empieza en la derecha. La segunda sigue a la primera hacia la £
quierda La tercera sigue a la segunda Y así, la figura qUe ^
en la primera posición se representa a sí misma (...) y las nueve fi
guras que hay en la segunda posición representan tantos dieces
como unidades en la primera posición; es decir, si la figura del un0
ocupa la segunda posición, esto significa diez; si la figura es un dos,
veinte.
La palabra zephirum se mantuvo entre los matemáticos italianos
del Renacimiento y se convirtió en «zefiro», «zeuero», «zefro»
y finalmente, «zero» a través del dialecto veneciano a mediados
del siglo xiv. Por otro lado, la misma palabra se transformó en la
«sifra» o «cyfra» de los manuscritos latinos del siglo xtii que, posteriormente,
pasó a los distintos idiomas como chiffre en francés,
dpher en inglés, zijferen alemán o «cifra» en casteüano.
E1 Liber abaci influyó mucho en los tratados de aritmética que
se escribieron posteriormente, ya que Fibonacci ofreció una larga
serie de ejemplos de resoiuciones de problemas que comerciantes,
mercaderes y banqueros no podían obviar: anclados con sus
cifras romanas, el nuevo sistema les iba a facüitar mucho su vida
cotidiana. De este modo, tras los algoritmos de las operaciones
básicas, Fibonacci explicó cómo resolver reglas de tres simples
y compuestas, cálculo con fracciones y resoluciones de ecuaciones,
y todo eüo usando los nuevos números importados del norte
de África. Una prueba del éxito del Liber abaci es el manuscrito
anónimo escrito alrededor del año 1289 en el dialecto de la región
itaiiana de Umbría, que explica el sistema posicional basándose
en la obra del pisano.
En Italia, el camino iniciado por Fibonacci no siempre fue
fácil y, por ejemplo, en 1299 el gobíemo de Florencia aprobó e
Statuto deWArte di Cambio, por el que se prohibieron las cifras
árabes por temor a que sirvieran para estafar a Ios comerciantes-
.edo también se convirtió en el pretexto de h
&te ^ia para obligar a sus übreros a escribir I09 nro 6rsidad
de ceros- no se podía permitír que los ceros *Sin utiü
por añadirles trazos de más arriba o abal0 p” V>rtier®
- ,0S mercados también viene corroboradapor su^élT
0 htdos de distintas monedas de curso legal, que w los
Vjm sin tener en cuenta la numeración romana a! '"
U38.el reinad0 de R°ger ° de SicUia Wel IIOb'^SÍ
^iieron los pnmeros numerales mdoarábigos sobre una i
S. POCO después, los árabes se pusieron ai día utiii^ Z
mptas cifras (1217) y, postenormente, también los turcos (13Sf
L progresiva implantación del sistema en las monedas <¿2
Lraate d Renacinuento y su deflmtiva adopción por los djsün.
tos gobiemos, cuando la ciudad de Colonia en Alemania, Austria.
Franciay Países Bajos, en elsiglo xv, y EscociaeInglaterraend
^dieronelpasodefinitivo.
’ Ahora bien, sin restarle la importancia que merece el Liber
abaci, otras dos obras fueron las que, definitivamente, introdujeron
las cifras indoarábigas en Europa: el Carmen de algorismo de
Alexander de Villadei (ca. 1175-ca. 1240) y el Algorismus vulgaris
(ca. 1230) de Johannes de Sacrobosco (ca. 1195-ca. 1256). Ambos
libros fueron referencia en las primeras universidades europeas
y, a partir de ellas, se escribieron otros muchos textos sobre
aritmética. Alexander de Viüadei fue director de una importante
escuela en París en el año 1209 y, a través de su introducción en
verso del sistema indoarábigo, sus alumnos continuaron con la
transmisión de su conocimiento. Los dos primeros versos del
Carmen dicen:
Se da el nombre de algorismus [algoritmo] a este arte actual por el
que utilizamos las figuras mdias en un número igual a dos veces
cinco.
el fr ^ar7nen traducido a diversos idiomas, como el inglés,
s 0 e* islandés, pero pronto fue superado por la popula-
,e A^orrstri-us vulgaris, que se enseñaba en las clases que
osco ^Partía en París y Oxford. Sacrobosco explica que la
LA AR1TMÉTICA DE AL-JUARISMI
LA ARITMÉTICA DE AL-JUARISMI
67

palabra «aJgorismo» proviene del nombre de su inventor «ai
y atribuye a los árabes su invención, olvidándose de l0s
Esta idea también fue ampüamente transmitida a lo larg0 d , '
siglos, e incluso en los importantes comentarios que se escribi* °*
sobre e\ Algorismus vulgaris, como el de Pietro de Dacia ^
siglo xiv, nunca se corrigió esta omisión. Hasta la Uegada ^
primeros tratados de aritmética comercial impresos, el Alg0 °S
mus vulgaris fue la gran referencia de la ciencia de los nú^e^
en toda Europa, como muestra el simple hecho de que era üb^
de texto obligatorio para cualquier estudiante de medicina de b
Universidad de Bolonia, o de que en la Facultad de Artes de Viena,
un alumno tuvo que examinarse de su contenido en el año 1389
para obtener su grado.
La definitiva implantación del sistema de numeración posicional
decimal llegó con la invención de la imprenta. E1 primer libro
de aritmética impreso en Europa fue el anónimo Arte dell'abaco,
publicado en Treviso en el año 1478. Escrito en dialecto veneciano,
su autor quería popularizar los nuevos algoritmos, aplicándolos a
los problemas comerciales. De algún modo, esta obra recogió la
tradición italiana, que empezó con el Liber abaci y que dio multitud
de manuales «de ábaco» que se estudiaban en las escuelas de
ábaco, todos ellos fundamentados en las cifras indoarábigas. Los
siglos xv y xvi dieron lugar a muchas primeras aritméticas en las
distintas lenguas vemáculas europeas y, con todas ellas, se instauró
definitivamente el sistema de numeración posicional decimal en
Europa. A partir de ese momento, los libros de aritmética pasaron
a hablar de las cifras romanas como de cosas antiguas. que si bien
aún estaban presentes, pertenecían más al pasado que al presente.
E1 Arte delVabaco sigue el esquema general que anteriormente
trazó el Liber abaco, el Carmen de algorismo o el Algorismvs
vulgaris e incluye capítulos dedicados a la numeración, las cuatro
operaciones básicas, la regla de tres y aplicaciones a problemas
mercantiles.
Tras el Arte deU’abaco, el siguiente tratado aritmético pubü
cado en Europa fue la Suma de la art de arismetica (Barcelon^
1482) del catalán Francesc Santcliment. Santcliment fue pro eS
en Barcelona y, probablemente, también en Zaragoza, donde co
- „tro tratado muy similar a este, pero en casteii^ ,
Pi0 también trata los quebrados, las reelas ° (148e). la
SSas de falsa posición, las mezclas y aieaciones de
j^ebió influenciar en los ambientes comercial’I tc^9Í°-
hpI siglc
fin alemán, el Libro de aritmética (Rechenbuch) VeiPi,
{néticas pioneras. Sin embargo, las expUcaciones de los dos UbTot
antcriores eran muy precisas y escuetas; además, Wagner no Z
w autor muy didactico, con lo que muchas veces sus textos son
poco claros. Por lo tanto, es muy probable que ambas obras sirvieran
como complemento de las clases de aritmética comercial que
Wagner impartfa en Núremberg. A1 año siguiente, Pietro Borghi
pubücó su Arithmetica (Venecia, 1484), que fue el incunable aritmético
más popular de su tiempo a tenor de la multitud de ediciones
posteriores que se han conservado (algunas con el nombre de
Libro del abacho). Escrita en dialecto veneciano, su inclusión de
las monedas de Treviso, Padua, Florencia, París, Zaragoza o Sofía,
entre otras, deja muy clara la intención del autor de enseñar a los
prósperos comerciantes venecianos cuáles eran los beneficios de
dejar atrás la numeración romana.
Lejos de este mundo comercial, Johannes Widman (ca. 1460-
ca 1500) fue profesor de matemáticas en la Universidad de Leipzig
ytambién un prolífico autor de obras aritméticas comerciales. La
primera de ellas, publicada con el título Cálculo ágit y ordenao
en todos los oficios (Behende und hübsche Rechenung auff
RavffmarischQfft') fue una obra matemática rigurosa de la
1489 ^^011 a P^licarse cinco ediciones, desde la primera, en
> y hasta el año 1526. Además, su éxito sirvió para que en
ania y en el resto del mundo se conocieran los símbolos que
sustr • eC^° que a servir para indicar los aumentos y las
mercancías de un inventario: los actuales + y -
linealis (u^ ^idman Que cabe mencionar fueron Algorithmus
nutiaru ^^or^^miLS integrorum (1490), Algontkmus micarum
(^^a^uw (1495) y Algorithmus minutiarumphysi-
68
LA ARITMÉTICA DE AL-JUARISMI
LA ARJTMÉTICA D€ AL-JUARISMI
69

Las obras de Borghi y de Widman no encontraron riv
Itaüa ni en Alemania, respecüvamente, hasta la llegada de **
más exitosas que las eclipsaron por completo y marcaron ***
nueva época. En Italia, pese a la publicación del De artthrrJr'*
(Florencia, 1491) de Philippo Calandri, las cifras indoarábigas %°
sistema de numeración posicional decimal quedaron establecid^
de manera definitiva tras la publicación de laSumma de arith °S
tica, geometria, proportioni et proportionalitá (Venecia, 1494Ñ
de Luca Paciolí (ca. 1446-1517). La Summa es un completíSim
tratado de matemáticas escrito como libro de texto para las múi
tiples clases que impartó Pacioli en las distintas universidades
italianas en las que trabajó. Nunca antes se había publicado en
Europa una enciclopedia matemática similar, de modo que, sin
pensarlo, Pacioli creó la que sería la obra matemática de referencia
del siglo xvi. Un dato que confirma este privilegio se encuentra
en la figura de Gerolamo Cardano (1501-1576), profesor en Milán
y protagonista de la polémica batalla por la prioridad de la resolución
de la ecuación cúbica. Cardano, en 1539, publicó el Practica
arithmetice et mesurandi singularis con el único propósito de
sustituir a la Summa como libro de referencia en las aulas milanesas.
E1 Behende de Widman, por su parte, vivió su ocaso con la
publicación del Cálculo con Líneas (Rechnung auff der linihen),
en 1518, y del Cálculo con líneas y resortes (Rechnung auff der
linihen und Fedem) en 1522, de Adam Ries (1492-1559). En la
primera, este director de escuela describió el cálculo numérico
que se podía hacer con un cierto tipo de ábaco, mientras que en
la segunda, la cual llegó a más de 115 ediciones en el siglo xvi,
introdiyo los numerales indoarábigos.
Este repaso no puede terminar de ninguna manera sin pasar
por otros países como Francia, donde Frances Pellos publicó en
provenzal La art de arithmetica et semblantment de ieumetna
dich ho nominatus Compendion de lo abaco (1492). Otra de las
grandes obras aritméticas de referencia, esta vez en francés, e
Triparty en la scienee des nombres de Nicolas Chuquet (ca '
ca 1500). Chuquet no llegó nunca a publicarla, pero la °hra■ ®
conocida a través de L’arismetique nouveüement composée (
de su alumno Estierme de la Roche (ca 1470-ca. 1530). La TriP0,
.flner texto matemáüco en el que se encuentran la„
esd nSlón», «billón», «tnüon», etc., Paranombrar
1,68 51» Uegada de‘ SÍg'° laS grandes »aciones emer°S’
, ° a su disposición la base 10 y el sistema de nurn»- opeas
los Cuales pasaron a ser indiscuübles tanto en lnTiT P°SÍ'
como también en ios inventanSS^
imentos mercantUes. Así pues lanumeración rom Jas e “
igada a convertirse en una minuscula sección de los Ubros de
íftiisMria de las matemáücas y a desempeñar un pequefto pape,
protagonista en los relojes y las fachadas de algunos ediflcios
renacentistas.
LA EVOLUCIÓN de las palabras cero, cifra
ALGORITMO y guarismo
Expuesta la evolución de la numeración indoarábiga desde el ALgvrismi
de numero Indorum de al-Juarismi hasta el siglo xvi, vale
la pena ver cuál ha sido la evolución de ciertos términos que en la
actualidad utilizamos de manera natural en nuestra lengua Como
uno se puede imaginar, las palabras en cuestión son «algoritmo»,
«guarismo», «cero» y «cifra»; de algunas de ellas ya se ha hecho
alguna referencia en apartados anteriores.
LAS PALABRAS «CERO» Y «CIFRA»
Como se ha dicho ya, ambas palabras provienen del árabe sifr
1/aEn S*?ru^ca’ <<vacio»> traducción directa de Ia india sunhisto
^ ^^onacc* *a tradqjo como zephirum y ahí empezó la
lengu ^ ^ ^enorrnnacion tanto del cero como de la cifra en las
emfc>ar£°> antes de la redacción del Liber
80 refiriQ al ^ ^011 escribió un Liber de abaco (ca 1100) donde
del ^ com° sipos, que era el nombre que recibía la pieza
^rberf00 ^Ue ^eva^a es^ cifira y que ya había sido utilizado por
110 en el año 983:
70 LA ARITMÉTICA DE AL-JUARISMI
LA ARITMÉTICA DE AL-JUARISMI 71

jTiscribitwr in vliimo ordine etjmra .©. sipos rumine, ^
numerum nuüum signitet, Umtum ad alia quaedam utüís ’ **
sequentibus declarabitur. 'Ul ln-
Otro de Ios nombres que se dio al 0 fue el de «círculo» 0 ■
plemente «rueda», como hizo Abraham ben Ezra en Su Lib*J
la unidad, donde se utilizó la palabra galgal que si ^
«rueda» literaimente (también usó sifra [kisd]). Esta idea circuw
del 0 continuó en muchas de las obras aritméticas del sigi0 ^
como el comentario de Jodocus Clichtoveus (ca. 1470-1543) a u
Aritmética de Boecio, donde leemos «nota aut circularis» 0 ^
cularis nota», y «figura circularis», o el De arte supputandi libri
quattuor (1522) de Cuthbert Tunstall (ca. 1475-1559).
Otra denominación que tuvo el 0 fue la de «teca» y Pietro de
Dacia creía que la razón era porque ese era el nombre que tenía
la forma O de ia marca del hierro circular al rojo vivo con el que
se grababaa los ladrones en la mejilla o en la frente. Otra versión
de este nombre proviene de la similitud con la primera letra de la
palabra griega theca (0HKH), que se utilizaba para denominarel
hueco vacío en un ábaco y que, evidentemente, se podía relacionar
con la ficha del 0 en el ábaco de Gerberto. Esta tradición llegó tarabién
hasta el siglo xvi, y Niccoló Fontana (ca 1499-1557) escribió
en su póstuma Tutte Vopere d'arithmetica (1592):
[...] si chiama da alcuni tecca, da alcuni circolo, da altri cijra, da
altri zero, & da aicuni altri nulla.
Este último nulla, relacionado con su valor y cuyo paso al
francés y al español ya hemos visto, también fue otra de las denonúnaciones
que tuvieron éxito. Johannes Buteo (1492-ca. 1570) le
asignó el símbolo 0 (1559) para denotar la idea de corúunto vacío,
aunque también admitió la 6 para distinguirlo de ia letra griega
omicrón. En L’arismetique nouveUement composée de De la
che, el 0 también se denomina nuU y lo mismo ocurre en la mayo03
de tratados aritméticos alemanes del siglo xvi. Por lo tanto, no son
extrañas las palabras que Jacques Peletier (1517-1582) escribio en
su L arithmetigue, refiriéndose al 0 como rien, o sea, nada:
\pas ta pourrons appeüer vn JRien. weuant zerx¡,
De rodos modos, como ya se ha indicado anterionnente fil
,0S términos «cero»> y «cifra» denvados del zephirurn
10 losqueseimpusieronentodoslosidiomas.En
sS¡Sutmzó ~ rFco,después' g
Lzo10 Uamó feuero (1370). En la pnmera edición del Libro Z
ZZ de Borghi, su nombre es^firo, ouero nuüa, y después “
“Ibiado por zefi.ro, ouero nulkr y por zero, ouero nuUa en Z
^ectívas ediciones de 1488 y 1540. Philippo Calandri también
usó zero en su De aritlmwHca y parece que a mediados del s¡g)0 xv,
ya había un ampho consenso sobre su nombre, tal como corroboró
pierre de Savonne en su Arithmetique de 1563:
S'apeUe nuUe & enlre marchants zero.
No obstante, la palabra «cifra» como nombre del 0 aún estába
vigente en este siglo xvi y nos encontramos, por ejemplo, que Gaspar
de Texada, en su Summa de arithmetica practwa y de todas
las mercaderías con la Horden d.e contadores (1546) habla de las
«nueve letras y un cero o cifra». En el siglo xiv, Maximos Planudes
había traducido al griego el cero como tzifra (Ttí4>pa).
Es difícil saber en qué momento la palabra «cifra» adoptó
su significado final y se separó del «cero», ya que incluso Carl
Fricdrich Gauss (1777-1855) aún la utilizó en sus Disquisitiones
arithmeticae para referirse justamente al 0. Así, mientras que en
castellano se utiliza la expresión «ser un cero a la izquierda» para
mdiear el poco valor de alguien, en la Francia de los siglos xm y
se hablaba de cyfre d’angorisme. También en el siglo xm se enentra
este significado en un poema escrito por el francés Gautier
Qe Comcy (1178-1236):
na bestía con cuernos, una oveja,
^cifiadelalgoñtmo,
s ^ moqje, que en el día festivo
Ce ebra Ia Madre Santa.
72
t-A ARITMÉT'CA DE AL-JUARISMI
LA ARlTMÉnCA D£ AL-JUAR»SMI
73

LA aparición de las fracciones decimales en europa
Como en el mundo árabe. el sistema de numeración posicional decimal solo se jnt
duio para escribir números enteros, mientras que los decimales siguieron siendo
asignatura pendiente que se cubria con el uso de las fracciones. De esta ma “na
durante el siglo xv. aún se podían ver expresiones como nera.
ei Cálculo ágil y ordenado en todos los ofícios (1489) de Johannes Widman
_173925141
en la Aritmética 0571) de Jean Trenchant.
Un primer paso hacia el uso extensivo de las fracciones decimales es el mostrado en
las tablas de raíces cuadradas del Cálculo con lineas y resortes (1522) de Adam R¡es
en las que utilizando la regla
se obtienen unos resultados correspondientes a 103Va y, por lo tanto. tres cifras
decimales para cada raiz cuadrada. Trenchant también optó por esta manera de
proceder y )o mismo ocurrió con el holandés Willem Bartjens (1569-1638), quien en
1591 fundó una escuela en Ámsterdam. Este tipo de recursos fue muy habitual para
expresar los decimales de las funciones trigonométncas y todos los matemáticos
buscaron la manera de dejar atrás las fracciones para disponer de un sistema más ágil
y útil. Uno de estos casos es el de Pellos, quien en su obra de 1492 utilizó por primera
vez el punto decimal en un tratado impreso (ver imagen). En los escritos medievales
los números solían ir rodeados de un punto, antes y después de escribirlos, pero
es con Frances Pellos que el punto se convirtió en la separación natural entre enteros
y decimales. Hubo otros matemáticos, como Christoff Rudolff (1499-1545) o Gerolamo
Cardano, que con el mismo objetivo utilizaron una barra separadora en sus obras
en lugar del punto, De hecho, Rudolff puede ser considerado uno de ios inventores
reales de las fracciones decimales, ya que en 1530 utilizó su barra del mismo modo
en el que se haría en la actualidad, al resolver un problema sobre interés compuesto.
Rudolff OO fue comprendido
No o^5?no apareció la obra que camytiasía
'^oria- Bldecimal (.De Thiende).
t><aria'a inco Simon Stevin (ca. 1548-
de'flafn ai fue traducida al francés bajo
1620). la^Disme- El propósito del trabacómo
todos los cálcuíos
jo ^ ios comercios pueden ser rea-
w 1 • r7Trrt
rr
-« 1 t
ajehay o^lo mediante números enteros ^ 1 *» 4 s S *« * 4 —
|izad°s 5 da de os fracciones» y la idea 1 *
fue la de considerar cada cifra como la déclma parte de la cív .
pnn2ítamente superior. De este modo. Stevin consideró que tnt de 0rden
2¡¡Ss debian ir acompañados del símbolo ®. que
601[, número 364 se debia convertir en el 364®, A partir de aouí iia p0r,eiem-
^'décima parte de la unidad: «segunda», a la décima parte de la mó wpr,rnera>>
* «ivamente. A cada una de ellas asoció los símbolos ®, ripecti^lt; y,Js[
cismplo. si se aueria representar el número 0,3759. Stevin escribla 3®75®9®°v
pasaba a considerarlo como un «numero decimal». y
£7decimal continuaba con los algoritmos de las cuatro operaciones básicas v U
cación de los nuevos dec.males a cálculos tipicos de los mercados; sin embaran
sistema no terminó de calar entre los matemáticos. Johannes Kepler (1571 i6?m
ejemplo, en 1616 ya consideraba las fracciones decimales. pero utilizó una
paréntesis para separar la parte entera de la decimal. A £££&"
johann H. Beyer (1563-1625) le escribió una carta el mismo año en la que^ez^
nuevacoma con la notac.on sexagesimal heredada de los tratados aritméticos ante
nores. Deeste modo. en lugar de escrlbir 314.159265, escribió 314 V5"9"'2»“
* ■* - “K Es¡ssss¡rí
nerai Pn ia c 3 es' °n comas Y P^ntos según la voluntad de los autores. En qe-
que en Inglate^s? ütllizómás 1?°^ COrT1° SÍgno de seParac‘ón. mientras
paralelo en los mercado* w k punto- el sistema decimal se fue imponiendo en
fepresentar los decimales^UnTdp0^^'^6^'^^35 maneras poco ortod^as Para
^loxa y convirtió los nL U de ®llas ,n,aó su andadura en los Estados Unidos del
onvirtió los prec.os en dólares. como 15.65, en expresiones del tipo 15».
En El testamento de amor de Thomas Usk (m. 1388) también
se íee:
Una cifra en el algoritmo no tiene significado por sí misma aunque
tiene mucho poder con respecto a otras.
p_,
^oxivya^ cita también deja claro que en la Inglaterra del
y °tía prueba d CÍerto con°cimiento de las cifras indoarábigas,
(1343-1400)^ erf ^ 068 ^ descrito por Geofffey Chaucer
6816 nuevo sisterna.Ue ^ so^re estaban escritas en
LA ARfTMÉTICA OE AL-JUARISMI
LA ARfTMÉTICA OE Al-JUAfilSMI

las palabras «ALGORITMO»
EI vocablo «algoritmo» proviene directamente del nombre h
protagonista de este Ubro: al-Juarismi. Como se ha visto Con ^
terioridad, las primeras traducciones latinas del siglo xn hicie^'
referencia explícita al nombre del autor (Algorismi de nuy^
ro Indorwm, Liber algorismi de practica arismetrice y iib '
ysagogamm alchorismi in artem astronomicam a magisZ
A. compositus)y hecho que se repite en las exitosas Carmen ¿
algorismo y Algorismus vulgaris del siglo xrn, y el manuscnt0
de Cambridge empieza su texto con «Dixit Algorizmi». El Algo.
rismus vulgaris fue muy editado y comentado (algunas veceSa
través del título De arte numerandi) y en el siglo xvi se convirtió
en el tratado de referencia que enseñaba las cifras indoarábigas
y las operaciones con ellas. Es probable que Sacrobosco ya no
fuera muy consciente del significado real de la palabra «algoritmo»
ya que, si bien todos los títulos citados pueden perfectamente
traducirse por el nombre de al-Juarismi, Algorismus vulgaris
se traduce literalmente por «Algoritmo común». Además,
Sacrobosco especifica que hay nueve especies del «arte de algorismo»
(numeración, adición, sustracción, división por la mitad,
duplicación, producto, división, progresiones y extracción
de raíces) a las que se refiere como «especies del algorismo».
Con todo, no es difícil que un lector desconocedor de su origen
(recordemos que Sacrobosco atribuye su origen a Algus) empezara
a olvidar rápidamente el nombre real del matemáüco musulmán
y asociara el «algorísmo» a las distintas reglas de cálculo que
se podían realizar con los nuevos numerales. De este modo,
ya en el siglo xrv se conservan testigos de esta corrupción e
nombre de aJ-Juarismi derivada del algorisme francés, como, por
ejemplo, en el Libro de la Duquesa (ca. 1369) de Chaucer, en
que se lee:
Aunque Algus, el noble contador,
había fijado el cómputo del encuentro
y contó con sus diez numerales,
ya que con esos numerales todo es contado [•■■]■
tr. desconoomiemo ue ai^uansrru se puede aprertar
L en PaIabras exP'?estas P el "Z,?on ***
c'l \eróniino de Santa Cru2 en su Dorado cont, J^enciano
aaue:
u práctíca aritmética, como aflrma Juan de Sacrobosco „
compendiosa en lur de un Fiiésofo, Uamado Algo,, por
fueUamada el «uarismo. Ousa
jyo permitió que aparecieran teorías iántásticas del orieeu a
|apalabra «aigoritmo»: Iadenvaaón dei nombre de unmatemátíco
ado ^0105’ ° del 41801 de Casü11* También se dijo
aUe el término en cuestión podra sigmflcar «inducción a los núm*.
ros», ya que algos Significa «mducción» y rimus provendria del
arithmos griego. Una vanante de esta idea conservó el arilhmos
gnego y lo añadió a ares, que significa «virtud». Otra teoría lo hizo
derivar de la palabra griega algo, que significa «arena blanea», ya
que las primeras operaciones con las nuevas cifras se realizaban
sobre arena.
Así, la palabra «algoritmo» olvidó su origen y se asoció únicamente
a las reglas de cálculo con las nuevas cifras. Prueba de
eüo es que cuando el filósofo y matemático alemán Gottfried Wilhelm
Leibniz (1646-1716) publicó su Nuevo método en 1684, no
dudó en referirse a sus reglas como «Algorithmo» del cálculo
«diferencial».
Con todo, no fue hasta el año 1747 que el VoUstandiges Mathemtisches
Lexicon, uno de los primeros diccionarios alemanes de
matemáticas, definió formalmente Ia palabra «algoritmo»:
este concepto se dan ias nociones de los cuatro típos de cálcu-
,0 ^d^ético, suma, producto, resta y división.
ciarse Paitir si^° Xüí*Ia palabra «algoritmo» empezó a asoimiovad
iterativas como el algoritmo de Euclides y, con la
tación .°ra Pe£acla de los ordenadores y la ciencia de la compudeSüSp-
en§u3jes de programación la adoptaron como base
76 LA ARITMÉTICA DE AL-JUARISMI
LA ARITMÉTICA DE AL-JUARISMI
77

LA PALABRA «GUARISMO»
Finalmente, otra de las palabras que proviene direetamertte d
nombre de al*Juarismi es la de «guarismo», la cual solo
casteilano y, en la actualidad, está bastante en desuso. Como Se h
visto con Miguel Jerónimo de Santa Cruz, el término «guarism
asumió el significado de cifra y muchos son los ejemplos qUe^
corroboran, sobre todo a partir del siglo xvi. Juan Pérez de Mo °
(ca 1612-1596), por ejemplo, escribió en 1689: ya
En guarismo se pone d’este modo: 12; en castellano se pone as9{
XII.
Sin embargo, Pérez de Moya también utilizaba «guarismo»
para referirse a la nueva aritmética indoarábiga:
Podrá usar de ios caracteres que le pareciere, ya sean zeros, ya sean
caracteres de música, ya de cuenta guarisma.
En los mismos términos se había referido el portugués Fran*
cisco Falero (m. ca. 1675), quien en su Tratado de la esphera y el
arte de marear (1536) habla de las «Reglas para aprender a contar
de guarismo». Eln esa época no hubo ninguna distancia semántica
entre guarismo y algoritmo, y si Luis Collado de Lebrija (m. 1602)
hablaba de las «reglas de guarismo» (1592), Andrés de Poza (ca.
1630-1596) escribía en 1585:
Están los nombres de las estrellas con un guarismo, uno o dos, el
qual guarismo significa que la estrella es de primero o segundo
grandor.
Finalmente, un ejemplo más muestra con claridad cómo e!
resto de idiomas no copiaron el «guarismo» casteilano. En 1613,
Diego de Ufano (m. 1613) publicó su exitoso Tratado dela artiüeria
y uso della platicado, donde se dice:
[...] las docenas van señaladas por cifra de cuenta guarismo [—]•
78 IA ARíTMÉ-nCA OE AL-JUARISMI

CAPÍTULO 3
El Álgebra de al-JUarKnii
Una de las contribuciones más destacadas de alí
fue la de demostrar geométricamente todas las reri'1
servían para resolver las ecuaciones cuadráticas Yari
tiempos mesopotámicos, los matemáticos supieronbT
fórmulas que resolvían la ecuación de segundo grado oe
fue alJuarismi el primero que, basándose en las obraT
geométricas griegas, supo argumentar por qué razón dichas
fórmulas funcionaban. Los argumentos de suÁlgetm
fueron copiados durante siglos en los tratados árabesy
europeos y aún están vigentes hoy en día

Además de la ya explicada introducción del sistema posicional dedmal
indio, al-Juarismi también fue el autor de un tratado de álgebra
que cambiaría la historia de las matemáticas. La razón de la impor-
tancia de su obra es que, por primera vez, sediouna demostración
geométrica para la resolución de las ecuaciones de segundo grado,
es decir, de las ecuaciones del tipo ax2 + bx+x - 0. Como es bierí
I sabido, este tipo de ecuaciones se resuelve mediante la regla que se
muestra a continuación:
2a
De esta manera, si el resultado del radicando de la raíz cuaorada,
Uamado «discriminante» y representado por A=b2 - 4ac, es
Positivo, entonces la ecuación üene dos soluciones. En cambio, si
núíner^0^'i^ ecuaci<-*n no ^ene solución ya que no existe ningún
negativo^ s Sea so^uc^n de 11113 Ta*z cuadrada de radicando
solución ^ ^ ^01^1311^ es cero, la ecuación tiene una única
cióuen la ^los numeros negativos no hicieron su apari-
I y> Por tanto ^ de 133 matemáticas hasta bien entrado el siglo xvi
^Pfecedierc)111 ^~.^uariSrni 111 iunguno de los matemáticos que
de la historiaLeT^6100 ^ cuenta estas consideraciones. Dentro
e 33 malemáticas, las únicas soluciones posibles
EL ÁLGEBPA OE AL-JUARISMI

de una ecuación eran las positivas y estaban relacionadas c
blemas reales de la vida cotidiana, °n
BREVE INTRODUCCIÓN A LA HISTORIA DEL ÁLGEBra
En el antiguo Egipto, los únicos problemas de álgebra qUc Se h
conservado están recogidos en un número muy timitado de pa! han
como el papiro de Rhind, que ofrecen una panorámica muy ciaraT
estado de ia cuestión a mediados del siglo xix aC. Ei textn u-
.... . . ,
podna ser una especie de tibro de matematicas de la época, uu
su serie de problemas algebraicos con los siguientes:
1. Una cantidad y su séptima parte añadida es 19. ¿Cuál es la
cantidad?
2. Una cantidad y su mitad añadida es 16. ¿Cuál es la cantidad?
3. Una cantidad y su cuarta parte añadida es 15. ¿Cuál es la
cantidad?
4. Una cantidad y su quinta parte añadida es 21. ¿Cuál es la
cantidad?
Pensando en una matemática poco académica, ¿cóino se podía
resolver im problema como cualquiera de los anteriores sin haber
ido a una clase de matemáticas rigurosa como las que se imparten
en la actuaiidad? Una de las maneras que históricamente han
funcionado mejor para resolver este tipo de probiemas es suponer
que se sabe la solución e ir probando. Por ejemplo, en el caso del
segundo problema del papiro de Rhind, el escriba probaría si la
solución es 2. Si a 2 se le añade su mitad, es decir, 1, el resultado
es 3 y el escriba en seguida se daría cuenta de que tendna que
probar con un número mayor, ya que su aspiracíón era obtener 16.
Si probaba con el 4, el resultado era 6. Con el 10 obterna 15 y con el
12 obt.enía 18. Por lo tanto, la solución debía estar entre ei 10 y
el 12, y con el 11, obtenía 16,5... se pasaba. Así, los antiguos egipcios
se dieron cuenta de que el método consistía en algo parecido 3
sia;=2, entonces
2*r“.
A 3 = 16 => x = 2-— 32
Para el resto de problemas, el escriba empezó siempre con
un valor hipotético que era capaz de dividir, y luego cuadraba los
resultados para conseguir el resultado correcto:
3 ’
a:+- = 19=>7+- = 8=>ar = 7— = —
7 7 8 8’
^+^=15=>4+í = 6=>ar = 4~ = 12,
4 4 5
tf+^ = 21=>5+- = 6=>a: = 5~= —
5 5 6 2'
Nos encontramos un razonamiento parecido en el papiro de
Qrítamos una mitad y un cuarto y quedan 6. ¿De qué número habla-
Supongamos que es 1 la cantidad (...j.
^iesuiíado es 1/4 Si e¡ número es el 1.
Entonr^ ^ es 4 ■ ^ *= 1 si el número ñiese 4 1=4.
Asf eS ^ es 5 -1 = 5 si el niimero fuese 5 • 4=20.
Ia cantidad propuesta es 20.
84
ELÁLGEBRA DE AL-JUARlSMI
EL ÁLGEBRA OE AL-JUARISMI

EL PAPIRO DE RHIND
El papiro de Rhind es el texto matemático egipcio más Importante que ha
hasta nuestros días. En el año 1855, Alexander Rh.nd (1833-1863). un joven afe°
escocés, desembarcó en Luxor buscando un chma más propicio para Su d«S 0
salud. Con el tiempo. se interesó por la arqueología y empezó a participar 'nCdQda
cavaciones en la necrópolis de Tebas. La Nstona explica que Rhind compr¿ £
serie de documentos rescatados del templo funerano de Ramsés II a un operal ?
ta excavación y... ¿quién le iba a decir a Rhind que estaba delante del documem
matemático eg'PCio más importante hallado hasta el momento? Actualmente
conserva en el Museo Británico de Londres y sus casi 5,5 m de longitud POr 30'Se
de ancho contlenen...
La introduccíón en el conocimiento de todas las cosas reales y de todos los oscuros
secretos. Este libro fue copiado en el año 33. en el cuarto mes de la estación
de las inundaciones. bajo la majestad del Rey del Alto y Bajo Egipto Apofisi
[s. xvii a.C]. dotado de vida. siguiendo los escritos antiguos de la época del Rey
del Alto y Bajo Egipto Amenemhat III [s. xix a.C.].
Asimismo, su autor firmó para la posteridad que fue «Ahmes quien copió el escrito».
El papiro contiene 87 problemas matemáticos y sus correspondientes resoluciones
en escritura hierática, ademés de una tabla de descomposiciones de fracciones de
numerador igual a 2 en suma de fracciones de numerador igual a 1:
5 3 15
2.1+-1.„.
7 4 28
Además de los problemas algebraicos, el papiro de Rhind muestra cómo los antiguos
eglpcios calculaban áreas y volúmenes de figuras planas y del espaclo, respectivamente.
E! área de un rectángulo, por ejemplo, se calculaba mediante la conocida
regla de la base por altura, como en la actualidad. Igualmente, el área del triángulo
. de la base por su altura. No obstante, el área del cirr,,
. ia m'tad . 5ecreto» ya Que, al no conocer la existencia dp ? ° sí ^ escon^
Í ¡dear una regla cuyo resultado da
íir‘>l'caPl A-*r2- La regla consl5te en e»raer una novena sprox'mad6ñ
l »c°nin v multipl'car el resultado por sl m|5mo. Es dec¡r> Parte de| d¡ém^n
circU,° y
_ pI radio aei —- ■ - — — aMroximación **>/ ,CA,n
& pnmeros valores que tomú el número , en la historía8' ',6049382-
W "n0„L problemas que se recogen en el papiro de Rhind son los a„. ,
jfpsrtos alimentos, que era una medlda de calidad de los produ^ Ula" sl
También hay problemas
sobre progresiones
geométricas,
el cálculo de
la pendiente de las
caras de una pirámide...
y todos
el'os resueltos con
reglas muy intuitivas
que dejan
al descubierto los
razonamientos de
las mateméticas
egipcias del m milenioa.C.
u _ número de piezas del productn
P ~ cantidad de producto *
reso*Verl°’ Ahmes supuso que en lugar de estar busna.fraccion
relativa a la unidad, tenía que hallar un rede
15 es ^a^Vo a 15. Por lo tanto, como 2/3 de 15 es 10 y 1/15
^hsecuent^ CCUacion Pr°puesta se convierte en x+10 +1 = 15 y,
resültado r ^mente’ e* número buscado es 4. Pero se quería un
e atrvo a 1 (y no a 15), con lo que el resultado final es
ZLÁLGEBBA DE AL-JUARISMI
EL ÁLGEBRA OE AL-JUARlSM*

(los antiguos egipcios solo consideraban las fracciones d
rador igual a 1 y la 2/3). e n^e-
E1 método de suponer una solución conocida se identiü
el nombre de «regla de la falsa posición» y fue, sin duda, u^aC°n
digma del álgebra no simbólica en todas las épocas y civiüzaciPai^
incluida la mesopotámica Sin embargo, los escribas de la anti***
Babilonia dieron un paso más y fueron capaces de resolver
mas de ecuaciones lineales del tipo
ar+2/»1800
r-r-500
E1 algoritmo de resolución consistió en la introducción de una
nueva variable equivalente a z- X~y/¿-Como ^+^ = 900, se tie
nequear=900+«e^=900-2: y, sustiüuyendo en lasegundaecuación;
|(900+z) - i(900 - z) - 500 => z « 300 => \X
3 2
ar-1200
y * 600.
En la antigua Mesopotamia también se resolvieron ecuaciones
de segundo grado y, pese a que no se han encontrado fómiulas de
resolución como las actuales, todos los escribas seguían las mismas
reglas. Por ejemplo, en una tablilla de arcilla que se consern
en el Museo Británico:
He sumado el área y un lado de mi cuadrado: 3/4.
Pon 1, la unidad. Divídelo por Ia mitad: 1/2. Multiplícalo por 1/2:1/4.
Suma 1/4 a 3/4:1. Este es el cuadrado de 1. Réstale 1/2:1/2, que es el
lado del cuadrado.
En el lenguaje simbólico actual, la ecuación propuesta es.
2 3
X +x~—.
4
Y antes de seguir adelante, hay que señalar dos aspectos que Pueden
ayudar a comprender la evolución del álgebra:
, sín el descubnmiento de ios números negativn.
sido imPoslb,e simpbflcar la resolución de * “biese
0 conlaactualfórmula, ecnación
r -b±yfb2 ~4ac
En su utilización, los coeficientesa,bycpueden serr. .
positivos como negativos. Entonces, ¿cómo se dZZT
una ecuación simiiar en un mundo sin números neJZT
Si ia ecuación fiiese, por ejemplo, ^+.'ic_15=0
16, sumando ai segundo miembro, se obtendría&í+soa;- h
Ia cual tiene todos los coeficientes positivos. Del
mo modo, 2z?-30x +15=0 se convierte en 2a?+15=3(b.
-2r430r+15=0 en 3to+15=2a?. Porlo tanto, un malemáü
co sin números negativos estaba obligado a aprenderse tres
reglas de resolución:
ax +bx-c
2a
ax2+c-bx=>x-
-b±\Jb2+iac
2 a
ax2-bx+c=>x-^b!+4ac.
2 a
Aüora^ienjijémonos en laprimera de las reglas. Como
b + 4ac es negativo, la solución de la ecuación sería
egativa, Por lo tanto, las reglas deberían tener en cuenta
508 resultad os puede ser negativo y que, en
ías regl es mayor que el sustraendo. Así,
ax2+bx = c=>x-yb +4a€~b
2a
Q& +c — bx x
b±\/b2-4ac
EL ÁLGEBRA DE AL-JUARISMI
EL ÁLGEBRA DE AL-JUARI5MI

ax2 - bx+c
2a
g^eselcuadradodel. +c
¿Y por qué razón no había una regla general par
ax2+bx+c- 0 con los tres coeficientes positivos? aj
ner que darse una solución x positiva, el resultado de
ax2+bx+c siempre es positivo y, por lo tanto, no tiene
demasiado sentido plantearse cuándo es igual a cero.
2. En el contexto de un álgebra no simbólica, tampoco tuvo
mucho sentido plantear problemas con a,byc enteros, ya
que todos los cálculos se hacían directamente sobre los números
propuestos y, posteriormente, se iban siguiendo los
pasos marcados por la regla. Por este motivo, en todas las
reglas, se dividía la ecuación propuesta por el coeficiente
a, de modo que se podía considerar que a -1:
yjb2+4c -b
x2+bx~c=>x-
géstale 1/2:1/2, que e1 lad° del cuadrado. jfbf^ b
¡éjs aidiguos mesopotámicos no dudaron en incorporar laa
enJciones de segundo grado a srstemas de ecuaeiones rela«£
¿ con áreas de ctertas figuras planas y, de este modo, no^
¿n‘iainosCOnSÍStemaSdel P°:
Í2^ + (a:-í()-183 f1 +!/2+£ “ 1400
x-y-\o
x+y-27
y-x-io
En el caso de la última de las tres, el escriba procedió con las
sustituciones 2/=2+10y;r=2/+10=2+20, derivadas de la segunda
y tercera ecuaciones, en la primera*
b±yjb -4c
x2+c-bx=*x-
2
x2 «bx+c
b ±
2
b
2
(z+20)2 + (z+ 10)2 + z2 -1 400 => 3a2+60z - 900.
En este caso, la regla utilizada no sigue ninguna de las tres
anteriores, ya que es eqifivaJente a
En la resolución mesopotámica de x2+x - %, en la que 6=1
yc-%, el escriba siguió los siguientes pasos:
Pon 1, la unidad. b
del ^°S m^°^os resolución de las ecuaciones no estaban
^todo estandarizados y, probablemente, cada escriba tenía su
pi° ^Soritmo según sus habilidades. En este caso,
Divídelo por la mitad: 172. -
2
Multiplícalo por 1/2:174 (
\2/
Suma 1/4 a 3/4:1. (~)\c
\2/
oz2+2fiz - c => x
cabes^?)oner sublime punto flnal al álgebra mesopotámica,
I do tajnp0 ^ ^Ue resolución de ciertas ecuaciones de tercer gra-
0 fue un problema alrededor del siglo xix a.C., ya Que 1*
90
ElÁLG£8RA DE Ai-JUARISMI
EL ÁLGEBRA OE AL-JUARISMI
91

resolución de las ecuaciones cúbicas no se produjo h
Media en el mundo árabe, y hasta el Renacimiento en e* ^ E(lad
dental. En una tabliUa de arcilla de esta época aparece Jf0l)a °ccj.
equivalente a la resolución del sistema de ecuaciones- Pr°bler^
xyz+xy^l
y * f x =>x*
z-l2x
7^
48'
Los mesopotámicos calculaban largas series nu & •
guiendo un mismo patrón y, en este caso, im escriba^K038 si'
basado en la tabla e ^biese
x xP+x1
113+12=1 +1=2
2 23+22=8+4 = 12
3 3s+32=27+9=36
4 43+4a=64 +16=80
5 53+62= 125 + 25= 160
6 e^+6^216 + 36^252
* > .j . „ j
ji_i- ^-c
^_l_» L giT>wj>lu,^g •
Entonces, para adaptar la ecuación a los cálculos realizados,
se realizaba el cambio de variable x = Y^U'.
u3 + u2~ —-12n=252.
48
Según la tabla, uz + ii¿ = 252 implica que u = 6y, por lo tanto,
Es muy difícil precisar cómo, hace cuatro mil años, se Uegó
hasta este grado de sofisticación matemática, pcro estamos, sin
92
EL ÁLGEBRA DE AL-JUARISMI
EL ÁLGEBRA DE AL-JUARISMt
93

duda, en un momento trascendente en la hjstoria de la Cien .
Probablemente, el sistema de numeración sexagesimal babilj’1
el cual permitía rápidos y ágües cáiculos, fue uno de los detonaT'
que impulsó a que la matemática babüómca diera un paSo qu„7
fue recuperado hasta el siglo xn.
x+y+z+t- 9900
y-x-~x
z-(x+y). 300
í-(ar+2/+s).3oo
EL ÁLGEBRA EN LA ANTIGUA GRECIA
A tenor del legado conservado en la actuaüdad, se puede afirm^
que el áJgebra eramotivo de estudio en las antiguas escuelas grje
gas y, como en los casos precedentes, estaba relacionada con
problemas geométricos o de la vida cotidiana. Por ejemplo, en un
papiro datado en el siglo n d.C. se lee:
Hay un triángulo rectángulo en el que la altura y la hipotenusa suman
8 pies y la base mide 4. Hemos de buscar la altura y la hipotenusa
por separado.
Las encontraremos como sigue. E14, por sí mismo, da 16. Divídelo
por 8, y da 2. Resta el 2 del 8, y queda 6. Su mitad es 3. La altura será
3. Ahora, resta 3 de 8 y queda 5. Por lo tanto, la hipotenusa es 5 pies.
E1 cálculo realizado se corresponde con:
Si llamamos o a la hipotenusa y b y c a los dos catetos del
triángulo rectángulo, el enunciado del problema da b = 4 y o+c=8,
y se calcula:
1 ^ „ b2 \ a2+c2+2ac-b2 b2+c2+cz+2ac-b2 ^+ocmC
2\ a+c) 2a+2 c 2a+2 c cl+c
Además de este tipo de problemas sobre triángulos rectángulos,
los griegos también resolvieron ecuaciones y sistemas de
ecuaciones del tipo
u resolución parte de la mtroducdón de unavariable amdliar
J „ue sunplifica el denommador, paraterminar deduZT
^ í - 8«, r?=15“ + 300 y J=30“+600 de la segmda, tercera y cua!
ciones. Sustituyendo estas cantidades en la primera, se ob-'
150y, P°r lo tanto, 1050, y= 1200, a=2550 y7=51M
° Oíro tipo de ecuaciones que se empezó a tratar en el periodo
fueron las ecuaeiones y los sistemas de ecuaciones indeterrttadas,
estudiadas por Diofanto en su Aritmética. No obstante,
dpriniersistema de este tipo que se conoce se debe a Aiquímedes’:
Calcula, amigo mío, el número de cabezas de ganado que había una
vez por Jos valles de Sicilia, divididos en grupos de acuerdo con su
colon uno de blanco como la leche, uno de negro, uno de moteado
y uno de amarillo. E1 número de bueyes es superior que el de vacas
y ías relaciones entre ellos son las siguientes:
■(Bb*
.(i.ljrr.w
X+Y-s2
W + Z = T(n+1)
.(i.i)n.,)
■(i*i)(z*'>
■(B)<,**’>
,(l*i)(r«)
94
EL ÁLGEBRA OE AL-JUARISMI
a ÁLGEBRA
DE AL-JUARISHI

En este planteamiento, Xyxson el número de bueyes v
blancas, respectivamente; Yey,eI de bueyes y vacas negra ^
z, el de bueyes y vacas moteadas; y W y w, el de bueyes y J.2y
amarülas. E1 problema original de Arquímedes debió acabarse^^
y se cree que, posteriormente, se añadieron las dos condici ^
siguientes, donde sy nson dos números por determinar.
medes resolvió su sistema por el método de sustitución y tetm
encontrando que 891Z- 1580W, con lo que la menor soluCjQ ^
problema es Z= 1580 y W= 891. Si se sustituye en el resto de vJJ
bles, el resultado final depende de un cierto valor mdetermin&fot
x,2226* K = 1602* Z,imk w ^
602/c)
«- 2Ó^+1 B80k'>
Z~^W+89U)
13,
W~42 (x+2226k)
DIOFANTO DE ALEJANDRIA Y SU «ARITMÉTICA»
De la figura de Diofanto no se conoce casi nada, aunque está comúnmente
do que su vida transcurrió en el siglo m d.C. En la tradición griega, un epigrarr
ta que vivió un total de 84 años.
Su infancia duró una sexta parte de su vida;
su barba le creció después de una doceava parte más;
se casó después de una séptima parte más,
y su hijo nació 5 años después;
el hijo vivió la mitad de la vida de su padre,
y entonces el padre murió 4 años después de su hijo.
Es decir, si x representa el número de años que Dlofanto vivló:
De sus obras, solo han Jlegado hasta nuestros días los seis primeros libros de la Aritmética
(de Ios trece originales) y un fragmento de De /os nümeros poligonales. La
famosa Hipatia de Alejandr/a (siglo v) fue la primera comentadora de la Aritmética.
aunque el hecho de que su obra se limitara a estos seis primeros libros pudo deberse
a su prematura muerte en el año 415. En el siglo x, los comentadores árabes también
se dieron cuenta de la importancia algebraica del tratado, y lo mismo ocurrió con el
bizantino Georgios Pachymeres en el siglo xin. Regiomontano descubrió la Aritmética
en el Renacimiento, y de ella dijo, en una Oratio escrita en el año 1463 como introduccion
a un curso de astronom/a de la Universidad de Padua:
Nadie ha traducido aún del griego al latín los trece libros
de Diofanto en los que
se esconde la flor y nata de toda la aritmética, el ars reiei
tcensus quehoyconocemos
con el nombre de «álgebra».
Alrededor del año 1570. el boloñés Rafael
Bombelli encontró on segundo manuscrito
dela Aritmética dividido en siete libros, de
los que tradujo al latin los cinco primeros,
juntocon Antonio Maria Pazzi. Aunque nunca
publicaron el trabajo, Bombelli utilizó
muchos de los problemas en la redacción de
su Álgebra (1572). Finalmente, en 1621 ClaudeGaspard
Bachet de Méziriac publicó la
edición que, posteriormente, se convertiría
en la más común y popular en Francia, junto
con la traducción latina.
Uno de los grandes rasgos de la Aritmética
de Diofanto es el uso del álgebra simbólica
Por pnmera vez en la historia. A las incógnias
e las ecuaciones las llamó arithmos
wumeros») y en |as ediciones impresas se
la JPí?Sentada por 'a s'9ma gn’ega final de
la inp3 Fa arithmos' 5’- Para las potencias de
rfnita‘ también utilizó un sis-
¿v e n°tación inédita hasta el momento:
a^vS6ntaba el actoal **; K\ a AYA.
•AK-a*5;KYK,a*« etc.
diophanT)
alexandrini
ARITHMET1C0RVM
UflRI SEX
cr bc Nr.urirj AMtrjwijrLij
nni" rnrj^
7(—
Ctmmavnt ty*.
■ AtfíTOf! 1UIHTO
LVTETIAñ PARISIOKVM.
ipubci S(1IA»T»4»I C»A»0«>T-
Iicobct.fcbCiwaiá .
aí. dcTxxí
ctm 7*¡ru*6jo
96
EL ÁLGEBRA DE AL-JUARISMI
elAlgesímdeal-juarismi
97

Para conseguir una solución que no sea fraceionaria, y
el resultado son cabezas de ganado, es necesario que k se ^
múltíplo de 4657 y, por lo tanto, k=4657K, donde K es otro cf ^
número entero indeterminado. Con todo, el total de anfrnaiJe,to
campaban por Sicilia era de 50389 082ÜT. Solo como dato s^e
tienen en cuenta las siguientes dos condiciones, el resultadó
no puede tener menos de 206500 cifras, con lo que se reafirrrui
esta idea no estaba en la cabeza de Arquímedes. que
Con Diofanto, las ecuaciones indeterminadas iniciaron su
dadura oficial (por ello se las conoce también como «ecuaciones
diofántícas»). Por ejemplo: ¿Existen dos números tales cuya dife.
rencia, elevados al cuadrado, sea 60?
Una primera manera de proceder seria ir probando con di.
versos números y ver hasta qué punto es posible haliar una respuesta
afirmativa- 12=1,22=4, 32=9, 42 = 16, 52=25, 62=36,7^=49
82=64, 92 = 81... Es evidente que 82-22 = 64-4 = 60. Sin embargo*
¿hay más parejas que cumplan 'esta propiedad? Diofanto planteó
que el menor de los dos números sea una cantidad desconocida, a
la que llamaremos x, mientras que el mayor es x+m, donde m es
la diferencia entre ambos. Por lo tanto,
(x+m)2-x2 =6 0,
x*+m2 + 2xm-x2 -60,
Wiz+2ara-60,
60-ra2
x =-.
2 m
Ahora, dando distintos valores a la diferencia ra se pueden ir
obteniendo distintas parejas cuya diferencia de cuadrados es 60:
60-9 51 1
—¡r-r-8+i:
062
60-16 44 1
~8~'T"5+2!
£+ra-ij+¿
*+ra»9+i
2’
niofanto eligió el caso m=3y calculó (U+I| -(s+Ií.eo
3Unque hubiese podido calcular mfinitud íle
“ por disttntas fraccrones. Por esta razón, este üpo de nro-
“Las son indeterminados, ya que tienen infinitas soluciones
dependiendo de un cierto valor, en este caso m. En esta línea,
Diofanto resolvió multitud de problemas cuadráticos, cúbicos...,
todos ellos con valores indeterminados en sus sohiciones. Todos
estos problemas fueron muy conocidos en el mundo árabe y, por
ejemplo, el egipcio Abu Kamil (ca. 880) se dedicó a investigar
para qué valores del número x la ecuación -£*+2bx+c es igual a
un número al cuadrado.
Por lo que respecta a las ecuaciones cuadrátícas propiamente
dichas. su resolución detaUada debió de quedar en uno de los
libros que no se han conservado, aunque a partir de las explicaciones
dadas en el prefacio de la Aritmética, se puede deducir que
Diofanto también trabgjaba con tres reglas básicas:
ax* + bx-c=>x-~tb+'lA?.+i
a
2 . ife + \/l62 —qc
ax +c-bx=>x-~——-,
a
2 . ^b+^\b~+ax
ax ~bx+c=>x»2——-.
ra-1 ^60-1^.60-1.59^9^
2-1 2 2 2
ra-2 *.60-2^60-4_56_14
2-2 4 4
x+m = 30 + -»
■ x+m** 16)
Ecuación cuadrática en la
índia>r^It'eraS referencias a la ecuación cuadrática en la antigua
,/emontan a diversas resoluciones de problemas geométricos
38 en los siglos v-m a.C. Lejos del ámbito geométxico, el autor
EL ÁLGEBRA DE AL-JUARISMl
>Ü.Gf®MOEAL-JUARtSMl

del manuscrito Bqjshaü (ca. siglo n d.C.) también era conoeed
la fórmuJa de resolución de las ecuaciones de segundo grado°r(ie
uno de los problemas que resolvió planteaba que una person
minaba a una cierta velocidad constante de 5 yokana cada áL ^ I
cabo de seis días, otra persona salió a darle alcance de modo^ ^
ei primer día anduvo 3 yotona, el segundo anduvo 3+4-7 yohT*
el tercero, 7+4 = 11 yoharm, y así sucesivamente. E1 enunciad
equivalente a resolver la ecuación 4^-8r=60, que, efecüvamenr 1
arroja un resultado de x=5 días. ,
Ya en el siglo v, Aryabhata I se dedicó a hallar el número d
términos de una progresión geométrica mediante la sigU|ent^ ¡
regla:
I
La suma de la serie multiplicada por ocho veces la diferencia común
es sumada al cuadrado de la diferencia entre dos veces el primer
gOUlVALENClAS DE LA ECUACIÓN CUADrAtica
, , aparición de la ecuacíón cuadrática en la histon, .
pstado muchas veces ligada a problemas de hallar ^ > mateátiCas
«noce su producto y tembién su suma „ diferencij 1« »
dos números cuya suma es 8 y cuyo producto es K ° íí"1*'s¡ buScam*
auiente sistema de ecuaciones: * ál9ebra p|ant€a e) J
x+y-8
Cabe notar que, con ei planteamiento dado, s¡ s es i» Suma dos .
a y a yP.su producto. entonces la ecuaciónx^-Sx+P-ono W tldades
una de las cantidades a, o a2 En efecto. si x=a, y x=a2 han
ne5 de la ecuación, se cump ,rá que x-a,=0 y x-a2=ó.
ambas expres.ones son .guales a cero. también lo será su producto
término y la diferencia común; la raíz cuadrada del resultado es di$.
minuida en dos veces el primer término y, entonces, dividida por ia
(x-a,)(x-a2)=0.
diferencia común. La mitad de esta división más la unidad es el nú-
mero de términos.
(x - a,)(x-a2) - x2 - a2x-a,x + a,a2 - xJ-(a,+a2)x+aA - x^-Sx+P-o.
Es decir, dada Ia suma S de los n primeros témünos de una
serie aritmética cuyo primer término es a y la diferencia es d, el I
número de términos que se han sumado es igual a
Del mismo modo, si lo que se tiene es la diferencia a3-a =D además de su
producto P, entonces la ecuación que se obtiene es x2+Dx-P=0, de manera
que la fórmula que la resuelve es igual a
En el comentario que Bhaskara I hizo del mismo Aryabhatiya
de Aryabhata I, también se expone cómo se encuentran dos cantidades
de las que se conoce su producto y su diferencia:
Multiplica el producto por cuatro, entonces añade el cuadrado de la
Es decir,
x~y = d JTp + dF+d Jíp+dF-d
-ey-~-íí-•
diferencia de las dos cantidades, y toma la raíz cuadrada Auménta-
la con la diferencia de ambas cantidades y disminúyela con lo mismo-
Los resultados obtenidos, divididos por 2, dan los dos factores del
producto buscado.
cua(|BrahrnagUpta (598~67°) también se preocupó de la ecuación
ca, dando dos reglas para su resolución:
100
EL ÁLGE8RA DE AL-JÜARISMI
EL Algebra DE AL-JUARISM.
101

La cuadrótica: las cantidades absolutas muJtiplicadas por Cu
ces el coeficiente del cuadrado de la incógnita son üicreme ^
por el cuadrado del coeficiente del medio; la raíz cuadrada del'^38
4a (ojr2 + 6ar) - 4ac 4o V+4air , ^
ia'V +4abx+b* - 4ac+62 => (2a*+i>)’_4(M+6¡
tado es disminuida por el coeficiente del medio y di\idida po^
veces el coeficiente del cuadrado de la incógnita, y ese es el vai^ 08
2ax+b-y¡4ac+bz
laincógnita.
La segunda es:
EU término absoluto multipücado por el coeficiente del cuadrado de
la incógnita es incrementado por el cuadrado de la mitad del coefi
ciente de la incógnita: Ia raíz cuadrada del resultado es disminuida
por la mitad del coeficiente de la incógnita y dividida por el coeficiente
dei cuadrado de la incógnita, y ese es el vaior de la incógnita.
un dato interesante que también se ha de meneionar « m
en |a India del siglo «, Mahavira fue el primer matemátieo « Z
* cuenta de que las ecuaciones del tipo o^-x+c=otenían“^
¡oluciones. Los estudios aJgebrmcos de Mahavira fueron muy
tacadosy planteó ecuaciones con radicales como x-pj¡¿mr
equivalentes a la cuadrática, cuya solución viene dada por
Es decir,
p+Ja* + —
x-Q V Q
ax2 +bx-c=>x
Mediante estas regias, Brahmagupta también resolvió ecuaciones
cuadráticas en ciertos problemas astronómicos, obteniendo
resultados idénticos a los que la tradición de los Siddhantas habían
estabiecido entre tres y cuatro siglos antes.
Una úitima resolución peculiar para la ecuación ax*+bx=c
se encuentra en la obra algebraica perdida de Sridhara (siglo vm),
que fue copiada por Bhaskara II en el siglo xn:
También fue Mahavira quien consideró ciertas ecuaciones de
grado superior del tipo axn=co o(ar"-1)=S(x-1), donde a era el
primer término de una progresión geométrica, y S, la suma de sus
piimeros n términos. Por ejemplo, en una cierta progresión geométrica,
el primer término es 3 y la suma de los primeros 6 términos
es4095. Entonces, si x es la razón de la progresión:
j*6 _ 1
3 —— - 3(a;6+a:4+o:3+a:2-i-ar+l)-4 095.
Multipüca los dos lados de la ecuación por una cantidad desconod-
da igual a cuatro veces el coeficíente del cuadrado de la incógnita;
añade a los dos lados una cantidad desconocida igual al cuadrado
del coeficiente originaJ de Ia incógnita: extrae la raíz cuadrada.
r ^ri^vira rediyo la ecuación a a-6 +x* +3? +x* +x+1=1365. pasó
^1364° e* 1 y comprobó que la razón buscada ha de ser un divisor
Por lo tanto,
x [x* + x3 + x2 +1) -1364.
ax2+bx=c,
con el 4 e iteró el algoritmo:
102
EL ÁLGBBRA DE AL-JUARISMI
EL ALGEBRA OE AL-JUARISMI
103

EL ÁLGEBRA DE AL-JUARISMI
E1 Libro concreío del cálculo del álgebra y la muqabala (al-kitab
ai-mujtasar fi hisab al-jabr wa al-muqabala), es decir, delares- i
tauración y la oposición, es la gran obra matemática de al-Juarismi i
si se tiene en cuenta su repercusión, tanto en el mundo árabe como !
en el Renacimiento europeo. Ei Álgebra fue escrito en tiempos del i
califa al-Ma’mun, a quien está dedicado, alrededor del año 820.
E1 titulo de la obra se basa en dos palabras. La primera de
ellas es, justamente, álgebra, cuyo significado viene a ser «restau* ¡
ración» o, lo que es lo mismo, la transposición de los términos de
una ecuación. Por ejemplo, si se tiene que resolver ktf-bx+7=15,
mediante el concepto del «álgebra» se tiene que
4#2-5a7+5a7+7 = 15 + 5a;,
4^+7=15 + 507.
Por otro lado, la muqabala u «oposición» (también <<re£^
ción»), es la encargada de reducir la ecuación, simplificanJo
términos homólogos: 4oc2=8+5x.
Bn la Edad Media, la primera pane de la 0bra t,,p .
en como mimmo tres ocasiones. U prúne» ^cida a,
“fLiés Robert de Chester, en Segovia, aJrededor
e gmás tarde, Gerardo de Cremona hizo u nr„ del 1146.
^faffibuye ia tercera al también italianc gLí!!° Toledo.
Üglo xm). Su circulación en la peninsula Ibérica dio Lunis
í oue del al-jabrse pasara a la palabra áigebra nanT re9Ul‘
^uractóu» de términos, aunqueenunprimermon^t?'3113
gcado se ümitó al ámbito médico. B, efecto, en la ^
0bra m ingenioso huMgo Don Quijote de la Mancha deZ, ,
Cervantes (1547-1616), un «algebrista» ea el enear^o decurar
, un pobre hombre que recibe una paiiza del protagoniatayS
nn gran número de huesos rotos. Por otro lado, en el castellano de
los sigios xvi y xvn, ia paiabra álgebra también adoptó el signilicado
de «alcahueta» y, por ejemplo, fue utüizada en este sentido por
fYancisco de Quevedo (1580-1645) en La vida delBvscón.
E1 libro está estructurado en tres partes: la prúnera trata Ia
resolución de las ecuaciones de primer y segundo grados propiamente
dichas, la segunda aborda problemas de geometría, y en Ia
tercera se resuelven aigunos problemas de testamentos y herencias.
Al-Juarismi considera tres clases de números: raíces o cosas,
cuadrados y números aislados:
La raiz es cualquier cosa [...] que se pueda mukiplicar porsí mismay el
cuadrado es la raíz multipücada por sí misma, y el número es cualquiera
expresable como tal sin ninguna relación con la raíz y el cuadrado.
Con estas tres clases de números, se pueden formar las ecuaciones
que al-Juarismi pretende resolver:
Cuadrados igual a raíces xj'-px.
Cuadrados igual a números
Raices igual a números Px=í*
La primera de ellas se resuelve mediante la regla subyacente
(aKJuarismi n0 considera posible la soluciónr=U
Poco las soluciones negativas):
deaL.juarismi

Un cuadrado es iguai a cinco veces la rafe, entonces \a ra¿
drado es cínco y el cuadrado es vemücmco, que, efectivarn^
cxnco veces la raíz.
bre estó treinta y nueve y da sesente y cuaóo, M|cuja5larah
£* » 0ch0’y 16 reStóS U mtaa deI«e ^2 2
Además, siempre que el coeficiente del cuadrado no sea \ h
que redurirlo. A1 Juarismi pone el ejemplo de^x^ 4r, que ^
te en **= iar. cuyo resultado esar= 12, y también &,■*=lfe. que w'
tsdecir, --
X>+1to“39=>x = y(y) +39-y-J64-5.8-6,3.
vierte enx*=2x, * resultadotr=2. Evidentemente, y comoSepuJl'
observar, al Juarismi no usa rnngún tipo de álgebra simbólica y J
Ijrnjta a describir tódos los procesos y eálculos a lo iargo de su Ubro
Pararesolveríf=g, al-Juarismi concluye quex-^y^
+í-|.
los ejemplos:
Juarismi también plantea el caso en el que Ios cuadradoa
tjenen coeficiente y, como antes, reduce las ecuaciones al caso
xz = 9 x = \¡9 «= 3,
anterior
5x2 - 80=>ar2- — »16=>a7 = %/Í6 -4,
5
—x2 =18=> x2 x — >/36 = 6.
2
2xz + 10:r - 48 => a:2+5ar - 24 => a; - 3,
—x2 +5x — 28 x2 + lOar» 66 => x ■ 4.
2
La resolución de los «cuadrados más nümerosigual araíces»
Finalmente, la ecuación px= q tiene como resultado x »
V
Tras estas tres primeras reglas, al-Juarismí aborda la resoludón
de Ias ecuaciones cuadráticas, que incoiporan tanto números,
como raíces y cuadrados:
Cuadrados más raíces, igual a números x?+px=q.
essimilar
¿Cuál es el cuadrado que cuando sumas sobre él veintiún dirhams
da lugar todo ello a diez de las raíces de dicho cuadrado? Lasolución
está en dividir por dos las raíces, y resulta cinco, lo multiplicas por
sí mismo y da veinticinco, restas el veintiuno que está con el cuadrado
y da cuatro, calculas su raíz cuadrada y da dos, y lo restas de la
mitrad del número de raíces y da tres.
Cuadrados más números, igual a raíces a?+q =PX-
Raíces más números, igual a cuadrados x?=px+Q-
En nuestro lenguaje actual:
De este modo:
x2+21-10x=>x-~J^J -21-6-J4-5-2-3.
¿Qué cuadrado más diez raíces es igual a treinta y nueve dirhaius? 1-1 |
La solución está en dividir por dos el nümero de raíces, y en este cas0
resuita ser cinco, lo multiplicas por sí mismo y es veinticincu,SUiriaS
En general,
106
EL ÁLGEBRA DE AL-JUARISMI
EL ÁLGEBRA 06 AL-JUARlSMI
107

LIBRO II DE LOS ELEMENTOS DE EUCLIDES
El libro II de los Etementos es un texto corto que cont.ene tan solo 14 proDo. .
COn sus correspondientes demostrac.ones. las cuales son un ejemplo de cn '°nes
razonamientos griegos eran suficientes para aclarar diversos conceptos '°s
Un ejemplo de ello se aprecia claramente en la proposición 5. cuyo enunc.ado^COi
Si se corta una línea recta en segmentos iguales y desiguales. el rectánguln
prendidoentrelossegmentosdesigualesdela recta entera.juntoconelcuad0m'
de la recta que está entre los puntos de sección, es igual al cuadrado de la
Para demostrar este enunciado. Euclides parte de un segmento AB en el que señ
un punto C. que lo divide en dos partes iguales. y otro punto D. que lo hace en d
partes desiguales. Entonces. construye el «rectángulo comprendido entre los %
mentos desiguales de la recta entera». es decir, el rectángulo AMOD. En efecto69
llamamos a=AC=CB y d-CD. el rectángulo trazado tiene una base dea+b=ADy un*
altura de a-b=AM=DO=BP=DB, quedando trazado también el cuadrado DOPB. Dd(-a
Euclides, los números tenían una correspondencia intrínseca con longitudes desegmentos.
de manera que dos números sumados era calcular la longltud de un nuevo
segmento compuesto por los dos que se suman. Análogamente. dos números multiplicados
se correspondian con el área de un rectángulo. cuyas base y altura medían
©
O
-'s
imeros. No es exir*.er.iunces. que a |0 |arqod». i
*c*oS ltí.oneS como «el rectángulo comprendido por »£,ewft.sse 6n_
**%**'” o «el cuedrado» s¡ es.os dos números son
de d° 13 la proposición 5, Eucl.des completa el cuadr^9^^
V^ofsegmento OR. le queda dibujado el cuadrsdo A/QffOdeS^'31'0"'''
zand oi cuadrado de la recta que esta entre los puntos de ¿ l °b=QR^0 es
deC'r,E¿iides afirma que AMOD + NQRO es igua, a, cuadrado'CQ^ ** Pf0pos¡-
** Ls (P al rectángulo CNOD (base igual a b y altura ¡gua| a f í?' En 6fecto-
^ZsP (de base a-by altura b), se observa qUe ambos son inf’f ' al rectá"-
^Sáogila inicial AMOD es divislble entre los rectángulos 4MNc v
ir os es igual al rectángulo CNPB, ya que C es el punto medTdeutf Primer°
d<? Ls que © = ®- Por lo tanto- el rectángulo AMOD es igual a la *"toAeaf
cuadrado NQ*0, d». en efecto. el cuadradJ CoU CN°RSB'
P¿.¿qué demostró exactamente Euclides? Como se ha dlcho. e. rectánguloAMOd
ñ1 base a*b V a,tura '9oa' a a~b>de manera que su área es igualalprodLof^
Zb)B área del cuadrado A/0/?0 es b> y la del cuadrado CQSBesrffJí
¡a+«Ca-W+£>2iraa °- equivalentemente, nuestra actual igualdad notable:
(a+PXa-b)^-#.
Además de esta proposición 5, hay nueve proposiciones más que recogen combinacionesy
sumas de rectángUlos y cuadrados construidos apropladamente. Estas son:
Proposición 1: a(b+c+d+...')=ab+ac+ad+...
Proposición 2: (a+b)2=(a +b)a + (a +b)b
Proposición 3: (a + ó)a - ab+a3
Proposición 4: (a+b)2=a7+b*+2ab
Proposición 6: (.2a+b)b+a2=(.a+by
Proposición 7: (a+b)7+a2=2(.a+b)a+b7
Proposición 8: 4(a+ó)a +b?=[(a+ó)+a]7
Proposición 9: a2 + b2 - 2 (^J + (^ -
Proposición 10: (2a + b)2+b2 = 2ia2+(a+b)r\
Hay que añadir que en este caso, al-Juarismi era consciente
de que la ecuación tenía una segunda solución:
2 » // D \ „
x +q = = - + -Q-
Y si quieres, sumas la raíz cuadrada sobre la mitad del número de
raíce9 y da siete (...]
También especifica el núniero de soluciones que puede tener
ecuación cuadrática de este segundo tipo:
D£ AL-JUARRlMl

Y has de saber que si al dividir por dos el número de raíces y
plicarlo por sí mismo da lugar a un número menor que el de
que están con el cuadrado, entonces el problema es imposibl
es iguaJ al número de los dirhams, entonces la raíz del cuadrado ^
igual a la mitad del número de raíces, sin sumar ni restar nada. ^
Finalmente:
Tres raíces más cuatro es igual a un cuadrado. La solución consiste
en dividir por dos el número de raíces, y resulta uno más ***
medio, lo multiplicas por sí mismo y es dos más un cuarto siunas
a esto el cuatro y da seis más un cuarto, calculas la raíz cúadrada
y es dos más un medio, le surnas la mitad del número de raíces y es
cuatro (...)
3x+4-x2 => X -
2) 2
>/^26+1,5-2,5+1,5.4,
DE la ECUACIÓN X2+-PX=Q
irúcia la justificación geométrica de la u
= 39 partiendo de un cuadrado de lado descon^6" *
al número de raíces de la ecuación propuesta& ” ““
es 1 lengnaje algebraico actual, cada lado del cuadnL„ mÍ!®'
en 6' l0 Snto. e) área de dicho cuadrado es igua¡T^fi " d¡1
>'1? ecuación a?+lto=39, hay que ■£¡r'
obK„er el primer término propuesto. con lo que la cuestión^
% plantearse es cómo representamos este lOx Como el £
! w rectángulo es rgual al producto de su base por la altura. 10r
Ide corresponderse con el área de un rectángulo de base igual
3 !0 onidades y altura igual a x (figura 2).
Al-Juarismi divide el rectángulo de área lOa: en cuatro rectángulos
iguales de base igual a 2,5 unidades y altura igual az, y los
recoloca airededor del cuadrado x? (figura 3).
Consecuentemente, la figura representada sigue teniendo un
áreaigual a
#2+-4-2,5a;=:r2-i-10:r.
Como se ha visto anteriormente, estas reglas eran conocidas
tanto en la antigua Grecia como en la India y, por esta razón, no
es descartable que al-Juarismi las obtuviera dentro del legado que
llegó a la Casa de la Sabiduría. Sin embargo, su gran aportación
fue demostrar geométricamente cada uno de estos resultados:
Para seguir con el razonamiento, al-Juarismi completalafigura
llenando las cuatro esquinas con cuatro cuadrados menores de
lado igual a 2,5 unidades y, por lo tanto, de área igual a 2,5*=6,25
unidades cuadradas (figura 4).
En cuanto a los otros tres casos, en los que sí es necesario dividir
por dos el número de raíces, se expondrán separadamente, y se dibujará
para cada caso una figura, y se aclarará sobre ella el motivo
de la división por dos.
La base de todas las demostraciones fueron los Elementos
de Euclides, que ya habían sido traducidos al árabe en Bagdad
en diversas ocasiones (una de ellas por el ya citado Hunayn ibn
Jsnaq) y que debían circular por la Casa de la Sabiduría de manera
habituai.
uo
EL Algebra de al-juarismi
EL ÁLGEBRA OE AL-JUARISMI

FI6.3
FIC5.4
, roristruy0 un cuadrado de lado *, cuya ^
1 fp aftade cuatro rectangulos base igual a % v ®
% |,teniendo unafigurade áreaigual a
„ °rompleta el cuadrad0 con '09 cuatro aL'*,
> -“rf"" y-*, ?M, ^
pero este cuadrado tíene un lado igua) a x^V/ v/
4' nvaáreaes . /4I+72.
5 jgualando axnbas expresiones;
E1 resultado fínal es un cuadrado cuya área es igual a
jt?+4 • 2,5* + 4 • 6,25 =x*+ lOa; +25.
Sin embargo, como en la ecuación se propoma 10ar=39,
el área pasa a ser
a?+10ar +25=Q¡?+lOx) + 25 = 39+25 = 64 unidades cuadradas.
Por otro lado, al obtener un cuadrado como figura final, al-
Juarismi determina su lado, el cual está formado por la suma de
las bases de dos de los cuadrados de las esquinas y por una de las
bases de los rectángulos iniciales. Eln consecuencia, su lado es igual
ax+2-2,5x=x+ 5 unidades, y su área, igual a (x+5f. Porlo tanto, |
(x+5)2 *64=>a:+5» V64 **8=^ar-8-5 = 3.
Eln general, si la ecuación es x2 +px=q, los pasos seguidos P°r
al-Juarismi son:
Al-Juarismi especifica otra
manera de conseguir este resultado,
consistente en dividir el
rectángulo de área 10# en dos
rectángulos, en lugar de cuatro, y
unirlos al cuadrado de área x*. En
esta situación, la figura se compieta
con un único cuadrado situado
en una de las esquinas, cuya área
es de 5^=25 unidades cuadradas.
Una vez más, el área total del último
cuadrado conseguido es de
&+2-5x+25=x?+10x+25=39+25
=64, que es igual al cuadrado del
,ado^+5 (figura 5).
(x+5)2 * 64 => x+5 - V64 -8 =«*x-8-5-3.
Ei. ÁLGEBRA DE AL-JUARlSM)
EL ÁLGEBRA DE AL-JUARISMI

resolución de la ecuación k+q^px
Ujustificación geométrica de la resolución de^+2i=1(^
parte de Ia construcción de un cuadrado de lado desconoc ri bién
área es igual a al que se suma un rectángulo de área
unidades cuadradas. Siguiendo la ecuación, el área de la 21
representada es a£+21=10r, es decir, la de un rectángui0 d
igual a 10 unidades y altura igual a x (figura 6). G base
Dividiendo la base de 10 unidades por la mitad, quedan d
minados un rectángulo intermedio de base igual a 5-# y
representado por y el resto del rectángulo de área ?i .
sentado por © (figura 7). ’ epre-
,i JuarisnU completa el cuadrado de lado5v
construye un rectáugulo que es igua] su parte
sUPen., de base igualaxy altura 5-.t, y al011o , que»tenfa
-bié"ie qrda
* ia supenor, de área (5-*)2- Cabe notar que si í**0 en *
0^ ^ 25 unidades cuadradas se le restan ino. Cuadrado
desh resultado es, precisamente, el cuadrado m^T108 ®
1 ®’nueda en la esquina superior (figura 8) y Cuya " »»
qU< q mie es (5-#)2- Pí>r Jo tanto, eayaseha
25—(® + Q)) = (5—a;)2.
Como O = ®, la expresión anterior es: 25-(® + *
y© + (2)se corresponde con el rectángulo inicialde áreaiguala
2i unidades cuadradas. De esta manera,
25-(<D + @) = (5-ar)2,
25-21 =
4 = (5-a?)2,
V? - 5- a:=í*5-a:-2=&a7-3.
H4
BlÁLGegRA DE AL-JUARISMI
EL ÁLG£BRA
DE AL-JUARlSMí

Esta demostración geométrica está en la línea del 1
los Elementos de Eudides, donde el griego se dedica a • • 11
do áreas de distintas figuras para conseguir justilicar ej^ 1§UaJanequivalentes
a nuestras (a+b) (ar-b) = a2~ 62, (a+&)2_a2^2es*°nes
De hecho, al-Juarismi sigue los razonamientos euclídeo & '2ab -
terminar también que la solución buscada no solo es e*** dek
sinotambiéna;=5+2=7. " '2^
Por lo tanto,
x2 + q-px=>x =
RESOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN PX + Q = X2
Por último, la resolución de la ecuación Sx+4 ^x2 parte del cu
do oc2 de lado desconocido x, el cual se ve dividido en un rectán i
de base 3 unidades y altura x (cuya área es 3x) y otro de área
a4 unidades cuadradas (figura 9).
Si dividimos la altura de 3 unidades por la mitad, se forma
el cuadrado © (figura 10), cuya área es igual a 1,52= 2,26 unidades
cuadradas; aprovechándolo, formamos un segundo cuadrado
con las regiones ©, @ y de modo
que el área de 4 unidades cuadradas
queda dividida en los rectángulos (D
y ®. En esta situación, nótese que ¡
los rectángulos © y © son iguales,
ya que por construcción de los cuadrados,
la base de <2> es igual a la
altura de ® y, por otro lado, lo mismo
ocurre con la base de ©, que es
igual a la altura de ©. Entonces,
© + © + <D = © + (® + ®)=
= l,52+4 = 6,25.
Así, el cuadrado ® + © + ® jj*
ne lado igual a y¡6,25 = 2,5 unidadeS'
adas a las 1,5 unidades
cubren Ia totalidad
qUe Ao desconocido x. Es dedel‘núde2,5+L5=4uiüdades.
^ Una vez más, el procedi-
. o de al-Juarismi para la
^olüción de la ecuación
reS -x2 equivale a la regla
pX+Q~
# = ](—) +Q + ~,
P+<1'X V\2) 2
3x+4-*2=**-J(¿ +4+2=4,
ÁLGEBRA POLINÓMICA
Una vez determinadas las resoluciones de las seis ecuaciones cuadráticas
generales posibles, al-Juarismi contmúa con las reglas de
cálculo algebraico que le han de Ilevar a ellas a través de su álgebra
ysu muqabala:
(a + b)(c + d) = ac+bc+ad+bd,
(a-b)-(c-d) = ac~bc-ad+bd,
(a + b)-(c-d) = ac-ad+bc-bd.
Al-Juarismi da numerosos ejemplos que ilustran todos Ios
cálculos:
(10 -#)• 10 = 100- 10r,
(10 + ar)-10 = 100+10or,
(10+a:) • (10+a;) = 100 + lOar+lOar+a;2 = 100+20r+r2,
(10-a;)-(l0-a;) = 100-10a;-l0a:+a;2-100-20r+a;2,
(10 - x) ■ (10+x) = 100 - lOar+ lOa;- x2 = 100-a^.
r¡6
EL ÁLGEBRA DE AL-JUARISM»
aA6fawDeal-juarism»

Evidentemente, todas estas expresiones no us
simbólica y al-Juarismi se limita a describirlas COn d ^
puede seguir planteando los primeros problemas res í^6'
diante ecuaciones de segundo grado: u^es ^
.deraás, eabeseñalar que a],IUarisrmtambiéu .
- grado supenor, eomo ar>=a*2 *°n Plantea
es transfr. ®
“^onnabie,
JeU0#*>TesueltaB-
Divides diez en dos partes, y multiplicas una de las do
otra. Después multiplicas una de ellas por sí misma, v ***
resultado de esta multiplicación por sí misma es iguaj a ^ qUe ^
el producto de una de las partes por la otra. CUa&o vec^
Esdecir,
x+y = 10
AJ-Juarismi considera que las dos partes son x y 10-a; co
que la condición del enunciado es igual a 4a:(10-x)=40/4!!
o, de maneraequivalente, 5^=40x Simplificando, a^=¿ya;=8
E1 elenco de ejemplos es variado y nos encontramos con las
seis formas descritas anteriormente:
ar+y-10
25 2 25 2 =>~x2~l00
■jx’Ty 9
\x+y-10
) 10 -x
1 V A =*-“ 4=>10-ar-4a:=>5a:-10=^a:-2
— -4 x
[ x
(f+1){f+i) = 20 => a:2+7a; - 228 =*> ar -12
a;+2/ = l0 í 3
> 2 co =>x2 + (10-x)z =58=*x2 + 2l-10x=*x-{ -
x +y -00 *
-■-- a:+24 => x2 - 12x+288 => x - 24
o 4
tAS trANSACCIONES comerciales Y u GEOMETRIa
,, sección teórica del libro, aUuarismi aña,i„
fJci¡io a los problemas resolubles mediante las rcgfe^0
gsbes que en transaceiones mercantUes entre hs gentes
y ventas, precios y salarios, y otras muchas eosas, hay PBS
entre cuatro números sobre los que le pregumai, a u»„
rnedida, precio, cantidad y totaL Y la medida es mvetsaffl'e„^";
porcional ai total, y e! precio es >nversamenteproporcionalalaLlidad.
Y de estos cuatronúmeros, tres son siempre conocidosymo
desconocido, que es aquel al cual se reflere quíen pregunta ¿coánto?
y en esto está el objeto de la cuestión. 1
E1 tema no era nuevo y quizá por esa razón al-Juarismi le dedicó
poco más de una página: explica cómo se resuelve y pone
varios ejemplos. Como muestra:
Un comerciante paga a alguien diez dirhams por mes. Si trab^jó seis
días, ¿cuánto le corresponde?
Los 30 días se corresponden con lo que al-Juarismi Ilama la
medida, los 10 dirhams, con el precio, los 6 días son la cantidady
to que se busca es el total, por lo tanto,
Total = Hntio x cantidad ^ 10-6 _ 60 _ gdMiama
medida 30 30
oq, S^uiente capítulo, al-Juarismi plantea unos problemas
Krip!¡le|f*COS ^astante sencillos que, probablemente, tomó del legado
. So uegado a Bagdad. E1 texto empieza con una intxoducción alas
í^Uras geométricas planas que ya aparecen en ios Elemen-
EL ÁLGEBñA DE AL-JIJARISMI
EL ÁLGF-BRA DE AL--

INSCRIPCIÓN DE UN CUADRADO DE UN TRIÁNGULO DADO
Al-Juarismi plantea la determlnación de
las medidas de un cuadrado inscrito en
un tn'ángulo isósceles de lados iguales a
12.10 y 10 unidades.
Considerando que el lado del cuadrado
buscado es la «cosa», es decir, x, el área
del cuadrado buscado es x2.
Sl aplicamos el teorema de Pitágoras. la
altura del triángulo propuesto es igual a
8 unidades. ya que 62 +82=102 y. con este
dato. el área total del triángulo es
^/•12-8-48 unidades cuadradas. Ahora,
elrazonamiento de al-Juarismi consiste
en igualar esta área a la suma de las dis- "*-——
tintas figuras que le han quedado dibujadas
al trazar el cuadrado. Así, los dos
triángulos (J> tienen una base igual a 6 - unidades y una altura igual
su área conjunta es
a *• con fo que
Del mismo modo, los dos triángulos ® tlenen una base igual a unidades y una
aftura igual a 8-x, con lo que su área conjunta es igual a
^'2*2
sumando todas las áreas se obtiene
•^+®+®+©+<2,:
48 °-10 que
2 '
x’+(6'-t)*Hí)-48'
-48. Por lo tanto, uniííades
Símpl¡fl“ndO'10X
icmo problema aparece también en la Métríca de Herón a. -
x-I
mediante la
8-x_
8 " 12'
96 - 12x - 8x,
96-20x,
tos de Euciides (triángulos, cuadriláteros, círculo...) y el cálculo desu
área, y también de figuras en el espacio y su volumen. La aplicación
del álgebra se inicia con un problema que plantea calcular el pie de
la altura de un triángulo de lados iguales a 13,14 y 15 unidadcs, sigue
con la descripción de ciertas áreas y volúmenes y temiina con la
determinación de un cuadrado inscrito en un triángulo dado.
EL LIBRO DE LOS TESTAMENTOS
Un capítulo sobre dinero y préstamos da paso a la última part6
del libro (bastante extensa), y en él, al-Juarismi pone a prueba el
álgebra repartiendo herencias. Por ejemplo:
Un hombre muere y deja dos hijos y diez dirhams de capital y una
deuda de diez dirhams a uno de sus hyos, y lega a un amigo un quin-
to del capital más un dirham.
Si el hijo hubiese pagado la deuda antes de morir el hombre,
eiíte hubiera dejado 20 dirhams, de los cuales su amigo hubiese
cobrado 2% + l-5 dirhams. Los 15dirhamsrestantessedeberían
repartir a partes iguales entre sus dos hjjos, con lo que cada uno
de eUos hubiese cobrado 7,5 dirhams. Sin embargo, según la ley
jsíámica, si el padre muere y uno de sus hyos le debe más dinero
dGl.que le correspondería por herencia, se considera que esta parte
T* ^cluida dentro de la deuda y que el resto es un regalo del padre.
°r ejemPl°, si un padre tiene tres hüos y les deja 15 dirhams y una
T20
EL ÁLGt'BffA OE AL-JUARISMI
EL ÁLCEBRA DE AL-JUARtS*1

deuda de 15 dirhams más con uno de ellos, se considera
uno de eüos hubiese tenido que cobrar 3% -10 dirhams Cada
go, solo hay 15 dirhams reales para repartir más una deud^ *******
calcula sin el regaio del padre) que habría que añadir para * 86
saralos otros dos hermanos. Liamando x a esta deuda, Ia
a repartir pasa a ser de 10 +x, con lo que a cada herrnano^^^
15+a; ...
-dirhams.
3
Como este dinero es justamente el que ie toca al hermano m
el cual debía aportar su parte x a los 15 legados, se tiene qj^080*
y, por lo tanto, x= 7,5 dirhams. En consecuencia, se consideraqu
el padre ha legado un total de 15 + 7,5 = 22,5 dixhams a los tíes
hermanos (7,5 dirhams a cada uno de elios). E1 hermano moroso
no recibirá nada y se considera que su deuda está pagada más m
regalo de 7,5 dirhams, mientras que los otros dos recibirán 7,5 dirhams
cada uno de eiios. Volviendo ahora al problema propuesto
por al-Juarismi. el legado es de 10+x dirhams, con lo que el amigo
debe cobrar . +x+1» 3+£ y quedan por repartir
5 5
7+— dirhams.
5
A cada Iqjo le corresponden 3,5+2^ dirhams y esa es predsamente
la cantidad de la deuda que debería recibir el hjjo moroso:
Si ahora:
3,5+ —
5
5 + — dirhams.
6
Una mqjer muere y deja marido, hijo y tres hijas, y lega a un hombre
el octavo dei patrimonio más su séptima parte, entonces haces vein
te porcion€*s. Coge una cantidad, réstaJe su octava parte y su sépthna
parte, y queda dicha cantidad menos su octava parte y su sépti
YLAS HERENCIAS
_ rAn ei libro sagrado del islam, está dívidido en 11*
a su'vez están divididos en un total de 6236 versiculo?^!05,0
aU fn en cuenta los encabezamientos de los capitulos 3 6yas si no se
V rezan «En el nombre de Alá. el Compasivo y m *1 sSon tocios
¡9+! corpus hay azoras que rigen la conducta del buen mS^0509'
fiSt* an actitudes. derechos. obllgaciones. etc.. y entreeíú árVpermiteo
° í aue marca el derecbo sucesorio y el reparto de las mbíén hay
püulo 14. en sus versiculos 11 y 12. dice: aS Asl. el ca-
11 Alá os ordena lo siguiente en lo que respecta a vuestro* h«n*..
várún equivale a la de dos hembras, Si ellas son més de dos S M
derán doe tercios de la herencia. Si la hija es ánlea. ,a n&ESESí
los padres les cof respondera un se*to de la herencla si deja hljo^o *
deja hrjos y heredan solo los padres, un terclo es para la mad,rs¡'t ñe
hermanos. un sexto es para la madre. Y todo esto. tras satisfaca, ¿ deudi
Entre vuestros ascendentes y descend.entes. no sabéis quiénes son más
útiles. Esta es la obligación de Alá. Alá es omnisciente y sabio.
12. A vosotros os corresponderá la mitad de lo que dejen vuestras esposas
si no tienen hijos. S¡ tienen, os corresponderá un cuarto. Esto. tras satisfacer
sus legados y deudas. Si no tenéis hijos, a ellas les corresponde un cuarto
de lo que dejéis. Si tenéis. un octavo de lo
que dejéis, tras satisfacer legados y deudas.
Si los herederos de un hombre 0 de
una mujer son parientes y le sobrevive un
hermano o una hermana, entonces a cada
uno de los dos les corresponde un sexto.
Si son más, participarán del tercio de la
herencia, tras satisfacer los legados y deudas,
sin dañar a nadie. Esta es la voluntad
de Alá. Alá es omnisciente y benigno.
El Corán es una de las fuentes principales de
la sharia, o ley islámica. la cual es el fundamento
del derecho islámico. La sharia constituye
el código cívil, penal. religioso... que
^arca la conducta de la vida dentro del isiam-
Asf Pues, las leyes sucesorias, sobre
todo en época medieval. estaban marcadas
Por estos dos versículos que recogen la ma-
Voría de posibles casos que se podia encon-
,rar un iuez en el momento del reparto del
le9ado de un difunto.
122
EL ÁLGEBRA DE AL-JUARISMI
EL ÁLGSBRA DE AL-JUARtSM*
123

ma parte, y completas el capitai sumando sobre él
piicado por quince entre cuarenta y uno. MuitiPuc ° •
del legado, que son veinte, por cuarenta y uno, y ^ ^ PQt^
veinte. Le sumas eso mismo multiplicado por quin^ ^cier^
y uno y el total es mil ciento veinte partes. E1 heredeV^ CUarenta
más un séptimo recibe [...) trescientas partes, y q^0 de ^ octa^
veinte paites para repartir entre los herederos. **
De lo explicado, se deduce que al-Juarismi divid
ble herencia C=2Qx en 20 porciones iguales de la. ^13 p0si'
20a: ( 20x _ gOOx quesePara
8 7 56
para el hombre, quedando por repartir 820jy¿a de ias 1120a/
totales. Por lo tanto, si la herencia está dividida en 1120 %
totales, el amigo de la madre se lleva 300, quedando 820
marido, elhqoylas dos Mjas. Acorde con la ley isiámica, el JSÍ
debe recibir un cuarto de lo que queda, con lo que recibe 205x/
205 partes y, de las 61% restantes, las tres hqas deben JX
se los dos tercios: cada una de ellas recibe 410a/ F\ní>\montD
elhüo recibe 205^, 0 205 partes. /l68'
«Al-Ma’mun [...] me ha encargado que escriba un breve libro
sobre el cálculo del álgebra, de modo que contenga lo más
importante y delicado del cálculo que ios hombres aplican a
sns necesidades, herencias, testamentos, paiticiones y negocios,
y en l0íl0 lo tratan entre ellos en la medida de la tierra,
excavación de canales, construcciones y otras muchas cosas.»
— AWuaribui,
Al-Juarismi resuelve multitud de problemas similares en los
^ie mvolucra dotes de boda, esposos con enfermedades termina-
ha d6S,C aV°S ’ ^ a loclos cllos va dando justa respuesta Como se
. . C el ^1)ro hie un auténtico éxito y muchas obras posteñores
ur_-como referencia, ya como manual simplemente aíg^
ya exto necesario en los juicios del día a día.
„ ,v0tUC.6N DEL ALGE.DA EN EL MUnm ^
•.nte inatemático árabe que dedicó parte d. « ,
p sigte el egipcio Abu Kamii, entre mediados ¿ J*" 31 *
t*?' dei x. E1 mi.srno reconoció que, en el más de un i, y ^
de alJuarismi, no habíahabido n®gunaobra£b^
^Ípudierasuperar:
que 1° P
He estudiado con gran atención los escritos de los matemáCcE-
núnando sus afirmaciones, y escrutando 10 que dicen en sos obra&,
he observado que el libro de Muhammad ibn Musa akluarámi conó
cido como Alffebra es superior en la precisión de sus pnnapios y h
exactitud de sus argumentaeiones. Por lo tanto, nos conesponde a
nosotros, la comunidad de los matemáücos.reconocersuprioridad
y admitir su conocimiento y su superioridad, ya que con la redacción
de su libro sobre el álgebra fue el iniciador y descubridor de sua
principios, mediante los cuales Dios nos ha dado acceso a todo lo
que permanecía oscuro, ha puesto a nuestro alcance lo que estaba
en la oscuridad, ha facilitado todo lo que era arduo, y ha elucidado
todo lo que era incierto.
EI Álgebra de Abu Kamil es una obra dirigida a un público
experto en matemáticas y, pese a que es indudable el legado de
al-Juarismi, su autor propone que este texto no solo es necesano,
sino que es superior al de su predecesor. De este modo, Abu Kamil
dividió su tratado en cinco partes. En la primera de ellas trata el
cálculo algebraico y la resolución de las seis ecuaciones canónicas,
convirtiendo la segunda parte en un libro de problemas resolubles
mediante ecuaciones de primer y segundo grado. La tercera parte
introduce las ecuaciones con números irracionales, lacuartaabor
úa cuestiones relacionadas con polígonos y, finalmente, la quinta
Presenta ciertos problemas indeterminados.
Aunque las demostraciones geométricas de las seis
0es can°nicas también parten de ciertas proposiciones e
f de Ios Eiementos de Euclides, son sensiblemente dis
X Planteadas por al-Juarismi; la revolución del Alge ^
^ega con el planteamiento de nuevas ecuacion
124
EL álge^a OE al-juarismi
peau-juawsm'

Por ejemplo, Abu Kamii busca dos núnieros x e y (Con
talesque:
^u , sobre ¿ álgetrm y Ux muqabnla empi^^, „
AíW, !s monomioss, xi,x>...y también dej/ 1/ y d*-
sistemático de los posibles product^'X^C
l'Íga » oonclusión de que se cuxnplen Us igual¿
AlKjrJ 111 ii
La resohición de este sistema pasa por la imroducción de
-q voriahU 9 — y mn 1<~> mu> la co<nm^ln __ . , Ulls
- --- ivanm se encuentrgen
su solución. ya que aJ resolverla, obtiene el resuitad
¿-VV2-l^donde. trah^ando ahora con la primera ecuación v
con y - xv ■\/2 -1, acaba detenninando que: y
multiplicarión controlada- * detUca a dar U, f6nnula>
« ^ * para la suma. resta y producto de dos polmomi09 ^
ibién fue el prúner matemáüco árabe que formutó un aP
W l:,, para la extracción de la raíz cuadrada de polinomios eon
^'Teiítes positivos a partir de ciertas igualdades notables. E1
detaUado de las raíces de los mononüos fue abordado en
^ obra titulada MaraviUa del cálcuJa, en la que ofreció reglas
suotnȆU _
r'ATTiA
Jf’ 4**1*.
xNunca ames un número irracional había resultado de una
ecuación, con k> que este paso les dio la importancia que se meredan
dentro de ias matemaücas. Otro ejemplo de este nuevo uso
lo encontramos en la ecuación
cuya solución es
Cabe decir que todo este tipo de raíces habían sido estudiadas
anteriormente por el matemático persa al-Mahani (ca. 820-
ca. 880) v por Abu Kamil. E1 primero había planteado que para
calcular yja + y/b, se tenía que resolver el sistema de ecuaciones
formado por x+y=a y 4xy - b, de modo que, entonces, se obuene
^ja+JE •yfx + yfy • Abu Kamil, por su parte, vio que el planteanviento
debía partir de las fórmulas de los cuadrados de ia suma
ydiferencia de binomios. Por ejemplo, para calcuiar J13 ->/8 ,_se
debía considerar el desarrollo (a-b)~ -o'+¿>‘-2o¿) confl*>/l^
y h-V8. Por lo tanto,
(718 - V8 f -18 + 8 - 2>/TÍ4 - 2 => VÍ8 -
A ñnales del siglo x y principios del xi, Abu Bakr al-Kai^i (o al-
Kar^|i j dio un nuevo paso en la historia del álgebra: la desligd de &
geometría, cosa que no habían conseguido ni al-Juarismi ni Abu Ka-
0"1A,! JáVYAM V LA RESOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN CÚBICA
^.t,)doloexpllcado, el granpasodelálgebramusulmanafuela
Ul lon úe la ecuación cúbica. Era cuestión de aempo que,
126
EL ÁLGEBRA OE AL-JUARlSMI
ELM sfflWDÉM-JUAH»*

OMAR JAYYAM (1048-7131)
MUillCluaos y icjciiuoj u'icuen UditanieS plStaS de rA WCa. Slln
Nishapur el 18 de mayo del año 1048 y de pequeño coincidló co k° f°e ^aci¿
Hassan ibn Sabbah; los tres se hicieron muy amigos y pactaro °n Nizam a|-huiifn
consiguiera triunfar en la vida, tendria la obligación de ayudar^1!16'61 Pr'mer0 „ y
cuencia, cuando Nizam al-Mutk llegó al cargo de visir del /est°- Enconf6
Arslan (1029-1072). Hassan se convirtió en el hajib de palacio v o Se,yüc¡ha ai
fue asignada una renta anual que le permitia vivir de manera conf °mar JayVamiP
a la literatura y la ciencia. Con el tiempo, las diferencias relíqi0<;0rtab,e ded'cado
.Hassan llevaron al segundo a conspirar con el sultán, hecho que S 6ntre N'Za^ v
sión de la corte. Hassan se dedicó entonces a predicar el isma^0^0 SUeW
musulmanas y a fundar la secta de los Asesinos en Alamut a dond 'ff0 Dor t¡erras
después, llegó Nizam, ya viejo, tras caer en desgracia cón el antes a^os
asesinado), u tán (y allí mur¡6
Con la muerte de Alp Arslan, Omar Jayyam decidió trasladarse a M
de la corte del nuevo rey. Jalal al-Din Malik Shah (m. 1092) quien iQ enVa Capital
nomo reaI y encargado de la reforma del calendario. Pese á las cont'^^^0 astró*
que sufrieron las pugnas por el poder, Jayyam supo mantenerse s'iem reVUeltas
altas esferas, de modo que parece que nunca le faltó de nada PrS en ,as
Una de sus obras más ímportantes fueron sus Rubaiyyat escritas ooro
terminar el siglo x„. Rubaiyyat. que es la palabra persa que significa «cuartetaL h^
referencia a un estilo muy popular en la época y que es la base sobre la au* J?
escnta la obra. En la segunda mitad del siglo x-x. el irlandés Edward Fitzgerald nawt
y el francés J. B. Nicolas (1867), entre otros. empezaron a traducirlas a laslenqS
europeas, de modo que les devolvieron el lustre que tuvieron en los siglos xa y x»i
En el ámbito matemático, Jayyam escribíó varias obras. entre las que destaca un
tratado de aritmética que incluye un algoritmo de cálculo de la raiz enésimade
cualquter número, basado en la expansión algebraica de la expresión (a+P+c...)B En
la actualidad, esta obra está perdida y solo se conoce parte de su contenidoa
través de comentarios posteriores y por las palabras del propio Jayyam en otro de
sus tratados:
Los indtos tienen sus propios métodos para extraer los lados de los cuadrados
V ,os cubos basados en sus estudios de un pequeño número de casos, que esel
conocimiento de los cuadrados de las nueve cifras, que son los cuadrados de I,
2, 3 y el resto, y de su producto de los unos por los otros, que es el producto de
2 por 3, y así sucesivamente. He escrito un libro para demostrar Ia validez de
todos estos métodos y enseñar que llevan a la solución deseada. y los he complementado
encontrando las ralces cuartas. quintas y sextas y tan grandes como
sean. Esto no lo ha hecho nadie antes de mf. y estas demostraciones son solo
algebraicas, fundamentadas en las partes algebraicas del libro de los Elementos.
o. equivalentemente, dx-x2=y2.
Porotro lado, como los puntos de la parábola cumplen -jQ y - x2, elevando al cuadrado
se tiene que qy2 = x* o, lo que es lo mismo, y3 - V x*. De esta manera. si
igualamos ambas expresiones:
Sustituyendo d por su valor y recolocando los términos de la ecuaoón. Jayyam
obtiene:
r~xl+qx.
Por lo tanto. el punto de intersección P(xy) cumple la ecuación propuesta.
128
EL AiGEBRA DEAL-JUARJSMI
el//.s^dEAL'juaR,smI

el éxito áelAlgebm de al-Juarismi en el rn„n,.
se planteara qué pasaba con las ecuacione^ h CIent«co, .
decir, las ecuaciones cúbicas ¿‘+bx*+cx+d de Braúo
Mjww. CXTat-mi) pubücú en Leiden, Pa^lf 17«-
sobre el calcvlo Oe flvMones (Speamm
hizo un repaso del desanrollo del cálcuio v ci f "^), <¡o„h
nuscritos árabes, entre los cuales aparece ,m l l>S "«ntos "
hasta entonces desconocida Tras d an^
1851 que FYanz Woepcke ia tradrqo en ^ eft
mundo occidental. ^ conocer ^
A1 no tener números negatívos, además de las ^
pnmer y segundo grado, Jayyam clasificó las cúhi?***0** **
típos: Cas en catorce
1. a?=r
2. a?+qx=r
3. x*+r=qx
4. x?=qx+r
5. x?+p2?=r
6. a?+r=pa?
7. oc*=pa?+r
8. a?+pa?+qx=r
9. a?+p3?+r=qx
10. a?+qx+r=pa?
11. af^paf+qx+r
12. xT+pat^qx+r
13. aP + qx^poP+r
14. x3 +r=pa?+qx
Omar Jayyam no encontró las soluciones numéricas de cada
una de estas ecuaciones, sino que se dedicó a determinar su construcción
geométrica. Ya desde tiempos de los griegos, se había
determinado que si se podían encontrar dos segmentos de lon#-
tudes x e y tales que cumplieran
y x 1’
,_r Si se observa detenidamente la Pninp,.,.
« equivalente a rx=y> que, en ei leng^f
o&TJl se corresponde con una parábola de eie IT g
><0' t segunda igualdad y=* se
V°TÍje vertical, y ambas curvas üenen un vérticecomIa
c^Tos se habían dado cuenta de que si se buscaba el
^lcción de dos parábolas de este tipo, entonces este pi^
^“'‘Xresolver la ecuacion ar>= r y, más de mil años después'
wP°‘Tap0 generalizar este razonamiento e, intemecando dis-'
^Ttúcas, fue resolviendo las catorce cúbicas planteadas Por
^ la ecuación r^+qx-rse resolvió mediante la intereección
^ acitcuníerenciay unaparáboia, 3?+r=qxeon un parábola
^pérboia, etcétera.
1 ei mundo árabe, al-Binini también hizo tentativas de resoiu-
. de una ecuación cúbica que planteó para calcular geométrica-
^jajongitud del lado de un eneágono regular. Ya en el siglo xv,
Yajlshid al-Kashi (ca. 1380-1429) resoivió aproximadamente la
3 + _?_ + _?i+Í?.+Í£. + Ü+28 15_
+ 60 + 602 + 603 + 604 + 605 + 60fi + 607
cuyo resultado se corresponde con el valor de sen 1°.
ELÁLGEBRA EN LA EDAD MEDIA EUROPEA Y EL RENACIMIENTO
Como ya se ha dicho anteriormente, el Álgebrci de alJuarismi fue
traducida del árabe al latín por Robert de Chester; por Gerardo
deCremona, en la península Ibérica, y por Guglielmo de Lunis,
en Italia. No se descarta la posibilidad de que se realizaran otras
muchas traducciones, que no han Uegado hasta nuestros días, en Ia
peninsula Ibérica. Toledo fue un centro traductor de importancia,
c°n Jo que la obra algebraica de al-Juarismi estuvo a disposición de
'-‘ngrannúmero de escribas y traductores. Lfna prueba de ello es el
^mhameleth, atribuido a Juan de Sevilla, quien, recordemos,
autor de una traducción del Algoris'tni de numero
171 y redactó el Liber algorism.i de practica arismetrice.
730 EL Algebra de al-joarismi
EL ÁLGEBRA OE AL-JUARiSMf
131

En la actualidad, el Liber mahameleth es la obra qUe
saber el estado en el que se encontraba la aritmétic^°rpeixi,k
en la España musulmana de principios del siglo xn ^ebi*
lectura nos remite al Álgebra de Abu Kamil en divere prtlne^
Por lo tanto, las demostraciones geométricas basadas^ °Casionesde
los Elementos de Euclides son la base de la resol^ - ^011
ecuación cuadrática. Se tratan, por ejemplo, DrohlPm*oUC10n de ,a
tesaecuacionesdeltipo x+9%-34 o,^+93=34r c.,lv!<ÍUI,Valen*
pasa por el cálculo ’ ^^ción
Otro de los caminos mediante el cual el álgebra se introdujo
en la Europa medieval fue el citado Liber abaci de Fibonacci, cuyo
último capítulo trata sobre las «reglas geométricas y los probíemas
del álgebra y la mvqabala». Fibonacci presenta Ias seis formas canónicas
y aplica su resolución a numerosos ejemplos y problemas.
E1 pisano conoda perfectamente el Álgebra de ai-Juarismi, así como
los Elementos de Euclides y la Aritmética de Diofanto, entre otras
muchas obras importantes, con lo que su dominio del álgebra a
principios del siglo xm lo convierte en la figura latina más importante
del momento. Un ejemplo más: en una carta que envió al «Maestro
Teodoro» en 1225, propuso la construcción de un pentágono equilátero
dentro de un triánguio isósceles de lados 10,10 y 12 unidades,
que le condqjo ala resolución de la ecuación
:r2 + 36-ar« 182^,
7 7
la cual solucionó utllizando las fórmulas habituales.
A lo largo de los siglos xm y xiv, el álgebra y, en concreto,
la resolución de la ecuación cuadrática aparecieron en distintos
manuscritos, pero no fue hasta la llegada de la imprenta y la
finitiva consolidación del álgebra simbólica cuando la obra
al-Juarismi fue universalmente conocida Se sabe, por ejempl°> que
Joharmes Widman disponía de una copia manuscrita del Álgebra e
al-Juarismi, que utilizaba para preparar sus ciases en la Lniver91
APAR'CIÓN DEL ÁLGEBRA S'MBÓL,CA
hp las reglas de falsa posición, la Aritmética de Diofantn 0i a,
De d rismi etc., los distintos matemáticos de (a historia J ’ iA/geórd *
+**%£ de SUS distintos textos a las necesiOades d?süfWan<ÍOIas
e’'Pü'enc¡as didácticas del momento. De este modo. el lenguaie m ? V 3 'S!
^tolucionando paralelamente a las distintas teorias que se desa,lf ñ
un momento en que fue impos.ble mantener las largas fraSK r
nue servian para resolver un problema algebraico. En el mundo árabe f
2Lpk>. al-Qalasad¡ fue uno de los pnmeros matemátlcos que modefniób
ohra algebraica de su época con ia mtroducción de un cierto simbolismo
Algunas de sus novedades fueron:
letra shin, inicial de la palabra árabe shay' («cosa») para designar la incógnita
de una ecuación.
0. (etra mim. inicial de la palabra árabe mal, que era la que al-Juarismi utilizó
para designar x2.
J- tetra lam. final de la palabra ya'dii («es igual») para designar el signo =.
♦ ' letra jim, inicial de la palabra jidr («raiz») para designar la raíz cuadrada
y. letra waw. inicial de la palabra wa («y») para designar la suma.
En Europa, fue Nicolas Chuquet uno de los primeros matemátlcos que introdujo
el átgebra simbólica. üsó p y m para designar nuestros actua/es + y
respectivamente. y los polinomios se redujeron a los coeficientes y losexponentes.
Por ejemplo. para expresar 2x*+6x, Chuquet hubiese escrito.2. p.6..
En Italia, la Summa de arithmetica, geometrica, proprtionietproportionalita
de Luca Pacioli también dio los primeros pasos hacia nuestra álgebra actual.
con la introducción de unas abreviaturas con las cuales podia mar)e,ar ^
ecuaciones de una manera más simple. Además de los p y rñ. empez a
rirse a la «cosa» como co.. al «censo» (o cuadrado de la cosa)como e ‘
«cubo de la cosa» como cu. De este modo. (as ecuaciones emP® an¡tas
recerse a su actual forma. aunque esta manera de expresar . ? tra.
estuvo presente. verdaderamente, a partir del siglo xvif. or a ¡as dis.
dición alemana introdujo signos específicos inéditos para 0escartes
tintas potencias de la incógnita, y no fue hasta la Heg ra con-
(1596-1650) y su Géométrie (1637) que aparecieron lax, iay y
vertirse en las letras referentes del álgebra.
!e ^Pzig. Nicolas Chuquet, en su Tnparty ^^Íticas, y
i^es¡se dedicó a resolver algunas ecuaeionesc ^
en lo hizo Luca Pacioli en su Surrvma de anth
132 el Algebra de al-juarismi
elálgesra DEAL-JUARISMI

metrica, proprtioni etproportionalita. E1 siguiente
la resolución de ecuaciones lo dio Scipione del FerroTiT r**0 etl
quien ofreció una fórmula general para la resolución de b ''*^6),
de tercer grado. Esta nueva regla fue todo un misterio heCUaciór»
Niccoió Fontana, también conocido por el apodo de Tart ^ que
1499-1557), le comunicó a Cardano el famoso poema
vio la luz uno de los secretos mejor guardados hasta el ^
Quando chel cubo con le cose appresso
Se aqquaglia ’a qualche numero discreto
Trouan duo altri differenti in esso
Dapoi terrai questo per consueto
Che’llor productto sempre sia equaie
Alterzo cubo delle cose neto,
El residuo poi suo generale
Delii Lor lati cubi ben sottrati
Varra la tua cosa principale.
Si «el cubo junto a la cosa se iguala a cualquier número discreto»,
es decir, a^+qx-r, se han de encontrar otros dos «diferentes
en eso» (u-v=r) cuyo producto^ea igual al «cubo del tercio del
coeficiente de la cosa» (uv - j ) ). La solución es el resultado de
restar las raíces cúbicas de estos dos números encontrados tras
resolver ei sistema de ecuaciones que se plantea. Por lo tanto,
CAPÍTULO 4
La obra astronómica
La influencia de la obra astronómica de al*Juarismi
también fue muy importante dentro de lahistoria
de la ciencia, ya que posibilitó el conocimiento de la
tradición india en la Casa de la Sabiduría. De este modo,
la astronomía ptolemaica convivió con las tabias de
al-Juarismi hasta que, flegado el Renacimiento europeo,
fueron definitivamente sustituidas y dejaron paso
a las teorías heflocéntricas copemicanas.
x = tfü-‘$pv -
Cardano publicó esta fórmula en su Artis magnae sive de
regulis algebraicis (1545) y, junto con ella, también dio a conocer
la regla para resolver la ecuación de cuarto grado, cuya autoría
atribuyó a su ayudante y colega Ludovico Fenari (1522-1565)-
134 EL ÁLGEBRA DE AL-JUARISMI

obra astronómica más importante que escribió al-Juarismi fue-
ron°las Tablas indias, conocidas bajo el nombre de Sindhind,
basadas en la traducción al árabe del Brahmagupta-siddhanta
de Brahmagupta, realizada alrededor del año 775. También tomó
eomo referencias el ya citado Zij al-Shah y el Jandajadyaka, dei
mismo Brahmagupta.
Cabe señalar que el tratado completo, con sus tablas astio-
nómicas y cánones, se ha perdido, pero en la Córdoba del siglo x
Abu al-Qasim Maslama al-Majriti (m. 1007) hizo una recensión de
unaversión más breve que solo contenía las tablas astronómicas.
Maslama introdqjo diversas modificaciones que adaptaron las fe-
chas persas a las del calendario árabe, y las referencias geográficas
ala ciudad de Córdoba; esta versión fue traducida al latín en el
siglo xn por Adelardo de Bath. Sin lugar a dudas, esta es la mejor
faente para tener una idea de cómo debió de ser la obra origin
^Wuarismi, aunque también se tiene conocimiento otras
^08 b'aducciones (una de ellas realizada por el ya citado e
Alfonso).
^ gran importancia de esta obra astronómica pue^^tu(j
en su influencia en textos posteriores y en
de
-^entarios de los que fue objeto, como los reai^ados^or
en en el siglo ix, o por ibn al-Muthanna e 1 n
11 fil sigin ^
astronómica
LAOBRA

LA ESCUELA DE MASLAMA AL-MAJRITI
Maslama al-Majríti (m. 1007) fue un destacado matemático ast •
logo en los califatos de Abderramán III. al-Hakam II e Hishám IIm ° y astróen
Madrid y se trasladó a Córdoba. donde asistió a las clases’rt 3?ldma nac'6
maestros astrólogos del momento y consiguió destacarse Com °S me¡0res
tardó mucho en conseguir trabajo en la corte como astrólooo u alumn°- No
su poslción, labró su reputación tanto en el ámbito de las matemár3 VGZ asent°
el de la astronomfa, y en seguida se rodeó de discípulos que QUP CaS corn°en
de él, creando una de las escuelas científicas más importantes hastTi30'6^6'
to. Sus alumnos empezaron a llegar a Córdoba desde todos los rinr m°men-
Andalus y, cuando volvieron a sus ciudades. tras la caída del raiihl* S de al'
1031 y la creación de los reinos de taifas. fundaron a su vez escueias n G' año
r°n enalteciendo la ciencia andalusf medieval. Entre estos discípulos^T
al-Jayyat. ibn al-Samh, ibn al-Saffar. al-2ahrawi. ibn Jaldun y al-Kirmam^ t
el cadí Sa'id de Toledo (siglo xi): an ' ^e9un
[Maslama] fue el primero de los matemáticos de su época en al-Andalus v fue
el mas sabio en la ciencia de los cuerpos celestes y en el movimiento de las
estrellas que nadie antes que él. Se interesó por la observación de los astros
y se dedicó firmemente a comprender el libro de Ptolomeo, conocido como
Almagesto. Tiene un muy buen libro sobre las utilidades de la ciencia de los
números, el cual es muy conocido entre nosotros bajo el nombre de Mu'amalat.
Además de este tratado de aritmética, también compuso una versión breve de
las tablas astronómicas de al-Juarismi y una adaptación de las tablas deal-
W árabe y la ciudad de Córdoba. diversnc
ttan'al ca'!Tuso del astrolabio y una traducción de! Planisferií deltT,3
^truCCÍÓ nrmente tradujo Herman de Carintia al lat.n en 1143) Ptolomeo
L,.eP°ster H¡rho uno de los discípulos de Maslama fue ibn ai-Samh « ,
omose .harabajar en Córdoba se trasladó a su Granada natal. donde murió
desPués 35 íbn al-Samh escrib.ó d.versos tratados sobre el s.stema de nume!
«13C° ^icional decimal. un comentano a los Elementos de Euclides y otro al
ración PoS ptolomeo. un tratado de geometna, una recenstón de las tablas
de ai-juarísmi, dos tratados sobre la construcción y uso del astro-
35tr0nóm|0 sobre ,a construcción de un instrumento llamado ecuatorio
labío y una sjmp/ificar el cálculo de las efemérides.
psnsad° rte ibn al-Saffar (fallecido en Denia. Valencia. en el año 1034). tras una
POr5UPetapa cordobesa. se trasladó a Toledo, donde adquirió una gran fama
pr/mera o Vq|v|ó a córdoba para trabajar con su hermano. que se dedícaba
c°mom® astro,ab¡os. y de ahi surgió la idea de redactar uno de los tratados
aCt>nStr ¡nstrumento. que tuvo un renombrado éxito entre los astrólogos desu
^ ^E! cadí Sa’id se refirió a él como «experto en aritmética y geometria» y
WmPe que también fue un buen constructor de relojes de sol. Ibn al-Saffar
Paf&¡én fundó su propia escuela, de la que fue alumnodestacado el matemático^ibñ
Barguth (m. 1052). quien a su vez fue maestro de al-Saraqusti (m. 1056)
ydeibnal-Layth (m. 1063).
Losotros discipulos de Maslama también triunfaron en sus respectivas taifas y
consiguieron que, a finales del siglo xi. al-Andalus hubiera asimilado nosololos
Bementos. el Almagesto o el Planisferio, sino también otras obras y resultados
como las Cónicas de Apolonio, los escritos de Arquímedes que habían llegado
alapeninsula Ibérica o el teorema de Menelao de la trigonometria esférica.
La recensión de Maslama se inicia con una serie de tablas
calendáricas, como es habitual en este tipo de obras, tras las
cuales empieza el estudio de los movómientos del Sol, la Luna,
y los cinco planetas conocidos hasta el momento: Mercurio, Venus,
Marte, Júpiter y Saturno. Al-Juarismi heredó la tradición
geocéntrica que situaba la Tierra en el centro del universo, alrededor
de la cual todos los planetas giraban en órbitas circulares.
Tomando el movimiento del Sol, al-Juarismi consideró
que el astro tardaba un total de 365 días, 6 horas, 12 minutos y
9 segundos (valor muy común en la tradición india) en dar una
revolución completa alrededor de la Tierra, lo que significa a
que el Sol avanzaba en su órbita circular a una velocida
0o59,8,,10”,21”” diarios, aproximadamente. Sin embargo, tanto
^egos como indios se habían dado cuenta de que el Sol no tema
^ movimiento circular uniforme real y decidieron modificar los
®°delos geométricos subyacentes a Ias órbitas, separando
°s centros de la Tierra y de las órbitas. De este modo, para
^cular la posición real k del Sol en su órbita, calculaban
c W» donde A es la posición derivada de la veloci a
E/ntante ^iaria determinada (llamada Jongitud medm), y
tro¿^a cierta función periódica (llamada ecuación).
E(i\ a ^fronomía india, los astrónomos tomaron a
laiünth nB*' K con E igual a la máxima diferencia e
ürigitud media y la lonjtud verdadera. Así, ai-Juansnu tomó
LA OBRA ASTRONÓMICA
^obraastronómica

EL CÁLCULO DE LA DECLINACIÓN DEL SOL
La trigonometría esférica en p
los cálculos astronómicos es __-
fundamental para determinar
ciertos arcos ímagina- / \
rios del cielo como, por / \ \\
ejemplo, la declinación solar. / \ \
Si se imagina que el cielo, en / \ K
su totalidad, es una esfera / \[\
cuyo centro es la Tierra. tal / Os\
y como se imaginaba el uní- oi /1 1q.
verso hasta el siglo xvi, en- N. y
tonces se puede proyectar \ I
el ecuador hasta un círculo V '—-- A /
méximo QQ', que dividirá la E /
esfera celeste en dos hemls- /
ferios. Por otro lado. el mo- y/
vimiento de traslación de la _
Tierra alrededor del Sol provocaré
que. desde la Tierra,
se vea al Sol girar alrededor de la Tierra siguiendo otro círculo máximo £E'(la
«eclíptica») que, en el cielo nocturno, pasa a través de las doce constelaciones
zodiacales: Aries, Tauro, Géminis, Cáncer. Leo, Virgo, Libra, Escorpio, Sagitario,
Capricornio, Acuario y Piscis. Estos dos círculos imaginarios QQ'y EE' se
cortan en el cielo en el conocido como punto Aries (y), formando un ángulo e
que se conoce con el nombre de «oblicuidad de la eclíptica». Este punto y se
corresponde con la estrella que representa uno de los cuernos del carnero que
pretende estar dibujado representando a Aries. En astronomia, ese es el origen
de coordenadas del cielo. A partir de él, el Sol, S, se mueve por su círculo EE'
determinando su «longitud», o arco X = yS, y su altura sobre el ecuador, a la
que se llama «declinación» 8 = AS.
Con todo, aplicando el teorema del seno de la trigonometría esférica, segün
el cual en un triángulo esférico rectángulo el cociente entre el seno de cualquiera
de sus lados y el seno del ángulo opuesto es siempre constante, se
tiene que
=* sen 6 - - sen X sen e.
sen A sen e sen A sen 90*
Por lo tanto, los astrónomos antiguos tenían una imperiosa necesidad de
determinar el valor de la oblicuidad de la eclíptica para poder relacionar las
dos coordenadas del Sol: su longitud y su declinación.
2» 14’ de los citados Zij al-Shah y Jandajadmka ,
^°r^fflongitud del apogeo solar A, =77°55' (momentoen
l^bi0 nroduce la máxima distancia entre el Sol y Ia Tierra) de
d 4»e s ¿e Brahmagupta. Sm embargo, en la recensión de Mas
lsS°btra) está caiculada según el conocido método de las de-
1 ’ derivado del Zij al-Shah, que eonsiste en la fónrnda
eBoaciones,
este caso, 6(X) ^ corresponde con la declinación del Sol y
oblicuidad de la eclíptica Vale la pena señalar que el tratado
1 de al-Juarismi contenía dos tablas para la determinación de
0ISnación solar. La primera de ellas está computada a partir
1 una oblicuidad de la ecliptica de e=23ü51’, basada en el valor
tolemaico de 23°51’20”, mientras que la segunda parte lo está del
vaiorindio, e=24°.
La recensión continúa con la determinacion de la ecuación de
laLuna (calculada según el método de las declinaciones para un
máximo valor = 4° 56’ tanto del Zij cd-Shah como del Jandajadyaka),
de la declinación del Sol, de la latitud de Ia Luna y de
los parámetros correspondientes a los modelos geométricos
delosplanetas.
LASTABLAS trigonométricas del sindhind
ALfoaiismi también incluyó dos tablas trigonométricas en su Sin
foind-. una para el seno de un ángulo a y otra para su seno verso
Jlo que ^ lo mismo, Ia función 1 -cosa en una circ ‘
de radio - igual -GMcw <x a la unidad. umaaa. c>iguienao Siguiendo la trauiciuu tradición india, la
^no
*no ^laba
estaha
calculada según
\
los
-u~*Hnnas
llamados kardagas (o
fo «secvoip
./Dque ^ corresponden con todos los múltiplos ejos ^
*/li¡rda9°;1 se corresponde conl „j5¿,1«iaesun
arii, J 6 3’ COn los 45°, y así sucesivamente. La ^
de Ia circunferencia de 150 unidades, de modo qu
°n°n\étrica en cuestión es:
ASTRONÓMICA
LA OBRA ASTRONÓMICA

^IWQNOÜISV
vaao vi
voiwpNoaj-sv víjbo v^
•oye |ap o;uaujouj jambieno ua eotjdjpeei
ap opexa Je6n| ns ua |os |e Jenjp uejjiuuad anb seiqe; se| ojndujoo 'JO|eA ajsa uoo 'A
SZ„Z ap Jas eiqap |OS |ap uppenoa euu|x?iu e| anb p|no|eo oaujO|o;d b - Y - Y O|no|pi
¡e ejuetpeuj ejapepjBA pn;!6uo| e| jeujujjajap ejjpod epep \ eipaw pn;i.6uo| epeo
ejed 'oiuaujoui asa ua anb eA '«uppenoa» opeuue|| 'b o|n6up iap jo|ba |a jeu¡ujjajep
eqejiej ai ops oaujoiow e ‘jsy "X ejapepjaA pnji6uo| ns pn;qoexa uoo jtpauj epend
as euati e| apsap anb sej;ua|UJ 'eoqdjpa e| ajqos y eipauj pn;i6uo| ns opueujujjejep
auuojiun jeinojp ojuejujiAOuj uoo3 ap jopapaj|e eji6 's '|OS |9 'o;ue; 01 JOd '0SJ9A!uri
iep ojjuao |sp sapeppn s'Z opezeidsap eqej;uooua as 3 je|os e;iqjp e| ap ojjubo
ia ojed 'j ua epenjjs eqejsa ejja¡i e| anb |a ua euia;sis un oap! oaujoiojd ,sand !SV
•sapepiun 09 e.ipaujxvoipej p anb |a ejed euia;sis un ua sapepjun g'Z ap JasPll05^
b.. sojund so| ejjue uppeuedes e| ap ojoexa j0|eA (a jep opnd •sejoBfnd op
pmajoei |3 * ejJ4aujouo6!J4 e| opueznpn 'A ,qq á .od \gg \ vv SODje so| ap oun epeo
atuepexa 9uiuJJ&qap 09UJ0|0jd ueionpojd as enb epuajajip sp sejoq oz A sejp z
soi ap saiqesuodsaj soi jas uejqap ,gg A ,VV •oaijouj asa joj \gg A gV '<vv SodjB so|
euapuajdujoo anb eA 'o06 aP JoAeuj ejjes gV |ensiA ooje |a '9iue4suoD pepoo|9A e g
e w' op esezeidsep es ps |a anb ep jesad e 'oujod eij^A^ ue open;is jope/uesqo un '3
o}und |9 ejseq ejjaii e| eqezeidsep is enb pjpioop ooujoio^ ¿asjeondxe ejpod oujoo?
■0 e g ap j| eued o¡pauj A sejp Z6 * '9 e V ap j) ejed Ojpacu A seip 176 eqeaiduua |os |a
gno pqojdujoo oauuoiow 'Ofrl A 6£L soye soi ap seuojoeAjesqo sns ue 'o6jequj9 ujs
sejoq 9 ¡seo A sejp S9£ »seo ejnp oye |9 anb
eA 'so|J9JJ009J ua eipeai A sejoq 91 A se.ip 16 Jepjej ep eq ps |a A o06 e sa|en6i sopo;
jes uaqap VO A OJ ‘Oe ‘Htr' sooje so| 'ouja¡AU! ©P Ojoqsios |a q A oyojo ap oiooouinbe
|9 3 ‘ouejaA ap opqsios |a g 'ejaAeuJiJd ap oioooujnba |a sa V anb ejap¡suoo as is '01
-uej 01 JOd ajuejsuoo sa ps |ap peppopA e| anb eA 'uopejnp eiusiuj e¡ jauaí uaqap
enb sauopejsa oj^eno sei ua asjjpiAjp apend 'ejjaii e| ap jopapajp |os |ap eja|d
-ujoo uopeisejj eun 'jjoap sa 'je|os oye un ODQV Jepojp eijqjp ns ua ej|a e oujoj ua
ej¡6 anb 's 'ps PP A osjaAiun |ap oj;uao p ue epenjjs 'ejja.ix e| ap aped oaujoioy
•(0£9l-l¿Sl) J9|da>j sauueqor ap seoqdjp seaiqjp se| ap epe6a|| e| ejseq OAijiuyap
oseoo ns ejjaA ou anb ojapoiu un uojeu|Ujje;ap anb 'soinopo A sojuaiujeuozej sns ap
eioueisuoo plap '(saqeje somoupjjse soi jod ojsand ajquuou) o)sd6euj¡v ocuoo epip
-ouoo 'eo/jeujajeuj s/xejuis uejg ns ua 'jsy aiqfsod pnjqoexa eujixem e| uoo sajsapo
sojuajujjAouj so| jeoi|dxa uojaisndojd as (’O'p 11 0|6¡s) oaiuoiojd oipneQ 'apje; spuj 'A
Oe 110|6is) sepoy ap oojedm 'esjuiajd ejsa uo^ ajuejsuoo peppopA e ueqezueAe
saieno sej ap s?Aej; e sajeinojjo sejjqjp ua e;aue|d ojjsanu ap Jopapaj|e ueqej|6 opp
W sojjse soi sopoj 'saiajpjsuv un6as ejjan e| eqejsa ojjuao oAno ua ejajsa eun ap
ujjoj e| ejua; osjaA¡un p 'so6eij6 souuouojjsb son6que so| ap euoAeuj uej6 ei ejed
"IOS 13Q 01N3IWIA0W 13Q VDIVWilOld NplOVNIWbüiG VI
ap axred 12190193 tfun apuodsauoo sey ‘0g \ soi ap aiJBd
uos anb ‘(1g^ soj ap ^qq soi uejedas anb 0g soi b ‘sa.q »P
Eun ‘anb 01 uod ‘sepepiun ap upuajapp aPu ^
■°3 sal o09 sol sp 0g^ soi UBiudas atib 0gx soi b ‘o^uP 01 i°d
^ \Z 9p sa SüBvpim¡ soqure ap sajejnqi?] saJoiBA soi 9X1110 • ^ *
anb^M^jap bi ap mrumiOD ef anb as9AJ?síl° ^
Jon>A anb p eied) Oog ap ojngu? I0P , $
U9S sñhffim:ip!;J !UIS!1Bnf-IB «ipod OUIOD? 'ogjrequis urs '90'
S 8nb ^PtsuoD tuispunf-tu oiuod soipui SOUIOUP^
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SZ oO£
6£ oSl
ouas-osi o
9
S
V
£
Z
L
ebepjex

Kardaga a 150 sen a
1 15° 39
2 30° 75
3 45° 106
4 60° 130
5 75° 145
6 90° 150
Así, igual que en la actualidad es posibie
ángulo de 45°, obteniendo el resultado
J^encia
,r6rloHios indios como al-Juarismi consideraban que sen
I»*35 nA Sin embargo, ¿como podraaWuarisnü calcular ei v»?
*11del ángo>° de 500 ^ el ^111,3 ^ovüadora arroia Z
dd< loximado de 0,766044...)? 50» está entre los
^’Íérvese qne la columna de la dereeha refleja que la
3Í ’ pntre Ios valores tabulares de ambos kardogos es de 24 uni
^ por lo tanto, a ios 15“ que separan los 45» de los 60» [es co-
de una diferencia de 24 unidades, con lo que, mediante una
, regla de tres, a los 5° que separan los 50» de los 45°, que son
«rce» P**» de los 15°’l6S COITesponde a tercera parte de las
LA DETERMINACIÓN PTOLEMAICA DEL MOVIMIENTO DEL SOL
Para la gran mayorfa de los antiguos astrónomos griegos. el universo tenía u f
de una esfera en cuyo centro estaba la Tierra. Según Aristóteles. todos los astrnTS
cielo giraban alrededor de nuestro planeta en órbitas circulares a través de las
avanzaban a velocidad constante. Con esta premisa. Hiparco de Rodas Csiqlo n ar\
y. más tarde, Oaudio Ptolomeo (siglo.. d.C.) se propusieron explicar los movimientos
celestes con la maxima exactitud posible. Asi. en su Gran sintaxis matemática, conoc.da
como Almsgesto (nombre puesto por los astrónomos árabes), dejó constancla
de sus razonamientos y cálculos. que determinaron un modelo que no vería suocaso
definitivo hasta la llegada de las órbitas elípticas de Johannes Kepler (1571-1630).
Ptolomeo parte de la Tierra, T. situada en el centro del universo y del Sol. S. que gira
en torno a ella en su órbita circular ABCD. Un año solar. es decir. una traslación completa
del Sol alrededor de la Tierra, puede dividirse en las cuatro estaciones que
deben tener la misma duración, ya que la velocidad del Sol es constante. Por lo tanto,
s¡ se considera que A es el equínoccio de primavera, B el solsticio de verano. C ei
equinoccio de otoño y D el solsticio de invierno. los arcos AB. BC, CD y DA deben ser
todos iguales a 90° y el Sol ha de tardar 91 días y 16 horas y media en recorrerios. ya
que el año dura casi 365 días y casi 6 horas.
Sin embargo. en sus observaciones de los años 139 y 140, Ptolomeo comprobó que
el Sol empleaba 94 dfas y medio para ír de A a B, y 92 días y medio para ir de Ba C.
¿Cómo podfa explicarse? Ptolomeo decidió que si desplazaba la Tierra hasta el punto
f, un observador situado en E veria como, a pesar de que el Sol se desplazase de A a
Ba velocidad constante. el arco visual AB sería mayor de 90°, ya que comprendena
los arcos A4AB y BB'. Por ese motivo. A4'y SS'debían ser los responsables de os
2 dfas y 20 horas de diferencia que se producían, Ptolomeo determinó exactamen e
cada uno de los arcos AA', BB’, CC' y DD' y. ut¡l¡2ando la trigonometria y el te°re
de Pitágoras, pudo dar el valor exacto de la separación entre los puntos E y • ^
ltó ser de 2.5 unidades en un sistema para el que el radio ATmedia 60 unidades.
1850' ptolomeo ideó un sistema en el que la Tierra estaba situada en T, pero el
Tt,0 de la órbita solar £ se encontraba desplazacío 2,5 unidades del centro del
C*verso Por |0 tanto. el Sol, S, gira alrededor de £ con movimiento circular uniforme
tóermínando su longitud media A sobre la eclíptica. mientras que desde la Tierra se
ouede medir con exactitud su longitud verdadera X. Asi, a Ptolomeo solo le faltaba
determinar el valor de^ángulo q. Ilamado «ecuación». ya que en ese momento. para
cada longitud media A dada. podría determinar la longitud verdadera mediante el
cálculo A - Á - q. Ptolomeo calculó que la máxima ecuación del Sol debia ser de 2°23‘
y.con este valor, computó las tablas que permitían situar al Sol en su lugar exacto de
laecliptica en cualquier momento del año.
142
LA OBRA ASTRONÓMICA
laobraast

24 unidades, es decir, 8 imidades. En consecuen *
sen 60° - sen 45°+%-24 = 106 + 8-114 unidades^' Se Üene que
En su recensión, Maslama también incluyó una t K
ción seno basada en la tradición gñega En el AlmoZ de la %
definió la función trigonométrica cuerda para .Ptolorneo
dado. Así, si en una circunferencia había el ángulo ^ulo
consideró que su cuerda era crd /3 = AB, en compar^’ V°loineo
tradición india que, como se ha visto, se basó en la fi^!°n Con **
(figura 1). Por lo tanto, si se considera el ángulo a tal n ^ Sen°
doble, entonces sen a - AC y, como AB=2AC, se tiene queS6aSU
AB - 2AC => crd 0 - 2 sena => crd 2a - 2 sena =*
=* sena = icrd 2a.
2
Maslama era muy consciente de esta equivalencia y se dedicó
a dividir todos los valores de la tabla de cuerdas del AL-magesto por
la mitad. De esta manera, si Ptolomeo calculó que la cuerda del
ángulo de 30° era igual a 30 unidades, Maslama pudo determinar
que el seno del ángulo de 15° era de 15 unidades.
Otra de las funciones trigonométricas
que al-Juarismi introdiyo
en su obra fue la de la cotangente
de un ángulo, dada su utilidad para
poder determinar la hora del día a
partir de la altura del Sol. Si se coloca
un palo vertical de 12 unidades
de longitud sobre el suelo, la altura
del Sol a lo largo del día irá determinando
sombras de distintós on
átudes. Por lo tanto, al me io
momento en el que el Sol HegJ * ]a
punto más elevado en eHn ^
sonibradelpaloserálamw
deldía.Apartirdeese^roajiera
sombra se irá alargan ^esprogresiva
conforme e
jipndo en el cielo hasta su definitivo ocaso por el hnri .
<s ei ángulo de altura del Sol bajo el cual proyectasür
Sl f nces la longitud de la sombra proyectada será igual a 127T'
y Con todas estas tablas, al-Juansrm íue capaz de ir ealculL,,
más tablas correspondientesa las ascensiones recta y oblicua, la
^encionada declinacion del Sol, etc. ^ a
^ (NFLUENCIA del sindhind
Como en los casos anteriores, el Sindhind también tuvo una gran
influencia en la astronomía de la Edad Media y fueron muchos
los astrónomos y astrólogos que se basaron en estas tablas para
compilar sus propias obras.
En tiempos de Abderramán II, las tablas de al-Juarismi llegaron
a Córdoba y parece que circularon entre los astrónomos y
astrólogos de la corte. Por ejemplo, Yahya al-Gazal (773-864), un
muy reputado poeta y astrólogo en las cortes de al-Hakam I y de
su hijo Abderramán n, las utilizaba para levantar sus horóscopos.
Si se tiene en cuenta que al-Gazal fue la figura elegida por el emir
para encabezar la primera embajada cordobesa a Bizancio en el
año 839, se puede inferir que otros astrólogos importantes de la
corte también harían uso de ellas y que así se convirtieron en uno
de los textos fundamentales, juntamente con el Almagesto, para
^ determinación de sus efemérides planetarias.
Sin embargo, el punto culminante de la tradición india en al-An-
T1 ns la recensión elaborada por Maslama, con la ayuda de ibn
■Saffar (n\. 1034). A través de su escuela, ios discípulos de Masla
asunilaron la astronomía india del Sindhind y la fueron trans-
^hendo a sus propios alumnos. De hecho, el propio al-Saffar es-
hb 1Ó,0tra recensión independiente de la de Maslama, y lowsmo
de,°.!bn (m. 1035), quien además utilizó ciertosparaine
eor\^ndklnd para trazar las láminas de su ecuatorio, e
11113 vers*ón castellana incluida en los Libros
deAlfonso X el Sabio, rey de Castilla entfe I252y 1284.
144
LA O0RA ASTRONÓMICA
, ASTRONÓMICA

Otro de los astrónomos andalusíes que se basó
fue eljienense ibn Mu’ad al-dayyani (m. 1093), CUyos
ron traducidos por Gerardo de Cremona en eí sigl0 Can°nes füelas
Tablas de Jaén no dejan de ser una versión del
Maslama con tablas calculadas para las coordenadas ^
de la ciudad andaluza, E1 seviliano Abu Jafar Ahmad ?0gráficas
mad (m. ca. 1100) también siguió la tradición india1 ^ 31
series de tablas astronómicas que combinó en una te^ SÜS ^08
conocida como al-Muqtabis. Tan solo se conserva un Serie
los cánones en árabe, pero existen una versión latina elaWa¡¡° ^
Sicilia por Giovanni de Dumpno en 1260 y otra hebrea a c ^ ^
judío español Solomon Franco (siglo xiv). ibn al-Kammad d^br^
entrar en contacto con el Sindhind mediante las enseñanza^d
su maestro Abu Ishaq Ibrahim al-Zarqali, también conocido qoJ
Azarquiel (Toledo, ca 1030- Sevilla, ca. 1100). E1 propio Azarqmd
en su Tratado sobre el movimiento de las estrellasfijas, relata:
Ibn ai-Samh reunió un buen número de observaciones astronómicas
con lo que pudo Uegar a comprender el curso del movimiento de las
estieUas fyas. Pero eUo solo se le ofreció de una manera incompleta
Después de él, nosotros seguimos el estudio de este probiemaenTo-
ledo, con un grupo de personas que nos merecían nuestra conflanza,
personas peritas y de mérito científico, conocedoras del Sindhindy
de las observaciones de los astrónomos.
Cabe citar un tercer caso en la península Ibérica, las Tablas de
Barcelona que hizo compilar el rey Pedro el Ceremonioso (1319-
1387). La obra fue escrita alrededor del año 1381 por Jacob Cor-
suno de Sevilla con la colaboración de los catalanes Pere Gilbert
y Dalmau Ses Planes. E1 propósito de Pedro el Ceremonioso era
dejar un legado científico importante que incluyera unas tablas
astronómicas de referencia para toda la cristiandad, y la c0
ración de Corsuno convirtió el proyecto en una adaptación e
Sindhind a la ciudad de Barcelona
Pero además de las distintas tablas astronómicas comp ^ ^
a paiür de esta tradición india, también hay que tener en ^
transmisión a través del comentario de ibn al-Muthanna, e c
u aut mia * %• '-c «e »c «3» e
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146 LA OBRA ASTRONÓMICA
ASTRONÓMICA

LA FiGURA DE AZARQUIEL
Abu Ishaq Ibrahim al-Zarqali (1029-1087), también conocido como Az
de los matemáticos y astrónomos más importantes del siglo xi en la uno
Al hablar de los grandes cientificos de su tiempo, el cadí Sa'id dijo de'é|?SUla lbér*ca.
Y el más sabio de todos en la ciencia de los movimientos de los ast
constitución de las esferas es Abu Ishaq Ibrahim ibn Yahya, el cincelad r°S V de ^
cido por el «hijo de Zarquel». Él es el más eminente entre la gente 'd' COn°'
tiempo en lo que respecta a las observaciones astronómicas y en la @ n°estro
la estructura de las esferas y en el cálculo de sus movimientos y es el m600'3 d®
de todos ellos en la ciencia de las tablas astronómicas y en la invención deS
mentos para la observación de los astros. e 'nstru*
El granadino Abu Bakr al-Zuhri (m. 1137) también relata que Azarquiel fue el inq
ro de dos «maravillosos y sorprendentes» relojes de agua a orillas det Tajo en Tol^i'
los cuales parece que aún se usaban en el año 1134. W0‘
Mediante los apuntes autobiográficos de sus distintas obras, también se ha llegado
a saber que Azarquiel dejó Toledo algo antes de la conquista cristiana (1085) y se
trasladó a Sevilla, donde reinaba al-Mu'tamid desde el año 1078. Posteriormente, en
Córdoba, Azarquiel realizó su último periodo observacional que finalizó en la segunda
mitad de la década de 1080 rodeado de sus discípulos.
La importancia de sus obras llevó a Abraham ben Ezra a añrmar que. hasta el momento,
«nadie podía rivalizar con él desde el tiempo de la entrada de los musulmanes
en España», y prueba de ello es que Nicolás Copérnico (1473-1543) lo citó en
su De revolutionibus orblum coelestium (1543), que introdujo las teorias hellocéntricas
en la historia de la astronomía y cambiaría el rumbo del cálculo de las efemérides
planetarias.
Sus obras son muchas y muy diversas. Entre ellas, cabe destacar las siguientes:
— Las Tablas de To/edo. Son un conjunto de tablas astronómicas con unos cánones
que explican cómo deben ser utilizadas, calculadas para la ciudad de Toledo. Compilan
la amalgama de fuentes de las que Azarquiel podia disponer: el Almagesto
de Ptolomeo. la obra astronómica de al-Battani y el Sindhind de al-Juarismi. Además,
incorporan las observaciones astronómicas del propio Azarquiel, presentando
novedades en cuanto a algunos de los parámetros astronómicos.
— El A/manaque perpetuo, basado en los ciclos de los planetas. Azarquiel recuperó
una antigua tradición mesopotámica estudiada por Hiparco de Rodas y también
por Ptolomeo, que estableció el número de revoluciones sinódicas de los
planetas. Si, por ejemplo, en 59 años solares Saturno realizaba 57 revoluciones
sinódicas por 2 zodiacales. para calcular sus efemérides tan solo haria fa ta
tabular su posición en cada uno de los d(as de esos períodos. De esta manera.
.andrian que reelizer largos cáleulos slgulenCo los mode,05
j°ndioS' í0hre el rftovimiento de las estrellas fíjas. escrito entre los
0 Ttí>,ad0o°e%ado únlcamente a través de una traduccion hebrea a *
',080 y c“nnSYehudá (1150-1230). Es la obra donde Azarquiel
Uuel 11 la trepidación. Desde que Hiparco descubriera la preceslá^í °*
ée I»te0" y la determinara en 1" cada 100 aflos, las observaciones realizadas “
«**S£Zos posteriores habian ido arrojando otros valores dlstintosV cada ss'
(de 354 días) y 6 meses er< la cudad de Bagdad del slglo
3t7rabes para al-B¡run¡... Este hecho. junto con la progresiva dismlnuclón en
»*•* ,3 oblicuidad de la ecliptica. Ilevó a Azarquiel a Idear unos modelos
eltricos que recoglar, estas variaclones, dando una explicación matemitica a
960íT1foblema teórico.
referente a/ movimiento del Sol. Es una obra que cita el mismo Azarquie)
-13 , Tratddo sobre el movimiento de fas estrellas fijas, y es el resultado de 25 afos
T observaciones a partir de las cuafes Azarquiel descubrió el movimiento del
de e0 solar (rápidamente recogido por Abraham ben Ezra en su Ubro de los
tndamentos de (as tab/as astronómicas). Azarquie! también propuso un nuevo
modelo geométrico para el Sol con la excentricidad variable, en contraposlción
con los modelos ptolemaicos.
_E1 Tratado de la azafea. Contiene la descripción de un instrumento para el que
hay tres versiones. La primera está dedicada al rey al-Ma‘mun de Toledo y la única
referencia a ella la encontramos en los Libros del saber de astronomía de Alfonso
X el Sabio. La segunda es la «azafea al-’abbadlya», dedicada al rey al-Mu’tamid
deSevilla. la cual solo se conserva en su versión árabe. Finalmente, también se
encuentra la «azafea al-shakkaziya». la cual llegó a construirse duranteel Renacimiento
europeo. La azafea es un instrumento para la determinación de ciertos
arcos trigonométricos y la resolución de algunos de los problemas más comunes
de )a trigonometría esférica y, todo ello, sin tener en cuenta la latltud del lugar
donde se usa el aparato.
~ El Tratado de la lámina universa/ de los siete planetas. Conservado a través de la
versión alfonsf que realizó el judío Rabipag, es otra de las obras de Azarquiel
^onde el matemático intentó simplificar los cálculos de efemérides planetarias.
Azarquiel inventó un Instrumento sobre el cual se podían calcular las posiclones
e los planetas con la ayuda de unas lámlnas que se colocaban sobre él. Cabe
ecir que en la descripción del modelo geométrico de Mercurlo. Azarquiel es e
Pnmer astrónomo en la historia en utilizar una elipse para explicar un movimien-
10 Planetaric.
ab/90 también a Azarquiel un Tratado de la esfera armilar, actualmente perdinos
tratados menores de magia.
LA OBRA ASTRONÓMICA
UA OBRA ASTRONÓMICA

objeto de como mfaimo una traducción de Huao do «« . ,
tre 1119-1151) y de una versión hebrea a careo de Ahrl^ (acttvoen.
E1 Svndhind fue conocido en Inglaterra a princW^ ***■
gracias a la citada traducción, realizada por Pedrn ViT d siS>° ffl
dor del año 1116. Pedro Alfonso vúúó a Inelaterra h 080
instalóenlacortedeEnriqueI(reyentre losaños
se convrrüó en maestro de las artes überales v tuvn * U35)' AIH
a Walcher, futuro prior de Malvem, a quien enseñó°m°
y, en partícular, las tablas de al-Juarismi adaptadasJTT“’°niía
cnstíano. Poco después, la abadía de Maivem se con vi»
de los centros cientfflcos más importantes de la InRlatemíoT Un°
xii y, junto con la traducción de Adelardo de Ba.hloT Slgio
de Maslama, no es de extrañar que ,os a^ónomos v "
mgleses de los años siguientes las tuvieran muy en ouimtT
LAS TABLAS DE TOLEDO
Otro de los caminos por el que la astronomía del Sindhind se
íntrodqjo en la Europa occidentaI medieval fueron las Tablas rfe
Toledo, las cuales rápidamente sustituyeron a la obra original de
al-Juarismi. Estas tablas fueron una obra eolectiva compilada alrededor
del cadi Sa’id de Toledo, en ias cuales Azarquiel desempeñó
un papel determinante. Se conservan multitud de manuscritos medievales
que atestiguan la gran aceptación que recibió esta serie
de tabias astronómicas desde la primera mitad del siglo xn gracias,
sobre todo, a las versiones latinas que elaboraron Juan de Sevilla
y Gerardo de Cremona, entre otros.
La obra contiene tablas copiadas directamente del Sindhind
de al-Juarismi (adaptadas a la ciudad de Toiedo), aunque también
del canon astronómico de ai-Battani (m. 929) y, en general, de
las múltiples copias y ediciones conservadas. Sus contenidos se
pueden resumir como sigue:
— Tablas calendáricas, que contienen equivalencias entre eias
y los distintos calendarios de uso común en astronomía:
egipcio, árabe, persa..
Tablastrigonométricas, que incluyen tablas paralafunrih
seno (utiüZandoun radio delacircunferenciade
des)ylacotímgente,tabtoparaladeclinaciórlsolarfflt
l0S valores de la obücuidad de la ecüptíca de 23°5P
bién de 23-33’, detenuinado en las observaciones UevadT,
caboenBagdad durante el siglo ix), las ascensionesre.T,"
oblicuas... Hay versiones que también incluyen tablas Zl
la función seno denvada de las cuerdas ptolemaicas y radio
igual a 60 unidades.
_Tablas para los moviirdentos medios y las ecuaciones del
Sol, la Luna y los cinco planetas conocidos. La mayoría de
las tablas de las ecuaciones están sacadas de la obra de
al-Battani.
— Tabias para las latitudes planetarias, todas ellas originarias
de al-Juarismi.
— Tablas para la detenninación de la visibilidad y retrogradación
de los planetas, copiadas de al-Battani y del Almagesto.
— Tablas para la determinación de eclipses de Sol y de Luna.
La mayoría de manuscritos contienen dos series de tablas
correspondientes a los cálculos de al-Juarismi y de ai-Battani,
respectivamente.
— Tablas para el cálculo de la precesión de los equinoccios,
siguiendo la teoría de la trepidación de Thabit ibn Qurra
— Catálogos de estrellas y constelaciones.
—• Tablas con las coordenadas geográücas de multitud de localidades.
10¿Orn° ^ ^ la importancia que tuvieron las Tablas de
ropa ° Se °^serva en ntultitud de copias conservadas en Euaijún
a pesar de que en el tercer cuarto del siglo xin las Tablas
ei\ laT5’ patrocinadas por Alfonso X el Sabio, las sustituyeron
hicieroerUri8l^a ^er*ca- Un siglo después, las Tablas alfonsíes se
del 1111 ^ueco dentro de las obras astronómicas y astrológicas
Permitíaff0 Europa pero» P°r ejemplo, Geoffrey Chaucer aún se
<¿e Qnr,t f^^bir en su «Cuento del terrateniente» de los Cuentos
'*,aerhum,.
150 LA OBRA ASTRONÓMICA
LAOBRAASTRONÓMICA

LA oBRA ASTRONÓMICA DEL REY ALFONSO X EL SABIO
Alfonso X el Sabio (122H284) puede ser considerado el mayor mecenas d*.
latina en la península Ibéríca del siglo xw. Bajo su patrocinio. se llevaron a c7k Cultura
ciones científicas del árabe al latín y al castellano. dando paso a los pñmern ° tfaduc‘
astronómicos en lenguas vemáculas escritos hasta entonces. s trat^os
Una de las mayores aspiraciones de Alfonso X era la de convertirse en emDpraw
Sacro Imperio Romano y. tal ve2. dentro de su campaña de publicidad vio l7,0rdel
tura cristiana el mayor exponente de una labor que lo podia encaminar en su CUl'
por la corona europea. Asi. Alfonso X decidió que se debía compendiar todo ***
cimiento astronómico y astrológico de su época. por lo que decidió que se com Ci°n°*
tres colecciones: una dedicada a la magia, otra a la astronomía y una tercera a u °
trología. De la primera se conserva el Liberpicatrix, traducción latina reali2ada JnS
del tratado árabe Elobjetivo delsabio, sobre magia talismánica. De la tercera SQi
conserva parte del Lapidario, redactado hacia 1250. que recoge las propiedades^6
las piedras en relación con la astrología. Con este panorama, la segunda colección 6
la que conlleva mayor interés al contener los conocidos Libros del saber de astronomú
Sus autores fueron, principalmente, los iudíos Rabicag, Yehudá ben Moshé y Samuei
ha-Levi. aunque contaron con colaboradores como los italianos Giovanni de Cremona
y Giovanni de Messina. o los españoles Garci Pérez y Fernando de Toledo.
alguna version ae la consrruccion ___
|0me° y c bjo descrita por Mashallah ibn Athari
del aSn°8l5). Los capítulos que describen el uso
(ca 7 | bj0 s0n una posible reelaboración de .-T&L
de> a5t7 s andalusíes de la escuela de Maslama.
materia'® ¡pa universal. La descripción de su fU -
Libr0 d* traducción del tratado de Ali ibn Jalaf
^ inT0) Rabicag fue el autor del texto expli-
(ca' a* «;u construcción. adaptando la consla
azafea de Azarquiel. 1Í7 ’lM}
truCC . /gdZdfea. Traducción de la construcción
Llbr0 t DOr Azarquiel. realizada por Bernardo el
Sqo y su alfaqui Don Abraham en 1278.
i h o de las armillas. Traducción o adaptación Seiio Aifonw x «i sawo.
quehizo Rabicag del libro homónimo (perdido)
ije Azarquiel.
Libro de las láminas de los siete planetas. Se describen las construcciones de los
pruatorios de ibn al-Samh y de Azarquiel.
- Libro de la octava esfera. Dedicado a las constelaciones, fue elaborado por Yehudá
ben Moshé y Guillén Arremón Daspa en 1256. aunque veinte años más tarde fue
objeto de revisión del propio ben Moshé junto con Samuel ha-Levi y los dos coiaboradores
italianos ya citados. Es una interpretación libre del Libro de las estrellas
fíjas de Abderramán al-Sufi (903-986) con adiciones y conocimientos tomados del
picatrlx, el Tetrabiblos, el Lapoidario (todos ellos vinculados a ben Moshé) y también
de la traducción latina del Almagesto (1175) a cargo de Gerardo de Cremona.
- Llbro de la esfera sólida (o dell alcora). Consta de tres partes muy distintas. La primera
alberga los cuatro capitulos iniciales sobre la construcción del instrumento y
son una adición alfonsí, obra de Rabicag probablemente. La segunda es la traducción
(terminada en 1259) del tratado homónimo de Qusta ibn Luqa (siglo ix) donde
se explíca su uso, a cargo de Yehudá ben Moshé y el castellano Juan Daspa Final*
mente, la tercera parte contiene un único capítulo adicional que ordenó el propio
Alfonso X con el objetivo de describir la construcción de las «armellas».
-Llbro del astrolabio redondo. Es una probable adaptación que hizo RablCag
tratado sobre el uso del astrolabio plano escrito por ibn al-Samh (m. 1035). Ya
cuando recibió la orden del rey Alfonso X de redactar un tratado de es a' ^
Rabicag no encontró ninguna fuente en la que basarse. La razón es que e as
plano era rnuy popular y esto pudo ensombrecer la construcción de este i
to, que era conocido en al-Andalus desde el siglo x. instnj-
- Libro delastrolabio plano. Consta de una parte dedicada a la construcción w ^
mento y otra a su uso. De autor desconocido, no se descarta que sea una ptopiamente
alfonsí basada en el comentario que hízo Maslama del Plams
LA OBRA ASTRONÓHICA
laobraastronómica
153

A1 fin encontró el momento correcto para la •
y diabólico copjuro. Sacó sus recién conregid¿ClICÍÓn de itq ■
astronomía y todo lo que necesitaba: tablas sob
los planetas durante períodos redondos, tablas p^ ^ movimiento í
de los períodos y longitudes para ciertas fechas *** ^ SUbdiv»sion
bases para el cálculo, y todo el resto de su parafe ^ P[°PorciQ^
centros y ánguios de cálculo y sus tablas de propor .^68 oom0
determinar los moviitüentos de los planetas, para''°naIida(les.Pata
todas sus ecuaciones. ' P°der hacer asj
Lecturas recomendadas
Yase hacomentado que el Sindhind de al-juarismi
do en IngJaterra a principios del siglo xn, pero el relato
está basado en la adaptación que realizó Robert de Cheste ^
diácono en la catedral de Pamplona en el año 1140 al^ ^
de Londres en su regreso a la capital inglesa en 1146. meridian°
Otro ejemplo de la transmisión de las Tablas de Toledo
remite al sur de Francia, donde eran bastante conocidas, mclü.%
antes de que Raimundo de MarseUa compilara su propia vereión
en 1141. Su Liber cursuum planetarum (a través del que fueron
conocidas sus Tablas de Marsella) fue la primera adaptación de
las tablas a una ciudad europea cristiana, así como también al calendario
cristiano, y se adelantó como mínimo unos treinta años a
laprimeratraducción del Almagesto al latín (1175). En el sigloxm
las Tablas de Toledo aún eran utilizadas en Toulouse, donde fueron
objeto de una adaptación a esta ciudad en la primera mitad del siglo,
pero con el paso del tiempo la obra de Azarquiel fue perdiendo
su presencia en Francia con la aparición de las Tablas alfonsíes.
Sin embargo, algunos de sus parámetros astronómicos siguieron
estando presentes en las obras astronómicas del siglo xiv, como
las tablas compiladas por Jean de Lignéres en 1322.
Las Tablas de Toledo fueron traducidas al griego enel
y una de sus últimas apariciones importantes pudo ser su1 n
cia en el Tratado de astrología atribuida a Enrique de 1
(1384-1434), redactada alrededor de 1440 por el clérigo An
drígnez. En la obra, el autor cita las Tablas alfonsies au^u,^^
bablemente, fueran alguna versión latina del Sirulfiindo
de Toledo las que fueran utilizadas en algunos pasajes e
Et libro del álgebra. Madrid, Nivola, 2009.
^I'ARISNO
Azarquiel. El astrónomo andalvxí. Madrid, Nivola,
D08C£, C.,
Moreno Castillo, R., Al-Juarismi. El algebrista de Bagdad. Ma-
drid, Nivola, 2010.
espinosa, L, «Componentes de una historia del álgebra. E1 texto
de al-Khwarizmi restaurado», Investigaciones en matemálica
educativa II. México DF, Grupo Editorial Iberoamérica,
2003, págs. 109-131.
«Historias de al-KhwariznU (3.a entrega). Orígenes del álgebra».
Suma, 60, págs. 103-108.
—: «Historias de al-Khwarizmi (5.a entrega). La cosa». Suma, 66,
págs. 89-100.
Samsó, J.( «Calendarios populares y tablas astronómicas», Historiadela
ciencia árabe. Madrid, Real Academia de Ciencias
Exactas, Físicas y Naturales, 1981, págs. 127-161.
Lis ciendas de los antiguos en al-Andaius. Roquetas de Mar,
Eundación Ibn Tufayl de Estudios Árabes, 2011.
i-ao8raastronomica

índice
«Hi.íMB.MI.W-tt
wlwranuU,ll41<. U»
^ (UH»d 99, ^
^jriwnlo d«* liath 11. 40.
150
¿.AiKlaJuí.34,49.138-139. 145. 152
ai-tUtfdwll H2, 54
i^Balliuu 147-1444, 150-151. 153
H-Biruu 45. 50-51. 131, 149
il-F*üán 49
•* Hauih, Hal>unh 24
«Wwrhun 24, 26
«HUrji 126-127
*kMtu, Jamithiri 64. 131
•^Mutnbi. sl-Samaw' 64
***inii, MaMUurva 11. 1;I7 130
•»'Un»Hu 15, lH-19,21. 33. 4»
***** 21-23, 34
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Mluí,
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Alfnnao X el Srt>u> 11, 145. 147,
151 153
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145. 149. 152
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151 154
al«oniim> 10. 43. KV5H. 1840, «3,
M4H, 71. 73*7By «4. 91. IflU.
127 128
AjN>j4>mt» 7. 27
ConuiM 10. 19. 27. 130
AnjunmrtM 7-8. 10. 19, 27 28,
31. 96-96. 98, 139
ArvahhaU l 48. 93, 100
A'-VuhMattw 48, 100
wtin>Lthh> 24, 29. 34,51. 75,
1:19, 152-153
Aleiun 74t> 15, 19. 40
Aunlbn', lH*bertu de (SUvmtrr D)
11.64
157

Aau-quiel 11,146,148_m
163-134
Basdad9.ll, 13,15,18-24,26-27
29,-31,33,43,49,61,63,62-64
no, 119,149,151
Banu Musa 26, 27-28, 30
ben Ezra, Abraham 49, 66 72
148-150
Bhaskara 1100
Bhaskara II102
Bizancio 21,146
Boecio 8, 72
Borghi, Pietro 69-70, 73
Brahmagupta 43,46,48,101-102
Brahmagvpta~siddha7Ua 137
Jündajadyaka 137,141,147
Cardano, Gerolamo 70, 74, 134
Casa de la Sabiduría 9,11, 13(
19-27, 33-34,110, 136
cero 45-46,48, 67, 71, 73
Chaucer, Geofírey 75-76,161,154
Chuquet, Nicolaa 70,133
cifra 9,11,36, 38-43, 45-46, 48, 60,
62-66, 60, 62-68, 70-78,128
Codex vigüianus 64
Copémico, Nicolás 148
Corán 16, 22-23,123
Cremona, Gerardo de 11,27,106,
131,146,150,162
Damasco 16-18, 24,26, 63
declinación del Sol 140-141,146, 151
declinaciones, método de Ias 141
Diofanto 7,10,95-99, 132,
Aritmética 10, 95-97, 99,
132-133
^s-iao
££<
134 i-92'B6.®.131;
"Sr*-*
hneaJ 88
Eratóstenes 7
esfera armilar 24,149
Euclides 7-10,32,77
Elementas 9-10,19,21,26,3i,
93,108-110,116,120,125,
128,132,139
Ferrari, Ludovico 134
Ferro, Scipione del 134
Fibonacci (Leonardo de Pisa) II,
65-66, 71, 73,132
guarismo 71, 77-79
Hiparco de Rodas 10,142,149-149
Hipatia de Alejandria 8,96
Hugo de Santaila 150
ibn Abi Mansur, Yahya 24
Zij cd-Mumtahan 24
145 _
^ l45,146'
423
..^o^'131
1«-1M
161
105.U1
140-141,149.151
observ-diono de Shammasiya 11,
22-24,26,33
Padoli, Luca 70,133
papiro de Rhind 84, 86-87
Pedro Alfonso (Moshé Sefardí) 11,
49,137,150
PedroelCeremonioso 11,146
Pellos, Frances 70,74
Peninsula Ibérica 10,17,19, 49,
6^65,105,131,139,146, 148,
151-152
Ptolomeo 7,10,33,142-143
Almage»to 8,10,21,^4»
138-139, 144, 148
Planisfeño 139,152
Tetrabiblos 21, 162-163
quipu 44-46
relnosdetaifas 138-139
ojpts Adam 70, 74
Bobért de Chester 11,106,131,164
Rudoiff, Christoff 74-76
Sacrobosco, Johannes de 11,67,
76-77
Algorismus vtdgaHs 11. 67-68,
70
Sa’id deToIedo II, 138-139,148,
160
Santcliment, Francesc 68
SevilJa, Juan de 11, 49, 52, 66, 67-69,
61, 131, 150
Sindhind 11, 21,24,34, 137-154
sistema de ecuaciones 92, 101,127,
134
Tablas de Toledo 11, 148,150-161,
154
Tartaglia (Niccoló Fontana), 72,
134
Teón de Alejandría 8
Wagner, LOrich 69
Walcher de Malvem 150
Widman, Johannes 69-70, 74, 132
Zij al-Shah 19,24, 137,141
156 índice
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