1.5 Algoritmo de Euclides con menor resto. - TEC-Digital

Por ejemplo, si a = 144 y b = 89,
Revista digital Matemática, Educación e I nternet (www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/). Vol 10, No 2. , Marzo 2010. 5
144 = 89 · 1 + 55, r2 = 55 < b = 89
144 = 89 · 2 − 34, r1 = 34 < b = 89
Si a = 144 y b = −89, entonces q = �144/(−89)� + 1 = −2 + 1 = −1 y q + sgn(b) = −2.
Entonces,
144 = −89 · −1 + 55, r2 = 55 < |b| = 89
144 = −89 · −2 − 34, r1 = 34 < |b| = 89
Cálculo del menor resto. En la sección 1.5 vamos a necesitar el teorema de la división pero con
el menor resto. Para simplificar los cálculos, queremos calcular el menor resto usando una fórmula
directa. Consideremos la ecuación 1.4. Como se observa en la figura 1.4, uno de los restos es
menor que |b|/2. Si r = Mín{r1, r2} entonces, existe q ′ ∈ Z tal que
bq
a = bq ′ ± r con 0 ≤ r ≤ |b|/2.
r2
|b|
Figura 1.4
a
r1
|b|/2
Para los cálculos que vamos a hacer aquí solo necesitamos tratar el caso en que a ≥ 0 y b > 0.
Para comparar los restos a − b · �a/b� y b · (�a/b� + 1) − a usamos el hecho de que a/b =
�a/b� + pfrac(a/b).
Así,
• El menor resto es a − b · �a/b� si pfrac(a/b) ≤ 1/2. En efecto,
a − b · �a/b� ≤ b · (�a/b� + 1) − a
2a ≤ 2b · �a/b� + b
2a/b ≤ 2�a/b� + 1, como a/b = �a/b� + pfrac(a/b),
pfrac(a/b) ≤ 1/2.
• De manera análoga, a − b · �a/b� ≥ b · (�a/b� + 1) − a si pfrac(a/b) ≥ 1/2.