ECUACIONES PRESENTACIÓN.

ITCA SECCIÓN

DOCENTE: ING MELBIN BARRERA

ECUACIONES

• ¿Qué es una ecuación

• Elementos de una ecuación

ECUACIONESLINEALES

• Ecuación lineales o de primer grado

• Forma a + x=b

• Forma ax = b

• Forma ax + b = c

ECUACIÓNESCUADRATICAS

• Ecuación Cuadrática

• Clasificación

• Formas de Resolución:

• Factorización

• Formula general

DOCENTE: ING MELBIN BARRERA MATEMÁTICAS

Una ecuación es una igualdad entre dos

expresiones algebraicas denominadas

miembros,

conocidos

en

o

las que aparecen valores

datos, y desconocidos o

incógnita,

operaciones

relacionados

matemáticas.

mediante

a x = b

a x + b = c

x + a = b


3+x = 15

1er miembro

igualdad

2do miembro

Valoresconocidos Valore Operación

odatos desconocidoso

incógnitas

3y 15 x suma


Se dice que una ecuación es de primer grado

cuando la variable“x” no está elevada a ninguna

potencia, es decir,su exponente es 1.

exponente

1

a x + b = c



Las ecuaciones de la forma a

así:

+ x = bse resuelve

Tenemos 73 + x =125

1.Despejamos la x, es decir dejarlax solaa un

lado del sign ual.

Lado de la

ecuación

Pasarloalsegundo

miembro

73 + x =125

2.

lado del signo igual. Si

na vari

-73

stá su

pasa

restando y si esta restando pasa sumando.

x =125-73


3. Posteriormente

indicadas

se realizan las operaciones

X = 125 –73

X =52

Nos dice que “x” vale

52

4. Se realiza la comprobación, tomando la ecuación

original y enlugar dela incógnitasecolocaelvalor

encontrado.

Comprobación

Valor de x

73+ + x =125

73 +52 = 125

125 = 125

Como es una igualdad ambos miembros tienenque da el mismo

resultado


Laura va al mercado con un billete de $50,

después de efectuar sus compras, le sobraron

$34.50. ¿Cuánto gasto en el mercado?

Laecuaciónque expresa el problema es:

34.50 + x = 50

“x” es el valor que gasto en el mercado


34.50 + x = 50

x = 50 - 34.50

despejamos x y

realizamos operaciones

15.50 encontramoselvalorde“x”

x =

Comprobación

34.50 + x = 50

34.50 + 15.50 = 50

Por lo tanto 15.50 gasto en el mercado



Para resolver ecuaciones de la forma a · x = b

se aplica la propiedad de las igualdades, que

dice:

“Si se

número

multiplica o divide por un mismo

a ambos lados de la igualdad, ésta

se mantiene. “

Cuando se tiene una ecuación de esta forma, en

la cual un número se halla multiplicando a la

incógnita, se debe dividir a ambos lados de la

ecuación por dicho número.


Tenemos 5x = 30

1. Se divide siempre por el número que

multiplica a la “x”., o se multiplica por el

númeroqueesta dividiendoa “x”

5 • x = 30

Estamultiplicandopor

lotantovamos a

dividir por ese

número ambos

miembros

2.Realizamos las operaciones

x = 6

Encontramos el

valor de“x”


Comprobación

1. Tomamos la ecuación original

5x = 30

2. Sustituimos la incógnita por el valor

encontrado

5x = 30

5(6) = 30

30 =30


Alejandra compró dos cuadernos en la papelería

y le cobraron $32.00 ¿Cuánto le costo cada

cuaderno?

Laecuaciónque expresa el problema es:

2n = 32.00

“n” es el precio del cuaderno que

interesa conocer

nos


2n =32

Ambos

miembros

los dividimos

Comprobación

n =16

2n = 32

2 (16) = 32

32 = 32

Encontramos el

valor de “n”

Por lo tanto cada cuaderno costo $16



Para resolver este tipo de ecuaciones ax + b =

es:

c

1.Se resta a “b” en ambos miembros , si su

signo es positivo y se sumasisusignoes

negativo.

ax + b = c

2z –10 = 16

2z –10 +10 = 16 +10

2.Realizamosoperaciones y nos queda

2z = 26

3. Se divide a ambos miembrosdelaigualdadentre

“a”

En este casoes 2

2z=26

Nos queda

z =13

Comprobación

Sustituimos

encontrado.

en el lugar de la incógnita el valor

2z –10 =16

2(13) -10 = 16

26 -10 = 16

16 = 16


El perímetro de un rectángulo es 16 cm.Si un

lado mide5cm,¿Cuáleslalongituddelotro

lado?.

y

5 cm

Laecuaciónque expresa el problema

2x + 2 • 5 = 16

2x + 10 = 16

es:

Donde “x” es el valor de la longitud que

conocemos su valor

no


2x + 10 = 16

Ambos

2x+ 10 -10 = 16–10 restamos 10

miembros les

2x = 6

Ambosmiembroslos

dividimos entredos para

dejara “x”solita

x = 3


Comprobación

Sustituimos en

encontrado.

el lugar de la incógnitaelvalor

2x + 10 = 16

2(3) + 10 = 16

6 + 10 = 16

16 =16

Por lo tanto el lado mide:

2x = 2(3) =6 medidadellado


Una ecuación cuadrática o de segundo

grado esaquella en la cual la variableo

incógnita esta elevada al cuadrado y

tienelasiguienteforma:

Coeficiente

ax 2 + bx+c = 0

Termino lineal

Termino cuadrático

Termino Independiente



Según su numero de términos una ecuación cuadrática

con una incógnita puede ser:

completa

a x 2 + b x+

c = 0

3x 2 -

5x+6 = 0

Cuando a=1 se tienela forma

a x 2 +bx +c= 0

x 2 +3x-2 = 0

X 2 –64 = 0


Incompleta

Cuando lehacefalta un terminolineal

x + c = 0

a 2

Cuando lehace

independiente

ax 2 +bx = 0

2x 2 _

3 = 0

fata l un termino

3x 2 _

5x = 0

Cuandolefalta eltermino lineal

independienteax 2 = 0

e

16x 2 = 0


MÉTODO DE


Resoluciónde unaecuacióncuadráticaporel métodode

factorización:

Tenemos x² - 4x = 12

1)Laecuacióndebedeestarigualadaacero.Porlo que

ladode la igualdadle restaremos12.

x² - 4x = 12

x² - 4x-12 = 12-12

x² - 4x -12 = 0

2) Se expresa el lado de la igualdad que no es cero como

producto de factores.

x² - 4x-12 = 0

(x )(x ) = 0

a cada


como no es un trinomio cuadrado perfecto, hay que

buscar los factores que al multiplicarse nos de cómo

resultado -12 y que cuando los sumemos el resultado

sea-4.

(+2) x (-6) = -12

x² - 4x-12= 0 (+2)+(-6) = -4

(x +2 ) (x -6 )= 0

3)Porultimoseigualaacerocadafactorysedespejala

variable.

(x +2) = 0 (x-6)= 0

x+2= 0 x –6 =0


Para poder despejar a x en las igualdades si la

constante tiene signo positivo se resta a los dos

lados de la igualdad y si tiene signo negativo se

suma.

x+2-2=0-2 x -6 +6 = 0 + 6

x= -2 x = +6

Los valores de x son: -2 y +6

Comprobación:

Se sustituyen

X = -2

x² -4x = 12

(-2)² - 4(-2)

4 + 8 = 12

12 = 12

cadaunodelosvalores encontrados.

x = +6

=12

x² -4x = 12

(+6)² -4(+6) = 12

36 – 24 = 12

12 = 12


El área de un rectángulo es de 32m², si se sabe que uno de sus lados

mide 4 metros mas que el otro, ¿Cuántomide cada uno de sus lados?

Área = 32m²

x

x + 4

La formula del rectángulo es: Base x Altura, por lo quetenemos

B= x+4 , la altura= x y elA= 32m²,entonces

32 = (x+4) (x) multiplicando los factores tenemos la ecuación cuadrática:

32 = x² + 4x

x² + 4x = 32


x² + 4x = 32

1 Igualamos a cero

x² + 4x -32 = 32 -

x² + 4x -32 = 0

la ecuación

32

Para igualar a cero la

ecuación le restamos 32

a los dos lados de la

igualdad

(x-4) (x+ 8 ) = 0

El -4 y 8 son los factores

que al multiplicarlos nos

da -32 y al sumarlos 4


Se iguala acerocadaunode los factores

X – 4= 0

X-4 +4=

X= 4

0 + 4

X

X

X

+8 = 0

+ 8 - 8= 0 -8

= - 8

Los valores dex son 4 y-8, pero para resolver

el problema utilizaremos el valor de 4, ya

quela medida de un lado delrectángulono

puedesernegativa.

Base = x + 4

Base = 4 + 4

= 8

altura = x

altura = 4

Las medidasde los lados del rectángulo son

8m y 4m respectivamente


sustituimosel valor de x=4, en

x² + 4x = 32

(4)² + 4(4) = 32

16 + 16 = 32

32 = 32

la ecuación


aX 2 + bX+ c= 0


La formula general nos permite resolver cualquier tipo

de ecuación cuadrática. aX 2 + bX+ c = 0

La expresión

Discriminante

soluciones.

es conocida como

y determina el numero y tipo de

Si su valor es positivo, tiene 2 tipos de soluciones

reales, una positiva y otra negativa.

Si su valor es cero tiene una solución real

Si su valor es negativo tiene 2 soluciones imaginarias.


Resolución de una ecuación cuadrática

por medio de la formula general

6x² - 8x+2=0

1) Identificamos en la ecuación cadauno

de los valores para a, b y c aX 2 + bX + c = 0

a=6

a=coeficiente de x²

6x² -8x+2= 0

b=-8

b=coeficiente de x

c=2

c=Termino

independiente


2)Sesustituye cada unodelosvalores en la formula general.

a=6,b=-8yc=2

Se realizan las

indicadas.

operaciones

La discriminante

nosindicaquesu

solucióntiene 2

númerosreales

distintos

Xı = 1

X2 = ⅓


Comprobación:

Reemplazamos los valores de x en la ecuación, para

comprobar si se cumple

Con el valor de

6x² -8x+2=0

6(1)² -8(1)+2=0

6 – 8 +

8 –

2

8

0

=

=

=

0

0

0

la

igualdad.

Con el valor

e

6x² -8x+2 = 0

6(1/3)² -8(1/3)+2 = 0

6(1/9) - 8/3 + 2 = 0

6/9 –8/3 + 2 = 0

2/3 –8/3 + 2 = 0

-6/3 + 2 = 0

-2 + 2 = 0

0 = 0


Los lados de un triangulo rectángulo tiene por medidas en centímetros

tres números pares consecutivos. Halla los valores de dichoslados.

2x + 2 2x + 4

2x

Utilizando el teorema de Pitágoras a² + b² = c² ; tenemosque:

a² = 2x, b² = 2x + 2 y c² = 2x + 4

Entonces:

(2x)² +(2x + 2)² = (2x + 4)² desarrollando los cuadrados

4x² + 4x² + 8x + 4 = 4x² + 16x + 16 igualamos a cero la igualdad

4x² + 4x² + 8x + 4 -4x² -16x -16 = 0 Se reducen términos semejantes


Por lo que se tienela ecuación:

SOLUCION

4x² -8x – 12=

0

4

a

x² - 2x–3

Utilizandola formulageneral

b

c

Se sustituyen cada uno de los

valores en la formula

=3

De los 2 valores de x

, el que permitirá

resolver el problema

es 3


Tomando como valor para x a 3 y sustituyéndoloen

cada unade las ecuaciones tenemos que:

a=2x

a= 2(3)

a=6

b= 2x+2

b = 2(3)+2

b= 8

c=2x+4

c=2(3)+4

c= 10

Las medidas de los lados del trianguloson:

6cm, 8cm y 10cmrespectivamente.

COMPROBACION

x² -2x– 3=0

3² -2(3)–3 = 0

9 –6–3 = 0

9

–9 = 0

0 = 0

(-1)²-2(-1)–3=

0

X= -1

1+2 –3=

0

X = 3

3 –3 = 0

0 = 0


ECUACIONES PRESENTACIÓN.

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