MOMENTO-CURVATURA DEL CONCRETO NO CONFINADO CON TENDÓN ADHERIDO

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CAPACIDAD Y DESEMPEÑO

MOMENTO-CURVATURA DE CONCRETO

PRESFORZADO CON TENDÓN ADHERIDO

JUNIO 2020

11 DIAGRAMA MOMENTO-CURVATURA DE CONCRETO PRESFORZADO DE UNA

SECCIÓN NO CONFINADO CON TENDÓN ADHERIDO

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11.1 INTRODUCCIÓN

El comportamiento de una sección de estructuras de concreto pretensado se

pueden definirse mediante el diagrama momento-curvatura, permitiendo conocer la

resistencia, rigidez efectiva y ductilidad de la sección del elemento. El mismo que

depende del comportamiento de los materiales, mostrados por la Figura 11.1.

Mander y Ramberg-Osgood

Figura 11.1. Diagrama momento-curvatura de una viga de concreto pretensado no

confinado con tendón adherido. [0]

Donde; la curvatura es un parámetro geométrico que representa la deformación

de la sección, y definidos como el ángulo de rotación de una sección bajo la carga de

flexión.

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φ = M EI

… (11.01)

11.2 CONSTITUTIVIDAD DE LOS MATERIALES

11.2.1 CONCRETO

Figura 11.2. Diagramas esfuerzo-deformación del concreto no confinado. [0]

Dónde:

f′ c : Esfuerzo máximo en compresión del concreto no confinado.

ε co : Deformación correspondiente a f′ c del concreto en compresión

E c : Módulo de Young del concreto.

E sec : Módulo secante del concreto.

El diagrama esfuerzo-deformación del concreto no confinado se puede predecir

mediante el modelo Mander (1988). Modelo que es aplicable para secciones

circulares y rectangulares. Este, es dada por la ecuación (11.2):

xr

f c = f′ c [

r − 1 + xr] … (11.2)



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x = ε c

ε co

… (11.3)

r =

E c

E c − E sec

… (11.4)

E sec = f′ c

ε c

… (11.5)

ε co = 50

3 f′ c + 5000

3 , ε o en με [Nicolo et al. , 1994] … (11.6)

E c = 4700√f′ c ; f′ c en MPa … (11.7)

11.2.2 ACERO DE PRETENSADO

Figura 11.3. Diagrama esfuerzo-deformación del acero de pre-esfuerzo. [0]

Dónde:

ε pu : Deformación máxima del acero de presfuerzo.



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f pu : Esfuerzo de ruptura del acero de presfuerzo.

E ps : Módulo de Young del acero de presfuerzo.

f o : Esfuerzo del inicio pos-fluencia del acero de presfuerzo.

E pp : Módulo de pos-elástico, igual a cero para acero grado 100.

R: Potencia obtenida mediante solución numérica en función de ε py y f py .

Para predecir el diagrama esfuerzo-deformación del tendón se emplea el

modelo Ramberg-Osgood modificado por Mattock (1979).

1 − A

f ps = ε ps E ps [A +

(1 + 〈Bε ps 〉 R ) 1⁄ R ] … (11.8)

A = E pp

E ps

… (11.9)

B = (1 − A) E ps

f o

… (11.10)

f o = f pu − E pp ε pu … (11.11)

11.3 ANALOGIA BÁSICA DE LA RELACIÓN MOMENTO-CURVATURA.

La relación momento-curvatura para una sección de concreto presforzado con

tendón adherido en la fibra de tracción es presentada por la figura 11.4:



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Figura 11.4. Perfiles de deformaciones en los estados de cargas: 1) Inicial, 2)

Descompresión y 3) Servicio (M ≠ 0). [0].

11.3.1 COMPATIBILIDAD DE DEFORMACIONES.

a) Para sección no agrietada – estado de descompresión (ε c ≤ ε cr ):

ε ce = ( d ps − c pe

c pe

) ε top … (11.12)

ε pe = (1 − %pérdidas) ∙ f po

E ps

… (11.13)

ε ps = ε pe + ε ce

… (11.14a)

b) Para sección agrietada (ε c > ε cr ):

ε ps = ε pe + ε ce + ( d ps − c

) ε

c top.max … (11.14b)

Dónde:

ε top.max = 0.003; [ACI 318]

… (11.15a)

ε bot = ( h − c

c ) ε top.max … (11.15b)

11.3.2 EQUILIBRIO DE LAS FUERZAS.

a) Del estado inicial (Fig. 11.4. b1):

P e = (1 − μ)f po A ps … (11.16)

σ bot = − P e

A g

− P ee p y bot

I g

; (compresión) … (11.17a)

σ top = − P e

A g

+ P ee p y top

I g

; (tracción) … (11.17b)



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ε bot = σ bot

E c

… (11.18a)

ε top = σ top

E c

… (11.18b)

φ o = (ε bot − ε top )

h

… (11.19)

ε top

c o = (

) h … (11.20)

ε top − ε bot

f ce = − P e

A g

− (P ee p )e p

I g

… (11.21)

ε ce = f ce

E c

… (11.22)

ε pe = f pe

E ps

= (1 − μ)f po

E ps

… (11.23)

b) Del estado de descompresión (Fig. 11.4. b2):

σ descomp = −f ce … (11.24)

M descomp = σ descompI g

d ps − y top

… (11.25)

P ps = (ε pe + ε ce )E ps A ps … (11.26)

σ descomp bot

= − P ps

− P pse p y bot

+ M descompy bot

; (compresión) … (11.27a)

A g I g

I g

σ descomp top = − P ps

+ P pse p y top

− M descompy top

; (tracción) … (11.27b)

A g I g

I g

ε bot = σ bot

E c

… (11.28a)

ε top = σ top

E c

… (11.28b)



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φ descomp = (ε bot − ε top )

h

… (11.29)

ε top

c descomp = (

) h … (11.30)

ε top − ε bot

c) Del estado de agrietamiento:

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f cr = 0.65√f′ c ; f′ c en MPa [Vecchio 2000] … (11.31)

descomp

Δσ = f cr − σ bot

… (11.32)

ΔM = Δσ. I g

y bot

… (11.33)

M cr = M descomp + ΔM … (11.34)

σ cr.bot = f cr ; (tracción)

… (11.35a)

σ cr.top = σ descomp top − ΔMy top

; (compresión) … (11.35b)

I g

Los cálculos de las deformaciones en las fibras extremas en compresión y

tracción, curvatura y la distancia entre la fibra extrema en compresión y la

ubicación del eje neutro para el estado de agrietamiento son similares a las

ecuaciones (11.28), (11.29) y (11.30).

d) Del estado agrietado o servicio (Fig. 11.4. b3):

P ps = [ε pe + ε ce + ( d ps − c

) ε

c top.max ] E ps A ps … (11.36)

ε cm

C c = α k f ′ c

cbc = b ( ) ∫ f′

ε c [

cm

0

( ε c

ε co

) r

r − 1 + ( ε c

) r ] dε c

ε co

… (11.37)

∑ Fuerzas = P ps − C c = 0 … (11.38)



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M c = γ k (α k f ′ c b)c2 = b ( c

ε cm

)

ε cm

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∫ f′ c [

0

( ε c

ε co

) r

r − 1 + ( ε c

ε co

) r ] ε c dε c

… (11.39)

M = C c (d ps − [1 − γ k ]c) … (11.40)

φ = (ε bot − ε top.max )

h

… (11.41)

Las ecuaciones (11.36) – (11.41), permiten calcular; fuerza de pretensado,

P ps , fuerza resultante en compresión del concreto, C c , el brazo de palanca entre

la ubicación del eje neutro y la ubicación de la fuerza en compresión del

concreto, γ k c, momento y la curvatura de la sección para las deformaciones

superiores a la deformación de agrietamiento, ε cr . Es decir, para el estado en

servicio (M ≠ 0),



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11.4 CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES.

a) Las ecuaciones deducidas en este documento permiten predecir el diagrama

momento-curvatura para estructuras de concreto completamente pretensado.

Con acero de pretensado en la fibra de tracción y tendones adheridos, según las

siguientes consideraciones:

Compatibilidad de deformación entre el concreto y el cable de pre-esfuerzo.

Distribución lineal de deformaciones en todo el peralte de la viga.

Fuerzas de tracción y compresión en la sección están en equilibrio.

El mecanismo de colapso de la sección es a flexión, es decir, adecuada

resistencia a corte y adherencia.

Conocida el comportamiento de los materiales constitutivos.

b) El diagrama momento-curvatura permite definir el comportamiento inelástico no

lineal de una sección de estructuras de concreto pre-esforzado o concreto

reforzado, permitiendo conocer la resistencia, rigidez y ductilidad de la sección.

c) El procedimiento de análisis del diagrama momento-curvatura de una sección de

concreto pretensado con tendón adherido está dado por los siguientes pasos:

1. Estado inicial incluyendo las pérdidas (esfuerzo efectivo de pretensado).

2. Estado de descompresión (esfuerzo del concreto igual a cero, ubicado en el

centro de gravedad del acero de presfuerzo).

3. Estado en el momento de agrietamiento del concreto de la sección.

4. Estado de servicio o de sección agrietada (análisis basado en la no linealidad

de los materiales “concreto y tendón”).



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11.5 BIBLIOGRAFÍA.

[1] Blakeley, B.W.G. (1971). Ductility of Prestressed Concrete Frames under Seismic

Loading. A thesis presented for the degree of Doctor of Philosophy in Civil

Engineering in the University of Canterbury, Christchurch, New Zealand.

[2] Campbell, T.I. and Kodur, Venkatesh Kumar R. (1990). Deformation Controlled

Nonlinear Analysis of Prestressed Concrete Continuous Beams. PCI Journal.

[3] Kwak, Hyo-Gyoung and Kim, Sun-Pil (2001). Nonlinear Analysis of RC Beam

Subject to Cyclic Loading. Journal of Structural Engineering 2001.127:1436-1444.

[4] Manzelli, Anibal A. and Harik, Issam E. (1993). Approximate Moment-Curvature

Relationships for Slender Columns. Journal Structural Engineering

1993.119:1114-1132.

[5] Möller, Oscar, Foschi, Ricardo O., Rubinstein, Marcelo y Quiroz, Laura M. (2006).

Momento-Curvatura de Secciones de Hormigón Armado Sismoresistente

utilizando redes Neuronales. Asociación Argentina de Mecánica Computacional.

[6] Park, R. y Paulay, T. (1974). Reinforced Concrete Structures. Department of Civil

Engineering, University of Canterbury, Christchurch, New Zealand (chapter 9).

[7] Shushkewich, Kenneth W. (1990). Moment-Curvature Relationships for Partially

Prestressed Concrete Beams. Journal of Structural Engineering 1990.116:2815-

2823.



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