Géométrie, médiane et diffusion de spectres de fréquences ...

Air Systems Division 

Géométrie, médiane et diffusion de 

spectres de fréquences acoustiques : 

Ou Comment "médianiser" ou 

"diffuser" des morceaux de musiques 

F. Barbaresco

2 


L’Orateur 

� Frédéric BARBARESCO (frederic.barbaresco@thalesgroup.com) 

� Expert au département « Strategy Technology & Innovation » de la BL « Surface Radar » de la division « Air 

Systems » du groupe THALES (Domaine d’expertise : les senseurs radar cognitifs et le traitement avancé du 

signal radar, en particulier la refondation du traitement du signal radar sur la géométrie de l’information et la 

géométrie des matrices de covariance) 

� En charge de la coordination des thèses au sein de la BL 

� Membre du THALES KTD PCC (Key Technology Domain, Processing Control & Cognition) présidé par J.F. 

Marcotorchino (Directeur scientifique de THALES Land & Joint, enseignant à Paris 6) 

� Animateur du groupe MATHERON des experts THALES en traitement d’image 

� Membre Senior SEE, médaille Ampère 2007 et président du club SI 2 D (Signal, Image, Information & Décision) : 

www.see.asso.fr 

� Président du comité d’organisation de la conférence SEE Internationale COGIS (COGnitive systems with 

Interactive Sensors) avec Daniel Krob (X : Chaire Thales « Systèmes Complexes ») : www.cogis2009.org 

� Organisation de la journée 2009 SEE/Académie des Sciences «Traitement de l'information : avancées et 

défis actuels » (pour les 125 ans de la SEE) : 

http://www.academie-sciences.fr/conferences/colloques/colloque_html/colloque_27_01_09.htm 

� Membre du comité d’organisation de la conférence internationale MIA (Mathematic & Image Analysis) 

sponsorisée par THALES et présidé par L. Cohen & G. Peyré (CEREMADE, GDR MSPC), qui aura lieu à 

l’Institut Henri Poincaré en Décembre 09 : http://www.ceremade.dauphine.fr/~peyre/mia09/ 

� Membre du club des clubs des partenaires industriels des GDRs : 

� GDR ISIS (Image Signal InformationS) : http://gdr-isis.org/ 

� GDR ONDES : http://gdr-ondes.lss.supelec.fr/ 

� Projet de REI DGA/MRIS « Géométrie de l’information pour le traitement des signaux matriciels » (Prof. 

Nielsen à l’X, Prof. Rouchon & Angulo à l’Ecole des Mines ParisTech, Prof. Marc Arnaudon à Université de 

Poitiers, Prof. Snoussi à l’UT Troyes, F. Barbaresco de Thales) 

� Activité musicale : 

� Choriste dans formation amateur de 80 chanteurs (La Brenadienne) 

� prochain concert Parisien « Benjamin Britten » (Rejoice in the Lamb, Jubilate Deo, Festival Te Deum 

op.32, Hymn to Saint Peter)


Géométrie, médiane et diffusion de 

spectres de fréquences acoustiques : 

Ou Comment "médianiser" ou 

"diffuser" des morceaux de musiques 

F. Barbaresco

4 


Préambule 

� La théorie de la Géométrie de l'Information introduite de façon parallèle par Rao et 

Chentsov, et la Géométrie Symplectique telle qu'introduite par Carl Ludwig Siegel 

permet de définir une métrique entre matrices de covariance d'une série temporelle 

(la matrice de covariance définissant le spectre de fréquences acoustiques présentes 

dans le signal). 

� La géométrie naturelle de ces matrices de covariance symétriques (ou 

hermitiennes) définies positives est une géométrie Riemannienne symétrique. Il 

s'agit d'un espace métrique à courbure négative. Il est alors possible de calculer de 

façon explicite la géodésique (plus court chemin sur la variété) entre matrices de 

covariance. 

� Sur la base de travaux du géomètre allemand Herman Karcher, on définit un flot de 

gradient qui converge vers la médiane de N matrices de covariances (appelée point 

de Fermat-Weber en Physique) en minimisant le critère égale à la somme des 

distances géodésiques à l'ensemble des N matrices (ceci étant l'approche classique 

du barycentre de Fréchet qui converge vers la moyenne lorsque qu’on prend les 

distances aux carrés). 

� Sur la base de ce flot et par analogie avec l'équation de diffusion de Fourier, on 

définie une équation de diffusion sur un graphe de matrices de covariances et 

cherchons via l'équation de Campbell-Hausdorff à remonter à l'équation de diffusion 

à temps continu. 

�Le problème de la "médiane dans un espace métrique" est un problème plus vaste 

qui recouvre des liens avec les sciences sociales par exemple (redécouverte des 

travaux de Condorcet sur la notion de "vote médian" par J.F. Marcotorchino et P. 

Michaux).


Prise de mesure de l’onde 

acoustique

6 


Prise de mesure de l’onde acoustique 

� Spectre d’un signal Acoustique

7 



� Spectre d’un signal Acoustique

8 

� z 

Z � 

� 

� 

� 

�� 

z 



� Spectre d’un signal Acoustique 

1 

n 

� 

� 

� 

�� 

R 

S 

n 

Z 

� 

( 

f 

E 

) 

� � � � 

� 1 0 

* 

ZZ � � 

� avec c � E z z 

2 

� 

n�1 

� 

� c 

� 

c 

� � 

� 

�� 

c 

c 

k 

k ��( 

n�1) 

0 

n�1 

2 

e 

* 

c1 

c 

� 

� 

� j 2�fk 

2 

� 

� 

� 

c 

1 

c 

� 

c 

c 

* 

n�1 

* 

1 

0 

� 

� 

� 

� 

�� 

k 

m 

m�k

9 


Le voisinage des « choses » 

� Comment définir la distance (et donc la géométrie 

associée) à deux spectres de fréquences ? 

Spectre 1 

? 

Spectre 2

10 


Le voisinage des « choses » 

« Les animaux se divisent en : a) appartenant à l’Empereur, b) embaumés, 

c)apprivoisés, d) cochon de lait, e) sirènes, f) fabuleux, g) chiens en libertés, h)inclus 

dans la présente classification, i) qui s’agitent comme des fous, j) innombrables, k) 

dessinés avec un pinceau très fin en poil de chameau, l) et cetera, m) qui viennent de 

casser la cruche, n) qui de loin semblent des mouches » 

Encyclopédie chinoise tiré d’un texte de Borges 

(En préface de l’ouvrage « Les mots et les choses » de Michel Foucault) 

« La monstruosité que Borges fait circuler dans son énumération consiste en ceci que 

l’espace commun des rencontres s’y trouve ruiné. Ce qui est impossible, ce n’est pas 

le voisinage des choses, c’est le site lui-même où elles pourraient voisiner. … Les 

choses y sont ‘couchées’, ‘posées’, ‘disposées’ dans des sites à ce point différents 

qu’il est impossible de trouver pour eux un espace d’accueil , de définir au dessous 

des uns et des autres un lieu commun . … Sur quelle ‘table’ , selon quel espace 

d’identités, de similitudes, d’analogie, avons nous pris l’habitude de distribuer tant de 

choses différentes et pareilles ? » 

Michel Foucault « Les mots et les choses »

« 11 Les Air Systems mots Division et les choses » de Michel Foucault 

Archéologie Foucaultienne 

« La trame sémantique de la ressemblance au XVIème siècle, est fort riche : Amicitia, 

Aequalitas (contractus, consensus, matrimonium, societas, pax et similia), Consonancia, 

Concertus, Continuum, Paritas, Proportio, Similitudo, Conjunctio, Copula . 

Mais il y en a quatre qui sont, à coup sûr essentielles : 

• La CONVENIENTIA : est une ressemblance liée à l’espace dans la forme du ‘proche en 

proche’. Elle est de l’ordre de la conjonction et de l’ajustement. Elle appartient moins 

aux choses qu’au monde dans lequel elles se trouvent. 

• L’AEMULATIO : sorte de convenance affranchie de la loi du lieu, qui jouerait immobile 

dans la distance. Les anneaux ne forment pas une chaîne comme les éléments de la 

convenance, mais plutôt des cercles concentriques, réfléchis et rivaux. 

• L’ANALOGIE : affrontement des ressemblances à travers l’espace. 

• le JEUX DES SYMPATHIES : nul chemin n’est déterminé à l’avance, nulle distance n’est 

supposée, nul enchaînement prescrit. Elle parcourt en un instant les espaces les plus 

vastes. Sa figure jumelle, l’antipathie maintient les choses en leur isolement et empêche 

les assimilations. 

Enfin, ll n’y a pas de ressemblance sans signature. Le savoir des similitudes 

se fonde sur le relevé des signatures et sur leur déchiffrement. »

12 


Introduction 

� Problème 

� Le spectre des fréquences d’un signal acoustique mesuré via une série 

temporelle d’échantillons est décrit via la matrice de covariance de ce vecteur de 

mesure. 

� Cette matrice de covariance est structurée et possède les propriétés de 

symétrie, définie positivité et le caractère Toeplitz 

� Si l’on cherche la « structure géométrique » inhérente à ces matrices de 

covariances, les sources sont doubles 

� Les doubles sources de la géométrie des matrices de 

covariance 

� Source de la Géométrie de l’Information (Rao/Chentsov) : Si on 

modélise le signal par une loi multivariée gaussienne de moyenne nulle, la 

métrique riemannienne est donnée par la matrice d’information de Fisher. Elle 

possède une propriété d’invariance par changement non-singulier de 

paramétrisation. Elle permet d’interpréter la métrique comme une prise en 

compte de la variance de la matrice de covariance qui déforme l’espace. 

� Source de la Géométrie Symplectique (C. L. Siegel) : Si on cherche la 

géométrie intrinsèque à l’espace des matrices symétriques (hermitiennes) 

définies positives, il peut être introduit naturellement via l’espace de Siegel 

(généralisation au cas matriciel de l’espace de Poincaré). Dans cette approche, 

on cherche les automorphismes de cet espace et la métrique qui est invariante 

par ces automorphismes. Nous verrons que la métrique de la géométrie de 

l’information est un cas particulier.

13 


Objectifs 

� Objectifs : Ayant définie la métrique associée à ces matrices de 

covariances via les 2 sources de la géométrie de l’information et la 

géométrie intrinsèque, on s’intéresse aux problèmes suivants : 

� Définition de la distance entre 2 matrices de covariances 

� Définition de la géodésique entre 2 matrices de covariances 

� Caractérisation du fait qu’il s’agit d’un espace symétrique à courbure 

négative 

� Calcul de la moyenne/du barycentre de N matrices de covariance 

� Calcul de la médiane (Point de Fermat-Weber) de N matrices de 

covariance 

� Équation de diffusion de Fourier d’un graphe de Matrices 

� Équation de diffusion anisotrope d’un graphe de Matrices 

� Introduction d’une paramétrisation autorégressive pour conserver le 

caractère Toeplitz de la matrice de covariance 

� Modélisation variationnelle de la modélisation autorégressive 

� Calcul de moyenne et médiane de N coefficients de réflexion dans 

le disque de Poincaré

p( 

Z 

avec 

et 

14 

Métrique et géométrie pour les matrices de covariance 

n 

E 

/ 

R 

Rˆ 

n 

n 

�Rˆ � n � Rn 


� La géométrie de l’information pour les lois multivariées 

gaussiennes de moyenne nulle et la géométrie différentielle 

intrinsèque des matrices hermitiennes définies positives (cas 

particulier de la géométrie des espaces de Siegel) conduit à la 

même métrique : 

� Géométrie de l’information : 

) 

� 

� 

( � ) 

ds 

� Géométrie du demi-plan supérieur de C.L. Siegel : 

SH n 

2 

dsSiegel 2 

Tr � 

�Z � X � iY � Sym( 

n, 

C) 

/ Im(Z) 

� � 0� 

� Y 

� 

Tr 

�X 

� 0 

� 

�Y 

� i. 

R 

� �1 

�1 

Y �dZ �Y �dZ �� 

avec Z � X � iY 

n 

�Rˆ �1 

. R � 

�Z�m�� . Z � m � 

n 

�n 

. R 

n 

n 

�1 

. e 

n 

�Tr 

n 

n 

� 

n 

ds 

avec 

2 

mn 

� 

� Tr 

g 

ij 

0 

� 2 

� ln p( 

Z � 

n / �n 

) 

( � ) � �E� 

* � 

�� 

��i. 

�� j �� 

�� 

� 

�1 

2 

R 

n dRn 

�� 

1 2 

R 

� 

n n dR

Bonne métrique au sens de la géométrie de l’information 

15 


� La métrique est définie : 

ds 

2 

� Tr 

�� 

�1 

2 

R 

n dRn 

� Avantage vu de la Géométrie de l’information : 

� métrique invariante par changement non singulier de paramétrage 

2 

w � W ( � ) � ds ( w) 

� ds 

( � ) 

� Métrique tenant compte de la statistique des paramètres 

R 


� 

E� 

� 

� � 

�� 

ds 

2 

� �� 

� 

� �� 

� ˆ � � � I�� 

2 

�1 

� 

� 

� d� 

. I( 

� ). d� 

� d� 

. R 

�� 

: borne de Cramer - Rao 

�1 

� 

. d�

16 

Bonne métrique au sens de la géométrie des matrices 


2 

�1 

� La métrique est définie : ds � Tr R 

� Avantage vu de la Géométrie de Siegel : 

�� 

2 

n dRn 

SH � � 

� Les isométries de l’espace de Siegel n sont données par le 

groupe quotient PSp( n, 

R) 

� Sp( 

n, 

R) 

/ � I2 

n 

avec le groupe symplectique : 

Sp( 

n, 

F) 

� �� 

� La seule métrique invariante par est la métrique de Siegel : 

1 

� A 

M � �� 

�C 

B � 

� 

�� M ( Z) 

� AZ � B CZ � D 

D� 

� A 

M � �� 

�C 

T T 

B � 

�� 

A C et B D symétrique 

�� Sp( 

n, 

F) 

� � T T 

D� 

�� A D � C B � I n 

� � 

0 I 

T 

� 

n � 

Sp( 

n, 

F) 

� M � GL( 

2n, 

F) 

/ M JM � J , J � � 

� � SL( 

2n, 

R) 

In 

0 � 

� 

�� 

� 

M (Z ) 

2 �1 

�1 

� Tr Y dZ Y dZ 


ds Siegel 

�X 

� 0 

� 

�Y 

� i. 

R 

� � � � �� 

n 

ds 

2 

� 

Tr 

�� 

�1 

2 

R 

n dRn

17 


� La métrique est définie : ds 

� Distance associée : 

� Par intégration, on obtient : 

d 

2 

Avec 

� Dans le cas général, pour l’espace de Siegel 

De la métrique à la distance 

2 

� Tr 

�� 

�1 

2 

R dR 

� � � �1/ 

2 �1/ 

2 

R R � R R R � 

2 

2 

, log . . � log �� 1 

2 

1 

2 

�R � �R 

� � 0 

det 2 1 

Z n 

� X � iY � SH avec X 

1 

� 

0 

n 

� 

k�1 

� n � �� 

2 

1� 

� 

dSiegel � � 1 2 

� 

� � �� 

k �1 

� �1 

� �k 

�� 

Avec �R( Z , Z ) � �. 

I � � 0 

R 

k 

�ZZ� � 2 

, log � �� 

avec Z1, 

Z2 

SH n 


� � � �� 1 

�1 

� 

Z Z � Z � Z Z � Z Z � Z Z � Z 

1 , 

2 

1 

2 

1 

2 

1 

2 

1 

k 

2

18 

Utilisation dans l’art de la géométrie hyperbolique (Escher ) 

Air Systems Division

19 

ds 

2 

avec 

Demi-Plan supérieur de Poincare 

� 

dx 

z 

� 


2 

� dy 

2 

y 

x � iy 

2 

� 

Espaces de H. Poincaré et de C.L. Siegel 

dz 

y 

2 

2 

� 

y 

-1 

dzy 

Demi-Plan supérieur de Siegel 

ds 

2 

avec 

� Tr 

Z 

� �1 

�1 

* 

Y dZY dZ � 

� 

X 

� iY 

�1 

dz 

* 

ds 

2 

ds 

ds 

� 

Tr 

2 

2 

� 

� 

Disque de Poincaré 

dz 

2 

� � 2 

1� 

z 

2 

� * � 

�1 

� * � 

�1 

* 

1� 

zz dz 1� 

zz dz 

Disque de Siegel 

�� 

* �1 

* �1 

* 

1� ZZ dZ 1� 

ZZ dZ

H. Poincaré 

20 


2 

dsSiegel � Tr 

« At one point Siegel thought that too many unnecessary things 

were being published, so he decided not to publish anything at all » 

George Polya 

The Polya Picture Album, Encounters of a Mathematician, Birkäuser 

Carl Ludwig Siegel 

avec George Polya 

� �1 

�1 

Y �dZ �Y �dZ �� 


Elie Cartan 

M. Gromov

La géométrie du demi-plan de Siegel et le cas particulier 

21 

d 

2 


SH n 

n 

2 

�Z, Z ��log ��1��/ �1�� 1 

R 

2 

det 

d 

2 

� 

i�1 

k � 1 

Z � X � i. 

Y 

k 

k 

Demi-Plan de Siegel 

� Y 

�1/ 

2 

1 

n 

� 

k �1 

2 

�R, R ��log �� 1 

2 

k 

�Z�X�iY � Sym( 

n, 

C) 

/ Im(Z) 

� � 0� 

i 

k � 2 

k 

i 

Y 

� 0 

k � 2 

� � � �� 1 

�1 

� 

Z Z � Z � Z Z � Z Z � Z Z � Z 

1 , 

�1/ 

2 �R. R . R � �. 

I ��0 2 

1 

�R�Z, Z ��. 

I ��0 det 1 2 

1 

2 

2 

1 

2 

1 

2 

1 

2 

k �1 

Z � i. 

R si W � N , 

k 

ds 

2 

k 

� Trace 

ds 

k 

�1 

2 ��RdR� � 

� Tr 

�0R� �1 

1 �Y�dZ �Y�dZ�� 2 � 

k 

X

22 

Géodésique et moyenne géométrique symétrisée 

Y 

Y 

�1 

�� 

vX 

� grad X ( V ) � �exp 

X 

� 

�1 

/ 2 Y �1 

/ 2 

Y 

1/ 

2 �t 

�X. vX 

. X � 1/ 

2 

�� exp X ( vX 

, t) 

� X e 

X 

�1 

/ 2 �1 

/ 2 

Y 

1/ 

2 t log�XYX 

� 1/ 

2 

� exp ( v , t) 

� X e X 

X 

X 


1/ 

2 � � � �1/ 

2 �1/ 

2 

V � �X 

log X YX � 

� La géodésique entre 2 matrices X et Y est donnée par : 

�1/ 

2 �1/ 

2 

1/ 

2 t log�X 

YX � 1/ 

2 1/ 

2� 

�1/ 

2 �1/ 

2 � 

t 1/ 

2 

� ( t) 

� X e X � X X YX X 

avec t 

� 

�0, 1� 

� La moyenne est définie comme barycentre au sens de Fréchet : 

X 

�Y 

� � 

Y 

X 

X 

1/ 

2 

� ( 0) 

� X et � ( 1) 

� Y 

1/ 

2 � � � �1/ 

2 �1/ 

2 � 

1 /2 1/ 

2 

1/ 2 � X X YX X

23 

XA 

� 


�1 

A 

X 

� ( A 

�1/ 

2 

�1/ 

2 

� 

B 

XA 

XA 

� 

�1/ 

2 

�1/ 

2 

A 

�1/ 

2 

)( A 

� 

moyenne géométrique symétrisée 

� La moyenne qui apparaît est bien une matrice symétrique ou 

hermitienne définie positive : 

A � 

B 

� 

A 

� Il s’agit bien du barycentre de Fréchet, qui minimise : 

� On peut remarquer que quand les matrices commutent, il s’agit de la 

moyenne géométrique classique : 

� � qui n’est pas symétrique définie positive 

� Une autre façon de retrouver la moyenne géométrique « symétrisée » 

consiste à la trouver comme solution de l’équation de Ricatti : 

2 / 1 

A� B � AB 

( XA 

�1/ 

2 

1 / 2 

XA 

� �1 

/ 2 �1 

/ 2 � 

1 / 2 1 / 2 

A BA A 

� �1/ 

2 �1/ 

2 � 

2 

� �1/ 

2 �1/ 

2 � 

2 

A XA log B 

�� 

Min�� 

log � XB 

X � 

�1/ 

2 

�1/ 

2 

A 

) 

�1/ 

2 

� 

X ) A 

A 

�1/ 

2 

�1/ 

2 

BA 

�1/ 

2 

�1/ 

2 

BA 

�1/ 

2 

� �1/ 

2 �1/ 

2 � 

1/ 

2 

1/ 

2� 

�1/ 

2 �1/ 

2 � 

1/ 

2 1/ 

2 

A BA � X � A A BA A 

� 

A

24 


Il s’agit d’un espace Riemannien symétrique 

� En géométrie riemannienne, un espace localement symétrique 

est une variété riemannienne (M,g) telle que, (localement) autour 

de chaque point x, il existe une symétrie σx qui inverse les 

géodésiques issues de x et qui est une isométrie (locale). 

� Un espace localement symétrique est dit symétrique si les 

symétries peuvent se prolonger à tout l'espace. De manière 

équivalente, une variété riemannienne (M,g) est dite symétrique 

lorsque, pour tout point x de M, il existe une isométrie σx:M�M vérifiant : 

� σx (x) = x ; 

� dσx (x) = − Id. 

� Cette isométrie σx est appelée l'involution en x. 

� Propriétés : 

� Tout espace symétrique est une variété riemannienne 

géodésiquement complète, donc complète en vertu du théorème de 

Hopf-Rinow. 

� Il existe une et une unique involution en x. 

� Le tenseur de courbure d'une variété riemannienne est parallèle.

25 

G( A, 

B) 



� Pour l’espace considéré, la géodésique entre deux matrices A et B 

est donnée par : 

� ( t) 

� 

A 

1/ 

2 

� � 

�1/ 

2 �1/ 

2 

�1/ 

2 �1/ 

2 t 1/ 

2 1/ 

2 t. 

log�A 

BA � 1/ 

2 

A BA A � A e A avec t ��0, 

1� 

� Pour l’espace symétrique des matrices symétriques ou 

hermitiennes définies positives, pour chaque paire (A,B), il existe 

une isométrie bijective G( 

A, 

B) 

qui vérifie : 

G( A, B) 

A � B et G( A, 

B) 

B � A 

� Cette isométrie a un unique point fixe Z qui est donné par le milieu 

de (A,B), c’est à dire la moyenne géométrique précédemment 

définie d�G � ( A , B) 

X , X � 2d� 

X , Z � : 

-1 avec 

1 / 2 �1 

/ 2 �1 

/ 2 1 / 2 1 / 

X 

�A�B� X ( A � B) 

� � � 2 

A � B � A A BA A 

Et les propriétés : et 

( A, 

) 

( A, 

) 

� Ceci est différent de l’approche classique en traitement du signal 

qui suppose un espace normé euclidien : 

G( A, 

B) 

G B 

avec et 

�A B� 

�A�B� �A � B� 

- X � �A � B� 

X � 

A � B 

A � B � 

2 

A � B F 

� � �A � 

B� 

� �I 

dG B

26 



X 

A ( A , B) 

Espace Normé : isométrie 

(approche traitement 

du signal Classique) 

B � G( 

A, 

B) 

� G B X � �A�B��X��A�B� G (A,B) 

A 

A� 

B � 

�A�B� 2 

A� 

B � A 

G( A, 

B) 

B � G( 

A, 

B) 

Courbure nulle A � G( 

A , B) 

B Courbure négative 

� ( 0) 

� A 

Espace Normé : Géodésique 

� ( 1) 

� B 

� ( t) 

� A� 

t 

t � 

�0, 1� 

�B�A� X 

Espace métrique : isométrie 

1/ 

2 

� ( 0) 

� A 

�1/ 

2 �1/ 

2 1 /2 1/ 

2 

�ABA � A 

X 

� ( t) 

� A 

t � 

�0, 1� 

� 

1/ 

2 

A 

-1 �A�B� X ( A� 

B) 

Espace métrique : Géodésique 

�1/ 

2 �1/ 

2 �ABA � 

� ( 1) 

� B 

t 

A 

1/ 

2

• Premier Miracle : 

27 


« La Messe est dite » par Marcel Berger 

Marcel Berger (IHES), « 150 ans de Géométrie Riemannienne », 

Géométrie au 20ième siècle, Histoire et horizons, Hermann Éditeur, 2005 

La théorie des espaces symétriques peut être considérée comme le premier miracle de la géométrie 

riemannienne, en fait comme un nœud de forte densité dans l’arbre de toutes les mathématiques … 

On doit à Elie Cartan dans les années 1926 d’avoir découvert que ces géométries sont , dans une 

dimension donnée, en nombre fini, et en outre toutes classées. 

• Second Miracle : 

Entre les variétés localement symétriques et les variétés riemanniennes générales, il existe une 

catégorie intermédiaire, celle des variétés kählériennes. … On a alors affaire pour décrire le panorama 

des métriques kählériennes sur notre variété, non pas à un espace de formes différentielles 

quadratiques, très lourd, mais à un espace vectoriel de fonctions numériques. … La richesse 

Kählérienne fait dire à certains que la géométrie kählérienne est plus importante que la géométrie 

riemannienne. 

• Pas d’espoir d’autre miracle : 

Ne cherchez pas d’autres miracles du genre des espaces (localement) symétriques et des variétés 

kählériennes. En effet, c’est un fait depuis 1953 que les seules variétés riemanniennes irréductibles 

qui admettent un invariant par transport parallèle autre que g elle-même (et sa forme volume) sont les 

espaces localement symétriques, les variétés kählériennes, les variétés kählérienne de Calabi-Yau, et 

les variétés hyperkählériennes. 

Plus de détail : Marcel Berger, « A Panoramic View of Riemannian Geometry », Springer 2003 

M. Berger

Algorithmes de la moyenne/Médiane : critère à optimiser 

28 


� Problème à résoudre « Barycentre de N matrices » : 

X 

� argmin f ( X ) � argmin 

� 

� Moyenne barycentrique 

X 

� Mediane (Point de Fermat-Weber) 

X 

N 

� 

k �1 

d 

� 

�X, B � 

2 

� � 2 X � argmin f2 

( X ) � argmin 

d �X, Bk 

� 

�1 

�f( X ) � � exp �B��TV grad � � 2 

X k X 

k �1 

N 

X 

X 

N 

� 

k �1 

� 

k �1 

� �1 

X � argmin f1 


d�X, 

Bk 

� 

X 

�1�Bk 

� 

�X, B � 

N exp X grad�f1( X ) � � 

�TXV 

d 

� � 

k �1 

k 

n�1 

A 

N 

X 

k 

� � N 

Bk k �1 

�� . grad� 

f �X �� 

X � exp � n 2 

n�1 

X 

�� . grad� 

f �X �� 

X � exp � n 1 

n 

n

29 

k 

� 


Il s’agit d’un flot de gradient sur la variété 

� Algorithme par descente de gradient 

� La tangente en X à la géodésique rejoignant X à B k 

� ( t) 

� 

G 

X 

X 

d� 

k ( t) 

dt 

k 

1/ 

2 

t 

k 

� 1/ 

2 1/ 

2 � 

t 

�1/ 

2 �1/ 

2 

� � k 1/ 

2 1/ 

2 tk 

log 

X B X X X e 

�X Bk 

X 

� 

� 

�0 

� 

X 

k 

1/ 

2 

log 

� �1/ 

2 �1/ 

2 � 1/ 

2 

X B X X 

� La somme des tangentes en X des géodésiques de X aux 

d� 

( t) 

N 

N 

k 

1/ 

2 

� � 

t 0 � GX 

� X �� 

� 

k �1 

dtk 

k �1 

k 

� 

� 

log 

X 

1/ 

2 

� �1/ 

2 �1/ 

2 � 1/ 

2 

X B X X 

k 

� 

� 

� 

� � N 

Bk k �1

30 

d� 

( t) 


Karcher Barycenter & Jacobi Field 

1/ 

2� 

1/ 

2 1/ 

2 � 

t 

�1/ 

2 �1/ 

2 

� � 1/ 

2 1/ 

2 t log�X 

Bk 

X � 1/ 

2 

� ( t) 

� X X B X X � X e 

X 

k 

B6 

B1 2 B 

B5 

� 

� 

k 

d� 

k ( t) 

dt 

t�0 

� 

N 

N 

� � � � � � 

k 1/ 

2 

1/ 

2 1/ 

2 1/ 

2 

t�0 

� X � log X Bk 

X X 

k �1dt k �1 

B4 

B3 

� 

� 

� 

X 

1/ 

2 

log 

� 

0 

� �1/ 

2 �1/ 

2 � 1/ 

2 

X B X X 

k

31 

X : moyenne 

: médiane 


Médiane plus robuste que moyenne 

La médiane est insensible à la présence de points aberrants 

tant qu’ils restent minoritaires 

La moyenne est immédiatement perturbée par la présence de 

points aberrants

32 


median 

� PX 

0 

( x). 

dx � 

Mediane et point de Fermat-Weber 

0. 

5 

� 

median 

Min 

�x�m� Laplace (1774) : 

Laplace a appelé cette valeur « le milieu de probabilité » ou « la valeur probable ». Le 

terme médiane a été introduit par Cournot dans l’Exposition de la théorie des chances 

en 1883. 

� 

m 

E

exp 

exp 

�1 

X 

X 

33 

1/ 

2 �1/ 

2 �1/ 

2 

�U��X log�X 

UX � 

( V ) � X 

1/ 

2 


e 

X 

�1 

/ 2 

VX 

�1 

/ 2 

X 

1/ 

2 

X 

1/ 

2 

X 

avec 


n�1 

� 


X 

1/ 

2 

n 

log 

Médiane de matrice 

� �1 

X � argmin f1 


d�X, 

Bk 

� 

X 

�1 

N exp X � � 

�Bk � 

f1( 

X ) � 

�T 

V X n�1 

� exp X �� . 

grad� 

f �X n �� 

n 1 

d�X, 

B � 

grad � � X 

k �1 

k 

� 

k�1 

log 

log 

�1/ 

2 �1/ 

2 

�X n Bk 

X n � 

�1 

/ 2 �1 

/ 2 

�XBX� � �1/ 

2 �1/ 

2 � 2 

X B X � log �� X��B��0 n 

e 

� 

X 

n 

N 

k 

N 

� 

k �1 

k 

n 

n 

k 

n 

F 

F 

X 

1/ 

2 

n 

M 

� 

i�1 

i

34 


Algorithme de gradient non convergent 

� Algorithme médian par descente de gradient 

X 

avec 


n�1 

� 


X 

1/ 

2 

n 

log 

� 

k�1 

log 

log 

�1/ 

2 �1/ 

2 

�X n Bk 

X n � 

�1 

/ 2 �1 

/ 2 

�XBX� � �1/ 

2 �1/ 

2 � 2 

X B X � log �� X��B��0 n 

e 

� 

n 

N 

k 

k 

n 

n 

k 

� Non différentiabilité aux points de données : problème de 

convergence 

� En théorie : régularisation au voisinage des points de données et 

extraction diagonale (algorithme général adapté de Huiling Le, mais 

long d’exécution) 

� En pratique : 

� Assez souvent, les points donnés « entourent » la médiane : 

convergence 

� Prendre un pas voisin de la précision voulue (50 itérations 

suffisent ici ) 

n 

F 

F 

X 

1/ 

2 

n 

M 

� 

i�1 

i

35 

Mediane : autre algorithme de gradient régularisé 

� Autre Algorithme Régularisé proposé 

� Critère de minimisation régularisé 


� Résolution itérative de problèmes d'optimisation convexes 

régularisés, dont la suite des solutions converge vers la médiane. 

� Étape m : 

X 

�X 

� 

� 

� 

�X 

alors 

� Critère d’arrêt : 

m�1, 

0 

arrêt : 

log 

m�1 

� 

m�1, 

n�1 

log 

X 

� 

argmin 

� 

X 

N 

�1 / 2 �1 / 2 

�Xm�1, nBk 

X m�1, 

n � 

�1 

/ 2 �1 

/ 2 

�XBX� �XXX� �1/ 

2 

�1/ 

2 

m�1 

m 

X 

1/ 

2 

m�1, 

n 

m�1, 

n 

� 

� 

X 

X 

X 

m, 

n 

e 

� 

converge 

m�1, 

n 

convergence 

� 

k�1 

�1 

d 

log 

log 

converge 

� �1/ 

2 �1/ 

2 

X X X � � � 

m�1 

m 

m�1 

2�X 

, Bk 

� 

�X, B � 

N 

� 

k �1 

d m k 

F 

m 

m, 

n 

k 

converge 

m 

F 

X 

m�1, 

n 

1/ 

2 

m�1, 

n 

converge 

�1 

F 

� �

36 


Spectre initial 

Spectre moyen 

Tests sur données simulées 

Spectre médian

37 

Géométrie de Kähler 

� La géométrie d’Erich Kähler étend la géométrie 

Riemannienne au domaine complexe : 


� La forme riemannienne définie positive définissant la métrique de 

n 

Kähler est donnée par : 

� Condition de Kähler condition : Il existe localement une fonction 

potentielle de Kähler, � 

(et les équivalentes Pluri-harmoniques) telle 

que : 

� Le tenseur de est alors donné par : 

R 

ij 

g 

ij 

� Et la courbure scalaire : 

� 

� 

� � 

R 

ds 

2 

� 

2 

� � 

i 

�z 

�z 

� 

2 

log 

2 

j 

� 

i, 

j�1 

g 

ij 

�detg � 

�z 

�z 

n 

� 

k , l�1 

i 

g 

j 

kl 

kl . Rkl 

. dz 

i 

dz 

j

�Modèle du signal : 

38 

� Modèle multivarié complexe circulaire : 

� Modèle Radar : 

p( 

Z 

avec 

m 

R 

� Modèle autorégressif complexe : 

z 

n 

Z 

n 

n 

n 

n 

/ 

� 

� 

R 

Rˆ 

� 

n 

0 

Modèle Autorégressif Complexe 

n 

E 

) 

� 

� 

( � ) 

�n 

. R 

�Rˆ �1 

. R � 

� �� 

Z n � mn 

. Z n � mn 

et E Rˆ 

n � Rn 

�ZZ� � 

n 

n 

� Lien avec l’algorithme de Issai Schur’s algorithm (1875-1941) 

� [Alpay] D. Alpay, « Algorithme de Schur, espaces à noyau reproduisant et théorie 

des systèmes », Panoramas et synthèse, n°6, Société Mathématique de France, 


1998 

n 

�1 

. e 

�Tr 

processus de moyenne nulle 

T 

i�k 

�zz� avec z � x � iy � � e 

1� 

n 

Toeplitz 

N 

( N ) 

� �� 

ak 

zn� 

k 

k �1 

� bn 

avec E n n�k 

k 

n 

k 

n 

Hermitienne 

k 

Définie 

k 

Positive 

� � � �T * 

2 

( N ) ( N ) 

b b � � 

� et A � a ... a 

k , 0 

N 

1 

N

39 


Estimation des paramètres autorégressifs régularisés 

� Nous utilisons l’algorithme de Burg régularisé (brevet THALES : F. Barbaresco, 

« Procédé et dispositif de détermination du spectre de fréquence d’un signal », 

brevet n° 95 06983, Juin 1995) 

. Initialisation 

: 

f ( k) 

� b ( k) 

� z( 

k) 

a 

0 

P 

0 

� 

( 0) 

0 

1 

N 

�1 

. 

0 

N 

� 

k �1 

. Itération 

N 

n�1 

2 

* 

( n) 

( n 

� fn�1 

( k). 

bn�1( 

k �1) 

� 2. 

��k. 

ak 

N � n k �n�1 

k �1 

�n 

� � 

N 

n�1 

1 

2 

2 

( 

� fn�1 

( k) 

� bn�1( 

k �1) 

� 2. 

��k 

N � n 

( n) 

�a0 

� 1 

� ( n) 

( n�1 

�ak 

� ak 

� ( n) 

�an 

� �n 

� fn 

( k) 

� fn 

� 

� bn 

( k) 

� b 

z( 

k) 

(n) : 

) 

�1 

� � . a 

n�1 

2 

Pour 

k �n�1 

n 

, 

n �1 

à 

( n�1)* 

n�k 

k= 1,...,N 

( k) 

� �n. 

bn�1( 

k �1) 

* 

( k �1) 

� � . f ( k) 

n 

, 

n�1 

M 

(N : nb. ech.) 

k= 1,...,n 

1 

k �0 

�1) 

n) 

. a 

. a 

( n�1) 

n�k 

( n�1) 

2 

k 

avec 

� 

( n) 

k 

� � .( 2� 

) 

1 

2 

.( k � n) 

2

R 

40 


modèle autorégressif et matrice de covariance 

� La matrice de covariance et son inverse peuvent être 

paramétrée à partir des paramètres du modèle autorégressif : 

� Structure Blocs de la matrice de covariance : 

� �n�1 

� 

��n�1. 

A 

� 

�n�1. 

An 

�� 

. A 

�1 

�1 

n � �1 

� 

n�1 

Rn�1 

n�1 

n�1. 

An�1 

� 

� 

� 

R 

n 

� 

� ��n 

� 

� 

1 

�1 

� A 

� R 

� 

n�1 

n�1 

. R 

. A 

n�1 

n�1 

. A 

n�1 

� 

� An�1. 

R 

R 

� � 

( �) 

2 �1 

�An 

�1� 

�A 

� n�1 

( �) 

* 

1� 

� . � et A � � � . où V � 

� 

0 � 0 

� 

. 

�1 

avec �n 

� n n�1 

n 

n 

V 

� 

� 

0 

� 

� 

� 

� 

1 

� 

� 

�0 

� 

�� 

1 

0 

0 

n�1 

1� 

� 

0�� 

n�1 

� 

� 

�

41 

Récursivité sur l’ordre de la métrique de Siegel 

� Si on utilise la structure blocks des matrices, on peut 

calculer la métrique de Siegel à l’ordre n par rapport à 

l’ordre n-1 

� Equation récursive sur la métrique de Siegel faisait apparaître la 

matrice de Fisher sur les paramètres autorégressifs: 

� d� 

� 

� 

� � 

� 

Aˆ 

n 

n�1 

n�1 

� 

I 

� 

� 

� 

� 


�� 1 

2 2 � d� 

� n�1 

� 

R . � � 

n dRn 

� dsn�1 

� � n�1. 

dAn 

�1. 

Rn�1. 

dA �1 

2 

dsn �Tr � � � 

n 

� �n�1 

� 

2 

� On peut remarquer que le second terme s’écrit : 

�� 

�A � 

log� n�1 

� An�1 

n�1 

. dA 

� 

n�1 

. R 

n�1 

. dA 

n�1 

�log� 

n 

� d � 

� An�1 

� Ceci s’interprète en terme de géométrie de l’information 

n�1 

� � 

n�1 

R 

n�1 

Z 

� 

�log� 

n 

� 

� An�1 

2 

�1 

�1 

Extension du cas 

Gaussien scalaire 

(Géométrie de l’information) 

� 

� 

� 

� 

�1 

. � 

�0 

��log� 

n 

�� 

�� 

An�1 

� 

�1 

0 

n�1 

� 

� 

� 

� 

R 

n�1 

�1 

� i� 

�0 

� �log� 

n 

�d 

� 

� � An�1 

� 

0 

n�1 

R 

�1 

n�1 

� 

� 

� 

� 

� 

�

p( 

Z 

avec 


Métrique de Kähler d’un modèle autorégressif complexe 

� Dans le cadre de la géométrie Affine de l’information, la 

métrique est donnée par le Hessien de l’entropie qui joue 

ici le rôle du potentiel de Kähler : 

42 

n 

E 

/ 

� 

R 

Rˆ 

n 

�1 

n 

n 

avec 

) 

� 

� 

� 

�Rˆ � n � Rn 


� L’entropie d’un modèle multivarié gaussien de moyenne nulle : 

~ 

Φ � 

�R��log�det R�� 

n log� 

e� 

2 ~ 

� Φ 

� et 

�Η 

�Η 

� On peut choisir comme modèle de paramétrisation les coefficients de 

réflexion 

� � 2 

1� 

� . 

� 

( � 

) 

�1 

0 

� 

n 

P 

0 

� 

� 

�1 

n�1 

1 

n 

~ 

Φ(R 

n 

� 

k �1 

�Rˆ �1 

. R � 

�Z�m�� . Z � m � 

n 

�n 

. R 

n 

n 

�1 

. e 

n 

�Tr 

z 

n 

k 

n 

n 

2 

� 

) 

n 

n 1 

� � � 

k�1 


( n � k). 

ln 

g 

ij 

i 

j 

H 

� � 2 

1� 

� � n. 

ln��. 

e. 

P � 

k 

0 

� 

-R 

n�1 

n�1 

� � � � 

� 

�1 

�n 

� � � 

2 

Rn � k � 0 1� 

�k 

k �0 

k �1 

n�k

43 

Erich Kähler 


Papier initial d’Erich Kähler, 1932, Hambourg 

« Kähler Erich, Mathematical Works », Edited by R. Berndt and O. Riemenschneider, 

Berlin, Walter de Gruyter, ix, 2003 

L’entropie U=-logdet[R] , pour les modèles autorégressifs complexes, peut être 

considéré comme un potentiel de Kähler qui est paramétrisé à partir des 

coefficients de réflexion. Cette expression est alors la même que celle proposée 

par E. Kähler 

…

44 

Métrique de Kähler : cas hyper-Abelian 

� On retrouve la métrique proposée par E. Kähler dans son 

papier initial : : 

� Kähler a nommé ce cas « hyper-Abelian » : 


avec 

Noyau 


n 1 

� � � 

� � 2 

1� 

z � ln K ( z, 

z) 

Φ � k. 

ln k 

D 

de 

k �1 

Bregman 

: K 

�z/ z � 1 �k 

� 1,... 

n� 

k 

D 

( z, 

z) 

n 1 

� � � 

� � 2 

1� 

z 

� Autre métrique proposée par Kähler, appelé cas « hyper-fuchien » : 

� 

Φ �. 

ln�1� 

� 

n 

� 

� 

� 

k �1 

� 

�z 

� 

� � z with / � 

k 

k �1 

2 

n 

k�1 

z 

k 

k 

2 

� 

k 

� 

�1� 

�


� On définit une métrique « Doppler » metric dans le cas de 

modèles autorégressifs complexes comme le Hessien d’un 

potentiel de Kähler, où le potentiel est donné comme dans 

le cas de la géométrie affine de l’information par l’Entropie: 

� Le potentiel de Kähler paramétré par � � : 

T 

P0 �1 � 

� �1 

45 


� La métrique associée est alors calculée : 

� � 2 � � 1 

1� 

� � n. 

ln �. 

e. 

� 

n�1 

~ 

(R � � n ) ( n � k). 

ln 

k�1 

k 

� 

0 

Φ 

� � � �T T ( n) 

( n) 

P � � � � � � 

( n) 

� � 0 1 

n�1 

1 � 

g � n� 

� nP 

11 

ds 

2 

n 

2 

0 

� dP � 0 � n. 

� 

� 

� 

� 

� P0 

� 

�2 

0 

2 

� 

g 

ij 

� 

� � n 1 

( n �i) 

i�1 

� 

( n � i). 

� 

� � 2 2 

1� 

� 

d� 

� � 2 

1 � 

i 

i 

i 

2 

ij 

2 

n 

n

Courbure scalaire du modèle autorégressif complexe 

46 

� On utilise l’expression du tenseur de Ricci dans le cas de 

la géométrie de Kähler : 

� En géométrie de Kähler, le tenseur de Ricci est donné par : 


R 

ij 

� 

� 

� 

2 

log 

�det g � 

�z 

�z 

� Pour le cas du modèle autorégressif complexe, on obtient alors : 

� 

� 

R 

� 

� 

�R 

� 

� 

11 

kl 

1 

� �2 

P 

� �2 

2 

0 

� 

kl 

� � 2 

1� 

� 

k 

� On en déduit le calcul de la courbure scalaire qui est négative : 

� 

R � 

k , l 

g 

kl Rkl 

i 

2 

j 

for 

kl 

k 

� 

2,..., 

� n�1 

. 

1 � 

R � �2. 

�� 

� � � � 

� � n�� 

j�0 

( n j) 

� 

n �1

Modèle autorégressif # métrique de Kähler-Einstein 

� La métrique précédente n’est pas une métrique de type 

Kähler-Einstein, mais une structure « matricielle » proche 

� Une métrique est dite de Kähler-Einstein metric si son tenseur de ricci 

est proportionnel à la métrique : 

47 

R 

ij 

� 


k 

0 

. g 

� Dans le cas de la métrique de Kähler-Einstein, le potentiel de Kähler 

est solution de l’équation de Monge-Ampère : 

� Pour un modèle autorégressif complexe, on a : 

� � � � avec � � 

( n) 

( n) 

R B g R � Tr B 


kl 

det( g 

ij 

où 

avec 

kl 

� n�1 

1 

� � �2. 

�� 

ij 

� j�0 

( n � 

B 

( n) 

k 

0 

: constant 

2 

) � � 

e 

�k 

0 

� 

� �2diag 

� 

avec 

� 

� 

2 

log 

�.., � � ,.. � �1 

n � i 


�z 

�z 

i 

j 

kl 

� 

k 

0 

2 

� � 

. i 

�z 

�z 

�Φ 

: Potentiel de Kähler 

� 

�ψ 

: fonction holomorphe 

� 

� 

j) 

� 

j

48 


Algorithme médian sur les coefficients de réflexions 1/2 

� � 

( k ) ( k ) ( k ) ( k ) ( k ) 

n�1 

�On se donne � , où �k 

� ( P0 , �1 

,..., �n�1 

) � ( P0 

, � ) � R� 

� D 

1,... 

� N 

( k ) ( k ) ( k ) 

est un n uplet des coefficients de réflexion � � ��1 , �, 

�n�1 

� à tous 

( k ) 

les ordres précédés du coefficient de puissance P0 

. 

median 

( 1) 

( 2) 

( N ) 

�On calcule d’abord P0 � exp( mediane(log( 

P0 

), log( P0 

),..., log( P0 

))) , 

dans R (méthode classique de calcul du médian pour une valeur 

scalaire). 

�On estime ensuite la médiane des coefficients de réflexions 

complexes algorithmiquement : on ramène ces coefficients du disque 

� 1 

unité dans le demi-plan de Poincaré C : D � H avec : 

( k ) �1� 

� � 

( k ) ( k ) 

j 

� � � � 

j � z j i 

� ( k ) � 

�1� 

� j � 

( k ) �1 

( k ) 

On note z � C ( � ) 

�Les géodésiques sont alors des demi-cercles centrés sur l’axe des 

abscisses 

c

49 

Z 


Algorithme médian sur les CR 

�On initialise l’algorithme à un point quelconque Z dans H : 

� � 

�A l’étape p, on se déplace selon le gradient: 

N 

( p) 

( k ) 

p 

p k Zl 

� c 

( k ) 

2 

( p) 

2 

( ) 

( ) ( ) 

l 

tZ 

, l � �i � signe( 

Zl 

� zl 

) 

z 

( ) l � Z 

k 

l 

( p) 

( k ) 

k �1 

Zl 

� cl 

�1/ 

p cl 

� ( k ) ( p) 

2 Re( zl 

� Zl 

) 

où Z est l’estimé courant et ck désigne le centre de la géodésique 

rejoignant Z à zk. T 

( 0) 

( 0) 

( 0) 

Z � Z1 

�Z 

n�1 

avec 

( p) 

( p) 

Im( t , ) 

( p) 

( p) 

Z l 

( p) 

� � 

( p�1) 

l 

� c 

Z 

( p ) 

l 

� 

Z 

( p) 

l 

� c 

Z 

( p ) 

l 

c ( p ) 

Zl 

� � 

� � ( 

exp 

� 

i��l 

� � 

� � 

� Re( Z 

p) 

� 

) � 

Re( t 

Im( Z 

) 

�L’entier p, initialisé à 1, décroît si l’écart entre deux itérés est 

moindre que 1/p. 

�Après convergence, on retourne à : 

� � ( 

P, 

C( 

Z)) 

avec 

�P0 

� 

� 

�μl 

� 

median 

median 

l 

( p) 

Z , l 

1 

signe(Re( 

Zl 

2Mk 

� C(Z 

( p) 

� exp( mediane(log( 

P 

( conv) 

l 

Z 

) � 

Z 

( conv) 

l 

( conv) 

l 

( 1) 

0 

�i 

� i 

l 

� c 

Z 

) 

( p ) 

l 

)) 

), log( P 

Z 

( 2) 

0 

l 

( p 

l 

arg( Zl � c ( p ) 

Zl 

( p) 

Z 

�� 

l � c ( p ) 

Z � 

l � 

� 

) 

� 

� c ( p ) �1/ 

p � 

Zl 

�� 

),..., log( P 

( N ) 

0 

))) 

)

50 


Flot de gradient dans le disque unité de Poincaré 

� 

( 2) 

l 

� 

� C 

( 1) 

l 

� C 

( 2) 

�z � 

� 

l 

( 3) 

l 

� C 

( 1) 

�z � 

l 

C 

( 3) 

�z � 

l 

( p�1) 

�Z � 

l 

� 

( 4) 

l 

C 

� C 

( p) 

�Z � 

l 

( 4) 

�z � 

l

51 


Résultats sur le premier coefficient de réflexion 

Superposition pour toutes 

les cases distances des 

moyennes et médianes 

locale, avec les points de 

données

J. Fourier 

52 


Equation de la chaleur de Joseph Fourier 

� « Les équations différentielles de la propagation de la 

chaleur expriment les conditions les plus générales, et 

ramènent les questions physiques à des problèmes 

d’analyse pure, ce qui est proprement l’objet de la théorie ... 

Les formes des corps sont variées à l’infini, la distribution de 

la chaleur qui les pénètre peut être arbitraire et confuse; 

mais toutes les inégalités s’effacent rapidement et 

disparaissent à mesure que le temps s’écoule. La marche du 

phénomène devenue plus régulière et plus simple, demeure 

enfin assujettie à une loi déterminée qui est la même pour 

tous les cas, et qui ne porte plus aucune empreinte sensible 

de la disposition initiale ... .Les théories nouvelles, 

expliquées dans notre ouvrage sont réunies pour toujours 

aux sciences mathématiques et reposent comme elles sur 

des fondements invariables; elles conserveront tous les 

éléments qu’elles possèdent aujourd’hui, et elles acquerront, 

continuellement plus d’étendue. » 

Joseph Fourier (1768-1830), « Discours préliminaire à la théorie 

analytique de la chaleur »

J. Fourier 

53 


Équation de diffusion & géodésique 

� Équation de diffusion sur un graphe 1D de données scalaires 

� Dans un espace vectoriel normé dans le cas unidimensionnel, 

l’équation de diffusion s’écrit via le Laplacien discret: 

2 

�u � u �u 

1 � un�1 

� un 

un 

� un�1 

� 2 

� � � 

� � � ˆn 

u 

2 

2 n 

�t 

�x 

�t 

�x 

� 

� 

�x 

�x 

�x 

avec la moyenne arithmétique : n n 1 � 

� L’équation de Fourier discrétisée peut également s’écrire : 

� 

2�t 

� 

�x 

�u�� Par analogie sur la base du flot de Karcher, il est possible 

d’écrire une équation de diffusion sur un graphe 1D de matrices, 

via la moyenne géométrique des voisins : 

� 

/ 

�u u � 2 

ˆ � 1 � � n 

u 

�uˆ � ˆ 

n, 

t � un, 

t � ( 1� 

�). 

un, 

t � �. 

un, 

avec � � 2 

un,t�1 un, 

t 2 

t 

X 

n, 

t�1 

avec 

� 

X 

1/ 

2 

n, 

t 

e 

2�t 

� � 2 

�x 

2�t 

log 

2 

�x 


�1/ 

2 � ˆ �1/ 

2 

Xn 

, t Xn 

, t Xn 

, t � 

X 

Xˆ 

n, 

t 

� 

X 

1/ 

2 

n�1, 

t 

ˆ � A � 

A n, 

t 

1/ 

2 

n, 

t 

� 

A , 

n 1 , t n 1 t , � � 

� � 

�1/ 

2 ˆ �1/ 

2 

X X X 

� �1/ 

2 �1/ 

2 � 

1 /2 1/ 

2 

X X X X 

n�1, 

t 

X 

1/ 

2 

n, 

t 

n�1, 

t 

n, 

t 

n�1, 

t 

n, 

t 

n, 

t 

n�1, 

t 

� 

X 

1/ 

2 

n, 

t 

2�t 

�x

J. Fourier 

t 

t+1 

temps 

54 

u , 


Equation de diffusion sur un graphe 1D scalaire 

� Equation de diffusion sur un graphe 1D de données scalaires 

u , 

n�1 

t n t n�1 

t 

u ˆ , 

n t 

un,t�1 

u 

avec 

distance 

u , 

ˆ 

u n, 

t�1 

� un, 

t �� 

un, 

t 

� � 

n,t�1 

0 

� ( 1� 

�). 

u 

� � 

u , 

n t 

2�t 

2 

�x 

n, 

t 


� � 

� �. 

uˆ 

uˆ 

1 

n, 

t 

n, 

t 

� 

u 

ˆn, t un�1, 

t 1/ 

2 un�1 

t � � 

u , 

u � 

n�1, 

t 

� � 

u , 

� 

n�1 

t 

v 

� u 

2 

� 

�0, 1� 

n�1, 

t 

( 1� 

�). 

u � �. 

v 

u , 

n�1 

t

J. Fourier 

t 

t+1 

temps 

55 

X , 


Equation de diffusion sur un graphe 1D de matrices 

� Equation de diffusion sur graphe 1D de matrices SPD 

X 

n, 

t�1 

avec 

� 

X 

1/ 

2 

n, 

t 

e 

2�t 

� � 2 

�x 

distance 

n�1 

t n t n�1 

t 

X ˆ 

, 

n t 

X , 

X n,t�1 

X , 

X n, 

t�1 

� X n, 

t �� 

X n, 

t 

� 

� 

0 

ˆ 

X , 

n t 

2�t 

log 

2 

�x 


�1/ 

2 � ˆ �1/ 

2 

Xn 

, t Xn 

, t Xn 

, t � 

X 

Xˆ 

� � 

n, 

t 

1 

� 

A� 

� 

� � 

X 

ˆ 

1/ 

2 

n�1, 

t 

1/ 

2 

n, 

t 

� 

� � 

�1/ 

2 ˆ �1/ 

2 

X X X 

� �1/ 

2 �1/ 

2 � 

1 /2 1/ 

2 

X X X X 

n�1, 

t 

X 

1/ 

2 

n, 

t 

n�1, 

t 

n, 

t 

n�1, 

t 

X n, 

t � X n�1, 

t �1/ 

2 X n�1, 

t 

B 

�0, 1� 

X , 

� 

n�1 

t 

A 

1/ 

2 

� �1/ 

2 �1/ 

2 

A BA � 

� 

n, 

t 

A 

1/ 

2 

n, 

t 

n�1, 

t 

� 

X 

1/ 

2 

n, 

t 

X , 

n�1 

t

56 

u 

u 

Équation de diffusion : contrainte de discrétisation 

n,t�1 

n,t�1 

� 


� Une première remarque concernant une contrainte qui apparaît : 

u 

� 

� � 

� 

n, 

t 

2�t 

� 2 

�x 

�uuˆ� n, 

t , n, 

t 

�uˆ, u � 

n, 

t 

n, 

t 

�uˆ�u� si 

si 

n, 

t 

u 

uˆ 

Si on vérifieShannon 

n, 

t 

n, 

t 

n, 

t 

� uˆ 

� 

u 

� 

n, 

t 

n, 

t 

�x 

� T 

( 1� 

�). 

u 

E 

� 

1 

f 

E 

n, 

t 

� � �1 

avec 

� �. 

uˆ 

soit 

f 

max 

n, 

t 

2 

�x 

� 

avec 

� 

f 

2 

E 

v 

� 

� � 

en 

4 

f 

2�t 

2 

�x 

posant 

max 

� 

2 

v 

f 

E 

� 

�x 

�t 

� 

v

57 


Équation de diffusion : Du discret au continu 

� L’équation de diffusion discrète sur un graphe 1D de matrices 

symétriques ou hermitiennes définies positives est donnée par : 

X 

n, 

t�1 

avec 

� 

X 

1/ 

2 

n, 

t 

e 

2�t 

� � 2 

�x 

2�t 

log 

2 

�x 


�1/ 

2 � ˆ �1/ 

2 

Xn 

, t Xn 

, t Xn 

, t � 

X 

Xˆ 

n, 

t 

� 

X 

1/ 

2 

n�1, 

t 

� � 

�1/ 

2 ˆ �1/ 

2 

X X X 

� �1/ 

2 �1/ 

2 � 

1 /2 1/ 

2 

X X X X 

n�1, 

t 

n�1, 

t 

n�1, 

t 

n�1, 

t 

� Pour remonter à l’équation continue de diffusion, il faut utiliser 

l’équation de Campbell-Hausdorff : 

log 

avec 

1/ 

2 

n, 

t 

1 1 

2 12 

� termesdedegré� 

4 

� 

X 

1/ 

2 

n, 

t 

� X Y 

e e ��X�Y��X, Y�� 

X, 

�X, Y� 

�X, Y��XY 

�YX 

n, 

t 

1 

12 

n, 

t 

n, 

t 

� ��Y, �Y, X �� 

� 

X 

1/ 

2 

n, 

t

58 

�u 

�t 

g 


Équation de diffusion anisotrope 

� Regardons maintenant le cas anisotrope classique : 

� Dans le cas général diffusion sur une variété, l’équation de diffusion 

de Laplace-Beltrami s’écrit : 

� Métrique : 

� 

1 

ds 

k�1 

� Équation de diffusion : 

det( g) 

� 

� 

�x 

� Dans le cas 1D isotrope : 

� Dans le cas 1D anisotrope : 

soit : 

� 

� 

� � 

1� 

� 

� 

� � 

�u 

�x 

� 

� 

� 

2 

2 

N 

�� 

g 

i, 

j 

dx dx 

i, j i 

j 

� 

� 

� 

� 

i 

j 

avec 

g 

� 

� �N g 

i, 

j 

i, 

j�1 

� � 

2 

2 2 �u 

� u 

ds � dx � � 2 

�t 

�x 

N 

� 

ij u � 

� 

� 

1 i, 

j 


g � 

� 

avec g � g 

� 

i, 

j�1 

x � 

� � � 

2 � 

2 2 2 u � 2 

ds dx du � � � � 

� � � 1� �dx 

� 

� � 

x � 

� � � � � 

2 

�1/ 

2 � 

2 

�1/ 

2 

�u 

� � 

� 

�� 

� 

� � �u 

� � 

� 

� � �u 

� � 

�u 

� 1� 

� 

� 

� 

� � 1 

� �� 

� � 

�t 

� 

� 

� � �x 

� � 

x 

� �� 

�� 

� �x 

� � 

x 

�

59 

Diffusion 

anisotrope 


Diffusion 

isotrope 

Diffusion anisotrope

X 

n, 

t�1 

avec 

� � 

� 

� 

n, 

t 

60 

Xˆ 


diffusion anisotrope sur un graphe de matrices 

� Dans le cas 1D anisotrope, par analogie sur un graphe de 

matrices : 

� � � 

� �� 

� 

� 

� 

n, 

t 

X 

� 

n, 

t 

1/ 

2 

n, 

t 

� 

n, 

t 

� 

� � 

1� 

� �� 

� � 

� 

e 

d 

� log 

n, 

t 

X 

� � � � 

X Xˆ 

X 1/ 

2 1/ 

2 �1/ 

2 ˆ �1/ 

2 

X � X X X X 

1/ 

2 

n�1, 

t 

, 

�1 / 2 �1 / 2 

�X� 1/ 

2 1/ 

2 � 1/ 

2 

1/ 

2 � 

n�1, 

t X n�1, 

t X n�1, 

t 

� 

� 

X � X X X X 

� Pour la distance , on prend : 

d 


� � � 

� �� 

� � d�X, 

X � 

�1/ 

2 

� � 2 

X , X � 

� d�X, 

X � 

n�1, 

t 

�1/ 

2 

n, 

t 

e 

� � 

�x 

n, 

t 

� log 

�t. 

� 

n, 

t 

�1/ 

2 

n, 

t 

� 

�� 

� 

n, 

t 

� 

� 

� 

n, 

t 

n, 

t 

2 

�x 


n, 

t 

n�1, 

t 

n, 

t 

� 

� 

n, 

t 

, � 

n, 

t 

n, 

t 

n, 

t 

n�1, 

t 

� � 

� 1� 

� �� 

� � 

n, 

t 

� � 

� 1� 

� �� 

� � 

n�1, 

t 

n, 

t 

� 

�x 

� � � �1/ 

2 �1/ 

2 

, log 

� 2 

X X X X X � log �� 1 


2 

�X��X��0 1 

� � 1 2 1 

F 

i�1 

2 

M 

X 

1/ 

2 

n, 

t 

n�1, 

t 

n�1, 

t 

i 

�x 

n�1, 

t 

n�1, 

t 

� 

�� 

� 

n�1, 

t 

2 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

�� 

� 

�1/ 

2 

X 

2 

1/ 

2 

n�1, 

t 

� 

� 

� 

� 

�1/ 

2

61 


Diffusion Isotrope Simulation

62 


Diffusion anisotrope Simulation

63 

Diffusion 

Isotrope 

Diffusion 

Anisotrope 


10 

20 

30 

40 

50 

60 

70 

80 

90 

100 

10 

20 

30 

40 

50 

60 

70 

80 

90 

100 

Les différentes diffusion à 50 itérations 

Diffusion classique Diffusion médianage 

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 

10 

20 

30 

40 

50 

60 

70 

80 

90 

100 

10 

20 

30 

40 

50 

60 

70 

80 

90 

100 

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

64 


Diffusion Isotrope Diffusion Anisotrope 

Les différentes diffusions 

Medianage Isotrope Medianage Anisotrope 

Moyennage Isotrope Moyennage Anisotrope

65 


Les 2 sources géométriques 

� Géométrie de l’information & Géométrie des cônes 

symétriques 

� Ces 2 géométries ont de multiples liens avec les travaux de Carl Ludwig 

Siegel (1896-1981) en Géométrie symplectique : 

Géométrie de l’information 

(Rao/Chentsov) 

Théorie des groupes 

de Lie semi-simples 

Elie Cartan 1930 

Géométrie des domaines 

bornés symétriques 

Équivalence 

des 2 approches : 

Construction 

de kantor-Koecher-Tits 

(c.f. I. Satake 1980) 

Géométrie Symplectique 

(Carl Ludwig Siegel) 

Théorie des algèbres 

de Jordan 

M. koecher 1960

66 

Références Bibliographiques 

[1] F. Barbaresco & G. Bouyt, "Espace Riemannien symétrique et géométrie des espaces de matrices de covariance : équations de diffusion et calculs de 

médianes", colloque GRETSI'09, Dijon, Sept. 2009 

[2] F. Barbaresco, "New Foundation of Radar Doppler and Array Processing based on German Mathematical Works: Geometry of Metric Spaces with 

negative curvature and Von-Mangoldt-Cartan-Hadamard Manifolds", IRS'09, Hamburg, Sept. 2009 

[3] F. Barbaresco, “Interactions between Symmetric Cone and Information Geometries”,LIX Fall Colloquium ETCV’08, Ecole Polytechnique,Springer 

Lecture Notes in Computer Science, vol.5416, pp. 124-163, 2009, http://www.springerlink.com/content/978-3-642-00825-2 

[4] F. Barbaresco, “Applications of Information Geometry to Radar Signal Processing”, Video Lectures, http://videolectures.net/etvc08_barbaresco_aoigt/ 

[5] M. Arnaudon and X. Li, « Barycentres of measures transported by stochastic flows”, Ann. Probab. 33, no. 4, pp.1509-1543, 2005 

[6] C.L. Siegel, «Symplectic Geometry», Acad. Press, 1964 

[7] M. Émery, G. Mokobodzki, «Sur le barycentre d'une probabilité dans une variété » . Séminaire de probabilités de Strasbourg, n° 25, p. 220-233, 1991 

[8] H. Karcher, «Riemannian center of mass and mollifier smoothing”, Comm. Pure Applied Math., °30,pp.509-541,1977 

[9] A. Terras, «Harmonic Analysis on Symmetric Spaces and Applications II», Springer-Verlag, 1988 

[10] V. Arsigny «Log-Euclidean metrics for fast and simple calculus on diffusion tensors», in Magnetic Resonance in Medicine, Volume 56 Issue 2, Pages 

411 - 421, Jun 2006. 

[11] M. Calvo, J. Oller, «A distance between multivariate normal distributions based in an embedding into the Siegel Group”, Journal of Multivariate 

Analysis, vol.35, pp. 223-242, 1990 

[12] M. Calvo, J. Oller, «An explicit solution of information geodesic equations for the multivariate normal model”, Statistics and Decisions., vol.9, pp. 

119-138, 1991 

[13] Huiling Le, “Estimation of Riemannian Barycenters”, Proc. London Math. Soc., pp. 193-200, 2004 

[14] Harris, W. F., “The average eye”, Ophthalmic Physiol. Opt., n°24, pp. 580–585, 2004 

[15] H.C.F. von Mangoldt, “Über diejenigen Punkte auf positiv gekrümmten flächen, welche die eigenschaft haben, dass die von ihnen ausgehenden 

geodätischen Linien nie aufhören, kürzeste Linien zu sein“, J. Reine Angew.Math., n°91, pp.23-52, 1881 

[16] E. Kähler, “Über eine bemerkenswerte Hermitesche Metrik”, Abh., Math. Sem. Hamburg Univ., n°9, pp.173-186, 1933 

[17] K. T. Sturm, “Probability measures on metric spaces of nonpositive curvature”. Contemp. Math. 338 , 357-390, 2003 

[18] E. Cartan, "Sur les domaines bornés homogènes de l'espace de n variables complexes", Abh. Math. Semin. hamb. Univ., n°11, pp.116-162, 1935, 

www.numdam.org 

[19] C.R. Rao, "Information and Accuracy attainable in the estimation of statistical parameters", Bull. Calcutta Math. Soc., n°37, pp.81-91, 1945 

[20] S. Yoshizawa and K. Tanabe, "Dual Differential Geometry associated with the Kullback-Leibler Information on the Gaussian Distributionsand its2parameter 

Deformations", SUT Journal of Mathematics, vol.35,n°1, pp.113-137, 1999 

[21] T.Ando and al., "Geometric Means", Linear Algebra Appl., vol.385, pp.305-334, 2004 

[22] F. Bruhat and J. Tits, « Groupes réductifs sur un corps local », IHES, n°41, pp.5-251, 1972 

[23] H. Cartan, "Ouverts fondamentaux pour le groupe modulaire",Séminaire Henri Cartan, tome n°10, n°1, exp.n°3, p.1-12, 1957 

[24] N.N. Chentsov, "Statistical Decision Rules and Optimal Inferences", Trans. of Math. Monog., n°53, Amer. Math. Society, Providence, 1982 

[25] J. Faraut and A. Koranyi, "Analysis on Symmetric Cones", Oxford University Press, 1994 

[26] K. Koufany, "Analyse et Géométrie des domaines bornés symétriques", HDR, Institut de Mathematiques Elie Cartan, Nancy, Nov. 2006 

[27] C. P. Niculescu, “An Extension of the Mazur-Ulam Theorem”, American Institute of Physics Proc., vol. 729, n°248-256, 2004 

Air [28] Systems M. Berger, Division « Panoramic View of Riemannian Geometry », Springer, 2004

Contributions des mathématiciens français 

E. Cartan, « Leçons sur la géométrie des 

espaces de Riemann », 2nd édition, revue et 

augmentée. Paris, Gauthier-Villars, 1946 

F. Bruhat and J. Tits, « Groupes réductifs sur un 

corps local », IHES, n°41, pp.5-251, 1972 

J. Hadamard, « Les surfaces à courbures opposées et leurs 

67 Air Systems Division 

lignes géodésiques », J. Math, sér. 5, 4, pp.27-73, 1898 

M. Fréchet, “L’intégrale abstraite d’une fonction 

abstraite d’une variable abstraite et son application à la 

moyenne d’un élément aléatoire de nature 

quelconque”, Revue Scientifique, pp. 483-512, 1944 

M. Gromov,"Hyperbolic groups". Essays 

in group theory. Math. Sci. Res. Inst. Publ. 

8. New York: Springer. pp. 75–263, 1987

Contributions des mathématiciens allemands 

C.L. Siegel, "Symplectic Geometry", 

Academic Press, New York, 1964 

H.C.F. von Mangoldt, “Über diejenigen Punkte 

auf positiv gekrümmten flächen, welche die 

eigenschaft haben, dass die von ihnen 

ausgehenden geodätischen Linien nie aufhören, 

kürzeste Linien zu sein“, J. Reine Angew.Math., 

n°91, pp.23-52, 1881 

K. T. Sturm, “Probability measures on metric spaces of 

nonpositive curvature”. In vol.: Heat kernels and analysis on 

manifolds, graphs, and metric spaces, Contemp. Math. 338 , 

68 Air Systems Division 

357-390, 2003 

E. Kähler, “Über eine bemerkenswerte 

Hermitesche Metrik”, Abh., Math. Sem. Hamburg 

Univ., n°9, pp.173-186, 1933 

H. Karcher, “Riemannian center of mass 

and mollifier smoothing”, Comm. Pure 

Applied Math., °30,pp.509-541,1977

69 

Contributions des mathématiciens italiens 

E. Torricelli, Opere di Evangelista Torricelli, G. Loria 

and G. Vassura (Eds), Vol.I, 2ème partie, 

pp.90-97, Vol. III, pp.426-431, Faenza, 1919 

C. Gini, «L’uomo medio », Giornali degli 

economiste e revista de statica, n°48, pp.1-24, 

1914 

C. GINI, « Di una formula comprensiva delle 


medie », Metron 13 , 3–22, 1938 

B.F. Cavalieri, « Exercitationes geometricae », 

Bologna, 1647 

L. Galvani and C. Gini « Di talune estensioni dei 

concetti di media ai caratteri qualitativi », 

Metron, 8, 3–209, 1929

70 


Contribution des mathématiciens anglais 

M.G. Kendall, « Note on the estimation of a ranking », 

Journal of the Royal Statistical 

Society, 105, 119, 1942 

M.G. Kendall, « Rank Correlation Methods », Londres, 

Griffin, 1955

Metric Measure 

Space 

71 


BOURBAKI Group : 60 years ago

M. Gromov, “Hyperbolic Groups”, 

Essays in Group Theory, Math. Sci. 

Res. Inst. Publ. 8, New york, pp.75- 

263, 1987 

72 


Mikhael GROMOV 

IHES 

Institut des Hautes Etudes 

Scientifiques 

Bures sur Yvettes 

France

73 

�``Constater que les théories les plus parfaites 

sont les guides les plus sûrs pour résoudre les 

problèmes concrets~; avoir assez confiance en 

sa science pour prendre des responsabilités 

techniques. Puissent beaucoup de 

mathématiciens connaître un jour ces joies très 

saines, quelques humbles qu'ils les jugent !'‘ 


�Jean LERAY 


avec Georges Polya 

QUESTIONS


Planches supplémentaires 

Version Longue 

Détails des calculs


Introduction de la métrique la 

plus naturelle aux espaces de 

matrices de covariance

p( 

Z 

avec 


76 

Métrique et géométrie pour les matrices de covariance 

n 

E 

/ 

R 

Rˆ 

n 

n 

�Rˆ � n � Rn 


� La géométrie de l’information pour les lois multivariées 

gaussiennes de moyenne nulle et la géométrie différentielle 

intrinsèque des matrices hermitiennes définies positives (cas 

particulier de la géométrie des espaces de Siegel) conduit à la 

même métrique : 

� Géométrie de l’information : 

) 

� 

� 

( � ) 

ds 

� Géométrie du demi-plan supérieur de C.L. Siegel : 

SH n 

2 

dsSiegel 2 

Tr � 

�Z � X � iY � Sym( 

n, 

C) 

/ Im(Z) 

� � 0� 

� Y 

� 

Tr 

�X 

� 0 

� 

�Y 

� i. 

R 

� �1 

�1 

Y �dZ �Y �dZ �� 


n 

�Rˆ �1 

. R � 

�Z�m�� . Z � m � 

n 

�n 

. R 

n 

n 

�1 

. e 

n 

�Tr 

n 

n 

� 

n 

ds 

avec 

2 

mn 

� 

� Tr 

g 

ij 

0 

� 2 

� ln p( 

Z � 

n / �n 

) 

( � ) � �E� 

* � 

�� 

��i. 

�� j �� 

�� 

� 

�1 

2 

R 

n dRn 

�� 

1 2 

R 

� 

n n dR

Bonne métrique au sens de la géométrie de l’information 

77 


� La métrique est définie : 

ds 

2 

� Tr 

�� 

�1 

2 

R 

n dRn 

� Avantage vu de la Géométrie de l’information : 

� métrique invariante par changement non singulier de paramétrage 

2 

w � W ( � ) � ds ( w) 

� ds 

( � ) 

� Métrique tenant compte de la statistique des paramètres 

R 


� 

E� 

� 

� � 

�� 

ds 

2 

� �� 

� 

� �� 

� ˆ � � � I�� 

2 

�1 

� 

� 

� d� 

. I( 

� ). d� 

� d� 

. R 

�� 

: borne de Cramer - Rao 

�1 

� 

. d�

78 

Bonne métrique au sens de la géométrie des matrices 


2 

�1 

� La métrique est définie : ds � Tr R 

� Avantage vu de la Géométrie de Siegel : 

�� 

2 

n dRn 

SH � � 

� Les isométries de l’espace de Siegel n sont données par le 

groupe quotient PSp( n, 

R) 

� Sp( 

n, 

R) 

/ � I2 

n 

avec le groupe symplectique : 

Sp( 

n, 

F) 

� �� 

� La seule métrique invariante par est la métrique de Siegel : 

1 

� A 

M � �� 

�C 

B � 

� 

�� M ( Z) 

� AZ � B CZ � D 

D� 

� A 

M � �� 

�C 

T T 

B � 

�� 

A C et B D symétrique 

�� Sp( 

n, 

F) 

� � T T 

D� 

�� A D � C B � I n 

� � 

0 I 

T 

� 

n � 

Sp( 

n, 

F) 

� M � GL( 

2n, 

F) 

/ M JM � J , J � � 

� � SL( 

2n, 

R) 

In 

0 � 

� 

�� 

� 

M (Z ) 

2 �1 

�1 

� Tr Y dZ Y dZ 


ds Siegel 

�X 

� 0 

� 

�Y 

� i. 

R 

� � � � �� 

n 

ds 

2 

� 

Tr 

�� 

�1 

2 

R 

n dRn

79 


� La métrique est définie : ds 

� Distance associée : 

� Par intégration, on obtient : 

d 

2 

Avec det R2 � �R1 

� 

� Dans le cas général, pour l’espace de Siegel 

De la métrique à la distance 

2 

� Tr 

�� 

�1 

2 

R dR 

� � � �1/ 

2 �1/ 

2 

R R � R R R � 

2 

2 

, log . . � log �� 1 

2 

Z n 

1 

2 

� � 0 

� X � iY � SH avec X 

1 

� 

0 

n 

� 

k�1 

� n � �� 

2 

1� 

� 

dSiegel � � � 

� � �� 

k �1 

� �1 

� �k 

�� 

Avec �R( Z , Z ) � �. 

I � � 0 

R 

k 

�ZZ� � 2� 

�� 

1, 

2 log 

avec Z1, 

Z2 

SH n 


� � � �� 1 

�1 

� 

Z Z � Z � Z Z � Z Z � Z Z � Z 

1 , 

2 

1 

2 

1 

2 

1 

2 

1 

k 

2

80 


� Dans le cas de l’espace de Siegel : 

� Il suffit de remarquer que 

De la métrique à la distance (suite) 

�ZZ� Z � R , Z � Z 

� la différentielle 2nd de 

1 

en 

1 

est donnée par 

l’expression : 

R 

D 

ds 

� � � �� 1 

�1 

� 

Z Z � Z � Z Z � Z Z � Z Z � Z 

2 

2 

R 

1 , 

� 

1 

1 

� ��1 �1 

�1 

�1 

Z � Z dZ 

( Z � Z) 

� �1/ 2�. 

dZY dZ 

� 2dZ 

Y 

Tr 

� �1 

�1 

Y dZY dZ 

� Tr� 

2 

� 2. 

D R� 

1 

1

81 

ds 

2 

avec 

Demi-Plan supérieur de Poincare 

� 

dx 

z 

� 


2 

� dy 

2 

y 

x � iy 

2 

� 

Espaces de H. Poincaré et de C.L. Siegel 

dz 

y 

2 

2 

� 

y 

-1 

dzy 

Demi-Plan supérieur de Siegel 

ds 

2 

avec 

� Tr 

Z 

� �1 

�1 

* 

Y dZY dZ � 

� 

X 

� iY 

�1 

dz 

* 

ds 

2 

ds 

ds 

� 

Tr 

2 

2 

� 

� 

Disque de Poincaré 

dz 

2 

� � 2 

1� 

z 

2 

� * � 

�1 

� * � 

�1 

* 

1� 

zz dz 1� 

zz dz 

Disque de Siegel 

�� 

* �1 

* �1 

* 

1� ZZ dZ 1� 

ZZ dZ

82 

Utilisation dans l’art de la géométrie hyperbolique (Escher ) 


83 

d 

2 


SH n 

n 

2 

�Z, Z ��log ��1��/ �1�� 1 

R 

2 


d 

2 

� 

i�1 

k � 1 

Z � X � i. 

Y 

k 

k 

La géométrie du demi-plan de Siegel 

Demi-Plan de Siegel 

� Y 

�1/ 

2 

1 

n 

� 

k �1 

2 

�R, R ��log �� 1 

2 

k 

�Z�X�iY � Sym( 

n, 

C) 

/ Im(Z) 

� � 0� 

i 

k � 2 

k 

i 

Y 

� 0 

k � 2 

� � � �� 1 

�1 

� 

Z Z � Z � Z Z � Z Z � Z Z � Z 

1 , 

�1/ 

2 �R. R . R � �. 

I ��0 2 

1 

�R�Z, Z ��. 

I ��0 det 1 2 

1 

2 

2 

1 

2 

1 

2 

1 

2 

k �1 

Z � i. 

R si W � N , 

k 

ds 

2 

k 

� Trace 

ds 

k 

�1 

2 ��RdR� � 

� Tr 

�0R� �1 

1 �Y�dZ �Y�dZ�� 2 � 

k 

X


La source de la géométrie de 

l’information

85 

Géométrie de Chentsov & métrique de Siegel 

� Fondements combinatoire de la divergence de Kullback 

� La divergence de Kullback peut apparaître naturellement sur des 

bases combinatoires en utilisant la formule de Stirling : 

Soit la loi multinomiale de N éléments répartis sur M niveaux 

P 


M ni 

� �� i 

M n1, 

n2,..., 

nM 

/ q1,..., 

qM 

N! 

M 

i�1 ni! 

q � i 

ni 

� N 

i�1 

n 

avec les a priori , et 

En utilisant la formule de Stirling : 

Lim 

N �� 

1 

N 

log 

� log ( ) � � 

E � � E e 

� � 

K( p, 

q) 

� Sup p 

q 

� 

q 

pi 

� 

ni 

N 

�n 

n! 

� n . e . 2. 

�. 

n 

M 

� � 

i�1 i � 

qi 

quand 

i 

�P� p . log � K( 

p, 

q) 

M 

� 

� 

p 

� 

� 

� 

�ni � 

� Fondements variationnels de la divergence de Kullback 

� Donsker et Varadhan ont proposé une définition variationnelle de la 

divergence de Kullback : 

n 

� 

��

86 


� Géométrie de l’information et Divergence de Kullback (Rao, 1945) 

� La métrique Riemannienne de l’information peut être obtenue en faisant un 

développement de Taylor à l’ordre 2 de la divergence de Kullback : 

K 

g 


1 

� � � � 3 

p( 

x / � ), p( 

x / � d� 

) � g ( � ). d� 

. d� 

� O d� 

ij 

�� p�x/ 

� � 

� � 

� � 2! 

� 

2 

log p 

�θ 

. �θ 

i 

i, 

j 

ij 

i 

� � � 2 

x / � � log p�x 

/ � � 

j 

.dx � �E� 

�� 

j 

�θ 

. �θ 

� Géométrie de l’information et matrice de Fisher 

� La métrique Riemannienne de l’information s’identifie à la matrice 

d’information de Fisher I(�) : 

I 

� 

� � � � � log p�x 

/ � � � log p�x 

/ � � 

� � g ( � ) et g ( � ) � E 

. 

ds 

2 

ij i, 

j 

ij � 

�� 

�θi 

�θ 

j 

T 

� d� 

. I � . d� 

� Var d log p x / � � E d log p x / � 

� � � � �� 

� � �� 

i 

j 

� 

� 

�� 

� 

� 

�� 

� � 2 

� La matrice de Fisher intervient dans la borne de Cramer-Rao : 

� �� 1 

ˆ ˆ 

� 

� �� I � 

E� 

� 

�� 

T 

2 

2 

w � 

W ( � ) � ds ( w) 

� ds ( � ) 

��

87 

Exemple du cas scalaire : distribution gaussienne 

� Distribution exponentielle : cas loi Gaussienne 

ds 

2 


� La matrice de l’information de Fisher est donnée par : 

I( 

� ) � � 

�2 

�1 

. � 

�0 

0� 

2 

� 

� 

avec 

E 

�m 

� 

�� 

�� 

� 

� � �� T 

�1 

�� I ( � ) et � � 

� Cette matrice définit la métrique dans l’espace des paramètres : 

2 

2 

2 � 

T dm d� 

� dm � 

� d� 

. I 

d� 

2 

2 

� � �� 

� 2 � 

m 

z � i. 

� 

2 

� 

�2 

2 

��. d� 

� � 2. 

� 2. 

� �� 

� � � � � 

� 

� Il s’agit du modèle de Géométrie hyperbolique de Poincaré : 

z � i 

z � i 

� � � ��1� ds 

2 

� 

8. 

d� 

2 

� � 2 2 

1� 

� 

La géométrie des 

distributions 

Gaussiennes est 

celle du disque de 

Poincaré 

� 

�

88 

Exemple du cas scalaire : distribution gaussienne 

� Distribution exponentielle : cas loi Gaussienne 

r 

� � 

D 

z 

2 

� 


� La métrique est donnée comme suit avec , et en intégrant sur 

une radiale : 

ds 

2 

� 

� 8. 

� 

�1 

dr 

� r 

1� 

� 2. 

d ln 

1� 

� On utilise ensuite la transformation suivante pour exprimer la métrique 

entre 2 points du disque unité : 

� La distance est finalement donnée par : 

��m, � �� , m , � �� 

m 

1 

2 

1 

� i. 

� 

2 

� 

� 

� 

� �� 

j. 

� 

� � �� 

( �) 

� . e et 0 � �� 

( � ) 

�� 

�1 

2 


� 1� 

� ( �, 

� ) � 

2 � 2. 

�� ln 

1 ( , ) 

�� 

� �� 

� � � 

z � i 

� � 

z � i 

2 

2 

r 

r 

avec 

� ( �, 

� ) � 

� �� 

1� 

��

89 


p( 

X 

avec 

n 

�� 

ln 

/ 

R 

Rˆ 

n 

n 

) 

� 

p( 

X 

� 

( � ) 

�n 

. R 

n 

�1 

. e 

�Tr 

�Rˆ�1 . R � 

Métrique de Rao 

On considère le signal suivre une loi multivariée gaussienne circulaire : 

� �� 

X n � mn 

. X n � mn 


n � Rn 

/ � ) � 

n 

n 

� � �1 � �1 

� iRn 

. � jRn 

� � imn 

. Rn 

jmn 

n n 

gij ( � ) � �E 

� 

� � �Tr 

. � 

��i. 

�� j 

�� 

La métrique de Fisher est donnée par : 

�� 

On considère le processus de moyenne nulle : 

� �� 

�1 

�1 

g ( � ) Tr R . � R . R . � R 

�1 

R n. 

Rn 

� I n � 

�1 

Rn 

� �Rn. 

�Rn 

. Rn 

then ij � n i n n j n 

� 

� 

�� 

2 � 

� 

� � � �� 

�1 

� � 

� 

�� 

�1 

ds ( � ) Tr Rn. 

� iRn 

. d�i 

. Rn. 

� jRn 

. d� 

j �� 

�� 

� i � � j �� 

� � � 

� 

�1 

1 

comme dRn � iRn 

d� 

2 � �1� 

i ds � Tr R dR 

i 

On en déduit la métrique de Rao : 

� � �� 

2 

�1 

2 

� Tr R dR 

n 

n 

n 

n

ds 

2 

avec 

90 

Géométrie différentielle duale de l’information 

� Gaussiennes multivariées de moyenne nulle 

� Ces distributions sont uniquement paramétrées par la matrice de 

covariance et la métrique est celle de Carl Ludwig Siegel 

� Tr 

A 

�� 1 

2 

R dR � Tr �dlog R� 

2 

� 

Comme 

Alors 


ds 

A, 

R 

2 

R 

A 


� � 2 

A, 

B 

� 

� 

R 

� T 

Tr AB � 

�1/ 

2 

dRR 

�1/ 

2 

2 

Métrique de 


� Gaussiennes multivariées de moyenne non nulle 

� Les isométries dans le cas de moyenne non nulle sont les 

homéomorphismes suivants : 

� � � � � T 

T 

m, 

R � m', 

R' 

� A m � a, 

A RA� 

ds 

�1 

� 

2 

ds 

� ds' 

2 

R 

ds 

� 

� 

2 

R 

I 

�1 

dm 

� 

2 

� 

R 

dR 

ds 

�1 

2 

R � �R 

avec 

dm �Tr 

�1 

T �1 

� 

dR 

n �a, A� 

� R xGL( 

n, 

R) 

�� 1 2 

R dR 

D 

Invariance par rapport 

à l’inversion 

� � � �1 

�1 

R , R � D R , R � 

1 

2 

isométrie 

1 

2

ds 

91 


� De la métrique de Siegel à la distance de Siegel 

� R dRR 

2 �1/ 

2 �1/ 

2 

Métrique de Siegel 

� � 

log( A) 

� ( �1) 

1 


� la distance de Siegel déduite de sa métrique est obtenue à partir des 

valeurs propres étendues dans le cas : 

D 

2 

avec 

n� 

� Théorème de James 

� � 

�m � m � 

1 

� � � �1/ 

2 �1/ 

2 

, log . . � 

2 

2 

R R � R R R � log �� 1 

2 


� �1/ 

2 �1/ 

2 

R . R . R � �. 

I ��det�R��R��0 1 

2 

2 

1 

1 

2 

1 

2 

n 

� 

k �1 

� � �, 

� avec A, B � 

� � � 

n 

n 

2 

1 

k 

� � T 

Tr AB 

2 

� Lorsque 1 2 , alors log �k 

suit une loi du Khi-2 à 

n.(n+1)/2 degrés de liberté. 2 

� 

k �1 

� Généralisation de Swain (fonction de contraste) 

D 

n�1 

. 

� Expression de la distance à partir d’une fonction de contraste C 3 sur 

, v( 

�k ) 

v( 

1) 

� v'( 

1) 

� 0 , v'' 

( �) 

�1/ 

2 

et v( 

�) 

� 0 si � � 0 , � � 1 

2 

� , � 

2 

� D � , � 

� 

si w( 

�) � v( 

� 

[0,�[ : 

2 

�A�I� n 

n 

2�RR�� 

1 2 

k �1 

n 

1 

� � � � ) 

Dv 1 2 w 

1 

2


La source de la géométrie 

intrinsèque de l’espace de 

Siegel

93 

M 

Plan hyperbolique de Poincaré 

� Opérations du groupe SL 2 R sur le plan hyperbolique 

� Les travaux de Carl Ludwig Siegel exposé dans son ouvrage 

« Symplectic Geometry » sont une généralisation de SL 2 R sur le demiplan 

hyperbolique de Poincaré 

2 

dsAir Systems � Division � 

� La transformation de Möbius est une action transitive qui transforme le 

demi-plan complexe en lui-même (espace homogène) : 

�a 

b � 

az � b 

� �� SL2R 

, M ( z) 

� et z � H � z 

� c d � 

cz � d 

dx 

2 

�z�C: Im( ) � 0� 

� M et –M ont la même action et ont considère l’action du groupe 

quotient : PSL2 R � SL2R 

/ � I 2 

� Cet espace a également un autre modèle donné par le disque unité via 

i 

la transformation de Cayley : 

y 

� dy 

2 

y 

2 

H 

x 

dz 

y 

2 

2 

D 

� 

�z �C 

: z � 1� 

H � D 

z � i 

z � 

z � i 


D � H 

1� 

z � i 

1� 

z 

z 

-1 

ds 

2 

-i 

� 

D 

1 

4 dz 

2 

� � 2 2 

1� 

z

94 

Plan hyperbolique de Poincaré 

� Opérations du groupe SL 2 R sur le plan hyperbolique 

� Ces modèles peuvent être compactifié (tel que chaque transformation 

ait un point fixe) : 


�H��z�C: im( 

z) 

� 0� 

�� et Cl( 

D) 

� �z �C 

: z � 1� 

Cl � 

� Toute matrice de SL 2 R, non égale à +/-I 2 est conjuguée dans GL 2 R à 

l’une des 3 suivantes (transformations 

hyperbolique/elliptique/parabolique) : 

( M ) � �1� 

R � g 

�� 

� �� 

� 0 

0 � 

�1 

� �� 

� 

� ( M ) � �1 

�1 

� �g1 

� �� 

�0 

1� 

1�� 

� 

� ( M ) � a � ib 

� g 

2 2 

a�ib 

a � b � 1, 

b � 0 

� a 

� �� 

�� 

b 

b 

a 

2 

� z � � z 

� 

� 

�� 

� 

z � 

z 

� 

z 

�1 

az � b 

� bz � a 

Point(s) fixe(s) 

0, 

� ��H 

� ��H 

i � 

H

� 

95 

Géométrie Symplectique et Espace de Siegel 

� Définition du groupe Symplectique : 

Sp( 

n, 

F) 

� 


façon 

A 

T 

C 



� Le groupe Symplectique est défini comme suit : 

Sym( 

n, 

F) 

� M ( n, 

F) 

: espace des matrices nxn symétriques 

� T 

M �GL( 

2n, 

F) 

/ M JM � J� 

équivalente 

B 

T 

D 

: 

M 

� A 

� �� 

�C 

symétriques 


A 

T 

D � C 

T 

, 

B 

J 

B � 

� Sp n F � 

D 

�� ( , ) 

� 

� 

� 0 

� � 

� 

�� 

I 

I 

n 

n 

M 

I 

�1 

n 

0 

�F � R, 

C� 

� 

� 

�� 

SL( 

2n, 

R) 

� 

T � D 

� � 

� 

�� 

C 

� Siegel a introduit l’espace SH n «n ième demi-plan supérieur de Siegel ». 

SH 1 est le demi-plan supérieur hyperbolic H. 

SH n 

�Z � X � iY � Sym( 

n, 

C) 

/ Im(Z) 

� � 0� 

� Y 

� L’espace de Siegel est l’espace homogène correspondant au groupe 

symplectique Sp( n, 

R) 

quotient par le sous-groupe compact 

maximal Kn � Sp�n,R��SO�2n,R�. 

Le groupe Sp �n,R�/ K n 

est une sous variété de 

X � 

GL( 

2n, 

C) 

/ U 2 

2 n 

n 

T 

� 

A 

B 

T 

T 

� 

� 

� 

�

96 



� Espace homogène 

PSp( n, 

R) 

� Sp( 

n, 

R) 

/ �� I 2n� 

SH n 

généralisées : 

� A B � 

M � �� M ( Z) 

� AZ � B CZ � D 

�C 

D� 

� On montre que M(Z) appartient à SHn : M ( Z) 

� SH n 

�Z 

� �E 

� � AZ � B� 

M � � � � � � � � 

� I � �F 

� �CZ 

� D� 

� Le groupe est le groupe des 

biholomorphismes de via les transformations de Möbius 

T 

�� 

M JM 

� 

�� Z � SH 

n 

� 

J 

( Z 

T 

� 

Z, 

Im( Z) 

� 

0) 

� �� 1 � 

�F 

invertible � M(Z) � 

� �1 

� �EF 

symétrique 

� �1 

�Im( 

EF ) � 0 

� L’action du groupe symplectique sur SH n est transitive : 

1/ 

2 

1/ 

2 �1/ 

2 

� I n X ��Y 

0 � �Y 

XY �� 

� �Z� � � � 

� 

1 � � 

� 

� 

� 

I � 

� 

� 

�1/ 

2 

n Y � � 

�1/ 

2 

Y � 

� 0 �� 

0 � � 0 �� 

� �1(iI) 

� 

1/ 

2 1/ 

2 

� 

Z � 

Y ZY et Z � Z � X 

� 

X 

EF 

-1 

� iY

97 



� Action sur le demi-plan de siegel 

T 

1 

Z � SH n alors Z � Z, 

Im( Z) 

� Z � Z 

2i 

�Z 

� �E 

� � AZ � B� 

T 

M � � � � � � � � et M JM � J 

� I � �F 

� �CZ 

� D� 

T ��E 

� �E 

� 

� 

� � T �Z 

� 

T 

� � J � � � J � Z I J � � � 0 car Z � Z 

��F 

� �F 

� 

� I � 

� 

� 1 � � 

�E 

� 1 � � 

�Z 

� 

� 

� E F J � � � � Z I J � � � 0 car Im(Z) 

� 0 

� 2i 

�F 

� 2i 

� I � 

T T �E 

F � F E (1) 

� 

� 1 

�� 

�EF�FE��0(2) � 2i 

si Fv 

� 0 � vF 

� 0 � v EF 

� FE 

v � 0 � v � 0 � F invertible 

( 1) 

� 

� � � Si on utilise que : � 0 

EF 

�1 

symétrique 

� � 


( 2) 

� Im( EF 

�1 

) 

� 

0

98 



� Algèbre Linéaire Symplectique 

� � 1 

� Une matrice symplectique est de déterminant 1 : det M � 

� Soit M � Sp ,on appelle (et la transformation associée) 

2nR 

hyperbolique si M n’a aucune valeur propre sur le cercle unité 

complexe : 

� 

� � � �� et � � 1, 

�i 

� 1,..., 

n 

M i i 

� Soit M une matrice Symplectique sans valeur propre de module unité, 

alors M est symplectiquement similaire à une matrice de la forme : 

� A 

�� 

� 0 

�T 

A 

� Le sous-groupe Sp2n R � O2n(matrices 

symplectiques orthogonales) 

est caractérisé par des matrices de la forme : 

� 

�� 

�� 

A T T 

T 

avec A A � B B � I n et A 

B 

B� 

A�� 

� 

0 

� 

�� 

� 

B 

symétrique

Z' 

� 

99 



� Métrique de Siegel 

� Le groupe PSp( n, 

R) 

� Sp( 

n, 

R) 

/ �� I est le groupe des 

2n� 

biholomorphismes de SH via les transformations de Möbius 

n 

généralisées : � A B � 

M � �� M ( Z) 

� AZ � B CZ � D 

�C 

D� 

� PSp( 

n, 

R) 

agit comme un sous-groupe d’isométries : 

2 

�1 

� Tr Y 

�1 

dZ Y dZ 

avec Z � X � 

ds Siegel 

� La distance associée est : 

d 

Siegel 

� �� 1 � 

� � � � �� 

iY 

�1 

� �� 1 

'�1 

� � � �� 

� �1 

�1 

AZ � B CZ � D � Tr Y ' dZ' 

Y dZ 

' � Tr Y �dZ �Y �dZ �� 

�Z, Z � 

1 

2 

� 

�1 

� 

n 

2 

� �� 

log � k 

� � 

k �1 

1� 

rk 

� Avec les r k les valeurs propres du bi-rapport : 

R 

� 

� 

r 

�� 

�� 

�� 

�� 

1/ 

2 

� � � �� 1 

�1 

� 

Z Z � Z � Z Z � Z Z � Z Z � Z 

1, 

2 

1 

2 

1 

2 

1 

2 1 

Sp2n R / 

� Soit (A,B) et (C,D) deux pairs de points dans , alors il 

existe une transformation symplectique qui transforme A en C et B en 

D si et seulement si : 

�1 

�1 

� 

j 

� B� 

� � �C D� 

�j 

A j 

K 

2

10 

0 

�A 

� 

�C 

dZ '� 

Im(Z 


� Invariants différentiels dans l’espace de Siegel 

dZ '� 

Im(Z') 

� 


� On cherche des expressions différentielles invariantes par le groupe 

G=Sp(n,R) : � �� 1 � 

Z' 

� AZ � B CZ � D 

�1t 

�CZ � D� 

�dZ ��CZ � D� 

�1 

� ��1t CZ 

� D Im(Z) 

�CZ � D� 

� Etant donné Z=X+iY, les matrices les plus générales qui transforment 

Z dans le point i.I n sont celles de la forme : 

B� 

� � 

� 

D 

� � 

� �� 

� 

�1/ 

2 � ��Y 

�� 

� �� 

0 

�1/ 

2 

�1/ 

2 

�Y 

X � � �Y 

� � 

1/ 

2 � 1/ 

2 

Y � �� 

�Y 

1/ 

2 �1/ 

2 

�Y 

��Y 

X � 

�1/ 

2 

1/ 

2 � 

�Y 

X ��Y 

� 

� 

1/ 

2 

i� unitaire , CZ 

� D � � � i� 

Y 

1/ 

et CZ 

� D � � � i� 

Y 

�1 

�� 

� 

�� 

car 

A 

t 

D � C 

� � � � 

� On en déduit : 

�1t 

�1/ 

2 �1/ 

2 

�1 

�� i� 

� Y �dZ �Y �� i� 

� 

� � � 2 

�1t 

�1/ 

2 

�1/ 

2 

�1 

' ) � Y '� 

��i�� Y Im(Z)Y 

��i�� 1/ 

2 

�1/ 

2 

� Y Im(Z)Y 

� I n 

Tr 

� Tr 

� ainsi que l’identité : 

� �1 

�1 

Y ' dZ 'Y 

' dZ 

'�� 

Tr�dZ 

'dZ 

'� 

� 1/ 

2 �1 

Y �dZ �Y�dZ� �1/ 

2 

Y � Tr� 

�1 

�1 

� Y dZY dZ 

� 

t 

B 

� 

I 

n

10 

1 


� Invariants différentiels dans l’espace de Siegel 

� Nous venons de montrer que la formule différentielle (quadratique 

hermitienne) suivante est invariante par le groupe G=Sp(n,R) : 


� 

Y 

ds 

� Tr 

� �1 

1 

Y �dZ �Y �dZ�� 2 � 

� Cette expression définit un ds2 hermitien défini positif invariant par G. 

� Cette métrique ds2 est une métrique Kählérienne 

� 

�1 

1 

Tr 

2i 

� �1 

�1 

� � �1 

�1 

Y dZ � Y dZ 

� Tr Y dYY � dX � 

�1 

� � � �1� 

� � �1 

dY Y � �d 

Y � � � Tr dX � d Y ��d��0 

� L’élément de volume dans l’espace de Siegel invariant par G est 

donné par: X � �x � 

Y 

�1 

� 

ij 

i, 

j 

� 

� 

� � 

�� 

� 

� 

��y' 

�2 

� � � � ii ii 

y' 

i� 

ij 

i, 

j 

� 

� 

� 

� 

� 

�x 

i j 

� � 

� � � 

� � 

� � 

� 

ij 

i� 

j 

i� 

j 

ij 

� 

� 

� 

� 

�x 

� En élevant à la puissance extérieure d’ordre n(n+1)/2, le volume 

invariant par G est donné par : 

δx 

δy' 

ij 

��y' 

ij

10 

2 

d 



� Métrique de Siegel 

PSp( 

n, 

R) 

2 

�1 

� Tr Y 

p 

Φ :SH 

1 

n 

Z 

avec 1 

� agit comme un sous-groupe d’isométries : 

ds Siegel 

� �1 

�dZ �Y �dZ �� 


� La bijection suivante relie la métrique de Siegel à la métrique d 2 : 

� 

� � 

� : SH 

� 

� Lien avec la métrique d p : 

n � 

( A, 

B) 

� �� 

log� 

j 

� i�1 

1 

Sp(n,R)/K 

1 

n 

�Z� K 

n 

n 

� Sp( 

n, 

R) 

1/ 

p 

� �1 

� 

p 

� �1 

A B Max A B� 

� �1 

� � log� 

, log� 

A B� 

O � K 

avec 

p�� 

Siegel ( Z, 

W ) 2d 

2 

1 

� 

� 

�iI � 

A et 

��1 ( Z), 

� ( W ) � �Z 

W SH n 

ds � , � 

n 

� 

� 

A 

T 

Stab 

� I 

1/ 

2 X ��Y 

0 � 1/ 

2 �Y 

XY 

� 

� 0 I �� 

n �� 

0 

1/ 

2 

Y � 

� 

� 

� 0 Y 

� 

n 

B 

� A 

et O � �� 

�� 

B 

� � � � 

n 

Z � �� 

� � � 

� � �1/ 

2 

� � 

T 

1 

� 

B 

�1/ 

2 

� 

� 

1 

B� 

A�� 

�

10 

3 



� Autres modèles de l’Espace de Siegel 

SH 

Φ 

2 

:SH 

M 

� La compactification naturelle de n est donnée par SDn 

le domaine 

bornée qui est une extension du disque unité de Poincaré, SDn 

biholomorphe à . 

SD n 

SH 

n 

�Z � Sym(n,C)/ Z � I� 

avec Z � ZZ 

� 2 

2 

SDn 

USym(n) 

� La frontière de est appelée frontière de Shilov, c’est l’ensemble 

des matrices nxn unitaires symétriques . 

� Les deux espaces sont reliés par la transformée de Cayley : 

n 

Z 

� 

SD 

n 

� �� 1 � 

� Z � iI Z � iI 

� �� 1 � 

n 

n 

Φ 

�1 

2 

:SD 

n 

Z 

� 

� 

SH 

� Les biholomorphismes de SDn 

sont données par les transformations 

de Möbius généralisées induites par le sous-groupe : 

Sp( 

n, 

R)'� 

SU ( n, 

n) 

� 

� 

Sp 

� Stab( 

0) 

� 

M ( Z) 

� UZU 

�n, C� 

� SU �n, n� 

� * 

M � SL( 

2n, 

C) 

/ M diag( 

I , �I 

) M � diag( 

I , �I 

) � 

�M�Sp( n, 

R)'/ 

M ( 0) 

� 0� 

T 

, U �U 

n 

, Z � SD 

n 

n 

n 

i 

I 

n 

n 

� 

Z 

I 

n 

Sp( 

n, 

R)' 

� 

n 

Z 

n

10 

4 



� Autre modèle de l’espace de Siegel 

SH 

Φ 

3 

:SH 

n 

Z 

� Modèle projectif de : 

n 

� 

� 

SPH 

�Z 

� 

�I 

n 

� 

� 

� 

n 

� A 

�� 

�C 

B �� 

Z 

D 

�� 

��I 

n 

� 

� 

� 

� AZ � B� 

� � � � 

�CZ 

� D� 

� Remarque : matrice triangulaire supérieure 

�( AZ � B)( 

CZ � 

� 

� I n 

D) 

� Soit G un sous-groupe de matrices triangulaires supérieures de type 

bloks 2x2 dans Sp( 

n, 

R) 

alors G est généré par les translations et les 

congruences : 

� I n 

Z � 

T ( Z) 

� Z � B, 

B � Sym( 

n, 

R), 

T � � 

� 

� 0 

T 

� A 

Z � Q( 

Z) 

� AZA , A� 

GL( 

n, 

R), 

Q � �� 

� 0 

B � 

� 

� 

I n � 

0 

� 

� � �� T �1 

A 

� 

�1 

� 

� 

�

10 

5 


� Lien avec le cône symétrique 


� Pour nous ramener à notre cas d’étude, prenons x=0 : 

Z 

� iY (X � 0 ) avec Im( Z) 

� Y 

� La correspondance entre les points de l’espace de Siegel et les 

matrices P symplectiques symétriques et positives : 

� 0 

J � � 

� 

�� 

I n 

I n � 

� 

� 

0 � 

2 �PJ � � �I 

2n 

PJL � �iL 

avec 

�iY 

� �Y 

L � � � et P � �� 

�I 

n � � 0 

0 � 

�1 

Y �� 

� 

� Autre représentation de l’espace de Siegel : 

�1 

�I �Y 

��I �Y 

� avec WW 

� 1 

W � n n 

� ds 2 hermitien défini positif, définit une métrique Kählérienne invariant 

par G =Sp(n,R) : 

ds 

� Tr 

1 �dY �Y�dY � 

� �1 

Y 

� 

2 � 

� 

0


Moyenne (géométrique 

symétrisée) & Géodésique

10 

7 

Moyenne Géométrique de matrices définies positives 

� Rappel sur la moyenne géométrique de nombres réels positifs 

1) 


� Définitions de la moyenne géométrique de nombres réels positifs : 

x � ab moyenne géométrique 

2) solution de xa 

3) 

min 

4) 

�a, b�� 

� ab � � max�a, 

b� 

Max 

e 

ab 

�x� 2ab 

a � b 

�a 

tel que �� 

� x 

5) � 

( a, 

b) 

� 2� 

( a, 

6) 

7) 

8) 

9) 

x�R 

x� 

y 

2 

� Lim a 

� 

n�� 

ab 

point fixe positif 

n 

�1 

avec 

x � b 

� Limb 

n�� 

a � b 

2 

x� 

� 0 

b 

�� 

� 

ab) 

� 2� 

( b, 

x 

a � e , b � e 

� a 

dx( 

t) 

ab � Lim x( 

t) 

avec � b � 

t�� 

dt 

x � 0 tel que F' 

'( 

x)( 

a) 

� 1/ 

b avec 

n 

avec 

a 

0 

y 

b 

�1/ a� 

� b 

de la transformée 

de Möbius : X 

, 

0 

x( 

t) 

a 

(harmonique, 

géométrique 




F( 

x) 

� � log x 

n�1 

ab) 

avec� 

( x, 

y) 

� log 

� 0 

� �� 

�a 

x( 

0) 

� 

2anbn 

� 

a � b 

�x/ y� 

x 

0 

1 

n 

n 

b� 

0 

�� 

� 

� 0 


b 

n�1 

� 

a 

n 

� b 

2 

n 

arithmétique)

10 

8 


Moyenne arithmetico-géométrique : C.F. Gauss 

� Gauss (à l’âge de 20 ans) & Lagrange indépendemment ont prouvés : 

� Moyenne arithmético-géométrique de a et b : 

� an 

� bn 

�an�1 

� 

�a 

� b � 0 , �a0, b0 

��a, b� 

et � 2 

� 

�bn�1 

� anbn 

� Est reliée à l’intégrale : 

I 

�a, b� 

� 

� / 2 

M ( a, 

b) 

2 2 � an 

� bn 

� 

an�1 

� bn�1 

� � � 

� 2 � 

� an 

� bn 

� 

� anbn 

� � � 

� 2 � 

� �n 

� 0 b � b � ... � b � b �a 

� a 

avec 

� La transformation de Landen donne : 

� � a � b � 

�I 

�a1, b1 

��I� , ab � � I�a, 

b� 

� � 2 � avec 

� 

�2J 

�a1, b1 

��J�a, b��abI�a, 

b� 

� b � 

Landen transf. 

: u � t � Arc tan� 

tan t � 

� a � 

0 

2 

n 

n�1 

�M 

( a, 

b) 

� Lim an 

� Limbn 

n�� 

n�� 

� 

� / 2 

� 

dt 

�I 

( a, 

b) 

� � 2 2 

� 

0 a cos t � b 

J 

�a, b� 

� 

� / 2 

� 

0 

a 

2 

cos 

2 

2 

n�1 

sin 

2 

t 

t � b 

2 

2 

n 

sin 

� 0 

� ... � a 

2 

tdt 

4.J(a,b) : Périmètre de l’ellipse 

de demi-axes a et b 

0 

� a

10 

9 


� Extension de la moyenne géométrique à des matrices 

définies positives : 

� Le procédé itératif présenté pour les nombres réels positifs s’étend aux 

matrices symétriques définies positives : 

A� 

A 

n�1 

B 

� 

� 

2 

Lim 

n�� 

avec 

� �1 

�1� 

�1 

A � B et B � �A�B�/ 2 

n�1 

�1 

�1 

FAir 'Systems 

'( 

XDivision 

)( A) 

� X AX � B avec F( 

X ) � � 

n 

A 

n 

� Lim B 

n 

n�� 

� La moyenne géométrique est solution de l’équation de l’EDP : 

�A, 

B � Sym 

�� 

, A� 

B 

� 

t�� 

n 

Lim X ( t) 

� La moyenne géométrique est solution de : 

A 

0 

n 

� 

A 

n 

, 

B 

0 

� 

�dX 

� � B � XA 

avec � dt 

� 

� 

�X 

( 0) 

� Sym 

�� 

� A X � 

�A, 

B � Sym , A� 

B plus grande matrice (Loewner) t.q. �� 

� X B � 

� La moyenne géométrique est également donnée par : 

log det( X ) 

� 

B 

�1 

X 

0

11 

0 

XA 

� 


�1 

A 

X 

� ( A 

�1/ 

2 

�1/ 

2 

� 

B 

XA 

XA 

� 

�1/ 

2 

�1/ 

2 

A 

�1/ 

2 

)( A 

� 

moyenne géométrique symétrisée 

� La moyenne qui apparaît est bien une matrice symétrique ou 

hermitienne définie positive : 

A � 

B 

� 

A 

� Il s’agit bien du barycentre de Fréchet, qui minimise : 

� On peut remarquer que quand les matrices commutent, il s’agit de la 

moyenne géométrique classique : 

� � qui n’est pas symétrique définie positive 

� Une autre façon de retrouver la moyenne géométrique « symétrisée » 

consiste à la trouver comme solution de l’équation de Ricatti : 

2 / 1 

A� B � AB 

( XA 

�1/ 

2 

1 / 2 

XA 

� �1 

/ 2 �1 

/ 2 � 

1 / 2 1 / 2 

A BA A 

� �1/ 

2 �1/ 

2 � 

2 

� �1/ 

2 �1/ 

2 � 

2 

A XA log B 

�� 

Min�� 

log � XB 

X � 

�1/ 

2 

�1/ 

2 

A 

) 

�1/ 

2 

� 

X ) A 

A 

�1/ 

2 

�1/ 

2 

BA 

�1/ 

2 

�1/ 

2 

BA 

�1/ 

2 

� �1/ 

2 �1/ 

2 � 

1/ 

2 

1/ 

2� 

�1/ 

2 �1/ 

2 � 

1/ 

2 1/ 

2 

A BA � X � A A BA A 

� 

A

11 

1 

Moyenne de 2 matrices définies positives 

� Pourquoi la moyenne géométrique plutôt que la moyenne 

arithmétique : 

� La Moyenne arithmétique ne tient pas en compte du fait que les 

matrices sont des estimés statistiques : 


ˆ 

Rarithmétique A � B 

2 

� Pour un modèle de loi multivariée gaussienne, la variance de la 

matrice R est proportionnelle à R. Pour tenir compte de cette variance 

pour la moyenne arithmétique, il faut considérer l’inverse de cette 

matrice qui fait intervenir le déterminant suivant qui n’a aucune raison 

d’avoir un bon comportement : � � 

� En revanche pour la moyenne géométrique : 

1 � 

det ( A � B) 

/ 2 

A et B 

� Elle tient compte de la variance de la matrice 

� 

� � � � 2 / 1 

�1/ 

2 �1/ 

2 1/ 

2 1/ 

2 

A BA A � A� 

B AB 

1/ 

2 

A� B � A 

� 

commutent 

ds 

w 

2 

� Tr 

� �( 

� ) 

�� 

�1 

2 

R dR �� 

2 2 

dsw 

ds � � � 

�� 

�

11 

2 

� On en déduit l’expression de la géodésique 


� � � � 2 

2 

�1/ 

2 �1/ 

2 

A, 

� ( t) 

� log A ( t) 

A 

D � 

t 

�[ 

0, 

1] 

� ( t) 

� 

� ( 0) 

� 

� ( 1/ 

2) 

A 

A 

1/ 

2 

� 

t � � (t) 

D( A, 

� ( t)) 

� t. 

D( 

A, 

B) 

A � 

B 

� � ( 1/ 

2) 

� �1/ 

2 �1/ 

2 

A BA � 

t 


A� 

� ( 1) 

B 

� 

B 

A 

1/ 

2 

avec 

0 

� 

Géodésique 

t 

� 1

11 

3 

Racine Carrée d’une matrices définies positives 


� Méthodes récursives du calcul de la racine carrée 

� Itération de Denman-Beabers : 

X 

k �1 

� 0 Y � 

k �1� 

1 

� 

� 

� 0 Yk 

� 0 

� � � � 

� 

� � � � � 

�Z 

k �1 

0 � 2 � �Z 

k 0 � �Yk 

� Itération de Schultz (sans inversion de matrice) : 

Z 

0 

� Méthode de Björk via la décomposition de Schur : 

1 

�1 

k 

�� 

� 

� 

� 

�� 

1 / 2 

�0 

A� 

� 0 A � 

avec X 0 � � � alors Lim X k � � � � 

�I 

0 

k �� 1 / 2 

� 

�A 

0 � 

� 

Q AQ � 

� Yk 

�1� 

1 

X k � � � � X k ( 3I 

� 

Zk 

1 0 

� 

� � � 2 

T 

Par récurrence, on calcule : 

0 2 

1 X k 

Avec T triangulaire supérieure 

U 

2 

1/ 

2 

� T � A � QUQ 

� 

)

11 

4 


� Moyenne de N matrices symétriques définies positives : 

� Comment étendre les approches précédentes pour trouver la définition 

d’une moyenne sur N matrices symétriques définies positives. Une 

approche naïve consisterait à faire : 


1) 

si 

2) 

�A A ... A � 

ne sont pas symétriques 

définies 

les 

e 


1 

A 

i 

2 

N 

1/ 

N 

ne commutent 

pas 

�log A log �/ 2 1/ 

2� 

1/ 

2 1/ 

2 � 

1� 

A2 

� � 

� A1 

A A A 

A 

� B � e 

A 

� 

e 

B 

1 

2 

1 

non valide 

positives 

1/ 

2 

A 

1/ 

2 

1 

L’extension de la définition de la moyenne de N matrices 

Symétriques définies positives est un problème ouvert

11 

5 


� Moyenne de 3 matrices symétriques définies positives : 

� Une première idée pour 3 matrices proposé par Denes Petz en utilisant 

une récursion interprétée comme une procédure de symétrisation : 


A� 

B � 

�A 

� 

�A 

G 

1 

� 

n�1 

A 

� 

A 

A 

1/ 

2 

, 

n 

B 

� 

� �1/ 

2 �1/ 

2 

A BA � 

1 

B 

� 

n 

B 

, 

�A, B, 

C��Lim 

An 

� Lim Bn 

� LimC 

n 

n�� 

, 

B 

C 

n�1 

1 

� 

� 

1/ 

2 

C 

A 

n 

n�� 

A 

1/ 

2 

� C 

n 

, 

C 

n�� 

n�1 

� 

B 

n 

� C 

n

11 

6 



� Une extension de la moyenne géométrique à N matrices définies 

positives a été proposée récemment par T. Ando sur la base des 

propriétés suivantes : 


P1: 

Si 

P2: 

P4: 

Si 

P5: 

P6: 

P7 : 

P8: 

G 

P9: 


A,B et C commutent alors G( 

A, 

B, 

C) 

� 

et G( 

A, 

A, 

A) 

� A 

��A, �B, 

�C�� 

� 

alors G( 

A, 

B, 

C) 

� G 

�An�� , Bn�� 

, Cn� 

� �G( A , B , C ) � 

��( A, 

B, 

C) 

� 

�ABC� * * * 

* 

�SAS, S BS, 

S CS ��SG�A, B, 

C� 

�λA1�( 1� 

�) 

A2 

, λB1 

� ( 1� 

�) 

B2, 

λC1 

� ( 1� 

�) 

C2 

� 

�A, B , C ��1��G�A, B , C � avec 0 � λ � 

1 

0 

inversible, 

1 

1 

�1 

�1 

�1 

�A, B, 

C��G�A, 

B , C � 

0 

1/ 

3 

P3: 

� π( 

A, 

B, 

C) 

permutation 

�S 

G 

λG 

G 

A � A , B � B , C � C 

G 

n 

n 

�1 

� � � � 3 / 1 

A, 

B, 

C � det A. 

det B. 

det C 

0 

séquences 

n 

G 

n�� 

G( 

A, 

B, 

C) 

de ( A, 

B, 

C) 

décroissantes 

2 

2 

2 

0 

1/ 

3 

avec �, 

� , � � 0 

� G( 

A, 

B, 

C) 

� G( 

A , B , C 

� G( 

A, 

B, 

C) 

0 

monotones 

� 

1 

S 

0 

)

11 

7 



� T. Ando, C.K. Li et R. Mathias ont proposé la procédure suivantes pour 

N matrices : 


G 

1/ 

2 

� � � �1/ 

2 �1/ 

2 

A , A � A A A A � 

Pour 

Connaissant 

k�1 

�G�( Ai 

) i�l 

��l�1 

( 1) 

�A 

� �A,..., A � 

� 

� 

�� A 

G 

1 

k 

( r�1) 

� T 

� ( r) 

� � � ( r) 

A G A � G� 

( r) 

� ( ) ,..., ( A ) �� 

�A,..., A � 

�AAA� A Lim A �AA� ( r) 

,..., , � avec � ,..., 

1 

2 

1 

k 

1 

la moyenne pour k matrices: 

G 

connu 

k �1 

1 

� 3,..., 

N faire 

k �1 

~ 

2 

i 

1 

i�1 

1/ 

2 

A 

r�� 

1/ 

2 

1 

i 

~ 

1 

i�k 

�1 

~ 

, 

r 

k 

� 

1, 

2,...


Du Barycentre de Fréchet au 

Barycentre de Karcher

Algorithmes de la moyenne/Médiane : critère à optimiser 

11 

9 

� 

2 


� Problème à résoudre « Barycentre de N matrices » : 

X 

� argmin f ( X ) � argmin 

� 

� Moyenne barycentrique 

X 

� Mediane (Point de Fermat-Weber) 

X 

N 

� 

k �1 

N 

argmin min� 

2 

X 

X k �1 

d 

� 

�X, B � 

2 

� X � f ( X ) � arg d �X, B � 

�1 

�f( X ) � � exp �B��TV grad � � 2 

X k X 

k �1 

�1 

N 

N 

argmin min� 

1 

X 

A k �1 

� X � f ( X ) � arg d�X, 

B � 

�1�Bk 

� 

�X, B � 

N exp X grad�f1( X ) � � 

�TXV 

d 

� � 

k �1 

k 

k 

k 

k 

�� . grad� 

f �X �� 

X n�1 

� X n 2 

exp � 

� � N 

Bk k �1 

�� . grad� 

f �X �� 

X n�1 

� X n 1 

exp � 

n 

n

12 

0 


Flot de gradient sur une variété


Moyennage de matrices

12 

2 

� 

2 


Moyenne de matrice 

2 

� X � f ( X ) � arg d �X, B � 

exp � 

��. grad� 

f �X �� 

X n�1 

� X n 2 

exp 

exp 

avec 

argmin 2 

X 

N 

min� 

X k �1 

2 

d k 

k 

k 

� � � �1/ 

2 �1/ 

2 � � �1/ 

2 �1/ 

2 

X , B � log X B X , log X B X � 

1/ 

2 � � � �1/ 

2 �1/ 

2 

U � X log X UX � 

n 

avec 

�1 

�f( X ) � � exp �B��TV grad � � 2 

X k X 

k �1 

N 

�1 1/ 

2 

�1 

/ 2 �1 

/ 2 

X 

� 

X 

�log�XnBkXn� 

1/ 

2 k�1 

X 

�1 

/ 2 �1 

/ 2 

1/ 

2 X VX 1/ 

2 

n�1 

� X n e 

X ( V ) � X e X 

N 

k 

X 

1/ 

2 

n

12 

3 


Y 

Y 

�1 

�� 

vX 

� grad X ( V ) � �exp 

X 

� 

�1 

/ 2 Y �1 

/ 2 

Y 

1/ 

2 �t 

�X. vX 

. X � 1/ 

2 

�� exp X ( vX 

, t) 

� X e 

X 

�1 

/ 2 �1 

/ 2 

Y 

1/ 

2 t log�XYX 

� 1/ 

2 

� exp ( v , t) 

� X e X 

X 

X 


1/ 

2 � � � �1/ 

2 �1/ 

2 

V � �X 

log X YX � 

� La géodésique entre 2 matrices X et Y est donnée par : 

�1/ 

2 �1/ 

2 

1/ 

2 t log�X 

YX � 1/ 

2 1/ 

2� 

�1/ 

2 �1/ 

2 � 

t 1/ 

2 

� ( t) 

� X e X � X X YX X 

avec t 

� 

�0, 1� 

� La moyenne est définie comme barycentre au sens de Fréchet : 

X 

�Y 

� � 

Y 

X 

X 

1/ 

2 

� ( 0) 

� X et � ( 1) 

� Y 

1/ 

2 � � � �1/ 

2 �1/ 

2 � 

1 /2 1/ 

2 

1/ 2 � X X YX X

12 

4 

k 

� 


Il s’agit d’un flot de gradient sur la variété 

� Algorithme par descente de gradient 

� La tangente en X à la géodésique rejoignant X à B k 

� ( t) 

� 

G 

X 

X 

d� 

k ( t) 

dt 

k 

1/ 

2 

t 

k 

� 1/ 

2 1/ 

2 � 

t 

�1/ 

2 �1/ 

2 

� � k 1/ 

2 1/ 

2 tk 

log 

X B X X X e 

�X Bk 

X 

� 

� 

�0 

� 

X 

k 

1/ 

2 

log 

� �1/ 

2 �1/ 

2 � 1/ 

2 

X B X X 

� La somme des tangentes en X des géodésiques de X aux 

d� 

( t) 

N 

N 

k 

1/ 

2 

� � 

t 0 � GX 

� X �� 

� 

k �1 

dtk 

k �1 

k 

� 

� 

log 

X 

1/ 

2 

� �1/ 

2 �1/ 

2 � 1/ 

2 

X B X X 

k 

� 

� 

� 

� � N 

Bk k �1

12 

5 

d� 

( t) 


Karcher Barycenter & Jacobi Field 

1/ 

2� 

1/ 

2 1/ 

2 � 

t 

�1/ 

2 �1/ 

2 

� � 1/ 

2 1/ 

2 t log�X 

Bk 

X � 1/ 

2 

� ( t) 

� X X B X X � X e 

X 

k 

B6 

B1 2 B 

B5 

� 

� 

k 

d� 

k ( t) 

dt 

t�0 

� 

N 

N 

� � � � � � 

k 1/ 

2 

1/ 

2 1/ 

2 1/ 

2 

t�0 

� X � log X Bk 

X X 

k �1dt k �1 

B4 

B3 

� 

� 

� 

X 

1/ 

2 

log 

� 

0 

� �1/ 

2 �1/ 

2 � 1/ 

2 

X B X X 

k

12 

6 


Notations 

� Soit � une géodésique et on introduit une famille de 

�1 

geodesiques c( s, 

t) 

� exp y ( s exp y � ( t)) 

, où y est fixé. 

d 

d 

� soit c'� c( 

s, 

t) 

et c� � c( 

s, 

t) 

. Alors s � c� 

( s, 

t) 

est une famille 

ds 

dt 

de champ de Jacobi. 

� De plus, d( y, 

� ( t)) 

� c'( 

s, 

t) 

. 

� Ceci permet de calculer 

d 

c'( 

s, 

t), 

c'( 

s, 

t) 

dt 

� D 


D 

correspondent aux dérivées cocvariantes 

dt ds

12 

7 

� Par bilinéarité, on trouve 


Calcul du gradient 

d 

D 

1 D 

c'( 

s, 

t), 

c'( 

s, 

t) 

� 2 c'( 

s, 

t), 

c'( 

s, 

t) 

� 2� 

c� 

( s, 

t), 

c'( 

s, 

t) 

ds 

dt 

dt 

0 ds 

En utilisant le fait que 

D D 

, et que 

D 

c'� 

c� 

c'� 

0 (équation 

géodésique), dt ds 

ds 

du au fait que c' 

ne dépend pas de s. 

� Alors, 

2 

� 

1 

0 

D 

ds 

comme 

1 d 

c� 

( s, 

t), 

c'( 

s, 

t) 

ds � 2� 

c� 

( s, 

t), 

c'( 

s, 

t) 

ds � 

0 ds 

c'( 

0, 

t) 

� 

0 

c� 

( 1, 

t), 

c'( 

1, 

t)

12 

8 


Calcul du gradient 

� Par définition de c, c� ( 1, 

t) 

� �� ( t) 


� On conclue que 

�1 

c'( 1, 

t) 

� �exp 

( y) 

� ( t ) 

d 

dt 

c'( 

s, 

t), 

c'( 

s, 

t) 

� 

�1 

�2 

�� ( t), 

exp ( y) 

� ( t ) 

� Ceci est valide pour tout chemin géodésique � , aussi 

avec t 

� 0 et � ( 0) 

� x , on obtient le résultat final 

� 

x 

2 

� 

dist( x, 

y) 

� �2exp 

x 

1 

( y)


Notion d’espace symétrique

13 

0 



� En géométrie riemannienne, un espace localement symétrique 

est une variété riemannienne (M,g) telle que, (localement) autour 

de chaque point x, il existe une symétrie σx qui inverse les 

géodésiques issues de x et qui est une isométrie (locale). 

� Un espace localement symétrique est dit symétrique si les 

symétries peuvent se prolonger à tout l'espace. De manière 

équivalente, une variété riemannienne (M,g) est dite symétrique 

lorsque, pour tout point x de M, il existe une isométrie σx:M�M vérifiant : 

� σx (x) = x ; 

� dσx (x) = − Id. 

� Cette isométrie σx est appelée l'involution en x. 

� Propriétés : 

� Tout espace symétrique est une variété riemannienne 

géodésiquement complète, donc complète en vertu du théorème de 

Hopf-Rinow. 

� Il existe une et une unique involution en x. 

� Le tenseur de courbure d'une variété riemannienne est parallèle.

13 

1 

G( A, 

B) 



� Pour l’espace considéré, la géodésique entre deux matrices A et B 

est donnée par : 

� ( t) 

� 

A 

1/ 

2 

� � 

�1/ 

2 �1/ 

2 

�1/ 

2 �1/ 

2 t 1/ 

2 1/ 

2 t. 

log�A 

BA � 1/ 

2 

A BA A � A e A avec t ��0, 

1� 

� Pour l’espace symétrique des matrices symétriques ou 

hermitiennes définies positives, pour chaque paire (A,B), il existe 

une isométrie bijective G( 

A, 

B) 

qui vérifie : 

G( A, B) 

A � B et G( A, 

B) 

B � A 

� Cette isométrie a un unique point fixe Z qui est donné par le milieu 

de (A,B), c’est à dire la moyenne géométrique précédemment 

définie d�G � ( A , B) 

X , X � 2d�X 

, Z � : 

-1 avec 

1 / 2 �1 

/ 2 �1 

/ 2 1 / 2 1 / 

X 

�A�B� X ( A � B) 

� � � 2 

A � B � A A BA A 

Et les propriétés : et 

( A, 

) 

( A, 

) 

� Ceci est différent de l’approche classique en traitement du signal 

qui suppose un espace normé euclidien : 

G( A, 

B) 

G B 

avec et 

�A B� 

�A�B� �A � B� 

- X � �A � B� 

X � 

A � B 

A � B � 

2 

A � B F 

� � �A � 

B� 

� �I 

dG B

13 

2 



X 

A ( A , B) 

Espace Normé : isométrie 

(approche traitement 

du signal Classique) 

B � G( 

A, 

B) 

� G B X � �A�B��X��A�B� G (A,B) 

A 

A� 

B � 

�A�B� 2 

A� 

B � A 

G( A, 

B) 

B � G( 

A, 

B) 

Courbure nulle A � G( 

A , B) 

B Courbure négative 

� ( 0) 

� A 

Espace Normé : Géodésique 

� ( 1) 

� B 

� ( t) 

� A� 

t 

t � 

�0, 1� 

�B�A� X 

Espace métrique : isométrie 

1/ 

2 

� ( 0) 

� A 

�1/ 

2 �1/ 

2 1 /2 1/ 

2 

�ABA � A 

X 

� ( t) 

� A 

t � 

�0, 1� 

� 

1/ 

2 

A 

-1 �A�B� X ( A� 

B) 

Espace métrique : Géodésique 

�1/ 

2 �1/ 

2 �ABA � 

� ( 1) 

� B 

t 

A 

1/ 

2

13 

3 


« La Messe est dite » par Marcel Berger 

• Premier Miracle : 

M. Berger 

La théorie des espaces symétriques peut être considérée comme le premier miracle de la géométrie 

riemannienne, en fait comme un nœud de forte densité dans l’arbre de toutes les mathématiques. … 

On doit à Elie Cartan dans les années 1926 d’avoir découvert que ces géométries sont , dans une 

dimension donnée, en nombre fini, et en outre toutes classées. 

• Second Miracle : 

Marcel Berger (IHES), « 150 ans de Géométrie Riemannienne », 

Géométrie au 20ième siècle, Histoire et horizons, Hermann Éditeur, 2005 

Entre les variétés localement symétriques et les variétés riemanniennes générales, il existe une 

catégorie intermédiaire, celle des variétés kählériennes. … On a alors affaire pour décrire le 

panorama des métriques kählériennes sur notre variété, non pas à un espace de formes 

différentielles quadratiques, très lourd, mais à un espace vectoriel de fonctions numériques (le 

potentiel de Kähler). … La richesse Kählérienne fait dire à certains que la géométrie kählérienne est 

plus importante que la géométrie riemannienne. 

• Pas d’espoir d’autre miracle : 

Ne cherchez pas d’autres miracles du genre des espaces (localement) symétriques et des variétés 

kählériennes. En effet, c’est un fait depuis 1953 que les seules variétés riemanniennes irréductibles 

qui admettent un invariant par transport parallèle autre que g elle-même (et sa forme volume) sont 

les espaces localement symétriques, les variétés kählériennes, les variétés kählérienne de Calabi- 

Yau, et les variétés hyperkählériennes. 

Read More : Marcel Berger, « A Panoramic View of Riemannian Geometry », Springer 2003


Médianage de matrices

exp 

exp 

�1 

grad�f1 argmin 1 

X 

N �1 

exp X � 

�Bk � 

X ) � �� 

�TXV 

k �1 

d�X, 

Bk 

� 

N 

min� 

X k �1 

n�1 

� 

�1 

X 

X 

13 

5 

1/ 

2 �1/ 

2 �1/ 

2 

�U��X log�X 

UX � 

( V ) � X 

1/ 

2 


e 

X 

�1 

/ 2 

VX 

�1 

/ 2 

X 

1/ 

2 

X 

1/ 

2 

X 

avec 


n�1 

� 


X 

1/ 

2 

n 

log 

Médiane de matrice 

� X � f ( X ) � arg d�X, 

B � 

( X exp X �� . 

grad� 

f �X n �� 

n 1 

� 

k�1 

log 

log 

�1/ 

2 �1/ 

2 

�X n Bk 

X n � 

�1 

/ 2 �1 

/ 2 

�XBX� � �1/ 

2 �1/ 

2 � 2 

X B X � log �� X��B��0 n 

e 

� 

n 

N 

k 

k 

n 

n 

k 

n 

F 

k 

F 

X 

1/ 

2 

n 

M 

� 

i�1 

i

13 

6 

X : moyenne 

: médiane 


Médiane plus robuste que moyenne 

La médiane est insensible à la présence de points aberrants 

tant qu’ils restent minoritaires 

La moyenne est immédiatement perturbée par la présence de 

points aberrants

13 

7 


median 

� PX 

0 

( x). 

dx � 

Mediane et point de Fermat-Weber 

0. 

5 

� 

median 

Min 

�x�m� Laplace (1774) : 

Laplace a appelée cette valeur « le milieu de probabilité » ou « la valeur probable ». Le 

terme mediane a été introduit par Cournot dans l’Exposition de la théorie des chances 

en 1883. 

� 

m 

E

13 

8 


Algorithme de gradient non convergent 

� Algorithme médian par descente de gradient 

X 

avec 


n�1 

� 


X 

1/ 

2 

n 

log 

� 

k�1 

log 

log 

�1/ 

2 �1/ 

2 

�X n Bk 

X n � 

�1 

/ 2 �1 

/ 2 

�XBX� � �1/ 

2 �1/ 

2 � 2 

X B X � log �� X��B��0 n 

e 

� 

n 

N 

k 

k 

n 

n 

k 

� Non différentiabilité aux points de données : problème de 

convergence 

� En théorie : régularisation au voisinage des points de données et 

extraction diagonale (algorithme général adapté de Huiling Le, mais 

long d’exécution) 

� En pratique : 

� Assez souvent, les points donnés « entourent » la médiane : 

convergence 

� Prendre un pas voisin de la précision voulue (50 itérations 

suffisent ici ) 

n 

F 

F 

X 

1/ 

2 

n 

M 

� 

i�1 

i

13 

9 

Mediane : autre algorithme de gradient régularisé 

� Autre Algorithme Régularisé proposé 

� Critère de minimisation régularisé 


� Résolution itérative de problèmes d'optimisation convexes 

régularisés, dont la suite des solutions converge vers la médiane. 

� Étape m : 

X 

�X 

� 

� 

� 

�X 

alors 

� Critère d’arrêt : 

m�1, 

0 

arrêt : 

log 

m�1 

� 

m�1, 

n�1 

log 

X 

� 

argmin 

� 

X 

N 

�1 / 2 �1 / 2 

�Xm�1, nBk 

X m�1, 

n � 

�1 

/ 2 �1 

/ 2 

�XBX� �XXX� �1/ 

2 

�1/ 

2 

m�1 

m 

X 

1/ 

2 

m�1, 

n 

m�1, 

n 

� 

� 

X 

X 

X 

m, 

n 

e 

� 

converge 

m�1, 

n 

convergence 

� 

k�1 

�1 

d 

log 

log 

converge 

� �1/ 

2 �1/ 

2 

X X X � � � 

m�1 

m 

m�1 

2�X 

, Bk 

� 

�X, B � 

N 

� 

k �1 

d m k 

F 

m 

m, 

n 

k 

converge 

m 

F 

X 

m�1, 

n 

1/ 

2 

m�1, 

n 

converge 

�1 

F 

� �


Equation de diffusion sur un 

graphe de matrices

J. Fourier 

14 

1 


Equation de la chaleur de Joseph Fourier 

� « Les équations différentielles de la propagation de la 

chaleur expriment les conditions les plus générales, et 

ramènent les questions physiques à des problèmes 

d’analyse pure, ce qui est proprement l’objet de la théorie ... 

Les formes des corps sont variées à l’infini, la distribution de 

la chaleur qui les pénètre peut être arbitraire et confuse; 

mais toutes les inégalités s’effacent rapidement et 

disparaissent à mesure que le temps s’écoule. La marche du 

phénomène devenue plus régulière et plus simple, demeure 

enfin assujettie à une loi déterminée qui est la même pour 

tous les cas, et qui ne porte plus aucune empreinte sensible 

de la disposition initiale ... .Les théories nouvelles, 

expliquées dans notre ouvrage sont réunies pour toujours 

aux sciences mathématiques et reposent comme elles sur 

des fondements invariables; elles conserveront tous les 

éléments qu’elles possèdent aujourd’hui, et elles acquerront, 

continuellement plus d’étendue. » 

Joseph Fourier (1768-1830), « Discours préliminaire à la théorie 

analytique de la chaleur »

J. Fourier 

14 

2 



� Équation de diffusion sur un graphe 1D de données scalaires 

� Dans un espace vectoriel normé dans le cas unidimensionnel, 

l’équation de diffusion s’écrit via le Laplacien discret: 

u 

�t 

u 

�x 

u 

1 

�x 

u 

u 

�x 

2 

� � � � n�1 � n n � n�1 

� 

� � � 

� � � ˆn 

u 

2 

2 n 

�t 

� 

� 

�x 

�x 

avec la moyenne arithmétique : n n 1 � 

� L’équation de Fourier discrétisée peut également s’écrire : 

� 

2�t 

� 

�x 

�u�� Par analogie sur la base du flot de Karcher, il est possible 

d’écrire une équation de diffusion sur un graphe 1D de matrices, 

via la moyenne géométrique des voisins : 

u 

u 

� 

/ 

�u u � 2 

ˆ � 1 � � n 

u 

�uˆ � ˆ 

n, 

t � un, 

t � ( 1� 

�). 

un, 

t � �. 

un, 

avec � � 2 

un,t�1 un, 

t 2 

t 

X 

n, 

t�1 

avec 

� 

X 

1/ 

2 

n, 

t 

e 

2�t 

� � 2 

�x 

2�t 

log 

2 

�x 


�1/ 

2 � ˆ �1/ 

2 

Xn 

, t Xn 

, t Xn 

, t � 

X 

Xˆ 

n, 

t 

� 

X 

1/ 

2 

n�1, 

t 

ˆ � A � 

A n, 

t 

1/ 

2 

n, 

t 

� 

2 

A , 

n 1 , t n 1 t , � � 

� � 

�1/ 

2 ˆ �1/ 

2 

X X X 

� �1/ 

2 �1/ 

2 � 

1 /2 1/ 

2 

X X X X 

n�1, 

t 

X 

1/ 

2 

n, 

t 

n�1, 

t 

n, 

t 

n�1, 

t 

n, 

t 

n, 

t 

n�1, 

t 

� 

X 

1/ 

2 

n, 

t 

2�t 

�x

14 

3 


Diffusion isotrope par l’équation de la chaleur de Fourier 

�u 

�t 

� �u 

� 

2 

� u 

2 

�x 

2 

� u 

� 2 

�y

14 

4 



� Équation de diffusion sur un graphe 1D de matrices 

X 

n, 

t�1 

avec 

� 

X 

1/ 

2 

n, 

t 

e 

2�t 

� � 2 

�x 

2�t 

log 

2 

�x 


�1/ 

2 � ˆ �1/ 

2 

Xn 

, t Xn 

, t Xn 

, t � 

X 

Xˆ 

1/ 

2 

n�1, 

t 

� � 

�1/ 

2 ˆ �1/ 

2 

X X X 

� �1/ 

2 �1/ 

2 � 

1 /2 1/ 

2 

X X X X 

n�1, 

t 

n�1, 

t 

n�1, 

t 

J. Fourier 

� Interprétation géométrique : A partir des géodésiques 

Xˆ 

et n, 

entre , et ˆ : 

t � ( �) 

X 

n, 

t 

log 

X 

X 

n, 

t 

� 

X 

n�1, 

t 

� Comme dans le cas euclidien x �� 

y � �. 

x � ( 1� 

� ) y 

on remplace la moyenne pondérée par un barycentre pondéré 

géodésique : 

� 

1/ 

2 

n, 

t 

� 

X 

1/ 

2 

n, 

t 

� � � � 

�1/ 

2 �1/ 

2 

�1/ 

2 ˆ �1/ 

2 

X X X log X X X 

n, 

t 

n, 

t�1 

d� 

( �) 

n, 

t 

� 

d� 

��0 

A� 

� 

n, 

t 

n, 

t 

X n, 

t X n, 

t�1 

X n, 

t 

2�t 

n, 

t�1 

n, 

t � 2 n, 

t n, 

t n, 

t 

�x 

Xˆ 

n, 

t 

2�t 

d� 

X ( �) 

n, 

t 

� . 2 

�x 

d� 

B 

� 

A 

1/ 

2 

��0 

�T 

� 

Xn, 

t�1 

Xn, 

t 

� �1/ 

2 �1/ 

2 � 1/ 

2 

A BA A 

// T� 

n, 

t 

X 

� 

n, 

t�1 

� X n, 

t 

Xˆ 

X 

n, 

t 

n, 

t 

X 

( �) 

1/ 

2 

n, 

t

14 

5 

u 

u 

Équation de diffusion : contrainte de discrétisation 

n,t�1 

n,t�1 

� 


� Une première remarque concernant une contrainte qui apparaît : 

u 

� 

� � 

� 

n, 

t 

2�t 

� 2 

�x 

�uuˆ� n, 

t , n, 

t 

�uˆ, u � 

n, 

t 

n, 

t 

�uˆ�u� si 

si 

n, 

t 

u 

uˆ 

Si on vérifieShannon 

n, 

t 

n, 

t 

n, 

t 

� uˆ 

� 

u 

� 

n, 

t 

n, 

t 

�x 

� T 

( 1� 

�). 

u 

E 

� 

1 

f 

E 

n, 

t 

� � �1 

avec 

� �. 

uˆ 

soit 

f 

max 

n, 

t 

2 

�x 

� 

avec 

� 

f 

2 

E 

v 

� 

� � 

en 

4 

f 

2�t 

2 

�x 

posant 

max 

� 

2 

v 

f 

E 

� 

�x 

�t 

� 

v

14 

6 



� L’équation de diffusion discrète sur un graphe 1D de matrices 

symétriques ou hermitiennes définies positives est donnée par : 

X 

n, 

t�1 

avec 

� 

X 

1/ 

2 

n, 

t 

e 

2�t 

� � 2 

�x 

2�t 

log 

2 

�x 


�1/ 

2 � ˆ �1/ 

2 

Xn 

, t Xn 

, t Xn 

, t � 

X 

Xˆ 

n, 

t 

� 

X 

1/ 

2 

n�1, 

t 

� � 

�1/ 

2 ˆ �1/ 

2 

X X X 

� �1/ 

2 �1/ 

2 � 

1 /2 1/ 

2 

X X X X 

n�1, 

t 

n�1, 

t 

n�1, 

t 

n�1, 

t 

� Pour remonter à l’équation continue de diffusion, il faut utiliser 

l’équation de Campbell-Hausdorff : 

log 

avec 

1/ 

2 

n, 

t 

1 1 

2 12 

� termesdedegré� 

4 

� 

X 

1/ 

2 

n, 

t 

� X Y 

e e ��X�Y��X, Y�� 

X, 

�X, Y� 

�X, Y��XY 

�YX 

n, 

t 

1 

12 

n, 

t 

n, 

t 

� ��Y, �Y, X �� 

� 

X 

1/ 

2 

n, 

t

e 

14 

7 

log 



� L’équation de diffusion discrète ré-écrite via l’équation de 

Campbell-Hausdorff : 

� � 

�1/ 

2 �1/ 

2 

�1/ 

2 

� � log� 

ˆ �1/ 

2 

�1/ 

2 �1/ 

2 

�1/ 

2 

� log� 

� log� 

ˆ �1/ 

2 

Xn 

, t Xn 

, t�1X 

n, 

t �� 

Xn 

, t Xn 

, t Xn 

, t 

Xn 

, t Xn 

, t�1X 

n, 

t �� 

Xn 

, t Xn 

, t Xn 

, t � 

e 

� I � log e 

e 

� log 

1 

� 

2 

log 

� 

� � � � 

�1/ 

2 �1/ 

2 

�1/ 

2 ˆ �1/ 

2 

X X X � � log X X X 

n, 

t 

� � � � �� 

�1/ 

2 �1/ 

2 

�1/ 

2 ˆ �1/ 

2 

log X X X , �� 

log X X X 

� �1/ 

2 �1/ 

2 

X X X � 

n, 

t 

n, 

t�1 

n, 

t 

�t 

n, 

t�1 

n, 

t 

n, 

t�1 

n, 

t 

�log 

X 

�t 

� 

n, 

t 

n, 

t 

2 

� log 2 

�x 

1 

� 2 

�x 

� 

2 

log X 

2 

�x 

n, 

t 

� � 

�1/ 

2 ˆ �1/ 

2 

X X X 

n, 

t 

n, 

t 

� � � � �� 

�1/ 

2 �1/ 

2 

�1/ 

2 ˆ �1/ 

2 

log X X X , log X X X 

� 

dt 

2 

�� 

� 

� 

n, 

t 

n, 

t 

n, 

t 

n, 

t 

log X 

�t 

n, 

t 

n, 

t 

n, 

t�1 

� 

, 

2 

n, 

t 

� 0 

log X 

2 

�x 

� 

� 

� 

n, 

t 

n, 

t 

n, 

t 

� 0

14 

8 

�u 

�t 

g 


Équation de diffusion anisotrope 

� Regardons maintenant le cas anisotrope classique : 

� Dans le cas général diffusion sur une variété, l’équation de diffusion 

de Laplace-Beltrami s’écrit : 

� Métrique : 

� 

1 

ds 

k�1 

� Équation de diffusion : 


� 

� 

�x 

� Dans le cas 1D isotrope : 

� Dans le cas 1D anisotrope : 

soit : 

� 

� 

� � 

1� 

� 

� 

� � 

�u 

�x 

� 

� 

� 

2 

2 

N 

�� 

g 

i, 

j 

dx dx 

i, j i 

j 

� 

� 

� 

� 

i 

j 

avec 

g 

� 

� �N g 

i, 

j 

i, 

j�1 

� � 

2 

2 2 �u 

� u 

ds � dx � � 2 

�t 

�x 

N 

� 

ij u � 

� 

� 

1 i, 

j 


g � 

� 

avec g � g 

� 

i, 

j�1 

x � 

� � � 

2 � 

2 2 2 u � 2 

ds dx du � � � � 

� � � 1� �dx 

� 

� � 

x � 

� � � � � 

2 

�1/ 

2 � 

2 

�1/ 

2 

�u 

� � 

� 

�� 

� 

� � �u 

� � 

� 

� � �u 

� � 

�u 

� 1� 

� 

� 

� 

� � 1 

� �� 

� � 

�t 

� 

� 

� � �x 

� � 

x 

� �� 

�� 

� �x 

� � 

x 

�


14 

9 

Équation de diffusion anisotrope : cas scalaire 1D 

� Dans le cas 1D anistrope : 

� Si on discrétise : 

avec 

�� 

� 

� 

� 

�� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

x 

u 

x 

u 

x 

x 

u 

t 

u 

2 

/ 

1 

2 

2 

/ 

1 

2 

1 

1 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

x 

u 

u 

x 

u 

u 

x 

t 

u 

u 

t 

n 

t 

n 

t 

n 

t 

n 

t 

n 

t 

n 

t 

n 

t 

n 

n,t 

, 

1 

, 

, 

, 

, 

1 

, 

, 

, 

1 

. 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

�� 

� 

� 

�� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

2 

, 

1 

, 

1 

, 

1 

x 

u 

u t 

n 

t 

n 

t 

n 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

�� 

� 

� 

�� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

2 

, 

, 

1 

, 

1 

x 

u 

u t 

n 

t 

n 

t 

n 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

�� 

� 

� 

�� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

2 

, 

1 

, 

, 

1 

x 

u 

u t 

n 

t 

n 

t 

n 

�

15 

0 

Diffusion 

anisotrope 


Diffusion 

isotrope 

Diffusion anisotrope

15 

1 


Diffusion anisotrope 

En bleu, signal soumis 

à la diffision anisotrope 

En vert, différence entre 

le signal original auquel 

est soustrait le signal 

diffusé 

anisotropiquement au 

cours de la diffusion 

(apparition des cibles)

X 

n, 

t�1 

avec 

� � 

� 

� 

n, 

t 

15 

2 

Xˆ 


diffusion anisotrope sur un graphe de matrices 

� Dans le cas 1D anisotrope, par analogie sur un graphe de 

matrices : 

� � � 

� �� 

� 

� 

� 

n, 

t 

X 

� 

n, 

t 

1/ 

2 

n, 

t 

� 

n, 

t 

� 

� � 

1� 

� �� 

� � 

� 

e 

d 

� log 

n, 

t 

X 

� � � � 

X Xˆ 

X 1/ 

2 1/ 

2 �1/ 

2 ˆ �1/ 

2 

X � X X X X 

1/ 

2 

n�1, 

t 

, 

�1 / 2 �1 / 2 

�X� 1/ 

2 1/ 

2 � 1/ 

2 

1/ 

2 � 

n�1, 

t X n�1, 

t X n�1, 

t 

� 

� 

X � X X X X 

� Pour la distance , on prend : 

d 


� � � 

� �� 

� � d�X, 

X � 

�1/ 

2 

� � 2 

X , X � 

� d�X, 

X � 

n�1, 

t 

�1/ 

2 

n, 

t 

e 

� � 

�x 

n, 

t 

� log 

�t. 

� 

n, 

t 

�1/ 

2 

n, 

t 

� 

�� 

� 

n, 

t 

� 

� 

� 

n, 

t 

n, 

t 

2 

�x 


n, 

t 

n�1, 

t 

n, 

t 

� 

� 

n, 

t 

, � 

n, 

t 

n, 

t 

n, 

t 

n�1, 

t 

� � 

� 1� 

� �� 

� � 

n, 

t 

� � 

� 1� 

� �� 

� � 

n�1, 

t 

n, 

t 

� 

�x 

� � � �1/ 

2 �1/ 

2 

, log 

� 2 

X X X X X � log �� 1 


2 

�X��X��0 1 

� � 1 2 1 

F 

i�1 

2 

M 

X 

1/ 

2 

n, 

t 

n�1, 

t 

n�1, 

t 

i 

�x 

n�1, 

t 

n�1, 

t 

� 

�� 

� 

n�1, 

t 

2 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

�� 

� 

�1/ 

2 

X 

2 

1/ 

2 

n�1, 

t 

� 

� 

� 

� 

�1/ 

2

15 

3 


Diffusion Isotrope Simulation

15 

4 


Diffusion anisotrope Simulation

15 

5 

Diffusion 

Isotrope 

Diffusion 

Anisotrope 


10 

20 

30 

40 

50 

60 

70 

80 

90 

100 

10 

20 

30 

40 

50 

60 

70 

80 

90 

100 

Les différentes diffusion à 50 itérations 

Diffusion classique Diffusion médianage 

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 

10 

20 

30 

40 

50 

60 

70 

80 

90 

100 

10 

20 

30 

40 

50 

60 

70 

80 

90 

100 

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

15 

6 


Diffusion Isotrope Diffusion Anisotrope 

Les différentes diffusions 

Medianage Isotrope Medianage Anisotrope 

Moyennage Isotrope Moyennage Anisotrope


Métrique de Siegel pour les 

modèles autorégressifs 

complexes

15 

8 

Modèle Multivarié Gaussien Complexe Circulaire 

�Modèle du signal Radar : 


� Modèle Multivarié Gaussien Complexe Circulaire : 


m 

R 

Y 

n 

n 

n 

� 

� 

0 

E 

p( 

Y 

� Utilisation d’un modèle autorégressif complexe : 

y 

n 

n 

/ 

R 

n 

� 

( � ) 

�Rˆ �1 

. R � 

� �� 

Yn 

� mn 

. Yn 

� mn 


n � Rn 

� Littérature mathématique + lien avec l’algorithme d’Issai Schur (1875-1941) 

� [Alpay] D. Alpay, « Algorithme de Schur, espaces à noyau reproduisant et 

théorie des systèmes », Panoramas et synthèse, n°6, Société Mathématique 

de France, 1998 

�n 

. R 

avec Rˆ 

n � 


�YY� � 

n 

� y1 

� 

� 

� � 

� 

� 

� 

�� 

y � n � 

n 

avec 

y 

k 

� 

a 

k 

) 

hermitienne 

� ib 

N 

( N ) 

� �� 

ak 

yn�k 

k �1 

� bn 


Toeplitz 

k 

k 

n 

� � e 

i� 

�1 

k 

. e 

�Tr 

définie 

n 

n 

positive 

� � � �T * 

2 

( N ) ( N ) 

b b � � 


k , 0 

N 

1 

N

D 

15 

9 

Structures blocks des modèles CAR 

� Les modèles autorégressifs complexe modélise le signal 

radar multivarié gaussien complexe circulaire de 

moyenne nulle. 


� Rappel : Métrique de Rao-Siegel dans le cas Hermitien défini positif : 

�� 1 

2 �1/ 

2 �1/ 

2 

2 

2 

� T 

R dR � R dRR avec A � A, 

A et A, 

B Tr AB � 

2 

ds � Tr 

� 

2 

� � � �1/ 

2 �1/ 

2 

, log 

� 

2 

2 

log � � et det� 

�1/ 

2 �1/ 

2 

R R � R R R � � R R R � �I 

��0 R 

1 

2 

� �n�1 

� 

��n�1. 

A 

1 

2 

1 

� 

k �1 

� La matrice de covariance a une structure blocks : 

� 

�n�1. 

An 

�� 

. A 

�1 

�1 

n � �1 

� 

n�1 

Rn�1 

n�1 

n�1. 

An�1 

� 

n 

� 

� 

� 

R 

n 

� 

k 

� ��n 

� 

� 

1 

�1 

� A 

� R 

� 

n�1 

n�1 

1 

. R 

. A 

n�1 

n�1 

2 

. A 

n�1 

1 

� 

� An�1. 

R 

R 

� � 

( �) 

2 �1 

�An 

�1� 

�A 

� n�1 

( �) 

* 

1� 


� 

0 � 0 

� 

. 

�1 

avec �n 

n n�1 

n 

n 

V 

� 

� 

0 

� 

� 

� 

� 

1 

� 

� 

�0 

� 

�� 

1 

0 

0 

n�1 

n�1 

1� 

� 

0�� 

� 

� 

�

16 

0 

Géométrie du demi-plan/disque de siegel 

� Etude du domaine fondamental de Minkowski : 

� Domaine fondamental étudié par Minkowski (utilisation du système de coordonnées 

partielles d’Iwasawa) (lien avec l’algorithme de Goldberg : inversion d’une matrice de 

covariance avec modèle autorégressif) 


� Domaine fondamental par Grenier, il utilise le système de coordonnées :

16 

1 



( 1) 

�1/ 

2� 

( 2) 

( 1) 

�1/ 

2 

( 1) 

1/ 

2� 

( 2) 

�1 

( 1) 

1/ 

2 

� La matrice R 

ou R . . qui 

n . Rn 

. Rn 

n Rn 

Rn 

intervient dans la métrique de Siegel conserve la 

structure Blocks 

� 

n 

� 

avec 

� Conservation de la structure Blocks : 

R 

( 1) 

1/ 

2� 

n 

W 

n- 1 

� 

. R 

( 2) 

�1 

n 

� 

( 1) 

n�1 

. R 

. R 

( 1) 

1/ 

2 

n 

( 1) 

1/ 

2� 

n�1 

� �n�1 

� � 

�� 

n�1. 

W 

� � ( 2) 

( 1) 

n� 

An�1 

� An�1 

et �n 

-1 

� ( 1) 

. 

� On en déduit que les valeurs propres étendues sont zéros n�1 

de la 

fonction : 

� 

�F 

� 

� 

� 

� 

� 

( n) 

X 

X 

� ( n) 

� 

� 

k 

( n) 

k 

( n) 

k , 1 

( 

� � 

n) 

k 

� 

� � ( n 

�� 

�k 

) 

. U 

n�1 

n�1 

� 

n�1 

n�1 

W 

( n) 

� � � � � 

n 1 �n�1. 

�k 

. 

� ( n) 

� � � . I � 

. 

n�1 

1 

k 

i�1 

n�1 

� 

n�1 

�n�1. 

W 

� � . W 

n�1 

� 

n�1 

� 

� 

� ( n�1) 

( n) 

� � � � 

i 

�1 

. U 

. X 

� 

n�1 

( n�1) 

i 

k 

. W 

n�1 

n�1 

2 

( 2) 

1 

� 

� 

� 

� 

. W 

0 

� 

n�1 

� 

� 

�

� 

�F 

� 

� 

� 

� 

� 

( n) 

X 

X 

X 

X 


� On en déduit un algorithme récursif sur l’ordre et 

parallèlisable pour chaque valeur propre étendue : 

( n) 

�� k 

( n) 

k 

( n) 

k , 1 

( n) 

k 

( n) 

k , 1 

( n 

� � 

k 

� 

� � ( n) 

�� 

�k 

. U 

) 

n�1 

W 

( n) 

� �n�1 

� �n�1. 

�k 

. � 

n�1 

( n) 

��. I � 

. 

n�1 

Renormalisation à chaque itération : 

1 

k 

i�1 

� 

n�1 

( n�1) 

( n) 

�� i 

�1 

n�1 

. X 

. U 

�1/ 

2 

( n�1) 

2 

i 

� 

n�1 

k 

. W 

n�1 

2 

� 

n�1 

� ( n�1) 

W . 

( n) 

( ) 2 n 1 X � 

� n 

� i � X k 

� 1 k . 

. 

( n�1) 

( n) 

2 

( n) 

� 

� 

� � � 

i�1 

� i k � � 

� 

� � � X k , 1 

� 

� 

Interprétation en terme de projection 

( n) 

: 

�� 

( ) 

�1 

� n n ��F 

� k �� 

� 

� 

� �1 

�k 

�1 

� �� 

� 

1 n ( n) 

�� 

� ��F 

k 

�� 

� 

� A 

� �� 

� 

� n-1� 

k= 

1� 

�� 

( n) 

�� 

� 

� 

� 

�1 

X 

. 

X 

� 0 

� � 

16 Air Systems Division � 

2 

� � 

� 

Courbe strictement croissante sur chaque intervalle : 

� � � 

2 

( n) n 1 

( n 1) 

( n 1) 

�F 

� � 

� 

�1 k . An�1. 

X 

n 

k 

� �1�� 

�1. 

� 

( ) ( ) 

2 n 

n n 

( n�1) 

2 

�� . 

k�1 

� 

k X 

� 

k, 

1 

k � 

( n) 

k 

( n) 

k, 

1 

� 

� 

� 

0 � � � � � � �... 

� � � � � � 

1 

( n) 

n 

( 4) 

F ( �) 

avec 

� 

( n�1) 

n�1 

0 

( 4) 

1 

� 

( n) 

n�1 

( 4) 

2 

� 

( 3) 

1 

� 

( n) 

2 

( 3) 

2 

( n�1) 

1 

( n) 

1 

� 

� � 

�Tr 

� 

��n��Tr��n�1��n�1. � � � � 

�An 

�1� 

�An 

�1� 

Tr � 

� 

( 3) 

3 

� 

� 

( 4) 

3 

1 

Tr 

� 

� 

�� 

( 4) 

4 

� 

4 

1 

� 

n

16 

3 

Récursivité sur l’ordre de la métrique de Siegel 

� Si on utilise la structure blocks des matrices, on peut 

calculer la métrique de Siegel à l’ordre n par rapport à 

l’ordre n-1 

� Equation récursive sur la métrique de Siegel faisait apparaître la 

matrice de Fisher sur les paramètres autorégressifs: 

� d� 

� 

� 

� � 

� 

Aˆ 

n 

n�1 

n�1 

� 

I 

� 

� 

� 

� 


�� 1 

2 2 � d� 

� n�1 

� 

R . � � 

n dRn 

� dsn� 

� � n�1. 

dAn 

�1. 

Rn�1. 

dA �1 

2 

dsn �Tr 1 � � � 

n 

� �n�1 

� 

2 

� On peut remarquer que le second terme s’écrit : 

�� 

�A � 

log� n�1 

� An�1 

n�1 

. dA 

� 

n�1 

. R 

n�1 

. dA 

n�1 

�log� 

n 

� d � 

� An�1 

� Ceci s’interprète en terme de géométrie de l’information 

n�1 

� � 

n�1 

R 

n�1 

Z 

� 

�log� 

n 

� 

� An�1 

2 

�1 

�1 

Extension du cas 

Gaussien scalaire 

(Géométrie de l’information) 

� 

� 

� 

� 

�1 

. � 

�0 

��log� 

n 

�� 

�� 

An�1 

� 

�1 

0 

n�1 

� 

� 

� 

� 

R 

n�1 

�1 

� i� 

�0 

� �log� 

n 

�d 

� 

� � An�1 

� 

0 

n�1 

R 

�1 

n�1 

� 

� 

� 

� 

� 

�

16 

4 

Racine carré non-symétrique du groupe de Siegel 

� On s’intéresse à la décomposition de Cholesky de la 

matrice : 


� En faisant intervenir les racine carrée des matrices définies positives : 

� 

n 

� 

avec 

� � � � 

�1 

� 

2 

� . R �W 

. W � 1� 

� . 

W 

n 

n 

� 

n 

1� 

� 

n 

n 

2 

n 

� 1 

� 

�A 

n�1 

0 

� 

n 

1/ 

2 

n�1 

1/ 

2� 

n�1 

� Toute distribution de variable n-dimensionnel est associée Z Nn( 

0 

naturellement au groupe Affine : c’est l’élément tel que son action sur 

le vecteur le transforme en vecteur aléatoire : 

� 

� 

� 

� 1 

� 

�A 

� On peut considérer cette représentation des éléments du groupe affine 

comme la racine carrée non-symétrique d’un élément du groupe de 

� 

Siegel : 


n�1 

� 

n�1 

� 

n�1 

� � 

A 

� A 

1/ 

2 

n�1 

� 

n�1 

n�1 

. � 

X ~ Nn( 

An 

, �n) 

� 1 0 � �1� 

� 1 � � 1 � 

� �. 

� � � � � � 

1/ 

2 

1/ 

2 � � 

�An 

�1 

�n�1� �Z� 

��n�1. 

Z � An�1 

� �X 

� 

� 1 

� 

�An 

�1 

� 

n�1 

An 

� A 

�1 

n�1 

. A 

� 

n�1 

� 

� 

� 

. A 

� 

n�1 

� 

� 

� 

~ , In)

16 

5 

Expression récursive de la divergence de Kullback 

� On s’intéresse à l’expression récursive de la divergence de 

Kullback : 


� 

� La structure de la divergence de Kullback est donnée par : 

n 

où 

F 

( 1) 

n 

� 

V 

n-1 

� 

R 

� ( 1) 

( 2) 

R , R �� Tr��ln � � n� 

K n n 

n n 

( 1) 

1/ 

2� 

n 

� 

F 

. R 

( 1) 

� 

n�1 

1 

1� 

� 

( 2) 

�1 

n 

( 1) 

n 

( 2) 

( 1) 

�A�A� . 

2 

. R 

n�1 

( 1) 

1/ 

2 

n 

�1 � A 

� 

�0 

I n 

� Si on utilise de plus les relations suivantes : 

� n 

1 

2 

� �n�1 

� � 

�� 

n�1. 

Vn 

n�1 

( 1) 

� 

n�1 

�1 


� 

��1 

�� 

��0 

�1 

n-1 

F 

( 

� n � ( 

� 

0 

( 1) 

n�1 

� On obtient l’expression récursive sur l’ordre de la divergence de 

Kullback : 

� 

� 

� 

� 

n�1 

2) 

�1 

1) 

n�1 

� 

�n�1. 

Vn 

� � . V 

avec 

1 1 . � � � � n �n � � � � � � � 

Tr �n � Tr �n�1 

� �n�1. 

1� 

Vn�1. 

Vn�1 

1 

K n 

� 

2 

� � � � �� 

( 1) 

( 2) 

( 1) 

( 2) 

� 

R R K R , R � � 

�1 

� � . V . V � ln 

, n � n�1 

n�1 

n�1 

n�1 

n�1 

n�1 

n�1 

n�1 

� 

�1 

n�1 

( 1) 

n 

. V 

. R 

� 

n�1 

( 1) 

n 

� 

� 

� 

� 

F 

( 1) 

n 

. F 

( 1) 

� 

n


Modélisation variationnelle de 

l’analyse autorégressive 

complexe et le flot de la chaleur 

sur ces modèles

16 

7 

Formalisation variationelle de l’analyse AR 

� Le théorème de Parseval permet de modéliser l’analyse 

autorégressive complexe sous forme variationnelle : 

S 

L 


� Le théorème de Parseval nous dit que : 

� � 2 

e ( ) 

1 

2 

� 

( n) 

A ( f ) Sˆ 

z ( f ) df � E 

0 

n k 

n 

� 

( n) 

en 

( k) 

� zk 

� zˆ 

k � ak 

zn� 

k 

k �0 

n 

( n) 

( n) 

�i 

2 fk 

A ( f ) � � 

� 

ak 

e 

0 

z 

�� 

� k 

k m m�k 

k �0 

k �� 

� Si on rajoute un terme de régularisation ( a priori de douceur spectrale) 

: 

1 

� � ( n) 

( ) � ( n) 

( n) 

A f L f , A , � A � 

� � 

0 

avec 

� ( n) 

( n) 

� ( n) 

2 

, , 

( ) ˆ ( ) � ( n) 

f A � A � A f S f � �� 

� A ( f ) � 

f 

� � � � 

( n) 

ˆ 

� j 2�fk 

* 

et a � 1 , S ( f ) � rˆ 

e et rˆ 

� E z z 

f 

z 

df 

� Grâce à l’isomorphisme canonique entre le plan Euclidien et le plan 

complexe, nous formalisons le problème de régularisation de la 

prédiction linéaire sous l’angle du calcul des variations. 

f 

cas quadratique 

� 

�X� � 

X 

2

16 

8 


� La solution variationnelle de l’analyse autorégressive , 

donnée par l’équation d’Euler-Lagrange Complexe, est 

solution de l’EDP de type « Schrödinger » : 


� Equation d’Euler-Lagrange « complexe » (régularisation quadratique) : 

L 

� ( n) 

( n) 

f A , A � 

d 

df 

( n) 

2 

( n) 

, � f � A ( f ) Sz 

( f ) � � � f A ( f 

� �L 

� 

�� 

�� f A 

� 

� 

�� 

� 

( n)* 

( n)* 

� Solution de l’EDP : 

�L 

�A 

( n) 

2 ( n) 

�A 

( f ) � A ( f ) ( n) 

� �. 

� A ( f ). Sˆ 

2 

�t 

�f 

� Dans le cas non régularisé, le Cepstre évolue comme suit : 

( n) 

( n) 

( n) 

�C 

( f ) 

C ( f ) � 

�ln 

A ( f ) � � Sz 

( f 

�t 

ˆ 

z 

( 

f 

) 

) 

) 

2

16 

9 


� Le théorème de Kolmogorov-Szegö-Krein devient alors 

une conséquence du théorème d’Emmy Noether : 

S 

où 


� La fonctionnelle est invariante selon : 

� ( n) 

� � ( n) 

� A f S A f � 

s � ( � n( 

)) � ( ) 

( n) 

A f � ( n) 

� � ( ) � � A ( f ) � 

avec 

Inf 

A 

s 

s �� 

( n) 


n� 

N 

s 

. A 

� Le théorème de Noether nous indique alors que : 

�� 

�� 

A 

(n) 

(f) 

�f 

2 

.S 

z 

(f) � 

�� 

� 0 � 

� Ce qui est l’objet du théorème de Kolmogorov-Szegö-Krein : 

1/ 

2 

� 

�1/ 

2 

A 

( n) 

( 

f 

) 

2 

. S 

z 

( 

f ). df 

1/ 

2 

� 

� �1 

/ 2 

e 

� 

A 

logS 

z 

e 

i. 

s 

(n) 

(f) 

( f ). df 

( n) 

2 

.S 

( 

z 

f 

) 


� ( 

n 

f 

) 

�f��cste �f 

S 

z 

( 

f ) � 

A 

( n) 

� 

2 

� 

( 

f 

f 

) 

� n 

2

17 

0 

Régularisation variationnelle d’un modèle AR 

� Exemple de régularisation : 

� On observe la disparition des pics parasites sur une analyse 

Autorégressive à très faible nombre d’échantillon : 



Procédé par 

Médiane de modèles 

autorégressifs complexes

17 

2 

Géométrie de Kähler 

� La géométrie d’Erich Kähler étend la géométrie 

Riemannienne au domaine complexe : 


� La forme riemannienne définie positive définissant la métrique de 

n 

Kähler est donnée par : 

� Condition de Kähler condition : Il existe localement une fonction 

potentielle de Kähler, � 

(et les équivalentes Pluri-harmoniques) telle 

que : 

� Le tenseur de est alors donné par : 

R 

ij 

g 

ij 

� Et la courbure scalaire : 

� 

� 

� � 

R 

ds 

� 

�z 

� 

2 

2 

2 

i 

� 

� 

�z 

log 

2 

j 

� 

i, 

j�1 

g 

ij 

�detg � 

�z 

�z 

n 

� 

k , l�1 

i 

g 

j 

kl 

kl . Rkl 

. dz 

i 

dz 

j

�Modèle du signal radar : 

17 

3 

� Modèle multivarié complexe circulaire : 


p( 

Z 

� Modèle autorégressif complexe : 

z 

n 

n 

avec 

m 

R 

Z 

n 

n 

n 

/ 

� 

� 

R 

Rˆ 

� 

n 

0 

Modèle Autorégressif Complexe 

n 

E 

) 

� 

� 

( � ) 

�n 

. R 

�Rˆ �1 

. R � 

� �� 

Zn 

� mn 

. Zn 

� mn 


n � Rn 

�ZZ� � 

n 

n 

� Lien avec l’algorithme de Issai Schur’s algorithm (1875-1941) 

� [Alpay] D. Alpay, « Algorithme de Schur, espaces à noyau reproduisant et théorie 

des systèmes », Panoramas et synthèse, n°6, Société Mathématique de France, 


1998 

n 

�1 

. e 

�Tr 


T 

i�k 

�zz� avec z � x � iy � � e 

1� 

n 

Toeplitz 

N 

( N ) 

� �� 

ak 

zn� 

k 

k �1 

� bn 


k 

n 

k 

n 

Hermitienne 

k 

Définie 

k 

Positive 

� � � �T * 

2 

( N ) ( N ) 

b b � � 


k , 0 

N 

1 

N

17 

4 


Estimation des paramètres autorégressifs régularisés 

� Nous utilisons l’algorithme de Burg régularisé (brevet THALES : F. Barbaresco, 

« Procédé et dispositif de détermination du spectre de fréquence d’un signal », 

brevet n° 95 06983, Juin 1995) 

. Initialisation 

: 

f ( k) 

� b ( k) 

� z( 

k) 

a 

0 

P 

0 

� 

( 0) 

0 

1 

N 

�1 

. 

0 

N 

� 

k �1 

. Itération 

N 

n�1 

2 

* 

( n) 

( n 

� fn�1 

( k). 

bn�1( 

k �1) 

� 2. 

��k. 

ak 

N � n k �n�1 

k �1 

�n 

� � 

N 

n�1 

1 

2 

2 

( 

� fn�1 

( k) 

� bn�1( 

k �1) 

� 2. 

��k 

N � n 

( n) 

�a0 

� 1 

� ( n) 

( n�1 

�ak 

� ak 

� ( n) 

�an 

� �n 

� fn 

( k) 

� fn 

� 

� bn 

( k) 

� b 

z( 

k) 

(n) : 

) 

�1 

� � . a 

n�1 

2 

Pour 

k �n�1 

n 

, 

n �1 

à 

( n�1)* 

n�k 

k= 1,...,N 

( k) 

� �n. 

bn�1( 

k �1) 

* 

( k �1) 

� � . f ( k) 

n 

, 

n�1 

M 

(N : nb. ech.) 

k= 1,...,n 

1 

k �0 

�1) 

n) 

. a 

. a 

( n�1) 

n�k 

( n�1) 

2 

k 

avec 

� 

( n) 

k 

� � .( 2� 

) 

1 

2 

.( k � n) 

2

R 

17 

5 


modèle autorégressif et matrice de covariance 

� La matrice de covariance et son inverse peuvent être 

paramétrée à partir des paramètres du modèle autorégressif : 

� Structure Blocs de la matrice de covariance : 

� �n�1 

� 

��n�1. 

A 

� 

�n�1. 

An 

�� 

. A 

�1 

�1 

n � �1 

� 

n�1 

Rn�1 

n�1 

n�1. 

An�1 

� 

� 

� 

R 

n 

� 

� ��n 

� 

� 

1 

�1 

� A 

� R 

� 

n�1 

n�1 

. R 

. A 

n�1 

n�1 

. A 

n�1 

� 

� An�1. 

R 

R 

� � 

( �) 

2 �1 

�An 

�1� 

�A 

� n�1 

( �) 

* 

1� 


� 

0 � 0 

� 

. 

�1 

avec �n 

� n n�1 

n 

n 

V 

� 

� 

0 

� 

� 

� 

� 

1 

� 

� 

�0 

� 

�� 

1 

0 

0 

n�1 

1� 

� 

0�� 

n�1 

� 

� 

�

p( 

Z 

avec 



� Dans le cadre de la géométrie Affine de l’information, la 

métrique est donnée par le Hessien de l’entropie qui joue 

ici le rôle du potentiel de Kähler : 

17 

6 

n 

E 

/ 

� 

R 

Rˆ 

n 

�1 

n 

n 

avec 

) 

� 

� 

� 

�Rˆ � n � Rn 


� L’entropie d’un modèle multivarié gaussien de moyenne nulle : 

~ 

Φ � 

�R��log�det R�� 

n log� 

e� 

2 ~ 

� Φ 

� et 

�Η 

�Η 

� On peut choisir comme modèle de paramétrisation les coefficients de 

réflexion 

� � 2 

1� 

� . 

� 

( � 

) 

�1 

0 

� 

n 

P 

0 

� 

� 

�1 

n�1 

1 

n 

~ 

Φ(R 

n 

� 

k �1 

�Rˆ �1 

. R � 

�Z�m�� . Z � m � 

n 

�n 

. R 

n 

n 

�1 

. e 

n 

�Tr 

z 

n 

k 

n 

n 

2 

� 

) 

n 

n 1 

� � � 

k�1 


( n � k). 

ln 

g 

ij 

i 

j 

H 

� � 2 

1� 

� � n. 

ln��. 

e. 

P � 

k 

0 

� 

-R 

n�1 

n�1 

� � � � 

� 

�1 

�n 

� � � 

2 

Rn � k � 0 1� 

�k 

k �0 

k �1 

n�k

17 

7 

Erich Kähler 


Papier initial d’Erich Kähler, 1932, Hambourg 

« Kähler Erich, Mathematical Works », Edited by R. Berndt and O. Riemenschneider, 

Berlin, Walter de Gruyter, ix, 2003 

L’entropie U=-logdet[R] , pour les modèles autorégressifs complexes, peut être 

considéré comme un potentiel de Kähler qui est paramétrisé à partir des 

coefficients de réflexion. Cette expression est alors la même que celle proposée 

par E. Kähler 

…

17 

8 

Métrique de Kähler : cas hyper-Abelian 

� On retrouve la métrique proposée par E. Kähler dans son 

papier initial : : 

� Kähler a nommé ce cas « hyper-Abelian » : 


avec 

Noyau 


n 1 

� � � 

� � 2 

1� 

z � ln K ( z, 

z) 

Φ � k. 

ln k 

D 


k �1 

Bregman 

: K 

�z/ z � 1 �k 

� 1,... 

n� 

k 

D 

( z, 

z) 

n 1 

� � � 

� � 2 

1� 

z 

� Autre métrique proposée par Kähler, appelé cas « hyper-fuchien » : 

� 

Φ �. 

ln�1� 

� 

n 

� 

� 

� 

k �1 

� 

�z 

� 

� � z with / � 

k 

k �1 

2 

n 

k�1 

z 

k 

k 

2 

� 

k 

� 

�1� 

�


� On définit une métrique « Doppler » metric dans le cas de 

modèles autorégressifs complexes comme le Hessien d’un 

potentiel de Kähler, où le potentiel est donné comme dans 

le cas de la géométrie affine de l’information par l’Entropie: 

� Le potentiel de Kähler paramétré par � � : 

T 

P �1 � 

� 1 

17 

9 


� La métrique associée est alors calculée : 

� � 2 � � 1 

1� 

� � n. 

ln �. 

e. 

� 

n�1 

~ 

(R � � n ) ( n � k). 

ln 

k�1 

k 

� 

0 

Φ 

� � � �T T ( n) 

( n) 

P � � � � � � 

( n) 

� � 0 1 

n�1 

1 � 

g � n� 

� nP 

11 

ds 

2 

n 

2 

0 

� dP � 0 � n. 

� 

� 

� 

� 

� P0 

� 

�2 

0 

2 

� 

g 

ij 

� 

� � n 1 

( n �i) 

i�1 

� 

0 n� 

( n � i). 

� 

� � 2 2 

1� 

� 

d� 

� � 2 

1 � 

i 

i 

i 

2 

ij 

2 

n

Courbure scalaire du modèle autorégressif complexe 

18 

0 

� On utilise l’expression du tenseur de Ricci dans le cas de 

la géométrie de Kähler : 

� En géométrie de Kähler, le tenseur de Ricci est donné par : 


R 

ij 

� 

� 

� 

2 

log 


�z 

�z 

� Pour le cas du modèle autorégressif complexe, on obtient alors : 

� 

� 

R 

� 

� 

�R 

� 

� 

11 

kl 

1 

� �2 

P 

� �2 

2 

0 

� 

kl 

� � 2 

1� 

� 

k 

� On en déduit le calcul de la courbure scalaire qui est négative : 

� 

R � 

k , l 

g 

kl Rkl 

i 

2 

j 

for 

kl 

k 

� 

2,..., 

� n�1 

. 

1 � 

R � �2. 

�� 

� � � � 

� � n�� 

j�0 

( n j) 

� 

n �1

Modèle autorégressif # métrique de Kähler-Einstein 

� La métrique précédente n’est pas une métrique de type 

Kähler-Einstein, mais une structure « matricielle » proche 

� Une métrique est dite de Kähler-Einstein metric si son tenseur de ricci 

est proportionnel à la métrique : 

18 

1 

R 

ij 

� 


k 

0 

. g 

� Dans le cas de la métrique de Kähler-Einstein, le potentiel de Kähler 

est solution de l’équation de Monge-Ampère : 

� Pour un modèle autorégressif complexe, on a : 

� � � � avec � � 

( n) 

( n) 

R B g R � Tr B 


kl 

det( g 

ij 

où 

avec 

kl 

� n�1 

1 

� � �2. 

�� 

ij 

� j�0 

( n � 

B 

( n) 

k 

0 

: constant 

2 

) � � 

e 

�k 

0 

� 

� �2diag 

� 

avec 

� 

� 

2 

log 

�.., � � ,.. � �1 

n � i 


�z 

�z 

i 

j 

kl 

� 

k 

0 

2 

� � 

. i 

�z 

�z 

�Φ 

: Potentiel de Kähler 

� 

�ψ 

: fonction holomorphe 

� 

� 

j) 

� 

j

18 

2 

Flot de Calabi & Kähler-Einstein 

� Il existe 2 flots particuliers qui sont déduit de fonctionnelles 

dépendant uniquement de la courbure scalaire intégrée sur 

la variété 

� Le flot de Kähler-Einstein est donné par : 

Action de Hilbert 

Flot de Ricci 

� 

M 

R ( g) 

dV ( g) 


�g 

�t 

ij 

� �R 

ij 

M 

� Le flot de Calabi est donné par (il agit directement sur le potentiel) : 

2 * 

Action de Calabi Flot de Calabi � �z, z � 

gij 

� 

* 

�zi�z 

� 

2 

2 

j 

S ( g) 

� R ( g) 

dV ( g) 

�gij 

� R 

� * 

M 

�t 

�z 

�z 

� L’inégalité entre les deux fonctionnelles est donnée par : 

� 

R 

n 

� � � � 

� 

� 

S ( g) 

� � 

� 

R( 

g) 

dV ( g) 

/ dV ( g) 

� M � M 

g 

i 

2 

ij 

j 

R 

� 

� 

M 

R( 

g) 

dV ( g) 

� 

dV ( g) 

� Flot de Calabi 

�� 

� R � R 

�t

�g 

�t 

18 

3 

ij 

� En dimension 2 de la variable complexe, les deux flots sont 

reliés l’un à l’autre : 

� �R 

ij 


Ionnas Bakas : Relation entre les 2 flots 

� Ionnas Bakas a montré le lien entre les 2 flots en remarquant que : 

2 

2 � 

2 

�� 

g � 

� g 

ij 

Rij 

ij 

� � � log 

� � � 

� � � 

2 

2 

* 

� �t 

�t 

� �t 

�zi�z 

j � �t 

� � 

� 

2 

� 

� � log�det( 

g) 

� 

R � � 

�� 

log�det( 

g) 

� 

� � 

� 

� � � � � 

ij 

ij 

* 

g R 

zi 

z j � �t 

i, 

j 

2 

2 

� gij 

� R 

� 

� � 2 

* 

�t 

�z 

�z 

�det( g) 

� 

� �R 

� Si la dérivée seconde par rapport au temps du flot de Kähler-Ricci est 

identifiée à l’opposée de la dérivée première du temps du flot de Calabi 

, alors les 2 flots sont équivalents : 

2 

� 

2 

� R 

i 

�t 

� � 

t �t 

j 

C 

ij 

� 

� 

�

18 

4 

* 

2 �( 

z, 

z , t) 

� Bakas a établie les relation suivante ds : � 2e 

dz. 

dz 

2 

2 

� � 

R * � � 

� log�det( 

g) 

� 

� 

zz * R * � � 

et g * � e 

* 

�z�z 

zz 

zz 

�z�z 

Flot de Kähler-Ricci 

Flot de Calabi 


Ionnas Bakas : flots agissant sur le potentiel 

�gij 

� �Rij 

� 

�t 

�� 

� � �� 

�t 

�g 

�t 

� 

� 

ij 

� 

�e 

�t 

�� 

�t 

� 

2 

� R 

�z�z 

� 

* 

�� 

�e 

�t 

� 

avec 


2 

� �� 

� � * 

�z�z 

R 

� 

� 

2 

� � 

�z�z 

* 

�. 

� e 

� 

i, 

j 

g 

ij 

� 

� �� 

� e � 

�t 

2 

� � . 

* 

�z�z 

R 

ij 

� �e 

�� 

2 

� � 

�z�z 

2 

� � 

�z�z 

* 

* 

� 

* 

��

18 

5 

flots de kähler-Ricci et Calabi sur les modèle AR 

� Si on étudie sur la base de la métrique de Siegel (donné 

par le Hessien de l’Entropie du processus AR), la métrique 

est déformée comme suit : 


� Flot de Kähler-Ricci sur les coefficients de réflexion : 

�g � � 

ij 

2 

2 

� �Rij 

� �i 

( t) 

� 1� 

1� 

�i 

( 0) 

. 

�t 

�� 

� � R( 

�) 

� R 

� �t 

� 

�� 

( 0, 

t) 

�� 

( t) 

� 

� 

� 

�P0 

( t) 

� 

P ( 0) 

e 

0 

� 

��P 

( �) 

� 

t�� 

t 

� 

( n�i 

) 

� Flot de Calabi sur les coefficients de réflexion : 

� 

� � � 

2 

2 

� � 

( t) 

� 1� 

1� 

� ( 0) 

. 

i 

� 

� 

�P0 

( t) 

� 

0 

t 

n 

P ( 0) 

e 

2t 

n 

2 

i 

� 

e 

0 

� 

��P 

( �) 

� 

t�� 

e 

2t 

� 

( n�i 

) 

0 

2 

�� 

( �) 

t�� 

�� 

� 

�� 

i 

2 

�� 

( �) 

t�� 

i 

� 1 

2 

� 1

18 

6 


Algorithme médian sur les coefficients de réflexions 1/2 

� � 

( k ) ( k ) ( k ) ( k ) ( k ) 

n�1 

�On se donne � , où �k 

� ( P0 , �1 

,..., �n�1 

) � ( P0 

, � ) � R� 

� D 

1,... 

� N 

( k ) ( k ) ( k ) 

est un n uplet des coefficients de réflexion � � ��1 , �, 

�n�1 

� à tous 

( k ) 

les ordres précédés du coefficient de puissance P0 

. 

median 

( 1) 

( 2) 

( N ) 

�On calcule d’abord P0 � exp( mediane(log( 

P0 

), log( P0 

),..., log( P0 

))) , 

dans R (méthode classique de calcul du médian pour une valeur 

scalaire). 

�On estime ensuite la médiane des coefficients de réflexions 

complexes algorithmiquement : on ramène ces coefficients du disque 

� 1 

unité dans le demi-plan de Poincaré C : D � H avec : 

( k ) �1� 

� � 

( k ) ( k ) 

j 

� � � � 

j � z j i 

� ( k ) � 

�1� 

� j � 

( k ) �1 

( k ) 

On note z � C ( � ) 

�Les géodésiques sont alors des demi-cercles centrés sur l’axe des 

abscisses 

c

18 

7 

Z 


Algorithme médian sur les CR 

�On initialise l’algorithme à un point quelconque Z dans H : 

� � 

�A l’étape p, on se déplace selon le gradient: 

N 

( p) 

( k ) 

p 

p k Zl 

� c 

( k ) 

2 

( p) 

2 

( ) 

( ) ( ) 

l 

tZ 

, l � �i � signe( 

Zl 

� zl 

) 

z 

( ) l � Z 

k 

l 

( p) 

( k ) 

k �1 

Zl 

� cl 

�1/ 

p cl 

� ( k ) ( p) 

2 Re( zl 

� Zl 

) 

où Z est l’estimé courant et ck désigne le centre de la géodésique 

rejoignant Z à zk. T 

( 0) 

( 0) 

( 0) 

Z � Z1 

�Z 

n�1 

avec 

( p) 

( p) 

Im( t , ) 

( p) 

( p) 

Z l 

( p) 

� � 

( p�1) 

l 

� c 

Z 

( p ) 

l 

� 

Z 

( p) 

l 

� c 

Z 

( p ) 

l 

c ( p ) 

Zl 

� � 

� � ( 

exp 

� 

i��l 

� � 

� � 

� Re( Z 

p) 

� 

) � 

Re( t 

Im( Z 

) 

�L’entier p, initialisé à 1, décroît si l’écart entre deux itérés est 

moindre que 1/p. 

�Après convergence, on retourne à : 

� � ( 

P, 

C( 

Z)) 

avec 

�P0 

� 

� 

�μl 

� 

median 

median 

l 

( p) 

Z , l 

1 

signe(Re( 

Zl 

2Mk 

� C(Z 

( p) 

� exp( mediane(log( 

P 

( conv) 

l 

Z 

) � 

Z 

( conv) 

l 

( conv) 

l 

( 1) 

0 

�i 

� i 

l 

� c 

Z 

) 

( p ) 

l 

)) 

), log( P 

Z 

( 2) 

0 

l 

( p 

l 

arg( Zl � c ( p ) 

Zl 

( p) 

Z 

�� 

l � c ( p ) 

Z � 

l � 

� 

) 

� 

� c ( p ) �1/ 

p � 

Zl 

�� 

),..., log( P 

( N ) 

0 

))) 

)

18 

8 


Flot de gradient dans le disque unité de Poincaré 

� 

( 2) 

l 

� 

� C 

( 1) 

l 

� C 

( 2) 

�z � 

� 

l 

( 3) 

l 

� C 

( 1) 

�z � 

l 

C 

( 3) 

�z � 

l 

( p�1) 

�Z � 

l 

� 

( 4) 

l 

C 

� C 

( p) 

�Z � 

l 

( 4) 

�z � 

l

18 

9 


Résultats sur le premier coefficient de réflexion 

Superposition pour toutes 

les cases distances des 

moyennes et médianes 

locale, avec les points de 

données


Flot de la chaleur & Géométrie 

de l’information

19 

1 

� L’équation de la chaleur fait intervenir une moyenne : 

� Opérateur de Laplace intervenant dans le Flot de Fourier de la chaleur: 

avec 


Équation de la chaleur et Géométrie de l’information 

2 

� � 

� 

� 

Lim 

2 

x �x�0 

� 

��x� � � � � �� 

� � � � �� 

� �2 � x � �x 

�� 

x � � x �� 

x � �x 

x 

�ˆ � �� 

� ( x) 

�� 

x avec ˆ � �x � �x� 

� 

� ( x) 

� 

�x � �x� 

2 

� � 2 � 

� 2 

2 

�x 

2 

� Ceci reste vrai avec le Laplacien en dimension supérieure : 

�� 

� div( 

�� 

) � 

ˆ � 

� ( x) 

� 

� 

2 

� 

2 

n 

� � 

� ... � � ˆ � ( x) 

�� 

�x� 2 

2 

2 

�x1 

�xn 

��x� �x��x��x��x��... �� 

�x��x��x��x� 1 

� 

2 

� 

1 

2 

n 

n 

n

19 

2 


� L’équation de la chaleur fait intervenir une moyenne : 


� Opérateur de Laplace-Beltrami intervenant dans le Flot de Beltrami sur 

une variété : 

� 

� � � 

� g� 

� 

i, j 

1 

g 

� � 

� 

�x 

� 

i � 

� � ij � 

g g 

�x 

j � 

2 

n 

� 

�� 

2 g 

� � 

�� 2 

�, 

� 

� g � � ˆ 

�� 

� ( x) 

�� 

2 

�x 

g 

avec 

où 

� 

�, 

� 

ˆ � ( x) 

� 

�� 

� 

� 

�, 

� 

� 

�, 

� 

g 

g 

�� 

� 

�� 

�� 

� � 

� � �� 

x 

�x��x��x�x� �� 

� 

� 

� 2 


�x 

� �x 

� �x 

� ... � �x 

� L’équation de la chaleur se met donc sous la forme générale : 

�� 

� �� 

� 

�t 

� 

1 

�ˆ � �� 

� ( x) 

�� 

x 

2 

� 

� 

� 

� 

� 

n

d 

dt 

19 

3 

d 

dt 


Equation de la chaleur 

� 

� � 2 ˆ 

E 


� �� 

� � ˆ � � � 

� � � 

�� 

� �� 

� 

�t 

R 

� 

� I � 

� � � 2 2 2 �1 

2 

d . d� 

� � R dt � � I�� 

� dt 

� � 

Tr 

� 

I 

�� 

� 

ˆ � �� 

d� 

dt 

� � 1 � 

� 

�ˆ � �� 

� ( x) 

�� 

x 

� 

� 

� 

�� ˆ � �d �� ˆ � � � � E�d� 

. d� 

�� d ˆ �. 

d ˆ � 

E�d 

� 

�� 

� � � � 

� 

� . E�d 

� ˆ � d�� 

ˆ � �� d ˆ� 

� � � � . I�� 

� 

d� 

. I 

� 

. I 

�� 

�� . d� 

� ds 

d� 

2 

. � n� 

dt 

2 

I 

� 

�� 

2 

� n� 

dt 

2 

�� 

ˆ 2 

. d� 

� n� 

dt 

2

19 

4 

Interpretation of Heat Equation by Information Geometry 

� Équation de la chaleur et géodésique : 

� La géodésique est donnée par : 


�� 

� �� 

� 

�t 

�ˆ � �� 

d� 

d� 

2 

� � ( x) 

�� 

x � . I��. 

� n� 

dt dt 

� � � d� 

� � (t) 

dsI 

dt 

d� 

d� 

� 

i j 2 

gij 

�n� 

dt dt 

� Pour une courbe géodésique � (t) 

, son vecteur tangent 

est de longueur constante par rapport à la métrique , soit : 

i, 

j 

� La constante peut être choisie pour être de valeur unité quand le 

paramètre t est choisi comme étant le paramètre d’arc curviligne « s ». 

�


Conclusion

19 

6 

Références Bibliographiques 

[1] F. Barbaresco & G. Bouyt, "Espace Riemannien symétrique et géométrie des espaces de matrices de covariance : équations de diffusion et calculs de 

médianes", colloque GRETSI'09, Dijon, Sept. 2009 

[2] F. Barbaresco, "New Foundation of Radar Doppler and Array Processing based on German Mathematical Works: Geometry of Metric Spaces with 

negative curvature and Von-Mangoldt-Cartan-Hadamard Manifolds", IRS'09, Hamburg, Sept. 2009 

[3] F. Barbaresco, “Interactions between Symmetric Cone and Information Geometries”,LIX Fall Colloquium ETCV’08, Ecole Polytechnique,Springer 

Lecture Notes in Computer Science, vol.5416, pp. 124-163, 2009, http://www.springerlink.com/content/978-3-642-00825-2 

[4] F. Barbaresco, “Applications of Information Geometry to Radar Signal Processing”, Video Lectures, http://videolectures.net/etvc08_barbaresco_aoigt/ 

[5] M. Arnaudon and X. Li, « Barycentres of measures transported by stochastic flows”, Ann. Probab. 33, no. 4, pp.1509-1543, 2005 

[6] C.L. Siegel, «Symplectic Geometry», Acad. Press, 1964 

[7] M. Émery, G. Mokobodzki, «Sur le barycentre d'une probabilité dans une variété » . Séminaire de probabilités de Strasbourg, n° 25, p. 220-233, 1991 

[8] H. Karcher, «Riemannian center of mass and mollifier smoothing”, Comm. Pure Applied Math., °30,pp.509-541,1977 

[9] A. Terras, «Harmonic Analysis on Symmetric Spaces and Applications II», Springer-Verlag, 1988 

[10] V. Arsigny «Log-Euclidean metrics for fast and simple calculus on diffusion tensors», in Magnetic Resonance in Medicine, Volume 56 Issue 2, Pages 

411 - 421, Jun 2006. 

[11] M. Calvo, J. Oller, «A distance between multivariate normal distributions based in an embedding into the Siegel Group”, Journal of Multivariate 

Analysis, vol.35, pp. 223-242, 1990 

[12] M. Calvo, J. Oller, «An explicit solution of information geodesic equations for the multivariate normal model”, Statistics and Decisions., vol.9, pp. 

119-138, 1991 

[13] Huiling Le, “Estimation of Riemannian Barycenters”, Proc. London Math. Soc., pp. 193-200, 2004 

[14] Harris, W. F., “The average eye”, Ophthalmic Physiol. Opt., n°24, pp. 580–585, 2004 

[15] H.C.F. von Mangoldt, “Über diejenigen Punkte auf positiv gekrümmten flächen, welche die eigenschaft haben, dass die von ihnen ausgehenden 

geodätischen Linien nie aufhören, kürzeste Linien zu sein“, J. Reine Angew.Math., n°91, pp.23-52, 1881 

[16] E. Kähler, “Über eine bemerkenswerte Hermitesche Metrik”, Abh., Math. Sem. Hamburg Univ., n°9, pp.173-186, 1933 

[17] K. T. Sturm, “Probability measures on metric spaces of nonpositive curvature”. Contemp. Math. 338 , 357-390, 2003 

[18] E. Cartan, "Sur les domaines bornés homogènes de l'espace de n variables complexes", Abh. Math. Semin. hamb. Univ., n°11, pp.116-162, 1935, 

www.numdam.org 

[19] C.R. Rao, "Information and Accuracy attainable in the estimation of statistical parameters", Bull. Calcutta Math. Soc., n°37, pp.81-91, 1945 

[20] S. Yoshizawa and K. Tanabe, "Dual Differential Geometry associated with the Kullback-Leibler Information on the Gaussian Distributionsand its2parameter 

Deformations", SUT Journal of Mathematics, vol.35,n°1, pp.113-137, 1999 

[21] T.Ando and al., "Geometric Means", Linear Algebra Appl., vol.385, pp.305-334, 2004 

[22] F. Bruhat and J. Tits, « Groupes réductifs sur un corps local », IHES, n°41, pp.5-251, 1972 

[23] H. Cartan, "Ouverts fondamentaux pour le groupe modulaire",Séminaire Henri Cartan, tome n°10, n°1, exp.n°3, p.1-12, 1957 

[24] N.N. Chentsov, "Statistical Decision Rules and Optimal Inferences", Trans. of Math. Monog., n°53, Amer. Math. Society, Providence, 1982 

[25] J. Faraut and A. Koranyi, "Analysis on Symmetric Cones", Oxford University Press, 1994 

[26] K. Koufany, "Analyse et Géométrie des domaines bornés symétriques", HDR, Institut de Mathematiques Elie Cartan, Nancy, Nov. 2006 

[27] C. P. Niculescu, “An Extension of the Mazur-Ulam Theorem”, American Institute of Physics Proc., vol. 729, n°248-256, 2004 

Air [28] Systems M. Berger, Division « Panoramic View of Riemannian Geometry », Springer, 2004

19 

7 

�``Constater que les théories les plus parfaites 

sont les guides les plus sûrs pour résoudre les 

problèmes concrets~; avoir assez confiance en 

sa science pour prendre des responsabilités 

techniques. Puissent beaucoup de 

mathématiciens connaître un jour ces joies très 

saines, quelques humbles qu'ils les jugent !'‘ 


�Jean LERAY 


avec Georges Polya 

QUESTIONS

Géométrie, médiane et diffusion de spectres de fréquences ...

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?