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Physique Correction - DM n o 7 : Ondes électromagnétiques
plan
contenant
E et B
i i
indice n 1
u i
0
indice n 2
u r u t
Figure 1: Dioptre plan entre deux milieux transparents d’indice n1 et n2. Une OPPHPR incidente donne naissance
dans le plan d’indicence à une onde réfléchie et une onde transmise au niveau de ce dioptre.
En notation complexe, les champs électriques dans les deux milieux sont donc de la forme suivante 1 :
⎧
⎨−→
E 1(
⎩
−→ r , t) = −→ E 0iej(ωit− −→ k i· −→ r ) −→
+ E 0rej(ωrt− −→ k r· −→ r )
−→
E 2( −→ r , t) = −→ E 0tej(ωtt− −→ k t· −→ r )
avec −→ k i = ki −→ u i, −→ k r = kr −→ u r et −→ k t = kt −→ u t. On notera que les vecteurs d’ondes sont réels puisque les milieux
sont transparents (k” = 0).
Nous pouvons relier ces expressions en utilisant les relations de continuité des champs à l’interface 2 : il y a
continuité de −→ E ∥ (composante tangentielle) :
−→ E 1∥ = −→ E 2∥
La continuité de la composante tangentielle du champ électrique sur le plan x = 0 conduit à :
E 0i∥e j(ωit−kiyy−kizz) + E0r∥e j(ωrt−kryy−krzz) = E 0t∥e j(ωtt−ktyy−ktzz)
Cette relation devant être vérifiée à tout instant et en tout point du plan x = 0, ceci doit également être vrai en
O à tout instant, pour lequel x = y = z = 0, donc :
E 0i∥e j(ωit) + E0r∥e j(ωrt) = E0t∥e j(ωtt)
Or d’après le cours de mathématiques de première année, les fonctions exponentielles e jωt forment une famille
libre, donc pour que la relation soit vérifiée à tout instant pour un champ non nul, il faut nécessairement que :
ωi = ωr = ωt = ω
Les relations de passage imposent donc l’égalité des pulsations des trois ondes 3 .
1. On notera que les champs magnétiques associés s’obtiennent via la structure d’OPPH pour chacune des trois ondes :
−→
B i = n1−→
u i ∧
c
−→ E i
,
−→
B r = n1−→
u r ∧
c
−→ E r
2. On notera qu’il y a également continuité de −→ B ⊥ (composante normale) :
−→ B 1⊥ = −→ B 2⊥
3. Ceci n’est pas surprenant car les phénomènes mis en jeu ici sont tous linéaires.
et
−→
B t = n2−→
u t ∧
c
−→ E t
MP 2 - Année 2012/2013 6 Lycée Janson de Sailly
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