Algoritmos - CAP1

44 TÉCNICAS DE DISEÑO DE ALGORITMOS
a) Cierto. Se deduce de la propiedad 6 del apartado 1.3.1, pero veamos una posible
demostración directa:
Si T 1 ∈O(f), sabemos que existen c 1 > 0 y n 1 tales que T 1 (n) ≤ c 1 f(n) para todo
n ≥ n 1 . Análogamente, como T 2 ∈O(f), existen c 2 > 0 y n 2 tales que T 2 (n) ≤ c 2 f(n)
para n ≥ n 2 . [1.1]
Para comprobar que T 1 + T 2 ∈O(f), debemos encontrar una constante real c > 0 y
un número natural n 0 tales que T 1 (n) + T 2 (n) ≤ cf(n) para todo n ≥ n 0 . [1.2]
Apoyándonos en [1.1], basta tomar n 0 = máx{n 1 ,n 2 } y c = c 1 + c 2 , con las que se
verifica la ecuación [1.2] para todo n ≥ n 0 .
Existe otra forma de demostrarlo, utilizando límites en caso de que estos
existan, como sucede por ejemplo cuando las funciones son continuas:
T
Si T 1 ∈O(f), entonces 1( n)
lim = k 1 <∞.
n→∞
f ( n)
Análogamente, como T 2 ∈ O(f),
T2(
n)
lim = k 2 <∞. [1.3]
n→∞
f ( n)
T
Veamos entonces que 1( n)
+ T2
( n)
lim
= k<∞. [1.4]
n→∞
f ( n)
Pero [1.4] es cierto pues, como los dos límites en [1.3] son finitos y positivos
podemos conmutar la suma con el límite y obtenemos que
T
lim
n→∞
1( 2
n)
+ T2
( n)
T1
( n)
T ( n)
= lim + lim = k 1 + k 2 <∞.
f ( n)
n→∞
f ( n)
n→∞
f ( n)
b) Cierto.
Análogamente a lo realizado en el apartado anterior, si T 1 ∈O(f), entonces
T1(
n)
T
lim =k 1 < ∞. Igualmente, como T 2 ∈O(f), 2( n)
lim = k 2 < ∞. [1.5]
n→∞
f ( n)
n→∞
f ( n)
T
Veamos entonces que 1( n)
− T2
( n)
lim
= k < ∞. [1.6]
n→∞
f ( n)
Pero [1.6] es cierto pues, como los dos límites en [1.5] existen y son finitos y
positivos podemos conmutar la resta con el límite y obtenemos que
T
lim
n→∞
1( 2
n)
− T2
( n)
T1
( n)
T ( n)
= lim − lim = k 1 – k 2 < ∞.
f ( n)
n→∞
f ( n)
n→∞
f ( n)