Exercices supplémentaires : Vecteurs et translations

Exercice 1
Exercices supplémentaires : Vecteurs et translations
1) Quelles sont les images de ; ; ; et par la
translation de vecteur ?
2) Quels sont les vecteurs égaux au vecteur ?
G
3) Quelles sont les images de ; ; ; et par la
translation de vecteur ?
H
4) Quel point a pour image par la translation de vecteur
L
?
5) Quel point a pour image par la translation de vecteur
?
6) Quel point a pour image par la translation de vecteur ?
7) Quelles sont les images de ; et par la translation de vecteur ?
8) Quelles sont les images de ; ; et par la translation de vecteur ?
9) Donner tous les vecteurs égaux au vecteur .
10) Donner tous les vecteurs égaux au vecteur .
Exercice 2
1) Construire et , images des points et par la translation de vecteur . Ecrire les égalités de vecteurs
correspondantes.
2) Construire et , images des points
et par la translation de vecteur . Ecrire les
égalités de vecteurs correspondantes.
3) Construire et , images des points
et par la translation de vecteur . Ecrire
les égalités de vecteurs correspondantes.
C
4) Quelle est l’image du point par la
translation de vecteur ?
5) Quelle est la nature du quadrilatère
? Justifier.
6) Quelle est la nature du quadrilatère
? Justifier.
7) Quelle est la nature du quadrilatère
? Justifier.
8) Que représente pour ? Justifier.
9) Que représente pour ? Justifier.
Exercice 3
Compléter les égalités suivantes (à l’aide de la figure de l’exercice 1)
…
…
…
…
…
2 …
…
…
…
… …
1
2 … …
…
…
…
A
M
A
B
K
D
F
B
C
E
D
J
I
→
u

1
2 …
1
2 …
1
3 …
1
2 1
2 …
1
2 … …
… …
1
4 1
3 1
2 … …
Exercice 4
Compléter les égalités suivantes grâce à la relation de Chasles
… …
… …
… …
… … …
… …
… … …
… …
… …
… …
… …
Exercice 5
Grâce à la relation de Chasles, démontrer les égalités suivantes :
0
Exercice 6
On considère un parallélogramme . Construire les points , , et tels que
1
2 1
2 1
2
Exercice 7
On considère un parallélogramme et les points , , et définis par
0 2 2
Montrer les égalités suivantes puis construire les points , , et .
1
2 1
2 1
3
Exercice 8
On considère un triangle et les points et tels que 2 et 2 .
Justifier que 2 et en déduire que est le milieu de .
Exercice 9
On considère un parallélogramme de centre . Construire les points , et tels que ;
et .
1) Démontrer que .
2) Démontrer que
3) En déduire la nature du quadrilatère .
4) Démontrer que les droites et sont les médianes du triangle .
5) Ces deux droites se coupent en . Démontrer que coupe en son milieu.
Exercice 10
On considère un triangle et les points et tels que 5 et 2 3 .
Démontrer que 0.

Exercice 1
1) L’image de par la translation de vecteur
est .
L’image de par la translation de vecteur est .
L’image de par la translation de vecteur est .
L’image de par la translation de vecteur est .
L’image de par la translation de vecteur est .
2)
3) L’image de par la translation de vecteur
est .
L’image de par la translation de vecteur est .
L’image de par la translation de vecteur est .
L’image de par la translation de vecteur est .
L’image de par la translation de vecteur est .
4) C’est le point qui a pour image par la
translation de vecteur .
Exercice 2
Correction
5) C’est le point qui a pour image par la
translation de vecteur .
6) C’est le point qui a pour image par la
translation de vecteur .
7) L’image de par la translation de vecteur
est .
L’image de par la translation de vecteur est .
L’image de par la translation de vecteur est .
8) L’image de par la translation de vecteur
est .
L’image de par la translation de vecteur est .
L’image de par la translation de vecteur est .
L’image de par la translation de vecteur est .
9)
10)
I
1)
2)
3)
4) L’image du point par la translation de
E
C
J
vecteur est .
5) Comme , alors est un
F
parallélogramme et on a donc aussi . Or
A
D
donc ce qui signifie que
est un parallélogramme.
B
6) Comme , on peut dire que
est un parallélogramme et on a aussi .
Par ailleurs, donc est un
parallélogramme et on a aussi .
H
G
On en déduit que et donc est un parallélogramme.
7) On sait que donc est un parallélogramme et on a aussi . Par ailleurs, dans la
question précédente, nous avons montré que donc ce qui montre que est un
parallélogramme.
8) A la question 5, nous avons montré que or donc ce qui montre que es le
milieu de .
9) On sait que donc est un parallélogramme et donc on a aussi . De plus,
donc ce qui montre que est le milieu de .

Exercice 3
Compléter les égalités suivantes :
0
2
1
2
1
2
1
2
1
3
1
2 1
2
1
2
1
4 1
3 1
2
Exercice 4
Compléter les égalités suivantes grâce à la relation de Chasles
0
Exercice 5
0
Exercice 6
F
H
D
G
A B
E
C

Exercice 7
2 1
2 1
2
0 0 2 1
2
2 2 3 1
3
2 2
Exercice 8
2 2
Or 2 donc ce qui signifie que est le milieu de .
H
A B
G
Exercice 9
1)
2) 2 car est le milieu de
3) On a donc donc est un parallélogramme.
4) donc est le milieu de et donc est une médiane de .
Comme est un parallélogramme, ses diagonales se coupent en leur milieu donc coupe en son
milieu et est donc une médiane de .
5) est le point d’intersection de deux médianes donc est le centre de gravité de . Il appartient donc à la
troisième médiane qui est alors et qui coupe le troisième côté en son milieu.
Exercice 10
5 2 3 5 2 3 3
3 3 3 3 3 0
D
F
E
C