DM n°2: Probabilités conditionnelles - Mathématiques à Éboué ...

DM n o 2. Probabilités À rendre le: 13/10/10
Problème
Une usine est dotée d’un système d’alarme qui se déclenche, en principe, lorsqu’un accident se
produit sur une chaîne de production.
Il peut arriver toutefois que le système soit mis en défaut. En effet, des études statistiques ont
montré que, sur une journée :
• la probabilité que l’alarme se déclenche par erreur (i.e. sans incident) est égale à 1
50 ;
• la probabilité qu’un incident survienne sans que l’alarme se déclenche est égale à 1
500 ;
• la probabilité qu’un incident se produise est égale à 1
100 .
Préliminaire
On considère les événements suivants :
• A : « l’alarme se déclenche » ;
• I : « un incident se produit ».
Exprimer les événements suivants en fonction de A et I :
• « l’alarme se déclenche par erreur » ;
• « un incident survient sans que l’alarme se déclenche ».
Partie A
1. (a) Calculer la probabilité que, dans une journée, un incident survienne et que l’alarme
se déclenche.
(b) En déduire la probabilité que l’alarme se déclenche.
2. Quelle est la probabilité que, sur une journée, le système d’alarme soit mis en défaut ?
3. L’alarme vient de se déclencher. Quelle est la probabilité qu’il y ait réellement un incident ?
Partie B
Les assureurs estiment qu’en moyenne, pour l’entreprise, le coût des anomalies est le suivant :
• 1 000 pour un incident lorsque l’alarme fonctionne
• 3 000 pour un incident lorsque l’alarme ne se déclenche pas
• 200 lorsque l’alarme se déclenche par erreur.
On considère qu’il se produit au plus une anomalie par jour.
Soit X la variable aléatoire représentant le coût journalier des anomalies pour l’entreprise.
1. Donner la loi de probabilité de X.
2. Quel est le coût journalier moyen des anomalies ?
Hypokhâgne B/L — 2010/2011 1/1 Lycée Félix Éboué

DM n o 2. Probabilités Corrigé
Préliminaire
• L’événement « l’alarme se déclenche par erreur » est : A ∩ I. Donc : p(A ∩ I) = 1
50 .
• L’événement : « un incident survient sans que l’alarme se déclenche » est : I ∩ A.
Donc : p(I ∩ A) = 1
500 .
• Notons enfin que : p(I) = 1
100 .
Partie A
1. (a) Calcul de p(A ∩ I). On considère le système complet (A, A) ;
d’après la formule des probabilités totales : p(I) = p(I ∩ A) + p(I ∩ A).
Il en découle : p(A ∩ I) = p(I ∩ A) = p(I) − p(I ∩ A) = 1 1 4
− =
100 500 500
1. (b) Calcul de p(A). On utilise cette fois le système complet (I, I) :
p(A) = p(A ∩ I) + p(A ∩ I) = 4 1
+
500 50
= 14
500
= 7
250 .
= 1
125 .
2. Calcul de la probabilité de D : « le système d’alarme est mis en défaut ».
L’événement D est réalisé si, et seulement si, l’alarme se déclenche par erreur (événement A∩I),
ou bien, un incident survient sans que l’alarme se déclenche (événement I ∩ A). Comme D est
réunion de ces deux événements incompatibles, il vient :
p(D) = p(A ∩ I) + p(I ∩ A) = 1 1
+
50 500
3. Calcul de pA(I). Par définition : pA(I) =
Partie B
p(I ∩ A)
p(A) =
1
125
7
250
= 2
7 .
= 11
500 .
1. Sachant qu’il se produit au plus une anomalie par jour, on a, pour une journée, les seules
possibilités suivantes :
∗ Il n’y a eu aucune anomalie (événement A ∩ I) ; dans ce cas X = 0.
∗ L’alarme s’est déclenchée par erreur (événement A ∩ I) ; dans ce cas X = 200.
∗ Un incident est survenu et l’alarme a fonctionné (événement I ∩ A) ; dans ce cas X = 1000.
∗ Un incident est survenu sans que l’alarme ne se soit déclenchée (événement I ∩ A) ; dans ce
cas X = 3000.
En résumé, l’ensemble des valeurs prises par la variable aléatoire X est {0; 200; 1000; 3000},
et on sait que : p(X = 200) = p(A ∩ I) = 1
50 ; p(X = 1000) = p(I ∩ A) = 4
500 ,
et : p(X = 3000) = p(I ∩ A) = 1
500
. On en déduit que :
p(X = 0) = p(A ∩ I) = 1 − 1 4 1
− −
50 500 500
D’où la loi de probabilité de X :
xi
pi
0
485
500
200
10
500
1000
4
500
3000
1
500
b) L’espérance mathématique de X est donc :
= 1 − 15
500
E(X) = pixi = 1
9000
(0 + 2000 + 4000 + 3000) =
500 500
Le coût journalier moyen des anomalies est donc de 18 euros.
= 485
500 .
= 18.
Hypokhâgne B/L — 2010/2011 1/1 Lycée Félix Éboué