Algoritmos - CAP1

12 TÉCNICAS DE DISEÑO DE ALGORITMOS
Para calcular las constantes c 1 y c 2 necesitamos utilizar las condiciones iniciales
de la ecuación original, obteniendo:
⎛ 1+
5 ⎞
T (0) = c ⎜ ⎟
1
2
⎝ ⎠
1
⎛ 1+
5 ⎞
T (1) = c ⎜ ⎟
1
2
⎝ ⎠
0
⎛1−
5 ⎞
+ c ⎜ ⎟
2
2
⎝ ⎠
1
⎛1−
5 ⎞
+ c ⎜ ⎟
2
2
⎝ ⎠
0
= c
= 1
1
+ c
Sustituyendo entonces en la ecuación anterior, obtenemos
2
⎫
= 0⎪
⎪
⎬ ⇒ c1
= −c
⎪
⎪
⎭
2
=
1
.
5
T ( n)
=
1 ⎛ 1+
⎜
5
⎝ 2
5 ⎞
⎟
⎠
n
−
1 ⎛1−
⎜
5
⎝ 2
5 ⎞
⎟
⎠
n
n
∈Ο(
ϕ ).
Caso 2: Raíces con multiplicidad mayor que 1
Supongamos que alguna de las raíces (p.e. r 1 ) tiene multiplicidad m>1. Entonces la
ecuación característica puede ser escrita en la forma
(x – r 1 ) m (x – r 2 )...(x – r k–m+1 )
en cuyo caso la solución de la ecuación en recurrencia viene dada por la expresión:
T ( n)
=
m
∑
i=
1
c n
i
r
i−1
n
1
+
k
n
∑ciri
−m+
1
i=
m+
1
donde los coeficientes c i se determinan a partir de las condiciones iniciales.
Veamos un ejemplo en el que la ecuación en recurrencia es:
T(n) = 5T(n–1) – 8T(n–2) + 4T(n–3), n≥2
con las condiciones iniciales T(k) = k para k = 0, 1, 2. La ecuación característica
que se obtiene es x 3 – 5x 2 + 8x – 4 = 0, o lo que es igual (x–2) 2 (x–1) = 0 y por tanto,
T(n) = c 1 2 n + c 2 n2 n + c 3 1 n .
De las condiciones iniciales obtenemos c 1 = 2, c 2 = –1/2 y c 3 = –2, por lo que
T(n) = 2 n+1 – n2 n–1 – 2 ∈Θ(n2 n ).
Este caso puede ser generalizado de la siguiente forma. Si r 1 ,r 2 ,...,r k son las
raíces de la ecuación característica de una ecuación en recurrencia homogénea,
cada una de multiplicidad m i , esto es, si la ecuación característica puede expresarse
como:
(x − r 1
) m 1
(x − r 2
) m 2
...(x − r k
) m k
= 0 ,
entonces la solución a la ecuación en recurrencia viene dada por la expresión: