005. Funciones Polinomiales

Unidad I. Funciones
Funciones Polinomiales f x = ax n + bx n−1 + ⋯ + c
Función Lineal o Afín f(x)=mx+b
Función Cuadrática f(x)=ax 2 +bx+c
Funciones Algébraicas
Función Racional F x = P(x)
, Q x ≠ 0
Q(x)
Función Radical f x = n P(x)
Función valor absoluto f(x)=|x|
Funciones Especiales
Función Exponencial f(x)=a x
Función Logarítmica f(x)= ln(x) o log a (x)

Unidad I. Funciones
• Función Ramificada
• Operaciones con funciones

Funciones Polinomiales:
f x = ax n + bx n−1 + ⋯ + c
El Dominio de una función
polinómica en el Numerador son
Todos los números reales: D f(x) = R.
El Rango se determina por
gráfica.
Ejemplos de gráficas “tipo” de algunas funciones polinomiales:

Recuerda cómo se grafican los
puntos (x,y) en el plano
cartesiano
El primer valor que encuentras en el punto es la x
(posición) y el segundo valor es la y (altura)
Ejemplo: Grafica el punto (-4, 5) en el plano cartesiano:
y

a. Función Lineal o Afín: función de la línea recta. Tiene la forma general
f x = mx + b;
Donde:
m= pendiente de la recta que indica su inclinación.
b= corte con el eje “y”.
b
Intercepto
con el eje y
Punto (0,b)

• Por un único punto pueden pasar infinitas rectas.
• Por dos puntos dados solo puede pasar una única recta. De
allí que solo hace falta conocer dos de los puntos por donde
pasa la función afín para graficarla. En este caso, hablamos
de los cortes con los ejes.

Gráfica de la función afín: La forma de la gráfica de la función afín va a depender de la
pendiente “m”:
y
y
y
x
x
x
En la universidad, en lugar de evaluar múltiples veces la función, como hacías en el liceo
(tu profesor te asignaba múltiples valores de “x” para que los sustituyeras en la función),
graficamos la función afín a partir de los Puntos de Corte con los Ejes.
Nota: las flechas en los extremos para indicar continuidad son opcionales. Con no colocar
un punto cerrado en el extremo es suficiente para indicar que la línea continúa.

Ejemplo: Grafique la función f x = 2x − 1
Procedemos a calcular dos puntos por donde pasa la recta, que en este caso,
como ya se mencionó, son los puntos de corte con los ejes.
Y=2X-1
Y
2
1
X
0
-2 -1 0 1 2
-1
-2
Figura 1
USANDO CORTES CON LOS EJES
✓ Calculando el corte con el eje “y”
(Se hace x=0) (SIEMPRE)
Entonces, al sustituir “x=0”, queda que
y=2*0 – 1 Y=-1 Se obtiene el punto P 1
(0,-1)
✓ Calculando el corte con el eje “x”
(Se hace Y=0) (SIEMPRE) Entonces, al sustituir
“y=0”,
0=2x – 1 Se despeja a x x= ½
Se obtiene el punto P 2 (½,0)

ADVERTENCIA!!!!
Existe una gran diferencia entre un PLANO CARTESIANO (lo que usamos en
Matemática I para graficar) y una “Cruz”:
Cruz
Plano Cartesiano:
• Tiene Eje x y Eje y, y cada uno está plenamente identificado con su respectivo
NOMBRE.
• El extremo positivo de cada eje termina en una punta de flecha.
• Cada eje normalmente lleva una escala Bien Elaborada.

ADVERTENCIA!!!!
Yo corrijo FUNCIONES graficadas en PLANOS
CARTESIANOS, no en “cruces”.

Casos especiales de la función afín
i) Función Constante: f(x)= c
• El Dominio de una función polinómica constante Siempre son todos los números
reales: D f(x) = R
• El Rango, determinado por gráfica, es el número “c”, o corte con el eje “y”. R f(x) = c.
• En este caso, se traza una recta paralela al eje “x” por ”c”.
Ejemplo: Realice la gráfica de f(x)=1. Determine dominio y rango.
1- Por ser una función polinomial constante,
D f(x) = R
2- Su rango es R f(x) = 1
Es decir, el conjunto formado por el número
1, dado que, al escoger cualquier valor de
“x”, siempre obtendremos como resultado
y=1.

ii) Cuando la recta pasa por (0,0): f(x)=mx (Es decir, b=0)
• El Dominio de la función Si está en el numerador son todos los números reales: D f(x) = R.
• El Rango, determinado por gráfica, es R f(x) = R.
• Como el corte con “x” y el corte con “y” son iguales, P1 y P2 serán iguales, entonces la
recta pasa por (0,0), y es necesario utilizar un valor adicional de “x” para calcular el otro
punto por donde va a pasar la recta.
Ejemplo: Realice la gráfica de f(x)=3x. Determine dominio y rango.
El corte con “Y” es igual al corte con “X”, porque b=0 :
✓ Calculando el corte con el eje “y” (Se hace x=0) (SIEMPRE).
Entonces, al sustituir “x=0”, y=3*0 y=0 Se obtiene el punto P 1
(0,0)
✓ Calculando el corte con el eje “x” (Se hace y=0) (SIEMPRE). Entonces, al sustituir y=0, queda:
0=3x Se despeja x x= 0 Se obtiene el punto P 2 (0,0)

Tenemos entonces los puntos P 1
(0,0) y P 2 (0,0), que son iguales. No podemos graficar esa línea
recta porque en realidad tenemos un solo punto.
• Hacemos uso de un punto adicional. Para ello, escogemos cualquier valor de “x”. ¿Por
qué cualquier valor?
*Se puede tomar un valor cualquiera, porque el dominio de esa función afín son todos los
reales. *
Al tomar x=1 resulta lo siguiente:
Cuando x=1, entonces y= 3*1, y=3, y el punto generado es (1,3). La gráfica es:
y
3-
P 3
P 1 =P 2
2-
1-
-2 -1 0 1 2 3
-1-
x
1- Por ser una función polinomial en el
numerador, D f(x) = R, porque va de −∞, +∞
en el eje x.
2- De la gráfica se lee que su rango es
R f(x) = R, porque va de −∞, +∞ en el eje y.

1-c) Fórmula Punto-Pendiente de una función afín:
Se utiliza para determinar la fórmula de la recta que pasa por dos puntos
conocidos.
y − y 0 = m x − x 0
Donde
x 0 , y 0 es un punto por el que pasa la recta
m= es la pendiente de la recta, y se calcula por la fórmula
m = Y 2 − Y 1
X 2 − X 1

Ejemplo. Determina la fórmula de la función afín que pasa por (-2,4) y (-1,1)
Despejando m
Fórmula Punto-Pendiente
de una función afín
y − y 0 = m x − x 0
La
pendiente
de la recta
m = Y 2 − Y 1
X 2 − X 1
1- Se sustituyen los puntos dados en el enunciado:
m =
1 − 4
−1 − (−2) = −3
1 = −3
2- Se sustituye el valor de “m” y uno de los dos
puntos dados en la fórmula punto-pendiente
(¡tú eliges el punto para trabajar!)
y − 1 = −3 x − (−1)
Fórmula de la función afín
y = −3x − 2
3- Efectuando las operaciones, se tiene que:
y − 1 = −3x −3

Ejercicios Propuestos
1. Determina los coeficientes de la función lineal f(x)= ax + b, si f(0) = 5
y f(-1) = 7.
2.
Representa gráficamente la función.
Justifica tu respuesta.

Ejercicios Propuestos
3. Halla la ecuación de la función lineal que pasa por el punto A(2,9) y
tiene pendiente -3
4. Determina la ecuación de la función lineal que pasa por los puntos
A(2,-1) y B(5,4).
5.

2- Función Cuadrática f x = ax 2 + bx + c; con a ≠ 0
a›0 a‹0
Concavidad
Llamada también la función
parabólica o de la parábola,
debido a la forma de su gráfica.
Esta función tiene las siguientes
características:
Término cuadrático
ax 2
Tiene un
C
Figura 4 Figura 5
Término
independiente o
corte con el eje “y”
El dominio de una función cuadrática en el numerador son todos los números reales. D f(x) = R.
❖ El Rango depende de la gráfica

Las gráficas de las figuras 4 y 5 fueron realizadas utilizando el “Método del
Corte con los Ejes”, el cual, partiendo de la forma general f(x)= ax 2 +bx+c
de la función cuadrática, permite calcular los siguientes puntos:
a) Corte con el Eje “y”: Se hace “x=0”.
De esta manera se obtiene el punto P 1 (0,c)
b) Corte(s) con el Eje “x”: Se hace “y=0”, y se utiliza la resolvente de la
ecuación cuadrática, o se factoriza por tanteo, o por Ruffini:
x = −b ±
b2 − 4ac
2a

c) Eje de Simetría: Es una línea recta que divide a la parábola verticalmente
en dos partes iguales. Su fórmula es x = −b
2a
d) Vértice: Es el punto más bajo (si la parábola es cóncava hacia arriba) o
más alto (si la parábola es cóncava hacia abajo) de la curva. Su forma es
(Vx,Vy), donde:
Vx = −b
, igual que el eje de simetría
2a
Vy=f(Vx). También se puede calcular por la fórmula Vy =
4ac− b2
4a
A la expresión b 2 − 4ac se le llama “discriminante”, porque su cálculo
permite discriminar entre tres opciones:
b 2 − 4ac
Si b 2 -4ac › 0 →Hay 2 cortes con “x”
Si b 2 -4ac = 0 →Hay 1 corte con “x”
Si b 2 -4ac ‹ 0 →No hay cortes con “x” (respuesta imaginaria)

Ejemplo. Determina el dominio y el rango de la siguiente función f x = x 2 − 2x − 8
Utilizando el “Método del Corte con los Ejes”
a) Corte con el Eje “y”: Se hace “x=0”
y = 0 2 − 2 ∗ (0) − 8
Entonces y =-8
De esta manera se obtiene el punto P
1
(0, −8)
b) Corte(s) con el Eje “x”: Se hace “y=0”
0 = x 2 − 2x − 8
Aquí puedes utilizar el método de tu
preferencia para hallar las raíces de este
polinomio.
x 2 − 2x − 8 = (x − 4)(x + 2)
Por lo tanto, cuando y=0, se tiene que:
La resolvente de la ecuación cuadrática
Ruffini
x = −b ±
b2 − 4ac
Factorización por tanteo: Se buscan dos
números tal que:
2a
Su multiplicación resulte el tercer término
Su suma resulte el segundo término
x = 4 ; x = −2
Se obtienen los puntos P 2 (4, 0) y P 3 (−2, 0)

c) Eje de Simetría: Se busca la línea recta que divide a la parábola verticalmente en dos
partes iguales
X = −b
2a
Haciendo la sustitución tenemos que:
f x = x 2 − 2x − 8
Recuerda que: a = 1; b = −2 y c = −8
X = −(−2)
2 ∗ 1 = 1
d) Vértice: Como en este caso a > 0, el vértice
es el punto más bajo que vamos a encontrar
en la parábola.
x v = −b
= 1 Es igual al eje de simetría
2a
y v = f(x v )
Vamos a sustituir el valor de
x v en la función
¡Ahora
trazamos la
gráfica!
0
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
P 3
y
-2
-4
-6
f x = x 2 − 2x − 8
P 2
x
y v = (1) 2 −2 ∗ 1 − 8
y v = −9
-8
P
1
-10
P 4
D f x
= R
Se obtiene el punto P 4 (1, −9)
-12
R f x
= ሾ−9, +∞)

Ejercicios Propuestos
1.- Asocia cada una de las siguientes funciones a su gráfica correspondiente,
razonando las respuestas.
a) y = 2x b) y = – x 2 + 4x – 3 c) y = x 2 + 4x + 5
d) y = – x 2 + 4x + 5 e) y = –4x + 1 f) y – 2x – 4 = 0
x
Gráfica 1
Gráfica 2 Gráfica 3
Gráfica 4

Ejercicios Propuestos
2- Representa gráficamente cada una de las siguientes funciones
cuadráticas, determinando previamente su vértice, eje de simetría y los
puntos de corte con los ejes. Halla Dominio y rango.
a) y = x 2 - 4 b) y = x 2 -x +1 c) y =2x 2 -8x - 24