´Electromagnétisme - LPM

Électromagnétisme 

Licence de Physique 

Université Henri Poincaré 

1 

Christophe Chatelain, 2010

La théorie de Maxwell de l’électromagnétisme est l’une des pierres angulaires 

de la physique moderne. Outre le fait qu’elle unifie diverses branches de la physique 

(électricité, électrostatique, magnétostatique, optique géométrique et ondulatoire), elle 

introduit une innovation conceptuelle majeure par rapport à la mécanique newtonienne 

: le concept de champ. Selon la théorie de Maxwell, les charges électriques 

n’interagissent pas directement via une force à portée infinie comme l’affirme Coulomb 

au XVIII ème siècle. La théorie de Maxwell est locale. L’interaction est transportée 

par le champ électromagnétique : toute charge électrique génère localement un champ 

électromagnétique qui va se propager à vitesse finie dans l’espace. Lorsqu’il atteint 

une seconde charge, cette dernière subit une accélération. Le champ a une existence autonome, 

indépendante des charges. C’est un objet physique à part entière. Les équations 

de Maxwell montrent que le champ électromagnétique se propage à la vitesse c de sorte 

que l’interaction entre les charges n’est pas instantanée contrairement à la force de 

Coulomb ou la force gravitationnelle de Newton. Par conséquent, la théorie proposée 

par Maxwell dans les années 1860 est déjà relativiste près de quarante ans avant la 

relativité restreinte d’Einstein ! En outre, les équations de Maxwell non pas été modifiées 

lorsque la théorie a été quantifiée dans les années 1940 pour donner naissance à ce 

qu’on appelle l’électrodynamique quantique. La fonction d’onde du photon satisfait les 

équations de Maxwell ! Enfin, la théorie de Maxwell a servi de modèle à la construction 

des théories décrivant les autres interactions (la relavité générale pour la gravitation et 

les théories de jauge non-abéliennes pour les interactions nucléaires). 

Comme dans la plupart des théories physiques, la complexité des équations de 

Maxwell ne permet de faire des calculs exacts que pour des distributions de charge 

ou de courant simples, généralement statiques et avec suffisamment de symétries. Il 

est totalement illusoire de vouloir calculer les champs électromagnétiques créés par 

les quelques 10 23 charges qui composent un échantillon de taille macroscopique. De 

la même manière qu’à l’échelle macroscopique, l’état d’un gaz peut être efficacement 

caractérisé par seulement deux paramètres (sa pression et sa température par exemple), 

il est généralement suffisant de connaître la polarisation et l’aimantation d’un matériau 

macroscopique. Il sera question dans ce cours d’une version modifiée de la théorie de 

Maxwell dans le vide, permettant de rendre compte de manière effective d’un certain 

nombre de propriétés des matériaux polarisables et/ou aimantables. 

2

Sommaire 

Sommaire 

1. Électromagnétisme dans le vide . . . . . . . . . . . . . . 9 

1.1. Théorie de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 

1.1.1. Formulation “habituelle” de la théorie de Maxwell . . . . . . . . 9 

1.1.1.1. Charges et courants électriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 

1.1.1.2. Premier groupe des équations de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . 10 

1.1.1.3. Second groupe des équations de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . 

1.1.1.4. Équation du mouvement d’une charge . . . . . . . . . . . . . . . . 

11 

11 

1.1.2. Formulation covariante de l’électromagnétisme . . . . . . . . . . . 12 

1.1.2.1. Quadrivecteur courant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 

1.1.2.2. Degrés de libertés du champ électromagnétique . . . . . . . . . . . . 13 

1.1.2.3. Transformation des champs et des sources électromagnétiques . . . . 13 

1.1.2.4. Formulation covariante du premier groupe . . . . . . . . . . . . . . 16 

1.1.2.5. Formulation covariante du second groupe . . . . . . . . . . . . . . . 16 

1.1.2.6. Impulsion et hamiltonien du champ électromagnétique . . . . . . . . 17 

1.1.3. Electromagnétisme en jauge de Lorenz . . . . . . . . . . . . . . . 

1.1.3.1. Équations des potentiels électromagnétiques en jauge de Lorenz . . . 

18 

18 

1.1.3.2. Expression des potentiels en jauge de Lorenz . . . . . . . . . . . . . 18 

1.1.3.3. Champs électromagnétiques d’une charge de vitesse constante . . . . 

1.1.4. Électromagnétisme en jauge de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . 

1.1.4.1. Équations des potentiels en jauge de Coulomb . . . . . . . . . . . . 

19 

23 

23 

1.1.4.2. Potentiels crées par une assemblée de charges en jauge de Coulomb . 25 

1.2. Électrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 

1.2.1. Electrostatique de corps chargés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 

1.2.1.1. Champ et potentiel électrostatiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 

1.2.1.2. Force de Coulomb et travail électrostatique . . . . . . . . . . . . . . 27 

1.2.1.3. Champ électrique créé par un fil chargé . . . . . . . . . . . . . . . . 28 

1.2.1.4. Champ électrique sur l’axe d’une boucle circulaire chargée . . . . . . 29 

1.2.1.5. Champ électrique sur l’axe d’un disque chargé en surface . . . . . . . 31 

1.2.1.6. Champ électrique créé par un cylindre fini chargé en surface . . . . . 32 

1.2.1.7. Champ électrique créé par une demi-sphère . . . . . . . . . . . . . . 33 

1.2.1.8. Champ électrique créé par une distribution sphérique non-uniforme . 34 

1.2.2. Application du théorème de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 

1.2.2.1. Théorème de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 

1.2.2.2. Conditions de passage du champ électrique . . . . . . . . . . . . . . 35 

3

1.2.2.3. Champ électrique créé par un plan chargé . . . . . . . . . . . . . . 37 

1.2.2.4. Champ électrique créé par une sphère chargée en surface . . . . . . . 37 

1.2.2.5. Champ électrique créé par une sphère chargée en volume . . . . . . . 38 

1.2.2.6. Champ électrique créé par un cylindre infini chargé en surface . . . . 39 

1.2.2.7. Champ électrique créé par un cylindre infini chargé en volume . . . . 40 

1.2.3. Résolution de l’équation de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . 

1.2.3.1. Équations de Poisson et Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

40 

41 

1.2.3.2. Potentiel dans un condensateur parallélépipédique . . . . . . . . . . 41 

1.2.3.3. Potentiel dans un condensateur en forme de U . . . . . . . . . . . . 44 

1.2.3.4. Potentiel et champ dans un condensateur diédrique . . . . . . . . . . 46 

1.2.3.5. Sphère maintenue à un potentiel constant . . . . . . . . . . . . . . . 47 

1.2.3.6. Sphère à la terre plongée dans un champ uniforme . . . . . . . . . . 47 

1.2.3.7. Potentiel créé par une sphère non-uniformément chargée en surface . . 49 

1.2.4. Développements multipolaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 

1.2.4.1. Champ et potentiel créés par un dipôle . . . . . . . . . . . . . . . . 51 

1.2.4.2. Dynamique d’un dipôle dans un champ électrique . . . . . . . . . . . 53 

1.2.4.3. Développement multipolaire du potentiel électrique . . . . . . . . . . 54 

1.2.4.4. Développement en série d’harmoniques sphériques du potentiel . . . . 56 

1.2.4.5. Champ électrique créé par un ellipsoïde chargé . . . . . . . . . . . . 57 

1.2.5. Phénomènes d’influence électrostatiques . . . . . . . . . . . . . . 59 

1.2.5.1. Electrostatique des conducteurs parfaits . . . . . . . . . . . . . . . 59 

1.2.5.2. Conducteurs en influence électrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 

1.2.5.3. Influence totale et cage de Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 

1.2.5.4. Condensateurs plan, sphérique et cylindrique . . . . . . . . . . . . . 62 

1.2.5.5. Influence d’une charge sur un plan conducteur . . . . . . . . . . . . 64 

1.2.5.6. Influence d’une charge sur une sphère conductrice . . . . . . . . . . 65 

1.2.5.7. Ligne chargée entre deux plans infinis à un potentiel nul . . . . . . . 67 

1.3. Magnétostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 

1.3.1. Champ et force magnétiques créés des courants statiques . . . . 69 

1.3.1.1. Potentiel vecteur créé par des courants statiques . . . . . . . . . . . 69 

1.3.1.2. Champ magnétique créé par une distribution de courant . . . . . . . 69 

1.3.1.3. Champ magnétique créé par un fil parcouru par un courant . . . . . 71 

1.3.1.4. Forces de Lorentz et de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 

1.3.1.5. Champ magnétique créé par un fil rectiligne . . . . . . . . . . . . . 74 

1.3.1.6. Champ magnétique créé par une boucle de courant . . . . . . . . . . 75 

1.3.1.7. Bobines de Helmholz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 

1.3.1.8. Champ magnétique créé par un solénoïde cylindrique fini . . . . . . . 77 

1.3.1.9. Champ magnétique créé par un disque chargé en rotation . . . . . . 78 

1.3.1.10. Champ magnétique créé par une sphère chargée en rotation . . . . . 80 

1.3.1.11. Champ magnétique créé par un cylindre chargé en rotation . . . . . 83 

1.3.2. Application du théorème d’Ampère . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 

1.3.2.1. Enoncé du théorème d’Ampère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 

1.3.2.2. Conditions de passage du champ magnétique . . . . . . . . . . . . . 84 

1.3.2.3. Théorème d’Ampère pour un fil rectiligne . . . . . . . . . . . . . . . 85 

1.3.2.4. Champ magnétique crée par un cylindre parcouru par un courant . . 86 

1.3.2.5. Champ magnétique créé par un tore . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 

1.4. Electrocinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 

4

Sommaire 

1.4.1. Phénomènes résistifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 

1.4.1.1. Tension et travail électriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 

1.4.1.2. Loi d’Ohm macroscopique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 

1.4.1.3. Conditions de passage de la densité de courant . . . . . . . . . . . . 92 

1.4.1.4. Modèle de Drude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 

1.4.1.5. Loi d’évolution de la charge dans les systèmes résistifs . . . . . . . . 93 

1.4.1.6. Effet Hall classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

1.4.2. Électrodynamique des supraconducteurs . . . . . . . . . . . . . . 

1.4.2.1. Équations de London . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

93 

94 

94 

1.4.2.2. Effet Meissner généralisé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 

1.4.2.3. Conservation du flux magnétique dans un supraconducteur . . . . . . 96 

1.4.3. Phénomènes d’induction magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 

1.4.3.1. Relation entre flux magnétique et tension . . . . . . . . . . . . . . . 97 

1.4.3.2. Inductance mutuelle et auto-induction . . . . . . . . . . . . . . . . 98 

1.4.3.3. Formule de Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

1.4.3.4. Énergie d’un système de courants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

98 

99 

1.4.4. Lois de l’électrocinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 

1.4.4.1. Composants électriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 

1.4.4.2. Résolution dans le cas général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 

1.4.4.3. Principe de superposition d’Helmholz . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 

1.4.4.4. Régime transitoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 

1.4.4.5. Régime permanent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 

1.4.4.6. Cas particulier du régime sinusoïdal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 

1.4.4.7. Cas particulier du régime continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 

1.4.4.8. Dipôle équivalent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 

1.5. Ondes électromagnétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 

1.5.1. Propagation des ondes dans le vide . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 

1.5.1.1. Ondes électromagnétiques dans le vide . . . . . . . . . . . . . . . . 

1.5.1.2. Énergie et impulsion d’une onde électromagnétique . . . . . . . . . . 

108 

112 

1.5.1.3. Invariance de Lorentz de l’équation des ondes . . . . . . . . . . . . . 113 

1.5.1.4. Effet Doppler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 

1.5.2. Interférences et diffraction à l’infini . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 

1.5.2.1. Diffractions de Fresnel et de Fraunhofer . . . . . . . . . . . . . . . . 114 

1.5.2.2. Franges d’Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 

1.5.2.3. Diffraction par une ouverture circulaire . . . . . . . . . . . . . . . . 117 

1.5.2.4. Diffraction par un motif périodique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 

1.5.2.5. Diffraction par un cristal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 

1.5.3. Rayonnement créé par une assemblée de charges . . . . . . . . . . 120 

1.5.3.1. Rayonnement électromagnétique dipolaire . . . . . . . . . . . . . . 120 

1.5.3.2. Rayonnement quadrupolaire et dipolaire magnétique . . . . . . . . . 123 

1.5.3.3. Freinage d’une particule par rayonnement . . . . . . . . . . . . . . . 124 

1.5.4. Absorption et diffusion par une assemblée de charges . . . . . . . 126 

1.5.4.1. Absorption de la lumière par une assemblée de charges . . . . . . . . 126 

1.5.4.2. Dispersion anormale par une assemblée de charges . . . . . . . . . . 127 

1.5.4.3. Diffusion d’une onde par une assemblée de charges . . . . . . . . . . 128 

2. Electromagnétisme des milieux . . . . . . . . . . . . . . 130 

5

2.1. Polarisation de la matière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 

2.1.1. Description de la polarisation de la matière . . . . . . . . . . . . . 130 

2.1.1.1. Description microscopique de la polarisation . . . . . . . . . . . . . 130 

2.1.1.2. Description macroscopique de la polarisation . . . . . . . . . . . . . 132 

2.1.1.3. Charges de polarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

2.1.1.4. Équations de Maxwell dans les diélectriques . . . . . . . . . . . . . 

133 

134 

2.1.1.5. Travail et thermodynamique dans les diélectriques . . . . . . . . . . 135 

2.1.2. Diélectriques linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 

2.1.2.1. Réponse diélectrique linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

2.1.2.2. Équations de Maxwell dans les diélectriques linéaires isotropes . . . . 

136 

137 

2.1.2.3. Distribution de charge dans les diélectriques conducteurs . . . . . . . 

2.1.2.4. Énergie dans les diélectriques linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . 

138 

139 

2.1.3. Exemples de calculs dans les milieux polarisés . . . . . . . . . . . 141 

2.1.3.1. Polarisation spontanée d’une plaque infinie . . . . . . . . . . . . . . 141 

2.1.3.2. Polarisation d’une plaque infinie diélectrique sous champ . . . . . . . 141 

2.1.3.3. Champ électrique créé par une sphère polarisée . . . . . . . . . . . . 142 

2.1.3.4. Polarisation d’un cylindre diélectrique par une ligne chargée . . . . . 143 

2.1.3.5. Polarisation d’une sphère diélectrique par une charge ponctuelle . . . 145 

2.1.3.6. Sphère diélectrique plongée dans un champ uniforme . . . . . . . . . 148 

2.1.3.7. Cavité sphérique dans un diélectrique plongé dans un champ . . . . . 150 

2.1.3.8. Couche diélectrique protectrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 

2.1.3.9. Ecrantage dans les milieux diélectriques linéaires . . . . . . . . . . . 154 

2.2. Milieux magnétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 

2.2.1. Moment magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 

2.2.1.1. Champ magnétique créé par une spire circulaire de courant . . . . . . 158 

2.2.1.2. Potentiel vecteur créé par un moment magnétique . . . . . . . . . . 159 

2.2.1.3. Action d’un champ magnétique sur un moment . . . . . . . . . . . . 160 

2.2.2. Champ magnétique créé par une distribution de moments . . . . 160 

2.2.2.1. Description microscopique de l’aimantation . . . . . . . . . . . . . . 161 

2.2.2.2. Champ magnétique créé par l’aimantation . . . . . . . . . . . . . . 161 

2.2.2.3. Méthode des courants ampèriens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 

2.2.2.4. Méthode des masses magnétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 

2.2.2.5. Méthode du champ auxiliaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 

2.2.2.6. Champ d’excitation magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 

2.2.2.7. Milieux magnétiques linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 

2.2.2.8. Confinement des lignes de champ magnétique et applications . . . . . 

2.2.2.9. Énergie d’interaction d’un milieu avec le champ magnétique . . . . . 

166 

167 

2.2.2.10. Loi de transformation de la polarisation et de l’aimantation . . . . . 169 

2.2.3. Exemples de calculs dans les milieux magnétiques . . . . . . . . . 169 

2.2.3.1. Champ magnétique créé par un cylindre aimanté . . . . . . . . . . . 170 

2.2.3.2. Champ magnétique créé par une sphère aimantée . . . . . . . . . . . 171 

2.3. Propagation dans les milieux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 

2.3.1. Rayonnement dans les milieux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 

2.3.1.1. Rayonnement multipolaire dans un milieu . . . . . . . . . . . . . . 176 

2.3.2. Propagation dans les milieux linéaires et isotropes . . . . . . . . . 178 

2.3.2.1. Ondes électromagnétiques dans les milieux linéaires isotropes . . . . . 178 

6

Sommaire 

2.3.2.2. Propagation dans un milieu linéaire dispersif . . . . . . . . . . . . . 179 

2.3.2.3. Propagation d’un paquet d’onde dans un milieu dispersif . . . . . . . 181 

2.3.2.4. Lois de la réflexion et de la réfraction . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 

2.3.2.5. Exemple d’interférences multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 

2.3.2.6. Effet Doppler-Fizeau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 

2.3.3. Propagation dans les diélectriques linéaires anisotropes . . . . . . 188 

2.3.3.1. Propagation de l’induction électrique dans un milieu anisotrope . . . 188 

2.3.3.2. Equation des ondes dans milieu diélectrique linéaire anisotrope . . . . 

2.3.3.3. Équation de Fresnel dans un milieu diélectrique linéaire . . . . . . . 

189 

190 

2.3.3.4. Propagation d’une onde plane dans un cristal uniaxial . . . . . . . . 191 

2.3.4. Propagation dans les diélectriques linéaires conducteurs . . . . . 

2.3.4.1. Équation des ondes dans les conducteurs . . . . . . . . . . . . . . . 

192 

192 

2.3.4.2. Ondes électromagnétiques dans un conducteur . . . . . . . . . . . . 193 

2.3.4.3. Effet de peau dans un fil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 

2.3.4.4. Pression de radiation dans les conducteurs . . . . . . . . . . . . . . 195 

3. Rappels de mathématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 

3.1. Fonctions trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 

3.1.1. Trigonométrie circulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 

3.1.1.1. Formules d’addition des fonctions trigonométriques . . . . . . . . . . 198 

3.1.1.2. Dérivation des fonctions trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . 199 

3.1.2. Trigonométrie hyperbolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 

3.1.2.1. Fonctions hyperboliques inverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 

3.1.2.2. Formules d’addition des fonctions hyperboliques . . . . . . . . . . . 200 

3.1.2.3. Dérivation des fonctions hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . 201 

3.1.2.4. Développements limités des fonctions trigonométriques . . . . . . . . 201 

3.2. Équations différentielles et aux dérivées partielles . . . . . . . . . 202 

3.2.1. Equations différentielles du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . 203 

3.2.1.1. Solution générale de l’équation sans second membre . . . . . . . . . 203 

3.2.1.2. Solution particulière de l’équation avec second membre . . . . . . . . 203 

3.2.1.3. De la solution mathématique à la solution physique . . . . . . . . . . 204 

3.2.2. Equation différentielle du second ordre . . . . . . . . . . . . . . . 204 

3.2.2.1. Solution générale de l’équation sans second membre . . . . . . . . . 204 

3.2.2.2. Solution particulière de l’équation avec second membre . . . . . . . . 205 

3.2.2.3. De la solution mathématique à la solution physique . . . . . . . . . . 205 

3.2.3. L’équation de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 

3.2.3.1. Solution de l’équation de Laplace en coordonnées cartésiennes . . . . 206 

3.2.3.2. Solution de l’équation de Laplace en coordonnées polaires . . . . . . 207 

3.2.3.3. Solution de l’équation de Laplace en coordonnées sphériques . . . . . 207 

3.2.3.4. Solution de l’équation de Laplace en coordonnées cylindriques . . . . 208 

3.2.4. L’équation des ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 

3.2.4.1. Equation des ondes unidimensionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . 209 

3.2.4.2. L’équation des ondes en dimension d = 3 . . . . . . . . . . . . . . . 213 

3.3. Polynômes orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 

7

3.3.0.1. Polynômes de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 

3.3.0.2. Polynômes de Legendre associés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 

3.3.0.3. Harmoniques sphériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 

3.3.0.4. Fonctions de Bessel et de Hankel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 

3.3.0.5. Fonctions de Bessel sphériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 

3.3.0.6. Polynômes d’Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 

3.3.0.7. Polynômes de Laguerre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 

3.3.0.8. Polynômes de Laguerre associés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 

3.4. Quelques formules de géométrie différentielle . . . . . . . . . . . . 228 

3.4.1. Opérateurs différentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 

3.4.1.1. Opérateurs différentiels dans le système de coordonnées sphériques . . 229 

3.4.1.2. Opérateurs différentiels dans le système de coordonnées cylindriques . 229 

3.4.1.3. Relations avec l’opérateur Nabla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 

3.4.2. Théorèmes de Green-Ostrogradsky et de Stockes . . . . . . . . . 230 

3.4.2.1. Théorème de Green-Ostrogradsky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 

3.4.2.2. Théorème de Stockes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 

8

1. 

1. Électromagnétisme dans le vide 

Électromagnétisme dans le vide 

Bibliographie : 2, 8, 6, 4. 

1.1. Théorie de Maxwell 

1.1.1. Formulation “habituelle” de la théorie de Maxwell 

1.1.1.1. Charges et courants électriques 

Selon l’échelle de longueur à laquelle on travaille, les sources du champ électromagnétique 

apparaissent soit comme une assemblée de charges ponctuelles ou soit comme une distribution 

continue de charges ρ(r,t) et de courant j(r,t). Mathématiquement, le premier 

cas n’est en fait qu’un cas particulier du second. En effet, considérons une assemblée de 

charges ponctuelles qi de position ri(t) et de vitesse vi(t) = dri 

dt . La densité de charge 

continue équivalente à ces charges ponctuelles est 

ρ(r ′ ,t) = 

qiδ(r ′ − ri(t)) (1) 

et la distribution de courant 

j(r ′ ,t) = 

i 

i 

dri 

qi 

dt δ(r′ − ri(t)) (2) 

La loi de conservation de la charge impose que le flux sortant du courant électrique 

à travers toute surface fermée ∂V délimitant un volume V soit égale à la variation de 

charge à l’intérieur de ce volume. D’après le théorème de Stockes, on a 

 

d 

dt V 

ρ d 3 

r = − j.d 

∂V 

 

S = − 

V 

divj d 3 r 

de sorte que la forme locale de la loi de conservation de la charge est 

∂ρ 

∂t + divj = 0 (3) 

9


1.1.1.2. Premier groupe des équations de Maxwell 

Le premier groupe regroupent les équations de Maxwell ne faisant pas intervenir 

les sources, i.e. l’équation de Maxwell-Faraday 

−→ 

rot E = − ∂ 

∂t B (4) 

et l’équation de Maxwell-Gauss magnétique 

div B = 0 (5) 

La définition des potentiels 

E = − ∂ 

∂t A − −−→ 

gradϕ, 

B = −→ 

rot A (6) 

apparaît come une solution des équations de Maxwell-Gauss magnétique 

et Maxwell-Faraday 

div B = div −→ 

rot A = 0 

−→ 

rot E = −→ 

rot 

 

− −−→ 

grad ϕ − ∂ 

A 

∂t 

= − −→ 

rot −−→ 

gradϕ − ∂ −→ 

rot 

∂t 

A 

= − ∂ B 

∂t 

où on a utilisé (290). Les potentiels (ϕ, A) ne sont pas déterminés de manière univoque 

par les équations du premier groupe. Il existe une infinité d’autres solutions ( A ′ ,ϕ ′ ) 

conduisant aux mêmes champs électrique et magnétique et donc aux mêmes équations 

de Maxwell. Ces solutions sont reliées entre elles par des transformations de jauge. 

Ainsi, la transformation du potentiel vecteur 

A −→ A ′ = A − −−→ 

gradf 

où f = f(r,t) est une fonction continue et dérivable, laisse le champ magnétique 

inchangé : 

B ′ = −→ 

rot A −−→ −→ 

− gradf = rot A −→ −−→ 

− rotgradf 

=0 

Pour obtenir l’invariance du champ électrique, 

E ′ = − −−→ 

grad ϕ ′ − ∂ A ′ 

∂t 

= − −−→ 

grad ϕ ′ − ∂ 

∂t 

= − −−→ 

 

grad ϕ ′ − ∂f 

∂t 

A − −−→ 

gradf 

 

− ∂ A 

∂t 

10 

= B

on doit avoir la loi de transformation du potentiel 

ϕ −→ ϕ ′ = ϕ + ∂f 

∂t 


Pour fixer la jauge, i.e. préciser avec laquelle des solutions des équations de Maxwell 

on souhaite travailler, il est nécessaire d’imposer des contraintes supplémentaires qu’on 

appelle conditions de jauge. On mentionnera en particulier la jauge de Coulomb 

et la jauge de Lorenz 

div A = 0 (7) 

div A + 1 

c2 ∂ϕ 

∂t 

Il en existe bien d’autres. 

= 0 (8) 

1.1.1.3. Second groupe des équations de Maxwell 

Les équations de Maxwell du second groupe décrivent le couplage entre la densité 

de charge et de courant avec le champ électromagnétique. On a d’une part l’équation 

de Maxwell-Ampère 

−→ 

rot B = µ0j + 1 

c2 ∂ 

∂t E (9) 

et l’équation de Maxwell-Gauss 

div E = ρ 

ε0 

avec µ0ε0 = c 2 . Notons que ces deux équations impliquent la loi de conservation de la 

charge (3). En effet, on a 

div −→ 

rot B = 0 = µ0 divj + 1 

c2 ∂ 

∂t div E 

= µ0 divj + 1 

c2 ∂ρ 

ε0 ∂t 

 

= µ0 divj + ∂ρ 

 

∂t 

1.1.1.4. Équation du mouvement d’une charge 

Il également nécessaire de postuler comme toute charge q interagit localement 

avec le champs électrique et magnétique. La force subie 

 

F = q E(r(t),t) + v(t) ∧ B(r(t),t) (11) 

est appelée force de Lorentz. Notons que cette force n’est pas conservative puisqu’il 

n’est pas possible de trouver une énergie potentielle V satisfaisant F = − −−→ 

gradV pour 

le terme magnétique. En relativité restreinte, l’équation de la dynamique s’écrit 

 

d 

dt 

mv(t) 

 

1 − v2 /c2 = q E(r(t),t) + qv(t) ∧ B(r(t),t) (12) 

11 

(10)


On peut montrer que l’impulsion de la charge s’écrit 

et son hamiltonien 

p(t) = mv(t) 

1 − v 2 /c 2 + q A(r(t),t) (13) 

H = 

mc 2 

1 − v 2 /c 2 

+ qϕ(r(t),t) 

Notons que le hamiltonien ne dépend que du potentiel scalaire et pas du vecteur 

potentiel A. 

Dans la limite non-relativiste, l’équation de la dynamique se réduit à 

m d2 r 

dt 2 = q E(r(t),t) + qv(t) ∧ B(r(t),t) 

qui prend donc la forme de la relation fondamentale de la dynamique pour la force de 

Lorentz (11). Le travail de la force de Lorentz lors d’un déplacement d ℓ de la particule 

est indépendant du champ magnétique : 

δW = F.d ℓ = q E(r(t),t).d ℓ + q v(t) ∧ B(r(t),t) .v(t)dt = q E(r(t),t).d ℓ (14) 

L’impulsion est obtenue à partir de (13) 

p(t) = mv(t) + q A(r(t),t) 

et le hamiltonien relativiste se limite dans la limite non relativiste à : 

H = mc 2 + 

p − q A 2 

2m 

+ qϕ(r(t),t) = mc 2 + 1 

2 mv2 (t) + qϕ(r(t),t) 

Seul le potentiel scalaire ϕ contribue à l’énergie de la particule. 

1.1.2. Formulation covariante de l’électromagnétisme 

1.1.2.1. Quadrivecteur courant 

Dans l’espace de Minkowski, on introduit le quadrivecteur courant j µ = (cρ j ) 

formé de la densité de charge ρ(r,t) et du courant électrique j(r,t). La loi de conservation 

de la charge s’écrit alors 

∂µj µ = 0 

où on rappelle que ∂µ = 1 

c 

∂ 

∂t 

∇ . 

12

1.1.2.2. Degrés de libertés du champ électromagnétique 


Chaque particule ponctuelle possède trois degrés de libertés, correspondant aux 

trois translations possibles dans chacune des directions de l’espace. Pour définir la 

position de la particule, il faut spécifier trois coordonnés, par exemple les coordonnées 

cartésiennes r = (x y z ). Pour décrire l’état mécanique de la particule, on aura 

r (ou des trois impulsions). 

besoin des trois coordonnées et des trois vitesses d 

dt 

Pour décrire l’état du champ électromagnétique, il faut spécifier quatre quantités 

A µ (r,t) poiur chaque point de l’espace r. Le champ électromagnétique comporte donc 

une infinité de degrés de libertés. On notera le quadri-potentiel 

A µ = ϕ/c A 

Il est commode d’introduire le tenseur de Faraday ou tenseur électromagnétique 

F µν = ∂ µ A ν − ∂ ν A µ 

dont les éléments de matrice sont définis comme 

F µν = ∂ µ A ν − ∂ ν A µ ⎛ 

0 −Ex/c −Ey/c 

⎞ 

−Ez/c 

⎜Ex/c 

= ⎝ 

Ey/c 

0 

Bz 

−Bz 

0 

By 

−Bx 

⎟ 

⎠ (16) 

Ez/c −By Bx 0 

i.e. on a posé 

E = − ∂ 

∂t A − −−→ 

gradϕ, 

(15) 

B = −→ 

rot A (17) 

conformément à (6). Il est facile de vérifier que le tenseur de Faraday, et donc les champs 

E et B, sont invariants sous la transformation de jauge 

On a en effet 

A µ −→ A µ − 1 

q ∂µ θ 

F µν = ∂ µ A ν − ∂ ν A µ −→ ∂ µ A ν − q −1 ∂ ν θ − ∂ ν A µ − q −1 ∂ µ θ 

= ∂ µ A ν − ∂ ν A µ = F µν 

1.1.2.3. Transformation des champs et des sources électromagnétiques 

1.1.2.3.1. Lois de transformation des champs électromagnétiques 

Le quadri-potentiel A µ = 

ϕ/c A est un quadrivecteur et donc ses composantes 

se transforment sous un changement de référentiel inertiel selon la transformation de 

Lorentz 

A ′µ = Λ µ νA ν ⇔ 

⎧ 

ϕ ′ = 

⎪⎨ 

⎪⎩ 

ϕ − v0Ax 

1 − v 2 0 /c 2 

A ′ x = Ax − v0/c 2 ϕ 

1 − v 2 0 /c 2 

A ′ y = Ay 

A ′ z = Az 

13 

(18)


pour une transformation dans la direction (Ox). Le tenseur de Faraday Fµν (16) est un 

tenseur de rang deux et donc se transforme comme 

F ′µν = Λ µ αΛ ν βF αβ 

Ainsi, le champ électrique dans la direction de la transformation de Lorentz se transforme 

comme 

F ′10 = E′ x 

c 

= ∂x′1 

∂x µ 

= c ∂x′ 

∂x 

= ∂x′ 

∂x 

= 

∂x ′0 

µν 

F 

∂xν ∂t ′ 

∂x F 11 + ∂x′ ∂t 

∂x 

′ 

∂t F 10 + ∂x′ ∂t 

∂t 

′ 

∂x F 01 + 1 ∂x 

c 

′ 

∂t 

∂t ′ 

∂t F 10 + ∂x′ 

∂t 

1 

1 − v 2 0 /c2 

∂t ′ 

01 

F 

∂x 

Ex 

c − v0 × v0/c2 1 − v2 0 /c2 

Ex 

c 

∂t ′ 

00 

F 

∂t 

= Ex 

c 

où on a utilisé le fait que x ′ = x ′ (x,t) et t ′ = t ′ (x,t), l’antisymétrie d tenseur de Faraday 

imposant F µµ = 0 puis l’expression des transformations de Lorentz. Il apparaît donc que 

la composante du champ électrique dans la direction de la transformation de Lorentz, 

ici (Ox), n’est pas modifiée. Les composantes perpendiculaires du champ électrique font 

en revanche apparaître le champ magnétique. Par exemple, on a 

F ′20 = E′ y 

c 

= ∂x′2 

∂x µ 

= c ∂y′ 

∂y 

∂y ′0 

µν 

F 

∂yν ∂t ′ 

∂x F 21 + ∂y′ 

∂y 

v0/c 

= − 

1 − v2 0 /c2 Bz + 

= Ey/c − v0/cBz 

 

1 − v2 0 /c2 ∂t ′ 

20 

F 

∂t 

1 

 

1 − v2 0 /c2 Ey 

c 

où on a utilisé cette fois le fait que y ′ = y et t ′ = t ′ (x,t). Le champ électrique se 

transforme finalement selon 

E ′ x = Ex, E ′ y = Ey − v0Bz 

1 − v 2 0 /c 2 , E′ z = Ez + v0By 

1 − v 2 0 /c 2 

Une charge au repos crée un champ électrique mais pas de champ magnétique. Si 

on la met en mouvement, la théorie de la relativité prévoit l’apparition d’un champ 

magnétique perpendiculaire à sa vitesse et au champ électrique. De la même manière, 

on montre que la loi de transformation du champ magnétique est 

B ′ x = Bx, B ′ y = By + v0/c2E ′ z 

1 − v2 0 /c2 , B′ z = Bz − v0/c2E ′ y 

 

1 − v2 0 /c2 Les deux lois de transformation (19) et (20) se réduisent dans la limite non-relativiste 

v ≪ c à 

E ′ ≃ 

v0≪c 

E + v0 ∧ B, B ′ ≃ 

v0≪c 

14 

B − v0 ∧ E 

c 2 

(19) 

(20) 

(21)


1.1.2.3.2. Lois de transformation des sources du champ électromagnétique 

La densité de courant j µ = (cρ j ) est un quadrivecteur et donc ses composantes 

se transforment sous un changement de référentiel inertiel selon la transformation de 

Lorentz : 

⎧ 

⎪⎨ 

⎪⎩ 

ρ ′ = 

ρ − jxv0/c 2 

1 − v 2 0 /c 2 

j ′ x = jx − ρv0 

1 − v 2 0 /c 2 

j ′ y = jy 

j ′ z = jz 

On voit donc que si dans un premier référentiel, ρ = 0 etj = 0, dans un second référentiel 

en mouvement rectiligne uniforme par rapport au premier, il apparaît une densité de 

courant j ′ non nulle. Par conséquent, la densité de charge ne crée qu’un courant dans le 

premier référentiel alors qu’il apparaît également un champ magnétique dans le second. 

Notons que la quantité de charge portée par un corps de volume V est bien invariante 

sous les transformations de Lorentz. En effet, la contraction des longueurs dans le sens 

du mouvement conduit à une variation du volume V ′ = V 1 − v 2 0 /c2 de sorte que la 

charge totale s’écrit 

Q = ρ ′ V ′ = 

 

ρ 

× V 1 − v 

1 − v2 0 /c2 2 0 /c2 = ρV 

1.1.2.3.3. Transformation de Lorentz et définition des potentiels 

Un électron au repos plongé dans un champ magnétique B homogène et indépendant 

du temps ne subit aucune force de Lorentz (11). Si maintenant, l’électron est mis en 

mouvement rectiligne uniforme à une vitesse v0, l’invariance de Galilée des lois de la 

mécanique requiert l’absence de force. Il doit donc exister une force dans ce référentiel 

mobile qui compense la force de Lorentz. Supposons que cette force soit due à un champ 

électrique E : 

F = −e( E + v0 ∧ B) ⇔ E = −v0 ∧ B 

qui est nécessairement de la forme (21). Le rotationnel de ce champ électrique est 

−→ 

rot E = − −→ 

 

rot v0 ∧ 

B = (v0. ∇) B + v0 div B − B 

où on a utilisé (290) en tenant compte du fait que v0 est un vecteur et non un champ 

de vecteurs, i.e. ses dérivées sont nulles. Le dernier terme s’annule à cause du théorème 

de Gauss (5). De plus, le champ magnétique étant constant, on a 

d B 

dt = ∂ B 

∂t + (v0. ∇) B = 0 ⇔ (v0. ∇) B = − ∂ B 

∂t 

15


de sorte qu’on retrouve l’équation de Maxwell-Faraday (4) 

−→ 

rot E = − ∂ B 

∂t 

Par définition du potentiel vecteur (17), il en découle que 

Le champ E+ ∂ A 

∂t 

−→ 

rot E = − ∂ B 

∂t 

= − −→ 

rot 

 

∂ A 

∂t 

 

⇔ −→ 

rot 

 

E + ∂ A 

∂t 

est donc irrotationnel et dérive donc d’un potentiel scalaire. Le champ 

électrique est par conséquent de la forme donnée par (17). 

 

= 0 

1.1.2.4. Formulation covariante du premier groupe 

Par définition du tenseur de Faraday Fµν (15), on a la relation 

∂µFρν + ∂ρFνµ + ∂νFµρ 

 

= ∂µ ∂ρAν − ∂νAρ + ∂ρ ∂νAµ − ∂µAν + ∂ν ∂µAρ − ∂ρAµ 

= 0 

appelée relation de Bianchi ou premier groupe des équations de Maxwell. Dans le cas 

ν = 0 et µ,ρ = 0 avec µ = ρ, la relation (22) conduit à l’équation de Maxwell- 

Faraday : 

∂µFρ0 + ∂ρF0µ + ∂0Fµρ = 0 ⇔ − ∂µEρ/c + ∂ρEµ/c − ǫµρλ∂0B λ = 0 

⇔ ǫ µρλ ∂µEρ = −∂0B λ 

−→ 

⇔ rot E = − ∂ 

∂t B 

Dans le cas ν,µ,ρ = 0 et différents deux à deux, il vient l’équation de Maxwell-Gauss 

magnétique 

∂µFρν + ∂ρFνµ + ∂νFµρ = 0 ⇔ ǫρνλ∂µB λ + ǫνµλ∂ρB λ + ǫµρλ∂νB λ = 0 

⇔ ∂µBµ + ∂ρBρ + ∂νBν = 0 

⇔ div B = 0 

1.1.2.5. Formulation covariante du second groupe 

Le champ électromagnétique interagit avec les particules. Il est necessaire postuler 

quelle sera l’évolution temporelle des champs en présence de charges et de courant. On 

peut montrer que la forme la plus simple admissible est 

∂µF µν = µ0j ν 

Dans le cas ν = 0, il en découle l’équation de Maxwell-Ampère : 

µ0j ν = −ǫ µνρ ∂µBρ − ∂0E ν /c ⇔ µ0j ν = ǫ νµρ ∂µBρ − ∂0E ν /c 

16 

⇔ µ0j ν = ∇ ∧ B ν − ∂0E ν /c 

⇔ µ0j ν = −→ 

rot B ν − ∂0E ν /c 

⇔ −→ 

rot B = µ0j + 1 

c2 ∂ E 

∂t 

(22) 

(23) 

(24) 

(25)


où on a posé j µ = (ρ j ) et donc jµ = (ρ 

conduit à l’équation de Maxwell-Gauss : 

−j ). Dans le cas µ = 0, l’équation (24) 

µ0j0 = ∂ µ Fµ0 = −∂ µ Eµ/c = ∇. E ⇔ div E = ρ 

(26) 

puisque j 0 = ρc, ∂ µ = ∂ 

∂t − ∇ et µ0ε0 = 1/c 2 . 

1.1.2.6. Impulsion et hamiltonien du champ électromagnétique 

On peut montrer à partir de l’action S que la densité d’énergie associée au champ 

électromagnétique s’écrit 

2 ε0c αβ 

FαβF 

ρE = −ε0c 2 F0ρF 0ρ + 

4 

2 

2 E2 ε0c 

= ε0c + − 

c2 2 

E2 

 

+ B2 

c2 = ε0 2 2 2 

E + c B 

2 

 

Le hamiltonien, i.e. l’énergie totale, est donc 

 

d 3 r E 2 + c 2 B 2 

HEM = ε0 

2 

Le champ électromagnétique possède également une densité d’impulsion dont les trois 

composantes sont 

π ν = ε0c 2 F0ρF νρ = ε0cǫ νρλ EρBλ = ε0c E ∧ B ν 

L’impulsion totale est 

 

P = πd 3 

r = ε0c 

La relation relativiste 

E 2 = P 2 c 2 + m 2 c 4 

E ∧ Bd 3 r 

s’applique au champ électromagnétique à condition de pose m = 0 (la masse du photon 

est nulle). La quantité cπ est le flux d’énergie dans chacune des directions de l’espace 

et est appelé vecteur de Poynting. Il en découle la loi de conservation de l’énergie 

ε0 

2 

∂ 

∂t 

E 2 + c 2 B 2 = − 1 

µ0 

ε0 

(27) 

div E ∧ B −j. E (28) 

où le dernier terme correspond à l’énergie perdue par effet Joule. La relation (28) 

peut également être obtenue à partir des équations de Maxwell-Ampère (9) et de 

Maxwell-Faraday (4). En utilisant (290), il vient 

 

div E ∧ B 

= B. −→ 

rot E − E. −→ 

rot B 

= − B. ∂ B 

∂t − 

E. µ0j + 1 

c2 = − 1 

2 

∂ 

∂t 

ce qui redonne bien la relation (28). 

∂ 

E 

∂t 

 

B 2 + E2 

c2 

− µ0j. E 

17


1.1.3. Electromagnétisme en jauge de Lorenz 

1.1.3.1. Équations des potentiels électromagnétiques en jauge de Lorenz 

En insérant la définition du tenseur de Faraday dans le second groupe des équations 

de Maxwell (24), il vient 

∂µF µν = µ0j ν µ ν ν µ 

⇔ ∂µ ∂ A − ∂ A = µ0j ν 

⇔ ∂µ∂ µ A ν − ∂ ν ∂µA µ = µ0j ν 

⇔ ∂µ∂ µ A ν = µ0j ν 

où la disparition du second terme est due au choix de jauge de Lorenz. Il reste donc 

ϕ = −µ0c 2 ρ = − ρ 

, A = −µ0j (29) 

où on a utilisé les définitions A µ = ϕ/c A et j µ = (ρc j ). 

ε0 

Puisqu’elles découlent de (24), les équations de équation de Maxwell-Gauss et 

Maxwell-Ampère permettent de retrouver les relations (29). En insérant la définition 

des champs (17) et la condition de jauge de Lorenz (8) dans (10), il vient en effet 

ρ 

ε0 

= div E = −div −−→ 

gradϕ − ∂ 

∂t div A = −∆ϕ + 1 

c2 ∂2ϕ ∂t2 i.e. la première des relations (29). De la même manière, (25) conduit à la seconde des 

relations (29) 

µ0j = −→ 

rot B − 1 

c2 ∂ 

∂t E 

= −→ 

rot −→ 

rot A + 1 

c2 −−→ 

grad ∂ϕ 1 

+ 

∂t c2 ∂2A ∂t2 = −−→ 

grad div A − ∆ A + 1 

c2 −−→ 

grad ∂ϕ 1 

+ 

∂t c2 ∂2A ∂t2 = − ∆ A + 1 

c2 ∂2A ∂t2 où on a utilisé (290) et où le premier et le troisième termes de la dernière expression 

s’annulent dans la jauge de Lorenz. 

1.1.3.2. Expression des potentiels en jauge de Lorenz 

La fonction de Green G(r,t) de la première des équations (29) satisfait par 

définition l’équation 

1 

r2 

∂ 

r 

∂r 

 

+ 

∂r 

2 ∂G 

1 

r 2 sinθ 

 

∂ 

sin θ 

∂θ 

∂G 

 

+ 

∂θ 

1 

r 2 sin 2 θ 

∂2G 1 

− 

∂φ2 c2 ∂2G = δ(r) (30) 

∂t2 Le second membre, correspondant à une charge ponctuelle à l’origine, est invariant sous 

les rotations d’angles θ et φ. Par conséquent, le potentiel créé par cette charge doit 

18


également être invariant sous de telles rotations et donc ne peut dépendre ni de θ ni de 

φ. Il reste 

1 

r2 

∂ 

r 

∂r 

2 ∂G 

∂r 

 

− 1 

c 2 

∂2G = δ(r) 

∂t2 On pose χ(r,t) = rG(r,t) de sorte qu’il vient 

∂2χ 1 

− 

∂r2 c2 ∂2χ = rδ(r) 

∂t2 L’équation sans second membre peut s’écrire sous la forme 

 

∂ ∂ ∂ ∂ 

− c + c χ = 0 

∂t ∂r ∂t ∂r 

i.e. χ, solution générale de l’équation sans second membre, est une combinaison linéaire 

de la forme 

 

χ(r,t) = χ+ t + r 

 

+ χ− t − 

c 

r 

 

c 

Le premier terme doit s’annuler dans tout système physique car il viole le principe de 

causalité. Le potentiel est par conséquent une fonction de t−r/c. Dans le cas particulier 

d’un potentiel indépendant du temps, l’équation (30) se réduit à 

∆G(r) = δ(r) 

Or la fonction de Green du laplacien est −1/4πr donc la solution de l’équation de 

Poisson est le produit de convulsion de la densité de charge et de cette fonction de 

Green. On peut finalement vérifier que les potentiels de Liénard-Wichert (1) 

⎧ 

′ ′ ′ ρ r ,t = t − ||r − r||/c 

⎪⎨ 

ϕ(r,t) = 

4πε0||r − r 

⎪⎩ 

′ || 

A(r,t) = µ0 

j 

4π 

r ′ ,t ′ = t − ||r ′ − r||/c 

||r − r ′ || 

sont solutions des relations (29). Ces potentiels sont dits retardés car les densités de 

charge et de courant ne contribuent aux potentiels qu’après le temps nécessaire pour 

que l’information parcoure à la vitesse c la distance séparant les densités du point de 

mesure des potentiels. 

1.1.3.3. Champs électromagnétiques d’une charge de vitesse constante 

Notons que dans le cas plus général d’une charge accélérée, on a émission de 

rayonnement électromagnétique. Ce cas sera traitée au chapitre § 1.5.3.. 

(1) On peut mener ce calcul en dimension d quelconque. Les potentiels créés par une charge ou 

un élément de courant décroissent avec la distance comme 1/r d−2 de sorte que les champs décroissent 

comme 1/r d−1 . 

19 

d 3 r ′ 

d 3 r ′ 

(31)


1.1.3.3.1. Calcul à partir des potentiels de Liénard-Wichert 

On considère une charge q de trajectoire r(t). La densité de charge est 

ρ(r ′ ,t ′ ) = qδ(r ′ − r(t ′ )) 

et donc le potentiel de Liénard-Wichert (31) s’écrit 

 

′′ ′′ ′ ′′ ′ ρ r ,t = t − ||r − r ||/c 

ϕ(r ′ ,t ′ ) = 

= q 

4πε0 

= q 

4πε0 

= q 

4πε0 

d 3 r ′′ 

4πε0||r ′′ − r ′ || 

 

′′ ′′ ′ ′′ ′ δ r − r(t = t − ||r − r ||/c) 

d 3 r ′′ 

||r ′′ − r ′ || 

 

′′ ′′ ′′ ′ ′′ ′ δ r − r(t ) δ t − t + ||r − r ||/c 

||r ′′ − r ′ || 

 

′′ ′ ′′ ′ δ t − t + ||r(t ) − r ||/c 

||r(t ′′ ) − r ′ || 

De la même manière, la densité de courant étant 

j(r ′ ,t ′ ) = qv(t ′ )δ(r ′ − r(t ′ )) 

on obtient pour le potentiel vecteur 

 

′′ ′′ ′ ′′ ′ qv(t )δ t − t + ||r(t ) − r ||/c 

A(r ′ ,t ′ ) = µ0 

4π 

||r(t ′′ ) − r ′ || 

dt ′′ 

dt ′′ 

d 3 r ′′ dt ′′ 

La poursuite du calcul requiert la donnée de la trajectoire r(t) afin de déterminer t ′′ . 

On pose u = t ′′ − t ′ + ||r(t ′′ ) − r ′ ||/c et donc 

du = dt ′′ − d 

dt ′′ ||r(t′′ ) − r ′ ||/cdt ′′ = dt ′′ 

 

1 + v. r(t ′′ ) − r ′ 

c||r(t ′′ ) − r ′ 

|| 

où le second terme est la composante de la vitesse dans la direction r(t ′′ ) − r ′ . Il en 

découle notamment que le potentiel peut s’écrire sous la forme 

ϕ(r ′ ,t ′ ) = q 

 

δ(u)du 

4πε0 

||r(t ′′ ) − r ′ 

|| 1 + v. 

 

r(t ′′ )−r ′ 

c||r(t ′′ )−r ′ 

|| 

= 

q 

α 4πε0||r(t ′′ α) − r ′ 

|| 1 + v. 

 

r(t ′′ 

α )−r ′ 

(32) 

 

c||r(t ′′ α )−r′ || 

où {t ′′ α}α sont les solutions de l’équation u = 0. On obtient une forme similaire pour le 

potentiel vecteur A. 

Limitons l’étude à une charge q en mouvement de translation uniforme, i.e. 

r(t) = r0 + v0t. On choisit l’axe (Ox) dans la direction de la vitesse, i.e. v0 = v0ux 

et l’origine au point r(0), i.e. r0 = 0. La condition u = 0 impose 

t ′′ = t ′ − ||r0 + v0t ′′ − r ′ ||/c ⇔ t ′′ = t ′ − (v0t ′′ − x ′ ) 2 + y ′2 + z ′2 /c 

⇔ c 2 (t ′′ − t ′ ) 2 = (v0t ′′ − x ′ ) 2 + y ′2 + z ′2 

⇔ (c 2 − v 2 0)t ′′2 + 2(v0x ′ − c 2 t ′ )t ′′ + c 2 t ′2 − x ′2 − y ′2 − z ′2 = 0 

20

La seule solution physique de cette équation algébrique est 


t ′′ = −2(v0x ′ − c 2 t ′ ) − 4(v0x ′ − c 2 t ′ ) 2 − 4(c 2 − v 2 0 )(c2 t ′2 − x ′2 − y ′2 − z ′2 ) 

2(c 2 − v 2 0 ) 

= t′ − v0x ′ /c 2 − (t ′ − v0x ′ /c 2 ) 2 − (1 − v 2 0 /c2 )(t ′2 − (x ′2 + y ′2 + z ′2 )/c 2 ) 

1 − v 2 0 /c2 

= t′ − v0x ′ /c2 − (x ′ − v0t ′ ) 2 /c2 + (1 − v2 0 /c2 )(y ′2 + z ′2 )/c2 1 − v2 0 /c2 

= t′ − v0x ′ /c2 − 1 

 

c (x ′ − v0t ′ ) 2 + (1 − v2 0 /c2 )(y ′2 + z ′2 ) 

1 − v2 0 /c2 

L’autre solution, avec un signe + devant la racine, conduit à t ′′ > t ′ ce qui signifierait 

que la valeur de la densité de charge à l’instant t ′′ peut influencer le potentiel électrique 

dans le futur ce qui est contraire au principe de causalité. On peut récrire le terme 

apparaissant au dénominateur de l’expression (32) : 

||r(t ′′ ) − r ′ || + v. r(t ′′ ) − r ′ 

On a finalement l’expression du potentiel 

ϕ(r ′ ,t ′ ) = q 

4πε0 

c 

= c(t ′ − t ′′ ) + (v0t ′′ − x ′ )v0/c 

 

= c t ′ − x′ v0 

c2 − t′′ 1 − v 2 0/c 2 

 

= (x ′ − v0t ′ ) 2 + (1 − v2 0 /c2 )(y ′2 + z ′2 ) 

1 

(x ′ − v0t ′ ) 2 + (1 − v 2 0 /c2 )(y ′2 + z ′2 ) 

De la même manière, il vient l’expression du potentiel vecteur 

A(r ′ ,t ′ ) = µ0 

4π 

qv0 

(x ′ − v0t ′ ) 2 + (1 − v 2 0 /c2 )(y ′2 + z ′2 ) 

Les champs électrique et magnétique sont obtenus d’après (17) par dérivation des 

potentiels. On a par exemple 

Ex(r ′ ,t ′ ) = − ∂ϕ 

∂x ′ (r′ ,t ′ ) − ∂Ax 

∂t ′ (r′ ,t ′ ) = q 

4πε0 

(x ′ − v0t ′ )/ 1 − v 2 /c 2 

 

(x ′ − v0t ′ ) 2 /(1 − v 2 0 /c2 ) + y ′2 + z ′2 

1.1.3.3.2. Calcul à partir de la transformation de Lorentz du potentiel 

Dans le référentiel propre de la charge q, i.e. le référentiel dans lequel elle apparaît 

au repos, les potentiels de Liénard-Wichert (31) se réduisent à 

ϕ ′ (r ′ ,t ′ ) = 

q 

4πε0||r ′ || , 

A(r ′ ,t ′ ) = 0 

21 

(33) 

(34) 

3/2


Dans le référentiel de l’observateur, dans lequel la charge a une vitesse v0 dans la 

direction (Ox), il vient par transformation de Lorentz inverse (18), i.e. transformation 

de paramètre −v0ux : 

et 

Ax(r,t) = 

ϕ(r,t) = ϕ′ (r ′ (r,t),t ′ (r,t)) 

1 − v 2 0 /c 2 

= 

= 

4πε0 

v0 

c2 ϕ ′ (r ′ (r,t),t ′ (r,t)) 

 

1 − v2 0 /c2 conformément à (33) et (34). 

q 

√x−v0t 1−v2 0 /c2 2 + y2 + z2 × 1 − v2 0 /c2 

q 

 

4πε0 (x − v0t) 2 + (1 − v2 0 /c2 )(y2 + z2 ) 

= v0 µ0 

qv0 

ϕ(r,t) = 

c2 4π (x − v0t) 2 + (1 − v2 0 /c2 )(y2 + z2 ) 

1.1.3.3.3. Champs créés par une charge dans la limite non-relativiste 

Dans la limite non-relativiste, l’expression du potentiel se réduit à 

ϕ(r ′ ,t ′ ) = q 

4πε0 

et celle du potentiel scalaire à 

A(r ′ ,t ′ ) = µ0 

4π 

1 

(x ′ − v0t ′ ) 2 + (y ′2 + z ′2 ) 

qv0 

(x ′ − v0t ′ ) 2 + (y ′2 + z ′2 ) 

On peut alors montrer que le champ électrique (17) est dirigé dans la direction de la 

particule au même instant : 

Ex(r ′ ,t ′ ) = − ∂ϕ ∂Ax 

− 

∂x ′ ∂t ′ 

= q x 

4πε0 

′ − v0t ′ 

 

(x ′ − v0t ′ ) 2 + (y ′2 + z ′2 ) 3/2 + µ0 

4π 

= q x 

4πε0 

′ − v0t ′ 

 

(x ′ − v0t ′ ) 2 + (y ′2 + z ′2 ) 2 

1 − v 

3/2 0/c 2 

≃ q 

4πε0 

(x ′ − v0t ′ ) 

 

(x ′ − v0t ′ ) 2 + y ′2 + z ′2 

3/2 

qv0 × −v0(x ′ − v0t ′ ) 

(x ′ − v0t ′ ) 2 + (y ′2 + z ′2 ) 3/2 

puisque la charge se trouve au point de coordonnées x = v0t ′ et y = z = 0. Ce résultat, 

qui semble violer le principe de causalité, est en fait une coïncidence particulière au 

cas d’une charge de vitesse constante. Le champ magnétique peut être calculé dans 

la limite non-relativiste en utilisant (21). Si on se place dans un référentiel suivant le 

22 

(35) 

(36)


mouvement de la particule, dans lequel elle aparaît donc au repos à une position r0, le 

champ magnétique est nul B ′ = 0 et le champ électrique (36) se réduit à : 

E ′ (r ′ ,t ′ ) = q 

4πε0 

(r ′ − r0) 

||r ′ − r0|| 3 

Par une transformation de Lorentz inverse, i.e. en changeant v0 en −v0, on revient 

maintenant dans le référentiel de l’observateur. En combinant (37) et (21), il vient 

B(r ′ ,t ′ ) ≃ 

v0≪c 

v ∧ E ′ 

= 

c2 q 

4πε0c2v ∧ (r′ − r0) 

||r ′ − r0|| 

1.1.4. Électromagnétisme en jauge de Coulomb 

3 = µ0 

1.1.4.1. Équations des potentiels en jauge de Coulomb 

(37) 

4π qv ∧ (r′ − r0) 

||r ′ − r0|| 3 (38) 

On se place dans la jauge de Coulomb (7). Bien que les équations de Maxwell 

restent inchangées, les équations de propagation des potentiels dépendent du choix 

particulier de jauge. La définition des champs (17) et l’équation de Maxwell-Gauss 

(10) conduisent à l’équation de Poisson 

ρ 

ε0 

= div E = −div −−→ 

gradϕ − ∂ 

∂t div A 

 

=0 

et l’équation de Maxwell-Ampère (25) à 

µ0j = −→ 

rot B − 1 

c2 ∂ 

∂t E 

qu’on peut écrire sous la forme 

= −→ 

rot −→ 

rot A + 1 

c2 −−→ 

grad ∂ϕ 1 

+ 

∂t c2 ∂2A ∂t2 ⇔ ∆ϕ = − ρ 

= −−→ 

grad div A − ∆ A + 1 

c2 −−→ 

grad ∂ϕ 1 

+ 

∂t c2 ∂2A ∂t2 A = −µ0j + 1 

c2 −−→ 

grad ∂ϕ 

∂t 

Les équations (39) et (40) admettent pour solution 

⎧ 

ρ 

⎪⎨ ϕ(r,t) = 

⎪⎩ 

r ′ ,t 

4πε0||r − r ′ || d3r ′ 

A(r,t) = 1 

 

µ0 

4π 

j 

 

r ′ ,t − ||r − r′ || 

 

c 

− 1 

c2 −−→ 

grad ∂ϕ 

∂t 

 

ε0 

r ′ ,t − ||r − r′ || 

c 

 

(39) 

(40) 

d3r ′ 

||r − r ′ (41) 

|| 

La relation (40) peut être exprimée indépendamment du potentiel ϕ, i.e. les 

équations des potentiels peuvent être découplées. En utilisant la solution (41) de 

23


l’équation de Poisson (39), il vient 

A = −µ0j + 1 

c2 −−→ 

grad ∂ϕ 

∂t 

= −µ0j + 1 

4πε0c2 −−→ 

grad ∂ 

= −µ0 j + 1 

4πε0c 2 

−−→ 

grad 

∂t 

∂ρ 

∂t 

ρ r ′ ,t 

||r − r ′ || d3r ′ 

 

′ r ,t 

||r − r ′ || d3 r ′ 

En utilisant la loi de conservation de la charge (3), on a 

A = −µ0 j − µ0 

4π 

= −µ0 j − µ0 

4π 

 

−−→ divj 

grad 

r ′ ,t 

−−→ 

grad 

= −µ0j − µ0 

−−→ 

grad 

4π ∂V 

||r − r ′ || d3r ′ 

 

j r ′ ,t 

div 

||r − r ′ || 

j r ′ ,t 

||r − r ′ || .d 

S − 

d 3 r ′ − 

 

j r ′ ,t . −−→ 

 

gradr ′ 

j r ′ ,t . −−→ 

 

gradr ′ 

1 

||r − r ′ 

d 

|| 

3 r ′ 

 

1 

||r − r ′ 

d 

|| 

3 r ′ 

 

En supposant que la densité de courant est nulle à l’infini, l’intégrale de surface s’annule. 

Puisque −−→ 

gradr ′ f(r − r ′ ) = − −−→ 

gradr f(r − r ′ ), il vient 

A = −µ0j − µ0 

 

−−→ 

grad 

4π 

= −µ0j − µ0 −−→ 

grad div 

4π 

j r ′ ,t . −−→ 

 

gradr j r ′ ,t 

||r − r ′ || d3 r ′ 

On peut réecrire le premier terme sous forme intégrale : 

∆r 

j r ′ ,t 

||r − r ′ || d3r ′ 

= 

 

= −4π 

j r ′ ,t 

∆ 

= −4πj r ′ ,t 

1 

||r − r ′ || 

j r ′ ,t δ(r − r ′ ) 

de sorte que l’équation de propagation s’écrit finalement 

A = µ0 −−→ 

∆ − grad div 

4π 

j r ′ ,t 

||r − r ′ || d3r ′ 

= µ0 

4π 

−→ 

rot −→ 

j 

rot 

r ′ ,t 

||r − r ′ || d3r ′ 

24 

1 

||r − r ′ || 

 

d 3 r ′ 

 

d 3 r ′ 

(42)


1.1.4.2. Potentiels crées par une assemblée de charges en jauge de Coulomb 

On considère une assemblée de charges qi de positions ri(t) et de vitesses vi(t). Les 

densités de charge et de courant sont données par (1) et (2). Le potentiel est donné par 

(41) : 

 

ϕ(r,t) = 

ρ r ′ ,t 

4πε0||r − r ′ || d3r ′ = qi 

4πε0||r − ri|| 

et le potentiel vecteur est dans la limite non-relativiste 

A(r,t) ≃ 

c≫1 

 

1 

µ0 

4π 

j(r ′ ,t) − 1 

c2 −−→ 

grad ∂ϕ 

= µ0 

 

4π 

i 

= µ0 

 

4π 

i 

qivi 1 

− 

||r − ri|| 4πc2 qivi 

||r − ri|| + 

−−→ 

grad 

1 

(4π) 2 ε0c 2 

i 

∂t (r′ 

,t) 

 

i 

d 3 r ′ 

||r − r ′ || 

 

∂ qi 

∂t 4πε0||r 

i 

′ 

d 

− ri|| 

3r ′ 

||r − r ′ || 

 

−−→ vi.(r 

qi grad 

′ − ri) 

||r ′ − ri|| 3 

3 ′ d r 

||r − r ′ || 

En intégrant par parties et en supposant que les potentiels s’annulent à l’infini, il vient 

A(r,t) ≃ 

c≫1 

µ0 

 

4π 

i 

= µ0 

 

4π 

i 

qivi 

||r − ri|| − 

qivi 

||r − ri|| − 

1 

(4π) 2 ε0c 2 

1 

(4π) 2 ε0c 2 

 

i 

 

i 

qi 

qi 

vi.(r ′ − ri) 

||r ′ − ri|| 3 

 

−−→ 

gradr ′ 

1 

||r − r ′ || 

 

−−→ vi.(r 

gradr ′ − ri) 

||r ′ − ri|| 3 

d3r ′ 

||r − r ′ || 

 

d 3 r ′ 

L’intégrale est égale à 2πvi.(r −ri)/||r −ri|| de sorte que le potentiel s’écrit finalement 

A(r,t) ≃ 

c≫1 

= µ0 

4π 

= 1 

2 

µ0 

 

4π 

i 

 

i 

 

i 

qivi 

||r − ri|| − 

qivi 

||r − ri|| − 

µ0 

4π 

1.2. Électrostatique 

1 

2 × 4πε0c 2 

1 

2 × 4πε0c 2 

qivi µ0 

+ 

||r − ri|| 4π 

 

i 

qi 

−−→ 

grad r 

 

vi.(r − ri) 

||r − ri|| 

 

 

vi 

qi 

||r − ri|| 

i 

− vi.(r − ri) (r − ri) 

||r − ri|| 3 

 

qivi.(r − ri) (r − ri) 

||r − ri|| 3 

 

L’électrostatique correspond à l’étude des champs électriques créés par une assemblée 

de charges supposées immobiles. La densité de courant est donc nulle en tout 

point de sorte que le potentiel vecteur et le champ magnétique sont nuls. 

1.2.1. Electrostatique de corps chargés 

25


1.2.1.1. Champ et potentiel électrostatiques 

Le potentiel et le champ électrostatiques peuvent être obtenues indifféremment à 

partir des relations établies précédemment dans la jauge de Lorenz ou dans celle de 

Coulomb. Dans le premier cas, on prendra la limite statique. Le potentiel se réduit 

alors à 

 

ϕ(r,t) = 

et le champ électrique à 

ρ(r ′ ,t) 

4πε0||r − r ′ || d3 r ′ 

E(r,t) = − −−→ 

gradϕ(r,t) = 

ρ(r ′ ,t) 

4πε0 

r − r ′ 

||r − r ′ || 3 d3 r ′ 

conformément à (37). L’expression (43) du potentiel reste inchangée si la charge est 

mise en mouvement. Elle est en effet solution de l’équation de Poisson (39) découlant 

des équations de Maxwell. 

Une distribution de charges continue ne peut pas provoquer de divergence du champ 

électrique et donc son gradient, i.e. le potentiel électrique, est continu en tout point. Si 

on s’intéresse à une assemblée de charges ponctuelles, {qi}i situées en {ri}i, la densité 

de charge s’écrit 

ρ(r,t) = 

qiδ(r − ri) 

de sorte que le potentiel se réduit à 

ϕ(r,t) = qi 

4πε0||r − ri|| 

et le champ électrique comme 

i 

i 

E(r,t) = − −−→ 

gradϕ(r,t) = 

i 

qi 

4πε0 

r − ri 

||r − ri|| 3 

Notons que pour une unique charge à l’origine, ces relations se réduisent à (35) et (37), 

obtenues dans le cas d’une charge se déplaçant à vitesse v0 constante § 1.1.3.3., lorsqu’on 

pose v0 = 0. 

M 

E 

q 

q 

Figure 1 : [ Fig 1 Fig 2 ] Les relations (46) et (44) montrent que le champ 

électrique appartient aux plans de symétrie de la distribution de charges et est 

26 

M 

E 

q 

−q 

(43) 

(44) 

(45) 

(46)


perpendiculaire à ses plans d’antisymétrie (lois de Curie). La figure en présente 

une démonstration graphique. 

Les lignes équipotentielles ϕ(r) = Cste sont perpendiculaires au champ électrique 

E. En effet, lorsqu’on déplace un point M suivant d ℓ conduit à une variation du potentiel 

dϕ = ϕ(r + d ℓ) − ϕ(r) = −−→ 

gradϕ.d ℓ = − E.d ℓ 

de sorte que pour un déplacement de long d’une courbe équipotentielle, on a 

dϕ = 0 ⇔ E.d ℓ = 0 (47) 

Le champ électromagnétique est donc perpendiculaire à la courbe. 

1.2.1.2. Force de Coulomb et travail électrostatique 

La force (11) s’exerçant sur une charge q immobile au point r se réduit à 

F = q E(r,t) (48) 

Lorsque le potentiel vecteur A est nul, i.e. en l’absence de tout mouvement de charges, 

on a par définition du champ électrique (17) 

F = q E(r,t) = −q −−→ 

gradϕ(r,t) 

D’après (46), la force créée par une assemblée de charges {qi}i situées en {ri}i et 

s’exerçant sur une charge q immobile au point r est donc 

F = q E(r,t) = 

i 

qqi 

4πε0 

r − ri 

||r − ri|| 3 

La force électrique est une force beaucoup plus forte que la force de gravitation : deux 

sphères de cuivre de masse 63.57 g, totalement ionisées et distante de 1 m se repoussent 

avec une force équivalente à un poids de 7,2.1018 t. L’énergie potentielle électrostatique 

de la particule dans le champ E découle de F = − −−→ 

gradV : 

V = qϕ(r,t) (49) 

Le travail de la force de Coulomb lors d’un déplacement d ℓ de la particule est : 

δW = F.d ℓ = −q −−→ 

gradϕ.d ℓ = −qdϕ (50) 

i.e. correspond à la variation d’énergie potentielle comme attendu pour une force 

conservative. 

27


1.2.1.3. Champ électrique créé par un fil chargé 

On considère un fil infini portant une densité linéique de charge λ. Pour simplifier 

les calculs, on choisit l’axe (Oz) confondu avec le fil. 

La distribution de charge est invariante sous la translation dans la direction de (Oz) 

et sous la rotation d’axe (Oz). Dans le système de coordonnées cylindriques, le champ 

électrique est donc indépendant de la coordonnée z et de l’angle θ, i.e. E = E(r). Tous 

les plans perpendiculaires à l’axe (Oz) ainsi que tous les plans contenant l’axe (Oz) 

sont des plans de symétrie de la distribution de charge. Pour un point M quelconque, 

M appartient à deux plans de symétrie : le plan z = Cste contenant M ainsi que le plan 

contenant l’axe (Oz) contenant M. Le champ électrique au point M doit appartienir à 

l’intersection de ces deux plans, i.e. être dirigé suivant ur. On a donc finalement 

E = E(r)ur 

y 

z 

O 

θ 

z 

Figure 2 : [ Fig 1 ] Notations utilisées pour le calcul du champ électrique créé 

par un fil infini. 

α 

D’après (44), l’élément infinitésimal de champ électrique créé par un élément de 

longueur dℓ = dz sur le fil a pour composante sur ur 

dEr = d E.ur = dE cos α = 

r 

dE 

α 

λdz 

4πε0(z2 + r2 r 

√ 

) z2 + r2 Le champ électrique total est obtenu par intégration : 

Er = λr 

+∞ 

4πε0 −∞ 

dz 

(z 2 + r 2 ) 3/2 

En intégrant par rapport à l’angle α, i.e. en utilisant le fait que z = r tanα et donc 

28 

x 

(51)

dz = rdα/ cos 2 α ainsi que cos α = r/ √ z 2 + r 2 , il vient 

Er = λr 

+π/2 

4πε0 −π/2 

cos α 

= λ 

+π/2 

cos αdα 

4πε0r −π/2 

= λ 

4πε0r [sinα]+π/2 

−π/2 

= λ 

2πε0r 

r 

3 rdα 

cos 2 α 

Le potentiel est obtenu par intégration 

Er = − ∂ϕ 

 

⇔ ϕ = − Erdr = 

∂r λ 

lnr 

2πε0 


où on a utilisé le fait que ϕ ne dépend que de r du fait des symétries de la distribution 

de charge. 

Dans le cas d’un fil fini, on perd l’invariance par translation dans la direction (0z) 

et le plan médiateur du fil est le seul plan de symétrie perpendiculaire au fil. La direction 

du champ électrique ne peut donc être déterminée qu’aux points appartenant à ce plan. 

En plaçant l’origine au centre du fil, 

E(r,θ,z = 0) = E(r)ur 

puisque deux plans de symétrie (les plans (MOz) et (Oxy)) passent par le point M. 

Pour un fil de longueur 2L, la relation (51) devient 

Er = λr 

+L 

4πε0 −L 

dz 

(z 2 + r 2 ) 3/2 

de sorte que le changement de variable z = r tanα conduit à 

Er = λr 

√ 

Arcsin L/ r2 +L2 4πε0 − Arcsin L/ √ r2 +L2 cos αdα 

= λ 

4πε0r [sinα]Arcsin L/√ r 2 +L 2 

− Arcsin L/ √ r 2 +L 2 

= λ 2L 

√ 

4πε0r r2 + L2 1.2.1.4. Champ électrique sur l’axe d’une boucle circulaire chargée 

On considère une boucle de rayon R portant une densité linéique de charge λ. 

Pour simplifier les calculs, on choisit l’origine au centre de la boucle et l’axe (Oz) 

perpendiculaire au plan de la boucle. 

La distribution de charge est invariante sous la rotation d’axe (Oz) donc en 

coordonnées cylindriques, le champ électrique est indépendant de l’angle θ, i.e. E = 

29


E(r,z). Tous les plans passant par l’axe (Oz) ainsi que le plan z = 0 sont des plans 

de symétrie de la distribution de charge. Pour un point M quelconque, M n’appartient 

qu’à un seul plan de symétrie. Dans le système de coordonnées cylindriques, ce plan 

contient les vecteurs ur et uz du repère local. Par conséquent, Eθ = 0. Pour un point 

M dans le plan z = 0, M appartient à deux plans de symétrie : le plan z = 0 et le plan 

contenant M et l’axe (Oz). Au point M, le champ électrique appartient à l’intersection 

de ces deux plans et est donc dirigé suivant ur. Enfin, pour tout point M de l’axe, 

M appartient à une infinité de plan de symétrie dont l’intersection est l’axe (Oz). Le 

champ électrique y est donc dirigé suivant uz. 

y 

R 

dE 

z 

O 

z 

α 

Figure 3 : [ Fig 1 ] Notations utilisées pour le calcul du champ électrique créé 

sur l’axe par une boucle chargée. 

r 

Dans la suite, on se limite au calcul du champ sur l’axe. D’après ce qui précède 

E = Ez(z)uz 

D’après (44), l’élément infinitésimal de champ électrique créé par un élément de longueur 

dℓ = Rdθ sur la boucle a pour composante sur uz 

dEz = d λRdθ 

E.uz = dE cos α = 

4πε0(z2 + R2 z 

√ 

) z2 + R2 et donc en intégrant sur la boucle, il vient 

Ez = 

λRz 

4πε0(z 2 + R 2 ) 3/2 

2π 

0 

dθ = 

θ 

x 

λRz 

2ε0(z 2 + R 2 ) 3/2 

Puisque ϕ = ϕ(z) sur l’axe, le potentiel est facilement obtenu par intégration 

Ez = − ∂ϕ 

 

λR 

⇔ ϕ(z) = − Ezdz = 

∂z 2ε0(z2 + R2 ) 1/2 

On aurait pu également écrire le potentiel 

dϕ = 

λRdθ 

4πε0(z 2 + R 2 ) 1/2 

créé par un élément de longueur dℓ = Rdθ sur la boucle puis intégrer sur θ. 

30 

(52)


1.2.1.5. Champ électrique sur l’axe d’un disque chargé en surface 

On considère un disque de rayon R portant une densité surfacique de charge σ. Pour 

simplifier les calculs, on choisit l’origine au centre du disque et l’axe (Oz) perpendiculaire 

au plan du disque. 

La distribution de charge est invariante sous la rotation d’axe (Oz) donc en 

coordonnées cylindriques, le champ électrique est indépendant de l’angle θ, i.e. E = 

E(r,z). Tous les plans passant par l’axe (Oz) ainsi que le plan z = 0 sont des plans 

de symétrie de la distribution de charge. Pour un point M quelconque, M n’appartient 

qu’à un seul plan de symétrie. Dans le système de coordonnées cylindriques, ce plan 

contient les vecteurs ur et uz du repère local. Par conséquent, Eθ = 0. Pour un point 

M dans le plan z = 0, M appartient à deux plans de symétrie : le plan z = 0 et le plan 

contenant M et l’axe (Oz). Au point M, le champ électrique appartient à l’intersection 

de ces deux plans et est donc dirigé suivant ur. Enfin, pour tout point M de l’axe, 

M appartient à une infinité de plan de symétrie dont l’intersection est l’axe (Oz). Le 

champ électrique y est donc dirigé suivant uz. 

y 

R 

dE 

z 

O 

z 

α 

r 

θ 

x 

Figure 4 : [ Fig 1 Fig 2 ] Notations utilisées pour le calcul du champ électrique 

créé par le disque sur l’axe (à gauche) et champ électrique créé en tout point de 

l’espace (à droite). 

Dans la suite, on se limite au calcul du champ sur l’axe. D’après ce qui précède 

E = Ez(z)uz 

D’après (44), l’élément infinitésimal de champ électrique créé par un élément de surface 

du disque a pour composante sur uz 

dEz = dE cos α = 

σrdθdr 

4πε0(z2 + r2 z 

√ 

) z2 + r2 31


et donc en intégrant sur le disque, il vient 

Ez = σ 

4ε0 

Pour z > 0, on a donc 

Ez = σ 

2ε0 

2π 

0 

 

1 − 

alors que pour z < 0, on a 

Ez = − σ 

2ε0 

 

1 + 

R 

dθ 

0 

 

z 

√ 

z2 + R2 zr 

dr 

(z2 + r2 

σ z 

= −√ 

) 3/2 2ε0 z2 + r2 

z 

√ 

z2 + R2 Dans la limite R → +∞, on retrouve le champ électrique créé par un plan infini chargé. 

1.2.1.6. Champ électrique créé par un cylindre fini chargé en surface 

On considère un cylindre fini dont l’axe de révolution est dirigé suivant (Oz). 

On note σ la densité surfacique de charge, R le rayon du cylindre et 2L sa hauteur. 

Tous les plans passant par l’axe (Oz) sont des plans de symétrie de la distribution de 

charge. Pour un point M quelconque, M n’appartient qu’au plan de symétrie contenant 

également (Oz). Dans le système de coordonnées cylindriques, ce plan contient ur et uz 

et donc Eθ = 0. Pour tout point M de l’axe, M appartient à tous les plans de symétrie 

contenant (Oz) et donc est dirigé suivant leur intersection, i.e. suivant uz. Par ailleurs, 

la distribution de charge est invariante sous la rotation d’axe (Oz) donc en coordonnées 

cylindriques, le champ électrique ne dépend que de z : 

E(r = 0) = Ez(z)uz 

On découpe le cylindre en boucle d’épaisseur infinitésimale dz. Chacune de ces tranches 

porte une densité de charge σdz = λ et créé un champ électrique donné par (52). En 

intégrant sur la hauteur du cylindre, il vient 

Ez = σR 

L 

dz 

2ε0 −L 

= σR 

2ε0 

= σR 

2ε0 

z 

(z2 + R2 ) 3/2 

L 1 

−√ 

z2 + R2 

−L 

1 

(z − L) 2 + R 2 − 

32 

 

1 

 

(z + L) 2 + R2 R 

0 

(53)


Figure 5 : [ Fig 1 ] Champ électrique créé par un cylindre fini chargé en surface. 

1.2.1.7. Champ électrique créé par une demi-sphère 

On considère une demi-sphère de centre O, de rayon R et entièrement située dans le 

demi-espace z ≥ 0 (hémisphère nord). La surface porte une densité surfacique de charge 

+σ. On se placera dans le système de coordonnées sphériques. La distribution de charge 

est invariante par rotation d’angle φ. Par ailleurs, tous les plans contenant l’axe (Oz) 

sont des plans de symétrie de la distribution de charge. Par conséquent, le champ au 

centre est de la forme E(O) = Euz. Tout élément de surface dS = Rdθ × R sinθdφ 

sur la demi-sphère porte une charge dq = σdS et créé un champ dont la composante 

suivant uz est 

dEz = dE cos θ = − dq sin θdθdφ 

cos θ = −σ cos θ 

4πε0R2 4πε0 

En intégrant sur la demi-sphère, il vient le champ total 

 

Ez = 

dEz = − σ 

4πε0 

= − σ 

4πε0 

= − σ 

4ε0 

π/2 

0 

× 

2π 

cos θ sinθdθ dφ 

0 

 

− cos2 π/2 

θ 

× 2π 

2 0 

De la même manière, le potentiel créé par l’élement de surface à l’origine est 

dϕ = dq 

4πε0R 

= σR sinθdθdφ 

4πε0 

33


de sorte que le potentiel total est 

 

ϕ(0) = 

dϕ = σR 

π/2 2π 

sinθdθ dφ 

4πε0 0 0 

= σR 

[−cos θ] 

4πε0 

π/2 

0 × 2π 

= σR 

2ε0 

1.2.1.8. Champ électrique créé par une distribution sphérique non-uniforme 

On considère une sphère de centre O, de rayon R, portant une distribution 

surfacique de charge non-uniforme σ = σ0 cos θ dans le système de coordonnées 

sphériques. La distribution de charge est invariante sous la rotation d’angle φ. Par 

ailleurs, tous les plans contenant l’axe (Oz) sont des plans de symétrie de la distribution 

de charge. Par conséquent, le champ électrique au centre est de la forme E(O) = Euz. 

Tout élément de surface dS = Rdθ ×R sinθdφ sur la sphère porte une charge dq = σdS 

et créé un champ dont la composante suivant uz est 

dEz = dE cos θ = − dq σ0 

cos θ = − cos 

4πε0R2 4πε0 

2 θ sinθdθdφ 

En intégrant sur la demi-sphère, il vient le champ total 

 

Ez = 

dEz = − σ0dφ 

4πε0 

= − σ0 

4πε0 

= − σ0 

3ε0 

π 

× 

0 

cos 2 2π 

θ sinθdθ 

 

− cos3 θ 

3 

π 

0 

0 

× 2π 

De la même manière, le potentiel créé par l’élement de surface à l’origine est 

dϕ = dq 

4πε0R 


 

ϕ(0) = 

σ0 

= R cos θ sinθdθdφ 

4πε0 

dϕ = σR 

π 

4πε0 

= σR 

4πε0 

0 

2π 

cos θ sin θdθ 

 

− cos2 θ 

2 

π 

0 

 

=0 

34 

0 

×2π = 0 

dφ 

dφ

1.2.2. Application du théorème de Gauss 


Lorsque la distribution de charge présente suffisamment de symétries pour que la 

direction du champ électrique puisse être déterminée alors le champ électrique peut être 

calculé à partir du théorème de Gauss. 

1.2.2.1. Théorème de Gauss 

Le théorème de Gauss correspond à l’expression intégrale de l’équation de Maxwell- 

Gauss (10). D’après le théorème de Stockes (292), on a 

div E = ρ 

ε0 

⇔ 

 

S=∂V 

E.d S = 1 

ε0 

 

V 

ρ(r)d 3 r = Qint 

pour toute surface fermée S. Le flux du champ électrique à travers toute surface fermée 

est donc proportionnel à la charge totale contenue dans le volume enfermé par cette 

surface. 

On peut retrouver ce résultat à partir de l’expression (46) du champ électrique E 

d’une assemblée de charges. Le flux à travers la surface S du champ électrique E est en 

effet 

 

E.d 

S 

 

qi cos θdS 

S = E cos θdS = 

S 

S 4πε0 r 

i 

2 

qi 

= dΩ = 

S 4πε0 i 

qi 

ε0 

où θ est l’angle formé par E et d S, dΩ est l’élément infinitésimal d’angle solide sous 

lequel est vu l’élément de surface dS depuis l’origine. L’angle solide, i.e. la surface 

projetée sur la sphère de rayon unité est nul si l’origine n’appartient pas au volume 

V donc seules les charges à l’intérieur du volume V contribuent au flux du champ 

électrique. 

1.2.2.2. Conditions de passage du champ électrique 

On considère une surface portant une densité surfacique de charge σ. Le flux du 

champ électrique à travers le parallélépipède de surface S et d’épaisseur ǫ → 0 de la 

figure 6 est d’après le théorème de Gauss (54) 

E1.nS − E2.nS = σS 

ε0 

où n est un vecteur unitaire normal à la surface, E1 et E2 sont les champs électriques 

respectivement au dessus et en dessous de la surface (2) . On a donc 

E n 1 − E n 2 = σ 

ε0 

i.e. la composante normale à la surface du champ électrique est discontinue et présente 

un saut proportionnel à la densité de charge sur cette surface. 

(2) Pour être plus rigoureux, on pourra définir une courbe paramétrée r(λ) traversant la surface avec 

λ = 0 sur la surface. On définit alors le champ au-dessus comme E1 = lim λ→0 + E(r(λ)) et en dessous 

comme E2 = lim λ→0 − E(r(λ)). 

35 

ε0 

i∈V 

(54) 

(55)


+ 

+ 

+ 

A 

Figure 6 : [ Fig 1 ] Le champ électrique n’est pas conservée lors du passage 

d’une surface chargée. 

En intégrant le champ électrique sur un contour infinitésimal traversant la surface, 

il vient 

 

E.d 

−−→ 

ℓ = − gradϕ.dℓ = 0 ⇒ E1. −→ 

AB = E2. −→ 

AB 

où on a utilisé (17) en supposant que le potentiel vecteur A est nul puisqu’il n’y a pas 

de courant. On a donc continuité des composantes tangentielles du champ électrique 

à travers la surface. En présence d’un champ magnétique, l’équation de Maxwell- 

Faraday (4) et le théorème de Green-Ostrogradsky (291) conduisent à 

 

E.d 

−→ 

ℓ = rot E.d S 

∂ 

= − B.d 

∂t 

S 

En faisant tendre l’épaisseur du contour vers zéro, le membre de droite s’annule si le 

champ magnétique ne présente pas de divergence à la surface. Par conséquent, on a 

finalement 

E 1 

+ 

+ 

B 

E 2 

+ 

E2 = E1 + σ 

n (56) 

ε0 

Cette relation explique par exemple l’apparition d’une pression électrostatique à 

la surface des conducteurs chargés. En notant σ la densité surfacique de charge du 

conducteur, tout élément de sa surface dS porte une charge σdS et le champ électrique 

présente d’après (56) une discontinuité σ/ε0 à sa traversée. Si on isole par la pensée 

un élément de surface du reste du conducteur, par symétrie le champ électrique doit 

être égal de part et d’autre de dS. Le champ sous l’élément de surface est donc 

E.n = −σ/2ε0. Or à l’équilibre, le champ électrique s’annule en tout point à l’intérieur 

d’un conducteur parfait, i.e. Eint = 0. Par conséquent, le champ électrique créé par 

tous les autres éléments de surface du conducteur doit être E.n = σ/2ε0. L’élément de 

surface ressent donc une force de Coulomb (48) 

d F.n = σdS × σ 

2ε0 

= σ2 

dS 

2ε0 

36 

+ 

+

1.2.2.3. Champ électrique créé par un plan chargé 


On considère un plan d’équation z = 0 portant une densité surfacique de charge 

uniforme σ. Le plan z = 0, ainsi que tous les plans perpendiculaires au plan chargé 

sont des plans de symétrie de la distribution de charge. Tout point M appartient donc 

à une infinité de plan de symétrie dont l’intersection est une droite (HM) parallèle 

à l’axe (Oz). Par conséquent, le champ électrique est dirigé suivant uz. Par ailleurs, 

la distribution de charge est invariante sous les translations d’axe (Ox) et (Oy) de 

sorte que le champ électrique et le potentiel sont indépendants des coordonnées x et 

y. La distribution de charge est également invariante sous une dilatation z → z/b. 

Par conséquent, le champ électrique et le potentiel sont également indépendants de la 

coordonnées z. La condition de passage (56) du champ électrique à travers la surface et 

la symétrie par renversement z → −z imposent finalement la forme 

⎧ σ 

⎪⎨ uz, (z > 0) 

2ε0 E = 

⎪⎩ − σ 

(57) 

uz, (z < 0) 

2ε0 

1.2.2.4. Champ électrique créé par une sphère chargée en surface 

On considère une sphère de rayon R et de centre O portant une densité surfacique 

de charge σ uniforme. Tous les plans passant par le centre O de la sphère sont des plans 

de symétrie de la distribution de charge. Par conséquent, tout point M appartient à une 

infinité de plans de symétrie, i.e. tous les plans contenant la droite (OM). Le champ 

électrique appartient à tous ces plans, i.e. à leur intersection, et donc il radial. Par 

ailleurs, la distribution de charge est invariante sous toute rotation de centre O donc 

dans le système de coordonnées sphériques, le champ électrique ne dépend que de la 

distance r au centre de la sphère : 

E = Er(r)ur 

On considère une surface de Gauss Σ définie comme la sphère de centre O et de rayon 

r. Tout élément d S de cette surface est donc radial. Le flux du champ électrique est 

donc 

 

Σ 

E.d 

S = 

Σ 

 

Er(r)dS(ur.ur) = Er(r) dS = 4πr 

Σ 

2 Er(r) 

Le théorème de Gauss (§ 1.2.2.1.) s’écrit alors pour la surface Σ 

4πr 2 ⎧ 

⎪⎨ 0 si r < R 

Er(r) = 

⎪⎩ 

4πR2 ⎧ 

⎪⎨ 0 si r < R 

σ 

si r > R 

⇔ Er(r) = 

⎪⎩ 

σR2 si r > R 

ε0r2 ε0 

On note que le champ électrique à l’extérieur de la sphère est égale à celui d’une charge 

ponctuelle Q = 4πR2σ placée à l’origine. Le potentiel électrique ne dépend que de r 

pour les mêmes raisons de symétrie que E et donc la relation (17) avec A = 0 se réduit 

à 

Er(r) = − dϕ 

dr 

 

⇔ ϕ(r) = − 

37 

⎧ 

⎪⎨ C1 si r < R 

Er(r)dr = 

⎪⎩ 

σR2 ε0r + C2 si r > R 

(58)


où C1 et C2 sont des constantes d’intégrations. Par convention, on choisit limr→+∞ ϕ(r) = 

C2 = 0. De plus, la continuité du potentiel s’écrit pour r = R 

On a donc 

C1 = σR 

ε0 

⎧ 

σR 

⎪⎨ si r < R 

ε0 

ϕ(r) = 

⎪⎩ 

σR2 si r > R 

ε0r 

Figure 7 : [ Fig 1 ] Champ électrique créé en tout point de l’espace par une 

sphère chargée en surface. 

1.2.2.5. Champ électrique créé par une sphère chargée en volume 

On considère une sphère de rayon R et de centre O portant une densité volumique 

de charge ρ uniforme. Tous les plans passant par le centre O de la sphère sont des plans 

de symétrie de la distribution de charge. Par conséquent, tout point M appartient à 

une infinité de plans de symétrie, tous les plans contenant la droite (OM). Le champ 

électrique appartient à tous ces plans, i.e. à leur intersection, et donc il radial. Par 

ailleurs, la distribution de charge est invariante sous toute rotation de centre O donc 

dans le système de coordonnées sphériques, le champ électrique ne dépend que de la 

distance r au centre de la sphère : 

E = Er(r)ur 

On considère une surface Σ définie comme la sphère de centre O et de rayon r. Tout 

élément de cette surface est donc radial. Le flux du champ électrique est donc 

 

Ed 

 

S = Er(r)dS(ur.ur) = Er(r) dS = 4πr 2 Er(r) 

Σ 

Σ 

38 

Σ 

(59)



4πr 2 ⎧ 

⎧ 

4 ρ 

ρ 

⎪⎨ πr3 si r < R ⎪⎨ 

r si r < R 

3 ε0 

3ε0 

Er(r) = 

⇔ Er(r) = 

⎪⎩ 

4 ρ 

πR3 si r > R 

⎪⎩ 

ρ R 

3 ε0 

3ε0 

3 

si r > R 

r2 On note que le champ électrique à l’extérieur de la sphère est égale à celui d’une charge 

ponctuelle placée à l’origine O et affectée de la charge totale de la sphère Q = 4 

3πR3ρ. Ce 

résultat reste vrai quelque soit la distribution de charge pourvue qu’elle soit invariante 

sous toutes les rotations d’axe passant par O, i.e. qu’elle ne dépende que de r. Le 

potentiel électrique ne dépend que de r pour les mêmes raisons de symétrie que E et 

donc la relation (17) se réduit avec A = 0 à 

Er(r) = − dϕ 

⎧ 

⎪⎨ − 

⇔ ϕ(r) = − Er(r)dr = 

dr 

⎪⎩ 

ρ r 

3ε0 

2 

2 + C1 si r < R 

ρ R 

3ε0 

3 

r + C2 si r > R 

où C1 et C2 sont des constantes d’intégrations. Par convention, on choisit limr→+∞ ϕ(r) = 

C2 = 0. De plus, la continuité du potentiel s’écrit pour r = R 

On a donc 

C1 = ρ 

2ε0 

R 2 

⎧ ρ 

⎪⎨ 6ε0 

ϕ(r) = 

⎪⎩ 

ρ 

3ε0 

 

3R 2 − r 2 

si r < R 

R 3 

r 

si r > R 

1.2.2.6. Champ électrique créé par un cylindre infini chargé en surface 

On considère un cylindre infini dont l’axe de révolution est dirigé suivant (Oz). On 

note σ la densité surfacique de charge, R le rayon du cylindre. Tous les plans passant par 

l’axe (Oz) ainsi que tous les plans perpendiculaires à (Oz) sont des plans de symétrie de 

la distribution de charge donc le champ électrique est radial en tout point de l’espace. 

De plus, la distribution de charge est invariante sous la rotation d’axe (Oz) et invariante 

sous la translation suivant (Oz) donc en coordonnées cylindriques, le champ électrique 

ne dépend que de la distance r à l’axe (Oz) : 

E = Er(r)ur 

On considère une surface Σ définie comme le cylindre d’axe de révolution (Oz), de 

rayon r et de hauteur h. Le flux du champ électrique est la somme des flux du champ 

électrique à travers la base (d S = −rdθdruz) et le haut du cylindre (d S = rdθdruz) et 

à travers le côté (d S = −rdθdzuz). Le champ électrique étant radial, les flux à travers 

les deux premières surfaces sont nuls. Il reste 

 

Ed 

 

S = Er(r)dS(ur.ur) = Er(r) dS = 2πrhEr(r) 

Σ 

Cote 

39 

Cote 

(60)



 

0 si r < R 

2πrhEr(r) = 

σε0 × 2πRh si r > R ⇔ Er(r) 

⎧ 

⎨0 

si r < R 

= 

⎩ R (61) 

σε0 si r > R 

r 

La longueur infinie du cylindre conduit à un champ électrique en 1/r. Le potentiel 

électrique (17) avec A = 0 est donc pathologique puisqu’il diverge en lnr. 

1.2.2.7. Champ électrique créé par un cylindre infini chargé en volume 

On considère un cylindre infini dont l’axe de révolution est dirigé suivant (Oz). On 

note ρ la densité volumique de charge, R le rayon du cylindre. Tous les plans passant par 

l’axe (Oz) ainsi que tous les plans perpendiculaires à (Oz) sont des plans de symétrie de 

la distribution de charge donc le champ électrique est radial en tout point de l’espace. 

De plus, la distribution de charge est invariante sous la rotation d’axe (Oz) et invariante 

sous la translation suivant (Oz) donc en coordonnées cylindriques, le champ électrique 

ne dépend que de la distance r à l’axe (Oz) : 

E = Er(r)ur 

On considère une surface Σ définie comme le cylindre d’axe de révolution (Oz), de 

rayon r et de hauteur h. Le flux du champ électrique est la somme des flux du champ 

électrique à travers la base (d S = −rdθdruz) et le haut du cylindre (d S = rdθdruz) et 

à travers le côté (d S = −rdθdzuz). Le champ électrique étant radial, les flux à travers 

les deux premières surfaces sont nuls. Il reste 

 

Σ 

Ed 

S = 

Cote 

 

Er(r)dS(ur.ur) = Er(r) dS = 2πrhEr(r) 

Cote 


⎧ 

⎪⎨ πr 

2πrhEr(r) = 

⎪⎩ 

2 h ρ 

si r < R 

ε0 

πR 2 h ρ 

si r > R 

ε0 

⎧ ρ 

⎪⎨ 

r si r < R 

2ε0 

⇔ Er(r) = 

⎪⎩ 

ρ R 

2ε0 

2 

si r > R 

r 

La longueur infinie du cylindre conduit à un champ électrique en 1/r. Le potentiel 

électrique (17) avec A = 0 est donc pathologique puisqu’il diverge en lnr. Le cas d’un 

fil de charge linéique λ = πR 2 ρ correspond à l’abstraction R → 0 de sorte que potentiel 

et champ électrique s’écrivent 

Er(r) = λ 

2πε0r 

1.2.3. Résolution de l’équation de Laplace 

(62) 

λ 

⇔ ϕ = − lnr (63) 

2πε0 

40

1.2.3.1. Équations de Poisson et Laplace 


Dans le vide, i.e. en l’absence de charges, l’équation de Poisson (39) se réduit à 

l’équation de Laplace 

∆ϕ = 0 

Supposons qu’on connaisse le potentiel ϕ sur une surface S fermée délimitant un 

volume V ne contenant pas de charges. Si dans le volume V , on trouve une solution 

de l’équation de Laplace qui satisfasse aux conditions aux limites sur S alors cette 

solution est l’unique solution du problème. 

 

S 

En effet, en utilisant l’équation de Laplace et le théorème de Stockes (292), on a 

ϕ ∇ϕ.d 

S = 

 

∇ ϕ 

∇ϕ d 3 

r = 

 

ϕ∆ϕ + 

2 

∇ϕ d 3 

r = 

 

∇ϕ 2d3 r 

V 

V 

Supposons qu’on ait trouvé deux potentiels ϕ1 et ϕ2 satisfaisant aux conditions aux 

limites sur S. On doit donc avoir quelque soient les conditions aux limites 

 

 

 

ϕ1 − ϕ2 

∇ ϕ1 − ϕ2 dS = 

 

∇ ϕ1 − ϕ2 

2 d 3 r 

S 

Or ϕ1 et ϕ2 satisfont les mêmes conditions aux limites donc ϕ1 − ϕ2 = 0 en tout point 

de la surface S. Il en découle que ∇ 

ϕ1 −ϕ2 = 0 en tout point du volume délimité par 

la surface S, i.e. les potentiels sont égaux à une constante près. 

1.2.3.2. Potentiel dans un condensateur parallélépipédique 

On considère un parallélépipède dont les côtés sont L dans les directions (Ox) et 

(Oy) et e suivant (Oz). Les faces haut et bas sont maintenues à des potentiels égaux 

en valeur absolue mais de signes opposés, i.e. ϕ = ϕ0 en z = +e/2 et ϕ = −ϕ0 en 

z = −e/2. Les quatre autres faces sont maintenues à un potentiel ϕ = 0. 

A l’intérieur du condensateur, le potentiel satisfait l’équation de Laplace : 

∂2ϕ ∂x2 + ∂2ϕ ∂y2 + ∂2ϕ = 0 

∂z2 Cette équation aux dérivées partielles est à variables séparables. En posant 

il vient 

ϕ(x,y,z) = ϕx(x)ϕy(y)ϕz(z) 

1 

ϕx 

d2ϕx 1 

+ 

dx2 ϕy 

d2ϕy 1 

+ 

dy2 ϕz 

V 

d2ϕz = 0 

dz2 Or la somme de fonctions de x, y et z ne peut être nulle quelque soient x,y et z que si 

ces fonctions sont elles-mêmes constantes et donc indépendantes de x,y et z. On pose 

⎧ 

⎪⎨ 

⎪⎩ 

1 

ϕx 

1 

ϕy 

1 

ϕz 

d2ϕx = −α, 

dx2 d2ϕy = −β, 

dz2 d2ϕz = α + β 

dz2 ⇔ 

⎧ 

ϕx(x) = Ae √ −αx + Be − √ −αx 

⎪⎨ 

√ 

−βy − 

ϕy(y) = Ce + De 

⎪⎩ 

√ −βy 

√ 

α+βz − 

ϕz(z) = Ee + Fe √ α+βz 

41 

V


où le signe de α et β n’est pas connu a-priori de sorte que les exponentielles peuvent se 

réduire à des fonctions soit trigonométriques soit hyperboliques. La solution générale 

est finalement 

ϕ(x,y,z) = 

 

Aαe √ −αx 

+ Bαe −√−αx √ 

−βy 

Cβe + Dβe −√−βy 

× 

√ 

α+βz 

Eα+βe + Fα+βe −√α+βz dαdβ 

Les constantes d’intégration sont déterminées par les conditions aux limites, ici le 

potentiel sur les six faces. L’annulation du potentiel sur la face x = 0 pour tout y,z 

conduit à la contrainte 

Aα + Bα = 0 

ce qui signifie que la fonction ϕx(x) est une combinaison linéaire de fonctions sinus 

(trigonométriques ou hyperboliques). L’annulation du potentiel sur la face x = L pour 

tout y,z conduit à 

sin( √ αL) = 0, α > 0 

sinh( |α|L) = 0, α < 0 

La seconde relation n’admet pas de solution autre que la solution triviale α = 0 qui 

conduit à ϕ(x,y,z) = 0. Par conséquent, la fonction ϕx(x) est de la forme Asin( √ αL) 

et la contrainte impose 

On a donc finalement 

√ π 

α = nx 

L , nx ∈ lN ∗ 

ϕx(x) = Gnx sin 

 

nxπ 

L x 

 

Le raisonnement est identique en ce qui concerne les deux faces y = 0 et y = L et 

conduit à 

 

nyπ 

ϕy(y) = Hny sin 

L y 

 

, ny ∈ lN ∗ 

Le potentiel sur les deux dernières faces est symétrique sous la transformation z → −z. 

Le potentiel doit donc être impair par rapport à z. La fonction ϕz(z) ne peut être qu’une 

combinaison linéaire de sinus hyperboliques. Le potentiel se réduit finalement à 

ϕ(x,y,z) = 

+∞ 

nx,ny=1 

 

nxπ 

Inx,ny sin 

L x 

 

nyπ 

sin 

L y 

 

sinh n2 + m2 π 

L z 

 

Il reste à imposer le potentiel sur une des faces z = ±e/2, cd qui donne dans les deux 

cas 

ϕ0 = 

+∞ 

nx,ny=1 

 

nxπ 

Inx,ny sin 

L x 

 

nyπ 

sin 

L y 

 

sinh n2 + m2 πe 

 

2L 

42


Multiplions les deux membres de la contrainte par sin pxπ 

L x sin pyπ 

L y puis intégrons 

sur x et y entre 0 et L : 

L 

pxπ 

ϕ0 sin 

0 L x 

L 

pyπ 

dx sin 

0 L y 

 

dy 

= 

+∞ 

L 

nxπ 

Inx,ny sin 

L x 

 

pxπ 

sin 

L x 

 

dx 

nx,ny=1 

L 

× 

0 

 

nyπ 

sin 

L y 

 

pyπ 

sin 

L y 

 

dy sinh n2 + m2 πe 

 

2L 

0 

La raison de ce choix est que les deux dernières intégrales sélectionnent ainsi le terme 

nx = px et ny = py de la somme. On a en effet la relation 

L 

 

nπ 

sin 

0 L x 

 

pπ 

sin 

L x 

 

dx = L 

2 δn,p 

Les deux premières intégrales s’écrivent quant à elles 

L 

pxπ 

sin 

L x 

 

dx = − L 

pxπ cos 

 

pxπ 

L x 

L 0 

0 

= − L px (−1) − 1 

pxπ 

Il reste finalement 

L L L px py 

ϕ0 (−1) − 1 × (−1) − 1 = Ipx,py 

pxπ 

pyπ 

2 

4 sinh 

 

p2 + q2 πe 

 

2L 

de sorte que 

Ipx,py = 4ϕ0 

π2 

px py (−1) − 1 (−1) − 1 

 

pxpy sinh 

p 2 x + p 2 y πe 

2L 

Les coefficients Ipx,py s’annulent lorsque px ou py est pair. Il en découle l’expression du 

potentiel dans le condensateur 

ϕ(x,y,z) = 16ϕ0 

π 2 

+∞ 

1 

nxny 

nx,ny=1,3,5,7,... 

-1 

-2 

-3 

-4 

0 

4 

3 

2 

1 

0 

0.2 0.4 0.6 0.8 

 

nxπ 

sin 

L x 

 

nyπ 

sin 

L y 

 

√ 

sinh n2 + m2 π 

Lz sinh √ n2 + m2 

πe 

2L 

43 

line 1 

0.6 

0.4 

0.2 

0 

1-0.6-0.4-0.2


Figure 8 : [ Fig 1 ] Potentiel électrique dans un condensateur parallélépipédique 

dont les deux armatures z = ±e/2 porte un potentiel ±ϕ0. Le potentiel est ici 

représenté dans le plan (xz). 

1.2.3.3. Potentiel dans un condensateur en forme de U 

On considère le dispositif de la figure (9). La surface située en x = 0 est maintenue 

à un potentiel ϕ0 et les surfaces semi-infinies en y = 0 et y = L à un potentiel nul. 

z 

Figure 9 : [ Fig 1 ] Condensateur en forme de “U”. 

y 

A l’intérieur du condensateur, le potentiel satisfait l’équation de Laplace : 

∂2ϕ ∂x2 + ∂2ϕ ∂y2 + ∂2ϕ = 0 

∂z2 L’invariance du dispositif sous une translation d’axe (Oz) impose que le potentiel ne 

dépende pas de z. Par séparation des variables, i.e. en posant ϕ(x,y) = ϕx(x)ϕy(y), 

l’équation de Laplace se réduit à (§ 3.2.3.1.) 

1 

ϕx 

d2ϕx 1 

= − 

dx2 ϕy 

d2ϕy = α = Cste ⇔ 

dy2 ⎧ 

⎪⎨ 

⎪⎩ 

1 

ϕx 

1 

ϕy 

x 

d2ϕx = α 

dx2 d2ϕy = −α 

dy2 Les deux équations différentielles (du second ordre à coefficients constants) admettent 

pour solution générale 

ϕx(x) = Aαe √ αx + Bαe −√ αx , ϕy(y) = Cαe √ −αy + Dαe −√ −αy 

Notons que le signe de α n’étant pas connu a-priori, les solutions sont des fonctions 

trigonométriques ou hyperboliques. La solution générale de l’équation de Laplace est 

finalement 

ϕ(x,y) = 

 

Aαe √ αx 

+ Bαe −√ 

αx 

Cαe √ −αy 

+ Dαe −√−αy 

dα 

44

En imposant la contrainte ϕ(x,y = 0,z) = 0 quelque soit x ≥ 0, il vient 

ϕ(x,0) = 


 

Aαe √ αx + Bαe −√ αx 

[Cα + Dα]dα = 0 ⇔ Cα + Dα = 0 

Par conséquent, l’expression du potentiel fait intervenir uniquement des fonctions 

sin √ αy si α > 0 et sinh √ αy si α < 0. En imposant à présent la contrainte 

ϕ(x,y = L,z) = 0 quelque soit x ≥ 0, on arrive à 

ϕ(x,L) = 0 = 

 

Aαe √ αx 

+ Bαe −√αx 

 

2iCα sin 

× 

√ αL, (α > 0) 

2Cα sinh √ αL, (α < 0) 

Il n’existe pas de solution non-triviale, i.e. α = 0 (α = 0 ⇒ ϕ = 0), à la seconde 

équation car sinhθ ne s’annule que lorsque θ = 0. En revanche, la première admet pour 

solutions 

sin √ αL = 0 ⇔ √ α = nπ 

L 

où n ∈ lN ∗ . En effet les solutions n < 0 ne sont pas indépendantes car sin − nπ 

L y = 

−sin nπ 

L y et ce changement de signe peut être absorbé dans la constante. On arrive 

à la forme générale 

ϕ(x,y) = 

+∞ 

n=1 

2iCn 

 

Ane nπ 

L x nπ − 

+ Bne L x 

nπ 

sin 

L y 

 

On doit nécessairement avoir An = 0 car le potentiel ne doit pas diverger à l’infini, i.e. 

infiniment loin de la plaque au potentiel ϕ0. Il reste alors 

ϕ(x,y) = 

+∞ 

n=1 

nπ − 

Ene L x 

nπ 

sin 

L y 

 

où on a posé En = 2iCnBn. Il reste à imposer la contrainte ϕ(x = 0,y) = ϕ0. En notant 

que 

L 

0 

 

nπ 

sin 

L y 

 

pπ 

sin 

L y 

 

dy = L 

2 δn,p 

on multiplie les deux membres de la contrainte par sin pπ 

L y et on intégre sur y entre 

0 et L : 

ϕ(x = 0,y) = ϕ0 ⇔ ϕ0 

L 

0 

⇔ ϕ0 

 

pπ 

sin 

L y 

 

dy = 

+∞ 

L 

En 

n=1 0 

 

− L 

pπ cos 

 

pπ 

L y 

L = 

0 

 

nπ 

sin 

L y 

 

pπ 

sin 

L y 

 

dy 

+∞ 

n=1 

⇔ − Lϕ0 p L 

(−1) − 1 = 

pπ 

2 Ep 

45 

L 

En 

2 δn,p


On arrive à la conclusion que En = 4ϕ0 

nπ 

reste finalement 

ϕ(x,y) = 4ϕ0 

π 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

0 

1 

1.2 

 

n=1,3,5,7,... 

0 0.2 0.4 0.6 0.8 

si n est impair et zéro dans le cas contraire. Il 

1 nπ 

e− L 

n x 

nπ 

sin 

L y 

 

0 

line 1 

0.2 0.4 0.6 0.8 1 

Figure 10 : [ Fig 1 ] Potentiel électrique dans un condensateur en forme de U. 

1.2.3.4. Potentiel et champ dans un condensateur diédrique 

On considère deux plans infinis formant entre eux un angle α et maintenus à des 

potentiels ϕ1 et ϕ2 respectivement. On choisit l’axe (Oz) sur l’intersection des deux 

plans et on utilise le système de coordonnées cylindriques. A l’intérieur du condensateur, 

le potentiel est solution de l’équation de Laplace (254). Les deux plans étant infinis, le 

système est invariant par translation dans la direction (Oz) donc le potentiel ne dépend 

pas de la coordonnée z. Le système est également invariant par changement d’échelle 

r → br de sorte que le potentiel ne dépend pas de r. L’équation de Laplace (254) se 

réduit alors à 

1 

r 2 

d2ϕ = 0 ⇔ ϕ(θ) = aθ + b 

dθ2 En imposant les conditions aux limites ϕ(0) = ϕ1 et ϕ(α) = ϕ2, on obtient finalement 

ϕ(θ) = ϕ2 − ϕ1 

θ + ϕ1 

α 

Le champ électrique est obtenu par dérivation : 

E = − −−→ 

grad ϕ = − 1 dϕ 

r dθ uθ = − ϕ2 − ϕ1 uθ 

α r 

46

1.2.3.5. Sphère maintenue à un potentiel constant 


On considère une sphère conductrice de centre O et de rayon R maintenue à un 

potentiel constant ϕ0 à sa surface. Le système est invariant sous toute rotation dont 

l’axe passe par O, en particulier les rotations d’angle θ et φ en coordonnées sphériques. 

Le potentiel est donc une fonction 

ϕ = ϕ(r) 

Pour tout r > R, le potentiel créé par la sphère satisfait l’équation de Laplace qui 

admet (253) pour solution en coordonnées sphériques. Le potentiel ne dépendant ni de 

θ ni de φ, seul le terme l = m = 0 contribue au potentiel. Il reste de (253) 

ϕ(r) = A0 + B0 

r 

Les constantes sont déterminées en imposant d’une part l’annulation du potentiel à 

l’infini ce qui conduit à A0 et d’autre part la valeur du potentiel à la surface de sphère : 

ϕ(R) = B0 

R = ϕ0 ⇔ B0 = ϕ0R 

On a donc, pour tout r ≥ R, 

R 

ϕ(r) = ϕ0 

r ⇔ E(r) = − −−→ 

gradϕ = ϕ0 

R 

r2ur D’après (59), la distribution de charge induite à la surface de la sphère par le potentiel 

ϕ0 est 

σR 2 

ε0 

= ϕ0R ⇔ σ = ε0ϕ0 

R 

1.2.3.6. Sphère à la terre plongée dans un champ uniforme 

On considère une sphère conductrice de centre O et de rayon R plongée dans un 

champ électrique uniforme Eex. = Eex.uz. La sphère est mise à la terre, i.e. le potentiel 

est nul à sa surface. La distribution de charge induite à la surface de la sphère est, comme 

le champ appliqué, invariante par rotation d’axe (Oz) donc le potentiel ne dépend pas 

de φ. Le potentiel créé par le champ électrique s’écrit d’après (17) 

Eex. = − −−→ 

grad ϕ = Eex.uz ⇔ ϕ(r,θ) = −Eex.z = −Eex.r cos θ 

Ce potentiel est créé par des charges ρex. qui se trouvent sur des plans infinis z = Cste 

renvoyés à l’infini, i.e. z → ±∞. Sous l’action du champ électrique Eex., les électrons 

de conduction de la sphère se redistribuent. A l’équilibre, des charges de polarisation 

ρpol. (accumulation ou déficit d’électrons) sont présentes à la surface de la sphère. En 

dehors de cette surface, la densité totale est nulle de sorte que l’équation de Poisson 

se réduit à une l’équation de Laplace. Puisque ρpol. = 0, le potentiel ϕpol. créé par 

la sphère conductrice satisfait également équation de Laplace. L’invariance du champ 

appliqué Eex., et donc de la distribution de charge de polarisation qu’il va créé, sous 

la rotation d’angle φ impose que le potentiel ne dépende pas de ϕ. Les coefficients Clm 

47


de la solution (253) de l’équation de Laplace en coordonnées sphériques sont donc nuls 

pour tout m = 0. Il reste 

ϕ(r,θ,φ) = 

+∞ 

l=0 

 

Elr l + Flr −(l+1) 

Pl(cos θ), (r > R) 

Rappelons que P m 

l (x) = Pl(x) (§ 3.3.0.2.). Infiniment loin de la sphère, toute divergence 

du potentiel est physiquement exclue de sorte qu’on doit avoir El = 0 pour l > 0. En 

outre, on fait le choix coventionnel d’une annulation du potentiel à l’infini : 

lim 

r→+∞ ϕ(r) = 0 ⇒ E0 = 0 

L’annulation du potentiel à la surface de la sphère, i.e. r = R impose 

ϕ(R,θ) = 0 = −Eex.R cos θ + 

+∞ 

l=0 

FlR −(l+1) Pl(cos θ) = 0 

dont il découle, puisque P1(cos θ) = cos θ, que Fl = 0 pour tout l = 1 et 

Eex.R = F1 

R 2 ⇔ F1 = Eex.R 3 

Le potentiel total est donc hors de la sphère 

et le champ électrique est 

3 R 

ϕ(r,θ) = Eex. − r cos θ 

r2 E = − −−→ 

 

3 

3 

2R R 

gradϕ = Eex. + 1 cos θur + Eex. − 1 sin θuθ 

r3 r3 = Eex. 

R3 r3 

2cos θur + sinθuθ + Eex.uz 

La sphère conductrice se comporte d’après (66) comme un dipôle de moment dipolaire 

p = 4πε0Eex.R 3 . La distribution de charge à la surface de la sphère est donnée par 

les conditions de passage du champ électrique (55). D’après le théorème de Gauss, le 

champ électrique est nul à l’intérieur de la sphère de sorte que 

En = E(R,θ).ur = 3Eex. cos θ = σpol. 

48 

ε0 

⇔ σpol. = 3ε0Eex. cos θ


1.2.3.7. Potentiel créé par une sphère non-uniformément chargée en surface 

On considère une sphère de rayon R et de centre O portant une densité surfacique 

de charge σ non-uniforme. Pour tout r = R, le potentiel créé par la sphère satisfait 

l’équation de Laplace dans les régions non chargées. Par conséquent, il est nécessaire 

de distinguer l’intérieur de l’extérieur de la sphère. On écrira la solution de l’équation 

de Laplace en coordonnées sphériques (253) dans ces deux régions sous la forme 

⎧ 

⎪⎨ 

ϕ(r,θ,φ) = 

⎪⎩ 

+∞ 

l 

l=0 m=−l 

+∞ 

l 

l=0 m=−l 

Clm 

Dlm 

 

Alr l + Blr −(l+1) 

Plm(cos θ)e imφ , (r < R) 

 

Elr l + Flr −(l+1) 

Plm(cos θ)e imφ , (r > R) 

Infiniment loin de la sphère, toute divergence du potentiel est physiquement exclue de 

sorte qu’on doit avoir El = 0 pour l > 0. En outre, on fait le choix conventionnel d’une 

annulation du potentiel à l’infini conduit à 

lim 

r→+∞ ϕ(r) = 0 ⇒ E0 = 0 

A l’intérieur de la sphère, on ne s’attend pas non plus à une divergence de ϕ à l’origine 

donc Bl = 0. Il reste 

⎧ 

+∞ l 

⎪⎨ 

ϕ(r,θ,φ) = 

⎪⎩ 

l=0 m=−l 

+∞ 

l 

l=0 m=−l 

Glmr l Plm(cos θ)e imφ , (r < R) 

Hlmr −(l+1) Plm(cos θ)e imφ , (r > R) 

où on a posé Glm = ClmAl et Hlm = DlmFlm. La continuité du potentiel en r = R 

impose la condition 

⇔ 

+∞ 

+∞ 

l=0 m=−l 

l 

l=0 m=−l 

l 

GlmR l 

π 

= 

+∞ 

GlmR l Plm(cos θ)e imφ +∞ 

= 

l 

l=0 m=−l 

0 

l 

l=0 m=−l 

HlmR −(l+1) Plm(cos θ)e imφ 

Plm(cos θ)Pl ′ 2π 

m ′(cos θ) sinθdθ e 

0 

i(m+m′ )φ 

dφ 

HlmR −(l+1) 

π 

⇔ GlmR l = HlmR −(l+1) 

0 


m ′(cos θ) sinθdθ e 

0 

i(m+m′ )φ 

dφ 

où on a multiplié par Pl ′ m ′(cos θ)eim′ φ avant d’intégrer et d’utiliser la relation 

d’orthogonalisation des polynômes de Legendre associés (275) et des exponentielles complexes. 

La discontinuité du champ électrique à la traversée de la surface de la sphère 

49


impose par ailleurs d’après (55) : 

 

∂ϕ 

− 

∂r 

⇔ 

+∞ 

l 

l=0 m=−l 

r→R + 

+ 

 

∂ϕ 

∂r r→R− (l + 1)HlmR −(l+2) + GlmlR l−1 

× 

π 

0 


m ′(cos θ) sinθdθ 

= 1 

 

ε0 

= σ(θ,φ) 

ε0 

0 

e i(m+m′ )φ dφ 

σ(θ,φ)Pl ′ m ′(cos θ)eim′ φ sinθdθdφ 

⇔ 2 (l+m)! 

(l+1)HlmR 

2l+1 (l−m)! 

−(l+2) +lGlmR l−1 = 

⇔ 2 (l + m)! 

2l + 1 

(l − m)! × 2π × (2l + 1)GlmR l−1 = 1 

⇔ Glm = R1−l 

4πε0 

 

(l − m)! 

(l + m)! 

ε0 

 

σ(θ,φ) 

Plm(cos θ)e −imφ sinθdθdφ 

 

ε0 

σ(θ,φ)Plm(cos θ)e −imφ sinθdθdφ 

σ(θ,φ)Plm(cos θ)e −imφ sinθdθdφ 

Pour alléger les notations, posons 

 

σlm = σ(θ,φ)Plm(cos θ)e −imφ sinθdθdφ 

Le potentiel s’écrit 

⎧ 

1 

⎪⎨ 4πε0 

ϕ(r,θ,φ) = 

1 

⎪⎩ 4πε0 

+∞ 

l 

l=0 m=−l 

+∞ 

l 

l=0 m=−l 

rl Rl−1 (l − m)! 

(l + m)! σlmPlm(cos θ)e imφ , (r < R) 

R l+2 

r l+1 

(l − m)! 

(l + m)! σlmPlm(cos θ)e imφ , (r > R) 

En introduisant la définition (276) des harmoniques sphériques, on obtient par exemple 

à l’extérieur de la sphère 

ϕ(r,θ,φ) = 1 

+∞ l R 

4πε0 

l+2 

rl+1 

4π (l − m)! 

2l + 1 (l + m)! σlmYlm(θ,φ) 

l=0 m=−l 

i.e. un potentiel de la forme (77) avec des moments multipolaires 

qlm = R l+2 

= R l+2 

= R l 

 

 

2l + 1 

4π 

(l − m)! 

(l + m)! σlm 

 

 

2l + 1 (l − m)! 

4π (l + m)! 

σ(θ,φ)Y ∗ 

lm(θ,φ)R 2 sinθdθdφ 

50 

σ(θ,φ)Plm(cos θ)e −imφ sinθdθdφ

conformément à (78). 


Figure 11 : [ Fig 1 ] Champ électrique créé par une sphère portant une 

distribution de charge σ(θ, φ) = σ0 cos θ. 

1.2.4. Développements multipolaires 

A grande distance d’une assemblée de charges, il est généralement suffisant de 

connaître le comportement dominant du champ électrique ou de manière équivalente 

du potentiel. 

1.2.4.1. Champ et potentiel créés par un dipôle 

On considère le dipôle électrique de la figure 12 formé de deux charges +q et −q 

séparées d’une distance d. Tous les plans contenant l’axe (Oz) sont des plans de symétrie 

de la distribution de charge. Pour tout M, le plan sous-tendu par les vecteurs ur et uθ 

du repère local dans le système de coordonnées sphériques est un plan de symétrie de 

la distribution de la charge de sorte que le champ électrique n’a pas de composante 

suivant uφ. Par ailleurs, la distribution de charge est invariante sous la rotation d’axe 

(Oz), i.e. d’angle φ, donc le champ électrique et le potentiel sont indépendants de la 

coordonnée φ. On peut se limiter au calcul dans un plan φ = Cste. 

D’après (45), le potentiel électrique créé au point r par le dipôle électrique est en 

utilisant les notations de la figure 12 : 

ϕ(r) = q 

4πε0 

1 

rA 

− 1 

 

rB 

51


d’où à l’ordre le plus bas 

ϕ(r) = q 

 

1 

4πε0 ||r − d/2.uz|| − 

 

1 

||r + d/2.uz|| 

= q 

 

 

1 

1 

− 

4πε0 d2 /4 + r2 − dr cos θ d2 /4 + r2 + dr cos θ 

= q 

1 + 

4πε0r 

d2 

−1/2 

d 

− cos θ − 1 + 

4r2 r d2 

−1/2 

d 

+ cos θ 

4r2 r 

= q 

 

1 − 

4πε0r 

1 

 

2 d d 

− cos θ − 1 − 

2 r2 r 1 

2 d d 

1 

+ cos θ + O 

2 r2 r r2 

= qd cos θ 

 

1 

+ O 

4πε0r2 r3 

Le potentiel s’écrit alors à grande distance du dipôle 

ϕ(r) = 1 

4πε0 

p. −−→ 

 

1 

grad = 

r 

p.r 

4πε0r3 où on a introduit le moment dipolaire 

p = q d 

d 

+q 

0 

−q 

Figure 12 : [ Fig 1 ] Dipôle électrique. 

Le champ électrique dérive de l’expression (64) : 

E = − −−→ 

 

pcos θ 

grad 

4πε0r2 

= − p 

⎛ 

⎝ 

4πε0 

θ 

r 

A 

r 

r B 

 

∂ cos θ 

∂r r2 

 

1 ∂ cos θ 

r ∂θ r2 

 

1 ∂ cos θ 

r sin θ ∂φ r2 52 

⎞ 

⎠ 

 

= 

M 

p 

4πε0r 3 

⎛ 

⎝ 

(64) 

(65) 

⎞ 

2cos θ 

sinθ ⎠ (66) 

0


où on a utilisé l’expression (289) du gradient en coordonnées sphériques. On peut obtenir 

une expression générale en prenant le gradient de (65) en coordonnées cartésiennes : 

E = − 

⎛ 

 

∂ 

⎝ j 

∂xi i 

pjxj 

 

4πε0 j x2 ⎞ 

⎠ui 3/2 j 

= − pi 

 

i 4πε0 j x2 ui + 

3/2 

j 

3 

 

 

j 

2 

i 

pjxj 

 

4πε0 j x2 × 2xiui 3/2 

j 

= 1 

 

3 

4πε0 

(p.r)r p 

− 

r5 r3 (67) 

 

Figure 13 : [ Fig 1 Fig 2 ] A gauche, lignes équipotentielles créées par un dipôle 

formées de deux charges situées en (0 1 ) et (0 −1 ). A droite, direction du 

champ électrique. 

1.2.4.2. Dynamique d’un dipôle dans un champ électrique 

La résultante des forces de Coulomb (48) agissant sur un dipôle d’extension d très 

petite et placé dans un champ électrique non uniforme E(r) est 

F = F+q + F−q 

= q E( d/2) − q E(− d/2) 

≃ 

d≪1 q E(0) + q 

 

d. ∇ E − q 

q 

 

E(0) + d. ∇ E 

2 

2 

= q( d. ∇) E 

 

 

∂ ∂ ∂ 

= q px + py + pz 

E 

∂x ∂y ∂z 

Alors qu’un champ électrique accélère une particule chargée, le dipôle n’est sensible 

qu’au gradient du champ électrique. En revanche, un champ électrique uniforme induit 

un couple : 

(68) 

Γ0 = d 

2 ∧ F+q − d 

2 ∧ F−q = q d ∧ E = p ∧ E (69) 

53


Lors d’une rotation du dipôle d’un angle infinitésimal dθ, le travail du couple est 

δW = || Γ0||dθ = pE sin p, E dθ = pE sinθdθ 

La force de Coulomb étant conservative, le travail est égal et opposé à la variation 

d’énergie potentielle. L’énergie potentielle du dipôle est donc, à une constante près, 

V = −pE cos θ = −p. E (70) 

On retrouve également cette relation en utilisant le potentiel ϕ dont le champ électrique 

dérive. D’après (49), on a 

V = qϕ( d/2) − qϕ(− d/2) 

= qϕ(0) + q ∇ϕ. d 

2 − qϕ(0) + q ∇ϕ. d 

2 

= q ∇ϕ. d 

= −q d. E(0) 

= −p. E 

1.2.4.3. Développement multipolaire du potentiel électrique 

Le potentiel électrique (45) créé par une assemblée de charges {(qi,ri)}i au 

voisinage de l’origine est en tout point r loin de O 

ϕ(r) = 

i 

i 

qi 

4πε0||r − ri|| 

= qi 1 

 

4πε0 i r2 + r2 i − 2r.ri 

= 

 

qi 

1 + −2 

4πε0r 

i 

r.ri 

r2 + r2 i 

r2 −1/2 

 

qi 

≃ 1 − 

r≫ri 4πε0r 

i 

1 

 

−2 

2 

r.ri 

r2 + r2 i 

r2 

+ 3 

 

−2 

8 

r.ri 

r2 + r2 i 

r2 = 

 

qi 

1 + 

4πε0r 

i 

r.ri 1 r 

− 

r2 2 

2 

i 3 4(r.ri) 

+ 

r2 2 

2 

r2 

+ ... 

= 

 

qi 

1 + 

4πε0r 

r.ri 

2 1 (r.ri) 

+ 3 

r2 2 r4 − r2 i 

r2 

+ ... 

On écrit conventionnellement le potentiel sous la forme 

ϕ(r) = Q 

4πε0r + P.r 

+ 

4πε0r3 3 

µ,ν=1 

54 

2 

(71) 

+ ... 

Dµνxµxν 

+ ... (72) 

8πε0r5

avec 

Q = 

qi, 

i 

i 


 

P = qiri, Dµν = 

qi 3xiµxiν − δµ,νr 2 i 

Dans le cas d’une distribution de charges continue, on a de la même manière 

 

Q = ρ(r)d 3 r, 

 

P = ρ(r)rd 3 r, 

 

Dµν = ρ(r) 3xµxν − δµ,νr 2 d 3 r 

Le premier terme correspond au potentiel créé par la charge totale Q ramenée à l’origine, 

le second au potentiel créé par le moment dipolaire total P du système et le troisième 

au potentiel créé par le moment quadrupolaire Dµν. Le tenseur Dµν possède la 

propriété d’avoir une trace nulle et d’être symétrique. Il existe donc un système d’axes 

rendant Dµν diagonal. 

Figure 14 : [ Fig 1 ] Champ électrique créé par une assemblée de trois charges, 

toutes trois sur l’axe (Oz) : −q située au point d 

2 uz, +2q au point O et −q au 

point − d 

2 uz. Le potentiel est de la forme 

ϕ(r) = q 

4πε0 

= q 

4πε0 

 

− 1 

+ 

r+ 

2 

r 

 

− 

− 1 

r− 

1 

 

d 2 /4 + r 2 − dr cos θ 

= q d 

4πε0r 

2 

4r2 (1 − 3cos2 θ) 

de sorte que le champ électrique est 

E(r, θ) = − −−→ 

grad ϕ = qd2 

16πε0r 4 

+ 2 

r − 

3(1 − 3 cos 2 θ) 

−6 cos θ sin θ 

0 

55 

i 

 

1 

 

d2 /4 + r2 + dr cos θ 

 

(73)


1.2.4.4. Développement en série d’harmoniques sphériques du potentiel 

Dans le système de coordonnées sphériques, le potentiel électrique créé par une 

distribution de charges {(qi,ri)} peut s’écrire comme une série entière faisant intervenir 

les harmoniques sphériques Yl,m(θ,ϕ). On note γi l’angle entre r et ri de sorte 

qu’on a la relation 

cos γi = r.ri 

⎛ ⎞ ⎛ 

sinθ cos φ 

= ⎝ sinθ sinφ ⎠. ⎝ 

rri cos θ 

sinθi 

⎞ 

cos φi 

sin θi sinφi ⎠ 

cos θi 

 

= sinθ sin θi cos φcos φi + sinφsin φi + cos θ cos θi 

Lorsque r > ri, le potentiel s’écrit comme : 

ϕ(r,θ) = 1 

4πε0 

= 1 

4πε0 

= sinθ sin θi cos(φ − φi) + cos θ cos θi 

 

i 

 

i 

qi 

||r − ri|| 

qi 

r 2 + r 2 i − 2r.ri 

= 1 qi 

 

4πε0r 

i 1 + ri 

2 ri 

r − 2 r 

Le développement (71) du potentiel prend la forme 

ϕ(r) = 

i 

 

qi 

1 + 

4πε0r 

 

ri 

cos γi + 

r 

cos γi 

 

ri 

2 3cos 

r 

2 

γi − 1 

+ ... 

2 

Contrairement au calcul en coordonnées cartésiennes, on peut écrire tous les termes du 

développement. En effet, l’expression (74) fait apparaître la fonction génératrice (269) 

des polynômes de Legendre (§ 3.3.0.1.) 

ϕ(r,θ) = 1 

4πε0r 

 

i 

+∞ 

qi 

l=0 

 

ri 

l 

Pl(cos γi) 

r 

Lorsque ri > r, on factorise 1/ri au lieu de 1/r. En utilisant le théorème d’addition 

(278), il vient finalement 

ϕ(r) = 1 

4πε0r 

 

i 

qi 

+∞ 

l=0 

 

ri 

l 4π 

r 2l + 1 

l 

m=−l 

(74) 

(75) 

Y ∗ 

l,m(θi,φi)Yl,m(θ,φ) (76) 

où les coordonnées sphériques de ri sont ( ri θi φi ). De manière générale, on peut 

donc écrire 

ϕ(r) = 1 

+∞ 4π 

4πε0r 2l + 1 

l=0 

l 

m=−l 

56 

qlm 

r l Yl,m(θ,φ) (77)

où les moments multipolaires sont 

qlm = 

qir l iY ∗ 

l,m(θi,φi) 

i 


et donc pour une distribution continue 

 

qlm = ρ(r)r l Y ∗ 

l,m(θ,φ)d 3 r (78) 

En utilisant l’expression des premières harmoniques sphériques 

Y0,0 = 1 

 

3 

√ , Y1,0 = 

4π 4π cos θ, Y1,±1 

 

3 

= ∓ 

8π sinθe±iφ , 

 

5 

Y2,0 = 

16π (3cos2 

15 

θ − 1), Y2,±1 = ∓ 

8π cos θ sinθe±iφ 

15 

, Y2,±2 = 

32π sin2 θe 2iφ 

ou celle des polynômes de Legendre, les premiers termes du développement (76) 

redonnent (75). La relation d’orthogonalisation (277) des harmoniques sphériques 

permet d’inverser 

1.2.4.5. Champ électrique créé par un ellipsoïde chargé 

On considère l’ellipsoïde d’équation 

x 2 

a 

b 

y2 z2 

+ + 2 2 

= 1 (79) 

c2 L’ellipsoïde est uniformément chargé en volume. On note ρ la densité volumique de 

charge. On montre qu’en dehors de l’ellipsoïde, le potentiel est [5] 

ϕ(x,y,z) = ρ 

4πε0 

où u est solution de l’équation 

et 

x2 a2 y2 

+ 

+ u b2 z2 

+ 

+ u c2 + u 

+∞ 

πabc 1 − 

u 

x2 

a2 y2 

− 

+ s b2 z2 

− 

+ s c2 

ds 

+ s R 

= 1 

R = (a 2 + s)(b 2 + s)(c 2 + s) 

Dans l’ellipsoïde, le potentiel est 

ϕ(x,y,z) = ρ 

πabc 

4πε0 

+∞ 

0 

 

1 − x2 

a2 y2 

− 

+ s b2 z2 

− 

+ s c2 

ds 

+ s R 

Plus simplement, on peut déterminer le potentiel loin de l’ellispoïde en utilisant le 

développement de Taylor (71) du potentiel créé par une distribution continue de charge 

(43) : 

ϕ(r) ≃ 

r≫a,b,c 

 

1 

4πε0r V 

ρ(r ′ ) 

 

1 + r.r′ 1 

+ 

r2 2 

57 

 

3 (r.r′ ) 2 

r′2 

− 

r4 r2 

d 3 r ′


où l’intégration s’étend à l’ellipsoïde. Le terme d’ordre zéro correspond au potentiel créé 

par la charge totale de l’ellispoïde ramenée à l’origine : 

ϕ (0) (r) = 1 

 

ρ(r 

4πε0r 

′ )d 3 r ′ = q 

4πε0r 

où q = 4 

3πabcρ. Le terme d’ordre un 

ϕ (1) (r) = 

ρ 

4πε0r 3r. 

 

r ′ d 3 r ′ = 

V 

ρ 

4πε0r 3 

 

x 

x ′ d 3 r ′ 

+ y 

y ′ d 3 r ′ + z 

 

z ′ d 3 r ′ 

 

est nul car la distribution de charge est symétrique par rapport à l’origine de sorte que 

le moment dipolaire p = ρ 

V r d3r s’annule. En effet, on a par exemple 

 

 

x dxdydz = au abcdudvdw 

Ellips. 

Sph. 

= a 2 

bc 

Sph. 

= a 2 2π 

bc cos φdφ 

0 

 

=0 

 

r sinθ cos φ r 2 sin θdθdφdr 

2π 

0 

sin 2 1 

θdθ r 

0 

3 dr 

où on a d’abord réalisé le changement de variables u = x/a, v = y/b et w = z/c 

transformant (79) en 

u 2 + v 2 + w 2 = 1 

i.e. l’équation d’une sphère de rayon 1. On est ensuite passé du système de coordonnées 

cartésiennes (u,v,w) au système de coordonnées sphériques (r,θ,φ). De la même 

manière, on montre que 

 

x d 3 

r = y d 3 

r = y d 3 r = 0 

Ellips. 

Ellips. 

Ellips. 

Le terme d’ordre deux 

ϕ (2) (r) = ρ 

 

3 

8πε0r r4 

(xx ′ + yy ′ + zz ′ ) 2 d 3 r ′ − 1 

r2 

(x ′2 

 

′2 ′2 3 ′ 

+ y + z )d r 

Les termes linéaires en x ′ , y ′ ou z ′ sont nuls. Les termes quadratiques conduisent à 

 

Ellips. 

x 2 

dxdydz = 

Sph. 

= a 3 

bc 

a 2 u 2 abcdudvdw 

Sph. 

= a 3 2π 

bc 

0 

2π 

r 2 sin 2 θ cos 2 φ r 2 sin θdθdφdr 

cos 2 φdφ 

π 

0 

sin 3 1 

θdθ 

π 

0 

r 4 dr 

= a 3 1 + cos2φ 

bc 

dφ (1 − cos 

0 2 0 

2 θ) sinθdθ 

= a 3 

bc × π × −cos θ + 1 

3 cos3 π θ × 1 

5 

= 4π 

15 a3 bc 

58 

0 

1 

0 

r 4 dr 

(80)

Par symétrie, on a 

 

Ellips. 

y 2 dxdydz = 4π 

15 ab3 c, 

Les termes croisés s’annulent : 

 

 

xy dxdydz = abuv abcdudvdw 

Ellips. 

Sph. 

= a 2 b 2 

c 

Sph. 

= a 2 b 2 2π 

c 

0 

= a 2 b 2 c × 1 

2 

 

Ellips. 

r 2 sin 2 θ cos φsin φ r 2 sinθdθdφdr 

cos φsin φdφ 

2π 

0 

sin2φdφ 

 

=0 

π 

0 

π 

0 

sin 2 1 

θdθ 

sin 2 θdθ 


z 2 dxdydz = 4π 

15 abc3 

0 

1 

0 

r 4 dr 

r 4 dr 

Les termes quadratiques contribuant au terme d’ordre deux du potentiel (80) sont 

ϕ (2) (r) = ρ 

 

3 

8πε0r r4 

(x 2 x ′2 2 ′2 2 ′2 3 ′ 1 

+ y y + z z )d r − 

r2 

(x ′2 

 

′2 ′2 3 

+ y + z )d r 

= ρ 4π 

× 

8πε0r 15 abc 

 

3 a2x2 + b2y2 + c2z2 r4 − a2 + b2 + c2 r2 

q 

= 

30πε0r5 

2 2 2 2 2 2 2 2 2 

a (3x − r ) + b (3y − r ) + c (3z − r ) 

Notons que dans le cas particulier d’une sphère, i.e. a = b = c = R, le moment 

quadrupolaire s’annule. En effet, le seul terme non nul est dans ce cas celui d’ordre 

zéro (§ 1.2.2.5.). 

1.2.5. Phénomènes d’influence électrostatiques 

1.2.5.1. Electrostatique des conducteurs parfaits 

Dans un isolant, les charges sont liées de manière rigide au matériau : elles n’ont 

aucune liberté de mouvement. Lorsqu’on applique un champ électrique, la force de 

Coulomb ressentie par les charges est compensée par une force de réaction. Pour des 

champs suffisamment forts, cette force de réaction devient insuffisant pour s’opposer à 

la force de Coulomb. On parle de tension de claquage. 

Dans un conducteur, certaines charges sont libres de se déplacer (ions dans les 

électrolytes, électrons de conduction dans les métaux). Lorsqu’on applique une champ 

électrique extérieur Eext., ces charges subissent une force de Coulomb 

 

Fi = qi 

Eext. + Eloc.(ri) = qi Etot.(ri) 

où Eloc. est le champ électrique créé par les autres charges qj (j = i) au point ri. A 

l’équilibre mécanique, la résultante des forces s’annule de sorte que 

Etot.(ri) = 0 

59


Comme on peut supposer que les charges remplissent tout le matériau, on s’attend donc 

à une annulation du champ électrique total en tout point du matériau. En conséquence 

de l’équation de Maxwell-Gauss (10), la densité de charge s’annule dans le conducteur 

0 = div E = ρ 

ε0 

⇒ ρ = 0 

Si le conducteur porte une charge totale non nulle, cette charge ne peut donc se trouver 

qu’à sa surface. 

Puisque le champ électrique est nul en tout point du conducteur, le potentiel ϕ doit 

y être constant. La surface du conducteur est donc une surface équipotentielle. D’après 

(47), le champ électrique est donc perpendiculaire à la surface du conducteur. Puisque 

le champ électrique est nul à l’intérieur du conducteur, la relation (55) conduit à 

Esurf. = σ 

n 

ε0 

Notons qu’on retrouve bien ce résultat dans le cas d’une sphère uniformément chargée 

en surface. Le potentiel est alors de la forme 

ϕsurf. = σR 

ε0 

⇔ σ = ε0ϕsurf. 

R 

Cette relation, exacte dans le cas d’une sphère, l’est également lorsque la surface du 

conducteur ressemble localement à une sphère. R est alors la courbure locale de la 

surface. Remarquons une forte courbure provoque une importante accumulation de 

charges. 

Supposons que le conducteur porte une charge Q. D’après (43), le potentiel créé 

par la charge à la surface du conducteur est 

ϕQ(r) = 1 

4πε0 

 

S 

σQ(r ′ ) 

||r − r ′ || dS(r′ ) 

Si la charge portée par le conducteur est Q ′ = αQ, on s’attend à une répartition 

identique des charges à la surface du conducteur mais avec une densité surfacique de 

charge σQ ′(r) = ασQ. Le potentiel est alors 

 

1 

ϕQ ′(r) = 

4πε0 S 

ασQ(r ′ ) 

||r − r ′ || dS(r′ ) = αϕQ(r) 

Le potentiel dépend donc linéairement de la quantité de charge totale portée par le 

conducteur : 

Q = Cϕ (81) 

où C est la capacité du conducteur. C −1 est le potentiel de surface du condcuteur 

lorsqu’il porte une charge totale Q = 1. 

60


1.2.5.2. Conducteurs en influence électrique 

Considérons un ensemble de n conducteurs portant des charges totales Q1,Q2,...Qn. 

Comme on l’a vu, le potentiel est constant à la surface de ces conducteurs. Le potentiel 

ϕi à la surface du i-ème conducteur dépend non seulement de la charge Qi mais aussi 

des charges Qj des autres conducteurs. La linéarité des équations de Maxwell suggère 

une relation 

Qi = 

Cijϕj ⇔ ϕi = 

(82) 

j 

j 

[C −1 ]ijQj 

généralisant la relation (81). Les éléments diagonaux Cii > 0 correspondent aux capacités 

des différents conducteurs. Les éléments non-diagonaux Cij < 0 décrivent 

l’apparition d’une charge par influence. En effet, le potentiel à l’extérieur des conducteurs 

est solution de l’équation de Laplace. La solution générale est une combinaison 

linéaire des différentes solutions particulières : ϕ(r) = 

α Aαϕα(r). Les constantes 

d’intégration Aα sont obtenues par fixant le potentiel sur la surface des conducteurs. 

On a donc un système d’équations linéraires : ϕ(r) = 

α Aαϕα(r) = ϕi pour tout 

r ∈ Si. La solution de ce système linéaire est de la forme : Aα = 

i Cαiϕi, i.e. les constantes 

d’intégration dépendent linéairement des potentiels à la surface des conducteurs. 

Le potentiel est finalement ϕ(r) = 

i,α Cαiϕiϕα(r). La charge de chaque conducteur 

est obtenue par le théorème de Gauss : 

 

Qi = ε0 

E.d 

S = −ε0 

Si 

Si 

−−→ 

gradϕ.d S = − 

j,α 

ε0Cαjϕj 

 

Si 

−−→ 

gradϕα.d S 

 

qui est bien de la forme (82) avec les coefficients d’influence Cij = −ε0 α Cαj 

−−→ 

gradϕα.d Si 

S. 

L’énergie électrostatique (27) s’écrit dans le volume vide V , i.e. excluant les corps 

chargés, 

 

E 2 (r) d 3 r 

HEM = ε0 

2 

V 

= − ε0 

 

E. 

2 V 

−−→ 

gradϕd 3 r 

= − ε0 

 

div 

2 V 

 

E. −−→ 3 ε0 

grad ϕ d r + ϕ div 

2 V 

E d 3 r 

= ε0 

 

 

 

ϕ 

2 

E.d 

Si − ε0 

 

ϕ 

2 

E.d S 

i 

Si 

où on a utilisé le fait que dans le vide, l’équation de Maxwell-Gauss (10) impose 

div E = 0. La dernière intégrale est négligeable si le volume V est très étendu et sa 

surface extérieure ∂V très éloignée des corps chargés. En utilisant le théorème de Gauss 

(54), il vient finalement 

HEM = ε0 

2 

 

i 

ϕi 

 

Si 

E.d Si = 1 

2 

et donc d’après (82), on a 

HEM = 1 

Cijϕiϕj = 

2 

1 

2 

i,j 

i,j 

61 

 

i 

∂V 

ϕiQi 

[C −1 ]ijQiQj


1.2.5.3. Influence totale et cage de Faraday 

On considère une assemblée de charges Qi de charge totale Q. On place ces charges à 

l’intérieur d’une enceinte fermée constituée d’un conducteur parfait. Le champ électrique 

est donc nul en tout point de l’enceinte. Le flux du champ électrique à travers toute 

surface contenue dans le conducteur est donc nul ce qui d’après le théorème de Gauss 

(54) implique que la somme des charges à l’intérieur est nulle. La face interne du 

conducteur porte donc une charge totale −Q distribuée de manière à totalement écranter 

la charge à l’intérieur de l’enceinte. Le conducteur étant initialement neutre, la charge 

sur la surface extérieure est +Q. 

Q 

4 

Q 

1 

Figure 15 : [ Fig 1 ] Cage de Faraday. 

Q 

2 

Q 

3 

1.2.5.4. Condensateurs plan, sphérique et cylindrique 

1.2.5.4.1. Condensateur plan 

On considère un condensateur plan constitué de deux plans conducteurs parallèles 

et séparés d’une distance a. Ces plans portent une densité surfacique de charge +σ et 

−σ. D’après (57), le champ électrique s’annule à l’extérieur du condensateur alors qu’à 

l’intérieur, la contribution de chacun des deux plans est de même signe et conduit à 

E = σ 

uz 

ε0 

Il en découle le potentiel 

σ 

ε0 

= − dϕ 

dz 

σ 

⇔ ϕ = − z 

La différence de potentiel entre les deux armatures est donc 

U 

a 

0 

ε0 

E.dℓ = ϕ(0) − ϕ(a) = σ 

a 

de sorte que la capacité de ce condensateur par unité de surface des armatures est 

C = σ 

U 

= ε0 

a 

ε0 

62

1.2.5.4.2. Condensateur sphérique 


On considère deux armatures sphèriques concentriques de rayons R1 et R2 > R1 

et de centre O. Chaque sphère porte une charge respectivement Q et −Q. D’après (58), 

le champ électrique est 

⎧ 

⎪⎨ 0, r < R1 et r > R2 

E = 

⎪⎩ 

Q 

4πε0r2ur, R2 > r > R1 

Il en découle le potentiel entre les deux armatures 

Q 

4πε0r 

= −dϕ 

dr 

⇔ ϕ = Q 

4πε0r 


U = ϕ(R1) − ϕ(R2) = Q 

4πε0 

1 

R1 

de sorte que la capacité de ce condensateur est 

C = Q 

U 

= 4πε0 

1 

R1 

− 1 

−1 R2 

1.2.5.4.3. Condensateur cylindrique 

= 4πε0 

− 1 

 

R2 

R1R2 

R2 − R1 

On considère deux armatures cylindriques infinies d’axe (Oz) et de rayons R1 et 

R2 > R1. Chaque cylindre porte une densité surfacique respectivement +σ et −σ R2 

R1 . 

D’après (61), le champ électrique est 

⎧ 

⎪⎨ 0, r < R1 et r > R2 

E = 

⎪⎩ 

σ R1 

r , R2 > r > R1 

ε0 

Il en découle le potentiel entre les deux armatures 

R1 

σε0 

r 

= −dϕ 

dr ⇔ ϕ = −σR1ε0 lnr 


U = ϕ(R1) − ϕ(R2) = σR1 

ε0 

ln R2 

R1 

de sorte que la capacité de ce condensateur est par unité de hauteur 

C = Q 

U 

= 2πR1σ 

U 

= 2πε0 

ln R2 

R1 

63


1.2.5.5. Influence d’une charge sur un plan conducteur 

On considère une charge q à une distance a d’un plan conducteur maintenu à un 

potentiel nul. On choisira l’axe (Ox) perpendiculairement au plan et passant par la 

charge q. Les coordonnées de la charge sont donc x = a et y = z = 0. 

Figure 16 : [ Fig 1 ] Lignes équi-potentielles au voisinage d’une charge en (1 0 ) 

et d’un plan conducteur remplissant le demi-espace x < 0. 

Le potentiel crée en tout point du demi-espace x > 0 par le plan conducteur 

est, comme on le vérifiera a-posteriori, identique à celui engendré par une charge image 

fictive −q symétrique de q par rapport au plan, i.e. au plan de coordonnées ( −a 

Le potentiel est alors 

0 0). 

⎧ 

⎪⎨ 

0, (x ≤ 0) 

 

ϕ(x,y,z) = q 1 

⎪⎩ 

4πε0 (x − a) 2 + y2 + z2 − 

 

1 

, 

(x − a) 2 + y2 + z2 (x > 0) 

Puisque, comme attendu, on a l’annulation du potentiel à la surface x = 0 du 

conducteur, le théorème d’unicité (§ 1.2.3.1.) permet de conclure que ce potentiel est 

équivalent à celui d’un plan conducteur et d’une charge. Le champ électrique dérive du 

potentiel 

E = − −−→ 

⎧ 

0, (x ≤ 0) 

⎪⎨ ⎡ 

gradϕ = 

q 

⎪⎩ 

⎣ 

1 

 

4πε0 (x − a) 2 + y2 + z2 ⎛ ⎞ 

x − a 

⎝ y ⎠ 

3/2 

z 

1 

− 

(x + a) 2 + y2 + z2 ⎛ ⎞⎤ 

x + a 

⎝ y ⎠⎦, 

(x > 0) 

3/2 

z 

Sur la surface du conducteur, le champ électrique est normal 

lim 

x→0 + 

E 

2qa 

= − 

4πε0 a2 + y2 + z2 3/2 ux 

dont il découle la densité surface de charge de polarisation : 

 

σpol. = ε0 lim 

x→0 + 

E − lim 

x→0− E 2qa 

.ux = − 

4π a2 + y2 + z23/2 64

1.2.5.6. Influence d’une charge sur une sphère conductrice 


1.2.5.6.1. Méthode des images 

On considère une sphère conductrice de rayon R et de centre O. La sphère est mise 

à la terre, i.e. son potentiel est nul en tout point. On place une charge électrique q sur 

l’axe (Ox) à une distance a de l’origine. 

R 

O a’ 

M 

q’ q 

a 

Figure 17 : [ Fig 1 Fig 2 ] A gauche, schéma de la charge q induisant une 

distribution de charge à la surface de la sphère conductrice et charge image q ′ . 

A droite, lignes équi-potentielles. 

Le problème peut être traité en remarquant que le potentiel créé par deux charges 

q et q ′ en des points x = a et x = a ′ sur l’axe (Ox) 

ϕ = 

s’annule à la surface d’une sphère : 

q 

 

4πε0 (x − a) 2 + y2 + z2 + 

q ′ 

 

4πε0 (x − a ′ ) 2 + y2 + z2 ϕ = 0 ⇔ (x − a) 2 + y 2 + z 2 = 

⇔ x 2 + y 2 

+ z 

2 q 

1 − 

q ′ 

 

2 

= 

de rayon R tel que 

 

1 − 

si on impose la contrainte 

 

q 

q ′ 

2 a ′ − a = 0 

 

q 

q ′ 

2 (x ′ 2 2 2 

− a ) + y + z 

q 

q ′ 

2 

 

q 

q ′ 

 

2 

R 2 

q 

= 

q ′ 

2 a ′2 2 

− a 

a ′2 − a 2 − 2x 

q 

q ′ 

2 a ′ 

− a 

De ces deux relations, il découle que 

q ′ = −q R 

a , a′ = R 2 /a 

Puisque le système des deux charges conduit comme attendu à l’annulation du potentiel 

à la surface de la sphère, le théorème d’unicité (§ 1.2.3.1.) permet de conclure que le 

potentiel en tout point de l’espace est 

ϕ(x,y,z) = q 

4πε0 

 

1 

(x − a) 2 + y 2 + z 2 − 

65 

R 

a (x − R 2 /a) 2 + y 2 + z 2


1.2.5.6.2. Équation de Laplace pour une charge et une sphère conductrice 

Pour simplifier les calculs, on place la charge non plus sur l’axe (Ox) mais sur l’axe 

(Oz) à une distance a du centre de la sphère. Le potentiel créé par la charge électrique 

s’écrit d’après (76) 

q 

ϕ(r,θ) = 

4πε0||r − auz|| 

q 

= √ 

4πε0 r2 + a2 − 2racos θ 

⎧ 

q 

r 

l Pl(cos θ), (r < a) 

⎪⎨ 4πε0a a 

l 

= 

q 

a 

l ⎪⎩ 

Pl(cos θ), (r > a) 

4πε0r r 

l 

où apparaît la fonction génératrice (269) des polynômes de Legendre. On peut aussi 

obtenir cette expression à partir des solutions (253) de l’équation de Laplace en 

coordonnées sphériques. L’invariance de la distribution de charge sous une rotation 

d’axe (Oz) impose l’indépendance du potentiel avec φ et donc on doit avoir Clm = 0 

pour tout m = 0. Pour identifier les constantes Cl0Al et Cl0Bl, on se place en θ = 0 de 

sorte que ||r − auz|| = |r − a|. On doit alors distinguer le cas r < a et r > a. 

Le potentiel créé par la sphère conductrice satisfait également l’équation de 

Laplace qui admet (253) pour solution en coordonnées sphériques. L’invariance sous 

la rotation d’angle φ impose que le potentiel ne dépende pas de ϕ et donc que Clm = 0 

pour tout m = 0. Rappelons que P m 

l (x) = Pl(x) (§ 3.3.0.2.). Dans le domaine r > R, 

l’absence de divergence du potentiel interdit l’existence d’un terme de la forme rl et 

donc impose l’annulation de Al. Il reste 

ϕ(r,θ) = 

+∞ 

l=0 

Elr −(l+1) Pl(cos θ) 

Dans le domaine a > r > R, le potentiel total est donc 

ϕ(r,θ) = q 

4πε0a 

 

l 

 

r 

l a 

Pl(cos θ) + 

Elr −(l+1) Pl(cos θ) 

L’annulation du potentiel total à la surface de la sphère impose 

q 

4πε0a 

 

l 

l R 

a 

Pl(cos θ) + 

ElR −(l+1) Pl(cos θ) = 0 ⇔ El = − q 

Il en découle le potentiel total dans le domaine a > r > R 

ϕ(r,θ) = q 

4πε0a 

 

l 

l 

 

r 

l Pl(cos θ) − 

a 

q 

4πε0a 

66 

 

l 

R 

a 

l 

4πε0 

l l+1 R 

Pl(cos θ) 

r 

R 2l+1 

a l+1

et donc pour r > a 

ϕ(r,θ) = q 

4πε0r 

 

l 

 

a 


r 

q 

4πε0a 

En écrivant le potentiel sous la forme 

ϕ(r,θ) = q 

4πε0r 

 

l 

 

a 


r 

qR/a 

4πε0r 

 

l 

R 

a 

 

2 R /a 

r 

l 


l l+1 R 

Pl(cos θ) 

r 

l 

Pl(cos θ) 

on met en évidence le fait que le potentiel créé par la sphère est équivalent à celui d’une 

charge ponctuelle q ′ = −qR/a se trouvant en a ′ = R 2 /a. 

1.2.5.7. Ligne chargée entre deux plans infinis à un potentiel nul 

On considère deux plans infinis y = 0 et y = a maintenus à un potentiel électrique 

nul. Entre ces deux plans, on place un fil infini dans la direction (Oz) passant par le 

point x = 0 et y = d et portant une densité linéique de charge λ. La distribution de 

charge est invariante par translation suivant l’axe (Oz) donc le potentiel électrique ne 

dépend pas de la coordonnée z. 

L’équation de Laplace s’écrit en coordonnées cartésiennes 

∂2ϕ(x,y) ∂x2 + ∂2ϕ(x,y) ∂y2 = 0 

En introduisant la séparation des variables 

ϕ(x,y) = ϕx(x)ϕy(y) 

l’équation de Laplace se réduit à 

1 

ϕx(x) 

d2ϕx 1 

= − 

dx2 ϕy(y) 

d2ϕy = k2 

dy2 Le choix de signe de la constante est purement arbitraire. On peut montrer que le choix 

−k 2 conduit à la même solution. Les solutions de ces deux équations sont 

ϕx(x) = Ce kx + De −kx 

ϕy(y) = Asin ky + B cos ky 

Le potentiel s’annule sur les plans y = 0 et y = a ce qui impose d’une part que B = 0 et 

de l’autre la quantification de la constante k : k = n π 

a . De plus, on choisit par convention 

d’annuler le potentiel à x → ±∞ ce qui impose D = 0 si x < 0 et C = 0 si x > 0. La 

solution générale de l’équation de Laplace est par conséquent 

⎧ 

⎪⎨ 

ϕ(x,y) = 

⎪⎩ ϕ(x,y) = 

+∞ 

n=1 

+∞ 

n=1 

π n 

cne a x 

sin n π 

a y 

 

, (x < 0) 

π −n 

dne a x 

sin n π 

a y 

 

, (x > 0) 

67

1.3. Magnétostatique 

La continuité du potentiel sur le plan x = 0 impose cn = dn, ∀n car les fonctions 

sinus forment une famille de fonctions orthogonales. La composante normale du champ 

électrique est discontinue quand on traverse le plan x = 0 qui contient la ligne chargée : 

⇔ − 

⇔ 

⇔ 

+∞ 

n=1 

Ex(x → 0+,y) = Ex(x → 0−,y) + λ 

δ(y − d) 

 

 

∂ϕ 

∂ϕ 

(x → 0+,y) = − (x → 0−,y) + 

∂x 

∂x 

λ 

δ(y − d) 

ε0 

n π 

a cn 

 

sin n π 

a y 

+∞ 

= − n 

n=1 

π 

a cn 

 

sin n π 

a y 

 

+ λ 

δ(y − d) 

ε0 

2π 

a 

+∞ 

n=1 

ε0 

 

ncn sin n π 

a y 

 

= λ 

δ(y − d) 

ε0 

En multipliant les deux membres par sin ′ π n ay et en intégrant sur [0;a], il vient pour 

le membre de gauche 

2π 

a 

+∞ 

n=1 

ncn 

a 

et pour le membre de droite 

λ 

ε0 

a 

0 

0 

δ(y − d) sin 

de sorte qu’il reste 

cn = λ 

 

sin n 

nπε0 

π 

a d 

 

La solution du problème est par conséquent 

⎧ 

⎪⎨ 

ϕ(x,y) = λ 

πε0 

⎪⎩ ϕ(x,y) = λ 

πε0 

 

sin n π 

a y 

 

′ π 

sin n 

a y 

 

dy = 2π 

+∞ 

a 

n=1 

 

′ π 

n 

a y 

 

dy = λ 

 

′ π 

sin n 

ε0 a d 

 

+∞ 

n=1 

+∞ 

n=1 

a 

ncn 

2 δn,n ′ = n′ πcn ′ 

1 

n sin 

 

n π 

a d 

 

π n 

e a x 

sin n π 

a y 

 

, (x < 0) 

1 

n sin 

 

n π 

a d 

 

π −n 

e a x 

sin n π 

a y 

 

, (x < 0) 

Le théorème d’unicité montre que cette solution est unique. Le champ électrique est 

d’après (17) avec A = 0 

E = − −−→ 

⎛ 

⎜ − 

⎜ 

grad ϕ = ⎜ 

⎝ 

∂ϕ 

+∞ λ 

 

= − sin n 

∂x aε0 n=1 

π 

a d 

 

sin n π 

a y 

 

π n 

e a x 

− ∂ϕ 

+∞ λ 

 

= − sin n 

∂y aε0 n=1 

π 

a d 

 

cos n π 

a y 

 

π n 

e a x 

− ∂ϕ 

⎞ 

⎟ , (x < 0) 

⎟ 

⎠ 

= 0 

∂z 

L’expression pour x > 0 diffère seulement par un signe − devant la composante Ex et 

dans les exponentielles. 

68



La magnétostatique correspond à l’étude des champs magnétiques créés par une 

assemblée de courants stationnaires, i.e. indépendants du temps. Le champ électrique est 

négligeable soit parce que les vitesses des charges sont suffisamment importantes pour 

que les effets magnétiques dominent, soit parce que les courants électriques circulent 

dans des conducteurs globalement neutres (la charge des ions du cristal compensent 

celle des électrons). 

1.3.1. Champ et force magnétiques créés des courants statiques 

1.3.1.1. Potentiel vecteur créé par des courants statiques 

Le potentiel vecteur créé par une distribution de courants statiques peut être obtenu 

indifféremment à partir des relations établies précédemment dans la jauge de Lorenz 

ou dans celle de Coulomb. Dans le premier cas, on prendra la limite non-relativiste 

c → +∞ des potentiels de Liénard-Wichert (31). Le potentiel vecteur se réduit alors à 

j r ′ ,t 

A(r,t) = µ0 

4π ||r − r ′ || d3r ′ 

solution de l’équation de propagation 

(83) 

∆ A = −µ0 j (84) 

On peut également obtenir ces relations à partir de la jauge de Coulomb. Si la 

densité de charge est nulle en tout point, le potentiel ϕ est nul et la relation (41) se 

réduit au potentiel retardé de Liénard-Wichert et donc, dans la limite non-relativiste, 

à (83). Si les courants sont statiques, on peut également utiliser le fait que le potentiel 

vecteur ne dépend pas du temps de sorte que A = ∆ A. La relation (42) se réduit alors 

à 

∆ A = µ0 −−→ 

∆ − grad div 

4π 

j r ′ ,t 

||r − r ′ || d3r ′ 

Si le potentiel vecteur est effectivement donné par (83), il vient 

∆ A = ∆ − −−→ 

grad div A 

compatible avec la condition de jauge de Coulomb div A = 0. 

1.3.1.2. Champ magnétique créé par une distribution de courant 

L’expression du champ magnétique (17) est obtenue en prenant le rotationnel du 

potentiel vecteur (83) : 

B(r,t) = −→ 

rot A(r,t) 

= µ0 

 

−→ 

rotr 

4π 

 

j r ′ ,t ′ 

 

||r − r ′ || 

= µ0 

−→ 

rotr 

4π 

j r ′ ,t ′ 

d 3 r ′ 

||r − r ′ || d3 r ′ + µ0 

4π 

= − µ0 

 

r − r 

4π 

′ 

||r − r ′ || 3 ∧j r ′ ,t ′ d 3 r ′ 

= µ0 

 

j 

4π 

r ′ ,t ′ r − r′ 

∧ 

||r − r ′ || 3 d3r ′ 

 

−−→ 

gradr 

69 

1 

||r − r ′ || 

 

∧j r ′ ,t ′ d 3 r ′


où on a utilisé (290), le fait que −→ 

rotr j r ′ ,t ′ = 0 puique la densité dépend de r ′ et 

qu’on dérive par rapport aux composantes de r. Enfin, on a utilisé −−→ 

gradr f(r − r ′ ) = 

−−→ 

gradr−r ′ f (3) . Il reste finalement la loi de Biot-Savart 

B(r,t) = µ0 

 

4π 

j(r ′ ,t) ∧ (r − r′ ) 

||r − r ′ || 3 d3 r ′ 

Dans le cas où les courants sont engendrés par le mouvement de charges ponctuelles 

{qi}i situées aux points {ri(t)} à l’instant t, la densité de courant (2) s’écrit 

j(r,t) = 

qivi(t)δ(r − ri(t)) 

de sorte que le champ magnétique se réduit à 

i 

B(r,t) = µ0 

4π 

 

qivi(t) ∧ 

i 

(r − ri(t)) 

||r − ri(t)|| 3 

On retrouve bien l’expression (38), obtenue dans le cas particulier d’une charge se 

déplaçant à vitesse constante. 

j 1 

B 1 

B 

B 2 

j 2 

Figure 18 : [ Fig 1 Fig 2 ] “Démonstrations graphiques” que le champ magnétique 

appartient aux plans d’anti-symétrie de la distribution de courant (à gauche) et 

qu’il est perpendiculaire aux plans de symétrie (à droite) en tout point de ces 

plans. 

(3) Pour s’en convaincre, on peut écrire chaque composante du gradient : 

∂f(x − x ′ ) 

∂x 

= 

∂f 

∂(x − x ′ ∂(x − x 

) 

′ ) 

= 

∂x 

70 

j 1 

∂f 

∂(x − x ′ ) 

B1 

B 2 

B 

j 2 

(85)


1.3.1.3. Champ magnétique créé par un fil parcouru par un courant 

Considérons le cas d’un fil conducteur. L’intégrale sur le volume de la relation (85) 

peut être décomposée en une intégrale curviligne le long du fil C et une intégrale sur la 

section perpendiculaire S à l’élément de longueur dℓ : 

B(r,t) = µ0 

 

j(r 

4π C S 

′ ,t) ∧ (r − r′ ) 

||r − r ′ || 3 dℓd S 

Lorsque le diamètre du fil est négligeable devant la distance à l’observateur, on peut 

faire l’approximation 

B(r,t) ≃ µ0 

 

Id 

4π C 

ℓ ∧ (r − r′ ) 

||r − r ′ || 3 

où on a introduit l’intensité électrique circulant dans le fil comme la quantité de 

charge traversant toute section S du fil par unité de temps : 

 

I = 

S 

j.d S = dq 

dt 

La loi de conservation de la charge (3) assure que cette intensité soit identique en tout 

point du fil. En effet, dans un volume V du fil, de sections S1 et S2, on peut écrire 

0 = d 

 

dt V 

ρd 3 

r = − 

V 

divjd 3 

r = 

où I(S1) est l’intensité traversant la surface S1. 

M 

S1 

j.d 

S − 

S2 

j.d S = I(S1) − I(S2) 

Figure 19 : [ Fig 1 ] Schéma du fil considéré. La ligne pointillée correspond 

à l’axe du fil, i.e. au contour d’intégration le long du fil C. En tout point M 

de ce contour, on définit la section S comme l’intersection du fil avec le plan 

perpendiculaire à l’axe au point M. Notons que les éléments d’intégration le 

long du contour d ℓ et sur la surface d S sont approximativement colinéaires pour 

un fil peu courbé. 

dS 

71 

(86) 

(87)


1.3.1.4. Forces de Lorentz et de Laplace 

Lorsque la vitesse des charges est suffisamment grande, le champ électrique (36) 

est négligeable devant le champ magnétique (38). La force de Lorentz subie par une 

charge q se réduit à 

F = qv(t) ∧ B(r(t),t) 

Le travail de la force de Lorenz est toujours nul : 

δW = F.d ℓ = q(v ∧ B).d ℓ = q(v ∧ B).vdt = 0 (88) 

Dans un conducteur, la force de Lorentz créée par un champ magnétique extérieur 

courbe la trajectoire des porteurs de charge et conduit à une accumulation de charges 

sur la surface (§ 1.4.1.6.). Il apparaît alors un champ électrique dans la direction à la 

fois perpendiculaire au champ magnétique et au courant. A l’équilibre mécanique, on 

a −e E − ev ∧ B = 0, i.e. E = −v ∧ B. Sous l’effet de ce champ électrique, les ions du 

cristal sont accélérés. La densité de charge des ions étant −ρ (pour assurer la neutralité 

du conducteur), la force subie par le cristal est 

 

F = − 

ρ Ed 3 

r = (ρv ∧ B)d 3 

r = 

 

jdSd 

ℓ ∧ 

B = 

Id ℓ ∧ B 

et est appelée force de Laplace. Pour un fil de longueur infinitésimale dℓ, la force de 

Laplace se réduit à 

d F = Id ℓ ∧ B (89) 

Contrairement aux forces magnétiques (88), le travail de la force de Laplace (89) n’est en 

général pas nul. En effet, considérons un fil parcouru par un courant de densité j = ρvr 

où ρ est la densité de charge et vr la vitesse relative par rapport au fil des charges. En 

présence d’un champ magnétique B, la force de Laplace conduit à un déplacement dℓ du fil. La vitesse du fil est ve = dℓ dt de sorte que, dans la limite non-relativiste, la vitesse 

absolue des charges est va = vr + ve. La force magnétique agissant sur les charges est 

par unité de volume 

F = ρ 

vr + ve ∧ B 

D’après (88), le travail de cette force lors du déplacement 

vr + ve dt des charges est 

nul donc on a 

ρ 

vr + ve ∧ B . vr + ve dt = 0 

⇔ ρ vr ∧ B .vedt + ρ ve ∧ B .vrdt = 0 

⇔ 

j ∧ B .dℓ = −ρ ve ∧ B .jdt 

où on a utilisé le fait que vr ∧ B .vr = 0. Le premier terme de (90) est le travail de la 

force de Laplace dont on voit qu’il est général non nul. 

72 

(90)

Q 

M N 

B 

P 

R 

O 

R’ 

m 


Figure 20 : [ Fig 1 ] Balance de Coton permettant la mesure d’un champ 

magnétique dans une région où il est uniforme. Le circuit mobile est un circuit 

plan constitué d’une portion rectiligne MN de longueur ℓ, comprise entre deux 

arcs conducteurs MQ et NP. Les centres de courbure de MQ et NP coïncident 

avec l’intersection de l’axe de rotation de la balance et du plan du circuit. 

L’équilibre de la balance est réalisé à l’aide de masses marquées que l’on place 

sur un plateau à l’extrémité d’un bras de la balance. L’équilibre correspond à 

l’égalité des moments dûs à la force de Laplace IℓBR et au poids mgR ′ d’où on 

tire B = mgR′ 

IℓBR . 

B 

O 

Figure 21 : [ Fig 1 ] La roue de Barlow est un disque conducteur de rayon R et 

d’épaisseur a mobile autour de son axe (Oz) et placé dans un champ magnétique 

uniforme B = Bzuz parallèle à son axe. Un contact glissant sur l’axe et un 

autre à la périphérie obtenu à l’aide d’une cuve à mercure permettent de faire 

circuler un courant I dans le conducteur. On suppose la densité de courant j 

indépendante de z. Pour tout cylindre de rayon r, d’épaisseur a et d’axe de 

révolution (Oz), la conservation de la charge impose 

I = 

 

C 

j. dS = a 

2π 

0 

 

2π 

jr(r, θ)ur + jθ(r, θ)uθ rdθur = ar jr(r, θ)dθ 

0 

73


Le moment total de la force de Laplace est donc 

Γ = a 

= a 

R 

0 

R 

0 

= aBz 

dr 

r 2 dr 

R 

0 

2π 

0 

2π 

0 

r 2 dr 

IBzR2 = − uz 

2 

rdθ rur ∧ (j ∧ B) 

2π 

0 

 

 

dθ ur ∧ jr(r, θ)ur + jθ(r, θ)uθ ∧ Bzuz 

dθ jr(r, θ)ur ∧ (ur ∧ uz) 

1.3.1.5. Champ magnétique créé par un fil rectiligne 

On considère le fil rectiligne infini de la figure (22). On choisit l’axe (Oz) dans la 

direction du fil. On suppose que le fil est parcouru par un courant uniforme d’intensité 

I. Tous les plans perpendiculaires au fil, i.e. z = Cste, sont des plans d’anti-symétrie 

de la distribution de courant donc le champ magnétique n’a pas de composante suivant 

(Oz), i.e. B.uz = Bz = 0. De plus, tous les plans contenant le fil sont des plans de 

symétrie de la distribution de courant. En tout point de l’espace M, il existe un plan de 

symétrie passant par M. Puisque ce plan contient ur et uz, le champ B, perpendiculaire 

aux plans de symétrie, est dirigé suivant B = Bθuθ dans un système de coordonnées 

cylindriques. Enfin, la distribution de courant est invariante par rotation d’angle θ et 

par translation d’axe (Oz) donc le champ magnétique ne dépend que de la distance r 

au fil : 

B = Bθ(r)uθ 

Tout élément de longueur dℓ = dzuz du fil contribue au champ magnétique. D’après 

les notations de la figure, la distance séparant dℓ du point M où on mesure le champ 

r 

magnétique est cos α . En outre, l’élément de fil dℓ et le vecteur joignant dℓ et le point 

M forment un angle π 

2 − α. Le produit vectoriel de la loi de Biot-Savart (86) fait par 

conséquent apparaître un terme en sin π 

2 − α = cos α. On a finalement 

B = µ0I 

4π 

+∞ 

−∞ 

cos 2 α 

r 2 cos αdzuθ 

En utilisant les notations de la figure, on fait le changement de variable z = r tan α et 

dz = r 

cos2 αdα de sorte qu’il vient 

Bθ = − µ0I 

4πr 

π/2 

−π/2 

cos αdα = µ0I 

2πr 

π/2 

0 

I 

dl 

cos αdα = µ0I π/2 µ0I 

sinα = 

2πr 0 2πr 

α 

r 

74 

M 

B 

(91)


Figure 22 : [ Fig 1 ] Contour d’intégration pour le calcul du champ créé par un 

fil infini. 

1.3.1.6. Champ magnétique créé par une boucle de courant 

On considère une boucle de courant circulaire de rayon R, de centre O et dans le 

plan z = 0 parcouru par un courant d’intensité I. Tous les plans contenant (Oz) sont des 

plans d’anti-symétrie pour la distribution de courant. Pour un point M quelconque, seul 

un de ces plans d’anti-symétrie contient à la fois M et (Oz). Puisque ce plan contient ur 

et uz, il en découle que Bθ = 0, i.e. B = Brur + Bzuz dans le système de coordonnées 

cylindriques. Sur l’axe, M appartient à une infinité de ces plans d’anti-symétrie de sorte 

que B est dirigé suivant leur intersection, i.e. suivant uz. Par ailleurs, l’invariance par 

rotation d’axe (Oz) de la distribution de courant impose l’absence de dépendance du 

champ magnétique avec θ. On a donc finalement 

B(r = 0,θ,z) = Bz(z)uz 

dB 

dl 

α 

R 

α 

Figure 23 : [ Fig 1 ] Champ magnétique créé par un élément de courant. 

z 

O 

θ 

L’élément infinitésimal de champ magnétique d B créé par un élément de courant 

dℓ = Rdθ est d’après la loi de Biot-Savart (86) 

dBz = dB cos α = µ0 Idℓ 

4π r2 R 

√ 

R2 + z2 I 

= µ0I 

4π 

x 

Rdθ 

R 2 + z 2 

R 

√ R 2 + z 2 

où on a utilisé le fait que d ℓ et r sont perpendiculaires. L’intégration sur la boucle de 

courant conduit à 

Bz = µ0I 

4π 

R2 (R2 + z2 ) 3/2 

2π 

dθ = 

0 

µ0I 

2 

75 

R 2 

(R 2 + z 2 ) 3/2 

(92)


Figure 24 : [ Fig 1 ] Champ magnétique créé par une boucle de courant dans 

le plan perpendiculaire à la figure. 

1.3.1.7. Bobines de Helmholz 

Une bobine de Helmholz est composée de deux boucles circulaires de courant 

identiques dans des plans parallèles z = −a et z = a. Le courant circule dans le 

même sens dans les deux spires. Le champ magnétique total est la somme des champs 

magnétiques créés par chacune des deux spires. D’après (92), on a 

Bz(z) = µ0I 

2 

 

R2 (R2 + (z − a) 2 + 

) 3/2 

Au centre du dispositif, le champ magnétique est non nul 

R 2 

B(0) = µ0I 

(R2 + a2 ) 3/2 

alors que sa dérivée s’annule 

 

dBz 

= − 

dz z=0 

3 

 

µ0I 

2 2 

2(z − a)R2 (R2 + (z − a) 2 + 

) 5/2 

R2 (R2 + (z + a) 2 ) 3/2 

 

2(z + a)R2 (R2 + (z − a) 2 ) 5/2 

 

= 0 

z=0 

et que sa dérivée seconde est nulle lorsque R = 2l. Ce dispositif permet donc d’obtenir 

un champ magnétique à peu près constant entre les deux bobines. 

76


Figure 25 : [ Fig 1 ] Champ magnétique créé par des bobines de Helmholz dans 

le plan perpendiculaire à la figure. 

1.3.1.8. Champ magnétique créé par un solénoïde cylindrique fini 

On considère un cylindre de rayon R, d’axe de révolution (Oz), de hauteur 2L 

et à la surface duquel circule un courant I le long des cercles formés de la section 

du cylindre et de plans perpendiculaires à son axe. On note n la densité de boucle 

de courant par unité de longueur. Ce système modélise un solenoïde dont les spires 

sont très serrées. Tous les plans contenant (Oz) sont des plans d’anti-symétrie pour 

la distribution de courant. Pour un point M quelconque, seul un de ces plans d’ antisymétrie 

contient à la fois M et (Oz). Puisque ce plan contient ur et uz, il en découle que 

Bθ = 0, i.e. B = Brur+Bzuz dans le système de coordonnées cylindriques. Sur l’axe, M 

appartient à une infinité de ces plans d’anti-symétrie de sorte que B est dirigé suivant 

leur intersection, i.e. suivant uz. Par ailleurs, l’invariance par rotation d’axe (Oz) de la 

distribution de courant impose l’absence de dépendance du champ magnétique avec θ. 

On a donc finalement 

B(r = 0,θ,z) = Bz(z)uz 

Par conséquent, chaque tranche d’épaisseur dz du cylindre contient ndz boucles de 

courant et crée un champ magnétique donné par (92). En intégrant sur la hauteur du 

77


cylindre, il vient 

Bz(z) = µ0nI 

2 

= µ0nI 

2 

= µ0nI 

2 

= µ0nI 

2 

= µ0nI 

2 

z+L 

dz ′ 

z−L 

Arctan(z+L)/R 

Arctan(z−L)/R 

Arctan(z+L)/R 

Arctan(z−L)/R 

R 2 

(R 2 + (z ′ ) 2 ) 3/2 

Rdα 

cos2 R 

α 

2 

R3 (1 + tan2 α) 3/2 

cos αdα 

 

 

(z + L) (z − L) 

sinArctan − sin Arctan 

R 

R 

 

z + L 

 

R2 + (z + L) 2 − 

 

z − L 

 

R2 + (z − L) 2 

où on a effectué le changement de variable z = R tanα pour le calcul de l’intégrale. 

Dans le cas d’un cylindre infini, le champ créé à l’intérieur du cylindre est 

lim 

L→+∞ Bz = µ0nI sin π 

2 

conformément au calcul (100). 

= µ0nI 

Figure 26 : [ Fig 1 ] Champ magnétique créé par un solénoïde cylindrique fini. 

1.3.1.9. Champ magnétique créé par un disque chargé en rotation 

On considère un disque de rayon R et d’axe de révolution (Oz) portant une densité 

surfacique de charge σ. Le disque est mis en rotation autour de l’axe (Oz) avec une 

pulsation ω. Les plans contenant l’axe (Oz) sont plans d’anti-symétrie de la distribution 

de courant donc pour tout point de l’axe (Oz), le champ magnétique total est suivant 

78 

(93)


uz. De plus, l’invariance par rotation d’axe (Oz) impose l’absence de dépendance du 

champ magnétique avec θ. On a donc en coordonnées cylindriques 

B(r = 0,θ,z) = Bz(z)uz 

z 

R 

M 

O 

dB 

θ 

[r 2+z 2] 

r 

dl 

1/2 

Figure 27 : [ Fig 1 ] Disque chargé en rotation. 

D’après les notations de la figure (27), la densité de courant parcourant un élément 

de surface dS = rdrdθ du disque est 

jS = σv = σrωuθ 

Sur l’anneau de rayons intérieur r et extérieur r + dr, l’intensité est 

dI = jSdr = σrωdr 

et circule suivant d ℓ = rdθuθ. D’après la loi de Biot-Savart (86), cet élément de longueur 

engendre un champ magnétique 

d B = µ0 dId 

4π 

ℓ ∧ (−rur + zuz) 

(r2 + z2 ) 3/2 

Puisque d ℓ est perpendiculaire à −rur + zuz, i.e. au vecteur joignant l’élément de 

longueur du point de mesure M du champ, il vient 

dB = µ0 dIdℓ 

4π r2 µ0 σr 

= 

+ z2 4π 

2ωdrdθ r2 + z2 de sorte que la projection de d B suivant uz est 

dBz = d B.uz = dB cos α = µ0 

4π 

Le champ magnétique est obtenu par intégration : 

Bz = µ0σω 

4π 

R 

0 

r3dr 

r2 + z2 2π 

dθ 

3/2 

0 

79 

z 

O 

σr2ωdrdθ r2 × 

+ z2 dB 

r 

dl 

r 

√ r 2 + z 2


A grande distance du disque, on a simplement 

Bz ≃ µ0σω 

2 

R 

0 

r3 µ0σω 

dr = 

z3 2z3 r 4 

4 

R 

0 

= µ0σωR 4 

De manière générale, on peut calculer l’intégrale exactement en exprimant r en fonction 

de l’angle α, i.e. en utilisant cosα = r/ √ r 2 + z 2 et 

Il vient alors 

 

z 

 

dr = d = − 

tanα 

z 

tan2 dα 

α cos2 α 

Bz = − µ0σωz 

2 

Arctan z 

R 

π/2 

En posant u = sinα, on a finalement 

Bz = µ0σωz 

2 

= µ0σωz 

2 

= µ0σωz 

2 

= µ0σω 

2 

= µ0σω 

2 

1 

√ z 

R2 +z2 

− 1 

1 − u 

u 

 

8z 3 

= − z 

sin 2 α dα 

cos3 α 

sin 2 π/2 

µ0σωz 

dα = 

α 2 Arctan z 

R 

 

1 

− 1 du 

u2 √ z 

R2 +z2 z 

√ R 2 + z 2 + 

√ R 2 + z 2 

z 2 + R 2 + z 2 − 2z √ R 2 + z 2 

√ R 2 + z 2 

(z − √ R 2 + z 2 ) 2 

√ R 2 + z 2 

z 

− 2 

 

1 − sin 2 α 

sin 2 α 

1.3.1.10. Champ magnétique créé par une sphère chargée en rotation 

cos αdα 

1.3.1.10.1. Champ magnétique créé par une sphère chargée en surface 

On considère une sphère conductrice de rayon R portant une densité surfacique de 

charge σ. La sphère est mise en rotation autour de l’axe (Oz) avec une pulsation ω. 

Les plans contenant l’axe (Oz) sont plans d’anti-symétrie de la distribution de courant 

donc pour tout point de l’axe (Oz), le champ magnétique total est suivant uz. De 

plus, l’invariance par rotation d’axe (Oz) impose l’absence de dépendance du champ 

magnétique avec θ. On a donc en coordonnées cylindriques 

B(r = 0,θ,z) = Bz(z)uz 

80

z 

M 

M 

φ 

O 

dB 

r 

θ 

z R 

2 2 1/2 

[r +(z −z) ] 

M 

dl 

z 

O 


Figure 28 : [ Fig 1 ] Sphère chargée en rotation et coupe dans le plan θ = Cste. 

D’après les notations de la figure (28), un élément de charge dq = σdS possède une 

vitesse rω. Il crée donc un courant de densité j = σv = σrω. L’intensité associée à une 

tranche dz de la sphère est alors dI = jRdθ. La loi de Biot-Savart (86) conduit donc à 

un élément de champ magnétique créé par un élément de courant Id ℓ = Irdφuφ 

d B = µ0 dId 

4π 

ℓ ∧ (−rur + (zM − z)uz) 

[r2 + (zM − z) 2 ] 3/2 

dont la composante suivant (Oz) est 

dBz = − µ0 σrωRdθ 

4π [r2 + (zM − z) 2 ] 3/2 r2dφ 

uφ ∧ ur .uz 

 

= µ0σωR 

4π 

r 3 

[r2 + (zM − z) 2 dφdθ 

3/2 

] 

En utilisant le fait que r = R sin θ et z = R cos θ, l’intégration sur la sphère conduit au 

champ magnétique créé à une distance zM de la sphère 

Bz(zM) = 

= µ0σωR 4 

4 π 

µ0σωR 

4π 

2 

0 

π 

A grande distance de la sphère, zM ≫ R, il reste 

où on a utilisé 

π 

0 

dθ sin 3 θ = 

Bz(zM) ∼ 

zM ≫R 

π 

0 

0 

µ0σωR4 π 

2 

−uz 

dB 

sin 

dθ 

3 θ 

 

R2 2 

sin θ + (zM − R cos θ) 23/2 sin 

dθ 

3 θ 

 

R2 2 

sin θ + (zM − R cos θ) 23/2 0 

dθ sin3 θ 

z 3 M 

r 

= 2 µ0σωR 

3 

4 

z3 M 

dθ sinθ(1 − cos 2 φ) = π cos φ − 

0 

1 

3 cos3 π φ = 2 − 

0 

2 

3 

81 

dl 

2π 

0 

= 4 

3 

dφ 

(94) 

(95)


Au centre de la sphère, i.e. zM = 0, l’argument de la puissance au dénominateur se 

réduit à R 2 (cos 2 θ + sin 2 θ) = R 2 et donc 

Bz(0) = 

4 π 

µ0σωR 

2 

0 

dθ sin3 θ 2 

= 

R3 3 µ0σωR 

1.3.1.10.2. Champ magnétique créé par une sphère chargée en volume 

On considère une sphère conductrice de rayon R portant une densité volumique 

de charge ρ. La sphère est mise en rotation autour de l’axe (Oz) avec une pulsation ω. 

Les plans contenant l’axe (Oz) sont plans d’anti-symétrie de la distribution de courant 

donc pour tout point de l’axe (Oz), le champ magnétique total est suivant uz. De 

plus, l’invariance par rotation d’axe (Oz) impose l’absence de dépendance du champ 

magnétique avec θ. On a donc en coordonnées cylindriques 

B(r = 0,θ,z) = Bz(z)uz 

z 

M 

M 

z 

O 

θ 

dB 

2 2 

[(z−z 

M 

) +r ] 1/2 

ϕ 

r 

dl 

R 

Figure 29 : [ Fig 1 ] Sphère chargée en rotation et coupe dans le plan θ = Cste. 

D’après les notations de la figure (29), un élément de charge dq = ρd 3 r décrit 

un cercle de rayon r sinθ avec une vitesse r sinθω. Il crée donc un courant de densité 

j = ρv = ρr sinθω. L’intensité associée dans l’élément de volume est alors Id ℓ = 

jd 3 r uθ = ρr sin θω × r 2 sin θdrdθdϕ uθ. La loi de Biot-Savart (86) conduit donc à un 

élément de champ magnétique dont la composante suivant (Oz) est 

dBz = µ0 ρωr 

4π 

3 sin 2 θdrdθdϕ 

(zM − z) 2 + d2 

π 

cos 

2 

 

− α 

= µ0 ρωr 

4π 


(zM − r cos θ) 2 + r2 sin 2 θ sinα 

= µ0ρω 

4π 

r3 sin 2 θdrdθdϕ 

(zM − r cos θ) 2 + r2 sin 2 r sinθ 

 

θ 

(zM − r cos θ) 2 + r2 sin 2 θ 

82 

z 

O 

dB 

r 

dl

A grande distance de la sphère, zM ≫ R, il reste 

dBz ∼ 

zM ≫R 

µ0ρω 

4πz3 r 

M 


et donc par intégration le champ magnétique est 

Bz ∼ 

zM ≫R 

µ0ρω 

4πz 3 M 

R 

0 

r 4 π 

dr sin 

0 

3 2π 

θdθ dϕ = 

0 


2µ0ρωR 5 

15z 3 M 

où on a utilisé (95). On peut retrouver ce résultat en empilant des sphères concentriques 

chargées en surface et en rotation à la même pulsation, i.e. en intégrant la relation (94) 

par rapport au rayon entre 0 et R. 

1.3.1.11. Champ magnétique créé par un cylindre chargé en rotation 

1.3.1.11.1. Cylindre chargé en surface en rotation 

On considère un cylindre de rayon R, d’axe de révolution (Oz) et de hauteur 2L. Il 

porte une densité de charge σ et tourne autour de son axe avec une pulsation ω. Tous 

les plans contenant (Oz) sont des plans d’anti-symétrie pour la distribution de courant 

donc sur l’axe (Oz), le champ magnétique est dirigé suivant uz. De plus, l’invariance 

par rotation d’axe (Oz) impose l’absence de dépendance du champ magnétique avec θ. 

On a donc en coordonnées cylindriques 

B(r = 0,θ,z) = Bz(z)uz 

Tout élément Rdθdz de la surface du cylindre porte une charge σRdθdz et a une vitesse 

Rω. Par conséquent, chaque tranche d’épaisseur dz du cylindre en rotation équivaut à 

une boucle parcourue par un courant Idz = σRωdz. On est ramené au cas d’un solénoïde 

cylindrique fini (§ 1.3.1.8.) avec nI = σRω. D’après (93), le champ magnétique sur l’axe 

est donc 

Bz(r = 0,θ,z) = µ0σRω 

2 

 

z + L 

R 2 + (z + L) 2 − 

 

z − L 

 

R2 + (z − L) 2 

1.3.1.11.2. Cylindre chargé en volume en rotation 

−→ 

L→+∞ µ0σRω 

On obtient un cylindre chargé en volume en empilant des cylindres chargés en 

surface, i.e. en intégrant le rayon entre 0 et R. Le champ magnétique total est donc 

Bz(r = 0,θ,z) = µ0σω 

2 

= µ0σω 

2 

 

(z + L) 

 

(z + L) 

R 

0 

rdr 

r 2 + (z + L) 2 

Le champ magnétique diverge pour un cylindre infini. 

R 

− (z − L) 

0 

 

rdr 

 

r2 + (z − L) 2 

 

R2 + (z + L) 2 − |z + L| 

 

− (z − L) R2 + (z − L) 2 − |z − L| 

83


1.3.2. Application du théorème d’Ampère 

De manière analogue au théorème de Gauss en électrostatique, lorsque la distribution 

de courant présente suffisamment de symétries pour que la direction du champ 

magnétique puisse être déterminée alors le champ magnétique peut être calculé à partir 

du théorème d’Ampère. 

1.3.2.1. Enoncé du théorème d’Ampère 

La circulation du champ magnétique le long d’un contour C fermé conduit en utilisant 

le théorème de Green-Ostrogradsky (291) et l’équation de Maxwell-Ampère 

(9) à 

 

C 

B.d 

ℓ = 

S 

−→ 

rot B.d 

S = µ0 j.d 

S 

S + 1 

c2 

d 

dt S 

E.d S 

où S est la surface délimitée par le contour C. Les conducteurs portant les courants 

étant généralement neutres, le champ électrique est nul. Dans la limite d’un contour 

d’extension infinitésimale dans la direction perpendiculaire à la surface S, il reste 

où 

 

C 

B.d ℓ = µ0Iint 

 

Iint = 

S 

j.d S 

est l’intensité totale des courants traversant la surface S. 

1.3.2.2. Conditions de passage du champ magnétique 

On considère la surface de la figure 30 parcouru par un courant de surface de 

densité j. L’équation de Maxwell-Gauss magnétique (5) impose la continuité de 

la composante normale du champ magnétique. En effet, le flux du champ magnétique 

à travers la boîte fermée de la figure 30 est en utilisant le théorème de Stockes (292) 

 

S 

B.d 

S = 

V 

div Bd 3 r = 0 

où V est le volume de la boîte. Pour une boîte d’épaisseur infinitésimale, il reste en tout 

point M de la surface 

B1.n1dS + B2.n2dS = 0 

où n1 et n2 sont des vecteurs unitaires normaux à la surface orientés respectivement 

vers le haut et le bas et B1 et B2 les champs respectivement au dessus et en dessous de 

la surface. Puisque n1 = −n2, il reste comme attendu 

( B1 − B2).n1 = 0 

84 

(96)

j 

B1 

B 2 


Figure 30 : [ Fig 1 ] Configuration utilisée pour établir les conditions de passage 

du champ magnétique. 

La circulation du champ magnétique le long d’un contour C fermé inscrit dans un 

plan perpendiculaire à la surface S conduit d’après l’équation de Maxwell-Ampère 

(9) à 

 

B.d 

C 

 

ℓ = 

S ′ 

−→ 

rot B.d 

S = µ0 

S ′ 

j.d S + 1 

c2 

d 

dt S ′ 

E.d S 

où S ′ est la surface délimitée par le contour C. Notons que l’intersection de S ′ et S est 

unidimensionnelle par définition de S ′ . Le dernier terme est nul car les conducteurs 

portant les courants sont généralement globalement neutres de sorte que le champ 

électrique est nul. Dans la limite d’un contour d’extension infinitésimale dans la direction 

perpendiculaire à la surface S, il reste 

B t 1 − B t 2 = µ0j.n ′ 

où n ′ est un vecteur normal à la surface S ′ délimitée par le contour C et B t 1 et B t 2 les 

composantes tangentielles du champ magnétique respectivement au dessus et en dessous 

de la surface. On pourra également écrire cette condition de passage sous la forme 

n ∧ ( B1 − B2) = µ0 j (97) 

où n est le vecteur unitaire perpendiculaire à la surface S et donc appartenant à la 

surface S ′ . Les composantes tangentielles du champ magnétique B présentent donc une 

discontinuité à la traversée de la surface dans la direction perpendiculaire au courant 

et proportionnelle à la densité de courant. 

1.3.2.3. Théorème d’Ampère pour un fil rectiligne 

On considère le fil rectiligne infini de la figure (22). Les mêmes considérations de 

symétrie que précédemment conduisent à la conclusion que B = B(r)uθ. Pour faciliter 

les calculs, le théorème d’Ampère (96) doit être appliqué le long d’un contour en tout 

point colinéaire à B et passant par M, i.e. sur le cercle de rayon r, de centre sur l’axe 

(Oz) et dans le plan z = Cste. Tout élément de longueur de ce cercle est de la forme 

dℓ = rdθuθ. La circulation du champ magnétique sur ce contour se réduit alors à 

 

B.d 2π 

ℓ = Bθ(r)rdθ(uθ) 2 2π 

= rBθ(r) dθ = 2πrBθ(r) 

et le théorème d’Ampère (96) conduit à 

2πrBθ(r) = µ0I ⇔ Bθ(r) = µ0I 

2πr 

ce qui correspond bien au résultat précédent (91). 

0 

85 

0 

(98)


1.3.2.4. Champ magnétique crée par un cylindre parcouru par un courant 

1.3.2.4.1. Cylindre parcouru par un courant de volume 

On considère un cylindre de rayon R, de hauteur infinie, dont l’axe de révolution 

est dirigé suivant (Oz) et parcouru par un courant uniforme I = πR 2 j suivant (Oz). 

Tous les plans perpendiculaires au cylindre, i.e. z = Cste, sont des plans d’anti-symétrie 

de la distribution de courant donc le champ magnétique n’a pas de composante suivant 

(Oz), i.e. B.uz = Bz = 0. Les plans contenant ur et uz en coordonnées cylindriques 

sont des plans de symétrie de la distribution de courant donc le champ magnétique 

leur est en tout point perpendiculaire et est dirigé suivant uθ. De plus, la distribution 

de courant est invariante par rotation d’angle θ et par translation d’axe (Oz) donc le 

champ magnétique ne dépend que de la distance r à l’axe (Oz) : 

B = Bθ(r)uθ 

On applique le théorème d’Ampère (96) sur le cercle de rayon r, de centre sur l’axe 



 

B.d 2π 




si r > R et à 

0 

2πrBθ(r) = µ0I ⇔ Bθ(r) = µ0I 

2πr 

2πrBθ(r) = µ0πr 2 j = µ0I 

 

r 

2 R 

0 

⇔ Bθ(r) = µ0I 

2π 

si r < R. On note qu’à l’extérieur du cylindre, le champ magnétique est identique à 

celui créé par un fil infini (98) dirigé selon (Oz) et portant un courant I. 

1.3.2.4.2. Cylindre parcouru par un courant de surface 

On considère un cylindre creux à la surface duquel circule un courant I dans la 

direction (Oz). Tous les plans perpendiculaires au cylindre, i.e. z = Cste, sont des plans 

d’anti-symétrie de la distribution de courant donc le champ magnétique n’a pas de 

composante suivant (Oz), i.e. B.uz = Bz = 0. Les plans contenant ur,uz en coordonnées 

cylindriques sont des plans de symétrie de la distribution de courant donc le champ 

magnétique leur est en tout point perpendiculaire et est dirigé suivant uθ. De plus, la 

distribution de courant est invariante par rotation d’angle θ et par translation d’axe 

(Oz) donc le champ magnétique ne dépend que de la distance r à l’axe (Oz) : 

B = Bθ(r)uθ 

On applique le théorème d’Ampère (96) sur le cercle de rayon r, de centre sur l’axe 



 

B.d 2π 



0 

86 

0 

r 

R 2 

(99)


⎧ 

⎨0 

si r < R 

Bθ(r) = 

⎩ µ0I 

2πr 

si r > R 


Le calcul du potentiel vecteur découle de la définition (17) à laquelle on ajoute le choix 

jauge de Coulomb (7). A l’extérieur du cylindre, on a 

B = −→ 

rot A ⇔ 

⎧ 

⎪⎨ 

⎪⎩ 

div A = 0 ⇔ ∂Ar 

∂r 

0 = 1 ∂Az 

r ∂θ 

µ0I 

2πr 

= ∂Ar 

∂z 

− ∂Aθ 

∂z 

− ∂Az 

∂r 

0 = 1 ∂(rAθ) 1 ∂Ar 

− 

r ∂r r ∂θ 

1 ∂Aθ 

+ 

r ∂θ 

+ ∂Az 

∂z 

Les considérations de symétrie imposent la forme A = Az(r)uz du potentiel vecteur. Le 

système d’équations partielles conduit alors à 

µ0I 

2πr 

= −∂Az 

∂r ⇔ Az = − µ0I 

2π lnr 

A l’intérieur du cylindre, le champ magnétique est nul donc le potentiel vecteur et 

constant. Par continuité en r = R, on obtient A = − µ0I 

2π lnRuz si r < R. 

Les câbles électriques sont souvent des câbles coaxiaux, formés d’un coeur cylindrique 

portant un courant I et d’une gaine également cylindrique portant un courant 

−I. A l’intérieur du câble, le champ magnétique est donc donné par (99) alors qu’à 

l’extérieur, le théorème d’Ampère (96) conduit à B = 0. Ce type de câble ne produit 

donc pas d’interférences magnétiques. 

1.3.2.4.3. Champ magnétique créé par un solénoïde cylindrique infini 

On considère un cylindre infini creux à la surface duquel circule un courant I le 

long des cercles formés de l’intersection du cylindre avec les plans perpendiculaires à 

son axe. On note n la densité de boucle de courant par unité de longueur. Ce système 

modélise un solenoïde dont les spires sont très serrées. Tous les plans perpendiculaires 

au cylindre, i.e. z = Cste, sont des plans de symétrie de la distribution de courant donc 

le champ magnétique est dirigé suivant uz. Les plans contenant ur et uz en coordonnées 

cylindriques sont des plans d’anti-symétrie de la distribution de courant donc le champ 

magnétique ne possède pas de composante suivant uθ. De plus, la distribution de 

courant est invariante par rotation d’angle θ et par translation d’axe (Oz) donc le 

champ magnétique ne dépend que de la distance r à l’axe (Oz) : 

B = Bz(r)uz 

On applique le théorème d’Ampère (96) sur le rectangle ABCD dans un plan θ = Cste 

et dont deux sommets ont pour coordonnés (r1 θ z1 ) et ( r2 θ z2 ). Deux des côtés 

87 

= 0


sont donc dirigés suivant ur et les deux autres suivant uz. Seuls ces derniers contribuent 

à la circulation du champ magnétique 

 

B.d ℓ = 

B 

A 

Bz(r)dr ur.uz + 

 

=0 

C 

B 

Bz(r1)dz(uz) 2 + 

= Bz(r1)(z2 − z1) + Bz(r2)(z1 − z2) 


 

 

Bz(r1) − Bz(r2) (z2 − z1) = 

D 

C 

Bz(r)dr ur.uz + 

 

=0 

A 

Bz(r2)dz(uz) 

D 

2 

⎧ 

⎪⎨ 

0 si r1,r2 < R 

µ0In(z2 − z1) si r1 < R, r2 > R 

⎪⎩ 

0 si r1,r2 > R 

Le champ magnétique est donc constant à l’intérieur et à l’extérieur du solénoïde et 

présente un saut à sa surface. En supposant que le solénoïde ne peut pas créer de 

champ magnétique non nul à l’infini, on a donc un champ nul en tout point extérieur 

au solénoïde et il reste 

 

µ0nI si r < R 

Bz(r) = 

(100) 

0 si r > R 

Le calcul du potentiel vecteur découle de la définition (17) à laquelle on ajoute le choix 

jauge de Coulomb (7). A l’intérieur du solénoïde, on a 

B = −→ 

rot A ⇔ 

⎧ 

⎪⎨ 

⎪⎩ 

div A = 0 ⇔ ∂Ar 

∂r 

0 = 1 ∂Az 

r ∂θ 

0 = ∂Ar 

∂z 

− ∂Aθ 

∂z 

− ∂Az 

∂r 

µ0nI = 1 ∂(rAθ) 1 ∂Ar 

− 

r ∂r r ∂θ 

1 ∂Aθ 

+ 

r ∂θ 

+ ∂Az 

∂z 

Ce système d’équations partielles est satisfait par une expression de la forme A = 

Aθ(r)uθ, imposé par les symétries et conduit à 

µ0nI = 1 ∂(rAθ) 

r ∂r ⇔ Aθ = µ0nI 

2 r 

A l’extérieur, le champ magnétique est nul donc le potentiel vecteur et constant. Par 

continuité en r = R, on obtient A = µ0nI 

2 Ruθ si r < R. 

Le champ magnétique est nul à l’extérieur du solénoïde, ce qui signifie qu’une 

charge en mouvement ne subit aucune force de Lorentz (11). Toutefois, le potentiel 

vecteur est non-nul et la mécanique quantique prédit une influence du potentiel vecteur 

sur la dynamique des particules (effet Aharonov-Bohm). 

88 

= 0

1.3.2.5. Champ magnétique créé par un tore 


On considère un tore formé d’un cylindre refermé en raccourdant ses deux 

extrémités. Le rayon intérieur du tore est noté R1 et le rayon extérieur R2. Comme 

le cylindre de départ, le tore est formé de N spires de rayon (R2 − R1)/2. Dans le 

système de coordonnées cylindriques, la distribution de courant est invariante sous la 

rotation d’axe (Oz), i.e. d’angle θ. En outre, tous les plans contenant l’axe (Oz) sont des 

plans de symétrie de la distribution de courant. Par conséquent, le champ magnétique 

est de la forme 

B = B(r,z)uθ 

Figure 31 : [ Fig 1 ] Tore. 

z 

O 

Appliquons le théorème d’Ampère à des cercles dans le plan z = 0, de rayon r et 

de centre O. La circulation du champ se réduit à 

 

B.d ℓ = 

2π 

0 

B(r,0)uθ.rdθuθ = 2pirB(r,0) 

Le courant traversant la surface dont le contour est le bord, i.e. le disque de rayon r est 

⎧ 

⎪⎨ 

0, r < R1 

Iint. = − NI, R1 < r < R2 

⎪⎩ 

− NI + NI = 0, r > R2 

Par conséquent, le champ magnétique est nul à l’extérieur du tore et vaut 

à l’intérieur du tore. 

B(r,0) = − µ0NI 

uθ 

r 

89

1.4. Electrocinétique 


1.4.1. Phénomènes résistifs 

1.4.1.1. Tension et travail électriques 

Entre les bornes A et B d’un circuit électrique, on définit la tension électrique 

UAB comme 

UAB = 

B 

A 

E.d ℓ (101) 

Elle est donc reliée au travail des forces électromagnétiques (14). D’après § 1.3.1.5., le 

courant parcourant le fil crée un champ magnétique (91). Si on peut négliger sa variation 

temporelle, la tension se réduit d’après (17) à la différence de potentiel en A et B : 

B 

−−→ 

UAB = − gradϕ.d 

A 

ℓ = ϕ(A) − ϕ(B) 

On retrouve l’expression du travail (50), au facteur q près. 

On considère le fil de la figure 19. Un champ électrique est appliqué à l’intérieur du 

fil et y produit un mouvement des charges. Ce courant engendre à son tour un champ 

magnétique (§ 1.3.1.5.). La loi de conservation de l’énergie (28) s’écrit pour le fil : 

ε0 

2 

∂ 

∂t 

 

lR 3 

E 2 + c 2 B 2 d 3 r = − 1 

µ0 

= −µ0 

 

 

Fil 

Fil 

div 

 

E ∧ B 3 

d r − j. Ed 3 r 

 

 

E ∧ B .dS − j. Ed 3 r 

où on a utilisé le théorème de Stockes (292). Si on suppose le champ électrique E 

uniforme sur une section du fil, on peut décomposer l’intégrale sur le volume : 

 

j. Ed 3 h 

r = jdS . Edℓ 

= 

= I 

0 

h 

= IU 

0 

h 

0 

 

S 

S 

E.d ℓ 

j.d 

S E.dℓ 

où on a utilisé le fait que d S et dℓ sont colinéaires et que l’intensité est la même pour 

toute section du fil. Il reste donc 

 

ε0 ∂ 2 2 2 

E + c B 

2 ∂t 

d 3 

 

r = −µ0 

E ∧ B .dS − UI (102) 

lR 3 

Le premier terme, i.e. le flux du vecteur de Poynting, correspond à la perte d’énergie 

utilisée pour créer le champ magnétique (91) et le second terme à l’énergie nécessaire 

pour entretenir le courant dans le circuit électrique. 

90 

Fil

j 

π 

E 

B 


Figure 32 : [ Fig 1 ] Champs électrique, magnétique et vecteur de Poynting 

dans un conducteur parcouru par un courant. 

1.4.1.2. Loi d’Ohm macroscopique 

L’étude de la dynamique des électrons dans les solides montre que la présence 

d’impuretés ou la diffusion par les phonons conduit à une relation linéaire, à l’ordre 

le plus bas, entre la densité de courant électrique et le champ électrique accélérant les 

électrons : la loi d’Ohm 

jµ = 

σµν(ω)Eν 

ν 

où σµν est le tenseur de conductivité électrique. On se limitera dans la suite au cas d’un 

matériau isotrope pour lequel la loi d’Ohm se réduit à 

j = σ E (103) 

Considérons de nouveau le fil de la figure 19. En intégrant la loi d’Ohm dans le fil 

entre deux sections S1 et S2, i.e. sur une hauteur h, délimitant un volume V , il vient 

h 

j.d 

Sdℓ = hI = σEd 3 r 

0 

V 

où on a utilisé la propriété que l’intensité est identique pour toute section du fil. Dans 

le cas d’un fil cylindrique homogène, i.e. avec une conductivité identique en tout point 

du fil, et un champ E supposé homogène, il reste 

h 

hI = σ E.d 

ℓ dS = SU 

0 

S 

On voit apparaître la définition (101) de la tension électrique U. Il reste finalement une 

relation linéaire entre tension et intensité : 

U = RI 

Le coefficient de proportionnalité R = h 

σS est appelé résistance électrique. L’énergie 

perdue par unité de temps, i.e. la puissance dissipée, est d’après (102) 

UI = RI 2 

(104) 

Microscopiquement, cela correspond à l’énergie cinétique des électrons transformée en 

chaleur et dissipée lors des collisions avec les impuretés ou les diffusions avec les phonons 

(effet Joule). 

91


1.4.1.3. Conditions de passage de la densité de courant 

A l’interface entre deux conducteurs isotrope de conductivité respectivement σ1 

et σ2, on doit avoir d’une part continuité des composantes normales à l’interface des 

densités de courant 

j1.n = j2.n (105) 

afin d’assurer l’absence d’accumulation de charges à l’interface. En effet, d’après (3) 

 

dQ1 ∂ 

= 

dt ∂t 

ρd 3 

r = − divj1d 3 

r = − j1.d S1 

V1 

de sorte que la condition (105) assure que 

 

dQ1 

= − 

dt 

j1.d 

S1 = j2.d S2 = − dQ2 

dt 

∂V1 

V1 

∂V2 

car d S1 = −d S2. Par ailleurs, la continuité des composantes tangentielles du champ 

électrique (§ 1.2.2.2.) conduit en utilisant la loi d’Ohm (103) à 

(E1)t = (E2)t ⇔ (j1)t 

1.4.1.4. Modèle de Drude 

σ1 

= (j2)t 

σ2 

Dans un conducteur, les atomes se séparent d’un ou plusieurs électrons, les électrons 

de conduction. Les ions s’organisent sous forme d’un réseau cristallin régulier alors 

que les électrons de conduction sont libres. Un électron donné “voit” en effet N 

ions et N − 1 électrons de conduction de sorte que pour N de l’ordre du nombre 

d’Avogadro, le milieu lui apparaît neutre. Toutefois, le cristal présente toujours des 

défaut d’empilements et contient d’autres atomes, non métalliques, sur lesquels les 

électrons diffusent. Classiquement, on pourra décrire la dynamique d’un électron comme 

celle d’une charge électrique q plongée dans un champ électrique homogène E et se 

déplaçant dans un milieu visqueux exerçant sur elle une force de frottement. Dans la 

limite non-relativiste, l’équation de la dynamique est donnée par 

m dv 

dt 

= −m 

τ v + q E (106) 

équation différentielle du premier ordre dont la solution est 

v(t) = qτ E 

m 

 

1 − e −t/τ 

où on a supposé les charges immobiles à l’instant t = 0. La densité de courant est donc 

j = ρqv = ρq2 τE 

m 

 

1 − e −t/τ 

≃ 

t≫τ 

ρq 2 τ 

m E 

Ce modèle classique simple permet donc de retrouver l’expression de la conductivité 

électrique : 

σ = ρq2 τ 

m 

92 

∂V1

1.4.1.5. Loi d’évolution de la charge dans les systèmes résistifs 


En introduisant la loi d’Ohm (103) puis la relation de Maxwell-Gauss (10) dans 

la loi de conservation de la charge (3), il vient 

divj + ∂ρ 

∂t = σ div E + ∂ρ 

∂t 

σ 

= ρ + 

ε0 

∂ρ 

∂t 

La résolution de cette équation différentielle donne la loi d’évolution de la densité de 

charge dans les systèmes résistifs : 

σ − ε t 

ρ(r,t) = ρ(r,0)e 0 

= 0 

(107) 

L’équilibre est atteint au bout d’un temps caractéristique ε0/σ de l’ordre de 10 −14 s 

dans les métaux. 

Considèrons à titre d’exemple une sphère de rayon R, de centre O, possédant une 

conductivité σ et une densité de charge initiale ρ0. La charge contenue à l’intérieure 

d’une sphère de rayon r à l’instant t est d’après la loi d’évolution (107) 

Q(t) = 4 

3 πr3 σ − ε t 

ρ0e 0 

D’après § 1.2.2.5., le champ électrique à l’intérieur de la sphère décroît exponentiellement 

E(r,t) = ρ0 

3ε0 

σ − ε t 

e 0 ur, (r < R) 

alors qu’il est constant hors de la sphère 

E(r,t) = ρ0 

3ε0 

R3 , (r > R) 

r 

car les charges s’accumulent à la surface de la sphère. 

1.4.1.6. Effet Hall classique 

En présence d’un champ magnétique B, le modèle de Drude (106) est facilement 

généralisé : 

F = m dv 

dt 

= −m 

τ v + q( E + v ∧ B) 

Dans le cas particulier d’un champ électrique dirigé suivant l’axe (Ox) et magnétique 

suivant (Oz), le régime permanent correspond à 

⎛ 

m − τ 

F = ⎝ vx + qEx + qvyB 

− m 

τ vy − qvxB 

− m 

τ vz 

⎞ 

⎠ = 0 

Si on n’applique aucun champ électrique suivant l’axe (Oz), il vient vz = 0, i.e. la 

trajectoire est inscrite dans le plan perpendiculaire au champ magnétique. Le champ 

magnétique a pour effet de courber la trajectoire des porteurs de charge. Si le conducteur 

est fini de largeur L, des charges viennent donc peu à peu s’accumuler sur les surfaces 

y = 0 et y = L. En notant σ(t) la densité surfacique de charge sur ces surfaces, le champ 

93


électrique induit par les charges en surface est de la forme EH = σ(t)/ε0 uy. Le régime 

permanent devient 

⎛ 

m − τ 

F = ⎝ vx + qEx + qvyB 

− m 

τ vy − qvxB + qσ(t)/ε0 

− m 

τ vz 

⎞ 

⎠ = 0 (108) 

L’accumulation de charge sur les surfaces cesse lorsque la force exercée par le champ 

électrique induit compense exactement la force magnétique, i.e. lorsque vy = 0 et donc 

EH = σ(t) 

ε0 

= vxB 

C’est l’effet Hall. La première des relations (108) redonne alors le régime permanent en 

l’absence de champ magnétique, i.e. 

lim 

t→+∞ vx(t) = qτ 

m E 

Le champ induit a donc pour expression 

EH = vxB = qτ 

m EB 

On définit la constante de Hall par la relation 

RH = EH 

IB = 

qτ 

m EB 

Nq2 EB = 

τ 

m 

1 

Nq 

En mesurant la différence de potentiel entre les deux surfaces latérales du conducteur, 

on peut estimer la constante qτ 

m . La mesure de la constante de Hall donne ensuite la 

charge q des porteurs de charge. 

1.4.2. Électrodynamique des supraconducteurs 

1.4.2.1. Équations de London 

Les supraconducteurs sont des conducteurs parfaits. A cause de l’absence de 

résistivité, les électrons répondent infiniment rapidement aux variations de champ 

électrique extérieur et se redistribuent à la surface de manière à ce que le champ 

électrique soit toujours nul dans le supraconducteur. S’il ne peut exister de courant 

de volume, il existe en revanche un courant de surface js dépendant des variations 

temporelles du champ électrique. Dans un métal, les électrons atteignent une vitesse 

limite à cause des processus de diffusion inélastiques par les défauts cristallins ou 

les impuretés (§ 1.4.1.4.). Dans un supraconducteur, les électrons sont indéfiniment 

accélérés par un champ électrique. L’équation de la dynamique (12) d’une charge q en 

présence d’un champ électrique E étant 

m dv 

dt = q E 

94


le courant de surface js = ρSqv où ρS est la densité de porteurs de charge en surface 

satisfait l’équation différentielle 

djs 

dt 

= ρsq dv 

dt 

= ρsq 2 

m E = 1 

Λ E 

où on a posé Λ = m/ρsq 2 . L’équation de Maxwell-Faraday (4) conduit à 

 

−→ djs 

rot 

dt 

Ces deux équations 

djs 

dt 

 

= 1 

Λ E, 

= 1 −→ 

rot 

Λ 

E = − 1 ∂ 

Λ 

B 

∂t 

−→ 

rotjs = − 1 

Λ B (109) 

ont été postulées en 1935 par les physiciens allemands Fritz et Heinz London pour décrire 

de manière phénoménologique l’électrodynamique des supraconducteurs. Notons que la 

seconde relation implique 

js = − 1 

Λ A 

ce qu’on peut retrouver en supposant que le système est dans l’état fondamental de 

sorte que l’impulsion des électrons est nulle : 

p 

 

=0 

−q 2 ρsq 

A = mvs ⇔ js = ρsqvs = − 

m A 

1.4.2.2. Effet Meissner généralisé 

Von Laüe montre en 1949 que les deux équations de London (109) permettent 

d’établir une forme plus générale de l’effet Meisner, i.e. de diamagnétisme parfait, 

que la relation M = −H. Le champ magnétique et le courant électrique décroissent 

exponentiellement dans le supraconducteur. En effet, l’équation de Maxwell-Ampère 

(9) conduit à 

−→ 

rot −→ 

rot ∂ B 

∂t 

−→ 

= rot ∂ 

∂t 

 

= µ0 −→ 

 

∂js 

rot 

∂t 

= µ0 

D’autre part, on a d’après (290) 

−→ 

rot −→ 

rot ∂ B 

∂t 

 

− 1 

Λ 

µ0 js + µ0ε0 

∂ B 

∂t 

+ ε0 

− ε0 

∂2 ∂t2 ∂ 3 B 

∂t 3 

−−→ 

= grad div ∂ B 

∂t − ∆ ∂ B 

∂t 

95 

∂ 

E 

∂t 

−→ 

rot 

E


En utilisant la relation de Maxwell-Gauss magnétique (5) et en identifiant ces deux 

relations, il vient l’équation de propagation du champ magnétique dans un supraconducteur 

: 

∆ ∂ B 

∂t 

= µ0 

Λ 

∂ B 

∂t 

1 

+ 

c2 ∂3B ∂t3 et donc, en excluant la solution ∂ B 

∂t 

i.e. sans effet Meissner, on a 

∆ B = µ0 

Λ B + 1 

c2 ∂2B ∂t2 = 0 qui correspond au cas d’un conducteur parfait, 

(110) 

Le premier terme du membre de droite conduit à une décroissance exponentielle du 

champ magnétique à l’intérieur d’un supraconducteur. Dans le cas d’un supraconducteur 

remplissant le demi-espace z > 0 par exemple, l’équation (110) se réduit dans la limite 

µ0/Λ ≫ 1/c 2 à 

∆ B = µ0 

Λ B ⇔ B(z) = B(0)e −√ µ 0 

Λ z 

On peut donc définir une longueur de pénétration du champ magnétique λ = Λ/µ0, 

généralement de l’ordre de 100 nm. On peut également montrer que les courants de 

surface sont limités à la couche superficielle du supraconducteur d’épaisseur λ. 

1.4.2.3. Conservation du flux magnétique dans un supraconducteur 

D’après l’équation de Maxwell-Faraday (4) et la première des équations de London 

(109), la variation temporelle du flux du champ magnétique à travers le supraconducteur 

est 

 

∂ 

∂t 

B.d 

−→ 

S = − rotE.d S = − 

On peut donc écrire la loi de conservation 

∂φ 

∂t 

= 0 

E.d 

∂js 

ℓ = −Λ 

∂t .dℓ où on a introduit un flux du champ magnétique généralisé : 

 

φ = 

B.d 

S + Λ 

js.d ℓ 

constant au cours du temps. Cette relation montre par exemple que l’application d’un 

champ magnétique B dans une cavité engendre des courants de surface qui annulent le 

champ magnétique à la surface du supraconducteur. 

1.4.3. Phénomènes d’induction magnétique 

96

1.4.3.1. Relation entre flux magnétique et tension 


L’équation de Maxwell-Faraday (4) impose qu’un champ magnétique dépendant 

du temps créé un champ électrique et donc une tension et une intensité dans une boucle 

fermée : 

 

∂ 

∂t S 

B.d 

−→ 

S = − rot 

S 

E.d 

S = − 

∂S 

E.d ℓ = −U = −RI (111) 

où S est la surface délimitée par le circuit électrique. On parle d’induction d’un courant 

électrique par un champ magnétique. 

dS 

dS(t+dt) 

dS(t) 

Figure 33 : [ Fig 1 ] Notations pour le cas d’un circuit en mouvement. 

Dans l’établissement de la relation (111), on a supposé que le champ magnétique 

variait au cours du temps alors que le circuit électrique restait immobile. Dans le cas 

général, on doit tenir compte de la vitesse v de chaque élément de longueur dℓ. Dans la 

limite non-relativiste v ≪ c, le champ électrique dans le référentiel du circuit est donné 

par (21) de sorte que la tension (101) dans le circuit est 

 

U = E ′ .d 

E 

ℓ = + v ∧ B .dℓ En utilisant l’équation de Maxwell-Faraday (4), il vient 

 

U = E.d 

ℓ − B. v ∧ dℓ 

= 

 

−→ 

rot E.d S(t) − 

 

∂B = − 

∂t .d 

S(t) − 

 

B. 

du 

dt ∧ d 

ℓ 

B. dS⊥ 

dt 

où du est le déplacement de l’élément de longueur d ℓ pendant le temps dt de sorte que 

du∧d ℓ est la surface d S⊥ balayée par d ℓ pendant dt. D’après l’équation de Maxwell- 

Gauss magnétique (5), le flux du champ magnétique à travers toute surface fermée 

est nul. En considérant la surface formée par le circuit aux instants t et t+dt (figure 33), 

il vient 

 

0 = 

div B d 3 

r = − 

B.d 

S(t) + 

97 

B.d 

S⊥ + 

B.d S(t + dt)


de sorte qu’on a 

 

B.d 

S⊥ = − 

On retrouve finalement (111) : 

 

∂B U = − 

∂t .d 

S − 

B. d S(t + dt) − d S(t) 

= − 

B. ∂d S 

∂t 

 

∂ 

= − 

∂t 

1.4.3.2. Inductance mutuelle et auto-induction 

B.d S 

B. ∂d S 

∂t dt 

On considère deux circuits électriques fermés. On notera dans la suite X1 et X2 les 

quantités X se rapportant respectivement au premier et au second circuit. L’intensité 

I1 circulant dans le premier circuit crée un champ magnétique B1. D’après la loi de 

Biot-Savart (86), le champ magnétique B1 est proportionnel à l’intensité I1. D’après 

(111), la variation du flux du champ magnétique B1 à travers la surface délimitée par 

le second circuit induit une tension électrique dans le second circuit : 

− ∂ 

∂t 

 

S2 

B1.d 

S2 = 

∂S2 

−→ 

rot E2.d S2 = 

 

∂S2 

E2.d ℓ = U2 

Puisque B1 ∼ I1, on a U2 ∼ − d 

dt I1. On doit également envisager le fait que la variation 

du flux du champ magnétique B1 à travers la surface délimitée par le premier circuit y 

induit une tension électrique. On parle d’auto-induction . Réciproquement, le courant 

I2 circulant dans le second circuit créé un champ magnétique B2 dont la variation 

temporelle du flux à travers le premier circuit y induit une tension. On s’attend donc 

aux relations 

⎧ 

dI1 

⎪⎨ U1 = −L1 

dt 

⎪⎩ 

dI1 

U2 = −M21 

dt 

dI2 

− M12 

dt 

dI2 

− L2 

dt 

(112) 

où les coefficients d’auto-induction L1 et L2 et d’induction M12 et M21 dépendent de 

la forme des circuits et de leur configuration spatiale respective. 

1.4.3.3. Formule de Neumann 

Soient deux circuits indicés respectivement 1 et 2. Le flux du champ magnétique 

créé par le premier circuit à travers la surface sous-tendue par le second circuit est 

 

dI1 ∂ 

U2 = −M21 = − B1.d 

dt ∂t 

S2 = − ∂ 

 

−→ 

rot 

∂t 

B1.dℓ2 = − ∂ 

 

A1.d 

∂t 

ℓ2 S2 

En utilisant l’expression du potentiel vecteur instantané (83), il vient 

U2 = − ∂ 

 

µ0 I1d 

∂t ∂S2 4π ∂S1 

 

ℓ1 

.d 

||r1 − r2|| 

ℓ2 = − µ0 

 

dI1 d 

4π dt 

ℓ1.dℓ2 ||r1 − r2|| 

∂S1 

∂S2 

∂S2 

98 

∂S2

si on suppose le circuit immobile. En échangeant les indices, il vient 

dI2 

U1 = −M12 

dt 

 

dI2 

= −µ0 

4π dt ∂S1 ∂S2 

d ℓ1.d ℓ2 

||r1 − r2|| 

On a donc finalement l’égalité des coefficients d’induction 

M12 = M21 = µ0 

 

4π ∂S1 ∂S2 

d ℓ1.d ℓ2 

||r1 − r2|| 

1.4.3.4. Énergie d’un système de courants 


L’énergie magnétique créé par un système de courants est d’après (27) 

HEM = 1 

 

B 

2µ0 

2 d 3 r 

= 1 

 

B. 

2µ0 

−→ 

rot Ad 3 r 

= 1 

 

div 

2µ0 

 

 

A ∧ B 3 1 

d r + A. 

2µ0 

−→ 

rot Bd 3 r 

= 1 

 

 

A ∧ B .dS 

1 

+ A. 

2µ0 

2µ0 

−→ 

rot Bd 3 r 

(113) 

où on a utilisé (17) et (290). Si les champs s’annule à l’infini, la première intégrale 

disparaît. Lorsqu’on peut négliger le courant de déplacement, la relation de Maxwell- 

Ampère (9) conduit finalement à 

HEM = 1 

 

2 

j. Ad 3 r (114) 

Dans la limite non-relativiste, le potentiel vecteur a pour expression (83) de sorte que 

l’énergie s’écrit pour un ensemble de circuits parcourus par des courant d’intensités Ii 

HEM = µ0 

 

j(r)j(r 

8π 

′ ) 

||r − r ′ || d3rd 3 r ′ 

= µ0 

8π 

= 1 

2 

 

i,j 

 

i,j 

IiIj 

 

MijIiIj 

d ℓid ℓj 

||ri − rj|| 

(115) 

où on a utilisé la définition (113) des coefficients d’induction et posé Mii = Li. Dans 

le cas d’un solénoïde de longueur ℓ ≫ 1, le champ magnétique approche (100) et donc 

l’énergie s’écrit 

HEM = 1 

2µ0 

 

µ0nI 2 3 1 

d r = 

2 µ0 

2Sℓ nI 

99


où ℓ est la longueur. D’après (115), le coefficient d’auto-induction de la bobine est donc 

L = µ0n 2 Sℓ. 

En repartant de (114), on peut également écrire 

HEM = 1 

 

Ii 

A.d 

2 

i 

ℓi = 1 

 

−→ 

Ii rot 

2 Si i 

A.d Si 

= 1 

 

Ii 

B.d 

2 

Si 

= 1 

2 

i 

 

i 

Iiφi 

Si 

En égalant (115) et (116), il vient 

φi = 

j 

MijIj 

conformément à (111) et (112). 

1.4.4. Lois de l’électrocinétique 

1.4.4.1. Composants électriques 

1.4.4.1.1. Générateurs électriques 

(116) 

Un générateur de tension est un dispositif électrique créant une différence de 

potentiel à ses bornes constante. L’intensité débitée dépend du reste du circuit. Un 

générateur de courant est un dispositif électrique débitant une intensité constante. 

La tension à ses bornes dépend du reste du circuit. Dans la pratique, les générateurs 

possèdent une résistance interne. 

R 

U 

i C i 

L 

i 

i 

i 

−q 

U 

+q 

U 

Figure 34 : [ Fig 1 ] Schémas conventionnels pour une résistance, un conden- 

sateur, une bobine, un générateur de tension et un générateur de courant (de 

gauche à droite). 

1.4.4.1.2. Résistance 

Une résistance est un conducteur artificiellement enrichi en impuretés. De part les 

collisions des électrons avec ces impuretés, la résistance limite le passage du courant. 

La tension à ses bornes et l’intensité sont liées par la loi d’Ohm (103) et la puissance 

dissipée est donnée par la loi de Joule (104). 

100 

U 

U

1.4.4.1.3. Condensateur 


Un condensateur est formé de deux armatures conductrices séparées par un isolant 

et se chargeant lorsqu’il existe une différence de potentiel entre elles. La tension aux 

bornes condensateur est relié à la charge stockée sur l’une des armatures par 

U = q 

C 

où C est la capacité du condensateur mesurée en Farad (F). Par définition de l’intensité 

(87), la charge dans le condensateur satisfait la relation 

I = dq 

dt 

⇔ q(t) = 1 

C 

t 

I(t ′ )dt ′ 

L’énergie stockée, ou restituée selon le signe, par le condensateur est d’après (102) 

t 

0 

U(t ′ )I(t ′ )dt ′ = 1 

C 

t 

0 

q dq 

dt dt′ = 1 

C 

q(t) 

q(0) 

qdq= 1 

2C 

q 2 (t) − q 2 (0) = C 

2 

(117) 

U 2 (t) − U 2 (0) 

Dans le cas d’un condensateur plan formé de deux armatures séparées d’une 

distance d, le champ électrique total s’annule hors du condensateur et vaut d’après 

(55) 

E = σ 

ε0 

en tout point entre les armatures. La différence de potentiel est donc 

ϕ2 − ϕ1 = 

1 

2 

E.d ℓ = σd 

ε0 

⇔ C = ε0S 

d 

où S est la surface des armatures (q = σS). Dans le cas d’un condensateur plan formé 

de disques d’épaisseur b, de rayon R et distants de d, la capacité est d’après § 1.2.1.5. 

C = ε0S 

 

(d + b)R 

+ ε0R ln 16π 

d d2 

+ b 

 

d + b 

ln − 1 

d b 

Dans le cas de deux armatures cylindriques de rayon R1 et R2 de même axe et 

portant une charge q1 et q2 = −q1 (influence totale), le champ électrique est radial pour 

des raisons de symétrie et sa valeur est donnée par le théorème de Gauss (54) : 

⎧ 

0 si r < R1 

⎪⎨ q1 

E(r) = si R1 < r < R2 

2πR1L.ε0 

⎪⎩ 

0 si r > R2 

où L ≫ 1 est la hauteur du cylindre. Le calcul du potentiel électrique (17) choisi nul à 

l’infini et dont on doit assurer la continuité en r = R1 et r = R2 conduit à la différence 

de potentiel entre les deux armatures 

ϕ2 − ϕ1 = U = q1 

 

1 

2πLε0 

ln R1 

 

R2 

101 

 

1 

⇔ C = 

2πLε0 

ln R1 

−1 R2


1.4.4.1.4. Bobine d’inductance 

Une bobine crée en son sein un champ magnétique proportionnel à l’intensité la 

parcourant (§ 1.3.1.8.). D’après le théorème d’Ampère (96), une bobine constituée de 

n spires crée ainsi un champ magnétique B = µ0nI. Toute variation de l’intensité 

se traduit par une variation du flux magnétique et donc, par un mécanisme d’autoinduction, 

crée une tension aux bornes de la bobine. L’équation de Maxwell-Faraday 

(4) conduit en effet à 

 

−→ 

rot Eds = 

E.dℓ = − ∂ 

 

∂t 

B.d S = µ0nS dI 

dt 

i.e. en définissant l’inductance L mesurée en Henry (H) : 

U = L dI 

dt 

L’énergie stockée, ou restituée selon le signe, par la bobine est d’après (102) 

t 

0 

U(t ′ )I(t ′ )dt ′ t 

= L I 

0 

dI 

dt dt′ I(t) 

= L IdI = 

I(0) 

L 

2 2 

I (t) − I (0) 

2 

1.4.4.2. Résolution dans le cas général 

1.4.4.2.1. Intensité dans une branche 

Les résistances et les bobines n’accumulent pas de charges électriques. Dans un 

condensateur, les deux armatures portent une charge égale à un signe près, de sorte 

que la charge totale reste toujours nulle. La loi de conservation de la charge (3) impose 

donc pour tout dipôle électrique : 

 

I = 

V 

divj d 3 r = − ∂ 

∂t 

 

V 

ρ d 3 r = − dqtotale 

dt 

i.e. que l’intensité est identique de part et d’autre du dipôle. On choisit dans chaque 

branche du circuit une intensité algébrique de sens purement conventionnel. Deux 

relations peuvent être ensuite utilisées pour déterminer ces intensités : 

1.4.4.2.2. Lois de Kirchhoff 

Aucune charge ne peut s’accumuler dans un conducteur. A un noeud où se rejoignent 

des fils parcouru par des courants d’intensités I1,I2,...In, la loi de conservation 

de la charge (3) impose 

 

divj d 3 

r = j.d S = − ∂ 

 

ρ d 

∂t Σ 

3 r = 0 (118) 

Σ 

∂Σ 

où Σ est un sphère incluant le noeud et ∂Σ sa surface. La relation (118) se réduit à la 

loi de Kirchhoff 

n 

Iα = 0 (119) 

α=1 

102 

= 0


1.4.4.2.3. Lois des mailles 

En négligeant les termes magnétiques, la relation de Maxwell-Faraday (4) conduit 

pour une surface S dont la frontière est formée des fils d’une maille à 

 

0 = 

∂S 

E.d 

ℓ = 

S 

−→ 

rot E.d S = 

m 

α=1 

Um 

La somme des tensions le long d’un circuit fermé s’annule. 

R 2 

i 

2 

E 

2 

L 

2 

R 3 

+q 

2 

C 

2 

−q 

2 

C 

3 

R1 

C 

1 

−q +q 

i 

3 

3 3 

E 

3 

−q 1 

+q 

1 

Figure 35 : [ Fig 1 ] Forme générale d’une maille dans un circuit électrique. 

La lois des mailles s’écrit pour la maille de la figure 35 

m 

 

 

dIα 1 

RαIα + Lα + Iαdt − Eα = 0 (120) 

dt Cα 

α=1 

où la somme s’étend à toutes les branches composant la maille. En utilisant les lois 

de Kirchhoff (119) en chacun des noeuds du circuit, il reste n équations intégrodifférentielles 

de la forme (120) pour les n intensités indépendantes I1,...In. 

1.4.4.3. Principe de superposition d’Helmholz 

En remplaçant tous les générateurs de tension sauf le p-ième par un fil, les intensités 

I (p) 

1 ,...I(p) n dans chacune des branches satisfont d’après (120) le système d’équations 

intégro-différentielles 

⎧ m 

 

RαI 

⎪⎨ 

α=1 

⎪⎩ 

(p) dI 

α + Lα 

(p) 

α 1 

+ I 

dt Cα 

(p) 

 

α dt = 0 si Ep n ′ appartient pas à cette maille 

... 

m 

 

RαI (p) dI 

α + Lα 

(p) 

α 1 

+ I 

dt Cα 

(p) 

(121) 

 

α dt − Ep = 0 si Ep appartient à cette maille 

α=1 

103 

L 

3 

L 

1 

i 

1 

E 1 

i 

E 

4 

L 

4 

+q 

−q 

R 

4 

C 

4


On retrouve le système d’équations correspondant au circuit de départ en sommant, 

équations par équations, les n systèmes (121) associés aux circuits ne comportant plus 

qu’un unique générateur. L’intensité totale est donnée par 

Iα = 

n 

p=1 

I (p) 

α 

1.4.4.4. Régime transitoire 

Dans le cas particulier où le circuit n’est formé que d’une seule maille comportant 

un générateur de tension E(t), une résistance R, un condensateur C et une bobine L, 

le système est intégrable. La loi des mailles (120) se réduit à 

RI(t) + L dI(t) 

dt 

+ 1 

C 

 

I(t)dt = E(t) ⇔ L d2q + Rdq 

dt2 dt 

+ q 

C 

= E(t) (122) 

où on a utilisé (117). En posant 2γ = R/L et ω2 0 = 1/LC, l’équation (122) s’écrit sous 

la forme 

d2q dq 

+ 2γ 2 

dt 

dt + ω2 0q = E(t) 

L 

L’équation caractéristique de cette équation différentielle du second ordre sans second 

membre est obtenue en posant q(t) = Ae rt : 

r 2 + 2γr + ω 2 0 = 0 

équation algébrique du second degré dont le discriminant est 

et les solutions 

∆ = 4(γ 2 − ω 2 0) 

r± = −γ ± (γ 2 − ω 2 0) 1/2 

Dans la suite, on pose ω = γ 2 − ω 2 0 = R 4 /4 − 1/C 2 /L. 

Lorsque ∆ < 0 (régime de faible résistance : R < 2 L/C), la solution générale de 

l’équation sans second membre présente des oscillations d’autant plus amorties que la 

résistance est importante : 

q(t) = e −γt Ae iωt + Be −iωt 

(123) 

Lorsque ∆ > 0 (régime de forte résistance : R > 2 L/C), la solution générale de 

l’équation sans second membre est exponentiellement décroissante et ne présente aucune 

oscillation : 

q(t) = e −γt Ae ωt + Be −ωt 

(124) 

Entre ces deux régime, i.e. pour ∆ = 0 (R = 2 L/C), il existe un régime critique tel 

que 

q(t) = (At + B)e −γt 

(125) 

A ces solutions doit être ajoutée une solution particulière de l’équation avec second 

membre. L’intensité I(t) est obtenue par dérivation par rapport au temps de la charge 

q(t) et les constantes A et B sont déterminées en utilisant les conditions aux limites. 

La présence d’un terme d’amortissement exponentiel, i.e. e −γt , rend négligeable la 

contribution à l’intensité totale des solutions générales (123), (124) et (125) de l’équation 

sans second membre au bout d’un temps t ≫ 1/γ. Au delà, seule la solution particulière 

de l’équation avec second membre contribue à l’intensité. 

104

1.4.4.5. Régime permanent 


Une solution particulière de (120), correspondant au régime permanent, peut être 

obtenue en utilisant la transformation de Fourier définie par 

ĩ(ω) = 

+∞ 

−∞ 

dt I(t)e iωt 

La transformation de Fourier linéarise le système (120) 

⎧ 

⎪⎨ 

⎪⎩ 

m 

α=1 

 

Rαĩα(ω) + iωLαĩα(ω) + ĩα(ω) 

 

... 

iωCα 

= 

m 

α=1 

˜Eα(ω) 

(126) 

(127) 

Les coefficients de Fourier des intensités ne sont pas couplés donc on peut traiter 

séparément chaque valeur de ω. Bobines et condensateurs se comportent dans l’espace de 

Fourier comme des résistances avec une relation linéaire entre tension Ũ(ω) et intensité 

˜ (ω) : 

⎧ 

Ũ(ω) = Rĩ(ω) (résistance), 

⎪⎨ 

Ũ(ω) = iωLĩ(ω) (bobine), 

⎪⎩ 

Ũ(ω) = ĩ(ω) 

iωC 

(condensateur). 

(128) 

R, iωL et 1/iωC sont appelés les impédances de la résistance, de la bobine et du 

condensateur. 

1.4.4.6. Cas particulier du régime sinusoïdal 

Dans le cas particulier où tous les générateurs sont sinusoïdaux de même pulsation 

ω0, i.e. si 

⇔ ˜ Eα(ω) = E(0) α 

2 

Eα(t) = E (0) 

α cos(ω0t + φα) 

 

δ(ω − ω0)e iφα 

−iφα + δ(ω + ω0)e 

(129) 

Le système d’équations (127) étant linéaire, les intensités ĩ(ω) possèdent une symétrie 

identique à (129), i.e. sont de la forme 

ĩα(ω) = 1 

 

ĩ 

2 

(0) 

α δ(ω − ω0) + (ĩ (0) 

α ) ∗ 

δ(ω + ω0) 

(130) 

Ce résultat découle du principe d’Helmholz, où les deux termes correspondent aux circuits 

avec les ensembles de générateurs respectivement E (0) 

α ei(ω0t+φα) (0) 

/2 et E α e−i(ω0t+φα) /2. 

Pour toutes les pulsations ω ∈ {−ω0;ω0}, on a annulation de l’intensité (ĩ(ω) = 0). Le 

système (127) se réduit pour la pulsation ω = ω0 à 

⎧ 

⎪⎨ 

⎪⎩ 

m 

 

Rα + iω0Lα + 1 

α=1 

... 

iω0Cα 

105 

 

I (0) 

α = 

m 

α=1 

˜E (0) 

α e iφα 

(131)


La résolution de ce système donne les intensités complexes ĩ (0) 

α à partir desquelles on 

remonte aux intensités Iα(t) en utilisant (126) et (130) 

Iα(t) = 1 

2 

 

 

= 

= 

+∞ 

ĩ (0) 

α 

 

 

−∞ 

 

 

 

2 

 

 

cos 

ĩ (0) 

α 

 

dt I (0) 

 

α δ(ω − ω0) + 

I (0) 

α 

(0) 

iω0t+arg(ĩ 

e α ) (0) 

−iω0t−arg(ĩ 

+ e α ) 

 

ω0t + arg(ĩ (0) 

 

α ) 

1.4.4.7. Cas particulier du régime continu 

∗ 

δ(ω + ω0) e iωt 

Le régime continu correspond à la situation où tous les générateurs délivrent une 

tension indépendante du temps, i.e. E(t) = E (0) . Il s’agit du cas limite ω0 → 0 du régime 

sinusoïdal. Les relations (128) montrent qu’une bobine se comportent comme un fil en 

régime continue (lim ω→0 + iωL = 0) alors qu’un condensateur empêche tout passage du 

courant (4) (lim ω→0 + 1/(iωC) = +∞). L’intensité étant I(t) = ĩ(0), le système (131) se 

réduit à 

⎧ 

⎪⎨ 

⎪⎩ 

m 

RαIα(t) = 

α=1 

... 

m 

α=1 

E (0) 

α 

où les sommes s’étendent à toutes les branches d’une maille ne portant pas de 

condensateur. 

1.4.4.8. Dipôle équivalent 

1.4.4.8.1. Impédance équivalente 

Considérons le cas de deux impédances Z1 et Z2 en série (figure 36, à gauche). En 

branchant un générateur de tension U aux bornes du circuit, la loi des mailles (127) 

s’écrit 

(Z1 + Z2) ĩ(ω) = Ũ(ω) 

Les deux impédances sont donc électriquement équivalentes à une seule impédance 

(4) 

Z = Z1 + Z2 

i 

Z Z 

1 2 

U 

La période de charge du condensateur est décrite par le régime transitoire et n’apparaît donc 

pas dans le cas du régime permanent. 

106 

i 

i 

1 

i 

2 

Z1 

Z2 

U


Figure 36 : [ Fig 1 ] Impédances Z1 et Z2 en série (à gauche) et en parallèle (à 

droite). 

De manière identique pour deux impédances en parallèle (figure 36, à droite), la 

loi de kirchhoff (119) et les deux lois de mailles (127) s’écrivent 

⎧ 

⎪⎨ 

ĩ(ω) = ĩ1(ω) + ĩ2(ω) 

Z1ĩ1(ω) − Z2ĩ2(ω) = 0 

⎪⎩ 

Z2ĩ2(ω) − Ũ(ω) = 0 

dont la solution est 

 

1 

+ 

Z1 

1 

−1 ĩ(ω) = 

Z2 

Ũ(ω) 

i.e. les deux impédances sont électriquement équivalentes à une seule impédance 

 

1 

Z = + 

Z1 

1 

−1 Z2 

En les composant, ces deux règles d’association permettent de déterminer l’impédance 

équivalente des dispositifs électriques les plus simples. Dans le cas général, il faut 

brancher un générateur de tension E(t) aux bornes du dipôle et calculer l’intensité 

qui doit se comporter selon la loi d’Ohm ˜ E(ω) = Zĩ(ω). 

1.4.4.8.2. Générateurs équivalents 

Les lois des mailles (127) étant linéaires, la relation liant tension et intensité aux 

bornes d’un dipôle quelconque placé dans un circuit ne peut être que de la forme 

Ũ(ω) = Ũ0(ω) − Z(ω)ĩ(ω) (132) 

U0 est la tension aux bornes du dipôle lorsque l’intensité qu’il débite s’annule (i = 0) et 

Z l’impédance équivalente obtenue en remplaçant tous les générateurs de tension par 

un fil et en supprimant tous les générateurs de courant (Théorème de Thévenin). 

i 

Figure 37 : [ Fig 1 ] Circuit utilisé pour le calcul du générateur équivalent. 

La relation (132), écrite sous la forme 

ĩ(ω) = ĩ0(ω) − Ũ(ω) 

Z(ω) , 

 

ĩ0(ω) = Ũ0(ω) 

 

Z(ω) 

i 

montre que le dipôle est également équivalent à un générateur de courant I0 avec une 

impédance interne Z (Théorème de Norton). I0 est alors le courant de court-circuit 

parcourant un fil joignant les deux bornes du dipôle. 

107 

Z 

U 

i 

i 

1 

Z 

i 0

1.5. Ondes électromagnétiques 


1.5.1. Propagation des ondes dans le vide 

1.5.1.1. Ondes électromagnétiques dans le vide 

1.5.1.1.1. Équations des ondes électromagnétiques dans le vide 

Dans le vide, i.e. en l’absence de densités de courant j et de charge ρ, l’équation 

de Maxwell-Ampère (9) se réduit à 

−→ 

rot B = 1 

c2 ∂ E 

∂t 

En insérant cette relation dans l’équation de Maxwell-Faraday (4), il vient 

−→ 

rot −→ 

rot E = − ∂ −→ 

rot 

∂t 

B = − 1 

c2 ∂2E ∂t2 Par ailleurs, d’après (290), on a la relation 

−→ 

rot −→ 

rot E = −−→ 

grad div E − ∆ E = − ∆ E 

où le premier terme s’annule en l’absence de charge en vertu de l’équation de Maxwell- 

Gauss (26). On a donc finalement l’équation des ondes (255) pour le champ électrique : 

∆ E − 1 

c 2 

∂2E = 0 (133) 

∂t2 Le champ magnétique satisfait la même équation. En insérant cette fois l’équation de 

Maxwell-Faraday (4) dans celle de Maxwell-Ampère (9), il vient 

−→ 

rot −→ 

rot B = −→ 

 

1 

rot 

c2 ∂ 

E 

= 

∂t 

1 

c2 ∂ −→ 

rot 

∂t 

E = − 1 

c2 ∂2B ∂t2 D’après (290) et l’équation de Maxwell-Gauss magnétique (5), on a par ailleurs 

dont il découle 

−→ 

rot −→ 

rot B = −−→ 

grad div B − ∆ B = − ∆ B 

∆ B − 1 

c 2 

∂2B = 0 (134) 

∂t2 108


1.5.1.1.2. Solution de l’équation des ondes en coordonnées cartésiennes 

Dans le système de coordonnées cartésiennes, l’équation des ondes est à variables 

séparables. En dimension d = 3, l’équation admet pour solution les ondes planes de la 

forme (§ 3.2.4.2.2.) 

E(r,t) = E( k)e ±i( k.r−ωt) , 

B(r,t) = B( k)e ±i( k.r−ωt) 

(135) 

En réinsérant ces solutions dans les équations des ondes (133) et (134), il vient la relation 

de dispersion 

− k 2 E( k) + ω2 

c 2 E( k) = 0 ⇔ ω = c|| k|| (136) 

qui fait de la pulsation une fonction du vecteur d’onde. Les ondes planes forment 

une base orthonormée de l’espace fonctionnel des solutions de l’équation des ondes, 

la condition d’orthogonalité entre e i( k.r−ωt) et e i( k ′ .r−ωt) s’écrivant 

 

e i(k.r−ω( k)t) ∗ e i(k ′ .r−ω( k ′ 

)t) 3 

d r = 

e i(− k+ k ′ ).r d 3 r e i(ω( k)−ω( k ′ ))t 

= (2π) 3 δ(− k + k ′ )e i(ω( k)−ω( k ′ ))t 

= (2π) 3 δ(− k + k ′ ) 

(137) 

car si k = k ′ comme l’impose la distribution de Dirac en facteur alors ω( k) = ω( k ′ ). La 

solution générale de l’équation des ondes est une combinaison linéaires d’ondes planes : 

⎧ 

⎪⎨ 

E(r,t) = 

 

⎪⎩ B(r,t) = 

lR 3 

lR 3 

E1( k)e i( k.r−ωt) + E2( k)e −i( k.r−ωt) 

d 3 k 

B1( k)e i( k.r−ωt) + B2( k)e −i( k.r−ωt) 

d 3 k 

où les constantes d’intégration E1,2( k) et B1,2( k) sont déterminées par les conditions 

initiales. Puisque les ondes planes forment une base orthonormée, il est facile de montrer 

en utilisant (137) que 

⎧ 

⎪⎨ 

⎪⎩ 

E1( k) = 1 

(2π) 3 

 

E2( k) = 1 

(2π) 3 

 

E(r,t)e −i( k.r−ωt) d 3 r 

E(r,t)e i( k.r−ωt) d 3 r 

(138) 

pour le champ électrique par exemple. La réalité des champs électrique et magnétique, 

i.e. E(r,t) ∈ lR impose 

E(r,t) = [ E(r,t)] ∗ ⇔ 

 

lR 3 

E1( k)e i( k.r−ωt) + E2( k)e −i( k.r−ωt) 

d 3 k 

 

= 

lR 3 

E ∗ 1( k)e −i( k.r−ωt) + E ∗ 2( k)e i( k.r−ωt) 

d 3 k 

109


dont il découle, puisque les ondes planes forment une base orthonormée, 

E1( k) = E ∗ 2( k) 

ce qu’on peut voir également en prenant le complexe conjugé des relations (138). On a 

donc finalement (5) 

⎧ 

⎪⎨ 

E(r,t) = 

 

⎪⎩ B(r,t) = 

lR 3 

lR 3 

E( k)e i( k.r−ωt) + E ∗ ( k)e −i( k.r−ωt) 

d 3 k 

B( k)e i( k.r−ωt) + B ∗ ( k)e −i( k.r−ωt) 

d 3 k 

1.5.1.1.3. Solution de l’équation des ondes en coordonnées sphériques 

Bibliographie : 9 

(139) 

En coordonnées sphériques, les équations des ondes (133) et (134) sont de la forme 

1 

r 2 

 

∂ 

r 

∂r 

2 ∂ 

E 

+ 

∂r 

1 

r 2 sinθ 

et admettent pour solution générale 

 

∂ 

sinθ 

∂θ 

∂ 

E 

+ 

∂θ 

1 

r 2 sinθ 

∂2E 1 

− 

∂φ2 c2 ∂2E = 0 

∂t2 ⎧ 

 

E(r,t) = Elm( 

⎪⎨ 

l,m 

⎪⎩ 

k)jl(kr) + E ′ lm( 

k)ηl(kr) Ylm(θ,φ)e −iωt dk 

 

 

B(r,t) = Blm( k)jl(kr) + B ′ lm( 

k)ηl(kr) Ylm(θ,φ)e −iωt dk 

l,m 

A grande distance, l’onde est formée d’une combinaison linéaire d’ondes sphériques 

E(r,t) = E( k) e±i(kr−ωt) 

, 

r 

B(r,t) = B( k) e ±i(kr−ωt) 

r 

(140) 

(141) 

(5) Pour simplifier les calculs d’interférences, il d’usage d’écrire le champ électrique d’une onde plane 

sous la forme (135). Il faut toutefois se souvenir que le champ électrique est une grandeur réelle et que 

les exponentielles complexes (135) doivent apparaître dans (139) de telle manière que le résultat soit 

réel. Lorsqu’on écrira le champ électrique d’une onde plane sous la forme E(r, t) = E0e i( k.r−ωt) , on 

sous-entendra en fait que le champ électrique est 

1 

2 ( E + E ∗ ) = E0 cos( k.r − ωt) = ℜ E 

110


1.5.1.1.4. Équations de Maxwell pour une onde électromagnétique dans le 

vide 

Les équations de Maxwell (26), (4), (5) et (9) prennent une forme particulièrement 

simple identique pour une onde plane (135) ou une onde sphérique (141) : 

i k. E( k) = 0, i k ∧ E( k) = −iω B( k), 

i k. B( k) = 0, i k ∧ B( k) = i ω 

c 2 E( k). 

(142) 

Ces résultats restent vrais pour les solutions générales (139) et (140) car les équations 

de Maxwell sont linéaires. On a par exemple 

div 

E(r,t) = div E( i( 

k)e k.r−ωt) + E ∗ 

( −i( 

k)e k.r−ωt) 

d 3k 

= 

 

= 

lR 3 

lR 3 

lR 3 

 

div 

E( k)e i( k.r−ωt) 

 

+ div E ∗ 

( −i( 

k)e k.r−ωt) 

d 3k 

i k. E( k)e i( k.r−ωt) − i k. E ∗ ( k)e −i( k.r−ωt) 

d 3 k 

de sorte que div E(r,t) = 0 impose par transformée de Fourier inverse i k. E( k) = 0. Il 

découle des relations (142) que ( k, E, B) forme un trièdre direct. Les champs électrique 

et magnétique sont orthogonaux et transverses. Par ailleurs, les équations de Maxwell- 

Faraday et Maxwell-Ampère lient les amplitudes des champs électrique et magnétique : 

|| B|| = ω 

|| k||c 2 || E|| = 1 

c || E|| (143) 

B 

E 

111 

k


Figure 38 : [ Fig 1 ] Onde électromagnétique plane linéairement polarisée dans 

le vide. 

1.5.1.2. Énergie et impulsion d’une onde électromagnétique 

La densité d’énergie électromagnétique (27) transportée par une onde électromagnétique 

plane monochromatique (135) (6) se réduit en utilisant (143) à 

hEM = ε0 

2 

E 2 + c 2 B 2 = ε0E 2 = ε0|| E 2 ( k)||cos 2 (ωt − k.r) 

L’énergie d’une onde plane n’est donc pas distribuée de manière homogène dans l’espace 

mais selon des paquets qui se déplacent dans l’espace à la vitesse de la lumière. En 

utilisant de nouveau (143) et le fait que ( E, B, k) forment un trièdre direct, la densité 

d’impulsion d’une onde plane peut s’écrire : 

pEM = ε0 E ∧ B = ε0|| E ∧ B|| k 

|| k|| = ε0|| E|| || B|| k 

|| k|| = ε0|| E|| 2 k 

c|| k|| 

i.e. est dirigé suivant le vecteur d’onde, conformément à la relation de de Broglie. La 

densité d’impulsion est proportionnelle à la densité d’énergie : 

h 2 EM = p 2 EMc 2 

Cette relation est identique à celle satisfaite par une particule ponctuelle de masse 

nulle en mécanique classique relativiste. Lors d’un changement de référentiel inertiel, 

i.e. sous une transformation de Lorentz, les champs électromagnétiques se transforment 

comme (19). Pour une onde plane monochromatique (135) avec par exemple E = Euy, 

B = Buz et k = kux, il vient 

E ′ = 

E − v0B 1 − v0/c 

= E 

1 − v2 0 /c2 1 − v2 0 /c2 où on a utilisé la relation (143). Par ailleurs, à cause de la contraction des longueurs 

dans le sens du mouvement, le volume V = λS = cS 

ν occupée par une période de l’onde 

se transforme comme 

V ′ = cS 

 

cS 1 + v0/c 

= 

ν ′ ν 1 − v0/c 

= V 

 

1 − v0/c 

1 + v0/c 

(6) Conformément à l’usage, on écrit l’onde plane sous la forme (135) en sous-entendant que seule 

sa partie réelle a une signification physique. Il faut être prudent lors du calcul du vecteur de Poynting, 

forme bilinéaire des champs. Si les champs électrique et magnétique sont de la forme (135) alors le 

vecteur de Poynting moyen est 

ε0〈ℜ E ∧ ℜ B〉 = ε0( E0 ∧ B0)〈cos 2 ( k.r − ωt)〉 = 1 

2 ε0( E0 ∧ B0) = 1 

2 ε0ℜ E ∧ B ∗ 

112


La loi de transformation de l’énergie électromagnétique contenue dans le volume V est 

donc 

H ′ EM = ε0E ′2 ′ (1 − v0/c) 

V = ε0 

2 

1 − v2 0 /c2 

 

1 + v0/c 

1 − v0/c E2 

V = 

1 + v0/c 

1 − v0/c HEM 

i.e. est analogue à la loi de transformation de la fréquence par effet Doppler longitudinal. 

Par conséquent, la quantité 

HEM 

ν = H′ EM 

ν ′ 

est un invariant de Lorentz conformément à la relation de de Broglie. Il est alors tentant 

d’écrire que le nombre de photons contenus dans une onde plane est 

N = HEM 

hν 

|| 

= ε0 

E|| 2 

hν 

1.5.1.3. Invariance de Lorentz de l’équation des ondes 

L’équation des ondes n’est pas invariante de Galilée mais de Lorentz. L’électromagnétisme 

classique est donc une théorie relativiste. L’invariance de Lorentz est manifeste lorsqu’on 

note que l’équation des ondes (133) s’écrit dans l’espace de Minkowski sous la forme 

∂µ∂ µ E = 0 

On peut également utiliser les transformations de Lorentz et montrer que 

⎧ 

⎪⎨ 

c 

⎪⎩ 

∂ ∂x 

= c 

∂x ′ ∂x ′ 

∂ ∂t 

+ c 

∂x ∂x ′ 

∂ 

∂t = 

1 

 

1 − v2 0 /c2 

c ∂ 

 

v0 ∂ 

+ 

∂x c ∂t 

∂ ∂x 

= 

∂t ′ ∂t ′ 

∂ ∂t 

+ 

∂x ∂t ′ 

∂ 

∂t = 

1 

 

1 − v2 0 /c2 

∂ ∂ 

v0 + 

∂x ∂t 

et donc que 

Finalement, il vient 

⎧ 

2 ∂2 1 

⎪⎨ 

c = 

∂x ′2 1 − v 

⎪⎩ 

2 0 /c2 

∂2 1 

= 

∂t ′2 1 − v2 0 /c2 

 

∂ 2 

∂t 

′2 − c2 ∂2 

 

2 ∂2 

c 

∂x2 + v2 0 

c2 ∂2 + 2v0 

∂t2 v 2 0 

∂ 2 

∂x 

1 

= 

∂x ′2 1 − v2 0 /c2 

 

2 + ∂2 

v 2 0 

= ∂2 ∂2 

− c2 

∂t2 ∂x2 ∂ 2 

+ 2v0 

∂t2 ∂x∂t 

∂ 2 

∂x 

∂t 

∂ 2 

∂x∂t 

 

∂2 ∂2 

+ − c2 

2 2 

 

∂x2 − v2 0 

c2 ∂2 ∂t2 

qui établit l’invariance du d’alembertien et donc de l’équation des ondes lors d’une 

transformation de Lorentz. 

113


1.5.1.4. Effet Doppler 

La phase d’une onde plane (135) ou sphérique (141) est un scalaire qui doit donc 

être invariant sous tout changement de système de coordonnées. En introduisant le 

quadrivecteur d’onde k µ = ω/c k , on peut écrire la phase comme le produit scalaire : 

ωt − k.r = kµx µ 

et la relation de dispersion (136) comme 

kµk µ = ω2 

c 2 − | k| 2 = 0 

Comme tout quadrivecteur, le quadrivecteur d’onde k µ se transforme de manière 

covariante. Pour un observateur dans un second référentiel en mouvement rectiligne 

uniforme à une vitesse v0 par rapport au premier, la pulsation et le vecteur d’onde 

apparaissent comme 

⎧ 

⎪⎨ 

⎪⎩ 

ω ′ /c = k ′0 = k0 − v0k1 /c ω/c − v0kx/c 

= 

1 − v2 0 /c2 1 − v2 0 /c2 k ′ x = k ′1 = k1 − v0k 0 /c 

1 − v 2 0 /c 2 = kx − v0ω/c 2 

1 − v 2 0 /c 2 

k ′ y = k ′2 = k 2 = ky 

k ′ z = k ′3 = k 3 = kz 

mettant en évidence la présence d’un effet Doppler. Si le vecteur d’onde k forme un 

angle θ avec la direction (Ox), i.e. si kx = k cos θ = ω cos θ/c, on peut écrire 

ω ′ = ω − v0ω cos θ/c 

1 − v 2 0 /c 2 

(144) 

Dans le cas particulier θ = 0, i.e. d’une onde se propageant dans la direction (Ox), on 

retrouve l’effet Doppler longitudinal (7) . Dans le cas θ = π/2, on obtient l’effet Doppler 

transverse. 

1.5.2. Interférences et diffraction à l’infini 

1.5.2.1. Diffractions de Fresnel et de Fraunhofer 

On considère une source ponctuelle située au point de coordonnées (x0 y0 z0 ) 

éclairant une écran opaque percé d’un motif donné. Ce motif est décrit par une fonction 

f(x,y) qui à chaque point (x,y) du plan associe la valeur 1 si l’écran est percé et 0 

dans le cas contraire. On peut également considérer un objet transparent, auquel cas 

f(x,y) ∈ [0;1] est le coefficient de transmission au point (x,y). 

(7) 

en remplaçant v0 par v0 puisqu’on avait considéré le cas d’une source qui s’éloigne. 

114

(x ,y ,z ) 

0 0 0 

(x,y,0) 


(x’,y’,z’) 

Figure 39 : [ Fig 1 ] Notations utilisées dans le texte pour le calcul de l’intensité 

diffractée. 

D’après le principe de Huygens, chaque point du front d’onde se comporte comme 

une source ponctuelle secondaire, i.e. une source d’onde sphérique. La source ponctuelle 

crée au point (x y 0 ) de l’écran un champ électrique (141) 

E(x,y,0,t) = e 

E0 

i 

√ 

k (x−x0) 2 +(y−y0) 2 +z2 0−ωt 

 

(x − x0) 2 + (y − y0) 2 + z2 0 

Ce point agit comme une source ponctuelle secondaire de sorte que le champ électrique 

créé au point (x ′ y ′ z ′ ) est 

E(x ′ ,y ′ ,z ′ ,t ′ ) = E(x,y,0,t) ei 

√ 

k (x ′ −x) 2 +(y ′ −y) 2 +z ′2 ′ 

−ω(t −t) 

(x ′ − x) 2 + (y ′ − y) 2 + z ′2 

e i 

√ 

k (x−x0) 2 +(y−y0) 2 +z2 0 +k√ (x ′ −x) 2 +(y ′ −y) 2 +z ′2−ωt ′ 

 

= E0 

(x − x0) 2 + (y − y0) 2 + z2 

0 (x ′ − x) 2 + (y ′ − y) 2 + z ′2 

(145) 

1.5.2.1.1. Diffraction de Fresnel 

On se place à présent dans la limite d’une source infiniment éloignée, i.e. |z0| → +∞, 

et d’un objet et d’une image petits devant la distance à l’écran, i.e. z ′2 ≫ (x ′ − x) 2 + 

(y ′ −y) 2 . En développant les deux racines de l’expression (145) à l’ordre respectivement 

zéro et un, il reste 

E(x ′ ,y ′ ,z ′ ,t ′ ) ≃ e 

E0 

i 

k(|z0|+|z ′ |)−ωt ′ 

|z0z ′ | 

 

k i 

e 2|z ′ 

′ 2 ′ 2 

(x −x) +(y −y) 

| 

La somme des champs électriques créés au point ( x ′ y ′ z ′ ) par chacun des points de 

l’écran est par conséquent 

E(x ′ ,y ′ ,z ′ ,t ′ ) ≃ e 

E0 

i 

k(|z0|+|z ′ |)−ωt ′ 

|z0z ′ | 

 

 

lR 2 

k i 

dxdy f(x,y)e 2|z ′ 

′ 2 ′ 2 

(x −x) +(y −y) 

| 

115 

(146)


1.5.2.1.2. Diffraction de Fraunhofer 

Dans la limite d’une distance grande entre l’objet et l’écran, plus exactement 

lorsque la taille caractéristique d de l’objet satisfait l’inégalité 

kd 2 

2|z ′ | 

≪ 1 ⇔ πd2 

λ|z ′ | 

≪ 1 

on peut négliger les termes quadratiques en x2 et y2 dans l’expression (146). Il reste 

alors 

E(x ′ ,y ′ ,z ′ ,t ′ ) ≃ e 

E0 

i 

 

k(|z0|+|z ′ |)−ωt ′ 

 

|z0z ′ e 

| 

i k(x′2 +y ′2 ) 

2|z ′ 

| dxdy f(x,y)e −ik 

 

xx 

′ 

|z ′ yy′ 

+ 

| |z ′ 

| (147) 

Le champ électrique total est donc proportionnel à la transformée de Fourier de la 

fonction f décrivant le motif de l’ouverture dans l’écran. Notons que le champ électrique 

diffracté par le motif inverse 1 − f(x,y) conduit à 

 

lR 2 

lR 2 

dxdy 1 − f(x,y) e ik xx′ +yy ′ 

|z ′ 

| = δk,0 − 

lR2 dxdy f(x,y)e ik xx′ +yy ′ 

|z ′ | 

i.e. le champ électrique pour k = 0 ne fait que changer de signe et donc l’intensité 

lumineuse à l’écran est identique dans les deux cas. Ce résultat constitue le théorème 

de Babinet. 

1.5.2.2. Franges d’Young 

On considère le dispositif de la figure 40. Les deux fentes A1 et A2 se comportent 

d’après le principe de Huygens comme deux sources secondaires d’ondes sphériques 

(141). Par conséquent, le champ électrique en un point M de l’écran dans la zone 

d’interférences est 

E = E0e ikd 

 

i(kA1M−ωt) e ei(kA2M−ωt) 

+ ≃ 

A1M A2M 

e 

E0 

i(kd−ωt) ikA1M ikA2M 

e + e 

D 

 

où on a posé d = SA1 = SA2. En notant y la distance entre le point M et l’axe et 2a la 

distance A1A2, les distances parcourues depuis chacune des deux sources sont 

⎧ 

⎪⎨ 

⎪⎩ 

A1M = D2 + (y − a) 2 

≃ D 1 + 

D≫a 

A2M = D 2 + (y + a) 2 ≃ 

D≫a D 

de sorte que la différence de marche est 

A2M − A1M ≃ 

D≫a 

2ya 

D 

Le champ électrique au point M s’écrit finalement 

E ≃ E0 

D ei 

d+D+ y 2 +a 2 

2D 

ya 

k−ωt −ik 

e D + e 

ik ya 

D 

116 

 

 

1 + 

= 2 E0 

D ei 

(y − a)2 

2D2 

(y + a)2 

2D 2 

 

d+D+ y 2 +a 2 

2D 

 

k−ωt 

cos kya 

D


On retrouve l’expression (147), le dernier terme correspondant en effet à la transformée 

de Fourier des deux points A1 et A2 de coordonnées x = 0 et y = ±a. En se souvenant 

que seule la partie réelle du champ électrique possède une signification physique, 

l’intensité lumineuse au point M est 

I ≃ 4E2 

0 

cos2 

D2 d + D + y2 + a2 2D 

 

2 kya 

k − ωt cos 

D 

Le dernier terme conduit à une alternance de franges lumineuses et sombres séparées 

d’une distance 

ka 

πD 

∆y = π ⇔ ∆y = 

D ka 

La mesure de l’interfrange permet, connaissant la distance entre les trous, la détermination 

du vecteur d’onde k et donc de la longueur d’onde λ = 2π/k. Inversement, si on connaît 

la longueur d’onde, on peut déterminer la distance a. 

S 

A 2 

A 1 

D 

Zone 

d’interferences 

Figure 40 : [ Fig 1 ] Dispositif comportant une source ponctuelle S et deux 

fentes A1 et A2 dans un écran servant de sources secondaires. 

1.5.2.3. Diffraction par une ouverture circulaire 

On considère une ouverture circulaire de rayon R. Lorsqu’elle est éclairée par une 

source ponctuelle, le champ électrique est d’après (147) de la forme : 

E(x ′ ,y ′ ,z ′ ,t ′ ) ≃ e 

E0 

i 

 

′ ′ 

ωt −k|z | 

|z0z ′ | 

= e 

E0 

i 

 

′ ′ 

ωt −k|z | 

|z0z ′ | 

 

e −ik x′2 +y ′2 

2|z ′ | 

e −ik x′2 +y ′2 

2|z ′ | 

 

Disque 

R 2π 

0 

0 

dxdy e ik xx′ +yy ′ 

|z ′ | 

rdrdθ e ikr x′ cos θ+y ′ sin θ 

|z ′ | 

En utilisant un système de coordonnées polaires sur l’écran, i.e. x ′ = r ′ cos θ ′ et 

y ′ = r ′ sinθ ′ , il vient 

x ′ cos θ + y ′ sin θ = r ′ cos θ cos θ ′ + sinθ sinθ ′ = r ′ cos(θ − θ ′ ) 

117


et donc par un changement de variables, il vient 

E(r ′ ,θ ′ ,z ′ ,t ′ ) ≃ e 

E0 

i 

 

′ ′ 

ωt −k|z | 

|z0z ′ e 

| 

−ik x′2 +y ′2 

2|z ′ R 

| 

0 0 

 

= e 

E0 

i 

 

′ ′ 

ωt −k|z | 

|z0z ′ | 

= 2π e 

E0 

i 

 

′ ′ 

ωt −k|z | 

|z0z ′ | 

= 2π e 

E0 

i 

 

′ ′ 

ωt −k|z | 

|z0z ′ | 

e −ik x′2 +y ′2 

2|z ′ | 

 

 

e −ik x′2 +y ′2 

2|z ′ | 

e −ik x′2 +y ′2 

2|z ′ | 

2π 

R 2π 

0 0 

R 

0 

J0 

|z ′ | 

J1 

kr ′ 

rdrdθ e ikr r′ cos(θ−θ ′ ) 

|z ′ | 

rdrdθ e ikr r′ cos θ 

|z ′ | 

krr ′ 

|z ′ | 

′ kRr 

|z ′ | 

 

rdr 

où J0 et J1 sont les deux premières fonctions de Bessel . L’intensité lumineuse 

présente une tâche lumineuse au centre et une succession d’anneaux lumineux et sombres 

autour. Le premier anneau sombre se trouve à une distance r ′ du centre 

kRr ′ 

|z ′ | 

≃ 3.83 ⇔ r′ 

|z ′ | 

≃ 3.83 

kR 

≃ 1.22 λ 

2R 

Les anneaux de diffraction limitent la résolution des microscopes. Au moyen d’une 

lumière de longueur d’onde λ, on peut observer au mieux des objets de rayon d’ordre 

1.22λ. 

1.5.2.4. Diffraction par un motif périodique 

Considérons un motif décrit par une fonction f0(x,y) ∈ {0;1} et répété N fois dans 

la direction (Ox) aux points de coordonnées x multiples de a. L’ensemble est décrit par 

une fonction 

f(x,y) = 

N−1 

n=0 

f0(x − na,y) 

Lorsque cet ensemble de motifs est éclairé par une source ponctuelle, le champ électrique 

est d’après (147) de la forme : 

E(x ′ ,y ′ ,z ′ ,t ′ ) ≃ e 

E0 

i 

 

′ ′ 

ωt −k|z | 

|z0z ′ e 

| 

−ik x′2 +y ′2 

2|z ′ N−1 

 

| dxdy f0(x − na,y)e ik xx′ +yy ′ 

|z ′ | 

n=0 

En effectuant le changement de variable x − na → x, il vient 

E(x ′ ,y ′ ,z ′ ,t ′ ) ≃ e 

E0 

i 

 

′ ′ 

ωt −k|z | 

|z0z ′ e 

| 

−ik x′2 +y ′2 

2|z ′ N−1 

 

| 

n=0 lR 

 

 

= e 

E0 

i 

 

′ ′ 

ωt −k|z | 

= EMotif 

|z0z ′ | 

N−1 

n=0 

nax′ ik 

e |z ′ | 

e −ik x′2 +y ′2 

2|z ′ | 

lR 

118 

lR 

dxdy f0(x,y)e ik (x+na)x′ +yy ′ 

|z ′ | 

dxdy f0(x,y)e ik xx′ +yy ′ 

|z ′ | 

N−1 

n=0 

nax′ ik 

e |z ′ |


i.e. le champ électrique total est égal au champ crée par un unique motif multiplié par 

une fonction 

N−1 

n=0 

nax′ ik 

e |z ′ | = 

Nax′ 

1 − eik |z ′ | 

ax′ ik 

1 − e |z ′ | 

(N−1)ax′ 

ik 

= e 2|z ′ sin k 

| 

Nax′ 

2|z ′ | 

sink ax′ 

2|z ′ | 

Dans la limite N → +∞, cette fonction tend vers un peigne de Dirac. La figure de 

diffraction est donc formée d’une succession de lignes parallèles d’équation 

k ax′ 

2|z ′ | 

où n est un entier. 

= nπ ⇔ x′ 

|z ′ | 

= 2nπ 

ka 

1.5.2.5. Diffraction par un cristal 

par 

= nλ 

a 

On considère un cristal périodique formé d’atomes dont les positions sont repérés 

ri = r (0) 

i + nxa + ny b + nzc 

où r (0) 

i est la position de l’atome équivalent dans la maille contenant l’origine et 

nx,ny,nz ∈ Z déterminent la maille comme l’image de la maille contenant l’origine sous 

la translation de vecteur nxa + ny b + nzc. En réponse à une onde électromagnétique, 

chaque atome agit comme une source secondaire. On notera l’onde sphérique diffractée 

par le i-ème atome lorsqu’il est ramené à l’origine : 

 

E(r) = 

fi(r ′ ) ei k.(r−r ′ ) 

||r − r ′ || d3r ′ ≃ ei k.r 

r 

fi(r ′ )e −i k.r ′ 

d 3 r ′ = fi( k) ei k.r 

r 

où fi( k) est la transformée de Fourier de fi(r). Le champ électrique diffracté par le 

cristal est 

E(r) = 

nx,ny,nz 

≃ ei k.r 

r 

= ei k.r 

r 

 

fi( e 

k) 

ik.(r−ri−nxa−ny b−nzc) ||r − ri − nxa − ny b − nzc|| 

i 

 

fi( k) 

i 

 

i 

nx,ny,nz 

fi( 

k) 

nx∈Z 

e −i k.(nxa+ny b+nzc) 

e −inx k.a 

ny∈Z 

e −iny k. b 

nz∈Z 

e −inz k.c 

Chacune des trois dernières sommes conduit, de manière analogue à § 1.5.2.4., à une 

fonction sinus cardinal qui, dans la limite d’une infinité d’atomes, n’est non nulle que 

pour certaines valeurs du vecteur d’onde. La mesure expérimentale des directions de 

k conduisant à un pic de diffraction permet de déterminer la structure du cristal 

(cristallographie). 

119


La maille élémentaire du cristal n’est pas toujours cubique de sorte que a, b,c ne 

forment pas une base orthonormée de l’espace. Si le vecteur d’onde est exprimée dans 

cette base, le produit scalaire fait apparaître un tenseur métrique : 

k.r = kxa + ky b + kzc . xa + y b + zc = (kx kz kz ) 

⎛ 

⎝ a.a a. b a.c 

b.a b. b b.c 

c.a c. b c.c 

⎞⎛ 

⎠⎝ 

x 

⎞ 

y ⎠ 

z 

Il est plus pratique d’introduire la base duale de a, b,c dans l’espace des formes linéaires : 

a ∗ = b ∧c 

, 

V0 

∗ c ∧a 

b = , c ∗ = a ∧b V0 

où V0 = a.( b ∧c) est le volume de la maille élémentaire. Il est alors facile de vérifier que 

a.a ∗ = 1, 

b.a ∗ = c.a ∗ = 0 

par exemple. Le produit scalaire s’écrit alors comme dans un espace euclidien 

k.r = kxa ∗ + ky b ∗ + kzc ∗ . xa + y b + zc = kxx + kyy + kzz 

1.5.3. Rayonnement créé par une assemblée de charges 


1.5.3.1. Rayonnement électromagnétique dipolaire 

Dans la limite relativiste, le potentiel vecteur A créé en un point r et au temps t 

par une densité de courant j(r) est donné par (31). Dans le cas d’une distribution de 

charge qi de vitesse vi(t), le potentiel vecteur s’écrit 

A(r,t) = µ0 

qivi(t − ||r − ri||/c) 

4π ||r − ri(t − ||r − ri||/c)|| 

i 

Si les charges se trouvent au voisinage de l’origine, il reste à grande distance 

µ0 

 

A(r,t) ≃ qivi(t − r/c) = 

r≫ri 4πr 

µ0 

 

d 

qiri(t − r/c) = 

4πr dt 

µ0 

4πr ˙ p(t − r/c) (148) 

i 

où p(t) est le moment dipolaire (73) de la distribution de charges à l’instant t. De la 

même manière, le potentiel (31) s’écrit dans cette approximation dipolaire (72) : 

ϕ(r,t) ≃ 

r≫ri 

Q p(t − r/c) cos θ 

+ 

4πε0r 4πε0r2 i 

V0 

(149) 

où θ est l’angle entre les deux vecteurs p et r. Par définition des potentiels (17), le 

champ électrique est donc dans le système de coordonnées sphériques 

E(r,t) = − ∂ A 

∂t 

−−→ 

− gradϕ = − µ0 

4πr ¨p(t − r/c) + Q 

4πε0r2ur + p(t − r/c) 

4πε0r 3 

120 

⎛ 

⎝ 

2cos θ 

sinθ 

0 

⎞ 

⎠ + 

˙p(t − r/c) cos θ 

4πε0cr2 ur


où on a utilisé le fait que ∇p(t − r/c) = dp 

dt × − 1 

c ∇r = −1 c ˙pur. Dans la limite 

électrostatique, i.e. ¨p ≃ 0, on retrouve le champ électrique (66). Dans la limite des 

grandes fréquences d’oscillation des charges, le premier terme décroît plus lentement 

que les autres et par ailleurs se comporte comme ¨p ∼ ω2 de sorte qu’il reste 

µ0 

E(r,t) ≃ − 

r≫ri,¨p≫1 4πr ¨p(t − r/c) (150) 

Si on se limite au cas d’une assemblée de charges se déplaçant uniquement dans 

la direction (Oz) alors le moment dipolaire p = 

i qiri mais aussi toutes ses dérivées, 

en particulier ˙ p = 

i qivi et ¨p = 

i qiγi, sont dirigées suivant uz. Dans le système de 

coordonnées sphériques, le champ électrique devient 

E(r,t) = − µ0 

4πr ¨p(t − r/c)uz = − µ0 

4πr ¨p(t − r/c) (cos θur − sin θuθ) (151) 

On verra en calculant le vecteur de Poynting que la composante suivant ur ne contribue 

pas à la propagation de l’énergie. On peut l’omettre. Le potentiel vecteur (148) a pour 

expression 

A(r,t) = µ0 

4πr ˙p(t − r/c)uz = µ0 

4πr (cos θur − sinθuθ) ˙p(t − r/c) 

dont il découle d’après (17) celle du champ magnétique 

B = −→ 

rot A 

= 1 

 

∂(rAθ) ∂Ar 

− uφ 

r ∂r ∂θ 

= µ0 

 

sin θ ∂ ˙p sinθ 

− + 

4π r ∂r r2 

˙p uφ 

≃ 

r≫1 

µ0 sinθ 

4πc r ¨puφ 

(152) 

où on a utilisé l’expression (289) du rotationnel dans et le système de coordonnées 

∂ ˙p(t−r/c) 

sphériques et le fait que ∂r = −¨p/c. A grande distance, champ électrique et 

magnétique sont donc en tout point perpendiculaires. On retrouve localement une 

structure d’onde plane. 

Le flux d’énergie électromagnétique transportée par l’onde électromagnétique est 

donné par le vecteur de Poynting 

1 

µ0 

E ∧ B = − µ0 

(4π) 2 sin θ 

c r2 ¨p2 uz ∧ uφ 

= − µ0 

16π2 sin θ 

c r2 ¨p2 (cos θur − sin θuθ) ∧ uφ 

= 

µ0 

16π 2 cr 2 ¨p2 cos θ sinθuθ + sin 2 θur 

121


où on a utilisé (150) et (152). Le flux d’énergie électromagnétique à travers une sphère 

de rayon r est donc 

1 

µ0 

µ0 

E ∧ B .dS = 

16π2c ¨p2 

2π 

= µ0 

8πc ¨p2 

= µ0 

8πc ¨p2 

= µ0 

8πc ¨p2 

= µ0 

8πc ¨p2 

= µ0 

6πc ¨p2 

0 

π 

0 

π 

0 

1 

−1 

π 

dφ sin θdθ 

0 

cos θ sinθuθ + sin 2 

θur .ur 

sin 3 θdθ 

1 − cos 2 θ sinθdθ 

(1 − u 2 )du 

 

u − u3 

1 

3 −1 

ce qu’on peut également écrire sous la forme 

1 

µ0 

 

E ∧ B .dS 

2 ¨p 

= 

3 

2 (t − r/c) 

4πε0c3 Pour une unique charge, ¨p = qγ de sorte que 

1 

µ0 

 

E ∧ B .dS 

2 q 

= 

3 

2γ2 (t − r/c) 

4πε0c3 (153) 

Une charge ne rayonne de l’énergie sous forme électromagnétique que si elle est accélérée. 

Dans le cas d’un courant alternatif d’intensité I(t) = I0 cos ωt de pulsation ω sur une 

longueur ℓ, on a 

 

˙p = 

La moyenne temporelle 

ρvd 3 

r = 

ρvdSdℓ = I(t)ℓ 

〈¨p 2 〉 = I 2 0 〈ω 2 sin 2 ωt〉ℓ 2 = 1 

2 I2 0ω 2 ℓ 2 

conduit à l’énergie électromagnétique moyenne émise par unité de temps par cette 

antenne rudimentaire : 

1 

µ0 

E ∧ B .d S = I 2 0ω 2 ℓ 2 

12πε0c 3 

122

B 

E 

y 

B 

z 

B 

E 

E 


E E 

Figure 41 : [ Fig 1 ] Considérons une charge q décrivant une trajectoire circulaire 

de R avec une pulsation ω dans le plan z = 0. Le moment dipolaire de la charge 

p = qr = q cos ωtux + q sin ωtuy 

peut être décomposé en deux dipoles oscillant suivant (Ox) et (Oy) à la même 

pulsation ω mais avec un déphasage de π/2. Les champs électrique (151) et 

magnétique (152) dépendent linéairement de ¨p de sorte qu’on peut ajouter les 

contributions des deux dipôles oscillants. Dans les directions (Ox) ou (Oy), 

on ne voit que la contribution du dipôle selon respectivement (Ox) ou (Oy). 

L’onde rayonnée est donc polarisée linéairement. Dans la direction (Oz), les 

deux dipôles créent des champs orthogonaux déphasés de π/2. L’onde est alors 

polarisée circulairement. En tout autre point, l’onde est polarisée elliptiquement. 

1.5.3.2. Rayonnement quadrupolaire et dipolaire magnétique 

Si ¨p = 0, la distribution de charge n’émet pas de rayonnement dipolaire. Il est alors 

nécessaire de pousser le développement du potentiel vecteur (148) aux ordres supérieurs. 

En utilisant l’approximation 

et donc 

||r − r ′ || = 

 

r 2 + r ′2 − 2r.r ′ = r 

t − ||r − r ′ r 

||/c ≃ t − 

r≫r ′ c + r′ .ur 

c 

le potentiel s’écrit au premier ordre : 

A(r,t) ≃ 

r≫ri 

µ0 

4πr 

 

i 

j(r ′ ,t − ||r − r ′ ||/c)d 3 r ′ 

 

x 

B 

1 + r′2 

r2 − 2r′ .ur 

r 

1/2 

≃ 

r≪r ′ 

 

µ0 j(r 

4πr 

′ ,t − r/c)d 3 r ′ ′ r .ur ∂ 

+ 

c ∂t j(r ′ ,t − r/c)d 3 r ′ 

 

= µ0 

 

j(r 

4πr 

′ ,t − r/c)d 3 r ′ + ∂ 

′ r .ur 

∂t c j(r ′ ,t − r/c)d 3 r ′ 

 

= µ0 

 

 

qivi(t − r/c) + 

4πr 

1 

 

∂ 

qivi(t − r/c) 

c ∂t 

 

ri(t − r/c).ur 

 

i 

123 

≃ 

r≫r ′ r − r′ .ur


Or en utilisant la relation du double produit vectoriel, il vient 

1 

vi ri.ur = 

2 vi 

1 

ri.ur + 

2 vi 

 

ri.ur 

= 1 ∂ 1 

ri(ri.ur − 

2 ∂t 2 ri(vi.ur 

1 

+ 

2 vi 

 

ri.ur 

= 1 ∂ 1 

ri(ri.ur + 

2 ∂t 2 (ri ∧ vi) ∧ ur 

de sorte qu’on peut écrire le potentiel vecteur sous la forme 

 

µ0 

 

A(r,t) ≃ qivi(t − r/c) + 

r≫ri 4πr 

i 

1 ∂ 

2c ∂t ((ri ∧ vi) ∧ ur) 

+ 1 ∂ 

2c 

2 

∂t2 

 

 

qiri(t − r/c)(ri(t − r/c).ur 

i 

 

D’après (17), on peut ajouter un terme proportionnel à ur sans changer le champ 

magnétique B puisque −→ 

rotr = 0. On ajoute donc le terme − µ0 ∂ 

24πrc 

2 

∂t2 

i qir2 

i ur : 

 

µ0 

 

A(r,t) ≃ qivi(t − r/c) + 

r≫ri 4πr 

i 

1 ∂ 

2c ∂t ((ri ∧ vi) ∧ ur) 

+ 1 ∂ 

6c 

2 

∂t2 

 

qi 3ri(t − r/c) 

i 

 

2 

ri(t − r/c).ur − ri ur 

 

Le premier terme fait apparaître la dérivée ˙ p du moment dipolaire, le second le 

moment quadrupolaire (73) et le dernier le moment magnétique orbital m = 

 

Li i = qi 

i 2 ri ∧ vi. On a finalement 

qi 

2mi 

A(r,t) ≃ 

r≫ri 

µ0 

4πr ˙ p(t − r/c) + µ0 

4πrc ˙ m(t − r/c) ∧ ur + µ0 

24πrc ¨ Drr(t − r/c)ur 

On peut montrer que l’énergie électromagnétique totale rayonnée est 

1 

µ0 

E ∧ B .d S = 2 

3 

¨p 2 (t − r/c) 2 

+ 

4πε0c3 3 

1.5.3.3. Freinage d’une particule par rayonnement 

¨m 2 (t − r/c) 1 

+ 

4πε0c4 180 

3 

d 

dt3 2 Drr 

4πε0c6 On considère le développement des potentiels retardés (31). Le potentiel vecteur 

s’écrit à l’ordre un en ||r − r ′ ||/c 

A (1) (r,t) ≃ 

||r−r ′ ||/c≪t −µ0 

′ ||r − r || ∂ 

4π c ∂t j(r ′ d 

,t) 

3r ′ 

||r − r ′ 

µ0 ∂ 

= − j(r 

|| 4πc ∂t 

′ ,t)d 3 r ′ 

et le potentiel à l’ordre trois 

ϕ (3) (r,t) ≃ 

||r−r ′ 3 

′ 3 3 

1 (−1) ||r − r || ∂ 

||/c≪t 4πε0 3! c ∂t3 ρ(r′ d 

,t) 

3r ′ 

||r − r ′ || 

1 

= − 

24πε0c3 ∂3 ∂t3 

||r − r ′ || 2 ρ(r ′ ,t)d 3 r ′ 

124


La loi de conservation (3) de la charge permet d’écrire le potentiel sous la forme 

ϕ (3) (r,t) ≃ 

||r−r ′ 1 

||/c≪t 24πε0c3 ∂2 ∂t2 

||r − r ′ || 2 divr ′ j(r ′ ,t)d 3 r ′ 

1 

= 

24πε0c3 ∂2 ∂t2 

divr ′ 

 

||r − r ′ || 2j(r ′ 

,t) d 3 r ′ 

1 

− 

24πε0c3 ∂2 ∂t2 

2||r − r ′ || −−→ 

gradr ′ ||r − r ′ ||j(r ′ ,t)d 3 r ′ 

où on a utilisé (290) et où la première intégrale se réduit d’après le théorème de Stockes 

(292) à une intégrale de surface nulle puisqu’il n’y a pas de charges et donc pas de 

courant à l’infini. En utilisant 

−−→ 

grad r ′ ||r − r ′ || = 

il reste 

 

∂ ∂ ∂ 

ux + uy + uz 

∂x ′ ∂z ′ ∂z ′ 

 

(x 

− x ′ ) 2 + (y − y ′ ) 2 + (y − y ′ ) 2 

= (x′ − x)ux + (y ′ − y)uy + (z ′ − z)uz 

 

(x − x ′ ) 2 + (y − y ′ ) 2 + (y − y ′ ) 2 

= r′ − r 

||r − r ′ || 

ϕ (3) (r,t) ≃ 

||r−r ′ ||/c≪t − 

Le champ électrique est d’après (17) 

1 

12πε0c3 ∂2 ∂t2 

E(r,t) = − −−→ 

gradr ϕ (3) (r,t) − ∂ 

∂t A (1) (r,t) 

≃ 

||r−r ′ ||/c≪t − 

1 

12πε0c3 ∂2 ∂t2 = 2 1 

3 4πε0c3 ∂2 ∂t2 

 

j(r ′ ,t)d 3 r ′ 

(r ′ − r).j(r ′ ,t)d 3 r ′ 

j(r ′ ,t)d 3 r ′ + µ0 

4πc 

∂2 ∂t2 

Le champ électrique créé par une assemblée de charges qi de vitesses vi est 

E(r,t) ≃ 2 1 

3 4πε0c3 ∂2 ∂t2 

 

qivi(t) = 2 1 

3 4πε0c3 d3 p(t) 

dt3 i 

j(r ′ ,t)d 3 r ′ 

où p(t) est le moment dipolaire (73) de la distribution de charges à l’instant t. 

Les charges sont donc soumises à une force coulombienne (8) 

Fi = qi E(ri,t) ≃ 2 

3 

qi 

4πε0c 3 

d3 2 

p(t) = 

dt3 3 

j 

qiqj 

4πε0c 3 ¨ vj 

(8) Pour une charge unique, cette expression conduit à une apparente contradiction physique. Le 

principe fondamental de la dynamique s’écrit alors en effet 

m˙vi = 2 

3 

q2 i 

4πε0c3 ¨vi 

ce qui conduit à une accélération infinie de la charge. Notons qu’on a tenu compte ici de l’interaction 

de la charge avec le champ électrique qu’elle a elle-même produit. 

125


Le travail par unité de temps, i.e. la puissance instantanée, de l’ensemble de ces forces 

est 

 

i 

F.vi = 2 1 

3 4πε0c3 = 2 

3 

= 2 

3 

 

qivi 

i 

d 3 

p(t) 

dt3 1 

4πε0c3 ˙ p d3 

p(t) 

dt3 1 

4πε0c3 

d 

 

2 

˙p ¨p − ¨p 

dt 

Pour une assemblée de charges dont le mouvement est périodique, le terme ˙ p est nul en 

moyenne sur une période de sorte que la moyenne temporelle de la puissance instantanée 

se réduit à 

〈 

i 

Fvi〉t = − 2 1 

3 4πε0c3 2 ¨p 

et correspond à l’opposé de la puissance (153) émise par rayonnement dipolaire, i.e. 

l’énergie éléctromagnétique emportée par le rayonnement est égale au travail des forces 

d’amortissement conformément au principe de conservation de l’énergie. Ce freinage est 

responsable par exemple de l’instabilité des atomes en mécanique classique. Sans les 

conditions de quantification de Bohr, l’électron spiralerait et s’effondrerait en un temps 

court sur le noyau. 

1.5.4. Absorption et diffusion par une assemblée de charges 

1.5.4.1. Absorption de la lumière par une assemblée de charges 

On considère une assemblée de charges q indépendantes, i.e. on négligera leurs interactions 

mutuelles. On envoie sur le système une onde électromagnétique de pulsation 

ω et polarisée linéairement. On ne tient compte que du champ électrique de l’onde et on 

se place dans l’approximation d’une amplitude des oscillations des charges électriques 

supposée petite devant la longueur d’onde. Par conséquent, la charge est soumise à un 

champ électrique qu’elle voit homogène : 

E(r,t) = E0e −i(k.r−ωt) iωt 

≃ E0e 

||r||≪λ 

(154) 

On rappelle que la partie imaginaire n’a pas de signification physique mais est ajoutée 

pour simplifier les calculs. Dans le modèle de Drude (§ 1.4.1.4.), l’équation de la 

dynamique s’écrit 

m¨x = − m 

τ 

˙x + qEeiωt 

dans la direction du champ électrique. La position de la particule est donnée par la 

partie réelle de x(t). En posant x(t) = x0e iωt , il vient 

− mω 2 x0 = − m 

τ iωx0 

qE 

+ qE ⇔ x0 = − 

m ω2 − i ω 

qEτ 

= −i 

mω(1 + iωτ) 

τ 

126

La densité de courant est 

j = nqq ˙x = iωnqqx0e iωt = nqq 2 τ 

m 

1 

(1 + iωτ) Eeiωt 


(155) 

où nq est la densité de particule de charge q. La force de frottement induit une partie 

imaginaire dans la conductivité. Une partie de l’énergie électromagnétique est absorbée 

par le gaz électronique. Les relations de Maxwell-Faraday (4), Maxwell-Ampère (9) et 

Maxwell-Gauss (10) en supposant la densité de charge nulle à part à l’endroit de la 

charge q conduisent à 

−→ 

rot −→ 

rot E = −−→ 

grad div 

E 

 

− 

=0 

∆ E = − ∂ −→ 

rot 

∂t 

∂j 

B = −µ0 

∂t 

correspondant à une équation des ondes 

∆ ∂j 

E = µ0 

∂t 

 

nqq 

= 

2τ µ0 

= − ω2 

c 2 

= 1 

c 2 

+ 1 

m 

c 2 

∂ 2 E 

∂t 2 

iω 

1 + iωτ 

 

1 − i nqq 

ε0ω 

2τ m 

 

1 − i nqq 

ε0ω 

2τ m 

 

+ 1 

c2 (−ω2 

) E 

 

1 

E 

1 + iωτ 

2 1 ∂ E 

1 + iωτ ∂t2 1 

− 

c2 ∂2E ∂t2 (156) 

de la forme (217). L’assemblée de charge se comporte donc comme un milieu diélectrique 

de constante diélectrique relative complexe : 

εr = 1 − i nqq 

ε0ω 

2τ m 

1 

1 + iωτ 

Dans la limite hautes fréquences, la constante diélectrique relative peut s’écrire 

εr ≃ 

ωτ≫1 1 − 

nqq 2 

mε0ω 2 = 1 − ω2 p 

ω 2 , ω2 p = 

nqq 2 

où ωp est la fréquence de plasma. La constante diélectrique relative est négative donc 

l’indice de réfraction n = √ εr est imaginaire pur pour ω < ωp. Par conséquent, le milieu 

est absorbant à basses fréquences, i.e. pour ω < ωp, et transparent à hautes fréquences 

(ω > ωp). 

mε0 

1.5.4.2. Dispersion anormale par une assemblée de charges 

On considère une charge q liée à un point choisi pour origine par une force 

harmonique de pulsation propre ω0. Le mouvement de la charge est ralentie par une force 

de frottement de la forme − m 

τ ˙x. Le système est soumis à l’action du champ électrique 

d’une onde électromagnétique de pulsation ω. On se place dans la limite des grandes 

longueurs d’onde (154) et on néglige les forces magnétiques. L’équation de la dynamique 

s’écrit dans la direction parallèle au champ électrique 

m¨x = qEe iωt − mω 2 0x − m 

τ ˙x 

127


En cherchant une solution de la forme x(t) = x0e iωt , il vient 

− mω 2 = qE − mω 2 0x0 − i mω 

τ x0 

qE 

⇔ x0 = − 

m ω2 − ω2 0 

La densité de courant électrique induit est alors 

j(x ′ ,t) = q ˙xδ x ′ − x(t) = iωqx0δ x ′ − x(t) q 

= −iω 

2E m ω2 − ω2 0 

 

ω − i τ 

e ω − i τ 

iωt δ x ′ − x(t) 

De manière analogue à (155), la densité de courant comporte une partie imaginaire 

associée à un phénomène d’absorption. L’équation des ondes (156) devient dans le cas 

d’un milieu comportant une densité nq de charges identiques 

∆ ∂j 

E = µ0 

∂t 

 

= 

nqq 

µ0 

2 

= − ω2 

c 2 

= 1 

c 2 

1 

+ 

c2 ∂2E ∂t2 m 

ω 2 

ω 2 − ω 2 0 

2 nqq 

1 − 

mε0 

2 nqq 

1 − 

mε0 

− i ω 

τ 

1 

ω 2 − ω 2 0 

1 

ω 2 − ω 2 0 

+ 1 

c2 (−ω2 

) E 

 

E 

ω − i τ 

2 ∂ E 

− i ω 

τ 

de la forme (217). L’assemblée de charge se comporte donc comme un milieu diélectrique 

de constante diélectrique relative complexe : 

εr = 1 − 

nqq 2 

mε0 

1 

ω 2 − ω 2 0 

− i ω 

τ 

= 1 − nqq 2 τ 

mε0 

∂t 2 

 

τ(ω2 − ω2 0) 

τ2 (ω2 − ω2 0 )2 ω 

+ i 

+ ω2 τ2 (ω2 − ω2 0 )2 + ω2 

1.5.4.3. Diffusion d’une onde par une assemblée de charges 

On considère une charge q liée à un point choisi pour origine par une force 

harmonique de pulsation propre ω0. Ce peut être par exemple un électron lié au noyau 

dans un atome. Le système est soumis à l’action du champ électrique d’une onde 

électromagnétique de pulsation ω. On se place dans la limite des grandes longueurs 

d’onde (154) et on néglige les forces magnétiques. L’équation de la dynamique s’écrit 

dans la direction parallèle au champ électrique 

m¨x = qEe iωt − mω 2 0x 

En cherchant une solution de la forme x(t) = x0e iωt , il vient 

− mω 2 = qE − mω 2 qE 

0x0 ⇔ x0 = − 

m(ω2 − ω2 0 ) 

La densité de courant électrique est alors 

j(x ′ ,t) = q ˙xδ x ′ − x(t) = iωqx0δ x ′ − x(t) q 

= −iω 

2E m(ω2 − ω2 0 )eiωt δ x ′ − x(t) 

128

Par conséquent, le potentiel vecteur (148) loin de la charge est dans la limite nonrelativiste 

de la forme 

A ≃ −iω µ0 

4πr 

q 2 E 

m(ω 2 − ω 2 0 )eiωt 

En négligeant le potentiel (149), le champ électrique (17) s’écrit 

E = − ∂ A 

∂t 

L’intensité de l’onde émise est donc 

I(ω) = |E| 2 = I0 

r 2 

µ0 ω 

≃ 

4πr 

2q2E m(ω2 − ω2 0 )eiωt 

 

µ0q2 2 

ω 

4πm 

2 

ω2 − ω2 

 

 

 

0 

La section efficace de diffusion est pour ce modèle 

2 I(ω) 

σ = r 

I0 

 

µ0q 

= 

2 

2 

ω 

4πm 

2 

ω2 − ω2 

 

 

 

0 

2 

2 

= r 2 

 

 

ω 

q 

2 

ω2 − ω2 

 

 

 

0 

où rq est le rayon classique de la charge q obtenue en égalant l’énergie de masse de la 

particule et celle du champ électromagnétique crée dans tout l’espace par une sphère 

de rayon rq (9) . Un calcul plus rigoureux tenant compte des différentes polarisations du 

champ électrique conduit à l’introduction d’un facteur numérique 8π/3. Dans la limite 

des grandes longueurs d’ondes, i.e. dans le régime de diffusion Rayleigh, la charge “suit” 

le champ électrique et la section efficace est en ω 4 : 

σ ≃ 

ω≪ω0 

8π 

3 r2 4 ω 

q 

ω0 

Cette relation explique pourquoi les courtes longueurs d’onde sont les plus diffusées 

et donc par exemple la couleur bleutée du ciel. Dans la limite des courtes longueurs 

d’ondes, i.e. dans le régime de diffusion Thomson, la charge ne parvient plus à “suivre” 

le champ électrique de sorte que la section efficace dépend de manière négligeable de la 

pulsation de l’onde incidente. 

σ ≃ 

ω≫ω0 

8π 

3 r2 0 

(9) Le concept de rayon classique a été introduit lorsqu’on a voulu attribuer à la masse une origine 

purement électromagnétique. 

129 

2

2.1. Polarisation de la matière 

2. Electromagnétisme des milieux 

Bibliographie : 2, 8, 6, 4. 


2.1.1. Description de la polarisation de la matière 

2.1.1.1. Description microscopique de la polarisation 


2.1.1.1.1. Polarisation atomique 

Sous l’effet d’un champ électrique, le nuage électronique des atomes se déforme et 

le barycentre des charges électroniques peut ne plus être confondu avec le noyau. Le 

moment dipolaire de l’atome est 

 

p = ρ(r)rd 3 

r = −e |φ(r)| 2 rd 3 r 

Pour un champ électrique appliqué suffisamment faible, le calcul peut être mené au 

premier ordre en perturbation. On obtient alors un moment dipolaire proportionnel au 

champ électrique : 

 

2 

p = e 

n ′ l ′ m ′ 

=nlm 

 

〈n ′ l ′ m ′ | E.r|nlm〉〈nlm|r|n ′ l ′ m ′ 〉 

Enlm − En ′ l ′ m ′ 

pour un atome hydrogénoïde dans l’état |nlm〉. 

2.1.1.1.2. Polarisation d’orientation 

+ 〈n′ l ′ m ′ |r|nlm〉〈nlm| E.r|n ′ l ′ m ′ 〉 

Enlm − En ′ l ′ m ′ 

 

Dans certaines molécules, comme l’eau par exemple, les barycentres des charges 

positives et négatives ne sont pas confondus, même en l’absence de champ électrique 

appliqué. Ces molécules possèdent dont un moment dipolaire spontané. Lorsqu’on 

applique un champ électrique, les moments subissent un couple (69) et tendent à 

s’orienter dans la direction du champ. Toutefois, les fluctuations thermiques entravent 

la mise en ordre. 

Considérons une assemblée de N dipôles pi qu’on supposera sans interaction. Dans 

un champ électrique total E, le hamiltonien du système est d’après (70) 

H(pi) = − 

pi. E 

i 

130


A l’équilibre thermodynamique avec un thermostat à une température T, la moyenne 

thermodynamique de la polarisation est 

〈 P 〉 = 

〈pi〉 

i 

= 

= N 

= Np 

 

β 

pie i pi. E 2 d p1 ...d 2pN β 

e 

i pi. E 

d2p1 ...d 2pN i 

 

βp. pe E 2 d p 

 

eβp. Ed2p 2π 

0 

π 

0 

⎛ 

⎝ 

⎡ 

= Np ⎣ 

1 

tanh 

2π 

0 

sinθ cos φ 

sinθ sinφ 

pE 

kBT 

≃ 

kBT ≫pE N p E 

3kBT 

cos θ 

π 

⎞ 

⎠ e βpE cos θ sinθdθdφ 

0 eβpE cos θ sin θdθdφ 

− kBT 

⎤ 

⎦uz 

pE 

si l’axe (Oz) est choisi dans la direction du champ et où les intégrales sont prises sur 

toutes les orientations possibles de p. La constante diélectrique est finalement dans la 

limite champ faible 

D = ε0εr E = ε0 E + Np 

3kBT E ⇔ εr = 1 + Np 

3ε0kBT 

Notons qu’on peut également obtenir la polarisation moyenne par dérivation de l’énergie 

libre : 

〈P 〉 = − ∂F 

∂E 

2.1.1.1.3. Polarisation ionique 

Dans un cristal ionique, comme par exemple le sel Na + Cl − , les barycentres des 

charges positives et négatives sont confondues dans chaque maille. Lorsqu’un champ 

électrique est appliqué, les ions de signes opposés sont entraînés dans des directions 

opposées de sorte que le cristal porte un moment dipolaire non nul. 

Le cristal ionique, lorsqu’il ne possède pas de polarisation spontanée, est dit 

paraélectrique. Alors que la stabilité du cristal est assurée par l’interaction électrostatique 

entre les ions, l’interaction avec les dipôles électrique conduit parfois un ion à quitter 

légérement sa position d’équilibre. C’est par exemple le cas de l’ion Ti 4+ dans le titanate 

de baryium Ba 2+ Ti 4+ O 2− 

3 . Par ce mécanisme, appelé instabilité structurale, le 

cristal acquière une polarisation spontanée non nulle. Le cristal est dit ferroélectrique. 

L’apparition d’un polarisation spontanée peut également être provoquée par une transition 

structurale. A haute température, les fluctuations thermiques détruisent la polarisation. 

On observe à une température critique une transition entre une phase 

131


ferroélectrique et une phase paraélectrique en tout point analogue à la transition ferromagnétique-paramagnétique. 

Figure 42 : [ Fig 1 ] Polarisation en fonction de la température [7] dans le cristal 

BaTiO3. 

2.1.1.1.4. Polarisation d’interface 

Dans un conducteur, les électrons libres et les ions se répartissent de telle manière 

que la densité de charge est partout nulle en l’absence de champ électrique appliqué. 

L’équilibre mécanique des charges impose en effet l’annulation des forces coulombiennes 

et donc du champ électrique en tout point. Un champ électrique extérieur modifie cette 

répartition des charges qui peut conduire à un moment dipolaire macroscopique. 

Dans le cas d’une sphère à la terre plongée dans un champ uniforme Eex. = Eex.uz 

(§ 1.2.3.6.), il apparaît une distribution de charge en surface 

σ = 3ε0Eex. cos θ 

se comportant comme un moment dipolaire 

p = 4πε0R 3 Eex. 

2.1.1.2. Description macroscopique de la polarisation 

Un matériau possédant un moment dipolaire spontané ou induit est dit diélectrique. 

Au champ électrique appliqué Eex. s’ajoute le champ généré Epol. par le moment dipolaire 

macroscopique de la matière : 

E = Eex. + Epol. 

(157) 

On suppose que les propriétés diélectriques du matériau peuvent être correctement 

reproduites en supposant qu’il est équivalent à une assemblée de dipôles {pi} répartis 

dans tout le volume. On définit une densité de polarisation P(r) à partir de cette 

132


assemblée de dipôles par un processus de moyenne spatiale sur de petites régions de 

l’espace (coarse-graining) : 

P(r) = 

pif(r − ri) (158) 

i 

où f(r) une fonction maximale en r = 0 et qui décroît rapidement vers 0 lorsqu’on 

s’éloigne de l’origine. Si la longueur caractéristique de cette décroissance est grande 

devant l’échelle microscopique, i.e. la distance entre dipôles, la polarisation ainsi définie 

est continue et uniforme lorsque les dipôles sont tous identiques. Toutes les grandeurs 

( E,ϕ,...) dont il sera question dans la suite sont le résultat de ce processus de moyenne, 

i.e. par exemple 

〈 

E(r)〉 = E(r ′ )f(||r − r ′ ||)d 3 r ′ 

2.1.1.3. Charges de polarisation 

Le potentiel électrique créé par une assemblée de dipôles est d’après (65) 

ϕpol.(r) = 1 

4πε0 

 

i 

pi.(r − ri) 

||r − ri|| 3 

A l’échelle macroscopique, le processus de coarse-graining conduit à un potentiel 

〈ϕpol.(r)〉 = 1 

 

ϕ(r 

4πε0 V 

′ )f(||r − r ′ ||)d 3 r ′ 

= 1 

 

pi.(r 

4πε0 V i 

′ − ri) 

||r ′ − ri|| 3 f(||r − r′ ||)d 3 r ′ 

= 1 

 

pi.(r − r 

4πε0 V i 

′′ ) 

||r − r ′′ || 3 f(||ri − r ′′ ||)d 3 r ′′ 

= 1 

 

(r − r 

4πε0 

′′ ) 

||r − r ′′ || 3 

 

pif(||ri − r ′′ ||)d 3 r ′′ 

V 

= 1 

 

4πε0 V 

P(r ′′ ).(r − r ′′ ) 

||r − r ′′ || 3 d 3 r ′′ 

où on a effectué le changement de variable r ′ − ri = r − r ′′ . Dans la suite, on omet les 

crochets. On a la relation 

ϕpol.(r) = 1 

 

P(r 

4πε0 V 

′ ).(r − r ′ ) 

||r − r ′ || 3 d 3 r ′ 

= 1 

 

P(r 

4πε0 V 

′ ). ∇r ′ 

 

1 

||r − r ′ 

d 

|| 

3 r ′ 

= 1 

 

P(r ′ ) 

div 

4πε0 ||r − r ′ 

d 

|| 

3 r ′ − 1 

 

div 

4πε0 

P(r ′ ) 

||r − r ′ || d3r ′ 

= 1 

4πε0 

 

V 

∂V 

P(r ′ ).d S ′ 

||r − r ′ || 

133 

i 

 

1 

− 

4πε0 V 

V 

div P(r ′ ) 

||r − r ′ || d3 r ′


où on a utilisé (290) et le théorème de Stockes (292). Le potentiel créé par la densité 

de polarisation P est donc équivalent à celui d’une distribution de charges fictives de 

densité surfacique et volumique 

σpol. = P.n, ρpol. = −div P (159) 

appelées charges de polarisation. On peut également aboutir à cette distribution de 

charges en décomposant les dipôles pi, sur lesquels reposent la description du matériau, 

en couples de charges opposées. Lorsque la densité de polarisation est uniforme, les 

charges positives et négatives se compensent en tout point. Seule une variation de la 

densité de polarisation, ou de manière équivalente le bord du matériau, brise cette 

compensation locale et conduit à une densité de charge non nulle. La charge de 

polarisation totale dans le système est nulle : 

 

Qpol. = ρpol.d 3 

r + σpol.dS 

V 

 

= − 

 

= − 

= 0 

V 

∂V 

∂V 

div Pd 3 

r + 

P.d 

S + 

∂V 

∂V 

P.d S 

P.ndS 

puisque la polarisation correspond à un déplacement des barycentres des charges 

positives et négatives déjà présentes et non à l’apport de nouvelles charges électriques. 

Le champ électrique total est finalement dans la limite électrostatique 

E(r) = − −−→ 

grad ϕ 

= − −−→ 

 

ρex.(r 

grad 

V 

′ ) + ρpol.(r ′ ) 

4πε0||r − r ′ d 

|| 

3 r ′ 

+ 

= − −−→ 

ρex.(r 

grad 

′ ) − div P(r ′ ) 

4πε0||r − r ′ d 

|| 

3 r ′ 

+ 

2.1.1.4. Équations de Maxwell dans les diélectriques 

∂V 

∂V 

σex. + σpol. 

4πε0||r − r ′ || dS 

 

σex. + P.n 

4πε0||r − r ′ || dS 

(160) 

En utilisant (157) et (159), l’équation de Maxwell-Gauss (10) s’écrit dans un 

diélectrique 

div Etot. = ρtot. 

ε0 

= ρex. 

ε0 

− div P 

ε0 

On introduit le champ d’induction électrique 

(161) 

D = ε0 Etot. + P (162) 

de sorte qu’on peut préserver la forme de l’équation de Maxwell-Gauss : 

div D = ε0 div Etot. + div P = ρtot. − ρpol. = ρex. 

134 

(163)


De manière analogue à § 1.2.2.2., on a donc une discontinuité de la composante normale 

à la surface de l’induction électrique proportionnelle à la densité de charge excitatrice 

sur cette surface : 

D n 1 − D n 2 = σex. 

(164) 

Le mouvement des charges de polarisation engendre un courant de densité jpol. satisfaisant 

la loi de conservation 


divjpol. + ∂ρpol. 

∂t 

= 0 

divjpol. − ∂ 

∂t div P = 0 ⇔ jpol. = ∂ P 

∂t 

L’équation de Maxwell-Faraday (4) s’écrit alors 

−→ 

rot B = µ0jtot. ∂ 

+ µ0ε0 

Etot. 

∂t 

= µ0 jex. + µ0 jpol. + µ0 

= µ0jex. ∂ 

+ µ0 

D 

∂t 

∂ 

D − P ∂t 

(165) 

Les deux autres équations de Maxwell découlant de la définition des potentiels, elles 

ne sont pas modifiées dans un diélectrique. Par conséquent, comme pour le champ 

électrique, les composantes tangentielles de l’induction électrique sont continues lors de 

la traversée d’une surface chargée si le champ magnétique ne présente pas de divergence 

à la surface. En combinant cette proposition avec (164), il vient 

D2 = D1 + σex.n (166) 

2.1.1.5. Travail et thermodynamique dans les diélectriques 

Afin de déterminer le travail des forces électriques agissant sur un diélectrique, on 

suppose le système inséré dans un conducteur servant de réservoir de charges électriques 

et maintenant le potentiel constant à la surface du diélectrique. Lors d’une variation 

δqex. d’une charge excitatrice, le travail est donné par la variation d’énergie potentielle 

(49) : 

δW = ϕδqex. 

A l’équilibre, les charges excitatrices apportées le conducteur se répartissent à la surface 

du diélectrique. La charge excitatrice totale portée par le diélectrique est d’après (166) 

 

qex. = 

∂V 

D.d S 

135


puisque le champ électrique est nul dans le conducteur. Le travail est donc 

 

δW = ϕδ D.d S 

 

= 

 

= 

 

= 

∂V 

V 

V 

∂V 

ϕδ D.d S 

div ϕδ D d 3 r 

ϕ div δ Dd 3 

r + 

V 

−−→ 

gradϕ.δ Dd 3 r 

La première intégrale s’annule d’après (163) puisque div D = ρex. = 0. En utilisant la 

définition (17), il reste 

 

δW = − 

V 

Etot..δ Dd 3 r 

Lors d’une transformation réversible, la variation d’énergie libre du diélectrique est 

 

dF = −SdT − Etot..δ Dd 3 r 

2.1.2. Diélectriques linéaires 

2.1.2.1. Réponse diélectrique linéaire 

V 

La polarisation locale P(r) d’un matériau est causée par non seulement par 

l’application d’un champ électrique Eex. mais aussi par le champ électrique engendré 

par les autres dipôles. De manière générale, la polarisation est donc une fonction du 

champ électrique total : 

P = P( Etot.) 

La polarisation reste généralement faible pour les champs électriques accessibles 

expérimentalement (10) . Elle peut donc s’écrire sous la forme d’un développement de 

Taylor tronqué aux premiers ordres. Si on s’arrête à l’ordre un, il vient de manière 

générale 

Pµ(r,t) = Pµ(r,t) 

E=0 + 

3 

 

ν=1 

lR 3 

t 

−∞ 

χµν(r −r ′ ,t −t ′ )(Etot.)ν(r ′ ,t ′ )d 3 r ′ dt ′ + O(E 2 tot.) 

Le terme d’ordre zéro, 

P(r) 

E=0 

, est la polarisation spontanée. Le terme d’ordre un est 

la réponse diélectrique linéaire du système. χµν(r − r ′ ,t − t ′ ) est appelée susceptibilité 

(10) Ces champs restent en effet très faibles par rapport aux champs électriques intenses qui existe 

entre les molécules du cristal. Rappelons que le champ électrique ressenti par l’électron de l’atome de 

Bohr est 

e 

4πε0a2 0 

≃ 5.7 10 11 V m −1 , soit 570 GV/m ! 

136


diélectrique du milieu. A part pour les électrons de conduction qui sont délocalisés 

(Réponse diélectrique du gaz d’électrons libres), la réponse à un champ appliqué reste 

locale (à l’échelle macroscopique), i.e. χµν(r−r ′ ,t−t ′ ) = χµν(t−t ′ )δ(r−r ′ ). Par ailleurs, 

si le champ appliqué ne présente que des fréquences d’oscillation petites devant les 

fréquences propres des électrons, la polarisation suit le champ appliqué instantanément. 

Il reste 

Pµ(r,t) ≃ Pµ(r,t) 

E=0 + 

Le champ d’induction électrique est alors 

3 

Dµ = ε0(Etot.)µ + Pµ ≃ 

ν=1 

3 

ν=1 

ε0 

χµν(Etot.)ν(r ′ ,t) 

 

δµ,ν + χµν 

On introduit la permittivité relative du milieu diélectrique 

(εr)µν = δµ,ν + χµν 

de manière à simplifier l’expression du champ d’induction : 

3 

Dµ = 

ν=1 

ε0 

ε0εrµνEν 

ε0 

 

(Etot.)ν 

(167) 

Si le milieu est homogène, il existe un système d’axes diagonalisant le tenseur (εr)µν. 

Les valeurs propres de εrµν sont appelées constantes diélectriques principales. Si 

le diélectrique est isotrope, ces trois valeurs propres sont identiques et on peut écrire 

D = ε0 Etot. + P = ε0εr Etot. 

(168) 

On peut également un tenseur inverse η = ε −1 

r de telle sorte que le champ 

d’excitation électrique puisse s’écrire en fonction du champ d’induction : 

3 

(169) 

Eµ = ε0 ηµνDν 

ν=1 

Dans le système d’axes diagonalisant le tenseur [εr], on a ηµµ = 1/εrµµ. Pour un système 

isotrope, η = 1/εr. 

2.1.2.2. Équations de Maxwell dans les diélectriques linéaires isotropes 

Dans le cas d’un diélectrique linéaire et isotrope, l’équation de Maxwell-Gauss (163) 

s’écrit 

ρex. = div D = div ε0εr 

Etot. = ε0εr div −−→ 

Etot. + ε0 gradεr. Etot. 

et se réduit dans le cas d’un milieu homogène, i.e. −−→ 

gradεr = 0, à 

div Etot. = ρex. 

ε0εr 

= ρtot. 

ε0 

Il en découle l’équation de Poisson (39) 

∆ϕ = − ρex. 

ε0εr 

L’équation de Maxwell-Ampère (165) prend pour expression 

−→ 

rot B = µ0jex. ∂ 

+ µ0ε0εr 

Etot. 

∂t 

137


2.1.2.3. Distribution de charge dans les diélectriques conducteurs 

On considère un diélectrique de permittivité relative εr et de conductivité σ. En 

combinant la loi d’Ohm (103) et l’équation de Maxwell-Gauss (10), on obtient la loi 

de conservation de la charge totale 

divjtot. = div(σ Etot.) = σ div Etot. + Etot.. −−→ 

gradσ = − ∂ρtot. 

∂t 

En utilisant la relation (163) pour un milieu linéaire, i.e. avec (168), il vient 

div D = div(ε0εr Etot.) = ε0εr div Etot. + ε0 Etot.. −−→ 

gradεr = ρex. 

En combinant (170) et (171) de manière à éliminer div E, il reste 

On a donc 

ε0εr Etot.. −−→ 

grad σ − σε0 Etot.. −−→ ∂ρtot. 

grad εr = −ε0εr 

∂t 

ρex. + ε0εr 

σ 

∂ρtot. 

∂t = ε0 

Etot.. − εr 

σ 

= ε0 Etot.. 

= ε0σ Etot.. 

−−→ 

gradσ + −−→ 

 

gradεr 

 

εrσ −−→ 

grad 1 

 

εr 

σ 

−−→ 

grad 1 

σ 

= ε0σ Etot.. −−→ 

grad εr 

σ 

En utilisant la loi d’Ohm (103), il reste finalement 


σ 

∂ρtot. 

∂t 

= ε0 j. −−→ 

grad εr 

σ 

 

−−→ 

+ gradεr 

 

1 −−→ 

+ gradεr 

σ 

− σρex. 

(170) 

(171) 

(172) 

Dans le régime stationnaire ∂ρtot. 

∂t = 0, la densité de charge excitatrice est d’après 

(172) 

lim 

t→+∞ ρex. = ε0j. −−→ 

grad εr 

σ 

Lorsque la constante diélectrique εr et la conductivité σ sont uniformes, le second 

membre de (172) s’annule et il reste 


σ 

∂ρtot. 

∂t 

= 0 (173) 

Si les charges de polarisation ne dépendent pas du temps, i.e. ∂ρtot. 

∂t 

(173) conduit à 

σ − ε ρex.(t) = ρex.(0)e 0εr t 

Le milieu est équivalent à un circuit RC de caractéristique RC = ε0εr 

σ . 

138 

= ∂ρex. 

∂t , l’équation

2.1.2.4. Énergie dans les diélectriques linéaires 


2.1.2.4.1. Expression de l’énergie dans les diélectriques linéaires 

Dans un milieu diélectrique, l’énergie électromagnétique est définie comme 

HEM = 1 

 

E. 

2 2 

D + c B 

2 

d 3 r (174) 

En effet, le flux d’énergie s’écrit d’après (28) comme 

1 

µ0 

 

div E ∧ B 

= 1 

 

B. −→ 

rot E − E. −→ 

rotB µ0 

= − 1 

B. ∂ B 

∂t − 

E. jex. + ∂ 

D 

∂t 

µ0 

= − 1 

2µ0 

∂ 

∂t B2 − E. ∂ 

∂t D −jex.. E 

(175) 

où on a utilisé l’équation de Maxwell-Faraday (165) dans le diélectrique, l’équation de 

Maxwell-Ampère (9) et les relations (290). Dans le cas d’un diélectrique linéaire, i.e. 

pour lequel on a (167), la loi de conservation de l’énergie s’écrit 

1 

µ0 

où on a utilisé la symétrie 

 

div E ∧ B 

= − 1 ∂ 

2µ0 ∂t B2 − ε0 

εrµν = εrνµ 

= − ε0 

2 

 

∂ 

c 

∂t 

2 B 2 + 

3 

µ,ν=1 

3 

µ,ν=1 

∂Eν 

εrµνEµ 

∂t −jex.. E 

εrµνEµEν 

nécessaire pour que puisse être définie une énergie électrostatique 

HEM = ε0 

2 

 

3 

µ,ν=1 

 

−jex.. E 

εrµνEµEν + c 2 B 2 

d 3 r (176) 

conservée lorsqu’il n’y a pas de dissipation d’énergie par effet Joule, i.e. lorsque jex. = 0 

et div E ∧ B = 0. 

2.1.2.4.2. Ellipsoïdes de Fresnel et des indices 

Dans le cas de champs homogènes, on définit l’ellipsoïde de Fresnel comme le 

lieu géométrique des extrémités de E pour une densité d’énergie hEM donnée 

hEM = 1 

2 ε0 

3 

µ,ν=1 

εrµνEµEν 

139 

(177)


L’induction électrique D est en tout point perpendiculaire à cet ellipsoïde : 

⎛ ⎞ 

−−→ 

grad E hEM = ε0 

⎜ 

⎝ 

3 

µ=1 ε1µEµ 

3 

µ=1 ε2µEµ 

3 

µ=1 ε3µEµ 

⎟ 

⎠ = ε0 D 

Dans le système d’axes diagonalisant le tenseur εrµν, l’équation (177) se réduit à 

2 hEM 

ε0 

= 

3 

µ=1 

εrµµE 2 µ 

En utilisant (169), on peut définir l’ellipsoïde des indices comme le lieu géométrique 

des extrémités de D pour une densité d’énergie hEM donnée 

3 

hEM = 1 

2 ε0 

µ,ν=1 

ηµνDµDν 

L’excitation électrique E est en tout point perpendiculaire à cet ellipsoïde. Il existe 

également un système d’axes principaux diagonalisant le tenseur ηµν et réduisant 

l’ellispoïde des indices à 

2 hEM 

ε0 

= 

3 

µ=1 

ηµµD 2 µ 

2.1.2.4.3. Électrostriction 

On considère un milieu diélectrique initialement homogène de densité de masse ρm. 

On suppose que sa permittivité relative εr ne dépend que de la densité de masse. La 

variation d’énergie électrostatique lors d’une variation δρm(r) de la densité de masse 

est d’après (176) 

δHEM = 1 

2 ε0 

 

V 

d 3 r δεrE 2 = 1 

2 ε0 

 

V 

En utilisant la loi de conservation de la masse 

d 3 r dεr 

E 

dρm 

2 δρm(r) 

div (ρmv) + ∂ρm 

∂t = 0 ⇔ div (ρmδu) + δρm = 0 

où δu est le déplacement de la densité de masse conduisant à la variation δρm, il vient 

δHEM = 1 

2 ε0 

 

d 

V 

3 r dεr 

div (δu) E 

dρm 

2 

= 1 

2 ε0 

 

d 

V 

3 

dεr 

r div E 

dρm 

2 

δu − 1 

2 ε0 

 

d 

V 

3 r −−→ 

 

dεr 

grad E 

dρm 

2 

 

.δu 

= 1 

2 ε0 

 

dεr 

E 

∂V dρm 

2 δu.d S − 

 

=0 

1 

2 ε0 

 

d 

V 

3 r −−→ 

 

dεr 

grad E 

dρm 

2 

 

.δu 

D’après l’équation de Bernoulli, une variation d’énergie induit une pression P dans un 

fluide. Dans un diélectrique, on a une pression 

P = 1 

2 ε0 

dεr 

dρm 

E 2 

140

2.1.3. Exemples de calculs dans les milieux polarisés 

2.1.3.1. Polarisation spontanée d’une plaque infinie 


On considère une plaque d’épaisseur a dans la direction (Ox) et infinie dans les 

deux autres directions de l’espace. La plaque est supposée uniformément polarisée de 

vecteur polarisation P faisant un angle α avec (Ox). D’après (159), la polarisation 

équivaut aux charges de polarisation 

ρpol. = −div P = 0, σpol. = 

− P cos α, x = −a/2 

P.n = 

P cos α, x = a/2 

On a donc deux plans chargés infinis d’équation x = −a/2 et x = /2. Chacun de ces 

plans crée un champ électrique E = ± σpol. 

2ε0 ux avec le signe − à gauche et + à droite. 

Puisque le champ total est la somme des champs créés par chacune des deux plaques, 

E = 0 à l’extérieur de la plaque. A l’intérieur, on a 

E = − σpol. P cos α 

ux = − ux 

ε0 

Le champ électrique total s’oppose à la polarisation. 

ε0 

2.1.3.2. Polarisation d’une plaque infinie diélectrique sous champ 

On considère une plaque diélectrique de constante εr, d’épaisseur a dans la direction 

(Ox) et infinie dans les deux autres directions de l’espace. On crée dans la plaque 

un champ électrique Eex. = E0ux en imposant une densité de charge ±σex. sur ses 

deux surfaces. D’après le théorème de Gauss (163), il apparaît un champ d’induction 

électrique proportionnel au champ électrique créé par deux plans infinis en x = ±a/2 

et de charge de surface σex.. On a donc 

D = σex.ux 

en tout point de la plaque. D’après (162), il en découle 

D = ε0εr Etot. ⇔ Etot. = D 

ε0εr 

= σex. 

ux 

ε0εr 

dont on peut tirer ensuite la polarisation P de la plaque sous l’influence du champ Eex. : 

D = ε0 Etot. + P ⇔ P = D − ε0 

Etot. = 1 − 1 

 

Cette polarisation équivaut aux charges de polarisation (159) 

εr 

εr 

σex.ux 

ρpol. = −div P = 0, σpol. = ⎧ 

⎪⎨ − 1 − 

P.n = 

⎪⎩ 

1 

 

σex., x = −a/2 

εr 

 

1 − 1 

 

σex., x = a/2 

141


2.1.3.3. Champ électrique créé par une sphère polarisée 

On considère une sphère de rayon R et d’origine O. La sphère porte une polarisation 

P = P0uz uniforme. D’après (159), la polarisation équivaut aux charges de polarisation 

ρpol. = −div P = 0, σpol. = P.n = P0uz.ur = P0 cos θ 

La distribution de charge est invariante sous les rotations d’angle φ donc le potentiel 

et le champ électrique ne dépendent pas de φ. Tous les plans contenant l’axe (Oz) 

sont des plans de symétrie de la distribution de charge. Par conséquent, E = Euz en 

tout point de l’axe (Oz). Les symétries ne sont toutefois pas suffisantes pour utiliser le 

théorème de Gauss. En revanche, on peut intégrer l’équation de Laplace qui admet 

(253) pour solution en coordonnées sphériques. Puisque ϕ ne dépend pas de φ, on doit 

avoir Clm = 0 pour tout m = 0. Par ailleurs, on doit distinguer les régimes r < R et 

r > R. L’absence de divergence du potentiel en r = 0 et r → +∞ permet de réduire 

l’expression à 

⎧ 

⎪⎨ 

ϕ(r,θ) = 

⎪⎩ 

+∞ 

l=0 

+∞ 

l=0 

Elr l Pl(cos θ), (r < R) 

Flr −(l+1) Pl(cos θ) (R < r) 

où on a posé El = Cl0Al et Fl = Cl0Bl. La continuité du potentiel en r = R impose 

 

ElR l Pl(cos θ) = 

FlR −(l+1) Pl(cos θ) 

l 

l 

En multipliant les deux membres par Pl ′(cos θ) sinθ et en intégrant θ de 0 à π, les 

propriétés d’orthogonalité des polynômes de Legendre (268) conduisent à 

ElR l = FlR −(l+1) ⇔ Fl = ElR 2l+1 

(178) 

La discontinuité des composantes normales du champ électrique Etot. à la surface de la 

sphère r = R impose d’après (55) 

lim 

r→R + 

E.n − lim 

r→R− E.n = σ 

ε0 

⇔ − lim 

r→R + 

−−→ 

gradϕ.ur + lim 

r→R− −−→ 

gradϕ.ur = σ 

ε0 

⇔ − lim 

r→R + 

∂ϕ 

+ lim 

∂r r→R− ∂ϕ 

∂r = P0 cos θ 

ε0 

puisque le vecteur normal à la surface est n = ur. On a donc 

⇔ 

− 

l 

 

−(l + 1)FlR −(l+2) − lElR l−1 

Pl(cos θ) = P0 cos θ 

 

(2l + 1)ElR l−1 Pl(cos θ) = P0 cos θ 

l 

142 

ε0 

ε0


où on a utilisé (178). En remarquant que cosθ = P1(cos θ), il vient en utilisant 

l’orthogonalité des polynômes de Legendre : 

3E1R 0 = P0 

ε0 

⇔ E1 = P0 

3ε0 

et El = 0 pour tout l = 1. Il reste finalement le potentiel 

⎧ 

P0 cos θ 

⎪⎨ r = 

3ε0 

ϕ(r,θ) = 

⎪⎩ 

P0 

z, r < R 

3ε0 

P0 cos θ R 

3ε0 

3 

, r > R 

r2 A l’intérieur de la sphère, le champ électrique est uniforme et dirigé dans la direction 

de la polarisation : 

Etot. = − ∂ϕ 

∂z uz = P0 

uz = 

3ε0 

1 

P 

3ε0 

A l’extérieur de la sphère, le potentiel est de la même forme (65) que celui créé par un 

dipôle de moment dipolaire total 

p = 4π 

3 R3 P0 

conformément à la définition (158) de la polarisation. 

2.1.3.4. Polarisation d’un cylindre diélectrique par une ligne chargée 

On considère un cylindre de constante diélectrique εr, de rayon R et d’axe de 

révolution confondu avec (Oz) et une ligne de densité linéique de charge λ parallèle 

à (Oz). La distribution de charge est invariante par translation suivant (Oz) donc le 

potentiel électrique ne dépend pas de la coordonnée z. 

2.1.3.4.1. Potentiel électrique créé par la ligne chargée 

Le potentiel électrique créé par une ligne chargée passant par l’origine est d’après 

(63) 

ϕ(r,θ) = − λ 

lnr 

2πε0 

Dans le cas d’une ligne passant par le point r0, la distance séparant le point r du fil est 

R = ||r − r0|| = 

et donc dans le cas r < r0 

⎡ 

r 

lnR = ln⎣r0 

1 + 

 

r 2 + r 2 0 − 2rr0 = 

r0 

2 

− 2 r 

r0 

cos θ 

 

r 2 + r 2 0 − 2rr0 cos θ 

1/2 ⎤ 

= lnr0 + 1 

+∞ (−1) 

2 

n=1 

n+1 

2 r 

− 2 

n r0 

r 

n cos θ 

r0 

143 

⎦


Un développement analogue peut être fait dans le cas r > r0 en factorisant r. Il vient 

le potentiel électrique créé par le fil chargé 

⎧ 

λ 

⎪⎨ 2πε0 

ϕ(r,θ) = 

λ 

⎪⎩ 

2πε0 

+∞ 

n=1 

 

+∞ 

n=1 

 

n 

1 r 

cos nθ − lnr0 , (r < r0) 

n r0 

1 

n 

 

 

r0 

n 

cos nθ − lnr , (r > r0) 

r 

2.1.3.4.2. Potentiel créé par la ligne et le cylindre 

(179) 

On ajoute au potentiel créé par le fil (179) la solution générale de l’équation de 

Laplace (251) en coordonnées polaires correspondant au potentiel créé par le cylindre. 

On a 

ϕ(r,θ) = 

+∞ 

n=1 

(An cos knθ + Bn sinknθ) Cnr kn 

−kn + Dnr 

⎧ 

⎪⎨ 2πε0 

+ (E + Fθ) (G + H lnr) 

λ 

⎪⎩ 2πε0 

λ 

+∞ 

n=1 

 

+∞ 

n=1 

 

n 

1 r 

cos nθ − lnr0 , (r < r0) 

n r0 

1 

n 

 

 

r0 

n 

cos nθ − lnr , (r > r0) 

r 

La transformation θ → θ + 2π doit laisser le potentiel invariant. kn doit donc être un 

entier et F = 0. Dans le diélectrique, le potentiel ne peut pas diverger donc Dn = 0 

alors qu’à l’extérieur, l’absence de divergence du potentiel impose Cn = 0. De plus, la 

distribution de charge est invariante par la transformation θ → −θ donc Bn = 0 pour 

tout n. Enfin, le potentiel est fini dans la limite r → +∞ donc H = 0. Il reste donc 

ϕ(r,θ) = λ 

2πε0 

⎧ 

⎪⎨ 

⎪⎩ 

+∞ 

n=1 

+∞ 

n=1 

+∞ 

n=1 

n 1 r 

n r0 

n 1 r 

n r0 

1 

n 

 

r0 

n 

r 

cos nθ − lnr0 + 

Anr n cos nθ + E, (r < R) 

n 

cos nθ − lnr0 + 

Bnr −n cos nθ + F, (R < r < r0) 

n 

cos nθ − lnr + 

Bnr −n cos nθ + F, (r > r0) 

La continuité du potentiel et de la composante normale de l’induction D sur le plan 

r = R impose 

⎧ 

⎪⎨ 

ϕ(r → R−,θ) = ϕ(r → R+,θ) 

 

⎪⎩ 

∂ϕ ∂ϕ 

εr = 

∂r ∂r 

r→R− 

r→R+ 

144 

n

On peut alors montrer qu’on a 

⎧ 

λ 

πε0εr 

⎪⎨ 

λ 

ϕ(r,θ) = 2πε0 

λ 

⎪⎩ 

2πε0 

+∞ 

n=1 

+∞ 

n=1 

+∞ 

n=1 

n 1 r 

cos nθ − lnr0 − 

n r0 

λ 

lnr0 

2πε0 

1 

n 

1 

n 

r 

r0 

r0 

r 

n 

n 

 

2 

+ 

εr 

 

2 

+ 

εr 

2 R 

− 1 

r0 

2 R 

− 1 

r0 

n 

n 


r −n 

 

cos nθ − λ 

lnr0, 

2πε0 

(R < r < r0) 

r −n 

 

cos nθ − λ 

lnr, (r > r0) 

2πε0 

A l’extérieur du cylindre, le potentiel estle même que celui créé par un fil infini passant 

2 

par O et de densité linéique de charge λ − 1 . 

εr 

2.1.3.5. Polarisation d’une sphère diélectrique par une charge ponctuelle 

On considère une sphère de centre O, de rayon R et de constante diélectrique εr et 

une charge ponctuelle de charge q situé au point r0 = r0uz. La distribution de charge 

est invariante par rotation d’axe (Oz) donc le potentiel ne dépend pas de φ. 

Le potentiel créé par la charge électrique s’écrit d’après (76) 

q 

ϕ(r,θ) = 

4πε0||r − r0|| 

q 

= 

4πε0 r2 + r2 0 − 2rr0 cos θ 

⎧ 

q 

l r 

⎪⎨ 

Pl(cos θ), (r < r0) 

4πε0r0 r0 

l 

= 

q 

r0 

l 

⎪⎩ 

Pl(cos θ), (r > r0) 

4πε0r r 

l 

où apparaît la fonction génératrice (269) des polynômes de Legendre. On peut aussi 

obtenir cette expression à partir des solutions (253) de l’équation de Laplace en 

coordonnées sphériques. L’invariance de la distribution de charge sous une rotation 

d’axe (Oz) impose l’indépendance du potentiel avec φ et donc on doit avoir Clm = 0 

pour tout m = 0. Pour identifier les constantes Cl0Al et Cl0Bl, on se place en θ = 0 de 

sorte que ||r − r0|| = |r − r0|. On doit alors distinguer le cas r < r0 et r > r0. 

Le potentiel créé par la sphère diélectrique satisfait également l’équation de 

Laplace qui admet (253) pour solution en coordonnées sphériques. L’invariance sous 

la rotation d’angle φ impose que le potentiel ne dépende pas de φ et donc que Clm = 0 

pour tout m = 0. Rappelons que P m 

l (x) = Pl(x) (§ 3.3.0.2.). La polarisation de la 

sphère provoque une accumulation de charges de polarisation à sa surface de sorte que 

la composante normale du champ électrique, et donc la dérivée du potentiel, y sont 

discontinues. On doit donc distinguer les régimes r < R et r > R. Puisque le potentiel 

145


ne peut pas diverger en r = 0 et r → +∞, il reste 

⎧ 

⎪⎨ 

ϕ(r,θ) = 

⎪⎩ 

+∞ 

l=0 

+∞ 

l=0 




 



l 

l 




Le potentiel total est de la forme 

⎧ 

q 

l r 

Pl(cos θ) + 

4πε0r0 r0 

⎪⎨ 

q 

 

r 

ϕ(r,θ) = 

4πε0r0 

⎪⎩ 

q 

4πε0r 

l 

l 

 

l 

r0 

l 

Pl(cos θ) + 

+∞ 

l=0 

+∞ 

l=0 


ElR 2l+1 r −(l+1) Pl(cos θ), (R < r < r0) 

 

r0 

l 

+∞ 

Pl(cos θ) + ElR 

r 

l=0 

2l+1 r −(l+1) Pl(cos θ), (r > r0) 

La continuité des composantes normales de l’induction D à la surface de la sphère r = R 

impose 

l 

lim 

r→R− D.n = lim 

r→R + 

D.n ⇔ lim 

r→R− ε0εr E.n = lim 

r→R + ε0 E.n 

l Rl−1 

r l+1 

0 

⇔ lim −ε0εr 

r→R− −−→ 

∂ϕ 

⇔ lim εr 

r→R− ∂r 

l 

gradϕ.n = lim −ε0 

r→R + 

l Rl−1 

r l+1 

0 

= lim 

r→R + 

∂ϕ 

∂r 

−−→ 

gradϕ.n (180) 

puisque le vecteur normal à la surface est n = ur. On a donc 

 

 

q 

εr 

+ lElR 

4πε0 

l−1 

 

Pl(cos θ) = 

 

q 

− (l + 1)ElR 

4πε0 

l−1 

 

Pl(cos θ) 

Comme dans le cas de la continuité du potentiel, on multiplie les deux membres par 

Pl ′(cos θ) sinθ puis on intègre θ de 0 à π. Il reste alors 

 

q 

εr + lElR 

4πε0 

l−1 

 

= q 

− (l + 1)ElR 

4πε0 

l−1 

l Rl−1 

r l+1 

0 

⇔ (εrl + l + 1)ElR l−1 = q 

⇔ El = − 

q 

4πε0r l+1 

0 

4πε0 

εr − 1 

l 

εrl + l + 1 

146 

l Rl−1 

r l+1 

0 

l(1 − εr) Rl−1 

r l+1 

0

Le potentiel total est donc finalement 

⎧ 

⎪⎨ 

 

q 

 

r 

ϕ(r,θ) = 

4πε0r0 l 

q 

r0 ⎪⎩ 4πε0r r 

q 

4πε0r0 

+∞ 

l=0 

l 

 

2l + 1 r 

εrl + l + 1 

r0 

l 

l 

r0 

l 

εr − 1 

− l 

εrl + l + 1 

εr − 1 

− l 

εrl + l + 1 

Pl(cos θ), (r < R) 

R2l+1 rl 0rl+1 R 2l+1 

r l+1 

0 r l 

 


Pl(cos θ), (R < r < r0) 

 


Dans la limite r → +∞, le premier terme redonne le potentiel créé par une charge 

ponctuelle et le second est dominé par la contribution du terme l = 1 (le terme l = 0 

est nul), 

ϕ(r,θ) ≃ 

r→+∞ 

q q εr − 1 

− 

4πε0||r − r0|| 4πε0r εr + 2 

R3 r2 0 

r cos θ 

La sphère se comporte donc à grande distance comme un dipôle (65) de moment 

dipolaire 

p = −q 

3 

εr − 1 R 

εr + 2 r2 0 

La limite εr → +∞ correspond au cas d’une sphère métallique. Le potentiel se 

réduit alors à 

⎧ q 

, (r < R) 

4πε0r0 

 

⎪⎨ q 

 

r 

ϕ(r,θ) = 4πε0r0 r0 

l 

q 

r0 l ⎪⎩ 4πε0r r 

Hors de la sphère, on a donc 

l 

ϕ(r,θ) = q 

4πε0r 

l 

− R2l+1 

rl 0rl+1 

Pl(cos θ), (R < r < r0) 

− R2l+1 

r l+1 

0 r l 

 

l 

 


 

r0 

l 

Pl(cos θ) − 

r 

qR/r0 

4πε0r 

 

2 R 

l 

r0r 

 

Pl(cos θ) 

On voit donc apparaître dans le second terme le potentiel créé par les charges de 

polarisation à la surface de la sphère et équivalent à une charge image −qR/r0 située 

en R 2 /r0uz. 

147


2.1.3.6. Sphère diélectrique plongée dans un champ uniforme 

On considère une sphère de centre O, de rayon R et de constante diélectrique εr 

plongée dans un champ électrique uniforme Eex. = Eex.uz. La distribution de charge est 

invariante par rotation d’axe (Oz) donc le potentiel ne dépend pas de φ. Le potentiel 

créé par le champ électrique s’écrit d’après (17) 

Eex. = − −−→ 


Le potentiel créé par la sphère diélectrique satisfait également l’équation de Laplace 

qui admet (253) pour solution en coordonnées sphériques. L’invariance sous la rotation 

d’angle φ impose que le potentiel ne dépende pas de φ et donc que Clm = 0 pour tout 

m = 0. Rappelons que P m 

l (x) = Pl(x) (§ 3.3.0.2.). La polarisation de la sphère provoque 

une accumulation de charges de polarisation à sa surface de sorte que la composante 

normale du champ électrique, et donc la dérivée du potentiel, y sont discontinues. On 

doit donc distinguer les régimes r < R et r > R. Puisque le potentiel ne peut pas 

diverger en r = 0 et r → +∞, il reste 

⎧ 

⎪⎨ 

ϕ(r,θ) = 

⎪⎩ 

+∞ 

l=0 

+∞ 

l=0 




 



l 

l 




Le potentiel total est donc de la forme 

⎧ +∞ 

−Eex.rδl,1 ⎪⎨ 

+ Elr 

l=0 

ϕ(r,θ) = 

⎪⎩ 

l Pl(cos θ), (r < R) 

+∞ 

−Eex.rδl,1 + ElR 2l+1 r −(l+1) 

Pl(cos θ), (R < r) 

l=0 

où on a utilisé le fait que P1(cos θ) = cos θ. La continuité des composantes normales de 

l’induction D (180) à la surface de la sphère r = R impose 

D(R + ) − D(R − ) .ur = σex. = 0 

⇔ 

⇔ − ε0 

⇔ 

+∞ 

l=0 

ε0 Etot.(R + ) − ε0εr Etot.(R − ) .ur = 0 

 

∂ϕ 

∂r r→R + 

= −ε0εr 

−Eex.δl,1 − (l + 1)ElR l−1 Pl(cos θ) = εr 

148 

 

∂ϕ 

∂r r→R− +∞ 

l=0 

−Eex.δl,1 + lElR l−1 Pl(cos θ)



′(cos θ) sinθ puis on intègre θ de 0 à π. Il reste alors 

Pl 

− Eex.δl,1 − (l + 1)ElR l−1 

= εr −Eex.δl,1 + lElR l−1 εr − 1 

⇔ El = Eex.δl,1 

εrl + l + 1 R1−l 

Seul le coefficient E1 = Eex. εr−1 

εr+2 

⎧ 

⎪⎨ 

ϕ(r,θ) = 

⎪⎩ 

est non nul de sorte qu’il reste 

− 3 

εr + 2 r cos θEex., (r < R) 

− Eex.r cos θ + εr − 1 

εr + 2 

R3 cos θEex. 

r2 Le champ à l’intérieur de la sphère est donc uniforme et parallèle au champ excitateur 

Eex.. A l’extérieur, la sphère se comporte d’après d’après (66) comme un dipôle de 

moment dipolaire 

εr − 1 

p = 4πε0 

εr + 2 R3Eex. (181) 

Dans la limite εr → +∞, on retrouve les résultats pour une sphère parfaitement 

conductrice (§ 1.2.3.6.), notamment l’annulation du champ à l’intérieur de la sphère. 

A l’intérieur de la sphère, le champ électrique est parallèle au champ appliqué : 

Etot. = − −−→ 

grad ϕ = 3 

On peut déduire de l’égalité 

εr + 2 Eex.uz 

D = ε0εr Etot. = ε0 Etot. + P 

la densité de polarisation à l’intérieur de la sphère : 

P = ε0(εr − 1) Etot. = 3 εr − 1 

εr + 2 Eex.uz 

ce qui redonne bien le moment dipolaire total de la sphère (181), i.e. p = 4 

3 πR3 P. Enfin, 

on peut calculer la densité surfacique de charge de polarisation à la surface de la sphère 

à partir de la discontinuité du champ électrique. On pourra aussi vérifier qu’on retrouve 

le résultat 

σpol. = P.ur = 3 εr − 1 

εr + 2 Eex.uz.ur = 3 εr − 1 

εr + 2 Eex. cos θ 

149


2.1.3.7. Cavité sphérique dans un diélectrique plongé dans un champ 

On considère un diélectrique de constante diélectrique εr remplissant tout l’espace 

sauf une cavité sphérique de centre O et de rayon R. L’intérieur de la cavité est vide. 

L’ensemble est plongé dans un champ électrique uniforme Eex. = Eex.uz. La distribution 

de charge de polarisation est invariante par rotation d’axe (Oz) donc le potentiel ne 

dépend pas de φ. Le potentiel dont dérive le champ électrique s’écrit d’après (17) 

Eex. = − −−→ 


Le potentiel créé par la sphère diélectrique satisfait également l’équation de Laplace 

qui admet (253) pour solution en coordonnées sphériques. L’invariance sous la rotation 

d’angle φ impose que le potentiel ne dépende pas de φ et donc que Clm = 0 pour 

tout m = 0. Rappelons que P m 

l (x) = Pl(x) (§ 3.3.0.2.). La polarisation du diéléctrique 

provoque une accumulation de charges de polarisation à la surface de la cavité de sorte 

que la composante normale du champ électrique, et donc la dérivée du potentiel, y sont 

discontinues. On doit donc distinguer les régimes r < R et r > R. Puisque le potentiel 

ne peut pas diverger en r = 0 et r → +∞, il reste 

⎧ 

⎪⎨ 

ϕ(r,θ) = 

⎪⎩ 

+∞ 

l=0 

+∞ 

l=0 




 



l 

l 




Le potentiel total est donc de la forme 

⎧ +∞ 

−Eex.rδl,1 ⎪⎨ 

+ Elr 

l=0 

ϕ(r,θ) = 

⎪⎩ 

l Pl(cos θ), (r < R) 

+∞ 

−Eex.rδl,1 + ElR 2l+1 r −(l+1) 

Pl(cos θ), (R < r) 

l=0 

où on a utilisé le fait que P1(cos θ) = cos θ. La continuité des composantes normales de 

l’induction D (180) à la surface de la sphère r = R impose 

D(R + ) − D(R − ) .ur = σex. = 0 

⇔ 

⇔ − ε0εr 

⇔ εr 

+∞ 

l=0 

ε0εr Etot.(R + ) − ε0 Etot.(R − ) .ur = 0 

 

∂ϕ 

∂r r→R + 

= −ε0 

−Eex.δl,1 − (l + 1)ElR l−1 Pl(cos θ) = 

150 

 

∂ϕ 

∂r r→R− +∞ 

l=0 

−Eex.δl,1 + lElR l−1 Pl(cos θ)



′(cos θ) sinθ puis on intègre θ de 0 à π. Il reste alors 

Pl 

εr 

 

−Eex.δl,1 − (l + 1)ElR l−1 = −Eex.δl,1 +lElR l−1 1 − εr 

⇔ El = Eex.δl,1 

l + (l + 1)εr 

Seul le coefficient E1 = Eex. 1−εr 

2εr+1 

est non nul de sorte qu’il reste 

⎧ 

⎪⎨ − 

ϕ(r,θ) = 

⎪⎩ 

3εr 

2εr + 1 Eex.r cos θ, (r < R) 

1 − εr R 

− Eex.r cos θ + 

2εr + 1 

3 

r2 Eex. cos θ, (r > R) 

R 1−l 

Le champ à l’intérieur de la cavité est donc uniforme et parallèle au champ excitateur 

Eex.. A l’extérieur, la cavité se comporte d’après (66) comme un dipôle de moment 

dipolaire 

p = 4πε0 

1 − εr 

2εr + 1 R3 Eex. 

(181) 

On peut calculer la densité surfacique de charge de polarisation à la surface de la 

sphère à partir de la discontinuité du champ électrique. A l’intérieur de la cavité, le 

champ électrique est parallèle au champ appliqué : 

de sorte que 

Etot. = − −−→ 

grad ϕ = 3εr 

2εr + 1 Eex.uz 

Er(r < R) = − ∂ϕ 

∂r 

3εr 

= cos θEex. 

2εr + 1 

Dans le diélectrique, la composante radiale du champ est 

Er(r > R) = − ∂ϕ 

∂r = Eex. 

1 − εr 

cos θ + 2 

2εr + 1 

de sorte que que la discontinuité en r = R est 

R3 cos θEex. 

r3 Er(R + ) − Er(R − 1 − εr 

) = Eex. cos θ + 2 

2εr + 1 Eex. cos θ − 3εr 

2εr + 1 Eex. cos θ 

1 − εr 

= 3 


D’après (§ 1.2.2.2.), les charges de polarisation à la surface sont donc 

1 − εr 

σpol. = 3ε0 


On constate qu’on retrouve les résultats obtenus dans le cas de la sphère diélectrique 

plongée dans un champ uniforme après le remplacement εr → 1/εr. 

151


2.1.3.8. Couche diélectrique protectrice 

On considère une sphère parfaitement conductrice de centre O et de rayon R 

plongée dans un champ électrique uniforme Eex. = Eex.uz. La sphère est mise à la 

terre, i.e. le potentiel est nul à sa surface. On a vu que la sphère se polarise Sphère à la 

terre plongée dans un champ uniforme et engendre un potentiel de la forme 

3 R 

ϕ(r,θ) = Eex. − r cos θ 

r2 Pour éviter une trop forte polarisation de la sphère, on peut déposer à sa surface 

une fine couche diélectrique. On supposera le matériau déposé linéaire et isotrope de 

constante diélectrique relative εr. On notera e l’épaisseur de la couche. La distribution 

de charge totale reste invariante sous les rotations d’angle φ. En outre, le potentiel ne 

peut diverger, ni à l’infini, ni à l’origine de sorte que la solution (253) de l’équation 

de Laplace dans les deux domaines r ≥ R + e (extérieur) et R ≤ r ≤ R + e (intérieur 

de la couche) s’écrit 

⎧ +∞ 

⎪⎨ 

Alr 

l=0 

ϕ(r,θ) = 

l + Blr −(l+1) Pl(cos θ) − Eex.r cos θ 

⎪⎩ 

+∞ 

l=0 

Dlr −(l+1) Pl(cos θ) − Eex.r cos θ 

L’annulation du potentiel à la surface de la sphère impose 

+∞ 

l=0 

AlR l + BlR −(l+1) Pl(cos θ) − Eex.R cos θ = 0 

⇔ AlR l + BlR −(l+1) − Eex.Rδl,1 = 0 

⇔ Al = −BlR −(2l+1) + Eex.δl,1 

La continuité du potentiel en r = R + e conduit à 

+∞ 

l=0 

Al(R + e) l + Bl(R + e) −(l+1) Pl(cos θ) − Eex.(R + e) cos θ 

= 

+∞ 

l=0 

Dl(R + e) −(l+1) Pl(cos θ) − Eex.(R + e) cos θ 

⇔ Al(R + e) l + Bl(R + e) −(l+1) = Dl(R + e) −(l+1) 

⇔ Dl = Al(R + e) 2l+1 + Bl 

2l+1 R + e 

⇔ Dl = −Bl + Eex.(R + e) 

R 

3 δl,1 + Bl 

La continuité de l’induction électrique D à la surface r = R + e s’écrit 

lim 

r→(R+e) − 

D.n = lim 

r→(R+e) + 

D.n ⇔ lim 

r→(R+e) − 

ε0εr E.n = lim 

r→(R+e) + 

ε0 E.n 

−−→ 

−−→ 

⇔ lim −ε0εr gradϕ.n = lim −ε0 gradϕ.n 

r→(R+e) − r→(R+e) + 

⇔ lim 

r→(R+e) − 

∂ϕ 

εr 

∂r 

152 

= lim 

r→(R+e) + 

∂ϕ 

∂r

de sorte qu’on a la contrainte supplémentaire 

εr 

⇔ εr 

+∞ 

l=0 


 

lAl(R + e) l−1 − (l + 1)Bl(R + e) −(l+2) 

Pl(cos θ) − Eex. cos θ 

+∞ 

= − Dl(l + 1)(R + e) −(l+2) Pl(cos θ) − Eex. cos θ 

l=0 

 

lAl(R + e) l−1 − (l + 1)Bl(R + e) −(l+2) 

− Eex.δl,1 

= −Dl(l + 1)(R + e) −(l+2) − Eex.δl,1 

Si l = 1, l’expression ne présente que des termes proportionnels à Bl (puisque les 

constantes Dl et Al sont proportionnelles à Bl). L’équation conduit donc à la solution 

triviale 

Lorsque l = 1, il vient 

 

εr 

Al = Bl = Dl = 0, (l = 1) 

A1 − 2B1(R + e) −3 = −2D1(R + e) −3 + (εr − 1)Eex. 

 

⇔ εr − B1R −3 

+ Eex. − 2εrB1(R + e) −3 

⇔ 

 

= −2 − B1 

 

⇔ B1 = 

⇔ B1 = 

R + e 

R 

3 

+ Eex.(R + e) 3 + B1 

− (εr + 2)R −3 − 2(εr − 1)(R + e) −3 

B1 = −3Eex. 

3 

(εr + 2)R−3 Eex. 

+ 2(εr − 1)(R + e) −3 

3R3 (R + e) 3 

(εr + 2)(R + e) 3 Eex. 

+ 2(εr − 1)R3 

(R + e) −3 + (εr − 1)Eex. 

Puisque A1 = −B1R−3 + Eex., il en découle l’expression du potentiel dans la couche 

diélectrique 

 

ϕ(r,θ) = A1r + B1 

r2 

cos θ − Eex.r cos θ 

= − B1R −3 B1 

+ Eex. r cos θ + 

= B1 

= 

 

−rR −3 + 1 

3(R + e) 3 

r 2 

 

cos θ 

R 3 

r 3 − 1 

 

r 2 cos θ − Eex.r cos θ 

(εr + 2)(R + e) 3 + 2(εr − 1)R 3 Eex.r cos θ 

On voit clairement l’annulation du potentiel lorsque r = R et on retrouve le résultat 

de la sphère conductrice seule lorsque εr = 1. Finalement, à l’extérieur de la couche 

153


diélectrique, on a 

3 R + e 

D1 = −B1 + Eex.(R + e) 

R 

3 + B1 

3R 

= 

3 (R + e) 3 

(εr + 2)(R + e) 3 

3 

R + e 

Eex. 1 − + Eex.(R + e) 

+ 2(εr − 1)R3 R 

3 

= 3R3 (R + e) 3 − 3(R + e) 6 + (R + e) 3 (εr + 2)(R + e) 3 + 2(εr − 1)R3 (εr + 2)(R + e) 3 + 2(εr − 1)R3 Eex. 

= (εr − 1)(R + e) 6 + (2εr − 1)R3 (R + e) 3 

(εr + 2)(R + e) 3 + 2(εr − 1)R3 Eex. 


ϕ(r,θ) = (εr − 1)(R + e) 6 + (2εr + 1)R3 (R + e) 3 

(εr + 2)(R + e) 3 + 2(εr − 1)R3 cos θ 

Eex. 

r2 − Eex.r cos θ 

= (εr − 1)(R + e) 6 + (2εr + 1)R3 (R + e) 3 

(εr + 2)(R + e) 3 + 2(εr − 1)R3 cos θ 

Eex. 

r2 − Eex.r cos θ 

= (εr − 1)(R + e) 3 + (2εr + 1)R 3 

(εr + 2)(R + e) 3 + 2(εr − 1)R 3 

R + e 

r 

3 

Eex.r cos θ − Eex.r cos θ 

On retrouve bien le potentiel créé par une sphère conductrice de rayon R lorsque εr = 1 

et par une sphère conductrice de rayon R + e lorsque εr tend vers l’infini. 

2.1.3.9. Ecrantage dans les milieux diélectriques linéaires 

Dans un diélectrique, les charges sont écrantées par l’apparition à leur voisinage 

de charges de polarisation de signes opposés. Dans le cas des diélectriques linéaires, cet 

écrantage conduit à une simple renormalisation de la charge. En effet, le théorème de 

Gauss impose 

div Etot. = ρtot. 

et par ailleurs pour un milieu linéaire et isotrope 

de sorte que 

ε0 

div Etot. = div D 

ρtot. = ρex. 

εr 

ε0εr 

= ρex. 

ε0εr 

154

2.1.3.9.1. Ecrantage d’une charge dans un milieu diélectrique 


On considère une sphère de rayon R, de centre O et portant une densité surfacique 

de charge σ, i.e. une charge totale Q = 4π 2 R 2 σ. La distribution de charge est invariante 

sous les rotations d’angle θ et φ de sorte potentiel que le potentiel ne dépend que de r. 

En utilisant par exemple le théorème de Gauss, il vient 

⎧ 

Q 

⎪⎨ , (r ≤ R) 

4πε0R 

ϕ(r) = 

⎪⎩ 

Q 

, (r ≥ R) 

4πε0r 

où on a choisi d’annuler le potentiel à l’infini et assurer sa continuité en r = R. On 

plonge maintenant la sphère dans un milieu diéléctrique homogène, linéaire et isotrope 

de constante diélectrique relative εr. Le milieu s’étend jusqu’à l’infini. La distribution 

de charge excitatrice est invariante sous les rotations d’angle θ et φ. La distribution de 

charge de polarisation qu’elle engendre possède les mêmes symétries. La solution (253) 

de l’équation de Laplace se réduit à 

⎧ 

⎨A0 

+ 

ϕ(r) = 

⎩ 

B0 

, (r ≥ R) 

r 

C0, (r ≤ R) 

L’annulation du potentiel à l’infini impose A0 = 0 et la continuité du potentiel en r = R 

conduit à C0 = B0/R. Il reste à imposer la discontinuité des composantes tangentielles 

du champ d’induction électrique, causée par la présence de charges en r = R : 

lim 

r→R + 

D.n − lim 

r→R− D.n = σex. ⇔ lim 

r→R + 

ε0 E.n − lim 

r→R− ε0εr E.n = σ 

Puisque le potentiel est constant à l’intérieur, le champ électrique total y est nul. Il 

reste 

Il en découle la contrainte : 

−−→ 

− lim ε0εr gradϕ.n = σ ⇔ lim 

r→R + r→R + 

∂ϕtot. 

∂r 

− B0 

− 

R2 Q 

Le potentiel total est donc 

σ 

= − 

4πε0R2 ε0εr 

⎧ 

Q 

⎪⎨ , (r ≤ R) 

4πε0εrR 

ϕ(r) = 

⎪⎩ 

Q 

, (r ≥ R) 

4πε0εrr 

= − σ 

ε0εr 

Q 

= − 

4πε0εrR2 ⇔ B0 = Q 

 

1 

4πε0 εr 

 

− 1 

La seule modification est un remplacement de la constante diéléctrique ε0 par ε0εr. 

155


2.1.3.9.2. Ecrantage d’un dipôle dans un milieu diélectrique 

On considère à présent une sphère portant une distribution de charge surfacique 

non uniforme σ(θ) = σ0 cos θ et plongée dans un milieu diélectrique linéaire isotrope de 

constante diélectrique relative εr. La distribution de charge excitatrice est invariante 

sous la rotation d’angle φ. La distribution de charge de polarisation qu’elle engendre 

possède les mêmes symétries. La solution (253) de l’équation de Laplace se réduit 

donc à 

⎧ 

⎪⎨ 

ϕ(r) = 

⎪⎩ 

+∞ 

l=0 

+∞ 

l=0 

Alr l Pl(cos θ), (r ≤ R) 

Blr −(l+1) Pl(cos θ), (r ≥ R) 

où on imposé le fait que le potentiel ne peut pas présenter de divergence en r = 0 ou 

r → +∞. L’annulation du potentiel à l’infini impose A0 = 0 et la continuité du potentiel 

en r = R conduit à 

+∞ 

l=1 

AlR l Pl(cos θ) = 

+∞ 

l=0 

BlR −(l+1) Pl(cos θ) ⇔ Al = BlR −(2l+1) 

Il reste à imposer la discontinuité des composantes tangentielles du champ d’induction 

électrique, causée par la présence de charges en r = R : 

lim 

r→R + 

D.n − lim 

r→R− D.n = σex. ⇔ lim 

r→R + ε0 E.n − lim 

r→R− ε0εr E.n = σ 

Il en découle la contrainte : 

εr 

+∞ 

l=0 

⇔ − lim 

r→R + 

ε0εr 

∂ϕtot. 

⇔ − lim εr 

r→R + ∂r 

(l + 1)BlR −(l+2) Pl(cos θ) + 

−−→ 

gradϕ.n + lim 

r→R− ε0 

+∞ 

l=0 

⇔ εr(l + 1)BlR −(l+2) + lAlR l−1 = σ0 

⇔ 

Par conséquent, Al = Bl = 0 pour l = 1 et 

B1 = 

 

+ lim 

r→R− ∂ϕtot. 

∂r 

−−→ 

gradϕ.n = σ 

= σ 

ε0 

lAlR l−1 Pl(cos θ) = σ0 cos θ 

δl,1 

ε0 

εr(l + 1)R −(l+2) + lR −(2l+1) R l−1 Bl = σ0 

δl,1 

ε0 

σ0 

ε0(2εr + 1) R3 

Le potentiel total est donc finalement 

⎧ σ0 

⎪⎨ 

r cos θ, (r ≤ R) 

ε0(2εr + 1) 

ϕ(r,θ) = 

⎪⎩ 

σ0 R 

ε0(2εr + 1) 

3 cos θ 

r2 , (r ≥ R) 

156 

ε0

La sphère est donc équivalente à un moment dipolaire 

p = 4πR3 

2εr + 1 


On retrouve comme attendu le résultat pour une sphère dans le vide lorsque εr = 1. 

2.2. Milieux magnétiques 

Les milieux magnétiques se décomposent en trois catégories : paramagnétiques, 

diamagnétiques et ferromagnétiques. Dans premier cas, le système est assimilable à une 

assemblée de moments magnétique mi (d’origines diverses : orbital dans les atomes, de 

spin pour les électrons et les noyaux ou dû aux courants formés par les électrons de 

conduction). En l’absence de champ magnétique extérieur, le milieu ne présente pas 

d’aimantation spontanée. Il ne s’aimante que lorsqu’on applique un champ extérieur. 

Dans les milieux diamagnétiques, la réponse du moment magnétique s’oppose au champ 

magnétique appliqué. Dans les milieux ferromagnétiques, l’interactio d’échange entre 

moments magnétiques de spin induit un ordre magnétiq à grande distance. A basse 

température, les moments magnétiques s’orientent tous dans la même direction et 

le milieu présente une aimantation spontanée non nulle. A haute température, les 

fluctuations thermiques détruisent l’ordre ferromagnétique et le milieu est simplem 

paramgnétique. Entre ces deux phases a lieu une transition de phase du second ordre. 

Figure 43 : [ Fig 1 Fig 2 Fig 3 ] Champ magnétique créé par un aimant 

permanent parallélépipédique (à gauche), deux aimants de polarisation dans le 

même sens (au centre) et deux aimants de polarisation antiparallèle (à droite). 

2.2.1. Moment magnétique 

157


2.2.1.1. Champ magnétique créé par une spire circulaire de courant 

On considère une spire de centre O, de rayon R, située dans le plan z = 0 et 

parcourue par un courant I. Le potentiel vecteur créé au point M est donné dans la 

limite non-relativiste par l’expression (83) : 

A(r) = µ0I 

4π 

 

C 

d ℓ 

||r − r ′ || 

En coordonnées cartésiennes, l’intégrale correspond à la circulation le long de la spire 

d’un point N de coordonnées ( R cos α R sinα 0 ), i.e. d ℓ = ( −R sinα R cos α 0 ) dα. 

La distance séparant l’élément de longueur dℓ et le point M est 

||r − r ′ || = (R cos α − x) 2 + (R sinα − y) 2 + z 2 

L’intégrale pour la composante Ax peut alors s’écrire à grande distance : 

Ax(r) = − µ0I 

4π 

= − µ0I 

4π 

= − µ0IR 

4πr 

2π 

0 

2π 

0 

2π 

0 

≃ 

R≪x,y,z −µ0IR 

4πr 

R sin αdα 

(R cos α − x) 2 + (R sinα − y) 2 + z 2 

R sinαdα 

x 2 + y 2 + z 2 + R 2 − 2R(xcos α + y sin α) 

 

1 + R2 − 2R(xcos α + y sinα) 

2π 

= − µ0IR 

 

4πr 

 

1 − R2 

2r2 = − µ0IR 2 y 

4r 3 

De la même manière, il vient 

2π 

0 

r 2 

−1/2 

sinαdα 

 

1 − R2 

− 2R(xcos α + y sinα) 

sinαdα 

2r 2 

2π 

sinαdα + 

0 

 

=0 

xR 

r2 2π 

0 

cos α sin αdα 

 

=0 

R cos αdα 

(R cos α − x) 2 + (R sinα − x) 2 + z 2 

Ay(r) = µ0I 

4π 0 

 

µ0IR 

∼ 1 − 

R≪x,y,z 4πr 

R2 

2r2 2π 

cos αdα + xR 

r2 = µ0IR 2 x 

4r 3 

0 

2π 

0 

cos 2 αdα + yR 

r 2 

et Az(r) = 0. On obtient finalement l’expression compacte 

A(r) = µ0 

4πr3 IπR2uz ∧ r = µ0 

m ∧ r 

4πr3 + yR 

r 2 

2π 

0 

2π 

sin 

0 

2 

αdα 

 

=π 

 

 

sinαcos αdα 

où m = IπR 2 uz est le moment magnétique . En effet, l’intensité I équivalente à une 

particule de charge q parcourant un cercle de rayon R à une vitesse v est I = q 

T 

158 

= q v 

2πR .


Le moment magnétique est donc m = IπR2 = q 

2Rv. Le champ magnétique est alors par 

définition (17) 

B = −→ 

rot A(r) = 

µ0IR 2 

4 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

∂xr −3 

∂x 

−x ∂r−3 

∂z 

−y ∂r−3 

∂z 

+ ∂yr−3 

∂y 

⎞ 

⎟ 

⎠ = 

µ0IR 2 

4r 5 

⎛ 

⎝ 

3xz 

3yz 

2r2 − 3(x2 + y2 ) 

⎞ 

⎠ (182) 

où on a utilisé ∂r−3 ∂ 

∂x = ∂x (x2 + y2 + z2 ) −3/2 = −3 2 (x2 + y2 + z2 ) −5/2 × 2x = −3xr−5 . 

Cette expression peut s’écrire de manière compacte 

B = µ0 

 

3 

4π 

(m.r).r m 

− 

r5 r3 

(183) 

On peut également calculer le champ magnétique par application de la loi de Biot-Savart 

(86). Le champ magnétique d B créé par un élément de longueur dℓ = Rdα de la spire 

est 

d µ0I 

B = 

4π [(R cos α − x) 2 + (R sinα − y) 2 + z2 ] 3/2 

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

−R sinα x − R cos α 

⎝ R cos α ⎠ ∧ ⎝ y − R sinα ⎠ 

0 

z 

µ0I 

≃ 

R≪x,y,z 4πr3 

1 − 3 R 

2 

2 − 2R(xcos α + y sinα) 

r2 ⎛ 

zR cos α 

⎝ zR sin α 

−yR sin α − xR cos α + R2 ⎞ 

⎠ 

En développant puis en intégrant α, les seuls termes non nuls sont ceux faisant intervenir 

cos 2 α ou sin 2 α. On retrouve l’expression (182). On retrouve également l’expression (92) 

du champ magnétique sur l’axe dans la limite z ≫ R. 

2.2.1.2. Potentiel vecteur créé par un moment magnétique 

Pour un circuit C fermé et parcouru par un courant I, le potentiel vecteur à l’origine 

est d’après (83) 

A = µ0I 

4π 

 

C 

d ℓ 

r 

En multipliant les deux membres par un vecteur quelconque a, il vient 

a. A = µ0I 

4π 

= µ0I 

4π 

= µ0I 

4π 

= µ0I 

4π 

= µ0I 

4π 

 

 

 

 

 

C 

S 

S 

S 

S 

a.dℓ r 

 

−→ a 

rot .d 

r 

S 

1 −→ 

rota 

r 

.d S + µ0I 

4π 

=0 

 

−−→ 1 

grad 

r 

r ∧a 

r 3 d S 

∧ad S 

159 

 

S 

 

−−→ 1 

grad ∧adS 

r


où S est la surface sous-tendue par le contour C. Or (r ∧ a) ∧ n = a.(n ∧ r) donc si n 

est un vecteur unitaire normal à la surface S, il vient 

a. A = µ0I 

4π a. 

 

S 

n ∧ r 

dS 

r3 Ce résultat étant valable quelque soit a, on a 

A = µ0I 

4π 

 

S 

n ∧ r 

dS 

r3 On définit le moment magnétique m comme la quantité 

 

m = I 

S 

ndS 

de sorte qu’à grande distance de la boucle 

A ≃ 

r≫1 

µ0 

4π 

r µ0 −−→ 

m ∧ = m ∧ grad 

r3 4π 

 

1 

r 

(184) 

où cette fois, r est le rayon-vecteur séparant le centre de la boucle de l’observateur. Le 

champ magnétique est par définition (17) 

B(r) = −→ 

rot A = µ0 −−→ 

grad div 

4π 

 

m 

= 

r 

µ0 

 

4π 

3 (m.r).r m 

− 

r5 r3 2.2.1.3. Action d’un champ magnétique sur un moment 

 

(185) 

En utilisant l’analogie des masses magnétiques (§ 2.2.2.4.), un gradient de champ 

magnétique produit une force sur un moment magnétique m qui s’écrit d’après (68) 

F = (m. ∇) B 

Un champ magnétique produit un couple (69) : 

Γ0 = m ∧ B 

et l’énergie d’interaction (70) : 

V = −m. B = −ISn. 

B ≃ −I 

B.d S (186) 

2.2.2. Champ magnétique créé par une distribution de moments 

160

2.2.2.1. Description microscopique de l’aimantation 


Dans un solide, le mouvement des électrons de valence autour des noyaux atomiques 

ou des électrons de conduction dans tout le volume forment autant de moments 

magnétiques. De plus, les électrons portent un moment magnétique de spin. On définit 

l’aimantation totale d’une assemblée de moments magnétiques {mi} par un processus 

de moyenne spatiale sur de petites régions de l’espace (coarse-graining, § 2.1.1.2.) du 

moment magnétique total : 

M(r) = 

mif(r − ri) 

i 

où f(u) une fonction maximale en 0 et qui décroît rapidement vers 0 lorsqu’on s’éloigne 

de l’origine. L’aimantation ainsi définie est continue. De la manière, toutes les grandeurs 

( B, A,...) dont il sera question dans la suite sont le résultat de ce processus de moyenne. 

2.2.2.2. Champ magnétique créé par l’aimantation 

Le potentiel vecteur créé par une assemblée de moments magnétiques est d’après 

(184) 

A(r) = µ0 

 

4π 

i 

V 

mi ∧ (r − ri) 

||r − ri|| 3 

A l’échelle macroscopique, le processus de coarse-graining conduit à un potentiel 

A(r) = µ0 

 

mi ∧ (r 

4π V i 

′ − ri) 

||r ′ − ri|| 3 f(||r − r′ ||)d 3 r ′ 

= µ0 

 

mi ∧ (r − r 

4π V i 

′′ ) 

||r − r ′′ || 3 f(||ri − r ′′ ||)d 3 r ′′ 

= µ0 

 

mif(||ri − r 

4π 

′′ 

||) ∧ (r − r′′ ) 

||r − r ′′ || d3r ′′ 

= µ0 

 

4π V 

i 

M(r ′′ ) ∧ (r − r ′′ ) 

||r − r ′′ || 3 

où on a effectué le changement de variable r ′ − ri = r − r ′′ . On a alors d’après (290) 

A (r) = µ0 

 

M(r 

4π 

′ ) ∧ ∇r ′ 

 

1 

||r − r ′ 

d 

|| 

3 r ′ 

= µ0 

−→ 

rot M 

4π ||r − r ′ || d3r ′ + µ0 

 

−→ 

M 

rot 

4π ||r − r ′ 

d 

|| 

3 r ′ 

(187) 

d 3 r ′′ 

= µ0 

−→ 

rot M 

4π ||r − r ′ || d3r ′ + µ0 

 

4π 

M ∧ n 

||r − r ′ || d S ′ 

Si on y ajoute la contribution (83) des courants de volume jex. et de surface jSex., il 

vient le potentiel vecteur total 

A(r) = µ0 

 

(jex. + 

4π 

−→ 

rot M) 

||r − r ′ || 

d 3 r ′ + µ0 

4π 

161 

 

( jSex.(r ′ ) + M(r ′ ) ∧ n) 

||r − r ′ d 

|| 

S ′ (188)


L’expression du champ magnétique total découle de (17) : 

B(r) = −→ 

rotr A(r,t) = µ0 

−→ (jex. + 

rotr 

4π 

−→ 

rot M) 

||r − r ′ d 

|| 

3 r ′ 

( jSex.(r 

+ 

′ ) + M(r ′ ) ∧ n) 

||r − r ′ d 

|| 

S ′ 

 

Le terme −→ 

rot M se comporte comme un courant. 

2.2.2.3. Méthode des courants ampèriens 

L’expression (188) suggère que le potentiel vecteur créé par l’aimantation M 

équivaut à celui créé par la distribution de courants de volume j ∗ V et de surface j ∗ S , 

appelés ampèriens, définis par 

j ∗ V = −→ 

rot M, j ∗ S = M ∧ n (189) 

Les méthodes habituelles de la magnétostatique peuvent être appliquées aux courants 

jtot. = jex. +j ∗ V 

L’équation de Maxwell-Ampère (9) s’écrit sous la forme 

−→ 

rot 

B = µ0 

jex. +j ∗ 

V + 1 

c2 ∂ E 

∂t 

= µ0 

 

jex. + −→ 

rot 

M + 1 

c2 ∂ E 

∂t 

(190) 

Notons que si les charges de polarisation sont mobiles, E doit être remplacé par D 

conformément à (165). Il découle de (190) la discontinuité des composantes tangentielles 

du champ magnétique (97) lors du franchissement d’une surface parcourue par un 

courant de surface : 

 

B2 − 

B1 .t = µ0 

jex. +j ∗ S 

pour tout vecteur t tangent à la surface. 

2.2.2.4. Méthode des masses magnétiques 

 

.t = µ0 

jex. + 

M ∧ n .t 

Le champ magnétique (185) créé par un moment magnétique a la même expression 

que le champ électrique créé par un dipôle (67) : 

B(r) = µ0 

 

 

3 

4π 

(mi.r)r mi 

− 

r5 r3 

i 

←→ E(r) = 1 

 

3 

4πε0 

(pi.r)r pi 

− 

r5 r3 

Sur la base de cette analogie, on est donc tenté d’interpréter M comme une densité 

de polarisation, d’utiliser les méthodes de l’électrostatique (en particulier la résolution 

de l’équation de Laplace qui n’a pas d’équivalent en magnétostatique) puis d’obtenir le 

µ0 par dans l’expression du champ électrique 

champ magnétique en remplaçant 1 

4πε0 

ainsi obtenue. On utilisera donc une distribution de charges fictives, appelées masses 

magnétiques 

4π 

σm = M.n, ρm = −div M (191) 

162 

i


Le champ Bm créé par cette distribution de masses magnétiques, i.e. les discontinuités 

de l’aimantation, est dit démagnétisant . L’analogie avec l’électrostatique implique 

qu’on peut introduire un potentiel scalaire 

ϕm(r) = µ0 

4π 

 

V 

−div M(r ′ ) 

||r − r ′ || d3 r ′ + µ0 

4π 

 

∂V 

M(r ′ ).d S 

||r − r ′ || 

dont dérive le champ magnétique de manière analogue au champ électrique (160) : 

Bm(r) = − −−→ 

gradϕm 

= µ0 

−−→ div ′ M(r ) 

grad 

4π ||r − r ′ || d3r ′ 

− 

∂V 

M(r ′ ).d S 

||r − r ′ 

|| 

(192) 

Le potentiel scalaire (192) est la solution d’une équation analogue à l’équation de Poisson 

(84) : 

∆ϕm = −ρm = div M (193) 

On pourra donc appliquer les méthodes de résolution de cette équation développées 

en électrostatique au cas d’un milieu magnétique. Aux limites du système, on devra 

imposer la discontinuité de la dérivée de la fonction ϕm : 

 

d 3 r div −−→ 

 

gradϕm = d 3 r div 

M ⇔ 

−−→ 

gradϕm.d S 

V 

V 

⇔ 

∂V 

∂ϕm 

∂n 

où n est un vecteur normé perpendiculaire à la surface. 

 

ext 

− 

ext 

int 

∂ϕm 

∂n 

 

= 

 

int 

∂V 

M.d ext S 

int 

= − M.n 

(194) 

L’existence d’un potentiel ϕm permet de réaliser que l’analogie ne peut pas être 

complète car elle ne s’étend pas aux équations de Maxwell et en particulier à l’équation 

de Maxwell-Gauss (10). On a en effet 

div Bm = µ0ρm 

(195) 

en contradiction avec la relation de Maxwell-Gauss magnétique (5) dans les régions 

de l’espace où la densité de masse magnétique ne s’annule pas, ρm = 0. L’analogie avec 

l’électrostatique n’est donc plus valable en tout point où ρm = 0, i.e. où l’aimantation 

n’est pas uniforme. En outre, puisque le champ créé par les masses magnétiques dérive 

d’un potentiel, son rotationnel s’annule : 

−→ 

rot Bm = − −→ 

rot −−→ 

grad Bm = 0 (196) 

Par conséquent, l’équation de Maxwell-Ampère (190) n’est satisfaite que si on pose 

B = Bex. + Bm + µ0 M (197) 

D’après (191), ce choix permet également de retrouver la relation de Maxwell-Gauss 

magnétique (5) : 

div B = div Bex. + div Bm +µ0 div 

 

 

M 

 

= 0 

=µ0ρm 

163 

−ρm


2.2.2.5. Méthode du champ auxiliaire 

Lorsque l’aimantation M est uniforme dans le domaine aimanté V , l’expression 

(187) du potentiel vecteur se réduit à 

où 

A (r ′ ) = µ0 

4π 

M ∧ 

= µ0 

4π M ∧ 

 

V 

V 

∇r 

 

1 

||r − r ′ 

d 

|| 

3 r 

r ′ − r 

||r − r ′ || 3 d3 r 

= µ0ε0 M ∧ Eaux.(r ′ ) 

Eaux.(r ′ ) = 1 

4πε0 

 

V 

r ′ − r 

||r − r ′ || 3 d3 r 

(198) 

est le champ électrique créé au point r ′ par une densité uniforme de charge ρ = 1 

remplissant le volume V . Le champ magnétique est d’après (17) 

B = −→ 

rot A 

= µ0ε0 −→ 

 

rot M ∧ Eaux. 

 

 

= µ0ε0 

M div Eaux. 

− 

M. ∇ Eaux. 

où on a utilisé (290). A l’extérieur du volume V , la charge est nulle et donc d’après 

l’équation de Maxwell-Gauss (26), on a div E = ρ = 0 de sorte que le champ magnétique 

se réduit à 

 

Bext = −µ0ε0 

M. ∇ Eaux. (199) 

A l’intérieur du volume aimanté, on a une densité de charge ρ = 1 et donc l’équation 

de Maxwell-Gauss (26) conduit à div E = 1/ε0. Le champ magnétique est alors 

 

Bint = −µ0ε0 

M. ∇ Eaux. + µ0 M (200) 

2.2.2.6. Champ d’excitation magnétique 

On définit le champ d’excitation magnétique H comme 

µ0 H = Bex. + Bm 

D’après (197), le champ d’excitation magnétique est relié au champ magnétique total 

par la relation 

B = Bex. + B ∗ = Bex. + Bm + µ0 

M = µ0 

H + M (201) 

L’équation de Maxwell-Ampère (9) s’écrit alors 

−→ 

rot H = 1 

µ0 

−→ 

rot Bex. + 1 

µ0 

−→ 

rot Bm = jex. 

164 

(202)


où on a utilisé (196). Il en découle, de manière analogue à (97), que les composantes 

tangentielles du champ d’excitation magnétique H présentent une discontinuité proportionnelle 

à la densité de courant excitateur parcourant la surface traversée : 

H t 1 − H t 2 = jex. 

(203) 

Les composantes normales sont quant à elles continues en l’absence de densité de masse 

magnétique (195) 

H1.n1dS = H2.n2dS (204) 

B 

µ 0 H 

µ 0 M 

Bex. 

Bm 

B* 

B 

µ 0 

H 

µ 0 

Bex. 

M 

Bm 

B* 

Figure 44 : [ Fig 1 Fig 2 ] Décomposition du champ magnétique dans le cas 

d’un matériau isotrope (à gauche) et anisotrope (à droite). 

2.2.2.7. Milieux magnétiques linéaires 

Dans le cas particulier où l’aimantation est linéaire avec les composantes du champ 

magnétique, on peut poser 

 

B = µ0 

H + M = µ0µr H = µ0(1 + χm) H (205) 

où µr est la permittivité relative du milieu aimanté et χm sa susceptibilité. Si le milieu 

est isotrope, ce sont des constantes. Dans le cas contraire, il s’agit de tenseurs. La 

linéarité de l’aimantation avec le champ n’est vrai qu’en champ faible. En négligeant 

le champ démagnétisant, i.e. en posant Bex. ≃ µ0H, la permittivité relative d’un 

paramagnétique ionique est par exemple : 

χm = µr − 1 = M 

B = ρJ(J + 1) g2 J µ2B 3kBT 

où ρ est la densité d’atomes magnétiques et J leur moment cinétique total. Dans le cas 

du paramagnétisme des électrons de conduction, on a 

χm = µr − 1 = M 

B ≃ µ2 Bg0(εF) 

où g0(εF) est la densité d’état au niveau de Fermi. Dans un ferromagnétique, on a en 

champ faible 

M = ρSn ≃ z J¯h2 S2 2 M + 2ρµBS 2 B ⇔ χm = µr − 1 = M 

B ≃ 

2 

2ρµBS 

M≪1 

où ρ est la densité d’atomes magnétiques et S leur moment magnétique. 

165


2.2.2.8. Confinement des lignes de champ magnétique et applications 

Si aucun courant excitateur ne circule à surface d’un milieu aimanté de permittivité 

relative µr, les conditions de passage (203) et (204) du champ excitateur imposent la 

continuité de ses composantes tangentielles et normale : 

H t 1 = H t 2, H n 1 = H n 2 

Le champ excitateur est donc identique à l’extérieur et à l’intérieur du milieu. Si ce 

dernier est linéaire (205), il vient 

H1 = H2 ⇔ 1 

µ0 

B1 = 1 

µ0µr 

B2 

i.e. l’aimantation amplifie le champ magnétique dans le milieu. Dans la limite d’une 

permittivité grande, on a annulation du champ à l’extérieur : 

B1 = 1 

µr 

B2 ≃ 

µr≫1 0 

Or la relation de Maxwell-Gauss magnétique (23) impose l’annulation du flux du 

champ magnétique à travers toute surface fermée, notamment la frontière du milieu. 

Par conséquent, les lignes de champ magnétiques doivent nécessairement se refermer à 

l’intérieur du milieu magnétique. On a donc un phénomène de confinement ou piégeage 

des lignes de champ magnétique qui peut notamment servir à diriger les lignes de champ 

dans la direction voulue. 

I 1 

Figure 45 : [ Fig 1 Fig 2 ] Transformateur de courant obtenu en enroulant deux 

bobines autour d’un noyau ferromagnétique (à gauche) et électro-aimant formé 

d’une bobine enroulée autour d’un ferromagnétique (à droite). 

On considère le transformateur de la figure 45. Deux bobines formées de respectivement 

N1 et N2 spires sont enroulées autour d’un noyau ferromagnétique de permittivité 

relative µr. D’après le théorème d’Ampère (202), la circulation du champ d’excitation 

magnétique autour du contour (en rouge et pointillés sur la figure) conduit à (11) 

 

C 

H.d ℓ = −N1I1 + N2I2 

(11) 

Notons que la circulation du champ d’induction magnétique B est sans utilité car elle fait 

intervenir le courant équivalent à l’aimantation j∗ = −→ 

rot M qu’on ne connaît. 

I 1 

166 

e

Dans le régime linéaire du ferromagnétique (205), il vient 

 

C 

H.d ℓ = 1 

µ0µr 

 

C 

B.d ℓ ≃ 

µr≫1 0 


de sorte que pour un ferromagnétique dit dur, on a la relation entre les intensités 

I2 = N1 

I1 

N2 

On considère à présent l’électro-aimant de la figure 45. De la même manière que 

précédemment, le théorème d’Ampère (202) conduit à 

 

C 

H.d ℓ = −N1I1 

Si l’aimantation reste faible, on peut négliger les masses magnétiques s’accumulant sur 

les deux surfaces bordant l’entrefer. On a alors d’après (204) continuité des composantes 

normales du champ d’excitation magnétique. En supposant en première approximation 

que ce champ est constant le long du contour, on peut écrire 

 

C 

H.d 

ℓ ≃ 

e≪1 

C−Entrefer 

H.d ℓ+He = 1 

µ0µr 

 

C−Entrefer 

B.d ℓ+ BEntrefer 

µ0 

e ≃ 

µr≫1 

BEntrefer 

En combinant ces deux relations, il vient le champ magnétique dans l’entrefer de 

l’électro-aimant : 

BEntrefer ≃ − µ0N1I1 

e 

L’intérêt du dispositif est qu’on peut concentrer le champ magnétique (93) créé par le 

solénoïde sur une distance e plus petite que celle occupée par les N1 spires. 

Dans les deux cas, la permittivité relative µr doit être suffisamment grande pour 

que les approximations soient valables. et le champ excitateur produit par la bobine 

doit être suffisamment petit pour que l’aimantation induite reste petite et que le milieu 

puisse être considéré comme linéaire. 

2.2.2.9. Énergie d’interaction d’un milieu avec le champ magnétique 

L’énergie magnétique peut se calculer de diverses manières. On peut tout d’abord 

sommer les énergies potentielles d’interaction de chaque dipôles avec le champ magnétique 

(186): 

V = − 

i 

mi. 

B ≃ − 

d 3 r M. B (206) 

On peut retrouver ce résultat en utilisant la représentation en termes de courants 

ampèriens (§ 2.2.2.3.). La chaleur dissipée pendant un temps δt par effet Joule par 

un courant ampèrien j ∗ v interagissant avec un champ électrique E est 

 

δW = − 

d 3 rj ∗ v. Eδt 

167 

µ0 

e


En utilisant (189) et (290), l’énergie dissipée est 

 

δW = − 

 

= − 

d 3 r −→ 

rot M. Eδt 

d 3 r div 

 

M ∧ E δt + 

 

 

= − M ∧ E .dSδt + 

d 3 r M. −→ 

rot Eδt 

d 3 r M. −→ 

rot Eδt 

et donc puisque l’aimantation et le champ électrique sont nuls à l’infini, le travail s’écrit 

en utilisant l’équation de Maxwell-Faraday (4) 

 

δW = − 

d 3 r M. ∂ 

B 

δt = − 

∂t 

d 3 r Mδ B 

L’énergie magnétique totale comprend d’une part l’énergie du vide (27) et de l’autre 

l’énergie d’interaction avec l’aimantation (206) : 

HEM = 1 

 

2 

d 3 

1 

r 

µ0 

B. B − M. 

B = 1 

 

2 

d 3 r H. B (207) 

qui se réduit pour un milieu linéaire et isotrope à 

HEM = 1 

 

d 

2 

3 r µ0µrH 2 (r) (208) 

L’expression (207) peut également être obtenue à partir de (174) en utilisant l’analogie 

des masses magnétiques. Toujours, en utilisant l’analogie des masses magnétiques, il est 

possible de mettre en évidence l’apparition d’une pression causée par les fluctuations 

spatiales de l’aimantation (et donc de µR) qu’on appelle la magnétostriction. 

Dans un matériau aimanté, l’aimantation spontanée engendre un champ démagnétisant 

qui se superpose au champ appliqué. En effet, chaque moment magnétique m crée un 

champ magnétique de la forme (183) et qui soumet tous les autres moments magnétiques 

m ′ du milieu à une force dont l’énergie potentielle est d’après (186) 

V = −m ′ . B = − µ0 

 

3 

4π 

(m.r).(r.m′ ) 

r5 − m.m′ 

r3 

Cette interaction porte le nom d’interaction dipolaire. D’après (194), il apparaît 

à la surface de tout mono-domaine magnétique une discontinuité du potentiel ϕm, 

équivalente à la présence de charges magnétiques. Afin de réduire l’énergie magnétostatique 

(207) ou (208), le système forme des domaines d’aimantations différentes séparés par des 

parois dites de Bloch. On peut par exemple montrer que l’énergie magnétostatique d’un 

cylindre formé de deux domaines d’aimantation opposée est inférieure à celle d’un cylindre 

uniformément aimanté [1] . Bien que l’interaction d’échange corresponde à un champ 

de l’ordre de 10 6 Oe, elle est à courte portée et ne suffit pas à empêcher l’apparition de 

parois de domaine engendrée par l’énergie magnétostatique correspondant à un champ 

de l’ordre de 10 3 Oe mais à longue portée. 

168


2.2.2.10. Loi de transformation de la polarisation et de l’aimantation 

Les équations de Maxwell (22) du premier groupe, i.e. l’équation de Maxwell- 

Faraday (4) et l’équation de Maxwell-Gauss magnétique (5), découlent de la 

définition des potentiels et donc restent valables dans un milieu. En revanche, les 

équations du second groupe couplant les champs avec les densités de courant et de 

charge sont remplacées dans un milieu par des équations faisant intervenir les courants 

et charges de polarisation et d’aimantation. De la même manière que les équations de 

Maxwell-Ampère (9) et de Maxwell-Gauss (10) découlent de (24), les équations de 

Maxwell dans un milieu (163) ainsi que (165) et (202) s’écrivent de manière covariante : 

⎧ 

⎪⎨ 

⎪⎩ 

div D = ρex. 

−→ 

rot H = jex. + ∂ D 

∂t 

⇔ ∂µ ˜ F µν = j ν ex. 

en introduisant un tenseur de Faraday (16) généralisé à un milieu 

˜F µν ⎛ 

0 −Dxc −Dyc 

⎞ 

−Dzc 

⎜Dxc 

= ⎝ 

Dyc 

0 

Hz 

−Hz 

0 

Hy ⎟ 

⎠ 

−Hx 

Dzc −Hy Hx 0 

˜F µν est un tenseur de rang deux. Par analogie avec les champs E et B dont les lois de 

transformation découlent de l’expression du tenseur de Faraday (16), le calcul des lois 

de transformation des champs D et H est identique à § 1.1.2.3.1. en remplaçant E/c 

par Dc et B par H. Il vient 

D ′ = D + 1 

c2v0 ∧ H 

, 

1 − v2 0 /c2 H ′ = H − v0 ∧ D 

1 − v 2 0 /c 2 

Il en découle les lois de transformation de la polarisation (162) et de l’aimantation 

(201) : 

⎧ 

⎪⎨ 

⎪⎩ 

P ′ = D ′ − ε0 E ′ = D − ε0 E + 1 

c 2v0 ∧ H − ε0v0 ∧ B 

1 − v 2 0 /c 2 

M ′ = ε0c 2 B ′ − H ′ = ε0c 2 B − H − ε0v0 ∧ E + v0 ∧ D 

1 − v 2 0 /c 2 

= P − 1 

c 2v0 ∧ M 

1 − v 2 0 /c 2 

= M + v0 ∧ P 

1 − v 2 0 /c 2 

Un milieu aimanté apparaît donc polarisé dans un autre référentiel (et vice-versa). 

Dans le cas plus général d’un changement de référentiel non-inertiel, on peut 

montrer que la mise en rotation d’un corps fait apparaître une aimantation (effet 

Barnett). Inversement, l’aimantation d’un corps provoque sa mise en rotation lorsqu’il 

en a la possibilité (effet Einstein-de Haas. 

2.2.3. Exemples de calculs dans les milieux magnétiques 

169


2.2.3.1. Champ magnétique créé par un cylindre aimanté 

On considère un cylindre d’axe de révolution (Oz), de rayon R, de hauteur 2L et 

possédant une densité d’aimantation uniforme en volume M = M0uz. 

2.2.3.1.1. Cylindre aimanté par la méthode des courant ampèriens 

D’après § 2.2.2.3., le champ magnétique créé par l’aimantation du cylindre est 

équivalent à celui de la distribution de courants 

⎧ 

⎨ j ∗ V = −→ 

rot M = 0 

⎩ 

j ∗ S = M ∧ n = M0uz ∧ ur = M0uθ 

On est donc ramené au problème d’un solénoïde fini parcouru par un courant de surface 

constant tel que nI = M0. Le champ magnétique créé sur l’axe est d’après (93) 

B(r = 0,θ,z) = µ0M0 

2 

 

z + L 

R 2 + (z + L) 2 − 

Le champ obtenu est exact en tout point de l’axe (Oz). 

 

z − L 

uz 

R2 + (z − L) 2 

2.2.3.1.2. Cylindre aimanté par la méthode des masses magnétiques 

D’après § 2.2.2.4., le champ magnétique créé par l’aimantation du cylindre est 

équivalent au champ électrique créé par la distribution de charges 

⎧ 

⎨ ρ = −div M = 0 

⎩ 

σ = M.n = M0δ(z − L) − M0δ(z + L) uz 

avec la correspondance ε0 → 1/µ0. On est donc ramené au calcul du champ électrique 

créé par un cylindre fini portant une densité surface de charge +M0 sur sa surface dans 

le plan z = L et −M0 sur sa surface dans le plan z = −L. A partir de l’expression du 

champ électrique créé par un disque fini (53), ce champ s’écrit sur l’axe pour z > L, i.e. 

au dessus du cylindre 

= M0 

2ε0 

 

 

z − L 

 

(z − L) 2 + R2 uz − M0 

 

2ε0 

1 − 

E(z) = M0 

2ε0 

1 − 

 

z + L 

 

(z + L) 2 + R2 − 

 

z − L 

 

(z − L) 2 + R2 uz 

Le champ magnétique est donc 

B(r = 0,θ,z > L) = µ0M0 

2 

 

z + L 

R 2 + (z + L) 2 − 

 

z + L 

uz 

(z + L) 2 + R2 

z − L 

uz 

R2 + (z − L) 2 

Le même calcul peut être fait dans les régions z < −L et −L < z < L. A l’intérieur du 

cylindre, on doit ajouter la contribution de l’aimantation µ0M0 au champ magnétique 

total d’après (197). 

170


2.2.3.1.3. Cylindre infini aimanté par la méthode du champ auxiliaire 

On se place dans la limite d’un cylindre infini. Le potentiel vecteur créé peut s’écrire 

d’après (198) en fonction du champ électrique auxiliaire créé par le cylindre de densité 

de charge unité ρ = 1. Le calcul peut se faire en utilisant le théorème de Gauss (§ 

1.2.2.7.). D’après (62), le champ magnétique à l’extérieur du cylindre (199) est 

2 ∂ R 

Bext = −µ0M0 

∂z 2r ur 

 

= 0 

Le champ magnétique à l’intérieur (200) est 

∂ 

Bint = −µ0M0 

∂z 

 

r 

2 ur 

 

+ µ0M0uz = µ0M0uz 

2.2.3.2. Champ magnétique créé par une sphère aimantée 

On considère une sphère de centre O, de rayon R et possédant une densité 

d’aimantation uniforme en volume M = M0uz. 

2.2.3.2.1. Sphère aimantée par la méthode des courants ampèriens 

On se place dans le système de coordonnées sphériques. D’après § 2.2.2.3., le champ 

magnétique créé par l’aimantation de la sphère est équivalent à celui de la distribution 

de courants 

⎧ 

⎨ j ∗ V = −→ 

rot M = 0 

⎩ 

j ∗ S = M ∧ n = M0uz ∧ ur = M0(cos θur − sinθuθ) ∧ ur = M0 sin θuφ 

On est donc ramené au problème d’une sphère parcourue par des courants de surface. 

La distribution de courants est invariante sous la rotation d’angle φ donc le champ 

magnétique ne dépend pas de φ. Tous les plans contenant (Oz) sont des plans d’antisymétrie 

de la distribution de courant donc pour tout point sur l’axe, le champ 

magnétique est dirigé suivant uz, i.e. B = B(r,θ)uz. Au point M situé sur l’axe (Oz) à 

une distance zM de l’origine, chaque élément de surface R 2 sinθdθdφ est parcouru par 

un courant Idℓ = j ∗ S dS = j∗ S R2 sinθdθdφ et crée un élément de champ magnétique 

dBz = dB cos(π/2 − α) 

= µ0 j 

4π 

∗ SR2 sin θdθdφ 

(zM − R cos θ) 2 sin α 

+ (R sin θ) 2 

= µ0 

4π 

≃ 

zM ≫R 

M0R2 sin 2 θdθdφ 

(zM − R cos θ) 2 × 

+ (R sin θ) 2 

µ0 

4π 

M0R2 sin 2 θdθdφ 

z3 R sinθ 

M 

R sinθ 

(zM − R cos θ) 2 + (R sinθ) 2 

où on a utilisé les notations de la figure (46) et le fait que l’élément de courant Id ℓ 

est perpendiculaire au vecteur joignant l’élément de courant et le point M. Le champ 

171


magnétique total est obtenu par intégration sur la sphère 

Il reste finalement 

µ0 M0R 

Bz ≃ 2π × 

zM ≫R 4π 

3 

= 2π × µ0 M0R 

4π 

3 

z3 M 

= 2π × µ0 M0R 

4π 

3 

= 2π × µ0 

4π 

z 3 M 

M0R 3 

z 3 M 

z3 M 

π 

0 

1 

π 

0 

−1 

1 sin 3 θdθ 

1 − cos 2 θ sinθdθ 

1 − u 2 du 

3 u 

1 

u − 

−1 3 −1 

 

=2 =2/3 

4π 

Bz ≃ 2 × 

zM ≫R 3 R3M0 × µ0 

4πz3 M 

z 

M 

I 

M 

φ 

z 

O 

α 

θ 

dB 

r 

R 

[r 2+(z 

−z) ] 

M 

1/2 2 

Figure 46 : [ Fig 1 ] Champ magnétique créé par un élément de surface de la 

sphère parcourue par des courants ampériens. 

(209) 

2.2.3.2.2. Sphère aimantée par la méthode des masses magnétiques 

D’après § 2.2.2.4., le champ magnétique créé par l’aimantation de la sphère est 

équivalent au champ électrique créé par la distribution de charges 

⎧ 

⎨ ρ = −div 

⎩ 

M = 0 

σ = (210) 

M.n = M0uz.ur = M0 cos θ 

avec la correspondance ε0 → 1/µ0. On est donc ramené au calcul du champ électrique 

créé par une sphère chargée en surface. D’après (43), le potentiel créé par la distribution 

de masses magnétiques est 

 

ϕ(r) = 

Sphere 

M0 cos θ ′ 

4πε0||r − r ′ || dS′ 

M0 cos θ 

= 

′ 

4πε0||r − r ′ || R2 sinθ ′ dθ ′ dφ ′ 

172 

(211)


où (R θ ′ φ ′ ) sont les coordonnées sphériques du point r ′ à la surface de la sphère. 

D’après (76), on a l’identité (12) 

⎧ 

+∞ l (l − m)! 

(l + m)! 

1 

||r − r ′ || = 

⎪⎨ 

⎪⎩ 

l=0 m=−l 

+∞ 

l 

l=0 m=−l 

(l − m)! 

(l + m)! 

r l 

R l+1 Plm(cos θ)Plm(cos θ ′ )e im(φ−φ′ ) , (r < R) 

R l 

r l+1 Plm(cos θ)Plm(cos θ ′ )e im(φ−φ′ ) , (r > R) 

faisant apparaître les polynômes de Legendre associés (§ 3.3.0.2.), le potentiel s’écrit 

ϕ(r) = 

2 +∞ M0R 

4πε0 

l 

L’intégrale sur φ ′ impose 

(l − m)! 

(l + m)! Plm(cos θ)e imφ 

l=0 m=−l 

π 

× cos θ 

0 

′ Plm(cos θ ′ ) sinθ ′ dθ ′ 

2π 

0 

2π 

0 

e −imφ′ 

dφ ′ = 2πδm,0 

e −imφ′ 

dφ ′ × 

⎧ 

⎪⎨ 

⎪⎩ 

(212) 

rl , (r < R) 

Rl+1 Rl , (r > R) 

rl+1 de sorte que l’intégrale sur θ ′ dans le cas m = 0 ne fait plus intervenir que des polynômes 

de Legendre (§ 3.3.0.1.) et conduit à 

π 

cos θ 

0 

′ Pl(cos θ ′ ) sin θ ′ dθ ′ π 

= P1(cos θ 

0 

′ )Pl(cos θ ′ ) sin θ ′ dθ ′ 

1 

= 

−1 

= 2 

2l + 1 δl,0 

P1(x)Pl(x)dx 

où on a utilisé (268). Le potentiel se réduit à 

⎧ r 

⎪⎨ , (r < R) 

2 M0R R2 ϕ(r) = cos θ × 

3ε0 ⎪⎩ R 

, (r > R) 

r2 A l’intérieur de la sphère, on a donc le potentiel 

ϕ(r) = M0 

3ε0 

r cos θ = M0 

z 

3ε0 

de sorte que le champ électrique est 

E = − −−→ 

grad ϕ = − M0 

uz 

3ε0 

(213) 

(12) Notons qu’on aurait pu également utiliser les résultats de § 1.2.3.7. dont la démarche, bien que 

plus général, est identique à celle utilisée ici. 

173


Par analogie, le champ d’induction magnétique est d’après (197) 

Bint = µ0 

2µ0M0 

H + M = uz ⇔ 

3 

H = − M0 

3 uz 

A l’extérieur de la sphère aimantée, le potentiel se réduit à 

ϕ(r) = M0R 3 cos θ 

3ε0r 2 

(214) 

i.e. au potentiel (64) créé par un moment dipolaire p = 4π 

3 R3 M0. Le champ électrique 

est donné par (67). Le champ magnétique est obtenu par analogie 

Bext = µ0 

 

3(m.r).r 

4π r5 − m 

r3 

(215) 

où m = 4π 

3 R3 M0uz. On retrouve le champ magnétique (183) créé par un moment 

magnétique m. 

2.2.3.2.3. Résolution de l’équation de Laplace pour une sphère aimantée 

Le potentiel (211) peut également être calculé en résolvant l’équation de Laplace 

(193) avec la condition (194) à la surface de la sphère. En utilisant l’absence de 

divergence du potentiel à l’origine et à l’infini et l’invariance de la distribution de 

masses magnétiques (210) sous la rotation d’axe (Oz), i.e. l’indépendance de ϕ avec 

φ, la solution de l’équation de Laplace (253) en coordonnées sphériques se réduit à 

⎧ 

⎪⎨ 

ϕ(r,θ) = 

⎪⎩ 

+∞ 

l=0 

+∞ 

l=0 


Flr −(l+1) Pl(cos θ), (r > R) 

Le potentiel doit être continu à la surface de la sphère : 

+∞ 

l=0 

ElR l Pl(cos θ) = 

+∞ 

l=0 

FlR −(l+1) Pl(cos θ) ⇔ Fl = ElR 2l+1 

et la présence de masses magnétiques à la surface de la sphère impose la discontinuité 

de sa dérivée (194) : 

+∞ 

l=0 

Fl(−l − 1)R −l−2 Pl(cos θ) − 

+∞ 

l=0 

EllR l−1 Pl(cos θ) = − M0 cos θ 

⇔ (l + 1)FlR −l−2 + lElR l−1 = M0 

⇔ El 

ε0 

(l + 1)R l−1 + lR l−1 = M0 

⇔ El = M0 

3ε0 

δl,1 

174 

ε0 

δl,1 

δl,1 

ε0 

= − M0 

P1(cos θ) 

ε0

Le potentiel est donc finalement 

⎧ 

M0 

⎪⎨ r cos θ, (r < R) 

3ε0 

ϕ(r,θ) = 

⎪⎩ 

M0R3 cos θ, (r > R) 

3ε0r2 2. Electromagnétisme des milieux 

ce qui correspond bien à (213) et conduit donc aux mêmes conclusions que le paragraphe 

§ 2.2.3.2.2.. 

2.2.3.2.4. Méthode des masses magnétiques loin de la sphère aimantée 

On peut également calculer le champ magnétique loin de la sphère sans l’aide de la 

relation (212). On se place dans le système de coordonnées sphériques. La distribution de 

charge est invariante sous la rotation d’angle φ donc le champ électrique ne dépend pas 

de φ. Tous les plans contenant l’axe (Oz) sont des plans de symétrie de la distribution 

de charge donc pour tout point sur l’axe (Oz), le champ électrique est dirigé suivant 

uz, i.e. E = E(r,θ)uz. Au point M situé sur l’axe (Oz) à une distance zM de l’origine, 

chaque élément de surface R 2 sin θdθdφ de la sphère crée un élément de champ électrique 

dEz = dE cos α 

= 

σR2 sin θdθdφ 

 

4πε0 (zM − R cos θ) 2 + (R sin θ) 2 

zM − R cos θ 

 

(zM − R cos θ) 2 + (R sinθ) 2 

= σR2 sinθdθdφ 

4πε0 

= σR2 sinθdθdφ 

4πε0z 2 M 

≃ 

zM ≫R 

≃ 

zM ≫R 

zM − R cos θ 

z 2 M + R 2 − 2zMR cos θ 3/2 

 

1 − 

σR 2 sinθdθdφ 

4πε0z 2 M 

σR 2 sinθdθdφ 

4πε0z 2 M 

R cos θ 

zM 

 

1 − 

 

1 + 

 

1 + R2 

R cos θ 

zM 

 

2R cos θ 

zM 

z 2 M 

 

1 + 

2R cos θ 

− 

zM 

 

3R cos θ 

zM 

−3/2 

où on s’est limité au premier ordre en R/zM. Le champ électrique total est obtenu par 

intégration sur toute la sphère pour la distribution surfacique de masses magnétiques 

(210) 

2 M0R 

Ez ≃ 2π × 

zM ≫R 

= 2π × 

= 2π 

On obtient finalement 

π 

4πε0z2 M 0 

2 M0R 

4πε0z2 1 

M −1 

2 M0R 

4πε0z2 2 u 

1 M 2 −1 

 

=0 

4π 

Ez ≃ 2 × 

zM ≫R 3 R3M0 × 

cos θ sinθdθ + 2R 

udu + 2R 

+ 2R 

zM 

1 

4πε0z 3 M 

175 

1 

zM −1 

1 u 3 

3 −1 

 

=2/3 

zM 

u 2 

du 

 

π 

0 

cos 2 

θ sinθdθ

2.3. Propagation dans les milieux 

de sorte que le champ magnétique créé par la sphère aimantée est à l’extérieur : 

4π 

Bz ≃ 2 × 

zM ≫R 3 R3M0 × µ0 

4πz3 M 

On retrouve l’expression (209) obtenue par la méthode des courants ampèriens. 

2.2.3.2.5. Sphère aimantée par la méthode du champ auxiliaire 

Le potentiel vecteur créé par la sphère aimantée peut s’écrire d’après (198) en 

fonction du champ électrique auxiliaire créé par la sphère de densité de charge unité 

ρ = 1. Le calcul peut se faire en utilisant le théorème de Gauss (§ 1.2.2.5.). D’après 

(60), le champ magnétique à l’extérieur de la sphère (199) est 

Bext = −µ0M0 

 

cos θ ∂ 

∂r 

− sinθ 

r 

∂ 

∂θ 

3 µ0M0R 2cos θ 

= − − 

3 r3 ur − 

= µ0M0R3 3r3 

3cos θur − uz 

= µ0R3 

3 

3 

( M.r)r 

r5 − M 

r3 

R 3 

3r2ur 

sin θ 

uθ 

r3 où on a utilisé à deux reprises le fait que uz = cos θur −sin θuθ et ∂ 

∂θur = uθ. Le champ 

magnétique à l’intérieur (200) est 

 

Bint = −µ0M0 cos θ ∂ 

 

sinθ ∂ 

r 

− 

∂r r ∂θ 3 ur 

 

+ µ0M0uz 

= − µ0M0 

3 

(cos θur − sinθuθ) + µ0M0uz 

= − µ0M0 

uz + µ0M0uz 

3 

= 2 

3 µ0M0uz 

On retrouve donc finalement les résultats (214) et (215) obtenus avec d’autres méthodes. 


2.3.1. Rayonnement dans les milieux 

2.3.1.1. Rayonnement multipolaire dans un milieu 

Dans un milieu polarisable, les équations de Maxwell du second groupe s’écrivent 

sous la forme (161) et (190) ce qui correspond à écrire les densités de courant et de 

charge comme 

ρtot. = ρex. − div P, 

 

jtot. = jex. + −→ 

rot M + ∂ P 

∂t 

176


Par conséquent, les équations de propagation des potentiels (29)) restent valables pour 

les densités ρtot. et jtot.. Les solutions générales de ces équations sont les potentiels 

de Liénard-Wichert : 

⎧ 

′ ′ ′ 

ρtot. r ,t = t − ||r − r||/c 

⎪⎨ 

ϕ(r,t) = 

4πε0||r − r 

⎪⎩ 

′ || 

A(r,t) = µ0 

 

jtot. 

′ ′ ′ r ,t = t − ||r − r||/c 

4π 

||r − r ′ || 

d 3 r ′ 

d 3 r ′ 

Considérons la transformée de Fourier de la première de ces expressions : 

 

ϕ(r,ω) = 

= 1 

 

4πε0 

e iωt ϕ(r,t)dt 

dt e iωt 

 

′ ′ ′ 

ρtot. r ,t = t − ||r − r||/c 

||r − r ′ || 

En effectuant le changement de variables t ′ = t − ||r ′ − r||/c, il vient 

Or on a la relation 

ϕ(r,ω) = 1 

 

4πε0 

= 1 

 

4πε0 

= 1 

 

4πε0 

e iω||r′ −r||/c 

||r − r ′ || 

= iω 

c 

e iω(t′ +||r ′ −r||/c) ρtot.(r ′ ,t ′ ) 

||r − r ′ || d3 r ′ dt ′ 

d 3 r ′ eiω||r′ −r||/c 

||r − r ′ || 

d 3 r ′ eiω||r′ −r||/c 

||r − r ′ || ρtot.(r ′ ,ω) 

+∞ 

l=0 

 

(2l + 1)Pl(cos θ)jl 

ρtot.(r ′ ,t ′ )e iωt′ 

dt ′ 

ωr ′ 

c 

hl 

 

ωr 

c 

où les jl sont les fonctions de Bessel sphériques (§ 3.3.0.5.) et les hl les fonctions de 

Hankel (§ 3.3.0.4.). On alors 

ϕ(r,ω) = ik 

+∞ 

l=0 

 

(2l + 1)hl(kr) 

d 3 r ′ 

Pl(cos θ)jl(kr ′ )ρtot.(r ′ ,ω)d 3 r ′ 

où k = ω/c. A grande distance, i.e. r ≫ 1, les fonctions de Hankel se comportent comme 

de sorte qu’il vient 

ϕ(r,ω) ∼ 

r→+∞ 

eikr 

hl(kr) ∼ (−i)l+1 

r→+∞ kr 

eikr +∞ 

× i (2l + 1)(−i) 

4πε0r 

l=0 

l+1 

 

177 

Pl(cos θ)jl(kr ′ )ρtot.(r ′ ,ω)d 3 r ′


Par ailleurs, pour les grandes longueurs d’onde, i.e. kr ′ ≪ 1, les fonctions de Bessel 

sphèriques se comportent comme 

de sorte qu’il vient 

jl(kr ′ ) ∼ 

kr ′ →0 

2 l l! 

(2l + 1)! (kr′ ) l 

ϕ(r,ω) ≃ eikr 

+∞ 

× − 

4πε0r 

l=0 

2ll!(−ik) l 

d 3 r ′ 

(2l)! 

De la même manière, il vient pour le potentiel vecteur 

A(r,ω) ≃ eikr 

+∞ 2 

× − 

4πε0r 

l=0 

ll!(−ik) l 

(2l)! 

 

Pl(cos θ)r ′l ρtot.(r ′ ,ω) 

Pl(cos θ)r ′l jtot.(r ′ ,ω)d 3 r ′ 

Le terme d’ordre un, i.e. l = 1, correspond au rayonnement dipolaire magnétique et 

quadrupolaire électrique. 

2.3.2. Propagation dans les milieux linéaires et isotropes 

2.3.2.1. Ondes électromagnétiques dans les milieux linéaires isotropes 

Dans un milieu linéaire et isotrope homogène et en l’absence de densités de courant 

jex. et de charge ρex. excitatrices, l’équation de Maxwell-Ampère obtenues à partir 

de (165) et (202) se réduit à 

−→ 

rot H = ∂ D 

∂t 

⇔ 1 

µr 

−→ 

rot ∂ 

B = εr 

E 

∂t 

(216) 

où on a introduit les indices définis par (168) et (205). En insérant cette relation dans 

l’équation de Maxwell-Faraday (4), il vient 

−→ 

rot −→ 

rot E = − ∂ −→ 

rot 

∂t 

B = − εrµr 

c2 ∂2E ∂t2 Par ailleurs, d’après (290), on a la relation 

−→ 

rot −→ 

rot E = −−→ 

grad div E − ∆ E = − ∆ E 


Gauss (163). On a donc finalement l’équation des ondes pour le champ électrique : 

∆ E − εrµr 

c 2 

∂2E = 0 (217) 

∂t2 Une équation des ondes identique est obtenue pour le champ magnétique. On retrouve 

une équation des ondes analogue à celle dans le vide (133) avec une vitesse de la 

phase 

vϕ = 

c 

√ εrµr 

= c 

n 

178

où on a introduit l’indice de réfraction 

n = √ εrµr 


En effet, les ondes planes (135) sont également solutions de (217) de sorte que deux 

points (r;t) et (r ′ ;t ′ ) ont même phase φ si 

φ = kx − ωt = kx ′ − ωt ′ ⇔ vϕ = x′ − x 

t ′ − t 

= ω 

k 

= c 

n 

pour une onde se propageant dans la direction (Ox). L’indice de réfraction est une 

quantité positive. Néanmoins, des matériaux se comportant lors d’une réflexion ou d’une 

réfraction comme s’ils avaient un indice de réfraction négatif ont récemment été élaborés. 

L’équation des ondes (217) est identique à celle dans le vide lorsqu’on remplace la 

vitesse de la lumière c par c/n. Dans le cas particulier d’un milieu homogène, i.e. εr, 

µr et donc n constants, les solutions de cette équation peuvent s’écrire, comme dans 

le vide, sous la forme de combinaison linéaire d’ondes planes (135) ou sphériques (141) 

monochromatiques. La relation de dispersion (136) est modifiée par l’introduction d’un 

facteur n 2 : 

− k 2 E( k) + n2 ω 2 

La vitesse de la phase dans le milieu est donc 

vϕ = 

c 

√ εrµr 

c 2 E( k) = 0 ⇔ ω = c 

n || k|| = vϕ|| k|| (218) 

= c 

n 

En effet, les ondes planes (135) sont également solutions de (217) de sorte que deux 

points (r;t) et (r ′ ;t ′ ) ont même phase φ si 

φ = kx − ωt = kx ′ − ωt ′ ⇔ vϕ = x′ − x 

t ′ − t 

pour une onde se propageant dans la direction (Ox). 

= ω 

k 

= c 

n 

Les équations de Maxwell (4), (216), (163) et (5) conduisent pour une onde plane 

(135) comme pour une onde sphérique (141) aux mêmes conclusions que dans le vide, 

en particulier que ( k, E, B) forment un trièdre direct. Finalement, la propagation des 

ondes électromagnétiques dans les milieux linéaires et isotropes homogènes ne diffère 

de celle dans le vide que par une modification de la vitesse de phase. 

2.3.2.2. Propagation dans un milieu linéaire dispersif 

Lorsque le champ électrique varie très rapidement, la polarisation ne peut plus le 

suivre et on observe un effet de retard. Si on reprend l’exemple de la sphère conductrice 

placée dans un champ électrique extérieur (§ 1.2.3.6.), la polarisation provient d’une 

redistribution des électrons de conduction à la surface de la sphère. On peut concevoir 

que chacun de ces électrons nécessite un certain temps pour atteindre sa position finale 

et que ce temps n’est pas le même pour tous les électrons. Par conséquent, la polarisation 

augmente de manière continue lorsqu’on applique brusquement un champ extérieur. On 

peut généarliser la relation (168) en la remplaçant pour un milieu linéaire isotrope par 

+∞ 

D(r,t) = ε0 εr(r ′ ,t ′ ) E(r − r ′ ,t − t ′ )d 3 r ′ dt ′ 

lR 3 

0 

179


L’équation de Maxwell-Ampère (216) en l’absence de courants devient 

−→ 

rot H = ∂ D 

∂t 

 

∂ 

= ε0 

∂t 

lR 3 

+∞ 

0 

εr(r ′ ,t ′ ) E(r − r ′ ,t − t ′ )d 3 r ′ dt ′ 

de sorte qu’en insérant cette relation dans l’équation de Maxwell-Faraday (4), il vient 

−→ 

rot −→ 

rot E = − ∂ −→ 

rot 

∂t 

∂ 

B = −ε0µ0µr 

2 

∂t2 +∞ 


En utilisant (290), on a 

lR 3 

−→ 

rot −→ 

rot E = −−→ 

grad div E − ∆ E 

Or la divergence du champ d’induction s’écrit 

div +∞ 

D = ε0 εr(r ′ ,t ′ ) divr E(r − r ′ ,t − t ′ )d 3 r ′ dt ′ 

lR 3 

de sorte que d’après (163) on a en l’absence de charge 

div D = ρex = 0 ⇒ div E = 0 

Il vient finalement l’équation des ondes 

∆ ∂ 

E = ε0µ0µr 

2 

∂t 2 

0 

lR 3 

+∞ 

0 

0 


Cette équation intégro-différentielle admet les ondes planes (135) pour solution. On a 

en effet 

−k 2 E( i(ωt− 

k,ω)e k.r) = ε0µ0µrE( k,ω) ∂2 

∂t2 

lR3 +∞ 

εr(r 

0 

′ ,t ′ )e i(ω(t−t′ )−k.(r−r ′ )) ′ 

dt 

= −ε0µ0µrω 2 E( k,ω)e i(ωt− +∞ 

k.r) 

εr(r ′ ,t ′ )e −i(ωt′ −k.r ′ ) ′ 

dt 

dont il découle la relation de dispersion 

k 2 = µrεr( k,ω) c2 ω 2 

où on a introduit la transformée de Fourier de la constante diélectrique 

εr( +∞ 

k,ω) = 

lR 3 

0 

lR 3 

εr(r ′ ,t ′ )e −i(ωt′ − k ′ .r ′ ) d 3 r ′ dt ′ 

0 

(219) 

Pour une onde électromagnétique de vecteur d’onde k et pulsation ω, le milieu se 

comporte comme un milieu linéaire de constante diélectrique εr( k,ω). Les résultats 

valables pour les milieux diélectriques sont alors facilement généralisés en remplaçant 

εr par εr( k,ω). En particulier, la vitesse de phase dans le milieu est vϕ = c 

n(ω) , i.e. 

dépend de la pulsation. Lumières rouge et bleu par exemple possèdent des indices de 

réfraction différents, ce qui permet la décomposition de la lumière blanche par un prisme 

par exemple. 

180


2.3.2.3. Propagation d’un paquet d’onde dans un milieu dispersif 

On considère un paquet d’onde formé de la superposition d’ondes planes (139) de 

pulsations voisines de ω0. En inversant la relation (219), i.e. en écrivant ω = ω( k), et 

en développant au voisinage de ω0, il vient 

ω( k) ≃ ω( k0) + ∇ k ω.( k − k0) + O || k − k0|| 2 

de sorte qu’on peut approcher le champ électrique par 

 

E(r,t) = 

d3k (2π) 3 E(k)e i 

 

k.r−ω( k)t d 3k 

≃ 

d3k (2π) 3 E(k)e i 

 

k.r− ω( k0)+ ∇ω.( k k− 

k0) t 

d 3k = e −i 

 

ω( k0)− ∇ω. k 

k0 t d3k (2π) 3 E(k)e i 

 

k.r− ∇ 

ω. k 

kt 

d 3k = e −i 

 

ω( k0)− ∇ω. k 

k0 t 

E r − ∇ 

 

kωt,t = 0 

L’évolution temporelle de l’onde correspond donc au premier ordre, à un facteur de 

phase près, à une translation du paquet d’onde avec une vitesse 

vg( k0) = ∇ k ω 

appelée vitesse de groupe. La vitesse de groupe caractérise le transport d’énergie et 

donc ne peut être supérieure à c. En revanche, la vitesse de phase peut être plus 

grande que c. Notons que dans le vide, ω = kc de sorte que vitesses de phase et de 

groupe sont égales : vϕ = vg = c. 

2 

1.5 

1 

0.5 

0 

-0.5 

-1 

-1.5 

line 1 

line 2 

line 3 

-2 

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 

Figure 47 : [ Fig 1 ] Un paquet d’onde gaussien à trois instants différents. Le 

paquet d’onde se déplace vers la droite à vitesse vg constante et s’étale au cours 

du mouvement. 

181


Le terme suivant dans le développement de Taylor de la pulsation ω( k) conduit 

à un étalement du paquet d’onde, i.e. une dispersion. Considérons le cas d’un paquet 

d’onde gaussien dans un espace à une dimension : 

E(x,t) = E0 

 

lR 

e − (k−k 0 )2 

2σ 2 e i(kx−ω(k)t) dk 

On approxime la relation par le développement de Taylor d’ordre deux : 

ω(k) ≃ ω(k0) + (k − k0)ω ′ (k0) + 1 

2 (k − k0) 2 ω ′′ (k0) 

Le champ électrique devient 

E(x,t) = E0 

 

= E0e −i 

e − (k−k0 )2 

2σ2 e ikx−i 

 

ω(k0)+(k−k0)ω ′ (k0)+ 1 

2 (k−k0) 2 ω ′′ 

(k0) tdk 

lR 

 

ω(k0)−k0ω ′ 

(k0) t 

 

lR 

e − (k−k0 )2 

2 ( 1 

σ2 +iω′′ 

′ 

(k0)t) ik x−ω (k0)t 

e dk 

En effectuant le calcul dans le plan complexe, on montre que le module du champ est 

|E(x,t| 2 = 

E2 0 

1 + (ω ′′ (k0)t) 2 e 

/4σ4 − 

(x−vgt) 2 

2σ2 

1+(ω ′′ (k0 )t) 2 /4σ4 

On retrouve donc un paquet d’onde de largeur σ(t) = σ 

 

1 + (ω′′ (k0)t) 2 

4σ 4 

1/2 

dépendante 

du temps et centrée sur la position x − vgt où vg est la vitesse de phase vg = ω ′ (k0). 

2.3.2.4. Lois de la réflexion et de la réfraction 

On considère une onde plane passant d’un milieu d’indice de réfraction n1 vers un 

milieu d’indice n2. Ces milieux sont supposés non conducteurs, isotropes et homogènes. 

2.3.2.4.1. Lois de Snell-Descartes 

On suppose que les ondes électromagnétiques réfléchies et transmises sont planes 

(135) : 

⎧ 

Einc.(r,t) = Einc.( k)e i 

 

ωt−n1 2π 

 

λ (x sin θinc.+z cos θinc.) 

0 

⎪⎨ 

Erefl.(r,t) = Erefl.( k)e i 

⎪⎩ 

Etrans.(r,t) = Etrans.( k)e i 

ωt−n1 2π 

λ 0 (xαrefl.+yβrefl.+zγrefl.) 

ωt−n2 2π 

λ 0 (xαtrans.+yβtrans.+zγtrans.) 

 

 

(220) 

La continuité des composantes tangentielles du champ électrique (56) au point x = y = 

z = 0 et sur les droites y = z = 0 et x = z = 0 conduit à 

⎧ 

⎪⎨ 

Einc.( k).ux + Erefl.( k).ux = Etrans.( k).ux 

n1 sin θ = n1αrefl. = n2αtrans. 

⎪⎩ 

βrefl. = βtrans. = 0 

182 

(221)


Les vecteurs d’onde des ondes réfléchie et transmise appartiennent donc au même plan 

que celui de l’onde incidente. On désignera par θrefl. et θtrans. les angles formés par les 

vecteurs d’onde des ondes réfléchie et transmise avec la normale à la surface. Il découle 

donc de (221) les relations de Snell-Descartes 

n1 sinθinc. = n2 sinθtrans., θinc. = θrefl.. (222) 

n 1 

n 2 

y 

θ 

inc. 

0 

θ 

z 

θ 

trans. 

Figure 48 : [ Fig 1 ] Ondes incidente, réfléchie et transmise à l’interface de deux 

milieux linéaires. 

Notons qu’existe un angle θl au delà duquel on a réflexion totale : 

sin θl = n2 sin π/2 

n1 

= n2 

n1 

Pour tout angle d’incidence θinc. > θl, on a, toujours en utilisant (222), un angle de 

réfraction θtrans. complexe : 

 

cos θrefr. = 1 − sin 2 

θinc. = 1 − sin2 2 

1/2 

θinc. sin θinc. 

= ±i − 1 

n2 n2 

L’exponentielle complexe du champ électrique Etrans.(r,t) (220) laisse place à une 

exponentielle décroissante. On parle d’onde évanescente. Les relations de Fresnel 

restent vérifiées. 

183 

refl. 

∼λ 

x


Figure 49 : [ Fig 1 ] Dispositif permettant de récupérer l’onde évanescente (en 

bleu) après réflexion totale. 

2.3.2.4.2. Relations de Fresnel 

En tenant compte des relations de Snell-Descartes (222), les expressions (220) des 

champs électriques se réduisent dans le cas d’un champ électrique incident perpendiculaire 

au plan d’incidence à 

⎧ 

Einc. = a1e i 

 

ωt−n1 2π 

 

λ (x sin θinc.+z cos θinc.) 

0 

⎪⎨ 

⎪⎩ 

uy 

 

Erefl. = b1e i 

 

ωt−n1 2π 

λ (x sin θinc.−z cos θinc.) 

0 uy 

Etrans. = a2e i 

 

ωt−n2 2π 

λ (x sin θtrans.+z cos θtrans.) 

0 

La continuité des composantes tangentielles des champs E (166) et H (203) impose 

l’expression des coefficients de réflexion et de transmission : 

⎧ 

⎪⎨ 

⎪⎩ 

r⊥ = b1 

a1 

t⊥ = a2 

a1 

= n1 cos θinc. − n2 cos θtrans. 

n1 cos θinc. + n2 cos θtrans. 

= 

2n1 cos θinc. 

n1 cos θinc. + n2 cos θtrans. 

 

uy 

= sin(θtrans. − θinc.) 

sin(θtrans. + θinc.) 

(223) 

On peut également former le rapport des flux d’énergie. D’après la loi de conservation de 

l’énergie dans un diélectrique (175), le flux d’énergie à travers un volume élémentaire est 

E ∧ H. En utilisant le fait que les champs électrique et magnétique sont perpendiculaires 

et que d’après (143), leur amplitude sont proportionnelles, il vient 

⎧ 

⎪⎨ 

R⊥ = 

⎪⎩ T⊥ = 

Erefl. ∧ Hrefl.d S 

Einc. ∧ Hinc.d S = 

Etrans. ∧ Htrans.d S 

Einc. ∧ Hinc.d S = a2 2 

a 2 1 

H inc. 

n 1 

n 2 

b 2 1d S 

a 2 1 d S = b2 1 

a 2 1 

Einc. 

y 

= r 2 ⊥ = 1 − T⊥ 

(224) 

= 4n1n2 cos θinc. cos θtrans. 

(n1 cos θinc. + n2 cos θtrans.) 2 = n2 cos θtrans. 

t 

n1 cos θinc. 

2 ⊥ 

θ inc. 

0 

z 

θ trans. 

θ refl. 

H trans. 

184 

E refl. 

H refl. 

θ 

E trans. 

x


Figure 50 : [ Fig 1 ] Champs électriques et magnétiques incidents, réfléchis et 

transmis. 

Dans le cas d’un champ électrique incident appartenant au plan d’incidence, on 

obtient de la même manière, 

et 

⎧ 

⎪⎨ r = n1 cos θtrans. − n2 cos θinc. 

n1 cos θtrans. + n2 cos θinc. 

⎪⎩ t = 

2n1 cos θinc. 

n1 cos θtrans. + n2 cos θinc. 

⎧ 

⎪⎨ R = r 2 = 1 − T ⎪⎩ 

T = 4n1n2 cos θinc. cos θtrans. 

(n1 cos θtrans. + n2 cos θinc. 

1.0 

0.5 

0.0 

−0.5 

= tan(θtrans. − θinc.) 

tan(θtrans. + θinc.) 

= t⊥ 

) 2 = n2 cos θtrans. 

t 

n1 cos θinc. 

2 

−1.0 

0.0 0.5 1.0 1.5 

Figure 51 : [ Fig 1 ] Facteur r⊥ (noir), r (vert), t⊥ (rouge), t (bleu) pour 

n1 = 1 et n2 = 1.5. 

(225) 

On remarque sur la figure qu’il existe un angle d’incidence particulier I, appelé 

angle de Brewster pour lequel r s’annule, i.e. pour lequel on a transmission totale. 

D’après (225), on a I + θtrans. = π/2 donc en utilisant (222), il vient 

tan I = n1 

n2 

2.3.2.5. Exemple d’interférences multiples 

On considère une lame parallèlipipédique d’épaisseur d constituée d’un matériau 

d’indice de réfraction n. Cette lame est éclairée par une onde plane de longueur 

d’onde λ et se propageant dans la direction u = k/k et dont le champ électrique est 

donc de la forme (135) 

Einc.(r,t) = E0e i 

 

2π ωt− λ u.r 

 

185


On note r le coefficient de réflexion et t le coefficient de transmission à l’interface 

séparant le vide de la lame (voir (223) et (225)). L’onde transmise est également plane 

de mêmes longueur et direction de propagation. Comme le montre la figure (52), l’onde 

transmise correspond à l’interférence des ondes qui n’ont jamais été réfléchies à celle 

ayant subies un nombre pair de réflexion dans la lame. Le chemin optique parcouru 

dans la lame lors d’une double réflexion étant 

2 × n 2π 

λ 

× d 

cos θ ′ 

le champ électrique transmis est 

Einc.(r,t) = E0e iωt t 2 

+∞ 

p=0 

L’intensité lumineuse transmise est donc 

I = | E| 2 = I0 

 

1 − r2e = I0 

= I0 

t 4 

r 2p 4πd −in 

e λ cos θ ′ p 

= E0e iωt 

−in 4πd 

λ cos θ ′ 

 

 

2 

 

1 − r 2 cos n 4πd 

λ cos θ ′ 

t 4 

1 + r 4 − r 2 n 8πd 

λ cos θ ′ 

t 4 

2 

t 2 

1 − r2 4πd −in 

e λ cos θ ′ 

+ r4 sin 2 n 4πd 

λ cos θ ′ 

 

L’intensité lumineuse dépend fortement de la longueur d’onde de l’onde incidente. Elle 

présente en effet en fonction de la longueur d’onde des pics dont la largeur dépend du 

coefficient de réflexion et qui sont centrés sur les longueurs d’onde correspondantes à 

des interférences constructives, i.e. à un chemin optique lors de la double réflexion qui 

est un multiple entier de la longueur d’onde. 

d 

n 

θ 

θ’ 

Figure 52 : [ Fig 1 ] Réflexions multiples d’une onde lumineuse dans une lame 

mince. 

186

2.3.2.6. Effet Doppler-Fizeau 


On considère un milieu d’indice de réfraction n. La vitesse de la lumière y est 

donc v ′ = c/n. Le milieu est mis en mouvement dans le sens de propagation de la 

lumière à une vitesse v0 par rapport à l’observateur. La phase d’une onde plane (135) 

ou sphérique (141) est un scalaire qui doit donc être invariant sous tout changement 

de système de coordonnées. En introduisant le quadrivecteur d’onde k µ = ω/c k , 

on peut écrire la phase, comme dans le cas du vide (§ 1.5.1.4.), sous la forme d’un 

produit scalaire ωt− k.r = kµx µ . Le quadrivecteur d’onde k µ se transformant de manière 

covariante, la vitesse de la lumière observée par l’observateur est 

⎧ 

ω 

⎪⎨ 

′ 

c = k′0 = k0 − v0k1 n 

/c ω/c − c = 

1 − v2 0 /c2 v0. k 

1 − v2 0 /c2 k ′ x = k ′1 = k1 − v0k0 /c 

 

1 − v2 0 /c2 = kx − v0ω/c2 

1 − v2 0 /c2 ⎪⎩ 

k ′ y = k ′2 = k 2 = ky 

k ′ z = k ′3 = k 3 = kz 

où on a utilisé le fait que || k|| = n 

c ω d’après la relation de dispersion (218). Si le vecteur 

d’onde k forme un angle θ avec la direction (Ox), i.e. si kx = k cos θ = nω cos θ/c, on 

peut écrire 

ω ′ = ω 1 − nv0 cos θ/c 

1 − v 2 0 /c 2 

On retrouve donc, à l’indice de réfraction près, la relation (144), valable dans le vide. 

Notons qu’on a supposé ici que l’indice de réfraction ne dépendait pas de la longueur 

d’onde, ce qui n’est généralement pas le cas. 

D’après la loi de composition des vitesses, l’observateur mesure une vitesse de la 

lumière 

c/n + v0 

v = 

1 + v0c/n 

c2 

c 

 

≃ + v0 1 − 

n v0 

 

= 

cn 

c 

 

+ v0 1 − 

n 1 

n2 

(226) 

En 1895, Lorentz a montré qu’on devait aussi considérer la variation de l’indice de 

réfraction accompagnant la dilatation de la longueur d’onde provoqué par le mouvement. 

La vitesse de l’onde étant transformée selon (226) et le temps entre deux fronts d’onde 

se dilatant comme 

∆t = ∆t ′ 

 

1 − v2 0 /c2 ≃ ∆t ′ 

 

1 − v2 0 

2c2 

, 

la longueur d’onde, i.e. la distance entre deux fronts d’onde est à l’ordre le plus bas en 

1/c : 

λ = v∆t ≃ 

 

c 

+ v0 1 − 

n 1 

n2 

× λ′ 

 

1 − 

c/n 

v2 0 

2c2 

≃ λ ′ 

 

1 + nv0 

 

1 − 

c 

1 

n2 

187


La variation d’indice de réfraction est alors 

n(λ) = n(λ ′ ) + dn 

dλ (λ − λ′ ) 

≃ n(λ ′ ) + dn 

 

λ 

dλ 

′ 

 

1 + nv0 

 

1 − 

c 

1 

n2 = n(λ ′ 

′ dn nv0 

) + λ 1 − 

dλ c 

1 

n2 

 

− λ ′ 

 

La vitesse observée de la lumière (226) est finalement à l’ordre le plus bas 

v ≃ c 

 

+ v0 1 − 

n(λ) 1 

n2 

≃ c 

 

′ dn v0 

1 + λ 1 − 

n dλ c 

1 

n2 −1 

+ v0 1 − 1 

n2 

≃ c 

n + 

 

′ dn v0 

v0 − λ 1 − 

dλ n 

1 

n2 

Cette relation a été testée expérimentalement pour la première fois par Zeeman en 1914. 

2.3.3. Propagation dans les diélectriques linéaires anisotropes 

2.3.3.1. Propagation de l’induction électrique dans un milieu anisotrope 

On considère une onde électromagnétique plane (135) monochromatique se déplaçant 

à la vitesse v dans la direction s. Le champ d’excitation électrique est par hypothèse de 

la forme 

E(r,t) = E( r.s iω(t− 

k)e v ) (227) 

L’équation de équation de Maxwell-Faraday (4) impose 

−→ 

rot E = −i ω −−→ 

grad (r.s) ∧ 

v 

E = −i ω 

v s ∧ E = − ∂ B 

∂t 

où on a utilisé (290). En supposant que le champ magnétique est également de la forme 

(227), on en tire l’expression du champ magnétique excitateur (205) 

− iωµ0µr H = −i ω 

v s ∧ E ⇔ H = 1 

µ0µrv s ∧ E 

On a supposé que le milieu était isotrope du point de vue magnétique et donc que 

[µr] = µr1l. En l’absence de courant excitateur, l’équation de Maxwell-Ampère (216) 

conduit de la même manière à 

−→ 

rot H = −i ω 

v s ∧ H 

ω 

= −i 

µ0µrv2s ∧ (s ∧ E) 

ω 

 

= −i s(s. E) − 

(228) 

E 

= ∂ D 

∂t 

µ0µrv 2 

188


où on a utilisé l’expression du double produit vectoriel. Si on suppose que l’induction 

électrique D est, comme les champs d’excitation électrique et magnétique, de la forme 

d’une onde plane (227) : 

D(r,t) = D( r.s iω(t− 

k)e v ) 

la relation (228) impose la condition 

iω D = i 

ω 

 

E − s(s. E) 

µ0µrv 2 

⇔ D = 

1 

µ0µrv 2 

 

E − s(s. E) 

(229) 

L’induction électrique est proportionnelle à la composante transverse du champ 

électrique, i.e la composante perpendiculaire au vecteur d’onde. Il découle de (229) 

D.s 

1 

= 

µ0µrv2 

s. E − (s.s)(s. 

E) = 0 (230) 

i.e. que l’induction électrique D est en tout perpendiculaire à la direction de propagation 

s de l’onde. 

2.3.3.2. Equation des ondes dans milieu diélectrique linéaire anisotrope 

On suppose le diélectrique linéaire, i.e. qu’il existe un tenseur [εr] satisfaisant (168). 

Si le milieu est homogène, il est toujours possible de se placer dans une nouvelle base 

dans laquelle ce tenseur est diagonal : 

Dµ = ε0εrµµEµ ⇔ 

D = ε0 εrµµ( E.eµ) 

µ=1 

On parle de directions principales diélectriques. Pour simplifier la discussion, on notera 

(Ox), (Oy), (Oz) ces trois directions principales. 

En l’absence de densités de courant jex. et de charge ρex. excitatrices, l’équation 

de Maxwell-Ampère obtenues à partir de (165) et (202) conduit à 

−→ 

rot H = ∂ D 

∂t 

⇔ 1 

µr 

( −→ 

rot ∂Eµ 

B).eµ = εrµµ 

∂t 

En insérant cette relation dans l’équation de Maxwell-Faraday (4), il vient 

( −→ 

rot −→ 

rot E).eµ = − ∂ 

∂t (−→ rot B)µ = − εrµµµr 

c2 ∂ 2 Eµ 

∂t 2 

Par ailleurs, d’après (290), on a la relation 

( −→ 

rot −→ 

rot E).eµ = −−→ 

grad div E − ∆ E .eµ = −∆Eµ 


Gauss (163). On a donc finalement l’équation des ondes pour le champ électrique : 

∂ 2 Eµ 

∆Eµ − εrµµµr 

c2 ∂t2 = 0 

Une équation des ondes identique est obtenue pour le champ magnétique. On a donc 

une vitesse de phase 

vµ = 

c 

√ εrµµµr 

différente pour chacune des composantes du champ électrique. Dans le cas général, on 

devra donc décomposer le champ électrique en le projettant sur les trois axes principaux 

du tenseur [εr]. Les trois ondes électromagnétiques obtenues se comporte comme dans 

un milieu isotrope avec l’indice de réfraction n = √ εrµµµr. 

189


2.3.3.3. Équation de Fresnel dans un milieu diélectrique linéaire 

Reprenons l’analyse du chapitre § 2.3.3.1. dans le cas d’un milieu linéaire et 

anisotrope. On notera α, β et γ les angles directeurs de s dans la base propre du tenseur 

[εr], i.e. s = cos αux + cos βuy + cos γuz. La relation (229) s’écrit pour la composante 

Dx suivant (Ox) par exemple 

Dx = 

1 

µ0µrv2 

Dx 

ε0εrxx 

− (s. 

E) cos α 

⇔ 

 

1 − 

⇔ Dx = 

L’orthogonalité de D et s (230) peut donc s’écrire 

1 

µ0µrv 2 ε0εrxx 

1 

ε0εrxx 

0 = D.s 

s. E = Dx cos α 

s. E + Dy cos β 

s. E + Dz cos γ 

s. E 

= 

1 

ε0εrxx 

cos2 α 

+ 

− µ0µrv2 1 

ε0εryy 

 

s. E cos α 

− µ0µrv2 cos2 β 

+ 

− µ0µrv2 Dx = − s. E cos α 

1 

ε0εrzz 

µ0µrv 2 

cos2 γ 

− µ0µrv2 En introduisant trois vitesses associées aux trois axes principaux du diélectrique 

v 2 x = 

1 

ε0µ0εrxxµr 

= 

c 

εrxxµr 

, v 2 y = 

c 

εryyµr 

, v 2 z = 

c 

εrzzµr 

l’équation de Fresnel (232) peut s’écrire de manière plus compacte sous la forme 

, 

(231) 

(232) 

cos2 α 

v2 x − v2 + cos2 β 

v2 y − v2 + cos2 γ 

v2 = 0 (233) 

z − v2 L’équation de Fresnel possède deux solutions v ′ et v ′′ correspondant à la vitesse de 

deux ondes dont les vecteurs induction D ′ et D ′′ sont perpendiculaires entre eux et à s. 

Ces deux vecteurs sont situés selon les axes de l’ellipse intersection de l’ellipsoïde des 

indices et du plan perpendiculaire à s. 

x 

n’ 

D’ 

D’’ 

n’’ 

z 

n z 

0 

190 

s 

n y 

y


Figure 53 : [ Fig 1 ] Les deux vecteurs induction D ′ et D ′′ correspondent aux 

deux vitesses de propagation solutions de l’équation de Fresnel (231). 

En multipliant l’équation (233) par v 2 et en ajoutant dans les deux membres 

cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1, il vient 

⇔ 

⇔ 

 

1 + v2 

v2 x − v2 

cos 2 

α + 1 + v2 

v2 y − v2 

cos 2 

β + 1 + v2 

v2 z − v2 

cos 2 γ = 1 

v 2 x 

v 2 x − v 2 cos2 α + v2 y 

v 2 y − v 2 cos2 β + v2 z 

v 2 z − v 2 cos2 γ = 1 

1 

1 − v2 /v2 cos 

x 

2 1 

α + 

1 − v2 /v2 cos 

y 

2 1 

β + 

1 − v2 /v2 cos 

z 

2 γ = 1 

En introduisant à présent trois indices de réfraction pour chacun des axes principaux 

vx = c 

nx 

on obtient l’équation 

cos 2 α 

n 2 − n 2 x 

= 

c 

√ , vy = 

ε0µ0εrxxµr 

c 

, vz = 

ny 

c 

nz 

+ cos2 β 

n 2 − n 2 y 

+ cos2 γ 

n 2 − n 2 z 

= 1 

n 2 

(234) 

équivalente à l’équation de Fresnel (233). Connaissant la direction de propagation s 

de l’onde, les solutions de cette relation correspondent aux indices de réfraction des 

différentes composantes du champ électrique sur les axes principaux de [εr]. 

2.3.3.4. Propagation d’une onde plane dans un cristal uniaxial 

Un milieu uniaxe est un milieu diélectrique anisotrope possédant deux constantes 

diélectriques principales identiques. Il possède donc un axe optique, noté dans la 

suite a, tel que toutes les directions qui lui sont perpendiculaires sont équivalentes. On 

note ne l’indice de réfraction dans la direction de l’axe optique et n0 dans les deux autres 

directions. Pour une direction de propagation s = ( cos α cos β cos γ ), l’équation de 

Fresnel (234) : 

cos 2 α 

n 2 − n 2 e 

+ cos2 β 

n 2 − n 2 0 

+ cos2 γ 

n 2 − n 2 0 

= 1 

n 2 

admet deux solutions n correspondant à des vecteurs induction D ′ correspondant à 

l’onde ordinaire et D ′′ à l’onde extraordinaire. D ′ appartient au plan perpendiculaire 

à l’axe optique a. L’onde ordinaire se propage à la vitesse c/n0. Le champ 

d’excitation E ′ est colinéaire à D ′ . D ′′ appartient appartient au plan principal (a,s) et 

correspond à la projection de l’axe optique sur le plan perpendiculaire à s et passant 

par O. L’onde extraordinaire se propage à la vitesse c/n où n0 ≤ n ≤ ne. Le champ 

d’excitation E ′′ appartient au plan principal et est perpendiculaire à l’ellipsoïde des 

indices. 

191


Figure 54 : [ Fig 1 ] Biréfringence dans un cristal de calcite. Les deux images 

correspondent aux ondes ordinaire et extraordinaire et leur décalage provient 

de l’indice de réfraction différent pour ces deux ondes. En interposant entre 

le cristal et l’observateur un polariseur convenablement orienté, on sélectionne 

l’une ou l’autre des deux images. 

2.3.4. Propagation dans les diélectriques linéaires conducteurs 

Dans les milieux diélectriques linéaires absorbants, une partie de l’énergie électromagnétique 

est dissipée par effet Joule. L’équation des ondes fait apparaître un 

indice de réfraction complexe. Les solutions de l’équation des ondes comportent par 

conséquent, outre un terme ondulatoire, un terme d’amortissement exponentiel lié à la 

partie imaginaire de l’indice. 

2.3.4.1. Équation des ondes dans les conducteurs 

Dans un milieu diélectrique linéaire, homogène et isotrope de densité de charge ρex. 

non nulle et parcouru par un densité de courant jex. satisfaisant la loi d’Ohm (103), les 

équations de Maxwell-Ampère (216) et de Maxwell-Faraday (4), conduisent à 

−→ 

rot −→ 

rot E = − ∂ −→ 

rot 

∂t 

B 

∂ −→ 

= −µ0µr rot 

∂t 

H 

 

∂ 

= −µ0µr jex. + 

∂t 

∂ 

D 

∂t 

 

∂ 

= −µ0µr σ 

∂t 

∂ 

E + ε0εr 

 

E 

∂t 

= −µ0µrσ ∂ E 

∂t 

∂ 

− ε0εrµ0µr 

2E ∂t2 Par ailleurs, d’après (290) et l’équation de Maxwell-Gauss (163), il vient 

−→ 

rot −→ 

rot E = −−→ 

grad div E − ∆ E = 1 

ε0εr 

−−→ 

grad div D − ∆ E = 1 

192 

ε0εr 

(235) 

−−→ 

gradρex. − ∆ E (236)


Notons que la loi d’Ohm n’est valable que dans le régime stationnaire. On supposera 

qu’on a laissé le système de charge atteindre le régime stationnaire et que les variations 

temporelle et spatiales du champ électrique sont suffisamment douces pour que puisse 

être négligé le gradient de densité de charge ρex. dans le volume considéré. L’égalité des 

relations (235) et (236) conduit finalement à l’équation des ondes : 

∆ E − εrµr 

c 2 

∂2E ∂t2 − µ0µrσ ∂ E 

∂t 

= 0 (237) 

Par analogie avec l’équation des ondes (217) dans un diélectrique, on peut considérer 

que le milieu possède une permittivité électrique complexe ˆεr et donc un indice de 

réfraction complexe ˆn : 

σ 

ˆεr = εr − iµr 

ε0ω 

(238) 

De manière analogue au champ électrique, on peut montrer que le champ d’excitation 

magnétique satisfait l’équation des ondes : 

∆ H − εrµr 

c 2 

∂2H ∂t2 − µ0µrσ ∂ H 

∂t 

= 0 

2.3.4.2. Ondes électromagnétiques dans un conducteur 

Cherchons des solutions de l’équation des ondes (238) de la forme : 

E(r,t) = E(r,ω)e iωt 

En insérant cette expression dans l’équation des ondes (237), il vient 

∆ E + 

εrµrω 2 

c 2 

E − iµ0µrσω E = 0 (239) 

Dans la limite haute fréquence εrω 

c 2 ≫ µ0σ, le courant est négligeable devant le courant 

de déplacement et on peut négliger le troisième terme de l’équation des ondes (239). 

Le milieu se comporte donc un diélectrique linéaire de résistivité nulle. L’équation des 

ondes admet donc pour solutions les ondes planes (135) : 

E(r,t) = E( k)e i(ωt− k.r) 

avec la relation de dispersion (218). On parle de régime propagatif. 

Dans la limite basse fréquence εrω 

c2 ≪ µ0σ, le courant de déplacement est négligeable 

devant le courant et on peut négliger le second terme de l’équation des ondes (239) : 

∆ E − iµ0µrσω E = 0 (240) 

Pour simplifier la discussion, on supposera que l’onde se propage dans la direction (Ox) 

et que les champs sont homogènes dans tous les plans x = Cste. L’équation des ondes 

(240) se réduit à une équation unidimensionnelle du second ordre 

∂ 2 E 

∂x 2 − iµ0µrσω E = 0 (241) 

193


dont l’équation caractéristique associée est 

r 2 − iµ0µrσω = 0 ⇔ r = ± √ µ0µrσω 

 

1 + i 

√ 

2 

où on a utilisé le fait que √ i = e iπ/2 1/2 = e iπ/4 = 1+i 

√2 . Les solutions de l’équation 

des ondes sont donc des combinaisons linéaires d’ondes planes amorties : 

E(r,t) = x x 

− i(ωt− 

E0e δ e δ) (242) 

où on a définit la profondeur de peau 

 

2 

δ = 

µ0µrσω 

et où, comme dans le vide, seule la partie réelle du champ (242) a une signification 

physique. L’onde est évanescente et il apparaît des courants de Foucault sur une 

épaisseur δ à la surface du conducteur : 

j = σ E = σ 

x − 

E0e δ cos ωt − x 

 

δ 

On parle de régime diffusif et d’effet de peau (ou effet Kelvin). D’après (238), l’indice 

de réfraction du milieu est complexe : 

1/2 1/2 

σ 

σ µrσ 

n = εr − iµr ≃ −iµr = 

ε0ω ω≪1 ε0ω ε0ω e−iπ/4 

µrσ 

= (1 − i) (243) 

2ε0ω 

2.3.4.3. Effet de peau dans un fil 

On considère un fil conducteur cylindrique de rayon R dont l’axe de révolution est 

aligné sur (Oz). Le fil est plongé dans un champ électrique E0 constant. L’invariance 

par rotation d’angle θ et par translation suivant uz suggère un champ électrique dans 

le fil de la forme E = Ez(r)uz. Dans la limite hautes fréquences, l’équation des ondes 

(241) se réduit à 

 

1 ∂ 

r 

r ∂r 

∂Ez 

 

= iµ0µrσωEz 

∂r 

dont la seule solution non divergente en r = 0 est 

où 

Ez(r,t) = E0J0(kr)e iωt 

k 2 = −iµ0σω ⇔ k = 

1 − i√ 

√ µ0µrσω = 

2 

1 − i 

δ 

Le champ magnétique est obtenu en utilisant l’équation de Maxwell-Faraday (4) : 

−→ 

rot E = − ∂ B 

∂t ⇔ ur ∧ ∂ E 

∂r = −iω B 

⇔ 

ur ∧ uz E0kJ ′ 0(kr)e iωt = −iω B 

⇔ k 

B = iE0 

ω J1(kr)e iωt uθ 

où on a utilisé le fait que ∂ 

∂rJ0(kr) = kJ ′ 0(kr) = −kJ1(kr). Dans la limite des hautes 

fréquences, on J(u √ −2i) ∼ 1 √ e u (1+i)u de sorte que le champ électrique s’écrit 

Ez(r,t) ∼ E0 

 

−2i 

kr e 

(1+i) 

√ kr+iωt 

−2i = E0 

√rδe (1+i)r/δ+iωr 

194

2.3.4.4. Pression de radiation dans les conducteurs 


On considère un milieu diélectrique conducteur remplissant la moitié de l’espace 

x > 0. On envoie une onde électromagnétique de pulsation ω et de vecteur d’onde 

suivant ux, i.e. perpendiculaire à la surface. L’onde transmise dans le milieu diélectrique 

est dans le régime diffusif εrω 

c 2 ≪ µ0σ : 

⎧ 

⎨ 

⎩ 

E(r,t) = x x 

− i(ωt− 

Etrans.e δ e δ) 

B(r,t) = x x 

− i(ωt− 

Btrans.e δ e δ) 

(244) 

où les conditions de passage du champ électrique imposent que la pulsation ω soit 

identique à celle de l’onde incidente et la relation de Snell-Descartes (222) que l’onde 

transmise se propage dans la direction (Ox). Notons que les amplitudes, notées ici Etrans. 

et Btrans. sont celles de l’onde transmise et sont donc plus petites que celle de l’onde 

incidente (§ 2.3.2.4.2.). D’après la loi de conservation de l’énergie dans un diélectrique 

(175), le flux d’énergie à travers un volume élémentaire est E ∧ H. Ce flux d’énergie 

oscille au cours du temps et sa moyenne temporelle est 

〈 E ∧ 2x − 

H〉t = Etrans.Htrans.e δ 2 x 

cos 

δ 〈cos2 ωt〉tux 

2x − 

= Etrans.Htrans.e δ 2 x ω 

cos × 

δ 2π 

= 1 

2x − 

Etrans.Htrans.e δ 2 x 

cos 

2 δ ux 

2π/ω 

0 

cos 2 ωtdtux 

où on a utilisé le fait que seule la partie réelle des expressions (244) a un sens 

physique et que dans les diélectriques isotropes, les champ E et B sont en tout point 

perpendiculaires. Par ailleurs, le courant engendré dans le milieu par l’onde subit une 

force de Laplace. Dans un volume élémentaire, la force de Laplace (89) s’écrit 

d F = j ∧ Bd 3 r = σ E ∧ Bd 3 r = µ0µrσ E ∧ Hd 3 r 

Par conséquent, l’onde électromagnétique exerce sur le milieu une force d’intensité 

proportionnelle au flux d’énergie. La force de Laplace moyenne subie par une surface S 

est 

〈 F 〉t = µ0µrσS 

+∞ 

0 

〈 E ∧ H〉tdx 

= 1 

2 µ0µrEtrans.Htrans.σS 

≃ 1 

2 µ0µrEtrans.Htrans.σS 

+∞ 

0 

+∞ 

= δ 

4 µ0µrEtrans.Htrans.σSux 

 

µ0µrσ 

= 

8ω Etrans.Htrans.Sux 

195 

0 

cos 

2 x 

δ 

2x − 

e δ dxux 

e− 2x 

δ dxux

ce qui correspond donc à une pression s’exerçant sur la surface 

P = 

µ0µrσ 

8ω Etrans.Htrans. 

(245) 

On a considéré ici une onde incidente normale à la surface, i.e. θinc. = 0 et donc 

θtrans. = 0. D’après les relations de Fresnel (224), le coefficient de transmission est 

T = 1 − R = 1 − 

2 n − 1 

= 

n + 1 

4n 

≃ 

(n + 1) 2 n≫1 

et d’après (243), il reste l’indice de réfraction du milieu est complexe : 

 

8ε0ω 

T ≃ (1 + i) 

µrσ 

Le flux d’énergie incident est relié à celui transmis par la relation 

Etrans.Htrans. = TEinc.Hinc. 

de sorte que la pression de radiation (245) peut se réduire finalement à 

P ≃ √ µ0ε0Einc.Hinc. = 1 

c Einc.Hinc. 

Si on tient compte de la réflexion, il apparaît un facteur deux supplémentaire : 

P ≃ 2 

c Einc.Hinc. 

196 

4 

n

3. Rappels de mathématiques 


3.1. Fonctions trigonométriques 

3.1.1. Trigonométrie circulaire 

Par définition de l’exponentielle d’un nombre complexe, on a 

cos x = eix + e −ix 

2 

De ces définitions, on tire la relation 

, sin x = eix − e−ix , tanx = 

2i 

cos 2 x + sin 2 x = 1. 

et il vient également en posant t = tanx/2, 

cos x = 

sin x 

cos x 

1 − t2 

1 + t2 sinx = 2t 

1 + t2 tanx = 2t 

. 

1 − t2 2 

1 

0 

-1 

-2 

cos(x) 

sin(x) 

tan(x) 

0 1 2 3 4 5 6 

= 1 − e−2ix 

1 + e −2ix 

Figure 55 : [ Fig 1 ] Fonctions trigonométriques circulaires : cos x (en rouge), 

sin x (en vert) et tan x (en bleu). 

197 

(246)


3 

2 

1 

0 

-1 

-2 

-3 

Arccos(x) 

Arcsin(x) 

Arctan(x) 

-2 -1 0 1 2 

Figure 56 : [ Fig 1 ] Fonctions trigonométriques circulaires inverses : Arccos x 

(en rouge), Arcsin x (en vert) et Arctan x (en bleu). 

3.1.1.1. Formules d’addition des fonctions trigonométriques 

Les formules d’addition des fonctions trigonométriques sont 

cos(a + b) = cos acos b − sinasin b cos(a − b) = cos acos b + sinasin b 

sin(a + b) = sinacos b + cos asin b sin(a − b) = sinacos b − cos asin b 

(247) 

tana + tanb 

tan(a + b) = 

1 − tanatan b 

tana − tanb 

tan(a − b) = 

1 + tanatan b 

Ces relations peuvent être facilement obtenues en utilisant les relations (246). On 

retrouve les deux premières formules d’addition à gauche dans (247) en identifiant 

parties réelle et complexe de 

cos(a + b) + isin(a + b) = e i(a+b) 

= e ia .e ib 

= (cos a + isina)(cos b + isinb) 

= [cos acos b − sin asinb] + i[sinacos b + cos asin b] 

Les autres formules d’addition en découlent. En posant x = a = b dans (247), on obtient, 

cos 2x = cos 2 x − sin 2 x sin 2x = 2cos xsin x 

tan2x = 2tanx 

1 − tan2 x 

On a également, 

 

p + q p − q 

cos p + cos q = 2cos cos 

2 2 

 

p + q p − q 

cos p − cos q = −2sin sin 

2 2 

 

p + q p − q 

sinp + sinq = 2sin cos 

2 2 

 

p + q p − q 

sinp − sinq = 2cos sin 

2 2 

198


3.1.1.2. Dérivation des fonctions trigonométriques 

Les dérivées des fonctions trigonométriques peuvent être obtenues en dérivant les 

exponentielles des expressions (246). Il vient : 

(cos x) ′ = −sin x, (sinx) ′ = cos x, (tanx) ′ = 1 

cos 2 x = 1 + tan2 x. 

Les dérivées des fonctions inverses sont obtenues en posant par exemple 

de sorte que 

u = sinθ ⇔ θ = Arcsin u 

du = cos θ = 1 − u 2 dθ ⇔ dθ 

du 

d 

= Arcsin u = 

du 

Il vient de la même manière 

(Arccos x) ′ 1 

= −√ 

1 − x2 , (Arcsinx)′ = 

3.1.2. Trigonométrie hyperbolique 

1 

√ 1 − u 2 

On définit les fonctions hyperboliques par les relations 

1 

√ 

1 − x2 , (Arctanx)′ = 1 

1 + x2 cosh x = ex + e−x , sinhx = 

2 

ex − e−x , 

2 

tanhx = sinhx 

cosh x 

De ces définitions, on tire la relation 

cosh 2 x − sinh 2 x = 1. 

Il vient également en posant t = tanhx/2, 

cosh x = 

1 − e−2x 

= . 

1 + e−2x 1 + t2 

1 − t2 sinhx = 2t 

1 − t2 tanhx = 2t 

. 

1 + t2 2 

1 

0 

-1 

-2 

cosh(x) 

sinh(x) 

tanh(x) 

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 

Figure 57 : [ Fig 1 ] Fonctions trigonométriques hyperboliques : cosh x (en 

rouge), sinh x (en vert) et tanh x (en bleu). 

199 

(248)


3.1.2.1. Fonctions hyperboliques inverses 

On peut montrer qu’on a 

 

x = cosh y ⇔ y = argcosh x = ln x + x2 

− 1 

 

x = cosh y ⇔ y = argsinhx = ln x + x2 

+ 1 

x = cosh y ⇔ y = argtanhx = 1 

2 ln 

 

1 + x 

1 − x 

2 

1.5 

1 

0.5 

0 

-0.5 

-1 

-1.5 

argcosh(x) 

argsinh(x) 

argtanh(x) 

-2 

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 

Figure 58 : [ Fig 1 ] Fonctions trigonométriques hyperboliques inverses : 

argcosh x (en rouge), argsinh x (en vert) et argtanh x (en bleu). 

3.1.2.2. Formules d’addition des fonctions hyperboliques 

Les formules d’addition des fonctions trigonométriques découlent des propriétés de 

l’exponentielle. On a 

cosh(a + b) = cosh acosh b + sinhasinh b cosh(a − b) = cosh acosh b − sinhasinh b 

sinh(a + b) = sinhacosh b + cosh asinh b sinh(a − b) = sinhacosh b − cosh asinh b 

(249) 

tanha + tanhb 

tanh(a + b) = 

1 + tanhatanhb 

tanha − tanhb 

tanh(a − b) = 

1 − tanhatanhb 

En posant x = a = b dans les formules d’addition (249), on obtient, 

cosh 2x = cosh 2 x + sinh 2 x sinh2x = 2cosh xsinh x 

tanh2x = 2tanhx 

1 + tanh 2 x 

200

On a également 

 

p + q p − q 

cosh p + cosh q = 2cosh cosh 

2 2 

 

p + q p − q 

cosh p − cosh q = 2sinh sinh 

2 2 

 

p + q p − q 

sinhp + sinq = 2sinh cosh 

2 2 

 

p + q p − q 

sinhp − sinq = 2cosh sinh 

2 2 

tanhp + tanhq = 

tanhp − tanhq = 

sinh(p + q) 

cosh pcosh q 

sinh(p − q) 

cosh pcosh q 

3.1.2.3. Dérivation des fonctions hyperboliques 


La dérivée des fonctions hyperboliques est facilement calculée en revenant aux 

définitions (248). On a 

(cosh x) ′ = sinhx, (sinhx) ′ = cosh x, (tanhx) ′ = 

1 

cosh 2 x = 1 − tan2 x 

Les dérivées des fonctions inverses sont obtenues en posant par exemple 

de sorte que 

Il vient 

(argcosh x) ′ = 

u = sinhθ ⇔ θ = argsinhu 

du = cosh θ = u 2 + 1dθ ⇔ dθ 

du 

1 

√ x 2 − 1 , (argsinhx) ′ = 

d 

= argsinhu = 

du 

1 

√ u 2 + 1 

1 

√ , (argtanhx) 

x2 + 1 ′ = 1 

1 − x2 3.1.2.4. Développements limités des fonctions trigonométriques 

201

3.2. Équations différentielles et aux dérivées partielles 

Les développements limités des fonctions trigonométriques sont : 

cos x = 1 − 1 

2 x2 + 1 

4! x4 + ... + (−1)p 

(2p)! x2p + σ x 2p+2 

sinx = x − 1 

3! x3 + 1 

5! x5 + ... + (−1)p 

(2p + 1)! x2p+1 + σ x 2p+3 

tanx = x + 1 

3 x3 + 2 

15 x5 + σ x 6 

Arcsin x = x + 1 

6 x3 + 3 

40 x5 1.3...(2n − 1) x 

+ ... + 

2.4...(2n) 

2n+1 

2n + 1 + σ x 2n+2 

Arctan x = x − 1 

3 x3 + 1 

5 x5 + ... + (−1)n 

2n + 1 x2n+1 + σ x 2n+2 

cosh x = 1 + 1 

2 x2 + 1 

4! x4 + ... + 1 

(2p)! x2p + σ x 2p+2 

sinhx = x + 1 

3! x3 + 1 

5! x5 + ... + 

tanhx = x − 1 

3 x3 + 2 

15 x5 + σ x 6 

1 

(2p + 1)! x2p+1 + σ x 2p+3 

argsinhx = x − 1 

6 x3 + 3 

40 x5 n 1.3...(2n − 1) x 

+ ... + (−1) 

2.4...(2n) 

2n+1 

2n + 1 + σ x 2n+2 

argtanhx = x + 1 

3 x3 + 1 

5 x5 + ... + 1 

2n + 1 x2n+1 + σ x 2n+2 

2 

1.5 

1 

0.5 

0 

-0.5 

-1 

-1.5 

sin(x) 

ordre 1 

ordre 3 

ordre 5 

ordre 7 

ordre 9 

ordre 11 

-2 

0 1 2 3 4 5 6 

Figure 59 : [ Fig 1 ] Développement limité de la fonction sin(x). 


202

3.2.1. Equations différentielles du premier ordre 


Considérons par exemple l’équation différentielle du premier ordre (car la seule 

dérivée est une dérivée première) à coefficients constants et avec second membre (ce qui 

éventuellement dépend du temps t mais pas de v(x)) : 

m dv 

dt 

= −kv − mg 

Vous aurez reconnu l’équation du mouvement d’une masse ponctuelle m soumise à 

l’accélération de la pesanteur et à une force de frottement. On cherche la solution 

v = v(t). 

3.2.1.1. Solution générale de l’équation sans second membre 

Dans un premier temps, on cherche la solution de l’équation sans second membre 

m dv 

dt 

+ kv = 0 

La solution est obtenue par simple intégration 

m dv 

dt 

1 dv 

= −kv ⇔ = −k 

v dt 

d lnv 

⇔ = −k 

dt 

 

d lnv 

⇔ dt = − kdt 

dt 

⇔ lnv(t) = −kt + A 

⇔ v(t) = e −kt+A = Be −kt 

où A est une constante d’intégration. On a posé B = e A pour simplifier la notation. 

Cette solution est la plus générale possible : en faisant varier A, on obtient toutes les 

solutions mathématiquement possibles. Il n’y en a pas d’autres. 

3.2.1.2. Solution particulière de l’équation avec second membre 

On cherche une seule solution particulière de 

m dv 

dt 

= −kv − mg 

La méthode la plus simple consiste à passer en revue les fonctions connues et vérifier 

si l’une d’entre elles satisfait l’équation différentielle. Avec de la pratique, on développe 

l’intuition nécessaire pour un choix plus intelligent de la fonction essayée. 

Dans le cas qui nous intéresse, essayons 

On a alors dv 

dt 

v(t) = Cste 

= 0 et donc 

0 = −kv − mg ⇔ v = − mg 

k 

Il existe bien une solution constante de l’équation différentielle ! Si v n’était pas solution, 

on aurait abouti à une contradiction ou une tautologie (0 = 0 par exemple). 

203


3.2.1.3. De la solution mathématique à la solution physique 

On peut montrer que la solution générale de l’équation avec second membre est 

simplement la somme de la solution générale de l’équation sans second membre et d’une 

solution particulière de l’équation avec second membre. Dans notre cas, cette solution 

générale est 

v(t) = Be −kt − mg 

k 

De nouveau, il ne s’agit pas d’une solution mais d’une famille de solutions correspondantes 

aux différentes valeurs de la constante d’intégration B. Puisque la masse m 

parcourt une et une seule trajectoire, seule l’une de ces solutions a un sens physique. Il 

reste à présent à déterminer B à partir d’hypothèses physiques. Ici, on pourra utiliser la 

vitesse initiale v(0) = v0 qu’on supposera connue. En insérant dans la solution, il vient 

v(0) = Be 0 − mg 

k = v0 ⇔ B = v0 + mg 

k 

La solution physique est donc finalement 

v(t) = 

 

v0 + mg 

 

e 

k 

−kt − mg 

k 

3.2.2. Equation différentielle du second ordre 

On considère l’exemple de l’équation différentielle du second ordre à coefficients 

constants et avec second membre 

m d2x = −kdx − mg 

dt2 dt 

3.2.2.1. Solution générale de l’équation sans second membre 

Soit à résoudre 

m d2x + kdx 

dt2 dt 

= 0 

Cherchons des solutions sont de la forme 

x(t) = Ae rt 

En insérant cette expression dans l’équation différentielle, il vient puisque x ′ (t) = Are rt 

et x ′′ (t) = Ar 2 e rt 

mAr 2 e rt + kAre rt = 0 

On peut diviser cette expression d’une part par A car seul le cas A = 0 présente un 

intérêt (A = 0 conduirait à la solution triviale x(t) = 0) et d’autre part par e rt qui ne 

s’annule pas pour toute valeur finie de t. Il reste l’équation caractéristique 

r 2 + kr = 0 

204

dont les deux solutions sont 

r1 = 0, r2 = − k 

m 


k − On a donc deux types de solution, A et Ae m t . La solution la plus générale est la 

combinaison linéaire de ces deux solutions, i.e. 

k − 

x(t) = A + Be m t 

Ici, les solutions de l’équation caractéristique sont rélles et conduisent donc à 

des solutions x(t) exponentielles. Lorsque le discrimant est négatif, les solutions sont 

complexes, conjuguées l’une de l’autre, i.e. r1 = a + ib et r2 = a − ib, et conduisent à 

des solutions oscillantes : 

x(t) = Ae (a+ib)t + BAe (a−ib)t 

Lorsque la grandeur physique x(t) est réelle, un choix approprié des constantes A et B 

fait disparaître la partie imaginaire, ne laissant plus qu’une expression de la forme 

x(t) = e a C cos bt + D sin bt 

3.2.2.2. Solution particulière de l’équation avec second membre 

Formulons l’hypothèse que x(t) = Cste est solution de l’équation différentielle avec 

second membre 

m d2x + kdx 

dt2 dt = −mg ⇒ 0 ! = −mg 

On arrive à une contradiction, signe que l’hypothèse de départ est fausse. 

Essayons à présent le polynôme de degré immédiatement supérieur : x(t) = Ct de 

sorte que x ′ (t) = C et x ′′ (t). L’équation différentielle avec second membre se réduit 

alors 

kC = −mg ⇔ C = − mg 

k 

Par conséquent, x(t) = mg 

k t est une solution de l’équation différentielle. 

3.2.2.3. De la solution mathématique à la solution physique 

La solution générale de l’équation avec second membre est finalementla somme de 

la solution générale de l’équation sans second membre et d’une solution particulière de 

l’équation avec second membre : 

k − 

x(t) = A + Be m t − mg 

k t 

Il reste à déterminer quels paramètres A et B correspondent à la trajectoire de la 

particule. Dans le cas où on connaît la position et la vitesse initiale, par exemple x(0) = 0 

et dx 

dt (0) = v0, il vient en insérant dans la solution 

x(0) = A + B 

205


et 


dx 

dt 

k k 

= − Be− m 

m t − mg 

k 

A = −B = mv0 

k + m2g k2 La trajectoire de la particule est finalement 

x(t) = m 

k 

3.2.3. L’équation de Laplace 

L’équation de Laplace est 

dx k mg 

⇒ (0) = − B − 

dt m k 

 

v0 + mg 

 

k − 

1 − e m 

k 

t 

− mg 

k t 

= v0 

∆f = 0 (250) 

3.2.3.1. Solution de l’équation de Laplace en coordonnées cartésiennes 

Dans un système de coordonnées bidimensionnel, l’équation de Laplace s’écrit 

∂2f ∂x2 + ∂2f = 0 

∂y2 On pose f(x,y) = u(x)v(y) de sorte qu’il vient 

v d2u dx2 + ud2 v 1 d 

= 0 ⇔ 

dy2 u 

2u d 

= −1 

dx2 v 

2v dy2 On a donc séparation des variables : 

⎧ 

1 d 

⎪⎨ 

u 

2u dx2 = α2 ⇒ u = C1e αx + C2e −αx 

⎪⎩ 

Il vient finalement 

− 1 d 

v 

2v dy2 = α2 ⇒ u = Acos αy + B sinαy 

f(x,y) = C1e αx + C2e −αx (Acos αy + B sin αy) 

206

3.2.3.2. Solution de l’équation de Laplace en coordonnées polaires 


En coordonnées polaires, l’équation de Laplace (250) s’écrit sous la forme 

1 

r 

 

∂ 

r 

∂r 

∂f 

 

+ 

∂r 

1 

r2 La séparation des variables 

f(r,θ) = fr(r)fθ(θ) 

∂2f = 0 

∂θ2 conduit aux deux équations différentielles 

 

r d 

r 

fr(r) dr 

df 

 

= − 

dr 

1 d 

fθ(θ) 

2fθ(θ) = k2 

dθ2 où le choix de signe de la constante est nécessaire pour que que la transformation 

θ → θ+2π ne change pas la solution. Les conditions aux limites imposent généralement 

la quantification de la constante k. Les solutions de l’équation de Laplace sont 

fr(r) = Cr k + Dr −k 

si k = 0 et 

fθ(θ) = Acos kθ + B sinkθ 

fr(r) = G + H lnr 

fθ(θ) = E + Fθ 

si k = 0 de sorte que la solution générale est 

f(r,θ) = 

+∞ 

n=1 

(An cos knθ + Bn sin knθ) Cnr kn 

−kn + Dnr 

(E + Fθ) (G + H lnr) 

3.2.3.3. Solution de l’équation de Laplace en coordonnées sphériques 

En coordonnées sphériques, l’équation de Laplace (250) s’écrit sous la forme 

1 

r 2 

 

∂ 2 ∂f 

r + 

∂r ∂r 

La séparation des variables 

1 

r 2 sinθ 

f(r,θ,φ) = fr(r)fang(θ,φ) 

 

∂ 

sin θ 

∂θ 

∂f 

 

+ 

∂θ 

1 

r 2 sin 2 θ 

∂2f = 0 

∂φ2 conduit aux trois équations différentielles 

⎧ 

d 2 dfr(r) 

⎪⎨ 

r − l(l + 1)fr(r) = 0 

dr dr 

 

⎪⎩ 

1 ∂ 

sinθ 

sinθ ∂θ 

∂fang 

 

+ 

∂θ 

1 

sin 2 ∂ 

θ 

2fang ∂φ2 + l(l + 1)fang(θ,φ) = 0 

207 

(251) 

(252)


La forme l(l + 1) avec l entier positif ou nul du paramètre de séparation est nécessaire 

pour que l’équation de Laplace ait des solutions régulières pour θ = 0 et θ = π. La 

solution générale de la première des équations (252) est 

fr(r) = Ar l + Br −l−1 

Les variables de la seconde des équations différentielles (252) sont séparables sous la 

forme 

ce qui conduit à 

⎧ 

fang(θ,φ) = fθ(θ)fφ(φ) 

⎪⎨ 

⎪⎩ 

d 2 fφ 

dφ 2 = −m2 fφ 

1 

sinθ 

d 

dθ 

⇔ d 

du 

 

sinθ dfθ 

 

+ l(l + 1) − 

dθ 

m2 

sin 2 

fθ = 0 

θ 

 

(1 − u 2 ) dfθ 

 

+ l(l + 1) − 

du 

m2 

1 − u2 

fθ = 0 

où on a posé u = cos θ. La première des équations différentielles admet pour solution 

fφ(φ) = Ee imφ + Fe −imφ 

où m est un entier. Les solutions de la dernière des équations différentielles sont d’après 

(274) les polynômes de Legendre associés P m 

l (cos θ). Les solutions de l’équation de 

Laplace (250) sont donc 

f(r,θ,φ) = 

+∞ 

l 

l=0 m=−l 

Clm 

 

Alr l + Blr −(l+1) 

P m 

l (cos θ)e imφ 

(253) 

en coordonnées sphériques. L’absence de divergence impose que Bl = 0 si l’origine 

appartient au domaine et Al = 0 si l’infini en fait partie. L’invariance de la distribution 

de charge sous une rotation d’axe (Oz) impose l’indépendance du potentiel avec φ de 

sorte qu’on doit avoir Clm = 0 pour tout m = 0 lorsque c’est le cas. 

3.2.3.4. Solution de l’équation de Laplace en coordonnées cylindriques 

En coordonnées cylindriques, l’équation de Laplace (250) s’écrit sous la forme 

 

1 ∂ 

r 

r ∂r 

∂f 

 

+ 

∂r 

1 

r2 ∂2f ∂θ2 + ∂2f = 0 (254) 

∂z2 La séparation des variables 

f(r,θ,z) = fr(r)fθ(θ)fz(z) 

conduit aux deux équations différentielles 

⎧ 

r 

⎪⎨ 

d 

 

r 

dr 

dfr 

 

+ 

dr 

k 2 r 2 − n 2 = 0 

d2fθ dθ2 + n2fθ = 0 

⎪⎩ 

d 2 fz 

dz 2 − k2 fz = 0 

208


Si les constantes n et k sont réelles, les solutions linéairement indépendantes sont les 

fonctions de Bessel Jn(kr) et Nn(kr). Les solutions de l’équation de Laplace sont 

alors 

⎧ 

fr(r) = AnJn(kr) + BnNn(kr), (k = 0) 

fr(r) = Ar n + Br −n , (k = 0) 

⎪⎨ fθ(θ) = Cn cos nθ + Dn sinnθ, (n = 0) 

fθ(θ) = Cθ + D, (n = 0) 

fz(z) = Eke 

⎪⎩ 

kz + Fke −kz , (k = 0) 

fz(z) = Ez + F, (k = 0) 

Si n = k = 0 alors le potentiel se réduit à 

f(r,θ,z) = (Alnr + B)(Cθ + D) (Ez + F) 

Si, pour des raisons physiques, la solution doit être périodique sur l’axe (Oz), k = iκ 

doit être complexe et l’équation de Bessel modifiée 

r d 

 

r 

dr 

dfr 

 

− 

dr 

κ 2 r 2 + n 2 = 0 

admet pour solutions les fonctions de Bessel modifiées In(κr) et Kn(κr). 

3.2.4. L’équation des ondes 

L’équation des ondes est l’équation aux dérivées partielles : 

∂2 1 

f(x,t) − 

∂x2 v2 ∂2 f(x,t) = 0 (255) 

∂t2 où v est un paramètre dont on démontrera qu’il correspond à la vitesse de propagation 

de l’onde. 

3.2.4.1. Equation des ondes unidimensionnelle 

3.2.4.1.1. Propagation des ondes 

L’équation des ondes (255) peut s’écrire sous la forme 

∂2 1 

f(x,t) − 

∂x2 v2 ∂2 f(x,t) = 0 ⇔ 

∂t2 En posant 

il vient 

ξ = t − x x 

, η = t + 

v v 

⎧ 

∂ 

⎪⎨ ∂x 

⎪⎩ 

∂ 

∂t 

= ∂ξ 

∂x 

∂ 

∂ξ 

∂ξ ∂ 

= 

∂t ∂ξ 

∂η ∂ 

+ 

∂x ∂η 

+ ∂η 

∂t 

 

∂ 1 

− 

∂x v 

∂ 

∂η 

= −1 

v 

= ∂ 

∂ξ 

209 

∂ 

∂x 

∂ 

∂ξ 

+ ∂ 

∂η 

 

∂ 1 

+ 

∂x v 

1 ∂ 

+ 

v ∂η 

 

∂ 

f(x,t) = 0 

∂t


et donc 

∂ 1 ∂ 

− 

∂x v ∂x 

= −2 

v 

∂ 

∂ξ , 

Finalement, l’équation des équations s’écrit 

− 4 

v2 ∂2 f(ξ,η) = 0 

∂ξ∂η 

La solution de cette équation est de la forme 

∂ 1 ∂ 

+ 

∂x v ∂t 

= 2 

v 

∂ 

∂η 

 

f(ξ,η) = g(ξ) + h(η) = g t − x 

 

+ h t + 

v 

x 

 

v 

Chacun des deux termes g(ξ) et h(η) correspond à une onde se propagageant à vitesse 

v dans le sens x > 0 et x < 0. En effet, l’onde g(ξ) apparaît identique lorsque 

g(ξ) = g(ξ ′ ) ⇔ t − x 

v = t′ − x′ 

v ⇔ x′ = x + v(t ′ − t) 

i.e. lorsqu’on se déplace à une vitesse avec elle à la vitesse +v. L’onde h(η) conduit à 

h(η) = h(η ′ ) ⇔ t + x 

v = t′ + x′ 

v ⇔ x′ = x − v(t ′ − t) 

i.e. elle se déplace à la vitesse −v. 

3.2.4.1.2. Décomposition en ondes planes progressives 

L’équation des ondes (255) est à variables séparables. Écrivons l’onde sous forme 

d’un produit : 

il vient alors 

f(x,t) = fx(x)ft(t) 

ft(t) ∂2fx(x) fx(x) 

− 

∂x2 v2 ∂2ft(t) 1 

= 0 ⇔ 

∂t2 fx(x) 

∂2fx(x) = 

∂x2 1 

v2 ∂ 

ft(t) 

2ft(t) ∂t2 Dans le membre de gauche apparaît une fonction uniquement de x alors que le membre 

de droite ne dépend que de t. La seule manière qu’on ait égalité pour toutes valeurs de 

x et de t est que les deux membres soient égaux à une constante. On pose (13) 

1 

fx(x) 

d2fx(x) = 

dx2 1 

v 2 ft(x) 

d2ft(t) = −k2 

dt2 (256) 

(13) Notons que si on avait choisi la constante +k 2 dans l’équation (256), les solutions n’auraient pas 

été des exponentielles complexes, i.e. des fonctions trigonométriques, mais des exponentielles réelles, 

i.e. des fonctions hyperboliques. Ces solutions divergent à l’infini et doivent donc être écartées pour des 

raisons physiques. 

210

Il reste donc deux équations différentielles du second ordre : 

et 

1 d 

fx(x) 

2fx(x) dx2 = −k2 ⇔ fx(x) = fx(0)e ±ikx 

1 d 

ft(t) 

2ft(t) dt2 = −k2v 2 ⇔ ft(t) = ft(0)e ±ikvt 

Finalement les solutions ont la forme d’une onde plane : 

f(x,t) = fx(x)ft(t) = f(0)e ±i(kx−ωt) 

où on a introduit la pulsation 


(257) 

ω = |k|v > 0 (258) 

La constante k ∈ lR est appelée vecteur d’onde et la relation (258) relation de 

dispersion. La solution (257) n’est qu’une des solutions possibles. L’ensemble des 

solutions correspond à toutes les ondes planes avec k ∈ lR. La solution la plus générale 

est une combinaison linéaire d’ondes planes 

f(x,t) = 

∞ 

−∞ 

 

Ake i(kx−ωt) + Bke −i(kx−ωt) 

dk (259) 

où Ak et Bk sont des constantes a-priori complexes. Dans cette expression, on devrait 

écrire ω(k) et non simplement ω pour rappeler que ω dépend du vecteur d’onde d’après 

la relation de dispersion (258). On omet en général cette dépendance pour alléger les 

notations. 

f(x,t) 

1 

0.5 

0 

-0.5 

-1 

0 1 2 3 4 5 

x 

Figure 60 : [ Fig 1 ] Exemple d’onde progressive de la forme 

f(x, t) = cos(kx − ωt) 

de longueur d’onde λ = 1 et de vitesse v = 1 (i.e. k = 2π 

λ 

= 2π et ω = kv) pour 

trois temps différents t = 0 (traits pleins), t = 0.2 (pointillés longs) et t = 0.4 

(pointillés courts). On voit l’onde avancer dans le sens x > 0 au cours du temps. 

211


L’onde correspond au cas particulier Ek = 1 si k = 2π et Ek = 0 si k = 2π et 

Fk = 0 pour tout k de l’expression (260). 

Si f(x,t) est une grandeur physique, elle doit être réelle. Un choix approprié des 

constantes Ak et Bk permet de rendre l’expression (259) réelle. Par exemple, lorsque 

Ak = Bk = Ck/2, on a 

f(x,t) = 

et si Ak = −Bk = Ck/2i 

f(x,t) = 

∞ 

−∞ 

∞ 

0 

Ck cos(kx − ωt)dk 

Ck sin(kx − ωt)dk 

On peut également écrire (259) sous la forme manifestement réelle 

f(x,t) = 

∞ 

−∞ 

[Ek cos(kx − ωt) + Fk sin(kx − ωt)]dk (260) 

où Ak = 1 

2Ek + 1 

2iFk et Bk = 1 

2Ek − 1 

2iFk De manière générale, les constantes Ak et 

Bk, ou de manière équivalente Ek et Fk, sont déterminées à partir de f(x,0). 

3.2.4.1.3. Décomposition en ondes stationnaires 

Par le choix des constantes Ak et Bk, on peut décrire des ondes progressives mais 

aussi des ondes stationnaires. L’expression (259) peut en effet s’écrire 

f(x,t) = 

= 

= 

= 

∞ 

−∞ 

∞ 

0 

∞ 

0 

∞ 

0 

où on a posé 

Ake ikx e −iωt + Bke −ikx e iωt dk 

Ake ikx e −iωt + A−ke −ikx e −iωt + Bke −ikx e iωt + B−ke ikx e iωt dk 

 

Ak cos kx + isinkx) cos ωt − isin ωt) 

 

+ A−k cos kx − isinkx) cos ωt − isin ωt) 

 

+ Bk cos kx − isin kx) cos ωt + isin ωt) 

 

cos kx + isinkx) cos ωt + isinωt) dk 

+B−k 

(261) 

[Pk cos kxcos ωt + Qk cos kxsinωt + Rk sinkxcos ωt + Sk sinkxsin ωt]dk 

Pk = Ak + A−k + Bk + B−k, Qk = −iAk − iA−k + iBk + iB−k, 

Rk = iAk − iA−k − iBk + iB−k, Sk = Ak − A−k + Bk − B−k, 

Chacun des termes de (261) correspond à une onde stationnaire. 

212

f(x,t) 

1 

0.5 

0 

-0.5 

-1 

0 1 2 3 4 5 

x 

Figure 61 : [ Fig 1 ] Exemple d’onde stationnaire de la forme 

f(x, t) = sin(kx)sin(ωt) 

de longueur d’onde λ = 1 et de vitesse v = 1 (i.e. k = 2π 

λ 


= 2π et ω = kv) 

pour trois temps différents t = 0 (traits pleins), t = 0.2 (pointillés longs) et 

t = 0.4 (pointillés courts). On voit que l’onde n’avance pas au cours du temps, 

les maxima restent à la même abscisse. L’onde correspond au cas particulier 

Sk = 1 si k = 2π et Sk = 0 si k = 2π et Pk = Qk = Rk = 0 pour tout k de 

l’expression (261). 

3.2.4.2. L’équation des ondes en dimension d = 3 

∂ 2 

3.2.4.2.1. Ondes formées par un champ scalaire 

∂x 

L’équation des ondes (255) se généralise en dimension d = 3 à 

∂y 

∂2 ∂2 

+ + 2 2 

1 

− 

∂z2 v 2 

∂2 ∂t2 

f(r,t) = 0 ⇔ 

 

∆ − 1 

v2 ∂2 ∂t2 

f(r,t) = 0 (262) 

où r = (x y z ). L’équation est de nouveau à variables séparables. Écrivons l’onde 

sous forme d’un produit : 

il vient alors 

⇔ 1 

fx(x) 

fyfzft 

f(r,t) = fx(x)fy(y)fz(z)ft(t) 

d2fx + fxfzft 

dx2 d 2 

dx 2 fx(x) + 1 

fy(y) 

d2fy + fxfyft 

dy2 d 2 

dy 2 fy(y) + 1 

fz(z) 

d 2 fz 

dz 

1 

− 2 v 

d 2 

dz 2 fz(z) − 

2 fxfyfz 

1 

v 2 ft(t) 

d2ft = 0 

dt2 d 2 

dt 2 ft(t) = 0 

Chacun des termes est une fonction à une variable. Pour que la somme soit nulle pour 

tout x,y,z et t, chacune de ces fonctions ne peut être qu’une constante. On pose 

1 d 

fx(x) 

2 

dx2 fx(x) = −k 2 x, 

1 d 

fy(y) 

2 

dy2 fy(y) = −k 2 y, 

213 

1 d 

fz(z) 

2 

dz2 fz(z) = −k 2 z


et par conséquent 

1 

v2 d 

ft(t) 

2 

dt2 ft(t) = − k 2 x + k 2 y + k 2 z 

Les solutions de ces quatres équations différentielles sont 

fx(x) = fx(0)e ±ikxx , fy(y) = fy(0)e ±ikyy , fz(z) = fz(0)e ±ikzz , ft(t) = ft(0)e ±iωt 

où on a posé la pulsation 

ω 2 = v 2 k 2 x + k 2 y + k 2 z 

Les solutions de l’équation des ondes sont donc les ondes planes 

f(r,t) = f(0,0)e ±i(kxx+kyy+kzz−ωt) = f(0,0)e ±i( k.r−ωt) 

(263) 

Les trois constantes kx,ky et kz sont les composantes du vecteur k. L’onde plane 

apparaît identique à elle-même lorsque 

f(r ′ ,t ′ ) = f(r,t) ⇔ k.r ′ − ωt ′ = k.r − ωt 

⇔ k 2 r ′ − ωt ′ k = k 2 r − ωt k 

⇔ r ′ = r + ω 

k 2 (t′ − t) k 

⇔ r ′ = r + v(t ′ − t) k 

k 

où on a utilisé la relation de dispersion (263). L’onde se propage donc dans la direction 

k à la vitesse v. La solution la plus générale est une combinaison linéaire d’ondes planes 

f(r,t) = 

∞ 

−∞ 

∞ 

−∞ 

∞ 

−∞ 

 

Ak e i(k.r−ωt) + Bk e −i(k.r−ωt) 

d 3k (264) 

où A k et B k sont des constantes. Si f(r,t) est une grandeur réelle, on peut écrire comme 

dans le cas unidimensionnel 

 

f(r,t) = 

lR 3 

 

Ek cos( k.r − ωt) + Fk sin( 

k.r − ωt) d 3k où Ak = 1 

2Ek + 1 

2iFk et Bk = 1 

2Ek − 1 

2iFk sont des constantes réelles. Comme dans le 

cas unidimensionnel, on peut écrire l’onde sous la forme d’un développement en ondes 

stationnaires. 

214

3.2.4.2.2. Ondes formées par un champ de vecteurs 


On considère un champ de vecteurs u(r,t) = (ux uy uz ) (champ électrique ou 

magnétique, champ de déformation dans un solide,...) satisfaisant l’équation des ondes 

 

∆ − 1 

v2 ∂2 ∂t2 ⎧ 2 ∂ ∂2 ∂2 1 

+ + − 

∂x2 ∂y2 ∂z2 v 

 

⎪⎨ 

u(r,t) = 0 ⇔ 

⎪⎩ 

2 

∂2 ∂t2 

ux(r,t) = 0 

2 ∂ ∂2 ∂2 1 

+ + − 

∂x2 ∂y2 ∂z2 v2 ∂2 ∂t2 

uy(r,t) = 0 

2 ∂ ∂2 ∂2 1 

+ + − 

∂x2 ∂y2 ∂z2 v2 ∂2 ∂t2 

uz(r,t) = 0 

Chaque composante satisfait une équation des ondes (262). La solution générale de cette 

équation étant (264), on a par exemple pour ux 

∞ ∞ ∞ 

ux(r,t) = 

Ax, k e i(k.r−ωt) + Bx, k e −i(k.r−ωt) 

d 3k −∞ 

−∞ 

−∞ 

où A x, k et B x, k sont des constantes données par les conditions initiales. On a une 

expression analogue pour les composantes uy et uz de sorte qu’on rassembler les trois 

expressions dans une même expression vectorielle : 

u(r,t) = 

∞ 

−∞ 

∞ 

−∞ 

∞ 

−∞ 

A k e i( k.r−ωt) + B k e −i( k.r−ωt) 

d 3 k 

où Ak = 

Ax, k Ay, k Az, k . Le champ de vecteurs est écrit ici sous la forme d’une 

superposition d’ondes planes progressives. 

3.2.4.2.3. Polarisation des ondes 

Plutôt que d’exprimer les vecteurs A k et B k dans la base canonique ex,ey,ey, on 

choisit une base othonormée dont l’un des vecteurs est parallèle à k. Lorsque A k ou B k 

est parallèle à k, on parle d’onde longitudinale. Lorsque A k ou B k est perpendiculaire 

à k, on parle d’onde transverse. 

e 2 

e 1 

u 

215 

k


Figure 62 : [ Fig 1 ] Exemple d’onde plane transverse polarisée rectilignement : 

u(r, t) = Ae1 cos( k.r − ωt) 

Le champ de vecteurs est en tout point perpendiculaire au vecteur d’onde k : 

l’onde est transverse. Tous les vecteurs u(r, t) sont parallèles deux à deux : l’onde 

est polarisée retilignement. 

Lorsque les vecteurs u(r,t) sont tous parallèles, on parle d’onde plane polarisée 

rectilignement. Puisqu’il y a deux vecteurs de base e1 et e2 perpendiculaires à k, il 

existe deux polarisations rectilignes : 

⎧ 

⎪⎨ E1 cos( 

u(r,t) = 

⎪⎩ 

k.r − ωt) + F1 sin( 

k.r − ωt) e1 

 

E2 cos( k.r − ωt) + F2 sin( 

k.r − ωt) e2 

En superposant ces deux ondes planes polarisées rectilignement, on obtient, sauf cas 

particulier, une onde circulaire. En effet, écrivons les deux ondes planes polarisées 

rectilignement sous la forme 

G1 cos( k.r − ωt + δ1)e1, G2 cos( k.r − ωt + δ2)e2 

où G1,2 = E1,2 cos δ1,2 La quantité δ1 −δ2 est le déphasage entre les deux ondes. Lorsque 

δ2 − δ1 = 0 (à un multiple de π près), la direction de la superposition des deux ondes 

u(r,t) = G1 cos( k.r − ωt + δ1)e1 + G2 cos( k.r − ωt + δ2)e2 

tourne autour du vecteur d’onde k. L’extrémité du vecteur u se trouve à tout instant sur 

une ellipse. On parle de polarisation elliptique Si δ = δ2 −δ1 est un multiple entier de 

π, l’onde est polarisée linéairement. Si δ = ±π/2, l’onde est polarisée circulairement 

avec une polarisation circulaire droite dans le cas δ = π/2 et gauche lorsque δ = −π/2. 

Dans tous les autres cas, la polarisation est elliptique. 

Figure 63 : [ Fig 1 ] Exemple d’onde polarisée circulairement : 

u(r, t) = A cos( k.r − ωt)e1 + sin( k.r − ωt)e2 

216 

 

k


par superposition de deux ondes planes transverses polarisée rectilignement et 

déphasées. 

E y 

1 

0.5 

0 

-1 -0.5 0 0.5 1 

-0.5 

-1 

E 

x 

δ=0 

δ=π/4 

δ=π/2 

δ=3π/4 

δ=π 

Figure 64 : [ Fig 1 ] Lieu géométrique des composantes u.e1 et u.e1 du champ 

de vecteurs u d’une onde électromagnétique de la forme 

u(r, t) = G cos( k.r − ωt + δ1)e1 + G2 cos( k.r − ωt + δ2)e2 

en fonction du déphasage δ = δ1 − δ2. 

3.3. Polynômes orthogonaux 

3.3.0.1. Polynômes de Legendre 

La formule de Rodriguez s’écrit pour les polynômes de Legendre 

Pl(x) = 1 

2 l l! 

dl dxl 2 l 

(x − 1) = 1 

2l l/2 

 

ν=0 

(−1) ν (2l − 2ν)! 

ν!(l − ν)!(l − 2ν)! xl−2ν 

 

(265) 

Les polynômes de Legendre ont donc même parité que l. Les premiers polynômes de 

Legendre sont 

P0(x) = 1, P1(x) = x, P2(x) = 1 

2 (3x2 − 1), P3(x) = x 

2 (5x2 − 3) (266) 

On peut montrer qu’on a également l’expression 

Pl(x) = 1 

π 

π 

0 

 

x + x2 l − 1cos ϕ dϕ (267) 

En utilisant la formule de Rodriguez (265), on obtient la relation d’orthogonalisation 

On a également 

1 

−1 

2 

Pl(x)Pl ′(x)dx = δl,l ′ (268) 

2l + 1 

∞ 

(2l + 1)Pl(x)Pl(x ′ ) = 2δ(x − x ′ ) 

l=0 

217


L’équation différentielle dont les polynômes de Legendre sont solutions est 

⇔ 

(1 − x 2 )P ′′ 

l (x) − 2xP ′ 

l (x) + l(l + 1)Pl(x) = 0 

d 2 ′ 

(1 − x )P l (x) 

dx 

+ l(l + 1)Pl(x) = 0 

1.5 

1 

0.5 

0 

-0.5 

-1 

P0(x) 

P1(x) 

P2(x) 

P3(x) 

-1.5 

-1 -0.5 0 0.5 1 

Figure 65 : [ Fig 1 ] Les premiers polynômes de Legendre (266) : P0(x) (en 

rouge), P1(x) (en vert), P2(x) (en bleu), P3(x) (en magenta) et P4(x) (en cyan). 

La fonction génératrice des polynômes de Legendre est 

G(x,t) = 

1 

√ 

1 − 2xt + t2 = 

+∞ 

Pl(x)t l 

l=0 

(269) 

pour tout |t| < 1 et |x| ≤ 1. En dérivant cette expression par rapport à t et en identifiant 

les puissances de t, on obtient la relation de récurrence 

(2l + 1)xPl(x) = (l + 1)Pl+1(x) + lPl−1(x) (270) 

En posant x = 1, on montre que Pl(1) = 1. De même, on a 

p 1.3.5.7...(2p + 1) 

P2p+1(0) = 0 P2p(0) = (−1) 

2pp! En dérivant l’expression de la fonction génératrice G(x,t) par rapport à x et en 

identifiant les termes en t l+1 , il vient 

Pl(x) = P ′ 

l+1(x) − 2xP ′ 

l (x) + P ′ 

l−1(x) l > 1 (271) 

En dérivant la relation (270) et en utilisant (271), on a 

lPl(x) + P ′ 

l−1(x) − xP ′ 

l (x) = 0 l > 1 

P ′ 

l+1(x) = xP ′ 

l (x) + (l + 1)Pl(x) l > 0 

218

En intégrant la première des relations (272), on obtient 

1 

0 

Pl(x)dx = Pl−1(0) 

l + 1 

On montre également qu’on a 


l > 0 (272) 

P ′ 

l+1(x) − P ′ 

l−1(x) = (2l + 1)Pl(x) (273) 

d’où l’expression équivalente à (273) 

1 

0 

Pl(x)dx = Pl−1(0) − Pl+1(0) 

2l + 1 

l > 1 

En utilisant la relation de Rodriguez (265), on montre qu’on a 

Soit 

1 

0 

Im,l = 

P0(x)dx = 1 

1 

0 

1 

0 

1 

P2p+1(x)dx = P2p(0) 

2p + 2 

0 

P2p(x)dx = P2p−1(0) 

2p + 1 

x m Pl(x)dx m > l > 0 

En utilisant les relations (272), il vient 

⎧ 

m + l + 1 

⎪⎨ Im−1,l−1 = 

⎪⎩ Im−1,l+1 = 

Par récurrence, on en déduit 

Im,l = 

1 

0 

m Im,l 

m − l 

m Im,l 

x m Pl(x)dx = 

3.3.0.2. Polynômes de Legendre associés 

= (−1)p 

2 p+1(p+1)! 

= 0 

m(m − 1)(m − 2) ...(m − l + 2) 

(m + l + 1)(m + l − 1) ...(m − l + 3) 

Les polynômes de Legendre associés P m 

l (x) sont les solutions de l’équation 

différentielle 

(1 − x 2 )P ′′m 

l (x) − 2xP ′m 

 

l (x) + l(l + 1) − m2 

1 − x2 

P m 

l (x) = 0 (274) 

Les premiers polynômes de Legendre associés sont 

P 1 1 (x) = 1 − x 2 , P 1 2 (x) = 3x 1 − x 2 , P 2 2 (x) = 3(1 −x 2 ), P 2 3 (x) = 15x(1 −x 2 ) 

219


Ils satisfont la relation d’othogonalité 

1 

−1 

P m 

l (x)P m 

l 

pour tout l,l ′ ≥ m ainsi que 

l=0 

2 (l + m)! 

′ (x)dx = δl,l ′ (275) 

2l + 1 (l − m)! 

∞ (l − m)! m 

(2l + 1) Pl (x)P 

(l + m)! m 

l (x ′ ) = 2δ(x − x ′ ) 

Ils sont reliés aux dérivées des polynômes de Legendre par la relation 

P m 

l (x) = (1 − x 2 ) 

m/2 dm 

Pl(x) 

dxm Notons qu’on ajoute souvent un facteur (−1) m à cette définition. De manière analogue 

à (267), on a 

P m 

π 

m/2 (l + m)! 

 

l (x) = (−1) x + 

l!π 0 

x2 l − 1cos ϕ cos mϕdϕ 

Leur fonction génératrice est 

G(x,t,u) = 

1 

 

1 − 2t x + u √ 1 − x2 + t2 = 

Par dérivation, on peut montrer les relations de récurrence 

l 

+∞ 

P 

l=0 m=0 

m 

l (x)t l u m 

P m+1 

l (x) − mx m 

√ P 

1 − x2 l (x) + (l(l + 1) − m(m − 1))P m−1 

l (x) = 0 

 

1 − x2 m+1 

Pl (x) = (1 − x 2 )P ′m 

l (x) + mxP m 

l (x) 

(2l + 1)xP m 

l (x) = (l + m)P m 

l−1(x) + (l + 1 − m)P m 

l+1(x) 

xP m 

l (x) = P m 

l−1(x) − (l + 1 − m) 1 − x2P m−1 

l (x) 

P m 

l+1(x) − P m 

l−1(x) = (2l + 1)P m−1 

 

l 1 − x2 3.3.0.3. Harmoniques sphériques 

Biblliographie : 4. 

Les harmoniques sphériques sont formé du produit des polynômes de Legendre 

associés (§ 3.3.0.2.) et des exponentielles complexes eimθ , tous deux formant une famille 

complète de polynômes orthogonaux, 

 

2l + 1 (l − m)! 

Ylm(θ,ϕ) = 

4π (l + m)! Plm(cos θ)e imϕ 

(276) 

où l ∈ lN et m ∈ {−l,...,l}. Il découle de cette définition 

Yl −m(θ,ϕ) = (−1) m Y ∗ 

lm(θ,ϕ) 

220

Les premières harmoniques sphériques sont 

Y00 = 1 

√ 

4π 

 

3 

Y11 = − 

8π sinθeiϕ 

 

3 

Y10 = cos θ 

4π 

Y22 = 1 

 

15 

4 2π sin2 θe 2iϕ 

 

15 

Y21 = − sinθ cos θeiϕ 

Y20 = 

5 

4π 

8π 

 

3 

2 cos2 θ − 1 

2 

Les relations d’orthogonalisation sont 

2π π 

et la relation de fermeture 

0 

+∞ 

0 

l 

l=0 m=−l 

Le théorème d’addition stipule que 

Pl(cos γ) = 4π 

2l + 1 

 


Y ∗ 

l ′ m ′(θ,ϕ)Ylm(θ,ϕ) sinθdθdϕ = δl,l ′δm,m ′ (277) 

Y ∗ 

lm(θ ′ ,ϕ ′ )Ylm(θ,ϕ) = δ(ϕ − ϕ ′ )δ(cos θ − cos θ ′ ) 

l 

m=−l 

Y ∗ 

lm(θ ′ ,ϕ ′ )Ylm(θ,ϕ) (278) 

où γ est l’angle entre les deux vecteurs dont les composantes en coordonnées sphériques 

sont r1 = ( 1 θ ϕ ) et r2 = ( 1 θ ′ ϕ ′ ), i.e. 

⎛ ⎞ ⎛ 

sin θ cos ϕ 

cos γ = r1.r2 = ⎝ sinθ sin ϕ ⎠. ⎝ 

cos θ 

sin θ′ cos ϕ ′ 

sin θ ′ sinϕ ′ 

cos θ ′ 

⎞ 

⎠ 

= sinθ sinθ ′ cos ϕ cos ϕ ′ + sinϕsin ϕ ′ + cos θ cos θ ′ 

= sinθ sinθ ′ cos(ϕ − ϕ ′ ) + cos θ cos θ ′ 

221


3.3.0.4. Fonctions de Bessel et de Hankel 

Les fonctions de Bessel Jn(x) et de Hankel Hn(x) satisfont la même équation 

différentielle : 

x 2 J ′′ 

n(x) + xJ ′ n(x) + (x 2 − n 2 )Jn(x) = 0 


+∞ 

n=−∞ 

Jn(αx) 

Notons qu’on a la relation 

 

s 

n α 

J−n(x) = (−1) n Jn(x) 

= e x 

2 

Elles satisfont les relations d’orthogonalité 

+∞ 

0 

 

α s− 2 

s 

xJn(αx)Jn(βx)dx = 1 

δ(|α| − |β|) 

α 

Si α et β sont des racines de l’équation Jn(αx) = 0 alors on a aussi 

a 

0 

xJn(αx)Jn(βx)dx = a2 

2 (Jn+1(αa)) 2 δα,β 

Fonctions de Bessel et de Hankel satisfont les relations de récurrence 

d 

dx (xn Jn(x)) = x n Jn−1(x) 

Jn−1(x) + Jn+1(x) = 2n 

x Jn(x) 

J ′ n(x) = Jn−1(x) − n 

x Jn(x) = n 

x Jn(x) − Jn+1(x) = 1 

2 (Jn−1(x) − Jn+1(x)) 

Les fonctions de Bessel ont pour expression 

Jn(x) = 

+∞ 

k=0 

(−1) k 

k!(k + n)! 

= 1 

 

x 

 

n 

2iπ 2 

= 1 

π 

π 

0 

 

x 

n+2k 2 

t −(n+1) e t−x2 /4t dt 

cos(nθ − xsin θ)dθ 

Les fonctions de Hankel sont reliées aux fonctions de Bessel par les relations 

⎧ 

⎪⎨ H 

⎪⎩ 

(1) 

n (x) = i −inπ 

e Jn(x) − J−n(x) 

sinnπ 

 

H (2) 

n (x) = − i inπ 

e Jn(x) − J−n(x) 

sin nπ 

 

222

et donc 

⎧ 

⎪⎨ 

⎪⎩ 

Jn(x) = 1 

 

H 

2 

(1) 

n (x) + H (2) 

 

n (x) 

J−n(x) = 1 

2 

1 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

0 

-0.2 

-0.4 

 

e inπ H (1) 

n (x) + e −inπ H (2) 

 

n (x) 

J0(x) 

J1(x) 

J2(x) 

J3(x) 

-0.6 

0 5 10 15 20 


Figure 66 : [ Fig 1 ] Fonctions de Bessel J0(x) (en rouge), J1(x) (en vert), J2(x) 

(en bleu) et J3(x) (en magenta). 

3.3.0.5. Fonctions de Bessel sphériques 

Les fonctions de Bessel sphériques jl(x) satisfont l’équation différentielle 

d2 dx2 (xjl(x)) 

 

+ x − 


G(x,t) = 

+∞ 

l=0 

 

l(l + 1) 

jl(x) = 0 

x 

1 

l! jl(x)t l 

= j0 x2 − 2xt 

Elles vérifient les relations d’orthogonalité 

+∞ 

0 

x 2 jl(αx)jl(βx)dx = π 

δ(α − β), 

2α 

+∞ 

−∞ 

Les fonctions de Bessel sphériques admettent pour expression 

 

π 

jl(x) = 

2x Jl+1/2(x) = (−1) l x l 

l 1 d sinx 

x dx x 

= xl 

2l+1 1 

e 

l! −1 

ixs (1 − s 2 ) l ds 

223 

π 

jl(x)jl ′(x)dx = δl,l ′ 

2l + 1


et satisfont la relation de récurrence 

jl+1(x) = l 

x jl(x) − j ′ l(x) = 

Les premières fonctions de Bessel sphériques sont 

2l + 1 

x jl(x) − jl−1(x) 

j0(x) = sinx 

x , j1(x) = sinx cos x 

− 

x2 x , j2(x) = 

1 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

0 

-0.2 

-0.4 

0 5 10 15 20 

3sin x 3cos x sin x 

− − 

x3 x2 x 

j0(x) 

j1(x) 

j2(x) 

j3(x) 

Figure 67 : [ Fig 1 ] Les premières fonctions de Bessel sphériques (279) : j0(x) 

(en noir), 1(x) (en rouge) et j2(x) (en vert). 

3.3.0.6. Polynômes d’Hermite 

La fonction génératrice des polynômes d’Hermite est 

e 2xt−t2 

= 

+∞ 

n=0 

Hn(x) tn 

n! 

L’équation différentielle dont ils sont solutions est 

H ′′ 

n(x) − 2xH ′ n(x) + 2nHn(x) = 0 

⇔ d2 

dx2 

Hn(x)e −x2 /2 

+ (2n − x 2 + 1)Hn(x)e −x2 /2 

= 0 

En développant l’exponentielle en série entière, la fonction génératrice conduit à 

Hn(x) = 

max≤n/2 

 

k=0 

Il en découle notamment la relation 

Hn(−x) = (−1) n Hn(x) 

(−1) k n! 

k!(n − 2k)! (2x)n−2k 

224 

(279) 

(280) 

(281)


En effectuant le développement de l’exponentielle en puissances croissantes de u = x−t 

dans l’expression (280), il vient 

Hn(x) = (−1) n dn x2 

e e−x2 

dxn qui n’est autre que la formule de Rodriguez pour le produit scalaire 

〈f|g〉 = 

+∞ 

−∞ 

f(x)g(x)e −x2 

dx 

Les premiers polynômes de Hermite sont 

H0(x) = 1, H1(x) = 2x, H2(x) = 4x 2 − 2, H3(x) = 8x 3 − 12x (282) 

Les relations d’orthogonalité des polynômes d’Hermite pour ce produit scalaire découlent 

de 

dont il vient 

〈e 2t′ x−t ′2 

|e 2tx−t2 

〉 = 

+∞ 

−∞ 

+∞ 

n=0 

= 

On a aussi la relation plus générale 

+∞ 

n=0 

n,k 

+∞ 

−∞ 

= √ πe 2tt′ 

t n+k 

n!k! 〈Hn(x)|Hk(x)〉 

e −(x+t+t′ ) 2 +2tt ′ 

dx 

Hn(x)Hm(x)e −x2 

dx = 2 n n! √ πδn,m 

1 

2 n n! Hn(x)Hn(y) = √ πδ(x − y)e x2 

Hn(x)Hn(y) tn 

2 n n! = 

30 

20 

10 

0 

-10 

-20 

-30 

1 

√ 

1 − t2 e −t2 (x 2 +y 2 )+txy 

1−t2 -1 -0.5 0 0.5 1 

225


Figure 68 : [ Fig 1 ] Les premiers polynômes d’Hermite (282) : H0(x) (en rouge), 

H1(x) (en vert), H2(x) (en bleu) et H3(x). 

En dérivant la fonction génératrice (280) par rapport à x, il vient 

2nHn−1(x) = H ′ n(x) (283) 

La dérivation de (280) par rapport à t conduit à 

Hn+1(x) = 2xHn(x) − 2nHn−1(x) (284) 

En combinant les relations (283) et (284) à celle obtenue en dérivant deux fois la fonction 

génératrice par rapport à x, on retrouve l’équation différentielle (281). On a également 

les relations 

et 

d m 

dx m Hn(x) = 2m n! 

(n − m)! Hn−1(x) 

Hn(x) = 2xHn−1(x) − H ′ n−1(x) 

3.3.0.7. Polynômes de Laguerre 

En utilisant le produit scalaire 

〈f|g〉 = 

+∞ 

0 

f(x)g(x)e −x dx (285) 

le procédé d’orthogonalisation de Schmidt conduit aux premiers polynômes de Laguerre 

L0(x) = 1, L1(x) = x − 1, L2(x) = x2 

2 

La formule de Rodriguez pour le produit scalaire (285) s’écrit 

Ln(x) = 1 dn 

ex 

n! dxn −x n 

e x 

que l’on peut développer en utilisant la formule de Leibniz 

Ln(x) = (−1) n 

n x 

n! − C1 n 

xn−1 (n − 1)! + C2 x 

n 

n−2 

(n − 2)! 

− 2x + 1 (286) 

 

+ ... 

(287) 

mettant en évidence le fait que Ln(x) est un polynôme de degré n. Les polynômes de 

Laguerre satisfont l’équation différentielle 

xL ′′ n(x) + (1 − x)L ′ n(x) + nLn(x) = 0 (288) 

226


Après k intégrations par parties, on montre à partir de la formule de Rodriguez (287) 

qu’on a 

+∞ 

De la même manière, il vient 

0 

x k Ln(x)e −x dx = 0 ∀k < n 

+∞ 

x 

0 

n Ln(x)e −x dx = (−1) n n! 

On a donc pour le produit scalaire (285) 

〈Ln|Lm〉 = 

+∞ 

0 

Ln(x)Lm(x)e −x dx = δn,m 

La fonction génératrice des polynômes de Laguerre est 

G(t,x) = 

+∞ 

n=0 

Ln(x)t n = 1 xt 

e− 1−t 

1 − t 

et ils vérifient les relations de récurrence 

(1 + 2n − x)Ln(x) − nLn−1(x) − (n + 1)Ln+1(x) = 0 

xL ′ n(x) = nLn(x) − nLn−1(x) 

10 

5 

0 

-5 

-10 

-4 -2 0 2 4 6 8 10 

Figure 69 : [ Fig 1 ] Les premiers polynômes de Laguerre (286) : L0(x) (en rouge), 

L1(x) (en vert), L2(x) (en bleu), L3(x) (en magenta) et L4(x) (en cyan). 

227

3.4. Quelques formules de géométrie différentielle 

3.3.0.8. Polynômes de Laguerre associés 

Les polynômes de Laguerre associés satisfont l’équation différentielle 

xL ′′k 

n(x) + (k + 1 − x)L ′k 

n + nL k n(x) = 0 

On retrouve donc l’équation différentielle (288) satisfaite par les polynômes de 

Laguerre dans le cas k = 0, i.e. 

Ln(k) = L 0 n(k) 

La fonction génératrice des polynômes de Laguerre associés est 

ou 

G(x,t) = 

G(x,t) = 

+∞ 

n=0 

L k n(x) = t n = 

+∞ 

+∞ tnuk n=0 k=0 

Ils forment une base orthogonale : 

+∞ 

0 

1 

xt 

e− 1−t 

(1 − t) k+1 

k! Lk n(x) = 1 

1 − t 

L k n(x)L k m(x)x k e −x dx = 

xt+u 

e− 1−t 

(n + k)! 

δn,m 

n! 

et sont reliés aux polynômes de Laguerre par la relation 

L k n(x) = (−1) k 

dont il découle d’après (287) 

L k n(x) = ex x −k 

n! 

k d 

Ln+k(x) 

dx 

dn dxn −x n+k 

e x 

Les premiers polynômes de Laguerre associés sont 

L k 0(x) = 1, L k 1(x) = k + 1 − x, L k 2(x) = 1 

2 

x − 2(k + 2)x + (k + 1)(k + 2) 

2 

Les polynômes de Laguerre associés satisfont les relations de récurrence 

L ( 

n−1k)(x) + Lk−1 n (x) = L k n(x) 

xL k′ 

n (x) = nL k n(x) − (n + k)L ( 

n−1 k)(x) 


228

3.4.1. Opérateurs différentiels 


3.4.1.1. Opérateurs différentiels dans le système de coordonnées sphériques 

∇f = −−→ 

gradf = ( ∂f 

∂r 

1 ∂f 

r ∂θ 

1 ∂f 

r sin θ ∂z ) 

∇ F = div F = 1 

r2 ∂ 2 1 ∂ 

r Fr + 

∂r r sinθ ∂θ (sin θFθ) + 1 ∂Fϕ 

r sin θ ∂ϕ 

∇ ∧ F = −→ 

rot ⎛ 

1 ∂ 

r sin θ ∂θ 

⎜ 

F = ⎝ 

(sinθFϕ) − ∂Fθ 

 

∂ϕ 

1 ∂Fr 1 ∂ 

sin θ ∂ϕ − r ∂r (rFϕ) 

 

1 ∂ 

r ∂r (rFθ) − ∂Fr 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

 

∂θ 

∆f = div −−→ 

gradf = 1 

r2 

∂ 2 ∂f 1 

r + 

∂r ∂r r2 

∂ 

sin θ 

sinθ ∂θ 

∂f 

 

1 

+ 

∂θ r2 sin 2 ∂ 

θ 

2f ∂ϕ2 (289) 

3.4.1.2. Opérateurs différentiels dans le système de coordonnées cylindriques 

∇f = −−→ 

gradf = ( ∂f 

∂r 

1 ∂f 

r ∂θ 

∇ F = div F = ∂Fr 1 

+ 

∂r r 

⎛ 

∇ ∧ F = −→ 

rot F = 

⎝ 

1 

r 

∆f = div −−→ 

gradf = 1 

r 

∂Fθ 

∂θ 

∂f 

∂z ) 

+ ∂Fz 

∂z 

1 ∂Fz ∂Fθ 

r ∂θ − ∂z 

∂Fr ∂Fz 

∂z − ∂r 

∂ 

∂Fr 

r ∂θ 

3.4.1.3. Relations avec l’opérateur Nabla 

−→ 

rot −−→ 

gradf = 0 

div −→ 

rotF = 0 

−→ 

rot −→ 

rot F = −−→ 

grad div F − ∆F 

⎞ 

⎠ 

∂r (rFθ) − 1 

 

∂ 

r 

∂r 

∂f 

 

+ 

∂r 

1 

r2 ∂2f ∂θ2 + ∂2f ∂z2 div (A ∧ B) = B. −→ 

rotA − A. −→ 

rot B 

div (fF) = f div F + F. −−→ 

gradf 

−→ 

rot (fF) = f −→ 

rot F − F ∧ −−→ 

gradf 

 

−−→ 

grad (A.B) = A. 

∇ B + B. 

∇ A + B ∧ −→ 

rotA + A ∧ −→ 

rot B 

 

−→ 

rot (A ∧ B) = Adiv B − A. 

∇ B 

divr = 3 

229 

(290)


3.4.2. Théorèmes de Green-Ostrogradsky et de Stockes 

3.4.2.1. Théorème de Green-Ostrogradsky 

On a le théorème 

 

A.d 

ℓ = 

∂S 

S 

−→ 

rot A.d S (291) 

En effet, la circulation d’un champ de vecteurs A sur un élément de longueur ∆xux 

centré sur ( x y + ∆y 

2 dz ) est 

x+∆x/2 

x−∆x/2 

 

A x,y + ∆y 

2 ,z 

 

.d x+∆x/2 

ℓ = 

= Ax 

= 

x−∆x/2 

Ax 

 

x,y + ∆y 

2 ,z 

 

x,y + ∆y 

2 ,z 

 

dx 

 

∆x + O(∆x 2 ) 

 

Ax(x,y,z) + ∆y ∂Ax 

2 ∂y (x,y,z) 

 

∆x + O(∆x 2 ,∆y 2 ) 

de sorte que la circulation d’un champ de vecteurs A sur un chemin carré de côtés 

∆x,∆y centré sur ( x y z ) est 

 

A.d ℓ = 

x+∆x/2 

Ax 

x−∆x/2 

x−∆x/2 

+ 

x+∆x/2 

 

x,y − ∆y 

2 ,z 

y+∆y/2 

dx + Ay x + 

y−∆y/2 

∆x 

Ax 

 

x,y + ∆y 

2 ,z 

 

dx + 

y−∆y/2 

y+∆y/2 

Ay 

2 ,y,z 

 

dy 

 

x − ∆x 

2 ,y,z 

 

= Ax − ∆y 

 

∂Ax 

∆x + Ay + 

2 ∂y 

∆x 

 

∂Ay 

∆y 

2 ∂x 

 

− Ax + ∆y 

 

∂Ax 

∆x − Ay − 

2 ∂y 

∆x 

 

∂Ay 

∆y + O(∆x 

2 ∂x 

2 ,∆y 2 ) 

 

∂Ay ∂Ax 

= − ∆x∆y + O(∆x 

∂x ∂y 

2 ,∆y 2 ) 

= −→ 

rot A.uz∆x∆y + O(∆x 2 ,∆y 2 ) 

 

dy 

Par conséquent, la circulation du champ de vecteurs A sur d’un chemin fermé qui soustend 

un élément de surface d S est 

 

A.d ℓ = −→ 

rot A.d S 

A cause de la propriété de linéarité de l’intégrale, la circulation sur un chemin fermé qui 

sous-tend une surface S est égale à la somme des circulations sur les boucles de surface 

infinitésimales dans lesquelles on peut le décomposer. On retrouve alors l’expression 

(291). 

230


Figure 70 : [ Fig 1 ] Décomposition de l’intégrale sur un contour fermé comme 

la somme d’intégrales sur des contours fermés dont l’enveloppe correspond au 

contour de départ. 

3.4.2.2. Théorème de Stockes 

On a le théorème 

 

A.d 

S = 

∂V 

V 

div A.dV (292) 

En effet, le flux d’un champ de vecteurs A à travers une surface carrée de côtés ∆x,∆y, 

normale à uz et centrée sur ( x y z + ∆z 

2 ) est 

 

A.d 

S = Az x,y,z + ∆z 

 

∆x∆y + O(∆x 

2 

2 ,∆y 2 ) 

= Az(x,y,z)∆x∆y + ∆z 

2 

∂Az 

∂z ∆x∆y + O(∆x2 ,∆y 2 ,∆z 2 ) 

Le flux à travers la même surface dirigée dans le sens opposée et centrée sur 

( x y z − ∆z 

2 ) est 

 

A.d S = Az(x,y,z)∆x∆y − ∆z ∂Az 

2 ∂z ∆x∆y + O(∆x2 ,∆y 2 ,∆z 2 ) 

Par conséquent, le flux à travers les surfaces extérieures d’un cube de côtés ∆x,∆y,∆z 

est 

 

A.d 

∂Ax ∂Ay ∂Az 

S = + + ∆x∆y∆z + O(∆x 

∂x ∂y ∂z 

2 ,∆y 2 ,∆z 2 ) 

= div A∆x∆y∆z + O(∆x 2 ,∆y 2 ,∆z 2 ) 

A cause de la linéarité de l’intégrale de surface, on peut décomposer le volume contenu 

dans dans la surface fermée S en cubes infinitésimaux ce qui conduit à l’expression 

(292). 

231

Bibliographie 

[1] A. Aharony (2000) In Introduction to the theory of ferromagnetism, Oxford 

University Press. 

[2] R. Feynman, R.B. Leighton et M.L. Sands (1965) In The Feynman lectures on 

physics, Pearson, Addison-Wesley. 

[3] M. Gerl et J.P. Issi (1997) In Physique des Matériaux, Presses polytechniques 

et universitaires romandes. 

[4] J.D. Jackson (1999) In Electrodynamique classique, Dunod. 

[5] L. Landau et E. Lifchitz (1964) In Théorie des champs, Ellipses. 

[6] L. Landau et E. Lifchitz (1969) In Électrodynamique des milieux continus, 

Ellipses. 

[7] W.J. Merz (1953), Phys. Rev. 91, 513. 

[8] J.P. Pérez, R. Carles, R. Fleckinger (2002) In Electromagnétisme, Dunod. 

[9] H.W. Wyld (1999) In Mathematical methods for physics, Perseus Books. 

232

´Electromagnétisme - LPM

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