Exercices de Probabilité - Martintxo SARALEGI-ARANGUREN - Free

1 Dénombrement
Exercices de Probabilité 1
17 Mai 2010
Analyse combinatoire
1.1 ♠ Combien d’anagrammes 2 peut-on composer en utilisant toutes les lettres du mot FILO-
ZOFI, CARREAU, PERVERS, PEPERE?
1.2 Monsieur DELAPOUZE voudrait donner son nom à une nouvelle variété de citrouille. Pour
des raisons commerciales, ce nom doit comporter 4 lettres. On convient donc de former un nouveau
nom en utilisant une partie des lettres du nom de Monsieur DELAPOUZE.
(a) Combien peut-on former de noms sans répétition de lettres?
(b) Combien peut-on former de noms différents?
(c) Combien peut-on former de noms dont les lettres sont dans le même ordre que dans le
nom de Monsieur DELAPOUZE?
1.3 Lors de la vente aux enchères d’une collection de 4 Dali, 5 VanGogh et 6 Picasso 5 collectionneurs
se répartissent toutes les oeuvres. La journaliste en charge de couvrir l’événement ne
note que le nombre des Dali, van Gogh et Picasso acquis par chaque collectionneur. Combien
y-a-t-il de répartitions possibles dans ces conditions?
1.4 ♠ Un club de football est composé de 20 joueurs dont 3 gardiens. Combien d’équipes
différents de 11 joueurs comprenant obligatoirement un et un seul gardien peut-on former (On ne
tient pas compte de la place des joueurs, sauf pour les gardiens qui ne peuvent jouer que dans les
buts).
1.5 Le gouvernement d’un lointain pays est composé de 9 membres. Il est partagé en deux
tendances opposées: les Incarnats (5 membres) et les Azuréens (4 membres). Chez les premiers
nous trouvons 2 femmes et 3 hommes tandis que le deuxième groupe est composé de 2 femmes et 2
hommes. Il se sont réunis pour envoyer une Délégation de 4 personnes à la Journée Internationale
de la Femme qui se déroule chez eux.
(a) De combien de façons peut-on former cette Délégation si la parité Incarnats/Azuréens et
la parité Hommes/Femmes doivent être respectées?
1 Notes rédigées par P. Lefèvre et M. Saralegi-Aranguren. Vous trouverez une solution des exercices encadrés
dans http://saralegi.free.fr/Enseignement/ExercicesProbaSol/index.htm. Ils sont aussi dans Moodle. Les exercices
indiqués par ♠ seront traités en TD, vous devez les préparer à l’avance.
2 Même s’ils n’ont pas de sens!

Exercices de Probabilité. 17 Mai 2010 2
1.6 ♠ Serge répartit les pages de publicité dans la revue L ′ EX POIN T . Pour ne pas indisposer
les lecteurs, il ne peut pas placer deux pages de publicité à la suite. Sachant qu’il doit placer k
pages de publicité différentes dans une revue qui en compte n, calculer le nombre de manières de
disposer la publicité dans les cas suivants.
(a) On suppose que l’ordre des pages non-publicitaires entre elles est fixé et qu’il n’y a aucune
contrainte sur celui des pages publicitaires.
(b) On suppose que l’ordre des pages non-publicitaires entre elles est fixé ainsi que l’ordre des
pages publicitaires.
1.7 Dix chevaux numérotés de 1 à 10 sont au début d’une course.
(a) Combien de tiercés dans l’ordre sont-ils possibles?
(b) Parmi ces tiercés, combien y en a-t-il où le numéro 2 est premier?
(c) Combien de tiercés dans le désordre sont possibles?
1.8 ♠ On répartit 7 jetons numérotés de 1 à 7 dans trois urnes U1, U2 et U3.
(a) Combien y-a-t-il de répartitions sont possibles?
(b) Parmi ces répartitions, combien y en a-t-il où
i) l’urne U1 reste vide?
ii) l’urne U1 est la seule à rester vide?
iii) une seule urne reste vide?
iv) deux urnes restent vides?
1.9 On répartit 7 jetons indistinguables dans trois urnes U1, U2 et U3.
(a) Combien y-a-t-il de répartitions sont possibles?
(b) Parmi ces répartitions, combien y en a-t-il où
i) l’urne U1 reste vide?
ii) l’urne U1 est la seule à rester vide?
iii) une seule urne reste vide?
iv) deux urnes restent vides?
1.10 De combien de façons une personne peut-elle arranger deux bagues différentes sur l’index,
le majeur et l’annulaire de sa main droite? (On suppose pour simplifier que ses 5 doigts ont la
même grosseur). Reprendre la question précédente avec un nombre quelconque de bagues.

Exercices de Probabilité. 17 Mai 2010 3
1.11 De combien de manières peut-on asseoir 8 personnes en rang si:
(a) aucune restriction n’est mise,
(b) les personnes A et B ne veulent pas être côte à côte,
(c) les hommes ne doivent avoir que de voisines et inversement, en supposant qu’il y a 4
hommes et 4 femmes,
(d) les hommes, qui sont au nombre de 5, doivent rester ensemble,
(e) les personnes forment 4 couples et chaque couple doit rester réuni?
(f) et si aucune couple doit être ensemble?
1.12 Il y a ℓ livres sur une étagère. Nous en prenons f. De combien de façons peut-on le faire
si on ne prend pas deux livres contigus (côte à côte).
1.13 Considérons l’alphabet {1, . . . , n}. Un mot est a1a2 · · · am est ordonné si a1 ≤ a2 ≤ · · · ≤
am.
(a) Combien de mots simples ordonnés de longueur m peut-on former?
(b) Combien de mots ordonnés de longueur m peut-on former? Aide:
a1a2 · · · am considérer le m-uple (a1, a2 − a1, . . . , am − am−1).
Étant donné le mot
1.14 Considérons un alphabet E de cardinal n. Une combinaison avec répétition d’ordre m
de E consiste à choisir m éléments de E qui ne sont pas forcément différents. Par exemple, les
combinaisons d’ordre 2 avec répétition de E = {a, b, c} sont:
a et a, a et b, a et c, b et b, b et c, c et c.
On posera CR m n le nombre de combinaisons avec répétition d’ordre m de E.
(a) Montrer que CR m n = C m n+m−1.
1.15 Dans un Conservatoire, il y a n étudiants (n ≥ 1).
(a) Nous devons former un orchestre dans ce Conservatoire. Montrer qu’il y a 2 n possibilités.
(b) Nous formons un orchestre assorti d’un soliste. Montrer qu’il y a n2 n−1 possibilités.
(c) Nous formons un orchestre de k membres, avec k ≤ n, assorti d’un soliste. Monter qu’il y
a kC k n possibilités.
(d) En déduire le formule:
n
k=1
kC k n = n2 n−1 .

Exercices de Probabilité. 17 Mai 2010 4
1.16 ♠ Soit E un ensemble à n éléments.
(a) Etant donnée une partie A de E contenant p éléments, déterminer le cardinal des ensembles
suivants:
i) {B ∈ P(E) / B ⊂ A}
ii) {B ∈ P(E) / A ∩ B = ∅}
iii) {B ∈ P(E) / A ⊂ B}
(b) Pour tout p ∈ N, déterminer le cardinal de l’ensemble
En déduire le cardinal de l’ensemble
{(A, B) ∈ P(E) × P(E) / card A = p et A ∩ B = ∅}.
(c) Calculer le cardinal de l’ensemble
{(A, B) ∈ P(E) × P(E) / A ∩ B = ∅}.
{(A, B) ∈ P(E) × P(E) / card A = p, card B = q et B ⊂ A}.
1.17 Soient E et F deux ensembles de cardinal n et k respectivement.
(a) On déterminera le nombre de bijections f : E → F (on suppose n = k).
(b) On déterminera le nombre d’injections f : E → F (on suppose n ≤ k).
(c) On déterminera le nombre de surjections f : E → F (on suppose n ≥ k).
Pour cette dernière question on pourra suivra la démarche suivante.
c1) Montrer que pour k ≥ 1 on a
{1, . . . , i}.
k
C i kS i n = k n , où Si n est le nombre de surjections f : E →
i=1
c2) Montrer que les égalités précédentes peuvent être décrites par une égalité AX = Y , où A
est une matrice d’ordre k × k et X et Y sont deux vecteurs.
c3) Montrer que les coefficients (bij) de A −1 sont bij = (−1) i+j C j
i .
c4) Montrer que S k n =
k
(−1) k+i C i ki n
i=1
2 Formules combinatoires
2.1 Calculer les sommes suivantes
n
k=0
Aide: utiliser la formule du binôme.
C k n
et
n
(−1) k C k n.
k=0

Exercices de Probabilité. 17 Mai 2010 5
2.2 Calculer les sommes suivantes
[n/2]
k=0
C 2k
n
Aide: calculer la somme et la difference.
et
[(n−1)/2]
k=0
C 2k+1
n
2.3 Nous avons une urne remplie de boules numérotées de 1 à 2n. On en extrait n.
(a) Dans combien de cas le nombre plue élevé sera k? Ici, k ∈ {1, . . . , 2n}.
(b) En déduire la formule
2n
k=n
C n−1
k−1 = Cn 2n.
(c) Démontrer cette formule à l’aide de la formule de Pascal.
2.4 Nous avons une urne remplie de boules numérotées de 1 à 2n. On en extrait n.
(d) Dans combien de cas le nombre plue élevé sera k? Ici, k ∈ {1, . . . , 2n}.
(e) En déduire la formule
2.5 Calculer les sommes suivantes
n
k=0
kC k n
et
n
k=0
k 2 C k n.
Aide: utiliser les égalités kC k n = nC k−1
n−1 et k 2 C k n = k(k − 1)C k n + kC k n.
2.6 Dans un Conservatoire, il y a n étudiants (n ≥ 1).
(a) Nous devons former un orchestre dans ce Conservatoire. Montrer qu’il y a 2 n possibilités.
(b) Nous formons un orchestre assorti d’un soliste. Montrer qu’il y a n2 n−1 possibilités.
(c) Nous formons un orchestre de k membres, avec k ≤ n, assorti d’un soliste. Monter qu’il y
a kC k n possibilités.
(d) En déduire le formule:
n
k=1
kC k n = n2 n−1 .
2.7 Dans un promotion de n étudiants on doit choisir le groupe de ceux qui ont réussi ainsi que
le majeur de promotion et le porte-parole.
(a) Montrer qu’il y a (n + 1)n2 n−2 façons de le faire.
(b) Relier cette question avec l’exercice pré-précédent.
.

Exercices de Probabilité. 17 Mai 2010 6
2.8 Montrer que
C p nC q p = C q nC p−q
n−q.
En donner une interprétation par dénombrement.
2.9 Montrer que
C n1,n2,...,nr
n
= C n1−1,n2,...,nr
n−1
+ C n1,n2−1,...,nr
n−1
+ · · · + C n1,n2,...,nr−1
n−1 .
2.10 Soit E un ensemble de n éléments. Une partition de E est la donnée d’une famille de
sous-ensembles non vides {A1, . . . , Ap} vérifiant:
- A1 ∪ · · · ∪ Ap = E, et
- Ai ∩ Aj = ∅ si i = j.
Le nombre de partitions de E est dénoté par Bn. C’est le nombre de Bell. On posera B0 = 0.
(a) Posons Pk les partitions de E dont le sous-ensemble contenant le nombre 1 contient k
éléments. Ici, k ∈ {1, . . . , n}.Montrer que le cardinal de Pk est C k−1
n−1Bn−k.
(b) En déduire la formula
Bn =
n
k=1
C k−1
n−1
n−1Bn−k =
i=0
C i n−1Bi
2.11 Nous avons m ≥ 1 urnes indiscernables et n ≥ 1 jetons numérotés de 1 jusqu’à n. Nous
distribuons les jetons dans les urnes. Nous dénotons par Jn,m le nombre de résultats possibles.
Nous écrirons J0,m = Jn,0 = J0,0 = 1.
(a) Montrer que le nombre de distributions possibles où l’urne contient le 1 contient k éléments
est
Ici, k ∈ {1, . . . , n}.
(b) Montrer que
Jn,m =
C k−1
n−1Jn−k,m−1.
n
k=1
C k−1
n−1Jn−k,m−1.
(c) Calculer Jn,m pour m = 1, 2 et 3.
Probabilité
3 Probabilité élémentaire
3.1 Soit Ω un ensemble non vide muni d’une probabilité P . Considérons E et F deux sousensembles
de Ω. Montrer les propriétés suivantes.
(a) P (F \E) = P (F ) − P (E).
(b) P (E ∪ F ) = P (E) + P (F ) − P (E ∩ F ).
(c) P (E ∩ F ) ≥ P (E) + P (F ) − 1.
.
Attention!!. Il y a une propriété qui n’est pas toujours vraie ... il faudra trouver un contre-exemple.

Exercices de Probabilité. 17 Mai 2010 7
3.2 Montrer
(a) P (E est réalisé seul ou F est réalisé seul) = P (E) + P (F ) − 2P (E ∩ F ).
3.3 Soient A, B et C trois événements tels que A ∪ B ∪ C = Ω et A ∩ B = A ∩ C = B ∩ C. En
supposant que P (A) = 1/4 et P (B) = 1/2 calculer P (C).
3.4 ♠ Dans un jeu de tarot, on isole les 21 atouts numérotés de 1 à 21. On prend trois atouts
au hasard. Calculer la probabilité d’avoir:
(a) aucune carte multiple de 5: par exemple {1, 2, 3},
(b) au moins une carte est multiple de cinq: par exemple {5, 17, 10},
(c) un multiple de cinq et un multiple de sept (exactement): par exemple {10, 2, 14},
(d) un multiple de cinq et un multiple de trois (exactement): par exemple {3, 19, 5} ou
{15, 4, 13},
(e) le 1 ou le 21: par exemple {1, 20, 21}.
3.5 ♠ On pioche simultanément trois boules d’une urne contenant 4 boules blanches, trois boules
noires et 2 boules rouges.
(a) Quelle est la probabilité d’obtenir exactement une boule blanche et une boule rouge?
(b) Quelle est la probabilité d’obtenir une boule blanche et une boule rouge?
3.6 Une urne A contient 3 boules noires et 4 boules rouges, alors que l’urne B en contient 7 et
8 respectivement. On tire deux boules de chaque urne. Quelle est la probabilité que:
(a) les quatre boules soient de même couleur,
(b) deux boules soient noires et deux rouges?
3.7 Une urne contient 4 boules blanches, 3 boules noires et 2 boules rouges. On effectue dans
cette urne trois tirages d’une boule avec remise. Quelle est la probabilité d’obtenir:
(a) trois boules de la même couleur,
(b) trois boules de couleurs différentes?
3.8 Les trois mousquetaires (donc quatre personnes) ont mélangé leurs bottes dans le couloir de
l’Auberge. D’Artagnan se lève le premier et prend deux bottes au hasard 3 . Calculer la probabilité
que:
(a) les deux bottes soient les siennes,
(b) les deux bottes forment une paire,
(c) les deux bottes soient deux pieds droits,
(d) les deux bottes appartiennent à deux personnes différentes.
3 À la fois, l’une après l’autre, . . . , est-ce que cela change quelque chose?

Exercices de Probabilité. 17 Mai 2010 8
3.9 Un restaurant chinois présente une carte comprenant 47 plats: 17 entrées, 20 plats principaux
et 10 desserts numérotés de 1 à 47.
(a) Combien de menus complets peut-on constituer?
(b) On prend au hasard trois numéros différents compris entre 1 et 47. Calculer la probabilité
d’avoir une entrée, un plat principal et un dessert, sans tenir compte de l’ordre.
3.10 On lance trois dés non pipés. Calculer la probabilité des événements:
(a) “Avoir trois numéros de même parité”
(b) “Avoir un des numéros strictement supérieur à la somme des deux autres”
(c) “La somme est 9”
(d) “La somme est 10”
3.11 M. Dupont et Mme. Dupond reçoivent des invités pour dîner: M. Boucher, Mme. Bouchez
et leurs deux enfants. Ils savent que parmi ces deux enfants il y une fille.
(a) Quelle est la probabilité pour que les deux enfants soient du même sexe?
Mme. Dupond vient de se rappeler que, en fait, l’aîné est une fille.
(b) Quelle est la probabilité pour que les deux enfants soient du même sexe?
Remarque. On supposera que la probabilité d’être fille ou garçon est la même: 1/2.
3.12 Même exercice en supposant que la probabilité d’avoir un garçon est p.
3.13 On tire 13 cartes dans un jeu de 52 cartes. La probabilité que ce tirage soit dépourvu au
moins d’une couleur est-elle égale à C1 4C 13
39
C13 52
? Pourquoi?
3.14 On lance une pièce; elle fait pile avec une probabilité p (et donc face avec une probabilité
(1 − p)). On appelle pn la probabilité que sur n lancers il y ait un nombre impair de “pile” .
(a) Montrer que pn = p(1 − pn−1) + (1 − p)pn−1.
(b) En déduire pn en fonction de n et de p.
3.15 On jette n fois une pièce de monnaie et on note fn le nombre de cas possibles où deux
piles n’apparaissent pas successivement.
(a) Combien vaut f1? f2?
(b) Montrer que fn = fn−1 + fn−2.
(c) Calculer fn et la probabilité pour que sur n lancers il y ait au moins deux piles successives.

Exercices de Probabilité. 17 Mai 2010 9
3.16 ♠ On choisit au hasard un sous-ensemble de {1, . . . , n}. Quelle est la probabilité que ce
sous-ensemble
(a) contienne 1 et 2,
(b) ne contienne ni 1 ni 2,
(c) contienne 1 ou 2?
3.17 Dans une population de n individus on prélève, au hasard, sans répétition et 2 fois de suite
de manière indépendante avec remise entre deux tirages, 2 groupes de cardinaux respectifs r et s.
Quelle est la probabilité que les deux échantillons n’aient pas d’éléments communs?
3.18 Lancement d’une pièce équilibrée. Trois différents points de vue.
A. ♠ On lance successivement n fois une pièce équilibrée.
(a) Décrire l’espace des résultats Ω.
(b) Calculer la probabilité de chaque résultat.
(c) Décrire la probabilité P .
(d) Calculer la probabilité d’obtenir exactement f faces.
(e) Supposons qu’on lance une infinité de fois cette pièce. Quelle est la probabilité de n’obtenir
que des faces.
B. On lance n pièces équilibrées d’un coup. On suppose que ces pièces sont des
couleurs différentes.
(a) Décrire l’espace des résultats Ω.
(b) Calculer la probabilité de chaque résultat.
(c) Décrire la probabilité P .
(d) Calculer la probabilité d’obtenir exactement f faces.
C. On lance n pièces équilibrées d’un coup. On suppose que ces pièces sont égales.
(a) Décrire l’espace des résultats Ω.
(b) Calculer la probabilité de chaque résultat.
(c) Décrire la probabilité P .
(d) Calculer la probabilité d’obtenir exactement f faces.

Exercices de Probabilité. 17 Mai 2010 10
3.19 Lancement de dés. Trois différents points de vue.
A. On lance successivement n dés équilibrés.
(a) Décrire l’espace des résultats Ω.
(b) Calculer la probabilité de chaque résultat.
(c) Décrire la probabilité P .
(d) Calculer la probabilité d’obtenir exactement f fois la face numéro 1.
(e) Supposons qu’on lance ce dé une infinité de fois. Quelle est la probabilité de n’obtenir que
des faces paires.
B. On lance n dés équilibrés de couleurs différentes.
(a) Décrire l’espace des résultats Ω.
(b) Calculer la probabilité de chaque résultat.
(c) Décrire la probabilité P .
(d) Calculer la probabilité d’obtenir exactement f fois la face numéro 1.
C. On lance n dés équilibrés. On suppose que ces dés sont égaux.
(a) Décrire l’espace des résultats Ω.
(b) Calculer la probabilité de chaque résultat.
(c) Décrire la probabilité P .
(d) Calculer la probabilité d’obtenir exactement f fois la face numéro 1.
3.20 Des boules dans des urnes. Quatre différents points de vue.
A. Nous avons les urnes U1, . . . , Un et les boules B1, . . . Bb. On place au hasard les
boules dans les urnes.
(a) Décrire l’espace des résultats Ω.
(b) Calculer la probabilité de chaque résultat.
(c) Décrire la probabilité P .
(d) Calculer la probabilité qu’il y ait exactement une urne non vide.
(e) Calculer la probabilité que les boules B1 at B2 se trouvent dans la même urne.
(f) Calculer la probabilité que la première urne contienne exactement f boules.
B. Nous avons les urnes U1, . . . , Un et b boules indiscernables. On place au hasard
les boules dans les urnes.
(a) Décrire l’espace des résultats Ω.
(b) Calculer la probabilité de chaque résultat.
(c) Décrire la probabilité P .

Exercices de Probabilité. 17 Mai 2010 11
(d) Calculer la probabilité qu’il y ait exactement une urne non vide.
(e) Calculer la probabilité que la première urne contienne exactement f boules.
C. Nous avons 3 urnes indiscernables et les boules B1, B2, B3. On place au hasard
les boules dans les urnes.
(a) Décrire l’espace des résultats Ω.
(b) Calculer la probabilité de chaque résultat.
(c) Décrire la probabilité P .
(d) Calculer la probabilité que les boules B1 at B2 se trouvent dans la même urne.
(e) Calculer la probabilité qu’il y ait exactement une urne non vide.
D. Nous avons 3 urnes indiscernables et 3 boules indiscernables. On place au hasard
les boules dans les urnes.
(a) Décrire l’espace des résultats Ω.
(b) Calculer la probabilité de chaque résultat.
(c) Décrire la probabilité P .
(d) Calculer la probabilité qu’il y ait exactement une urne non vide.
3.21 On distribue au hasard n boules indiscernables dans N urnes discernables. Calculer la
probabilité des événements suivants :
(a) la première urne contient exactement k boules,
(b) la première urne est vide,
(c) les deux premières urnes sont vides,
(d) les p premières urnes sont vides,
(e) une urne est vide,
(f) aucune urne n’est vide,
(g) une urne exactement est vide.
3.22 On distribue au hasard b boules dans n urnes. Calculer la probabilité des événements
suivants 4 :
(a) la première urne contient exactement k boules,
(b) la première urne est vide,
(c) les deux premières urnes sont vides,
(d) les p premières urnes sont vides,
(e) une urne est vide,
(f) aucune urne n’est vide,
(g) une urne exactement est vide.
4 Décider au préalable si les boules/urnes peuvent être considérées différentes ou non.

Exercices de Probabilité. 17 Mai 2010 12
3.23 Si 10 couples mariés sont assis au hasard autour d’une table, calculer la probabilité que
acune femme ne soit pas assise à côté de son mari.
3.24 Un dé est jeté jusqu’à ce que le numéro 6 sorte. Notons En l’événement ”le 6 sort pour la
∞
c première fois au n-ième coup et pas avant”. Que signifie
? Combien vaut sa probabilité?
3.25 Une personne se trouve devant une porte fermée à clé. Elle dispose d’un trousseau de n
clés parmi lesquelles une seule ouvre la porte. Elle essaie les clés au hasard l’une après l’autre
(elle n’essaie pas deux fois la même clé!). Quelle est la probabilité qu’elle ouvre la porte au k-ième
essaie?
3.26 Une urne contient au départ b > 0 boules blanches et n > 0 noires. On effectue des tirages
dans cette urne de la façon suivante: si la boule obtenue est blanche, on la remet, et si elle est
noire, on la remet et on rajoute b boules blanches. Quelle est la probabilité
(a) de ne tirer que des boules blanches,
(b) de ne tirer que des noires.
3.27 ♠ Considérons n amis, p courtes pailles et q longues pailles avec n = p + q. Chacun des
amis prend à son tour une paille. Ceux qui tirent une courte paille perdent. Montrer que la
probabilité de perdre est indépendante de lordre dans lequel on choisit la paille.
4 Probabilité conditionnelle
4.1 Soient E, F et G trois évènements avec P (F ) = P (F ∩ G) = 0.
(a) Montrer que l’on peut parler des probabilités conditionnelles
P (E/(F ∩ G)), P (E/F ), P (G/F ), P (G c /F ), et P (E/(G c ∩ F )).
(b) Montrer la formule:
n=1
P (E/F ) = P (E/(F ∩ G))P (G/F ) + P (E/(G c ∩ F ))P (G c /F ).
4.2 Soient Ω = {a1, . . . , an} et F = {a1, . . . , am} ⊂ Ω. Considérons P une probabilité sur Ω
avec P (F ) > 0. Montrer qu’il existe une famille de nombres positifs {p1, . . . , pm} avec P (−/F ) =
m
piδai .
i=1
4.3 ♠ Soit P un probabilité définie sur N. Supposons que P ({n, n + 1}) = 3/2 n+2 pour tout
n ∈ N. Décrire P .
4.4 Soient Ω = {a1, . . . , an} et F = {a1, . . . , am} ⊂ Ω avec m > 0. Considérons P la probabilité
uniforme sur Ω. Montrer que:
(a) P (E/F ) =
#(E ∩ F )
, pour tout E ⊂ Ω.
#F
En

Exercices de Probabilité. 17 Mai 2010 13
4.5 Pour dépister une maladie, un laboratoire met au point un test. Malheureusement, il n’est
pas parfait: la probabilité d’un ”faux négatif”, c’est à dire la probabilité que le test soit négatif
pour un patient malade est 0, 9% et la la probabilité d’un ” faux positif”, c’est à dire la probabilité
que le test soit positif pour un patient sain est 5%.
La prévalence de la maladie dans la population est 0, 5%.
(a) Quelle est la probabilité pour qu’un patient dont le test se révèle positif soit effectivement
malade?
(b) Quelle est la probabilité pour qu’un patient, dont deux tests successifs se révèlent positifs,
soit effectivement malade? On supposera que les deux test sont indépendants aussi bien chez les
patients malades que chez les patients sains 5 .
4.6 Nous avons deux urnes avec des boules rouges et vertes. La première urne (disons Urne1)
contient une proportion p1 = 0 de boules rouges tandis que la deuxième urne (disons Urne2)
contient une proportion p2 = 0 de boules rouges. Nous choisissons au hasard une urne, en sachant
que la première a une probabilité q ∈]0, 1[ d’être choisie.
(a) Nous extrayons une boule de l’urne choisie. Il s’avère que cette boule est rouge. Quelle
est la probabilité pour que l’urne choisie ait été l’Urne1?
(b) Nous extrayons, avec remise, deux boules de l’urne choisie. Il s’avère que ces boules sont
rouges. Quelle est la probabilité pour que l’urne choisie ait été l’Urne1?
(c) Sous quelles conditions le résultat obtenu pour (b) est plus grand que celui obtenu pour
(a)?
(d) Calculer (a) et (b) pour q = 0, 005, p1 = 0, 991 et p2 = 0, 05.
4.7 ♠ Une usine d’ampoules électriques possède trois ateliers A, B et C. L’atelier A assure 30%
de la production. L’atelier B assure 20% de la production. L’atelier C assure 50% de la production.
Il y a 5 % des ampoules produites par A qui sont défectueuses. Il y a 4 % des ampoules produites
par B qui sont défectueuses. Il y a 1 % des ampoules produites par C qui sont défectueuses.
(a) Calculer la probabilité qu’une ampoule produite par cette usine soit défectueuse.
(b) On choisit au hasard une ampoule produite par cette usine et on constante qu’elle est
défectueuse. Calculer la probabilité pour qu’elle sorte de l’atelier B.
4.8 Un marchand vend des articles dont 30 % proviennent d’un fournisseur A et 70 % d’un
fournisseur B. On sait que 6 % de la production de A est défectueuse, contre 3 % seulement pour
la production de B. Un client achète un article.
(a) Quelle est la probabilité que cet article soit défectueux?
(b) Sachant que cet article est défectueux, quelle est la probabilité qu’il provienne de B?
5 C’est-à-dire, les deux tests sont conditionnellement indépendants selon l’évènement “le patient malade” et aussi
selon l’évènement “le patient est sain”

Exercices de Probabilité. 17 Mai 2010 14
4.9 On pose une question à un candidat choisi au hasard dans une population possédant une
proportion p de tricheurs. On admet que si cet individu est un tricheur, il connaît à l’avance la
question et sa réponse; sinon, il a une chance sur 12 de répondre correctement.
(a) Quelle est la probabilité que le candidat choisi donne la bonne réponse?
(b) Sachant que le candidat a répondu correctement, quelle est la probabilité qu’il ait triché.
4.10 Trois versions du même problème.
A. M. Dupont et Mme. Dupond reçoivent des invités pour dîner: M. Boucher,
Mme. Bouchez et leurs deux enfants.
(a) Quelle est la probabilité pour que les deux enfants soient des filles?
(b) M. Dupont et Mme. Dupond savent que parmi ces deux enfants il y une a fille. Quelle
est la probabilité pour que les deux enfants soient du même sexe?
(c) Mme. Dupond vient de se rappeler que, en fait, l’aîné est une fille. Quelle est la probabilité
pour que les deux enfants soient du même sexe?
B. La fratrie de M. Boucher, Mme. Bouchez est composée de n enfants.
(a) Quelle est la probabilité d’avoir n filles?
(b) En sachant qu’il y a (n − 1) filles, quelle est la probabilité d’avoir n filles?
(c) En sachant que les (n − 1) enfants les plus âgés sont des filles, quelle est la probabilité
d’avoir n filles?
C. On lance n pièces de monnaie.
(a) Quelle est la probabilité d’obtenir n faces?
(b) En sachant qu’on a obtenu (n − 1) faces, quelle est la probabilité d’obtenir n faces?
(c) En sachant que les (n − 1)-premiers jets sont des faces, quelle est la probabilité d’obtenir
n faces?
4.11 Nous avons trois urnes contenant de boules rouges et de boules vertes. La première
contient une proportion p1 ∈]0, 1[ de boules rouges. La deuxième contient une proportion p2 ∈]0, 1[
de boules rouges. La troisième contient une proportion p3 ∈]0, 1[ de boules rouges.
(a) Si l’on extrait une boule de la première urne et une boule de la deuxième urne, quelle est
la probabilité d’obtenir deux boules de couleurs différentes?
(b) On extrait maintenant une boule de chaque urne. On obtient deux boules rouges et une
boule verte. Quelle est la probabilité d’avoir tiré une boule rouge de la troisième urne?
4.12 Une urne contient au départ une boule blanche et une noire. On effectue des tirages dans
cette urne de la façon suivante: si l’on tire une boule blanche, on la remet dans l’urne avec une
boule blanche supplémentaire, et on arrête le tirage dés que la boule noire est obtenue. Quelle est
la probabilité de s’arrêter au nième tirage?

Exercices de Probabilité. 17 Mai 2010 15
4.13 ♠ Une urne contient des boules vertes et seulement des boules vertes. Une deuxième urne
contient 30 boules vertes et 10 boules rouges. On choisit une urne au hasard et on extrait une
boule de cette urne au hasard.
(a) Quelle est la probabilité que cette boule soit verte? Quelle est la probabilité qu’elle
provienne de la première urne?
(b) Supposons qu’elle est verte. On réintroduit cette boule dans lurne. On extrait une boule
à nouveau de cette même urne. Quelle est la probabilité que cette boule soit rouge?
4.14 ♠ Considérons n urnes, chacune contenant V boules vertes et R boules rouges. On tire
au hasard une boule de la première urne qui est introduite à son tour dans la deuxième urne.
Ensuite, on extrait une boule de la deuxième urne qui est introduite dans la troisième et ainsi de
suite. Quelle est la probabilité de tirer une boule verte dans la n-ième urne?
4.15 ♠ Considérons n amis, p courtes pailles et q longues pailles avec n ≤ p + q. Chacun des
amis prend à son tour une paille. Ceux qui tirent une courte paille perdent. Montrer que la
probabilité de perdre est indépendante de lordre dans lequel on choisit la paille.
4.16 On doit choisir une commission de 3 personnes parmi un groupe de 6 femmes et 9 hommes.
Pour cela on procède de la façon suivante.
Tout d’abord on choisit une des 6 femmes au hasard et on choisit un des 9 hommes au hasard.
Ensuite, on écrit le nom de chaque femme qui n’a pas été choisie sur a papiers. De même, on
écrit le nom de chaque homme qui n’a pas été choisi sur b papiers. On met tous ces papiers dans
une urne et on tire un papier au hasard. Le nom indiqué sur ce papier correspond à la troisième
personne de la commission.
Question: Trouver des valeurs pour a et b de façon que chacune des 15 personnes ait la même
probabilité d’être choisie. Même question avec f femmes et h hommes (on trouvera des conditions
sur f et h car ce nest pas toujours possible davoir la même probabilité pour toutes les personnes).
4.17 Une urne contient 3 boules rouges et 7 blanches. Betti et Aritz tirent une boule à tour de
rôle, avec remise. Le premier des deux joueurs qui obtient une boule rouge gagne.
(a) Montrer que la probabilité de l’évènement G =“il existe un gagnant” vaut 1. On introduira
les évènements Bn = “les n premières boules tirées sont blanches” (pour n ∈ N ∗ ), et on exprimera
G en fonction des Bn.
Soit maintenant C l’évènement “le joueur qui commence gagne”. On va calculer P (C) de deux
façons différentes.
(b) (1ère méthode) Pour n ∈ N, notons An l’évènement “les n premières boules tirées sont
blanches et la (n + 1)-ième est rouge”. Calculer P (An) pour tout n. Exprimer C en fonction des
An. En déduire la valeur de P (C).
(c) (2nde méthode) Utiliser la formule des probabilités totales pour exprimer P (C) en fonction
de P (C/B), où B est l’évènement “la première boule tirée est blanche”. Utiliser ensuite la symétrie
de jeu pour conclure.
4.18 Même exercice sans remise.

Exercices de Probabilité. 17 Mai 2010 16
4.19 Supposons que l’urne contient maintenant 3 boules rouges, 7 blanches et 10 vertes. Betti
et Aritz tirent une boule à tour de rôle avec remise jusqu’à ce qu’une boule rouge sorte. Si la
boule sortie est blanche le joueur perd son tour mais si la boule sortie est verte le joueur rejoue.
(a) Montrer que la probabilité de ne jamais extraire une boule rouge est 0.
(b) Quelle est la probabilité pour que le joueur qui commence gagne?
4.20 Une urne contient n boules blanches et m boules rouges. On retire les boules une à une.
n
(a) Montrer que la probabilité que les boules rouges disparaissent en premier est
n + m .
Cette fois l’urne contient n boules blanches, m boules rouges et k boules vertes. On retire les
boules une à une.
(b) Montrer que la probabilité que “les boules rouges disparaissent en premier” est égale à
la probabilité de l’événement : “les boules rouges disparaissent en premier et les boules vertes en
second ou les boules rouges disparaissent en premier et les boules blanches en second”.
(c) Calculer la probabilité que les boules rouges disparaissent en premier et les boules vertes
en second, en conditionnant par rapport à l’événement : “les boules blanches disparaissent en
dernier”.
(d) En déduire la probabilité que les boules rouges disparaissent en premier”.
4.21 On tire des boules d’une urne qui contient b boules blanches, r boules rouges et v boules
vertes. Trouver dans chacun des deux cas suivants, la probabilité qu’une boule verte apparaisse
avant qu’une boule rouge le fasse.
(a) Chaque boule est réintroduite dans lurne après chaque tirage.
(b) Sans remise.
4.22 Une épreuve sportive consiste à atteindre une cible partagée en trois cases notées 1,2 et 3.
Deux concurrentes Ainhoa et Nekane sont en présence, on admet qu’à tout coup chacune d’elles
atteint une case et une seule. Pour Ainhoa, les probabilités d’atteindre les cases 1,2 et 3 sont,
dans cet ordre, en progression arithmétique de raison 1/4. Pour Nekane, les trois éventualités sont
équiprobables.
(a) Quelle est la probabilité d’atteindre chaque cible?
(b) On choisit une des deux concurrentes, en admettant que la probabilité de choisir Ainhoa
est la moitié de la probabilité de choisir Nekane. La concurrente choisie atteint la case 3. Quelle
est le probabilité que cette concurrente soit Ainhoa ?
4.23 Quand on téléphone chez Bixente, on a neuf chances sur dix de tomber sur son répondeur.
Il utilise cet interlocuteur électronique lorsqu’il est là deux fois sur trois pour ne pas avoir à
répondre à des importuns. Quand il est absent, il l’utilise toujours.
(a) On téléphoné chez Bixente. Calculer la probabilité qu’il soit présent.
(b) On tombe sur son répondeur, calculer la probabilité qu’il soit présent.

Exercices de Probabilité. 17 Mai 2010 17
4.24 Nous avons deux urnes U1 et U2. La première contient le double de boules rouges que des
vertes. La deuxième ne contient que des boules rouges. On choisit une urne au hasard, tout en
sachant, que la première a une probabilité p d’être choisie et que la deuxième a une probabilité
1 − p d’être choisie. Ensuite, on extrait une boule de cette urne.
On sait que, à la fin de cette procédure, la probabilité d’obtenir une boule rouge est de 0,9.
(a) Quelle est la valeur de p?
(b) Si la boule obtenue est rouge, quelle est la probabilité pour qu’elle provienne de la première
urne?
4.25 On pioche au hasard et simultanément deux points de l’ensemble E = {u1, u2, . . . , un},
où l’on suppose que n ≥ 2.
(a) Sachant que u1 n’est pas l’un d’eux, quelle est la probabilité que u2 le soit?
(b) On choisit au hasard une partie quelconque de E. Sachant qu’elle ne contient pas u1,
quelle est la probabilité que u2 y soit?
4.26 Un joueur lance un dé équilibré avec 3m-faces numéroté par: {1, 2, . . . , 3m}. Il gagne s’il
obtient un multiple de 3. Sinon, il continue à jouer jusqu’au moment où
- il obtient le résultat obtenu au premier tirage (par exemple 5 − 1 − 1 − 1 − 8 − 4 − 5), et il
gagne, ou
- il obtient un multiple de 3 (par exemple 5 − 2 − 4 − 2 − 7 − 8 − 1 − 6), et il perd.
Il perd aussi dans le cas où le jeu ne s’arrête pas.
Quelle est sa probabilité de gagner?
4.27 On jette deux dés à la fois et on considère la somme des points obtenus. Si cette somme est
égale à 7 ou 11 on gagne. Si elle est 2, 3 ou 12 on perd. Dans les autres cas la somme obtenue est
appelée A et on continue à tirer les deux dés jusquau moment on obtient ou bien 7 (et on perd)
ou bien on obtient A (et on gagne). Quelle est la probabilité de gagner?
4.28 On tire une à une, les n boules numérotées (de 1 à n) d’une urne. On note Ai l’évènement
“la i-ème boule tirée porte le numéro i”, où i ∈ {0, . . . , n}.
(a) Décrire l’espace des résultats Ω et la probabilité P sous-jacente.
(b) Calculer chaque P (Ai).
(c) Calculer chaque P (Ai1 ∩ · · · ∩ Aik ).
(d) Vérifier la formule de Poincaré.
(e) Déterminer la probabilité qu’il n’y ait aucune renontre.
(f) Quelle est la limite du résultat précédent quand n tend vers l’infini?

Exercices de Probabilité. 17 Mai 2010 18
4.29 Une urne contient une boule blanche et une boule noire. On considère qu’il y a équiprobabilité
de tirer l’une ou l’autre boule. Fixons k ∈ {0, . . . , n}.
(a) Calculer la probabilité P (Ak,n) d’obtenir exactement k boules blanches au cours de n
tirages successifs d’une boule avec remise.
(b) En déduire la probabilité P (Bk,n) qu’au moins k boules soient blanches parmi es n tirages.
L’urne contient maintenant deux boules choisies au hasard parmi deux boules blanches et deux
boules noires.
(c) Calculer la probabilité des évènements: E = “l’urne contient deux boules blanches”; F
= “l’urne contient deux boules noires” et G = “l’urne contient une boule blanche et une boule
noire”.
On effectue dans cette urne une succession de tirages d’une boule avec remise.
(d) Calculer la probabilité P (Ck,n) que les n premiers tirages ont amené au moins k boules
blanches.
(e) On sait que Ck,n est réalisé. Calculer la probabilité pk,n que l’urne contienne deux blanches.
(f) Calculer lim
n→∞ p1,n et lim
n→∞ pn,n. Interpréter ces probabilités.
5 Indépendance
5.1 Montrer que si {E, F } sont indépendants alors il en sera de même pour {E c , F } et pour
{E c , F c }.
5.2 Démontrer que deux éléments E et F sont indépendants si et seulement si
5.3 Considérons E et F deux évènements.
(a) Montrer que
P (E ∩ F )P (E c ∩ F c ) = P (E ∩ F c )P (E c ∩ F ).
{E ∩ F, E ∪ F } sont indépendants ⇐⇒ P (E ∩ F ) = 0 ou P (E ∪ F ) = 1.
(b) Montrer que si les évènements {E, F } sont indépendants alors
{E ∩ F, E ∪ F } sont indépendants ⇐⇒ P (E) = 0 ou P (F ) = 0 ou P (E) = 1 ou P (F ) = 1.
(c) Fixons a ∈ Ω et supposons P = δa la mesure de Dirac. Montrer que deux évènements
quelconques {E, F } sont toujours indépendants.
(d) Fixons a et b deux points disctincts de Ω et considérons la probabilité P = 1
2 δa + 1
2 δb sur
Ω. Soient E et F deux évènements quelconques. Montrer que
⎧
a ∈ E\F et b ∈ F \E, ou
⎪⎨ b ∈ E\F et a ∈ F \E, ou
{E, F } ne sont pas indépendants ⇐⇒
a ∈ E ∪ F et b ∈ E ∩ F ou
⎪⎩
b ∈ E ∪ F et a ∈ E ∩ F.

Exercices de Probabilité. 17 Mai 2010 19
5.4 Soient A, B, et C trois événements vérifiant
Montrer que A, B et C sont indépendants.
P (A ∩ B ∩ C) = P (A)P (B)P (C)
P (A c ∩ B ∩ C) = P (A c )P (B)P (C)
P (A ∩ B c ∩ C) = P (A)P (B c )P (C)
P (A ∩ B ∩ C c ) = P (A)P (B)P (C c ).
5.5 Supposons A indépendant de B ∩ C et B ∪ C, puis B indépendant de C ∩ A et enfin C
indépendant de A ∩ B. Supposons , en outre, P (A), P (B) et P (C) strictement positifs. Alors A,
B et C sont indépendants.
5.6 Soient A, B et C trois événements tels que A et B sont conditionnellement indépendants
selon C, que A et C sont indépendants et que B et C sont indépendants.
(a) Montrer que P (A ∩ B ∩ C) = P (A)P (B)P (C).
(b) Les événements A, B et C sont-ils indépendants?
5.7 Soient E1, E2 et F trois événements avec P (E2 ∩ F ) > 0. Montrer que
E1 et E2 sont conditionnellement indépendants selon F ⇐⇒ P (E1/E2 ∩ F ) = P (E1/F ).
5.8 Soient E1, E2 et F trois événements avec P (F ) > 0. Montrer que
E1 et E2 sont conditionnellement indépendants selon F ⇐= E1 et E2 sont indépendants.
Et la réciproque?
5.9 ♠ Considérons une famille de n enfants, avec n ≥ 2. On appelle D l’évènement “la famille
a des enfants de deux sexes” et F l’évènement “la famille a au plus une fille”. Pour quelle valeur
de n les évènements D et F sont indépendants.
5.10 Soient U1 et U2 deux urnes contenant chacune 1 boule verte et 1 boule rouge. On effectue
un tirage successif de deux boules de la façon suivante: on choisit d’abord une urne; s’il s’agit de
U1 on tire avec remise; s’il s’agit de U2, on tire sans remise. Soit A l’évènement: la première boule
tirée est rouge. Soit B l’évènement: la seconde boule tirée est verte. Soit C l’évènement: l’urne
U1 est choisie. Montrer que:
(a) A et B sont indépendants conditionnellement à C.
(b) A et C sont indépendants.
(c) B et C sont indépendants.
(d) A et B ne sont pas indépendants

Exercices de Probabilité. 17 Mai 2010 20
5.11 On tire une carte d’un jeu de 52 cartes, vérifier que les événements A= ”on obtient un
coeur” et B = ”on obtient un roi” sont indépendants.
5.12 On place les lettres A, B et C sur la droite réelle de façon aléatoire 6 . Considérons les
évènements
E = “La lettre A est située à droite 7 de la lettre B” et
F = “La lettre B est située à droite de la lettre C”.
(a) Les évènements E et F sont-ils indépendants?
(b) Même question si on place tout l’alphabet.
5.13 Un joueur professionel garde dans sa poche deux pièces: l’une équilibrée et l’autre avec
deux piles. Il en prend une au hasard (les deux pièces ont la même probabilité d’être choisies) et
la lance.
(a) Quelle est la probabilité d’obtenir pile?
(b) Supposons qu’on obtient pile. Quelle est la probabilité d’avoir choisi la pièce truquée?
(c) Il lance une deuxième fois la pièce choisie au hasard. Il obtient à nouveau pile. Quelle est
la probabilité d’avoir choisi la pièce truquée?
(d) Les événements “obtenir pile au premier tirage” et “obtenir pile au deuxième tirage”
sont-ils indépendants?
5.14 On dispose de trois pièces. La probabilité d’obtenir pile est respectivement 1 pour la
4
première, 1
1
pour la deuxième et pour la troisième. On tire au hasard une pièce et on la lance
3 2
trois fois. Sur les trois résultats on obtient deux fois pile et une fois face.
(a) Quelle est la probabilité d’avoir lancé la première pièce?
(b) Les événements
- A = ”on lance la première pièce”
- Z = ”on obtient deux piles et une face”
sont-ils indépendants?
5.15 On tire deux cartes d’un jeu de 52 cartes. Soit A l’événement ”les deux cartes ont la
même valeur” et B l’événement ”les deux cartes ont la même couleur”. Étudier l’indépendance
des événements A et B dans les cas suivants:
(a) on remet dans le jeu la première carte avant de tirer la seconde,
(b) on tire les deux cartes simultanément.
6 Toutes les configurations ont la même probabilité d’apparaître.

Exercices de Probabilité. 17 Mai 2010 21
5.16 ♠ Deux urnes A et B contiennent respectivement
- deux boules blanches plus n boules noires, et
- une boule blanche plus cinq boules noires.
On tire au hasard une boule de l’urne A et on la place dans l’urne B. On tire alors une boule de
B, elle est blanche.
(a) Quelle est la probabilité que la boule transférée ait aussi été blanche?
(b) Les événements ”la première boule est blanche” et ”la deuxième boule est blanche” sont-ils
indépendants?
5.17 Soit n = p α1
1 · · · p αr
r un nombre entier et sa décomposition en facteurs premiers. Soit
Ω = {1, . . . , n} muni de la probabilité uniforme et Ai = {k ∈ Ω / pi|k} pour 1 ≤ i ≤ r.
(a) Calculer chaque P (Ai).
(b) Montrer que pour i = j les événements Ai et Aj sont indépendants.
(c) Calculer la probabilité de l’événement: B = {k ∈ Ω / aucun pi divise k}.
(d) En déduire la valeur de la fonction f : N → N donnée par f(n) = cardB.
5.18 Soient n urnes dont chacune contient r boules rouges et v boules vertes. On fait passer
une boule de la première urne dans la deuxième; puis une boule de la deuxième dans la troisième,
etc. Puis, de la dernière urne on retire une boule.
(a) Montrer que la probabilité que cette boule soit verte est v/v + r.
(b) Supposons n = 3. Les évènements ”la première boule est verte” et ”la troisième boule est
verte” sont-ils indépendants?
5.19 ♠ Une urne contient r > 0 boules rouges et v > 0 boules vertes. L’une de ces boules
est tirée au hasard. Quand on la remet dans l’urne, on y rajoute c nouvelles boules de la même
couleur. On tire une deuxième boule. Montrer que la probabilité pour que la première soit rouge
r
sachant que la deuxième est verte vaut . Les événements
r + v + c
A : “la première boule est rouge” et
B : “la deuxième boule est verte”
sont-ils indépendants?
5.20 On lance deux dés non pipés, un rouge et un vert et on note les numéros obtenus. Soit les
événements:
A :“le dé rouge amène un numéro pair”,
B : “le dé vert amène un numéro pair”,
C : “la somme des numéros est paire”.
Vérifier que les événements A,B et C sont indépendants deux à deux mais non indépendants.

Exercices de Probabilité. 17 Mai 2010 22
5.21 ♠ Un point est choisi au hasard dans le carré MNOP . Soit I, J, K, L, les mileiux
respectivement des segments [MN], [NO], [OP ], [P M]. On définit les événements
A : “le point est dans le rectangle MNJL”,
B : “le point est dans le rectangle MIKP ”,
C : “le point est dans le rectangle IJKL”.
Étudier l’indépendance des événements A, B, C.
5.22 On place un pion sur le point 0 de la droite. On le fait bouger dune unité ou bien à
droite avec probabilité p = 1/2 ou bien à gauche avec probabilité 1 − p. On réitère le procédé de
façon infinie. Quelle est la probabilité de retourner une infinité de fois au point 0? Suggestion:
Considérer l’événement rentrer au point 0 au bout de 2n pas.
6 Fonction de répartition
Variables aléatoires
6.1 ♠ Décrire la fonction de répartition d’une variable aléatoire X qui suit la loi uniforme sur
Ima X = {1, 2, 3, 4}.
6.2 Nous avons une pièce de monnaie qui a une probabilité p de donner face quand on la lance
une fois. On la lance de façon succesive et on s’arrête dès qu’on obtient face. Soit X la variable
aléatoire qui compte le nombre de lancements effectués. On mettra X = 0 si on obtient toujours
de piles. Décrire la fonction de répartition de X.
6.3 ♠ La fonction de répartition d’une variable aléatoire X est donnée par:
⎧
0 t < 0
⎪⎨
FX(t) =
⎪⎩
t
2
2
3
11
12
0 ≤ t < 1
1 ≤ t < 2
2 ≤ t < 3
1 3 ≤ t
(a) Calculer P (X < 3, 5), P (X > 0, 5) et P (2 < X < 4, 258716948594578).
(b) Calculer P (X = t) pour tout t ∈ R.
(c) A-t-on Px = aδ1 + bδ2 + cδ3 pour certains a, b, c ∈ R?
(d) Que peut-on dire de Ima X?
6.4 La fonction de répartition d’une variable aléatoire X est donnée par:
⎧
⎪⎨ 0 t < 1
FX(t) =
⎪⎩
t2 t2 + 1
t ≥ 1

Exercices de Probabilité. 17 Mai 2010 23
(a) Montrer que P (X = 1) = 1/2.
(b) Calculer P (X = t) pour chaque t ∈ R.
(c) A-t-on PX = 1/2δ1?
(d) Que peut-on dire de Ima X.
(e) Calculer P (t > 1).
6.5 Chacune des k urnes, numérotées de 1 à k, contient n boules identiques numérotées de 1 à
n. On extrait une boule de chaque urne et on note par Xi le numéro de la boule tirée de l’urne i.
On pose Max = max
1≤i≤k Xi et Min = min
1≤i≤k Xi.
(a) Donner la fonction de répartition et la loi de Max .
(b) Donner la fonction de répartition et la loi de Min .
6.6 ♠ Soient a et b deux nombres réels. Calculer la fonction de répartition de la variable aléatoire
Y = aX + b en fonction de celle de X.
6.7 Soit X une variable aléatoire. Soit b un point de R et (tn) une suite convergeant vers b
avec tn = b pour tout n. Etudier la validité de l’égalité
dans chacun des cas suivants.
(a) La suite (tn) est décroissante.
(b) La suite (tn) est croissante.
(c) La suite (tn) est quelconque.
P (X > b) = lim
n→∞ P (X > tn),
6.8 Soit X : Ω → R une variable aléatoire de fonction de répartition FX. Déterminer la fonction
de répartition de la variable aléatoire Y : Ω → R définie par:
⎧
⎪⎨
e si X(ω) < e
Y (ω) = X(ω)
⎪⎩
π
si
si
e ≤ X(ω) ≤ π
X(ω) > π.
7 Variables aléatoires discrètes
7.1 La fonction de répartition d’une variable aléatoire X est donnée par:
⎧
0 t < 0
⎪⎨
FX(t) =
⎪⎩
1
2
3
5
4
5
9
10
0 ≤ t < 1
1 ≤ t < 2
2 ≤ t < 3
3 ≤ t < 3, 5
1 t ≥ 3, 5

Exercices de Probabilité. 17 Mai 2010 24
Calculer P (X > π). Donner la loi de X.
7.2 ♠ La loi d’une variable aléatoire X est PX = 1
la fonction de répartition de X.
2δ0 + 1
3δe + 1
6 δπ. Calculer P (X > π/e). Donner
7.3 Soit X : Ω → N une variable aléatoire. Supposons que pour chaque n ∈ N on ait:
0
P (X = n) =
c2
si n ≡ 2, 3 mod 4
−n si n ≡ 0, 1 mod 4.
Calculer la constante c. Donner la loi de X.
7.4 ♠ Soit X : Ω → N une variable aléatoire. Pour chacune des hypothèses suivantes (n ∈ N)
calculer la loi de X.
(a) nP (X = n) = 4P (X = n − 1).
(b) P (X = n) = pP (X ≥ n).
(c) 4P (X = n + 2) = 5P (X = n + 1) − P (X = n) 8 .
7.5 Soit X une variable aléatoire discrète qui suit une loi géométrique.
(a) Montrer que
P {X > n + k} {X > k} = P ({X > n}) pour tout n, k ∈ N ∗ .
(b) Une variable aléatoire vérifiant la condition précédente est dite sans mémoire. Soit maintenant
X : Ω → N une variable aléatoire discrète. Montrer que
X est sans mémoire ⇐⇒ X suit une loi géométrique.
7.6 ♠ Determiner la loi de la variable aléatoire Y = f(X) dans les cas suivants
(a) X ∼ B(p) f(x) = min(2x, x 2 ).
(b) X ∼ B(6, p) f(x) = x 2 − 3x + 2.
(c) X ∼ P(λ) f(x) =
1 + (−1)x
.
2
(d) X ∼ G(p) f(x) = sin(πx/2).
7.7 Soit X une variable aléatoire qui suit la loi de Bernouilli de paramètre p. Quelle est la
probabilité pour que le polynôme 2x 2 + xX + X 2 ait une racine réelle?
7.8 Soit X la variable aléatoire qui représente la différence entre le nombre des faces et le
nombre de piles après n lancers d’une pièce de monnaie. Donner la loi de X. On supposera que
la pièce n’est pas forcement équilibrée et que la probabilité de donner face est p ∈ [0, 1].
8 On pourra utiliser le fait qu’une suite (xn) définie par la relation 4xn+2 = 5xn+1 − xn, n ≥ 0, est de la forme
xn = a 1
4 n + b, avec a, b ∈ R.

Exercices de Probabilité. 17 Mai 2010 25
7.9 Une urne contient des boules numérotées de 1 à m. Supposons qu’on en tire n au hasard
et sans remise (avec n ≤ m). Soit X la variable aléatoire qui désigne le plus grand numéro tiré.
Donner la loi de X.
7.10 ♠ Une urne contient des boules numérotées de 1 à 2m. On tire successivement les boules
avec remise jusqu’à ce qu’on obtient deux fois la même boule. Soit X la variable aléatoire qui
désigne le nombre des tirages effectués. Donner la loi de (X + 2m)/2.
7.11 Un groupe de n personnes (avec n ≥ 2) jouent au jeu suivant. Chacune d’entre elles lance
une pièce de monnaie truquée qui a une probabilité p ∈ [0, 1] de donner face. Un joueur gagne si
tous les autres joueurs ont un résultat contraire au sien. Par exemple, le premier joueur gagne s’il
obtient face et tous les autres pile. Soit X la variable aléatoire qui compte le nombre de parties
nécessaires pour avoir un gagnant. Déterminer la loi de X.
7.12 ♠ Une urne contient k boules rouges et n − k boules vertes (1 ≤ k). On tire sans remise
toutes les boules. On considère X la variable aléatoire qui donne le rang de la dernière boule
rouge tirée. Par exemple (avec k = 3 et n = 7):
Donner la loi de X.
X(RRV V V RV ) = 6 et X(RV RV RV V ) = 5.
7.13 ♠ On lance successivement et de façon indépendante une pièce. La probabilité d’obtenir
face est p. Soit X1 (resp. X2) la longueur de la première série (resp. deuxième série). Par exemple:
X1(F F F F F F F
CCCF F CF CCF · · · ) = 7 X2(F F F F F F F CCC F F CF CCF · · · ) = 3
7
3
X1( CC F F F F CF F CCF CF F F C · · · ) = 2 X2(CC F FF F
CF F CCF CF F F C · · · ) = 4
2
4
(a) Calculer les lois de X1 et de X2.
7.14 On lance successivement et de façon indépendante une pièce. La probabilité d’obtenir face
est p. Pour n ∈ N ∗ on posera Xn la longueur de la n-ième série.
(a) Montrer que
P (X3 = i) =
pour tous i ∈ N et j, k ∈ N ∗ .
j≥1,k≥1
(b) Conclure que X1 et X3 suivent la même loi.
(a) Montrer que
P (X4 = i) =
pour tous i ∈ N et j, k, ℓ ∈ N ∗ .
j≥1,k≥1,ℓ≥1
(b) Conclure que X2 et X4 suivent la même loi.
P (X3 = i, X1 = j, X2 = k) = P (X1 = i).
P (X4 = i, X3 = ℓ, X1 = j, X2 = k) = P (X2 = i).
(c) Montrer que pour tout n ≥ 3 alors Xn et Xn−2 suivent la même loi.

Exercices de Probabilité. 17 Mai 2010 26
7.15 On choisit un nombre X au hasard dans {1, . . . , n} et puis un nombre Y au hasard dans
{1, . . . , X}. Donner la loi de Y .
7.16 Une urne contient 1 boule rouge et 1 boule verte au départ. L’une de ces boules est tirée
au hasard. Quand on la remet dans l’urne, on y rajoute 1 nouvelle boule de la même couleur. Et
ainsi de suite. Soit Xn la variable aléatoire qui donne le nombre de boules rouges obtenues au
cours de n premiers tirages. Donner la loi de Xn.
8 Variables aléatoires continues
8.1 Un bus passe à un arrêt tous les 15 à partir de 7h00 (soit donc à 7h00, 7h15, 7h30, etc). Un
voyageur arrive au hasard entre 7h00 et 7h30 (suivant une loi uniforme). Quelle est la probabilité
quil attende moins de 5? Quelle est la probabilité quil attende plus de 10? Pourquoi?
8.2 Lors d’un procès en attribution de paternité, un expert témoigne que la durée de la grossesse,
en jours, c’est-à-dire le laps de temps entre la conception et la naissance de l’enfant, est de
distribution approximativement normale avec paramètres µ = 270 et σ 2 = 100. L’un des pères
putatifs est en mesure de prouver son absence du pays pendant une période s’étendant entre le
290-ième et le 240-ième jour précédant l’accouchement. Quelle est la probabilité que la conception
de l’enfant ait eu lieu plus de 290 jours avant sa naissance ou moins de 240 jours avant?
8.3 ♠ On suppose que la taille, en centimètres, d’un homme agé de 25 ans est une variable
aléatoire normale de paramètres µ = 175 et σ 2 = 36. Quel est le pourcentage d’hommes de 25
ans ayant une taille supérieure à 185 cm? Parmi les hommes mesurant plus de 180 cm, quel
pourcentage d’entre eux dépassent 192 cm?.
8.4 Supposons que dans la petite ville de Atarribia (village natal de M. Induráin) le nombre
de spectateurs potentiels pour aller au vélodrome suit une loi normale de paramètres m = 125
et σ = 16. Cette ville a décidé de construire un vélodrome. Quel nombre de places minimal
doit posséder cette salle si l’on veut qu’il n’y ait pas de spectateurs sans place, et ceci avec une
probabilité de 99%.
8.5 M. Jones estime que le nombre total de milliers de kilomètres (megamètres) que peut parcourir
une voiture avant qu’elle ne soit mise à la ferraille est une variable aléatoire exponentielle
de paramètre λ = 0, 05. Smith a une voiture dont il prétend qu’elle n’a roulé que 10 megamètres.
Si M. Jones achète la voiture, quelle est la probabilité qu’il puisse encore l’utiliser pendant au
moins 20 megamètres ? (Même question avec X ∼ U([0, 40]).)
8.6 Soit X une variable aléatoire à densité
2 c(1 − x )
f(x) =
0
−1 < x < 1
sinon
(a) Calculer la valeur de c.
(b) Calculer la fonction de répartition de X.
(c) Calculer P (X > 1/2).

Exercices de Probabilité. 17 Mai 2010 27
8.7 ♠ Si X ∼ U(] − 1, 1[), trouver:
(a) P (|X| > 1/2).
(b) P (sin(πX/2) > 1/ √ 2).
(c) Calculer P (X 2 < X).
(d) Même exercice avec X ∼ E(λ).
8.8 Soit Y une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur l’intervalle ]0,5[. Quelle est la
probabilité que les racines de l’équation 4x 2 + 4xY + Y + 2 = 0 soient toutes deux réelles?
8.9 ♠ Soit X une variable aléatoire continue.
(a) Calculer la loi de Y = aX + b où a, b ∈ R.
(b) Calculer la loi de Z = X 2 .
8.10 Soit X une variable aléatoire continue avec X ∼ U([−3, 4]).
(a) Calculer la loi de Y = arctan X.
(b) Calculer la loi de Z = max(X, X 2 ).
(c) Calculer la loi de W = (−1) [X] , où [−] est la fonction partie entière.
(d) Même exercice si X ∼ E(λ), λ > 0.
8.11 Soit X une variable aléatoire continue avec fX(x) =
(a) Calculer la loi de Y = e X .
(b) Calculer la loi de Z = max(X, X 3 ).
(c) Calculer la loi de W = (−1) Ent (X) .
1
π(1 + x 2 ) .
8.12 ♠ Soit X une variable aléatoire à densité fX(x) = λ
2 e−λ|x| .
(a) Calculer la loi de Y = ln π
2 + arctan X .
(b) Calculer la loi de Z = ln |X|.
(c) Calculer la loi de W = cos(2π Ent (X)).
8.13 Considérons una variable aléatoire X avec X ∼ E(λ). Fixons n ∈ N ∗ et écrivons Yn =
max(e (X−1) , e 2(X−1) , . . . , e n(X−1) ).
(a) Montrer que P (Yn ≤ e −1 ) = 0.
(b) Calculer la fonction de répartition de Yn.
(c) Déduire que Yn est continue. Calculer fYn.

Exercices de Probabilité. 17 Mai 2010 28
9 Moments
9.1 Calculer l’espérance et la variance de la variable aléatoire Xn se la page 26.
9.2 ♠ On tire une à une des boules d’une urne contenant 2 boules blanches et 3 boules noires. On
continue jusqu’à ce que toutes les boules restantes soient de la même couleur. Soit X le nombre de
boules qui restent. Calculer l’espérance de X. Même question avec b boules blanches et n noires.
9.3 Un homme tirant sur une cible reçoit 10 points si son coup est à moins de 1 cm du centre
de la cible, 5 points s’il s’en éloigne de 1 à 3 cm et 3 points s’il s’en éloigne de 3 à 5 cm. Trouver
l’espérance du nombre de points si les coups tirés sont uniformément distribués sur un cercle de 8
cm de rayon, centré sur la cible.
9.4 Un des jeux de dés très populaires dans les bars anglais est le ”chuck-a-luck”. Il consiste
pour la banque à lancer trois dés. Un joueur peut parier sur n’importe quel résultat compris entre
1 et 6. Si exactement un des ces trois dés montre le chiffre prévu, le joueur récupère sa mise plus
un montant équivalent. Si deux dés montrent ce résultat, le gain net est de 2 pour 1. Si les trois
chiffres indiquent le chiffre prévu, le gain net est de 3 pour 1. Si aucun dé ne montre le chiffre
choisi par le joueur, ce dernier perd. Calculer l’espérance de gain dans ce jeu.
9.5 Partant d’un ensemble de n éléments, on choisit un sous-ensemble de manière aléatoire (tous
les sous-ensembles ont la même probabilité d’être choisis). Soit X le cardinal du sous-ensemble
choisi. Montrer que E(X) = n/2 et var (X) = n/4.
9.6 Calculer l’espérance et la variance d’une variable aléatoire X à densité fX dans les cas
suivants:
⎧ x
⎨
(a) fX(x) = 4
⎩
e−x/2 x > 0
0 x ≤ 0
⎧
⎨ c(1 − x
(b) fX(x) =
⎩
2 ) |x| < 1
⎧
⎪⎨
5
(c) fX(x) = x2 ⎪⎩
0
0 |x| ≥ 1
x > 5
x ≤ 5
(on déterminera c)
⎧
⎪⎨
(d) fX(x) =
⎪⎩
1
2 cos x
0
−π/2 ≤ x ≤ π/2
sinon
⎧
⎨ a + bx
9.7 ♠ La densité de X est donnée par fX(x) =
⎩
2 0 ≤ x ≤ 1
0 ailleurs
. Si E(X) = 3/5, trouver
a et b.

Exercices de Probabilité. 17 Mai 2010 29
9.8 ♠ Soit X une variable aléatoire à densité fX(x) = 1/2e −|x| .Calculer E(X) et var (X).
9.9 ♠ Soit X une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre λ. Soit Y =
max(X, X 2 ). Calculer E(Y ) et var (Y ).
9.10 Soit X une variable aléatoire continue de densité fX(x) =
(a) Montrer que c = 3/32.
(b) Calculer P (X < X 2 ).
(c) Calculer l’espérance E(X).
(d) Calculer la loi de la variable aléatoire Y = X 3 .
(e) Calculer l’espérance E(Y ).
(f) Calculer la loi de la variable aléatoire Z = max(2X, X 2 ).
c(4 − x 2 ) si |x| < 2
0 sinon
9.11 Le temps de survie d’une savonnette mesuré en jours est une variable aléatoire T définie
par sa densité
2 λ t exp (−λt)
f(x) =
0
si t ≥ 0
si t < 0.
(a) Vérifier que f est une densité
(b) Déterminer la fonction de répartition de F .
On suppose que E(T ) = 20.
(c) Calculer λ.
(d) Calculer l’écart type de T .
(e) Calculer la probabilité pour qu’une savonnette dure plus de 30 jours en sachant qu’elle
toujours là au bout de 10 jours.
9.12 Considérons X une variable aléatoire dont la densité est une fonction paire. Posons g : R →
R la fonction définie par
⎧
⎨ x + 1 si x > 0
g(x) = 0
⎩
x − 1
si x = 0
si x < 0.
(a) Montrer que pour tout y ∈ [0, 1] on a
et que pour tout y ∈ [1, ∞[ on a
{g(X) > y} = {X > 0} et {g(X) < −y} = {X < 0},
{g(X) > y} = {X > y − 1} et {g(X) < −y} = {X < 1 − y}.
(b) Montrer que E(g(X)) = E(X).
.

Exercices de Probabilité. 17 Mai 2010 30
9.13 Soit X : Ω → {0, 1} une variable aléatoire suivant la loi de Bernoulli de paramètre p, c’està-dire
X ∼ B(p). Soit Y : Ω → N une variable aléatoire suivant la loi de Poisson de paramètre λ,
c’est-à-dire Y ∼ P(λ). Supposons que
pour tous les valeurs de i et j 9 .
(a) Calculer la loi de X + 2 (1−X)·Y .
(b) Calculer l’espérance de X + 2 (1−X)·Y .
P (X = i, Y = j) = P (X = i)P (Y = j)
9.14 Soit X : Ω → {0, 1} une variable aléatoire suivant la loi de Bernoulli de paramètre p,
c’est-à-dire X ∼ B(p). Soit Y : Ω → N une autre variable aléatoire. Supposons qu’il existe λ > 0
avec
(1)
⎧
−λ
λj
⎪⎨
(1 − p)e
j!
P (X = i, Y = j) = −λ
λj
pe
⎪⎩
j!
0
si i = 0
si i = 1
si i = 0, 1
pour tout j ∈ N.
(a) Montrer que Y suit la loi de Poisson de paramètre λ, c’est-à-dire, Y ∼ P(λ).
(b) Que peut-on dire des variables aléatoires X et Y ?
(c) Calculer la loi de ((1 − X) · Y )! + X.
(d) Calculer l’espérance de ((1 − X) · Y )! + X.
9 On dit que les variables aléatoires X et Y sont indépendantes.