Método de la Bisección

UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR

FACULTAD DE INGENIERÍA, CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICA

CARRERA DE INGENIERÍA CIVIL

MÉTODOS NUMÉRICOS

TAREA #2

TEMA: Raíces de Ecuaciones.

Realizar la rutina para el método de la bisección y aplicarlo en 5 ejercicios.

Estudiante: Ángela Nicole Guamán Vargas.

Curso: Cuarto paralelo 1.

Docente: Ing. Luis Machado.

Observaciones:

Calificación:

Junio 2020 – Septiembre 2020

EJERCICIO 5.3.

1. Enunciado:

Determine las raíces reales de:

f(x) = −25182x − 90x 2 + 44x 3 − 8x 4 + 0. 7x 5

a) Gráficamente.

b) Usando el método de bisección para localizar la raíz más grande con εs =

10%. Utilice como valores iniciales xl = 0.5 y xu = 1.0.

2. Resolución:

a) Gráficamente

Figura 1: Resolución gráfica. Ej. 5.3

Gráficamente, se observa que la raíz más grande se encuentra en el punto:

P = (16.3268171723423;0).

A su vez, se observa que en el punto xl = 0.5 y xu = 1, intervalos indicados en el

ejercicio, no existen puntos en los que la función interseca el eje de las X, por lo que la

evaluación se realizará desde el punto xl = 15 y xu = 17.

b) Usando el método de bisección para localizar la raíz más grande con un

valor de εs = 10%. Utilice como valores iniciales xl = 0. 5 y xu = 1. 0

1. Código:

Fuente: Guamán, A. (2020)

disp('Obtener raíces de ecuaciones: Ej. 5.03');

clear all;

clc;

format short G

syms x

fx = input('Ingrese la función f(x): ');

xl = input('Ingrese el intervalo inferior XL: ');

xu = input('Ingrese el intervalo superior XU: ');

es = input('Error porcentual permitido en porcentaje: ');

% Ecuación ejercicio 5.03:

-(25182*x)-(90*x^2)+(44*x^3)-(8*x^4)+(0.7*x^5)

i=0;

xr=0;

R=[];

while i<100

xr_anterior = xr;

xr=(xl+xu)/2;

fxl=subs(fx,x,xl);

fxr=subs(fx,x,xr);

end

if ((fxl*fxr)<0);

xu=xr;

else

((fxl*fxr)>0);

xl=xr;

end

i=i+1;

ea = abs(((xr - xr_anterior)/xr)*100);

R=[R; i xl xr xu ea];

if ea<es

break

end

Xu

fprintf(' Repeticiones Xl Xr

Error Aproximado (ea) \n')

disp(R);

disp('La Raíz más grande es igual a: '); disp(xr);

disp('Iteraciones: '); disp(i);

2. Desarrollo de la respuesta

Figura 2: Command Window Ej. 5.3

Por lo tanto, después de únicamente dos iteraciones, se obtiene una estimación de raíz

en el punto P = (0.45313;0) con un error aproximado (εs) de 10%, donde el error

normalizado (εa) termina con un porcentaje de 3.3% menor a 10%.

EJERCICIO 5.6:

1. Enunciado:

Determine la raíz real de ln (x 2 ) = 0. 7.

a) Gráficamente.


b) Empleando tres iteraciones en el método de bisección, empleando los valores

iniciales xl = 0.5 y xu = 2.

2. Resolución:

a) Gráficamente



Gráficamente, se observa que la raíz se produce en el punto P = (1.419057548;0) en el

intervalo indicado de xl = 0.5 y xu = 2.

Analíticamente, si se aplica la regla del logaritmo natural para solucionarlo, se tiene

que:

ln (x 2 ) = 0.7 se convierte, en su forma exponencial, a: x = √e 0.7 , donde el valor

obtenido cuando la función interseca con el eje x, es: (1.419067549;0).

b) Empleando tres iteraciones en el método de bisección, empleando los

valores iniciales xl = 0. 5 y xu = 2

1. Código:

disp('Obtener raíces de ecuaciones: Ej. 5.06');

clear all;

clc;

format short G

syms x




r = input ('El número de repeticiones es: ');

% Ecuación ejercicio 5.06: log(x^2)-0.7

i=0;

xr=0;

R=[];

while i<3

xr_anterior = xr;

xr=(xl+xu)/2;

fxl=subs(fx,x,xl);

fxr=subs(fx,x,xr);

if ((fxl*fxr)<0);

xu=xr;

else

((fxl*fxr)>0);

xl=xr;

end

i=i+1;



end

Xu

fprintf(' Repeticiones Xl Xr

Error Aproximado (ea) \n')

disp(R);

disp('La Raíz es igual a: '); disp(xr);


2.1. Desarrollo de la resolución:


Por lo tanto, después de tres iteraciones, se obtiene una estimación de raíz en el punto de

coordenadas P = (1.4375;0) con un error aproximado (εa) final de 13.043%.

RUTINA 5.15:

1. Enunciado:

Por un canal trapezoidal fluye agua a una tasa de Q = 20 m3

La profundidad crítica y

para dicho canal satisface la ecuación:


Q2

0 = 1 − (

g ∗ A3) ∗ B

s

donde g = 9.81 m s 2, Ac = área de la sección transversal (m2 ), y B = ancho del canal en la

superficie (m). Para este caso, el ancho y el área de la sección transversal se relacionan

con la profundidad y por medio de:

B = 3 + y (1)

y Ac = 3y + y2

2 (2)

Resuelva para la profundidad crítica con el uso de los métodos a) gráfico y b) bisección.

Haga elecciones iniciales de xl = 0.5 y xu = 2.5, y ejecute iteraciones hasta que el

error aproximado caiga por debajo del 1% o el número de iteraciones supere a 10.

2. Resolución:

a) Gráfico


Gráficamente, se observa que la raíz en el intervalo indicado cuando x = 0.5 y x = 2.5

se produce en el punto P = (1.51405473665;0).

Para hallar la ecuación a evaluar, se tiene que, debido a que el ancho y el área de la

sección transversal se relacionan con la profundidad, estas ecuaciones (1) y (2) se

pueden sustituir en la ecuación original:

De donde se obtiene que:


Q2

0 = 1 − (

g ∗ A3) ∗ B

Q 2

f(y) = 1 −

g ∗ (3y + y2 3

∗ (3 + y)

(

2 ) )

Y, reemplazando los valores dados en el enunciado, se obtiene que:

20 2

f(y) = 1 −

9. 81 ∗ (3y + y2 3

∗ (3 + y)

(

2 ) )

La ecuación final, en función de x, queda entonces:

b) Método de la bisección

1. Código:

PARTE 1: con εa = 1%.

400

f(x) = 1 −

9. 81 ∗ (3x + x2 3

∗ (3 + x)

(

2 ) )

disp('Obtener raíces de ecuaciones: Ej. 5.15 parte 1 -con

ea=1%');

clear all;

format short G

syms x




% Ecuación ejercicio 5.15: 1-((400/(9.81*(3*x+x^2/2)^3))*(3+x))

i=0;

xr=0;

R=[];

while i<100

xr_anterior = xr;

xr=(xl+xu)/2;

fxl=subs(fx,x,xl);

fxr=subs(fx,x,xr);

if ((fxl*fxr)<0);

xu=xr;

else

((fxl*fxr)>0);

xl=xr;

end

i=i+1;



if ea<1

break

end

end

fprintf(' Repeticiones Xl Xr Xu

Error `Aproximado (ea)\n')

disp(R);

disp(La raíz se produce en: '); disp(xr);


2. Desarrollo de la resolución:



Por lo tanto, después de ocho iteraciones, se obtiene una estimación de raíz en el punto

P = (1.5078;0) con un error aproximado (εa) de 0.51%, menor al 1% decidido por el

enunciado.

PARTE 2: con 10 repeticiones

1. Código:

disp('Obtener raíces de ecuaciones: Ej. 5.15 parte 2 -con

repeticiones');

clear all;

format short G

syms x




r = input ('El límite de repeticiones es: ');

% Ecuación ejercicio 5.15: 1-((400/(9.81*(3*x+x^2/2)^3))*(3+x))

i=0;

xr=0;

R=[];

while i<10

xr_anterior = xr;

xr=(xl+xu)/2;

fxl=subs(fx,x,xl);

fxr=subs(fx,x,xr);

end

if ((fxl*fxr)<0);

xu=xr;

else

((fxl*fxr)>0);

xl=xr;

end

i=i+1;




Error Aproximado (ea)\n')

disp(R);

disp('La raíz se produce en: '); disp(xr);




Por lo tanto, después de diez iteraciones, se obtiene una estimación de raíz en el punto

de coordenadas P = (1.5137;0) con un error aproximado (εa) de 0.129%.

Se concluye que, luego de realizar el mismo ejercicio de dos maneras diferentes, la raíz

obtenida en el ejercicio con 10 repeticiones se acerca con mayor exactitud a la raíz

original, pues puede verificarse en el valor del error normalizado, que es menor al de la

parte 1 con un (εa) de 0.51%.

EJERCICIO 4:

1. Enunciado:

Para la ecuación: f(x) = ln(x 2 + 1) − e x 2cos(π x)

Se quiere emplear el método de la bisección para encontrar una solución aproximada de

la primera raíz de la ecuación existente en el intervalo [0.1, 0.5], con una exactitud de

εs = 1%.

2. Resolución:

a) Gráficamente


Figura 8: Resolución gráfica. Ej. 4


Gráficamente, se observa que la primera raíz ubicada en el intervalo positivo indicado

se produce en el punto P = (0.4525312789293;0).

b) Bisección:

1. Código

disp('Obtener raíces de ecuaciones: Ej. 4');

clear all;

format short G

syms x





%Ecuación ejercicio: log((x^(2))+1)-((exp(x/2))*cos(pi*x))

i=0;

xr=0;

R=[];

pi=3.141592654;

while i<100

xr_anterior = xr;

xr=(xl+xu)/2;

fxl=subs(fx,x,xl);

fxr=subs(fx,x,xr);

if ((fxl*fxr)<0);

xu=xr;

else

((fxl*fxr)>0);

xl=xr;

end

i=i+1;



if ea<es

break

end

end


Error Normalizado\n')

disp(R);

disp('La Raíz es igual a: '); disp(xr);



Figura 9: Command Window Ej. 4


Por lo tanto, después de siete iteraciones, se obtiene una estimación de raíz en el punto

P = (0.45313;0) con un error aproximado (εa) de 0.68966% que es menor a 1%.

EJERCICIO 5:

1. Enunciado:

Se carga una viga de la manera que se aprecia en la figura. Emplee el método de bisección

para resolver la posición dentro de la viga donde no hay momento con un εs = 1% .

Indicar las conclusiones.

2. Resolución:

a) Gráficamente: Realizado en AutoCAD.


1

1


• Cálculo de las reacciones:

∑ Fy = 0 ↑ +

∑ MC = 0 ↶ +

−20 − ( 1 ∗ 8 ∗ 30) + RB + RC = 0

2

RB + RC = 140 ; RC = 67. 69KN

−10 + (20 ∗ 8) − RB(6.5) + ( 1 2 ∗ 8 ∗ 30)

∗ ( 1 3 ∗ 8) = 0

RB = 72. 31KN

• Análisis para la sección 1-1:



∑ MA = 0 ↶ +

M + 20(z) − 10 − 72.31(z − 1.5) + [ 1 2 (z ∗ 3.75z) ∗ (1 3 z)] = 0

M = −20z + 10 + 72.31(z − 1.5) − (0.625z 3 )

M = −0.625z 3 + 52.31z − 98.465 … (1)

0 = −0. 625z 3 + 52. 31z − 98. 465

Al igualar la ecuación (1) a 0, se pueden hallar los valores de z, que puede sustituirse

por x en el programa, donde el momento será nulo en el sistema de cargas.

Figura 12: Resolución gráfica. Ej. 5 -raíz 1






Se tiene entonces que, por el método gráfico, el momento es nulo en:

z1 = −9. 9745(m) ⇒ no se encuentra en el rango.

z2 = 1. 974279(m) ⇒ valor aceptado.

z3 = 8. 0002(m) ⇒ se encuentra fuera del rango.

b) Método de la bisección:

1. Código

disp('Obtener raíces de ecuaciones: Ej. 5');

format short G

syms x





% Ecuación ejercicio 1: -(0.625*x^3)+(52.31*x)-98.465

i=0;

xr=0;

R=[];

while i<100

xr_anterior = xr;

xr=(xl+xu)/2;

fxl=subs(fx,x,xl);

fxr=subs(fx,x,xr);

if ((fxl*fxr)<0);

xu=xr;

else

((fxl*fxr)>0);

xl=xr;

end

i=i+1;


end


if ea<es

break

end


Error Normalizado (ea)\n')

disp(R);

disp('El momento es nulo en: '); disp(xr);



Figura 15: Command Window Ej. 5


Por lo tanto, después de ocho iteraciones, se obtiene una estimación de raíz en una

distancia en x=1.9805 (m), con un error aproximado (εa) de 0.591% que es menor al

error εs = 1% como se pedía en el enunciado.

BIBLIOGRAFÍA

Chapra, S. C., Canale, R. P., & ProQuest. (2007). Métodos numéricos para ingenieros

(5a. Ed.). (Pg. 139-141). McGraw-Hill Interamericana.

Método de la Bisección

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