REVISTA DIGITAL DE MATEMÁTICAS

T A B L A D E
CONTENIDO
03 Introducción
04-10
11-13
14-16
Introducción a las derivadas
Historia de las derivadas
Precursores del cálculo diferencial
Datos curiosos sobre el cálculo
17-19 diferencial
20-27
Acertijos
28-29 Conclusiones
30 Bibliografía
32 Integrantes
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Las
matemáticas
son la puerta y
la llave a la
ciencia.
Roger Bacon
INTRODUCCIÓN
CÁLCULO, la melodía de las matemáticas ha sido creada
como una revista digital o una guía didáctica para facilitar el
entendimiento en ciertas temáticas de cálculo diferencial e
integral, en esta primera edición hemos traído La Derivada y
sus técnicas de derivación, en otras ediciones traeremos
muchos otros temas con respecto a los diferentes contenidos
de cálculo diferencial e integral. El objetivo de esta guía es
que el estudiante aprenda de una manera mas didáctica y en
ocasiones no le resulte aburrido. Espero que esta guía traída
en forma de revista sea de su agrado y logren captar la idea
de los editores.
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El concepto se derivada se aplica en los
casos donde es necesario medir la
rapidez con que se produce el cambio de
una situación. Por ello es una
herramienta de cálculo fundamental en
los estudios de Física, Química y Biología.
La derivación constituye una de las
operaciones de mayor importancia
cuando tratamos de funciones reales de
variable real puesto que nos indica la tasa
de variación de la función en un instante
determinado o para un valor
determinado de la variable, si ésta no es
el tiempo. Por tanto, la derivada de una
función para un valor de la variable es la
tasa de variación instantánea de dicha
función y para el valor concreto de la
variable.
Un aspecto importante en el estudio de
la derivada de una función es que la
pendiente o inclinación de la recta
tangente a la curva en un punto
representa la rapidez de cambio
instantáneo. Así pues, cuanto mayor es la
inclinación de la recta tangente en un
punto, mayor es la rapidez de cambio del
valor de la función en las proximidades
del punto.
Además de saber calcular la derivada de
una función en un punto, es conveniente
ser capaz de determinar rápidamente la
función derivada de cualquier función. La
derivada nos informará de con qué
celeridad va cambiando el valor de la
función en el punto considerado.
INTRODUCCIÓN A
LAS DERIVADAS
Escrito por Shirley
Concepción y Celia Salas
Esta sección está dedicada precisamente
a aprender tanto a calcular el valor de la
derivada de una función en un punto
como a saber obtener la función derivada
de la original. Por este motivo
dedicaremos especial atención a como
derivar funciones compuestas, funciones
implícitas así como a efectuar diversas
derivaciones sobre una misma función.
El concepto de derivada segunda de una
función - derivada de la derivada de una
función- también se aplica para saber si
la rapidez de cambio se mantiene,
aumenta o disminuye. Así el concepto de
convexidad y concavidad -aspectos
geométricos o de forma- de una función
están relacionados con el valor de la
derivada segunda.
Finalmente veremos la relación que tiene
la derivada con los problemas de
optimización de funciones. Estos
problemas decimos que son de máximo
o de mínimo (máximo rendimiento,
mínimo coste, máximo beneficio, mínima
aceleración, mínima distancia, etc.).
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Pendiente de una recta
ara entender el concepto de derivada
es necesario recordar qué es la
pendiente de una recta.
La pendiente de una recta, denotado
habitualmente por m, indica la
inclinación de la recta y se calcula
dividiendo el incremento de la variable
dependiente, y, entre el incremento de
la variable independiente, x
m=y1−y0/x1−x0.
Tasa de variación media
Vamos a tratar de cuantificar cómo es el
crecimiento de una función. Trataremos
de encontrar en que intervalos crece
más, en qué intervalos crece menos, en
qué intervalos no crece o en cuáles es
decreciente.
Se llama tasa de variación media (TVM)
de una función, y=f(x)y=f(x), en un
intervalo [a,b][a,b] al cociente:
TVM[a,b]=f(b)−f(a)/b−a
Habitualmente en lugar de estudiar el
intervalo [a,b], estudiaremos el intervalo
[a,a+h], dando el intervalo en función de
su longitud en lugar de sus extremos.
TVM[a,a+h]=f(a+h)−f(a)/h
Gráficamente, la tasa de variación
media es la pendiente de la recta que
pasa por los puntos (a,b) y (f(a),f(b))
(f(a),f(b)), o lo que es lo mismo, por los
puntos (a,a+h) y (f(a),f(a+h)).
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CRECIMIENTO DE UNA
FUNCIÓN EN UN PUNTO.
DERIVADA
Definición de derivada en un
punto:
Si hemos comprendido bien que es la tasa
de variación media (velocidad media) y el
límite de la tasa de variación media,
entonces estamos en condiciones de
comprender el concepto de derivada.
La derivada en un punto aa se va a definir
cómo el límite de la tasa de variación media
de una función cuando el intervalo de
estudio se acerca al punto aa.
La derivada en un punto a se denota por f′
(a) y se calcula:
f′(a)=lim h→0 f(a+h)−f(a)/h
Este límite también se puede escribir como:
f′(a)=lim x→a f(x)−f(a)/x−a
Si existe este límite y es finito, diremos que
la función f es derivable en x=a.
Hay distintas notaciones que solemos
utilizar para la derivada:
f′(a)=Df(a)=df/dx(a)
FUNCIÓN DERIVADA
Definición de función
derivada:
Hasta este punto tenemos definida la
derivada en un punto, pero, ¿podemos
extender esta definición para cualquier
punto del dominio de la función?
Efectivamente, podemos hacerlo.
La función derivada de una función y=f(x) es
una función que asigna a cada punto x del
dominio su derivada en ese punto. La
representamos por f′(x) o y′ y viene
Interpretación geométrica :
Geométricamente, la derivada de la función
en un punto a es la pendiente de la recta
tangente de la función en el punto a.
Ejemplo: Halla la función derivada de f(x)=1/x.
Por tanto, utilizando la ecuación puntopendiente
de una recta podemos hallar la
ecuación de la recta tangente a la curva
y=f(x) en el punto x=a:
y−f(a)=f′(a)(x−a)
ejemplo:
1. Halla la derivada de la función f(x)=x2+3 en
el punto x=2.
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DERIVADA SUCESIVAS
Si la función f es derivable podemos
calcular su derivada, que también se le
puede llamar derivada primera, f′, como
hemos visto anteriormente.
Si f′ es derivable podemos calcular su
derivada y obtenemos una nueva función
que llamaremos derivada segunda y
representaremos por f′′.
Con el mismo razonamiento podemos
hallar la derivada de la función f′′ y
hallamos la derivada tercera, que
denotaremos f′′′.
Sucesivamente podemos hallar las
siguientes derivadas que denotaremos
con números romanos:
f′,f′′,f′′′,fiv,fv,
OPERACIONES CON LA
FUNCIÓN DERIVADA
Derivada de la suma:
La derivada de una suma es la suma de las
derivadas:
(f+g)′=f+g′.
Derivada del producto de un número por
una función:
La derivada del producto de una función
por un número es el producto del número
por la derivada de la función:
(k⋅f)′=k⋅f′.
Derivada del producto de dos funciones:
la derivada del producto de dos funciones
se calcula como la derivada de la primera
por la segunda sin derivar más el primero
sin derivar por la derivada de la segunda.
(f⋅g)′=f′⋅g+f⋅g′.
Derivada del cociente de dos funciones:
La derivada del cociente de dos funciones
es un cociente cuyo numerador es la
derivada del numerador por el
denominador sin derivar menos el
numerador sin derivar por la derivada del
denominador y el denominador es el
cuadrado del denominador.
(fg)′=f′⋅g−f⋅g′g2
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REGLA DE LA
DERIVACIÓN
¿Para hallar la derivada de una función tenemos que
aplicar siempre la definición de derivada?
Afortunadamente no.
Los ejemplos que hemos visto hasta ahora han salido
cuidadosamente elegidos para que no salgan
complicados, pero habitualmente calcular la derivada
aplicando la definición es una tarea ardua y que ya ha
realizado alguien por nosotros antes.
Desde luego, aplicando la definición de la derivada se
han hallado las derivadas de todas las funciones
conocidas y por tanto, nosotros no tenemos que saber
calcularlas, pero sí aprendernos las reglas de
derivación.
Las reglas de derivación son los métodos que se
emplean para calcular la derivada de una función. Son
un conjunto de procedimientos que permiten con más
facilidad el cálculo de la función derivada sin tener que
recurrir a la definición de derivada, que a menuda
conlleva cálculos tediosos.
Veremos, en primer lugar, las operaciones que se
pueden hacer con la función derivada. Estudiaremos
las reglas de derivación que me permitirán derivar
cualquier función.
Podremos utilizar una tabla de derivadas que también
os podéis descargar en esta sección.
Ejemplo:
Halla la derivada de la función
Exponenciales
Ejemplo:
Calcula la derivada de la función
Logarítmicas
Ejemplo:
Calcula la derivada de la función
Reglas para derivar
Potencias
Irracionales
Trigonométricas
Ejemplos:
Halla la derivada de las
siguientes funciones:
Estas reglas de derivación se
deducen fácilmente de la
derivada de la potencia porque
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REGLA DE LA CADENA
Sabemos que la composición de funciones consiste
en definir funciones cuyas variables son a su vez otras
funciones.
g es la función que se aplica en primer lugar, "la de
dentro", y f es la que se aplica en segundo lugar, "la
de fuera".
La regla de la cadena sirve para calcular la derivada
de una función que viene dada como composición
de dos funciones. Para hallar la derivada utilizaremos
la siguiente fórmula:
Derivada de la función potencial-exponencial
Queremos derivar una función del tipo y=f(x)g(x).
Por comodidad, escribiremos f para referirnos a
f(x) y g para referirnos a g(x).
Para derivar este tipo de funciones, tomamos
logaritmos en los dos miembros de la función:
Aplicamos las propiedades de los logaritmos:
Es decir, derivamos la segunda función ("la de fuera")
y luego multiplicamos por la derivada de la primera
función ("la de dentro").
Veamos un ejemplo:
Calcula la derivada de la función
Esta función viene dada por la composición de dos
funciones
Derivamos en ambos lados de la igualdad:
Despejamos la derivada de y:
La derivada es:
EJEMPLOS
Calcula las derivadas de las siguientes
funciones:
EJEMPLO
Calcula la derivada de la función ,
que también podemos escribir como
Tomamos logaritmos y aplicamos los pasos
que hemos visto en el punto anterior:
solución:
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DERIVABILIDAD Y CONTINUIDAD
Por analogía con el concepto de límite por la
izquierda y por la derecha de una función,
definimos los conceptos de derivada lateral por la
izquierda y por la derecha de una función en un
punto.
La derivada lateral por la izquierda de la función
y=f(x) en el punto x=a, la denotamos por f′(a) y se
calcula:
La derivada lateral por la derecha de la función
y=f(x) en el punto x=a, la denotamos por por f′(a+)
Por tanto, la función es continua en todo R.
Estudiamos ahora la derivabilidad en x=0:
Podemos hacer las derivadas de las dos
funciones en todos los puntos salvo en x=0
porque no sabemos si ahí es derivable:
Observa que hemos quitado el signo igual
al hacer la derivada porque ahí no sabemos
si es derivable.
Hallamos las derivadas laterales en x=0:
Para que una función sea derivable en un punto
tiene que suceder:
Que la función sea continua.
Que existan las derivadas laterales y estas sean
iguales, es decir, que la función derivada sea
una función continua.
Una función derivable en un punto es también
continua en ese punto. El recíproco no es cierto,
es decir, una función continua en un punto no
tiene por qué ser derivable en ese punto.
Para estudiar la derivabilidad en un punto, en un
función definida a trozos, primero hemos de
estudiar la continuidad y después la derivabilidad.
En un gráfica donde exista un "pico" podemos
decir que la función no es derivable, es decir, la
derivada mide la suavidad de la función.
Las derivadas laterales no coinciden, por
tanto, la función no es derivable en x=0.
Esta es la gráfica de la función. Observa
que en x=0 la función tiene un "pico", no es
suave.
EJEMPLO
Estudia la derivabilidad de la función
Primero estudiamos la continuidad:
Las dos funciones son continuas en sus
dominios, la primera por ser un polinomio y
la segunda por ser una exponencial. El
único punto donde tenemos que estudiar
la continuidad es en el punto donde se
empalman las dos funciones, es decir, x=0:
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Sección 2
HISTORIA DE LAS DERIVADAS
Desde sus orígenes hasta nuestros días.
Escrito por Jivanna Lezcano
y Alexis Castillo
Las derivadas tienen su inicio en los años
de 1823 cuando el matemático Cauchy
definió el concepto de derivada y su
aplicación en el cálculo; y, es que la
función derivada es el estatus que ha
adquirido después de los cambios que ha
pasado durante veinte siglos, además, el
enfoque de las derivadas es en resolver
problemas de cálculo y que los
estudiantes de últimos años de colegios y
estudiantes universitarios de los primeros
semestres o ciclos ya vayan desarrollando
la destreza de resolver ejercicios.
Resulto interesante puesto que por
primera vez se relacionaba la física con las
matemáticas, principalmente nació por la
coyuntura de saber cómo varia una
cantidad de otra, como en la física se
solicita saber cómo varia la posición de un
cuerpo al trascurrir el tiempo, lo cual dio
consecuencia a muchas ciencias como el
cálculo diferencial que es la matemática
de movimiento y cambios, nada puede
existir en el universo sin que se produzca
un cambio y su poder se deriva de la idea
que lo sustenta la derivada.
La historia conjuntamente con lo
mencionado anteriormente surge en la
antigua Grecia debido a la presencia de
problemas típicos que existían en ese
entonces y por ese hecho se da origen al
cálculo infinitesimal que luego fue
tomado por los brillantes Isaac Newton y
Gottfried Leibniz que desarrollaron
métodos sistemáticos de resolución,
adicional a eso, existen dos conceptos
claves de las derivadas: El problema de la
tangente de una curva y el Teorema de
los extremos, que en unión de ambas
dieron surgimiento a lo que
modernamente se conoce como cálculo
diferencial e integral.
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Sección 2
Por un lado Newton se enfocó en
investigar el método para el cálculo de
tangentes, cerca del año de 1665
descubrió lo que hoy conocemos como
algoritmo de funciones algebraicas y, en
el mismo año introdujo la definición de
fluxión (variable que fluye dependiendo la
relación que tenga la velocidad y el
tiempo).
Seguidamente el matemático Gottfried
Leibniz, en 1675 (10 años después que
Newton) propuso y desarrolló el cálculo
diferencial, a diferencia de Newton,
Leibniz no trataba a la derivada como
velocidad, sino que, la tomaba como un
cociente incremental, pudiendo observar
el sentido que tenía con la pendiente de
la recta tangente de la curva en aquel
punto.
La derivada representa un papel
fundamental en las Matemáticas debido a
su gran cantidad de aplicaciones en la
ciencia, la tecnología o la economía:
Cálculo de la velocidad y la aceleración
instantánea de cualquier objeto en
movimiento.
Para la optimización de funciones, cálculo
de máximos y mínimos. En procesos
productivos es fundamental conocer las
condiciones en qué podemos obtener los
mayores beneficios.
Construir carreteras de modo que las
curvas se puedan tomar de la forma
más natural posible.
Como muchos de los conceptos
matemáticos que estudiamos, el
concepto de derivada es fruto de varios
siglos de evolución.
Los problemas típicos que dieron
origen al "Cálculo infinitesimal"
comenzaron a plantearse en la época
clásica de la antigua Grecia (siglo III
a.c), pero no se encontraron métodos
sistemáticos de resolución hasta 2000
años después.
En lo que atañe a las derivadas son tres
problemas los que la dieron origen:
El cálculo de máximos y mínimos
de una función.
El cálculo de la tangente a una
curva en un punto.
El cálculo del área encerrada bajo
una curva.
Siglo XVII
Es en este siglo cuando se hizo el
desarrollo definitivo del cálculo
diferencial.
Galileo (1564-1642) estudió el
movimiento
uniformemente
acelerado.
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Sección 2
Lo que en la actualidad se
conoce como cálculo diferencia
y cálculo integral, son las
denominaciones que nuestro
inventor Leibniz les dio a los
mismos y como no también, los
símbolos para el cálculo de la
derivada / y de la integral
Finalmente podemos concluir
en que, el proceso y el avance
que fue dándose para llegar al
descubrimiento de las
derivadas fue demasiado
complejo, pero gracias a las
muchas personas que dieron su
aporte los matemáticos que
venían posteriormente podían
tomar estos aportes para seguir
avanzando en el
descubrimiento que en la vida
diaria son aplicadas en
diferentes ámbitos como la
Administración y la Economía,
usadas las derivadas para el
cálculo de una inversión
compleja en economía
financiera.
Los matemáticos perdieron el miedo que los griegos le
habían tenido a los infinitos: Johannes Kepler y
Bonaventura Cavalieri fueron los primeros en usarlos,
empezaron a andar un camino que llevaría en medio
siglo al descubrimiento del cálculo infinitesimal.
A mediados del siglo XVII, las cantidades infinitesimales
fueron cada vez más usadas para resolver problemas de
cálculos de tangentes, áreas, volúmenes; los primeros
darían origen al cálculo diferencial, los otros al integral.
Las investigaciones de Fermat (1601-1665) hicieron que el
concepto de derivada fuera calando en los Matemáticos
de la época.
A mediados de siglo, sin que se tuviera la teoría de la
derivación establecida ya se conocían métodos
generales para calcular la recta tangente a una curva.
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Sección 3
PRECURSORES DEL
CÁLCULO DIFERENCIAL
Escrito por Karla Guerra y Gustavo Wu
"La matemática pura es, a su manera, la poesía de las ideas lógicas"
El Cálculo Diferencial tuvo su origen en un
problema matemático (La búsqueda de la
tangente a una curva en cualquiera de sus
puntos). y el científico Arquímedes fue el primero
en realizar estudios referentes a este campo,
seguido de muchos otros, como Pascal que
también aportaron ideologías para explicar
diferentes fenómenos . Después de ellos, el
primero en desarrollar métodos matemáticos
para resolver este problema fue Isaac Newton en
1666, aunque debido a una disputa por
documentos en sus investigaciones con el cálculo
diferencial con Leibniz, los 2 son considerados los
padres del mismo.
Isaac Newton
Newton incursionó en el cálculo infinitesimal.
Llamó a este cálculo fluxiones (lo que hoy
denominamos derivadas), herramienta que
ayuda al cálculo de órbitas y curvas. A principios
de 1665 descubrió el teorema del binomio y
desarrolló los principios del cálculo diferencial e
integral.
Generalizó los métodos que se habían utilizado
para trazar líneas tangentes a curvas y para
calcular el área encerrada bajo una curva.
Descubrió de los procedimientos eran
operaciones inversas. Uniéndolo en el método de
las fluxiones, un método nuevo y poderoso para la
resolución de este tipo de problemas.
Gottfried Leibniz
Sus aportaciones al cálculo diferencial. Dentro del
cálculo diferencial: estableció la resolución de
problemas para los máximos y mínimos, así como
de las tangentes. Trataba a la derivada como un
cociente incremental (diferenciales), y no como
una velocidad. Newton y Leibniz demostraron
que los problemas del área y la tangente son
inversos, lo que se conoce como teorema
fundamental del cálculo. Logró la resolución del
problema para hallar la curva cuya su tangente es
constante. No cabe duda que su mayor
aportación fue el nombre de cálculo diferencial e
integral, así como la invención de símbolos
matemáticos para la mejor explicación del
cálculo:
Como el signo = (igual), así como su notación
para las derivadas dx/dy, y su notación para las
integrales.
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Sección 3
NEWTON Y LEIBNITZ
A finales del siglo XVII sintetizaron en dos
conceptos, métodos usados por sus predecesores
los que hoy llamamos «derivadas» e «integrales».
Desarrollaron reglas para manipular las derivadas
(reglas de derivación) y mostraron que ambos
conceptos eran inversos (teorema fundamental
del cálculo).
Newton desarrolló en Cambridge su propio
método para el cálculo de tangentes. En 1665
encontró un algoritmo para derivar funciones
algebraicas que coincidía con el descubierto por
Fermat.
Leibniz, por su parte, formuló y desarrolló el
cálculo diferencial en 1675. Fue el primero en
publicar los mismos resultados que Isaac Newton
descubriera 10 años antes. En su investigación
conservó un carácter geométrico y trató a la
derivada como un cociente incremental y no
como una velocidad, viendo el sentido de su
correspondencia con la pendiente de la recta
tangente a la curva en dicho punto.
Fue quizás el mayor inventor de símbolos
matemáticos. A él se deben los nombres de:
cálculo diferencial y cálculo integral, así como los
símbolos de derivada dy/dx y el símbolo de la
integral ∫.
Algunos historiadores fechan el inicio de la
Ilustración con la publicación de la obra de
Newton. Hecho que nos da una escala de la
magnitud de los descubrimientos de Newton y
Leibniz.
Pero la teoría del cálculo diferencial no había
hecho más que comenzar. Euler (1707-1783),
Lagrange (1736-1813), Bolzano (1781-1848), Cauchy
(1789-1857) o Weierstrass (1915-1897) trabajaron
en profundizar y afianzar toda la teoría del
cálculo infinitesimal.
Isaac newton
Como podrás comprobar a lo largo del tema, las
derivadas pueden considerarse una de las
herramientas matemáticas más utilizadas en
campos científicos, económicos, sociales,
naturales, etc.
Nacidas con el fin de estudiar la variación de
fenómenos y, en concreto, la variación en el
movimiento de los cuerpos, actualmente las
derivadas pueden aplicarse para conocer la
variación de crecimiento de una población
(insectos, mamíferos...), la variación de la eficacia
de un producto (bombillas, electrodomésticos...),
la concentración de sustancias dañinas para la
atmósfera, etc.
Gottfried Leibniz
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Sección 3
Langrage
Aporto El cálculo de variaciones a un
problema matemático consistente
en buscar máximos y mínimos (o
más generalmente extremos
relativos) de funcionales continuos
definidos sobre algún espacio
funcional. Constituyen una
generalización del cálculo elemental
de máximos y mínimos de funciones
reales de una variable. Lagrange
contribuyó extensamente a la teoría
y Legendre (1786) asentó un
método, no enteramente
satisfactorio para distinguir entre
máximos y mínimos.
L hospital
El logro más conocido atribuido a su
nombre es el descubrimiento de la Regla
de L'Hôpital, que se emplea para calcular
el valor límite de una fracción donde
numerador y denominador tienden a cero
o ambos tienden a infinito.
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Sección 4
Escrito por Luis Aparicio y
Josué Serrano
DATOS CURIOSOS SOBRE
EL CÁLCULO DIFERENCIAL
EL SILENCIO DE LA ''E''
El numero ''e'' o ''euler'' a pesar de que
útil en los campos del calculo, análisis
matemático, teoría de los números,
estadística y geometría e incluso en
finanzas en realidad llego a las
matemáticas de forma muy discreta
esto en 1618 cuando en un trabajo de
Napier sobre logaritmos, apareció ante
este una tabla dando el logaritmo
natural de varios números. y no fue
hasta 1731 que Euler le escribe a
Goldbach que aparece la notación ''e''
y luego finalmente Euler trabaja a
fondo ''e'' en el año 1748.
DIFERENTES MAS SIN EMBARGO DE
UNA MISMA IDEA
El análisis infinitesimal fue la
culminación de un largo proceso el
cual consistía en la acumulación y
asimilación de elementos del calculo
diferencial, y que culmino en su ultima
etapa estableciendo la relación e
inreversibilidad entre investigaciones
diferenciales; Así pues surgió de dos
formas distintas: ''Teoría de Flexiones''
de Newton y como ''Calculo
diferencial'' de G.W. Leibniz.
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Sección 4
LA PALABRA INTEGRAL
El termino calculo integral y el propio símbolo de la
integral son un invento del matemático suizo Jacob
Bernoulli.
Quien resolvió el primer problema de calculo
integral
Lo resolvió Arquímedes de Siracusa encontrando el
centro de gravedad en un paralelogramo, un
triángulo y un trapecio; y de un segmento de
parábola. Calculó el área de un segmento de parábola,
cortado por una cuerda. Demostró que (a) la
superficie de una esfera es 4 veces la de su círculo
máximo; (b) el volumen de una esfera es 2/3 del
volumen del cilindro circunscripto.
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Sección 4
UNA CUARENTENA REVOLUCIONARIA
Durante 1665 debió a la peste bubonica, la universidad
de Cambridge cerro sus puerta, universidad a la que
asistía Sir Isaac Newton, lo obligo a en cuarenteno en
su hogar, momento el cual utilizo para establecer las
bases del calculo diferencial e integral o el ''Método de
Fluxiones'' como el lo había llamado.
''La Espada'' del Caballero de las Matemáticas
Durante su vida L'Hopital sirvió como oficial de
caballería, pero se retiro a causa de ser corto de vista.
Fue entonces que dirigió su atención hacia las
matemáticas, Aprendiendo el calculo de su maestro
Johan Bernouli, y publico lo que para hoy en día seria
su espada, ''La Regla de L'Hopital''
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Sección 5
ACERTIJOS
¿Te gustan las adivinanzas de descubrir
números y hacer cálculos?
Escrito por Kristie
Wenham y Diego Orocu.
Sopas de
letras
Acertijos
Laberintos
Test de
derivadas
Hay varias maneras de aprender o practicar
las derivadas. Una son los tradicionales
ejercicios que encargan en las escuelas.
Otra, animarse a resolver diversos acertijos,
lo que puede resultar más divertido.
Para resolverlos solo hace falta leer con
atención, aplicar la lógica, algo de
pensamiento lateral y, por supuesto, realizar
algunos cálculos, con o sin ayuda de la
calculadora.
Aquí, acertijos matemáticos para desafiarte
a pensar.
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Sección 5
SOPAS DE LETRAS
Bienvenido a sopas de letras, un juego que pondrá a prueba tus capacidades
de explorador para encontrar palabras relacionadas con las derivadas. Navega
por el mar de letras visitando nuestros links con diferentes dificultades para
encontrar todas las palabras listadas y ganar el juego. Acepta el reto e intenta
completar lo más rápido posible.
Toca el botón de
empezar para tu primer
reto.
EMPEZAR
Dificultad: Fácil - Medio
Toca el botón de
empezar para seguir
con el reto de sopa de
letras.
EMPEZAR
Dificultad: Fácil - Medio
Si pudiste terminar con éxito los dos retos: ¡FELICIDADES!
PÁGINA I 21

Sección 5
ACERTIJOS
Si te gusta poner a prueba tu mente, atrévete con estos acertijos de derivadas.
Si no consigues adivinarlos todos no te preocupes.
EL PASTEL: Se pretende dividir un pastel como el de la figura en 8 trozos
iguales. ¿Cuál es el mínimo número de cortes necesarios para
conseguirlo?
VASOS: Se pretende conseguir que de la hilera de 8 vasos de la figura,
queden al final llenos y vacíos de forma alternada (o sea el primero lleno,
el segundo vacio, el tercero lleno, etc... o al contrario). ¿Cuál es el número
mínimo de vasos que hay que mover para conseguirlo?
VASOS Y MONEDAS: Se pretende introducir en los 3 vasos 10 monedas
(hay que introducirlas todas), de modo que al final cada vaso contenga
un número impar de monedas.
FÓSFOROS: ¿Cuál es el número mínimo de fósforos que se han de quitar
para que en el dibujo queden 4 triángulos equiláteros exactamente
iguales a los 8 que hay? (no puede quedar ningún fósforo suelto)
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Sección 5
LABERINTOS
Un juego matemático para practicar algunas de las principales reglas de las
derivadas mientras nos divertimos jugando. Se trata de varios laberintos
Empezamos por la salida y hay que ir descubriendo el camino hasta llegar a la
meta.
F(x)= 5
Laberinto de la derivada de
una constante.
Recuerda
F´(x)= 0
La derivada de una
constante es igual a cero,
pues dicho número no
varía en función de
ninguna variable.
Solución:
F(x)= x
Laberinto de la derivada de
x.
Recuerda
La derivada de x es igual a
1.
Solución:
F´(x)= 1
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Sección 5
PÁGINA I 24

Sección 5
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Sección 5
TEST DE DERIVADAS
Este test matemático sobre la derivada de una función permite aprender las
técnicas de cálculo algebraico adecuadas.
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Sección 5
Respuestas correctas
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CONCLUSIONES
Jivanna Lezcano y Alexis Castillo
La derivada tiene muchas aplicaciones en la vida
diaria, con la misma se puede calcular un sinfín de
planteamientos matemáticos: Se calcula la velocidad.
También, nos ayuda a encontrar valores máximos y
mínimos para problemas físicos reales (bajo el mismo
principio de razón de cambio). También, es empleada
en la construcción de un edificio con una función que
relacione los costos del edificio con el tamaño del
mismo. Muchas son las aplicaciones de la derivada en
profesiones como la ingeniería, economía,ETC
Kristie Wenham y Diego Orocu
La implementación de recursos pedagógicos educativos
innovadores como juegos didácticos y materiales
manipulativos en las clases de matemáticas genera una
gama de ventajas para los estudiantes, entre las que
podemos destacar que el uso de este recurso permite
captar la atención de los estudiantes, creando en ellos el
deseo de ser participantes activos en las actividades
desarrolladas con ellos. Dado que se utilizan para una
función educativa, tienen dos efectos sobre ellos; es
entretenerlos y al mismo tiempo enseñarles, para que el
aprendizaje creado sea significativo, para que no sea
olvidado por los alumnos y perdure en el tiempo.
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Luis Aparicio y Josué Serrano
Karla Guerra y Gustavo Wu
El cálculo diferencial, no es solo los
números plasmados en el papel o las
fórmulas que nos enseñan los libros,
sino que el cálculo, las matemáticas
son las historias, los momentos de
fascinación e intriga por la naturaleza
de las cosas, que fueron
desembocadas por pequeños causes
en la vida de los iluminados o por
afanes del destino, que nos regalan la
verdad y la prueba palpable de cómo
son expresables los fenómenos y
espacios de la vida.
Mediante la resolución de una
derivada se pueden aplicar diferentes
técnicas de resolución como la
descubierta por Einstein y Leibniz,
que llevan al mismo resultado de
disminuir dicho problema
presentado, otro de los métodos más
utilizados es el de L'Hopital que es
uno de los más recientes y aplican
una resolución más sencilla y corta
de resolver uno de estos problemas
Celia Salas y Shirley Concepción
El concepto de derivada es importante comprender y
derivar fórmulas, que a su vez tienen una importante
aplicación en cualquier campo de trabajo y la ciencia en
general. El propósito principal de un derivado es
optimizar los sistemas que se expresan por las
funciones más o menos complejo. Además, es habitual
encontrar la derivada de aplicar los valores máximos y
mínimos de ciertas expresiones matemáticas.
Finalmente, los derivados son útiles para la búsqueda
de los intervalos de aumento o disminución del valor de
interés cada vez que se puede expresar por funciones.
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REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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https://yosoytuprofe.20minutos.es/wpcontent/uploads/2018/03/100derivadasresueltasyosoytuprofe.pdf
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CÁLCULO
La melodía de las matemáticas
Celia Salas 4-819-168
Kristie Wenham 1-756-976
Jivanna Lezcano 4-817-1834
Karla Guerra 4-825-508
Josué Serrano 4-824-1776
Shirley Concepción 4-771-169
Diego Orocu 4-819-1433
Gustavo Wu 4-825-1680
Luis Aparicio 4-822-2057
Alexis Castillo 4-790-2299
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