Sekalaiset tehtävät

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 5 / 13
Tehtävien ratkaisut
Ratkaisu 1. Koska a ≠ 0, niin
ax 2 + bx + c = 0 ⇔ x 2 + b a x + c a = 0.
Merkitään, että p = b ja q = c . Täydennetään vasemmalle puolelle neliö lisää-
a a
mällä yhtälön molemmille puolille luku ( p 2 )2 − q eli
Koska
x 2 + 2 · p
2 x + (p 2 )2 = ( p 2 )2 − q.
x 2 + 2 · p
2 x + (p 2 )2 = (x + p 2 )2 ,
niin voidaan ottaa neliöjuuri puolittain olettaen, että ( p 2 )2 − q ≥ 0 ja saadaan
x + p 2 = ± √( p 2 )2 − q.
Siis
x = − p 2 ± √
( p 2 )2 − q = − b
2a ± √
( b
2a )2 − c a .
Koska a ≠ 0, niin
√
±
Koska |a| = ±a, niin
( b
2a )2 − c a = ± √
b
2
4a 2 − c a = ± √
1
4a 2 (b2 − 4ac) = ±
x = −b ± √ b 2 − 4ac
2a
√
b2 − 4ac
2 |a|
aina, kun ( p 2 )2 − q ≥ 0 eli b 2 − 4ac ≥ 0. Mikäli b 2 − 4ac < 0, niin yhtälöllä
ax 2 + bx + c = 0 ei ole reaalisia ratkaisuja.
Ratkaisu 2. Luku M on joukon A ⊂ R pienin yläraja, mikäli
1. a ≤ M kaikilla a ∈ A ja
2. jokaista lukua ɛ > 0 kohti on olemassa sellainen a ∈ A, että M −ɛ < a ≤ M.
5