Métodos Numéricos para Ingenieros - Chapra -Problemas

PROBLEMAS
6.1 Utilice la iteración simple de punto fijo para localizar la raíz de
f(x) = sen ( x ) – x
Haga una elección inicial de x 0 = 0.5 e itere hasta que e a ≤ 0.01%.
Compruebe que el proceso converge en forma lineal según se describió
en el cuadro 6.1.
6.2 Determine la raíz real más grande de
f(x) = 2x 3 – 11.7x 2 + 17.7x – 5
a) En forma gráfica.
b) Con el método de iteración simple de punto fijo (tres iteraciones,
x 0 = 3). Nota: Asegúrese de haber desarrollado una solución que
converja a la raíz.
c) Con el método de Newton-Raphson (tres iteraciones, x 0 = 3).
d) Con el método de la secante (tres iteraciones x –1 = 3, x 0 = 4).
e) Con el método de la secante modificado (tres iteraciones, x 0 = 3,
d = 0.01). Calcule el porcentaje aproximado de errores relativos
para sus soluciones.
6.3 Utilice los métodos de a) iteración de punto fijo y b) Newton-
Raphson, para determinar una raíz de f(x) = – 0.9x 2 + 1.7x + 2.5 con
el uso de x 0 = 5. Haga el cálculo hasta que e a sea menor que e s = 0.01%.
Asimismo, realice una comprobación del error de su respuesta final.
6.4 Determine las raíces reales de f(x) = –1 + 5.5x – 4x 2 + 0.5x 3 : a)
en forma gráfica y b) con el método de Newton-Raphson dentro de
e s = 0.01%.
6.5 Emplee el método de Newton-Raphson para determinar una
raíz real de f(x) = –1 + 5.5x – 4x 2 + 0.5x 3 con el uso de valores iniciales
de a) 4.52 y b) 4.54. Estudie y use métodos gráficos y analíticos
para explicar cualquier peculiaridad en sus resultados.
6.6 Determine la raíz real más pequeña de f(x) = –12 – 21x + 18x 2
– 2.4x 3 : a) en forma gráfica y b) con el empleo del método de la secante
para un valor de e s que corresponda a tres cifras significativas.
6.7 Localice la primera raíz positiva de
f(x) = sen x + cos(1 + x 2 ) – 1
donde x está en radianes. Para localizar la raíz, use cuatro iteraciones
del método de la secante con valores iniciales de a) x i – 1 = 1.0 y x i
= 3.0; b) x i – 1 = 1.5 y x i = 2.5, c) x i – 1 = 1.5 y x i = 2.25, d) use el
método gráfico para explicar su resultado.
6.8 Determine la raíz real de x 3.5 = 80, con el método de la secante
modificado dentro de e s = 0.1%, con el uso de una elección inicial
de x 0 = 3.5 y d = 0.01.
6.9 Determine la raíz real más grande de f(x) = x 3 – 6x 2 + 11x – 6.1.
a) En forma gráfica.
b) Con el uso del método de Newton-Raphson (tres iteraciones, x i
= 3.5).
c) Con el método de la secante (tres iteraciones, x i + 1 = 2.5 y x i =
3.5).
d) Por medio del método de la secante modificado (tres iteraciones,
x i = 3.5, d = 0.01).
6.10 Determine la menor raíz positiva de f(x) = 7 sen(x)e –x – 1:
a) En forma gráfica.
b) Con el uso del método de Newton-Raphson (tres iteraciones, x i
= 0.3).
c) Con el método de la secante (cinco iteraciones, x i – 1 = 0.5 y x i =
0.4).
i 3.5).
i–1
(d) Using x i = 3.5).
the modified secant method (three iterations, x i = 3.5,
(d) (c)
δ Using
= 0.01). the the modified secant method secant method (three (three iterations, iterations, x i–1 = x2.5 i = 3.5, and
6.10δ x
Determine i = 0.01). 3.5).
the lowest positive root of f(x) = 8 sin(x)e –x − 1:
(a) 6.10 (d) Using
Graphically. Determine the modified the lowest secant Problemas positive method root of (three f(x) iterations, = 8 sin(x)e x i –x = 135 −3.5,
1:
(b) (a) Using Graphically. δ = 0.01).
the Newton-Raphson method (three iterations,
(b) 6.10Using Determine
x i = 0.3). the the Newton-Raphson lowest positive root method of f(x) = (three 8 sin(x)e iterations,
–x − 1:
(a)
(c) Using xGraphically.
i = 0.3). the secant method (five iterations, x i–1 = 0.5 and
(c) (b) Using i 0.4). the the secant Newton-Raphson method (five method iterations, (three x i–1 = iterations, 0.5 and
d) Por medio del método de la secante modificado (tres iteraciones
(d) Using x i = 0.4). 0.3).
the modified secant method (three iterations, x i = 0.3,
(d) (c) x i 0.3, d = 0.01).
δ Using
= 0.01). the the modified secant method secant method (five iterations, (three iterations, x i–1 = x0.5 i = 0.3, and
6.11 Utilice el método de Newton-Raphson para encontrar la raíz de
6.11δ x
Use i = 0.01). 0.4).
the Newton-Raphson method to find the root of
6.11 (d) Using Use the the
f (x) = e −0.5x Newton-Raphson modified secant method to (three find iterations, the root of x i = 0.3,
δ = 0.01). (4 − x) − 2
f (x) = e −0.5x (4 − x) − 2
Utilice Employ 6.11 Use
conjeturas initial the Newton-Raphson guesses iniciales of de (a) 2, 2, method
b) (b) 6 y 6, to
c) and find
8. Explique (c) the 8. root Explain of
sus resultados.
results. initial guesses of (a) 2, (b) 6, and (c) 8. Explain your
your
Employ
f (x) = e −0.5x (4 − x) − 2
results.
6.12
6.12
Dado
Given
que
6.12 Employ Given initial guesses of (a) 2, (b) 6, and (c) 8. Explain your
results. f (x) = −2x 6 − 1.5x 4 + 10x + 2
f (x) = −2x 6 − 1.5x 4 + 10x + 2
Use 6.12a Given root location technique to determine the maximum of this
use function. Use una a root Perform location iterations technique until to the determine approximate the maximum relative error of falls this
f (x) técnica = −2x de 6 ubicación − 1.5x 4 + de 10x raíces + 2para determinar máximo de
esta below function. función. 5%. Perform If Realice you iterations use iteraciones a bracketing until hasta the approximate method, que el error use relative initial relativo guesses error aproximado
caiga por debajo de 5%. Si emplea un método de agrupamien-
modified of
falls of
below Use a
x l = 0 5%. root
and xIf location
u
you = 1. use technique
If you a bracketing to determine
use the Newton-Raphson method, use the maximum initial or the guesses of this
to secant xfunction. en l =
regiones,
0 method, and Perform x u =
use 1. iterations
valores
If an you initial use until
iniciales guess the the Newton-Raphson approximate relative
of de x i x= 1. If you or use the error
the modified falls
l = 0 y x u = 1. Si usted secant
utiliza
secant below
method, el
method, 5%. If you
método use initial use use
Newton-Raphson guesses an initial a bracketing
of guess x i−1 o
of method,
= el 0x i método and = 1. use
x i
If = modificado
you initial
1. Assuming use guesses the secant of
de that la
secante,
method, x
convergence l = 0 and
use
use x
un
initial u = 1.
is valor not an guesses If you use
inicial issue, de
of the
choose x
x i−1
Newton-Raphson = the 0technique and x i = that 1. or Assuming the modified
is best suited that
i = 1. Si se decide por el método de
la to convergence secant method,
secante, this problem. use
is
valores
not use
Justify an an
iniciales
issue, initial
your choose guess of
choice. de x
the xtechnique i = 1. If you that use is best the suited secant
i – 1 = 0 y x i = 1. Suponiendo que
no 6.13 to method,
importa
this You problem. use initial
la must convergencia, determine Justify guesses your of
the elija
choice. x
root i−1 = 0 and x
la of técnica the following i = 1. Assuming that
que sea easily más adecuada differentiable
6.13 convergence
para este
You function, problema.
must is not determine an issue,
Justifique
the choose
su
root
elección.
of the the technique following that easily is best differentiable
to this
suited
6.13 eUsted 0.5x function, problem. Justify your choice.
= debe 5 − 5x determinar la raíz de la siguiente función fácilmente
diferenciable, e 0.5x You must determine the root of the following easily differen-
6.13
= 5 − 5x
tiable function,
e 0.5x = 5 − 5x
Elija la mejor técnica numérica, justifique su elección y luego use
esa técnica para determinar la raíz. Observe que se sabe que, para
valores iniciales positivos, todas las técnicas, salvo la iteración de
punto fijo, finalmente convergen. Realice iteraciones hasta que el
error relativo aproximado caiga por debajo de 2%. Si usted emplea
un método cerrado, use valores iniciales de x l = 0 y x u = 2. Si escoge
el método de Newton-Raphson o el modificado de secante, use un
valor inicial de x i = 0.7. Si se decide por el método de secante, use
valores iniciales de x i – 1 = 0 y x i = 2.
6.14 Use a) el método Newton-Raphson y b) el método de secante
modificada (δ = 0.05) para determinar una raíz de f(x) = x 5 – 16.05x 4
+ 88.75x 3 – 192.0375x 2 + 116.35x + 31.6875 usando un valor inicial
de x = 0.5825 y ε s = 0.01%. Explique sus resultados.
6.15 El antiguo método de dividir y promediar, para obtener una
apoximación de la raíz cuadrada de cualquier número positivo, a, se
formula del modo siguiente:
x
x = + a / x
2
Demuestre que éste es equivalente al algoritmo de Newton-Raphson.
6.16 a) Aplique el método de Newton-Raphson a la función f(x) =
tanh(x 2 – 9) para evaluar su raíz real conocida en x = 3. Use un valor
inicial de x 0 = 3.2 y haga un mínimo de cuatro iteraciones. b) ¿Converge
el método a su raíz real? Bosqueje la gráfica con los resultados
para cada iteración que obtenga.
6.17 El polinomio f(x) = 0.0074x 4 – 0.284x 3 + 3.355x 2 – 12.183x +
5 tiene una raíz real entre 15 y 20. Aplique el método de Newton-
Raphson a dicha función con valor inicial x 0 = 16.15. Explique sus
resultados.
6.18 Emplee el método de la secante con la función del círculo (x +
1) 2 + (y – 2) 2 = 16, a fin de encontrar una raíz real positiva. Haga que
el valor inicial sea x i = 3 y x i – 1 = 0.5. Aproxímese a la solución del
primer y cuarto cuadrantes. Cuando resuelva para f(x) en el cuarto
Employ y =
Employ 6.16y + D
6.16 D
Employ (x −
(x
x 2 −
6.16 D+
x 2 +
Use (xa −g
refined Use a g
x 2 +
describ refined
6.17 describ Use a g
R
6.17 refined R
describ y =
y =
6.17 R
6.18y = A
written 6.18 A
y =
written
6.18 V dc
V dc A
written dt
Given
dt
t
Given W = V d 1t
secant W = 1
d
m
secant Given
initia m
W
and initia = 1
det
6.19 and secant det F
iteratio 6.19 an initi F
iteratio and det
6.19 c = F
iteratio c =
or as
or as c =
c =
or as c =
c =