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Physique Correction - DM n o 7 : Ondes électromagnétiques
Correction - DM n˚7 - Ondes
électromagnétiques - réflexion sur un plan
métallique et propagation dans les plasmas
1 Propagation d’ondes électromagnétiques - extrait de CCP TSI 98
1.1 Propagation d’ondes électromagnétiques dans le vide
1. Calculons le double rotationnel de −→ E .
D’après l’équation de Maxwell-Faraday
−→
[
−→ −→ ]
rot rot( E ) = −→
⎛
rot ⎝− ∂−→ ⎞
B
⎠ = −
∂t
∂ −→
rot(
∂t
−→ B )
On utilise alors l’équation de Maxwell-Ampère en l’absence de courant de conduction ( −→ ȷ = −→ 0 ) :
Par ailleurs, le double rotationnel s’écrit
−→
[
−→ −→ ]
rot rot( E )
−→
[
−→ −→ ]
rot rot( E ) = − ∂ −→
rot(
∂t
−→ B ) = −µ0ϵ0
= −−→ [
grad div( −→ ]
E ) − ∆ −→ E
En l’absence de charge ρ = 0, l’équation de Maxwell-Gauss prend la forme div −→ E = 0. On en déduit l’équation
de propagation pour le champ électrique, en l’absence de charge et de courant
∆ −→ E − µ0ϵ0
∂ 2−→ E
∂t 2 = −→ 0
∂ 2−→ E
∂t 2
Calculons le double rotationnel de −→ B .
D’après l’équation de Maxwell-Ampère, en l’absence de courant ( −→ ȷ = −→ 0 )
−→
[
−→ −→ ]
rot rot( B ) = −→
⎛
∂
rot ⎝µ0ϵ0
−→ ⎞
E ∂
⎠
−→
= µ0ϵ0 rot(
∂t ∂t
−→ E )
On utilise alors l’équation de Maxwell-Faraday :
−→
[
−→ −→ ]
rot rot( B )
= µ0ϵ0
Par ailleurs, le double rotationnel s’écrit
−→
[
−→ −→ ]
rot rot( B )
∂ −→
rot(
∂t
−→ E ) = −µ0ϵ0
= −−→ [
grad div( −→ ]
B ) − ∆ −→ B
Mais l’équation de Maxwell-flux donne div −→ B = 0. On en déduit l’équation de propagation pour le champ
magnétique, en l’absence de charge et de courant
∆ −→ B − µ0ϵ0
2. On considère la fonction f1(u), avec u = t − z
. Alors
c
∂f1
∂z
= df1
du
∂u
∂z = f ′ 1(u) ×
(
∂ 2−→ B
∂t 2 = −→ 0
− 1
c
)
et
∂ 2 f1
∂z
∂ 2−→ B
∂t 2
1
= 2 c
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2 f ′′
1 (u)

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D’autre part
On a donc
(
t − z
)
c
∂f1
∂t
= df1
du
∂u
∂t = f ′ 1(u) × 1 et
∂2f1 ′′
= f
∂t2 1 (u)
∂2f1 ∂
− µ0ϵ0
∂z2 2 ( )
f1 1
= − µ0ϵ0 f
∂t2 c2 ′′
1 (u) = 0 si µ0ϵ0c 2 = 1
f1 est bien solution de l’équation de d’Alembert ✷f1 = 0.
(
On montre de même que f2 t + z
)
est solution de l’équation de d’Alembert ✷f2 = 0 (il suffit de
c
changer c en −c).
(
Finalement f(z, t) = f1 t − z
) (
+ f2 t +
c
z
)
est une combinaison linéaire de solution de l’équation
c
de d’Alembert : c’est donc également une solution de l’équation de d’Alembert
✷f = 0
(
3. a) La phase vaut φ = ω t − z
)
. À t fixé, la phase est une constante si z = cste. Les surfaces équiphases
c
sont les surfaces planes z = cste.
b) −→ E = Ex −→ [ (
u x = E0 cos ω t − z
)]
−→
u x. L’équation de d’Alembert projetée sur la base orthonormée
c
( −→ u x, −→ u y, −→ u z) fournit
✷ −→ E = ∆ −→ E − 1
c2 ∂2−→ E
∂t2 = −→ ⎧
⎪⎨ ✷Ex = 0
0 =⇒ ✷Ey = 0
⎪⎩ ✷Ez = 0
Mais Ey = Ez = 0 et Ex est une fonction de t − z/c uniquement. D’après la question précédente, Ex
vérifie l’équation ✷Ex = 0. On a donc bien ✷ −→ E = −→ 0 .
4. Utilisons l’équation de Maxwell-Faraday −→
rot( −→ E ) = − ∂−→ B
∂t .
− ∂−→ B
∂t
= −→
rot( −→ E ) =
⎛
⎜
⎝
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
⎞
⎛ [
⎟ ⎜ E0 cos
⎟ ⎜
⎟ ∧ ⎜
⎟ ⎝
⎟
⎠
(
ω t − z
)] ⎞
⎟
c ⎟
0 ⎠
0
=
⎛
0
⎜ ω
⎜
⎝ c E0
[ (
sin ω t − z
)]
c
0
En intégrant par rapport au temps et en ne tenant pas compte des constantes d’intégration
⎛
−→ ⎜
B = ⎜
⎝
E0
c cos
[
ω
0
(
t − z
⎞
)]
⎟
c ⎠
0
5. a) Cette onde est une onde plane, progressive monochromatique se propageant dans le sens des z croissants
et polarisée rectilignement selon (Ox).
b) −→ K = ω −→
u z est le vecteur d’onde de cette onde de sorte que
c
−→ E = −→ E 0 cos(ωt − −→ K · −→ r ) et −→ B =
−→
B 0 cos(ωt − −→ K · −→ r ).
( −→ E , −→ B , −→ K) forme un trièdre direct.
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⎞
⎟
⎠

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c) E
= c .
B
1.2 Réflexion d’une onde électromagnétique par un plan métallique
1. a) Les relations de discontinuité des champs −→ E et −→ B à la traversée d’une surface, de densité surfacique de
charge σ et de densité surfacique de courant −→ ȷ s , s’écrivent
−→ E 2 − −→ E 1 = σ
ϵ0
−→ n 12
−→ B 2 − −→ B 1 = µ0 −→ ȷ s ∧ −→ n 12
où −→ n 12 est la normale orientée du milieu 1 vers le milieu 2. Appelons milieu 1 le demi-espace z < 0
et milieu 2 le demi-espace z > 0 (intérieur du conducteur) : −→ n 12 = −→ u z. À l’intérieur du conducteur,
les champs −→ E 2 et −→ B 2 sont nuls. On en déduit les champs électrique et magnétique dans le vide au
voisinage du conducteur
−→ E (0 − , t) = − σ
−→ u z
ϵ0
−→
B (0− , t) = −µ0 −→ ȷs ∧ −→ u z
En décomposant les vecteurs en une composante tangentielle (noté ∥) et une composante normale (notée
⊥), de sorte que −→ E = −→ E ∥ + E⊥ −→ u z et −→ B = −→ B ∥ + B⊥ −→ u z, on obtient
⎧
⎪⎨
⎪⎩
−→ E ∥ = −→ 0
E⊥ = − σ
ϵ0
et
{ −→B ∥ = −µ0 −→ ȷ s ∧ −→ u z
B⊥ = 0
b) De la question précédente, on déduit, avec −→ ȷ s = jsx −→ u x + jsy −→ u y
⎧
⎪⎨
⎪⎩
Ex = 0
Ey = 0
Ez = − σ
ϵ0
et
⎧
⎪⎨ Bx = −µ0jsy
By
⎪⎩
Bz
=
=
µ0jsx
0
2. a) Le champ électrique −→ E i de l’onde incidente ne vérifie pas les conditions aux limites précédentes car sa
composante Ex suivant −→ u x n’est pas nulle. Il doit donc exister un champ réfléchi −→ E r de sorte que le
champ résultant −→ E = −→ E i + −→ E r satisfasse les conditions aux limites.
b) La composante tangentielle du champ résultant doit être nulle en z = 0 − . On en déduit
On en déduit
E0i cos(ωt) + E0r cos(ω ′ t) = 0 ∀ t
ω = ω ′
et E0r = −E0i
Par ailleurs, la phase de l’onde réfléchie est en ω(t + z/c) car c’est une onde plane progressive monochromatique
se propageant dans le sens des z décroissants, i.e. en sens opposé à l’onde incidente.
c) En utilisant l’équation de Maxwell-Faraday −→
rot( −→ E ) = − ∂−→ B
∂t
− ∂−→ B r
∂t
= −→
rot( −→ E r) =
⎛
⎜
⎝
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
⎞
⎛ [
⎟ ⎜ E0r cos
⎟ ⎜
⎟ ∧ ⎜
⎟ ⎝
⎟
⎠
pour l’onde réfléchie, on trouve
(
ω t + z
)] ⎞
⎟
c ⎟
0
⎠
0
=
⎛
0
⎜ −
⎝
ω
c E0r
[ (
sin ω t + z
)]
c
0
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⎞
⎟
⎠

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d’où
−→ B r = − E0r
c
cos
[
ω
(
t + z
)]
c
Les vecteurs −→ E r et −→ B r sont en phase et ( −→ E r, −→ B r, −→ K r) forme bien un trièdre direct,
avec −→ K r = − ω −→
u z vecteur d’onde de l’onde réfléchie. L’onde réfléchie possède la structure d’une
c
onde plane.
3. a) Le champ électrique total est de la forme
−→ −→
E (z, t) = E i(z, t) + −→ { [ (
E r(z, t) = E0i cos ω t − z
)] [ (
− cos ω t +
c
z
)]}
−→
u x
c
( ) ( )
a + b a − b
En utilisant la relation trigonométrique cos a − cos b = −2 sin sin , on obtient
2 2
−→ u y
( )
−→ ωz
E (z, t) = 2 E0i sin(ωt) sin
−→
u x
c
Ce champ s’écrit comme un produit d’une fonction de z uniquement par une fonction du temps. On
voit en particulier que les plans z = p cπ
ω , p ∈ Z, sont des plans fixes pour lesquels le champ −→ E est
toujours nul. Ces plans correspondent à des nœuds pour le champ électrique.
On observe un phénomène d’onde stationnaire : le champ électrique total ne se propage
pas.
b) Le champ magnétique total vaut
−→ B (z, t) = −→ B i(z, t) + −→ B r(z, t) =
{ E0i
c
cos
[
ω
(
t − z
c
)]
− E0r
c
cos
[
ω
(
t + z
)]}
c
soit
{ [ (
−→ E0i
B (z, t) = cos ω t −
c
z
)] [ (
+ cos ω t +
c
z
)]}
−→
u x
c
( ) ( )
a + b a − b
En utilisant la formule de trigonométrie cos a + cos b = 2 cos cos , on trouve
2 2
−→ B (z, t) = 2 E0i
c
( )
ωz
cos(ωt) cos
−→
u x
c
L’onde résultante est stationnaire : le champ magnétique ne se propage pas et oscille en
quadrature (temporellement et spatialement) avec le champ électrique.
c) −→ E = −→ 0 ⇐⇒ z = p ωπ
c
avec p ∈ Z et −→ B = −→ 0 ⇐⇒ z = (2p + 1) ωπ
2c
d) Voir les figures ci-dessous obtenues pour ωt = π/4.
avec p ∈ Z
4. a) Au niveau de la surface du conducteur, le champ magnétique est discontinu : bien que nul à l’intérieur
du conducteur, il prend la valeur
−→ B (0 − , t) = 2 E0i
c
dans le vide, au niveau de l’interface.
Le relation de discontinuité du champ magnétique s’écrit
cos(ωt) −→ u y
−→ B (z = 0 − , t) − −→ B (z = 0 + , t) = −µ0 −→ ȷ s ∧ −→ u z =⇒ 2 E0i
c
−→ u x
cos(ωt) −→ u y = −µ0 −→ ȷ s ∧ −→ u z
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On en déduit
−→
ȷs = 2 E0i
µ0c cos(ωt) −→ u x = 2 1 −→
E 0i(z = 0
µ0c
− , t)
Les courants surfaciques sont suivant le vecteur −→ u x, c’est-à-dire dans la direction du champ électrique.
b) Les courants de la grille se développent de la même manière que dans un plan métallique : le champ
transmis est nul et la réflexion de l’onde est totale. L’onde est totalement réfléchie par la grille.
c) Si les fils sont orientés suivant (Oy), les courants surfaciques ne peuvent pas se développer : tout se
passe comme s’il n’y avait pas de conducteur. L’onde est totalement transmise par la grille.
d) C’est le principe de l’atténuation d’une onde par sélection de la polarisation.
2 Lois de Descartes à l’interface entre deux milieux
Considérons deux milieux transparents, c’est à dire dont les indices n1 et n2 sont réels, séparés par une surface
(Σ) : l’ensemble est appelé dioptre en optique.
En supposant les longueurs d’ondes très faibles devant les dimensions caractéristiques du problème (λ ≪
Lcaractéristique, ce qui est très bien vérifié pour le visible), on peut confondre (Σ) avec un dioptre plan, et choisir
un repère cartésien de sorte que son équation soit x = 0.
On considère maintenant une OPPHPR, c’est à dire une onde électromagnétique plane progressive incidente,
polarisée rectilignement, de pulsation ωi, se propageant dans le milieu (1) dans une direction −→ u i.
Afin que les relations de continuité puissent être vérifiées à l’interface (Σ), cette onde donne nécessairement
naissance à une OPPH transmise de pulsation ωt se propageant dans le milieu (2) dans une direction −→ u t, et à une
OPPH réfléchie de pulsation ωr se propageant dans le milieu (1) dans une direction −→ u r.
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plan
contenant
E et B
i i
indice n 1
u i
0
indice n 2
u r u t
Figure 1: Dioptre plan entre deux milieux transparents d’indice n1 et n2. Une OPPHPR incidente donne naissance
dans le plan d’indicence à une onde réfléchie et une onde transmise au niveau de ce dioptre.
En notation complexe, les champs électriques dans les deux milieux sont donc de la forme suivante 1 :
⎧
⎨−→
E 1(
⎩
−→ r , t) = −→ E 0iej(ωit− −→ k i· −→ r ) −→
+ E 0rej(ωrt− −→ k r· −→ r )
−→
E 2( −→ r , t) = −→ E 0tej(ωtt− −→ k t· −→ r )
avec −→ k i = ki −→ u i, −→ k r = kr −→ u r et −→ k t = kt −→ u t. On notera que les vecteurs d’ondes sont réels puisque les milieux
sont transparents (k” = 0).
Nous pouvons relier ces expressions en utilisant les relations de continuité des champs à l’interface 2 : il y a
continuité de −→ E ∥ (composante tangentielle) :
−→ E 1∥ = −→ E 2∥
La continuité de la composante tangentielle du champ électrique sur le plan x = 0 conduit à :
E 0i∥e j(ωit−kiyy−kizz) + E0r∥e j(ωrt−kryy−krzz) = E 0t∥e j(ωtt−ktyy−ktzz)
Cette relation devant être vérifiée à tout instant et en tout point du plan x = 0, ceci doit également être vrai en
O à tout instant, pour lequel x = y = z = 0, donc :
E 0i∥e j(ωit) + E0r∥e j(ωrt) = E0t∥e j(ωtt)
Or d’après le cours de mathématiques de première année, les fonctions exponentielles e jωt forment une famille
libre, donc pour que la relation soit vérifiée à tout instant pour un champ non nul, il faut nécessairement que :
ωi = ωr = ωt = ω
Les relations de passage imposent donc l’égalité des pulsations des trois ondes 3 .
1. On notera que les champs magnétiques associés s’obtiennent via la structure d’OPPH pour chacune des trois ondes :
−→
B i = n1−→
u i ∧
c
−→ E i
,
−→
B r = n1−→
u r ∧
c
−→ E r
2. On notera qu’il y a également continuité de −→ B ⊥ (composante normale) :
−→ B 1⊥ = −→ B 2⊥
3. Ceci n’est pas surprenant car les phénomènes mis en jeu ici sont tous linéaires.
et
−→
B t = n2−→
u t ∧
c
−→ E t
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x

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De la même façon, on montre en utilisant la continuité à t = 0 en x = 0 et z = 0, puis à t = 0 en x = 0 et y = 0
que les relations de passage imposent l’égalité des composantes tangentielles des vecteurs d’onde :
kiy = kry = kty et kiz = krz = ktz
Choisissons le trièdre cartésien de telle sorte que le vecteur incident soit dans le plan xOy, comme dans la figure
ci-dessous. Dans ce cas, kiz = 0, ce qui implique directement que krz = ktz = 0. On retrouve ainsi la première
loi de Descartes, où la direction de l’onde est associée à la direction d’un rayon lumineux :
Les vecteurs d’onde des ondes réfléchies et réfractées sont dans le plan d’incidence, défini par le
vecteur d’onde incident et la normale au dioptre.
θ < 0
r
indice n 1
u r
u i
0
y
indice n 2
ut θr θt
θ i
Figure 2: Illustration des lois de Descartes.
De plus, la continuité des composantes des vecteurs d’onde selon −→ u y implique, en prenant bien en compte que
l’angle θr est négatif :
kisinθi = −krsinθr = ktsinθt
En remplaçant les vecteurs d’ondes par leurs expressions en fonction de l’indice lumineux, on obtient :
n1ωsinθi
c
= − n1ωsinθr
c
Ceci permet de retrouver les deuxièmes lois de Descartes :
= n2ωsinθt
c
θr = −θi et n1sinθi = n2sinθt
Ainsi, le modèle de la propagation des ondes électromagnétiques nous a permis d’interpréter les lois de Descartes,
qui contituent le fondement de l’optique géométrique.
Remarque
Nous n’avons utilisé ici pour cette démonstration que la continuité des composantes tangentielles des
vecteurs d’ondes, mais le modèle présenté est plus riche puisque nous pouvons également utiliser la
continuité des champs pour en déduire les amplitudes des champs dans les deux milieux, et ainsi
en déduire la répartition de la puissance lumineuse de l’onde incidente entre les ondes réfléchie et
transmise.
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+
x

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5. Propagation de l’énergie dans un plasma
e c
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Physique Correction - DM n o 7 : Ondes électromagnétiques
et telle que v ∆t>>λ
e
(attention, ce n'est pas une moyenne temporelle,
mais spatiale ici ; il faut développer le cos 2 pour
pourvoir conclure proprement)
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