Séquence 08 : Vecteurs Définition – Somme – Relation de Chasles

I. Vecteurs et translations
1. Translation de vecteur
Séquence 08 : Vecteurs
Définition – Somme – Relation de Chasles
Définition : Soit A et B deux points distincts du plan.
La translation qui transforme A en B associe à tout point C du plan l’unique point D tel que les segments
et aient le même milieu.
Cas 1 :
Remarque : Un quadrilatère dont les diagonales
se coupent en leur milieu est un parallélogramme.
Donc D est le point tel que ABDC soit un
parallélogramme.
Cas 2 :
Remarque : On dit que ABDC est un parallélogramme
aplati.
Définition : La translation qui transforme A en B est appelée la translation de vecteur
Un vecteur est un objet mathématique défini par une direction,
un sens et une longueur. On le représente par une flèche.
Cette définition est très utile pour les physiciens
2. Vecteurs égaux
Définition : Dire que les vecteurs
en D. On note = .
Propriété :
=
et
sont égaux signifie que la translation de vecteur
.
transforme C
si et seulement si ABDC et un parallélogramme, éventuellement aplati. (faire figure)
Représentants d’un vecteur : Si
alors on dit que
les vecteurs , , … sont les représentants d’un même
vecteur d’origine respective A C et E que l’on peut noter par exemple.
Un vecteur admet une infinité de représentants.
3. Vecteurs particuliers
Le vecteur nul, noté est associé à la translation qui transforme A en A B en B C en C…..
Ainsi :
Conséquence : si et seulement si, . (Cette conséquence est parfois très pratique pour
démontrer que deux points sont confondus.)
Le vecteur opposé au vecteur est le vecteur associé à la translation qui transforme B en A ; c’est le
vecteur .
Conséquence : L’opposé du vecteur est le vecteur . Donc
. (faire un dessin avec )
Caractérisation du milieu : Le point I est le milieu du segment [AB] si, et seulement si,

II. Coordonnées d’un vecteur
1. Coordonnées d’un vecteur
Dans cette partie, le plan est rapporté à un repère ; et est un
vecteur donné non nul.
La translation de vecteur associe au point O un unique point M
tel que . On dit que le vecteur est le représentant du
vecteur d’origine A.
Définition : Les coordonnées du vecteur sont les coordonnées du point M tels que
Exemple : Le vecteur a pour coordonnées ; .
Les coordonnées d’un vecteur décrivent le déplacement qu’il représente. Ainsi un déplacement de unités
vers la droite et de 3 unités vers le bas sera représenté par un vecteur de coordonnées ;
Remarques :
Les coordonnées du vecteur nul sont ; .
Le repère ; se note aussi ; où
Propriété : Deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils ont les même coordonnées dans un repère.
Autrement dit si dans un repère les vecteurs ont pour coordonnées respectives ; et ’ ; ’ alors :
= ⇔
. (la démonstration est immédiate avec la définition donnée plus haut)
2. Coordonnées du vecteur
Propriété : Dans un repère, soit et deux points.
Alors le vecteur
a pour coordonnées
Démonstration :
Dans un repère ; , on note M le point tel que
⇔ et ont le même milieu I.
Or I milieu de ⇔
Or I milieu de ⇔
Ainsi,
Or le vecteur
⇔
Exemple : Si ; et ;
Alors le vecteur
⇔
⇔
a pour coordonnées celles du point M c’est-à-dire
a pour coordonnées
.
⇔
soit
et
.
.
soit
.
.
.

III. Addition de deux vecteurs
1. Somme de deux vecteurs
Définition : La somme de deux vecteurs et est le vecteur associé à la translation résultant de
l’enchaînement des translations de vecteur et de vecteur . On note ce vecteur + .
Remarque : L’ordre de l’enchaînement n’a pas d’importance.
Propriétés :
+ = +
+ = +
( + ) + = u + ( + )
Définition : On appelle différence de deux vecteurs et
le vecteur noté défini par : .
Caractérisation du milieu : I est le milieu du segment [AB] si, et seulement si,
Propriété : Soient les vecteurs
Alors les coordonnées du vecteur sont
2. Constructions géométriques
et
.
et celle du vecteur sont
Pour construire géométriquement la somme de deux vecteurs et on peut utiliser l’une ou l’autre de ces
deux propriétés :
Propriété : Relation de Chasles (1793 ; 1880 mathématicien français)
Pour touts points A, B et C du plan : + .
L’image du point A par la translation de vecteur est le point B.
L’image du point B par la translation de vecteur est le point C.
Donc l’image du point A par l’enchaînement des translations de vecteur
puis de vecteur
.
.
est le point C.
Remarque : Quand les deux vecteurs sont représentés par des flèches dont l’extrémité de l’une est l’origine
de l’autre on utilise la relation de Chasles.
Propriété : Règle du parallélogramme
A, B et C étant trois points distincts non alignés,
le point D tel que
est le point tel que
ABDC soit un parallélogramme.
Remarque : Quand les deux vecteurs sont représentés par des flèches ayant la même origine, on trace le
vecteur somme en traçant le parallélogramme.