Pensamiento numerico del preescolar a la educación Basica

Pensamiento numérico del preescolar
a la educación básica
GilbertoObandoZapata 6
NormaL.VásquezLasprilla 7
Introducción
TalcomoloexpresaelMinisteriodeEducaciónNacionalensudocumentosobrelosLineamientos
Curriculareseneláreadematemáticas
8 ,eldesarrollodelPensamientoNuméricoeselnuevo
énfasissobreelcualdeberealizarseelestudiodelosSistemasNuméricos.Así,desdeelestudio
profundodelosSistemasNuméricos,sepuedendesarrollarhabilidadesparacomprenderlosnúmeros,
usarlosenmétodoscualitativosocuantitativos,realizarestimacionesyaproximaciones,yengeneral,
para poder utilizarlos como herramientas de comunicación, procesamiento e interpretación de la
informaciónencontexto,conelfindefijarposturascríticasfrenteaella,yasíparticiparactivamenteen
latomadedecisionesrelevantesparasuvidapersonaloencomunidad.
…elpensamientonuméricoserefierealacomprensiónengeneralquetieneunapersonasobrelos
númerosylasoperacionesjuntoconlahabilidadylainclinaciónausarestacomprensiónenformas
flexibles para hacer juicios matemáticos y para desarrollar estrategias útiles al manejar números y
operaciones…(McIntosh,1992).
Desdeunaperspectivamásamplia,Resnick,1989(citadaporJudithSowder,1992),proponequeel
pensamientonuméricodebeserconsideradocomounaformadepensamientosuperioryquepor
tantodebepresentarcaracterísticascomo:
Noalgorítmico,estoes,elcaminodelaacciónnoestátotalmenteespecificadodeantemano.
Tiendeasercomplejo:elcaminototalnoesvisible(mentalmentehablando)desdeningúnlugaren
particular.
Abreuncampodesolucionesmúltiples,cadaunaconcostosybeneficios,antesqueunaúnicasolución.
Involucrajuzgareinterpretar.
Involucralaaplicacióndemúltiplescriterios,loscualesalgunasvecesentranenconflictoconotros.
Involucralaincertidumbre:nosiemprequeiniciamosunatarea,conocemoselcaminoparasusolución.
Involucraautorregulacióndelosprocesosdepensamiento,...
Involucraimposicióndelsignificado,encontrandoestructuraenelaparentedesorden.
Elpensamientoesesfuerzototal.Existeunconsiderabletrabajomentaleneltipodeelaboracionesy
juiciosqueserequieren.
6 ProfesorFacultaddeEducación,UniversidaddeAntioquia.EstudiantedelDoctoradoInterinstitucionalenEducación,Universidad
delValle.email1:gobando@une.net.coemail2:gobando@ayura.udea.edu.co.
7 ProfesoraInstitutodeEducaciónyPedagogía,UniversidaddelValle.EstudiantedelamaestríaenEducación,Universidadde
AntioquiaEmail:nlvasquez@ayura.udea.edu.co
8 MinisteriodeEducaciónNacional.(1998).Lineamientoscurricularesparaeláreadematemáticas.Bogotá,p131.

La anterior cita muestra como el desarrollo del pensamiento numérico es un proceso cuya
construcciónimplicalargosperiodosdetiempo,yaqueinvolucranosoloaspectosconceptualesde
lasmatemáticas,sinotambiéneldesarrollomismodelacogniciónhumana.
EnlosLineamientosCurricularesseproponenideassimilaresapropósitodelosénfasissobreloscuales
sedebeestructurarelcurrículodematemáticasenelsistemaeducativocolombiano:
Elpensamientonuméricoseadquieregradualmenteyvaevolucionandoenlamedidaenquelosalumnos
tienenlaoportunidaddepensarenlosnúmerosydeusarlosencontextossignificativos,ysemanifiestade
diversas maneras de acuerdo con el desarrollo del pensamiento matemático. En particular, es
fundamentallamaneracomolosestudiantesescogen,desarrollanyusanmétodosdecálculo,incluyendo
cálculoescrito,cálculomental,calculadorasyestimación,pueselpensamientonuméricojuegaunpapel
muyimportanteenelusodecadaunodeestosmétodos.Lainvencióndeunalgoritmoysuaplicación
haceénfasisenaspectosdelpensamientonuméricotalescomoladescomposiciónylarecomposición,yla
comprensióndelaspropiedadesnuméricas.Cuandoseusaunalgoritmoyaseautilizandopapelylápizo
calculadora,elpensamientonuméricoesimportantecuandosereflexionasobrelasrespuestas.
Otras situaciones que involucran el desarrollo del pensamiento numérico hacen referencia a la
comprensióndelsignificadodelosnúmeros,asusdiferentesinterpretacionesyrepresentaciones,ala
utilización de su poder descriptivo, al reconocimiento del valor (tamaño) absoluto y relativo de los
números,alaapreciacióndelefectodelasdistintasoperaciones,aldesarrollodepuntosdereferencia
paraconsiderarnúmeros.Engeneral,estospuntosdereferenciasonvaloresquesederivandelcontextoy
evolucionanatravésdelaexperienciaescolaryextraescolardelosestudiantes.Otroindicadorvaliosodel
pensamientonuméricoeslautilizacióndelasoperacionesydelosnúmerosenlaformulaciónyresolución
deproblemasylacomprensiónentreelcontextodelproblemayelcálculonecesario,loquedapistas
paradeterminarsilasolucióndebeserexactaoaproximadaytambiénsilosresultadosalaluzdelos
datosdelproblemasononorazonables.
Elcontextomedianteelcualseacercanlosestudiantesalasmatemáticasesunaspectodeterminante
paraeldesarrollodelpensamiento.Portanto,paralaadquisicióndelsentidonuméricoesnecesario
proporcionarsituacionesricasysignificativasparalosalumnos.Claramente,elpensamientonuméricoes
avecesdeterminadoporelcontextoenelcuallasmatemáticasevolucionan.Porejemplo,mientrasun
estudianteenlaescuelanoseincomodaporque514sealasumade28+36,elmismoestudianteenuna
tiendapuedeexigirqueselereviselacuentasitienequepagar$5140pordosartículoscuyospreciosson
$260y$380.Paraotroestudianteresultamásfácildecirqueen½libradequesohaymásquesoqueen
¼delibra,quedeterminarcualesmayorentre¼y½.
Lamaneracomosetrabajenlosnúmerosenlaescuelacontribuyeonoalaadquisicióndelpensamiento
numérico.Losestudiantesquesonmuyhábilesparaefectuarcálculosconalgoritmosdelápizypapel
(esteeselindicadormedianteelcualsemideconfrecuenciaeléxitoenmatemáticas)puedenestarono,
desarrollandoestepensamiento.
3 5 8
Cuando un estudiante de 6° grado dice que 4
6
10 o un estudiante de 2° grado afirma que
40
36
16,estánintentandoaplicarunalgoritmoquehanaprendidoperonoestánmanifestando
pensamientonumérico.
MEN,1998,p43y44
Surgeentoncesunagranpreguntaparalaescuela:¿Cómoorganizarlaestructuracurriculardeláreade
matemáticasconelfindelograreldesarrollodeunpensamientomatemáticoenlosestudiantes,
coherenteconlosplanteamientospropuestosenlosLineamientosCurriculares,EstándaresBásicosde
Matemáticas,yengeneral,conlosplanteamientosactualesdelaDidácticadelasmatemáticasenel
ámbitonacionaleinternacional?Porsupuesto,unintentoderespuestaniessimpleniinmediato.
Eldesarrollodelpensamientonuméricodelosniñosempiezaantesdesuingresoalaescuela,cuando
hacialosdosotresaños,atravésdelainteracciónconotrosadultos(fundamentalmentesuspadres)
desarrollannosololashabilidadesycompetenciasrelativasallenguajematerno,sinoque,graciasa

esas interacciones, también desarrollan una serie de intuiciones sobre lo numérico, las
cualessemuestranen competencias relativas al conteo 9 , percepción del cardinal de pequeñas
colecciones 10 ,incluso,laposibilidaddecomposicionesydescomposicionesdelasmismas.
Sibiennopuededecirsequeestasactuacionesconstituyanunconocimientoampliodelnúmeroni
enelsentidomatemático(aunnopuedenreconocerselaspropiedadesmatemáticasbásicasdel
sistemadelosnúmerosnaturalesnipsicológico(lacomplejidadlógicadeestosconocimientoses
aunincipiente),sipuedeafirmarsequeestasprimerasintuicionesnuméricassonlabaseparael
posteriordesarrollodelosaspectospsicológicosymatemáticosdelmismo.
Desdeelpuntodevistapsicológico,sedebenestructurarlasoperacioneslógicasdeclasesde
seriaciónydeinclusión,quesonlasquepermiten,siguiendoaPiaget,laconstruccióndelanoción
decardinalidad,yordenestable,yporconsiguiente,delnúmerocomounaclaselógica.
Estaconstruccióndelosaspectoscognitivosdelnúmeroesunasuntodeldesarrollonormaldela
persona,yelpapeldelaescuelaenesteprocesoesimportante,peronoenseñandolasactividades
piagetianasdeseriación,clasificación,ordenación,conservación,etc.,sinoapartirdepromover
situacionesenlascualeselpapeldelainteracciónsocialdelniñoconotrosniñosyadultossea
factorfundamentalparaeldesarrollodeéstas,entantoqueleposibilitenelprocesodeadquisición
delascompetenciaslingüísticas,pragmáticas,yconceptualesnecesariasparasudesarrollo.En
otraspalabras,elaprendizajedelnúmeronoessolounproblemadedesarrollocognitivo,sinoque
elcontextosocioculturalenelqueelniñodespliegasuactividadesdeterminanteenloslogrosque
puedealcanzar.
Asípues,aceptandoquelaescuelajuegaunpapelimportanteeneldesarrollodelpensamiento
numérico,yqueesteesunprocesodelargaduración,sepuedenproponerlossiguientesaspectos
sobreloscualescentrarlosesfuerzosenelcontextoescolar:
Conocimientodelosmúltiplesusosdelosnúmeros.
Elconteoylasestrategiasparaoperaratravésdelconteo.
Lacomprensióndelasrelacionesylasoperaciones.
Comprensióndelsistemadenumeracióndecimal.
Sentidodenúmeroyestimación.
Trascenderlosnúmerosnaturales.
Elsiguienteesquemapresentarelacionesbásicasentrelosprincipalesconceptosrelacionadoscon
elpensamientonumérico
9 Porcontarseentiendenoelrecitarlasecuenciadepalabrasnúmero,sinoalestablecimientodelacorrespondenciaentreéstasy
losobjetosdelacolecciónquesedeseacontar.Aunqueesdeanotarqueenesasedadessecometenmuchoserroresalestablecer
estacorrespondencia,yqueelconteo,másquedarcuentadelacantidaddeobjetosdeunacolección(cardinal),loquehacees
asignaretiquetasalosobjetoscontados(eltresnosignificatresobjetos,sinomásbieneltercerobjetocontado).
10 Desdeedadesmuytempranaslosniñosreconocenperceptualmentecoleccionesdehastatresocuatroobjetossinnecesidadde
recurrirasuconteo.Dichoprocesoseconocecomosubitizing.

Cardinal Ordinal Código Medida
Dominio y uso de su
Concepto de
Verbal
campo semántico
Número
Tratamiento de
Simples
Magnitudes
Operaciones Básicas
Múltiples
Contar Medir
Combinatori
Estructuras Aditivas
Discretas Continuas
Orientadas/
Escalares Vectoriales
Positivo/Negativo Positivo/Negativo
Naturale Enteros
No Densos
Racionales Irracionales
Densos
Incompletos
Números Reales
1.CONOCIMIENTODELOSMÚLTIPLESUSOSDELOSNÚMEROS
Losnúmerosenlavidacotidianapuedenserusadosdemuchasmaneras:comosecuenciaverbal,para
cuantificar, para medir, para expresar un orden, para etiquetar, para marcar una locación, o
simplemente como una tecla para pulsar (en el caso de las calculadoras), (MEN, 1998; Decorte,
Verschafel,1996).
LosNúmeroscomosecuenciaverbal
Representaciones
Simbólicas
Estaesquizásunadelasprimerasidentificacionesqueelniñohaceconrespectoalnúmero.Desdeuna
edadmuytemprana,cuandoseiniciaeldesarrollodellenguaje,losniñoscomprendenqueexisten
palabrasparareferirsealascosasolasacciones,yotraspalabrasespecialesconlascualesreferirseal
contar 11 . No quiere decir esto que los niños en esos momentos iniciales sepan contar, sino que
identificanlaexistenciadepalabrasparareferirseaesaacciónesespecial.
Esta iniciación al uso de las palabras números cumple una funcionalidad muy importante en el
aprendizajedelconteo:deunlado,permitequelosniñosaprendanlaspalabrasnúmero,ydeotro,con
lacorreccióndeladulto,interiorizanelordenenqueellasdebenseraprendidas.Sibienpronunciarlas
palabrasnúmeronoescontarenelsentidoestrictodelapalabra,conocerlaspalabrasysuordenesuno
delosaspectosclavesensuaprendizaje.
Además,cuandoesteaprendizajesehaceunidoalasaccionesmismasdecontar,ynosoloapartirde
acciónderepetirlaspalabrasnúmerocomosisetrataradeunacanciónounretahíladepalabras,éstas
palabrasnúmeroseaprendenencontextoyconsignificado,loquehacemásfácillosaprendizajes
posterioresconrespectoalnúmero.
Escrita
Algoritmos
Estructuras Multiplicativas
Posicional
Base 10
Proporcionalidad
11 Así,hacialosdosaños,losniñosusanalgunaspalabras,comoporejemplo:unotrescinco,etc.,parareferirseaaccionesque
indiquencontar,ycuandoselespidecontar,nousanotraspalabrascomo,gato,perro,etc.,quesoncomunesensuvocabulario.

Losnúmerosparaetiquetar
Losnúmeroscomoetiquetastienenvariossentidos:deunladopuedeidentificarciertousoquedael
niñoalaspalabrasnúmerocuandoestáenprocesodeaprenderacontar,perodeotro,puedereferirse
alusoquealnúmerocomocódigodeidentificacióndepersonas,objetos,funcionesetc.
Cuandoelniñoiniciaelaprendizajedelconteo,unaetapainicialdelprocesoestáreferidaalusodelas
palabrasnúmerocomoetiquetas.Estoes,paraelniño,cadapalabranúmeroenunciada,norepresenta
lacantidaddeobjetoscontadoshastaelmomento,sinoelúltimoobjetoseñalado 12 .Esdecir,lapalabra
númeronoexpresacantidadsinoformasdenombrarlosobjetos.Estosevasuperandoenlamedida
quelosniñosinteriorizanlanocióndecantidad,ysobretodo,enlamedidaquereconocenymemorizan
demaneraperceptuallascantidadesocoleccionesdemuestra.Porejemplo,reconocendondehaydos
otresobjetossinnecesidaddecontar 13 .
Elotrosentido,yanodependedelacomprensióndelniño,sinodelosusosculturalesdelnúmero.Los
números de las cédulas, de los teléfonos, de las camisetas de los jugadores de fútbol, etc., no
comportanelsignificadodenúmeroenelsentidoestrictodelapalabra.Sontansoloetiquetaspara
identificaralgo:unapersona(lacédula),unacuenta(elteléfono)yunafunción(eljuegodelfútbol).
Comopuedeverseenlosejemplosseñalados,condichosnúmerosnotienesentidolasoperaciones
clásicasdesumarorestar,aunquesiindicanunaclasificación.Estoes,losnúmeroscomoetiquetas
cumplen la función de clasificar objetos, y dependiendo del contexto en que sean usados, esta
clasificaciónesmásdetalladaono.Porejemplo,enelcasodeloscódigosdebarraqueidentificanlos
productosquesevendenenunatienda,almacénosupermercado,lasbarrasrepresentanunasecuencia
de números 14 los cuales se utilizan representar características del producto: fabricante, tipo de
producto,nacionalidad,etc.
Losnúmerosparacontar
Como se verá más adelante, contar esuna acción fundamental en el desarrollo del pensamiento
numérico,sobretodo,aliniciodelasconceptualizacionesmáselementalesconrespectoalnúmero.
Peronosiemprequeserepiteunasecuenciadepalabrasnúmeroseestáusandoelnúmeroensu
sentidodecontar.Losnúmerosseusanparacontar,cuandoelresultadofinaldelaacciónexpresala
cantidad(cardinalidad)deunacoleccióndeobjetos.
Entalsentido,establecercorrectamentelacorrespondenciaunoaunodelaspalabrasnúmeroconlos
objetosdelacolecciónquesequierecontarnoessuficienteparaqueelnúmeroexpresecantidad,
aunquesiescondiciónnecesaria.Estasignificaciónselogra,cuandoenlaaccióndeestablecerla
correspondenciabiunívoca,cadanuevapalabranúmerousadaexpresalatotalidaddeobjetoscontados
hastaelmomento,ynotansolocomounaetiquetaquerepresentaelúltimoobjetocontado.
Losnúmerosparamedir
Enelmismosentidodelítemanterior,nosiempresetienelanecesidaddecuantificarcantidades
12 Estoseevidenciaenaccionescomolassiguientes:despuésdecontarcuatroobjetosselepreguntaalniñoquemuestredonde
haytres,ygeneralmenteseñalaeltercerobjetocontado.Estodemuestraquelapalabratresaunnosignificacantidad,sinouna
formadeunodelosobjetoscontados.
13 Estereconocimientodelascantidadesinicialespuesdosobjetossiempreestánenlínea,mientrasquetressiempreestánen
triángulo.Deahíquelavisualizaciónjuegaunpapelimportante.Además,culturalmente,seinducealniñoenlarepresentaciónde
estascantidadesensusdedos,sobretodoapartirdesolicitarlequerepresentesuedadenlosdedosdelasmanos,enlosjuegos,al
contaruno,dos,tres,…(ysalte),etc.
14 Representarlosnúmerosporbarrasesunasuntodetecnología,puesdeesformasefacilitasulecturaelectrónica.

discretas.Muyamenudo,sedebecuantificarmagnitudescontinuas.Entalescasos,elnúmeroexpresa
unacantidad,peroahoracomoresultadodeunamedición.Enestoscasos,porlogeneralyanosetrata
denúmeroenteros,sinodenúmerosracionales,oinclusodenúmerosirracionales.
Losnúmeroscomoresultadodeunamedidaconstituyenunadelasfuentesdesentidoysignificado
más importantes para el desarrollo del pensamiento numérico. Es precisamente la necesidad de
expresar la medida de magnitudes de diferente naturaleza la que se constituye como fuente
fenomenológicaparalaconstrucciónconceptualdelosdiferentessistemasnuméricos.
Losnúmerosparaordenar
Unidoaloanteriorestáelsentidodelosnúmeroscomocriterioorganizadordeunasecuencia.Setrata
unsentidodelnúmeroenquenoessolocantidad,sinoqueatravésdelanocióndecantidadse
establecelaorganizacióndeunasecuenciadeeventos,acciones,etc.Enestesentidoelsignificadodel
númeroenjuegonoeseldecantidad,sinoeldeorden.Enestecaso,lanocióndecantidadesel
referentebásicoparadefinirelordendeaquelloquesequiereorganizar.
Todoloanteriormuestralanecesidaddeldesarrollodeunapropuestacurricularconunaampliariqueza
desituacionesatravésdelascualeslosalumnospuedantomarconcienciadeestamultiplicidadde
sentidosysignificadosdelosnúmeros.
2.ELCONTEOYELAPRENDIZAJEDELNÚMERONATURAL
Porlogeneral,cuandosepiensaenelaprendizajedelnúmeronatural,sepiensabásicamenteenlos
primerosaprendizajesqueelniñorealizaenelpreescolary/oprimeroprimaria.Nadamáslejosdela
realidadquetalplanteamiento.Talaprendizajeestápresente,porlomenos,alolargodetodala
educaciónbásica.Estaafirmacióntanfuertedebesersustentadaconcuidado.
Durantemuchotiempolasactividadesdeenseñanzadelnúmerocentraronlaatenciónenlastareas
piagetianas sobre conservación, seriación y clasificación. Hoy en día se ha demostrado que estas
actividadesnomejoranlacomprensiónnuméricadelosniños(DeCorteyVerschafel,1996),yquepor
elcontrario,centrareltrabajosobreelconteoylasestrategiasdelconteoatravésdelasoluciónde
problemassencillos,traegrandesdesarrollosenlosprocesosdeconceptualizacióndelosalumnos.
Enconsonanciaconlosplanteamientospiagetianos,ennuestrosistemaeducativoesmuycomúnla
estrategiadeenseñarelconceptodenúmeronaturalapartirlanocióndecardinal,elcualsesuponees
elresultadodelaabstraccióndeltrabajoconcolecciones 15 .Unavez“aprendidoslosnúmeros”,asía
secas,sepasaalestudiodelasoperaciones,elcualserestringebásicamentealaprendizajedelos
algoritmosparacalcularlosresultados,ynodelasoperacionesensimismas.Finalmentesetrabajala
solucióndeproblemas,dondeseaplicanlosconceptosestudiadosanteriormente.Estaperspectivade
trabajodesarticulado,nopermiteeldesarrollodelpensamientonuméricotalcomoseproponeenlos
LineamientosCurriculares.
Saberelnúmero“cinco”esmuchomásquereconocerunacoleccióndecincounidades,oreconocerel
numeral“5”.Esreconocerque5es3+2,4+1,10÷2,etc.,esreconocerque…3<4<5<6<7…,espoderlo
utilizarconsentidoparacomunicarsituacionesenlasqueélaparece,opoderresolversituaciones
problemaenlasqueelcincoesteinvolucrado;ymuchomás.
Porelcontrario,unaperspectivadetrabajoquetomecomopuntofundamentalparaelaprendizajedel
conceptodenúmeronaturallassituacionesproblemaenlasqueestosintervienen,yatravésdeestas,
15 Así,soncomuneslasactividadesenlasquesemuestranlascoleccionesdeuno,dos,tres,cuatro,…,elementos,generalmenteen
formagráficaysincontextoalgunoquelesdensentidoysignificado,separadaseneltiempo(cadaunadeellasenunaclase
diferente),seguidasposteriormentedeactividadescentradasenelreconocimientodelarepresentaciónsimbólicadecadaunode
losnúmerosrepresentadosendichascolecciones.

conceptualizarlasrelaciones,lasoperacionesylaspropiedadesqueloscaracterizancomosistema
numérico,sehacebastantepromisoria.Nótesequeseestáplanteandounaprendizajedelnúmeroa
travésdesuuso,ynoaprenderelnúmerodesdesusaspectosformales,paraluegoutilizarlo.Paralograr
talmeta,laaccióndecontaresunfactordeterminante.
Lainteracciónsocialylosprimerosaprendizajesnuméricos
Desdequelosniños,hacialosdosotresaños,iniciansuinmersiónenlalenguamaternaatravésdelas
interaccionesconlosadultos,desarrollannosololashabilidadesycompetenciasrelativasallenguaje
materno, sino que, gracias a esas interacciones con el adulto, también desarrollan una serie de
intuicionessobrelonumérico,quesemuestranencompetenciasrelativasalconteo,percepcióndel
cardinaldepequeñascolecciones,eincluso,laposibilidaddecomposicionesydescomposicionesdelas
mismas. Si bien no puededecirse que estas actuaciones constituyan un conocimiento ampliodel
númeronienelsentidomatemático(aunnopuedenreconocerselaspropiedadesmatemáticasbásicas
delsistemadelosnúmerosnaturales)nipsicológico(lacomplejidadlógicadeestosconocimientoses
aun incipiente), si puede afirmarse que estas primeras intuiciones numéricas son la base para el
posteriordesarrollodelosaspectospsicológicosymatemáticosdelmismo.
Quizásporpresumirantefamiliaresyamigos,quizásmotivadosporlaideadequelasmatemáticas
hacenalaspersonasinteligentes,osimplementemotivadosporunanecesidadsocial,lospadres
inducenalosniñosalaprendizajedelasecuenciadelaspalabrasnúmero.Estasaccioneshacenque
paulatinamente,elniñohacialostresocuatroaños,puedarecitarlaspalabrasnúmero,yenelorden
apropiado,porlomenoshastaeldiez.Erróneamente,lamayoríadelosadultosasumenqueesta
recitaciónesunaevidenciadequeelniñosabecontar.Enrealidad,elconteoimplicaotrotipode
capacidadesquesuperanampliamenteesteniveldelarecitacióndelaspalabrasnúmero.
Perocuandoestaintencionalidaddeladultosecontextualizadesdelasactividadescotidianasdelniño,
fundamentalmentedesdesusjuegos,detalmaneraqueelaprendizajedelasecuenciadelaspalabras
númeroserealicesobrelabasedeactividadesrealesdeconteo,entoncesselograyanosolorecitarlas
palabras número, sino realmente contar en un rango alrededor de la decena, reconocer
perceptualmentelacardinalidaddecoleccionesdehastatresocuatroelementos,oincluso,realizar
composiciones y descomposiciones en los rangos numéricos dentro de los cuales se reconoce la
cardinalidadperceptual.
Realizarelanteriortrabajotienedoscondicionesbásicas:deunlado,aprovecharlasactividadesde
juego espontáneas de los niños para inducirlos en actividades de conteo, y de otro, que estas
actividadesdeconteogenerenlanecesidaddecomunicarcantidadesydecomunicarseatravésdelas
mismas.Esdecir,nosetratadeforzaractividadesdeconteo,sinodeaprovecharaquellasenlasqueel
contarsepuedadesarrollardeformacasinatural,peroquealavez,esteconteoestémediadoporla
necesidaddecomunicarleaotroslacantidadcontada.
Porejemplo,enunjuegoconcubos,carros,omuñecas,eladultopuedeinduciralosniñosala
necesidad de contar a través de un cuestionamiento sencillo: ¿cuántos cubos, carros, muñecas
tenemos?Enestemomentosepuedeacompañarelactodecontardelosniños,ayudándolosenlos
momentosenlosquepresentandificultadesparadarfeliztérminoasuacto.Otrasituacióntípicaque
seprestaparageneraraprendizajesnuméricoseselrelativoalaedad:alniño(a)continuamentesele
cuestionaporsuedad,yélrápidamenteaprendeamostrarensusdedoscuantosañostiene,ycuando
lohacemal,eladultolecorrigemostrándolecomodebeser.
Comoseafirmóantes,estosaprendizajesnuméricosdelosniñoshaciatresocuatroañosdeedadaun
distanmuchodeconstituirformalmenteelconceptodenúmero,pues,siguiendoaPiaget,nohayen
estosactosdeconteoevidenciadecardinalidad,ordenestable,yporconsiguiente,elnúmeronoexiste

comoclase.Laausenciadecardinalidadsepuedeevidenciarensituacionestansimplescomoenelacto
demostrartresdedosdeunamanopararepresentarunacantidad(comoporejemplosuedad):
siempresonlosmismostresdedos,ynoaceptanqueotrostresdedos,oinclusoquedosdedosdeuna
manoyunodelaotraseanelmismotres,Enotraspalabras,eltresnoeslacantidad,sinolostresdedos
queseusanparasurepresentación"ydeahílanegativaparaaceptarqueotraconfiguracióndededos
tambiénrepresenteelmismotres.Igualevidenciasepuedeverconlaspalabrasnúmeroqueseutilizan
paracontar:cuandoelniñodice“uno,dosytres”,estaspalabrasnorepresentancantidadesdeobjetos,
sinomásbienetiquetasparareferirseadichosobjetos,yportanto,el"uno",oel"dos",oel"tres"se
refierenalprimero,alsegundooaltercerobjetocontadorespectivamente,ynoalascantidadesuno,
dosotres.
Laausenciadeordenseevidenciadeunladoenlaimposibilidaddelniñodeverlainclusióndeun
númeroenelotro,porejemplo,deverqueeltrescontienealdos,ydeotro,queapesarderealizarel
conteoenordencorrecto,elordenenqueserealizadichoconteoserefierenoalarelacióndeser
mayoromenor,sinoalamaneracomofueronaprendidaslapalabrasnúmero.
Todoestodesembocaenlaausenciadeunconceptodenúmerocomoclase,yaque,porejemplo,eldos
esdiferentesegúnelcontextodondeesutilizado:doscarrosnoeslomismoquedosmuñecas,puesel
dosserefiereacosasynoalacantidad.Esdecir,existeunnúmeroparacadacolección,yelnúmerode
unaesdiferentedelnúmerodelaotra.
Peroapesardelasdistanciastangrandesqueseparanestasideasinicialesdelosniñosdelosconceptos
formalesaceptadosenlaescuela,nosepuedepretenderdejarestedesarrolloconceptualalamera
voluntaddeldestino,puessibienesciertoqueunaprendizajedelconceptodenúmeronaturaldebe
darsesobrelabasedeldesarrollodeunasestructurascognitivas,tambiénloes,queelpapeldela
interacciónsocialdelniñoesfundamentaleneldesarrollodeéstas,entantoqueleposibilitaun
procesodeadquisicióndelascompetenciaslingüísticas,pragmáticasyconceptualesnecesarias.
Enotraspalabras,elaprendizajedelnúmeronoessolounproblemadedesarrollocognitivo,sinoqueel
contextosocioculturalenelqueelniñodespliegasuactividadesdeterminanteenloslogrosquepuede
alcanzar.
Elconteoylasestrategiasparaoperaratravésdelconteo
Contaresunaacciónbásicaparaeldesarrollodelconceptodenúmeronatural,perosobretodo,siesta
acciónestámediadaporlanecesidaddecomunicarointeractuarconotros:atravésdeunjuegopara
determinarlosmarcadoresdecadajugador,paracomunicaraotroscuantosetienedealgo,para
compararcantidades,etc..
1 2 3 4 5 6 7 8
Dos caractrerísticas básicas del conteo:En primera instancia, un orden en la secuencia
para no contar dos veces el mismo objeto, o no dejar ningún objeto sin contar (figura
superior), y en segunda instancia, el carácter inclusivo de cada item de conteo: 8
contiene los demás números (figura inferior).

Elconteoesunesquemamentalcuyaconstruccióniniciaenlaetapasensoriomotorayqueseva
desarrollandopaulatinamentehastaalcanzarnivelesabstractos.Cadaunadelasetapasporlasque
atraviesaesteprocesodeterminamomentosespecíficoseneldesarrolloconceptualdelnúmero.La
construccióndeesteesquemaimplicaenelniñolacomprensióndelconceptodecoleccióncomouna
totalidadcompuestasusceptibledesercomparada.Peronoporelhechodequeelniñopercibala
coleccióncomopluralidadestáencapacidaddecontarla.Debeantetodopercibircadaelementodela
coleccióncomounítemquepuedesercontado,delimitarclaramenteloselementosdelacolección,y
establecerunacorrespondenciaunoaunoentrelasecuenciadelaspalabrasnúmeroylosobjetosdela
colecciónquedebesercontada(estoes,nocontardosvecesunelementoodejaralgunosincontar).
Asípues,contaresunprocesomedianteelcualseponenencorrespondenciabiunívocalosnúmeros
naturalesconloselementosdeunacolección,ycomoyasedijo,recitarlaspalabrasnúmero,sin
ningunareferenciaacorrespondenciaconítemsdeunacolecciónnoescontar.Cuandoelniñoinicialos
primerosaprendizajesdeesteprocesoseveenfrentadoamúltiplesproblemas,quevandesdeno
conocerlosnombresdelosnúmerosonoconocerelordencorrectodeellos,hastalosrelativosconel
establecimientodelcardinaldelacoleccióncontada.Soloatravésdeenfrentarmúltiplessituacionesde
conteo, el niño puede desarrollar los esquemas suficientes y necesarios para solucionar estos
problemas.
De otra parte, así como a través de las diferentes situaciones de conteo a las que el niño se
enfrente le permiten adquirir una comprensión del número, estas mismas situaciones, en
la medida que exigen la comunicación con otros (sobre todo si esta se realiza con
lápiz y papel), también generan la necesidad de aprender a escribir los
numerales 16 .Aligualqueconelconteo,estenoesunaprendizajedefáciltránsito,quepartedelas
representacionesespontáneasdelosniños(iconográficasmuchasveces)hastafinalmentellegarala
escriturasocialmentecompartida.Setratapuesnodeimponeralafuerzaunaescriturasimbólica,sino
depermitirqueenlamedidaqueaumentelacomprensiónconceptualdelnúmero,tambiénmejorela
formacomoésteserepresentaporescrito,yviceversa,queenlamedidaquesedispongadeformas
más potentes de representación simbólica, entonces se tengan mejores herramientas para su
comprensión.
Finalmente,elconteoesunaherramientaimportanteparainiciarelaprendizajedelasoperaciones
básicas, sobre todo las correspondientes a la estructura aditiva. La composición de dos o más a
cantidades(partes)paraformarunaúnicacantidad(todo),osucorrespondienteoperacióninversa,
descomponerunacantidaddada(todo),enunaomáscantidadesnonecesariamenteiguales(partes),
sonunaimportantefuentedesentidoysignificadoparalasumaylarestarespectivamente.Elconteo
proporcionaestrategiasparaeltratamientodesituacionesqueinvolucrentantolacomposicióncomola
descomposiciónaditiva.
Lacomposiciónydescomposiciónaditivaseconstituyenenunodelosprocesosfundamentalesatravés
deloscualeselalumnologralaestructuraciónconceptualdelnúmero.Comotalnosonoperaciones
matemáticas,sinoprocesosatravésdeloscualesseestructuraunentramadoconceptualbase,tanto
paraelconceptodenúmero,comoparalasoperacionesaditivas(sumaysustracción).
Ladescomposición,comosunombreloindica,consisteenlareparticióndeunacantidaddeterminada
endosomáscantidadesmenoresqueella(éstasnonecesariamentetienenqueseriguales).Asípor
ejemplo,lacantidad5puedeserdescompuestaen1y5;2y3;3y2y4y1.Lacomposicióneselproceso
inverso,estoes,apartirdedosomáscantidadesdadas,encontrarlacantidadtotal.Ambosprocesos
16 Símbolosgráficosconlosquerepresentamoslosnúmerosdeformaescrita,queparanuestrocaso,esatravésdeSistemade
NumeraciónDecimal.

estánunidosalesquemabásicoaditivo:larelaciónpartepartetodo.Así,enunprimermomentodela
actividadintelectualdelalumno,lacomposiciónyladescomposiciónaditivaestánligadasalconteo,ya
travésdeéste,segeneraunaseriedeestrategiasqueevolucionanenlamedidaquesedesarrolleel
conceptodenúmeroydelasoperacionessumayresta.
Técnicasdeconteo:Lacomposición
Comoseindicóanteselprocesodelacomposiciónsedaunidoalaevolucióndelosesquemasde
conteo. Esto es, las distintas estrategias a través de las cuales el niño soluciona las tareas de
composiciónestándeterminadasporelniveldeabstracciónqueélhayaalcanzadoenlosesquemasde
conteo.Asísepuedendistinguirlassiguientesestrategiasbásicasdeconteoenestetipodeactividades:
1 2 3
4 5 6 7 8
Conteounoauno:enestaestrategiaelniño,antelaexigenciadetotalizardoscantidadesdadas,cuenta
uno a uno los elementos de ambas colecciones, determinando que la última palabra número
pronunciadaeselresultadodelatotalizaciónpedida.Podríadecirsequeelniñoquerealizaestetipode
estrategiaestáenunaetapaenlaquenolograrepresentarseunacantidadcomountodoapartirdel
cualsepuedereiniciarunnuevoconteo.Porestarazónparahallareltotaldebecontarunoaunoambas
cantidades.
Completarapartirdeunadelascantidadesdadas:enestaestrategiaelniñotomacomobaseunadelas
cantidadesdadasyrealizaunconteocompletandolasegundacantidadapartirdelaprimera.Este
conteocompletandoexigealniñoelrealizarundobleconteo:unoquelepermitirádeterminarel
resultadofinalyelotro,queledicecuandopararelprimerconteo.Asíporejemplo,paradeterminar
cuántosecompletaaljuntardoscoleccionesde4y5carameloselniñopuedecompletarunconteode
cincounidadesapartirde4,diciendoporejemplo5,6,7,8,9,encuyocaso5significaunomás,6dos
más,7tresmás,8cuatromásy9cincomás,yporlotanto9eselresultado.
4 5 6 7 8 9
Conteo uno: Permite hallar el
resultado.
uno
más
dos
más
tres
más
cuatro
más
cinco
más
Conteo dos: Permite determinar
cuando parar el conteo uno.

Comopuedenotarseenelgráfico,elniñopararádecontarcuandohayacompletadocincoítemsenel
conteo2.Ahorabien,segúncomoserealiceelsegundoconteosepuedentenerdiferentesnivelesde
abstracción,quevandesdelanecesidaddetenerloscincoobjetosparacontarlos(conteoperceptual),
pasandoporlaposibilidadderepresentarlosfiguralmente,hastaquepuedaserllevadoenlamente
comoítemsdeconteoabstracto.
Totalizaciónsinrealizarelconteo:enestecasoelniñolograrealizarlatotalizaciónsinnecesidadde
recurriralconteo.Estoquieredecirqueelniñoyahainteriorizadodichadescomposicióncomoun
hechonumérico,alcualpuederecurrircadavezquelonecesite.
Esdedestacarquelasanterioresestrategiasnorepresentanunaestructuraciónjerárquicaycreciente
enelprocesodeabstraccióndelacomposición,sinoqueelniño,enfuncióndelcontextodelatarea,y
delrangonuméricodelamisma,desarrollaráunauotra.Estoes,sepuedenencontrarniñosquefrente
aunatareaprocedandeunadeterminadaforma,yenotratarealohagandesarrollandoestrategiasde
otroorden.
Técnicasdeconteo:Ladescomposición
Enlamedidaqueelniñoavanzaeneltrabajodelacomposición,seledebenproponeractividades
tendientesaladescomposición,lacualessuoperacióninversa.Portalrazónsilacomposicióngenerala
suma,estagenerarálaresta.
Ladescomposiciónsedaenactividadesenlascualesapartirdeunacantidaddadasedebenhallardos
omáscantidades(nonecesariamenteiguales)talesquealjuntarlascompletenlacantidaddada.La
descomposiciónsebasaenlacomposición,yenlamedidaqueelalumnoconstruyeestrategiasparala
composición de dos cantidades, también podrá desarrollar estrategias para la realización de la
descomposición.
9 8 7 6 5 4
Conteo descendente: Permite
hallar el resultado
uno
menos
dos
menos
tres
menos
cuatro
menos
cinco
menos
Conteo ascendente: Permite
determinar cuando parar el
conteo descendente
Paraquedesdeladescomposiciónsepuedagenerarlaresta,sedebeproponeractividadesenlascuales
elniñodadaunacantidadyunadelaspartesdebahallarelotro,oactividadesdesustraerunacantidad
deotra.Lasestrategiasqueelniñodesarrollaparasolucionarestastareassonsimilaresalasdescritas
anteriormente para la composición, en tanto que pueden ser de tipo perceptual, cuando el niño
necesitaderealizarlaactividadfísica,derealizarlasustracciónoelcompletar.Enelcasodequeelniño
sepuedarepresentarlascantidadesaoperar,puedeserquelatareaseasolucionadaapartirde
completar,encuyocasosetratadeunacomposición,opuedeserqueserealicelasustracciónatravés
de un conteo descendente que determina el resultado final y un conteo ascendente interno que

determinacuándopararelconteodescendente.Porúltimo,puedeserqueelniñorealicelaoperación
sinnecesidadderecurriralconteo.
Ladescomposiciónesunaherramientamuyútilcuandoelniñoseveenfrentadoarealizarlasumade
dosomáscantidades.Porejemploparasumar4y3puededescomponerel4en3y1,porloquesu
sumasetransformaen3+3+1,lacualesmásfácilderealizar.Igualmentesucedesisetratade
cantidadesderangosmásaltos.Enestoscasoslaherramientaeconomizacálculos.
Técnicasdeconteo:losconteosdeunidadesmúltiples
Otrotipodeconteosdesumaimportancia,sonaquellosenlosquelaunidaddeconteonoeslaunidad
(1):setratadelosconteosdedosendos,detresentres,etc.Estosconteospermitendesarrollar
estrategiasmáseficientespararesolversituacionesaditivas(sumasorestas)queinvolucrennúmeros
grandes,ysobretodo,porquesirvendebaseparainiciaraprendizajesrelacionadosconsituaciones
multiplicativas(multiplicacionesodivisiones).
Deespecialimportanciasonlosconteosdecincoencincoydediezendiez.Estosconteos,sonclaves
paraunabuenacomprensióndelSistemadeNumeraciónDecimal,yparadesarrollarestrategiasde
cálculomentaleficientes.
Enestoscasos,cuandoelconteosepuedehaceryanosolodeunoenuno,sinodedosendos,tresen
tres,etc.,yademás,deformaascendenteydescendente,entonces,sedisponedeunaherramienta
importanteparainiciarlacomprensióndelamultiplicaciónyladivisión.
3.COMPRENSIÓNDELSISTEMADENUMERACIÓNDECIMAL
ElSistemadeNumeraciónDecimalesantetodounsistemasimbólicoparalarepresentaciónescritade
losnúmeros.Perocontrarioaloquepuedenpensarmuchaspersonas,suaprendizajenoescuestión
sólodememoria,sinoquerequieredelaestructuracióndeunaseriedereglaslógicasyrelaciones,que
constituyenelentramadoconceptualdeéste.Porestarazón,esmuycomúnencontrarseconquelas
personasutilizanelSistemadeNumeraciónDecimaldemaneramecánicaperonocomprendenporqué
funciona.Estasituaciónsehacemásevidenteenlosalgoritmosconvencionales,enloscuales,lalógica
quelossustentadescansafundamentalmenteenelSistemadeNumeraciónDecimal.
ElSistemadeNumeraciónDecimal(SND),esunsistemaposicional,multiplicativoydebase10.
Queseaposicional,significaquelascifrasqueseescribenenelnumeral,tienenunvalorsegúnellugar
ocupadoenelmismo.Así,porejemplo,enelnúmero4745,elcuatrodelaizquierdanotieneelmismovalor
queelcuatrodeladerecha.Elprimerosignifica4x10 3 ,estoes,4veces1000,locualesequivalentea4000,
mientrasqueelotrocuatrosignifica4x10 1 ,esdecir4veces10,locualesequivalentea40.
Elsermultiplicativoquedaexpresadoenelhechodequeelvalorrelativodeunadeterminadacifraes
calculadoapartirdelamultiplicacióndelacifraporalgunodelosfactores10 0 ,10 1 ,10 2 ,10 3 ,etc.,segúnellugar
ocupadoporlacifra.Deestamanera,elvalortotalexpresadoenelnumeral,quedadeterminadoporlasuma
delosvaloresrelativosdecadaunadelascifrasquelocomponen.
Encuantoalcarácterdecimal,setienequesubasees10yporendemaneja10símbolosparaexpresar
cantidades.Además,realizaagrupacionesde10yenconsecuencia,seconstituyedelasunidadesdeorden
10 0 denotadascomounidades,lasunidadesdeorden10 1 denotadascomodecenas,etc.Estasagrupaciones
seestablecenenordencrecienteeinclusivo:cadaunadeellasseconformadeunidadesdelasdelorden
inmediatamenteanterior.Deestaformaseestableceunaregladeequivalenciaquelasrelacionaentresi:
todaunidades10veceslaunidaddeordeninmediatamenteanterioryladécimapartedelaunidad
inmediatamentesuperior.Esteprocesodeequivalenciaesdegranimportanciaeneldesarrollodelcálculo
mentalyaquepermitelacomposiciónodescomposicióndeunnúmeroenlasdiferentesunidadesdel
sistema.Nodebeconfundirsedichoprocesoconlaidentificacióndelvalordeposicióndeunacifra.

Porejemplo,unacosaesqueenelnúmero150,enellugardelascifrasdelasdecenashallauncinco,yotra
cosaesverqueesenúmerotieneentotal15decenas(ynocincocomocomúnmenterespondenlosalumnos).
Losdosaprendizajessonnecesarios,esdecir,losalumnostienenquecomprenderelvalordeposicióndelas
cifras,perotambiéndebencomprenderlasequivalenciasdelacantidadexpresadaenlasdistintasunidades
delsistema.Estacomprensiónpermitegenerarmúltiplesestrategiasdecálculosnoconvencionales,los
cualescomosehainsistidoampliamente,sonmuyimportantesparadesarrollaenpensamientomatemático,
ycomosemostrará,masadelante,esunacomprensiónclaveparalacomprensióndelosalgoritmos
convencionales.
Adicionalmente,elSistemadeNumeraciónDecimal,estáenestrecharelacióncondosaspectosdel
aprendizaje de los números muy importantes: Los algoritmos de las operaciones básicas, y el
aprendizajedelaspalabrasnúmero.
Conteo recurrente de
unidades
Grupos de orden
a n
Unidades de
orden a n
Grupos de orden
10 n
Unidades de
orden 10 n
Otras bases
Valor posicional
En comparación y
contraste con
En relación con
Sistemas de medida (métrico,
pesos, etc.)
Base 10
LosalgoritmosparalasoperacionesbásicasyelSND
Valor relativo de
las cifras
Descomposición
polinómica
Unidades del
sistema
Tipos de
Unidades
Equivalencia entre
unidades
Descomposición de
un número las
unidades
Equivalencia entre las
descomposiciones
Algoritmos de
las
operaciones
En relación con
El número, sus operaciones y
relaciones
En relación con
ElaprendizajedelasoperacionesbásicassefundamentaenlaspropiedadesbásicasdelSistemade
NumeraciónDecimal:lascomposiciones,lasdescomposicionesylasequivalenciasenlasunidadesdel
sistema,yelvalordeposición.Porejemplo,siunalumnoquenacióen1993debecalcularsuedadenel
año2001,entoncesdeberestarde2001,1993,lacualsesabeesbiendifícilderealizarapartirdel
algoritmoconvencional.PerosilosalumnosestánacostumbradosapensarentérminosdelSistemade
NumeraciónDecimal,entoncespuedenver,el2001como2000+1(otambién,2×1000+1)yel1993

como1000+900+90+3(otambién,1×1000+9×100+9×10+3×1).Estalecturadelnúmerolepermite,por
ejemplo,escribir,
2000+1
menos,
1000+900+90+3,
yportantorealizarlarestadeizquierdaaderecha,inclusomentalmente,porejemplo,atravésdeuna
secuenciadeoperacionescomolasiguiente:20001000=1000;1000900=100;10090=10;103=7y
7+1=8. Nótese que es un procedimiento no convencional, pero que manifiesta una muy buena
comprensióndelosnúmeros.Estetipodeprocedimientos,atodaslucessonpreferiblesalaaplicación
mecánicadealgoritmos,enloscualesunalumnopuedeobtenercomorespuesta1002,ynoinmutarse
porelresultado.
Unaspectocentralseríaentoncescómollevaralalumnodesdeesasdescomposicionesparticularesen
las unidades del sistema, y de los algoritmos particulares que se han inventado sobre dichas
descomposiciones,alacomprensiónysignificacióndelasreglasdelosalgoritmosconvencionales.
Fundamentalmentelosalgoritmosexpresanunaeconomíadepensamiento.Poresosintetizanuna
granvariedaddeconceptos,yenesoradicasuimportancia.Loimportanteesquesuaprendizajese
base sobre lo que el alumno ya sabe hacer, y no como una imposición que haga desechar la
comprensiónganada.
LaspalabrasnúmeroyelSND
ElaprendizajedelaspalabrasnúmeroestáestrecharelaciónconelSistemadeNumeraciónDecimalen
tantoqueéstas,sibientienenciertaregularidadconrespectoalalógicadelaescrituradelonumerales
enelsistema,enalgunosmomentosrompenconlamisma.Porejemplo,paralosnúmerosentre0y9,
cadanuevonúmeroseobtienealagregarunaunidadalnúmeroinmediatamenteanterior.Paracada
unodeestosnúmeroshayundeterminadosímbolo,yporsupuestounapalabranúmerodistinta.A
partirdel10seinicialarepeticióndelosdiezsímbolosiniciales,perolosnombressonpalabrasnuevas.
Paralosnúmeros11,12,13,14y15aunquesondiezyuno,diezydos,etc.,susnombressonpalabras
nuevasquenocorrespondealalógicadesuconstrucción.Desdeel16hastael19,losnombresdelos
númerosylamaneracomoseestructuranenelSistemadeNumeraciónDecimalsonidénticas:diezy
seis,diezysiete,etc.Enel20serompenuevamentelaregularidadentrelaspalabrasnúmeroyel
SistemadeNumeraciónDecimal,lacualserecuperaentreel21yel29.Apartirdeallíserompela
secuenciasóloenlasdecenascompletas.Estehechodelrompimientodeambasestructurasesfactor
dedificultadenelprocesodeaprendizajedelanumeración.
Teniendoencuentaestaestructuraysus correspondientesrelaciones,elSistemadeNumeración
Decimal,brindaventajasencuantoa:
Laeconomíadesímbolosutilizadosenlarepresentacióndecantidadesporgrandesqueestassean.
Lacapacidaddeescribirnumeralesdeformaclaraysinlugaradudadeconfundirtalexpresiónconotra.
Lafacilidadpararealizarcálculosescritospuesseestablecenreagrupacionesenlosórdenesquese
requieran.
Laestructuradelsistemadenumeracióneslabasedeotrossistemascomoelsistemamétricodecimal.
Esuniversalpuesesreferenteencasitodaslasculturas.
Ensíntesis,lasunidadesdelsistemasonpotenciasde10.Serelacionanentresiapartirdelareglaser
diezveces…oladécimapartede….Elvalordecadacifraenelnumeralquedadeterminadoporsu
posiciónenelmismo.Sucomprensiónesnecesariaparaeldesarrollodelcálculomentalydelos
algoritmos(convencionalesono)delasoperacionesbásicas.Suaprendizajeestáenestrecharelación
conelaprendizajedelaspalabrasnúmero,tantoporlassimetríasentreambossistemas,comoporlas
rupturasdeunoaotro.

4.LACOMPRENSIÓNDELASRELACIONESYLASOPERACIONES
Lasrelacionesdeequivalenciaydeorden
Larelacióndeequivalencia
Eneltrabajoescolar,elsignoigualsepresentaalmenoscondossignificados:comooperadorycomo
relacióndeequivalencia.Unodeellos,elsegundo,esdesatendidoenlamayoríadepropuestasdeaula.
El signo igual es entendido como un operador cuando éste expresa el resultado de realizar una
determinadaoperación,porejemploen5+3=8.Aquíelsímbolo“igual”significa8eselresultadode
sumar5y3.Odichodeotraforma,elsignoigualexpresaqueenseguidadeélsedebeescribirel
resultadodeexpresarlaoperación,elcual,porsupuesto,debeserotronúmero. Elotrosentido,
igualmenteimportante,eslaigualdadcomorelacióndeequivalencia(esdecirenelsentidomatemático
derelacióndeequivalencia).Enestecaso,elsignoigualexpresaquelasexpresionesacadaladodela
igualdadsonlaunaequivalentealaotra,yportanto,puedensersustituidasunaalaotracuandosea
necesario.Estesentido,necesarioparaeltrabajoalgebraico,debeseriniciadodesdelosprimerosaños
delaescolaridad,ydeestaformatenerbasessólidasparasucomprensiónenelcontextodeldesarrollo
delpensamientovariación.
Laigualdadcomorelacióndeequivalenciatienelassiguientespropiedades:
Reflexiva: A=A
Simétrica: SIA=BentoncesB=A
Transitiva: SiA=ByB=CentoncesA=C
Además,conlasoperacioneselementales(suma,resta,multiplicaciónydivisión)cumplelallamada
propiedaddeuniformidad:
Leyuniforme: SiA=BentoncesA*C=B*C
Pero surge una pregunta, ¿cómo lograr una estructura de trabajo en el aula que favorezca la
comprensión de ambos sentidos de la igualdad?. Una opción es, en primer lugar, las actividades
propuestasdebenfavorecerlareflexiónsobresusdiferentespropiedades,yensegundolugar,através
delarelaciónqueestablecelapropiedaduniformeconlasdiferentesoperaciones,favorecereltrabajo
conlascomposicionesydescomposicionesaditivasymultiplicativas.
Asíporejemplo,atravésdeunjuegocomoelparqués,sepuedeanalizarlasdiferentesposibilidadesde
obtener6utilizandolosdosdados.
Seobtieneportantounasecuenciacomolasiguiente:
5+1;4+2;3+3;4+2y5+1
apartirdeloscualessepuedellegaraestablecerque5+1esequivalentecon4+2notantoporelhecho
dequeambassumastienenelmismoresultado,sinofundamentalmente,porqueunodelossumandos
(el5)hadisminuidoenunaunidad,yelotro,(el1)haaumentadoesamismaunidad.Asípues,paraque
se pueda reflexionar sobre el significado del signo igual como relación de equivalencia se deben
proponeractividadesenlasqueelcontroldelamisma,esdecir,elestablecimientodelaequivalencia
nodescanseúnicamenteenlasolucióndelaoperaciónindicada,sinoquesedebenpropiciarreflexiones
sobrelasregularidadessubyacentesenlosprocesosdevariaciónnumérica.
Adicionalmente, a partir del análisis de las regularidades numéricas presentes en los procesos de
variación,sepuedenconceptualizarlaspropiedadesdelaigualdadcomorelacióndeequivalencia,
fundamentalmentelapropiedadtransitiva,lacualeslamenosintuitivadelastres.

El sentido y significado del signo igual trabajado desde esta perspectiva, presenta relaciones
importantesconrespectoalpensamientonuméricoyelvariacional.Conrespectoalpensamiento
numéricosetienelarelaciónentrelasoperacionesylarelacióndeequivalencia,unaampliacióndel
sentidodelconceptodenúmeroyunaampliacióndelsignificadomismodelasoperaciones 17 .
Conrespectoalpensamientovariacionalsetieneeliniciodeunprocesodeconceptualizacióndela
relacióndeequivalencia,elreconocimientodeinvariantesatravésdelestudiodeprocesosdevariación,
yporestavía,seiniciaelprocesodeconceptualizarlanocióndevariable.
Larelacióndeorden
Aunqueenlaescuelasehablededosrelacionesdeorden:lasrelaciones“mayorque”(>)y“menorque”
(<),enelsentidoestrictodelapalabrabastatrabajarunadeellas.Dehecho,desdeelpuntodevista
formalsolosedefinelarelación“mayorque”().Así,seríamuchomásconvenienteiniciareltrabajocon
larelación“mayorque”,yluego,mostrar,queelotrosímbolo,(<),esunamaneradistintadeexpresarla
mismarelaciónentrelosnúmeros,sóloqueenestaocasión,elmenorseescribedeprimero.Apesarde
decirqueA>B,tieneunsentidoequivalenteadecirB<A,paralosalumnosestaequivalenciaenlos
sentidosdeambasexpresionesnoestransparente.Ladistinción“mayorque”,“menorque”,esmás
pedagógica que matemática, y puede ser la fuente de las dificultades de los alumnos, no para
determinarcuandounnúmeroesmayoromenorqueotro,sinoparalautilizacióndelosdossímbolos.
En este sentido, un trabajo de manera simultánea en ambas relaciones puede aumentar las
confusiones,yencontraste,unafuertesignificacióndelauna,ysobreesabase,estudiarlaotrapuede
ayudarasureconocersusdiferenciasysimilitudes.Larelacióndeorden,asícomolarelaciónde
equivalencia,tienesuspropiedadesmatemáticas 18 :
Antireflexiva:
AnoesmayorqueA
Antisimétrica: SeanAyBdosnúmeroscualesquiera,siA>ByB>A,
entoncesA=B
Tricotómica: SeanAyBdosnúmeroscualesquiera,entoncessolounadelastressituacionesse
puedepresentar:A>B,óA<B,óA=B
Transitiva: SiA>ByB>CentoncesA>C
17Ensentido,ysiguiendoelconceptodesistemapropuestoporelDr.CarlosEduardoVascoenlarenovacióncurricular,se
establecequelosnúmeros,lasrelacionesylasoperacionestienenvínculosmuyestrechosentantodelasoperacionespermitenla
construccióndenuevosobjetosenelsistemas(estoes,números)ylasrelacionespermitenlaconstruccióndeproposicionessobre
losobjetosysusoperaciones.Deestamaneraselograampliarelconceptodenúmero,trascendiendolaideaclásicadequeun
númeroesunacoleccióndeobjetos,ysemuestraqueunnúmeroestaenrelaciónconlasoperacionesquesepuedenrealizarcon
ellos(cinconosoloesunacolecciónde5objetos,sino4+1,3+2,etc.).Igualmentelaspropiedadesdelarelacióndeequivalenciase
veráncomoafirmacionessobrelosnúmeros,loscualestienencarácterdegeneralidad(sonválidasparacualquiernúmero),esdecir,
laspropiedadessonproposiciones.
18Lacomprensióndeestaspropiedades,sobretodolaantisimétrica,esbastantedifícilparalosalumnos.Estosobretodoporque
losalumnos,alpensarendosnúmeros,dehechoalserdos,sondiferentes,yportanto,unoesmayorqueelotro,yporsupuesto,
nohayningunaposibilidadquedemanerasimultáneaesemismonúmerotambiénseamenorqueelotro,luegoentonces,¿cómo
puedenllegaraseriguales?.Estaesunacomprensiónquesólopuededarsedesdelaformalidaddelateoría.Portanto,habría
necesidaddepensarestrategias,oinclusoalternativasdeformulacióndeestaspropiedadesdetalformaquesehaganmás
intuitivasparalosalumnos.Porejemplo,elDr.Vasco,proponeformulacionescomolassiguientesparalaspropiedadesanti
simétricasytricotómica:
Antisimétrica:SiunoescogeunnúmeroalazarylollamaA,yhacelomismoperoalnúmeroquesalgalollamaByademáslosdos
númerossondistintos,entoncessiBesmayorqueA,BnuncaesmayorqueA.
Tricotómica:SiunoescogeunnúmeroalazarylollamaA,yhacelomismoperoalnúmeroquesalgalollamaB,entoncessiempre
sucedeunadetrescosas:oBesigualaA,oBesmayorqueA,oBesBesmenorqueA.
Particularmente,unaformulacióntaldelapropiedadantisimétrica,sibienesmásintuitiva,debilitasusignificado.

Ahorabien,larelacióndeorden,enunprimermomentodesuconceptualizaciónestáunidaalordende
lasecuenciadepalabrasnúmero,asíporejemplo,5esmayorque3porque5estádespuésde3enla
secuencia(aquíelordendelasecuencianoespensadotantoelsentidodelasecuenciaverbal,sino,en
elsentidodelaorganizaciónespacialdelosnúmerosatravésdeunarectanumérica).Paraquela
relaciónestéconstituidacomotal,sedebellegaraestablecerqueunnúmeroesmayorqueotroporque
hayunadeterminadacantidaddeunidadesdediferenciaentreelmayoryelmenor.Enesteprocesode
cuantificacióndeladiferencia,lasoperaciones“unomás”y“unomenos”;“dosmás”y“dosmenos”;
etc.,sonfundamentales.
Valelapenaanotarqueenelpreescolar,setrabajaconlaoperación“elsiguientede”,o“elanteriora”,
peroambasrelacionesquedanunidas,alasecuenciaverbaldelaspalabrasnúmero,locualtraeuna
fuenteadicionaldedificultades:5esmayorque3noporquesepronunciedespuésdel3enlasecuencia
verbal,puessilasecuenciasepronunciaenordendescendente,sellegaríaalaconclusióncontraria.5es
mayorque3porqueespacialmentequedadespuésdeltres,perosobretodo,porquetienedosunidades
másqueel3.Siestetrabajosehaceunidoalosoperadores“unomas”o“unomenos”,entoncesse
preparademaneraclaraelcaminoparalaconceptualizacióndelasrelacionesdeordenenelsentido
anterior,ydelascomposicionesdescomposicionesbásicas.
Lacomprensióndelasoperaciones 19
Tradicionalmentealaprendizajedelascuatrooperacionesbásicassedestinaunabuenapartedelos
cuatro primeros años de la educación básica. Pero además, este aprendizaje prácticamente está
reducidoalaprendizajedelosalgoritmosconvencionalesyalaaplicacióndeestosalgoritmosala
solucióndeproblemastípicos,clasificadossegúnlaoperaciónqueseestéestudiandoenelmomento.
Eltrabajoasírealizadonopermitealosalumnosdesarrollarhabilidadesydestrezasenelcálculo
mental, en la comprensión y la solución de problemas, en la comprensión misma del sentido y
significadodelasoperaciones.
Porejemplo,losalumnosanteunlasolucióndeproblemageneralmentelepreguntanalmaestro(a)‘¿la
operaciónquehayquehaceresunasumaounaresta?’.Unavezqueelalumnoobtienelarespuesta
resuelvecorrectamenteelproblema.Estetipodesituacionesponeenevidenciaquelosalumnosno
comprendenelsentidoysignificadodelasoperacionessumaryrestar,quizástansolosabenlos
algoritmosconvencionalesparacalcularlosresultados.Esmas,situándoseenunaposiciónextremase
podríadecirqueestosalumnos,nosabenlasoperacionessumarorestar,tansolosabenunmétodo
paracalcularlosresultadosdehacerestasoperaciones:losalgoritmosconvencionales.
Operarycalcular
Comoseesbozóantes,eltrabajoescolarsecentraenlaenseñanzadelosalgoritmosdelascuatro
operacionesbásicas.ConstanceKamii,ensulibro,ReinventandolaaritméticaIII,postulaqueeste
énfasisenlaenseñanzadelosalgoritmos,perjudica,antesquebeneficiar,eldesarrollodelpensamiento
matemáticodelosniños.Estoentantoquelautilizacióndelosalgoritmosconvencionalesdesdelos
primerosañosdelaeducaciónbásicainhibequelosniñosinventensuspropiasformasderealizarlos
cálculosrelativosalasoperacionesquedebarealizar,yportanto,generaunaexcesivaconfianzaenlos
resultados que obtiene a través de ellos, y así al obtener resultados erróneos no tiene ninguna
herramientaadicionalparaestimarlaviabilidaddesuresultado,quelaaprobacióndesuprofesor.Esto
claramenteatentacontralaautonomíaintelectualdelosalumnos.
19 EstasecciónsirviócomobaseparaeldocumentoGeneralizaciónyConceptualización:ElCasodelasEstructurasAditivas.
PublicadoenCuadernosPedagógicos.Nro.16.P7590.UniversidaddeAntioquia.FacultaddeEducación.2001.

De otra parte, como se describió antes, la comprensión de las reglas del funcionamiento de los
algoritmos básicos se fundamenta sobre la comprensión de las reglas de sistema de numeración
decimal,lascuales,paralosniñosantesdecuartooquintogrado,estánlejosdesusposibilidadesde
comprensión.Quizásseaestalarazónporlacuallosmaestrossevenenlanecesidaddeempleartanto
tiempoyesfuerzoparaenseñarunosprocesosalgorítmicos,queelestudiante,enelmejordeloscasos,
terminamecanizandosinningunacomprensión,yquefinalmenteterminaconfundiendoyolvidando
consumafacilidad.
Sehacepues,necesarialadistinciónentrelaoperaciónyelcálculo.Laoperacióncomportaantetodoel
aspectoconceptualligadoalacomprensióndelsentidoysignificadomatemáticoyprácticodelas
operaciones;mientrasqueporsuparteelcálculoestáligadoalasdistintasmanerasquepuedenexistir
paraencontrarunresultado,entrelascualessepuedendestacar:losalgoritmosconvencionalesylosno
convencionales,elcálculomental,lautilizacióndeunacalculadora,deunábaco,etc.
Así,eltrabajoenlaescueladebeiniciarporelestudiodelasoperaciones(nodelosalgoritmos),
apoyado sobre formas de cálculo no convencionales (tales como las inventadas por los propios
alumnos, o a través de ábacos, calculadoras, etc.), para desde estas estrategias particulares,
fundamentarelaprendizajedelosalgoritmosconvencionales,sobrelabasedeunabuenacomprensión
delosnúmeros,lasoperacionesyelsistemadenumeracióndecimal.Así,loasalgoritmosestaránenla
escuelanocomolaúnicamaneradecalcular,sinocomounaformaentreotras,eficienteenunocasos
(porejemplo,parahacercálculosconnúmerosmuygrandes)innecesariosenotros(porejemplo,
cuandosetrabajaconnúmerospequeños,oconnúmerosseguidosdeceros,talescomo3500+2000) 20 .
EneldocumentodelMENsobreloslineamientoscurricularesenmatemáticas(1988),seexpresalo
siguienteapropósitodelacomprensióndelasoperaciones:
Losaspectosbásicosquesegúnvariosinvestigadores(porejemplo,NTCM,1989;Dickson,
1991;Rico,1987;McIntosh,1992)sepuedentenerencuentaparaconstruirelsignificado
delasoperacionesyquepuedendarpautasparaorientarelaprendizajedecadaoperación
tienequevercon:
Reconocerelsignificadodelaoperaciónensituacionesconcretas,delascualesemergen;
Reconocerlosmodelosmásusualesyprácticosdelasoperaciones;
Comprenderlaspropiedadesmatemáticasdelasoperaciones;
Reconocerelefectodecadaoperaciónylasrelacionesentreoperaciones.
Enelprocesodeaprendizajedecadaoperaciónhayquepartirdelasdistintasaccionesy
transformaciones que se realizan en los diferentes contextos numéricos y diferenciar
aquellosquetienenrasgoscomunes,queluegopermitanserconsideradasbajounmismo
conceptooperatorio.Porejemplo,lasaccionesmáscomunesquedanlugaraconceptos
deadiciónysustracciónsonagregarydesagregar,reuniryseparar,accionesquetrabajan
simultáneamenteconlaideadenúmero.
Aldestacarlosaspectoscuantitativosdelasaccionesendondeelniñodescribelascausas,
etapasyefectosdeunadeterminadaacción,enunasegundaetapaestáabstrayendolas
diferentesrelacionesytransformacionesqueocurrenenloscontextosnuméricoshaciendo
usodediversosesquemasoilustracionesconloscualesseestádandounpasohaciala
expresióndelasoperacionesatravésdemodelos.
MEN,1998
20 LaNCTM,ensusStandares2000,planteanquenotienesentidoutilizarlosalgoritmosconvencionales,porejemploeldelasuma,
parasumarcantidadestalescomo8+5,o50+20.Enestoscasossedebepromoverestrategiasdecálculo,comoelcálculomental.
Peroestonoesposibledelograr,siloprimeroqueseleenseñaalniñosobrelasuma,eselalgoritmoconvencional.

Sentidodenúmeroyestimación
Atravésdelcálculomentaldesdeestaperspectiva,sepuedenexplorarlasdistintaspropiedadesdelas
operaciones,elsentidoysignificadodelasreglasbajolascualesoperanloscálculosabreviados,por
ejemplo,lasreglasparamultiplicarpor10,100,1000,etc.,tambiéndesdeelcálculomentalsepuede
estimularformasparticularesdehacerloscálculos.
Además,esimportanteresaltarqueelcálculomentalnosolosedesarrollacuandoseoperaenla
mente.Tambiénsehacecálculomentalconlaayudainstrumentoscomoellápizyelpapel,ola
calculadora.Enestesentidomásgeneral,elcálculomentalhacereferenciaatodasaquellassituaciones
en las que los alumnos tengan que hacer uso de los recursos del intelecto para solucionar una
determinadasituaciónproblemayenlaquepuedenutilizarmúltiplesestrategias,procedimientosy
herramientas.
Conlosaprendizajesbásicosdelosprimerosañosdeescolaridadnoterminaeldesarrollodelsentido
numérico. Este se hará más profundo en la medida que se disponga de nuevas herramientas
matemáticasparapensaryrepresentarsemássignificativamentelosnúmeros.
Porejemplo,losniñosmuyprontoaprendenquelosnúmerosnaturalessoninfinitos,locualsignifica
unamultituddecosasparaellos:quesonmuchos,quenotienenfin,quesiemprehabráunomásgrande
que otro cualquiera dado, etc. ¿pero, todas estas ideas expresan el mismo sentido de número?
Claramenteno.Cadaideaexpresaunniveldepensamientodistinto.Másaun,cuandolosalumnos
puedanpensarlasimplicacionesmatemáticas 21 quetieneelhechodequelosdistintosconjuntos
numéricosseaninfinitos,tendránunanuevaperspectivaparapensarelnúmero.Obviamenteestas
conceptualizacionesrelacionadasconlainfinituddelosdistintosconjuntosnuméricosnopuedenser
pensadasconéxitoporlosalumnosdelosprimerosañosdelaeducaciónbásica.
Conrespectoalaestimaciónvalelaresaltarqueesunaspectomuypocotratadoennuestrocurrículo.
Prueba de ello son los bajos resultados obtenidos en la evaluación TIMSS en este aspecto. La
estimaciónimplicaunpensamientoflexibleyunbuenconocimientodelosnúmeros,susoperaciones,
sus propiedades, y sus relaciones. Sowder, 1992, plantea que existen tres procesos claves que
caracterizanlosbuenosestimadores:
Lareformulación:eselprocesodealterardatosnuméricosparaproducirunformamás
manejablementalmenteperodejandolaestructuradelproblemaintacta.
Latraslación:secambialaestructuramatemáticadelproblemaaotramentalmentemás
manejable.
Lacompensación:serealizanajustenquereflejanlasvariacionesnuméricasresultadodela
reformulaciónotraslaciónrealizada.
losbuenosestimadoressonindividuosquetienenlahabilidaddeusarlostresprocesos,
tienen un buen conocimiento de hechos básicos numéricos, valor de posición, y las
propiedadesaritméticas;sonhábilesenelcálculomental;sonconscientesytolerantesdel
error;ypuedenusarunagranvariedaddeestrategiasycambianfácilmentedeestrategias.
Sowder,1992
Laestimaciónseconstituyeentoncesenunaherramientadecálculopotente,sobretodoenaquellas
situaciones en las que no se necesita un resultado exacto. La estimación también nos permite
determinarlorazonabledeuncálculodeterminado.
21 Porejemplopodercomprenderquehaytantosnúmerosnaturalescomonúmerospares,esdecirqueelconjuntodetodoslos
númerosnaturalestienelamismacantidaddeelementosqueelconjuntodetodoslosnúmerospares.Oqueexistentantos
númerosnaturalescomoenteros.

Trascenderlosnúmerosnaturales
Elaprendizajedelconceptodenúmeronoseagotaconlosaspectosrelativosalconceptodelnúmero
natural,yporendeseextiende,almenos,alolargodetodalaeducaciónbásica.Enelcurrículose
puedenidentificar,segmentosdedicadosalestudiodelosdiferentessistemasnuméricos,loscualesse
encuentranseparadoseneltiempodeacuerdoanivelescrecientesdecomplejidadlógicaformal.Pero
apesardeestetrabajodiferenciado,losnivelesdeconceptualizaciónquesealcanzansonmuypobres,
locualponeenevidenciaquerealmentelosalumnosnolograntrascenderunniveldepensamiento
matemáticomásalládelosnúmerosnaturales 22 .
Trascenderlosnúmerosnaturalesdebeentenderseenelsentidodelanecesidaddeproveeralos
estudiantesdeunconjuntoamplioycomplejodesituacionesatravésdeloscualespuedarealizarlas
comprensionesconceptualesrelativasalosotrossistemasnuméricos,fundamentalmentelosenteros,
losracionalesylosreales.Sibienesciertoqueelestudioformaldealgunosdeestossistemassolo
puededarsehacialosúltimosañosdelaeducaciónbásica,oincluso,enlaeducaciónmedia,tambiénlo
esqueexistenmúltiplescontextosysituacionesatravésdelascualeslosestudiantepuedendesarrollar
intuicionesprimariassobrelosenterosylosracionales,inclusodesdeelpreescolar.Deestamanerase
elaprendizajedelnúmeronaturalestáacompañadodeuntrabajoquemuestralaexistenciadeotros
sistemasnuméricospreparándoseasíelcaminoparasuestudioformalenmomentosposteriores.
Peroademás,eltrabajoformalenotrossistemasnuméricosdiferentesalosnúmerosnaturalesdebe
ser desarrollado a partir de situaciones que permitan la construcción de los múltiples sentidos y
significadosdecadaunodeellos.Asíporejemplo,elestudiodelosnúmerosracionalesdebepermitirla
construcción de los sentidos y significados relativos a medida, fracciones, razones, proporciones,
porcentajes,campodecocientes.Deigualforma,elestudiodelosnúmerosenterosdebedarseapartir
desituacionesqueinvolucrenlasmedidasrelativas,yelcambiodemedidas,contextosdentrodelos
cualessedanlasbasesfenomenológicasdeéstos.
Deestamaneraselograqueelestudiodelosaspectosformalesdecadaunodelossistemasnuméricos,
incluidoslosnaturales,estésustentadosobreunabasefenomenológicafuentedesentidoysignificado
paracadaunodeellos.
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