Matematiikan perusteet taloustieteilijÃ¶ille 1a - Oulun yliopiston ...

More documents

Recommendations

Info

1 Perusmatematiikkaa 1.1 Lukujoukot Luonnollisten lukujen joukko N = {0, 1, 2, . . .} Positiivisten luonnollisten lukujen joukko N + = {1, 2, . . .} Kokonaislukujen joukko Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .} Rationaalilukujen joukko Q = { m | m, n ∈ Z, n ≠ 0} n Kun täydennetään rationaalilukujen joukkoa Q vielä irrationaaliluvuilla (luvuilla, joiden desimaaliosa on päättymätön ja jaksoton), saadaan reaalilukujen joukko R. Reaaliluvuilla on voimassa seuraavat laskulait (a, b, c ∈ R) • kommutatiivisuus eli vaihdannaisuus a + b = b + a, ab = ba • assosiatiivisuus eli liitännäisyys • distributiivisuus eli osittelulaki (a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a(b + c) = ab + ac, (a + b)c = ac + bc 1.2 Rationaalilukujen laskutoimitukset (a, b, c, d, k ∈ Z) • laventaminen k) a b = ka kb , k ≠ 0 • supistaminen ka kb = a b , k ≠ 0 • yhteenlasku (lavennus samannimisiksi) d) a b + b) c d = ad bd + bc bd = ad + bc bd 3
• vähennyslasku (lavennus samannimisiksi) • kertolasku • jakolasku d) a b − b) c d = ad bd − bc bd a b · c d = ac bd a b : c d = a b · d c = ad bc = ad − bc bd Esimerkki 1.1. Esitä seuraavat luvut murtolukuina, jos mahdollista. a) 1 2 + 2 3 b) 1 2 · 2 3 c) 1 2 : 2 ( 3 d) 2 · 3 + 2 ) 3 e) 1, 23567 f) 3.123123123123 . . . g) 3.123454545 . . . 1.3 Potensseista ja juurista Olkoon a reaaliluku ja n ∈ N + . Tällöin määritellään a n = a · a · . . . · a (tekijöitä a on n kappaletta). Siis a 1 = a ja a n+1 = a n · a . Lisäksi a 0 = 1 ja a −n = 1 a n . Potenssin laskulakeja: (a, b ∈ R ja m, n ∈ Z) 1) a m · a n = a m+n 2) am a n = am−n 3) (a m ) n = a m·n 4) a n · b n = (a · b) n ( 5) an a ) n ( a ) ( −n n b b = 6) = n b b a) 7) 1 n = 1 8) Jos 0 ≤ a, b, niin a = b ⇔ a 2 = b 2 9) Jos 0 ≤ a < b, niin 0 ≤ a 2 < b 2 10) Jos 0 ≤ a, b ja n ∈ N + , niin a = b ⇔ a n = b n 11) Jos 0 ≤ a < b ja n ∈ N + , niin 0 ≤ a n < b n 4
Page 1 and 2: Matematiikan perusteet taloustietei
Page 3: 7 Potenssifunktio 29 7.1 Potenssiyh
Page 7 and 8: 1.5 Merkintöjä ja muuta tärkeä
Page 9 and 10: ]a, ∞[= {x ∈ R | x > a} [a, ∞
Page 11 and 12: Eräiden funktioiden kuvaajia: 1. V
Page 13 and 14: Geometrisesti: Funktio f on alaspä
Page 15 and 16: Olkoon a = 0. Tällöin x 1 < x 2
Page 17 and 18: a < 0 : ax + b > 0 ⇔ ax > (−b)
Page 19 and 20: Ratkaisumenettely: (i) Ratkaistaan
Page 21 and 22: (iii) Oletetaan nyt, että x = x 1
Page 23 and 24: Sovellus 2: Olkoot hyödykemäärä
Page 25 and 26: (ii) Päätellään merkkikaavion a
Page 27 and 28: Varmin tapa: Jos yhtälössä useit
Page 29 and 30: 6.2 Neliöjuuriepäyhtälö 1. Peru
Page 31 and 32: Esimerkki 7.2. Ratkaise yhtälöt a
Page 33 and 34: 9 Logaritmifunktio Tarkastellaan yh
Page 35 and 36: 10 Eksponentti- ja logaritmifunktio
Page 37 and 38: 3 o Oppimisfunktiot Psykologit käy
Page 39 and 40: Huomautus. g ◦ f on yleensä eri
Page 41 and 42: Funktiota f −1 sanotaan funktion
Page 43 and 44: 12.2 Käyrien yhteisten pisteiden e
Page 45 and 46: Raja-arvon peruslaskusääntöjä:
Page 47 and 48: Siis 1 lim x→0 − x 1 Näin olle
Page 49 and 50: Esimerkki 13.6. x 3 − 4x + 3 lim
Page 51 and 52: 14 Funktion jatkuvuus 14.1 Jatkuvuu
Page 53 and 54: 14.2 Jatkuvien funktioiden ominaisu
Page 55 and 56:
{ x, x < 0 Esimerkki 14.4. Funktio
Page 57 and 58:
15 Lukujonot ja sarjat 15.1 Lukujon
Page 59:
Aritmeettisen sarjan osasumma S n =
show all

Matematiikan perusteet taloustieteilijÃ¶ille 1a - Oulun yliopiston ...

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?