USO DEL CALCULO VECTORIAL EN ARTOPLASTIA TOTAL DE CADERA

Revista EJE – Engineering Journal ECCI
ISSN XXXX-XXXX, Vol. X, Número X, páginas XX-XX, 20XX
Uso del Calculo Vectorial en Artroplastia Total de Cadera.
Use of Vectorial Calculus in Total Hip Arthroplasty.
Ing. Mejía Manuel 1*
1
Escuela colombiana de carreras industriales, Facultad de ingeniería Biomédica Bogotá, Colombia.
*
Fundación universitaria de ciencias de la salud, Facultad de instrumentación Quirúrgica Bogotá, Colombia.
manolomej@gmail.com
RESUMEN
Como ingenieros, nos hemos enfrentado a la pregunta si lo aprendido en clase de matematicas o de cálculo vectorial
realmente es posible aplicarlo a situaciones reales de nuestro ejercicio profesional, en ingeniería Biomedica y
específicamente en el área de Biomecánica es frecuente incorporara calculo numéricos para determinar por ejemplo
fuerzas o Momentum resultantes en una articulación artrósica o defectuosa después de una osteotomía varizante de
fémur, o vectores directores , centros de gravedad, cargas puntuales o distribuidas que soporta un polietileno en un
reemplazo total de rodilla, por nombrar algunos de sus usos en ingeniería Moderna. Así este articulo pretende de una
forma práctica y con un lenguaje amigable (pero sin perder el rigor matemático) dos objetivos : instruir al ingeniero,
médico o persona interesada en matemáticas aplicadas, en el uso de cálculo vectorial como herramienta para determinar
la tendencia de giro sobre su eje central de rotación de un polietileno de ultra alto peso molecular usado en reemplazo
articular de cadera en función de la acción del Musculo Glúteo Medio, y segundo generar un algoritmo que pueda ser
usado en futuras investigaciones para el cálculo de la tendencia de giro de un polietileno respecto a otro grupo de
muscular de la cadera.
Palabras clave: Calculo vectorial en la cadera, polietileno acetabular, Biomecánica en cadera.
Recibido: xx de febrero de 20xx. Aceptado: xx de Junio de 20xx
Received: February xx, 20xx Accepted: June xx, 20xx
ABSTRACT
Keywords: Vector calculus on the hip, Acetabular polyethylene, Biomechanics in the hip.
How to cite: Autor uno, Autor dos, Autor tres,
Título del Artículo en Español,
Revista EJE, Vol. # No. #, p1-pn, 20XX
DOI: http://dx.doi.org/000.000.000

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ISSN XXXX-XXXX, Vol. X, Número X, páginas XX-XX, 20XX
1. INTRODUCCIÓN
Los principios de calculo vectorial estático se remontan a
la época de Aristóteles y Galileo pero no fue hasta el
nacimiento del brillante Sir Newton que se pudo
recopilar en un solo trabajo y darle el estatus de leyes, en
su célebre trabajo llamado “ Philosophiæ naturalis
principia mathematica” o “Principios matemáticos de
la filosofía natural” de 1687, Newton fija las bases de la
mecánica clásica del movimiento; leyes y principios
aplicables a cuerpos celestes, movimientos de cuerpos
macroestructurales, Soles , planetas , personas y en este
caso en las articulaciones.
Trabajos pioneros en la mecánica articular como los
realizados el siglo pasado por Pauwels y Denham
permitieron a una generación de ingenieros trabajar la
cadera como un sistema de palancas de primer grado con
la cabeza femoral como pivote, sobre estos estudios se
demostró como esta articulación soporta esfuerzos y
fuerzas mayores al peso corporal en determinadas fases
de la marcha. [1], Pauwels en su célebre trabajo de 1935,
calculo las fuerzas resultantes, direcciones espaciales y
momentos respecto a la cabeza femoral, que genera la
articulación de la cadera en diferentes tiempos de la
marcha, pero no fue solo hasta mediado del 1960 que
pudo ser validado sobre componentes anatómico por o
Carl Hirsch et al. [2].
El cálculo de estos parámetros resultaba medianamente
posible en estudios de la cadera en condiciones estáticas
de carga, pero en estudios dinámicos (movimiento de la
cadera) la exigencia matemática de los cálculos suponía
una barrera enorme para los ingenieros y médicos de la
época, que buscaban predecir los modos de fallo de
prótesis y comportamiento de la estructura a partir de
condiones iniciales, parámetros geométricos y
restricciones de Contorno. Una primera solución fue
obtener los datos de pruebas invitrio como el realizado
por Hodge et al. [3] en este estudio revolucionario para la
época se le instalo a un paciente una prótesis articular de
cadera con sensores de presión en la cabeza femoral y se
obtuvieron datos durante la cirugía, en el postoperatorio
y en la rehabilitación a un año , los resultados
demostraron que los esfuerzos en la cadera no son
uniformemente distribuidos el acetábulo, cabeza femoral
y fémur proximal, a estas conclusiones también llego el
equipo de trabajo de Mavcic et al. [4] en un estudio
completamente físico-matemático de cargas estáticas.
Con la era computacional y el auge creciente de los
ordenadores fue posible representar la geometría de la
articulación coxofemoral a partir de datos obtenidos de
imágenes diagnosticas como un TAC y sobre este
ejecutar programas de análisis numérico como el método
F.E.M ( Finit Element Method) así lo que busca el
método es dividir el cuerpo, estructura o dominio
(problema continuo), en un modelo discreto aproximado,
llegando a la solución general a partir de la resolución de
estos pequeñas divisiones (Elementos finitos). Dalstra y
Huiskes implementaron el método F.E.M a un modelo
3D de una hemipelvis, aquí representaron tanto el hueso
cortical como esponjoso y concluyeron que el hueso
pélvico trabecular para efectos de análisis puede ser
tomado como un continuo isotrópico, a pesar que en
pruebas de cadáveres es altamente anisotrópico [5], es de
esperar que la acción ejercida por los músculos tenga
influencia sobre la fuerza total, momentos y esfuerzos
ejercidos en la cadera, es así que se debe tener en cuenta
a la hora de realizar cálculos estáticos de carga, tanto la
magnitud y dirección como puntos de inserción del
mismo, que serían interpretados como los vectores
unitarios de la fuerza ejercida por el musculo [6].
El análisis biomecánico de la cadera sujeta a un
reemplazo articular (recambio de la superficie articular
por componentes biocompatibles, en materiales
metálicos o cerámicos, y estructuralmente parecidos a la
cadera nativa) ha sido estudiado por varios autores son
analizados por método F.E.M, actualmente los
parámetros de diseño protésico, fisiología de la marcha,
análisis estructural, modalidades de falla entre otros, son
difíciles de estudiar sin el uso de ordenadores. [7].
2. MATERIALES Y MÉTODO
Se selecciona el marco de referencia inercial en el
transfondo acetabular P(0i,0j,0k) seleccionando el eje
x(i) en dirección al trocánter mayor y por encima de él, el
eje y(j) hacia arriba en dirección cefálica, y por último el
eje z(k) en dirección anterior o pélvica, esto según lo
descrito por Pauwels.
Figura 2 Ubicación de marco inercial en trasfondo
acetabular Fuente: Autor.
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.
Luego se encontró la distancia que existe entre el origen
y el final del musculo glúteo Medio, (línea roja en la
figura 4) , para ello se restó las coordenadas finales de las
coordenadas iniciales (origen).
Figura 3 Ubicación de marco inercial en trasfondo
acetabular en CAD.
Ubicado nuestro marco de referencia, es posible
encontrar cualquier componente en el espacio de este
marco inercial en función del punto de origen, a
continuación, desarrollaremos la tendencia de giro que
tiene el musculo glúteo medio sobre el eje principal de
rotación de un polietileno usado en cirugía de reemplazo
articular como interface de baja fricción
Figura 5 Resta vectorial componente a componente.
De esta operación se obtiene el vector GH que define la
dirección y sentido del musculo glúteo medio desde G
hasta H figura 7, ahora la magnitud o modulo (fuerza) del
musculo Glúteo medio, se define en función de sus
componentes escalaras Fx,Fy,Fz = Fi,Fj,Fk y para ello es
necesario obtener el vector unitario GH que define dicha
dirección.
.
GLÚTEO MEDIO.
La fuerza ejercida por el glúteo medio se representa por
medio de un vector, ya que como sabemos posee un
módulo que en este caso es la magnitud de la fuerza y
una dirección que está representada por su lugar de
origen e inserción a la altura del trocánter mayor del
fémur [6].
La trayectoria del glúteo medio está comprendida entre la
superficie externa del ilion, entre las
líneas glútea anterior y posterior, este es el origen y lo
marcaremos con las coordenadas G (a,b,c) ( representan
una ubicación en el espacio para este punto) y termina su
recorrido en la parte lateral del trocánter mayor del
fémur, este punto se marcó con las coordenadas
H(A,B,C) [12]
Figura 7 Dirección de H cuando G traiciona.
El vector unitario que define la dirección GH está dado
oír la ecuación:
Figura 8 Cálculo de vector unitario desde G hasta H.
Donde la letra "u" antes de GH, designa vector unitario,
en esta fórmula simplemente en el numerador esta las
coordenadas del vector GH que ya habíamos realizado
figura 5, y en el denominador la magnitud de este vector
recuerde que se obtiene realizando la fórmula de
pitagórica para el espacio en R3 (en tres dimensiones).
Figura 4 Asignación de coordenadas para el origen y
finalización del glúteo medio.
Se abrevia la magnitud de GH, con dos barras verticales
a su lado derecho e izquierdo, (recuerde la magnitud de
un vector en física se ilustra de esa manera).
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Figura 9 Simplificación del vector unitario de G hasta H
Desarrollando la distribución del denominador se
adquiere:
Figura 12 Creación del vector posición de P hasta H.
Figura 10 Notación escalar del vector unitario
Hora se multiplica la magnitud F por el vector unitario,
esto se debe hacer componente a componente, ya que es
una multiplicación vectorial no escalar.
r h/p representa el vector posición dirigido desde P hasta
H, nótese que es simplemente la resta vectorial de los
componente de i,j,k.
PRODUCTO CRUZ ENTRE VECTOR POSICIÓN
Y VECTOR FUERZA.
Se determino la tendencia de giro que produce el vector
fuerza F respecto a un vector r h/p, por medio del
producto cruz entre estos dos vectores, el resultado es un
vector normal M(i,j,k) al plano que los contiene.
Figura 11 Componentes escalaras de la Fuerza F
En la anterior imagen observe que la componente x de la
Fuerza del glúteo (Fx) es igual a la F multiplicada por
vector unitario de GH en la dirección i.
VECTOR POSICIÓN
Una vez definido los componentes escalares (Fx,Fy,Fz)
de la fuerza de tracción del Musculo Glúteo Medio, se
halló un vector posición entre GH y P(x,y,z), El vector
posición no es nada más que la distancia entre dos puntos
arbitrarios en el espacio, para fines de este artículo se
ubica entre P(x,y,z) y H(A,B,C).
Figura 13 Momentum M (i,j,k) y Plano que genera
vector GH y Vector posición r h/p.
Para hallar este momentum debemos hacer el producto
cruz entre los dos vectores que generan este plano, (GH y
r h/p).
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El producto escalar se interpreta como un escalar y no
como un vector, el resultado es el momento generado por
el musculo Glúteo medio, sobre el eje de giro del
polietileno LN, designaremos este Momentum como T.
Procedemos hacer el producto escalar entre el vector LN
y el vector Momentum M(i,j,k):
Figura 14 Desarrollo del producto cruz entre Vector GH
y vector posición r h/p
El resultado del producto cruz entre dichos vectores son
las coordenadas (x, y,z) del vector momentum M,
representado por M(i,j,k), el cual es perpendicular al
plano que lo contiene, en este caso el plano generado por
los vectores GH y el vector posición r h/p.
MOMENTO DE UNA FUERZA CON RESPECTO A
UN EJE
Se proyecta el vector Momentum M(i,j,k) sobre el eje de
rotación de un polietileno de ultra alto peso molecular
que se genera desde el centro de la copa y es normal a
este; usamos una propiedad del cálculo vectorial
“producto escalar” que permite proyectar un vector con
respecto a un eje arbitrario, en este caso se se digno al
vector LN (d,e,f). como el eje de rotación de dicho
polietileno.
El vector LN debe ser también transformado en un
Vector unitario, para ello se realizó el mismo
procedimiento de la figura 9 y 10.
Figura 15 Creación del vector LN (d,e,f) normal al
centro del liner acetabular y que representa el eje de
rotación del polietileno.
T es una magnitud, es por eso que debe ir encerrado en
barra vertical.
RESULTADOS Y DISCUSIÓN
La magnitud│T│es la tendencia de giro del polietileno
de ultra alto peso molecular sobre su eje de rotación, que
en un reemplazo total de cadera se ubica en sus cosenos
directores LN (cos (15°)i, -cos (45°)j, cos (55°)k [8]
producto del movimiento de tracción glúteo medio, en
posición bipodal, en un instante t. Es interesante observar
que entre mas distancia posea el vector PH ( vector
posición) se genera mas momento sobre el Polietileno, en
un reemplazo total de cadera, con vástago no cementado
esta distancia la determina el offset del cuello femoral de
la prótesis, el cual puede ser modificado por el cirujano
como una medida para mejorar la tensión del grupo
muscular de la cadera operada y su estabilidad; es así que
reduciendo este offset, es posible reducir el momentum
sobre el eje de rotación del polietileno, aunque también
se sabe que un offset reducido disminuye la tensión de
los tejidos blandos y aumenta la probabilidad de luxación
de la cabeza femoral , así como el aumento de esfuerzos
en compresión que pueden estar en el orden de los
10Mpa cuando la copa acetabular se encuentra a 45° de
inclinación y 15° de anteversion [9][10], en el estudio de
Kim et al [11] el sexo femenino demostro una
probabilidad de luxación mas alta respecto a los hombres
(2.5 vs 1) debido a la menor fuerza y tono muscular, es
así que una reducción del offset, en teoría no es la mejor
opción para este grupo de estudio; para la aplicación de
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esta ecuación a los demás grupos musculares que
intervienen en los movimientos de la cadera se
recomienda usar el método de agrupación muscular
descrito por Veronika et al [13] en donde se asocian las
tensiones promedio de los músculos en tres grupos α, β,
γ. Cada grupo representa la acción muscular desde un
punto distinto, como si tres fuerzas globales mantuvieran
el equilibrio general de la articulación.
Como consecuencia se ha abordado el problema no desde
la disminución del momentum o tendencia de giro del
polietileno sobre su eje de rotación , si no desde el diseño
y creación de sistemas óptimos de anclaje del polietileno
a la copa , que mantengan las fuerzas, momentos
resultantes y tensores de esfuerzo debajo de los límites
del módulo de Elasticidad (E) y fluencia del material,
aunque es claro que factores como la obesidad , la
inclinación de la copa acetabular, el diámetro de la
cabeza femoral protésica , el offset del vástago femoral ,
la edad , actividad y sexo podrían modificar esta
magnitud en el orden de los Mpa [14]
CONCLUSIÓN
El procedimiento aquí descrito para hallar una formula
general que nos permite encontrar el Momentum de giro
ejercido por el musculo Glúteo medio sobre el eje del
polietileno, puede ser extrapolado para cualquier
musculo de la cadera, solo deben ser nuevamente
calculados los vectores de posición y de dirección de los
músculos a evaluar, también es evidente que hacer esto
con cada uno de los músculos de la cadera ( más de 21) ,
demandaría demasiado tiempo y energía, es así que es
recomendable usar un paquete de software de análisis
numérico como Matlab , que le permita ingresar las
variables y que por defecto calcule los algoritmos. Es
importante poder aplicar los conocimientos matemáticos
en situaciones reales, esto le permitirá afianzar lo
aprendido y observar su campo acción, como objetivo a
través de este simple ejemplo se puede estimar
el momentum resultante de los músculos que intervienen
en el movimiento de la cadera, sobre un
implante protésico como lo es un polietileno acetabular,
estimar como deben ser los sistemas de anclaje del
polietileno a las copas metálicas, para que resistan dicha
torsión. A futuro puede ser usado el algoritmo para
estimar en que posiciones el paciente tiene un alto riesgo
de generar mayor torque sobre su componente protésico,
recordemos que si la magnitud torque (Momentum) es
excesivamente grande es posible que se fracture
polietileno ( superando el limite ultimo de esfuerzo)
dentro de la copa acetabular o que simplemente se salga
como consecuencia de una variación en su geometría
(superando el límite de elasticidad E), en cualquiera de
los dos casos sería una catástrofe.
“El conocimiento no es una vasija que se llena, sino un
fuego que se enciende”. Plutarco
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