Un Lenguaje para la Especificación de Autómatas Celulares con ...

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE COSTA RICA
DEPARTAMENTO DE COMPUTACIÓN
PROGRAMA DE MAESTRÍA
Un Lenguaje para la Especificación de Autómatas
Celulares con Aplicaciones en Biología
Tesis para optar por el grado de Magister Scientiae en Computación
Tomás de Camino Beck
Cartago, Costa Rica
2000

Resumen
En esta tesis, se desarrolla un lenguaje de programación orientado a la
especificación de autómatas celulares. Este lenguaje, denominado Autómata
Celular-FORTH (ACF), permite especificar cualquier autómata celular
determinístico o probabilístico de forma sencilla. Se describe la semántica formal
del lenguaje diseñado, además de una descripción informal, que facilita su
utilización para usuarios del lenguaje. El lenguaje se implementa y se construye
un programa para Windows denominado ACFw. Esta programa permite a un
investigador especificar autómatas celulares y provee herramientas analíticas,
transformando el programa en un ambiente de experimentación. Se desarrolla
una base teórica sobre autómatas celulares determinísticos y probabilísticos, y se
establece su relación con los sistemas de ecuaciones diferenciales. Se plantean
además, algunas especulaciones con respecto a los sistemas biológicos y la
importancia de los autómatas celulares como modelo ideal para describir estos
sistemas. Para mostrar la efectividad del lenguaje, se presentan tres ejemplos
biológicos. El primer ejemplo es una simulación del crecimiento de células
cancerosas en diferentes medios, el segundo es un modelo de poblaciones de
depredador y recurso, y el último un modelo de cooperación de individuos en una
población. El programa ACFw y el lenguaje ACF desarrollados son una
herramienta útil para la construcción de modelos complejos basados en autómatas
celulares. El programa puede ser utilizados con fines de investigación o para la
enseñanza.

Aprobación de Tesis
Un Lenguaje para la Especificación de Autómatas
Celulares con Aplicaciones en Biología
Tribunal Examinador
______________________________ ______________________________
José Helo Guzmán, MSc. Ignacio Trejos Zelaya MSc.
Profesor Asesor Profesor
______________________________ ______________________________
Profesor Profesional Externo
______________________________
José Castro Mora, Lic.
Director de la Maestría
Mayo del 2000

Agradecimientos
Agradezco a los Profesores José Helo y Ignacio Trejos, quienes me apoyaron
incondicionalmente en el desarrollo de esta tesis, y confiaron en mi para
desarrollar un tema en el que no se había trabajado anteriormente.
Agradezco además, a los profesores Roxana Reyes y Celso Vargas, que con sus
discusiones filosóficas e interés, permitían poner en juego y probar ideas
interesantes.
Una agradecimiento especial a Marcela, mi esposa y amiga, quien me apoyo
psicológica e intelectualmente en el desarrollo de la tesis. También quiero
agradecer a Walter Marín por su apoyo y ayuda.
En particular agradezco a mis padres, cuya figura, orientación, apoyo, y
discusiones siempre me han dado la oportunidad de desarrollarme en cualquier
meta que me proponga.

Indice General
1 INTRODUCCIÓN ........................................................................................................................1
1.1 CONSIDERACIONES PRELIMINARES ............................................................................................1
1.2 OBJETIVOS GENERALES ............................................................................................................3
1.3 OBJETIVOS ESPECÍFICOS ..........................................................................................................3
2 AUTÓMATAS CELULARES ......................................................................................................4
2.1 INTRODUCCIÓN .........................................................................................................................4
2.2 ORIGEN DE LOS AUTÓMATAS CELULARES...................................................................................4
2.3 DESCRIPCIÓN DE AUTÓMATAS CELULARES.................................................................................7
2.3.1 Definición formal de un Autómata Celular ...................................................................10
2.3.2 Autómatas Celulares Elementales..............................................................................11
2.3.3 Autómatas Celulares de 2-Dimensiones .....................................................................15
2.3.4 Propiedades y Clases de Autómata Celulares ............................................................17
2.3.5 Algunos Programas de Autómatas Celulares..............................................................31
2.4 AUTÓMATAS CELULARES PROBABILÍSTICOS..............................................................................32
2.4.1 Autómata Celular Probabilístico No-uniforme..............................................................32
2.4.2 Autómata Celular Probabilístico Uniforme...................................................................32
2.4.3 Un AC probabilístico ....................................................................................................33
2.5 COMENTARIO FINAL ................................................................................................................33
3 SISTEMAS BIOLÓGICOS, VIDA ARTIFICIAL Y AC ..............................................................35
3.1 INTRODUCCIÓN .......................................................................................................................35
3.2 EL CONCEPTO DE VIDA............................................................................................................36
3.2.1 ¿Qué significa la vida?................................................................................................36
3.2.2 Propiedades de la vida ................................................................................................37
3.3 CONCEPTO DE ENTIDAD BIOLÓGICA .........................................................................................42
3.4 EN BUSCA DE PRINCIPIOS FUNDAMENTALES EN ENTIDADES BIOLÓGICAS.....................................44
3.5 ENTIDADES BIOLÓGICAS ARTIFICIALES: VIDA ARTIFICIAL............................................................46
3.6 DINÁMICA BIOLÓGICA, SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES Y AUTÓMATAS CELULARES......46
3.7 LOS AUTÓMATAS CELULARES COMO AMBIENTE DE EXPERIMENTACIÓN BIOLÓGICA .......................50
3.8 COMENTARIO FINAL ................................................................................................................51
4 DESCRIPCIÓN FORMAL DEL LENGUAJE DE AUTÓMATAS CELULARES – FORTH (ACF)
53
4.1 INTRODUCCIÓN .......................................................................................................................53
4.2 EL AUTÓMATA CELULAR DE ACF .............................................................................................54
4.2.1 Espacio celular A (planos del AC) ...............................................................................54
4.2.2 Vecindario N................................................................................................................55
4.2.3 Tabla de transciciones ∆ ............................................................................................56
4.2.4 Dinámica del autómata de ACF ...................................................................................56
4.3 EL LENGUAJE ACF .................................................................................................................58
4.4 SEMÁNTICA FORMAL DEL LENGUAJE ACF ...............................................................................59
4.4.1 Aspectos de notación...................................................................................................59
4.4.2 Categorías Sintácticas .................................................................................................60
4.4.3 Definiciones..................................................................................................................60
4.4.4 juicios ...........................................................................................................................62
4.4.5 Reglas de Inferencia ....................................................................................................63
4.5 DESCRIPCIÓN INFORMAL DE ACF ............................................................................................68
4.5.1 Palabras reservadas ....................................................................................................70
4.5.2 Notación Posfija ...........................................................................................................73
4.5.3 La Pila ..........................................................................................................................73
4.5.4 Valores Númericos y Valores Lógicos .........................................................................74
i

4.5.5 Localizaciones..............................................................................................................74
4.5.6 Expresiones .................................................................................................................75
4.5.7 Expresiones Aritméticas y Lógicas ..............................................................................75
4.5.8 Operadores de números binarios ................................................................................76
4.5.9 Operadores de Pila ......................................................................................................77
4.5.10 Expresiones Condicionales if else then. ......................................................................77
4.5.11 Expresión Condicional Case........................................................................................79
4.5.12 Declaración de Vecindario ...........................................................................................80
4.5.13 Funciones.....................................................................................................................80
4.5.14 Asignación de planos...................................................................................................81
4.5.15 Programas de ACF ......................................................................................................82
4.5.16 Reglas probabilísticas..................................................................................................83
4.5.17 Comentarios en ACF ...................................................................................................84
4.6 COMENTARIO FINAL ................................................................................................................84
5 AUTÓMATA CELULAR-FORTH PARA WINDOWS (ACFW).................................................85
5.1 INTRODUCCIÓN .......................................................................................................................85
5.2 PROGRAMACIÓN DE ACFW......................................................................................................85
5.2.1 Objeto Compilador (Tcompilador)................................................................................86
5.2.2 Objeto autómata Celular (TAC) ...................................................................................86
5.2.3 Objeto Números Aleatorios (TRandom) ......................................................................88
5.3 EL COMPILADOR DE ACFW......................................................................................................88
5.3.1 Funcionamiento del Compilador en ACFw .................................................................88
5.3.2 Errores de compilación ................................................................................................89
5.4 PLANOS DE ACFW ..................................................................................................................91
5.5 AC DETERMINÍSTICOS Y PROBABILÍTSTICOS..............................................................................91
5.6 EVOLUCIÓN DEL AC EN ACFW ................................................................................................92
5.7 INTERFAZ DE ACFW ................................................................................................................92
5.7.1 Programa Principal ......................................................................................................92
5.7.2 Ventana de código ......................................................................................................93
5.7.3 Ventana de AC.............................................................................................................94
5.7.4 Comandos de ACFw....................................................................................................94
5.8 EJEMPLOS DE PROGRAMAS EN ACFW ......................................................................................99
5.8.1 Juego de la Vida de Conway .......................................................................................99
5.8.2 Regla 1 de 8...............................................................................................................101
5.8.3 Regla 90 de Wolfram. Un AC elemental...................................................................103
5.8.4 Regla “Anneal” ...........................................................................................................103
5.9 COMENTARIO FINAL ..............................................................................................................104
6 APLICACIONES BIOLÓGICAS .............................................................................................105
6.1 INTRODUCCIÓN .....................................................................................................................105
6.2 CRECIMIENTO DE CÁNCER.....................................................................................................106
6.2.1 Antecedentes .............................................................................................................106
6.2.2 Reglas del Autómata Celular .....................................................................................106
6.2.3 Resultados .................................................................................................................108
6.2.4 Implicaciones .............................................................................................................111
6.3 CRECIMIENTO DE POBLACIONES CON LIMITACIÓN DE RECURSOS ..............................................111
6.3.1 Antecedentes .............................................................................................................111
6.3.2 Reglas del AC ............................................................................................................112
6.3.3 Resultados .................................................................................................................113
6.3.4 Implicaciones .............................................................................................................115
6.4 COOPERACIÓN DE INDIVIDUOS DE UNA ESPECIE ......................................................................115
6.4.1 Antecedentes .............................................................................................................115
6.4.2 Reglas del AC ............................................................................................................115
6.4.3 Resultados .................................................................................................................117
6.4.4 Implicaciones .............................................................................................................118
ii

6.5 COMENTARIO FINAL ..............................................................................................................119
7 CONCLUSIONES ...................................................................................................................120
7.1 ¿POR QUÉ AUTÓMATAS CELULARES? .....................................................................................120
7.2 ¿QUE IMPORTANCIA TIENE EL CONCEPTO DE ENTIDADES BIOLÓGICAS? ....................................120
7.3 ¿SON LOS AUTÓMATAS CELULARES UN MODELO UNIVERSAL DE ENTIDADES BIOLÓGICAS? .........121
7.4 ¿POR QUÉ UN LENGUAJE PARA ESPECIFICAR AUTÓMATAS CELULARES? ...................................121
7.5 ¿ES ACFW CAPAZ DE MODELAR CUALQUIER AUTÓMATA CELULAR? .........................................121
7.6 ¿ES ACFW UN MODELO IDEAL PARA APLICACIONES BIOLÓGICAS? ...........................................122
7.7 ALCANCES DE LA TESIS..........................................................................................................122
7.8 COMENTARIO FINAL ..............................................................................................................123
8 BIBLIOGRAFÍA ......................................................................................................................124
9 BIBLIOGRAFÍA CONSULTADA............................................................................................133
ANEXO A: FORTH..........................................................................................................................134
DICCIONARIO.................................................................................................................................134
PILA..............................................................................................................................................134
COMPILADOR.................................................................................................................................134
CARACTERÍSTICAS ADICIONALES.....................................................................................................135
ANEXO B. CAM (CELLULAR AUTOMATA MACHINES) .............................................................136
EL ESPACIO CELULAR.....................................................................................................................136
LA DINÁMICA..................................................................................................................................136
DESPLIEGUE..................................................................................................................................136
ANEXO C. MAQUINAS DE TURING Y AC ...................................................................................137
ANEXO D: GENERADOR DE NÚMEROS ALEATORIOS ............................................................140
EL GENERADOR DE NÚMEROS ALEATORIOS .....................................................................................140
IMPLEMETACIÓN ............................................................................................................................141
PRUEBAS DE ALEATORIDAD............................................................................................................142
iii

Indice de figuras
Figura 1 Estructura del espacio celular en un autómata con: a) bordes cerrados, b) bordes
periódicos....................................................................................................................................8
Figura 2 Vecindarios de un AC de 2-dimensiones: a) vecindario Von Neumann, con 5 celdas
vecinas. b) vecindario de Moore, con 9 celdas vecinas ............................................................9
Figura 3 Algunos AC elementales que inician con una semilla central. Las líneas sucesivas se
obtienen por la aplicación sucesiva de la regla del AC a cada una de las celdas del autómata.
Estos AC muestran 63 generaciones en 150 celdas. a) Regla 150 (10010110) b) Regla 30
(00011110) c) Regla 45 (00101101) d) Regla 60 (00111100). La codificación de las reglas
corresponde a la utilizada por Wolfram. ...................................................................................11
Figura 4 Codificación de reglas para AC de 1-Dimensión según Wolfram. a) codificación numérica.
b) Representación gráfica de las reglas de cambio de estado. 2r+1 es el número de vecinos
involucrados en la regla (r es el rango del vecindario).............................................................12
Figura 5 Regla 90 de Wolfram con una celda 1 inicial en la mitad del vector de celdas. a) después
de 16 generaciones. b) después de 250 generaciones............................................................13
Figura 6 Regla 90 de Wolfram con inicio aleatorio de celdas en estado 1. Las celdas blancas
representan el estado 0 y las negras 1. Se observa la formación de estructuras estables
(triángulos blancos invertidos) que representan el principio de auto-organización..................14
t+
1 t t t t t
Figura7 Evolución del AC de Fredkin, donde: a i,
j = ( ai
−1,
j + ai,
j−1
+ ai,
j + ai
+ 1,
j + ai,
j+
1 ) mod 2 .
Se muestra la configuración del autómata después de 3,15 y 23 generaciones. ....................15
Figura 8 Juego de la vida de Conway. a) estado inicial con 30% de 1 distribuidos aleatoriamente.
b) después de 100 generaciones, se observan algunas estructuras estables y una
organización del espacio celular...............................................................................................16
Figura 9 Ejemplos de las clases de Wolfram. Estos autómatas lineales consideran 5 vecinos(r=3)
con 2 estados(k=2)....................................................................................................................18
Figura 10 Modelo de von Neumann. La unidad central procesa la información de una cinta,
permitiendo que el brazo constructor localice las partes y ensamble en nuevo individuo y
luego inserte una copia de la cinta. ..........................................................................................20
Figura 11 Autómata auto-replicable de Byl. Una configuración padre construye un descendiente
con la misma estructura e información. Los colores representan los estados del autómata..21
Figura 12 Autómata replicable de Byl. Después de varias generaciones, a partir de un padre se
logra reproducir una colonia en el espacio celular. ..................................................................22
Figura 13 a) Cambio en la entropía espacial de bloques en el juego de la vida, después de 5000
generaciones (t=5000). b) configuración del AC de 200x200 celdas después de 5000
generaciones con un inicio aleatorio de 30% de celdas en estado 1.......................................24
Figura 14 Frentes de propagación de celdas excitadas a) a partir de una línea de celdas excitadas
debajo de celdas refractarias, con el modelo de Greenberg. b) con 3% de celdas excitadas y
3% refractarias, después de 200 generaciones. ......................................................................25
Figura 15 Barrera de “WireWorld”. La señal de la izquierda es bloqueada en el paso 5. ...............27
Figura 16 Diodo de “Wireworld”. a) La señal puede viajar de izquierda a derecha. b) La señal de
derecha a izquierda es detenida por el diodo...........................................................................27
Figura 17 Compuerta OR de “Wireworld”. Se muestra una secuencia con dos relojes a) período 4 y
c) periodo 2. La compuerta OR (b), en el paso 7 resulta en una señal, dado que a y c
producen señales, en el paso 11, Or es una señal debido a la señal producida por c en el
paso 7. ......................................................................................................................................28
Figura 18 Compuerta AND de “wireworld”. .......................................................................................28
Figura 19 Complemento. En a) no hay señal en la entrada y por tanto se emite señal a la salida.
en b) hay señal de entrada y no hay señal de salida. ..............................................................29
iv

Figura 20 Reloj de “Wireworld”. El reloj manda señales en período 2. En el primer paso, la señal
es emitida por el cable; en el paso 5 hay una nueva señal a ser emitida. En los paso del 2 al
4 la señal da vuelta en el ciclo. .................................................................................................29
Figura 21 Una estructura de memoria. A) se recuerda 0. b) se recuerda 1.....................................30
Figura 22 a) AC probabilístico. b) El mismo AC pero determinístico. ..............................................33
Figura 23. Integración de niveles de organización biológica, cada entidad biológica (EB), interactúa
con otras entidades, originando ciertas particularidades, gran cantidad de interacciones entre
entidades, produce leyes generales de comportamiento del sistema. Estas leyes originan una
nueva unidad estructural y de funcionamiento que es una nueva EB de nivel superior. .........51
Figura 24 Planos del espacio celular de ACF. ..................................................................................55
Figura 25 Procesamiento del lenguaje ACF......................................................................................69
Figura 26 Proceso de compilación de TCompiler..............................................................................86
Figura 27 Proceso de construcción de la tabla de transiciones a partir de código escrito en ACF. .87
Figura 28 Regla compilada exitosamente. Los árboles de expresión quedan completos y no se
indica error. ...............................................................................................................................88
Figura 29 Significado de los símbolos en el árbol de expresión .......................................................89
Figura 30 Error de identificador desconocido. EL error establece que se está invocando a un
identificador que no ha sido declarado o no es ninguna de las palabras reservadas del
lenguaje.....................................................................................................................................89
Figura 31 El error de pila vacía ET1. En este caso “else” no coloca ningún valor en la pila y por
tanto cuando se asigna al plano, la pila no tiene valores. ........................................................90
Figura 32 Error ET2. Cuando se evalúan las configuraciones de vecinos, ocurre un caso que
excede lo declarado en el “case”. Y ocurre el valor 4. ...........................................................91
Figura 33 Ventana principal de ACFw...............................................................................................92
Figura 34 Ventana de código de ACFw.............................................................................................93
Figura 35 Ventana de AC en ACFw ..................................................................................................94
Figura 36 Juego de la Vida de Conway. a) Inicio aleatorio con 10% de celdas en estado 1. b)
evolución después de 100 generaciones. c) evolución con rastro después de 200
generaciones. Se distinguen líneas diagonales formadas por los “glider2, Una estructura
periódica que se forma en esta autómata. .............................................................................101
Figura 37 Regla 1 de 8. a )probabilístico. b) determinístico..........................................................102
Figura 38 Regla “anneal”. a) iniciando con 50% de celdas en estado 1 y 50% en estado 0, después
de 100 generaciones. b) Muestra una mgnificación del cuadro blanco en a). Los límites
donde ocurre la acción son azules y rojos (cambian de 0 → 1 y de 1 → 0 respectivamente).
................................................................................................................................................104
Figura 39 Crecimiento de células cancerosas en un arreglo de 200x200, desúés de 200
generaciones. a) Las células crecen sin presencia de citotoxinas. b) Las citotoxinas ocultas
en las células normales hace que se forme un complejo con células cancerosas que culmina
eliminando las células de cancer formando un tejido menos compacto y ramificado............108
Figura 40 Número de células cancerosas (C) y normales (N) después de 1000 generaciones (t). a)
No hay citotoxinas. b) hay citotoxinas ....................................................................................109
Figura 41 Entropía espacial (S) del crecimiento de células cancerosas después de 1000
generaciones. a)Las células cancerosas no son afectadas por citotoxinas y su crecimiento
genera un tejido continuo. b) Las células normales tienen citotoxina que induce la muerte de
células cancerosas generando mayor desorden. Note la diferencia en el valor de máxima
entropía alcanzada por ambos casos a) S=0.11 y b) S=0.23 ................................................110
Figura 42 Dinámica de consumidor - recurso. a) A partir de una cantidad de recursos en una
distribución especial, los organismos consumen el recurso y el recurso no es renovable
llevando a la desaparición de los depredadores. b) El recurso es renovable (se reproduce)
llevando a una fluctuación entre la cantidad de recursos y la cantidad de organismos.........113
v

Figura 43 Dinámica consumidor (N) –recurso (R) en el tiempo (t). a) cantidad de consumidores y
de recurso a lo largo de las generaciones en un modelo con recurso no-renovable. b) entropía
(S) del sistema con recursos no renovables. c) fluctuaciones de consumidor – recurso en un
sistema con recursos renovables. d) entropía en el sistema con recursos renovables.........114
Figura 44 Crecimiento de la población con diferentes valores de cooperación. Al aumentar z
aumenta la probabilidad de cooperación cuando hay vecinos...............................................117
Figura 45 Evolución de 100 generaciones. a) inicio con 5% de celdas en estado 1. b) después de
100 generaciones, se observan parches de organismos. ......................................................118
vi

A Marcela
vii

viii
¿A quién le puedo preguntar
qué vine a hacer en este mundo?
¿Por qué me muevo sin querer,
por qué no puedo estar inmóvil?
¿Por qué voy rodando sin ruedas,
volando sin alas ni plumas?...
Pablo Neruda

1 Introducción
1.1 Consideraciones Preliminares
Una de las tareas fundamentales de los científicos de una nueva era es la
integración de teorías de diferentes ramas de la ciencia. Es interesante que
muchos de los conceptos de teorías computacionales tengan un análogo en algún
sistema físico o biológico. Si pensamos en la maquinaria molecular asociada al
ADN, podríamos conjeturar que el ADN es una máquina universal capaz de
producir cualquier máquina biológica 1 que se adapte a cualquier medio físico
realizando cualquier procedimiento (de forma muy eficiente). Hay máquinas
biológicas (nosotros) que producen máquinas físicas con características de
máquinas universales, como la máquina de Turing, que es a su vez análoga a la
maquinaria de ADN.
Los biólogos tenemos uno de los problemas más complejos que el hombre pueda
tratar de resolver: estudiar los sistemas biológicos. Para entenderlos, necesitamos
herramientas de muchas otras ciencias como la física, matemáticas, lógica y
computación. Necesitamos entender el fenómeno biológico desde la definición de
vida, hasta el funcionamiento de GAIA 2 . Pareciera que existe un continuo entre las
leyes físicas y biológicas que comienza por la descripción de materia inanimada
que está dominada por leyes físicas y pasa a materia animada que opera sobre
leyes biológicas.
Los Autómatas Celulares (AC) surgen gracias a John Von Neumann como una
forma abstracta de sistemas biológicos. La idea de Von Neumann era la de
construir un mundo artificial de máquinas que se comportaran como los sistemas
biológicos. Si bien no logró terminar sus trabajos en este campo, nos dejó con la
inquietud de un mecanismo formal para tratar de estudiar y probar conjeturas
sobre los sistemas dinámicos y que son casi un ambiente para la formulación de
teorías de sistemas biológicos. El AC puede ser visto como un medio particular de
reacciones químicas, donde son posibles los fenómenos de auto-organización
para formar estructuras complejas autocatalíticas. Un AC puede ser un individuo o
autómata artificial capaz de replicarse y procesar información para lograr
construirse a sí mismo; una población inmersa en un AC donde los individuos
interactúan para lograr su reproducción y alimentación, y donde surgen formas
óptimas de aprovechamiento de recursos; o un ecosistema donde las celdas del
AC son individuos de diferentes especies y en donde comienzan a emerger las
funciones que confieren estabilidad a un ecosistema. Toda esta plasticidad de los
AC nos hace pensar que esta formalización matemática es más que una
1 Se utiliza el término máquina biológica, para referirse a organismos vivos, dando el mismo uso al
término “máquina” que Von Neumann y Turing [Turing, 1948, 1950; Von Neumann, 1966]
2 La idea de GAIA propuesta por James Lovelock es que nuestro planeta es un organismo viviente
único, y los habitantes (animales y plantas) son los órganos. [Allaby, 1989].
1

curiosidad, y que realmente puede ser un medio para el entendimiento de la
dinámica biológica.
Ahora bien, para lograr probar la utilidad de los AC en el estudio de los fenómenos
biológicos, es necesario desarrollar un ambiente de programación completo, que
permita construir cualquier AC. En este ambiente debe ser posible establecer,
mediante un código formal, las reglas de funcionamiento de cualquier AC para
luego simular gráficamente, con cualquier condición inicial, la dinámica del AC.
Para que el AC sea un ambiente de experimentación, debe ser posible realizar
cálculos que permitan describir el estado en cualquier tiempo del AC. Por un lado,
la descripción de reglas representan el genotipo 3 de la dinámica del sistema que
se intenta modelar con el AC, y por otro lado, el estado del AC en cualquier
tiempo, significa el fenotipo de dicho sistema.
Adicionalmente, dada la naturaleza caótica y estadística de los sistemas
biológicos, debemos construir un ambiente de AC donde se puedan construir
reglas de naturaleza estocástica 4 que permitan modelar apropiadamente las
imprecisiones de los sistemas biológicos. Se debe considerar además la
posibilidad de construir reglas que no sean uniformes, es decir, que tengan
comportamientos diferentes para diferentes celdas dentro de un mismo autómata.
Los aspectos fundamentales, contenidos en esta tesis, van desde el
establecimiento de una teoría preliminar para lograr modelar sistemas biológicos
caóticos mediante autómatas celulares, hasta la implementación de un lenguaje
para especificación de autómatas celulares determinísticos y probabilísticos. Inicia
con una introducción a los autómatas celulares, desde su definición hasta la
descripción de sus propiedades (capítulo 2). El capítulo 3 es un viaje por el
concepto de vida, dinámica biológica y una justificación de la utilidad de los
autómatas celulares para el estudio de los sistemas biológicos. Los capítulos 4 y
5 muestran el lenguaje desarrollado denominado ACF (Autómatas Celulares
FORTH) y la interfaz para programar autómatas celulares (ACFw), y por último el
capítulo 6 propone tres ejemplos biológicos , que muestran la capacidad de los AC
para modelar sistemas biológicos.
3 Estos conceptos se explican en el capítulo 3.
4 El concepto estocástico significa la adopción de un punto de vista, donde la aleatoriedad o
probabilidad se percibe como un aspecto real, objetivo y fundamental del funcionamiento de un
sistema físico. [Davis,1986].
2

1.2 Objetivos Generales
1. Diseñar, definir e implementar un lenguaje que permita la experimentación con
autómatas celulares determinísticos y probabilísticos.
2. Estudiar los elementos fundamentales de los sistemas biológicos complejos
como base teórica para la utilización de autómatas celulares en el modelaje
(Vida artificial débil).
1.3 Objetivos Específicos
1. Especificar una teoría para el desarrollo de autómatas celulares probabilísticos.
(capítulo 2)
2. Especificar características fundamentales entre sistemas biológicos reales y
sistemas artificiales basados en los autómatas celulares. (capítulo 3 y 6)
3. Diseñar, definir e implementar un lenguaje para experimentación con AC
determinísticos y probabilísticos. (capíutlos 4 y 5)
3.1. Descripción sintáctica y semántica del lenguaje.
3.2. Implementar un procesador y una interfaz para el modelaje con AC.
3

2 Autómatas Celulares
2.1 Introducción
Son muchos los ejemplos en la naturaleza de comportamientos complejos que
surgen a partir de componentes e interacciones simples. Si se da una descripción
adecuada y completa de dichos componentes, es posible construir un mundo
artificial donde interactúen organismos artificiales y cumplan los mismos principios
que los sistemas naturales reales. Más aún, si existen leyes biológicas
universales, entonces en el mundo artificial deberían surgir los mismos
comportamientos que en el mundo natural de forma espontánea y por tanto ser un
mundo natural en sí mismo.
La conjetura anterior es difícil de probar y requiere encontrar un mecanismo para
la construcción de mundos artificiales, que soporten todas las leyes biológicas
descritas y por describir. Los autómatas celulares (AC) llaman poderosamente la
atención, y pueden ser una de las herramientas necesarias para la construcción
de mundos artificiales que prueben o refuten la conjetura.
Los AC representan el eslabón perdido entre el mundo computable y la
construcción de teorías contundentes. Si una ley es universal, debería en principio
haber un mecanismo artificial que al aplicarla resulte en una simulación exacta de
la realidad. Los AC son un ambiente artificial donde se pueden modelar procesos
de ciencias factuales como la física y la biología o de ciencias formales como las
matemáticas y la lógica. La generalidad de los AC y su versatilidad para construir
mundos en un espacio y tiempo determinados, podrían ser una respuesta para la
construcción de teorías sólidas.
En este capítulo se brinda una introducción de los AC desde sus orígenes, se da
una definición formal de AC y se describen con ejemplos sus propiedades.
2.2 Origen de los Autómatas Celulares
Alrededor de 1940, John von Neumann, estaba interesado en una teoría general
de autómatas para el procesamiento de información que fuera aplicable tanto a
sistemas biológicos, como a aparatos tecnológicos. Gracias a esta idea von
Neumann sugirió extender la teoría lógica de autómatas a una teoría probabilística
basado en el trabajo de Claude Shannon 5 , sobre la teoría de la comunicación; y de
5 Claude Shannon (1916) Se graduó en Michigan y luego estudió en MIT donde escribió una tesis
acerca de la utilización de álgebra booleana para el análisis y optimización de circuitos
interruptores “relays” . El se unió a los laboratorios Bell en 1941 como matemático en investigación
y estuvo allí hasta 1972.
4

Norbert Wienner 6 de la mecánica estadística de la cibernética [Aspray, 1990]. El
objetivo de esta teoría extendida era explorar la complejidad de los sistemas
biológicos y tecnológicos en el procesamiento de información, y la mecánica por la
cual estos sistemas complejos pueden funcionar utilizando componentes Poco
confiables 7 , como tubos de vacío y neuronas [von Neumann, 1956]. Esto estudios
de complejidad lo llevaron a investigar los mecanismos por los cuales los
organismos se auto-replican e intentó construir autómatas teóricos que tuvieran
esta capacidad, lo que lo llevó a la noción de autómatas celulares.
Abstrayendo los aspectos mecánicos, biológicos y químicos de las estructuras
moleculares que participan en auto-replicación, von Neumann fue capaz de
resaltar los aspectos esenciales para la auto-replicabilidad de una estructura[Koza,
1992]. Von Neumann en su trabajo de 1948 titulado “La teoría General y Lógica
de Autómatas” [von Neumann, 1948] hace su primer intento de establecer las
bases para crear organismos artificiales capaces de auto-replicación. Von
Neumann comienza su disertación, estableciendo:
1) Los organismos vivos están construidos de partes en cierta forma
independientes (unidades elementales) y por ello es necesario entender la
estructura y funcionamiento de tales partes individuales.
2) El entendimiento del todo consiste en entender cómo estos elementos
individuales están organizados, y cómo el funcionamiento del todo es
expresable en términos de sus partes.
La primera premisa, corresponde a estudios sobre el funcionamiento de individuos
(estudios fisiológicos) y tiene un carácter más descriptivo; la segunda corresponde
a aspectos dinámicos de la interacción de componentes en un sistema. El interés
de von Neumann era lograr la proyección de autómatas artificiales como
organismos vivos. Por lo que se concentra en la segunda premisa y parte de un
supuesto (o axioma) que mecaniza el comportamiento de organismos de la
siguiente manera:
“Suponemos que los organismos poseen una característica funcional
externa bien definida, es decir, los tratamos como una “caja negra”.
Son vistos como objetos automáticos, cuya estructura interna no
necesita ser especificada, pero que se supone que reaccionan de forma
no ambigua ante estímulos no ambiguos.”
Para lograr construir un organismo artificial (automata) capaz de auto-replicación,
von Neumann propone un modelo cinemático (autómata cinemático). Este modelo
6 Norbert Wienner (1894-1964). Matemático sueco, graduado de Harvard. Fue estudiante de
Bertrand Russell en Cambridge. Trabajó en análisis armónico y los teoremas Tauberianos. Sus
intereses principales en cibernética, procesos estocásticos, teoría cuántica e incluso el control de
armas.
7 “Ureliable components”
5

consistía en un autómata que era una especie de computadora, compuesta de
interruptores, “relays” y otros componentes de transmisión de información [Levy,
1992]. Sin embargo este autómata no construía información sino más bien masa
sólida en un mundo real. Además de los diferentes componentes de
computadora, el autómata cinemático tenía los siguientes elementos:
1) Manipuladores (equivalente a una mano). Estos ejecutaban instrucciones de
una unidad de control, sosteniendo partes.
2) Divisores. Capaces de desconectar dos elementos según instrucciones de la
unidad de control
3) Conectores. Conectaban partes.
4) Sensores. Reconocen partes y entregan esta información a la computadora.
5) “Girders”. Proveen un chasis para el autómata además de toda las facilidades
de almacenamiento de información.
Este autómata se mueve en un ambiente donde están disponibles todas las partes
para construirse a sí mismo 8 . Todos estos elementos forman parte de tres
subsistemas:
1) Componente A: busca y acumula componentes del medio según la instrucción
de otro componente.
2) Componente B: un duplicador, que lee información y la duplica.
3) Componente C: una unidad de control (la computadora). Adicionalmente las
instrucciones formaban parte de un componente D.
Este “Monstruo” funcionaba de la siguiente manera: C leía una instrucción en un
girder-tape; esta instrucción la pasaba a B, el cual copiaba la instrucción y
entregaba el duplicado a A, almacenando la original. A entonces busca las partes
en el ambiente, cuando las reconoce, las sostiene en el elemento manipulador y
continua uniendo partes a medida que las encuentra. Al terminar esto A construye
otro componente A, B y C. Una vez concluido esto la instrucción original que
estaba en B, es insertada en el nuevo individuo 9 . De esta forma von Neumann
establece la posibilidad de construir organismos artificiales que repliquen el
comportamiento de organismos naturales complejos 10 .
8 Algo así como un gran almacén de partes.
9 Cabe notar que todos los elementos que describen un autómata en el modelo cinemático, son
análogos a lo que sucede con el ADN y la maquinaria molecular que manipula el ADN; esto
algunos años antes del descubrimiento del ADN.
10 von Neumann tenía particular interés en el sistema nervioso, y estaba pensando en realizar una
máquina igual a un sistema nervioso humano. Los trabajos en redes neuronales de McCulloch y
Pitts, tuvieron gran influencia en él. [Aspray, 1990]
6

El modelo cinemático fracasó. Era muy complicado y no apto para un análisis
matemático. Cada componente contenía elementos que no tenían un origen o
constitución definida. Fue Stanislaw Ulam 11 quién sugirió a von Neumann
pensando en el crecimiento de un cristal; que utilizara un arreglo cuadriculado, con
un autómata de estado finito en cada celda. Cada celda contendría información
que determinará su estado y en cada paso de tiempo la celda tomaría información
de las celdas a su alrededor y consultaría una tabla de reglas para cambiar de
estado. Una colección de celdas en esta cuadrícula podría ser considerado un
organismo. A von Neumann le interesó la idea y se dio cuenta de que este
autómata, construido mediante lógica pura, podría ser fácilmente especificado
matemáticamente. Von Neumann nunca terminó su prueba escrita de estos
autómatas, y sólo en algunas charlas en 1953, dio algunos detalles de su
autómata de 29 estados con capacidad de auto–replicación [Levy, 1992]. Este
autómata que utilizaba los 4 vecinos ortogonales en un arreglo cuadriculado,
ocupaba un espacio de 200,000 celdas para su auto-replicación [Gardner, 1971].
Originalmente a estos autómatas se les denominaba “Tesselation Structures” 12 o
“Tesselation Autómata” y fue Arthur Burks [Burks, 1970] quien al editar los trabajos
de von Neumann, utilizó el nombre de autómatas celulares (AC).
Después del trabajo de von Neumann, el interés por los AC se desvaneció por
algunos años, hasta que en los años 70 algunos físicos se interesaron por los AC
[Fredkin, 1990]. Los AC se hicieron populares, después de la publicación de un
AC llamado “Juego de la Vida” propuesto por John H. Conway [Gardner, 1970].
Este juego presentaba características que von Neumann buscaba, pero de
manera más simple con solamente 2 estados Desde entonces el interés en estos
sistemas ha llegado a ser tan importante, que incluso se sugiere que los AC
representan la posibilidad de un nuevo paradigma de estudios en el campo de la
física denominado “Mecánica Digital” [Fredkin, 1990].
2.3 Descripción de Autómatas Celulares
Un AC puede ser considerado como un mundo estilizado. El espacio de AC es un
arreglo uniforme de celdas, donde cada sitio o celda puede contener algunos bits
de información y donde el tiempo transcurre en pasos discretos. La reglas de este
universo consisten en una receta que determina cuál será el nuevo contenido de
11 Stanislaw Ulam (1909-1984) fue un matemático y físico que trabajó en la construcción de la
bomba de hidrógeno. También propuso el Método de Monte Carlo, ampliamente usado para
resolver problemas matemáticos utilizando muestreo estadístico.
12 S. Ulam utilizó este término. “Tesselation” es un plano regular de polígonos. Ulam estaba
interesado en la formación de patrones y crecimiento de figuras. Destacan dos de sus ensayos “On
some Numerical problems Connected with Patters of Growth of Figures” [Ulam, 1962] y “On
recursively Defined Objects and Patterns of Growth” [Schrandt,1970].
7

información de una celda basado en las celdas vecinas. Las leyes de un AC son
locales y uniformes 13 .
b)
a)
Arreglo 2D
Bordes Cerrados
Arreglo 2D
Bordes Periódicos
Unir Bordes
Figura 1 Estructura del espacio celular en un autómata con: a) bordes
cerrados, b) bordes periódicos
Cuatro características son importantes en un AC [Hayes, 1984]:
1) La geometría del arreglo de celdas: Esta puede tener 1, 2 ,3,... D dimensiones.
Espacios con más de tres dimensiones se pueden construir fácilmente, pero
son difíciles de representar visualmente. El AC puede tener bordes periódicos
o cerrados. En el primer caso el arreglo de celdas (espacio celular) tiene una
forma toroide, donde los vecinos del borde superior son las celdas del borde
inferior y los del borde izquierdo son las celdas del borde derecho. Bordes
cerrados significa que los bordes tiene valor 0. (Figura 1)
2) El vecindario: Cada celda actualiza su estado tomando información de ella
misma y de un grupo de celdas a su alrededor que constituyen un vecindario.
13 Locales significa qué para saber que va a suceder en un momento, es suficiente conocer el
estado de las cosas a mi lado. Uniforme significa que las leyes son iguales en todos lados.
8
Unir Bordes

Los vecindarios más comunes son el de von Neumann, donde son
considerados los 4 vecinos ortogonales (vecino norte, sur, este y oeste,
además de él mismo); el de Moore 14 , que además de los vecinos ortogonales,
toma en cuenta los diagonales (norte, sur, este, oeste, noroeste, noreste,
suroeste, sureste, además de él mismo). La celda central de un vecindario es
sobre la cual se realizan los cálculos basados en los vecinos (en algunos casos
el centro no se considera como parte del vecindario) (Figura 2).
a) b)
Figura 2 Vecindarios de un AC de 2-dimensiones: a) vecindario Von
Neumann, con 5 celdas vecinas. b) vecindario de Moore, con 9 celdas
vecinas
3) El número de estados por celda: En general se puede utilizar cualquier número
arbitrario finito de estados. Von Neumann construyó un AC que se autoreplicaba
utilizando 29 estados, sin embargo AC más simples se han
desarrollado con la misma capacidad;.
4) Reglas que determinan el estado de la celda, basado en la configuración del
vecindario. Si k es el número de estados posibles y n el número de celdas en
n
el vecindario, entonces habrán k posibles reglas de transición del AC.
Los autómatas celulares son una clase de sistemas matemáticos, que se
caracterizan por sus propiedades discretas en espacio, tiempo y valores de
estado [Jen, 1990]. Se podría decir que son una idealización de sistemas físicos,
en donde el espacio y el tiempo son discretos, y las cantidades físicas toman
valores discretos [Wolfram, 1983b]. Estos sistemas son capaces de generar
comportamientos extremadamente ordenados a partir del desorden. Esta
aparición de orden tiene gran significado en la explicación de fenómenos físicos y
biológicos [Kauffman, 1984]
14
llamado Moore por Edward F. Moore utilizó este vecindario en su trabajo “Machine Models of
Self-reproduction” [Moore, 1970]
9

2.3.1 Definición formal de un Autómata Celular
De manera más formal un AC es un retículo 15 o arreglo D-dimensional, con un
autómata de estado finito 16 (AEF) en cada sitio o celda del arreglo [Langton, 1990].
Cada AEF toma como entradas los estados de celdas de una región local finita N
dentro del arreglo, que denominaremos como vecindario (Figura 2).
Cada AEF contiene un número finito de estados Q, un alfabeto finito Σ y una
función de transición ∆ , la cual mapea del conjunto de vecindario al conjunto de
estados de celdas. Sea N = | N | :
Q N ∆ : →
10
Q
eq 1.1
la función ∆ toma cualquiera de los posibles valores de Q N . Σ (los símbolos de
entrada del AEF) son todas las posibles configuraciones de vecinos con Q
estados, es decir, Σ = Q N . Sea K = | Q | (el número de estados de celda),
entonces:
Σ
=
∆
=
N
Q =
Es decir, si se tiene K=2 estados posibles para cada celda (pe. {0,1}; {blanco,
negro }; etc.) y un vecindario que considera 5 celdas vecinas (N = 5), entonces el
dominio de ∆ será de 2 5 = 32, o sea, existen 32 reglas de transición para un
autómata celular de 2 estados con un vecindario que considera 5 vecinos. Los
símbolos de entrada del AEF de cada celda será cualquiera de estas 32
configuraciones, y el símbolo de salida será algún valor de estado q ∈ Q
De lo anterior podemos entonces definir un AC M como el siguiente cuádruple:
K
M = �A,Q, ∆ , N �
Donde A representa un arreglo de D-dimensiones, Q es el conjunto de estados de
celda, ∆ una función de transición de estados (eq.1.1), N el vecindario. Si cada
celda ai ∈ A tiene un vecindario N ={ai-r, ... , ai , ... , ai+ r} entonces r representa el
rango del vecindario N .
15
Un arreglo espaciado de puntos que caen dentro de líneas espaciadas de forma regular
[Weisstein, 1996]
16
Un autómata de estado finito es un sistema matemático, con entradas y salidas discretas. El
sistema puede estar en cualquiera de un número finito de estados internos. [Hopcroft, 1979]
N

2.3.2 Autómatas Celulares Elementales
Un AC de 1-Dimensión con Q = { 0, 1 } (K = 2) y que considera un vecindario
N={ai-1 , ai , ai+ 1} (r = 1) se le denomina AC elemental [Wolfram, 1983a]. El espacio
celular consiste en un vector lineal de celdas. Un AC elemental tiene K N = 2 3 = 8
posibles configuraciones de vecinos, que son 111,110,101,001,011,010,001 y 000.
3
2
En total es posible construir 2 = 256 AC elementales. En la Figura 3 se pueden
apreciar algunos AC elementales.
a)
c) d)
Figura 3 Algunos AC elementales que inician con una semilla central.
Las líneas sucesivas se obtienen por la aplicación sucesiva de la regla
del AC a cada una de las celdas del autómata. Estos AC muestran 63
generaciones en 150 celdas. a) Regla 150 (10010110) b) Regla 30
(00011110) c) Regla 45 (00101101) d) Regla 60 (00111100). La
codificación de las reglas corresponde a la utilizada por Wolfram.
Wolfram hace un estudio exhaustivo del comportamiento de estos AC elementales
para tratar de establecer todas las propiedades de estos sistemas discretos y
11
b)

a)
b)
Figura 4 Codificación de reglas para AC de 1-Dimensión según Wolfram.
a) codificación numérica. b) Representación gráfica de las reglas de
cambio de estado. 2r+1 es el número de vecinos involucrados en la regla
(r es el rango del vecindario).
generar una teoría de AC sólida. Para iniciar, Wolfram establece un mecanismo
de codificación de reglas de AC elementales donde describe las reglas de
transición de tres vecinos mediante un número binario de 8 dígitos (Figura 4).
Además, restringe los 256 posibles AC a 32 considerando las siguientes reglas:
1) las reglas que de un estado quiescente (el estado de todos los vecinos es 0)
cambien a 1 no son válidas. Esto no permite la generación de 1 a partir de una
secuencia de ceros, es decir, 000 → 0 .
2) Las reglas deben ser reflexivamente simétricas, así por ejemplo 110 y 011
generan el mismo cambio de estado.
Veamos por ejemplo la regla 90 de Wolfram (esta es la notación decimal de los 8
dígitos binarios figura 4 a y b). Esta regla es la regla suma módulo 2, es decir
t+
1 t t
= a + a ) mod 2 . El mod 2 es el residuo de la división de un entero entre 2 y
a i ( i−1
i+
1
t
a i es el estado de la celda a ∈ A en posición i en el tiempo t. El arreglo A del AC
12

a)
b)
Figura 5 Regla 90 de Wolfram con una celda 1 inicial en la mitad del
vector de celdas. a) después de 16 generaciones. b) después de 250
generaciones
es una secuencia lineal de celdas en una dimensión. En una secuencia A de L
celdas, la configuración de “semilla” representa un arreglo de ceros con un 1 en la
celda central (Figura 5). En la figura L = 400 e inicia con un 1 (cuadrado negro)
en la celda 200. Después de unas 250 generaciones (t=250) se observa una
estructura auto-similar 17 (fractal 18 ) con dimensión fractal 19 log 2 3 . La estructura
que se forma, tiene relación con el triángulo de Pascal 20 . Cada línea del AC
17
Algunos estudios sobre la formación de estructuras auto-similares en AC de 1 dimensión son
[Willson, 1984, 1987a, 1987b; Haeseler, 1995]
18
Un fractal son objetos (puntos, curvas o patrones) que exhiben un incremento de detalle cuando
se disminuye la escala.
19 −D
Usualmente la dimensión fractal se mide como n(
ε) = ε donde n(�) es el número mínimo de
estruturas de diámetro � necesarias para cubrir el total. D es la dimensión fractal
16 El triángulo se Pascal determina los coeficientes de x i en la expansión polinomial (1+x) n .
13
t
t

epresenta el módulo 2 de los valores en la línea correspondiente en el triángulo
de Pascal [Wolfram, 1984c].
Cuando esta misma regla comienza con una configuración inicial con 50% de unos
y ceros distribuidos aleatoriamente ( Figura 6), esta configuración inicial aleatoria,
que no tiene ninguna estructura, da origen a estructuras en forma de triángulos
invertidos (con el estado 0). Esta aparición espontánea de estas estructuras es
un ejemplo simple de cómo un AC elemental puede generar auto-organización
[Wolfram, 1983b].
Figura 6 Regla 90 de Wolfram con inicio aleatorio de celdas en estado 1.
Las celdas blancas representan el estado 0 y las negras 1. Se observa la
formación de estructuras estables (triángulos blancos invertidos) que
representan el principio de auto-organización.
Algunos de los AC elementales exhiben reversibilidad. Un AC es reversible, si
para cualquier configuración del autómata, ésta posee solamente una
configuración predecesora [Hillman, 1991]. De forma contraria cuando el AC
transforma diferentes configuraciones iniciales a una misma final, es imposible
determinar cuál fue el antecesor de una configuración y por tanto el AC es
irreversible. La existencia de configuraciones con múltiples predecesores, implica
14
t

que hay configuraciones que no poseen predecesores y por tanto sólo pueden
existir como configuraciones iniciales. El conjunto de configuraciones a las que no
se puede llegar por evolución del AC y sólo pueden existir como configuraciones
iniciales, se les denomina “jardín del Edén” [Moore, 1970; Wolfram, 1984a].
Wolfram ha estudiado las propiedades de auto-organización, auto-similitud e
irreversibilidad en AC elementales, dando una base teórica importante que
demuestra la capacidad de generar complejidad, en un AC simple, a partir de
múltiples unidades idénticas simples [Wolfram, 1983a, 1984a].
2.3.3 Autómatas Celulares de 2-Dimensiones
La extensión a AC de 2-Dimensiones es significativa para el estudio de sistemas
físicos y biológicos [Wolfram, 1985a]. Extendamos el AC elemental anterior (regla
t+
1 t t
90) a un arreglo de 2 dimensiones. La regla a i = ( ai−1
+ ai+
1)
mod 2 se adapta
para considerar los cuatro vecinos inmediatos ortogonales y central (vecindario de
t+
1 t t t t t
von Neumann) quedando a i,
j = ( ai
−1,
j + ai
, j−1
+ ai,
j + ai
+ 1,
j + ai,
j+
1 ) mod 2 . Al iniciar
este AC con una semilla en el centro se genera el patrón que se muestra en la
Figura7. Este AC se conoce como regla “Parity” propuesta por Edward Fredkin
[Gardner, 1971].
t=1 t=3 t=15 t=23
Figura7 Evolución del AC de Fredkin, donde:
t+
1
a i,
j
t
= ( ai
−1,
j
t t
+ ai
, j−1
+ ai,
j
t
+ ai
+ 1,
j
t
+ ai,
j+
1 ) mod 2 . Se muestra la
configuración del autómata después de 3,15 y 23 generaciones.
15

Un AC de 2–Dimensiones más interesante es el “juego de la vida. Conway,
intentaba construir un AC con capacidad de computación universal 21 que fuera
más sencillo que el modelo propuesto por von Neumann [Levy, 1992]. Las reglas
de este AC, utilizando un vecindario de 9 vecinos (vecindario de Moore) son las
siguientes: 1) Si una celda esta en estado 1 (“viva”), se mantendrá como tal, si
tiene 2 ó 3 vecinos a su alrededor. 2) Si la celda está en estado 0 (“muerta”) se
mantendrá como tal, excepto en el caso de que hayan 3 celdas en estado 1 a su
alrededor [Dewdney, 1993]. El resultado de este AC, con un inicio aleatorio de
celdas en estado 1, se muestra en la Figura 8.
a) b)
Figura 8 Juego de la vida de Conway. a) estado inicial con 30% de 1
distribuidos aleatoriamente. b) después de 100 generaciones, se
observan algunas estructuras estables y una organización del espacio
celular.
Si este AC se deja evolucionar 22 suficiente tiempo, se comenzarán a formar
estructuras estables, que desde el punto de vista de un sistema dinámico se
describen como puntos fijos, ciclos límites y caos 23 . Si se mezclan estas
estructuras en ciertas configuraciones, es posible construir una máquina que se
comporte como una computadora.
El juego de la vida ha sido un juego que ha permitido que un número grande de
personas experimenten con AC, sin embargo, este AC no tiene relación alguna
(además del nombre) con el estudio de un sistema biológico. Algunos estudios
interesantes del “Juego de la Vida” incluye el estudio de “Criticalidad Autoorganizada”,
es decir un sistema que sistemáticamente es perturbado cerca de un
21
Una máquina que es capaz de emular cualquier función describible por cualquier otra máquina, a
través del uso de reglas lógicas.
22
Dejar que cambie la configuración global del AC por interacción de sus reglas locales.
23
Inclusive existen algunos glosarios de las estructuras generadas por el juego de la vida [Hensel,
1995]
16

estado de equilibrio, llegará a un punto crítico cuando el número medio de
elementos entrantes es igual a los salientes [Bak, 1989, 1991] .
2.3.4 Propiedades y Clases de Autómata Celulares
Complejidad y Clases de Autómatas Celulares
Una de las propiedades fundamentales de los AC, es que son capaces de producir
comportamientos complejos 24 a partir de unidades idénticas simples [Wolfram,
1984d]. La complejidad es generada por efecto cooperativo de cada uno de los
componentes. Esta complejidad es irreducible y por tanto no existe un
procedimiento matemático que pueda describir la complejidad [Urías, 1991]. Esto
quiere decir que cuando vemos la regla de un AC con una configuración inicial
dada, no podemos con sólo mirarlo, determinar cuál va a ser su configuración final
después de t generaciones. Esto hace difícil tener un sistema de clasificación
para AC basado en la complejidad de su comportamiento. En general AC con
reglas de transición similares pueden comportarse de manera diferente y AC con
comportamientos similares pueden tener reglas muy diferentes [Gutowitz, 1990]
Los trabajos de Wolfram son uno de los más importantes intentos por hacer una
clasificación a partir de la simulación explícita de un conjunto particular de AC
[Wolfram, 1983b, 1984a, 1985b]. Wolfram caracteriza empíricamente el
comportamiento de AC y propone las siguientes cuatro clases cualitativas:
� Clase I: Evolución del AC lleva a un estado homogéneo.
� Clase II : Evolución lleva a estructuras estables simples.
� Clase III : Evolución lleva a patrones caóticos.
� Clase IV: El AC lleva a patrones complejos, de largo período.
Algunos estudios [Langton, 1986, 1990; Li, 1990; Gunji, 1990], utilizando las
características de las reglas de transición, más que el comportamiento explícito del
AC, han mostrado cierta correspondencia con las clases de Wolfram.
La existencia de solamente cuatro clases implica una universalidad considerable
en el comportamiento de los AC. Algunos ejemplos de estas cuatro clases se
aprecian en la Figura 9. En términos de la teoría de sistemas dinámicos, las
clases de AC propuestas por Wolfram, son análogas con el comportamiento
encontrado en la solución de sistemas de ecuaciones diferenciales (ED). Cuando
la solución de una ED con cualquier condición inicial llega a un punto fijo en un
tiempo largo, esto equivale a la clase 1 de AC. En otra clase de ED, la solución es
un ciclo con parámetros variando a lo largo del tiempo, esto corresponde a la clase
2 de AC. Algunas ED muestran un comportamiento caótico (generando atractores
extraños o caóticos) dependiendo de la configuración inicial, lo cual corresponde a
24
Cualquier sistema que exhiba la formación de algún tipo de estructuras organizada se denomina
complejo.
17

la clase 3. Esta correspondencia de clases en AC y sistemas dinámicos continuos
apoya la generalidad de estas clases [Wolfram,1893b]. La clase IV sin embargo
Clase I
Clase II
Clase III
Clase IV
Figura 9 Ejemplos de las clases de Wolfram. Estos autómatas lineales
consideran 5 vecinos(r=3) con 2 estados(k=2).
18

es algo problemática e incluso se sugiere, que AC de esta clase es cualquier AC
que no corresponda a las clases anteriores [Chaté, 1990].
Las otras clases propuestas por Wolfram también encuentran problemas.
McIntosh, sugiere que el problema de las clases de Wolfram se debe a que es
indecidible saber qué estructuras se van a generar en un AC, dada su
irreducibilidad [McIntosh, 1990]. Así por ejemplo AC de la clase I (evolución a
estados constantes) es indecidible si algún AC puede en algún momento
detenerse (en un tiempo largo o corto) y producir un estado constante.
A pesar de los problemas que pueda presentar una clasificación como la de
Wolfram, es claro que los AC pueden exhibir comportamientos complejos a partir
de reglas locales simples, y que el resultado global del AC no se puede explicar
sólo en términos de sus reglas.
Auto-Replicación
El estudio de estructuras o máquinas auto-replicables 25 se realiza con el fin de
entender los principios fundamentales del procesamiento de información y los
algoritmos involucrados en la replicación independientemente de su realización
física [Perrier, 1996]. Los AC son uno de los modelos centrales para el estudio de
la auto-replicación, y fue lo que originalmente motivó a von Neumann a desarrollar
una teoría de AC con capacidad de auto-replicación.
Von Neumann construyó el equivalente de su modelo cinemático (ver sección 2.1)
en un AC de 29 estados con 5 vecinos 26 inmerso en un espacio celular
considerable. A pesar de que von Neumann dejó su trabajo de autómatas con
auto-replicación incompleto, despúes de su muerte Arthur Burks organizó lo que
estaba escrito y completó los detalles [Langton, 1989]. El modelo de von
Neumann es una prueba constructiva de que la auto-replicación es posible en
máquinas artificiales. La Figura 10 muestra un esquema del modelo de von
Neumann 27 .
En el modelo de von Neumann hay dos aspectos importantes sobre lo que es
considerado un autómata auto-replicable: 1) El AC en sí (el arreglo de celdas) 2)
El autómata constructor universal 28 (el código y estructura del autómata), el cual
está inmerso en el AC como una configuración de estados [Langton, 1984], es
decir el AC provee el espacio donde se diseña un autómata replicable. Además
hay dos tipos de información en el autómata: 1) información interpretada, la cual al
ejecutarse permite construir una máquina en otra parte del AC; y 2) información
25 Capaz de crear una copia de sí mismo.
26 Por ello conocido posteriormente como vecindario de von Neumann.
27 Detalles de este modelo se encuentra en [Burks, 1970]
28 Un constructor universal es capaz de construir cualquier estructura dada su descripción. Si la
descripción es él mismo, entonces producirá una copia de él.
19

no-interpretada, que es simplemente copiada a la nueva máquina [Langton, 1984,
1989]
Unidad
Central
Padre
Figura 10 Modelo de von Neumann. La unidad central procesa la
información de una cinta, permitiendo que el brazo constructor localice
las partes y ensamble en nuevo individuo y luego inserte una copia de la
cinta.
El modelo de von Neumann fue simplificado posteriormente por Codd, en un AC
de 8 estados, con un vecindario de 5 vecinos, sin embargo su complejidad lo hace
difícil de implementar [Perrier, 1996]. Langton, basado en el trabajo de Codd
[Langton 1984, 1986], propone un AC celular de 8 estados y 5 vecinos, con
capacidad de auto-replicación no trivial, el cual es simple y fácil de implementar.
En un autómata con replicación trivial la reproducción no reside en el código de
estados de la máquina en el AC; un ejemplo es el AC de la Figura7 donde la
reproducción de estructuras no está contenida en la información del padre (semilla
central).
El ejemplo más sencillo de un autómata auto-replicable lo representa el autómata
de Byl [Byl, 1989]. Este autómata utiliza solamente 6 estados con 5 vecinos. Al
comenzar con una configuración inicial determinada, este autómata es capaz de
auto-replicarse en 26 pasos 29 (Figura 11). la Figura 12, muestra como en el
autómata de Byl, a partir de un padre es capaz de producir una colonia entera de
autómatas iguales.
29 El de Lagton ocupa 133 pasos.
Brazo
Constructor
Cinta
20
Unidad
Central
Descendiente
Cinta

1.
1.
2.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Padre
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
Figura 11 Autómata auto-replicable de Byl. Una configuración padre
construye un descendiente con la misma estructura e información. Los
colores representan los estados del autómata.
21
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
Padre
Descendiente

Figura 12 Autómata replicable de Byl. Después de varias generaciones,
a partir de un padre se logra reproducir una colonia en el espacio celular.
A pesar de que Von Neumann y Codd establecieron que para que un autómata
pudiera auto-replicarse era necesario capacidad de construcción universal
Langton y Byl logran demostrar con sus autómatas, que aunque ésta es una
condición suficiente, no es necesaria. Además los autómatas replicables
construidos en AC, han permitido demostrar la capacidad de construir máquinas
artificiales que se reproduzcan utilizando mecanismos análogos a los de los
sistemas biológicos.
Auto-Organización
Algo interesante de los AC, es que cualquier patrón que se genera en escalas más
allá de una sola celda, se considera comportamiento emergente 30 [Langton, 1986].
Las reglas de transcición en un AC son locales y uniformes, y el comportamiento
30 Emergencia, como una doctrina filosófica clásica, es la creencia de que en sistemas complejos,
surgen nuevas categorías de comportamiento que no se pueden derivar de sólo los elementos del
sistema. [Pattee, 1989].
22

global emerge de las construcciones de comportamientos locales. Estas nuevas
propiedades emergentes son el resultado de la capacidad de auto-organización
del espacio celular.
El comportamiento y capacidad de auto-organización de un AC puede ser
estudiado utilizando diferentes métodos estadísticos. Una de las medidas más
utilizadas es la entropía. La entropía se define como el logaritmo (base 2 por
ejemplo) del número promedio de estados posibles de un sistema, es decir:
∑
S = − pi
log 2 p
i
donde pi es la probabilidad del estado i [Wolfram, 1983a; Lagton, 1990] . La
entropía de un sistema es la suma de las entropías de los subsistemas
independientes estadísticamente. El valor de entropía es máximo cuando el
sistema esta desorganizado; y por el contrario es mínimo cuando el sistema está
organizado. Existen muchas formas en las que la entropía se puede aplicar a AC.
Por ejemplo la entropía espacial, cuando se quiere analizar una configuración en
un tiempo determinado, y la entropía temporal, cuando se desea conocer los
cambios de configuración de un sitio fijo a lo largo tiempo.[Li, 1990]
Una forma de calcular la entropía espacial en un AC, es utilizar la entropía de
bloques que consiste en:
donde
1 ( b)
( b)
S b = ∑ p i log 2 p i
b i
(b)
p denota la probabilidad de la secuencia i de b valores en un AC.
i
Si aplicamos la entropía espacial de bloques al juego de la vida (ver sección
2.3.3), si existe algún tipo de auto-organización, la entropía espacial a lo largo de
5000 generaciones debe disminuir,. Como se observa en la Figura 13,
efectivamente hay una disminución en la entropía, y de hecho se observan
estructura estables en el AC.
Otro ejemplo de auto-organización en AC, es el AC estudiado por Greenberg y
Hasting [Greenberg, 1978] para modelar medios excitables. Ondas periódicas que
se mueven en medios excitables proveen una dramática ilustración de
organización espacio – temporal en sistemas químicos, físicos y biológicos
[Gerhardt, 1990].
23
i

a)
b)
S
0.2
0.1
0
0 1000 2000 3000 4000 5000
Figura 13 a) Cambio en la entropía espacial de bloques en el juego de la
vida, después de 5000 generaciones (t=5000). b) configuración del AC de
200x200 celdas después de 5000 generaciones con un inicio aleatorio de
30% de celdas en estado 1.
Un medio excitable es un sistema dinámico, que puede ser “excitado” por
pequeñas perturbaciones sobre un punto límite. Una vez excitado, el medio
vuelve a un estado “refractario” o de recuperación, para luego volver a su estado
“receptivo” (susceptible nuevamente a ser excitado) [Markus, 1990]. Los modelos
de medios excitables en AC se han construido de la manera más simple posible
[Ermentrout, 1993]. Se han utilizado diferentes formas de simular esta actividad en
AC. Arreglos con celdas hexagonales [Madore, 1983] o de celdas cuadradas
[Greenberg, 1978; Gerhardt, 1990; Markus, 1990]. En el modelo de Greenberg el
espacio celular con celdas cuadradas, y con un vecindario de Von Neumann de 5
vecinos. Una celda puede estar en cualquiera de tres estado: receptivo (0),
excitado (1) o refractario (2). Una celda en estado receptivo se excita si tiene al
menos 2 vecinos en estado 1. Cualquier celda en estado excitado pasa a estado
24
t

efractario y una en estado refractario pasa nuevamente a receptivo. En la Figura
14a, se observa cómo se producen frentes de excitación, cuando en el medio
(arreglo de celdas) se inicia con una celda excitada, o con un línea de celdas
excitadas debajo de una línea refractaria. Una simulación en un arreglo de
200x200 después de 200 generaciones con inicio aleatorio (3% excitado, 3%
refractario) produce un patrón como el que se observa en la Figura 14b.
a)
b)
Figura 14 Frentes de propagación de celdas excitadas a) a partir de una
línea de celdas excitadas debajo de celdas refractarias, con el modelo de
Greenberg. b) con 3% de celdas excitadas y 3% refractarias, después de
200 generaciones.
La capacidad de los AC de producir auto-organización, tiene gran importancia en
el desarrollo de modelos teóricos de sistemas complejos. Es interesante como, a
partir de configuraciones iniciales aleatorias (como en el caso del juego de la vida
y el de medios excitables), se pueda auto-organizar el espacio celular del AC por
la sola interacción estrecha entre celdas que actúan con reglas determinísticas.
25

Computación Universal
Un sistema es una computadora universal, si al darle un programa inicial
adecuado, su evolución en el tiempo puede implementar cualquier algoritmo finito
[Wolfram, 1983b]. Una computadora universal sólo necesita ser reprogramada y
no reconstruida para procesar cualquier cálculo posible. SI un AC puede ser una
computadora universal, entonces, con una regla fija y diferentes configuraciones
iniciales deberán codificar todos los programas posibles.
Un AC puede ser considerado como un mundo lógico donde una computadora
puede ser construida, o como una computadora por sí misma [Lagnton, 1990]. En
el primer caso es posible demostrar la capacidad de computación universal de un
AC, identificando estructuras que funcionen como los componentes principales de
una computadora digital tales como puertas NAND, memoria y relojes. [Dewdney,
1990]. En el segundo, la computación universal del AC se puede definir
demostrando su equivalencia con sistemas cuya capacidad de computación haya
sido demostrada, como la máquinas de Turing, o más fuerte aún, si se puede
construir un AC capaz de simular cualquier otro AC [Culik, 1990]. La primera
posibilidad la mostraremos con algunos ejemplos en esta sección, la segunda se
demuestra en el ANEXO C.
Mediante la construcción de un AC sencillo, llamado “Wireworld” es posible
construir todos los componentes lógicos de una computadora universal [Dewnwey,
1990]. “Wireworld” es un AC de 4 estados con 9 vecinos (vecindario de Moore),
donde cada estado significa lo siguiente: (0) celda de fondo, (1) celda cable, (2)
cabeza de electrón y (3) cola de electrón. La reglas de evolución son las
siguientes:
1) Una celda cable (1) cambia a una cabeza de electrón (2) si una o dos celdas
vecinas son cabezas de electrón, de lo contrario se mantiene igual.
2) Una celda cabeza de electrón (2) siempre cambia a cola de electrón (3)
3) Una cola de electrón (3) siempre cambia a cable (1).
4) La celdas de fondo (0) nunca cambian.
McIntosh [McIntosh, 1992] y Dewdney [Dewdney, 1990], describen cómo se
pueden construir diferentes componentes lógicos mediante esta regla, algunos de
los cuales veremos a continuación.
26

Barreras: Este es un circuito que impide que una señal pase, cualquiera que sea
su dirección. Figura 15.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Figura 15 Barrera de “WireWorld”. La señal de la izquierda es bloqueada
en el paso 5.
Diodos: Los diodos fuerzan a una señal a viajar en un solo sentido. En la Figura
16, la señal puede viajar de izquierda a derecha pero no en sentido contrario.
a) b)
Figura 16 Diodo de “Wireworld”. a) La señal puede viajar de izquierda a
derecha. b) La señal de derecha a izquierda es detenida por el diodo.
27

Compuerta OR: La compuerta OR toma dos entradas y aplica la operación OR de
las señales. En la Figura 17 se observa un puerto OR junto con dos relojes, uno
de período 2 y otro de período 4, alternando la señal true Or true / false OR true.
1.
2.
a)
b)
c)
3.
4.
5.
Figura 17 Compuerta OR de “Wireworld”. Se muestra una secuencia con
dos relojes a) período 4 y c) periodo 2. La compuerta OR (b), en el paso
7 resulta en una señal, dado que a y c producen señales, en el paso 11,
Or es una señal debido a la señal producida por c en el paso 7.
Compuerta AND: En la Figura 18 se detalla la estructura de AND.
a b
6.
Figura 18 Compuerta AND de “wireworld”.
28
7.
8.
a AND b
9.
10.
11.

Complemento (NOT): invierte una señal, es decir, si hay señal en el resultado no la
hay, si por el contrario no hay señal en el resultado sí la hay. (Figura 19)
reloj
Figura 19 Complemento. En a) no hay señal en la entrada y por tanto se
emite señal a la salida. en b) hay señal de entrada y no hay señal de
salida.
Relojes: En la Figura 20 se observa un reloj de período 2. Para aumentar el
período basta con aumentar el largo de cable en el ciclo.
1.
2.
3.
4.
5.
a) b)
Figura 20 Reloj de “Wireworld”. El reloj manda señales en período 2. En
el primer paso, la señal es emitida por el cable; en el paso 5 hay una
nueva señal a ser emitida. En los paso del 2 al 4 la señal da vuelta en el
ciclo.
29

Memoria: Una estructura sencilla de memoria se observa en la Figura 21. Esta
emplea un ciclo en donde se recuerda un 1; cuando se recuerda un 0 no hay
electrones en el ciclo. Cuando el cable superior trae señal, indica que se debe
recordar un 0 y si el cable inferior trae señal entonces se debe recordar un 1.
a)
b) Ciclo
memoria
Figura 21 Una estructura de memoria. A) se recuerda 0. b) se recuerda
1.
Uniendo varias de estas estructuras es posible construir una computadora
universal dentro del AC. De manera similar se han construido estructuras lógicas
con el juego de la vida [Dewdney, 1985]. Otro ejemplo de este tipo de
construcción es el autómata de Bank [Toffoli, 1987], el cual sólo ocupa 2 estados
como el juego de la vida.
Con el autómata de von Neumann también se pueden construir los componentes
lógicos necesarios para la computación universal, sin embargo ejemplos como los
anteriores son mucho más sencillos de implementar.
La forma más elegante de demostrar computación universal es establecer la
equivalencia entre máquinas de Turing y AC. En principio es necesario definir
estados para trabajar como símbolos de la máquina de turing y estados para
simular la posición de la cabeza y los estados internos de la máquina de Turing.
La demostración es bastante directa y se encuentra en el ANEXO C.
30
recuerda 1

2.3.5 Algunos Programas de Autómatas Celulares
Los programas más conocido de AC son CAM desarrollados por Toffoli en el MIT
[Toffoli, 1984b, 1986] y Mathematica desarrollado por Wolfram [Wolfram, 1991].
CAM-PC
CAM es una “caja negra” que contiene un procesador paralelo para la simulación
de autómatas celulares y otros sistemas discretos. Esta caja negra es una tarjeta
que se instala en cualquier PC (esta versión es CAM-6); el software para controlar
a CAM es Forth. CAM contiene 4 planos de 256x256 celdas, cada celda de 1-bit,
por tanto en cada plano es posible tener dos valores {0,1}, uniendo los cuatro
planos, es posibles hasta 16 estados por celda. Las reglas de transición del AC
son construidas en Forth, las cuales son convertidas en una tabla de transición,
que es una lista explícita de todas las combinaciones de posición y estado de los
vecinos seleccionados. La versión más actual de CAM es CAM-8 (de 512x512
celdas), que trabaja en computadoras especiales llamadas STEP. En términos
generales CAM es una implementación de hardware de AC que se controla
mediante un lenguaje Forth extendido de alto nivel.
Mathematica
Mathematica, es una aplicación desarrollada para la solución analítica o numérica
de funciones matemáticas. Con este programa es posible desarrollar modelos
bastante complejos. En términos de AC, Mathematica provee comandos
específicos para el diseño de AC. El lenguaje de Mathematica es similar a C, y se
puede considerar como un lenguaje de propósito general, donde se han
incorporado algunos comandos para AC.
Otros programas
Algunos otros lenguajes de AC incluyen:
1) Camel [Spezzano, 1996], este sistema utiliza computadoras paralelas como
MIND, con un lenguaje propio llamado Carpet (cellular programming
environment).
2) StarLogo lenguaje, que puede ser utilizado en sistema UNIX, Macintosh o PC
[Resnick, 1994], sin embargo el movimiento de las “tortugas” difiere respecto al
modelo de AC, y su utilización es con fines educativos más que de
investigación.
31

3) SARCASim (Animated Reduction Cellular Automata) es un programa que
funciona en Windows, y que utiliza un lenguaje llamado ARCAL [Maydwell,
1999].
4) Cellab es un programa que funciona en ambiente Windows, es bastante
interesante y eficiente; las reglas de este programa se escriben en Basic,
Pascal o C, y hay un compilador que las transforma a un lenguaje propio;
debido a esto este programa es bastante flexible y útil [Rucker, 1999].
2.4 Autómatas Celulares Probabilísticos
Podemos definir dos formas de AC probabilístico. Una donde las reglas del
autómata se aplican de manera uniforme a todas las celdas del espacio celular,
pero cada cambio de estado tiene una probabilidad de ocurrencia; y otra donde las
reglas no son uniformes y cada celda puede aplicar una regla u otra con
diferentes probabilidades. En el primer caso, lo llamaremos AC probabilístico
uniforme (ACPU) y el segundo AC probabilístico no uniforme (ACPN)
2.4.1 Autómata Celular Probabilístico No-uniforme
Sea M un AC probabilístico:
M = �A,Q, ∆ , N ,P�
los componentes A,Q, ∆ , N ; matienen el significado de la sección 2.3.1 P es una
función P: ∆ → Q. la probabilidad de que una transición δ origine el nuevo estado
q lo denotaremos con p( δ , q)
. Se cumple que:
∑
q∈Q
∀δ
∈ ∆,
p( δ , q)
= 1
2.4.2 Autómata Celular Probabilístico Uniforme
Mantiene la misma definición que ACPN a excepción de la función P: ∆ x Q → Q.
La probabilidad de que la transición δ produzca cambio de estado de q a q’ se
denota por p ( δ , q′
q)
y la probabilidad de que no se produzca cambio es
1− p ( δ , q′
q)
.
32

2.4.3 Un AC probabilístico
Un ejemplo de un ACPU, que simula el crecimiento de un liquen consiste en un
AC con 2 estados y 9 vecinos, con las siguientes reglas probabilísticas:
� Una celda pasa a 1 o se mantiene en estado 1, si hay uno y solamente un
vecino en estado 1. Esto ocurre con una probabilidad p de 0.1,
La Figura 22a muestra el AC después de 100 generaciones, iniciando con una
semilla central. Si p = 1 el crecimiento, después de 25 generaciones, es muy
regular y genera el patrón de la Figura 22b.
a) b)
Figura 22 a) AC probabilístico. b) El mismo AC pero determinístico.
En términos generales, cuando se cambia un AC de determinístico a
probabilístico, se incrementa el desorden [Eisele, 1991]. Sin embargo, los AC
probabilísticos, tiene gran valor práctico para la simulación de sistemas biológicos
o físicos.
2.5 Comentario Final
El poder analítico de los AC va desde simples modelos para mostrar ciertas
propiedades, hasta la construcción de modelos equivalentes de sistemas de
ecuaciones diferenciales. Esta capacidad fue la que motivó esta tesis, y en
particular la posibilidad de crear un medio de experimentación con AC, donde se
puedan construir modelos biológicos.
33

En la revisión de literatura sobre AC, aunque se mencionan AC en algunos
documentos, no se encontró ningún trabajo o descripción de AC en español. Este
capítulo contiene algunos de los aspectos fundamentales de los AC y que pueden
servir de referencia en español de AC, a estudiantes e investigadores que quieran
explorar este tema.
34

3 Sistemas Biológicos, Vida Artificial y AC
3.1 Introducción
Nuestra impresión general del mundo nos hace pensar en dos partes: una parte
físico - química, y otra parte biológica. La parte físico - química consiste de aire,
océanos, rocas, el clima; y en general la suma de componentes 31 de lo que
denominamos el medio. Este medio es un sistema inanimado, vasto y gobernado
por leyes físicas. Por otro lado pensamos en las cosas “animadas” o “vivas” y
tratamos de entenderlas como parte de un sistema donde las leyes de la física son
respetadas 32 pero existen leyes biológicas particulares que describen o
determinan el estado de las cosas “vivas”. Plantas y animales 33 (objetos vivos 34 )
se adaptan a las condiciones que el medio provee, se alimentan en el medio; y
sufren cambios o son destruidos, inducidos por el medio. Además los objetos
vivos se relacionan con otros objetos vivos que están en el medio. Animales
comen plantas, animales a animales.
La biología estudia los objetos vivos. ¿Qué estudia la biología de los objetos
vivos?. Bueno, puede describir los fenómenos internos o externos de los objetos
vivos o puede tratar de explicar comportamientos generales de los objetos vivos
mediante algún tipo de modelo formal. Las ciencias biológicas (y en general en
cualquier ciencia natural 35 ) trabajan con tres enfoques importantes: clasificatorio,
comparativo y cuantitativo. En el primer caso, los objetos vivos son ubicados en
clases utilizando algún argumento de forma, origen, etc. Para lograr la
clasificación, es necesario caracterizar todos los objetos biológicos. El enfoque
comparativo, en cambio, trata de establecer relaciones entre objetos vivos, p.e. un
objeto biológico es más grande que otro, tiene un comportamiento diferente, etc.
Este enfoque es importante y tiene gran valor para una ciencia cuando el enfoque
cuantitativo es difícil, como en el caso de la biología. Gran parte de los avances
en biología se deben a los estudios comparativos mediante los cuales se intentan
sacar nociones generales sobre propiedades de los objetos vivos. Los conceptos
cuantitativos, tratan de describir hechos naturales mediante conceptos con valores
numéricos. En la biología estos conceptos con valores numéricos describen
objetos vivos. Una biología mecánica, estudia los fenómenos asociados a los
objetos vivos en términos de cantidades que cambian; estas cantidades (variables
de estado) representan la aparición de estructura y organización en espacio y
tiempo. Un ejemplo de un concepto biológico asociado a objeto vivo es la
biodiversidad. Biodiversidad es expresable en términos de número de especies en
31
Conocidos como componentes abióticos.
32
Una forma tradicional en la que los biólogos tratan de justificar a la biología.
33
Todo ser vivo
34
Se utilizará objeto vivo y no ser vivo, para evitar el significado que “ser vivo” pueda tener. Objeto
vivo incluye cualquier nivel de organización en los sistemas biológicos, así un objeto vivo puede ser
un individuo, una población, un ecosistema, etc.
35
Rudolf Carnap hace una discusión interesante de esto en el libro “fundamentación lógica de la
física” [Carnap, 1969].
35

espacio y tiempo determinados 36 . El cambio de la diversidad en el tiempo es una
función compleja que involucra tanto interacciones internas entre todos los grupos
(relaciones de alimentación, extinción, aparición de nuevas especies, etc.) que
ocurren en un espacio - tiempo, y factores abióticos (clima, topografía, etc.) del
medio. Construir un modelo de tal tipo es complejo y de hecho nunca ha sido
construido o formalizado 37 . Con un enfoque cuantitativo se intentaría tener valores
o cantidades que describan la dinámica universal de los objetos vivos. Los
sistemas biológicos 38 son sistemas complejos, que involucran una gran cantidad
de variables y relaciones entre variables. Esta complejidad aparente de los
sistemas biológicos dificulta la construcción de modelos con un enfoque
cuantitativo. No nos permite construir fácilmente idealizaciones formales (teorías,
leyes, etc.) para describir fenómenos de objetos vivos. Sin embargo esta tarea no
es imposible.
En resumen, hay dos cuestiones importantes de definir cuando se trabaja con las
ciencias biológicas: la definición de objeto vivo, y cómo estudiar los cambios de
dichos objetos. De hecho la vida artificial trata de hacer construcciones a partir de
estos enfoques, por un lado la creación de entidades vivas artificiales que
sobreviven en un medio cibernético, y por otro lado la simulación de sistemas
biológicos complejos. En este capítulo se hace una discusión sobre el concepto
de vida, para plantear con una definición propia 39 , un concepto universal de
entidad biológica. Luego se describe cómo se estudian los cambios en sistemas
biológicos complejos y cuál es el papel que tienen los autómatas celulares para el
estudio de la dinámica biológica.
3.2 El concepto de Vida.
3.2.1 ¿Qué significa la vida?
Dos corrientes filosóficas importantes han tratado de establecer el significado de la
materia viva, el vitalismo y el mecanicismo [Wuketits, 1995]. Aristóteles,
consciente de las propiedades de los seres vivos en un mundo animado, introdujo
la noción de que los organismos vivos dependen de una función o actividad
interna sin la cual no serían organismos vivos. Esta idea fue la que fundó el
concepto de los vitalistas, quienes piensan que la vida y todas sus expresiones
particulares 40 dependen de agentes independientes que no pueden ser explicados
36
También es posible pensar en la biodiversidad en término de funciones ecológicas, es decir, el
número de funciones que ocurren en un espacio y tiempo particular.
37
Cuando se habla de biodiversidad se mencionan todas las posibles variables involucradas en la
formación y mantenimiento de la diversidad, pero no existe actualmente una ecuación universal de
la diversidad biológica.
38
Un objeto vivo es un sistema biológico. Se utiliza sistema biológico para enmarcar a los objetos
vivos dentro de la teoría de sistemas (en este caso sistemas dinámicos complejos).
39
Del autor de la tesis.
40
Comportamiento, desarrollo, etc.
36

en términos físicos o químicos. A este agente se le llamó “poder vital”. Por otro
lado la corriente mecanicista establece que cada organismo vivo es un sistema
mecánico, una especie de máquina basada en elementos químicos y por ello
puede ser entendida en el marco de la mecánica clásica. Hoy en día la
controversia entre estas dos corrientes ha perdido significado y de hecho son
pocos los que todavía defienden una corriente como la vitalista. La pregunta es
más bien, si es posible explicar los sistemas vivos en términos físicos o químicos
o si existe alguna limitación a este reduccionismo. Era claro de que la visión
mecanicista podía explicar fenómenos biológicos a nivel molecular reduciéndolo a
problemas químicos y físicos, sin embargo a niveles más altos de integración,
estos mecanismos juegan un papel cada vez menor (sino despreciable)
[Mayr,1997]. Los altos niveles de integración poseen características emergentes
producto de la organización. A raíz de esta idea surge un nuevo movimiento
organicista (alrededor de 1920) que supone que las características únicas de los
organismos vivos se debe a su composición y organización. Según esta corriente,
el todo está tan relacionado con las partes, que su existencia se debe a la
cooperación ordenada e interdependencia de la partes; y que el todo controla las
partes. En términos generales se dice “el todo es más que las partes”.
En la biología moderna se han incorporado nuevos argumentos en el intento de
definir los sistemas biológicos: un programa genético, y el concepto de
propiedades emergentes. El programa genético, con el descubrimiento de los
mecanismos del ADN, ha permitido establecer la base molecular de la herencia y
de los procesos de desarrollo de los organismos como base de la corriente
reduccionista 41 . El concepto de emergencia, ha permitido enmarcar los
comportamientos de niveles superiores de organización dentro de programas de
estudio 42 particulares en las ciencias biológicas con un enfoque holístico 43 .
3.2.2 Propiedades de la vida
En la actualidad en las ciencias biológicas se toma como un hecho que los
organismos poseen características fundamentales que los diferencian de la
materia inanimada (que estudian los físicos) [Mayr, 1997]. Los organismos son
sistemas jerárquicamente ordenados con propiedades emergentes que no se
encuentran en la materia inanimada; y sus actividades están gobernadas por
programas genéticos que contienen información adquirida históricamente. Un
organismo según esta perspectiva es una forma de dualismo entre el genotipo 44 y
el fenotipo 45 .
41
Biología molecular y celular, genética, etc.
42
como ecología, comportamiento, etc.
43
Una visión de arriba abajo, partiendo del todo a las partes, en contraposición de la visión
reduccionista que estudia las partes como justificación del todo.
44
Constitución y estructura genética de un individuo que determina sus características hereditarias
45
Carácter físico observable en un individuo, tal y como se manifiesta por la acción combinada de
los genes y de factores ambientales
37

Desde un punto de vista biológico, Mayr sugiere que los siguientes fenómenos
ocurren en los organismos vivos:
� Programas evolucionados: Todo el desarrollo y comportamiento está en parte
controlado por programas genéticos que son el resultado de la información
genética acumulada en millones de años de evolución.
� Propiedades químicas: Las macromoléculas que forman parte de los seres
vivos no se encuentran en la materia inanimada.
� Mecanismos regulatorios: mecanismos de regulación, como retroalimentación,
que mantiene estables a los seres vivos.
� Organización: Los organismos vivos son complejos y ordenados.
� Sistemas teleonómicos 46 : Los sistemas vivos son adaptativos, han sido sujeto
de selección natural por generaciones. Estos sistemas están programados
para actividades teleonómicas (con una finalidad) desde el desarrollo en el
embrión hasta los comportamientos y actividades psicológicas.
� Orden de magnitud limitado: El tamaño de los organismos ocupa un rango
limitado dentro de nuestro planeta. La unidad fundamental de la célula es
pequeña lo que permite gran flexibilidad en el desarrollo y evolución.
� Ciclos de vida: Los organismos vivos cambian de estado varias veces en su
vida.
� Sistemas abiertos: Los organismos obtienen energía y materiales del medio
externo y eliminan productos de su metabolismo al medio. Al ser sistemas
abiertos, estos sistemas no están sujetos a la segunda ley de la
termodinámica.
Estas características le dan la capacidad a los organismos de evolución,
reproducción, crecimiento y diferenciación, metabolismo, autorregulación,
respuesta a estímulos y a cambios a nivel de genotipo y fenotipo.
La mayoría de definiciones de vida son como la anterior, una lista de propiedades
donde se prueban los candidatos para ver si exhiben las propiedades de la lista.
Sin embargo, no existe un acuerdo de cuáles son las propiedades que deben estar
en la lista. Una definición más computacional la hace Thomas S. Ray tratando de
evitar pensar en la vida basada en el carbono [Ray, 1992; 1995]. Su definición
elimina algunos de los características antes mencionadas, limitando la definición a
dos conceptos: auto - replicación y evolución abierta. Según Ray, cualquier objeto
vivo debe auto - replicarse, y evolucionar a estructuras que no son diseñadas o
46
Un proceso o comportamiento que tiene una finalidad concreta debida a la operación de un
programa específico.
38

preconcebidas por un creador. Ray también sugiere que no es necesario que un
objeto vivo exhiba todas las características de la lista, sino que es más importante
establecer si un objeto vivo presenta una instancia genuina de algunas de las
características.
No cabe duda de que la descripción de estas propiedades justifica la autonomía
de las ciencias biológicas, sin embargo esta caracterización refleja la idea de un
ser vivo, tal como la conocemos en nuestro planeta; y no refleja una definición
abstracta que tenga carácter universal 47 . De hecho en la lista todas las
características son consecuencias y no causas de la vida. Esta definición describe
algunas características de los seres vivos que conocemos, pero no plantea de
forma teórica cuándo y cómo un objeto deja de ser inanimado y comienza a tener
vida.
Hay algo que parece ser claro ante nuestros ojos con respecto a la vida, y es que
la materia viva parece hacer algo diferente. Este comportamiento parece no ser
reducible a las leyes físicas comunes, sino contener nuevas leyes fuera de la física
común (que llamaríamos leyes biológicas). El físico Erwin Schrödinger 48 sugiere
que la materia viva tiene la capacidad de persistencia, es decir, puede permanecer
por largos períodos de tiempo antes de decaer. Cuando un sistema no – vivo es
colocado en un ambiente aislado y uniforme, todo el movimiento llega a un
equilibrio estable como resultado de:
1) Varios tipos de fricción.
2) La estabilización de las diferencias en los potenciales químicos y físicos.
3) Las sustancia que tienden a formar un compuesto químico.
4) Cuando la temperatura se hace uniforme por conducción de calor.
5) Un estado permanente es alcanzado donde no hay eventos observables.
Este punto se conoce como el estado de equilibrio termodinámico o de máxima
entropía 49 . Un organismo trata de evitar el decaimiento tratando de procesar la
entropía negativa 50 del medio, para evitar su aumento de entropía [Schrödinger,
1944]. Un cristal al calentarse aumenta su entropía hasta llegar a un desorden
máximo y perder su estructura perfecta de cristal, si el cristal estuviera vivo parte
de la energía del calor se utilizaría para mantener la estructura y por tanto evitar
47 Este es un problema semántico de ser vivo
48 Premio Nobel de física por su trabajo en mecánica ondulatoria
49 La ecuación de Boltzmann de entropía es S=k log D donde k es la constante de Boltzmann
(3.2983 x 10 -24 cal/°C) y D es una medida cuantitativa del desorden atómico del cuerpo en
cuestión. [Shrödinger, 1944]
50 Energía libre. Shrödinger lo llama entropía negativa dado que si D es una medida del desdoren
entonces 1/D es una medida de orden, y el logaritmo de 1/D es igual a menos el logaritmo de D,
por tanto –S = k log (1/D)
39

su aumento de entropía y decaimiento. De la idea de Schrödinger 51 , se
desprenden dos elementos importantes: la persistencia, es decir, los objetos vivos
tienden a ser persistentes en contraste con la materia inerte; y en segundo lugar,
un objeto vivo es un sistema que busca minimizar su entropía (auto - organizarse)
utilizando energía del medio.
La idea de Schrödinger fue desarrollada de forma similar a nivel de poblaciones
varios años antes por A.J. Lotka en 1925. Según Lotka, basado en los principios
de termodinámica, las leyes que gobiernan los cambios de energía, son los
mismos que determinan el estado de la materia viva y que determinan su
evolución [Maurer, 1987]. El definió la evolución como la historia de un sistema
físico que sufre cambios irreversibles en la distribución de materia entre sus
componentes de acuerdo con lo que llamó “Persistencia de formas estables”. La
idea de Lotka se centraba en los procesos energéticos que ocurren en los
sistemas biológicos (con la población como el eje) donde estableció tres
propiedades importantes : a) La energía se pierde debido a los cambios en la
distribución de la materia, b) La energía es necesaria para mantener un estado
estable (homeostasis 52 ) y c) Los cambios de energía que ocurren para el
mantenimiento son el resultado de cambios en la distribución de materia en el
sistema. En resumen, desde el punto de vista de Lotka, un sistema biológico
utiliza energía para optimizar su persistencia en el medio, pero debido a la 2 ley de
la termodinámica 53 , cualquier cambio de energía debe estar acompañado por una
pérdida de energía en el sistema; por tanto la persistencia de un sistema biológico
depende del balance entre su habilidad de usar energía eficientemente para
mantenimiento y su pérdida de energía durante transformaciones inevitables de
materia que ocurren a lo largo del tiempo. Algunos trabajos posteriores sugieren
que la evolución es una consecuencia directa de la segunda ley de la
termodinámica. Dado que cualquier sistema físico tiene propiedades
termodinámicas, los sistemas biológicos como nucleótidos 54 , moléculas de ADN,
células, organismos, poblaciones y ecosistemas pueden ser estudiados
termodinámicamente [Jordan, 1990]. Sin embargo se ha cuestionado esta idea,
dado que la fórmula de Boltzman de entropía, aplica solamente a sistemas
aislados con energía interna fija. Esta condición no es cumplida por los sistemas
naturales que son disipativos 55 . Mientras que el equilibrio de un sistema aislado
se caracteriza por su máxima entropía, el llamado estado – estable de un sistema
dinámico abierto se caracteriza por una entropía mínima [Berry, 1995].
51
El ensayo de Shrödinger, incluyen otros aspectos como la definición de genes como cristales
aperiódicos, el código genético como “code script” , de la estabilidad de los genes, las mutaciones,
y algunos aspectos, etc. de los cuales no nos referiremos en este trabajo.
52
Tendencia de los sistemas biológicos a resistir cambios y permanecer en estado de equilibrio
dinámico.
53
La 2da ley de termodinámica (expresión de entropía) establece que en cualquier proceso, la
energía del universo o aumenta (si el proceso es irreversible) o permanece constante si el proceso
es reversible)
54
Componentes estructurales del ADN.
55
La energía y materiales se disipan por interacción con otros sistemas
40

Wesley [Rietman, 1993; Wesley, 1974], tratando de cuantificar e incorporar
conceptos físicos a la definición de vida, establecen que la vida es una cantidad
descrita por la siguiente función:
⎛ S
L = ⎜
⎜1
−
⎝ S
la vida L toma en cuenta la entropía S, y la relación del flujo de energía R y la masa
M. S i es la entropía de los átomos del organismo en cuestión y S 0 es la entropía
del mismo tipo y cantidad de átomos en una configuración de mínima entropía.
Esta definición es interesante y considera dos aspectos fundamentales en los
organismos vivos: flujo de energía y organización (medido como la entropía).
Una nueva rama de la biología que ha surgido trata de entender los sistemas
biológicos como sistemas complejos adaptativos. Según estas ideas, un sistema
complejo adaptativo posee las siguientes características [Brown, 1995; Burian,
1990; Kauffman 1987]:
1) Sus componentes son muchos y de diferentes tipos.
2) Los componentes interactúan de manera no-lineal y en diferentes escalas de
tiempo y espacio.
3) Los sistemas se organizan para formar diferentes estructuras y
comportamientos complejos.
4) Los sistemas mantienen estados termodinámicos poco comunes por
intercambio de energía y materiales a través de sus membranas con
permaeabilidad diferencial 56 .
5) Alguna forma de información heredable permite la respuesta adaptativa a los
cambios en el medio.
6) Dado que la magnitud y dirección de los cambios están afectados por
condiciones preexistentes la dinámica y estructura de estos sistemas es
irreversible.
Ejemplos de sistemas que corresponden a estas propiedades son el cerebro
humano, ciudades, programas de computadora, etc. Estas propiedades son
interesantes y aplican a un sistemas biológico en cualquier nivel estructural o de
organización.
56
Permeabilidad diferencial significa que el intercambio se da entre materiales específicos y no
todo los materiales del medio.
41
i
0
⎞
⎟
⎠
R
M

3.3 Concepto de Entidad biológica
¿Es posible construir un concepto de vida universal?. Ciertamente es algo difícil
que debe ir más allá de sólo un concepto. En esta tesis se propone que una teoría
biológica es universal, debe ser válida en un dominio que abarque todos los
niveles estructurales de las ciencias biológicas, es decir: a nivel molecular,
organísmico, poblacional y de ecosistema. El concepto de objeto vivo debería ser
aplicable a cualquier nivel estructural, es decir, está vivo tanto el organismo, la
población y el ecosistema; a esta idea la llamaremos entidad biológica. Tratando
de construir una definición de entidad biológica de carácter universal,
consideraremos varios aspectos fundamentales de los sistemas biológicos
ampliamente reconocidos y estudiados:
Persistencia: Quizá una de las propiedades fundamentales principales de los
sistemas biológicos es la persistencia. Esta persistencia se identifica en cada uno
de los niveles estructurales donde el sistema persiste a pesar de que se
sacrifiquen componentes [Reichle, 1980]. El organismo unicelular persiste
aunque se sacrifiquen compuestos químicos, el organismo multicelular persiste
aunque se sacrifiquen células individuales; la población se extiende aunque
perezcan algunos de sus individuos y el ecosistema aunque haya cambios en las
poblaciones que lo componen.
Información: Otro aspecto fundamental es el procesamiento de información. Si la
herencia 57 es posible, entonces cada procesamiento de energía para construcción
debe estar contenido como un algoritmo en algún tipo de estructura. Esta
estructura contiene la información que es interpretada para construir y que
además es copiada en el caso de la reproducción. Con el descubrimiento de la
base molecular 58 de la herencia en 1950, la biología reduccionista sugiere que la
causa de los fenómenos biológicos es la información genética estructurada en un
conjunto de registros ordenados de naturaleza conservativa [Moreno, 1994].
Nuestra idea de información debe ir más allá de la información genética, es decir,
tanto la población como el ecosistema contienen estructuras de información.
Estos niveles de organización, no son abstracciones, sino entidades reales y
mantienen sus propiedades claves (individualidad, heredabilidad, reproducción).
Una población contiene información en la distribución y estado interno de cada
uno de sus individuos, el ecosistema contiene información en el estado y
configuración de las poblaciones que lo forman. Esta información es interpretada
cuando la población o el ecosistema interactúa y es copiada cuando los individuos
se reproducen y cuando las poblaciones se extienden y colonizan otros territorios.
Energía: Los sistemas biológicos son unidades procesadoras de energía [Reichle,
1980]. El procesamiento de energía esta regulado por la disponibilidad de
57 Herencia es la transmisión de información genética de una generación a otra.
58 ADN
42

componentes estructurales y un sustrato estable 59 . En los sistemas biológicos, a
diferencia de la materia inerte, la sustancia que trabaja (componentes
estructurales y de información) es a la vez fuente de energía para sus propias
transformaciones [Ryszkowski, 1980]; por ejemplo, en una población constituida
por individuos de una especie, cada individuo procesa energía y la transforma en
materia para mantenimiento (auto-construcción) o reproducción (auto-replicación).
Esta materia fijada es a su vez fuente de energía para otras poblaciones dentro
del mismo sistema.
Propiedades Emergentes: La idea de propiedades emergentes, es un concepto
aceptado en las ciencias biológicas. Jacob [Jacob, 1973] describe la emergencia
de la siguiente manera: “en cada nivel, las unidades de tamaño bien definido y
con estructura casi idéntica se asocian para formar una unidad de nivel superior.
Cada una de estas unidades está formada por la integración de sub-unidades alos
que se les llama ‘integrón’. Un integrón está formado por un ensamblaje de
integrones de nivel inferior y forma parte en la construcción de integrones de nivel
superior”. Se supone que cada integrón adquiere nuevas categorías particulares
producto de la organización de integrones inferiores. Utilizaremos este mismo
concepto recursivo sobre nuestra definición de entidades biológicas.
La idea de propiedades emergentes fue considerada en un principio como un
concepto de carácter metafísico. Sin embargo, con el desarrollo de la teoría del
caos, las propiedades emergentes son aceptadas como concepto científico. H.
Pattee [Patte, 1989], propone tres niveles de emergencia en un sistema complejo:
emergencia sintáctica, emergencia semántica y emergencia de medidas. En el
primer caso, producto de la interacción de sistemas complejos se producen
estructuras con contenido estable de información; la emergencia semántica surge
cuando las estructuras tiene un sentido funcional dentro de un contexto. El último
nivel de emergencia corresponde al funcionamiento del sistema como una unidad,
y por tanto su comportamiento global es medible.
Estos elementos son suficientes para formular nuestra siguiente definición de
carácter universal sobre los sistemas biológicos:
Entidad Biológica (EB): Una Entidad Biológica es una entidad persistente en
espacio y tiempo, que contiene información para construirse a sí misma utilizando
componentes estructurales de un medio o sustrato, mediante procesos
energéticos (internos o externos). Los componentes estructurales pueden ser
cualquier estructura estable o entidad biológica.
Esta definición no requiere de una realización física especial, es decir, tanto
soporta la idea de organismos basados en carbono como los informáticos (vida
artificial) u otro tipo de forma de vida.
59 En el caso de la Tierra, la energía primaria es la que proviene del sol, y la disponibilidad de
nutrientes esenciales, agua y la variabilidad climática limitan a los sistemas biológicos.
43

A partir de la definición formulamos la siguiente proposición sobre los niveles
estructurales.
Proposición 1 : Los individuos, poblaciones y ecosistemas son entidades
biológicas.
Así por ejemplo, un individuo es una entidad biológica formado por células que son
entidades biológicas y estos a su vez por moléculas que son entidades biológicas.
Es decir cualquier entidad biológica puede funcionar como entidad biológica
autónoma o como parte estructural de otra entidad biológica. Por ejemplo una
célula puede funcionar como componente de un individuo multicelular o como un
individuo dentro de una población unicelular.
Proposición 2 : Toda ley biológica, será aplicable a una entidad biológica, es decir,
a cualquier organismo, población y ecosistema.
Proposición 3 : Una entidad biológica está gobernada por principios biológicos
fundamentales. Muchos de estos principios han sido formulados de manera
formal o empírica y son parte del conocimiento común en las ciencias biológicas.
3.4 En busca de principios fundamentales en entidades biológicas
Toda entidad biológica cumple con los siguientes principios, que denominaremos
principios fundamentales de la biología:
Principio de Emergencia (Organización): Toda entidad biológica es un sistema
organizado estructural y funcionalmente, y representa una unidad. Esta
organización surge como propiedades emergentes. Es decir la entidad biológica
tiene una estructura persistente donde se encuentran las “reglas” de su
funcionamiento. A su vez cada EB interactúa en un medio donde sus estructuras
tiene un sentido funcional. Finalmente una entidad biológica es una unidad, sus
bordes pueden ser continuos o discontinuos. Así una entidad biológica es una
unidad que se encuentra confinada a un espacio (con borde o no) y tiempo
constituido por unidades organizadas estructural y funcionalmente
Principio de auto – replicabilidad (Reproducción): Cualquier objeto capaz de
construirse a sí mismo, es capaz de crear copias iguales en el espacio. La
replicación es una característica necesaria para que la selección pueda operar
[Eigen, 1981]
Principio de Imprecisión (ruido o aleatoriedad): Dado que los componentes
estructurales de cualquier entidad biológica son de naturaleza imprecisa, toda
entidad biológica tendrá comportamientos imprecisos. Un componente es
impreciso cuando cualquiera que sea su función como componente estructural en
una entidad biológica, falle con una probabilidad independiente al objeto del que
44

forma parte. Esta imprecisión es la que ha permitido la producción de variantes en
las entidades vivas que son posteriormente seleccionadas por evolución.
Principio de Evolvabilidad (Evolución - Darwin): Cualquier entidad biológica capaz
de construirse a sí misma y por tanto de auto – replicación (principio de auto –
replicabilidad), tendrá mayor persistencia en espacio y tiempo, si su
funcionamiento impreciso permite la producción de nuevas variantes que sean
favorecidas por las presiones del medio (evolución por selección natural). La
evolución por selección natural es un proceso que ocurre en un medio físico [Ray,
1995]. Mediante la selección en grupos de entidades biológicas la evolución
explora las posibilidades que pueden ocurrir en un sustrato o medio con
propiedades físicas determinadas.
Principio de espacio-tiempo y energía (nicho fundamental - McArtur): Toda entidad
biológica ocurre en un espacio y tiempo en un medio con energía libre. En este
espacio, una entidad biológica requiere de un conjunto de condiciones del medio
para persistir, este conjunto de condiciones se denomina nicho fundamental. Se
puede pensar en el nicho N como un espacio n – dimensional. Si B es un medio 60
y p(N) es un punto en N, entonces para una entidad biológica cada punto pi(B)
corresponde a un punto en N, es decir, cada punto del N tiene una realización en
B. [Hutchinson, 1957]. Es fácil pensar esto para cada nivel estructural. Un
individuo ocupa un espacio y requiere de ciertas condiciones del medio p.e.
recursos alimenticios, refugio, reproducción, etc. Del mismo modo una población
como conjunto requiere ciertas condiciones del medio como topografía, otras
poblaciones, etc.
Principio de competitividad (exclusión competitiva - Gauss-Volterra): Cuando la
intersección de nichos entre dos entidades biológicas ocurre, estas compiten 61 .
Producto de la competencia los nichos se ven modificados y ambas entidades
pueden coexistir o una de ellas será desplazada.
Estos principios operan sobre entidades biológicas y son los responsables de la
dinámica de los sistemas biológicos. Todos estos principios han sido descritos a
nivel de individuo (con excepción de los dos primeros) y nuestra intención es
extender los principios a cualquier nivel de organización. Así por ejemplo la
selección de grupos, la evolución de linajes ventajosos a nivel de grupo y que
pudieran ser desventajosas a nivel de individuo [May, 1975], sería posible no sólo
a nivel de población sino también a nivel de ecosistema.
60
Biotopo, es decir, una región con condiciones relativamente uniformes que permite el
establecimiento de comunidades biológicas.
61
Tratan de desplazar a la otra entidad.
45

3.5 Entidades biológicas artificiales: Vida Artificial
El estudio de sistemas biológicos mediante el uso de conceptos informacionales y
el modelaje computacional se denomina Vida Artificial [Boden, 1996]. Según
Langton [Langton, 1989], la vida artificial es un enfoque sintético, en contraste al
enfoque analítico de los estudios biológicos en general. Las investigaciones en
vida artificial (VA), permiten crear ambientes artificiales controlados, de
complejidad indefinida [Dennett, 1996].
Según Elliot Sober [Sober, 1992], al igual que en inteligencia artificial, existen dos
corrientes en el estudio de la vida artificial:
Vida Artificial Débil VAD (Simulaciones): La intención de la investigación es
resolver problemas de la biología teórica mediante el uso de computadoras, dado
que la solución matemática analítica es intratable. La intención no es la
construcción de entidades biológicas autónomas y persistentes, sino la
construcción de modelos de dinámica que integren a entidades biológicas y que
describan su comportamiento. Dada la irreducibilidad de los sistemas complejos,
la VAD trata de resolver mediante simulaciones, el comportamiento de las
entidades biológicas. En este sentido la computadora es solamente un medio
para la experimentación con entidades biológicas. Por ejemplo, los algoritmos
genéticos, se utilizan para resolver problemas de optimización utilizando una
analogía con el proceso biológico de selección.
Vida Artificial Fuerte VAF: Estudia la posibilidad de vida en una computadora. La
computadora se convierte en el medio de realización de la vida. Un ejemplo es el
sistema Terra de Thomas Ray [Ray, 1992], donde el computador se transforma en
un medio energético para el desarrollo de poblaciones de seres artificiales.
La vida artificial, en cualquiera de sus dos programas de investigación, trata con la
construcción de entidades biológicas artificiales. Los AC son un medio donde se
pueden construir modelos en ambas líneas. El trabajo de von Neumann era
producir vida en el computador, mientras que los trabajos de Wolfram ven a los AC
como herramienta de estudio de la dinámica compleja de cualquier sistema físico
o biológico.
3.6 Dinámica biológica, sistemas de ecuaciones diferenciales y autómatas
celulares
Es aparente que muchas de las leyes de la física que se conocen actualmente se
relacionan con fenómenos comunes. Sin embargo hay muchos sistemas
naturales cuya estructura compleja y comportamiento han desafiado cualquier
análisis, incluso cualitativo. En algunos casos este comportamiento complejo
puede ser simulado numéricamente con sólo algunos pocos componentes, pero
en la mayoría de los casos involucra muchos componentes y un enfoque directo
46

falla [Wolfram, 1983b]. Los sistemas biológicos son sistemas complejos 62 cuya
experimentación en condiciones naturales es prácticamente imposible. Los
métodos tradicionales para modelar sistemas biológicos complejos, involucran
sistemas de ecuaciones diferenciales, sin embargo esto presenta ciertas
limitaciones. Por ejemplo, en muchos modelos (como el mapa logístico de
crecimiento de poblaciones 63 ) es común hablar de la derivada de una variable con
respecto al tamaño de la población N, eliminando el efecto existente en
poblaciones pequeñas y en donde la actividad individual no cuenta. Otra dificultad
radica en la complejidad de soluciones numéricas o analíticas de tales sistemas de
ecuaciones, cuando la cantidad de variables involucradas es alta [Taylor, 1997].
La base matemática para la mayoría de fenómenos naturales es la ecuación
diferencial. Este tipo de ecuación permite establecer las relaciones entre algunas
cantidades y su relación de cambio [Wolfram, 1984c]. La investigación de la
dinámica biológica necesita utilizar estos modelos para poder estudiar las
interacciones múltiples de un amplio grupo de organismos y fenómenos [Jeffers,
1991]. Las entidades biológicas ocurren en un espacio y tiempo, y su dinámica
describe un cambio continuo en el tiempo. Este cambio es no – lineal 64 y en su
forma más simple puede ser descrito por una ecuación diferencial ordinaria 65
(EDO). Otra de las herramientas principales para el estudio de los procesos
espacio temporales de los sistemas biológicos son las ecuaciones diferenciales
parciales (EDP). Las EDP son ventajosas porque pueden incorporar procesos
temporales y espaciales al mismo tiempo, para que las ecuaciones describan la
dinámica global del sistema [Holmes, 1994]. A pesar de que las EDP son bastante
efectivas en modelar la realidad, son más difíciles de resolver que las ecuaciones
diferenciales ordinarias.
Una de las EDO más utilizadas en la biología para describir la dinámica de
crecimiento de cualquier sistemas biológico, es la ecuación logística de
crecimiento:
dN
dt
⎛ N ⎞
= rN⎜1
− ⎟
⎝ K ⎠
62 Un objeto físico es complejo, si contiene información difícil de obtener, es decir, para caracterizar
el objeto son necesarios un número grande de parámetros [Ruelle, 1991]. En términos de
dinámica de sistemas, un sistema es complejo si presenta comportamiento no lineal, gran
retroalimentación y discontinuidad [Jeffers,1991].
dN =
dt
, N es el tamaño de la población y r la razón de crecimiento.
( n)
y = f ( x,
y,
y′
,
( n−1)
, y es lineal cuando
y , y′
,
( n−1)
, y . Es decir la variable dependiente y y sus derivadas
63 rN
64 Se dice que una ecuación diferencial de la forma )
f es una función lineal de
siempre son de primer grado, y cada coeficiente sólo depende de x. De lo contrario no es lineal.
65
Una ecuación diferencial ordinaria, es una ecuación que involucra las derivadas de una función
desconocida de una variable.
47

donde N es el número de entidades biológicas, r es la tasa de crecimiento y K es
el número máximo de entidades que puede soportar el sistema. Esta ecuación
exhibe un espectro de comportamiento dinámico que con un incremento en r va
desde el punto de equilibrio estable, hasta comportamiento caótico [May, 1974,
1976a]. Sin embargo, ecuaciones discretas más simples, análogas a EDO,
muestran el mismo comportamiento, con la ventaja de ser más fáciles de tratar
analítica y numéricamente. En estas formas discretas las derivadas son sustituidas
por las diferencias entre las variables de estado que están contiguas en espacio
y/o tiempo. Así una ecuación análoga a la ecuación logística es de la forma
N = F(
N ) [May, 1976b]. Una de las más utilizadas es:
t+
1 t
N = rN ( 1−
N
t+
1 t t
Cabe notar que esta ecuación tiene algunos comportamientos triviales, en
términos de dinámica de sistemas biológicos, cuando N < 0 ó N >1. Si N > 1, F(N)
tiende a − ∞ . Además F(N) tiene su valor máximo cuando N=0.5, por tanto el
comportamiento es no trivial para r < 4. A pesar de estas restricciones, se ha
demostrado [May, 1976b] que el comportamiento es análogo a la ecuación
logística y tiene el mismo poder de explicación de la dinámica biológica 66 . En el
caso de EDP la construcción de formas discretas es más complicada. Si el
dominio espacial de la ecuación es continuo, este se transforma en un espacio
varias regiones finitas quedando un espacio discreto. Este espacio puede ser un
arreglo o matriz de dimensiones finitas 67 . Si el tiempo es finito, no hay nada más
que hacer, de otra forma es necesario hacer una transformación aproximando las
derivadas del tiempo con un método como el de Euler 68 .
Dado que la experimentación biológica siempre impone limitaciones en espacio y
tiempo, en la mayoría de los casos los datos experimentales serán muestras
discretas del sistema. Si por ejemplo se quiere medir el cambio en la densidad de
población en el tiempo, se harán muestreos finitos en intervalos discretos. Esto
permite que estas formas discretas sean una aproximación simple para la
utilización de datos experimentales reales.
Los AC representan un método alternativo, más que una aproximación de EDP
[Toffoli, 1984b]. Recordemos que un AC es un modelo de sistema dinámico
donde el universo es como un tablero de ajedrez, y donde cada cuadro puede
tener un número finito de estados y avanza en tiempos discretos. Las leyes de
ese universo están determinadas por una tabla de transiciones, en donde cada
celda determina su estado basado en la configuración de vecinos. Este
mecanismo simple es suficiente para soportar toda una jerarquía de estructuras,
66 Otra ecuación análoga que aunque es más complicada presenta menos restricciones es
r(
1−N
t )
Nt
+ 1 Nte
=
67
Por lo general con bordes periódicos (ver capitulo 2)
68
Conocido también como método de pendiente constante. Se subdivide el intervalo de tiempo en
n pasos de dimensión h, y se asume que la pendiente de f(t) es constante en cada paso.
48
)

propiedades y fenómenos (ver capítulo 2). Como se mencionó anteriormente, el
problema fundamental en AC (así como en EDP) el determinar la evolución
temporal de un sistema, lo que generalmente no posee solución analítica. Los AC
tienen suficiente poder de expresión para representar fenómenos de complejidad
arbitraria [Vichniac, 1984]. Los AC son una alternativa fuerte que, dada su
naturaleza discreta, permite la integración numérica exacta, y además los
resultados obtenidos tienen la fuerza de teoremas [Toffoli, 1984a]. Se conjetura
que un sistema de ecuaciones diferenciales parciales es capaz de computación
universal, si existe un autómata celular equivalente que lo sea [Omohundro, 1984].
Como sugiere T. Toffoli [Toffoli, 1984b], para construir un AC a partir de un modelo
descrito por EDP, es necesario cumplir con los siguientes pasos:
1) Espacio y tiempo continuos deben ser sustituidos por arreglos discretos (se
pueden hacer las aproximaciones que se explicaron anteriormente). En el
caso del espacio, un arreglo finito de celdas representa cada punto de un
espacio continuo. El tiempo es sustituido por cambios en intervalos regulares.
2) El estado del sistema 69 debe ser discretizado y restringido a un rango finito.
Por ejemplo en el caso de la ecuación logística, la variable de estado de la
población en el tiempo, es separada en cada uno de los individuos de la
población.
3) Las derivadas son reemplazadas por diferencias en espacio y tiempo
contiguos. Las derivadas se transforman en reglas que toman en cuenta los
vecinos cercanos en el tiempo actual para determinar el estado en la próxima
generación.
Los sistemas biológicos son sistemas complejos y para reproducir su
comportamiento se requiere de procesos computacionales extensivos. Esta es
una consecuencia del hecho de que la evolución de dicho sistema corresponde a
un proceso computacionalmente complejo 70 . De hecho, como se mencionó
anteriormente, la evolución de muchos sistemas complejos es
computacionalmente irreducible, es decir, no es posible hacer predicciones
mediante procedimientos “atajo”, sino por simulación explícita de componentes
[Wolfram, 1986, 1984d, 1985b]. Esto es un problema fundamental, dado que el
interés de analizar un sistema complejo es determinar su evolución temporal y en
general esto no tiene solución analítica en un sistema de ecuaciones
diferenciales 71 (o inclusive en un autómata celular). Es decir, si se quiere saber el
estado general qt que el sistema obtendrá después de t períodods 72 , comenzando
de un estado inicial q0, el único método posible es construir los estado intermedios
q0,...,qt-1, para realizar la integración numérica [Toffoli, 1984a]. Por ello es
69
Variable de estado.
70
Si entendemos a los procesos dinámicos naturales como algoritmos computacionales
71
Intratabilidad matemática.
72
Generaciones o pasos
49

importante reproducir un sistema a partir de sus componentes fundamentales,
para poder simular de forma explícita cada una de las etapas de su evolución
temporal.
Es mucho más sencillo construir un modelo biológico basado en AC, a partir de
datos experimentales, que determinar una EDP que pueda simular con detalles lo
observado en el campo. En este sentido los AC son más que una aproximación
de la realidad biológica y podrían llegar a ser una representación exacta de
fenómenos biológicos. En términos de dinámica física, los AC proveen una
interpretación directa en términos computacionales de la realidad física [Margolus,
1984]. En términos de sistemas biológicos podemos conjeturar lo mismo y, si esto
es cierto, los mundos biológicos artificiales son posibles y cumplirán las mismas
leyes que los mundos biológicos reales.
3.7 Los autómatas celulares como ambiente de experimentación biológica
Las características de los AC descritas en el capítulo 2, muestran que éste
sistema matemático tiene las mismas propiedades que muchos sistemas físicos y
biológicos. Además, los AC son útiles para trabajar con cualquiera de lo enfoques
de VA, es decir, como herramienta de creación de vida en un medio cibernético, y
como herramienta de simulación de procesos biológicos.
Dado que un AC es una forma discreta de un sistema de ecuaciones diferenciales,
es natural pensar que toda dinámica biológica, puede ser descrita por un AC. Las
ventajas de utilizar los AC como ambiente de modelaje biológico son varias:
1) Es fácil interpretar los fenómenos biológicos y traducirlos a un AC.
2) La solución de una simulación con AC es fácil de interpretar en términos
biológicos.
3) Es sencillo crear todas las variantes de una simulación para determinar el
efecto de variables en la dinámica biológica.
4) Es posible hacer simulaciones donde se incorpora el efecto individual de los
componentes del sistema.
5) Una vez construido un AC este se puede acoplar con otro AC para modelar la
interacción de dos sistemas biológicos.
6) La naturaleza gráfica de los AC, permite ver la dinámica en tiempo real al
realizar simulaciones.
7) Los modelos biológicos construidos pueden ser de complejidad arbitraria.
50

8) Es posible realizar todos los procedimientos normales de un proceso de
experimentación de las ciencias biológicas (control, tratamientos, etc.)
9) Las reglas del AC se pueden construir como un reflejo de los fenómenos
observados por experimentación.
10) En términos de enseñanza, los AC son un medio simple para demostrar
diferentes propiedades complejas de los sistemas biológicos.
Todas estas ventajas, hacen de los AC un ambiente ideal de experimentación de
entidades biológicas. Es posible con un AC construir simulaciones que
representan fenómenos de gran escala de espacio y tiempo, que son imposibles
de realizar mediante procesos experimentales reales.
3.8 Comentario Final
En este capítulo se presentan conjeturas que intentan integrar algunos de los
aspectos reconocidos del estudio de los sistemas biológicos, con el fin de
enmarcarlos en una teoría unificada que integre todos los niveles de organización.
Leyes
Generales
Particularidades
Leyes
Generales
Interacción
EB
Propiedades
Emergentes
Figura 23. Integración de niveles de organización biológica, cada entidad
biológica (EB), interactúa con otras entidades, originando ciertas
particularidades, gran cantidad de interacciones entre entidades, produce
leyes generales de comportamiento del sistema. Estas leyes originan
una nueva unidad estructural y de funcionamiento que es una nueva EB
de nivel superior.
51
EB

Esta idea que ha sido desarrollada por el autor, se menciona de forma provisional
en esta tesis, y es motivada en parte por los autómatas celulares. Pareciera que
cualquier AC, puede ser interpretado como un modelo de cualquier nivel de
organización, y esto sugiere cierto carácter universal de las propiedades que se
intentan modelar. Si lo propuesto sobre entidades biológicas tiene validez, cada
nivel de organización biológica, representa una nueva fase del sistema compuesto
por múltiples componentes. Las entidades biológicas, son una definición recursiva
de sistemas biológicos. Como se observa en la Figura 23, una EB interactúa con
otras de su mismo nivel. Producto de esta interacción, comienzan a surgir las
propiedades emergentes (estructural, funcional y de unidad), de aquí surge una
nueva EB, de nivel superior que cumple con las mismas leyes que las unidades
que la componen.
No es el objetivo de este trabajo dar pruebas formales del concepto de entidad
biológica, la intención es la de formular de manera informal una idea que puede
tener algunas implicaciones importantes para la construcción de una teoría
biológica unificada y de carácter universal.
Dentro de este marco de funcionamiento de los sistemas biológicos, los AC son
una herramienta de programación de leyes, donde pueden ser evaluadas las leyes
universales biológicas. Esta sugerencia la hace Stephen Wolfram de la siguiente
forma [Wolfram, 1984e] :
“Las leyes científicas producen algoritmos o procedimientos para determinar cómo
se comporta un sistema. Los AC son un medio en donde estos algoritmos y
procedimientos pueden ser aplicados. Las estructuras físicas y biológicas se
representan como números y símbolos en la computadora, y el programa se
escribe para manipularlos de acuerdo con el algoritmo. Cuando el programa corre,
la manipulación de símbolos y números corresponde a la especificación de la
leyes científicas y por tanto permite que las consecuencias de dichas leyes sean
deducidas.”
Aunque el objetivo principal de esta tesis es la de construir un lenguaje para
especificar autómatas, este capítulo intenta establecer, de forma informal y sin
ninguna prueba concreta, como es posible construir leyes biológicas en un AC. La
idea es que un biólogo (estudiante o investigador) pueda poner a prueba ideas a
través de la construcción de modelos sencillos en un ambiente de modelaje con
AC.
52

4 Descripción Formal del Lenguaje de Autómatas Celulares – FORTH (ACF)
4.1 Introducción
Para construir un ambiente que permita especificar AC son necesarios dos
elementos importantes: 1) Un espacio celular de propósito general 73 , donde se
puedan ejecutar las reglas de un AC, y 2) un lenguaje con el cual se pueda definir
dichas reglas. En esta tesis, y particularmente en este capítulo, se diseña y
plantea formalmente un lenguaje de Autómatas Celulares-FORTH ó ACF, que es
un lenguaje orientado a la especificación de AC. En el capítulo siguiente (capítulo
5) se implementa el lenguaje y se construye una interfaz para su utilización.
ACF provee un ambiente para la programación de AC con un lenguaje simple,
basado en FORTH (ver ANEXO A). FORTH es un lenguaje de programación que
se utiliza en procesos de control [Ahson, 1985]. Este lenguaje fue diseñado para
facilitar la comunicación entre máquinas y seres humanos, utilizando un lenguaje
orientado al manejo de máquinas.[ANS-FORTH, 1993]. Este lenguaje tiene
características de lenguaje de alto nivel como PASCAL y BASIC, pero permite
una estrecha relación a bajo nivel con la máquina. Esta característica hace de
este un lenguaje ideal para la programación de reglas en un AC dado que el
cambio de estado en cada celda del AC es procesado por un autómata de estado
finito (ver capíulo 2) que es una máquina que procesa la información del
vecindario y genera una salida siguiendo instrucciones, la estructura sintáctica de
FORTH, permite desarrollar instrucciones para ser procesadas por el esta
máquina de forma simple y directa . ACF utiliza varios aspectos de FORTH e
incorpora algunas funciones especiales de AC (vecindario planos, etc.) que
facilitan la programación de reglas tanto determinísticas como probabilísticas.
Mediante el lenguaje ACF se especifican el vecindario y las reglas que operan
sobre los estados de cada celda en un AC. Cuando ACF procesa el lenguaje,
construye una tabla de transiciones, incorporando todos los posibles resultados
que se generan a partir de todas las configuraciones del vecindario declarado.
Una vez construida esta tabla, el espacio celular verifica en forma secuencial, para
cada celda, el vecindario y busca en la tabla de transiciones cuál debe ser el
nuevo estado. Esto quiere decir que la regla queda implícita en la tabla de
transiciones.
73
Con propósito general nos referimos a que se puedan utilizar cualquier configuración de vecinos
y de condiciones de periodicidad del espacio.
53

4.2 El Autómata Celular de ACF
Dado que ACF es un lenguaje orientado a AC, las reglas especificadas en el
lenguaje determinan el comportamiento de un espacio celular. De esta forma
existe una integración del mecanismo de construcción de reglas de AC y el
ambiente donde evoluciona el AC.
La estructura del AC en ACF, está basada en las especificaciones de CAM (ver
ANEXO B). CAM es una tarjeta que permite la simulación de AC a traves del
lenguaje FORTH. ACF toma de base el funcionamiento de CAM, pero
implementado de forma completa como “Software” para correr en ambiente
Windows. Además ACF incorpora las estructuras necesarias para construir AC
probabilísticos.
Aquí consideramos el ambiente del AC, que incorpora el espacio celular, el
vecindario y la tabla de transiciones.
4.2.1 Espacio celular A (planos del AC)
ACF consiste en un AC donde el espacio celular se divide en varios planos y
cumple con las siguientes restricciones. Sea A el espacio celular del autómata :
1) A es un conjunto de planos A 0 , , Aα
(Figura 24).
2) Cada plano de A= {Az | 0 ¯ z ¯ α } es un arreglo bi-dimensional de celdas.
3) ax,y,z es el estado de una celda de A en la posición (x,y) y el plano z .
4) Cada celda en A sólo puede estar en dos posibles estados, es decir a ∈ Q
={0,1} con k=2 .
5) A puede tener bordes periódicos o cerrados 74 (ver capítulo 2).
Los planos de A se pueden considerar como espacios celulares independientes (si
se construye una regla que no establezca interacción de un plano con el otro) , o
se pueden utilizar de forma conjunta para lograr mayor cantidad de estados por
celda. Si se consideran todos los planos, es posible construir un AC donde una
1
celda pueda tener
α
estados, en ese caso el valor de estado vendrá dado por:
a
x,
y
=
α
∑
i=
0
a
x,
y,
i
2
i
2 +
Es decir el estado a x,
y es la representación en notación decimal de los valores
binarios de estado del plano 0 al plano α . Así si el estado ax,y,0=0 y ax,y,1=1 ,
Entonces ax,y=2.
74 Estructura toroide o plana ver cap 1
54

4.2.2 Vecindario N
Figura 24 Planos del espacio celular de ACF.
Cuando el AC evoluciona en tiempos discretos, el estado de una celda cambia con
respecto de una función de transición ∆ que toma en cuenta el estado de un
grupo de celdas a su alrededor. Esto ocurre de forma simultánea para cada una
de las celdas a ∈ A, este grupo de celdas es conocido como vecindario. Sea N el
vecindario, N es una especie de ventana o plantilla que se aplica para cada celda
a en A y que obtiene los valores de estado de cada uno de los vecinos de a. N es
una secuencia de posiciones de celda de la forma:
N = ax-r,y-r, ax-r+1,y-r+1, ... , ax,y, ... , ax+r-1,y+r-1, ax+r,y+r
el valor r ∈ � corresponde al rango del vecindario. Sea N= | N | , supongamos que
vi es el valor de estado de celda del elemento i-ésimo de la secuencia N (0 � i �
N-1). W es el “estado de vecindario” de una celda. W se define mediante la
ecuación:
55
Aα
A1
A0
A

W
=
∑ − N 1
i=
0
v
i
2
N −i
En un vecindario con N vecinos con k=2 existen 2 N posibles estados de vecindario
W. w(a) es el estado del vecindario W de la celda a.
4.2.3 Tabla de transciciones ∆
En la construcción las reglas quedan descritas en una tabla de transiciones. Es
decir, al procesar el lenguaje todas las posibles combinaciones de 2 N
configuraciones de N vecinos son procesadas y transformadas en entradas en la
tabla de transiciones ∆ . ∆ es un vector uni-dimensional indexado, de pares
S=�s,p�, donde s ∈ Q y p ∈ � es la probabilidad de cambio de estado a s. El
arreglo ∆ tiene S0,S1,..., 1
2 − N S entradas que corresponden a cada una de las
configuraciones de vecindario W (estado de vecindario). Si por ejemplo N = ax-1,y,,
ax,y , ax+1,y , existirán 2 3 = 8 estados de vecindario posibles. Digamos además que
t+
1 t t t
la regla de cambio de estado corresponde a a x,
y = ( ax−1,
y + ax,
y + ax+
1,
y ) mod 2 . La
tabla de transiciones ∆ para cada W se muestra en el siguiente cuadro:
N
W
56
sW
∆ (W)
pW
000 0 0 0.2
001 1 1 0.3
010 2 1 0.8
011 3 0 0.6
100 4 1 0.8
101 5 0 1
110 6 0 1
111 7 1 0.05
Cuando el AC evoluciona, para cada celda de A obtiene el estado de vecindario W
utilizando la secuencia de vecinos N . W representa una aentrada de ∆ del que se
obtinene el nuevo estado. Si el autómata es probabilístico, antes de determinar el
cambio de estado se genera un número aleatorio γ tal que si γ � pW entonces se
da el cambio de estado o de lo contrario no sucede nada con la celda. (ver sección
siguiente).
4.2.4 Dinámica del autómata de ACF
La actualización de estados de un AC ocurre en paralelo para cada una de las
celdas del arreglo. Sin embargo, en ACF la actualización de las celdas ocurre en
forma secuencial, creando primero una copia A c del espacio celular A para
actualizar los estados en la copia y luego sustituirlos sobre el arreglo original.

Existen ligeras diferencias entre el funcionamiento de un AC determinístico y uno
probabilístico, y por ello se describirán por aparte cada uno de estos.
Autómata Celular Determinístico
Dejemos que c(A), sea la configuración del espacio celular A . utilizaremos c0,
para denotar la configuración inicial de A y ci, i =1,2,3,... � para denotar
configuraciónes sucesivas y c′ para cualquier configuración. Una generación 75
�c� →� c′� del AC determinístico significa que ∀ a ∈ A :
a ∈ A
∆ (w(a)) s
⇒ a′
___________
�a� → � a′�
La notación es la misma que se describe en la sección 4.4, con el juicio adicional
_ s
⇒ _ : W Q (ver descripción de la tabla de transiciones en la sección 4.2.3). Lo
que indica esto es que el cambio de configuración en un paso del AC implica que
para cada celda del arreglo se determine el estado de su vecindario y se calcule
en la tabla de transiciones su nuevo estado.
Autómata Celular Probabilístico
Para el AC probabilístico necesitamos un generador de números aleatorios
Γ → [ 0,
1]
además del juicio _ p
⇒ _ : W �. Una generación �c� →� c′� del AC
probabilístico significa que ∀ a ∈ A :
Caso en que ocurre el cambio de estado:
a ∈ A
∆ (w(a)) p
⇒ p
Γ � p
∆ (w(a)) s
⇒ a′
___________
�a� → � a′�
75 Generalmente en la literatura sobre AC, evoluciona significa los cambios de configuración del
vecindario dada la regla del AC. También se utiliza “corre”, “avanza t generaciones”. Todas estas
se utilizan en este trabajo.
57

Caso en que no hay cambio de estado:
a ∈ A
∆ (w(a)) p
⇒ p
Γ > p
___________
�a� → �a�
4.3 El Lenguaje ACF
El lenguaje que se desarrolla para la especificación de AC, está basado en el
lenguaje FORTH. ACF es un subconjunto de FORTH (para detalles de FORTH
ver ANEXO A), al cual se han agregado palabras y constructores particulares para
especificar AC de forma simple y directa. De FORTH , se toman tres
características: 1) La orientación a pilas, 2) la notación posfija, 3) algunos
aspectos sintácticos.
ACF es un lenguaje compuesto de expresiones, con las cuales se pueden definir
reglas determinísticas o probabilísticas para el AC. Un programa de ACF consta
de tres componentes principales:
1) Declaración de vecinos: esto determina cuál es el vecindario que utilizará la
regla que se define. En términos de un AC esta declaración permite definir el
rango (r) de la regla 76 .
2) Declaración de funciones: Estas funciones pueden ser utilizadas en la
definición de reglas o en otras funciones declaradas posteriormente
3) Especificación de la regla del AC: estas reglas pueden ser determinísticas
(una sola regla) o probabilísticas de dos tipos: independientes de la
configuración de vecinos, o dependientes.
Las variables en el lenguaje representan sitios específicos en un espacio celular y
estas no pueden ser definidas por el usuario, es decir, la asignación de estas es
parte de la construcción de la tabla de transiciones, por parte del procesador del
lenguaje, que contiene todas las combinaciones posibles de vecinos para una
regla.
La sección 4.4 da una descripción formal de la sintaxis y semántica de ACF,
mientras que en 4.5 se da una descripción informal de ACF , para usuarios de la
interfaz de ACF.
76 r representa el rango de acción de la regla, tal como se define en el cap. 1
58

4.4 Semántica Formal del lenguaje ACF
En esta sección se presenta la semántica operacional del lenguaje ACF. EL
comportamiento de ACF se explica mediante reglas estructurales que definen
cómo las expresiones son evaluadas y procesadas por una unidad de control, y
los valores resultado de expresiones almacenados en pila. Las reglas que se
presentan son muy cercanas a la implementación del lenguaje.
Cuando se procesa el lenguaje ACF, el resultado final será la construcción de la
tabla de transiciones ∆ que representa las reglas del AC descrito por el lenguaje.
4.4.1 Aspectos de notación
Para la descripción del lenguaje, se utilizará semántica operacional de pasos
pequeños, es decir, se hace una descripción del significado por pasos de cada
uno de los pasos del procesamiento de una expresión en ACF. Antes de
comenzar, definamos algunos formalismos notacionales utilizados en la
descripción semántica del lenguaje:
1) La notación R : X Y Es una relación R de X y Y. Matemáticamente R es el
subconjunto de X × Y .
2) El símbolo “::=” denota elementos que contiene la metavariable. Por ejemplo:
e::= n | e, denota de que e es una expresión que puede ser un numeral n o otra
expresión e (“|” significa o exclusivo).
3) cuando se encierran elementos en “[ ]” estos pueden ocurrir o no en la
expresión.
4) Las reglas de inferencia se especifican utilizando la siguiente notación:
Premisas
__________________
Conclusiones
5) Un paso operacional “ →”, se define como: →: st st’. Es una función parcial
de estado a estado.
6) La operación Ap(op,v, v′ ) op
⇒ v ′′ donde v, v′ , v ′′ ∈ N, asume que la expresión en
notación posfija “v v′ op” es evaluada en una unidad de operaciones
aritméticas que realiza el cálculo con los operandos v, v′ y el operador op en la
forma correcta y devuelve el valor v ′′
59

7) la expresión dom R denota los elementos X de un conjunto R : X Y
8) (n)2 es el valor n en notación binaria y (n)10 es n en notación decimal. la
expresión (v1v2 ... vk)2 es la notación binaria de un entero con k dígitos binarios; y
(v1v2 ... vk)2 = ( v′ )10 es la notación decimal de k dígitos binarios que se
transforman a v′ en notación decimal.
4.4.2 Categorías Sintácticas
Metavairable Cat. Sintáctica Descricpción
p : Prog Programa
n : Num Numerales n ∈ �
a : Cel Posiciones primitivas de celda en AC
l : Loc Sitios del AC
e : Exp Expresiones
f : Dec Declaraciones de funciones
d : DecN Declaración de vecindario
φ : DecR Declaración de reglas
op : Ope Operadores aritméticos y booleanos (No
hay distinción entre Booleanos y � )
v : Val Valores v ∈ �
id : Id Identificador de Función.
Las metavariables que se utilizan para moverse a través de categorías sintácticas,
pueden estar con primas o con subíndices. por ejemplo v ′ , v′
′ , l0
, etc.
4.4.3 Definiciones
st : Estado Estado
S : Stack Pila de datos
C : Control Memoria de Control
∆ : TransT Tabla de transiciones
N : AmbS Ambiente de Sitios
ρ : AmbF Ambiente de funciones
as : Asoc Asociación
cons : Const Constructores
60

� = Vacío
n,k,u,i ∈ �
α ∈ {0,1,2,3}
1 ≤ m ≤ 12
Funciones Semánticas
ρ : Id Exp
N : Loc {0,1}
Reglas de formación
programa de AC
p ::= d [ f ] rules φ
Localizaciones
a ::= C | N | S | E | W | NE | NW | SE | SW
l ::= a | a+ | aα | aα +
Expresiones y operadores
q::= n | id
op ::= + | - | * | div | mod | > | < | = | and | or | xor
e ::= n | l | e e′ op | e not | e1 ... ek k int | e k bin | e if e′ [else e ′ ] then |
e dup | e e′ swap | e drop | e >Pα | e >PA | e case { q1 ... q� } |
e e′ pcase
Declaraciones
f ::= : id e ;| f f ′
d ::= : vec l1 ... lm ;
61

4.4.4 juicios
φ ::= : [ u prob ] e ;| φ φ′
Computaciones
st ::= �S, N , ρ ,C, ∆ �
S ::= � | v.S
C ::= � | e.C | f.C | d.C | φ .C | p.C | op.C
ρ ::= � | (id, e). ρ
N ::= � | l..N | (l,v). N
∆ ::= � | (v, v′ , v ′′ ). ∆ | α . ∆
nota: El elemento más accesible de la pila S es el contiguo a S.
Evaluación de expresiones: el resultado de evaluar una expresión es un valor
entero.
_ e
⇒ _ : Exp Val
Localizaciones: devuelve el valor de una localización del vecindario
_ l
⇒ _ : Loc {0,1}
Operaciones: Las operaciones toman dos valores enteros y devuelve el resultado
de la operación op
_ op
⇒ _ : Val x Val Val
Base del entero: Convierte la base de un valor entero, en el mismo valor entero
con otra base. Permite convertir de notación binaria a decimal y viceversa.
_ base
⇒ _ : Val Val
Vecindario: Toma el vecindario (ambiente de sitios) y modifica su estado
asignando valores a cada una de las localizaciones de dicho vecindario.
62

_ N
⇒ _ : AmbS AmbS
Procesamiento de transición: Procesa una declaración de reglas con el valor Val y
devuelve una nueva tabla de transiciones con la entrada descrita por Val
modificada con el nuevo estado.
_ φ
⇒ _ : Val x DecR x AmbS TransT
4.4.5 Reglas de Inferencia
Regla de construcción de tabla de transiciones
Inicio
S = �
i = 0
_____________________________________
�S, N , ρ ,φ .C , ∆ � →�i.S, N , ρ , φ .C , ∆ �
Procesamiento de todas las configuraciones de vecinos
i � 2
| N |
N [(i)2 / l l N ] N
⇒ N ′
(i, φ , N ′) φ
⇒ ∆′
0
2
�i.S, N ′, ρ ,C, ∆ � →�(i+1).S, N ′, ρ , φ .C, ∆′ �
____________________________________________________
� i.S, N , ρ ,φ .C, ∆ � →�S, N ′ , ρ φ .C, ∆′ �
63

final
| N |
i > 2
_____________________________________
�i.S, N , ρ ,φ .C , ∆ � →��.S, N , ρ , C, ∆ �
Regla Asignación de vecindario
_______________________________________________
�S,�,�,(: vec l0 ... lm ;).C, ∆ � →�S, lm . ... . l0. N , � , C, ∆ �
Regla Declaración de Funciones
Regla de planos
id ∉dom ρ
___________________________________
�S, N , ρ , (: id e;).C, ∆ � →�S, N , (id,e). ρ , C, ∆ �
u ≠ �
________________________________________________
�i.u.v.S, N , ρ ,(>Pα ).C, ∆ � →�S, N , ρ , C,(i,u,v).α . ∆ �
u = �
_______________________________________________
�i.u.v.S, N , ρ ,(>Pα ).C, ∆ � →�S, N , ρ , C,(i,v).α . ∆ �
Regla de todos los planos
u ≠ �
v� α
2
v ∈ {0,1}
v0,v1, . . . , α
(v)10 ⇒ (v)2 = v α
. . . v1v0
________________________________________________________
�i.u.v.S, N , ρ ,(>PA).C, ∆ � →�S, N , ρ , C,(i,u,v).α . ... .(i,u,v).0. ∆ �
64

u = �
v� α
2
Regla de Operadores
Regla para sitios
Regla para Valores
v ∈ {0,1}
v0,v1, . . . , α
(v)10 ⇒ (v)2 = v α
. . . v1v0
________________________________________________________
�i.u.v.S, N , ρ ,(>PA).C, ∆ � →�S, N , ρ , C,(i,v).α . ... .(i,v).0. ∆ �
Ap(op,v, v′ ) op
⇒ v ′′
__________________________
� v′ .v.S, N , ρ ,op.C, ∆ � →� v ′′ .S, N , ρ ,C, ∆ �
l ∈ dom N
N (l) l
⇒ v
______________________________
�S, N , ρ ,l.C, ∆ � →�v.S, N , ρ ,C, ∆ �
_______________________________
�S, N , ρ ,v.C, ∆ � →�v.S, N , ρ ,C, ∆ �
Reglas de Pila (dup, swap, drop)
_____________________________________
�v.S, N , ρ , dup.C, ∆ � → �v.v.S, N , ρ ,C, ∆ �
_________________________________________
�v’.v.S, N , ρ , swap.C, ∆ � → �v.v’.S, N , ρ ,C, ∆ �
___________________________________
�v.S, N , ρ , drop.C, ∆ � → �S, N , ρ ,C, ∆ �
65

Regla Int
Regla Bin
Regla Not
Regla IF ELSE THEN
v0,v1, . . . ,vk ∈ {0,1}
(vk . . . v1v0)2 base
⇒ (vk . . . v1v0)10 = v′
________________________________
�k.v0.v1. . . . .vk..S, N , ρ , int.C, ∆ � → � v′ .S, N , ρ ,C, ∆ �
v0,v1, . . . ,vk ∈ {0,1}
(v)10 base
⇒ (v)2 = vk . . . v1v0
________________________________
�k.v.S, N , ρ , bin.C, ∆ � → �v0.v1. . . . .vk..S, N , ρ ,C, ∆ �
v≥ 1
________________________
�v.S, N , ρ ,not.C, ∆ � →�0.S, N , ρ ,C, ∆ �
v = 0
________________________
�v.S, N , ρ ,not.C, ∆ � →�1.S, N , ρ ,C, ∆ �
e e
⇒ v
v ≥ 1
________________________
�S, N , ρ ,(if e′ else e ′ then).e.C, ∆ � →�S, N , ρ , e′ .C, ∆ �
66

Regla IF THEN
Regla case
e e
⇒ v
v = 0
________________________
�S, N , ρ , (if e′ else e ′ then).e.C, ∆ � →�S, N , ρ , e ′ .C, ∆ �
e e
⇒ v
v ≥ 1
________________________
�S, N , ρ ,(if e′ then).e.C, ∆ � →�S, N , ρ , e′ .C, ∆ �
e e
⇒ v
v = 0
________________________
�S, N , ρ , (if e′ then).e.C, ∆ � →�S, N , ρ ,C, ∆ �
i ∈ {0 , ... , k}
qi ∉dom ρ
___________________________________
�i.S, N , ρ , (case{q0 q1 ... qk}).C, ∆ � →�qi.S, N , ρ ,C, ∆ �
i ∈ {0 , ... , k}
qi ∈ dom ρ
ρ (qi) ⇒ e
___________________________________
�i.S, N , ρ , (case{q0 q1 ... qk}).C, ∆ � →�S, N , ρ ,e.C, ∆ �
Regla de llamado de Funciones
id ∈ dom ρ
ρ (id)⇒ e
______________________
�S, N , ρ ,id.C, ∆ � →�S, N , ρ ,e.C, ∆ �
67

4.5 Descripción Informal de ACF
El AC de ACF son 5 planos cada uno con un arreglo de 300 x 300 celdas, donde
cada celda sólo puede tomar dos valores posibles: 1 y 0. Cada celda representa
una localización ubicada en alguno de los 5 planos, así por ejemplo C1 representa
la celda central en el plano 1 (ver sección 4.5.6). ACF al procesar una regla
especificada por el lenguaje de ACF, construye una tabla de transiciones donde se
calcula el nuevo estado de una celda central en cualquiera de las posibles
configuraciones de vecinos. Por ejemplo, consideremos el código en lenguaje
ACF de la siguiente regla simple: si la celda izquierda y central tienen un valor de
0, entonces la celda central permanecerá como 0; de lo contrario cambiará a 1:
:vec W C;
rules
: W C or >P0;
La primera línea establece cuál va a ser el vecindario que va autilizar el AC, la
segunda línea establece que a continuación se especifican las reglas y la úitlima
línea es la regla. W y C corresponden a localizaciones en el AC (ver sección
4.5.6) y >P0 corresponde a la asignación de planos. Esta regla dice simplemente
que se aplica el operador lógico or a los valores de las localizaciones de W y C. Al
procesar esta regla, ACF construye la tabla de transiciones siguiente:
W C W C or
1 1 1
1 0 1
0 1 1
0 0 0
Que representan la 4 posibilidades con dos vecinos. En la tercera línea la palabra
>P0 significa que el resultado es colocado en la celda central del plano 0 (esto se
explica en la sección 4.5.14). En cada iteración del espacio celular, a cada celda
del arreglo se le aplica la regla especificada, es decir, ve el valor que tiene la celda
izquierda, el valor propio y busca en la tabla de transiciones para determinar el
nuevo estado. Esta regla propaga cualquier celda que se encuentre en estado 1
en el plano 0, hacia la derecha.
En otras palabras, al compilar la regla especificada con el lenguaje ACF, se
construye la tabla de transiciones de estado para cada una de las posibles
configuraciones de vecinos (Figura 25). Al evolucionar el AC, cada celda del AC
junto con su vecindario busca su nuevo estado en la tabla.
68

Código en ACF de la regla
: vec C N S W E ;
rules
: C N S W E xor xor xor xor >P0 ;
Compilación
Tabla de transiciones
E W S N C P0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 1
.
.
.
.
.
.
1 1 1 1 1 0
Figura 25 Procesamiento del lenguaje ACF.
Al especificar una regla de AC en el lenguaje ACF el código debe contener las
siguientes partes:
1) Declaración de vecindario.
2) Declaración de funciones (opcional).
3) Especificación de la regla.
Para cada celda y su vecindario,
se busca la posición en la tabla
Evoluación
del AC
Se coloca el valor de
nuevo estado de la tabla
Antes de describir en detalle cada una de estas partes (secciones 4.5.12, 4.5.13 y
4.5.15), se hará una descripción de las características principales del lenguaje.
69

4.5.1 Palabras reservadas
ACF contiene las siguientes palabras reservadas:
Bloques
Expresiones Condicionales
Asignación de planos
: (dos puntos) Inicio de bloque
; (punto y coma) Final de Bloque
vec declaración de vecinos
rules Indica el inicio de especificación de reglas
if then expresión1 if expresión2 then
if else then expresión1 if expresión2 else expresión3 then
case { } expresión1 case { v1 [ v2 ......] } v puede ser
un llamado a función o un valor entero
>Pα expresión >Pα . Coloca el resultado de la
expresión en la celda central del plano α .
α ={0,1,2,3,4}
>PA expresión >PA . Toma el entero, resultado
de la expresión y coloca el primer dígito de
la forma binaria, en el plano 0 y el segundo
en el plano 1 y así sucesivamente hasta el
plano 4
70

Pila
Operadores Aritméticos
dup dup. duplica el valor tope de la pila
swap swap invierte la posición del primero y
segundo elemento de la pila
drop drop elimina el primer elemento de la pila
int expresión1 ... expresiónk k int. toma el valor
k y los valores de k expresiones anteriores y
los transforma en un entero
div expresión1 expresión2 div. calcula la división
de enteros de la expresión1 entre expresión2
mod expresión1 expresión2 mod. calcula el
residuo de la división de la expresión1 entre
expresión2
min expresión1 expresión2 min. devuelve el
valor menor entre la expresión1 y
expresión2
max expresión1 expresión2 max. devuelve el
valor mayor entre la expresión1 y
expresión2
bin expresión1 k bin. toma el resultado entero de
la expresión1 y coloca en la pila los k
primeros dígitos menos significativos en
notación binaria de dicho entero.
* expresión1 expresión2 *. multiplica
expresión1 por expresión2
- expresión1 expresión2 -. sustrae expresión1
menos expresión2
+ expresión1 expresión2 +. suma expresión1
más expresión2
71

Operadores Lógicos
not expresión not . si el resultado de la expresión
es 0 retorna 1, de lo contrario 0
and expresión1 expresión2 and. Si el resultado
de ambas expresiones es mayor que 1
entonces el resultado es 1, de lo contrario es
0.
or expresión1 expresión2 or. Si el resultado de
ambas expresiones es 0 entonces el resultado
es 0, de lo contrario es 1.
xor expresión1 expresión2 xor.
> expresión1 expresión2 > . El resultado es 1
si la expresión1 da un resultado mayor que la
expresión2
< expresión1 expresión2 < . El resultado es 1
si la expresión1 da un resultado menor que la
expresión2
>= expresión1 expresión2 >=. El resultado es 1
si la expresión1 da un resultado mayor o
igual a la expresión2

4.5.2 Notación Posfija
ACF utiliza notación posfija. En notación posfija, los operadores aritméticos y
lógicos se colocan después de los operandos. Así la operación en notación infija
(2 + 3)*2 se convierte en notación posfija 2 3 + 2 *. Nótese que en este tipo de
notación los paréntesis no son necesarios. Algunos ejemplos comparados con
notación infija se muestran a continuación:
4.5.3 La Pila
Notación Infija Notación ACF
(posfija)
((2+4) div (3 *4)) mod 5 2 4 + 3 4 * div 5 mod
(1 or 0) and (not 1) 1 0 or 1 not and
Una pila es un grupo ordenado de elementos del mismo tipo. Al agregar
elementos a la pila, sólo se pueden agregar en el tope y al quitarlos, solamente se
pueden sacar del tope. En el caso de ACF existe una pila de números enteros
que procesa las expresiones. Si la unidad de control encuentra un número, esta lo
colocará en el tope de la pila (push), y si encuentra un operador sacará uno o dos
valores de la pila (pop), dependiendo del operador, aplicará la operación y
almacenará la información en el tope de la pila. Ej.:
Expresión: 1 0 or 1 not and :
Valor leído Operación que se realiza Pila
... ... ...
1 Push 1 1...
0 Push 0 1 0 ...
or 1 or 0 = 1 1...
1 Push 1 1 1 ...
not not 1 = 0, push 0 1 0 ...
and 1 and 0 = 0, push 0 0 ...
73

Expresión: 2 3 * 3 5 4 + + div
Valor leído Operación que se realiza Pila
... ... ...
2 Push 2 2 ...
3 Push 3 2 3 ...
* 2 * 3 = 6 , push 6 6 ...
3 Push 3 6 3 ...
5 Push 5 6 3 5 ...
4 Push 4 6 3 5 4
...
+ 5 + 4 = 9, push 9 6 3 9 ...
+ 3 + 9 = 12, push 12 6 12 ...
div 6 div 12 = 0 , push 0 0...
4.5.4 Valores Númericos y Valores Lógicos
ACF opera solamente con números enteros, entonces cualquier valor numérico,
pertenece al conjunto de enteros. Los valores lógicos “verdadero” y “falso”, son
interpretados como 1 y 0 respectivamente. Si se aplica un operador lógico sobre
valores enteros mayores que 1, éstos serán interpretados como verdaderos, así
por ejemplo:
4.5.5 Localizaciones
Expresión Resultado en Pila
2 3 or 1
4 0 and 0
2 1 and 1
Las localizaciones corresponden a sitios en el vecindario de un autómata celular.
En ACF estas son variables (no asignables) que toman valores de 0 o 1,
dependiendo del estado de la configuración de vecinos. ACF procesa la regla y
crea la tabla de transiciones asignando para cada configuración posible los valores
del vecindario y calculando, según la regla especificada, el resultado que se
asigna a la celda central en cualquiera de sus planos.
74

Las localizaciones son:
Localización Posición con respecto a la
celda central
C celda central
N norte
S sur
E este
W oeste
NE noreste
NW noroeste
SE sureste
SW suroeste
Además, a cada una de estas localizaciones, se le puede agregar sufijos, que
indican el plano sobre el cual serán aplicados {0,1,2,3,4}, o si se refieren al vecino
siguiente del más cercano {+}. Por ejemplo, el vecino superior al vecino Norte en
el plano 1 de la celda central corresponde a N1+, y el vecino norte en el plano 0
es N, el vecino superior del vecino norte en el plano 0 es N+.
4.5.6 Expresiones
Las expresiones son cualquier número, localización, o combinación de números y
localizaciones con operadores (aritméticos, lógicos, binarios, de pila), sentencias
if, o sentencias case. Una expresión, al ser evaluada, siempre devuelve un valor
que queda en el tope de la pila. Los siguientes son ejemplos de expresiones:
� 2
� 2 3 +
� 1 0 xor
� 3 1 + 5 6 * or
� 8sum case { 0 0 0 1 1 0 0 0 }
� C 0 = if C N + else C then
4.5.7 Expresiones Aritméticas y Lógicas
ACF opera solamente con valores enteros, por tanto las operaciones aritméticas y
lógicas aplican solamente a este tipo de valores. Las operaciones lógicas que se
aplican son or, and, xor, =, , =, not y las aritméticas +, - , *, div, mod, max y
min. Los operadores se escriben de la siguiente manera:
expresión1 expresión2 Operador
75

Ej.: 2 3 + , 4 3 * , 3 2 div, etc.
El resultado de aplicar operadores lógicos and, or, xor y not; se muestra en el
siguiente cuadro:
p q p and q p or q p xor q not p
1 1 1 1 0 0
1 0 0 1 1 0
0 1 0 1 1 1
0 0 0 0 0 1
4.5.8 Operadores de números binarios
Los operadores de números binarios int y bin, permiten conversión de notación
decimal a binario y viceversa. Ej.:
Expresión : 1 1 0 1 4 int
Expresión : 13 3 bin
Valor leído Operación que se realiza Pila
1 Push 1 1...
1 Push 1 1 1 ...
0 Push 0 1 1 0 ...
1 Push 1 1 1 0 1 ...
4 Push 4 1 1 0 1 4 ...
int 1*2 0 +0*2 1 +1*2 2 +1*2 3 = 13
push 13 13 ...
Valor leído Operación que se realiza Pila
13 push 13 13...
3 push 3 13 3 ...
bin 1310=...
1*2 2 , push 1
0*2 1 , push 0
1*2 0 , push 1
76
1 ...
1 0 ...
1 0 1 ...

4.5.9 Operadores de Pila
Los operadores dup, drop, swap; cambian el estado de la pila. Ej.
Expresión: 1 2 + dup
Expresión: 1 2 drop
Expresión: 1 2 swap
Valor leído Operación que se realiza Pila
1 push 1 1 ...
2 push 2 1 2 ...
+ 1 + 2 , push 3 3 ...
dup pop
push 3
push 3
77
...
3 ...
3 3 ...
Valor leído Operación que se realiza Pila
1 push 1 1 ...
2 push 2 1 2 ...
drop pop 1 ...
Valor leído Operación que se realiza Pila
1 push 1 1 ...
2 push 2 1 2 ...
swap pop
pop
push 2
push 1
4.5.10 Expresiones Condicionales if else then.
1 ...
...
2 ...
2 1 ...
Las expresiones condicionales, if then, if else then; son evaluadas de la siguiente
manera:
La expresión if then:
expresión1 if expresión2 then
Si al evaluar la expresión1, queda un valor de 1 o mayor, se evalua la expresión2, de
lo contrario, no sucede nada. Ej.:
Expresión: 2 C if 1 + then 2 +

caso C=1
Valor leído Operación que se realiza Pila
2 push 2 2 ...
C C = 1
push 1
78
2 1 ...
if 1 � 1 = verdadero 2 ...
1 push 1 2 1 ...
+ 2 + 1 = 3
push 3 3 ...
2 push 2 3 2 ...
+ 3 + 2 = 5
push 5
5 ...
Caso C=0
Valor leído Operación que se realiza Pila
2 push 2 2 ...
C C = 1
En la expresión if else then:
push 1
2 1 ...
if 0 � 1 = falso 2 ...
2 push 2 2 2 ...
+ 2 + 2 = 4
push 4 4 ...
expresión1 if expresión2 else expresión3 then
Si al evaluar la expresión1, queda un valor de 1 o mayor, se evalua la expresión2, de
lo contrario, se evalua expresión3.
Expresión: 2 C if 1 + else 3 + then 2 +
caso C=1
Valor leído Operación que se realiza Pila
2 push 2 2 ...
C C = 1
push 1
2 1 ...
if 1 � 1 = verdadero 2 ...
1 push 1 2 1 ...
+ 2 + 1 = 3
push 3 3 ...
2 push 2 3 2 ...
+ 3 + 2 = 5
push 5
5 ...

caso C=0
Valor leído Operación que se realiza Pila
2 push 2 2 ...
C C = 1
push 1
79
2 1 ...
if 0 � 1 = falso 2 ...
3 push 3 2 3 ...
+ 2 + 3 = 5
push 5 5 ...
2 push 2 5 2 ...
+ 5 + 2 = 7
push 7
4.5.11 Expresión Condicional Case
La expresión case toma el valor de la pila y lo utiliza como índice para seleccionar
el elemento de la lista del case, la sintaxis es:
expresión1 case { v1 [ v2 ...] }
El valor v puede ser un valor entero o un llamado a función. Supongamos que en
la siguiente expresión C =1 y N =0, entonces la expresión (suponga que la función
suma retorna el valor 3 en la pila):
Expresión: C N 2 int case { 0 1 suma 0 } 2 +
7 ...
Valor leído Operación que se realiza Pila
C C= 1
push 1 2 1 ...
N N = 0
push 0 2 1 0 ...
2 push 2 2 1 0 2 ...
int pop
0*2 0 +1*2 1 2 1 0 ...
= 2 2 ...
push 2 2 2 ...
case pop
2 ...
función suma 2 3 ...
+ 2 + 3 = 5
push 5 5 ...
Note que en el ejemplo, suma corresponde a la posición 2 del case contando
desde 0. Las declaraciones y llamados de funciones se explicarán en la sección
4.5.13.

4.5.12 Declaración de Vecindario
Esta siempre estará al inicio de un programa de ACF y tiene la siguiente sintaxis
: vec lista de localizaciones ;
la lista de localizaciones puede ser cualquiera de la localizaciones explicadas en la
sección 4.5.5. Ej.: el vecindario de von Neumann de 5 vecinos es:
: vec C N S E W ;
Para el caso del vecindario de Moore, con 9 vecinos:
: vec C N S E W NE NW SE SW ;
La declaración del vecindario, determina el número de entradas en la tabla de
transición, además del orden en que serán revisados los vecinos cuando el AC
esté corriendo.
4.5.13 Funciones
Las funciones deben ser declaradas después de la declaración de vecinos y antes
de especificar las reglas en un programa de ACF (que inician con la palabra rules).
Las funciones pueden tomar valores de la pila como parámetros, y el valor
resultado siempre se colocará en el tope de la pila. La sintaxis es:
: vec lista de localizaciones;
: nombre_función1 expresión ;
: nombre_función2 expresión ;
.
.
: nombre_funciónn expresión ;
rules
Toda función debe comenzar con un nombre de función cualquiera, que no
contenga espacios y que no sea alguna palabra reservada. Si una función es
declarada con el mismo nombre, la primera declaración prevalecerá. No hay
estructura de bloques y las funciones no se anidan sintácticamente. Para invocar
una función basta con llamarla por su nombre en el cuerpo de una expresión. Ej. :
Consideremos las siguientes declaraciones de funciones :
: cuadrado dup *;
: suma_al_cuadrado C N + cuadrado;
80

Consideremos ahora que C = 1 y N = 1, entonces consideremos la siguiente
expresión que hace un llamado a suma_al_cuadrado:
Expresión: 2 suma_al_cuadrado +
Valor leído Operación que se realiza Pila
2 push 2 2 ...
suma_al_cuadrado llamado a función
suma_al_cuadrado
2 ...
C C = 1
push 1 2 1 ...
N N = 1
push 1 2 1 1 ...
+ 1 + 1 = 2 2 ...
push 2 2 2 ...
cuadrado llamado a función
cuadrado
2 2 ...
dup pop 2 ...
push 2 2 2 ...
push 2 2 2 2 ...
* 2 * 2 = 4 2 ...
push 4 2 4 ...
fin de cuadrado 2 4 ..
fin de
suma_al_cuadrado
2 4 ...
+ 2 + 4 = 6 ...
push 6 6 ...
Nótese que la función cuadrado utiliza el primer elemento de la pila que es pasado
por la función suma_al_cuadrado.
4.5.14 Asignación de planos
La asignación de planos, indica que el resultado de la expresión evaluada debe
ser colocado en la celda central de uno de los planos del AC. La forma de asignar
planos es la siguiente:
expresion >Pα
donde α es un valor entre 0 y 4. Si por ejemplo α es 1 entonces >P1 indica que
el resultado de la expresión a evaluar debe ser colocado en el plano 1. Toda regla
construida con ACF debe indicar mediante asignación de planos, qué hacer con el
resultado, de lo contrario al compilar la regla, el resultado siempre será 0.
81

Recuerde que una celda en un plano sólo uede tener estado 0 y 1, por tanto si se
asigna un valor mayor que 1 este se colocará como 1. Si usted desea colocar un
valor mayor que 1 en todos los planos, entonces utilice >PA. >PA convierte el
valor entero producto de la expresión a notación binaria y coloca cada uno de los
dígitos binarios en cada plano de ACF. La cifra menos significativa del número
binario corresponde al plano 0. Esto permite asignar todos los planos de manera
rápida y sin escribir tanto código. Veamos por ejemplo las siguientes funciones
equivalentes:
SinUtilizar >PA Utilizando >PA
:3 2 bin >P0 >P1; : 3 >PA ;
Al asignar planos con >PA no es necesario convertir explícitamente el valor entero
3 a binario; dado que >PA lo hace implícitamente.
4.5.15 Programas de ACF
Como se mencionó al inicio de este capítulo un programa de ACF especifica una
reglas de funcionamiento del AC. Utilicemos el ejemplo de la regla del juego de la
vida:
: vec C N S E W NE NW SE SW ;
: 8sum N S E W NE NW SE SW + + + + + + + ;
rules
: C 0 = if
8sum case { 0 0 0 1 0 0 0 0 0 }
else
8sum case { 0 0 1 1 0 0 0 0 0 }
then >P0 ;
La primera línea en ACF siempre debe ser la declaración de vecindario. Esto
permite al compilador determinar el número de posibilidades en la tabla de
transiciones que deben ser calculadas, y el orden en que se lee el vecindario. En
el caso del juego de la vida, se especifica un vecindario de 9 vecinos (4
ortogonales, 4 esquinas y la celda central). En la segunda línea se declara una
función llamada “8sum” esta toma los 8 vecinos de la celda central y los suma,
colocando el resultado de la suma en la pila. Esta función es invocada en el
cuerpo del programa, donde se establecen las reglas del juego de la vida.
82
Declaración de vecindario
Declaración de funciones
Reglas del AC (cuerpo del
programa)

4.5.16 Reglas probabilísticas
El lenguaje ACF provee dos posibilidades de construir reglas probabilísticas:
expresión1 expresión2 expresión3 pcase
pcase permite que la expresión1 se ejecuta con probabilidad expresión2 / expresión3. Si
no ocurre la expresión1, entonces, al asignar el plano, la celda no cambiará de
estado. Veamos el ejemplo:
:vec C N S E W;
rules
: C N S E W + + + + dup 5 pcase >PA;
La regla hace primero una suma de las celdas C,N,S,E,W; y luego duplica el
resultado de la pila. pcase toma la copia del resultado de la suma lo divide entre 5,
estableciendo varias posibilidades, dependiendo del resultado de la suma, es
decir:
C N S E W + + + + pcase (probabilidad de ocurrencia)
1 1 / 5 = 0.2
2 2 / 5 = 0.4
3 3 / 5 = 0.6
4 4 / 5 = 0.8
5 5 / 5 = 1
Esto quiere decir que: si la suma de vecinos es 1 entonces se asigna 1 con
probabilidad de 0.2 y no cambia con probabilidad de 0.8 (1-0.2); si la suma es 2
entonces se asigna 2 con probabilidad 0.4 y no cambia con 0.6, y así
sucesivamente.
La otra posibilidad es:
: v prob expresión1 ;
Esta probabilidad se asigna a todo el cuerpo de la regla, por ello es necesario
definir dos o más reglas de la siguiente forma:
rules
: v1 prob expresión1 ;
: v2 prob expresión2 ;
83

...
: vn prob expresiónn ;
Esto indica que la expresiónj (1� j � n) ocurrirá con probabilidad
En el caso de utilizar prob, se pueden establecer la probabilidad de ocurrir
diferentes reglas dentro del mismo AC. En el caso de utilizar pcase, se establece la
probabilidad de ocurrir un caso particular dentro de la misma regla.
4.5.17 Comentarios en ACF
Los comentarios se escriben entre “/*” y “*/”. Cualquier texto entre estos
marcadores será ignorado por el compilador. Ej:
/* Parity. regla propuesta por Fredkin
Es el AC con capacidad de auto-replicación más simple */
: vec C N S W E ;
rules
: C N S W E xor xor xor xor >P0 ;
4.6 Comentario Final
SI bien la descripción semántica formal de un lenguaje es un terreno difícil, su
formalización permite su rápida implementación. Cualquier persona familiarizada
con este tipo de descripción de lenguaje, puede utilizarla para implementar su
propia versión del procesador del lenguaje y definir su propio ambiente de
especificación de AC. Por otro lado, la descripción informal, permite a un usuario
familiarizarse con las posibilidades de este lenguaje para especificar AC.
A partir de esta descripción semántica y sintáctica, se implementó un procesador
de lenguaje y un ambiente para trabajar con AC. Esta implementación se describe
en el capítulo siguiente.
84
v
n
∑
i=
1
j
v
i

5 Autómata Celular-FORTH para Windows (ACFw)
5.1 Introducción
A partir de la descripción semántica y sintáctica de ACF (descrita en el capítulo 4),
se implementó, como parte de la tesis, un procesador del lenguaje ACF y una
interfaz que permite modelar AC. Esta implementación se denomina ACFw
(Autómata Celular-FORTH para Windows). ACFw es un programa para Windows,
que permite la construcción de AC mediante el lenguaje ACF. Este ambiente de
AC permite realizar varias funciones para el diseño y análisis de AC, algunos de
los cuales son:
� Programación de AC determinísticos de 1 ó 2 dimensiones.
� Programación de AC probabilísticos de 1 ó 2 dimensiones.
� Evolución visual de AC.
� Establecer diferentes configuraciones iniciales para AC.
� Grabar resultados de AC
� Utilizar máscaras gráficas como configuración inicial del AC.
� Aplicar métodos estadísticos para analizar la evolución de AC.
En este capítulo se hace una descripción general de la programación de ACFw,
posteriormente se explica el funcionamiento del programa con sus comandos para
finalizar con la explicación de 4 ejemplos.
5.2 Programación de ACFw
ACFw 77 fue programado en Delphi 3.0. Delphi es un ambiente de programación
orientado a objetos para el desarrollo rápido de aplicaciones de propósito general
o de programas más sofisticados de manejo de datos. El compilador de Delphi
permite crear ejecutables auto-contenidos (archivos EXE), esto incrementa su
eficiencia en comparación con lenguajes interpretados y permite que la aplicación
final no dependa de ninguna librería especial (DLL). [Borland, 1997]
La programación de ACFw consistió en la construcción de tres objetos importantes
y la interfaz:
� El compilador del lenguaje ACF (TCompilador)
� El Autómata Celular (TAC)
� El generador de números aleatorios (TRandom)
� Interfaz en Windows de ACFw.
77 Es importante distinguir entre tres abreviaciones utilizadas hasta ahora: AC = autómata celular
ACF = Lenguaje para especificar autómatas celulares y ACFw = interfaz en Windows que procesa
el lenguaje ACF y ejecuta el autómata celular.
85

5.2.1 Objeto Compilador (Tcompilador)
El objeto TCompilador contiene los siguientes objetos:
1) TVecinos: Lista de vecinos (Vecindario de AC)
2) TparseTree: árbol de expresiones.
3) TTransTable: Tabla de transiciones. Esta tabla es un vector donde se
almacenan todos los resultados de evaluar el árbol de expresión con todas las
posibles combinaciones de vecinos.
Al crear el objeto, se construye el árbol de expresiones (TParseTree) y la lista de
vecinos (Tvecinos) a partir de una secuencia de caracteres, que representan un
programa en lenguaje ACF (lenguaje fuente). TCompilador tiene un método
llamado “Compile”, que construye la tabla de transiciones (programa meta)
TTransTable evaluando en TParseTree todas las posibles configuraciones de dos
estados de los elementos del objeto Tvecinos (Figura 26)
Lenguaje
ACF
TCompiler
Errores
Figura 26 Proceso de compilación de TCompiler
Tcompilador levanta dos tipos de excepciones: errores sintácticos y errores de
construcción de tabla. En el primer caso al ocurrir un error retorna un mensaje de
error, y en el segundo, el error marca la posición en TparseTree donde ocurrieron.
5.2.2 Objeto autómata Celular (TAC)
El objeto TAC contiene todos los elementos que forman parte de un AC, esto
incluye componentes de almacenamiento de celdas, despliegue de celdas,
transición de estados y modificaciones del espacio celular. Los principales objetos
que componen al TAC son:
1) TAClattice: representado por un arreglo de enteros de 16bits de 300x300
celdas. Los primeros 5 bits representan 5 planos del AC, una celda en cada
86
Tabla de
transiciones
del AC

plano es de 1bit y por tanto puede soportar dos estados por celda por plano.
En total, los 5 bits permiten 32 estados. Los 11bits restantes se utilizan como
“Buffers” para pasar de una configuración a otra en el AC y para algunas
operaciones adicionales.
2) TACdisplay: Este es un objeto gráfico en donde se pintan todas las celdas del
TAClattice. TACDisplay permite el cambio de paleta de colores y la
transformación de bitmap a estados del TAClattice.
3) TTransTable : Esta estructura es la misma que está contenida en TCompiler, y
contiene las transiciones de estado para una celda con una configuración de
vecinos determinada.
4) TVecinos: Eta es la misma estructura contenida en TCompiler. TVecinos
contiene el vecindario que debe ser revisado para cada celda para determinar
su nuevo estado en TTransTable.
El objeto TAC utiliza en objeto TCompiler para construir la tabla de transiciones a
partir del lenguaje ACF. En la Figura 27, se observa el proceso de compilación
para la tabla de transiciones de TAC.
Código en
ACF
Código en ACF
TCompiler
� ∆
� N
TAC
TTransTable = ∅
TVecinos = ∅
Figura 27 Proceso de construcción de la tabla de transiciones a partir de
código escrito en ACF.
Una vez que TAC contiene una tabla de transiciones después de compilar un
código escrito en ACF, es posible llamar diferentes métodos de TAC, como
“Evolve” que hace evolucionar el AC por un número de generaciones especificado.
Esta ejecución del AC se hace como un hilo de ejecución independiente,
permitiendo que las demás operaciones del sistema continúen funcionando.
Además TAC permite detener la evolución AC en cualquier momento.
87
TAC
TTransTable = ∆
TVecinos = N

5.2.3 Objeto Números Aleatorios (TRandom)
El objeto TRandom genera números aleatorios con un AC elemental. Consiste en
un entero de 64 bits que sirve de arreglo del AC y aplica la regla 30 de Wolfram.
32
TRandom retorna un número real utilizando los 32 bits centrales del arreglo / 2 .
Detalles del generador se encuentran en el ANEXO D.
5.3 El Compilador de ACFw
5.3.1 Funcionamiento del Compilador en ACFw
El compilador de ACFw procesa el lenguaje ACF y construye la tabla de
transiciones donde están contenidas las reglas de cambio de estado. Como
primer paso, el compilador construye un árbol de expresiones donde se establece
cómo serán evaluadas las expresiones. Luego el compilador utiliza una pila para
evaluar las expresiones contenidas en el árbol y procesa todas las posibles
configuraciones de vecinos dado el vecindario declarado, almacenándolas en la
tabla de transiciones del AC
En la Figura 28 hay escrito un programa de AC, en el editor de código (ver sección
5.7.2) a la derecha se ven los arboles de expresión de las funciones y de la regla.
Cada categoría sintáctica en el árbol de expresiones está etiquetada con un
símbolo diferente para facilitar su interpretación (ver Figura 29). La utilidad de los
árboles de expresiones es para identificar los errores que surgen al evaluar las
expresiones en la construcción de la tabla de transiciones.
Programa de AC
en lenguaje ACF
Figura 28 Regla compilada exitosamente. Los árboles de expresión
quedan completos y no se indica error.
88
Arboles de
Expresión

El editor de código cambia de forma automática las palabras reservadas a azul y
los comentarios a verde. Estos cambios le permiten al usuario corregir mientras
escribe. Así por ejemplo al escribir “cas” en lugar de “case” el usuario notará que
la palabra no cambia a azul y detectará el error rápidamente. Además de esto los
errores sintácticos y de construcción de tabla se identifican al compilar el
programa.
Figura 29 Significado de los símbolos en el árbol de expresión
5.3.2 Errores de compilación
Llamado a función
Operador Lógico o Aritmético
Numeral
Localización de AC
Palabra Reservada
Hay dos tipos de errores que pueden surgir durante la compilación de un
programa en ACF. Errores Sintácticos (ES) y Errores de Construcción de Tabla
(ET). Los ES ocurren cuando:
Figura 30 Error de identificador desconocido. EL error establece que se
está invocando a un identificador que no ha sido declarado o no es
ninguna de las palabras reservadas del lenguaje.
89

� ES1: Se han utilizado palabras o operadores que no existen en el lenguaje, o
hay llamados a funciones no declaradas. En cualquier caso el compilador las
trata como llamado a funciones buscando una declaración previa. En el
ejemplo de la Figura 30.
� ES2: Se utiliza una palabra reservada para dar nombre a una función: Aparece
un diálogo que indica que el nombre de función no es valido.
� ES3: No se han marcado los bloques del programa: En este caso aparece un
diálogo que indica que la expresión es incompleta.
� ES4: No se ha especificado dónde comienza la especificación de reglas: Esto
quiere decir que se ha omitido “rules” y por ello el compilador entiende todo
como declaraciones de funciones, levantando el error 2.
� ES5: No se declaran reglas: Sólo se ha especificado los vecinos y las
funciones. Aparece un diálogo que indica que no se han especificado reglas.
Los ET ocurren cuando el compilador está evaluando todas las posibles
configuraciones de vecinos en el árbol de expresión y ocurre uno de los dos
siguientes casos:
� ET1: La pila está vacía cuando se aplica una operación. La Figura 31, muestra
este tipo de error.
Figura 31 El error de pila vacía ET1. En este caso “else” no coloca
ningún valor en la pila y por tanto cuando se asigna al plano, la pila no
tiene valores.
90

� ET2: Hay un caso que excede lo declarado en el case. El error se indica en el
árbol de expresión como se muestra en la Figura 32.
Figura 32 Error ET2. Cuando se evalúan las configuraciones de vecinos,
ocurre un caso que excede lo declarado en el “case”. Y ocurre el valor 4.
5.4 Planos de ACFw
En ACFw el AC son cinco arreglos de 2 dimensiones (n x n donde n puede tomar
un valor máximo de 300). Cada arreglo se denomina plano, y cada celda puede
tener dos posibles estados por plano {0,1}. Al acoplar los 5 planos, es posible
construir un AC de hasta 32 estados. Sin embargo, también es posible utilizar
cada plano de forma independiente (un AC en un plano y uno diferente en otro).
Cada plano es representado de forma gráfica por un valor entero. Por ejemplo,
una celda con estado 1 en el plano 0, será representada como el estado 1, y una
celda con valor de 1 en el plano 1, como el estado 2. En términos generales, la
representación en 2 dimensiones de los planos se hace mediante la forma decimal
de la expansión binaria en los planos, siendo el plano 0 el menos significativo.
5.5 AC determinísticos y probabilítsticos
ACFw utiliza un generador de números aleatorios que es a su vez un AC. Este AC
es capaz de generar de forma efectiva una secuencia de números aleatorios.
Detalles de la capacidad de este generador se encuentran en el ANEXO D.
91

5.6 Evolución del AC en ACFw
La evolución en un AC significa que cada celda actualiza su estado, en relación a
la configuración de vecinos, en forma simultánea, sin embargo, dado que ACFw
evalua en forma secuencial, ACFw crea una copia del arreglo del AC y en esta
copia se colocan los nuevos estados de cada celda después de determinar su
nuevo estado en la tabla de transiciones, y finalmente el arreglo original es
sustituido con el nuevo arreglo.
5.7 Interfaz de ACFw
La interfaz de ACFw es muy sencilla y permite un rápido acceso a todas las
funciones del sistema.
5.7.1 Programa Principal
Menú Principal
Figura 33 Ventana principal de ACFw
92
Barra de Herramientas
Ventana
de
Código
Ventana
de AC

La Figura 33 muestra las características principales del programa ACFw. En la
ventana principal, se encuentra el menú principal, la barra de herramientas, la
ventana de código y la ventana de AC. A continuación se describe la función de
cada una de ellas.
Menú principal: En el menú principal se encuentran todas las funciones de ACFw.
Barra de Herramientas: Son botones que permiten rápido acceso a funciones de
ACFw. Los botones permiten con un solo “click” utilizar las funciones más
comunes de ACFw.
Ventana de Código: En esta ventana está el editor de código, que permite la
programación de AC.
Ventana de AC: En esta ventana se puede ver el AC, además de modificar
opciones tanto de visualización como de tamaño del arreglo del AC.
5.7.2 Ventana de código
Editor de
código
Figura 34 Ventana de código de ACFw
Generaciones que correrá el AC
En la ventana de código se puede editar el lenguaje ACF para especificar las
reglas del AC. La ventana de código contiene un editor de código, y los árboles de
expresión del código compilado, donde se puede ver la estructura de la regla
después de compilada y los errores de compilación. La Figura 34 muestra las
partes de la ventana de código.
93
Arbol de
expresión
de las
funciones
Arbol de
expresión
de la regla

5.7.3 Ventana de AC
La ventana de AC muestra el AC. En ella es posible modificar el estado de las
celdas, cambiar de tamaño el AC, y agrandar o achicar la imagen (Figura 35).
Autómata
Celular
Figura 35 Ventana de AC en ACFw
Cuando corre el AC en esta ventana se ven los cambios.
5.7.4 Comandos de ACFw
Abrir archivos de reglas
Las reglas grabadas en formato ASCII, pueden ser abiertas en el editor de código.
Para abrir un archivo, seleccione en el menú principal “Archivos / Abrir Regla...”.
En el diálogo que aparece seleccione el archivo que desea abrir y presione
aceptar.
Editor de texto
El editor de texto es una ventana que permite ver cualquier texto en formato
ASCII. Si desea abrir un archivo, seleccione en el menú principal “Archivos / Abrir
Texto..” e indique la ruta del archivo que desea abrir.
Si más bien quiere crear un archivo de texto, seleccione en el menú principal
“Editor / Editor de texto...”. Si al terminar de escribir usted acepta los cambios, le
aparecerá el diálogo para indicar dónde será grabado el archivo (se graban con
extensión txt). Si cancela perderá lo escrito.
94
Agrandar o
achicar la
imágen
Definir plano
activo
Tamaño del
arreglo
Generaciones
transcurridas

Abrir máscara x plano
Usted puede cargar una máscara en el espacio celular del AC. La máscara por
plano consiste en un archivo de bitmap de 2 bits (blanco y negro). Indique en la
ventana de AC en cuál plano quiere colocar la máscara, seleccionando el plano
activo. Luego en el menú principal seleccione “Archivos / Abrir Máscara x Plano...
“. En el diálogo que aparece seleccione el archivo de bitmap que debe colocar
como máscara y presione aceptar. La máscara quedará en el plano indicado,
cambiando al estado 1 las celdas donde la máscara es negra, y dejando como
cero donde la máscara es de color blanca.
Abrir máscara x estado
Si usted quiere cargar una máscara que tiene varios estados, seleccione del menú
principal “ Archivos / Abrir Máscara x Estado... “ y seleccione el archivo de bitmap.
El archivo de bitmap debe ser de 256 colores (8bit); el valor superior izquierdo se
considerará como estado 0 y el resto dependiendo del índice de color según la
paleta activa de colores de ACF.
Esta opción es recomendable si se quiere grabar una configuración inicial
particular, o cargar la configuración del autómata que se ha grabado
anteriormente.
Grabar regla
Para grabar una regla seleccione en el menú principal “Archivos / Grabar Regla“,
Esta opción graba el código que se encuentra en el editor de código. Esta opción
graba el archivo utilizando el mismo nombre de la regla cargada.
Si se desea grabar con otro nombre seleccionar “Archivos / Grabar como...” del
menú principal, y seleccionar una ruta y nombre para el archivo de regla (los
archivos de texto siempre se graban con la extensión txt)
Grabar espacio celular
Si desea grabar una configuración actual del AC, seleccione “Archivos / Grabar
espacio celular...”, e indique la ruta y nombre con el cual será grabado. ACFw
graba estas configuraciones como Bitmap de 8 bits, utilizando la paleta de colores
activa.
95

Esta opción es útil si se quiere grabar el estado del AC en un tiempo determinado
o alguna configuración inicial particular. También es útil para exportar el resultado
de la evolución del AC como bitmap, para utilizarla en otras aplicaciones.
Imprimir código
En el menú principal seleccione “Archivos / Imprimir Código”, seleccione la
impresora. Esto imprime el contenido del editor de código.
Compilación del código
Una vez escrito el código en la ventana de código, en el editor de código, la regla
se compila presionando en el menú principal, la opción “Editor / Compilar Reglas”.
Los errores sintácticos aparecerán como mensajes indicando cuál es el error. Los
errores de ejecución aparecen en el árbol de expresiones, indicando el tipo de
error en el punto donde ocurrió.
Ejecutar el AC
Una vez compilada la regla, para hacer correr el AC seleccione en el menú
principal “Ejecutar / Ejecutar AC”. Esto iniciará la evolución del AC hasta cumplir
con las generaciones indicadas en la ventana de código.
Ejecutar Estadística AC.
Esta opción permite correr el AC, y cada cierto intervalo de generaciones calcular
algunos datos estadísticos. Para hacer esto seleccione en el menú principal
“Ejecutar / Ejecutar estadística AC...”, le aparecerá un diálogo, seleccione lo que
desea que se calcule e indique los intervalos en los que se debe calcular.
Al finalizar la evolución del AC, le aparecerá un diálogo en el cual debe indicar
dónde desea grabar el archivo con los resultados. El archivo que se graba tiene
formato de texto (extensión txt), separando con comas los valores respectivos.
Crear secuencia de BMP
Esta opción le permite grabar una secuencia de mapa de bits (bitmaps), para
posteriormente crear una animación con algún otro programa.
Seleccione en el menú principal “Ejecutar / Crear secuencia de BMP...” en el
diálogo que aparece indique el nombre y directorio en el que desea colocar los
96

archivos. Estos serán grabados con ese nombre agregando números de
secuencia.
Detener AC
Si el AC está corriendo, al seleccionar “Ejecutar / Detener AC” usted detendrá la
evolución del AC. Tenga cuidado, puesto que ACFw detiene el AC en el momento
que usted lo indique, pudiendo quedar algunas celdas sin actualizar. Lo
recomendable es siempre iniciar nuevamente la simulación.
Reiniciar
Reinicia el contador de generaciones del AC. Seleccione “Ejecutar / Reiniciar” del
menú principal.
Zoom
En la ventana de AC indique el tamaño de pixel que desea en el AC, esto
cambiará automáticamente el tamaño de visualización del AC. También puede
seleccionar en el menú principal “Herramientas / Zoom In “ o “Herramientas /
Zoom Out “. En la ventana de AC siempre se indicará el tamaño del pixel.
Bordes del AC
Por omisión el AC de ACFw es con bordes periódicos (el borde superior continúa
en el borde inferior y el izquierdo en el derecho), sin embargo, al seleccionar
“Herramientas / Bordes periódicos” usted puede utilizar el AC con bordes
cerrados.
Si usted utiliza bordes cerrados, la primera y última columna se consideran con
valor 0. Usted puede crear una máscara para dar bordes 1 al AC.
Colores
Usted puede seleccionar 7 posibles paletas de colores para desplegar el AC, estas
son:
� Blanco y Negro: Todos los estados mayores que 1 son negros y el resto (0) es
blanco.
97

� 4 Colores: Los cuatro primeros estados (0 al 3) tienen colores diferentes, luego
de forma cíclica va asignando los mismos colores.
� ACF: esta es la paleta seleccionada por omisión. Es de 256 colores.
� Gradiente: Esta paleta permite utilizar un gradiente de verdes a rojos. Tiene
256 colores y es muy útil cuando se quieren resaltar gradientes generados en
la evolución del AC.
� Windows: Esta es la paleta de 256 colores de Windows. Esto es útil si usted
tiene configurada su computadora a 256 colores.
� Grises: Es de 256 grises y es práctica para resaltar gradientes y estructuras
generadas por la evolución del AC.
� Azules: permite crear gradientes de azul.
Para utilizar cualquiera de estas paletas, seleccionar “Herramientas / Colores” y
marque la paleta que desea utilizar.
Cálculo de entropía
Si usted selecciona esta opción en “Herramientas > Entropía” usted puede
seleccionar cualquiera de tres formas:
� Entropía Bloques 9x9: La entropía se calcula utilizando una cuadrícula de 9x9,
donde las configuraciones simétricas son consideradas como diferentes.
� Entropía Simetría Rotacional 9x9: Igual que la anterior pero las simetrías
rotacionales son consideradas como configuraciones iguales.
� Entropía Lineal: Calcula la entropía utilizando líneas de 9 celdas.
La entropía siempre se calcula sobre el plano activo, en la ventana de AC.
Invertir planos
Esta opción permite invertir dos planos. Seleccione “ Herramientas / Invertir
Planos... “ En el diálogo que aparece indique que planos desea invertir y acepte o
cancele. Usted notará el cambio de color en las celdas causado por el cambio de
planos.
98

Inicializar con semilla
Usted puede iniciar el AC con una celda activa en el centro. Seleccione
“Herramientas / Inicializar semilla”. La celda se colocará en el plano que este
activo en la ventana de AC.
Inicalizar aleatorio x plano
Si usted quiere una densidad particular de celdas con una distribución aleatoria,
seleccione “Herramientas / Inicializar Aleatorio x Plano...”. En el diálogo que
aparece seleccione la densidad deseada (note que se expresa como fracción).
Esta opción opera sobre el plano activo en la ventana de AC.
Inicializar aleatorio x estado
Si usted quiere una densidad particular de celdas con una distribución aleatoria,
seleccione “Herramientas / Inicializar Aleatorio x Estado...”. En el diálogo que
aparece seleccione la densidad deseada (note que se expresa como fracción), y
el rango de estado que desea colocar en el AC.
5.8 Ejemplos de programas en ACFw
5.8.1 Juego de la Vida de Conway
Como se menciona en el capítulo 1, en 1970 John Conway introdujo un AC
interesante que atrajo la atención de científicos y del público en general. Este AC
se conoce como “El juego de la Vida” y funciona de la siguiente manera:
1) Cada cela puede estar en cualquiera de dos posibles estados: vivo (1) y
muerto (0).
2) Si una celda está viva, entonces permanecerá así si tiene 2 ó 3 vecinos vivos a
su alrededor.
3) Una celda muerta revive si tiene exactamente 3 vecinos vivos a su alrededor.
99

En ACF esta regla se define de la siguiente manera:
: vec C N S E W NE NW SE SW ;
: 8sum N S E W NE NW SE SW + + + + + + + ;
rules
: C 0 = if
8sum case { 0 0 0 1 0 0 0 0 0 }
else
8sum case { 0 0 1 1 0 0 0 0 0 }
then >P0 ;
Como se explicó en el capítulo 2, se declaran 8 vecinos además de la celda
central, y una función “8sum” que suma los 8 vecinos alrededor de C . Note cómo,
si la celda C tiene el valor 0, entonces se ejecuta la primera parte del if, donde se
llama a la función 8sum, que retorna el valor de la suma, y este resultado
representa el índice del case, es decir, si el resultado es 0, el case retorna el
primer valor de la lista y si 8sum retorna 8 entonces es el último valor del case.
Finalmente el resultado del case es asignado al plano 0 (es decir como nuevo
estado de la celda central).
Una forma alternativa de esta misma regla es :
: vec C N S E W NE NW SE SW ;
: 8sum N S E W NE NW SE SW + + + + + + + ;
: U C;
rules
: 8sum case { 0 0 U 1 0 0 0 0 0 } >P0 ;
La regla funciona de la misma manera. Unicamente se le ha agregado la función
“U” que retorna el mismo valor de la celda central (recuerde que el case puede
contener llamados a funciones, ver capítulo 4). En este caso si la suma es 2, si la
celda está viva seguirá viva y si está muerta, seguirá muerta y en el caso de que
sum sea 3, si la celda está muerta pasa a 1 y si está en 1 se queda en 1.
Escriba cualquiera de las dos reglas (son equivalentes) en el editor de código (ver
sección 5.7.2) y Compile (ver sección 5.7.4) e Incialice el plano 0 del AC con un
10% de celdas en estado uno. Cuando corre el AC se puede ver el movimiento de
celdas y a ratos se pueden apreciar ciertas estructuras que se mueven o oscilan
entre dos puntos. Después de unas 100 generaciones el resultado permite
apreciar algunas estructuras estables (Figura 36b)
Para saber dónde ocurrió el movimiento, se puede utilizar el plano 1 para que las
celdas dejen el rastro. Esto permitirá ver los “gliders” los cuales aparecen de
100

forma esporádica y dejan rastros diagonales. Para hacerlo, modificar el código y
colocar:
: vec C N S E W NE NW SE SW ;
: 8sum N S E W NE NW SE SW + + + + + + + ;
rules
: C C1 or >P1 /* Rastro*/
C 0 = if
8sum case { 0 0 0 1 0 0 0 0 0 }
else
8sum case { 0 0 1 1 0 0 0 0 0 }
then >P0 ;
Note en la línea marcada como rastro, la expresión “C C1 or >P1”. Esto permite
que si hay un 1 en el plano 0, este quede marcado en el plano 1, y si no hay nada,
que se mantenga la marca del plano 1. En la Figura 36c, se observan los rastros
de algunos “gliders”, y en general como se han desplazado las celdas en el AC.
5.8.2 Regla 1 de 8
Figura 36 Juego de la Vida de Conway. a) Inicio aleatorio con 10% de
celdas en estado 1. b) evolución después de 100 generaciones. c)
evolución con rastro después de 200 generaciones. Se distinguen líneas
diagonales formadas por los “glider2, Una estructura periódica que se
forma en esta autómata.
Esta regla crea una estructura auto-similar. La regla es muy sencilla, el código es
el siguiente:
: vec C N S E W NE NW SE SW ;
: 8sum N S E W NE NW SE SW + + + + + + + ;
rules
: 8sum 1 = if 1 else C then >P0;
101

Lo que establece la regla es lo siguiente: Si la suma de los 8 vecinos (mediante la
función declarada 8sum) es 1 entonces cambia de estado de 0 →1 o se mantiene
de 1 →1, en el caso contrario, la celda se mantiene igual.
Al compilar y ejecutar la regla iniciando con una semilla central, se observa el
patrón de la Figura 37b
Para hacer las cosas más interesantes, transformemos la regla entarior en un AC
probabilístico. Modifique el código como sigue:
: vec C N S E W NE NW SE SW ;
: 8sum N S E W NE NW SE SW + + + + + + + ;
rules
: C >P1 8sum 1 = if 1 else C then >P0 1 10 pcase;
la expresión “1 10 pcase” significa que la regla se aplica con una probabilidad de 1
de cada 10, es decir, 0.1. Existe entonces una probabilidad de 0.1 de que una
celda cualquiera cambie de estado según la regla y un 0.9 de probabilidad de que
se mantenga sin cambio de estado. El resultado se puede ver en la Figura 37a.
Figura 37 Regla 1 de 8. a )probabilístico. b) determinístico
Este ejemplo muestra como, a pesar de que un sistema es capaz de formar
estructuras muy ordenadas en condiciones ideales (sin ningún tipo de ruido), en
condiciones ruidosas el comportamiento es diferente. Esto es similar a lo que
ocurre con hongos que son cultivados en condiciones ideales y lo que realmente
se observa en la naturaleza.
102

5.8.3 Regla 90 de Wolfram. Un AC elemental
Los AC elementales, son fáciles de programar en ACF. La regla 90 consiste en
aplicar el operador xor al lado izquierdo y el derecho de cada celda. Sin embargo,
es necesario aplicar un truco sencillo para lograr que la evolución del AC se vea
como una secuencia en el eje vertical de la ventana de AC. El código es el
siguiente:
:vec C C1 N NW NE ;
rules
: C >P1
C1 0 = if NW NE xor
else C1
then >P0 ;
El nuevo estado de la celda central, se obtiene de aplicar xor a los vecinos
superior izquierdo (NW) y superior derecho (NE), esto para lograr que la nueva
configuración del autómata sea en la línea de abajo, la que contiene ceros. El
valor central siempre se coloca en el plano 1 para mantener la configuración del
AC. En la figura 5 del capítulo 2, se observa el AC con la paleta de Blanco y
Negro.
5.8.4 Regla “Anneal”
Una regla interesante, que utiliza el concepto de votación, se le llama “anneal”.
Las reglas de votación son aquellas en que se cuentan los vecinos por estado, y el
que mayor cantidad de celdas tenga, será el nuevo estado de la celda central.
Esta regla en ACF se puede escribir:
: vec C N S E W NE NW SE SW ;
: 9sum C N S E W NE NW SE SW + + + + + + + + ;
rules
: C >P1
9sum case { 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 } >P0 ;
Se utilizan dos planos. El plano 0 es donde ocurre la acción, y el plano 1 sólo lo
utilizaremos para ver cuándo una celda cambió de 0 a 1 ó de 1 a 0. Sin embargo
en esta regla hay un caso particular. Cuando las votaciones están en el límite,
más bien tienden a favorecer al otro grupo, es decir cuando hay 5 ceros, se
cambia a 1, y cuando hay cinco 1 se cambia a cero. Esto hace la actividad más
interesante. Comenzando con un inicio aleatorio, en poco tiempo se comienzan a
formar las islas redondeadas de ceros y unos donde toda la actividad está
ocurriendo (Figura 38)
103

Figura 38 Regla “anneal”. a) iniciando con 50% de celdas en estado 1 y
50% en estado 0, después de 100 generaciones. b) Muestra una
mgnificación del cuadro blanco en a). Los límites donde ocurre la acción
son azules y rojos (cambian de 0 → 1 y de 1 → 0 respectivamente).
5.9 Comentario Final
EL programa ACFw, permite gran cantidad de opciones que facilitan la
especificación de AC, la experimentación con diferentes condiciones iniciales, y el
análisis posterior de los patrones generados por el AC. Estas características de
ACFw permiten que un investigador desarrolle modelos de forma rápida y pueda
realizar diferentes tratamientos experimentales mediante la manipulación de
condiciones iniciales o cambios el la especificación de las reglas del AC.
El programa ACFw, es una aplicación fácil de utilizar y que permite que un usuario
con conocimientos básicos pueda manejar la interfaz. El lenguaje ACF, es sencillo
y una persona con nociones de programación puede fácilmente adaptarse al
lenguaje y generar gran cantidad de AC.
104

6 Aplicaciones Biológicas
6.1 Introducción
Los AC han aparecido esporádicamente como versiones simplificadas de
diferentes situaciones biológicas comunes. La mayoría de estos modelos son
abstracciones de ecuaciones diferenciales parciales que modelan la dinámica en
espacio y tiempo, de un fenómeno determinado [Ermentrout, 1993].
Hay que destacar que muchas de las aplicaciones de AC a fenómenos biológicos
guardan estrecha correspondencia con modelos de ecuaciones diferenciales, con
la ventaja de que la interacción local y el estado de cada individuo es
considerado. Un ejemplo de una aplicación interesante de AC a ecología lo
representa el AC llamado WATOR [Dewdney, 1984]. WATOR (Wa- “water” y TOR
“torus”) es un mundo que trata de imitar la interacción predador presa. Para ello
utiliza dos tipos de celdas: Tiburones y Peces. Este modelo utiliza variables como
edad y hambre para establecer la dinámica ecológica, y además muestra una
correspondencia entre las soluciones del sistema de ecuaciones de Lotka-Volterra
para modelar la interacción de dos especies (ver ejemplo de crecimiento de
poblaciones con limitaciones de recursos en este capítulo). Otro ejemplo de
aplicaciónes ecológicas, es el AC que modela la interacción parasitoide –
hospedero [Hassel, 1991]. En estos modelos se incorpora el cambio en el estado
infeccioso del hospedero y el movimiento de frentes infecciosos en una población
hospedera.
El trabajo de Nijhout et al [Nijhout, 1986], es un AC que permite la morfogénesis 78 ,
siguiendo especificaciones de concentración de morfógenos 79 y de vecindario, que
guardan estrecha relación con el proceso de desarrollo de una mosca a partir del
cigoto 80 . Inclusive en este AC se describe todo el árbol filógenetico de individuos
creados a partir de mutaciones simples. Las variables de este sistema son
tomadas de mediciones reales.
Algunas otras aplicaciones biológicas [Silvertown, 1992; Cocho, 1987; Inghe,
1989] son más triviales y aunque generan resultados interesantes, no representan
un hallazgo importante en términos teóricos y sus resultados pueden ser algo
artefactuales.
Los ejemplos que aquí se presentan intentan mostrar la utilización de AC en
diferentes campos de la biología y algunas propiedades fundamentales de su
comportamiento. En cada ejemplo se dan antecedentes, se describe la regla y se
78
El estudio de la generación de forma a partir sustancias químicas, producto de la expresión de
los genes.
79
Sustancias químicas que originan los patrones de desarrollo.
80
Huevo fecundado.
105

ealiza un pequeño experimento con el AC describiendo sus resultados y anotando
las implicaciones.
6.2 Crecimiento de Cáncer
6.2.1 Antecedentes
El estudio in vivo 81 del crecimiento de células cancerosas presenta varias
limitaciones técnicas y no refleja la situación real de su desarrollo en seres vivos
[Smolle, 1993]. En estudios de crecimiento de tumores cancerosos, se ha
demostrado que la dinámica está gobernada por interacciones locales como:
proliferación de células cancerosas (división o invasión), la presencia de
nutrientes, la acción del sistema inmune contra el cáncer, el escape o disolución
de células cancerosas muertas, la presión mecánica en el interior del tumor, etc.
Este ejemplo es una construcción del modelo de AC propuesto por Qi et al [Qi,
1993] quienes muestran como los resultados del AC tienen estrecha relación con
la ecuación diferencial de Gompertz 82 que describe el crecimiento del cáncer en
términos macroscópicos. Aquí nos interesa la construcción del autómata y
algunos aspectos generales del resultado.
6.2.2 Reglas del Autómata Celular
El AC utiliza 8 estados con 5 vecinos en un arreglo de 200x200. Los estados son:
(0) Célula normal, (1) célula cancerosa, (2 ó 6) complejo producido por la
citotoxina 83 , (3) célula cancerosa muerta, (4) citotoxina 84 , (5) Cáncer + citotoxina y
(7) célula cancerosa muerta + citotoxina.
Las reglas de transición son las siguientes:
1. 0 →1 con probabilidad k1, si tiene una o más celdas 1 a su alrededor. Esta es
la reproducción de células cancerosas
2. 5 →2 con probabilidad k2. Esto quiere decir que una célula cancerosa en
presencia de una citotoxina, forma un complejo.
3. 2 →7 con probabilidad k3. Un complejo resulta en la muerte de la célula
cancerosa y que la citotoxina vuelva a su estado normal.
4. 7 →4, con probabilidad k4. Si una célula cancerosa muerta se disuelve,
quedando nuevamente la célula normal junto con la citotoxina. Esta operación
representa la infiltración de tejido normal en tejido canceroso.
81 Con células vivas en condiciones controladas de laboratorio
82
V
t
0
A − Bt
( 1−e
)
B
= V e Vt es el volumen del cáncer, V0 es el volumen inicial, A y B son parámetros y t
es el tiempo. [Steel, 1977]
83 Un complejo es el producto de la reacción de una célula cancerosa y la citotoxina.
84 Citotoxina es una sustancia tóxica para un célula
106

El programa en ACF se construye utilizando 3 planos para lograr 8 estados. El
plano 2 indica la presencia de citotoxinas (estado 4), el resto de planos se utlizan
para representar cada uno de los 8 estados mencionados.
: vec C N S E W C1 N1 S1 E1 W1 C2 ;
:btoi 2 int ;
:iscancer N1 N btoi 1 =
S1 S btoi 1 =
E1 E btoi 1 =
W1 W btoi 1 =
or or or ;
:complex C2 1 = if 2 else 1 then 1 5 pcase;
:duplicate iscancer case { 0 1 } 13 50 pcase;
:disolveE 7 1 5 pcase;
:disolveD 4 1 10 pcase;
rules
: C1 C btoi case { duplicate complex disolveE disolveD } >PA
C2 >P2 ;
Note que el vecindario ocupa los 5 vecinos del plano 0 y 1, y solamente la celda
central del plano2, esto porque la única regla que depende del vecindario es la
primera, en donde es necesario saber si hay un vecino con cáncer, para lo cual se
utilizan los dos primeros planos como se ve en la función iscancer. La función
duplicate, ocurre cuando hay una célula normal o con citotoxina (0 ó 4) ésta utiliza
iscancer, la cual determina si hay vecinos con cáncer, si los hay entonces la celda
pasa a 1 con probabilidad 13 de 50 (k1=0.26). La función complex genera la
formación de complejos si hay una célula cancerosa y una citotoxina en el mismo
sitio, con probabilidad de 1 de 5 (k2=0.2). disolveE, disuelve una célula de cáncer
con probabilidad 1 de 5 (k3=0.2); y disolveD disuelve la célula muerta con
probabilidad de 1 de 10 (k4=0.1). Los valores de las probabilidad son las sugeridas
por Qi et al.
La configuración inicial sugerida por Qi et al consiste en cinco células cancerosas
colocadas en el centro del AC (dispuestas en el vecindario de von Neumann), en
un medio de células normales con citotoxina.
107

6.2.3 Resultados
La simulación de células cancerosas, después de 200 generaciones, se puede
apreciar en la Figura 39. La citotoxina evita que la propagación de células
cancerosas forme un tejido continuo, quedando un tejido menos denso y
ramificado. Si se deja evolucionar el AC suficiente (1000 generaciones), las
células cancerosas habrán ocupado todo el espacio celular, sin embargo, en el
donde hay citotoxina, las células cancerosas entran en una dinámica donde la
cantidad de células cancerosas fluctúa alrededor de un máximo, incluso en
números menores que células normales. (Figura 40).
Figura 39 Crecimiento de células cancerosas en un arreglo de 200x200,
desúés de 200 generaciones. a) Las células crecen sin presencia de
citotoxinas. b) Las citotoxinas ocultas en las células normales hace que
se forme un complejo con células cancerosas que culmina eliminando las
células de cancer formando un tejido menos compacto y ramificado.
La entropía en el caso de crecimiento sin citotoxina muestra un comportamiento
interesante (Figura 41). Al aumentar el tamaño del cáncer, comienza un aumento
de entropía dado a que se irrumpe el orden de un tejido continuo de células
normales. Al llegar a un punto de entropía máximo, la cantidad de células
cancerosas a ocupado un 50% del espacio. Luego al aumentar la cantidad de
células cancerosas la entropía disminuye nuevamente dado que el espacio se va
transformando en sólo células cancerosas.
108

a)
b)
Número de células
Número de células
45000
40000
35000
30000
25000
20000
15000
10000
5000
0
45000
40000
35000
30000
25000
20000
15000
10000
5000
N
0 200 400 600
t
800 1000 1200
0
0 200 400 600
t
800 1000 1200
Figura 40 Número de células cancerosas (C) y normales (N) después de
1000 generaciones (t). a) No hay citotoxinas. b) hay citotoxinas
109
C
N
C

a)
b)
S
S
0.12
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
0.25
0.15
0.05
0
0 200 400 600
t
800 1000 1200
0.2
0.1
0
0 200 400 600
t
800 1000 1200
Figura 41 Entropía espacial (S) del crecimiento de células cancerosas
después de 1000 generaciones. a)Las células cancerosas no son
afectadas por citotoxinas y su crecimiento genera un tejido continuo. b)
Las células normales tienen citotoxina que induce la muerte de células
cancerosas generando mayor desorden. Note la diferencia en el valor de
máxima entropía alcanzada por ambos casos a) S=0.11 y b) S=0.23 .
110

6.2.4 Implicaciones
Las curvas de crecimiento generadas por modelos de AC coinciden con las curvas
hasta ahora estudiadas in vivo en el laboratorio. El objetivo fundamental de este
tipo de modelos es una interpretación funcional de patrones biológicos [Smolle,
1993]. En patología una evaluación del patrón del tumor (o silueta del tumor)
provee criterios importante para el diagnóstico y prognosis de sistemas
cancerosos.
Existen algunas limitaciones en la simplificación de estos sistemas y en la
limitación de 2 dimensiones. Sin embargo los estudios con AC sirven para
determinar cómo la dinámica local (si está bien construida una regla) genera las
propiedades emergentes propias de un sistema de células cancerosas.
6.3 Crecimiento de poblaciones con limitación de recursos
6.3.1 Antecedentes
Los organismos pueden ser vistos como simples sistemas de entradas y salidas
[Pianka, 1988]. Los organismos buscan su alimento para obtener los materiales
de entrada y energía los cuales son transformados en una salida que consiste en
su progenie 85 . Ahora bien, los recursos se encuentran en forma limitada y esto
hace que el tamaño de una población esté determinada por la cantidad de
recursos y viceversa.
La idea es construir un sistema donde los organismos tengan que buscar un
recurso para permitir su reproducción. Simularemos mediante un AC dos casos:
1) Los recursos no son renovables y son consumidos por los organismos hasta
agotarlos.
2) Los recursos son renovables. Su recuperación se debe a la aparición aleatoria
de nuevas fuentes de recursos. En este caso el recurso tiene capacidad de
reproducción y de dispersión aleatoria.
Se construyó un AC para cada caso. El primero determinístico y el segundo
probabilístico para incorporar la aparición aleatoria de recursos.
85 Descendientes
111

6.3.2 Reglas del AC
Se utiliza un vecindario de 9 vecinos. Son necesarios dos planos, para establecer
los siguientes estados: Organismo vivo (1), Recurso (2) y Rastro (3). Un
organismo se reproduce en un medio rico en recursos y se mueve en dirección de
recursos o de rastros, dejando a su vez un rastro para que otros organismos lo
puedan seguir. Si un organismo no consigue recursos, este morirá. Las reglas
son la siguientes:
1) 0 →1 si hay tres y sólo tres organismos alrededor. Reproducción.
2) 1 →3 siempre. Un organismo se mueve y al moverse deja el rastro.
3) 2 →1 si hay uno y solo un organismo alrededor. Se permite el movimiento de
cualquier organismo en el medio.
El código en ACF es el siguiente:
: vec C C1 N S E W NE NW SE SW ;
: 8sum N S E W NE NW SE SW + + + + + + + ;
: move 8sum case { 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 } ;
: reprod 8sum case { 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 } ;
rules
: C1 C 2 int case { reprod 3 move 0 } >PA ;
Se utilizan tres funciones que permiten la acciones descritas. 8sum, simplemente
da el número de organismos alrededor del vecindario. Reprod que corresponde a
la regla 1 y move que permite el movimiento (regla 3).
En el caso de recurso renovable se agrega una regla, para cuando no hay ni
recurso ni organismo en una celda. Como se ve en el siguiente código, al estar
una celda totalmente vacía aparecerá recurso y habrá movimiento con
probabilidad 1 de 100 (0.01):
: vec C C1 N S E W NE NW SE SW ;
: 8sum N S E W NE NW SE SW + + + + + + + ;
: move 8sum case { 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 } ;
: reprod 8sum case { 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 } ;
rules
: C 0 = C1 0 = and if move >P0 1 >P1 1 100 pcase
else C1 C 2 int case { rerpod 3 move 0 } >PA
then;
112

6.3.3 Resultados
Los resultados de ambos casos, con un arreglo de 150x150 se observan en la
Figura 42. En ambos casos se inicia con una configuración particular de recursos
y cinco organismos en el centro. Note como los organismos buscan el recurso,
consumiéndolo y reproduciéndose.
Figura 42 Dinámica de consumidor - recurso. a) A partir de una cantidad
de recursos en una distribución especial, los organismos consumen el
recurso y el recurso no es renovable llevando a la desaparición de los
depredadores. b) El recurso es renovable (se reproduce) llevando a una
fluctuación entre la cantidad de recursos y la cantidad de organismos.
Al observar la dinámica de población en el caso del recurso no-renovable, la
población de organismos consumidores se extingue rápidamente al consumir el
recurso (Figura 43), iniciando en orden (entropía baja) los organismos van
buscando aleatoriamente (aumento en entropía) el recurso hasta agotarlo
(disminuye nuevamente la entropía). En cambio la población con recurso
renovable muestra una dinámica interesante. Hay un aumento considerable en el
recurso lo que impulsa un aumento en los organismos consumidores, al llegar a
cierto punto los consumidores comienzan a agotar el recurso y su población se ve
forzada a disminuir, permitiendo nuevamente un aumento en la cantidad de
recursos. Con respecto a la entropía en este sistema, se ven las fluctuación de
esta dinámica debido a períodos ordenados, donde hay un “continuo” de recursos
y se generan frentes de consumidores que avanzan y desordenados, donde hay
discontinuidades y las poblaciones de consumidores no están organizadas.
113

Recursos
Número de Individuos
12000
10000
8000
6000
4000
2000
1000
800
600
400
R
N
R
a)
200
N
0
0 200 400 600 800 1000
t
0
0
0 100 200 300 400 500
t
350
0.3
c) d)
300
250
200
150
100
50
S
Organismos
Figura 43 Dinámica consumidor (N) –recurso (R) en el tiempo (t). a)
cantidad de consumidores y de recurso a lo largo de las generaciones en
un modelo con recurso no-renovable. b) entropía (S) del sistema con
recursos no renovables. c) fluctuaciones de consumidor – recurso en un
sistema con recursos renovables. d) entropía en el sistema con recursos
renovables.
114
0.07
0.06
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
0
0 200 400 600 800 1000
t
S
R
N
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
R
N
b)
0
0 100 200 300 400 500
t

6.3.4 Implicaciones
El modelo construido es un ejemplo de fenómenos ecológicos importantes
relacionados con la dinámica de poblaciones. Normalmente este tipo de
interacción (consumidor – recurso o depredador –presa) entre dos especies, ha
sido estudiado teóricamente mediante un sistema de ecuaciones diferenciales
propuesto por Lotka y Volterra [Volterra, 1926]. La sencillez de construcción de
este AC y su capacidad de simular fenómenos ecológicos, donde cada partícula
en el espacio es considerada y donde se pueden construir ambientes
heterogéneos, hacen de los AC una herramienta útil para el estudio de fenómenos
ecológicos.
6.4 Cooperación de individuos de una especie
6.4.1 Antecedentes
La competencia y cooperación de individuos de una misma especie, es un
fenómeno importante que permite la organización de grupos de individuos de una
misma especie formando parches discretos. Este tipo de fenómeno también
puede ser estudiado mediante la construcción de un AC sencillo.
Basado en el trabajo de Wilson [Wilson, 1997], construimos un AC que permita
modelar la interacción de individuos sésiles 86 de una misma especie incorporando
competencia por espacio y dos formas de cooperación: mejoramiento 87 de hábitat
y reclutamiento 88 .
6.4.2 Reglas del AC
Se utilizarán solamente dos estados y un vecindario de 5 vecinos, para modelar:
1) reclutamiento abierto: un sitio es ocupado de forma espontánea 89 .
2) mortalidad individual: un individuo puede morir en cualquier momento por
razones que no dependen de la densidad de vecinos 90 .
86
Organismo que vive sobre un sustrato fijo (sedentario).
87
“Ameliaration”
88
Incorporación de nuevos individuos a la población.
89
En términos biológicos significa que hay un banco de semillas oculto que permite el surgimiento
de nuevos individuos en cualquier parte del espacio.
90
Edad, enfermedad, etc.
115

3) poblamiento: un sitio es ocupado dependiendo de la densidad de vecinos.
4) cooperación: además de la mortalidad propia del individuo, un sitio es más
seguro evitando mortalidad por otras causas si está rodeado por la mayor
cantidad de individuos.
Los estado son: sitio vacío (0) y sitio ocupado (1). Establecemos las reglas del AC
en dos grupos, para diferenciar las reglas dependientes de densidad y las
independientes:
Independientes de densidad (p1):
1. 0 →1. con probabilidad k1. Mortalidad de un individuo.
2. 1 →0. con probabilidad k2. Reclutamiento.
Dependientes de densidad (p2):
1. 0 →1. Si V es el número de sitios vecinos ocupados, el evento ocurre con
probabilidad 3 4
V k = . Mortalidad denso-denpendiente.
2. 1 →0. Esto ocurre con probabilidad ⎟ 2 ⎛ V ⎞
k = ⎜ 4 1 − . z es la variable que
⎝ z ⎠
modificamos para determinar mayor o menor cooperación.
Nótese que cada grupo de reglas ocurre con probabilidad p, y por tanto los casos
ocurren con probabilidad (p * k) Así, por ejemplo la regla 2 denso dependiente
ocurre con probabilidad (p2 * k4)
El código en ACF es el siguiente:
: vec C N S E W ;
: 4sum N S E W + + + ;
rules
: 20 prob C 0 = if
1 1 100000 pcase
else
0 1 5 pcase
then >P0 ;
: 80 prob C 0 = if
1 4sum 4 pcase
else
0 16 4sum dup * - 16 pcase
then >P0 ;
116

La función 4sum, suma los cuatro vecinos ortogonales. Este AC es probabilístico
no-homogéneo (ver capítulo 2), es decir en cada sitio puede ocurrir una regla
diferente con diferentes probabilidades. La primera regla (que el código ocurre
con probabilidad 20 de 100), determina las mortalidades independientes de la
densidad 91 . En el caso de la segunda regla (80 de 100) ocurre la mortalidad
denso- dependiente y poblamiento.
6.4.3 Resultados
La simulación se corre utilizando diferentes valores de z. Un menor valor de z
indica que el efecto de la cooperación es menor, y el caso contrario para un valor
alto de z. Es decir, cuando el sistema tiene un valor alto de z, entonces existe una
alta influencia de la cooperación para evitar la mortalidad. Los resultados de
simular un arreglo de 150x150 con 5% de celdas 1 inicialmente y bordes cerrados
se muestran en la Figura 44.
Figura 44 Crecimiento de la población con diferentes valores de
cooperación. Al aumentar z aumenta la probabilidad de cooperación
cuando hay vecinos.
91 Note como la función 4sum no es invocada. Esta función es la que determina el efecto de los
vecinos.
N
20000
15000
10000
5000
z =32
z =28
z =24
z =16
0
0 20 40 60 80 100
117
t

Como se puede observar en la Figura 45, se forman parches de celdas 1. Estos
parches dan condiciones de seguridad a las celdas con mayor número de vecinos.
6.4.4 Implicaciones
Figura 45 Evolución de 100 generaciones. a) inicio con 5% de celdas en
estado 1. b) después de 100 generaciones, se observan parches de
organismos.
Las condiciones de mortalidad independientes de la densidad así como las
dependientes, bajo ciertos parámetros, favorecerán los comportamientos
cooperativos. En este caso son favorable situaciones donde por cooperación hay
un aumento en el tamaño de la población en condiciones ideales. Aunque es un
ejemplo sencillo, es convincente en términos de las ventajas de la cooperación
dadas ciertas condiciones.
En términos de la simulación, se hizo una experimentación mediante el cambio en
las probabilidades de cooperación, manteniendo el resto de variables constantes.
Este principio de simulación es importante y sólo puede ser llevado a cabo
mediante modelos teóricos.
118

6.5 Comentario Final
Los ejemplo presentados, muestran el potencial de los AC para modelar la
dinámica de sistemas biológicos. Su sencilla y natural 92 construcción y lo gráfico
de sus resultados le da ventajas sobre otros métodos de simulación.
Este tipo de modelos facilitaría que un biólogo, con conocimientos básicos en
matemáticas, pueda elaborar reglas complejas que le permitan simular
comportamientos reales observados en el campo. Tal vez al utilizar modelos
como este sea posible encontrar los comportamientos comunes de los diferentes
niveles estructurales de las ciencias biológicas.
92
No se requiere más que la deducción de las propiedades del sistema que se desea modelar, sin
ningún tipo de formalismo matemático.
119

7 Conclusiones
7.1 ¿Por qué autómatas celulares?
La respuesta es clara: un AC es un sistema matemático que permite modelar
sistemas dinámicos complejos a partir de la especificación de la dinámica local de
sus componentes. Es sencillo especificar reglas de AC y los resultados gráficos
del AC hacen fácil la interpretación en términos del sistema bajo estudio.
En general es más sencillo entender un AC y especificar las reglas de éste, que
desarrollar una ecuación diferencial parcial para describir la dinámica de un
sistema integrado por muchos componentes con gran cantidad de variables
involucradas. Además, todos los procesos de experimentación de un biólogo
pueden ser realizados en el AC. El AC es un medio artificial de experimentación.
Esta experimentación permite realizar pruebas de sistemas de gran escala de
espacio y tiempo que de forma natural son imposibles de realizar. Por ejemplo, si
se utiliza un AC para modelar la dinámica de un bosque tropical bajo manejo
forestal, sería posible establecer todas las variantes de manejo y determinar cuál
es el impacto en la distribución espacial y temporal de especies; este experimento
no se puede realizar en la realidad, por implicaciones éticas y porque la escala
temporal del experimento va más allá de nuestro tiempo de vida.
Si bien un AC requiere cierto poder de procesamiento, hoy en día cualquier
computadora personal tiene la capacidad para trabajar con AC, por lo que
cualquier investigador con su computador puede experimentar con AC, sentado en
su escritorio.
7.2 ¿Que importancia tiene el concepto de entidades biológicas?
La posibilidad de hacer de las ciencias biológicas una ciencia estructurada, donde
existen leyes que pueden ser utilizadas para la construcción y control de sistemas
biológicos, depende de nuestra capacidad de proponer una biología unificada,
donde se conocen principios y leyes que aplican a las entidades biológicas. El
concepto de entidades biológicas propone la idea de que toda ley biológica
universal debe aplicarse a todas las entidades biológicas. Una entidad biológica
es un individuo, una población, un ecosistema o GAIA. Las entidades biológicas
son sistemas cuya dinámica en espacio y tiempo cumplen con principios
biológicos.
120

7.3 ¿Son los autómatas celulares un modelo universal de entidades
biológicas?
La gran mayoría de estudios con AC han sido realizados para modelos de
sistemas físicos. Producto de estas investigaciones ha sido posible determinar de
forma clara cuáles son las propiedades de estos sistemas matemáticos y cómo,
además de ser buenos modelos son representaciones casi exactas de fenómenos
físicos. En términos de sistemas biológicos pareciera que las propiedades de AC
son suficientes para modelar la dinámica de entidades biológicas. Las
propiedades de AC de auto-organización, auto-replicación, computación universal
y complejidad son importantes en el desarrollo de leyes para entidades biológicas.
Si toda dinámica de entidades biológicas puede ser modelada con ecuaciones
diferenciales, entonces también un AC puede hacerlo. La naturaleza discreta de
los AC hace que sea simple pasar de datos biológicos experimentales, que
representan muestras discretas de una entidad biológica, a reglas de AC.
Como conclusión podríamos conjeturar que toda ley biológica universal puede
modelarse con un AC.
7.4 ¿Por qué un lenguaje para especificar autómatas celulares?
Muchos de los trabajos de AC han sido realizados programando AC específicos y
no utilizando un constructor universal de AC. Aunque algunos programas útiles
existen (Mathematica, CAM-PC, CellLab), no son accesibles para un biólogo
investigador. Al diseñar un lenguaje que de forma simple permite construir
cualquier AC, es posible acercar a los investigadores a estos modelos. Como
resultado del diseño se obtuvo un lenguaje simple y compacto, que permite
modelar sistemas de complejidad arbitraria.
Además se describe el lenguaje tanto sintácticamente como semánticamente, lo
cual facilita que investigadores construyan sus propios procesadores del mismo
lenguaje y puedan extender sus posibilidades.
7.5 ¿Es ACFw capaz de modelar cualquier autómata celular?
Todos los AC clásicos 93 presentados en este trabajo, fueron construidos con el
leguaje diseñado (ACF) y el programa creado (ACFw). En principio cualquier AC
puede ser construido con ACFw, sin embargo no se da ninguna prueba formal de
esta afirmación. ACFw es una primera versión, queda el camino abierto para
extender las posibilidades del programa
93 Referimos como clásicos, a todos aquellos AC que han representado un avance considerable en
el entendimiento de las propiedades de estos sistemas.
121

7.6 ¿Es ACFw un modelo ideal para aplicaciones biológicas?
Con las aplicaciones biológicas construidas para estudiar las posibilidades de
ACFw, pareciera sencillo construir cualquier modelo biológico; quedará en las
manos de los investigadores realizar experimentos más formales que puedan
determinar el potencial del programa.
Las herramientas de investigación programadas en ACFw, permiten trabajar con
los AC como un ambiente de experimentación. Con ACFw es posible medir las
mismas variables que forman parte de cualquier proceso de investigación
biológica en tiempo y espacio.
7.7 Alcances de la tesis
1) Es importante acercar las investigaciones de las ciencias de la computación
con ciencias naturales como la biología. Este trabajo es un intento de acercar
ambos mundos.
2) La informalidad de muchas investigaciones biológicas, se debe a la poca
disponibilidad de sistemas simples para modelar. ACFw es un programa al
alcance de todos los investigadores.
3) La enseñanza de la biología utilizando AC, puede tomar nuevas dimensiones.
Un programa como ACFw, permitiría demostrar cómo es posible modelar y
formalizar la dinámica de los sistemas biológicos, cómo entender las entidades
biológicas en espacio y tiempo, y el papel de sistemas formales en el
entendimiento y formalización de la biología.
4) Experimentos de gran escala pueden ser llevados a cabo en un AC como
ambiente controlado. En ACFw se proveen herramientas para la
experimentación que facilitan la labor del investigador.
5) Al construir reglas de AC basados en datos experimentales, se hace una
abstracción del comportamiento fundamental de las unidades de un sistema.
Si el modelo funciona e imita bien el sistema real, las reglas planteadas
representan teoremas de funcionamiento de este sistema. Este trabajo
ejemplifica la construcción de AC biológicos y muestra cómo se pueden
realizar tanto trabajos experimentales como teóricos utilizando AC.
6) El documento de tesis, puede ser una guía para que biólogos y otros
investigadores experimenten con este tipo de modelos. dado a que
practicamente todo el material sobre AC se encuantra en inglés, esta tesis es
una buena referencia en español de las propiedades y particularidades de los
AC.
122

7) Es importante fomentar la integración de diferentes ramas de la ciencia para
desarrollar teorías interesantes. Este trabajo mezcla aspectos de computación
y biología. Para el autor esta experiencia fue estimulante y espera poder
trasmitirla a otros investigadores.
7.8 Comentario Final
Aunque no se ha resuelto ningún aspecto fundamental de la biología, se han
planteado algunas ideas que buscan una biología unificada. Las nociones
abstractas de las ciencias de la computación, son puentes para la construcción de
teorías sólidas en otras ciencias como la biología. A través de los autómatas
celulares hemos visto que sistemas exactos, donde todas las reglas son definidas
de forma determinística, pueden generar resultados impredecibles, y la
organización propia de sistemas complejos. Los comportamientos complejos de
los sistemas biológicos son impredecibles, y los autómatas celulares sugieren la
posibilidad de que las reglas mismas del funcionamiento biológico son exactas y
determinísticas. Sin embargo queda una duda respecto a esta afirmación.
Muchos de los fenómenos biológicos son irreversibles. Al ser sistemas disipativos,
donde la energía y la materia se mueven hacia otros sub-sistemas, los cambios de
estado no permiten que se pueda determinar el origen exacto de una situación
presente. Si construyéramos en un autómata celular un modelo de una situación
biológica particular, no estamos seguros si la regla es la única que puede originar
el resultado final del sistema, o existe un conjunto de reglas que pueden generar el
mismo comportamiento. Lo que sí nos queda claro es que un número grande de
situaciones iniciales, llevan a un conjunto reducido de configuraciones finales, lo
que es congruente con la estabilidad propia de sistemas biológicos.
Son muchos los cuestionamientos que pueden surgir a partir de las nociones de
ciencias puras como la computación, aplicadas a ciencias nuevas como la
biología. El esfuerzo de integrar ambas ciencias no es irrelevante, dado que la
biología no puede predecir los cambios si no es con herramientas formales que le
permitan modelarlos. Actualmente es necesario, no sólo resolver aspectos
teóricos del comportamiento de los sistemas naturales, sino la búsqueda de
soluciones aplicables a nuestra realidad. El manejo de recursos no tiene futuro, si
no construimos modelos que permitan simular los cambios a los cuales estamos
sometiendo a las regiones bajo manejo. Algunas de estas respuestas urgentes,
pueden ser construidas con autómatas celulares, y su fácil interpretación los
hacen la herramienta más accesible para que investigadores en ciencias aplicadas
encuentren soluciones a sus problemas
La herramienta y el lenguaje desarrollados, son un primer paso en la búsqueda del
nuevo orden biológico, y abren la puerta para que investigadores y estudiantes
puedan experimentar y simular sistemas, y puedan construir soluciones a
problemas teóricos o prácticos.
123

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133

ANEXO A: FORTH
FORTH es un lenguaje de programación que se utiliza en procesos de control
[Ahson, 1985]. Este lenguaje fue diseñado para facilitar la comunicación entre
máquinas y seres humanos, utilizando un lenguaje natural orientado al manejo de
máquinas [ANS-FORTH, 1993]. Este lenguaje tiene características de lenguaje de
alto nivel como PASCAL y BASIC, pero permite una estrecha relación a bajo nivel
con la máquina.
FORTH fue desarrollado por C.H. Moore en los años 70. FORTH es un lenguaje
orientado a pilas. La mayoría de comandos utilizan el valor en el tope de una pila
de datos y dejan algún resultado en la misma pila. Por esta razón Forth utiliza
notación posfija 94 ya que los parámetros deben estar en la pila antes de realizar
una operación sobre ellos. Este tipo de notación permite construir expresiones de
profundidad arbitraria sin recurrir al uso de paréntesis [Toffoli, 1991]
FORTH es un programa interactivo, es decir, cada expresión es analizada,
compilada y ejecutada; y el resultado de la expresión es reportado. Todas las
palabras reservadas del lenguaje forman parte de un diccionario, el cual se puede
extender incorporando nuevas palabras que no estén o dar nuevo significado a
las palabras existentes.
Los aspectos más notorios de este lenguaje son su diccionario, la pila y el
compilador.
Diccionario
Las palabras de FORTH se estructuran en un diccionario. Este diccionario consta
de tres partes lógicas: nombre, código, dato. Es decir cada palabra propia del
diccionario o extendida por el usuario, cuenta con un nombre que identifica la
palabra, un código que detemina qué hace la palabra y la estructura necesaria
para almacenar datos.
Pila
FORTH es un lenguaje que permite tener gran poder de expresión y eficiencia en
un código muy compacto. El gran poder expresivo radica en la utilización de una
pila. La pila es una secuencia de celdas de 32bits cada una que almacena valores
enteros, booleanos o reales de forma indiferente. La pila es de tipo LIFO es decir
el primero que entra es el último que sale.
Compilador
94 Los operandos se colocan antes de los operadores p.e. (1 + 2), se escribe (1 2 +)
134

Las entradas del diccionario se denominan “palabras”. Para programar en
FORTH, se agregan secuencialmente nuevas palabras al diccionario (se definen
nuevas a partir de las existentes), de esta forma se extiende el conocimiento del
intérprete y el poder de expresión. Cuando el intérprete encuentra el símbolo “:”
se abre una nueva entrada en el diccionario con el nombre inmediato de este
símbolo, y se almacena el código contenido en esta nueva entrada.
El compilador lee de izquierda a derecha, es decir, si el compilador encuentra la
siguiente secuencia A B C, ejecutará primero A, luego B y finalmente C con los
valores disponibles en la pila.
Características adicionales
Características de lenguajes estructurados como Pascal, también están
disponibles en FORTH. Tiene las estructuras normales de control:
1. IF... THEN
2. IF... ELSE ... THEN
3. BEGIN ... WHILE ...REPEAT
4. BEGIN ... UNTIL
5. BEGIN...AGAIN
6. DO...LOOP
Es posible inicializar las variables en la declaración. También se pueden hacer
construcciones recursivas, para definir arreglos y otras estructuras que no están
predefinidas en el lenguaje.
En FORTH es posible mover datos entre la pila y la memoria o de memoria a
memoria. Además se pueden manipular los datos almacenados en la pila con los
comandos como DUP, DROP, SWAP, etc.
La implementación de un intérprete de FORTH es bastante sencilla, y es posible
conseguir el documento de ANS-FORTH donde se definen los estándares para la
implementación de interpretes del lenguaje [ANS-FORTH, 1993].
135

ANEXO B. CAM (Cellular Automata Machines)
CAM fue desarrollado por Tommaso Toffoli en 1984 [Toffoli, 1984a], con el fin de
tener una herramienta eficiente capaz de llevar a cabo las tareas computacionales
involucradas en la construcción de autómatas celulares (AC). Lo que se quería
era un sistema tan simple como escoger una regla, una configuración inicial y listo.
Físicamente CAM consiste en una tarjeta que se conecta a un PC (en ambiente
DOS). EL control de la tarjeta se adquiere mediante el lenguaje FORTH, y al
ejecutar usa la memoria de la PC.
El espacio celular
CAM es un sistema con un procesador paralelo para la simulación de AC y otros
sistemas discretos. El universo de CAM consiste en 65536 celdas en un arreglo
de 256x256. Cada celda puede contener hasta 8 bits de información que
corresponden a 256 estados.
La dinámica
La dinámica del sistema es especificada por una función de transición, codificada
en una tabla RAM. Normalmente se envían los argumentos de estados de los
vecinos y se obtiene el nuevo estado de la función de transición. El sistema no es
totalmente paralelo y por ello debe crear una copia del arreglo para almacenar los
nuevos estados del AC.
Despliegue
En este sistema el despliegue es actualizado al mismo tiempo que la actualización
del arreglo. Además es posible modificar cualquier aspecto del despliegue
modificando un función de despliegue que ocurre de forma simultánea que la
función de transición.
136

ANEXO C. Maquinas de Turing y AC
Una de las formas para demostrar la capacidad de computación universal de un
AC, es tratando de simular una máquina de Turing (MT) que opere dentro de un
AC. Una MT es un mecanismo conceptualmente simple que consiste en una cinta
de 1-dimensión dividida en cuadros iguales, y una cabeza que lee y escribe en un
cuadro en la cinta y se mueve en dos direcciones se supone que la cinta es de
extensión infinita y que los cuadros están inicialmente en blanco. Smith [Smith,
1990, 1971] propone el siguiente teorema para construir un AC equivalente a una
máquina de Turing.
Teorema: Para una máquina de Turing T con m símbolos y n estados existe un AC
A de 1-dimensión con r=1 (3 vecinos) y con m+2n estados que pueden simularlo.
Demostración: Sea T una máquina de Turing con M={x1,x2,...,xm} símbolos y
Q={q1,q2,...,qn} estados. El movimiento de la cabeza H es descrito por un conjunto
de quíntuples de la forma qixjxkLql ó qixjxkRql . qi representa el estado interno de T,
xj el símbolo que se está leyendo de la cinta, xk el símbolo que se debe escribir en
la cinta , L ó R el movimiento de H y ql el nuevo estado interno de T.
Construyamos un AC A de 1-dimensión cuyas celdas a consideran solamente los
vecinos inmediatos izquierdo (a-) y derecho (a+). El arreglo lineal de celdas
representa la cinta de una MT y cada celda puede estar en cualquiera de los
siguientes m+2n estados: Los primeros m estados Q M = { x1,
x2
, , xm}
representan
los m símbolos de T. Los estados de T deben representarse en A de tal forma de
que además de los n estados, se especifique el equivalente al movimiento de H,
que en A son los n estados mirando hacia L ó R, es decir Q = q , , q } y
137
NL
{ 1L nL
Q NR = { q1R
, , qnR}
por tanto QNL ∪ QNR
= 2n
estados. La celda quiescente
representa el espacio blanco en la cinta de T.
Dado que el cambio de estado en A ocurre en cada celda de forma simultánea,
por cada regla de transición de T es necesario especificar en A:
Transición en T
qixjxkRql
qixjxkLql
#
t
a− Transición en A
t t
a
a +
t+
1
a
1 a ... qiR xj xk
1 b qiR xj ... qlR
2 a xz qiR xj qiL
2 b qiR xj ... xk
2 c ... xz qiL qlR
2 d xz qiL xz
Cinta sin H 5 ... xj ... xj

(...) representa cualquier estado del conjunto QM y qiR,qiL,qlR ∈ QN y xi,xk,xz ∈ QM.
Los movimientos en A hacia la derecha (#1a y 1b de la tabla anterior) ocurren en
un paso: t
→ x1x 2q
R x3x
4
+ 1
→ t
x1x 2 x3q
R x4
′ ′ mientras que los movimientos a la
izquierda ocurren en dos pasos (#2 a,2 b,2 c y 2 d): t
→
x1x 2q
R
x
3
x
4
+ 1
→ t
x x qL
x x ′ ′
1
2
3
4
+ 2
→ t
x q′
R x x′
x
1
El número de estados de A es QM ∪ QNR
∪ QNL
= m+2n . De lo anterior entonces
es posible construir un AC con m+2n estados capaz de simular a una máquina de
Turing. Q.E.D.
La figura C.1 muestra un ejemplo sencillo de una máquina de Turing que suma
dos números unarios 95 . Utilizando el teorema descrito, el código en ACF es el
siguiente:
vec C C1 C2 E E1 E2 W W1 W2;
: S0 W2 W1 W 3 int case { 0 0 2 4 0 0 0 0 0 };
: S1 W2 W1 W 3 int case { 1 1 3 3 1 0 0 0 0 };
rules
: C2 C1 C 3 int case { S0 S1 0 1 1 0 0 0 0 } >PA;
Se utilizan 3 planos para poder tener disponibles 8 estados, y se consideran
solamente los vecinos inmediatos izquierdo y derecho, además del central (línea 1
del código). El resultado de correr este AC se observa en la figura C.2.
0,0,R 1,1,R
1,0,R
q0
q2
95 Un número u en representación unaria esta construido por una secuencia u de 1 consecutivos
138
2
3
0,1,R
Figura C.1. Diagrama de transiciones en una máquina de Turing (MT) que
ejecuta sumas de números unarios (1s) separados por un espacio en blanco
(0). Los nodos representan los estado internos de MT (el doble círculo el
estado final) y las aristas las transiciones s,s’,M;donde s es el simbolo leído, s’
es el simbolo que se debe escribir y M es el movimiento (R o L).
4
q1

t t+1 t+2 t+3
2 + 3 5
q0
q1
q2
1
Figura C.2. AC lineal que simula una máquina de Turing (MT) que suma números
unarios. Cada cuadro representa una celda del AC. Tres estados (rojo, amarillo
y verde) simulan los estados internos de la MT y el estado azul el símbolo de MT
En realidad se necesitan solamente 4 estados en el AC para simular la MT del
ejemplo, esto debido a que los movimientos en la MT sólo son en una dirección, y
por tanto con m+n estados en AC es suficiente .
Corolario : Para una máquina de Turing T con m símbolos y n estados, que realiza
movimientos sólo en una dirección (L ó R); existe un AC A de 1-dimensión con r=1
(3 vecinos) y con m+n estados que pueden simularlo.
Demostración : del teorema anterior tenemos que el número total de estados de A
es QM ∪ QNR
∪ QNL
= m+2n. dado que T realiza movimientos sólo en una dirección,
digamos L entonces en A , Q NR = ∅ y por tanto QM ∪ QNL
= m+n. Del mismo
modo si los movimientos son sólo en R.
Si es posible construir un autómata celular que simule una MT entonces cualquier
procedimiento Turing-computable lo será también en un AC.
139

ANEXO D: Generador de números aleatorios
Los números aleatorios son necesarios para una amplia variedad de propósitos:
muestreos, análisis numéricos, programación, toma de decisiones, etc. Aunque
es difícil que un sistema totalmente determinístico como un computadora genere
números realmente aleatorios 96 , cualquier secuencia numérica generada por un
programa donde no se puedan reconocer patrones y no se puedan hacer
predicciones se considera una secuencia de números aleatorios.
En general para generar un secuencia de números aleatorios, se comienza con
una simple semilla inicial (un valor inicial cualquiera), y luego de forma iterativa se
aplica algún tipo de transformación a este número. El método más común de
generación de números aleatorios es el de congruencia lineal, donde la secuencia
se genera mediante la siguiente función:
xt + 1 = ( axt
+ c)
mod m
Este método no genera números aleatorios para cualquier valor de a, c y m, sino
que ha demostrado ser buenos con ciertos valores de a y m, en particular a=7 5 y
m=2 31 -1 [Press, 1992].
Para efectos de ACFw se implementó un generador de números aleatorios basado
en AC elementales propuesto por Wolfram. Para determinar la capacidad de
aleatoriedad del generador, se aplicaron dos de las pruebas sugeridas por Knuth
[Knuth, 1969], además de la de la prueba de correlación seriada propuesta por von
Neumann [von Neumann, 1941; Zar, 1984].
El generador de números aleatorios
El comportamiento de la regla30 (según la codificación de Wolfram), parece
generar secuencias suficientemente aleatorias para construir un generador a partir
de esta regla de autómata celular. La regla 30 es la siguiente:
a ′ i = ai
−1
xor ( ai
or ai
+ 1)
donde ai es el estado de la celda en posición i de un arreglo unidimensional. En la
figura D.1, se puede observar el comportamiento de este AC elemental, después
de 1000 generaciones iniciando con un 1 en el centro del arreglo.
96 En general se les llama números pseudo - aleatorios
140

Implemetación
Figura D.1 Regla 30 de Wolfram despupés de 100 generaciones. El
tiempo se representa en el eje vertical.
Para implementar el generador se utilizó un entero A de 64 bits (en realidad dos
enteros de 32bits juntos), en forma de anillo 97 . Cada bit representa una celda del
AC, con dos posibles estados {0,1}. Comenzando con un semilla inicial 98 , para
actualizar en paralelo cada celda, se crean tres copias del entero que llamaremos
AL y AR . La copia AL se rota un bit a la izquierda y AR un bit a la derecha como lo
muestra la figura D.2. Luego se aplica de forma directa la operación
A ′ = AL
xor ( A or AR
) , esto actualiza en paralelo cada una de los 64 bits. Para
A
obtener un número real en el intervalo [0,1] se reliza la operación . 64
2
97
El extremo izquierdo se une con el derecho.
98
Tomando la fecha y hora del reloj y aplicando un generador de congruencia lineal para generar
la semilla.
141

A
AR
AL
Figura D.2 Rotaciones realizadas al arreglo de 64bits para ejecutar la
regla 30 en paralelo.
Pruebas de Aleatoridad
1
..
0
0 1
or
1 0
xor
1 ..
A′
Se aplicaron las siguientes pruebas de aleatoriedad a 100000 números generados
con el AC elemental de la regla 30:
A. Frecuencia de bloques: Cada una de las 2 n bloques de tamaño n deben ocurrir
con igual frecuencia (se utilizó n=8).
B. Permutación de distribución de frecuencias: Los valores de q n-bloques
sucesivos deben ocurrir en todas las q! ordenaciones con igual frecuencia.
(n=8, q=5).
C. Correlación seriada: Calcula la distancia euclidiana entre dos valores sucesivos
y se calcula la relación con la desviación estándar .
Con una tolerancia del 95%, los valores de P entre 0.05 y 0.95 se consideran
suficientemente aleatorios, valores cercanos a 0 ó 1 tienden a desviarse de la
aleatoriedad. Los resultados para cada prueba fueron A. P=0.3391, B. P=0.3852 y
C. P=0.1494. Por tanto se concluye que el generador de números aleatorios
genera secuencias suficientemente aleatorias.
142