1. kertaluvun differentiaaliyhtälöt

Tälloin yhtälö (6.3) on ekvivalentti yhtälönP (y) = Q(x) + Ckanssa. Kirjoittamalla y = y(x) ja derivoimalla x:nsuhteen saammeddx P (y(x)) = P ′ (y(x))y ′ (x) = ddx Q(x) ⇒p(y)y ′ = q(x)mikä oli alkuperäinen differentiaaliyhtälö.Esim. Ratkaise dydx = x−5y 2Kerrotaan yhtälö puolittain tekijällä y 2 dx, jolloin saadaany 2 dy = (x − 5) dx.Integrointi molemmin puolin antaa∫ ∫y 2 dy = (x − 5) dxeliRatkaistaan y:y 33 = x2− 5x + C.2( ) 3x21/3y =2 − 15x + 3C .Koska vakio C voi olla mielivaltainen reaaliluku niinsellainen on myös 3C. Voimme siis aivan hyvin korvatasen vaikkapa symbolilla K:( ) 3x21/3y =2 − 15x + K .Esim. Ratkaise alkuarvotehtävä dydx = y−1x+3kun y(−1) = 0Muuttujien erottaminen johtaa yhtälöönTämän integrointi antaadyy − 1 = dxx + 3 .ln |y − 1| = ln |x + 3| + C.Eksponentioidaan yhtälön molemmat puolet ja saadaanelie ln |y−1| ln |x+3|+C= e|y − 1| = e C |x + 3| = K|x + 3|,missä olemme merkinneet K = e C > 0. Riippuenmuuttujien y ja x arvoista on |y − 1| = ±(y − 1) ja|x + 3| = ±(x + 3). Voimme siis kirjoittaay − 1 = ±K(x + 3) tai y = 1 + (±K)(x + 3).Merkitään vakiota ±K jälleen symbolilla C, joka voi nytsiis olla mielivaltainen reaaliluku. Saamme silloindifferentiaaliyhtälön ratkaisuksi y = 1 + C(x + 3).Alkuehto oli y(−1) = 1 + C(−1 + 3) = 0 eli C = −1/2.Alkuarvotehtävän siis ratkaisee funktioy = − 1 2 − 1 2 x.6.1.2 Lineaariset yhtälötEnsimmäisen kertaluvun lineaarinen yhtälö on muotoaa 1 (x) dydx + a 0(x)y = b(x), (6.4)missä kertoimet a 1 (x), a 0 (x) ja oikea puoli b(x) voivatriippua vain vapaasta muuttujasta x mutta eivätriippuvasta muuttujasta y.Esimerkiksi yhtälöx 2 sin x − (cos x)y = (sin x) dydxon selvästikin lineaarinen. Yhtälöy dydx + (sin x)y3 = e x + 1sen sijaan ei ole lineaarinen, sillä sen lisäksi ettäderivaatan kertoimena on riippuva muuttuja y esiintyyyhtälössä muuttujan y kuutiollinen termi.Olettaen, että kerroin a 1 (x) yhtälössä (6.4) ontarkasteltavalla välillä nollasta poikkeava, ensimmäisenkertaluvun yhtälö on kirjoitettavissa standardimuotoondy+ p(x)y = q(x). (6.5)dxJos asetetaan q(x) = 0 yhtälöä sanotaan homogeeniseksi,alkuperäistä täydelliseksi. Homogeenisen yhtälön kaikissatermeissä esiintyy siis ainoastaan y:n tai y ′ ensimmäistäpotenssia.Ratkaisussa kannattaa lähteä liikkeelle homogeenisenyhtälön ratkaisusta:I) Homogeeninen yhtälö (HY):Ratkeaa separoimalla:⇒⇒dydx + p(x)y = 0dyy = −p(x)dx∫ln |y| = − p(x)dx + A[ ∫ ]y = C exp − p(x)dxmissä C = ±e A on integroimisvakio. Tämä on HY:nyleinen ratkaisu.41