ψ π ψ ψ ψ θ ψ ψ µ µ θ θ θ θ φ ψ π π ψ π ψ π ψ π π ψ ψ ψ µ πε πε π ε µ

LH4-3 Rubiinilaserin emittoiman valon aallonpituus on 694,3 nm. Olettaen että fotoninemissioon tällä aallonpituudella liittyy äärettömän potentiaalikuopan elektronin transitio n=2tasolta n=1 tasolle, laske kuopan leveys L.Ratkaisu:Potentiaalikuopan energiatasot ovat2 2h nEn= ,28mLjoten transitiossa tilalta n + 1 tilaan n vapautuu energiaa ∆E verran, mikä vastaa emittoituneenfotonin energiaa :2 2h 2 2 h hc∆ E = En+1− En= ( n + 2n + 1 − n ) = (2n+ 1) =2 28mL 8mL λNyt n = 1.Tästä ratkaistaan kuopan leveys L ja saadaan sijoittamalla elektronin massa ja vakiot3λh 3λhc 3(694,3 nm)(1240 eV ⋅ nm)L = = = = 0.795nm.2 68mc 8mc 8(0.511×10 eV )LH4-4 Äärettömän kovassa potentiaalilaatikossa (x-akselin välillä [ 0,a ]) sijaitsevanhiukkasen aaltofunktio ajanhetkellä t = 0 on muotoa Ψ ( x, t = 0) = Ax( a − x). (a) Mitä arvojahiukkasen energia voi saada yksittäisissä mittauksissa. (b) Laske energian odotusarvo(tilastollinen keskiarvo kun energia mitataan useita kertoja). (c) Millä todennäköisyydellähiukkasella on energia π 2 2 /( 2ma2)? (d) Riippuuko energian odotusarvo ajasta?(a) Annettu aaltofunktio ei ole potentiaalilaatikon ominaistila. Kyseessä on siis eistationäärinentila ja energian odotusarvo on potentiaalilaatikon ominaisenergioiden painotettukeskiarvo. Yksittäisessä mittauksessa saadaan jokin potentiaaliboksin ominaisenergioista( )2 2 2n = π / 2 missä n ( 1,2,3,.. )E n ma. Kertaa kvanttifysiikan aksioomat luvusta 3.2 Katsoerityisesti Hamiltonin operaattorin määritelmä ja odotusarvojen laskeminen.(b) Käyttämällä energian odotusarvon määritelmää saadaan:Osoittajasta saadaand2aa a* ˆ *E = ψ Hψ dx ψ ψ dx0 0 0 0Derivointi antaa ( ) ( )dx22 a2−1ψ * ˆ2dH ψ dx = − A x ( a x) x ( a x)dx2m − 2dx− .dx a − x = a − x − x= −2dx . Sijoittamalla sadaan